Exercício de Derivada

Vamos assumir a função:

f (x)=√ x

Aplicaremos, então, o conceito de derivada:

f ' (x)= limΔ x→0

f (x+Δ x )−f (x )

Δ x

Agora, vamos substituir os termos:

f ' (x)= limΔ x→0

√ x+Δ x−√xΔ x

Mas, para podermos aplicar o limite, o Δx não pode ficar no denominador, pois se torna 0 e não é possível fazer uma divisão por 0. Devemos eliminá-lo de alguma forma. Então, a ideia é sumir com as raízes no numerador. Mas como?

Sabemos que se multiplicarmos uma expressão por 1 não muda o seu conteúdo e nem seus valores, não é? Bem, é isso que vamos fazer. Só que este 1 pode ser uma fração com numerador e denominador iguais. E vamos fazer isso usando o conjugado do numerador. O conjugado é uma expressão semelhante com um sinal (o do meio) trocado. Mas por que?

Em produtos notáveis, podemos escrever a seguinte expressão:

(A−B).(A+B)=A2−B2

Se A for uma raiz quadrada, ela é cancelada pelo expoente 2 que aparece. Assim, podemos remover as raízes. Como A e B, no nosso caso, são raízes, então é bem conveniente. Façamos então:

f ' (x)= limΔ x →0

(√ x+Δ x−√ x)Δ x

⋅(√x+Δ x+√ x)

(√x+Δ x+√ x)

f ' (x)= limΔ x→0

[(√ x+Δ x)2−(√x )

2]

Δ x (√x+Δ x+√ x)

Como, para todo x não negativo, (√ x)2= x , podemos escrever:

f ' (x)= limΔ x →0

x+Δ x−xΔ x (√ x+Δ x+√x )

f ' (x)= limΔ x→0

Δ xΔ x (√ x+Δ x+√x )

f ' (x)= limΔ x →0

1(√ x+Δ x+√ x )

Agora, podemos aplicar o limite:

f ' (x)=1

(√ x+0+√x )

f ' (x)=1

(√ x+√x )

E, por fim, teremos:

f ' (x)=1

2√x