Desenvolvimento do sentido de nmero racional no 1 cicloCeclia Monteiro --2006ESE de Lisboa

O que um Nmero Racional?

Reais

RacionaisIrracionaisInteirosFraccionrios

Representaes dos nmeros racionais fraccionrios

Numeral decimal 0,5; 0,25; 0,75,

Fraco

O que um Nmero Decimal? um nmero racional fraccionrio que se pode representar por uma dzima finita = 0,5 = 0,25

= 0,3333...NO um nmero decimal

Como apareceram os nmeros racionais no inteiros?Pela necessidade de partilhar em partes iguaisPela necessidade de MEDIR comprimentos

As fraces egpcias

Os racionais no inteiros e os programas nacionais2 ano - fraces como operadores 3 ano - decimais somente na representao decimal4 ano - decimais somente na representao decimalNo h conexo com as fraces

Dificuldades inerentes aos prprios nmerosDiferenas conceptuais entre os nmeros fraccionrios e os nmeros inteiros

Mal entendidos dos alunos 2,29 maior que 2,5

3,156 maior do que 4,5

2,3+4,5= 6,8 mas 1,7+2=1,9

Mal entendidos dos alunos

Se adicionarmos uma centsima ao nmero 49,09 obtm-se : 49,010 ou mesmo 50.

Entre 0,1 e 0,2 no h nenhum nmero

Mal entendidos dos alunosEsta figura representa uma unidadeErro: 20,3

Mal entendidos dos alunosErro: 14,3Erro: 1,7

Fazer o menor nmero3,

1234567890

Resposta errada3, 1 0

Justificao dada: Porque no tem centsimas e s tem uma dcima

Dificuldades inerentes aos prprios nmerosUnidade que fraccionada

Diferena entre nmeros racionais inteiros e racionais no inteirosUm nmero fraccionrio (seja decimal ou no) indica sempre uma quantidade, mas tambm uma relao com a unidade subjacente.

Dificuldades inerentes aos prprios nmerosOs nmeros decimais no tm um nmero que sucede a outro.0,10,2

A multiplicao e a diviso de nmeros menores que 110 : 0,5 = 20

0,1 x 40 = 4

A diviso aumentaA multiplicao diminui

Outras possveis razes para os malentendidos Ensino dos decimais no tem suporte nas fraces nfase nas regras e nos algoritmos

Ensino baseado na memorizao e na repetio de procedimentos sem sentido para o aluno

Poucas tarefas em contextos significativos para as crianas e com recurso a materiais

O ensino no enraza nos mtodos dos alunos, nas suas tentativas de resoluo de problemas

Abordagem usual aos decimais0, 1

Regra vs sentido do nmero2,25 + 1,75 = 2 + 1 + 0,25 +0,75 = 4

12,25 + 1,75 4,00

Proposta para o ensino dos decimaisA partir de tarefas com sentidoLigao fracesUsar os mtodos informais dos alunosUsar diferentes representaes do mesmo nmeroRecurso a materiais

Diferentes representaes para a metade de uma figura

Diferentes representaes para a quarta parte

Problemas de partilha equitativa

Tarefa1: Os alunos da turma da Joana foram a um passeio. A Joana e quatro dos seus colegas decidiram levar para o lanche 3 sandes para partilharem igualmente entre elas. Que poro de sandes coube a cada uma das 5 crianas?

Problemas de partilha equitativaTarefa 2: No mesmo passeio outro grupo de 10 crianas partilhou 6 sandes tendo cada uma ficado com a mesma quantidade de sandes. Com que poro ficou cada uma?

Problemas de partilha equitativaTarefa 3: Em qual das duas situaes cada criana comeu mais sandes

3 sandes para 5 crianas6 sandes para 10 crianas?

3 sandes para 5 pessoas6 sandes para 10 pessoas

3 sandes para 5 pessoas

3 sandes para 5 pessoas

6 sandes para 10 pessoas

3 sandes para 5 crianas12345123412345

3 sandes para cinco meninos++=

Resoluo com a diviso 3 : 5 = 0,6

6 sandes para 10 crianasou

6 sandes para 10 meninos60 pedaos a dividir por 10Cada pedao so 0,6 de sandes

A centsima

Medio de comprimentos dada uma unidade de medida (por exemplo o metro)

O Modelo rectangular para a centsima

0,01 = O crculo das centsimas

Material Cuisenaire

Os materiais

A reconstruo da unidadeSe representa a quarta parte de um chocolate, representa o chocolate inteiro (usa o papel quadriculado do teu caderno)

A unidade

Reconstruo da unidade

MAB

O Metro cbico

A Linha numrica1010,5

Representao de decimais na linha numricaQue nmero ?56

Sheet1

Graph Paper-Plain, Large

este nmero ...

5

6

Graph Paper-Plain, Large

este nmero ...

5

6

Graph Paper-Plain, Large

ESTE NMERO ...

5

6

A dupla linha numrica

789 x 0,51 = ?

2 500 : 0,5

Clculo mental0,25 x 4 0,25 x 8 0,25 x 160,5 x2 0,5 x 4 0,5 x 16

1 : 0,1 2 : 0,1 4 : 0,1

O Clculo mental e a propriedade distributiva da multiplicao2,5 x 12 = 2,5 x (10+2) = 25 + 5 = 30

2,5 x12 5025 30,0

EstimativasNmeros prximos de nmeros de refernciaColoca estes nmeros em 3 envelopes:

0,98; 0,49; 1,02; 0,01; 0,52; 0,12Prximo de 0Prximo de Prximo de 1

Estimativas23 x 0,9745,6 x 9,9823 : 0,98

Preciso de comprar 27 bilhetes para ir com uma turma ao teatro, ser que 260 euros chegam se cada bilhete custa 9,50 euros

O modelo 10X10 para a multiplicao de decimais0,2 x 0,1 = 0,02Duas dcimas de uma dcima

O Modelo 10x10 e a multiplicao de decimais: 0,8 x 0,50,50,8

Diviso1 : 0,01=100

O Contexto do dinheiro

1 euro = 100 cntimos

1 cntimo = 0,01 euro1 : 0,01 = 100

Quanto falta para ter um euro?1 - 0,55 = ?1 - 0,75 = ?

Um euro equivale a quantos cntimos?1 : 0,10 = 10 1 : 0,50 = 2

RecomendaesTrabalhar os decimais a partir e/ou a par com as fracesPartir de situaes em contextos significativos para dar sentido a estes novos nmerosApresentar vrias maneiras de representar os nmeros racionais no inteirosVariar a unidade de referncia - o todo

RecomendaesFormalizar a partir das resolues informais dos alunos na resoluo de problemasFazer conexes com as grandezas e medidasnfase no sentido do nmeroEstimativas e clculo mentalRepresentao na linha numricaUsar materiais

essencial que o aluno consiga, ele prprio, sem ajuda, resolver exerccios pela primeira vez. Todo o problema novo, com interesse, tem uma ideia chave, um abre-te Ssamo que ilumina o esprito de sbita alegria: a clssica ideia luminosa que faz gritar Eureka.

Ora esse momento ureo de alegria que o aluno precisa de conhecer alguma vez: s por essa porta se entra no segredo da Matemtica, se descobrem os seus tesouros, se aprendem as suas recnditas harmonias.

Visto por este mgico prisma, todos os assuntos, desde os mais modestos, se transformam, como por encanto, ganhando vida e beleza. Diga-se a verdade de vida, de alma, que o ensino da Matemtica est necessitando

Professor Sebastio e Silva

Ceciliam@eselx.ipl.pt

2500 anos A. C: Os egpcios usavam cordas para fazer as medies com uma unidade assinalada, esticavam a corda e viam quantas vezes que a corda cabia nos lados do terreno. No entanto dificilmente essa corda cabia um nmero inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razo que os egpcios usaram este novos nmeros - os fraccionrios.

As primeiras representaes destes nmeros forma atravs de fraces, assim. S muito mais tarde apareceu a representao com a vrgula, portanto em numeral decimalDiferenas conceptuais entre os nmeros inteiros e os nmeros fraccionrios, neste caso na sua forma de representao em numeral decimal. 2,3 +4,5 apresentam a mesma dificuldade conceptual, no entanto os alunos erram mais 1,7+2 precisamente porque o 2 no tem a vrgula e a regra diz vrgula debaixo de vrgula.Dificuldades conceptuais e dificuldades com a escrita simblica na forma de numeral decimal

Somente 69% dos alunos de 12 anos acerta e 84% dos alunos com 1558% dos alunos com 12 anos acerta e 75% dos alunos com 15 anos No ltimo somente 32% acerta e 55% com15 anosUm nmero fraccionrio indica-me sempre uma relao com o todo fraccionado. este um dos grandes obstculos passagem dos inteiros aos fraccionriosOs nmeros racionais formam um conjunto denso, isto entre quaisquer dois nmeros racionais h infinitos nmeros racionais.Sem contexto e com contextonem h conexo com as fracesDensidade dos nmeros racionaisApresenta-se a notao 0,1, raramente se usa 1/10. Parte-se muito cedo para as regras dos algoritmos das operaesDecomposio do nmero na parte inteira e na parte decimal.Apresenta-se uma proposta para a introduo dos nmeros racionais no inteiros, que foi experimentada no Programa de formao contnua em matemtica , em algumas escolas.As noes de metade, da quarta parte etc.so do conhecimento da vida das crianas. Convm serem propostas , numa fase inicial actividades deste tipo. fundamental apresentar os nmeros de vrias formas. A diferena entre os nmeros inteiros e os racionais no inteiros que estes se podem representar de variadssimas maneiras (somente com um numeral). A representao icnica fundamental. Neste exemplo podem verificar que figuras que resultam da diviso do quadrado em 4 partes iguais so figuras equivalentes. Tm a mesma rea.

As crianas trabalham em grupo e pode ser-lhes fornecidas sandes em papel e uma tesoura para as cortarem em partes iguais. Nalguns casos bastou o lpis e o papel quadriculadoO professor deve confrontar estratgias e ir introduzindo a simbologia adequada e VARIAR AS REPRESENTAES.Exemplo de uma produo de uma alunaOutro exemploAnalisando as produes dos alunosNo 4 ano de escolaridade alguns alunos que tinham interiorizado o sentido da diviso fizeram logo a diviso de 3 por 5 (nalguns casos os alunos quiseram dividir mas atrapalharam-se com o facto do divisor ser maior do que o dividendo). A fraco surgiu raramente , mas em alunos que j tinham tido contacto com fraces (caso de crianas chinesas e pases de leste)A centsima pode surgir da medio de objectos que induzam necessidade de subdividir o decmetro em 10 partes iguais. Se j se trabalhou a dcima ento surge naturalmente a centsima por este processo. A conexo com as grandezas e medidas em particular o sistema mtrico.Pedir aos alunos para assinalarem nmeros tais como 0,13, ; 0,6; etc. Ver na cadeia de tarefas dos decimais folha fotocopiveis do crculo das centsimas.Este material permite variar a unidade. Se a barra laranja valer 1. Ento o cubinho vale 0,1 e a amarela 1/2, mas se a unidade for a castanha, o cubinho j vale 1/8 dela, etc.....Estimar quantas pessoas cabem dentro de um metro cbico. Fazer decmetros cbicos em carto e estimar o nmero de cubos que cabem num metro cbico: 1000Modelo importante para os alunos perceberem a mudana de unidade. Uma hora tambm so 60 minutos.Precisaremos de recorrer a um papel e lpis ou mesmo calculadora para fazer uma estimativa deste valor? Facilmente se percebe que ir dar um valor aproximado de 400.Na escola demoramos horas, dias semanas a ensinar aos meninos estas contas, as quais eles aprendem (ou no...)sem perceber nem o que esto a fazer e sem ter a ideia de qual ir ser o resultado o que ir fazer com que se por acaso errarem no se iro aperceber desse facto.Quando se contextualiza alguns alunos j conseguem responder, . Por exemplo em 2500 euros quantas moedas de 50 cntimos h?Clculo suporte para clculos mais difceis. 1.0,1 numa unidade quantas dcimas h? Ha10. Etc...O Algoritmo da multiplicao que usamos demasiado compactado, para ser entendido pelas crianas numa primeira fase. O mesmo para nmeros prximos de 10 e de 100

23x0,97 inferior a 23, 45,6x9,98=455,..., 23 :0.98=23,4

Se 10x27= 270 e metade de 27 13,5 ento 270-13,5 d uma valor inferior a 260. Portanto o dinheiro suficiente.rea do rectngulo: 0.40O Contexto do dinheiro muito aconselhvel at porque faz parte das experincias que tas crianas tm,mas h que ter em conta que mais abstracto do que outras grandezas, visto que o valor que cabe 120 e 100 vezes na moeda e no o objecto