Despertando o Interesse pela Matemática através do Tangram

Cíntia Regina Fick1

Eliana Do Carmo 2

Cláudia Vargas3

João Carlos Gilli Martins4

Resumo

Este trabalho é parte integrante do Subprojeto do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência

(PIBID) área da Matemática e foi desenvolvido na Escola Estadual de Ensino Médio Professora Maria

Rocha. Buscamos utilizar ferramentas lúdicas para despertar nos alunos o interesse pela matemática, mais

especificamente pela área de figuras geométricas planas. O Tangram, que é um quebra-cabeça com sete

peças, com as quais é possível montar cerca de 1700 figuras, tem mostrado ser uma ferramenta bastante

eficaz no ensino e na aprendizagem desse conteúdo. Os alunos da Escola Estadual Maria Rocha

participaram de atividades onde o objetivo era explorar as proporções entre a área de cada peça do

Tangram. Aos alunos participantes dessa atividade foi solicitado que resolvessem exercícios com a

utilização do quebra-cabeça ao passo que um outro grupo de alunos, sem o auxílio do quebra-cabeça,

tentaram resolver os mesmos exercícios. Este trabalho, que ainda está em andamento, encontra-se em fase

de análise dos resultados obtidos. Alguns aspectos já observados, são os erros corriqueiros que os alunos

cometeram ao resolverem os exercícios propostos.

Palavras-chave: Tangram. Área. Aprendizagem. Volume

O Projeto

Após uma conversa com alguns professores da Escola Estadual de Ensino Médio

Professora Maria Rocha, localizada na cidade de Santa Maria, constatamos que os

alunos que ingressam na primeira série do ensino médio, demonstram, muitas vezes,

não tem pré-requisitos para compreensão dos conhecimentos matemáticos,

1Universidade Federal de Santa Maria Cíntia.fick@gmail.com

2Universidade Federal de Santa Maria docarmo.eliana@gmail.com

3Escola Estadual de Ensino Médio Professora Maria Rocha claviva@hotmail.com

4Universidade Federal de Santa Mariajcgillimartins@g,ail.com

especialmente no que se refere à Geometria. Outra observação feita pelos professores

foi que muitas vezes a dificuldade e o erro na Matemática estão atrelados firmemente

com a dificuldade de interpretação do texto.

Segundo experiências relatadas, a revisão rápida do assunto na sala de aula não

tem se mostrado eficiente para motivar o aluno a estudar tais conteúdos. Pensando

nisso, os alunos bolsistas juntamente com a professora colaboradora, se propuseram a

desenvolver estratégias inovadoras utilizando o Tangram, com o objetivo de através

desse, resgatar esta motivação e este interesse.

O Tangram é um quebra-cabeça, com sete peças, com as quais é possível montar

cerca de 1700 figuras dentre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números e outros,

tornando-o um material pedagógico bastante atraente pelo seu aspecto lúdico, o que

pode motivar e despertar o interesse do aluno, tornando a aprendizagem mais eficaz.

Com o uso do Tangram, podemos explorar conceitos matemáticos tais como:

identificação, descrição, classificação, desenho de formas geométricas planas,

visualização e representação dessas figuras, compreensão das propriedades de figuras

planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos, noções de

áreas e frações.

A partir do desenvolvimento desses conceitos, é permitido ao aluno desenvolver

algumas habilidades importantes para a percepção e para a real inserção do aluno no

mundo a sua volta, tais como: visualização/diferenciação, percepção espacial, análise/

síntese.

Entendemos a importância da matemática, em conjunto com as demais

disciplinas, como ferramentas para intervenção no mundo real. Com esse objetivo

desenvolvemos este projeto visando criar condições para que os alunos entendam

matemática de acordo com o campo semântico no qual ela é elaborada na escola e em

consonância com a temática norteadora do subprojeto PIBID, que é: “A Educação

Matemática e o mundo à nossa volta”.

Acreditamos que com este trabalho possamos contribuir para a formação dos

futuros professores (bolsistas do projeto PIBID), inserindo-os em ações de capacitação

que os levem a planejar e executar sua prática docente com criatividade, de modo a

construir metodologias de ensino de matemática que valorizem a construção do

conhecimento pelos alunos, proporcionando que eles se desenvolvam enquanto sujeitos

críticos.

Referencial Teórico e Metodológico

O presente projeto inicia com estudos teóricos sobre o uso do Tangram em sala

de aula, para auxiliar na elaboração das atividades a serem desenvolvidas com os alunos

do segundo ano do Ensino Médio da Escola Maria Rocha. Foram estudados textos tais

como de Souza (1995) e foram pesquisados sites da internet que pudessem trazer

sugestões para a elaboração do trabalho.

As atividades, que foram colocadas em prática no primeiro semestre de 2010,

foram realizadas em duas etapas, nos dias 14 e 16 de junho.

Primeiramente a turma foi dividida em dois grupos, digamos A e B. O grupo A

ficou sob a responsabilidade do bolsista Fabrício, enquanto o grupo B ficou sob a

responsabilidade da bolsista Cíntia, ambos sendo supervisionados pela professora

colaboradora Cláudia.

No dia 14 de junho, o grupo A participou de uma atividade com o Tangram

(atividade no anexo I), enquanto o grupo B assistia a uma aula para encontrar a área de

quadrados, paralelogramos e triângulos retângulos sem o uso do Tangram (atividade no

anexo II). Ao final de cada aula, foi solicitado que os alunos dos dois grupos

resolvessem os mesmos exercícios (lista de exercícios no anexo III).

No dia 16 de julho, as atividades foram invertidas: enquanto o grupo A assistia

uma aula sem Tangram, o grupo B participava de uma aula com o uso do Tangram. Ao

final, foi solicitado que os alunos novamente resolvessem os mesmos exercícios

propostos no dia 14 de junho.

As atividades foram realizadas dessa maneira para que fosse possível fazer um

comparativo entre o desempenho dos grupos A e B.

Os resultados

Embora a pesquisa ainda não esteja concluída encontrando-se em fase de análise

do material obtido, pudemos observamos que ambos os grupos sentiram dificuldades na

resolução dos exercícios propostos. Na primeira aplicação, dia 14 de junho, o grupo B

(que não trabalharam com o tangram) não conseguiu resolver dois exercícios

específicos de Tangram, as questões 5 e 6, enquanto o grupo A conseguiu resolver

parcialmente estes mesmos dois exercícios.

Já na segunda etapa da aplicação das atividades, dia 16 de junho, o grupo B

(que, agora trabalharam com o tangram) conseguiu resolver parcialmente os mesmos

dois exercícios que antes não haviam conseguido.

Como a pesquisa ainda está em andamento, é cedo para afirmarmos algo sobre a

eficácia do Tangram no ensino e na aprendizagem da geometria, uma vez que

pretendemos aplicar esta mesma atividade em outros grupos de alunos da mesma escola.

Percebemos que os alunos, após manusearem o Tangram, ficaram mais motivados para

resolverem os exercícios e passaram a se interessar mais pelo assunto, pois estes fizeram

várias perguntas sobre curiosidades do Tangram e da matemática.

Considerações Finais

Este trabalho objetivava despertar nos alunos o interesse pela matemática através

do Tangram. O trabalho desenvolvido, contribuiu de forma significativa para a formação

dos bolsistas como futuros professores, proporcionando uma integração com os alunos

da educação básica e uma aproximação entre acadêmicos e as escolas da educação

básica. Os alunos da Escola Estadual de Ensino Médio Maria Rocha, tiveram a

oportunidade de aperfeiçoar seus conhecimentos e para alguns, complementar a

preparação para o vestibular, uma vez que a grande maioria deles não conheciam o

Tangram.

As atividades, que foram realizados em duas etapas com dois grupos distintos de

alunos, mostraram-nos que os alunos sentiram-se mais motivados a resolverem os

exercícios propostos após conhecerem o Tangram e principalmente após o manuseio do

mesmo, explorando juntamente com os bolsistas as proporções entre as peças do

Tangram. Ressaltamos que esta mesma atividade será desenvolvida com outros grupos

de alunos para obtermos mais dados referentes ao uso do Tangram no ensino e

aprendizagem da geometria.

Anexo I

Construção do Tangram

CD

AB

E

G

Q

P

O

Ilustração 1: Tangram5

Fazer um quadrado de 16 cm de lado em uma folha de papel;

Traçar uma diagonal do quadrado obtendo-se dois triângulos, neste caso traçamos a

diagonal AC;

No triângulo ABC, sobre cada cateto marca-se o ponto médio (pontos E e F);

Traça-se uma reta passando por estes dois pontos;

Sobre a reta EF, marca-se o ponto médio (ponto G);

Traça-se a reta CG;

Na interseção da DG com a reta AC, marca-se o ponto O;

No segmento AO, marca-se o ponto médio (ponto P) e traça-se a reta PE;

No segmento OC, marca-se o ponto médio(ponto Q) e traça-se a reta QG;

Para facilitar o manuseio, os bolsistas confeccionaram um número suficiente de

jogos (Tangram) de EVA para facilitar na sobreposição das peças na verificação das

proporções, uma vez que o papel não é muito resistente.

Neste momento foram trabalhados vários conceitos matemáticos sobre

Geometria Plana, área de figuras triangulares, quadradas e do paralelogramo. Também

foram exploradas as proporções entre as peças do Tangram, juntamente com a

porcentagem que cada peça representa.

Obtenção do quadrado grande através do(s) triângulos pequeno(s):

Note que um dos catetos do triângulo APE é também lado comum do quadrado

POGE (PE é lado comum).Verifique sobrepondo o triângulo APE sobre o quadrado

5 Fonte:

http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/Tang

ram-Imprimible.jpg&imgrefurl=http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tangram

POGE que a hipotenusa do triângulo é congruente a diagonal do quadrado.

( )

(lado comum)

ˆ ˆ ˆ( , 90

PEGAPELAL

PE

PÊGAPEAEPGEP

Logo 2Q TPA A

(1)

Obtenção do paralelogramo a partir do(s) triângulos pequenos:

Note que QG é o lado comum do triângulo OQG e do paralelogramo QGFC.Como Q é

ponto médio de OC temos OQ QC . Observamos ainda que QG é congruente a CF

pois QG é paralela a CF cortadas por duas paralelas, QC e GF. Assim podemos construir

o paralelogramo a partir dos triângulos pequenos. Verifique tal afirmação sobrepondo o

triângulo OQG sobre o paralelogramo QGFC para concluir que 2P TPA A .

(2)

Obtenção do triângulo médio através do(s) triangulo(s) pequeno(s):

Note que como E é ponto médio de AB então AE EB . Ou seja, a hipotenusa do

triângulo pequeno é congruente a um dos catetos do triângulo médio. Assim,

sobrepondo o triângulo APE sobre o triângulo EBF, pode-se concluir que

2TM TPA A . (3)

Obtenção do triângulo grande através dos triângulos pequenos e do paralelogramo:

Note que QO e CQ são cateto e lado do triângulo pequeno e do paralelogramo

respectivamente, além disso, formam um dos catetos do triângulo maior. Fazendo

+ AE CFobtemos um segmento congruente a hipotenusa do triângulo grande. A

obtenção do outro cateto do triângulo maior é análoga ao do cateto acima mencionado.

Finalmente:

2 224TG TPP TP TP TPAAAAAA

Expressaremos a área do Tangram em função do(s) triângulo(s) pequeno(s)

utilizando (1), (2) e (3).

2 2

2( )

2(2 )

2(3 2 ) 2 2 2

2(3 2 ) 6

16

Tangram TG TP Q P TM

Tangram TG TP Q P TM

Tangram TP P TP Q P TM

Tangram TP P TP TP TP

Tangram TP TP TP

Tangram TP

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A A

A A A A A A

A A A A

A A

Anexo II

Neste trabalho pretendemos estudar a área de algumas figuras geométricas planas.

São elas:

Área da região quadrada;

Área da região limitada por um paralelogramo;

Área da região limitada por um triângulo retângulo.

Primeiramente vejamos a definição de área.

Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma

superfície.

Vejamos agora as fórmulas para obtenção das áreas das figuras acima citadas.

Área de um quadrado de lado a.

AQ = a²

Área de um paralelogramo onde a é a base e b é a altura.

AP = a.b

Área de um triângulo retângulo onde a é a base e b é a altura.

AT = (a.b)/2

Anexo III

Resolva as seguintes questões:

1) (Mack-SP) Uma escola de Educação Artística tem seus canteiros de forma

geométrica. Um deles é o trapézio retângulo, com as medidas indicadas na

figura.

Ilustração 2: quadrilátero6

Calcule a área desse canteiro.

2) Feito o levantamento das medidas de um terreno pentagonal, foram

determinados os lados indicados na figura.

Ilustração 3: pentágono irregular7

Determine a área desse terreno.

3) Calcule a área tracejada indicada na figura.

Ilustração 4: quadrilátero8

6 Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental

2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.

7 Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental

2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.

8 Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental

4) (UFV-MG) Considere a figura seguinte:

Ilustração 5: triângulo9

A área hachurada vale:

a) 2 cm² c) 5 cm²

b) 3 cm² d) 1 cm²

Qual a porcentagem que a área hachurada representa?

5) (UEM-PR) Do retângulo abaixo foram retirados os quatro triângulos retângulos

hachurados, formando assim um hexágono regular de lado 4 cm. Então, a área do

retângulo ABCD é:

2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.

9 Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental

2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.

Ilustração 6: retângulo10

a) 16√3 cm²

b) 24√3 cm²

c) 32√3 cm²

d) 40√3 cm²

e) 48√3 cm²

Qual a porcentagem de área que o hexágono representa na figura?

6) (ENEM-2008)11

10

Fonte: GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr., J. R.; Matemática Fundamental

2º Grau, vol. Único, ed. FTD, SP,1994.

11

Fonte: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

12

7) (UFSM-2006)12

Para facilitar o estudo dos triângulos, a menina foi orientada por sua

professora a trabalhar com jogos educativos. O TANGRAM é um quebra-cabeça de

origem chinesa. É formado por cinco triângulos retângulos isósceles, T1, T2, T3, T4 e

T5, um paralelogramo P e um quadrado Q que, juntos, formam um quadrado, conforme

a figura apresentada. Se a área de Q é 1, é correto afirmar:

a) A área do quadrado maior é 4.

b) A área de T1 é o dobro da área de T3.

c) A área de T4 é igual à área de T5.

d) A área de T5 é 1/4 da área do quadrado maior.

e) A área de P é igual à área de Q.

Referências bibliográficas

SOUZA, Eliane Reame e outros, A Matemática das sete peças do Tangram São Paulo:

IME – USP, 1995

http://www.inep.gov.br/basica/enem/provas_gabaritos/provas_gabaritos.htm acesso em

10/06/10 às11horas e 33minutos

http://coperves.proj.ufsm.br/ acesso em 11/06/10 às 13horas e 41minutos

12

Fonte: http://coperves.proj.ufsm.br/