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Desenvolver o cálculo mental: Construção de uma teoria local de

aprendizagem através de uma Investigação Baseada em Design

Renata Carvalho1, João Pedro da Ponte2

1Agrupamento de Escolas Joaquim Inácio da Cruz Sobral, Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, [email protected]

2Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, [email protected] !

Resumo. A Investigação Baseada em Design (IBD) é uma metodologia de investigação promissora que começa a dar os seus passos em Portugal, apesar de ser usada em educação desde a década de 90. O objetivo deste artigo é descrever as potencialidades da IBD na construção de uma teoria local de aprendizagem relativa ao desenvolvimento de estratégias de cálculo mental com números racionais dos alunos do 6.º ano e refletir sobre essa experiência. Subjacente à construção desta teoria local de aprendizagem está o aperfeiçoamento do quadro teórico, do design da experiência e de conjeturas de ensino aprendizagem, ao longo de dois ciclos de experimentação, tendo por base as reflexões da equipa de investigação sobre a preparação de tarefas, as observações em sala de aula e as análises retrospetivas.

Palavras-chave: investigação baseada em design; cálculo mental; números racionais; teoria local de aprendizagem.

Abstract. Design Based Research (DBR) is a promising methodological approach that is making its first steps in Portugal, despite being used in education since the decade of 90. The aim of this article is to describe the potential of DBR in the construction of a local instructional theory for the development of students’ mental computation strategies with rational numbers in grade 6 and to reflect on this experience. Underlying the construction of this local instructional theory is the improvement of the theoretical framework, of the design experience and of learning conjectures, during two experimental cycles, based on reflections of the research team about the preparation of tasks, classroom observation and retrospective analysis.

Keywords: design-based research; mental computation; rational numbers; local learning theory.

Introdução

A complexidade do ambiente de aprendizagem de uma sala de aula constitui um desafio

para a investigação em educação. A compreensão das múltiplas interações que surgem,

bem como das aprendizagens proporcionadas aos alunos requerem metodologias de

investigação sofisticadas, como a Investigação Baseada em Design (IBD)1. Esta

metodologia começou a surgir em educação a nível internacional (Cobb, Confrey,

diSessa, Lehere, & Schauble, 2003; Collins, Joseph, & Bielaczyc, 2004) na década de 90,

Martinho, M. H., Tomas Ferreira, R. A., Vale, I., & Guimaraes, H. (Eds.) (2016).Atas Provisorias do XXVII Sem. Investigacao em Educacao Matematica. Porto: APM, pp.311–326

mas, em Portugal, só muito recentemente começou a ser usada, principalmente em

estudos de doutoramento (Ponte, Carvalho, Mata-Pereira, & Quaresma, em preparação).

A IBD surge como forma de testar e refinar projetos educacionais baseados em

princípios derivados de investigações anteriores (Collins et al., 2004). Esta perspetiva

de refinamento progressivo, que a diferencia de simples experiências de ensino, envolve

a experimentação de uma primeira versão de um projeto ou de uma sequência de

tarefas, analisando os seus efeitos e revendo-a em ciclos sucessivos, sempre com base

na experiência.! Esta metodologia permite não só testar mas também gerar teorias.

Gravemeijer e Cobb (2006) acrescentam que a IBD pode contribuir para minimizar o

fosso que existe entre a teoria e a prática educacional uma vez que incide sobre

problemas que surgem a partir da prática.

Esta comunicação constitui uma reflexão sobre um estudo de IBD que teve origem em

problemas da prática de ensino identificados pela primeira autora, nomeadamente, das

dificuldades dos alunos na aprendizagem dos números racionais e quase ausência de

cálculo mental com este conjunto numérico. O seu objetivo é descrever as

potencialidades desta metodologia na construção de uma teoria local de aprendizagem

relativa ao desenvolvimento de estratégias de cálculo mental com números racionais dos

alunos do 6.º ano e refletir sobre essa experiência.

Investigação Baseada em Design

Cobb et al. (2003) consideram a IBD uma metodologia de investigação propícia à

compreensão de ecologias de aprendizagem. Para os autores, uma ecologia de

aprendizagem é um sistema complexo de interações que envolve múltiplos elementos de

diferentes tipos e níveis, incluindo as tarefas que os alunos resolvem, o discurso que é

encorajado na sala de aula, as normas de participação estabelecidas, as ferramentas e

materiais usados e as relações que se estabelecem entre estes elementos. Esta

metodologia parte da conceção destes elementos, procurando antecipar como estes

funcionam em conjunto para apoiar a aprendizagem.

Cobb, Jackson e Dunlap (2016) caracterizam a IBD por cinco aspetos essenciais: (i)

incide sobre problemas da prática, procurando promover a aprendizagem dos alunos, a

formação de professores ou a mudança sistémica; (ii) baseia-se em intervenções, para

transformar processos que ocorrem em contextos reais; (iii) tem uma forte orientação

teórica e pragmática; (iv) rege-se pelo teste, revisão ou rejeição de conjeturas sobre

312 XXVII SIEM - Vers~ao Provisoria

processos e meios de promover a aprendizagem ou a mudança; e (v) dada a sua

preocupação teórica, visa a generalidade.!

Gravemeijer e Cobb (2006) consideram que a IBD desenvolve-se segundo três fases: (i)

preparação; (ii) experimentação em contexto; e (iii) análise retrospetiva. Além disso,

inclui ciclos e microciclos de intervenção e revisão onde se testam e/ou criam novas

teorias (Cobb et al., 2003). O processo interativo que ocorre nos ciclos e microciclos de

intervenção caracteriza-se por ser prospetivo e reflexivo (Cobb et al., 2003): é

prospetivo, no sentido em que as experiências de ensino são realizadas de acordo com

um processo de aprendizagem sujeito a constantes refinamentos e reformulações, e é

reflexivo, porque envolve testes de conjeturas muitas vezes conduzidos em vários níveis

de análise.

A fase de preparação contempla a clarificação da intenção teórica, dos pressupostos da

intervenção onde se incluem objetivos de aprendizagem ou possíveis transformações

pretendidas, bem como a elaboração de uma conjetura de ensino aprendizagem a testar e

a aperfeiçoar ao longo dos ciclos de experimentação (Cobb et al., 2003). Nesta fase

poderão ser realizados estudos preliminares que representem uma mais-valia para a

compreensão da ecologia de aprendizagem (Plomp, 2007). A par disto, Collins et al.

(2004) alertam para a necessidade de se prever diferentes formas de “olhar” a

experiência, ou seja, o foco e as variáveis dependentes e independentes que podem ser

pontos críticos da experiência.

Na fase de preparação é importante pensar nestes aspetos para posteriormente perceber

como se relacionam a fim de avaliar a experiência e sua realização. Collins et al. (2004)

consideram que o foco deve ser contemplado a vários níveis: cognitivo, interpessoal,

grupo ou sala de aula, recursos, escola ou instituição. Por exemplo, o foco de análise de

uma experiência de ensino pode estar na relação entre as regras de sala de aula ou

padrões de argumentação matemática e científica e a aprendizagem dos alunos ou no

modo como a diversidade de experiências dos alunos pode ser um recurso para perceber

as suas ideias.

No que se refere às variáveis dependentes, Collins et al. (2004) consideram que existem

três grandes tipos que, de certo modo, se relacionam com os diversos focos sobre os

quais incide a análise e avaliação da experiência de ensino: variáveis de ambiente, que

inclui o envolvimento dos alunos na aprendizagem em sala de aula, a cooperação entre

alunos, bem como o esforço que fazem para entender o tema que está a ser abordado;


variáveis de aprendizagem, tais como o conhecimento do conteúdo, capacidades (skills),

disposições, estratégias metacognitivas, estratégias de aprendizagem; e variáveis

sistémicas, como a sustentabilidade, extensão, escalabilidade, facilidade de adaptação e

os custos. As variáveis de ambiente e de aprendizagem implicam a negociação de

normas sociais para as discussões de sala de aula, formas organizadas de intervir e

explicar raciocínios e normas sociomatemáticas (Yackel & Cobb, 1996).

No que respeita às variáveis independentes, Collins et al. (2004) identificam seis que

importa ter em conta: o contexto/ambiente de aprendizagem; as características dos

alunos; o suporte técnico; o apoio financeiro; o desenvolvimento profissional; e a

trajetória da implementação. No entanto, destacam o contexto/ambiente de

aprendizagem como uma variável crítica para o desenvolvimento de qualquer

experiência, bem como as características dos alunos (idade, nível socioeconômico, taxa

de rotatividade, etc.). Consideram ser importante determinar para que tipo de alunos a

experiência é eficaz e de que forma, uma vez que esta pode não funcionar do mesmo

modo com alunos com características diferentes. Este é um aspeto que reforça a

necessidade de experimentação em contextos diversos tal como referem Nieveen,

Mckenney e Van den Akker, (2006).

Na fase de experimentação, Cobb et al. (2003) defendem um envolvimento direto da

equipa de investigação na sala de aula para que seja possível observar as ocorrências e

posteriormente refletir sobre elas. Assim, consideram que é importante: ter uma visão

clara dos percursos de aprendizagem esperados e dos meios possíveis de apoio que

devem ser mantidos e partilhados pela equipa de investigação; manter relações

permanentes entre os profissionais; desenvolver uma profunda compreensão da ecologia

da aprendizagem, não só para facilitar a logística, mas porque esse entendimento é um

objetivo teórico para a investigação; e realizar sessões regulares entre os elementos da

equipa para interpretar acontecimentos e planear novas intervenções. Consideram

importante que a equipa faça registos completos do processo para documentar as

conjeturas em evolução, juntamente com as observações realizadas.

A fase de análise retrospetiva contempla a análise de um grande volume de dados, o que

representa um dos grandes desafios da IBD (Cobb et al., 2003), embora este aspeto

contribua para a credibilidade dos estudos. Esta análise é realizada no final de cada ciclo

de experimentação, enquadrando o conhecimento produzido num contexto teórico mais

amplo. Nieveen et al. (2006) indicam que, no final, o conhecimento produzido traduz-se


num conjunto de princípios de design que não pretendem ser receitas para o sucesso,

mas sim linhas orientadoras para quem pretende aplicar o conhecimento produzido a

novos contextos. Pelo seu lado, Gravemeijer (2004) refere que a IBD cria “teorias

locais” fortemente influenciadas por conjeturas de ensino-aprendizagem.

Metodologia

O presente trabalho tem por base um estudo qualitativo e interpretativo (Denzin &

Lincoln, 2005) seguindo uma abordagem de IBD (Cobb et al., 2003). Participam duas

professoras e duas turmas do 6.º ano (39 alunos), que tinham previamente abordado as

quatro operações com números racionais nas suas várias representações (decimal,

fração, percentagem) e a primeira autora (daqui em diante designada por investigadora)

como observadora participante. De cordo com a metodologia IBD, o estudo

desenvolveu-se em três fases (figura 1): preparação, experimentação e análise.

Figura 1. Fases do estudo.

A preparação envolveu uma primeira revisão de literatura e um estudo preliminar, com

alunos do 5.º ano da investigadora em 2010/11. Este estudo baseou-se numa conjetura

inicial (quadro 1) e num protótipo de experiência de ensino com 6 tarefas de cálculo

mental, tendo por objetivo perceber as estratégias e erros dos alunos no cálculo mental

com números racionais e as dinâmicas inerentes à realização de uma experiência de

ensino centrada em tarefas de cálculo mental e na discussão coletiva dessas tarefas, a ser

aperfeiçoada em dois ciclos de experimentação a realizar em 2012 e 2013.

Posteriormente foi construída uma nova experiência de ensino tendo por base uma

conjetura que evoluiu do estudo preliminar para o ciclo de experimentação I (quadro 1).


Quadro 1.

Evolução da conjetura de ensino aprendizagem

A planificação da experiência de ensino contempla a clarificação da intenção teórica da

experiência (Cobb et. al., 2003), que relaciona o objetivo geral do estudo com as

condições em que este ocorre (quadro 2). Contudo, o estudo de fenómenos complexos

como as ecologias de aprendizagem não permite a especificação completa de tudo o que

acontece, tornando-se fundamental definir os elementos que podem ser essenciais,

auxiliares, acidentais ou assumidos como condições de fundo. Assim, definimos focos

de análise e variáveis dependentes e independentes (tabela 1). A definição destes focos e

variáveis, essenciais na IBD, apoiou uma análise e reflexão focada em aspetos

suscetíveis de influenciarem o design da experiência, nos dois ciclos de experimentação,

dando origem a refinamentos no quadro teórico, nas tarefas e gestão da discussão na

sala de aula, como exemplificamos adiante. A fase de experimentação contempla dois

ciclos realizados em duas escolas diferentes. Os dados foram recolhidos recorrendo a

observação direta e participante da investigadora nas aulas em que se realizam tarefas

de cálculo mental e de reuniões de preparação/reflexão da experiência de ensino com as

professoras participantes.


Tabela 1.

Aspetos considerados na construção da experiência de ensino

A experiência de ensino elaborada pela investigadora foi discutida e preparada com as

professoras das turmas que a realizaram na sala de aula. A experiência é constituída por

10 tarefas de cálculo mental envolvendo números racionais nas representações

fracionária, decimal e percentagem e questões em contexto matemático (expressões com

e sem valor em falta) e não matemático (situações contextualizadas). As tarefas foram

apresentadas aos alunos através de um PowerPoint temporizado, tendo estes 15

segundos para resolver cada expressão e 20 segundos para resolver cada situação

contextualizada e anotar o resultado numa folha de registo. As tarefas possuem duas

partes, cada uma com cinco questões de cálculo mental, sendo no final de cada parte

promovida uma discussão coletiva com partilha de estratégias dos alunos. A gestão

desta discussão na sala de aula foi da responsabilidade das professoras intervindo, por

vezes, a investigadora para esclarecer aspetos relacionados com a comunicação de

estratégias e erros dos alunos. As reuniões de trabalho com as professoras foram áudio-

gravadas e as aulas de cálculo mental foram áudio e vídeo-gravadas para posterior

análise e reflexão sobre os momentos de discussão coletiva. Em cada ciclo de

experimentação, surgem diversos microciclos influenciados pela reflexão realizada pela

investigadora e professoras sobre a forma como decorrem as aulas de cálculo mental, a

adequação do tempo previsto para cada tarefa, estratégias, erros e dificuldades dos

alunos no cálculo mental, contributos do cálculo mental para o tópico matemático

abordado nas restantes aulas de Matemática, aspetos a melhorar na gestão da discussão

e pontos fortes e fracos da aula. Esta reflexão, em conjunto com uma revisão de


literatura continuada, permitiu aprofundar a conjetura de ensino aprendizagem ou teoria

local de aprendizagem, no sentido de a tomar cada vez mais específica e suscetível de

orientar dinâmicas e abordagens na sala de aula capazes de promover o

desenvolvimento do cálculo mental dos alunos com números racionais.

O quadro teórico (quadro 2) começou por constituir um conjunto de ideias para o

desenvolvimento do cálculo mental dos alunos, tendo por base literatura de referência

(e.g., Caney & Watson, 2003), sendo posteriormente fortalecido com teorias no âmbito

da Psicologia Cognitiva (a Teoria dos Modelos Mentais de Johnson-Laird, 1990) e

estabelecido um conjunto de relações que emergiram da análise de dados.

O refinamento deste quadro teórico centrou-se, primeiro na inclusão do conceito de

imagem mental como elemento essencial ao cálculo mental dos alunos, e posteriormente

evoluiu para representações mentais tendo em conta a teoria de Johnson-Laird (1990).

Numa segunda fase, as tarefas e a comunicação foram excluídas do quadro concetual

por não serem conceitos a desenvolver nos alunos, embora a sua importância seja

indiscutível no quadro da experiência de ensino realizada. São um meio para atingir o

fim pretendido. A referência ao sentido de número foi retirada do quadro concetual, não

por não ser importante, mas por não ser um dos conceitos a analisar. Por fim, e à

medida que a experimentação em ambos os ciclos foi evoluindo, a perceção das relações

entre o uso de factos numéricos, regras memorizadas e relações numéricas foi sendo

clarificada e aprofundada através da análise das estratégias dos alunos.

Na fase de análise foram visionados e transcritos episódios de aula. Este visionamento

decorreu ao longo de toda a experimentação permitindo análises preliminares dos dados,

tendo presentes os focos e variáveis definidas no quadro 2. Neste sentido, a análise

retrospetiva constituiu uma constante ao longo do estudo. No final, esta análise foi

aprofundada permitindo compreender não só estratégias e erros de cálculo mental dos

alunos, mas também a evolução destas estratégias ao longo da experimentação e a

avaliação da experiência de ensino do ponto de vista do design e realização.


Quadro 2.

Evolução do quadro teórico

Ciclo I – Ponto de partida

Ciclo I – Final do ciclo

Ciclo II – durante a experimentação

Ciclo II – Final do ciclo

Processo de construção de uma teoria local de aprendizagem

Na fase de experimentação foram realizados dois ciclos de experimentação. Os

momentos de preparação das tarefas e de reflexão pós-aula em conjunto com as

professoras participantes, foram potenciadores de refinamentos ao nível do design da

experiência de ensino (tarefas e gestão da discussão) e do quadro teórico como

apresentado na metodologia. Estes refinamentos culminaram no aperfeiçoamento


sucessivo da conjetura de ensino-aprendizagem desde o estudo preliminar até ao ciclo

de experimentação II (quadro 1). Tendo por base os focos e variáveis definidos na fase

de preparação do IBD, em cada ciclo de experimentação, foram identificados os aspetos

mais significativos e passíveis de originar refinamentos. Apresentamos exemplos de

alguns destes aspetos, que originaram alterações ao nível do design da experiência. Uma

análise mais completa e detalhada encontra-se em Carvalho (2016).

As tarefas

Os refinamentos realizados nas tarefas foram mais significativos no ciclo de

experimentação II do que no ciclo I. No ciclo de experimentação I, as alterações mais

significativas ocorreram a partir da tarefa 7 onde se intercalaram questões com e sem

valor em falta, quando antes se apresentavam expressões sem valor em falta na parte 1 e

expressões com valor em falta na parte 2 das tarefas (figuras 2 e 3). Subjacente a esta

alteração, estão reflexões sobre as estratégias dos alunos (foco cognitivo) e respetiva

evolução (variável de aprendizagem). Inicialmente antecipámos uma evolução das

estratégias dos alunos da parte 1 para a parte 2 das tarefas uma vez que se promovia

uma discussão aquando da resolução da parte 1, mas o grau de dificuldade de ambas as

partes pareceu-nos condicionar esta evolução, pelo que decidimos apresentar tarefas

mais equilibradas. Outro aspeto que influenciou esta decisão foi a dificuldade de alguns

alunos em estabelecerem relações numéricas pelo que a alternância de expressões com

valor em falta, potenciadoras do uso de pensamento relacional (Carpenter et al., 2003),

com outras sem valor em falta pareceu-nos mais adequado. Esta alteração manteve-se

no ciclo II.

No ciclo de experimentação II, um aspeto que marcou a experiência foi a dificuldade

dos alunos em resolver expressões e não situações contextualizadas, como aconteceu no

ciclo I. Isso levou-nos a efetuar uma organização diferente das questões por tarefa no

ciclo II. A par disto, os erros manifestados pelos alunos no ciclo II no cálculo de

expressões e a sua dificuldade em encontrarem estratégias de resolução para uma dada

expressão (foco cognitivo) fez-nos perceber a necessidade de adaptar a experiência a um

contexto de aprendizagem diferente (variável sistémica) onde os conhecimentos prévios

dos alunos estavam aquém do que era esperado e antecipado pela investigadora e pela

professora na preparação das tarefas. De notar que os dois ciclos de experimentação

foram realizados em turmas com características diferentes2 o que fez com que a variável

sistémica em conjunto com a variável independente (contexto/ambiente de


aprendizagem) assumissem alguma importância pela necessidade sentida em adequar a

experiência no ciclo II, não só nas tarefas mas na gestão da discussão na sala de aula

como iremos referir adiante.

Figura 2. Proposta inicial de tarefa 9.

Figura 3. Proposta reajustada da tarefa 9 no ciclo I.

Para ilustrar a dificuldade dos alunos em resolver expressões, apresentamos a estratégia

de Luís (ciclo II) para o cálculo de !! +!! logo na tarefa 1: “[!!] Eu fiz da mesma maneira

que a Cristina: 1+1 e 2+2” ou a de António para o cálculo de !! +!! (tarefa extra a meio

da experiência): “Eu pensei assim, já que são os dois com o mesmo numerador eu posso

somar e dá !!”. Estas estratégias mostram dificuldades na compreensão do conceito de

fração, influenciando a forma como os alunos operam na ausência de contexto da

realidade. No caso das operações com numerais decimais, os alunos manifestaram uma

forte tendência para recorrer a contextos de dinheiro, que em situações de adição e

subtração ou de multiplicação de um decimal por um inteiro são uma boa representação

mental de apoio (tendo-se verificado algum sucesso em operações deste tipo). Evidência

disto é a estratégia de Bernardo que, mesmo numa situação contextualizada envolvendo

o conceito de perímetro3, recorre ao modelo mental de um contexto de dinheiro para

realizar o cálculo: “Eu pensei em dinheiro… Pensei que tinha 4 amigos e que precisava

de emprestar dinheiro aos 4. Reparti o 8,8 deu-me 2,2”. Quando surgem questões

envolvendo a multiplicação de numerais decimais este tipo de contexto manifesta-se


desadequado e os alunos voltam a cometer erros baseados na incompreensão de relações

numéricas, como mostra a estratégia de Rui para o cálculo de 25,5×?= 5,1 (tarefa 5

ciclo II): “[5] Vê-se logo. 5×5 dá 25 e 5×1, 5”. Rui não recorreu a contexto de

dinheiro, mas estabeleceu uma relação entre 5,1 e 25,5 em vez de fazer o contrário.

Os erros evidenciados pelos alunos no cálculo de expressões simples, associados à

perceção que tivemos da falta de representações mentais de contextos diversos

(Carvalho, 2016) que pudessem apoiar os alunos no cálculo mental, levou-nos, a partir

da tarefa 5, a recorrer a tarefas maioritariamente mistas (parte 1 com situações

contextualizadas e parte 2 com expressões) para que a discussão da parte 1 pudesse

influenciar positivamente a compreensão de representações simbólicas e seu significado

apresentadas nas expressões da parte 2. A figura 4 mostra os ajustamentos efetuados na

tarefa 9 para o ciclo II.

Figura 4. Tarefa 9 reajustada para o ciclo II.

A gestão da discussão na sala de aula

A discussão na sala de aula e interação entre alunos (foco interpessoal) mereceu muita

reflexão, tendo levado a um reajustamento na gestão das discussões coletivas. Na

verdade, é através da discussão das estratégias dos alunos que percebemos a adequação

das tarefas, a evolução das estratégias e o modo como os elementos que definimos a

priori como fundamentais (foco e variáveis) se relacionam e influenciam a dinâmica

desenvolvida. Por exemplo, a dificuldade dos alunos em compreenderem o sentido de

operação multiplicação/divisão com numerais decimais evidenciada na estratégia de


António para o problema b) da tarefa 9 (figura 4): “É !!!a dividir [por 8,16]. [8 a dividir]

por 8 deu 1. Dividi o 16 por 8 e deu 2. Ai eu coloquei 1,2”, denota dificuldades em

compreender o tipo de quociente originado a partir da divisão de dois numerais

decimais (sentido de operação) assim como o valor posicional dos algarismos. O valor

posicional de 2 no quociente, não foi devidamente compreendido por António, face ao

resultado que obteve da divisão de 16 por 8. Se para dividir 16 por 8 o aluno

multiplicou 0,16 por 100 (para lhe facilitar o cálculo), teria posteriormente de dividir 2

por 100 para assim obter 2 centésimas. Na sequência da explicação apresentada por

António, Rui intervém chamando a atenção do colega para este facto:

Rui: Está errado. Professora ciclo II: Porque é que está errado? Rui: Porque ele pôs 1,2 . . . É 2 centésimas. Ele pôs foi uma unidade e 20

centésimas. Diogo: Mas a conta dele está bem. O resultado é que está mal. (...) Rui: Para fazeres !!. 8÷8 dá 1, certo? E 16 a dividir por 8? António: 2. Rui: Sim, mas tu puseste 20. António: Está correto.

Rui pretendia ajudar António a perceber que estava a dividir 16 centésimas por 8 o que

iria corresponder a 2 centésimas no quociente e não a 20, pois ao indicar como resultado

1,2 o aluno está a considerar que a parte decimal é constituída por 20 centésimas.

A necessidade de desconstruir determinados raciocínios fez com que ambas as

professoras dessem continuidade a abordagens na aula de Matemática para reforçar a

aprendizagem dos alunos em aspetos como este, o que levou a experiência de ensino

para além dos momentos específicos de cálculo mental previstos, relacionando-se e

integrando-se recorrentemente no percurso de aprendizagem matemática dos alunos.

Nos momentos de cálculo mental os reajustamentos realizados na gestão da discussão

passaram pela intensificação do questionamento aos alunos de modo a focá-los mais no

essencial da discussão ou de os ajudar à compreensão das estratégias em discussão, pelo

incentivo à interação crítica entre alunos, como evidenciam os casos de António e Rui,

pelo reforço da relação entre representações dos números racionais e relação entre

operações realizadas em expressões e situações contextualizadas.

No final do ciclo de experimentação II os refinamentos realizados nas tarefas e na

gestão da discussão na sala de aula parecem ter dado os seus frutos tendo em conta as


estratégias de Diogo (ciclo II) à questão a) da tarefa 9 (figura 4): “Menos. !!!equivale a

!!". Se juntarmos !!" mais !!"!do pai fica !!". E para alcançar metade tinha que ser !!".

!!" é

menos de metade”. O aluno mostra alguma destreza na linguagem e no uso de frações

equivalentes sem necessidade de explicitar cálculos subjacentes, algo que não se

verificou na generalidade dos alunos no início da experimentação. Também a estratégia

de Ricardo para a resolução de uma situação contextualizada apresentada na tarefa4 10

ilustra a flexibilidade que alguns alunos foram adquirindo no cálculo mental com

números racionais: “!!!é um copo e 75% é !! . . . !! é 6 copos”, nomeadamente ao nível da

equivalência entre representações dos números racionais, algo que enfatizámos nas

discussões coletivas. Por último, há a realçar o caso de Rui que no primeiro momento

em que realiza cálculo mental com percentagens considera que o cálculo de 10% se

resume a multiplicar uma quantidade por 10 (10% de 350 =3500). Na entrevista final,

Rui mostra ter-se apropriado de algumas relações numéricas ao referir que 30% de 80 é

24: “Então 5% de 80 equivale a 4 porque se fosse 10% ia ficar sem um zero . . . Depois

pensei o 25 para por o 30. Então, 25% de 80 equivale a 20. Isto dá 24”. Na fase final da

experimentação, Rui mostra agora compreender o que significa calcular 10% de uma

quantidade e decompõe o cálculo de 30% no cálculo de 25% mais 5%.

Conclusão

Procurámos salientar alguns dos elementos críticos no desenvolvimento deste estudo,

que foram promotores de refinamentos no design da experiência. Estes refinamentos

originaram uma redefinição da conjetura de ensino-aprendizagem que assumimos como

teoria local de aprendizagem e que constitui o principal contributo deste trabalho. Isso

foi possível pelo facto da IBD favorecer a proximidade entre professores e

investigadores num trabalho conjunto em prol da aprendizagem dos alunos, marcado

por ciclos e microciclos de experimentação em que a equipa de investigação prepara

antecipando, observa em conjunto e reflete posteriormente com o intuito de melhorar

continuamente. Como referem Gravemeijer e Cobb (2006) trata-se de uma metodologia

favorável à aproximação da teoria à prática. Isso foi também possível porque a IBD

salienta a necessidade de estabelecer uma perspetiva teórica que relacione os objetivos

do estudo com outros elementos particularmente críticos, nomeadamente os vários focos

de análise e as variáveis dependentes e independestes previamente definidas. Estes

elementos apoiaram uma reflexão conjunta e focada entre professoras e investigadora,


originando refinamentos ao nível das tarefas e da gestão da discussão na sala de aula.

Neste estudo, uma análise sobre o foco cognitivo e interpessoal em conjunto com as

variáveis aprendizagem e sistémica foram essenciais para as mudanças realizadas.

Foi a reflexão acerca destes elementos que originou uma consolidação da teoria local de

aprendizagem apresentada na última coluna do quadro 1. A primeira parte desta teoria

relaciona-se com um conjunto de princípios essenciais para o design de tarefas que

promovem o desenvolvimento de cálculo mental dos alunos (Carvalho & Ponte, 2014).

A necessidade de tarefas com contextos diversos surge a partir da dificuldade dos

alunos (ciclo II) em recorrerem a contextos diferentes dos de dinheiro para operarem

com expressões; o uso de diferentes representações dos números racionais surge como

essencial pelas relações numéricas que proporcionaram ao longo da experiência e é

evidenciado pela flexibilidade que os alunos manifestaram em operar com números

racionais no final da experiência; as tarefas de diferente exigência cognitiva, incluindo

expressões com e sem valor em falta e situações contextualizadas permitiram aos alunos

relacionar representações e operações entre questões diferentes dentro de uma mesma

tarefa ou entre tarefas diferentes; a discussão coletiva como meio para promover o

desenvolvimento de estratégias de cálculo mental dos alunos revelou-se fundamental,

uma vez que estes constroem aprendizagens partilhadas através das múltiplas interações

que estabelecem entre si e com o professor; além disso, a discussão coletiva mostrou

constituir uma boa oportunidade para o professor avaliar formativamente os alunos

relativamente aos números racionais e suas operações. Finalmente, há a referir que neste

estudo, a IBD representou uma mais-valia não só para a construção do conhecimento

em Didática da Matemática e para a aprendizagem dos alunos, mas também para o

desenvolvimento profissional das professoras participantes.

Notas 1 Proposta de designação em português para Design-Based Research de Ponte, Carvalho, Mata-Pereira e Quaresma (em preparação) que usamos neste artigo. 2 Ciclo I – alunos com bom desempenho a Matemática e conhecimentos prévios sobre números racionais e suas operações; Ciclo II – alunos com desempenho mediano/fraco a Matemática e défice de conhecimentos prévios sobre números racionais e suas operações. 3 O perímetro da face de um depósito cúbico é 8,8!!. Qual a medida do lado? – tarefa 5 do ciclo de experimentação II. 4 A Ana quer encher copos com refresco. Cada copo tem !! ! de capacidade. Quantos copos consegue encher a Ana com 0,75! de refresco?


Agradecimentos

Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia através de uma bolsa atribuída à primeira autora (SFRH/BD/69413/2010).

Referências bibliográficas

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