Desenvolvimento de uma interface gráfica parasimulação de máquinas rotativas, com foco na

influência de selos labirintos na dinâmicaestrutural.

Paulo Arthur Lima de Deus

Projeto de Graduação apresentado ao Cursode Engenharia Mecânica da Escola Politéc-nica, Universidade Federal do Rio de Janeiro,como parte dos requisitos necessários à ob-tenção do título de Engenheiro.

Orientador:

Prof. Thiago Ritto

Rio de JaneiroAgosto de 2015

Deus, Paulo Arthur Lima deDesenvolvimento de uma interface gráfica para simulação

de máquinas rotativas, com foco na influência de selos labirintosna dinâmica estrutural / Paulo Arthur Lima de Deus - Rio deJaneiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.

xvii, 49 p. il; 29,7 cm.Orientador: Thiago RittoProjeto de Graduação - UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Mecânica, 2015.Referências Bibliográficas: p.81-82.1. Rotores 2. Simulação matemática 3. Elementos Finitos

4. Compressores 5. Selo Labirinto I. Ritto, Thiago. II. Uni-versidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Cursode Engenharia Mecânica. III. Desenvolvimento de uma inter-face gráfica para simulação de máquinas rotativas, com foco nainfluência de selos labirintos na dinâmica estrutural.

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJcomo parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro

Mecânico.

Desenvolvimento de uma interface gráfica para simulação de máquinas rotativas, comfoco na influência de selos labirintos na dinâmica estrutural

Paulo Arthur Lima de DeusAgosto de 2015

Orientador: Thiago Ritto

Curso: Engenharia Mecânica

Máquinas rotativas são extensivamente utilizadas em diversas aplicações de engenharia,como usinas de energia, sistemas de propulsão, motores de avião, automobilismo e no setorde óleo e gás. A fim de acompanhar o aumento da demanda desses setores, torna-se neces-sário desenvolver equipamentos com tecnologia suficiente para operar em condições cadavez mais extremas. Para isso, é necessário realizar testes e simulações para o desenvolvi-mento desses equipamentos. Nesse contexto, este trabalho visa obter o desenvolvimentode uma ferramenta gráfica, ou interface gráfica, que ajude na simulação do comporta-mento dinâmico de um rotor para um compressor, com o foco voltado para a influênciade selos do tipo labirinto. Tal aplicação recebeu o nome de LAVIRot ( Aplicação emRotodinâmica do Laboratório de Acústica e Vibrações). Num primeiro momento, serãoabordados casos simples, como o Rotor de Jeffcot e o modelo simples de rotor com efeitogiroscópico. Posteriormente, será abordado o caso do projeto para uma bancada de testesque está sendo desenvolvida pelo Laboratório de Acústica e Vibrações (LAVI) da COPPE,e pela Petrobrás. Para este caso, será utilizado um modelo cujas equações diferenciaissão resolvidas pelo método de elementos finitos. As interfaces gráficas serão criadas atra-vés do software Matlab, assim como a obtenção dos resultados também irá ocorrer porintermédio deste software.

Palavras-chave: Rotores, simulação numérica, elementos finitos, selo labirinto.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to Escola Politecnica/UFRJ asa partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical

Engineer.

Development of a Graphical User Interface for simulation of rotating machinery,focusing on the influence of labyrinth seals in structural dynamics.

Paulo Arthur Lima de DeusAugust 2015

Advisor: Thiago Ritto

Course: Mechanical Engineering

Rotating machinery are extensively used in several engineering applications, such as powerplants, propulsion systems, aircraft engine, automotive and the oil and gas field. In orderto match the increase of demand in those fields, it is mandatory to develop equipmentswith enough technology able to operate in increasingly severe conditions. To achieve it, itis necessary to realize tests and simulations in order to develop those equipments. In thiscontext, the present work aims to obtain the development of a graphic tool, ou graphicalinterface, which helps in the simulation of a rotor behavior, focusing on the labyrinthseals influence. Such application has been nominated LAVIRot (Graphic application forrotodynamic simulation of the Acoustics and Vibrations Laboratory). In a first approach,it will be analysed simpler cases, such as the Jeffcot’s Rotor and the case of a Rotor withgyroscope effect. After, it will be analysed the project for a test bench which is beingdeveloped by the Acoustics and Vibrations Laboratory from COPPE, and Petrobrás. Forthis case, a model which differential equations are solved by the finite element methodwill be used. The graphical user interfaces will be created in Matlab, and the results willbe obtained through Matlab, as well.

Keywords : Rotors, numerical simulation, finite-element model, labyrinth seal.

vii

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, que me deu e dá muito mais do que mereço. Que todaglória seja dada a Ele.

Agradeço à minha mãe Isabel Cristina, pelo amor incondicional e todo o apoio dado amim sem medir esforços. Devo à ela minha vida.

Agradeço também ao meu pai e ao meu irmão, que foram fundamentais na minha cami-nhada até aqui.

E, finalmente, ao professor e orientador Thiago Ritto, por toda a atenção e paciênciaprestada ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

ix

Sumário

1 Introdução 11.1 Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Conceitos Básicos sobre Compressores e Selos Labirintos 42.1 Compressores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Selo Labirinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Modelos Simples 93.1 Rotor de Jeffcot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Rotor com Efeito Giroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Aplicação da Lei de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Criação e utilização de Interfaces Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Implementação dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1 Rotor de Jeffcot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Rotor com Efeito Giroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Modelo em Elementos Finitos 224.1 Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Modelo esquemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Entrada de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Criação e Utilização de uma Interface Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.1 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Design da interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.3 Utilização do LAVIRot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.4 Aplicações Disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Resultados e Análises 315.1 Tipos de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 ARMD - Advanced Rotating Machinery Dynamics . . . . . . . . . . 315.1.2 Dyrobes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Resultados dos Modelos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2.1 Rotor de Jeffcot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

xi

5.2.2 Rotor com Efeito Giroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Modelo em Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3.1 Comparação entre um rotor com selo e sem selo . . . . . . . . . . . 365.3.2 Comparação do comportamento do sistema com eixo de materiais

diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.3 Comparação do comportamento do sistema com diferentes geome-

trias do eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Conclusão e Trabalhos Futuros 48

A Modelo computacional via Elementos Finitos 50

B Desenhos do Eixo 54

C Códigos 57C.1 Rotor de Jeffcot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57C.2 Rotor com efeito giroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64C.3 LAVIRot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

xii

Lista de Figuras

1.1 Demanda Energética Mundial, em milhões de barris por dia[1]. . . . . . . . 1

2.1 Esquema de um compressor centrífugo [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Selo labirinto [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Tipos de selo labirinto [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Tipos de selo labirinto [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Tipos de selo labirinto [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Foto esquemática mostrando aplicações do selo labirinto [10]. . . . . . . . . 8

3.1 Visão em 3D do Rotor de Jeffcot [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Visão em 2D do disco no Rotor de Jeffcot [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Representação do modelo com efeito giroscópico. . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Interface Gráfica para o Rotor de Jeffcot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Assistente para criação de Interfaces Gráficas. . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Interface Gráfica para o modelo de rotor com efeito giroscópico. . . . . . . 173.7 Diagrama de Campbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Modelo de eixo [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Graus de liberdade em um nó [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Editor de Propriedades de Tabelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Seleção do material através de um Pop-up Menu. . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Visão geral do LAVIRot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1 Análises realizadas pelo ARMD [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Movimento transiente de um Turbocharger [16]. . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Gráfico da amplitude versus tempo para o Rotor de Jeffcot. . . . . . . . . 335.4 Órbita do Rotor de Jeffcot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.5 Resposta dinâmica do rotor com efeito giroscópico. . . . . . . . . . . . . . 355.6 Diagrama de Campbell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.7 Desenho do eixo escalonado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.8 Diagrama de Campbell para a situação sem selo. . . . . . . . . . . . . . . . 385.9 Diagrama de Campbell para a situação com o selo 1. . . . . . . . . . . . . 385.10 Diagrama de Campbell para a situação com o selo 2. . . . . . . . . . . . . 395.11 Diagrama de Campbell para a situação com o selo 3. . . . . . . . . . . . . 395.12 Gráfico de Bode para a situação sem selo e para os 3 selos. . . . . . . . . . 405.13 Gráfico de Bode para o teste 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.14 Diagramas de Campbell para o teste 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.15 Diagramas de Campbell para a situação com diferentes materiais. . . . . . 445.16 Gráfico de Bode para a situação com materiais diferentes. . . . . . . . . . . 45

xiii

5.17 Diagramas de Campbell para o caso de geometrias diferentes. . . . . . . . . 465.18 Gráfico de Bode para o caso de geometrias diferentes. . . . . . . . . . . . . 47

A.1 Elemento de eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

xiv

Lista de Tabelas

1.1 Consumo de energia por tipo de fonte, em 2011 [2]. . . . . . . . . . . . . . 2

4.1 Unidades dos parâmetros de entrada do LAVIRot. . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1 Parâmetros utilizados para análise do rotor de Jeffcot. . . . . . . . . . . . . 335.2 Parâmetros utilizados para análise do rotor com Efeito Giroscópico. . . . . 345.3 Propriedades dos discos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Parâmetros para 3 situações dos selos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Parâmetros para o selo com maior rigidez acoplada. . . . . . . . . . . . . . 415.6 Propriedades do aço e alumínio [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

xv

Capítulo 1

Introdução

1.1 Considerações IniciaisNo contexto tecnológico atual, constata-se a necessidade de haver fontes de ener-

gia que possam atender às necessidades energéticas dos diversos setores da economia,dos países e governos, e da população em comum. Se considerarmos o desenvolvimentotecnológico dos últimos anos, a evolução da produção e do consumo de bens e servi-ços, juntamente com o crescimento populacional, concluiremos que tais fatores justificamum aumento da demanda de energia. De acordo com a Administração de Informaçãode Energia dos Estados Unidos [1], a demanda de energia não só aumentou nos últimosanos, como tenderá a aumentar até o ano de 2040, considerando a tendência atual decrescimento mundial e de variação de preços do óleo cru, como observamos na figura 1.1.

Figura 1.1: Demanda Energética Mundial, em milhões de barris por dia[1].

Quando consideramos o cenário de aumento de consumo de energia, conforme mos-trado na figura 1.1, será importante identificar quais fontes de energia temos disponíveise qual a sua parcela de participação na matriz energética mundial. No ano de 2011, opetróleo respondia por cerca de 33 por cento da matriz energética mundial [2], sendo afonte energética mais utilizada em todo o mundo, como vemos na tabela 1.1.

1

Tabela 1.1: Consumo de energia por tipo de fonte, em 2011 [2].Fonte de Energia Porcentagem

Petróleo 33Gás Natural 24

Carvão 30Energia Nuclear 5Hidroeletricidade 6

Renováveis 2

No contexto brasileiro, derivados de petróleo respondem por 44,4 por cento de todoconsumo de energia final, sendo assim, o maior índice apresentado, seguido pela energiaelétrica, que apresenta 17,1 por cento do consumo [3]. Sendo o consumo de petróleo e seusderivados muito importante e essencial para a matriz energética mundial e brasileira, é desuma importância que haja uma produção que atenda a esta demanda, seja pelo desen-volvimento de tecnologias que permitam uma maior e melhor exploração do petróleo emcampos de exploração já conhecidos, ou pela descoberta de novos campos de exploração.

Neste contexto, mostram-se de vital importância o desenvolvimento e o aprimora-mento de tecnologias que possam acompanhar a crescente demanda de energia citadaanteriormente. Máquinas rotativas como os compressores são utilizadas extensamente nocampo de óleo e gás. Por isso há a importância de buscar entender e prever o com-portamento destes equipamentos e seus componentes sob as mais diversas condições deoperação.

1.2 ObjetivosNeste trabalho buscamos entender e analisar a influência de um selo do tipo labirinto

na dinâmica de um rotor. Especificamente, pretendemos prever o comportamento deum sistema a partir dos valores dos coeficientes de rigidez e amortecimento que estãoassociados à presença do selo no sistema.

Para a análise da dinâmica de rotores, existem no mercado softwares que oferecemvários tipos de respostas (detalhadas no capítulo 5). Neste trabalho, buscamos tambémimplementar algumas das respostas oferecidas por estes softwares e testar nos modelospropostos para estudo.

1.3 JustificativaA motivação deste trabalho parte do projeto realizado em conjunto pelo Laboratório

de Acústica e Vibrações da COPPE e da Petrobrás. Neste projeto, está sendo estudadaa implantação de uma bancada de testes, onde se deseja obter resultados experimentaisque possam ser previstos e mensurados por modelos em computador.

1.4 MetodologiaPara alcançar o objetivo previamente mencionado, será utilizado num primeiro mo-

mento modelos simples que possam representar com alguma exatidão os casos mais com-

2

plexos. Isto foi feito para que se possa entender as respostas obtidas para os modelos maissimples, e ganhar confiança com os softwares e análises dos resultados obtidos para ummelhor aproveitamento quando for o momento de tratar casos mais complicados. Para osmodelos simples, usaremos o Matlab a fim de obter as respostas desejadas.

Num segundo momento, o trabalho tratará casos mais complexos, e então utiliza-remos um modelo cujas equações diferenciais parciais serão discretizadas por um métodode elementos finitos, que buscará obter resultados que se aproximem e representem arealidade com mais exatidão. O Matlab também será usado nesse momento, onde seráimplementado o modelo em elementos finitos e onde obteremos as respostas desejadas.

Neste trabalho, será de grande importância a utilização das interfaces gráficas, asquais foram criadas com o propósito de acelerar e otimizar a interação do usuário com osprogramas criados, aumentando a interatividade pelo fato de não ser necessário ao usuáriomodificar o código do programa. Qualquer alteração nos parâmetros necessários para aanálise será feita numa janela interativa, onde os dados de entrada serão identificados,armazenados e tratados pelo Matlab.

1.5 Organização do TrabalhoEste trabalho foi organizado com o propósito de apresentar uma sequência lógica

para que houvesse o correto entendimento das atividades realizadas durante o projetoe também dos conceitos apresentados. No capítulo 1 são feitas considerações prelimi-nares sobre a demanda de energia e como as máquinas rotativas estão inseridas nestecontexto. No capítulo 2 são apresentados conceitos básicos sobre compressores e sobre ocomponente que é alvo deste estudo, o selo tipo labirinto. No capítulo 3 são apresentadosalguns modelos mais simples para rotores, e também as interfaces gráficas para facilitara manipulação das variáveis que regem estes modelos. Também são explicados como sãoobtidos os resultados gráficos. Posteriormente, vemos no capítulo 4 a apresentação domodelo em elementos finitos, onde entendemos o funcionamento do programa e como foicriada a interface gráfica para este modelo. Finalmente, no capítulo 5 é feita a análise dosresultados gerados a partir das condições dadas. Nos apêndices temos informações quevisam complementar o entendimento geral do trabalho, assim como desenhos e códigosde programação.

3

Capítulo 2

Conceitos Básicos sobre Compressores eSelos Labirintos

2.1 CompressoresCompressor é um dispositivo classificado como máquina de fluxo, pois seu funcio-

namento se dá pela existência de um fluxo de fluido em seu interior. No caso específicodas máquinas de fluxo caracterizadas como compressores, o fluido de trabalho será umasubstância no estado gasoso, como por exemplo o ar. Sua função é pressurizar ou fornecerenergia na forma de pressão à um fluido de trabalho, de modo que este, com sua pressãoelevada em relação ao seu estado inicial, possa então desempenhar alguma função prática.Dentre tais aplicações podemos citar:

• fornecimento de ar para combustão ou para sistemas de refrigeração;

• fornecimento de ar pressurizado para máquinas pneumáticas;

• transporte de fluidos de processo por tubulações, dentre outras.

A maneira como ocorre o aumento de pressão no fluido de trabalho é a primeiracaracterística a ser analisada para classifiação dos tipos de compressores. Dependendodo tipo de compressor, suas caracterísitcas de operação como pressão fornecida e vazão,assim como seus componentes mecânicos, serão diferentes. Os compressores são divididosem compressores de deslocamento positivo e compressores dinâmicos.

O aumento de pressão nos compressores de deslocamento positivo ocorre pelo movi-mento de um elemento mecânico, como por exemplo um pistão. Este elemento mecânicofaz com que o fluido seja confinado em um espaço restrito para que ocorra o aumento dapressão. Este tipo de compressor é capaz de fornecer alta energia de pressão para o fluido.Em contrapartida,o fluxo fornecido é intermitente, e assim a vazão é menor se comparadaà vazão que os compressores dinâmicos são capazes de fornecer.

No caso dos compressores dinâmicos, a energia de pressão é obtida através da con-versão da energia cinética fornecida ao fluido pelo impelidor em energia de pressão, atravésdo aumento da área ocupada pelo fluido nas pás do impelidor e também em elementosestacionários, como a voluta ou difusor. Por ser capaz de proporcionar um fluxo contínuode fluido, esse tipo de compressor fornece altas vazões. No entanto, a pressão fornecidaao fluido é menor se comparada à pressão que pode ser obtida utilizando um compressorde deslocamento positivo.

4

Segundo Boyce [4], os compressores de deslocamento positivo eram os mais usadosna indústria até meados da década de 1960. A partir daí, os compressores centrífu-gos (que são um tipo de compressores dinâmicos, assim como os compressores axiais) setornaram populares devido à sua maior eficiência e ao custo de manutenção ser consi-deravelmente menor. Além disso, o compressor centrífugo é extensivamente utilizado naindústria offshore devido ao seu tamanho compacto e menor peso.

O compressor centrífugo é um compressor em que o fluxo de fluido é contínuo, e nãointermitente, o que o caracteriza como um compressor dinâmico.

Este tipo de compressor recebe o nome "centrífugo"devido à direção do movimentoque o fluido apresenta no interior do compressor, e "radial"por ser este o sentido no qual ofluido se movimenta, ou seja, perpendicular ao eixo do compressor. Na figura 2.1 podemosver um esquema do fluxo do fluido neste tipo de compressor. O compressor centrífugo écaracterizado como uma turbomáquina, por pertencer ao grupo de máquinas que opera aaltas velocidades de rotação e apresentar características de fluxo permanente.

Figura 2.1: Esquema de um compressor centrífugo [5].

2.2 Selo LabirintoSelo é um componente mecânico presente em turbomáquinas, como por exemplo

o compressor centrífugo, que desempenha a função de reduzir o vazamento interno e/ouexterno do fluido de processo, assim como melhorar a eficiência da máquina. Sua utilizaçãoé indispensável nas aplicações atuais, pois previne o vazamento de fluidos tóxicos ouinflamáveis que não podem entrar em contato com o meio ambiente.

Os selos do tipo labirinto são dispositivos de selagem sem contato. São formados poruma série de dentes e cavidades que controlam o fluxo de fluido, causando uma passagem"tortuosa"para o fluido, como mostrado na figura 2.2. Este tipo de selo permite o controleda folga entre superfícies estáticas e dinâmicas, causando assim uma grande perda de cargaentre os estágios a fim de minimizar o vazamento interno ou externo em uma máquinarotativa.

5

Figura 2.2: Selo labirinto [6].

Este selo é largamente usado em vários tipos de máquinas rotativas, como com-pressores, bombas e turbinas. Segundo Vance [7], isto é devido à sua simplicidade defuncionamento e à facilidade de fabricação deste componente.

É possível classificar o selo labirinto de acordo com a configuração de seus dentes.De acordo com a referência [8], existem três tipos de selos labirintos: retos (figura 2.3),cônicos (figura 2.4) e escalonados (figura 2.5).

Figura 2.3: Tipos de selo labirinto [9].

6

Figura 2.4: Tipos de selo labirinto [9].

Figura 2.5: Tipos de selo labirinto [9].

Uma aplicação prática deste selo é a selagem de um compressor centrífugo multi-estágios, como esquematizado na figura 2.6. O selo é localizado em algumas regiões no

7

compressor, como por exemplo: No olho do impelidor (Eye Seal), no diafragma (Diaph-ragm Seal) e no tambor de balanceamento (Balance Drum).

Figura 2.6: Foto esquemática mostrando aplicações do selo labirinto [10].

Os selos exercem forças no eixo que são modeladas da seguinte forma:

Fselo =

[M 00 M

]q +

[C c−c C

]q +

[K k−k K

]q, (2.1)

ondeq = (y, z), (2.2)

sendo y e z os deslocamentos transversais. M é a massa do selo; C é o coeficiente deamortecimento e c o coeficiente de amortecimento cruzado; K é o coeficiente de rigidez ek o coeficiente de rigidez acoplada. Neste trabalho, será adotado que:

M = c = 0 (2.3)

No capítulo 4 veremos como tais coeficientes são usados e como influenciam na dinâmicado rotor.

8

Capítulo 3

Modelos Simples

Rotodinâmica pode ser entendida como a dinâmica de máquinas rotativas, ou rotores.Esses sistemas são compostos por um eixo rotativo, que pode ser rigído ou flexível, que éapoiado em apoios chamados de mancais. Estes também podem ser considerados rígidosou flexíveis. Esta classificação, rígido ou flexível, denota a possibilidade do movimentodo componente. Discos, ou massas concentradas, também são utilizados nos modelosrotodinâmicos.O modelo massa mola é frequentemente utilizado para modelar o comportamento dosrotores, onde aos componentes, eixo e/ou mancal, são associadas constantes de rigidez.Os efeitos de amortecimento também podem ser considerados, através dos coeficientes derigidez.

3.1 Rotor de JeffcotO Rotor de Jeffcot foi inicialmente proposto por August Föppl (Alemanha) em

1895 e Henry Homan Jeffcott (Reino Unido) em 1919 [11]. É um modelo para análiseda dinâmica de máquinas rotativas e pode ser entendido como um sistema rotor/mancalque é frequentemente utilizado para representar sistemas rotodinâmicos complicados nomundo real.

Este modelo consiste de um eixo flexível, com massa desprezível, apoiado sobreum apoio simples (mancal rígido) que suporta uma massa, representada por um discorígido que se encontra acoplada no centro axial do eixo. O centro geométrico C do disco élocalizado pelo ponto (uxC , uyC) que se encontra nos eixos coordenados com relação à linhade centro do mancal, e o centro de massa G do disco é localizado pelo ponto (uxG, uyG),como se veem nas figuras 3.1 e 3.2.

9

Figura 3.1: Visão em 3D do Rotor de Jeffcot [11].

Figura 3.2: Visão em 2D do disco no Rotor de Jeffcot [11].

O fato de o centro geométrico do disco não coincidir com o centro de massa é devidoà presença de uma massa desbalanceadora do disco. Existe um vetor eu que liga o centrogeométrico do disco com seu centro de massa. A velocidade angular do sistema eixo/discoé dado por ω. Sem perda de generalidade, podemos considerar que o vetor eu é paraleloao eixo x quando t = 0. Notamos na figura 3.2 que uC é o vetor deslocamento com ângulode fase θ que relaciona o ponto C à origem e φ o ângulo entre os vetores uC e eU .

Considerando que o disco não causa influência na rigidez do eixo, a rigidez de defle-xão no centro de uma viga uniforme biapoiada é dada por:

ks =48EI

L3(3.1)

10

onde E é o módulo de elasticidade da viga, L o comprimento do eixo e I o momento deinércia de área do eixo. Para o caso de um eixo cilíndrico com diâmetro D, o momentode inércia é dado por:

I =πD4

64(3.2)

Para que façamos o desenvolvimento analítico para a dinâmica do rotor de Jeffcot,usaremos as leis do movimento de Newton aplicadas ao disco. Como consideramos o eixotendo sua massa desprezível, as forças atuantes no disco serão a força devido à inércia,a força devido à rigidez e a força devido ao amortecimento provenientes da deflexão doeixo. As equações do movimento em x e y, de acordo com a figura 3.2, serão dadas pelasequações 3.3 e 3.4,

muxG = −ksuxC − csuxC (3.3)

muyG = −ksuyC − csuyC (3.4)

onde (uxG, uyG) e (uxC , uyC) são as coordenadas do centro de massa e do centro geométricodo disco, respectivamente. Podemos reescrever as coordenadas do centro de massa do discoa partir do centro geométrico e da posição angular do eixo ωt no tempo t, obtendo assimas seguintes equações:

uxG = uxC + eu cosωt (3.5)

uyG = uyC + eu sinωt (3.6)

Substituindo as coordenadas do centro de massa do disco obtidas nas equações 3.5e 3.6 nas equações 3.3 e 3.4, obtemos as equações de movimento do rotor de Jeffcot emrelação ao seu centro geométrico.

muxC + ksuxC + csuxC = meuω2cosωt (3.7)

muyC + ksuyC + csuyC = meuω2sinωt (3.8)

3.2 Rotor com Efeito GiroscópicoAssim como no caso do modelo para o rotor de Jeffcot, usaremos um modelo que

admite um eixo flexível apoiado em dois mancais rígidos, A e B. No entanto, neste modeloo centro geométrico Q coincide com o centro de massa. Desta maneira, não temos odesbalanceamento que se apresenta no rotor de Jeffcot, e não há deslocamento do centrode massa, estando alinhado com os mancais. Na figura 3.3 vemos uma representação paraeste modelo. Adotamos uma base inercial a1, a2, a3 e 3 bases móveis.

11

Figura 3.3: Representação do modelo com efeito giroscópico.

A base móvel b1,b2,b3 admite um giro α em torno de a2. A base móvel c1, c2, c3admite um giro β em torno de b3. E a base móvel d1,d2,d3 admite um giro ψ em tornode c1, que é a rotação própria do disco. Durante o desenvolvimento do modelo, faremosalgumas simplificações. Partimos da premissa de que os valores de α e β são pequenos eque a velocidade de rotação própria do disco é constante. Assim, teremos:

• A velocidade de rotação do disco é constante, isto é, ψ = 0;

• Os valores de cosα e cos β serão aproximados para 1;

• Os valores de sinα e sin β serão aproximados para α e β respectivamente;

• Os valores de α.α, β.β e α.β serão aproximados para 0.

.

3.2.1 Cinemática

Considerando as bases previamente adotadas, escrevemos o vetor velocidade angularω:

ω = αb2 + βc3 + ψc1 . (3.9)

A fim de escrever o vetor velocidade angular em uma mesma base, usaremos a matrizde transformação [BTC ], que passa as componentes da velocidade na base b1,b2,b3 paraa base c1, c2, c3. Dessa maneira, teremos o vetor velocidade angular descrito somentena base c1, c2, c3, de maneira que:

cω = [BTC ]bω, (3.10)

sendo que o subscrito designa a base em que está referenciado o vetor. A matriz detransformação é dada por:

[BTC ] =

cos β − sin β 0sin β cos β 0

0 0 1

(3.11)

12

Após a mudança de base, o vetor ω fica:

ω = (α sin β + ψ)c1 + α cos βc2 + βc3. (3.12)

Derivando o vetor velocidade angular, obtemos o vetor aceleração angular, que é dadopor:

ω = (α sin β + αβ cos β)c1 + (α cos β − αβ sin β)c2 + βc3 (3.13)

3.2.2 Aplicação da Lei de Euler

Utilizaremos as equações de Euler do movimento para obter os momentos atuantesno disco. No caso que tratamos, a velocidade angular do sistema Ω é diferente da veloci-dade angular do corpo ω, e o corpo é axissimétrico. O símbolo Ixx representa o momentode inércia principal do corpo, sendo o subscrito a representação de qual eixo se trata,neste exemplo x. As equações são dadas por:

Mx = Ixxωx + IzzωzΩy − IyyωyΩz (3.14)My = Iyyωy + IxxωxΩz − IzzωzΩx (3.15)Mz = Izzωz + IyyωyΩx − IxxωxΩy (3.16)

Aplicando as equações anteriores ao modelo em questão, obtemos:

Mx =1

2mr2(α sin β + αβ cos β) (3.17)

My =1

4mr2(α cos β − αβ sin β) +

1

2mr2(α sin β + ψ)β − 1

4mr2βψ (3.18)

Mz =1

4mr2β +

1

4mr2α2 sin β cos β − 1

2mr2(α sin β + ψ)α cos β (3.19)

Admitimos que os momentos resistivos são proporcionais aos ângulos α e β, comconstante de mola torcional Kt e proporcionais às velocidades α e β com constante deamortecimento C. Assim, obtemos o momento aplicado ao disco:

M = (−Cα−Ktα)b2 + (−Cβ +Ktβ)c3 (3.20)

Utilizando a matriz de transformação, obtemos:

M = (−Cα sin β −Ktα sin β)c1 + (−Cα cos β −Ktα cos β)c2 −Ktβc3 (3.21)

Finalmente, igualando-se as componentes da equação 3.21 às equações 3.17 até 3.19e realizando as simplificações citadas anteriormente, obtemos as equações diferenciais querepresentam o movimento do disco considerando os seus ângulos de rotação.

−Ktα = Iα− 2Iβω + Cα (3.22)

−Ktβ = Iβ − 2Iαω + Cβ (3.23)

13

3.3 Criação e utilização de Interfaces GráficasForam utilizadas durante o andamento do projeto interfaces gráficas (ou GUI, sigla

em inglês para Graphical User Interface) a fim de se obter os resultados dos cálculosmais rapidamente. Essas interfaces foram criadas no ambiente do software Matlab, oque permitiu a obtenção de resultados e gráficos de maneira muito simples. A grandevantagem está no fato de o usuário não precisar alterar os valores dos parâmetros naslinhas de código do programa escrito no Matlab quando desejar obter diferentes curvas eresultados, sendo necessária apenas a interação com uma janela onde o usuário entra comos valores nas caixas de texto editáveis e faz o programa rodar utilizando um botão. Afigura 3.4 mostra uma das interfaces gráficas utilizadas.

Figura 3.4: Interface Gráfica para o Rotor de Jeffcot.

A interface utilizada na figura 3.4 teve por objetivo representar o comportamentodo rotor de Jeffcot de acordo com os parâmetros inseridos pelo usuário. Ao clicar em"Calcular", o programa gera duas curvas, a primeira curva mostrando a amplitude daposição do centro de massa do disco em função do tempo (figura 5.3) e a segunda curva(figura 5.4) mostrando a órbita do sistema. Estas curvas apresentadas correspondem aosparâmetros mostrados na figura 3.4. Este recurso foi utilizado tanto para os modelossimples, considerados no capítulo 3, como para o modelo baseado na solução pelo métodode elementos finitos, detalhado no capítulo 4.

14

O próprio Matlab disponibiliza um assistente que facilita a criação da interface de-sejada, onde o usuário pode definir o tamanho da janela na qual será contida a interfacegráfica e onde estão disponíveis diversas ferramentas que podem estar presentes na inter-face desejada.

Para acessar o assistente, basta que o usuário digite o comando guide na janela decomando e o assistente se abrirá. Num primeiro momento, o usuário tem a opção de abrirum projeto já existente para edição, abrir modelos pré-definidos pelo software ou criaruma interface a partir do zero. Se a última opção for a escolhida, o assistente exibirá ajanela que é mostrada na figura 3.5. Para cada entidade criada no ambiente de criação daGUI, é definida uma identificação (tag) que está associada à entidade, de tal modo quepara referir-se à entidade em questão deve-se utilizar a tag.

Figura 3.5: Assistente para criação de Interfaces Gráficas.

Durante a criação das interfaces utilizadas no presente trabalho, as seguintes ferra-mentas foram utilizadas:

• Caixa de texto estática;

• Caixa de texto editável;

• Checkboxes ;

• Botões.

As caixas de texto estáticas foram utilizadas como recurso gráfico, nos formatos detítulo dos aplicativos e textos de rodapé. Foram utilizadas também para orientar o usuário

15

quanto à localização correta dos campos onde se deseja alterar os valores correspondentes,além de informar as unidades utilizadas para cálculo. Para edição dos atributos dessaferramenta (como fonte, cor, tamanho, texto, etc...) é necessário acessar o inspetor dosobjetos na janela de criação da interface gráfica dando um duplo clique no objeto, abrindo-se assim uma nova janela onde o usuário pode alterar estes e outros atributos.

Uma caixa de texto editável é um recurso que permite ao usuário a edição de strings.No código que gerou as caixas de textos editáveis, foi escrita uma sequência de coman-dos que resulta na manipulação dessa string, sua posterior conversão em um número e,finalmente, a associação deste valor numérico à uma variável do ambiente do software.

m=str2double(get(handles.m_edit,'String'));

Na linha de código escrita acima, identifcamos que a tag associada à caixa de textoeditável é medit, a qual manipulamos pelo comando handles, obtemos seu valor atravésdo comando get e convertemos para um número usando str2double. A variável m assume,então, este valor numérico. Neste exemplo, a variável m representa a massa do disco uti-lizado no modelo para o Rotor de Jeffcot, sendo utilizada posteriormente para os cálculosda dinâmica e órbita do sistema.

Uma Checkbox é um recurso gráfico muito útil. Seu funcionamento se dá a partirda decisão do usuário de ativá-la ou desativá-la, com um clique do mouse. Nas linhas decódigo, escrevemos o seguinte comando para identificar se a Checkbox está ativa, ou não:

x = get(handles.checkbox,'Value');

Caso ela esteja ativa, o parâmetro x assume o valor numérico "1". Se não, assume ovalor numérico "0. Desta maneira, controlamos seu uso a partir de um comando do tipo:

if x ==1,.........

Ou seja, se a Checkbox estiver ativa (x=1), o programa executará os próximos comandos.Um exemplo desta aplicação se encontra na figura 3.6. Neste exemplo, podemos obterdois tipos de resposta: a resposta dinâmica do sistema e o diagrama de Campbell. Fica acritério do usuário decidir se o programa obterá os dois resultados ou somente um deles.

16

Figura 3.6: Interface Gráfica para o modelo de rotor com efeito giroscópico.

3.4 Implementação dos modelosPara verificarmos o comportamento dos modelos, precisamos obter a resolução das

equações diferenciais. Para tal, foi feita a implementação de um código no Matlab. Foiutilizado o método de Runge-Kutta para a resolução numérica das equações diferenciaisatravés do comando ode45. Esse comando apresenta a seguinte sintaxe:

[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)

T é um vetor coluna que contém os pontos no tempo e Y é a matriz de solução.Cada linha de Y é a solução no tempo especificado pela linha corrrespondente em T.Precisamos fornecer também uma condição inicial, a equação a ser resolvida e o intervalode integração. Para solucionar o problema foi criada uma função auxiliar, onde escrevemosa equação diferencial.

3.4.1 Rotor de Jeffcot

Resposta Dinâmica

Para o caso de obter-se a resposta dinâmica e a órbita do Rotor de Jeffcot, precisamosde 4 condições iniciais (posições e velocidades em cada direção), além da velocidade derotação do eixo e das características do sistema (massa, constante de rigidez, constante deamortecimento e distância do desbalanceamento). Todas essas informações são obtidasatravés do usuário, que as digita na interface gráfica, conforme visto na figura 3.4. O

17

programa lê essas informações e as utiliza quando solicitado pelo usuário. Para forneceras condições iniciais, foi escrito o seguinte código:

global m c k u wm=str2double(get(handles.m_edit,'String'));k=str2double(get(handles.k_edit,'String'));c=str2double(get(handles.c_edit,'String'));u=str2double(get(handles.u_edit,'String'));%Condições Iniciaisx0=str2double(get(handles.x0_edit,'String'));vx0=str2double(get(handles.vx0_edit,'String'));y0=str2double(get(handles.y0_edit,'String'));vy0=str2double(get(handles.vy0_edit,'String'));%RotaçãoHz=10;w=Hz*2*pi;%Resoluçãotspan=0:.0001:20;[t,z] = ode45('sub_edoRotorJeffcott',tspan,[x0;y0;vx0;vy0]);x=z(:,1);y=z(:,2);v0x=z(:,3);v0y=z(:,4);

A função auxiliar, neste caso, foi escrita da seguinte maneira:

function dz=sub_edoRotorJeffcott(t,z)global m c k u w gdz=[z(3);

z(4);(-c*z(3)-k*z(1)+ m*w^2*u*cos(w*t))/m(-c*z(4)-k*z(2)+ m*w^2*u*sin(w*t))/m];

Na função auxiliar, escrevemos a seguinte matriz parametrizada:

z =

xyxy

=

z(3)z(4)

(−csz(3)− ksz(1) +mw2ucos(wt))/m(−csz(4)− ksz(2) +mw2usin(wt))/m

(3.24)

sendo z a seguinte matriz:

z =

xyxy

(3.25)

Desta maneira, obtemos a resposta da amplitude em cada direção em função dotempo, assim como a órbita. Mais detalhes serão tratados no capítulo 5. As figuras 5.3 e5.4 mostram esses resultados para as condições dadas na figura 3.4.

18

3.4.2 Rotor com Efeito Giroscópico

Resposta Dinâmica

A implementação do modelo de rotor com efeito giroscópico se assemelha bastanteao caso do modelo do Rotor de Jeffcot. As condições iniciais serão quatro (duas posiçõesangulares iniciais e duas velocidades angulares para cada direção), e o usuário poderáentrar com diversas informações como: características geométricas do eixo e do disco(raios e comprimentos), a rotação desejada e as características do sistema (rigidez e taxade amortecimento). A tomada de dados se dá pelo seguinte código:

%Entradas%Eixor=str2double(get(handles.r,'String'));L=str2double(get(handles.L,'String'));E=210000000000;If=pi*r^4/4;%DiscoR=str2double(get(handles.R,'String'));m=str2double(get(handles.m,'String'));I=m*(R^2)/4;%Constantesk=str2double(get(handles.k,'String'));ksi=str2double(get(handles.Ksi,'String'));w=str2double(get(handles.rot,'String'));m=str2double(get(handles.m,'String'));wn=sqrt(k/I);ccrit=2*wn*I;c=ksi*ccrit;%Matrizes%M matriz de inérciaM=[I 0;

0 I];%KSI matriz de amortecimentoC=[c 0;

0 c];%K matriz de rigidezK=[k 0;

0 k];%G matriz giroscópicaG=[0 -2*I*w;

2*I*w 0];%Matriz ALPHAA=[zeros(2,2) eye(2,2)

-inv(M)*K -inv(M)*(C+G)];%Condições Iniciaisalpha=str2double(get(handles.alpha,'String'));walpha=str2double(get(handles.walpha,'String'));beta=str2double(get(handles.beta,'String'));wbeta=str2double(get(handles.wbeta,'String'));

A função auxiliar utilizada foi:

function dz=sub_rotorgiroscopico(t,z)

19

global I c k wdz=[z(3)

z(4)(-k*z(1)-c*z(3)+2*I*w*z(3))/I(-k*z(2)-c*z(4)+2*I*w*z(4))/I];

De maneira bem similar ao caso anterior, na função auxiliar escrevemos a seguinte matrizparametrizada:

z =

α

βα

β

=

z(3)z(4)

(−Ktz(1)− Cz(3) + 2Iwz(3))/I(−Ktz(1)− Cz(3) + 2Iwz(3))/I

(3.26)

sendo z a seguinte matriz:

z =

αβα

β

(3.27)

Neste caso, era de interesse obter a resposta dinâmica e também o diagrama deCampbell. Esse código representa no Matlab a resolução de equações diferenciais parciais.

Diagrama de Campbell

A frequência de oscilação varia com a velocidade do rotor Ω, e tal variação é mostradapelo diagrama de Campbell [13]. Reescrevendo a equação do sistema, temos:[

M 00 M

] [uu

]+

[0 −MK C +G(Ω)

] [uu

]=

[00

](3.28)

ondeu =

[αβ

]. (3.29)

Se assumirmos que

y =

[uu

], (3.30)

entãoy = [A]y, (3.31)

e[A(Ω)] =

[0 I

M−1[K] [M−1][C +G(Ω)]

]. (3.32)

Propondo uma solução do tipo: y = ψeλt, obtém-se o seguinte problema de autova-lores:

λψeλt = [A]ψeλt −→ ([A]− λ[I])ψ = 0, (3.33)

onde ψ representa os modos complexos do sistema e λ = σ± iωd(Ω). Assim, para cada Ω,a frequência de oscilação ωd será diferente. A parte real, denotada por σ, é relacionadaao fator de amortecimento, e, para que o sistema seja estável, deverá ser negativa. Vemosna figura 3.7 um exemplo do diagrama de Campbell.

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Speed of rotation Ω (RPM)0 50 100 150 200 250 300

Osc

illat

ion

freq

uenc

ies

(RP

M)

0

100

200

300

400

500

600

700

bending zbending y

ωn=Ω

Figura 3.7: Diagrama de Campbell

No ponto em que a curva de frequência intercepta a velocidade nominal do equipa-mento (Ω = Ω), temos um ponto onde a velocidade é crítica, como mostrado pelo círculoem destaque na figura 3.7. A seguir, temos o excerto do código onde calculamos e geramosa curva do diagrama de Campbell, que gerou a figura 3.7.

isdiagramcamp = get(handles.diagramcamp,'Value');if isdiagramcamp==1

l_RPM = linspace(0,10000,50);tops=length(l_RPM);Omega=zeros(2,tops);countRPM=1; %contador aux p/traçar Campbellwhile countRPM <= tops

RPM=l_RPM(countRPM);omega=RPM/(60*2*pi); % velocidade de rotaçao do eixo rad/sG=[0 -2*I*omega;

2*I*omega 0];A=[zeros(2,2) eye(2,2)

-inv(M)*K -inv(M)*(C+G)];lambda=eig(A);Neu_imag = sort(abs(imag(lambda)));Omega(:,countRPM) = [Neu_imag(1); Neu_imag(3)];omega2(countRPM)=omega;countRPM=countRPM+1;

endomega=omega2/2/pi*60;

nfreq=2;figureplot(omega,Omega(1:nfreq,:)/2/pi*60,omega,omega,'black--');xlabel('Speed of rotation \Omega (RPM)','fontsize',16)ylabel('Oscillation frequencies (RPM)','fontsize',16)legend('torsional','axial','bending z','bending y',

'bending z','bending y','\Omega=\Omega',2)

21

Capítulo 4

Modelo em Elementos Finitos

4.1 Considerações IniciaisNeste capítulo trataremos de um modelo que usa como estratégia a solução de equa-

ções diferenciais pelo método de elementos finitos. Tal método é utilizado para discreti-zar um sistema rotor-mancal seguindo o modelo de viga de Euler-Bernoulli. No presentetrabalho, foi utilizada a metodologia proposta por RITTO e SAMPAIO, conforme espe-cificado na referência [13]. Para melhor compreensão do modelo, consultar o apêndice A.De uma maneira resumida, o programa foi desenvolvido para aplicações no campo de ro-todinâmica. São levados em conta a inércia, rigidez, amortecimento viscoso, movimentoslaterais e também a rotação, acoplamento giroscópico, inércia de rotação e mancais nadireção radial.

Dentre as principais características do programas, podemos destacar:

• Matrizes de elementos finitos: massa, rigidez, amortecimento, inércia de rotação egiroscópica;

• Cada segmento do eixo pode apresentar diferentes características geométricas e dematerial;

• Um disco desbalanceado pode ser adicionado ao conjunto em um ponto (ou nó).Se ele apresentar um momento de inércia significativo, poderá apresentar efeitos deacoplamento;

• Realiza análise modal (frequências naturais e modos normais);

• Plotagem do Diagrama de Campbell (velocidades críticas);

• Apresenta a resposta dinâmica do sistema;

• Transformada Rápida de Fourier (resposta do sistema no domínio da frequência).

Para o desenvolvimento deste programa, algumas limitações foram adotadas:

• Somente o estado permanente está implementado. Isto é, a velocidade de rotaçãoΩ é constante;

• Cada elemento de eixo deve ter seção transversal constante. Elementos cônicos nãoestão implementados;

22

• Os coeficientes de rigidez e amortecimento dos mancais são considerados constantes,não variam com o tempo;

• São considerados apenas pequenas rotações e pequenos deslocamentos.

O programa, que foi desenvolvido no Matlab, é formado por um arquivo principal quechama outras sub-rotinas. Detalhes podem ser vistos em [13].

4.1.1 Modelo esquemático

Na figura 4.1, temos um modelo de um sistema rotodinâmico a ser analisado peloprograma.

Figura 4.1: Modelo de eixo [13].

No caso em questão, temos seis regiões diferentes (representadas pelos númerosentre círculos), o que implica na existência de 7 pontos (ou nós), representados pelosnúmeros na parte de cima da figura. É interessante notar que as regiões do eixo podemapresentar comprimentos e diâmetros diferentes, assim como podem ser de materiais compropriedades diferentes. Além disso, estão indicados por setas elementos que podem estarlocalizados nos nós apontados. Podemos ter mancais (bearings), discos (discs) e forçasconcentradas localizados em tais pontos.

4.1.2 Entrada de dados

A fim de simular um caso, o usuário deve realizar a entrada de dados nas linhasde código do programa. O usuário deve ter em mente quantas regiões serão geradas,e consequentemente a quantidade de nós. O número de nós será igual ao número deregiões acrescido de uma unidade, como pode ser comprovado na figura 4.1. Após definiro número de regiões, o usuário deve entrar com os dados de entrada necessários. Os dadossão os seguintes:

23

Propriedades do Material

O usuário deve gerar listas de dados sobre as propriedades dos materiais de cadaregião. Numa situação hipotética de N regiões, as entradas dos dados deveriam ser feitasda maneira a seguir.

• Módulo de elasticidade lE = [E1 E2 . . . EN ].

• Massa Específica lρ = [ρ1 ρ2 . . . ρN ].

Geometria

Seguindo a mesma lógica, o usuário deve especificar o comprimento de cada região,assim como o diâmetro de cada uma das regiões nas quais o eixo foi dividido.

• Comprimento lL = [L1 L2 . . . LN ].

• Diâmetro lD = [D1 D2 . . . DN ].

Dados dos Mancais/Selos

Conforme dito anteriormente nesta seção, os coeficientes de rigidez e amortecimentodos mancais são constantes e devem ser determinados pelo usuário através das listas deconstantes dos mancais.

• lMancal = [LM kyy kzz kyz kzy cyy czz cyz czy].

LM significa a localização do mancal, e deve ser descrita em relação a um nó. Por exemplo,na figura 4.1 há dois mancais, um no nó 2 e o outro no nó 6. Para este caso, LM1 = 2 eLM2 = 6. Os coeficientes de rigidez são representados por k, tendo os subscritos a funçãode designar a direção em que atua a rigidez. A mesma lógica vale para os coeficientes deamortecimento, representados por c. Para o caso de haver mais de um mancal, devem sercriadas novas linhas, e estas devem ser escritas nos mesmos moldes em que foi escrita alinha em lMancal. No caso de haver dois mancais, lMancal seria escrito:

lMancal =

[LM1 kyy1 kzz1 kyz1 kzy1 cyy1 czz1 cyz1 czy1LM2 kyy2 kzz2 kyz2 kzy2 cyy2 czz2 cyz2 czy2

]Discos

Discos podem ser adicionados em qualquer nó gerado no modelo. Para representarcorretamente o efeito de um disco acoplado no eixo, deve-se utilizar a lista lM .

• lM = [MD ID IP LD].

Na simbologia utilizada, MD representa a massa do disco, medida em quilogramas. ID é omomento de inércia de massa do disco em relação ao seu eixo axial. Sendo DD o diâmetrodo disco, o valor do momento de inércia é dado pela equação 4.1.

ID =MDD

2D

8(4.1)

24

IP é o momento polar de inércia do disco, e é calculado pela equação 4.2.

IP =MDD

2D

16(4.2)

O último termo da lista dos discos é LD. Este termo representa a localização do disco.Assim como foi feito para os mancais, tal localização se dá com referência aos nós geradosno modelo. Na figura 4.1, verificamos que há um disco no nó 4. Neste caso, LD = 5.

Forças externas

Forças externas podem ser adicionadas ao modelo. A lista de entradas de forçasexternas segue o seguinte modelo:

• lF = [Famp ωf phase dof LF ]

Antes de definir cada termo da lista de entrada de força é necessário atentar para ofato de que um disco desbalanceado causa um forçamento ao eixo devido ao seu desba-lanceamento. Tal desbalanceamento pode ser medido através da distância entre o centrode massa do disco em relação ao centro geométrico, como foi feito para o caso do Rotorde Jeffcot (seção 3.1), ou pelo grau de qualidade do balanceamento, representado por Gr.Famp representa a amplitude da força. No caso de haver um forçamento devido ao desba-lanceamento de um disco, podemos calcular Famp através da equação 4.3.

Famp = udesb × Ω2, (4.3)

onde Ω é a rotação do sistema e udesb será dado por:

udesb =GQB

1000× Ω(4.4)

O termo ωf representa a frequência da força aplicada. No caso de desbalanceamento,ωf = Ω. phase representa a fase da força aplicada. Lembrando que a força F é represen-tada por F = Famp cos (ωf t+ phase). Para entendermos o termo dof , que representa osgraus de liberdade nos quais a força atua, é interessante analisar a figura 4.2.

Figura 4.2: Graus de liberdade em um nó [13].

Para este caso, dof pode apresentar valor igual a 1 ou 3 (força lateral em y ou emz, respectivamente). Por último, LF é a localização em que a força está aplicada, e assim

25

como para o caso dos mancais e da massas concentradas, é referenciado a um nó. Deacordo com a figura 4.1, LF = 4, para o caso do disco desbalanceado.

Outro tipo de entrada que deve ser estabelecida pelo usuário é o efeito da gravidadesobre o eixo e sobre os discos, causando aparecimento de um peso próprio no eixo e o pesodos discos. Caso seja considerado o valor de g = 9, 81m/s2, basta que o usuário atribuagrav = 9, 81 no código.

4.2 Criação e Utilização de uma Interface Gráfica

4.2.1 Justificativa

A justificativa de ser criada uma interface gráfica para esta aplicação em elementosfinitos é a mesma para as aplicações simples mencionadas anteriormente, que é dar umamaior agilidade e rapidez nas simulações. Qualquer alteração que o usuário fizer será feitaem uma janela de fácil manipulação, evitando que o usuário tenha que editar o códigofonte da aplicação para alterar ou incluir informações.

Da mesma maneira que foi feita nos casos para o modelo do Rotor de Jeffcot eo modelo do Rotor com Efeito Giroscópico, a interface gráfica para esta aplicação foicriada através do Guide, aplicação do Matlab que auxilia na criação de interfaces gráficas.Consultar a seção 3.3 para mais informações a respeito do assistente.

Algumas simplificações foram feitas com relação à aplicação descrita na seção 4.1 afim de viabilizar este projeto final. Tais simplificações são listadas a seguir.

• O forçamento é devido somente ao desbalanceamento dos discos acoplados ao eixo,não havendo a possibilidade de existir uma força concentrada, que não seja causadapelo desbalanceamento, em algum nó do modelo.

• Os graus de liberdade axial e torcional não são contemplados neste trabalho. Sendoassim, cada elemento possui dois nós e quatro graus de liberdade por nó. Estemodelo está mostrado na figura A.1.

• A gravidade não é considerada neste trabalho.

4.2.2 Design da interface

A figura 4.5 mostra a interface criada para esta aplicação. A interface recebeu onome de LAVIRot, e significa Aplicação em Rotodinâmica do Laboratório de Acústicae Vibrações. Em relação às outras interfaces mostradas previamente neste trabalho, oLAVIRot apresenta alguns elementos que ainda não haviam sido utilizados, que serãodetalhados a seguir.

Tabelas

As tabelas são uma solução para a entrada de dados que o usuário deve realizar.Devido ao elevado número de informações a serem organizadas de maneira ordenada, astabelas são de grande serventia para esta aplicação. Outra vantagem é a possibilidade dehaver um dinamismo nos tamanhos da tabela. Isto quer dizer que elas podem apresentar

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tantas linhas quanto forem necessárias às entradas que o usuário quer fazer. Mais espe-cificamente, o número de linhas das tabelas varia com o número de regiões que o usuáriodeseja para o seu eixo. Para o caso dos dados do eixo, o número de linhas é igual aonúmero de regiões. Já para os dados dos mancais ou selos e para os discos, o número delinhas é igual ao número de regiões acrescido de uma unidade, de acordo com o modelomostrado na figura 4.1. O número de colunas é fixo, pois cada coluna representa umapropriedade ou característica geral que pode variar em cada linha.

Outra vantagem do uso das tabelas é a facilidade de armazenar as informações emum arquivo de dados para uso posterior. No LAVIRot está implementada a função dearmazenar os dados das tabelas em um arquivo de dados, que pode ser carregado numautilização futura.

Para a criação das tabelas e suas propriedades, foi utilizado o editor de propriedadesde tabelas, uma ferramenta disponível dentro do assistente Guide. Uma janela desse editorestá mostrada na figura 4.3. Nesse caso, está sendo feita a edição das colunas da tabelaque armazena os dados do eixo.

Figura 4.3: Editor de Propriedades de Tabelas.

Pop-up Menu

Esta ferramenta foi utilizada para a seleção do material do eixo. Foram criadas duasentradas: uma que carrega dados para o aço e outra para o alumínio. Na figura 4.4 épossível ver como esta ferramenta atua. Ao selecionar um dos materiais, a tabela com osdados do eixo é atualizada automaticamente.

27

Figura 4.4: Seleção do material através de um Pop-up Menu.

O design final do LAVIRot é mostrado na figura 4.5.

Figura 4.5: Visão geral do LAVIRot.

4.2.3 Utilização do LAVIRot

Para o caso em que o usuário vai iniciar uma nova entrada de dados, o primeiropasso é definir o número de regiões e o material desejado e clicar em OK. O programa

28

vai gerar automaticamente as linhas necessárias à configuração que o usuário desejar. Ataxa de amortecimento do sistema assim como a rotação máxima são pré-definidos peloprograma, mas o usuário pode alterar estes valores a qualquer momento. Posteriormente,o usuário deve preencher as tabelas de acordo com a configuração que desejar, observandoque as linhas numeradas representam regiões para os dados do eixo e nós para os dadosdos mancais ou selos e dos discos, e as colunas representam as propriedades indicadas.

Após o término do preenchimento das informações, é recomendado que o usuárioclique no botão "Armazenar Dados", para que sejam salvos os dados para uma posteriorreutilização ou alteração.

No caso de já haver um arquivo de dados gerado previamente nos moldes do LA-VIRot, o usuário deve clicar no botão "Carregar Dados", abrindo um assistente paralocalização do arquivo de dados. Automaticamente as variáveis A, B e C serão adiciona-das ao Workspace do Matlab. A é uma matriz com os dados do eixo; B uma matriz comdados dos mancais e dos selos; C é uma matriz com dados dos discos. Após isso o usuáriodeve clicar no botão "Aplicar Dados", fazendo com que os dados sejam atualizados noLAVIRot.

Unidades dos dados

Deve-se atentar para o fato de que as unidades dos dados inseridos no LAVIRot devemestar no Sistema Internacional para que o programa rode corretamente. As unidades estãorelacionadas com os parâmetros de acordo com a tabela 4.1.

Tabela 4.1: Unidades dos parâmetros de entrada do LAVIRot.Parâmetro Unidade

Módulo de Elasticidade PaMassa específica kg/m3

Comprimento da Região mDiâmetro da Região mConstantes de Rigidez N/m

Constantes de Amortecimento Ns/mMassa dos discos kg

Diâmetro dos discos mGrau de Qualidade do Balanceamento mm/s

Grau de Qualidade do Balanceamento

Este parâmetro é estabelecido pela norma "DIN ISO 1940/1: Balance Quality Re-quirements of Rotating Rigid Bodies"[14], que estabelece graus aceitáveis de qualidade debalanceamento G para vários tipos de rotores rígidos. Esse parâmetro se relaciona com avelocidade de rotação ω e o desbalanceamento u através da equação:

GQB = u× ω × 1000 (4.5)

Este parâmetro foi escolhido pelo fato de ser usado com frequência na indústria.

29

4.2.4 Aplicações Disponíveis

O LAVIRot é capaz de fornecer dois tipos de aplicações a partir das entradas dousuário. Uma é o diagrama de Campbell, conforme mencionado na sub-sessão 3.4.2.Outra é o diagrama de Bode, que mostra a amplitude do deslocamento em função dafrequência aplicada. O usuário tem a opção de escolher os dois resultados ou apenas umdos dois. Basta para isso selecionar o tipo de resultado obtido nas Checkboxes e depoisclicar no botão "OK".

30

Capítulo 5

Resultados e Análises

5.1 Tipos de ResultadosConforme citado na seção 1.2, foi feita uma pesquisa sobre os softwares de análise

rotodinâmica e os tipos de resposta que eles oferecem. De certa maneira, as respostasoferecidas por tais softwares serviram de inspiração para implementação neste trabalho.Os softwares pesquisados foram o ARMD e o Dyrobes, mas existem outros softwares quetambém realizam análise rotodinâmica (Rotorinsa, RMA, RITEC).Veremos as características principais do ARMD e do Dyrobes.

5.1.1 ARMD - Advanced Rotating Machinery Dynamics

Este software, da empresa americana RBTS Inc. que afirma ser a líder mundial deanálises de sistemas rotatórios [15], fornece diversos tipos de análises em seus variadosmódulos. Na figura 5.1, vemos um esquema das análises realizadas por este software, comdestaque para o módulo de análises rotodinâmicas com fundo laranja.

Figura 5.1: Análises realizadas pelo ARMD [15].

Dentre as análises realizadas, podemos destacar:

31

• Cálculo das frequências naturais e modos de vibração;

• Órbita do rotor;

• Cálculo da magnitude e da fase para resposta síncrona (Gráfico de Bode);

• Mapas de velocidades críticas (Diagrama de Campbell).

5.1.2 Dyrobes

Software da Eigen Technologies, Inc. também apresenta diversas funcionalidadesvoltadas ao estudo de rotodinâmica. Apresenta uma análise linear e não linear de vibra-ções livres e também com forçamento. O Dyrobes (Dynamics of Rotor Bearing Systems)apresenta uma grande lista de clientes [16], entre eles a NASA (Agência Espacial Ame-ricana), a Marinha dos Estados Unidos e o setor de aviação da GE (General Electric).Apresenta, em suma, as mesmas análises que o ARMD, com algumas funcionalidadesextras:

• Simulações animadas em 2-D e 3-D;

• Análise de performance de mancais e selos.

Podemos ver na figura 5.2 uma foto de uma animação em 3-D de uma simulação de umTurbocharger.

Figura 5.2: Movimento transiente de um Turbocharger [16].

5.2 Resultados dos Modelos Simples

5.2.1 Rotor de Jeffcot

A partir do modelo detalhado na seção 3.1 e da posterior implementação mostradana sub-seção 3.4.1, obtemos os resultados desejados. As condições de operação utilizadas

32

foram as que estão mostradas na tabela 5.1. Os resultados são mostrados nas figuras 5.3e 5.4.

Tabela 5.1: Parâmetros utilizados para análise do rotor de Jeffcot.Parâmetro Valor Unidade

Massa do disco 1 kgConstante de Rigidez 100 N/m

Constante de amortecimento 0.5 N.s/mDesbalanceamento do disco 0.05 m

Posição em x 0 mPosição em y 0 m

Velocidade em x 0 m/sVelocidade em y 0 m/s

time [s]0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ampl

itude

[m]

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

xy

Figura 5.3: Gráfico da amplitude versus tempo para o Rotor de Jeffcot.

Podemos perceber na figura 5.3 o comportamento do sistema, que tende a oscilar,a partir das condições iniciais dadas. E na figura 5.4 a seguir, observamos a órbita dorotor, isto é, como se comporta a posição do seu centro geométrico já próximo do regimepermanente.

33

x [m]-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

y[m

]

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Figura 5.4: Órbita do Rotor de Jeffcot.

5.2.2 Rotor com Efeito Giroscópico

De maneira análoga ao caso descrito na seção anterior, os resultados obtidos para omodelo de rotor com efeito giroscópico foram obtidos a partir das considerações sobre ascaracterísticas do modelo feitas na seção 3.2 e da implementação feita na seção 3.4.2.

Tabela 5.2: Parâmetros utilizados para análise do rotor com Efeito Giroscópico.Parâmetro Valor Unidade

Raio do Eixo 0.01 mComprimento do Eixo 1.0 m

Raio do Disco 0.2 mMassa do disco 1 kg

α 0.02 radβ 0.02 radα 0 rad/sβ 0 rad/s

Constante de Rigidez 100 N.m/radConstante de amortecimento 0.2 N.m.s/rad

Rotação 60 RPM

Obtemos, então, os resultados a seguir, que são mostrados nas figuras 5.5 e 5.6.

34

time [s]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ampl

itude

[rad

]

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

alphabeta

Figura 5.5: Resposta dinâmica do rotor com efeito giroscópico.

Speed of rotation Ω (RPM)0 50 100 150 200 250 300

Osc

illat

ion

freq

uenc

ies

(RP

M)

0

100

200

300

400

500

600

700

bending zbending y

ωn=Ω

Figura 5.6: Diagrama de Campbell.

Percebemos pela figura 5.5 que para os dados simulados, o sistema leva cerca de7 segundos para estabilizar-se. Nesse ponto, as amplitudes dos ângulos α e β variammuito pouco em torno do valor zero, o que sugere a estabilidade do sistema. Atravésdo diagrama de Campbell mostrado na figura 5.6, constatamos que, ao passar pelo valorde 172 RPM, o sistema passa por uma velocidade crítica. A operação neste ponto para

35

o sistema dado deve ser evitada, pois nesta faixa de operação ocorre ressonância, o quepode ser prejudicial para o sistema e componentes mecânicos.

5.3 Modelo em Elementos FinitosO LAVIRot será usado como principal ferramenta para gerar os resultados nestas

aplicações em elementos finitos. Nelas, podemos considerar casos com maior complexidadedo que os mostrados anteriormente. Poderemos acrescentar ao eixo discos, mancais e selos(modelados como mancais), nas posições que melhor representarem os casos que desejamosmodelar.

O principal objetivo deste trabalho é investigar a influência de um selo do tipolabirinto na dinâmica de um rotor. Para tanto, é necessário conhecer valores como asconstantes de rigidez e de amortecimento do selo. Estes dados foram retirados do tra-balho "Seal-rotordynamic-coefficient test results for a model SSME ATD-HPFTP turbineinterstage seal with and without a swirl brake" [17]. Estes valores foram obtidos atravésde testes para uma turbina interestágios, e variam com a pressão, rotação, velocidadecircunferencial de entrada e a taxa de pressão (pressão de descarga dividida pela pressãofornecida). No aparato montado para medir tais coeficientes, o selo rotativo é chacoalhadopor um dispositivo chamado hydraulic shaker, ou chacoalhador hidráulico. As componen-tes de das forças de reação no selo estático, devido ao movimento do selo, são medidas ecorrigidas, e o movimento relativo entre o selo

5.3.1 Comparação entre um rotor com selo e sem selo

Nesta análise desejamos visualizar a diferença do comportamento do sistema napresença de um selo do tipo labirinto com relação ao mesmo sistema sem o selo. Ageometria do eixo será dada pela figura 5.7, que é uma simplifcação do primeiro desenhodo apêndice B. O eixo será dividido em 7 regiões, num total de 8 nós. Os nós 1 e 8 serãoreservados aos mancais, que são considerados mancais rígidos e possuem o coeficiente derigidez direta [18] k = 17513000 N/m. Os discos terão suas localizações nos nós 3 e 6,o selo no nó 5. As propriedades dos discos são dadas na tabela 5.3. Será adotada umataxa de amortecimento (ζ) (consultar [20] para maior detalhamento) igual a 0.0025, e arotação máxima será 17000 RPM.

36

Figura 5.7: Desenho do eixo escalonado.

Tabela 5.3: Propriedades dos discos.Disco 1 2 UnidadeMassa 5.0 5.0 kg

Diâmetro 200 200 mmGQB 3 3 mm/s

Teste 1

A geometria para o eixo será a de eixo escalonado, com dois discos acoplados, queé a geometria que mais se aproxima da bancada de testes que está sendo desenvolvida.Foram selecionados 3 conjuntos de constantes para os selos, retirados de [17]. Na tabela5.4 vemos estes valores e os parâmetros.

Tabela 5.4: Parâmetros para 3 situações dos selos.Parâmetro Selo 1 Selo 2 Selo 3 Unidade

Rigidez direta 100000 280000 325000 N/mRigidez acoplada 80000 75000 100000 N/m

Amortecimento direto 250 250 350 N.s/m

É importante notar que os parâmetros dos selos são dados para um mesmo selo,testado em diferentes condições. O selo 1 foi selecionado pois seu valor de rigidez diretaé praticamente constante (quando se varia a taxa da velocidade circunferencial), para apressão P = 18.3 bar na rotação de 6000 RPM (rotações por minuto) e uma taxa depressão de 0.35. Os selos 2 e 3 guardam as mesmas condições do selo 1, exceto pelarotação, que no caso do selo 2 é de 12000 RPM e no selo 3 é de 16000 RPM. O valor darigidez crítica aumenta conforme se aumenta a rotação de operação.

Para uma primeira visão mais ampla do comportamento do sistema para os trêscasos mostrados na tabela 5.4 mais o caso sem selo, utilizaremos as figuras 5.8, 5.9, 5.10e 5.11.

37

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

nfr

eq

ue

ncie

s(R

PM

)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ωωn=Ω

Figura 5.8: Diagrama de Campbell para a situação sem selo.

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

nfr

eq

ue

ncie

s(R

PM

)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ωωn=Ω

Figura 5.9: Diagrama de Campbell para a situação com o selo 1.

38

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

nfr

eq

ue

ncie

s(R

PM

)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ωωn=Ω

Figura 5.10: Diagrama de Campbell para a situação com o selo 2.

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

nfr

eq

ue

ncie

s(R

PM

)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ωωn=Ω

Figura 5.11: Diagrama de Campbell para a situação com o selo 3.

Será utilizada o gráfico de Bode (figura 5.12) para análise. Este gráfico está sendo"visto"na posição do segundo disco. Ele foi escolhido pois está mais próximo do selo.

39

Frequency (RPM)2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

|u| (

na p

osic

ao d

o di

sco

2)

10-6

10-5

10-4

10-3

Sem SeloSelo 1Selo 2Selo 3

Figura 5.12: Gráfico de Bode para a situação sem selo e para os 3 selos.

Vê-se que as curvas seguem um mesmo padrão, e que na velocidade de 10000 RPMelas são quase coincidentes.Vê-se, também, que a presença do selo faz com que os valoresdas velocidades críticas sejam maiores do que no caso sem selo. Além disso, quanto maioro valor da rigidez direta, maior é o valor da velocidade crítica observada.

Para rotações mais baixas, a influência do selo é bem pronunciada. Mas, por voltade 10000 RPM, já não se nota tanta diferença.

Teste 2

Será comparado agora a influência de um selo com o maior valor de rigidez acopladacom a situação sem selo. A geometria utilizada será a de eixo escalonado.

O maior valor de rigidez acoplada disponível é para o caso de a pressão de trabalhoser P = 18.3 bar, para uma rotação de 16000 RPM e uma taxa de pressão 0.50. Paraesta situação, os parâmetros são mostrados na tabela 5.5 e os resultados são mostradosnas figuras 5.13 e 5.14.

40

Tabela 5.5: Parâmetros para o selo com maior rigidez acoplada.Parâmetro Selo 4 Unidade

Rigidez direta 325000 N/mRigidez acoplada 325000 N/m

Amortecimento direto 280 N.s/m

Para efeito de comparação, também foi adicionado o caso do selo 3, que tem o mesmovalor de rigidez direta do selo 4, mas com rigidez acoplada menor. Podemos ver que maisuma vez as curvas se assemelham. O fato de a rigidez acoplada ser maior faz com quea velocidade crítica ocorra a frequências maiores, efeito parecido com o que ocorre seaumentarmos a rigidez direta.

Frequency (RPM)0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

|u| (

na p

osic

ao d

o di

sco

2)

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Sem seloSelo 3Selo 4

Figura 5.13: Gráfico de Bode para o teste 2.

É possível perceber que quando se aumenta a rigidez acoplada, há um distanciamentono eixo vertical dos primeiros modos, de acordo com a figura 5.14. Para o selo 4, de acordocom a figura 5.14, temos a ocorrência de uma velocidade crítica em 2000 RPM, mas issonão é visto no gráfico da figura 5.13. Isto ressalta a valia de se utilizar o diagrama deCampbell para cada caso, pois ele fornece informações que o Gráfico de Bode pode nãomostrar.

41

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

ation

frequencie

s(R

PM

)×104

0

0.5

1

1.5

2Diagrama de Campbell para o caso sem selo

bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ω

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

ation fre

quencie

s (

RP

M) ×104

0

0.5

1

1.5

2Diagrama de Campbell para o caso com o selo 3

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

ation fre

quencie

s (

RP

M) ×104

0

0.5

1

1.5

2Diagrama de Campbell para o caso com o selo 4

ωn=Ω

Figura 5.14: Diagramas de Campbell para o teste 2.42

5.3.2 Comparação do comportamento do sistema com eixo demateriais diferentes

Uma possibilidade será testar como o tipo de material afeta o comportamento dorotor. Para isso, vamos considerar duas situações: a primeira será de um eixo feito deaço, e a segunda o mesmo eixo feito de alumínio. O que mudará de fato será o módulo deelasticidade e o peso específico para cada tipo de material. Para realizar esse teste, bastaselecionar no LAVIRot o material desejado. Os valores utilizados são os mostrados natabela 5.6. A geometria do eixo será do tipo escalonado (figura 5.7), e terá os dois discosacoplados, como nos casos anteriores.

Tabela 5.6: Propriedades do aço e alumínio [19].Propriedade Aço Alumínio Unidade

Módulo de Elasticidade 207 71.7 GPaMassa específica 76.5 26.6 kN/m3

O resultado é mostrado na figura 5.15. O gráfico apresentado mostra o diagrama deCampbell para a mesma configuração, alterando somente o material de que é constituídoo eixo. Percebemos que o eixo constituído de alumínio atinge as velocidades críticas pararotações mais baixas que para o eixo constituído de aço. Para rotações mais baixas, adiferença é menor. Por exemplo, o eixo feito de aço atinge a primeira velocidade críticaem 2000 RPM, e o feito de alumínio em 1580 RPM. Já o sexto modo é atingido pelo eixode aço com a rotação de 14000 RPM, e o eixo de alumínio com 8800 RPM.

43

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

n f

req

ue

ncie

s (

RP

M)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Diagrama de Campbell para o Aço

bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ω

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

n f

req

ue

ncie

s (

RP

M)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Diagrama de Campbell para o Alumínio

bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ω

Diagrama de Campbell para sistema com Aço

Diagrama de Campbell para sistema com Alumínio

ωn=Ω

ωn=Ω

Figura 5.15: Diagramas de Campbell para a situação com diferentes materiais.

Consequentemente, isso também se mostra no gráfico de Bode para as duas situações,conforme visto na figura 5.16.

44

Frequency (RPM)2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000

|u| (

na p

osic

ao d

o di

sco

2)

10-6

10-5

10-4

10-3

AçoAlumínio

Figura 5.16: Gráfico de Bode para a situação com materiais diferentes.

5.3.3 Comparação do comportamento do sistema com diferentesgeometrias do eixo

Pode-se analisar a influência da geometria do eixo no comportamento do sistema. Paratanto, três situações serão analisadas:

• Eixo escalonado, como na figura 5.7;

• Eixo fino, onde todos os diâmetros são D = 20 mm;

• Eixo espesso, onde todos os diâmetros são D = 40 mm.

Os resultados são mostrados nas figuras 5.17 e 5.18.

45

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

ation fre

quencie

s (

RP

M)

104

0

0.5

1

1.5

2Diagrama de Campbell para o Eixo Escalonado

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

n f

req

ue

ncie

s (

RP

M) 104

0

0.5

1

1.5

2Diagrama de Campbell para o Eixo Fino

bending z

bending y

bending z

bending y

bending z

bending y

Ω=Ω

Speed of rotation Ω (RPM)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Oscill

atio

n f

req

ue

ncie

s (

RP

M) 104

0

1

2

3

4Diagrama de Campbell para o Eixo Espesso

ωn=Ω

Figura 5.17: Diagramas de Campbell para o caso de geometrias diferentes.

46

Frequency (RPM)0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

|u| (

na p

osic

ao d

o di

sco

2)

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Eixo EscalonadoEixo FinoEixo Espesso

Figura 5.18: Gráfico de Bode para o caso de geometrias diferentes.

Percebemos que o eixo espesso sofre menos influência do desbalanceamento dosdiscos, quando comparado ao eixo escalonado e ao eixo fino. A amplitude do seu deslo-camento é menor que nos outros dois casos. Já o eixo fino atinge as velocidades críticascom menores rotações, e a amplitude do deslocamento nos pontos das velocidades críticasé bem maior do que nos outros casos.

Na faixa de operação que vai até 17000 RPM, não se atinge os quatro últimos modosde vibração considerados nesse teste no caso do eixo espesso. Uma explicação pode serdada se for considerada a inércia do eixo espesso, que é bem maior do que nos outroscasos.

47

Capítulo 6

Conclusão e Trabalhos Futuros

De uma maneira geral, podemos resumir o trabalho atestando que o LAVIRot foicapaz de gerar resultados de acordo com os dados que foram fornecidos, nos permitindoavaliar a influência dos parâmetros analisados. No entanto, mostra-se necessária a reali-zação de mais testes e ajustes, de modo a trazer mais confiabilidade aos resultados que oLAVIRot gera.

Diversas melhorias devem ser aplicadas ao LAVIRot no contexto de torná-lo umaferramenta computacional precisa e eficaz, com seu uso difundido no meio acadêmico eaté na indústria.

A primeira melhoria que pode ser citada é que o programa possa ser executado atra-vés de um tipo de arquivo que não seja dependente de algum software, principalmenteum software pago. O LAVIRot da maneira que está funciona por intermédio do Matlab.O ideal seria que ele fosse um programa multiplataforma, que funcionasse nos sistemasoperacionais mais difundidos e como um arquivo executável. Uma outra alternativa po-deria ser a adaptação do LAVIRot para um aplicativo a ser executado na Web. Ou seja,ele seria executado através de um navegador conectado à Internet.

Uma outra melhoria a ser feita é uma melhor proposta visual para programa. Nãofoi feita nenhuma pesquisa ou estudo sobre como deve ser a disposição dos ícones, botõese tabelas no aplicativo, a fim de conferir uma melhor usabilidade do programa.

Considerando ainda o contexto de usabilidade, uma proposta é a alternativa dese utilizar um outro sistema de unidades, como o sistema inglês de unidades, visto quemuitos equipamentos o utilizam. Uma maior gama de materiais disponíveis tambémpoderia existir, dando mais flexibilidade na escolha do material.

Deve-se incluir no modelo do programa o grau de liberdade axial, que como citadona subseção 4.2.1, não está incluído na atual versão do programa. Além disso, os softwaresde análise rotodinâmica oferecem diversas funcionalidades que não são contempladas peloLAVIRot. A resposta no regime transiente, o modo de vibração torcional e a análiseestática de deflexão do eixo por exemplo, são análises úteis que poderiam estar presentesno LAVIRot numa versão futura.

Outros componentes como outros tipos de selos, ou então mancais (como, por exem-plo, mancais magnéticos) poderiam ser analisados nesta ferramenta, e os seus resultadosdispostos em gráficos, como feito no presente trabalho.

A fim de dar uma maior confiabilidade aos resultados que o LAVIRot gera, testesexperimentais poderiam ser objeto de estudo de um trabalho futuro. Isso permitira,inclusive, que fossem feitos ajustes no LAVIRot a fim de torná-lo cada vez mais condizente

48

com os resultados experimentais.

49

Apêndice A

Modelo computacional via ElementosFinitos

O modelo de viga de Euler-Bernoulli é usado para modelar o eixo. Nesse modelo,a área da seção transversal permanece plana e ortogonal à linha neutra da estrutura. Aequação de movimento de uma viga não amortecida, em um plano, pode ser escrita como[20, 21]:

ρA∂2v(x, t)

∂t2+ EI

∂4v(x, t)

∂x4= f(x, t) , (A.1)

com as condições de contorno e iniciais apropriadas, onde v é o deslocamento transversaldo eixo, L é o comprimento do eixo, m é a massa por unidade de comprimento, E éo módulo de elasticidade, ρ é a massa específica, A é a área da seção transversal, I éo momento de inércia de área da seção transversal, f é a força externa por unidade decomprimento, x e t são os parâmetros de posição e tempo que são definidos no intervalo[0, L] e [0, T ].

Uma equação similar pode ser escrita para o movimento do eixo w(x, t), na direçãoortogonal à v(x, t). Além disso, devido à rotação do eixo, existe um acoplamento giroscó-pico entre os deslocamentos v e w [21]. As equações resultantes são discretizadas atravésdo método dos Elementos Finitos [20, 21]. Cada elemento (veja Fig. A.1) tem dois nós equatro graus de liberdade por nó (dois deslocamentos e duas rotações).

Figura A.1: Elemento de eixo.

50

O deslocamento do elemento é dado por u(e) = [N ]u(e), onde u(e) = (v1 θz1 w1 θy1 v2 θz2 w2 θy2)T

são os deslocamentos generalizados dos nós e [N ] é composto pelas funções de forma, quesão as funções cúbicas Hermitianas no presente caso. Supõe-se que o equipamento mantémuma velocidade de rotação constante, Ω, em torno do eixo x.

A coordenada do elemento é escrita como ξ = x/le, onde le é o tamanho do elemento.Supondo pequenos deslocamentos para v e w, e pequenos ângulos para θy e θz, as matrizeselementares de massa, efeito giroscópico, e rigidez do eixo são dadas por

[Ms](e) = ρA

∫ 1

0

(NTv Nv + NT

wNw)ledξ,

[Gs](e) =

ρIpl2e

Ω

∫ 1

0

(N′Tv N′w −N′Tw N′v)ledξ,

[Ks](e) =

EI

l4e

∫ 1

0

(N′′Tv N′′v + N′′Tw N′′w)ledξ.

(A.2)

onde (′) representa derivada em relação a ξ, I e Ip são os momentos de inércia de área eo momento polar de inércia. As funções de forma (ou de interpolação) são definidas paraum elemento padrão com coordenada ξ ∈ [0, 1], onde ξ = x/le.

Nv = [Nv1 Nv2 0 0 Nv3 Nv4 0 0] ,

N′v = [Nv′1 Nv

′2 0 0 Nv

′3 Nv

′4 0 0] ,

Nw = [0 0 Nv1 −Nv2 0 0 Nv3 −Nv4] ,

N′w = [0 0 −Nv′1 Nv

′2 0 0 −Nv

′3 Nv

′4] ,

e as funções individuais são dadas por

Nv1 = (1− 3ξ2 + 2ξ3) ,

Nv2 = le (ξ − 2ξ2 + ξ3) ,

Nv3 = (3ξ2 − 2ξ3) ,

Nv4 = le (−ξ2 + ξ3) .

Após integração, chega-se nas matrizes elementares. A matriz de massa do elementode eixo é dada por

51

[Ms](e) = ρAle

M01 M03 0 0 M04 M06 0 0

M03 M02 0 0 −M06 M05 0 0

0 0 M01 −M03 0 0 M04 −M06

0 0 −M03 M02 0 0 M06 M05

M04 −M06 0 0 M01 −M03 0 0

M06 M05 0 0 −M03 M02 0 0

0 0 M04 M06 0 0 M01 M03

0 0 −M06 M05 0 0 M03 M02

(A.3)

onde M01 = 156/420, M02 = (4/420)l2e , M03 = (22/420)le, M04 = 54/420, M05 =(−3/420)l2e e M06 = −13/420le. A matriz giroscópica do eixo é dada por

[Gs](e) = ρIpΩle

0 0 −G01 G02 0 0 G01 G02

0 0 −G02 G03 0 0 G02 −G04

G01 G02 0 0 −G01 G02 0 0

−G02 −G03 0 0 G02 G04 0 0

0 0 G01 −G02 0 0 −G01 −G02

0 0 −G02 −G04 0 0 G02 G03

−G01 −G02 0 0 G01 −G02 0 0

−G02 G04 0 0 G02 −G03 0 0

(A.4)

onde G01 = (36/30)/l2e , G02 = (3/30)/le, G03 = 4/30 e G04 = 1/30. A matriz de rigidezdo eixo é dada por

[Ks](e) =

EI

le

K01 K03 0 0 K04 K03 0 0

K03 K02 0 0 −K03 K05 0 0

0 0 K01 −K03 0 0 K04 −K03

0 0 −K03 K02 0 0 K03 K05

K04 −K03 0 0 K01 −K03 0 0

K03 K05 0 0 −K03 K02 0 0

0 0 K04 K03 0 0 K01 K03

0 0 −K03 K05 0 0 K03 K02

(A.5)

onde K01 = 12/l2e , K02 = 4, K03 = 6/le, K04 = −12/l2e , e K05 = 2. Os mancais, selose discos agem apenas em um nó, logo têm dimensão 4 × 4. As matrizes de rigidez e deamortecimento dos mancais e selos são dadas por

52

[Kb](n) =

ky 0 kyz 00 0 0 0kzy 0 kz 00 0 0 0

, (A.6)

e

[Cb](n) =

cy 0 cyz 00 0 0 0czy 0 cz 00 0 0 0

, (A.7)

onde ky, kyz, e kz são os coeficientes de rigidez dos mancais ou selos e cy, cyz, e cz sãoos coeficientes de amortecimento. As matrizes de massa e de efeito giroscópico dos discossão dadas por

[Md](n) =

Md 0 0 00 Id 0 00 0 Md 00 0 0 Id

, (A.8)

e

[Gd](n) =

0 0 0 00 0 0 −2IdΩ0 0 0 00 2IdΩ 0 0

, (A.9)

onde Md é a massa do disco, Id é o momento de inércia do disco relacionado aos eixos ye z.

53

Apêndice B

Desenhos do Eixo

54

900

40 -00,02 24 20

+-0,010

22 -00,01

14 24 20 +-0,010

140 120 20

201 40 120 20

207

30

12 22

-00,01

382 378

258 237

262

241

BA C D

Rosca M14x1,5

1

1 45°

DETALHE BESCALA 1 : 1

20

1,30

1,70

0,5

0

DETALHE AESCALA 1 : 1

1

1

45°

DETALHE CESCALA 1 : 1

2

2

DETALHE DESCALA 1 : 1

Escala:

Unidade:

1 Diedro

Nome:

Afastamento geral: Material:0,1mm 1:5

01/07/2015

eixo Folha1/1Desenho 1

mmVinicius Ferreira Côrtes

Aço 1045SolidWorks Education Edition. Somente para uso acadêmico

840

900

200

1 2 3 54 6

7 8

10 119 11 13 14

N Descrição Qtd.1 Eixo 12 Flange do motor 13 tubo 24 Desbalanceamento 25 Touchdown 26 Flange do selo 27 Pre-swhirl 18 Entrada central 19 O-ring 437 210 Gancho 111 Selo 212 O-ring 427 813 Flange da tampa 114 Rolamento 6304-2Z 2

Escala:

Unidade:Responsável:

Tols. não espec.: Material:linear/angular 1:5

06/07/2015Montagem Folha1/1Des.(cod.)

mmVinicius Ferreira CôrtesVariado

Aprovação:

SolidWorks Education Edition. Somente para uso acadêmico

Apêndice C

Códigos

C.1 Rotor de Jeffcot

%Código para interface do Rotor de Jeffcot

function varargout = jeffcot(varargin)% JEFFCOT MATLAB code for jeffcot.fig

gui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @jeffcot_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @jeffcot_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [] , ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin1)gui_State.gui_Callback = str2func(varargin1);end

if nargout[varargout1:nargout] = gui_mainfcn(gui_State, varargin:);elsegui_mainfcn(gui_State, varargin:);end% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before jeffcot is made visible.function jeffcot_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)% This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin command line arguments to jeffcot (see VARARGIN)

% Choose default command line output for jeffcothandles.output = hObject;

% Update handles structureguidata(hObject, handles);

57

% UIWAIT makes jeffcot wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line.function varargout = jeffcot_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structurevarargout1 = handles.output;

function x0_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to x0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of x0_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of x0_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function x0_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to x0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function y0_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to y0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of y0_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of y0_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function y0_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to y0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.

58

% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function vx0_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to vx0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of vx0_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of vx0_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function vx0_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to vx0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function vy0_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to vy0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of vy0_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of vy0_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function vy0_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to vy0_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

% --- Executes on button press in calcular_push.function calcular_push_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to calcular_push (see GCBO)

59

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

%globalglobal m c k u w

%Entradasm=str2double(get(handles.m_edit,'String'));k=str2double(get(handles.k_edit,'String'));c=str2double(get(handles.c_edit,'String'));u=str2double(get(handles.u_edit,'String'));%Condições Iniciaisx0=str2double(get(handles.x0_edit,'String'));vx0=str2double(get(handles.vx0_edit,'String'));y0=str2double(get(handles.y0_edit,'String'));vy0=str2double(get(handles.vy0_edit,'String'));%RotaçãoHz=10;w=Hz*2*pi;%Resoluçãotspan=0:.0001:50;[t,z] = ode45('sub_edoRotorJeffcott',tspan,[x0;y0;vx0;vy0]);x=z(:,1);y=z(:,2);v0x=z(:,3);v0y=z(:,4);

figureaxes('fontsize',14)plot(t,x,t,y,'linewidth',2)ylabel('amplitude [m]','fontsize',16)xlabel('time [s]','fontsize',16)legend('x','y')grid on

nd=length(t);figureaxes('fontsize',14)plot(x(end*3/4:end),y(end*3/4:end),'linewidth',2)xlabel('x [m]','fontsize',16)ylabel('y[m]','fontsize',16)grid on

% --- Executes on button press in limpar_push.function limpar_push_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to limpar_push (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)set(handles.m_edit, 'String', '0');set(handles.k_edit, 'String', '0');set(handles.c_edit, 'String', '0');set(handles.u_edit, 'String', '0');set(handles.x0_edit, 'String', '0');set(handles.vx0_edit, 'String', '0');set(handles.y0_edit, 'String', '0');set(handles.vy0_edit, 'String', '0');

60

function m_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to m_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of m_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of m_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function m_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to m_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function k_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to k_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of k_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of k_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function k_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to k_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function c_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to c_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of c_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of c_edit as a double

61

input=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function c_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to c_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function u_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to u_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of u_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of u_edit as a doubleinput=get(hObject,'String');if (isempty(input))set(hObject,'String','0')end

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function u_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to u_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function edit10_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit10 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit10 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit10 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit10_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit10 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.

62

% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function edit11_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit11 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit11 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit11 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit11_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit11 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function edit12_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit12 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit12 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit12 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit12_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit12 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function edit13_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit13 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit13 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit13 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit13_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit13 (see GCBO)

63

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

C.2 Rotor com efeito giroscópico

%Código para interface do rotor com efeito giroscópicofunction varargout = rotorgiroscopico(varargin)

% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @rotorgiroscopico_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @rotorgiroscopico_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [] , ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin1)gui_State.gui_Callback = str2func(varargin1);end

if nargout[varargout1:nargout] = gui_mainfcn(gui_State, varargin:);elsegui_mainfcn(gui_State, varargin:);end% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before rotorgiroscopico is made visible.function rotorgiroscopico_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)% This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin command line arguments to rotorgiroscopico (see VARARGIN)

% Choose default command line output for rotorgiroscopicohandles.output = hObject;

% Update handles structureguidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes rotorgiroscopico wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line.function varargout = rotorgiroscopico_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);

64

% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Get default command line output from handles structurevarargout1 = handles.output;

function k_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to k (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of k as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of k as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function k_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to k (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function Ksi_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to Ksi (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of Ksi as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of Ksi as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function Ksi_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to Ksi (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function rot_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to rot (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of rot as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of rot as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.

65

function rot_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to rot (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function alpha_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to alpha (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of alpha as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of alpha as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function alpha_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to alpha (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function walpha_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to walpha (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of walpha as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of walpha as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function walpha_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to walpha (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function beta_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to beta (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

66

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of beta as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of beta as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function beta_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to beta (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function wbeta_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to wbeta (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of wbeta as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of wbeta as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function wbeta_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to wbeta (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function R_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to R (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of R as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of R as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function R_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to R (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function m_Callback(hObject, eventdata, handles)

67

% hObject handle to m (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of m as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of m as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function m_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to m (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function r_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to r (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of r as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of r as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function r_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to r (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function L_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to L (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of L as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of L as alpha double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function L_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to L (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have alpha white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))

68

set(hObject,'BackgroundColor','white');end

% --- Executes on button press in aacalcular.function aacalcular_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to aacalcular (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in alpha future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

global A

%Entradas%Eixor=str2double(get(handles.r,'String'));L=str2double(get(handles.L,'String'));E=210000000000;If=pi*r^4/4;%DiscoR=str2double(get(handles.R,'String'));m=str2double(get(handles.m,'String'));I=m*(R^2)/4;%Constantesk=str2double(get(handles.k,'String'));ksi=str2double(get(handles.Ksi,'String'));w=str2double(get(handles.rot,'String'));m=str2double(get(handles.m,'String'));wn=sqrt(k/I);ccrit=2*wn*I;c=ksi*ccrit;%Matrizes%M matriz de inérciaM=[I 0;0 I];%KSI matriz de amortecimentoC=[c 0;0 c];%K matriz de rigidezK=[k 0;0 k];%G matriz giroscópicaG=[0 -2*I*w;2*I*w 0];%Matriz ALPHAA=[zeros(2,2) eye(2,2)-inv(M)*K -inv(M)*(C+G)];%Condições Iniciaisalpha=str2double(get(handles.alpha,'String'));walpha=str2double(get(handles.walpha,'String'));beta=str2double(get(handles.beta,'String'));wbeta=str2double(get(handles.wbeta,'String'));%Resposta Dinâmicaisrespdin = get(handles.respdin,'Value');if isrespdin==1%Condições Iniciaistspan=0:.0001:200;[t,z] = ode45('sub_edorotorgyro',tspan,[alpha,beta,walpha,wbeta]);

69

alphaout=z(:,1);betaout=z(:,2);walphaout=z(:,3);wbetaout=z(:,4);

%Plotagemfigureaxes('fontsize',14)plot(t,alphaout,t,betaout,'linewidth',2)ylabel('amplitude [rad]','fontsize',16)xlabel('time [s]','fontsize',16)legend('alpha','beta')grid onend

isdiagramcamp = get(handles.diagramcamp,'Value');if isdiagramcamp==1l_RPM = linspace(0,10000,50);tops=length(l_RPM);Omega=zeros(2,tops);countRPM=1; %contador aux p/traçar Campbellwhile countRPM <= topsRPM=l_RPM(countRPM);omega=RPM/(60*2*pi); % velocidade de rotaçao do eixo rad/sG=[0 -2*I*omega;2*I*omega 0];A=[zeros(2,2) eye(2,2)-inv(M)*K -inv(M)*(C+G)];lambda=eig(A);Neu_imag = sort(abs(imag(lambda)));Omega(:,countRPM) = [Neu_imag(1); Neu_imag(3)];omega2(countRPM)=omega;countRPM=countRPM+1;endomega=omega2/2/pi*60;

nfreq=2;figureplot(omega,Omega(1:nfreq,:)/2/pi*60,omega,omega,'black--');xlabel('Speed of rotation \Omega (RPM)','fontsize',16)ylabel('Oscillation frequencies (RPM)','fontsize',16)legend('torsional','axial','bending z','bending y','bending z','bending y','\Omega=\Omega',2)end% --- Executes on button press in respdin.function respdin_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to respdin (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of respdin

% --- Executes on button press in diagramcamp.function diagramcamp_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to diagramcamp (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

70

% Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of diagramcamp

% --------------------------------------------------------------------function Untitled_1_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to Untitled_1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% --------------------------------------------------------------------function Untitled_2_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to Untitled_2 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

C.3 LAVIRot

%Desenvolvido por Paulo Arthur Lima de Deus - 2015.1%paeng@poli.ufrj.br

function varargout = LAVIRot(varargin)

% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @LAVIRot_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @LAVIRot_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [] , ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin1)gui_State.gui_Callback = str2func(varargin1);end

if nargout[varargout1:nargout] = gui_mainfcn(gui_State, varargin:);elsegui_mainfcn(gui_State, varargin:);end% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before LAVIRot is made visible.function LAVIRot_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)% This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin command line arguments to LAVIRot (see VARARGIN)

% Choose default command line output for LAVIRothandles.output = hObject;

% Update handles structureguidata(hObject, handles);

71

% UIWAIT makes LAVIRot wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command line.function varargout = LAVIRot_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit1 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit1 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function nos_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to nos (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of nos as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of nos as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function nos_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to nos (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

% --- Executes on button press in pushbutton1.function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)regioes=str2num(get(handles.nos,'String'));

72

num_elem1=cell(regioes,5);num_elem1(:,:)='';num_elem2=cell(regioes,9);num_elem2(:,:)='';num_elem3=cell(regioes,3);num_elem3(:,:)='';num_elem4=cell(regioes,5);num_elem4(:,:)='';

set(handles.uitable1,'Data',num_elem1)set(handles.uitable1,'ColumnEditable',true(1,5))x1=zeros(regioes,5);set(handles.uitable1,'data',x1)

set(handles.uitable2,'Data',num_elem2)set(handles.uitable2,'ColumnEditable',true(1,9))x2=zeros(regioes+1,9);set(handles.uitable2,'data',x2)

set(handles.uitable3,'Data',num_elem3)set(handles.uitable3,'ColumnEditable',true(1,3))x3=zeros(regioes+1,3);set(handles.uitable3,'data',x3)

A=get(handles.uitable1, 'data');n=size(A,1);l_E=2.0e11; %Módulo de elasticidade do açol_rho=7850; %Densidade do açol_nu=0.29; %Coeficiente de cisalhamento do aço

for i=1:nA(i,1)=l_E;A(i,2)=l_rho;A(i,3)=l_nu;endset(handles.uitable1,'data',A)

% --- Executes on button press in armazenar.function armazenar_Callback(hObject, eventdata, handles)%Armazenando os dados entrados pelo usuário em arquivos .dat, e importando%as informações para as matrizes An, Bn, Cn e Dn.A=get(handles.uitable1, 'data');B=get(handles.uitable2, 'data');C=get(handles.uitable3, 'data');save BANCADATESTE A B C

function edit4_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit4 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit4 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit4 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit4_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

73

% hObject handle to edit4 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

% --- Executes on selection change in popupmenu.function popupmenu_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to popupmenu (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

contents=get(hObject,'Value');A=get(handles.uitable1, 'data');n=size(A,1);switch contents;case 1for i=1:nA(i,1)=2.0e11;A(i,2)=7850;A(i,3)=0.29;endset(handles.uitable1,'data',A)case 2for i=1:nA(i,1)=69e9;A(i,2)=2697;A(i,3)=0.33;endset(handles.uitable1,'data',A)end% Hints: contents = cellstr(get(hObject,'String')) returns popupmenu contents as cell array% contentsget(hObject,'Value') returns selected item from popupmenu

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function popupmenu_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to popupmenu (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: popupmenu controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

% --- Executes on button press in analises.function analises_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to analises (see GCBO)

74

% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)coef = 10000;ksi=str2num(get(handles.Ksi,'String')); %Armazena o valor da taxa de amortecimento ksi

%(1) EIXOA=get(handles.uitable1, 'data'); %Características do eixol_E=A(:,1)';l_rho=A(:,2)';l_nu=A(:,3)';l_G=0.5*l_E./(1+l_nu);l_ks=[6/7 6/7 6/7 6/7 6/7 6/7 6/7]; %RESOLVER PARA CASO GERALl_L=A(:,4)';l_De=A(:,5)';l_A=pi*l_De.^2/4;;l_Ie=pi*l_De.^4/64;l_Ip=pi*(l_De/2).^4/2; % momento de inercia polar do eixol_masslin=l_rho.*l_A;meixo = sum((l_A.*l_L).*l_rho);

% amortecimento proporcional C = alfa.M + beta.Kalfa=0;%.001; 0 ; 3.5;beta=0;%.00015; .00002; 3.5e-008

%(2) MANCAISB=get(handles.uitable2, 'data'); %Características dos Mancaisl_mancal=B;n=size(B,1);for i=1:nLM(i)=i;endLM=LM';n1=0;for i=1:nif l_mancal(i,:)==0LM(i)=0;endend

l_mancal=horzcat(LM,l_mancal);

for i=1:n %Eliminando nós sem mancalif l_mancal(i-n1,:)==0l_mancal(i-n1,:)=[];n1=n1+1;elsen1=n1;endend

% %(3) MASSAS CONCENTRADASC=get(handles.uitable3, 'data'); %Massas concentradasn=size(C,1);for i=1:nM(i)=C(i,1);D(i)=C(i,2);

75

Ie(i)=M(i)*D(i)^2/8;Ip(i)=M(i)*D(i)^2/16;L(i)=i;G(i)=C(i,3);endM=M';Ie=Ie';Ip=Ip';L=L';G=G';l_Mas=[M Ie Ip L G];

n1=0;for i=1:nif l_Mas(i-n1,1)==0l_Mas(i-n1,:)=[];n1=n1+1;elsen1=n1;endend

n1=0;for i=1:nif M(i-n1,1)==0M(i-n1,:)=[];n1=n1+1;elsen1=n1;endend

TF = isempty(l_Mas);if TF==1l_Mas=[0 0 0 0];end

grav = 0; % aceleracao da gravidade%%-----% (4) FORÇAMENTO%-----% Banda de frequencia analisadaRPMmax=str2double(get(handles.RPMMax,'String'));% Desbalanceamento =0.001;% freq = RPMmax/60*2*pi;% phase = 0;% dof = 2;%% n=size(l_Mas,1);% for i=1:n% LF(i)=l_Mas(i,4); % O desbalanceamento estah no disco (inercia concentrada)% end% LF=LF';% for i=1:n

76

% l_F(i,:)=[Desbalanceamento freq phase dof];% end% l_F=[l_F LF]; % l_F=[Desbalanceamento freq phase dof LF];w_ini=0; % freq inicialw_fin= RPMmax/60; % freq finaldw=.5; % passo da freq%-----% (5) APROXIMACAO%------% Tipo de elementoELEMENTO=6;% tipo de elemento:% ELEMENTO=6 => modelo EB-Ritto, 4 dofer = 5; % precisao exigida para o calculo dos modos e freq nat pelo MEFN = 10; % Numero de modos usados na aproximacao (modos normais)ndof=4;%% FIM da Entrada de Dados% -------------------------------------------------------------------

% -------------------------------------------------------------------------% ANALISES% -------------------------------------------------------------------------isvercampbell= get(handles.vercampbell,'Value');isverbode= get(handles.verbode,'Value');[omega,Omega,MatRM,MatRC,MatRGnorm,MatRK,l_NE] = sub_campbell(RPMmax,l_E,l_rho,l_L,l_De,alfa,beta,l_Mas,l_mancal,grav,ELEMENTO,er,N,ksi);if isvercampbell==1nfreq=6;figureplot(omega,Omega(1:nfreq,:)/2/pi*60,omega,omega,'black--');X4e=omega;Y4e=Omega(1:nfreq,:)/2/pi*60;save sselo4 X4e Y4exlabel('Speed of rotation \Omega (RPM)','fontsize',16)ylabel('Oscillation frequencies (RPM)','fontsize',16)legend('torsional','axial','bending z','bending y','bending z','bending y','\Omega=\Omega',2)grid on

end

% -------------------------------------------------------------------------% BODE PLOT% -------------------------------------------------------------------------l_NE=[0 l_NE];[nM,mM]=size(l_Mas);[nd,nd]=size(MatRM);RF = zeros(nd,1);for cont_M=1:nMif l_Mas(cont_M,4)==1Aux = 0;elseAux = (sum(l_NE(1:l_Mas(cont_M,4))))*ndof;endL_aux(cont_M)=Aux;

77

%Amplitude=M*u*omega^2%u=G*M/omega/1000%omega entra dentro do sub_frf.RF(Aux+1)=l_Mas(cont_M,1)^2*l_Mas(cont_M,5)/1000; % grau de liberdade vertical yRF(Aux+3)=l_Mas(cont_M,1)^2*l_Mas(cont_M,5)/1000; % grau de liberdade vertical em zend

l_freq = [w_ini w_fin dw];

if isverbode==1[MatRFRF,RW] = sub_frf(MatRM,MatRC,MatRGnorm,MatRK,RF,l_freq); % recalculando FRFfor cont_M=1:nMAux=L_aux(cont_M);figuresemilogy(RW*60,abs(MatRFRF(Aux+1,:)),'k','linewidth',2)% X4c=RW*60;% Y4c=abs(MatRFRF(Aux+1,:));% save sselo4 X4c Y4chold on% semilogy(RW*60,abs(MatRFRF(Aux+3,:)),'--k','linewidth',2)xlabel('Frequency (RPM)','fontsize',16)ylabel('|u| (na posicao do disco)','fontsize',16)% legend('y','z')grid onend

%

% clear phase% figure% plot(RW*60,phase(MatRFRF(end,:))*180/pi,'k','linewidth',2)% xlabel('Frequency (RPM)','fontsize',16)% ylabel('phase(u) (graus)','fontsize',16)% grid onendreturn% getting current figure to save it%h=gcf;%saveas(h,['J',fname],'eps')%saveas(h,['J',fname],'fig')

% --- Executes on button press in carregar.function carregar_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to carregar (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)uiimport('-file')

% --- Executes on button press in aplicar.function aplicar_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to aplicar (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=evalin('base','A');set(handles.uitable1,'data',A)

78

B=evalin('base','B');set(handles.uitable2,'data',B)C=evalin('base','C');set(handles.uitable3,'data',C)

% --- Executes on button press in vercampbell.function vercampbell_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to vercampbell (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of vercampbell

% --- Executes on button press in verbode.function verbode_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to verbode (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of verbode

function Ksi_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to Ksi (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of Ksi as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of Ksi as a doubleksi=str2num(get(handles.Ksi,'String'));

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function Ksi_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to Ksi (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

function RPMMax_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to RPMMax (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of RPMMax as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of RPMMax as a double

79

% --- Executes during object creation, after setting all properties.function RPMMax_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to RPMMax (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end

% --- Executes on button press in pushbutton19.function pushbutton19_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to pushbutton19 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

80

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[16] Dyrobes (on-line), Disponível em: <http://dyrobes.com/whoweare/who-uses-dyrobes/>. Acesso em: 20 Mai. 2015, 16:23:00.

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