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Departamento de Educação da Faculdade de Ciências

Universidade de Lisboa

Tecnologias e pensamento algébrico:

um estudo sobre o conhecimento didáctico dos professores de Matemática

(Projecto de tese - versão para discussão na Rede IC DEFCUL)

José António de Oliveira Duarte

25 de Janeiro de 2008

Orientadores:

Professor Doutor João Pedro da Ponte (DEFCUL)

Professora Doutora Joana Brocardo (ESE de Setúbal)

Tecnologias e pensamento algébrico: um estudo sobre o conhecimento didáctico dos professores de Matemática

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Índice

Capítulo I: Introdução ........................................................................................ 4

Capítulo II: Objectivo e questões do estudo .......................................................... 6

Capítulo III: O conhecimento didáctico dos professores de Matemática..................... 7

A natureza do conhecimento profissional ........................................................... 7

O conteúdo do conhecimento profissional .......................................................... 7

O conhecimento didáctico ................................................................................ 7

Como mobilizam os professores o conhecimento que precisam para ensinar? ........ 7

Capítulo IV: O pensamento algébrico no desenvolvimento curricular ........................ 8

Da Álgebra ao pensamento algébrico: evolução e caracterização .........................10

O que é a Álgebra?.....................................................................................11

O que traz de novo o pensamento algébrico?.................................................13

Álgebra e aprendizagem .................................................................................16

Dificuldades dos alunos...............................................................................16

As respostas às dificuldades ........................................................................21

A abordagem funcional e a tecnologia ...........................................................28

Questões em aberto ...................................................................................32

Orientações curriculares em Números e Álgebra ................................................35

Orientações curriculares internacionais: marcos, evolução e tendências ............35

Os documentos de orientação curricular portugueses .....................................41

Desafios para os professores ..........................................................................49

A natureza das tarefas ................................................................................50

A cultura da sala de aula .............................................................................53

Os projectos de desenvolvimento profissional ................................................55

Capítulo V: As TIC e o pensamento algébrico .......................................................58

A integração das TIC na escola e a confiança dos professores no seu uso .............58

As TIC na Educação Matemática ......................................................................58

As TIC no pensamento algébrico .....................................................................58

As TIC nas orientações curriculares .................................................................58

As orientações curriculares internacionais .....................................................58

As orientações curriculares nacionais ............................................................58


3

Capítulo VI: Metodologia ...................................................................................59

Opções metodológicas ...................................................................................59

Estudo de natureza interpretativa ................................................................59

Investigação de tipo qualitativo ...................................................................60

Modalidade de estudo de caso .....................................................................61

Um projecto de trabalho colaborativo ...............................................................62

O dispositivo de trabalho colaborativo ..........................................................64

As participantes ............................................................................................66

O processo de recolha de dados ......................................................................68

A análise de dados ........................................................................................72

Capítulo VII: Análise de dados............................................................................75

Contextos .....................................................................................................75

História da constituição da equipa ................................................................75

As sessões de recolha de dados ...................................................................77

Breve apresentação dos casos .....................................................................81

Descrição de uma sessão de trabalho da equipa ................................................91

Referências bibliográficas................................................................................. 123

Anexos .......................................................................................................... 127


4

Capítulo I: Introdução

O interesse pela problemática que me proponho estudar, está ancorado num percurso

académico e profissional que vou referir, de forma resumida.

Após um percurso pela Engenharia Electrotécnica, entre os finais dos anos 60 e o

início da década de 70, completei a licenciatura em Matemática (Ramo Educacional),

na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, em meados dos anos 80. Já nos

anos 90, realizei na mesma instituição, o Mestrado em Educação – Metodologia do

Ensino das Ciências (Matemática), tendo defendido uma dissertação sob o título

Computadores na Educação Matemática: Percursos de Formação.

Depois de dez anos como professor de Matemática no Ensino Secundário, a

experiência profissional como formador de professores na Escola Superior de Educação

de Setúbal, ao longo dos últimos 23 anos, permitiu-me „cruzar‟ a área da Educação

Matemática e a área das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC). Aí, a minha

actividade desenvolveu-se ao nível da intervenção em disciplinas dos cursos de

formação inicial de professores, na profissionalização em serviço de professores de

Matemática e de Informática e na formação contínua, em Cursos e Oficinas de

Formação presenciais e a distância e no apoio a projectos de utilização das TIC na

aula de Matemática.

A participação em encontros de cariz profissional, no país e no estrangeiro, como os

Encontros Nacionais de Professores de Matemática (ProfMat), os Encontros do

CIEAEM1, os Seminários de Investigação em Educação Matemática ou os Seminários

de Informática na Educação, com intervenção em sessões práticas, comunicações ou

painéis, a par da participação nos trabalhos da Rede Inter-Centros de Investigação em

Didáctica da Matemática, têm constituído desafios para algumas leituras e discussões,

que permitem acompanhar os desenvolvimentos da investigação e das práticas nestas

áreas do saber.

O envolvimento nos grandes projectos nacionais de tecnologias na educação

(MINERVA, Nónio, Internet@eb1 e CRIE) e o apoio à indução profissional dos

professores licenciados pela ESE, constituíram experiências de trabalho no „terreno‟

sobre utilizações das tecnologias, em particular, no ensino da Matemática, a que

recentemente se acrescentou a dimensão das plataformas de gestão de

1 Commission Internationale pour l‟Etude et l‟Amélioration de l‟Enseignement des

Mathématiques.


5

aprendizagem, como suporte a distância do trabalho de formação e apoio aos

projectos dos professores nas escolas.

Finalmente, a experiência no Programa de Formação Contínua em Matemática para

Professores do 1º ciclo, em particular, o trabalho desenvolvido no âmbito dos

Números e Cálculo, constituiu um desafio e uma experiência recente dos últimos anos.

Este percurso académico e profissional e as várias dimensões de intervenção aqui

referidas têm em comum dois aspectos:

a articulação entre as Tecnologias de Informação e Comunicação (como

ferramentas didácticas e como plataformas de suporte e apoio à formação) e a

Educação Matemática (ao nível do desenvolvimento curricular e das novas

orientações curriculares);

a preocupação com o conhecimento profissional, como um dos aspectos

centrais a ter em atenção no desenvolvimento profissional dos professores.

Mas se é verdade que o percurso permitiu uma experiência diversificada, também ele

foi colocando interrogações e temas para reflexão, deixando por responder várias

questões que gostaria de estudar de forma mais sistemática, nomeadamente:

Que aspectos significativos valorizam os professores nas diferentes actividades

profissionais em que participaram (leituras e discussões, trabalho/inserção em

grupos/comunidades, acções de formação e sua natureza, preparação de

materiais para as aulas, etc.), como tendo contribuído de forma decisiva para a

construção do seu conhecimento profissional?

Como é que o conhecimento profissional dos professores está presente e se

desenvolve com as diferentes actividades profissionais que estes realizam

(preparação de aulas, elaboração de tarefas, redacção de relatos, discussão de

textos, comunicação e interacção sobre tarefas e relatos com os seus pares,

reflexão sobre a prática, etc.)?

Como valorizam os professores a sua participação em equipas para a discussão

e elaboração de tarefas para as aulas, assim como na reflexão que fazem sobre

elas?

Que papel e valor reconhecem às plataformas a distância na publicação de

materiais e nas interacções que se estabelecem no apoio ao desenvolvimento

de projectos e ao seu próprio desenvolvimento profissional?


6

Capítulo II: Objectivo e questões do estudo

Face aos aspectos identificados na introdução relativos à formação académica e

profissional e às questões que o trabalho desenvolvido e a experiência têm deixado

em aberto, o objectivo do estudo é:

Compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no desenvolvimento

curricular e na prática profissional, no domínio do pensamento algébrico, com recurso

à tecnologia.

Questões orientadoras do estudo:

1. Como se caracteriza o conhecimento didáctico do professor no processo de

preparação das aulas, nomeadamente:

(a) As preocupações que manifesta quando elabora, planifica e discute as tarefas e

justifica as opções gerais que faz, no processo de desenvolvimento curricular, para

promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC?

(b) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, os

vários aspectos envolvidos no conhecimento que ele precisa para ensinar: o

conhecimento matemático sobre Números e Álgebra e as suas relações; a forma

como entende e o lugar que reserva ao desenvolvimento do pensamento algébrico

e às TIC no currículo; e, a forma como entende a aprendizagem dos alunos neste

domínio?

2. Como conduz em sala de aula o processo de ensino e a aprendizagem, neste

domínio, tendo em conta as várias dimensões do conhecimento que ele precisa

para ensinar.

3. Quais os factores de influência na construção do conhecimento didáctico, em

particular, nas opções curriculares e didácticas que faz e nas práticas de ensino,

para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC, nomeadamente:

(a) O papel do seu percurso profissional?

(b) O papel dos contextos profissionais?

(c) O papel da sua participação numa equipa colaborativa apoiada por uma

plataforma de trabalho a distância?


7

Capítulo III: O conhecimento didáctico dos professores de Matemática

(apenas a estrutura actual do capítulo)

A natureza do conhecimento profissional

O conteúdo do conhecimento profissional

O conhecimento didáctico

Como mobilizam os professores o conhecimento que precisam para ensinar?


8

Capítulo IV:

O pensamento algébrico no desenvolvimento curricular

Inicia-se este capítulo com uma breve introdução aos conceitos de currículo e

desenvolvimento curricular aqui adoptados.

O étimo latino da palavra currículo (currere) aponta-nos para algo dinâmico, como um

percurso ou uma trajectória, o que parece estar mais perto da definição de currículo

como um conjunto de acções educativas planeadas pela escola e experiências de

aprendizagem vividas pelos alunos, ao contrário da sua identificação com um conjunto

de disciplinas e um plano de acção.

Esta primeira visão está mais conforme a ideia de currículo como praxis (Gimeno,

1989), configurada por diversos intervenientes em diferentes contextos e que conduz

a diferentes níveis de currículo: desde aquele que é prescrito e enunciado pelas

entidades oficiais, ao que é levado à prática e implementado após um processo de

interpretação e moldagem pelos actores, até àquele que é realmente aprendido pelos

alunos e avaliado.

Contrariando a ideia de currículo à prova de professor, a visão de currículo que adopto

é a de um processo onde ocorrem sucessivas construções e se tomam decisões, a que

não são alheios os contextos onde ocorrem e os actores que nele intervêm (Brocardo,

2001) e onde o professor desempenha um papel cada vez mais determinante.

Por outro lado, o conceito de desenvolvimento curricular que aqui está presente diz

respeito à actividade de professores que desenvolvem, em trabalho colaborativo, uma

experiência de discussão, construção e experimentação de materiais, em particular, a

elaboração de tarefas integrando as tecnologias na exploração de tópicos do currículo,

sua implementação em sala de aula e posterior reflexão, com vista ao

desenvolvimento do pensamento algébrico.

O professor assume neste processo um maior protagonismo, planeando, gerindo e

avaliando as suas opções curriculares e ao fazê-lo, “faz intervir as suas concepções, o

seu saber e o seu conhecimento didáctico” (Canavarro & Ponte, 2005).

A posição que aqui assumo, torna os conceitos de currículo e de desenvolvimento

curricular mais próximos e articulados e entende a elaboração de materiais para a sala

de aula e a reflexão sobre a prática, realizada pelo professor, como parte do processo

de gestão curricular e simultaneamente como manifestação e (re)construção do

conhecimento didáctico do professor.


9

Após esta breve introdução, com o objectivo de clarificar a perspectiva adoptada sobre

currículo e desenvolvimento curricular, seguem-se as quatro secções deste capítulo:

Da Álgebra ao pensamento algébrico: evolução e caracterização;

Álgebra e aprendizagem;

Orientações curriculares em Números e Álgebra;

Desafios para os professores.


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Da Álgebra ao pensamento algébrico: evolução e caracterização

De acordo com Kieran (2007a), a investigação sobre a Álgebra escolar, evoluiu desde

os anos 50 e início da década de 60, mais centrada no desenvolvimento de destrezas

e na memória, essencialmente conduzida por psicólogos de orientação behaviourista,

para um foco mais acentuado sobre os significados que os alunos dão à Álgebra, na

investigação conduzida desde os finais da década de 70, associada às ideias de Piaget

e ao construtivismo.

O aparecimento da tecnologia computacional nos anos 80 e a emergência da

perspectiva sociocultural e do movimento de inspiração democrática, “Álgebra para

todos”, nos Estados Unidos, forçaram o deslocar do foco da investigação para a

análise dos factores sociais que afectam a aprendizagem da Álgebra, com um

interesse crescente no papel mediador das ferramentas culturais, a par de um

conjunto de estudos centrados sobre o discurso na sala de aula (Kieran, 2007a).

Esta bandeira da “Álgebra para todos”, ao procurar responder às necessidades sociais

de uma literacia matemática em profundidade para toda a população, associada a

expectativas mais elevadas de melhores desempenhos em Álgebra e,

consequentemente, maior sucesso em matemática (Kaput, 2008), parece ter obrigado

a introduzir na agenda política, o repensar da Álgebra ao longo da escolaridade.

Os estudos recentes, aprofundam os anteriores trabalhos centrados nas dificuldades

dos alunos na transição da Aritmética para a Álgebra e na natureza dos conceitos e

procedimentos algébricos e evoluem, de acordo com Kieran (2007a), para incluírem

preocupações com o significado derivado do uso de representações gráficas e

tabulares e o uso da tecnologia, em particular, as folhas de cálculo e a tecnologia

gráfica.

Também nos últimos anos se tem vindo a reconhecer a necessidade de estudos sobre

a compreensão que o professor tem acerca do pensamento algébrico dos seus alunos,

o que parece ser uma importante componente do seu conhecimento profissional que

ele deve ter em conta nas tarefas que propõe e na forma como conduz a discussão na

sala de aula (Kieran, 2007a). O que sugere ir além do simples documentar de como os

alunos pensam e como interpretam os objectos e processos algébricos, para dar

atenção às potencialidades de diferentes abordagens e aos contextos em que ocorrem.

Segundo a autora, fará sentido uma articulação entre os estudos sobre a

aprendizagem da Álgebra e os estudos sobre o seu ensino, vertente até agora pouco

desenvolvida.

Mas o que se entende por Álgebra e pensamento algébrico?


11

O que é a Álgebra?

A palavra Álgebra, para a maioria das pessoas com alguma escolaridade básica, está

associada a um conjunto de expressões com letras e outros símbolos e regras de

manipulação e transformação.

Recuando às origens da Álgebra vamos encontrar processos de formalização e

sistematização de técnicas de resolução de problemas na Antiguidade, de que é

exemplo o papiro de Amhes/Rhind (Ponte, 2006). No século IV, Diofanto, para alguns

o fundador da Álgebra, desenvolveu métodos aproximados para a resolução de

equações e introduziu abreviaturas para designar quantidades e operações, o que se

designou de Álgebra sincopada. É, no entanto, com al-Khwarizmi, no século IX, que se

adopta o termo Álgebra, para designar a operação de transposição de termos numa

equação (Ponte, 2006) e é o matemático francês Viéte, que vive no século XVI, o

primeiro a substituir os dados numéricos por símbolos (Sfard & Linchevsky, 1994).

Mas a grande mudança que a Álgebra conhece é a partir de meados do século XIX,

quando passa a centrar-se no estudo das estruturas abstractas.

Hoje, a visão mais frequente que se tem sobre a Álgebra é a de que se trata

simplesmente de regras de manipulação e transformação de expressões com variáveis

e processos de resolução de equações, o que decorre, em grande parte, da forma

como ela é tratada nos actuais programas do ensino básico, que a reduzem ao cálculo

algébrico (Ponte, 2006).

Mas embora esta seja, sem dúvida, uma vertente da Álgebra, ela só se instalou num

passado recente, quando comparada com os longos períodos da História em que

imperou uma outra Álgebra, designada de retórica. Esta, que se podia encontrar há

mais de três mil anos na Babilónia, estava associada à abordagem operacional da

resolução de problemas da Aritmética e da Geometria, focada em processos numéricos

e expressa em linguagem natural (Sfard & Linchevsky, 1994), o que confirma que “a

história da Álgebra não é a história dos símbolos” (p. 197).

Esta Álgebra verbal, continuou ao longo de muitos séculos e, como iremos ver mais à

frente, tem algumas semelhanças com a forma de trabalhar das crianças em idade

escolar, muito antes de que elas tenham contacto com a notação simbólica formal da

Álgebra.

Mas qual é o conteúdo da Álgebra? “A álgebra escolar tem tradicionalmente sido

ensinada e aprendida como um conjunto de procedimentos desarticulados, quer de

outro conhecimento matemático, quer do mundo real dos alunos” (Kaput, 1999).

O conteúdo tem variado nos últimos anos, privilegiando, com maior ou menor ênfase,

uma de duas orientações: uma primeira visão onde predomina uma orientação

simbólica e onde os problemas de palavras, quando aparecem, servem apenas para

aplicar técnicas algébricas; uma segunda, mais recente que tem vindo a privilegiar


12

uma abordagem funcional, modelando e resolvendo situações da realidade,

perspectiva que se tem acentuado nos últimos anos, apoiada no aparecimento e

desenvolvimento da tecnologia computacional. De uma visão da álgebra simbólica e

manipulativa, parece evoluir-se para uma outra que “integra as múltiplas

representações, cenários de problemas realistas e o uso de ferramentas tecnológicas”

(Kieran, 2007a, p. 747).

Numa definição adoptada por Carraher e Schliemann (2007), a Álgebra envolve: (i)

trabalhar com variáveis (em particular, Aritmética com variáveis) e formar

expressões, modelar situações concretas com expressões e equações, manipulá-las,

simplificá-las e resolvê-las; (ii) o trabalho com a estrutura algébrica, inicialmente a

partir de regras da Aritmética que levam à manipulação de expressões e que, com os

princípios de transformação de equações, constituem a base das técnicas algébricas.

Nesta definição, a Aritmética identifica-se como um terreno onde podem crescer

algumas ideias algébricas.

James Kaput, um investigador no domínio do pensamento algébrico, acrescentou a

estas duas dimensões, a dimensão da Álgebra como o estudo das funções, relações e

da variação conjunta. Este investigador reconhece os dois aspectos nucleares da

Álgebra e do raciocínio algébrico, como sendo a generalização de regularidades e sua

expressão crescente em sistemas simbólicos e as acções sintacticamente guiadas

sobre as generalizações, em sistemas organizados de símbolos (Kaput, 2008). São

estes aspectos que surgem ao longo das três vertentes que reconhece na Álgebra:

(i) Álgebra como o estudo das estruturas e sistemas abstraídos de cálculos

e relações, incluindo os que ocorrem na Aritmética (Álgebra como

aritmética generalizada) e no raciocínio quantitativo;

(ii) Álgebra como o estudo de funções, relações e variação conjunta;

(iii) Álgebra como aplicação de um conjunto de linguagens de modelação

dentro e fora da Matemática (Kaput, 2008, p. 11).

A primeira vertente, que corresponde à Álgebra como aritmética generalizada, inclui a

construção dos aspectos sintácticos da Álgebra, a partir da estrutura da Aritmética, o

que envolve olhar mais para a forma das expressões aritméticas do que para o valor

que representam. Na segunda vertente, inclui-se a generalização através da ideia de

função, como um processo de variação sistemática de casos particulares, ao longo de

uma parte do domínio. Finalmente, na terceira vertente, incluem-se três tipos de

modelação: de uma situação específica, através de uma condição ou equação a

resolver através da sintaxe da Álgebra, em que a variável assume o papel de

incógnita; generalizando e expressando regularidades, em situações ou fenómenos,

através de expressões com variáveis que conduzem a funções ou classes de funções;


13

algebrizando problemas aritméticos, „abrindo‟ e alargando o domínio do problema ou

suprimindo as condições que o limitam, transformando-os em problemas algébricos

(Kaput, 2008).

O que traz de novo o pensamento algébrico?

Os estudos recentes tendem a alargar o conceito tradicional de Álgebra a uma visão

que inclui também o que se denomina de raciocínio ou pensamento algébrico, para se

referirem aos “processos psicológicos envolvidos na resolução de problemas que os

matemáticos podem facilmente expressar usando notação algébrica” (Carraher &

Schliemann, 2007, p. 670). No entanto, e que porque esses processos se podem

expressar através de outras representações alternativas, também podem ser

ensinados nos anos mais novos, integrando-se naquilo que se designou por

movimento da Early Algebra.

Esta ideia das representações múltiplas está muito presente e tem um papel essencial

no pensamento algébrico para se referir, em geral, à linguagem natural, às tabelas e

aos gráficos, como outras formas de expressar a generalização, para além da notação

simbólica aritmética-algébrica. Estes sistemas constituem, no seu conjunto, os quatro

sistemas simbólicos fundamentais reconhecidos na Early Algebra, movimento que

defende uma nova abordagem da Aritmética, centrado na procura de relações que

revelem a sua natureza algébrica (Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2008;

Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Mas, enquanto “muitos acreditam que eles

permitem pontos de entrada cruciais para a aprendizagem da Álgebra, alguns

consideram-nos importantes só depois de uma certa mestria com o raciocínio

simbólico (em sentido estrito) ter sido atingida [e] outros ainda, olham-nos como „pre-

algébricos‟” (Carraher & Schliemann, 2007, p. 673).

No entanto, cada uma destas diferentes representações colocam em evidência

diferentes aspectos das relações e conceitos que procuram representar, sendo

importante saber traduzir umas formas de representação nas outras (Schliemann,

Carraher & Brizuela, 2007).

Maria Blanton e James Kaput, dois conceituados investigadores em Early Algebra,

definem pensamento algébrico como “um processo no qual os alunos generalizam as

ideias matemáticas de um conjunto de casos particulares, estabelecem essas

generalizações através do discurso da argumentação e expressam-nas sob formas

progressivamente mais formais e adequadas à idade” (Blanton & Kaput, 2005a, p.

413). Nele estão presentes, como vimos atrás, a dimensão da aritmética generalizada,

o pensamento funcional e a modelação.

Para Blanton e Kaput (2005a), desenvolver o pensamento algébrico como aritmética

generalizada, compreende vários aspectos como: explorar propriedades e relações dos

números inteiros (p. ex., a soma ou produto de pares e ímpares ou a estrutura da


14

soma que resulta da decomposição de números inteiros); explorar propriedades das

operações sobre números inteiros (p. ex., procurar padrões na tabela dos 100);

explorar igualdades como expressão de uma relação entre quantidades (p. ex.,

trabalhar em ambos os membros de igualdades como 8+4= +5, assumindo o sinal

de „=‟ para expressar uma relação entre as quantidades e não para exigir uma acção

de cálculo); tratar os números algebricamente (p. ex., atender à estrutura e não ao

cálculo, quando se estuda a paridade de 45678+85631); e resolver expressões com

números em falta (p. ex., resolver a equação 2.n+1=15 ou problemas como „se

V+V=4, qual o valor de V+V+6?‟).

Uma outra dimensão considerada por estes investigadores, diz respeito ao

pensamento funcional e incide sobre o envolvimento dos alunos na generalização de

padrões numéricos e geométricos, para descrever relações através do conceito de

função e compreende: simbolizar quantidades, usar símbolos para modelar problemas

e operar sobre expressões simbólicas; representar dados graficamente como apoio à

análise das relações funcionais; encontrar e traduzir por relações funcionais, a

correspondência entre quantidades ou as relações recursivas; conjecturar para além

dos dados conhecidos e a partir deles; e identificar e descrever padrões numéricos e

geométricos, por análise das relações, nas expressões numéricas ou em padrões

visuais (Blanton & Kaput, 2005a).

A terceira vertente diz respeito à modelação e pode envolver o recurso a equações,

funções ou outros objectos algébricos, para representar situações estritamente

matemáticas (nomeadamente generalizações numéricas), de outras disciplinas ou que

traduzam fenómenos físicos. Estes modelos, que começam por matematizar

fenómenos e situações, vão sendo progressivamente refinados e ajustados, e

funcionam para as descrever e apoiar o raciocínio e a interpretação das mesmas

(Kaput, 1999). Os desenvolvimentos da tecnologia gráfica, de dispositivos físicos como

os sensores e das folhas de cálculo, vieram valorizar esta dimensão da modelação e

permitir um repensar das formas de representação e exploração de modelos, de modo

a apoiar os alunos na compreensão dos conceitos matemáticos que estão por detrás

dos fenómenos. Mas aspectos tão simples como eliminar as restrições de um problema

aritmético, fazendo variar valores e parâmetros, de modo a explorá-lo de uma forma

aberta e genérica, tornando-o mais algébrico, também pode ser entendido como um

tipo de modelação (Kaput, 2008).

A generalização surge pois como a componente chave do pensamento algébrico e está

presente de forma transversal, quer na Aritmética como domínio para expressar e

formalizar generalizações (a aritmética generalizada), quer nas relações funcionais

quando se generalizam os padrões numéricos, quer na modelação que envolve

também generalizar regularidades de situações e fenómenos, quer na própria

generalização que ocorre com objectos abstractos da Álgebra.


15

A generalização envolve prolongar o raciocínio para além dos casos apresentados,

identificando o que é comum e o que varia, passando para um nível onde a atenção já

não se centra sobre os casos específicos em si, mas sobre as relações e padrões

encontrados, que se tornam novos objectos algébricos (Kaput, 1999).

Também neste sentido, a Aritmética parece adquirir, para os defensores do

pensamento algébrico, uma maior importância, considerada por alguns autores como

parte da Álgebra, em que números e medidas específicas são considerados casos

particulares de exemplos mais gerais (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). A sua

ideia é procurar olhar as expressões aritméticas para revelar relações e estrutura,

mais do que para procurar um valor obtido através de cálculos, reconhecendo assim

nesta estrutura aritmética emergente a base da construção sintáctica algébrica.

E embora não se possa dizer que a Álgebra escolar seja um domínio sobre o qual

exista consenso, um estudo de Lee (1997), referido em Kieran (2007a), que

questionou matemáticos, professores, alunos e investigadores em educação

matemática, sobre o que é a Álgebra, encontrou uma grande diversidade de

respostas, mas um tema transversal a todas elas: a Álgebra como actividade.

No entanto, esta actividade tanto se pode referir a uma acção sobre as coisas,

incidindo mais nas transformações, como pode valorizar mais a acção de construção

dos objectos algébricos, sendo que esta é a que mais se identifica com a posição de

investigadores como Kaput e que aqui será adoptada.

Em resumo, a Álgebra tem estado associada à construção de expressões simbólicas,

regras de manipulação e transformação dessas expressões e processos de resolução

de equações, assistindo-se nos últimos anos a uma valorização progressiva de uma

abordagem funcional, decorrente do desenvolvimento da tecnologia gráfica.

Entre as várias definições que a procuram caracterizar, adoptarei a de Kaput (2008)

que envolve o estudo das estruturas que emergem das relações (nomeadamente

numéricas), o estudo de funções e análise da variação e a modelação.

A generalização e sua expressão em múltiplas representações, progressivamente mais

formais e as acções simbólicas sobre essas generalizações, constituem os aspectos

centrais do que designa por Álgebra e pensamento algébrico.

O pensamento algébrico vem assim alargar o conceito tradicional de Álgebra, para

incluir processos que emergem de tópicos da matemática elementar, nomeadamente

da generalização de relações da Aritmética e que se podem representar através de

formas alternativas à notação algébrica simbólica, nomeadamente a linguagem

natural, as tabelas e os gráficos.

E porque se reconhecem estas outras formas de representação, é possível aspirar a

desenvolver o pensamento algébrico desde o início da escolaridade, podendo talvez

assim responder ao desafio de uma Álgebra para todos.


16

Álgebra e aprendizagem

Dificuldades dos alunos

Os estudos de avaliação internacionais como o Trends in International Mathematics

and Science Study (TIMSS) e o Programa for International Student Assessment

(PISA), revelam alguns resultados que mostram o que os jovens consideram ser fácil

ou difícil em Álgebra. Por exemplo, em 2003, a média obtida no TIMSS, entre os 48

países, na área dos conteúdos de Álgebra, para o 8º ano, foi de 25 pontos num total

de 53, o que mostra uma prestação dos alunos em Álgebra bastante pobre que

também é confirmada pelos resultados do PISA.

No mesmo sentido apontavam os resultados do National Assessment of Educational

Progress (NAEP), relativos ao desempenho em Álgebra. Em 2003, a taxa de sucesso

em alunos do 8º ano, incidindo em 17 questões de Álgebra, era de 46%, resultado

bastante fraco quando comparado com a prestação em questões relacionadas com o

sentido de número e as operações aritméticas, que apontava para 72% de respostas

correctas (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

Estes resultados têm justificado algumas preocupações da investigação, procurando as

causas que estão na origem das dificuldades dos alunos na transição da Aritmética

para a Álgebra.

Dificuldades na transição da Aritmética para a Álgebra. Kaput (1999)

reconheceu dificuldades nos alunos em lidarem com a simbologia formal da Álgebra,

para além da falta de ligação desta representação com outras representações que

pudessem atribuir sentido às acções a levar a cabo.

As dificuldades dos alunos em Álgebra parecem dever-se a vários factores,

nomeadamente a perda de significado dos objectos matemáticos (Kieran, 2007a),

quer pelos novos símbolos que a Álgebra introduz (p. ex., < ou ), quer pela

mudança de significado que se opera em símbolos já usados na Aritmética (p. ex., + e

=) (Ponte, 2006), criando assim dificuldades na transição da Aritmética para a

Álgebra.

Vários estudos centraram-se nos erros dos alunos na manipulação e resolução de

equações e apontaram para que as dificuldades dos alunos em Álgebra, se devem,

nomeadamente a: (i) acreditar na unidirecionalidade do sinal de igual para a produção

de um resultado; (ii) centrar-se principalmente na procura de respostas particulares;

(iii) não reconhecer as propriedades comutativa e distributiva; (iv) não usar símbolos


17

matemáticos para representar quantidades; (v) não compreender o uso de letras

como números generalizados ou como variáveis; (vi) ter grandes dificuldades a operar

com incógnitas; (vii) falhar na compreensão de que transformações equivalentes em

ambos os membros de uma equação mantêm o seu valor de verdade (Carraher &

Schlieman, 2007; Schlieman, Carraher, & Brizuela, 2007).

Por exemplo, Sfard e Linchevsky (1994) chamam a atenção para que os símbolos não

falam por si próprios e dependem, quer das condições do problema ao qual se

aplicam, quer daquilo que cada um é capaz de perceber e revelar, discutindo a

existência na maioria dos conceitos matemáticos de uma dualidade processo-objecto,

em que a primeira visão precede a segunda. Por exemplo, de acordo com os autores,

a expressão 3(x+5)+1, é vista primeiro como uma sequência de instruções a executar

sobre um número, um processo de cálculo que traduz uma concepção operacional, e

só depois como uma cadeia de símbolos que nada representam, mas que como

objecto algébrico em si próprio, pode ser manipulado e transformado, de acordo com

um conjunto de regras bem definidas, o que traduz uma concepção estrutural.

Como refere Ponte (2006), um dos perigos que o simbolismo acarreta para a

aprendizagem é cair-se no formalismo, perdendo de vista o significado daquilo que

eles representam. E embora matemáticos e alunos vejam as operações formais como

arbitrárias, para os primeiros é uma questão de opção deliberada, enquanto para os

segundos resulta de “uma incapacidade de ligar as regras da Álgebra com as leis da

Aritmética” (Sfard & Linchevsky, 1994, p. 223). E se os programas de ensino falham

no desenvolvimento de significados apropriados, são os alunos que os criam, bem ou

mal, o que pode constituir mais uma fonte de dificuldades.

Dificuldades com os padrões. Os padrões e regularidades numéricas e

geométricas, incluem-se no contexto mais abrangente das relações e funções (NCTM,

2007) e constituem um campo privilegiado de exploração e construção de relações

entre a Aritmética e a Álgebra (Alvarenga & Vale, 2007), de desenvolvimento do

pensamento algébrico (Ponte, 2007), mas também um terreno propício à formulação

de conjecturas pelos alunos (Carraher & Schlieman, 2007).

No entanto, alguns problemas vêm ao de cima, quando se abordam os padrões e as

tabelas de valores, como representações de funções. Os padrões estão presentes em

diversos contextos do dia-a-dia, da alfaiataria, ao design de arquitectura ou à

composição musical mas torna-se, no entanto, importante clarificar como se

estabelecem conexões entre os padrões e as relações e funções (Carraher &

Schliemann, 2007).

Num exemplo referido em Carraher e Schliemann (2007), a propósito da sequência

dos números triangulares, apresentada sob a forma de um conjunto de pontos

geométricos, eram dados os quatro primeiros termos, procurando-se encontrar qual


18

seria o próximo. O desafio era levar os alunos a estabelecer conjecturas a partir da

observação dos dados, mas não é certo que eles encontrem a regra que está na

mente de quem criou a sequência. Além disso, os alunos podem prolongar a sequência

sem prestarem atenção, quer ao número total de pontos da figura (o valor da função),

quer ao número de novos pontos acrescentados (o valor da primeira derivada) e

focarem-se apenas no aspecto geométrico do padrão (neste caso, acrescentarem uma

linha de pontos na diagonal). Outra questão, não menos importante, é que tudo isto

pode ser feito sem prestar atenção à posição ou ordem da figura, e que corresponde

ao que identificamos como sendo a variável independente da função. Deste modo, é

bastante frequente verificar que a abordagem das sequências geométricas se faz

envolvendo apenas uma variável (Carraher & Schliemann, 2007).

Na mesma linha, uma outra investigação aponta para que as abordagens visuais que

envolvem a generalização de padrões, podem constituir um apoio “à representação

algébrica de sequências e ao desenvolvimento de um quadro conceptual para as

funções, mas colocam a ênfase na necessidade de trabalhar arduamente para ligar os

padrões numéricos observados com as formas simbólicas” (Kieran, 2007a, p. 725),

processo que parece levar tempo para chegar a esta última fase.

Também no trabalho de Alvarenga e Vale (2007) se reconhece que a recolha e

organização dos dados, a par do seu registo, constituem situações que podem causar

algumas dificuldades aos alunos. E embora identifiquem que a exploração de padrões

constitui uma excelente oportunidade para desenvolver a comunicação, reconhecem

que os alunos o conseguem fazer oralmente, mas revelam dificuldades quando

solicitados em fazê-lo por escrito.

Um trabalho de Warren e Cooper (2008) refere também um conjunto de dificuldades

com os padrões, na transição para as funções, como a falta de linguagem apropriada

para descrever as relações, o uso frequente de estratégias aditivas para descrever as

generalizações, focando-se num único conjunto de dados, a incapacidade para

visualizar espacialmente ou completar padrões e a falta de ligação entre o número de

posição e o padrão.

Muitas vezes, associado com a organização e sistematização dos dados com o

objectivo de procurar regularidades em sequências numéricas, surgem as tabelas.

Estas, como representações de relações funcionais, podem trazer idênticos problemas

aos encontrados nos padrões quando, por exemplo, no caso das funções lineares do

tipo f(x)=ax+b, os alunos acrescentam valores, estendendo cada coluna

independentemente da outra, e podem completar correctamente a tabela sem

estarem a par da função específica que transforma o valor de uma coluna no valor da

outra, ou seja, sem desenvolverem um raciocínio funcional. Normalmente, apenas se

precisa saber o termo anterior e perceber como ele cresce ao longo das linhas da

tabela, para calcular f(n+1), conhecido f(n). Este método escalar de abordagem pelos


19

alunos para preencherem tabelas de funções, tem características de iteração e de

recursão, embora na maioria das vezes eles não precisem de conhecer a condição

inicial f(0), que permite chegar à definição recursiva da função.

Também outro estudo longitudinal referido em Carraher e Schliemann (2007),

confirma alguns destes problemas, como o não reconhecimento do carácter geral de

uma expressão que traduz as relações de um modelo de uma situação real, ou a

exploração da tabela de valores de uma função que relaciona o número de items e o

respectivo preço, tendendo a não identificar a relação invariante entre as duas

colunas, mas trabalhando por preenchimento em coluna.

Dificuldades com os significados em Álgebra. Sendo a perda de significado

dos objectos da Álgebra, uma das fontes de dificuldades encontradas pela

investigação, importa retermo-nos um pouco sobre os significados em Álgebra e as

suas origens.

Kieran (2007) refere quatro fontes de significado: a estrutura algébrica simbólica,

tendo por detrás significados de referência; as múltiplas representações,

nomeadamente procurando coordenar objectos e acções, articulando diferentes

representações, como a gráfica e a simbólica formal; o contexto do problema que

permite fundir os símbolos com as situações; e o que é exterior à matemática e ao

contexto do problema e que passa pela actividade corporal, a linguagem e a

experiência passada.

Sfard e Linchevsky (1994) acentuam o sentido que está “na capacidade de „ver‟ as

ideias abstractas escondidas por detrás dos símbolos” (p. 224), enquanto que Arcavi

(2006), refere como uma componente do sentido de símbolo, a capacidade de

manipular e „ler‟ através das expressões simbólicas, na resolução de problemas

algébricos, com o objectivo de captar significados. Esta é uma das componentes que

Arcavi identifica como constituintes do sentido de símbolo, sendo as restantes cinco:

(i) manter familiaridade com os símbolos; (ii) ter consciência de que pode desenhar

relações simbólicas que expressem certa informação verbal ou gráfica; (iii) a

capacidade de seleccionar uma dada representação simbólica e de a substituir caso

reconheça existir uma mais adequada; (iv) a consciência da necessidade de rever os

significados dos símbolos na resolução de uma situação problemática, comparando os

significados com as intuições sobre os resultados e as situações; e (v) a consciência

de que os símbolos podem desempenhar diferentes papéis, em diferentes contextos.

O trabalho de Arcavi (2006) centra-se na procura de resposta para duas questões,

tendo em conta a necessidade de manter os significados no trabalho algébrico: como

se desenvolve nos peritos o sentido de símbolo e qual o conhecimento subjacente para

o desenvolver?


20

Relativamente à primeira questão, os resultados apontam para que, a forma como os

alunos se relacionam com os significados e usam o senso comum na abordagem de

problemas algébricos está dependente, não de habilidades inatas, mas da cultura da

sala de aula, nomeadamente aquilo que o professor valoriza. Sobre a segunda

questão, concluiu-se que

ser competente em Álgebra escolar implicaria, entre outras coisas, o

exercício de uma transição bidireccional, oportuna e flexível entre o uso de

acções desprovidas de significado (como a aplicação automática de regras

e procedimentos) e a aplicação do senso comum e a busca de significados

(Arcavi, 2006, p. 39).

O desenvolvimento de competência algébrica exigiria assim uma alternância entre a

prática de automatismos, usando os símbolos e a busca de significados, procurando a

compreensão, para que através do pensamento e da reflexão, se possa prosseguir,

agindo de novo sobre os símbolos. Isto conduz àquilo que Arcavi (2006) designa por

desenvolver a “paciência intelectual necessária para com a compreensão parcial” (p.

41), acreditando que não percebendo tudo de uma só vez, acções posteriores abrirão

novos horizontes do nosso conhecimento, tornando-o mais claro e completo.

Em resumo, nesta secção procurei identificar um conjunto de dificuldades que os

alunos sentem na aprendizagem da Álgebra.

Na transição da Aritmética para a Álgebra, parecem reconhecer-se vários tipos de

dificuldades, nomeadamente: a falta de ligação entre a representação algébrica

simbólica e outras representações que possam dar sentido às acções; os novos

símbolos que surgem e a mudança de significado em símbolos já usados na

Aritmética; a identificação do sinal de igual como destinado a produzir um resultado e

não como relação de equivalência; a procura de respostas particulares em detrimento

de relações; e a não compreensão sobre os diferentes usos das letras.

Embora os padrões constituam um terreno privilegiado de exploração e construção de

relações entre a Aritmética e a Álgebra e de desenvolvimento do pensamento

algébrico, existem dificuldades, nomeadamente quando se pretende abordá-los numa

perspectiva funcional, uma vez que os alunos têm tendência a privilegiar uma

abordagem escalar. O trabalho com sequências, envolvendo apenas uma variável ou

um conjunto de dados e a falta de ligação entre o número de posição e o padrão,

constituem dificuldades para se perceberem os padrões como funções.

Paralelamente, idêntico fenómeno se passa com as tabelas quando traduzem relações

entre variáveis, e em que os alunos tendem a usar o preenchimento ao longo de cada

coluna, ignorando a relação que existe entre as duas colunas.


21

Uma outra fonte de dificuldade é a perda de significado dos objectos algébricos,

sugerindo-se a importância de ter sentido de símbolo e saber „ler‟ através dos

símbolos, mantendo na actividade algébrica, uma alternância entre a procura de

significados e a prática de procedimentos e automatismos.

As respostas às dificuldades

As explicações encontradas para as razões das dificuldades na Álgebra escolar

divergem. As mais frequentemente atribuídas pelos investigadores são as limitações

ao nível do desenvolvimento cognitivo dos alunos, ao seu pensamento ainda com base

no concreto, apontando mesmo alguns deles a existência de um ponto de corte, de

natureza histórica e individual, entre o pensamento aritmético e algébrico, difícil de

ultrapassar (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

No entanto, um outro conjunto de investigadores atribui a razão das dificuldades

encontradas pelos alunos à forma como foram ensinados no ensino elementar da

Aritmética, nomeadamente o entendimento dado ao sinal de igual como conduzindo

obrigatoriamente à produção de um resultado (usa-se 3+6=9, mas não 3+6=5+4 ou

7=1+6), a ênfase colocada na obtenção de respostas numéricas e não na tradução e

interpretação de relações ou a identificação limitada das letras como espaços vazios

ou lacunas a serem ocupadas por números específicos e não como verdadeiras

variáveis (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

Como resposta às dificuldades experimentadas pelos alunos, desenvolveram-se

basicamente dois tipos de abordagens, com o objectivo de as suprir: (i) a que

designaremos por uma abordagem pré-algébrica, visando suavizar a passagem da

Aritmética para a Álgebra, mas não pondo em causa a precedência da primeira sobre

a segunda; e (ii) a que corresponde ao movimento da Early Algebra, propondo uma

abordagem radicalmente diferente da Matemática e, em particular, da Aritmética, por

eles considerada como parte da Álgebra, desde os primeiros anos de escolaridade.

As abordagens pré-algébricas. Face às dificuldades identificadas,

desenvolveram-se algumas tentativas, designadas de pré-algébricas, para preparar a

„entrada‟ na Álgebra, inicialmente focadas nos erros dos alunos na resolução de

equações, quer na interpretação do sinal de igual procurando estender a noção de

igualdade, passando das expressões numéricas para as expressões algébricas, quer no

estudo das equações com o apoio em modelos de balanças de dois pratos. Algumas

destas abordagens traduziram-se em cursos de pré-Álgebra que pretendiam construir

uma „ponte‟ entre a Aritmética e a Álgebra e ocorriam entre o fim da primeira e o

início da segunda (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

Enquanto alguns destes estudos parecem ter sido inconclusivos, um estudo de

Herscovics e Kieran (1980), referido em Schliemann, Carraher e Brizuela (2007),


22

baseado numa intervenção para alargar o conceito de igualdade na Aritmética para a

Álgebra, com alunos do 7º e 8º ano, encontra evidência de que passou a existir uma

melhor compreensão sobre as identidades aritméticas, as equações e as regras

algébricas.

Também vários estudos centrados nas equações, nas questões ligadas com a noção de

igualdade ou na transformação de expressões aritméticas em expressões algébricas

parecem ter sido inconclusivos, mas outros estudos bem sucedidos revelam

inadequada a ideia de que as limitações no desenvolvimento cognitivo, são as

responsáveis pelas dificuldades que os alunos sentem na aprendizagem da Álgebra,

sugerindo antes que elas reflectem, sim, a forma como eles foram ensinados

(Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007) na matemática elementar, em particular, na

Aritmética.

Ainda no âmbito das abordagens pré-algébricas, o foco foi-se entretanto deslocando

das equações, para a generalização, os padrões numéricos, as variáveis e funções.

Neste segundo bloco de estudos, uma investigação de Bednarz (2001), com alunos de

13 e 14 anos para incentivar o desenvolvimento de procedimentos algébricos num

contexto de resolução de problemas onde se destacava a generalização matemática e

a representação de padrões numéricos, mostrou que “as respostas escritas dos alunos

que incluem notações intermédias, como descrições verbais e representações icónicas

de quantidades, são importantes ferramentas transitórias que os ajudam a encontrar

soluções para os problemas de Álgebra” (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007, p.

5). Estas representações dos próprios alunos, como desenhos, tabelas e comentários

verbais, são reconhecidas como importantes pontos de partida para a notação

matemática convencional, servindo de registo intermédio e apoio ao pensamento

(Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2008).

Também um estudo de Fujii (2003) conclui que o trabalho com as quase-variáveis

pode apoiar as crianças dos primeiros anos de escolaridade a lidar com a

generalização algébrica muito antes de aprenderem a notação algébrica. Este trabalho

na Aritmética, apoia-se em expressões como 32+5-10 para calcular 32-5 ou em

22+1-10, para calcular 22-9, destacando a estrutura subjacente à decomposição dos

números e a equivalência das expressões numéricas para facilitar o cálculo mental,

construindo „pontes‟ entre problemas aritméticos e as oportunidades de os pensar

algebricamente.

Quando os alunos lidam com expressões numéricas generalizáveis ou

expressões quase-variáveis como lhes chamei, os professores têm de

apoiar os alunos a não lerem estas expressões como comandos para

calcular. Identificar os números críticos e os elementos relacionais

consubstanciados nessas expressões requer que os alunos se foquem


23

especialmente em expressar e transformar a estrutura subjacente (Fujii,

2003, p. 63).

Por outro lado, diversos estudos referidos em Schliemann, Carraher e Brizuela (2007),

reconhecem que a tecnologia computacional como o Logo, as folhas de cálculo e outro

software multi-representacional: facilita ligações com as representações

convencionais, através das representações intermédias que oferece; facilita a

emergência do raciocínio algébrico através da modelação de situações reais; convida à

conjectura e à exploração; e permite o uso de múltiplas formas de representar

situações matemáticas desde o uso da linguagem simbólica, à linguagem numérica,

gráfica e à linguagem natural. No entanto, alguns destes estudos reconhecem a

necessidade de actividades especialmente estruturadas e da intervenção e apoio do

professor, para que se desenvolvam realmente as aprendizagens previstas. De acordo

com Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), “o software torna-se uma ferramenta

para modelar situações e relações e um meio para os alunos representarem as suas

compreensões e flexivelmente transitarem entre diferentes tipos de representação” (p.

7).

Na mesma linha, a revisão de literatura realizada por Kieran (2007a) reconhece que

os ambientes tecnológicos, pela facilidade de ligarem diferentes representações

ajudam os alunos no desenvolvimento do pensamento algébrico, mas a qualidade das

tarefas, o ensino e o ambiente aprendizagem continuam a ser decisivos, para além de

que é preciso dar algum tempo aos alunos.

E embora muitos destes estudos reconheçam que grande parte dos problemas

residem nas experiências limitadas dos alunos na Aritmética, poucos põem em causa a

sequência curricular que prevê a Álgebra para mais tarde e depois da Aritmética. É, no

entanto, o movimento da Early Algebra que vai questionar esta ordem.

A Early Algebra: uma resposta qualitativamente diferente. Na visão mais

tradicional sobre o ensino da Matemática, entende-se que a Aritmética e a Álgebra são

dois domínios diferentes e as abordagens transitórias referidas anteriormente mais

não fazem que procurar construir „pontes‟, que facilitem a transição da Aritmética,

primeiro, para a Álgebra, depois, sem questionarem esta ordem, não indo assim às

raízes do problema. Nos anos 90, vários investigadores, entre os quais James Kaput,

assumindo que as dificuldades dos alunos com a Álgebra se devem à experiência

limitada que tiveram no ensino da Aritmética, mais do que a limitações no seu

desenvolvimento cognitivo, começaram a questionar o caminho dos cursos

introdutórios à Álgebra, propondo aquilo que ficou conhecido como o movimento da

Early Algebra (Carraher & Schliemann, 2007; Schliemann, Carraher, & Brizuela,

2007). Como o próprio nome indica, este movimento defende a introdução das ideias


24

da Álgebra no currículo da escola elementar, desde os anos mais novos, propondo um

repensar das relações entre a Aritmética e a Álgebra e assumindo como ideia chave

que a Aritmética é parte da Álgebra (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

Segundo alguns autores, uma profunda compreensão da Aritmética exige certas

generalizações matemáticas, o que os leva a considerarem, em muitos aspectos, a

Álgebra como aritmética generalizada.

Mas parece existir aqui uma contradição: se a Álgebra não é fácil para os alunos das

escolas médias e superiores, porquê e como introduzi-la mais cedo na escola

elementar? Uma das hipóteses adiantada pelos defensores da Early Algebra é a de

que, sendo as dificuldades das crianças atribuídas, em parte, à forma limitada como a

Aritmética lhes foi ensinada, há que prevenir a situação desde os anos mais novos, de

modo a obviar a que tal aconteça.

E isto parece ser facilitado, porque se admitem outras formas de representação da

generalização de relações da Aritmética, para além da notação simbólica algébrica,

como a linguagem natural, as tabelas e os gráficos.

O que caracteriza então a Early Algebra? Os seus defensores acreditam que, uma vez

que as dificuldades decorrem da forma como os alunos foram ensinados na Aritmética,

sob condições apropriadas, todos poderão aprender a raciocinar algebricamente

(Schlieman, Carraher, & Brizuela, 2007).

O ArAlProject é um exemplo de um projecto que pretende apoiar os professores da

escola elementar e média para responderem às dificuldades dos alunos com a Álgebra,

cujas razões principais são identificadas com a perda de significado acerca dos

objectos estudados (Malara, 2005). A hipótese forte do Projecto é a de que “existe

uma analogia entre as formas de aprender uma linguagem natural e as formas de

aprender uma linguagem algébrica” (Malara, 2005, p. 287), procurando desenvolver

um percurso pela Aritmética que favoreça o raciocínio pré-algébrico. Ou seja, a ideia é

a de que, se mergulharmos os alunos num ambiente aritmético centrado nas relações

entre os números e entre as operações e nas propriedades dos números e das

operações, mais do que nos cálculos em si, favorecemos a ocorrência de formas de

pensamento algébrico, de um modo natural.

No ensino e aprendizagem tradicional da Álgebra, a tendência é ensinar as regras e

outra sintaxe, sacrificando o significado. A ideia de Malara é de que os modelos

mentais que caracterizam o pensamento algébrico podem emergir de um ambiente

aritmético, começando logo nos primeiros anos da escola, desenvolvendo formas

iniciais de conversa com os alunos, contendo elementos algébricos (Malara, 2005).

Mas a Early Algebra, não é de modo algum a Álgebra que conhecemos da escola,

introduzida uns anos mais cedo, mas sim uma outra Álgebra emergente, que aparece

misturada nos conteúdos da matemática elementar.


25

De acordo com Carraher, Schliemann e Schwartz (2008), a Early Algebra toma como

ponto de partida, as situações e contextos dos problemas, admite que a notação

formal é introduzida gradualmente, exigindo um estar atento às interpretações dos

alunos e não constitui mais um tópico que se acrescenta, mas está espalhada em todo

o currículo, nos problemas de palavras, nas operações aritméticas e em tópicos como

razão e proporção, nos números racionais e na medida e nos sistemas

representacionais, cabendo ao professor fazer emergir esse carácter algébrico.

Algumas destas dimensões, estão presentes no problema das caixas dos doces (candy

boxes’ problem) e das carteiras (wallet’ problem) e na exploração que o professor faz

dos problemas, com alunos de um 3º e 4º anos, entre os 8 e os 10 anos (Carraher,

Schliemann, & Schwartz, 2008).

Na abordagem que o professor faz aos problemas, que são colocados de forma muito

aberta, vai-se apoiando progressivamente nas representações dos alunos e noutras

representações mais convencionais que introduz de forma progressiva, como tabelas e

gráficos, antes da referência à notação algébrica.

Blanton e Kaput (2005a), identificam como ferramentas para o pensamento algébrico,

objectos como tabelas em T, de entrada e saída de valores, representações visuais

como linhas numéricas, diagramas ou gráficos de linhas e processos como registo,

recolha, representação e organização de dados.

Para os investigadores em Early Algebra, as múltiplas representações desempenham

um papel importante na aprendizagem, as primeiras das quais são as representações

dos próprios alunos (como desenhos, esquemas ou comentários verbais), das quais se

destacam as tabelas, mesmo como apoio ao estudo das funções. O termo

representação, é usado por Carraher, Schliemann e Schwartz (2008), como incluindo

qualquer expressão de ideias matemáticas que possam ser observadas pelos outros.

Estas não constituem um fim em si, mas devem ser lidas e analisadas na procura de

generalizações, procurando ver o que varia e o que se mantém constante, para que

possam ser usadas para melhorar a compreensão, encontrar expressões gerais e

predizer resultados a partir dos dados conhecidos.

Também as funções, tal como os números, têm várias representações, cada uma

delas evidenciando certas características, pelo que se torna um desafio para melhorar

a compreensão, os alunos pensarem como as mudanças numa representação afectam

a outra (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). “Muito do trabalho em aprender a

pensar algebricamente consiste em aprender como gerar representações num sistema

a partir de representações dadas num outro” (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007,

p. 123). Na mesma linha, o NCTM (2007) reconhece a importância das diferentes

representações nos processos de apropriação dos conceitos, através da sua „‟tradução‟

e do estabelecer de relações entre diferentes modos de representação.


26

O raciocínio aritmético e numérico, através da exploração de expressões numéricas

com valores em falta, do tipo 7+?=15 (um problema algébrico que lida com os

inversos), ou do trabalho com as quase-variáveis, expressões numéricas

generalizáveis como 71-13=71-20+7 ou 36-14+14=36, pode ser um ponto de

entrada para o raciocínio algébrico (Carraher & Schliemann, 2007).

Também, segundo os mesmos autores, a Aritmética e as funções constituem um outro

ponto de entrada na Early Algebra, e colocar as funções no centro do ensino da

Álgebra, passa por associar as letras a variáveis realmente a variar e não como

representando um valor, usar as expressões como representando funções e usar o

sistema de coordenadas cartesianas como espaço onde se apresentam e interpretam

resultados de cálculos (Chazan & Yerushalmy, 2003; Carraher & Schliemann, 2007).

Neste sentido, as próprias operações aritméticas podem ser vistas como funções, e as

múltiplas representações das funções, cada uma colocando em destaque diferentes

aspectos e o trabalho com os padrões, focado nas regras de transformação, são

também aspectos privilegiados de desenvolvimento do pensamento algébrico, com

uma dimensão funcional.

Podemos assim concluir que “a aritmética generalizada e o pensamento funcional,

oferecem ricos e acessíveis pontos de entrada para os professores estudarem o

pensamento algébrico” (Blanton & Kaput, 2005a, p. 440).

Os professores podem aprender a pensar espontaneamente acerca destas formas de

raciocínio algébrico e a aritmética generalizada pode ser particularmente frutuosa,

como um contexto inicial para construir a capacidade dos professores introduzirem o

raciocínio algébrico, de forma natural, nas conversas da sala de aula.

Nos últimos anos, vários estudos têm sido desenvolvidos na perspectiva da Early

Algebra. A investigação conduzida com actividades destinadas a jovens dos primeiros

seis anos de escolaridade, mostra que eles podem raciocinar algebricamente, usando

notação algébrica para resolver problemas verbais, desenvolvendo representações

escritas para problemas algébricos ou explorando relações matemáticas através do

uso de frases com números (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Quando o foco

do trabalho das crianças incide nas relações matemáticas, que emergem do uso de

diferentes operações para resolver um problema, mostrando perceber como estas

estão relacionadas entre si, através do recurso às relações inversas subtracção –

adição ou multiplicação – divisão, elas têm implícito o raciocínio algébrico (Schifter,

1999). É o que este autor identifica como o desenvolvimento do sentido de operação

nos primeiros anos de escolaridade. Também um estudo referido em Schliemann,

Carraher e Brizuela (2007), com alunos de 3º ano mostrou a sua capacidade para

fazerem generalizações e para usarem argumentos intuitivos na discussão de

operações sobre números pares e ímpares, considerados como placeholders ou como

variáveis.


27

Num estudo onde se desenvolveram actividades de ensino para explorar frases com

números (tipo 5+4=9), procurou-se desenvolver um significado para o sinal de igual,

mais abrangente do que a produção de um resultado, usando exemplos como 9=5+4

e 3+6=5+4. Estas equivalências procuraram fazer emergir a propriedade reflexiva da

relação de igual a=a, mas também as propriedades simétrica (a=b => b=a) e

transitiva (a=b e b=c => a=c) que parecem trazer alguma dificuldade.

Os resultados mostraram que crianças com 8 a 9 anos de idade eram capazes de

compreender os diferentes usos do sinal de igual através de actividades desenhadas

para o efeito, evidenciando uma continuidade entre a Aritmética e a Álgebra.

Virtualmente, todas as manipulações sobre as equações, requerem a

compreensão de que o sinal de igual representa uma relação (…)

Compreender que o sinal de igual representa uma relação entre números

iguais revela o poder da Álgebra para representar problemas e levar a cabo

operações complexas para expressões matemáticas. Isto pode enriquecer a

aprendizagem da Aritmética, assim como a aprendizagem da Álgebra

(Carpenter, Franke, & Levi, 2003, p. 22).

Os estudos da Early Algebra mostram evidência de que as crianças podem aprender as

regras e princípios das equações da Álgebra nos anos mais novos, mas também

destacam a necessidade de acompanhar com atenção as discussões e processos de

raciocínio das crianças na sala de aula, de modo a perceber os seus processos de

aprendizagem e a forma como abordam os padrões, a generalização e as funções

(Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

Em resumo, as dificuldades sentidas pelos alunos, são atribuídas, por uns, a limitações

no seu desenvolvimento cognitivo e, por outros, à forma limitada como foram

ensinados na Aritmética. Relativamente a estas últimas, elas parecem residir na

ênfase na obtenção de resultados numéricos em detrimento da procura de relações,

no uso do sinal de igual como unidireccional, com vista à produção de um resultado e

numa identificação limitada do uso das letras.

Duas abordagens se têm desenvolvido para suprir as dificuldades: uma que passa

essencialmente por cursos pré-algébricos que visam „suavizar‟ a „entrada‟ na Álgebra e

outra, designada de Early Algebra que, entendendo a Aritmética como parte da

Álgebra, visa desocultar essa estrutura através de um trabalho a desenvolver desde os

primeiros anos de escolaridade.

Algumas abordagens pré-algébricas procuram alargar o conceito de igualdade da

Aritmética para a Álgebra, para eliminar os erros na resolução das equações, mas

outras trabalham na resolução de problemas, usando a generalização e a


28

representação de padrões numéricos, com vista a desenvolver procedimentos

algébricos. Embora alguns destes estudos encontrem evidência de uma melhor

compreensão dos alunos sobre os objectos e regras algébricas, reconheçam nas

representações intermédias dos alunos, „pontes‟ importantes para a notação

convencional e na tecnologia computacional uma ferramenta que facilita diferentes

tipos de representação, outros estudos foram inconclusivos.

A Early Algebra, fez uma abordagem qualitativamente diferente, ao propor repensar

as relações entre a Aritmética e a Álgebra, assumindo como ideia chave que a

Aritmética é parte da Álgebra e que o pensamento algébrico se pode desenvolver

desde os primeiros anos da escolaridade. Procurando revelar a natureza algébrica da

estrutura da Aritmética, propõe uma abordagem espalhada ao longo do currículo, a

partir das situações e contextos de problemas, centrada na generalização (da

Aritmética), na procura de relações, apoiando-se nas representações dos alunos e

noutras representações mais convencionais, que vai introduzindo progressivamente,

antes da referência à notação algébrica.

Vários estudos conduzidos com alunos dos primeiros seis anos de escolaridade,

centraram-se na exploração de relações matemáticas, no uso das operações inversas

na resolução de problemas numéricos, na generalização e no uso de letras como

variáveis, no trabalho com expressões numéricas com valores em falta e com as

quase-variáveis e no alargar do significado do sinal de igual, tendo revelado evidência

de que os alunos eram capazes de raciocinar algebricamente.

Também as funções, através das múltiplas representações a elas associadas, da

tradução de umas nas outras e no estudo das implicações que as alterações numa

trazem para as outras, constituem um importante desafio para o desenvolvimento do

pensamento algébrico: o pensamento funcional. Esta vertente tem vindo a valorizar-se

nos últimos anos, mercê do desenvolvimento da tecnologia computacional, pelo que

merece uma breve referência na sub-secção seguinte, sendo o assunto retomado e

desenvolvido no capítulo seguinte, dedicado às TIC e ao pensamento algébrico.

A abordagem funcional e a tecnologia

A Álgebra para os jovens, exige diferentes abordagens daquela que é introduzida aos

adolescentes, admitindo-se que a notação algébrica convencional é apenas uma entre

outras (tabelas, frases com números, gráficos, etc.), que os contextos desempenham

um papel importante e que as funções “fornecem oportunidades para trazer ao de

cima o carácter algébrico de muitos tópicos e actividades da Early Algebra” (Carraher

& Schliemann, 2007, p. 674).

O conceito de pensamento funcional, incorpora “a construção e generalização de

padrões e relações, usando diversas ferramentas linguísticas e representacionais e


29

tratando as relações generalizadas, ou funções, que resultam como objectos

matemáticos úteis em seu próprio proveito” (Blanton & Kaput, 2005b, p. 2).

De acordo com Chazan e Yerushalmy (2003), as abordagens à Álgebra baseadas em

funções, colocam a ênfase inicialmente na interpretação de

letras como variáveis, em vez de incógnitas; expressões como regras de

correspondência para funções; o sistema de coordenadas cartesianas como

um espaço onde se apresentam os resultados dos procedimentos de

cálculo, em vez de pontos num conjunto solução; o sinal de igual como a

designação para um processo particular de cálculo (f(x)= …) e como a

indicação da identidade entre dois processos de cálculo (p. 132).

A defesa da introdução de uma abordagem funcional à Álgebra, encontra evidência

nalguns estudos referidos em Carraher e Schliemann (2007). Um estudo conduzido

por uma equipa de investigadores com 78 alunos do 2º ano, em três salas de aula

experimentais, desenvolveu um conjunto de actividades ligando explicitamente a

posição ordinal de um padrão geométrico constituído por um conjunto de figuras, ao

número de elementos em cada figura (Moss et al., 2006, referidos em Carraher e

Schliemann, 2007). Procurava-se assim cobrir o hiato entre a abordagem escalar e

funcional e facilitar a integração das compreensões numéricas e visuais dos alunos,

alternando entre os dois tipos de representação dos padrões. As actividades

envolveram padrões geométricos e cartões de posição, funções simples e compostas,

trabalho com uma „máquina‟ de transformação de valores e tabelas e chegaram a

algumas conclusões, quando comparados com 22 alunos do 4º grau que constituíram

o grupo de controle: “as crianças no grupo experimental foram capazes de construir

padrões geométricos baseados nas representações algébricas, de reconhecer funções

de padrões geométricos, incluindo funções compostas de dois passos, e para usar

linguagem sincopada para expressar funções” (Carraher & Schliemann, 2007, p. 689).

Também na abordagem à Early Algebra, proposta por Carraher e Schliemann (2007),

refere-se:

Especificamente, nós propusemos (Carraher, Schliemann, & Brizuela,

2000) que as operações da Aritmética podem ser vistas como funções.

Central à nossa abordagem é o uso de múltiplas representações,

nomeadamente, a linguagem natural, os segmentos de recta, tabelas de

funções, gráficos cartesianos e notação algébrica” (Carraher & Schliemann,

2007, p. 690).


30

No mesmo sentido, o desenvolvimento do pensamento funcional é abordado por

outros investigadores, que chamam a atenção para a necessidade de passar de uma

abordagem centrada nos padrões recursivos, para uma outra que procura a variação

conjunta entre variáveis, através do uso de diferentes ferramentas de representação

(Blanton & Kaput, 2005b). As conexões entre as diferentes representações, podem

permitir ultrapassar dificuldades e ambiguidades que podem existir nalguma delas

vista isoladamente, melhorando a compreensão dos alunos, apoiando-os a darem

sentido aos dados e a interpretar relações, sob formas progressivamente mais

sofisticadas. As tabelas em T e os gráficos são entendidos, mais do que simples

representações visuais, como ferramentas que permitem comparar dados e desocultar

e explicitar relações (Blanton & Kaput, 2005b).

O problema do dinheiro na carteira (wallet problem) de Mike e Robin, referido por

Carraher, Schliemann e Schwartz (2007), explorado com alunos do 4º ano, começa

aberto e envolve a comparação entre funções (w+8 e 3.w). Se for logo colocada a

condição que „obriga‟ os dois a terem quantidades iguais, esta restrição convida ao

uso de equações e encoraja o estudante a pensar na variável como um valor

determinado, uma incógnita.

Isso não deixa as funções livres, a variar, encorajando os alunos a explorarem

primeiro a variação inerente a cada função, ou seja, o total de dinheiro em função da

quantidade existente na bolsa (Carraher & Schliemann, 2007), introduzindo

posteriormente a condição que as condiciona a serem iguais, procurando nos gráficos

das duas funções a solução. Como referem,

nós preferimos pensar numa incógnita como uma variável que por uma ou

outra razão acontece estar condicionada a um único valor, como quando

w+8 se iguala a 3.w (…) Através de experiências com problemas deste

tipo, as crianças começam a lidar com mais do que uma função ao mesmo

tempo, analisando os padrões nas mudanças nas relações entre

quantidades, variáveis e funções e encontrando no gráfico o valor que pode

tornar as duas funções iguais (Carraher & Schliemann, 2007, p. 691)

Os estudos de Moss et al. (2006), referidos em Carraher e Schliemann (2007),

mostram que “as regras de transformação são acessíveis a jovens alunos e que as

actividades com padrões, se focadas sobre as regras de transformação e as

representações numéricas e geométricas, podem constituir um significativo ponto de

entrada para a EA” (p. 694). Os resultados identificados na investigação apontam para

que os jovens dos 8 aos 11 anos, envolvidos nas actividades de Early Algebra, podem

aprender: (i) a ver as operações aritméticas como funções em vez de as identificarem

simplesmente como cálculos sobre números; (ii) a deslocar o pensamento da relação


31

entre números específicos para as relações entre conjuntos de números e medidas;

(iii) construir o significado de variável como quantidade realmente a variar e não como

incógnita com um valor determinado; (iv) deslocar-se do cálculo de respostas

numéricas para a descrição e representação de relações entre variáveis; (v) construir

e representar gráficos de diferentes funções lineares e não-lineares; (vi) resolver

problemas algébricos usando múltiplas representações tais como tabelas, gráficos e

equações escritas; (vii) ser capaz de inter-relacionar diferentes sistemas de

representação de funções.

Mas parece ter sido o desenvolvimento da tecnologia nos últimos anos que veio

valorizar a abordagem funcional à Álgebra, ao permitir que os estudantes explorem os

sistema simbólicos, fortemente interligados com contextos tabulares, geométricos e

gráficos (Ferrara, Pratt & Robutti, 2006). Em particular, as folhas de cálculo, ajudam

na observação de relações entre quantidades, permitem múltiplas representações de

funções, reduzindo a carga cognitiva de interacção com aspectos do simbolismo

matemático e valorizam a aprendizagem de exemplos em várias representações

ligadas (gráficos e tabelas) (Yerushalmy e Chazan, 2003, p. 734).

As recentes abordagens apoiadas tecnologicamente à Álgebra introdutória

escolar, muitas vezes enfatizam o uso de múltiplas representações de

funções e deste modo parecem articular um papel curricular diferente para

as funções na Álgebra escolar (Yerushalmy e Chazan, 2003, p. 729).

A investigação conduzida em ambientes tecnológicos, chama a atenção para a

importância da qualidade das tarefas e das discussões em sala de aula, em que o

professor procura que os conceitos venham ao de cima, na actividade

transformacional. No entanto, refere a necessidade de manter em paralelo o trabalho

com as técnicas algébricas de papel e lápis (Kieran, 2007a, p. 748).

Também relativamente ao uso da tecnologia no ensino da Álgebra, a autora adverte

para o facto de que

alguns argumentaram que ferramentas como os sistemas de Álgebra por

computador podem fazer todo o trabalho simbólico, dispensando a

necessidade dos alunos se envolverem em tal aprendizagem por eles

próprios. Contudo, a investigação mostrou que o conceptual não evolui no

aprendente de Álgebra se os aspectos técnicos forem negligenciados

(Kieran, 2007a, p. 749).


32

Como já foi referido, a relação da tecnologia com a abordagem funcional à Álgebra,

será abordada e aprofundada no capítulo seguinte, denominado As TIC e o

pensamento algébrico.

Em resumo, a abordagem funcional à Álgebra, permite revelar o carácter algébrico de

muitos tópicos da Matemática, interpretar as letras como variáveis, as expressões

como regras para funções, a representação gráfica como um espaço de apresentação

de resultados de cálculos e o sinal de igual designando, quer um processo particular

de cálculo, quer a identidade entre dois processos de cálculo.

O desenvolvimento da tecnologia veio valorizar esta abordagem, na medida em que

facilitou a emergência de representações alternativas ao sistema simbólico algébrico,

como as representações numéricas em tabela, geométricas e gráficas, permitindo uma

fácil transição entre elas.

Alguns estudos apresentam evidência, reconhecendo o papel da abordagem funcional,

quando se desenvolvem actividades com padrões geométricos, tendo em vista

relacionar explicitamente a posição com o correspondente elemento do padrão,

procurando que os alunos evoluam de uma abordagem escalar, apenas numa variável,

para uma abordagem funcional, que relaciona duas ou mais variáveis.

Esta abordagem funcional valoriza também as múltiplas representações,

nomeadamente a linguagem natural, as tabelas e os gráficos.

A investigação reconhece ainda que os estudantes entre os 8 e os 11 anos, envolvidos

em actividades de Early Algebra, aprendem a ver as operações como funções,

centram-se nas relações em vez do cálculo, vêem as variáveis como quantidades a

variar, usam diferentes representações para resolverem problemas algébricos e inter-

relacionam-nas.

Os ambientes tecnológicos, por seu lado, não dispensam as técnicas algébricas de

papel e lápis e requerem tarefas de qualidade e boas discussões que o professor deve

conduzir de modo a fazer emergir os conceitos.

Questões em aberto

Embora os resultados da intervenção ao nível da Early Algebra, tenham aberto um

campo de novas possibilidades para ensinar uma aritmética algebrizada, deixaram um

conjunto de questões por responder, nomeadamente: (i) o debate desenvolvimento

versus aprendizagem; (ii) o papel dos contextos na aprendizagem; (iii) o papel dos

sistemas representacionais (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

O debate desenvolvimento versus aprendizagem, exige melhores respostas da

investigação. Embora a evidência seja favorável a que as crianças podem raciocinar

algebricamente e aprender Álgebra, sob condições apropriadas que superem as

limitações ao nível do ensino e do desenho do currículo, há investigação que mostra


33

que alguns conceitos requerem um longo tempo para amadurecerem. É o que se

passa com o conceito de „diferença‟, porque assume significados diferentes quando se

refere a linhas numéricas, medidas, gráficos ou diagramas de vectores, por exemplo.

Uma outra questão, nomeadamente um dos grandes desafios que os contextos

colocam, é perceber “como o conhecimento abstracto sobre os objectos matemáticos

e estruturas pode vir da experiência e do raciocínio sobre situações particulares”

(Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007, p. 122).

Finalmente, de acordo com Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), as múltiplas

representações envolvem a notação simbólica algébrica, a linguagem natural, as

expressões numéricas e as visualizações geométricas. Pensar algebricamente, num

sentido amplo, está associado e embebido em cada um dos sistemas

representacionais referidos e a compreensão dos conceitos está associada às relações

que se estabelecem entre diferentes sistemas e à tradução de uns nos outros. Assim,

algumas perguntas ficam por responder. Pode a notação algébrica formal ser parte

das actividades da Early Algebra? Sob que circunstâncias é apropriado introduzir a

notação algébrica? Deve a notação algébrica ser semanticamente ou sintacticamente

guiada? Como é que as diferentes notações se relacionam com o raciocínio

matemático?

De facto, a introdução da notação simbólica nos anos mais novos é controversa, pelo

que é importante enquadrá-la na investigação mais geral sobre como as notações,

quaisquer que sejam, se relacionam com o raciocínio matemático.

Finalmente, importa

investigar como a notação algébrica se torna um instrumento para o

raciocício matemático. Em parte, isto tem a ver sobre como ela se torna

sintaticamente guiada. Porque se permanece importante para os alunos

serem capazes de interpretar expressões algébricas simbólicas com relação

com contextos ricos, o significado semântico nunca deve ser totalmente

abandonado (Schliemann, Carraher & Brizuela, 2007, p. 125).

Também Kieran (2007a) refere que os resultados de alguns estudos sobre o uso da

calculadora gráfica, apesar de lhes encontrarem vantagens na melhoria da

compreensão dos alunos sobre funções e gráficos, mostram simultaneamente

continuarem a existir dificuldades para verem a relação entre as representações

algébricas e gráficas, cuja explicação pode estar, em parte, no tempo necessário para

construir a compreensão da notação simbólica.

Outra questão que Warren e Cooper (2008) referem e que importa investigar é a

relação entre a descrição oral dos padrões, que os alunos fazem com maior facilidade

e o colocar da descrição na forma escrita, onde revelam bem mais dificuldades.


34

No seu trabalho, Ponte (2006) deixa também algumas interrogações sobre o papel e

lugar da tecnologia na aprendizagem da Álgebra, nomeadamente: o que devem

aprender primeiro, os conceitos e processos com papel e lápis ou a par e passo com o

uso e exploração da tecnologia? E para que devem usar a tecnologia? Para confirmar

os resultados já obtidos ou como instrumento de exploração?

E embora a folha de cálculo seja reconhecida por alguns investigadores como uma

ferramenta que permite estabelecer uma ponte com a Álgebra, ajudando os alunos a

progredirem dos exemplos específicos para a descrição de relações gerais, alguns

avisam que os alunos tendem a generalizar de forma recursiva, mais do que

explicitamente, o que pode dificultar gerarem regras algébricas que traduzam padrões

identificados (Kieran, 2007a).

Finalmente, o trabalho de Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), chama a atenção

para a necessidade da investigação

olhar mais de perto para as discussões e processos de raciocínio das

crianças (à medida que participam nas actividades de sala de aula ou

entrevistas) para identificar os processos de aprendizagem dos alunos e

como eles lidam com os padrões, generalização e funções (p. 11).

Em resumo, questões como a relação entre o desenvolvimento e a aprendizagem para

superar as dificuldades dos alunos, o papel dos contextos na construção dos objectos

abstractos da Álgebra e o papel e peso relativo das diferentes representações no

desenvolvimento do pensamento algébrico, são algumas das questões deixadas em

aberto pela investigação.

Um outro conjunto de questões que têm introduzido alguma controvérsia e que

merecem alguma atenção da investigação é a oportunidade da introdução da notação

simbólica nos primeiros anos e o tempo necessário para a sua apropriação, as

dificuldades que os alunos experimentam nas descrições orais e escritas, o papel da

tecnologia na aprendizagem da Álgebra e a importância das discussões e processos de

raciocínio das crianças.

De que forma têm as orientações curriculares no domínio dos Números e da Álgebra

integrado as questões do pensamento algébrico, nomeadamente algumas das

conclusões e recomendações da investigação neste domínio, é o que vou tentar

descrever na secção seguinte.


35

Orientações curriculares em Números e Álgebra

O que se sabe sobre as novas tendências curriculares, no âmbito dos Números e

Álgebra, nomeadamente ao nível do desenvolvimento do pensamento algébrico? Que

indicações nestes domínios estabelecem os novos documentos de orientação curricular

internacionais e qual a sua expressão no currículo de matemática do ensino básico

português, nomeadamente no novo programa de Matemática para o Ensino Básico?

Que indicadores da Early Algebra encontramos no novo Programa?

Orientações curriculares internacionais: marcos, evolução e tendências

A partir de meados dos anos 70 assiste-se, através da publicação de relatórios e de

outros documentos, a um movimento que rejeita o back to basics, entendido como um

retorno às competências básicas, como reacção ao estruturalismo e formalismo do

movimento da matemática moderna (Brocardo, 2001). Esse movimento aponta para

novas tendências para o ensino da Matemática, que se expressam na Agenda para a

acção: recomendações para o ensino da Matemática nos anos 80, da responsabilidade

do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), que pretende alargar as

competências básicas e colocar o foco da Matemática escolar na resolução de

problemas, (NCTM, 1985).

Os anos 80, caracterizam-se pelo ultrapassar de uma atitude estritamente reactiva às

propostas do back to basics, para se concentrarem na renovação do ensino da

Matemática, com a contribuição de indivíduos e instituições, de publicações e de vários

estudos sobre o ensino da Matemática, de que são exemplo, o relatório Mathematics

Counts (Cockroft, 1982), Everybody Counts (NRC, 1989) e as Normas para o Currículo

e a Avaliação em Matemática Escolar (NCTM, 1991). Este último documento, um dos

mais divulgados e influentes no panorama da renovação curricular, aponta para três

ideias centrais: a de poder matemático, a das conexões matemáticas e a do uso de

uma grande variedade de métodos de trabalho e acesso a calculadoras e

computadores.

Já nos anos 90 o NCTM publica, a par das Adendas às Normas para o Currículo, dois

documentos de grande importância, discutindo aspectos relativos ao professor de

Matemática: as Normas Profissionais para o ensino da Matemática (NCTM, 1994), que

constitui um contributo sobre as práticas, a formação e o desenvolvimento profissional

do professor e as Normas para a avaliação em matemática escolar (NCTM, 1999).

Ainda nos anos 90, o NCTM começa a preparar a publicação do novo documento,

Principles and Standards for School Mathematics, que viria a ser editado em 2000 e

traduzido pela Associação de Professores de Matemática (APM), em 2007,


36

perspectivando uma actualização das Normas anteriores, englobando aspectos de sala

de aula, do currículo, do ensino e da avaliação.

Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar, preparados desde 1995, e

publicados na versão original em inglês, em 2000, pretendem proporcionar uma

„orientação‟ e uma „visão‟ global para a Matemática escolar. “Os Princípios descrevem

características de uma educação matemática de elevada qualidade; as Normas

descrevem os conteúdos e processos matemáticos que os alunos deverão aprender”

(NCTM, 2007, p. 11).

Pela importância que tiveram na educação matemática em Portugal algumas ideias e

orientações curriculares do NCTM, expressas nas duas edições das Normas para o

Currículo, publicadas nas versões originais, respectivamente em finais dos anos 80 e

no ano 2000, vou deter-me na tradução portuguesa deste último documento,

publicada em 2007.

Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar. No que se refere ao

material com relevo para a investigação, vamos deter-nos com maior ênfase na

Norma relativa à Álgebra, que coloca a ênfase nas relações entre quantidades,

incluindo funções, nas formas de representar relações matemáticas e na análise da

variação” (NCTM, 2007).

Reconhece-se que, embora ideias e relações matemáticas complexas se possam

exprimir através de notação simbólica, esta construção surge a partir de muitas

experiências dos alunos com números, desde os primeiros anos, embora a Álgebra

mantenha também uma relação estreita com a geometria e a análise de dados. “A

experiência sistemática com padrões poderá vir a desenvolver a noção de função

(Erick Smith, para edição) e a experiência com os números e as suas propriedades,

cria bases para o trabalho posterior com símbolos e expressões algébricas” (NCTM,

2007, p. 39).

Desde as experiências das crianças em idade pré-escolar com a classificação e

ordenação de objectos, passando pela descrição verbal da regularidade dos padrões

que encontram, ao uso de variáveis e expressões algébricas para os descrever e

ampliar, até à notação das funções para descrever relações, todas constituem

experiências introdutórias da Álgebra. O documento refere que, “no 2º e 3º ciclo, os

alunos deverão ser capazes de compreender as relações entre tabelas, gráficos e

símbolos e de avaliar as vantagens e as desvantagens de cada forma de

representação, consoante os objectivos em causa” (NCTM, 2007, p. 40).

O trabalho com os números triangulares ou os números quadrados, que podem ter

uma representação visual, facilita a compreensão das regularidades envolvidas,

porque, de um modo geral, “os alunos compreendem argumentos geométricos muito


37

antes de ser razoável supor-se que sejam capazes de efectuar manipulações

sofisticadas dos símbolos algébricos” (NCTM, 2007, p. 41).

A noção de variável, pela complexidade e dificuldade de compreensão pelos alunos

que revela, deve apoiar-se num grande conjunto de experiências, em que surja em

diferentes contextos (por exemplo, __+3=15; 4*x-2=18; 0*x=0; y=a*x+b; A=∏*r2)

ao longo da escolaridade, constituindo uma base para a compreensão das funções.

Também a modelação de fenómenos é considerada uma poderosa utilização da

matemática. Desde um simples jogo em que as crianças utilizam fichas para

representar (modelar) um problema que envolve peças de fruta, passando pelo uso da

fórmula S=(8/3)*F para descrever a relação entre o número de copos de sumo (S) e o

número de copos de concentrado de fruta (F), à modelação de fenómenos físicos de

movimento através de funções lineares ou quadráticas ou à representação tabular e

gráfica de dados recolhidos directamente de sensores, todas constituem exemplos de

situações em que a construção de modelos e sua análise, constituem boas

experiências ao nível do pensamento e do trabalho algébrico (NCTM, 2007).

Também o estudo da variação, como uma das linhas de desenvolvimento do

pensamento algébrico, deve ser privilegiado desde os primeiros anos de escolaridade.

Primeiro, através de variações qualitativas, como a mudança de um atributo como a

cor, e posteriormente, através de variações quantitativas, observando variações

naturais de crescimento de plantas, sequências com crescimento aritmético e

geométrico, taxas de variação e mais tarde derivadas.

O capítulo Teaching and Learning Algebra, do livro Teaching and Learning Mathematics

– Pre-Kindergarten Through Middle School, (Sheffield & Cruikshank, 2005), contém

um conjunto de objectivos e actividades que devem fazer parte da formação

matemática em Álgebra de todos os alunos, desde os graus K-2 até ao 6-8.

Este livro integra-se no conjunto de materiais que se destinam a apoiar os professores

em levar à prática as recomendações contidas nos Princípios e Normas para a

Matemática Escolar (NCTM, 2007). Por este motivo, vale a pena analisar algumas

ideias e propostas didácticas aí sugeridas, sobre a aprendizagem da Álgebra.

Sheffield & Cruikshank (2005) referem que a Álgebra pode ser entendida como a

“teoria e prática das operações aritméticas que usa símbolos, especialmente letras

para representar variáveis desconhecidas em equações” (p. 306), mas também como

uma aritmética generalizada, sendo o próprio pensamento algébrico considerado como

uma extensão natural do pensamento aritmético.

As actividades são „desenhadas‟ tendo em vista que os alunos dêem sentido aos

conceitos algébricos e desenvolvam skills de pensamento e raciocínio algébrico,

“reconhecendo, expandindo e generalizando padrões e usando modelos, símbolos,

variáveis e equações para descrever padrões, generalizações e relações” (Sheffield &

Cruikshank, 2005, p. 306).


38

Por exemplo, compreender padrões, relações e funções, constituem aspectos críticos

do raciocínio algébrico (NCTM, 2007) e devem acompanhar os alunos desde a

educação pré-escolar até ao 12º ano. Esta capacidade de ver padrões e fazer

generalizações assenta nas definições da Álgebra como aritmética generalizada, sendo

que as crianças devem ter experiências com padrões de repetição e de crescimento,

padrões numéricos e geométricos, onde se coloquem sempre questões mais directas e

outras que promovem o pensamento mais avançado (Sheffield & Cruikshank, 2005).

Também visualizar relações numéricas através da análise de tabelas, procurar todas

as combinações possíveis que respeitam uma determinada condição, através de uma

lista organizada de forma sistemática, estender e generalizar o raciocínio proporcional

com vista a tomar uma decisão, constituem aspectos importantes do trabalho

preparatório algébrico.

Outro dos conceitos vitais para compreender a Álgebra é o de variável, normalmente

representada por uma letra, mas nem sempre bem compreendida. O termo „variável‟

pode significar um símbolo que assume vários valores de um dado conjunto (como em

área=l*w) ou pode ter só um valor bem determinado (como em 5*c=20), o que cria

dificuldades de compreensão aos alunos sobre o conceito (Sheffield & Cruikshank,

2005).

Actividades para desenvolver o conceito de função podem usar uma máquina de

entrada–saída, em que a transformação pode ir de uma simples mudança de atributo

(p. ex. cor, nos níveis mais elementares), a uma mudança de um número noutro

através de uma operação ou dados dois números como entrada e um número como

saída, procurar a combinação de operações que conduz de uns ao outro. Neste caso, a

calculadora pode ser uma ferramenta útil, apoiada no uso de tabelas e gráficos

(Sheffield & Cruikshank, 2005).

Da mesma forma, devem apresentar-se problemas que envolvam quantidades que

possam ser representadas de diferentes formas equivalentes, o que pode ser

confirmado pelas crianças através de uma tabela ou de um gráfico, estendendo a sua

capacidade para usar símbolos e comunicar.

A análise da variação constitui também um aspecto importante para compreender as

funções e para entender o significado de muitas notícias que ouvimos e lemos no dia-

a-dia. E embora o estudo formal da variação matemática se faça integrada no Cálculo,

as experiências para uma progressiva apropriação do conceito devem começar desde

cedo, primeiro qualitativamente e mais tarde quantitativamente.

Como já vimos anteriormente, a modelação matemática de fenómenos pode constituir

um uso poderoso da matemática, de acordo com NCTM (2007). Os modelos físicos são

muito úteis permitindo ligar conceitos de operações algébricas e aritméticas, assim

como o desenho de gráficos a partir de uma história, procurando discutir aspectos da

história que vão mudando e as suas implicações no gráfico.


39

Outro aspecto importante é desenvolver o cálculo mental na resolução de equações,

procurando o valor exacto, em situações simples, ou um valor aproximado, em

situações complexas, procurando estimativas e respectivas justificações.

Também é importante habituar os alunos a conduzir experiências de recolha de dados,

nomeadamente através de dispositivos físicos, sua organização em tabelas e gráficos

e depois colocar-lhes uma lista de questões que os façam pensar sobre diferentes

aspectos da experiência.

Constituindo a comunicação um aspecto integrante da aprendizagem, o professor deve

pedir aos alunos para generalizarem padrões de que eles se tenham

apercebido nas suas explorações e usar uma variedade de representações

para explicar o seu raciocínio. À medida que os alunos progridem na sua

compreensão algébrica, guiá-los para usarem uma linguagem própria e

notação algébrica para representar essas generalizações (Sheffield &

Cruikshank, 2005, p. 325).

O documento dá exemplos de problemas que podem ser explorados e resolvidos, quer

manipulando apenas símbolos e variáveis, quer adoptando outras estratégias que

levam a uma compreensão mais aprofundada. Mas é sempre o conjunto das

questões/desafios que se podem colocar que tornam o problema mais aberto, dando-

lhe uma natureza mais investigativa.

O documento propõe um percurso de aprendizagem da Álgebra, partindo de

actividades e experiências exploratórias de padrões, da representação e análise de

situações usando símbolos, da modelação e da análise da variação, propondo desde os

primeiros anos, o que designa por desenvolvimento do pensamento algébrico, na linha

do que defende o NCTM (2007).

De um modo geral, se os alunos se envolverem em manipulações

repetitivas de símbolos antes de desenvolverem uma base conceptual

sólida do seu trabalho, serão incapazes de fazer mais do que manipulações

mecânicas (NRC, 1998). As bases para um trabalho significativo com

notação simbólica deverão ser construídas ao longo de um largo período de

tempo (NCTM, 2007, p. 41).

Através do seu envolvimento neste tipo de actividades, destinadas a implementar as

recomendações do NCTM, “os alunos são encorajados a dar sentido à matemática

através da construção de modelos concretos, discutindo os seus raciocínios com os

pares e perguntando e respondendo a questões relacionadas com os problemas que

eles encontram” (Sheffield & Cruikshank, 2005, p. 315).


40

Em resumo, parece poder afirmar-se que muitas das ideias que decorrem da

investigação sobre pensamento algébrico, referidas anteriormente, nomeadamente

algumas preocupações da Early Algebra, estão presentes nas orientações curriculares

internacionais descritas (NCTM, 2007). É o caso do reconhecimento da importância

das experiências com números, com padrões numéricos e geométricos e a análise da

variação, desde os primeiros anos de escolaridade, a procura de regularidades e a

generalização, o uso das letras como variáveis em diferentes contextos, o uso de

diferentes representações e o importante papel das funções e da modelação.

Também podemos encontrar nalguns materiais concebidos para integrar programas de

apoio à implementação das recomendações do NCTM (Sheffield & Cruikshank, 2005),

exemplos de tarefas e questões a colocar aos alunos, que se enquadram no que

designamos por desenvolvimento do pensamento algébrico e que devem ser

exploradas com alunos desde dos primeiros anos de escolaridade.

As actividades visam que os alunos reconheçam e generalizem padrões e usem

modelos, símbolos, variáveis e equações para os descrever, assim como as

generalizações e relações, dando um sentido aos conceitos algébricos. Estas

actividades podem passar por: visualizar relações numéricas, através da análise de

tabelas; usar as letras como variáveis numa grande diversidade de situações; analisar

a variação como um aspecto para a compreensão das funções; recolher, organizar e

representar dados; modelar fenómenos e situações variadas; usar várias

representações, traduzir umas nas outras e comunicá-las.

Nestas actividades, dá-se particular atenção às questões e desafios que o professor

coloca aos alunos, tornando os problemas mais abertos, procurando relações, mais do

que cálculos e algebrizando algumas questões de natureza numérica, de modo a

promover o raciocínio e a compreensão.


41

Os documentos de orientação curricular portugueses

O Currículo Nacional do Ensino Básico. O documento que estabelece o

Currículo Nacional - Competências Essenciais (DEB, 2001), refere a necessidade da

educação matemática desocultar a matemática existente nas mais variadas situações

do quotidiano, destacando a sua especificidade, “como ciência das regularidades e da

linguagem dos números” (p. 58). O documento afirma ainda que a matemática se

distingue de todas as outras ciências, principalmente no “modo como encara a

generalização e a demonstração e como combina o trabalho experimental com os

raciocínios indutivo e dedutivo, oferecendo um contributo único como meio de pensar,

de aceder ao conhecimento e de comunicar” (DEB, 2001, p. 59).

No domínio da Álgebra e das Funções, um tema considerado transversal, reconhece-se

que a competência matemática que todos devem desenvolver, inclui aspectos como:

(i) a predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular

generalizações em situações diversas, nomeadamente em contextos

numéricos e geométricos; (ii) a aptidão para analisar as relações

numéricas de uma situação, explicitá-las em linguagem corrente e

representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de

símbolos; (iii) a aptidão para construir e interpretar tabelas de valores,

gráficos, regras verbais e outros processos que traduzam relações entre

variáveis, assim como passar de umas formas de representação para

outras, recorrendo ou não a instrumentos tecnológicos; (iv) a aptidão para

concretizar, em casos particulares, relações entre variáveis e fórmulas e

para procurar soluções de equações simples; (v) a sensibilidade para

entender e usar as noções de correspondência e de transformação em

situações concretas diversas (DEB, 2001, p. 66).

O Currículo Nacional do Ensino Básico prevê ainda que o desenvolvimento destas

competências, se deve realizar através de uma experiência matemática diversificada,

nomeadamente da resolução de problemas, de actividades de investigação, da

realização de projectos e de jogos. Nestas experiências, devem estar presentes

aspectos transversais da aprendizagem da matemática, nomeadamente a

comunicação matemática, a prática compreensiva de procedimentos e a exploração de

conexões, para além do acesso a recursos como os materiais manipuláveis e a

utilização das tecnologias de informação e comunicação (DEB, 2001).


42

Em resumo, pode dizer-se que o Currículo Nacional do Ensino Básico é dos únicos

documentos curriculares portugueses que, nos últimos anos, incorporou alguns

aspectos das orientações internacionais, no domínio do pensamento algébrico, embora

não as concretize, principalmente no que respeita aos dois primeiros ciclos do ensino

básico.

Nele se encontram referências à análise de relações numéricas, à procura de

regularidades e formulação de generalizações em diferentes contextos, ao uso de

formas de representação diversas e sua tradução de umas nas outras.

Os actuais programas de Matemática do Ensino Básico. Que lugar

reservam para a Álgebra e o pensamento algébrico os programas de Matemática

portugueses, a nível de todo o ensino básico? Pode dizer-se que não contêm

referências explícitas ao pensamento algébrico, o que não parece ser uma situação

inesperada, uma vez que datam do início da década de 90. A Álgebra também não

aparece como um tema autónomo, mas alguns conteúdos algébricos surgem

integrados, quer no tema Números e Cálculo, quer no tema Funções.

No entanto, se analisarmos alguns conteúdos, processos de trabalho e indicações

metodológicas neles referidas, talvez possamos dizer que existe alguma abertura para

ir „espalhando‟ questões algébricas pelo currículo, contribuindo assim para a sua

algebrização.

Assim, no programa do 1º ciclo, os problemas encontram-se no centro do processo de

ensino e aprendizagem e estão associados, não só a situações de aplicação mas a

situações de exploração e descoberta, competindo ao professor, perguntar

justificações, lançar pistas e estimular a partilha de diversas estratégias que ocorram.

Quando um aluno explora uma situação, diferentes formas de representação, como os

desenhos, diagramas, esquemas e tabelas devem ser incentivadas, na medida em que

podem facilitar a construção de linguagens convencionais e os processos de registo e

comunicação.

Relativamente aos conteúdos, a composição e decomposição de números sob a forma

de somas, diferenças ou produtos (1º e 3º ano), o uso de propriedades das

operações, a descoberta de regularidades em contagens ou de regras (2º e 4º ano) e

o reconhecimento de múltiplos de um número natural (4º ano), são tarefas que

podem trazer ao de cima o carácter algébrico da Aritmética. A organização de dados

em tabelas, sua observação, colocação de conjecturas e discussão, constituem

processos que podem facilitar a ocorrência de expressões generalizáveis.

Também a manipulação de materiais pode ajudar a construção de conceitos e o uso

de alguns jogos, pode promover a agilidade do raciocínio.

Já no Programa do 2º ciclo, no tema Números e Cálculo, sugerem-se actividades para

a descoberta de relações e propriedades e para o desenvolvimento do cálculo mental e


43

propõem-se situações que permitam traduzir dados de um problema de uma

linguagem para outra, considerando a verbal, a simbólica e a gráfica.

Também o uso das operações inversas, a redescoberta das propriedades comutativa,

associativa e distributiva (para a adição e a multiplicação), a descoberta experimental

das regras da adição de números relativos e a exploração de situações de

proporcionalidade directa, podem constituir momentos de algebrização das tarefas.

Finalmente, no 3º ciclo, ao nível do 7º ano, no tema Números e Cálculo, sugere-se: a

tradução dos dados de um problema de uma linguagem para outra; o cálculo do valor

de expressões com variáveis; a tradução de problemas por uma equação; a

decomposição dos números em somas e produtos e a associação por propriedades

comuns (p. ex., quadrados perfeitos); a descoberta de propriedades e relações; e a

resolução de problemas com números e a procura da generalização, sendo que o

conceito de variável deve ser progressivamente aperfeiçoado. Neste processo de

generalização, o programa aponta ainda que, sempre que o professor ache oportuno,

poderá fazer surgir exemplos de equações literais.

De uma forma já mais explícita, sugere-se o trabalho com gráficos cartesianos na

proporcionalidade directa, o trabalho com expressões numéricas e algébricas simples

mas diversificadas e assume-se que as funções constituem uma forma de ligar a

linguagem numérica e gráfica e oferecem modelos de situações da vida real que

podem dar sentido aos conceitos. A proporcionalidade directa, em conjunto com os

gráficos, constituiu uma primeira abordagem às Funções.

Finalmente nos dois últimos anos do 3º ciclo, o tema Funções surge autónomo, com o

estudo das funções linear e afim e a proporcionalidade directa como função e prevê o

uso dos diferentes tipos de representação das funções – gráfica, analítica, tabelas e

linguagem corrente – procurando que os alunos as traduzam de uma linguagem para

outra.

As sequências numéricas com a construção de leis de formação e as equações literais

e trabalho com expressões algébricas (monómios e polinómios) completam os temas

de natureza algébrica, no 8º ano.

No final do ciclo, no 9º ano, integram-se as equações do 2º grau, os sistemas de

equações, as inequações, a proporcionalidade inversa como função e a análise de

gráficos que traduzem situações da vida real.

Em resumo, pode dizer-se que, nos actuais programas de Matemática do Ensino

Básico, embora não existam referências explícitas ao pensamento algébrico, é possível

encontrar, quer temas, quer indicações metodológicas que permitem, integradas num

planeamento adequado, uma abordagem algebrizada do currículo.

Constituem eventuais pontos de entrada, ao nível do 1º ciclo, a resolução de

problemas numéricos através de situações de exploração e descoberta de relações, o


44

estímulo ao uso de diferentes formas de representação e registo, a começar pelas dos

próprios alunos e os processos de organização dos dados, de confronto de estratégias

e de comunicação.

No 2º ciclo, as actividades de descoberta de relações e de redescoberta de

propriedades, a par do uso das operações inversas e da transição entre diferentes

formas de representação dos dados de um problema, podem constituir também

oportunidades de algebrização.

Finalmente, no Programa do 3º ciclo, encontramos os temas típicos da Álgebra, como

as expressões com variáveis, as equações e as funções, a par das regras e processos

de manipulação simbólica. As referências às sequências numéricas, à descoberta de

relações, à procura da generalização, ao trabalho em torno do conceito de variável e

às funções como modelos e formas de atribuir sentido a situações reais, constituem

também „terreno‟ onde se pode desenvolver o pensamento algébrico.

O novo programa de Matemática. O novo programa de Matemática do Ensino

Básico (Ponte, et al., 2007), aprovado em Dezembro de 2007, constitui, a par do

Currículo Nacional do Ensino Básico, um dos principais documentos de orientação

curricular dos professores, como guia do processo de ensino e aprendizagem da

Matemática, pelo que importa perceber se trouxe evoluções no que respeita ao lugar

destinado à Álgebra e ao pensamento algébrico.

Dezasseis anos depois da aprovação dos programas de 1991, o actual programa

apresenta formulações completamente novas ao nível das finalidades e objectivos

gerais, apresentando, para além dos temas matemáticos, três capacidades

transversais a toda a aprendizagem da Matemática: a resolução de problemas, o

raciocínio matemático e a comunicação matemática, que constituem aspectos mais

desenvolvidos, mas já contemplados no Currículo Nacional.

Pela primeira vez, o pensamento algébrico é reconhecido como uma componente do

processo de ensino e aprendizagem que se desenvolve em torno de quatro eixos

temáticos: o trabalho com os números e operações, o pensamento algébrico, o

pensamento geométrico e o trabalho com dados.

Em particular, tendo em conta o interesse para o presente estudo das questões

relativas ao pensamento algébrico, será sobre estes aspectos que incidirei a análise e

reflexão sobre o programa.

As ideias algébricas aparecem logo no 1º ciclo no trabalho com sequências,

ao estabelecerem-se relações entre números e entre números e operações

(...) No 2º ciclo, a Álgebra já aparece como um tema matemático

individualizado, aprofundando-se o estudo de relações e regularidades e da

proporcionalidade directa como igualdade entre duas razões. Finalmente,


45

no 3º ciclo, institucionaliza-se o uso da linguagem algébrica, trabalha-se

com expressões, equações, inequações e funções, procurando desenvolver

no aluno a capacidade de lidar com diversos tipos de relações matemáticas

e estudar situações de variação, em contextos significativos (Ponte, et al.,

2007, p. 7).

A grande diferença com os programas anteriores é considerar a Álgebra como uma

forma de pensamento matemático, o pensamento algébrico, desde os primeiros anos,

reconhecendo-se a importância do trabalho com conceitos matemáticos envolver mais

do que uma forma de representação e de desenvolver a capacidade de passar

informação de uma forma de representação para outra, na linha das orientações

curriculares internacionais.

Também a utilização adequada de materiais manipuláveis e o uso de calculadoras e

computadores é recomendado, quando queremos que a atenção dos alunos se centre,

não em processos de rotina, nomeadamente ligados ao cálculo, mas “nas condições da

situação, nas estratégias de resolução e na interpretação e avaliação dos resultados”

(Ponte, et al., 2007, p. 9).

Ao nível da gestão curricular, sugere-se que as tarefas se devem articular

proporcionando um percurso de aprendizagem coerente, e aponta-se para que “são

fundamentais os momentos de reflexão, discussão e análise crítica envolvendo os

alunos, pois estes aprendem, não só a partir das actividades que realizam, mas

sobretudo da reflexão que efectuam sobre essas actividades” (Ponte, et al., 2007, p.

11).

Relativamente ao 1º ciclo, nos Números e Operações, tema que incorpora algumas

relações com o pensamento algébrico, pretende-se que os alunos desenvolvam “o

sentido de número, a compreensão dos números e das operações e a capacidade de

cálculo mental e escrito” (Ponte et al., 2007, p. 13), usando estas competências no

contexto da resolução de problemas e é sugerida a utilização da calculadora na

exploração de regularidades e de padrões numéricos, nomeadamente em tarefas de

investigação e na resolução de problemas.

Sobre as capacidades transversais, reconhece-se que

a capacidade de raciocinar matematicamente desenvolve-se através de

experiências que proporcionem aos alunos oportunidades que estimulem o

seu pensamento. Para isso o professor deve colocar frequentemente

questões como, Porquê? Porque será que isso acontece? O que acontece se

...?, procurando que os alunos expressem e desenvolvam as suas ideias e

clarifiquem e organizem os seus raciocínios (Ponte, et al., 2007, p. 30).


46

No 2º ciclo, no que respeita à Álgebra, o propósito principal é “desenvolver nos alunos

o pensamento algébrico, bem como a sua capacidade de representar simbolicamente

situações matemáticas e não matemáticas” (Ponte, et al., 2007, p. 40) e usar recursos

como a folha de cálculo, adequada para apoiar o cálculo, permitindo a realização, com

rapidez, de experiências numéricas, pondo em evidência as suas relações. Depois de

no 1º ciclo terem investigado sequências numéricas e geométricas, agora os alunos

vão ampliar esse trabalho, ”explorando padrões, determinando os termos de uma

sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de formação pelo estudo da

relação entre os termos” (Ponte, et al., 2007, p. 40).

Para o desenvolvimento do pensamento algébrico, sugere-se como ponto de partida a

investigação de regularidades em sequências numéricas e geométricas, e no estudo

dos números, a generalização das propriedades das operações aritméticas.

Finalmente, sobre as capacidades transversais, reconhece-se que os alunos no 2º

ciclo, para além de alargarem o leque de estratégias de resolução de problemas e de

desenvolverem o seu raciocínio matemático, formulando e testando conjecturas,

progridem também na “tradução de relações da linguagem natural para a linguagem

matemática e vice-versa, na variedade de formas de representação matemática que

usam e no rigor com que o fazem” (Ponte et al., 2007, p. 45). Como sugestões

metodológicas reconhece-se a importância de envolver os alunos em desafios do tipo

O que acontecerá se...?, incentivando-os a formular conjecturas e testá-las,

procurando justificá-las com base em argumentos matemáticos.

No 3º ciclo, o propósito principal no domínio da Álgebra é desenvolver a linguagem e o

pensamento algébricos, assim como a capacidade de usar procedimentos algébricos

na exploração e modelação de situações. Para o efeito, estudam-se diversas relações

como as equações e as funções, a variação e o trabalho com a construção de modelos,

partindo de situações informais, antes de chegar à manipulação algébrica formal sobre

a qual deve existir compreensão.

Sugere-se que as letras apareçam em situações variadas e ligadas a um contexto, e

que os alunos sejam chamados a discutir os seus significados para se apropriarem do

complexo conceito de variável (Ponte et al., 2007).

Neste ciclo continua-se a investigação de sequências e regularidades, visando

aprofundar o estudo de relações algébricas e a sua tradução em linguagem formal.

A folha de cálculo é considerada

um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de relações

entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos (…) [permitindo]

estabelecer conexões com a Geometria e os Números e Operações [o que]

contribui para evitar a abordagem à Álgebra apenas como um conjunto de

regras e procedimentos a memorizar (Ponte, et al., 2007, p. 56).


47

Também no novo Programa, as funções são entendidas fundamentalmente como

relações entre variáveis e devem apresentar-se sob diferentes representações

(algébrica, gráfica e tabular) ligadas à resolução de problemas, mas também à

modelação de situações.

Em resumo, o novo programa de Matemática do Ensino Básico, parece integrar

algumas das preocupações das orientações curriculares internacionais atrás referidas,

ao considerar a Álgebra como uma forma de pensamento matemático, o pensamento

algébrico, desde os primeiros anos.

O trabalho em torno do pensamento algébrico inicia-se com a exploração de

regularidades e padrões numéricos (1º ciclo) e aprofunda-se com a investigação de

regularidades em sequências, procura de leis gerais de formação, generalização das

propriedades das operações, tradução de relações entre a linguagem natural e a

linguagem matemática e uso de uma variedade de formas de representação (2º ciclo).

Finalmente, no 3º ciclo, desenvolve o estudo de relações e o uso de procedimentos

algébricos, mantendo a compreensão, para explorar e modelar situações e a análise

da variação, em contextos significativos.

O novo Programa, de acordo com a investigação e as recomendações curriculares

internacionais, chama a atenção para que a construção de sequências de tarefas

coerentes, deve ser articulada com momentos de reflexão, discussão e análise crítica,

para que constituam boas oportunidades de aprendizagem.

Quanto à tecnologia, a referência à calculadora aparece logo no 1º ciclo, associada à

investigação de regularidades numéricas. A partir do 2º ciclo, os applets e a folha de

cálculo surgem nas indicações metodológicas, sendo esta última considerada uma

ferramenta que permite a realização de experiências numéricas e um recurso para

apoiar os alunos a estabelecer relações entre diferentes representações.

O novo programa de Matemática e a Early Algebra. Dado o interesse

particular da investigação sobre pensamento algébrico, relativamente às questões da

Early Algebra, fui procurar alguns indicadores no novo programa de Matemática do

Ensino Básico, dado que ele começa por referir como uma das mudanças

significativas, a iniciação ao pensamento algébrico, logo no 1º ciclo.

Ao longo dos três ciclos, os Números e Operações vão perdendo progressivamente

„peso‟ que vai sendo recuperado pela Álgebra, o que parece constituir um dado a favor

da ideia da Aritmética como parte da Álgebra, uma ideia-chave dos defensores da

Early Algebra.

Nos objectivos gerais, comuns a todos os ciclos, reconhece-se que “os alunos devem

ser capazes de lidar com ideias matemáticas em diversas representações” (Ponte, et


48

al., 2007, p. 4), quer simbólicas, pictóricas, tabelas e gráficos e conseguirem transitar

entre as diferentes representações, usando-as para comunicar e modelar situações.

Ainda nos temas matemáticos e capacidades transversais comuns a todos os ciclos,

encontramos explicitamente referência à Álgebra como forma de pensamento

matemático desde os anos mais novos.

A alteração mais significativa em relação ao programa anterior é o

estabelecimento de um percurso de aprendizagem prévio no 1º e 2º ciclos

que possibilite um maior sucesso na aprendizagem posterior, com a

consideração da Álgebra como forma de pensamento matemático, desde os

primeiros anos (Ponte, et al., 2007, p. 7).

No 1º ciclo, no Tema Números e Operações, afirma-se que “devem ser trabalhadas

diferentes estratégias de cálculo baseadas na composição e decomposição de

números, nas propriedades das operações e nas relações entre números e entre

números e as operações” (Ponte, et al., 2007, p. 14), reconhecendo-se que o trabalho

com regularidades generalizáveis contribui para o desenvolvimento do pensamento

algébrico, nomeadamente, o pensamento quase-variável. Neste sentido, em exemplos

dados nas notas, sugere-se calcular 39-24 de diferentes formas (decompondo os

números, usando a propriedade da invariância do resto, utilizando a recta graduada e

não-graduada) e explorar regularidades numéricas em tabuadas, em particular as dos

múltiplos, o que apela para o uso de diferentes representações, nomeadamente as

representações intermédias usadas informalmente pelos alunos.

No 2º ciclo, nas indicações metodológicas relativas ao tema Números e Operações,

considera-se ser de privilegiar na didáctica dos números, a resolução de problemas

que incluam a investigação de regularidades numéricas, reconhecendo-se que a

calculadora e o computador, por exemplo, através da folha de cálculo e dos applets,

constituem recursos que facilitam as experiências com números e regularidades

numéricas.

Já no tema Álgebra considera-se que, neste ciclo, se amplia o trabalho anterior em

torno das sequências numéricas e dos padrões geométricos, “explorando padrões,

determinando termos de uma sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de

formação pelo estudo da relação entre os termos” (Ponte, et al., 2007, p. 40).

Neste sentido, nas indicações metodológicas, a generalização das propriedades das

operações aritméticas é considerada uma forma de desenvolver o pensamento

algébrico e a folha de cálculo, um recurso tecnológico que permite a realização de

inúmeras experiências com números, pondo em evidência relações numéricas.

Finalmente, ao nível do 3º ciclo, no tema Números e Operações, as indicações

metodológicas sugerem que “resolver problemas e investigar regularidades numéricas


49

constituem as actividades principais na didáctica dos números neste ciclo” (Ponte, et

al., 2007, p. 48). No tema Álgebra, cujo propósito principal é desenvolver nos alunos

a linguagem e o pensamento algébrico, alarga-se a aprofunda-se o estudo das

relações e da variação e trabalha-se com tarefas envolvendo actividades de

modelação. Nas indicações metodológicas, sugere-se que sejam proporcionadas aos

alunos experiências informais, antes da manipulação simbólica formal, de modo a

melhorar a compreensão sobre o sentido dos símbolos, usando letras, como incógnitas

ou variáveis, em expressões algébricas que devem estar ligadas a um contexto.

Também a folha de cálculo é apontada como “um bom recurso para apoiar os alunos

no estabelecimento de relações entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos, na

realização de tarefas de exploração e investigação e na resolução de problemas”

(Ponte et al., 2007, p. 56). As funções, neste ciclo, são essencialmente estudadas

como relações entre variáveis, sugerindo-se o recurso a diferentes representações de

uma função, desde a algébrica, à gráfica e à tabular, na interpretação e modelação de

problemas e situações.

Em resumo, as preocupações com o desenvolvimento do pensamento algébrico desde

os anos mais novos, estão presentes no novo Programa de Matemática do Ensino

Básico, fundamentalmente através de três aspectos: o estudo das regularidades

numéricas e dos padrões, o trabalho com números não exclusivamente centrado no

cálculo, mas nas relações entre os números e entre estes e as operações e o uso de

múltiplas representações, normalmente associado ao trabalho com funções. A

preocupação central é estabelecer um percurso de aprendizagem no 1º e 2º ciclos que

facilite a aprendizagem posterior da Álgebra, considerada como forma de pensamento

matemático.

Pode dizer-se que o peso conjunto dos Números e da Álgebra se mantém

aproximadamente constante ao longo do currículo, revelando-se, nos primeiros anos,

os aspectos específicos e particulares da estrutura, de natureza aritmética, que vão

perdendo peso, à medida que emergem os aspectos mais gerais, algébricos, dessa

mesma estrutura.

Desafios para os professores

A investigação sobre o pensamento algébrico, a par de algumas respostas e

evidências que tem encontrado, tem deixado também alguns desafios para os

professores. Identifico em seguida alguns deles, nomeadamente, a natureza das

tarefas a desenvolver com os alunos, a atenção a dar à cultura da sala de aula e as


50

contribuições dos projectos de desenvolvimento profissional que podem promover este

tipo de trabalho com os alunos.

A natureza das tarefas

Trabalhar a partir de problemas abertos, com uma sequência estruturada, algebrizar o

currículo e usar múltiplas representações, constituem três aspectos que estão

presentes nalguma investigação que aborda o tipo de tarefas que se desenvolvem no

trabalho sobre o pensamento algébrico.

Mas o que se entende por problemas abertos? Com duas actividades de investigação,

já referidas atrás, o problema das caixas de doces (candie boxes) e o problemas das

carteiras (wallets’ problem), os investigadores mostram através da análise das

representações dos alunos e de vários diálogos, como a forma aberta de colocar os

problemas e de conduzir a sua exploração, pode fazer vir ao de cima o carácter

algébrico dos mesmos (Carraher, Schliemann & Schwartz, 2008).

Através dos dois problemas, os alunos são envolvidos em contextos e o professor

desempenha um papel essencial, chamando-os a descrever relações entre

quantidades físicas e em fazer generalizações. A ambiguidade de trabalhar com

quantidades indeterminadas pode ser um importante recurso no ensino e na

aprendizagem, e à medida que a discussão avança, introduzem-se gradualmente as

representações formais (tabelas, gráficos e notação algébrica simbólica) e os alunos

envolvem-se num processo de generalização.

Também Brocardo et al. (2006) refere um conjunto de estudos que salientam a

importância da realização de tarefas de investigação para uma melhor relação dos

alunos com a disciplina, mas também com influências na compreensão sobre o que é a

actividade matemática, podendo envolvê-los na formulação e teste de conjecturas e

na elaboração de justificações para os resultados encontrados.

Kieran (2007b) refere, de igual modo, um conjunto de três estudos de caso realizados

numa investigação para encorajar o desenvolvimento do raciocínio algébrico nos

alunos, centrados na análise de sequências de tarefas que tinham em comum a

generalização, um processo considerado central no desenvolvimento do pensamento

algébrico. As sequências de tarefas usadas nos três casos incidiam respectivamente,

no pensamento sobre igualdades numa forma relacional, no pensamento quase-

variável e em promover o pensamento algébrico através do foco em métodos

generalizáveis de resolução de problemas de palavras.

No primeiro caso, incluíam-se formas de raciocínio relacionadas com a extensão do

significado do sinal de igual, integrando igualdades com operações em ambos os

lados, desenvolvendo uma visão relacional da igualdade, comparando duas expressões

matemáticas sem as calcular. No segundo caso, procurava-se distinguir relações

numéricas especiais válidas para quaisquer números, tratando-os como quase-


51

variáveis. E finalmente, no terceiro caso, observavam-se sequências de operações

numa forma geral, preparando o uso de equações algébricas como modelos de

situações de problemas de palavras.

“As tarefas apresentadas neste artigo sugerem que um dos principais caminhos para

que o pensamento algébrico seja desenvolvido é através de sequências estruturadas

de operações que chamem a atenção dos alunos para aspectos cruciais de forma e sua

generalidade” (Kieran, 2007b, p. 22). No entanto, Hoyles (2001), referida em Kieran,

(2007b) acrescenta-lhe a dimensão das interacções que o professor deve promover,

para além da organização das tarefas e actividades.

O pensamento algébrico desenvolve-se à medida que deixamos de pensar as relações

entre números particulares e medidas, para pensar as relações entre conjuntos de

números e medidas e passamos do cálculo de respostas numéricas, para descrever e

representar relações entre variáveis. Assim, um tipo de tarefas que privilegia uma

abordagem que se inicia aberta, a sequência coerente onde se integram e o desafio

intelectual que constituem para os alunos, são aspectos relevantes que se encontram

ilustrados na investigação sobre pensamento algébrico e que o professor deve ter em

conta.

O mesmo trabalho refere o Projecto QUASAR que desenvolveu um conjunto de

categorias para organização das tarefas, de acordo com o tipo de pensamento que

requerem dos alunos, reconhecendo que as de nível cognitivo mais elevado requerem

que os alunos se envolvam na sua exploração e compreendam a natureza dos

conceitos, processos e relações matemáticas. Isto pode constituir um desafio para os

professores que trabalham no desenvolvimento do currículo, no sentido de irem para

além dos problemas que usam apenas alguns procedimentos simples e perguntas mais

directas.

O segundo desafio que se coloca aos professores é algebrizar os problemas. Mas qual

é o seu significado? Kaput e Blanton (s/d) fala-nos de algebrizar o currículo, como

resposta aos desafios da Reforma nos Estados Unidos. Mas o que se entende por

algebrização? Algebrizar um problema, normalmente aritmético, é variar a forma

como se apresenta, alterando os números, procurando um padrão e estabelecendo

relações, transformando-o num problema com questões de natureza algébrica

(Brocardo et al., 2006).

As três dimensões de algebrizar a experiência matemática de professores e alunos,

aponta para: (i) elaborar tarefas com oportunidades para generalizar e

progressivamente formalizar, partindo de padrões e estruturas; (ii) munir os

professores de „olhos e ouvidos algébricos‟ para aproveitarem as oportunidades da

prática; (iii) criar uma prática e cultura de sala de aula favorável ao desenvolvimento

deste trabalho (Kaput & Blanton, s/d).


52

Ora isto pode passar por preparar problemas de generalização, cuidadosamente

seleccionados ou algebrizar problemas aritméticos, eventualmente retirados e

adaptados dos manuais dos professores, de modo a transformá-los em problemas que

exijam raciocínio algébrico. Seguem-se dois exemplos de problemas, inicialmente

aritméticos, mas que podem ser algebrizados pelas novas questões que se

introduzem: o problema dos apertos de mão e o problema das T-shirts.

O primeiro pode começar por enunciar-se da seguinte forma: “Quantos apertos de

mão serão dados se cada um do teu grupo cumprimentar todos os outros uma vez?”

(Brocardo et al., 2006). Perante um grupo, com um número determinado de pessoas,

os alunos experimentarão cumprimentar ou fazer desenhos para obter a resposta.

Algebrizar este problema, passa por fazer variar o número de pessoas, tomando um

número elevado que convide a abandonar a contagem, analisar os dados e procurar

uma relação entre as variáveis em presença, de modo a obter um padrão. Por

exemplo, encontrar o número de apertos de mão para um grupo de 20 pessoas,

procurar perceber o que se passa para 21 e, em seguida, ser convidado a explicar

como cresce esse número, de cada vez que alguém se acrescenta ao grupo, constitui

um exemplo de algebrização. Esta é claramente uma actividade de construção de

padrões (Kaput & Blanton, s/d), que emerge da generalização de uma situação

numérica, que faz surgir as letras como variáveis, realmente a variar (Brocardo et. al.,

2006).

O problema das T-shirts é de natureza diferente e pode ser enunciado, como um

simples problema de subtracção ou de valor em falta: “Eu quero comprar uma t-shirt

que custa 14 € e já poupei 8 €. Quanto dinheiro mais preciso ganhar para comprar a

t-shirt?” Algebrizá-lo, pode passar por fazer variar o preço de custo da t-shirt, até um

valor genérico P ou, talvez mais interessante, introduzir outra variável, assumindo que

o pagamento da referida t-shirt está dependente de um trabalho que realizo, pago à

hora e cujo valor/hora posso também fazer variar (Kaput & Blanton, s/d).

Estas duas situações constituem „oportunidades algébricas‟ para os professores

explorarem, procurando que elas, mais do que uma bateria de materiais e problemas

a usar, se constituam numa forma de pensar e numa capacidade de integrar estas

abordagens na sua prática lectiva.

Finalmente, a investigação refere com frequência o uso de múltiplas representações

como formas privilegiadas de modelação e de expressão da generalização,

promovendo a compreensão dos alunos e desenvolvendo o pensamento algébrico.

Malara (2005) reconhece que este tipo de abordagem, baseado na procura de relações

entre a Aritmética e a Álgebra, exige do professor um ensino metacognitivo em que,

“através de um jogo de tradução e interpretação de expressões em linguagens

naturais e formais, se pode colocar os alunos a par do significado dos sinais e

símbolos usados, assim como da força representacional das escritas formais” (p. 288).


53

A cultura da sala de aula

Embora a elaboração de boas tarefas constitua uma actividade importante do trabalho

de planeamento didáctico do professor, ele deve ter outras preocupações quando

pretende desenvolver o pensamento algébrico. A cultura de sala de aula é uma

componente que está presente na prática de ensino e deve ser tida em conta para

promover o envolvimento dos alunos e a aprendizagem. Refiro-me ao ambiente criado

pelo professor, às normas e interacções que estabelece, nomeadamente, aos modos

de trabalho que proporciona, à forma como solicita, desafia e apoia os alunos, como

desenvolve as tarefas, como conduz a discussão na sala de aula e àquilo que legitima

(Boavida et al., 2008).

A investigação sobre pensamento algébrico tem destacado alguns aspectos como,

promover o raciocínio dos alunos através de bons desafios, promover a comunicação,

articulando-a com diferentes modos de trabalho, saber geri-la, integrando as

diferentes estratégias dos alunos no processo de aprendizagem e estar atento ao que

os alunos dizem e às suas formas intermédias de representação, procurando

interpretá-las (Blanton & Kaput, 2008; Kieran, 2007b).

Cusi e Malara (2007), referem a importância de uma formação de professores que

assente na reflexão sobre as suas acções (local) e sobre os processos e o sentido das

mesmas (global). Neste sentido, identificam como uma boa estratégia, uma

comparação de várias intervenções distintas dos professores sobre uma mesma

sequência didáctica, o que pode constituir uma boa oportunidade de reflexão.

Depois da observação dos actores envolvidos (professores e alunos), concluem que, a

respeito dos professores, se confirma um amadurecimento relativamente à capacidade

de reverem criticamente o seu conhecimento de base e de desenvolverem a

sensibilidade para captar o potencial das contribuições e intuições dos alunos.

Relativamente aos alunos, destacam a importância da aquisição de atitudes amigáveis

para com o uso de letras, na representação simbólica e generalização de situações,

através de formas de conversa algébrica, além do desenvolvimento de uma visão de

uma matemática em construção (Cusi & Malara, 2007).

Por exemplo, já vimos atrás numa investigação de Arcavi (2006), que a forma como

os alunos se relacionam com os significados e usam o senso comum na abordagem de

problemas algébricos, está dependente daquilo que o professor valoriza.

Como refere o autor, usar o senso comum e procurar significados na resolução de um

problema de Álgebra, está fortemente ligado com a cultura da sala de aula,

nomeadamente aquilo que é apoiado e aprovado pelo professor. Para que isso se

torne uma prática de sala de aula, o professor pode “solicitar aos alunos que

desenvolvam o hábito de não se abalançarem sobre os símbolos num primeiro


54

momento, sem olharem o problema com o senso comum, esboçarem um gráfico ou

uma figura, estimular a descrição do que vêem e raciocinar sobre isso” (p. 39).

Ou seja, se queremos que os alunos trabalhem com os significados, temos de valorizar

esses raciocínios informais e dar-lhes tempo para que ocorram, senão poderão ser

relegados para segundo plano, a favor da manipulação simbólica algébrica, mais

frequentemente reconhecida e aceite.

Também um estudo de Warren & Cooper (2008), identifica um conjunto de processos

e acções de ensino que podem apoiar ou inibir os processos de generalização no

trabalho com padrões. Relativamente aos primeiros, passa pelo uso de materiais

concretos, pela exploração de padrões onde a relação entre o padrão e a posição seja

explícita, pelo questionamento explícito com vista a ligar a posição ao padrão, por

generalizar um padrão partindo de uma posição baixa para uma posição muito

elevada, usar cores para representar as diferentes componentes de crescimento de

um padrão e usar padrões visuais que não estejam em sequência.

Já sobre os processos que criam obstáculos a este trabalho, Warren e Cooper (2008)

referem dificuldades no uso da linguagem, em particular, escrita, para descrever a

generalização do padrão, completar padrões de variação simples usando uma

estratégia aditiva, reverter o pensamento, procurando a posição a partir de um dado

termo do padrão e expressar a generalização em linguagem natural, revelando

confusão entre a linguagem ordinal e o número de elementos do padrão.

A forma de superar as dificuldades manifestadas com o uso da linguagem escrita,

passa por dar atenção ao facto de que “os gestos e a manipulação de materiais,

acrescentam às conversas, os elementos perdidos nas respostas escritas” (Warren &

Cooper, 2008, p. 183).

Relativamente à organização e gestão do trabalho curricular e da comunicação na sala

de aula, alguma investigação refere ainda que

o processo de começar cada actividade na turma pelo trabalho em pequeno

grupo sobre situações abertas, seguidas por discussões com toda a turma

que eram orquestradas pelo professor, conduziram ao envolvimento dos

alunos num discurso que conduziu a altos níveis de raciocínio matemático e

mudança conceptual (Kieran, 2007a, p. 720),

o que pode favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Ainda a propósito das abordagens didácticas à Álgebra, Ponte (2006) refere o

importante papel desempenhado pelos contextos, nomeadamente o que designa de

„situações reais‟. Estas, ou não apareciam anteriormente referidas nos programas

escolares ou confinavam-se aos capítulos de problemas como aplicação de

conhecimentos, enquanto que hoje surgem com frequência como situações de partida


55

para a aprendizagem, reforçando o importante papel do significado associado às

situações a explorar e modelar.

Os projectos de desenvolvimento profissional

A partir dos anos 80, para fazer face às dificuldades decorrentes da perda de

significado dos objectos algébricos, apontou-se para promover um novo ensino da

Aritmética, de tipo pré-algébrico, direccionado para a observação de regularidades e a

generalização e no ICME 8, realizado em 1992, assumiu-se a “utilidade de tornar o

ensino da Aritmética mais „algébrico‟ desde os primeiros anos” (Malara, 2005, p. 287),

lançando as bases para o desenvolvimento de uma nova área disciplinar: a Early

Algebra.

O Projecto ArAl, criado para desenvolver percursos pela Aritmética de modo a facilitar

a ocorrência de um pensamento pré-algébrico, tinha como objectivo preparar os

professores primários e dos primeiros anos do secundário, a levarem em frente a Early

Algebra, colocando como hipótese forte a de que “existe uma analogia entre as formas

de aprender uma linguagem natural e as formas de aprender uma linguagem

algébrica” (Malara, 2005, p. 287). Esta ideia está aliás presente no pensamento de

Papert (1985), vinte anos antes, quando ele sugere que “em muitos casos em que

Piaget explicaria o desenvolvimento mais lento de um conceito através da sua maior

complexidade ou formalidade, eu vejo o factor crítico como sendo a relativa pobreza

do meio cultural em materiais que tornariam o conceito simples e concreto” (Papert,

1985, p. 20).

Ora línguas, nomeadamente estrangeiras, é uma coisa que as crianças aprendem com

facilidade, principalmente se estiverem mergulhadas num ambiente natural que

estimule essa aprendizagem. Assim sucederá com a fluência tecnológica, na opinião

de Papert, quando as crianças viverem envolvidas num ambiente computacional, mas

que simultaneamente ofereça contextos e desafios ricos em ideias (Papert, 1985).

Do mesmo modo, contrariando a tendência para ensinar a sintaxe fora de qualquer

contexto compreensivo, o Projecto pretendia ensinar as crianças, desde os primeiros

anos, a pensarem a Aritmética algebricamente. Segundo Malara (2005), “o

pensamento algébrico pode ser progressivamente construído na criança, quer como

um instrumento, quer como um objecto de pensamento, estritamente entrecruzado

com a Aritmética, começando dos seus significados” (p. 288), procurando desenvolver

um percurso pela Aritmética que favoreça o raciocínio pré-algébrico.

O trabalho do professor visa deslocar a ênfase das preocupações excessivas com o

cálculo para se centrar no processo, assumindo que “uma abordagem consciente para

o uso de letras e para a codificação formal é jogada pelo contrato didáctico, centrado

na tarefa primeiro representa e depois resolve que força o deslocar dos resultados

para os processos e reduz as atitudes „de calcular‟” (p. 288).


56

Um outro programa de desenvolvimento profissional denominado GEAAR

(Generalizando para Expandir a Aritmética para o Raciocínio Algébrico), conduzido por

Maria Blanton e James Kaput, teve por objectivo desenvolver e caracterizar uma

prática de sala de aula capaz de promover o raciocínio algébrico, integrando-a

naturalmente no processo de ensino (Blanton & Kaput, 2005a).

A estrutura do programa baseou-se em dotar os professores de maior capacidade de

“transformar materiais de ensino, de modo a deslocarem o foco da sua prática da

Aritmética para oportunidades de construírem padrões, conjecturarem, generalizarem

e justificarem factos e relações” (p. 415), através do envolvimento dos professores,

em grupo, na resolução de verdadeiras tarefas matemáticas e reflectindo sobre o

carácter algébrico das mesmas e a forma como elas podem ser exploradas na sala de

aula.

O artigo descreve um estudo de caso de um professor do 3º grau que participou no

programa, focando-se na análise de 204 episódios de raciocínio algébrico, recolhidos

ao longo de um ano, registados pelos observadores ou seleccionados pelo próprio

professor e relativos a 57 períodos de instrução em sala de aula. Como resultados,

identificam-se um conjunto de características de uma prática de ensino que apoia a

integração do pensamento algébrico: (a) a integração espontânea de conversas

algébricas na sala de aula, de modo a transformar, através da discussão, tarefas

aritméticas em tarefas que requeiram pensamento algébrico; (b) a abordagem dos

temas algébricos em espiral, ao longo de significativos períodos de tempo, revisitando

as ideias de forma progressivamente mais aprofundada; (c) a integração de processos

algébricos múltiplos e independentes, indo espontânea e progressivamente

transformando um problema em níveis de complexidade crescente, aprofundando o

seu potencial algébrico; e (d) uma actividade de engenharia na elaboração das

tarefas, mostrando autonomia e criatividade no desenvolvimento da tarefa (Blanton &

Kaput, 2005a).

Um trabalho de Kieran (2007b), assumindo a Álgebra como sendo simultaneamente

um conjunto de técnicas, mas também uma forma de pensamento, documenta três

estudos de caso que procuram ilustrar como se promove o pensamento algébrico

através de sequências apropriadas de tarefas e de questões a colocar aos alunos e

interacções a desenvolver, assumindo que estas são duas componentes que não se

podem separar. Os casos incidem respectivamente em pensar acerca da igualdade de

uma forma relacional, no pensamento quase-variável e em promover o pensamento

algébrico, focando-se em métodos generalizáveis na resolução de problemas de

palavras, chamando também a atenção para que diferentes abordagens, feitas por

diferentes professores, podem fazer toda a diferença na aprendizagem.


57

Em resumo, a investigação sobre o pensamento algébrico no desenvolvimento

curricular, coloca ao professor um conjunto de desafios que passam pela natureza das

tarefas, a cultura da sala de aula e os programas de desenvolvimento profissional.

As tarefas de natureza aberta que constituem um desafio intelectual capaz de

promover o raciocínio dos alunos, quando devidamente integradas numa sequência

didáctica coerente, procurando relações, a generalização e admitindo diferentes

representações, parecem constituir um primeiro desafio para o professor.

Outro desafio é ser capaz de criar um ambiente de aprendizagem que cultive e apoie a

procura de significado no trabalho algébrico que os alunos desenvolvem, promova a

comunicação, questionando os alunos e envolvendo-os em processos de justificação e

argumentativos e articule os processos de discussão em pequeno e grande grupo,

criando uma cultura de sala de aula favorável a um ensino compreensivo.

Quanto aos dois programas de desenvolvimento profissional referidos, destinados a

apoiar os professores no trabalho sobre pensamento algébrico com os seus alunos,

eles sugerem diferentes questões. O Projecto ArAl, desafia os professores a colocarem

a ênfase no processo e nas representações dos alunos, antes de se abalançarem no

trabalho simbólico de cálculo, o que denomina de contrato didáctico. O programa

GEAAR, baseado num trabalho de elaboração de tarefas e reflexão, partindo da

adaptação de materiais de ensino do próprio professor, com vista a desenvolver o

pensamento algébrico dos seus alunos, identifica as características de uma boa prática

de ensino. O estudo de caso que apresenta sugere: a integração, de forma natural, de

conversas algébricas com os alunos, uma abordagem continuada dos temas, em

espiral e uma capacidade de integrar no quotidiano e de forma autónoma, a

elaboração e adaptação criativa de tarefas.


58

Capítulo V: As TIC e o pensamento algébrico

(apenas a estrutura actual do capítulo)

A integração das TIC na escola e a confiança dos professores no seu uso

As TIC na Educação Matemática

As TIC no pensamento algébrico

As TIC nas orientações curriculares

As orientações curriculares internacionais

As orientações curriculares nacionais


59

Capítulo VI: Metodologia

Tendo em conta que o objectivo do estudo é compreender o conhecimento didáctico

que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática profissional no

domínio do pensamento algébrico, com recurso à tecnologia, procurei encontrar uma

metodologia que me permitisse estudar e compreender em profundidade este

conhecimento. Para o efeito, identifiquei um conjunto de questões que passam por

perceber os factores do percurso profissional e os contextos profissionais do professor

que influenciaram e influenciam a construção desse conhecimento que ele precisa para

ensinar e que respeita, num primeiro nível, à forma como prepara e conduz o ensino

na sala de aula mas que integra também, num segundo nível, o conhecimento

matemático do assunto, o conhecimento do currículo e a forma como ele entende a

aprendizagem dos alunos.

Opções metodológicas

Estudo de natureza interpretativa

Em primeiro lugar, importa enquadrar o presente estudo num paradigma que dê

coerência simultaneamente à visão do mundo do investigador e à natureza do

problema a investigar.

Quanto ao primeiro aspecto, assume-se a existência de múltiplas realidades,

construídas pessoal e socialmente através de percepções e de interacções entre o

sujeito e a realidade ou fenómeno em estudo, contrariamente ao paradigma

„tradicional‟ ou „científico‟, baseado no pressuposto de uma realidade simples e

objectiva que pode ser conhecida e é exterior ao sujeito (Merriam, 1988).

No que respeita ao segundo aspecto, como se trata de identificar, problematizar e

compreender o conhecimento profissional, em particular o conhecimento didáctico, de

professoras de Matemática no âmbito do desenvolvimento curricular e da prática

profissional, a preocupação centra-se em procurar o “como”, os “porquês” e encontrar

uma descrição e interpretação holística do conhecimento didáctico evidenciado e

construído pelas professoras.

Neste sentido, a opção é por um paradigma de natureza interpretativa, aquilo que

(Erickson, 1986) define como investigação interpretativa e que está preocupada com

as especificidades do “significado e da acção na vida social que tem lugar em


60

situações concretas da interacção face a face que se desenvolvem num contexto social

mais alargado” (p. 156). A interpretação e a construção dos significados não

correspondem ao ponto de vista do investigador sobre a realidade observada, mas são

uma construção que resulta da intersubjectividade presente na relação entre o

investigador e os sujeitos, tendo por base as observações, a reflexão e outros dados.

Stake (2007) refere que para chegar a estas conclusões ou asserções, nas palavras de

Erickson, nem sempre existe um caminho óbvio, quer para o leitor, quer para o

investigador. “Para as asserções, partimos de entendimentos bem fundos dentro de

nós, entendimentos cuja derivação pode ser uma mistura escondida de experiência

pessoal, trabalho académico e asserções de outros investigadores” (p. 28).

Investigação de tipo qualitativo

Dado que procuro estudar o conhecimento didáctico das professoras, tal como ele se

revela na preparação de tarefas para a sala de aula e na sua implementação no

„terreno‟, a natureza do problema e das questões do estudo, sugerem a observação da

realidade em contexto natural, onde não é possível identificar claramente todas as

variáveis que nela estão envolvidas, nem exercer sobre elas qualquer controle ou

manipulação, nem separá-las do próprio contexto (Merriam, 1988; Yin, 1984).

A preocupação, mais do que com os resultados que se apresentarão sob a forma de

narrativas descritivas ilustradas com citações dos informantes, centra-se no processo,

nos significados que as pessoas atribuem às suas experiências e à forma como as

interpretam, através de uma análise de dados indutiva, em que as abstracções,

conceitos ou teorias surgem „de baixo para cima‟, no processo de análise de dados, o

que sugere a opção por uma metodologia de natureza qualitativa (Merriam, 1988;

Bogdan & Biklen, 1994).

Nesta metodologia privilegia-se a procura de significados, nomeadamente nos

processos vividos, de modo a obter uma melhor compreensão do problema em

estudo, como ponto de vista dos participantes. De acordo com Bogdan & Biklen,

(1994), “os investigadores qualitativos preocupam-se com aquilo que se designa por

perspectivas participantes (…) Ao apreender as perspectivas dos participantes, a

investigação qualitativa faz luz sobre a dinâmica interna das situações, dinâmica esta

que é frequentemente invisível para o observador exterior” (pp. 50-51). Também

(Stake, 2007) reconhece que os investigadores qualitativos, de modo a conseguirem

uma melhor compreensão sobre as situações, captam a realidade “em episódios chave

ou testemunhos e representam os acontecimentos com a sua própria interpretação

directa e histórias (p. ex., narrativas). A investigação qualitativa usa estas narrativas

para optimizar a oportunidade de o leitor obter uma compreensão experiencial do

caso” (p. 55).


61

Modalidade de estudo de caso

De entre as investigações qualitativas, a opção pelo design ou modalidade de estudo

de caso foi determinada por se reconhecerem no estudo, em maior ou menor grau, as

quatro características identificadas por Merriam (1988) como propriedades essenciais

de um estudo de caso qualitativo: ser particularístico, descritivo, heurístico e indutivo.

Particularístico, porque o foco é no conhecimento didáctico de cada uma das

professoras, sendo importante o que cada uma delas revela acerca do mesmo,

fornecendo uma visão holística do objecto de estudo. Descritivo, na medida em que se

espera como produto final uma descrição completa e sistemática do objecto de

estudo, que inclui interpretação com base nos significados construídos, ilustrada com

transcrições relevantes retiradas dos dados. Heurístico, que significa que os casos

pretendem trazer à superfície a compreensão dos potenciais leitores acerca do

conhecimento didáctico do professor. Indutivo, porque os conceitos, abstracções e

descoberta de relações, emergem da análise dos dados, através do raciocínio indutivo

(Merriam, 1988).

Embora o objectivo do estudo seja compreender o conhecimento didáctico que assiste

o professor no desenvolvimento curricular e na prática profissional, no domínio do

pensamento algébrico, com recurso à tecnologia, portanto, uma questão geral, para o

fazer escolhemos dois casos particulares de duas professoras que iremos estudar em

profundidade, pelo que, de acordo com (Stake, 2007) cada um deles representa um

estudo de caso instrumental, na medida em que usamos os casos específicos para

obter compreensão sobre a questão geral: o conhecimento didáctico do professor.

No mesmo sentido, segundo Erickson (1986), não procuramos por “universais

abstractos alcançados por generalização estatística de uma amostra para uma

população, mas por universais concretos, alcançados através do estudo de um caso

específico com grande detalhe e então compará-lo com outros casos estudados com

igual detalhe” (p. 130). Ao contrário da investigação quantitativa que trata as

singularidades como situações a excluir ou erros, para a investigação qualitativa, estas

e os contextos individuais constituem importantes recursos para a compreensão do

problema em estudo.

Também de acordo com Stake (2007), “a função da investigação não é mapear e

conquistar o mundo, mas sim sofisticar a sua contemplação. É suposto haver

„descrição densa‟, „compreensão experiencial‟ e „realidades múltiplas‟ nos estudos de

caso de carácter qualitativo” (p. 58), o que sugere que o objectivo da investigação

pode não ser, em última análise, a representação da verdade, mas um estímulo à

reflexão pelos leitores, criando melhores condições para estes aprenderem, aquilo que

Stake (2007) refere como uma aprendizagem experimental ou generalização

naturalista.


62

Um projecto de trabalho colaborativo

Dada a importância de me apropriar dos significados das acções e opções que os

professores fazem na preparação e implementação da actividade lectiva, quando

mobilizam diferentes aspectos do seu conhecimento didáctico, procurei identificar e

caracterizar diferentes contextos e espaços de trabalho, de forma a potenciar e

facilitar a emergência e partilha de saberes das e com as professoras. Isto pode ser

facilitado através do desenvolvimento de relações colaborativas, construídas numa

base de confiança entre toda a equipa de trabalho, constituída pelas professoras e

pelo investigador, pois, de acordo com alguma investigação, “um excelente meio de

estabelecer e manter a confiança num contexto é envolver os informantes

directamente na investigação, como colaboradores com o investigador” (Erickson,

1986, p. 142).

Numa visão positivista, a realidade é vista como algo que existe objectivamente e

independente do sujeito que conhece e a que se tem acesso através de abstracção da

experiência, guiada por princípios e hipóteses. Uma vez alcançado o conhecimento

verdadeiro, único e hierarquicamente estruturado, ele é passado „para baixo‟ aos

outros para ser usado na prática (Olson, 1997). “A separação metodológica da mente

do corpo, e do sujeito do objecto, conduziu à crença de que o conhecimento obtido

pelo objectivismo racional era superior ao obtido pela experiência pessoal” (p. 15) e

por isso esta concepção de entender o conhecimento constitui um obstáculo à

colaboração. Nas palavras da autora, esta dificuldade acentua-se “porque a voz de

quem conhece é assumida como dominante (…) [e] para que a colaboração funcione,

todos os participantes devem ver os outros e eles próprios como aprendentes cujas

ideias merecem ser escutadas” (p. 18).

Neste sentido, nesta investigação pretende adoptar-se outra postura: tornarmo-nos

mais experientes, como profissionais capazes de aprender, em que todos, investigador

e professoras, se assumem como aprendentes que apreendem o mundo de diferentes

formas, dado que “vêm de diferentes comunidades de conhecimento, cada uma

desenvolvendo histórias particulares da prática educativa” (Olson, 1997, p. 24).

Este conhecimento, assumido como uma construção pessoal e social, decorre da

natureza contínua e interactiva da experiência e recorre a narrativas únicas para a

representar. “Através da interacção [entre investigadores de universidades e

professores], o significado é continuamente reconstruído à medida que as novas

interacções conduzem a compreensões adicionais” (Olson, 1997, p. 19). Esta

aprendizagem através da experiência sugere estar aberto à sua própria experiência e


63

à experiência dos outros, na medida em que, escutando diferentes vozes e ideias leva-

nos a reinterpretarmos a experiência passada e imaginarmos futuras possibilidades.

Assim, coerentemente com a opção feita por um paradigma interpretativo, chega-se à

caracterização de uma forma de trabalho centrada em relações de colaboração com as

professoras envolvidas no estudo, tendo em conta a natureza das questões a estudar

e a visão do mundo partilhada pelo investigador. “A lógica inerente à perspectiva

interpretativa da investigação sobre o ensino conduz à colaboração entre o professor e

o investigador. O sujeito da investigação junta-se na empresa do estudo,

potencialmente como um parceiro de pleno direito” (Erickson, 1986, p. 157).

Como se pode desenvolver a colaboração no trabalho da equipa? Porque as relações

colaborativas tomam frequentemente a forma de conversas (Olson, 1997), optámos

por criar um contexto de trabalho onde houvesse lugar à partilha, discussão e

elaboração de tarefas para implementar em sala de aula, assim como à reflexão sobre

episódios decorrentes da prática da sua implementação, esperando que daí decorra

uma maior compreensão sobre o conhecimento didáctico das professoras. Entende-se

aqui por conversa, não um simples processo de troca em que cada um conta o que

sabe, mas um processo que “evolui em torno dos objectos e situações no mundo dos

participantes e conduz a conhecimento partilhado (…) onde cada participante traz

significado e questões para a conversa” (Olson, 1997, p. 21).

Mas isso só será possível se garantirmos um sentido de igualdade entre todos os

participantes, deixando vir ao de cima a autoridade da narrativa, ou voz da

experiência, o que nem sempre é fácil, na medida em que o investigador traz

normalmente consigo a voz da autoridade daquele que conhece mais e melhor,

baseada em argumentos e explicações (Olson, 1997) e por vezes identificado pelos

professores como tendo propósitos avaliativos (Erickson, 1986). Olson fala-nos de um

„espaço‟ na conversa colaborativa, onde ocorre a transacção de ideias e a negociação

de significados, o middle ground, onde as pessoas se sintam seguras e arrisquem

tornar público o seu conhecimento narrativo, mesmo verbalizando posições diferentes

das socialmente aceites ou das visões do investigador.

O objectivo com a colaboração pode não ser obter o acordo ou o consenso, nem

sempre fáceis ou mesmo necessários de alcançar, mas o deixar emergir diferentes

ideias e pontos de vista alternativos. “À medida que nós aprendemos mais de e sobre

os outros, nós também aprendemos mais de e sobre nós próprios (…) Nas relações

colaborativas há um reforço do conhecimento pessoal e interpessoal assim como do

conhecimento profissional” (Olson, 1997, p. 25).

E será natural que o aparecimento de diferentes perspectivas sobre a elaboração de

boas tarefas para a sala de aula, assim como diferentes interpretações de situações e

episódios de sala de aula conflituem e constituam por vezes momentos de surpresa e


64

até de confusão e tensão. Mas “as tensões que emergem nas relações de colaboração

são o que mantém as relações vivas e dinâmicas” (Olson, 1997, p. 25).

O dispositivo de trabalho colaborativo

A equipa de trabalho colaborativa reunirá presencialmente, entre Setembro de 2008 e

Julho de 2009, uma vez por mês, em local a indicar pelas professoras, em princípio,

nas suas escolas ou em espaço onde se sintam à-vontade, com dois períodos mais

intensivos em Outubro/Novembro e em Janeiro/Fevereiro.

Este trabalho terá dois objectivos principais: elaborar um conjunto de tarefas sobre

Números e Álgebra, integrando o uso das TIC, a serem implementadas em cinco

aulas; e discutir e reflectir sobre essas aulas, com base em episódios identificados por

cada uma das professoras e pelo investigador e que possam ter interesse para a

investigação sobre o seu conhecimento didáctico.

O trabalho de investigação terá como suporte a distância uma plataforma de gestão

de aprendizagem (uma disciplina Moodle), que constituirá um espaço de publicação

das tarefas, de documentos de apoio, episódios e relatos de todos os membros da

equipa e um espaço de desenvolvimento das tarefas e interacção entre todos os

intervenientes, de forma síncrona e assíncrona. Assim, para além da existência de um

fórum permanente para desenvolvimento e aprofundamento das tarefas, de discussão

e comentário a materiais e relatos publicados, uma vês por mês, entre duas sessões

presenciais, os membros da equipa interagirão, através de um programa de

comunicação síncrona (o chat do Moodle ou o Skype), para discutirem as diferentes

abordagens didácticas de uma tarefa sobre um tópico dos Números e Álgebra, com

uso das TIC, ou um episódio de sala de aula, a definir e seleccionar pela equipa.

As sessões de trabalho da equipa serão gravadas em áudio e delas será feita uma

síntese escrita com o registo das ideias principais e do que fazer na próxima sessão, a

publicar na plataforma.

As cinco aulas de implementação das tarefas, das quais três serão objecto de

observação pelo investigador, serão gravadas em vídeo. Relativamente às duas aulas

não sujeitas a observação, a professora seleccionará os extractos/episódios que quer

apresentar na sessão conjunta seguinte da equipa, de acordo com o que considerar

mais relevante para ser discutido, tendo em conta o objectivo do trabalho. A opção

por discutir aulas não observadas, cumpre dois objectivos: permitir desenvolver,

inicialmente, uma certa empatia entre o investigador e as professoras que lhes

permita encarar com mais naturalidade a minha presença nas aulas e também

conhecer aspectos que as professoras valorizam na sua actividade e que respeita ao

seu conhecimento didáctico, ao solicitar-lhes que sejam elas a seleccionar os extractos

ou episódios mais relevantes a apresentar para discussão.


65

Das aulas e das sessões serão tomadas notas de campo que constituirão uma

memória de aspectos a visualizar com maior atenção nos registos completos, em

áudio ou vídeo, ou que registarão comentários e apreciações do investigador sobre

aspectos específicos observados na situação.

As tarefas, relatos, documentos curriculares e outros materiais, que constituirão a

base de propostas de trabalho para as sessões da equipa, envolverão: o Novo

Programa de Matemática do Ensino Básico (Ponte et al., 2007); as orientações

curriculares em Números e Álgebra dos graus 3-5 e 6-8 e sobre o uso da tecnologia,

propostas nos Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007); as

indicações sobre os tópicos e conceitos nucleares a dar ênfase e das conexões

transversais a estabelecer entre diferentes temas, em cada nível e sua articulação

vertical entre os diferentes níveis, do Curriculum Focal Points for Prekindergarten

through Grade 8 Mathematics; problemas e investigações, fonte de ideias para tarefas

sobre pensamento algébrico com uso das TIC, recolhidas ou adaptadas de documentos

de orientação curricular ou de didáctica da Matemática, nacionais e internacionais e de

textos de investigação2; para além de episódios recolhidos da prática das professoras

ou de outros estudos.

Os materiais a seleccionar para cada sessão, assim como o conteúdo das sessões da

equipa, serão propostos pelo investigador e pelas professoras, de forma negociada,

tendo em conta os objectivos do estudo, mas também os interesses e necessidades

manifestadas pelas professoras, o programa da disciplina e as suas planificações

didácticas.

Para o efeito e como ponto de partida inicial, o investigador constituirá um pequeno

dossier temático com documentos e propostas de tarefas que entregará às professoras

em Outubro de 2008 e que constituirá uma base para a discussão e selecção dos

materiais e para o arranque do trabalho.

O plano de trabalho (em anexo), a discutir e negociar com as professoras, concretiza

muitos aspectos aqui referidos.

2 Exemplos: Boavida et al. (2008). A experiência Matemática no Ensino Básico. Lisboa: DGIDC –

ME; Ponte, J. P., Brocardo, J. e Oliveira, H. (2003). Investigações Matemáticas na Sala de Aula.

Belo Horizonte: Autêntica Editora; Sheffield, L. J. e Cruikshank, D. E. (2005). Teaching and

Learning Mathematics – Pre-Kindergarten Through Middle School. USA: Jossey – Bass

Education.


66

As participantes

Para levar a cabo esta investigação, optei por dois estudos de caso: duas professoras

do 3º ciclo, a leccionarem 7º ano de escolaridade, com quem trabalharei em equipa,

na elaboração de tarefas destinadas a explorar os Números e a Álgebra, com uso das

TIC, com vista à sua experimentação em sala de aula e na reflexão sobre episódios

dessa prática.

Esta opção, teve em conta: a) a natureza das questões da investigação como,

perceber e caracterizar o conhecimento didáctico do professor e factores que o

influenciam; b) o pouco grau de controle sobre as variáveis envolvidas no

conhecimento didáctico, decorrendo em ambiente natural; e c) o produto final

esperado, neste caso, uma descrição e interpretação holística e intensiva sobre o

conhecimento didáctico evidenciado pela professoras, que nos traga uma maior

compreensão sobre o assunto.

Num estudo de caso, a escolha dos professores para o estudo não obedece a critérios

de representatividade da amostra, que caracterizam os estudos experimentais de

natureza quantitativa, uma vez que não estou preocupado com a generalização das

conclusões para uma população. Uma vez que o estudo decorre num tempo limitado,

necessito de casos de fácil acesso, que aceitem bem o projecto de investigação. A

minha preocupação é ter casos com os quais possa aprender muito desses casos

específicos, uma estratégia de amostragem intencional (Merriam, 1988) e através

deles compreender melhor o problema em estudo, pelo que maximizar as

possibilidades de aprender é o meu primeiro critério de escolha (Stake, 2007).

As participantes, a seleccionar em Setembro de 2008, serão professoras do 7º ano de

escolaridade, do 3.º ciclo do ensino básico, a quem será proposto um plano de

trabalho3 envolvendo: a elaboração, em equipa, de tarefas sobre pensamento

algébrico, com o uso das TIC, apoiadas nas novas orientações curriculares e em

documentos identificados pelas professoras e pelo investigador como pertinentes,

como suporte à elaboração das tarefas; a observação de aulas onde as tarefas serão

implementadas; a discussão e reflexão em equipa sobre episódios da prática das

professoras; e a publicação das tarefas e interacção sobre as mesmas, os episódios e

relatos resultantes da prática, numa plataforma de gestão de aprendizagem a

distância.

Neste sentido, procurei encontrar professoras para quem a experimentação de novas

abordagens metodológicas aos temas Números e Álgebra, tendo em vista o

3 Em anexo


67

desenvolvimento do pensamento algébrico e a integração curricular das TIC não

constitua um obstáculo, mas antes, um desafio.

A opção por escolher dois casos, um estudo de caso colectivo, de acordo com Stake

(2007), visa recolher mais evidência e maior diversidade, procurando, além de

perceber as especificidades de cada caso, coordenar e identificar semelhanças e

singularidades nos dois casos.

Três contextos determinaram a opção pelo ano de escolaridade: o contexto delimitado

pelo objectivo do estudo e que aponta para a área do currículo dos Números e

Álgebra, nomeadamente o pensamento algébrico; o contexto das TIC, para as quais

se prevê o seu uso; e o contexto do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico,

homologado em Dezembro de 2007, que começa agora a dar „os seus primeiros

passos‟ ao nível da explicitação e formação, em que uma das mudanças reconhecidas

é considerar a Álgebra como uma forma de pensamento matemático, o pensamento

algébrico, desde os primeiros anos de escolaridade. Assim, é ao nível do 3.º ciclo,

nomeadamente no 7.º ano, que encontramos, quer no actual programa ainda em

vigor, quer no novo, mais referências a temas que envolvem os números e as

propriedades das operações, as variáveis e expressões, a proporcionalidade directa, as

funções e as equações, temas privilegiados para a exploração de relações numéricas e

algébricas. Também é neste ano e ciclo que existem mais algumas indicações

metodológicas que apontam como recursos a utilizar, para além da calculadora, a

folha de cálculo e os applets, como tecnologias a integrar para promover a

aprendizagem.

Assim, defini alguns outros critérios para a escolha das duas professoras participantes

no estudo: (i) leccionarem o mesmo ano (7.º ano); (ii) terem alguma estabilidade

profissional; (iii) terem uma experiência profissional como professoras de, pelo

menos, 6 anos; (iv) terem alguma participação e/ou intervenção anterior em

encontros de natureza profissional ou em projectos de inovação curricular; (v)

estarem abertas a experimentar as indicações metodológicas do novo Programa, no

que respeita ao desenvolvimento do pensamento algébrico, prevendo o uso das TIC;

(vi) terem alguma familiaridade, ainda que elementar, com as TIC.

Os objectivos do estudo, os principais procedimentos, o que lhes é pedido, assim

como os compromissos que com elas são assumidos pelo investigador, constam do

plano de trabalho (em anexo), que foi entregue e discutido com as professoras em

Setembro e Outubro de 2008.

As sessões de trabalho mensais, presenciais e a distância, visam a elaboração de

tarefas sobre pensamento algébrico, com uso das TIC, a discussão de textos

curriculares e de didáctica da Matemática, considerados relevantes pela equipa e a

reflexão sobre aspectos e episódios da prática, seleccionados pelas professoras e pelo

investigador, a partir das aulas de implementação das tarefas, tendo em conta o


68

propósito do estudo. Os episódios da prática, diálogos dos alunos na resolução de um

problema ou na exploração de uma actividade de investigação, poderão constituir um

ponto de partida para discutir e fundamentar opções a tomar na elaboração de boas

tarefas de aprendizagem.

O tempo das sessões deverá tender a ser distribuído equitativamente entre a

elaboração das tarefas e a reflexão sobre a prática, constituindo esta a acção de nível

mais avançado e com maior probabilidade de ser geradora de evidência relevante para

o estudo.

Numa 1ª fase, que se prevê até Novembro de 2008, existirá um período de trabalho

mais intensivo, constituído por 4 sessões presenciais que permitirão a constituição do

grupo como tal, a apropriação dos discursos e o estabelecimento de uma linguagem

comum, com vista à preparação da 2ª fase, onde já haverá lugar à experimentação de

tarefas em sala de aula e a um funcionamento mais regular e sequencial.

As aulas, nomeadamente as observadas, visam levar à prática o conjunto das tarefas

e materiais elaborados pela equipa de trabalho colaborativa, constituída por mim e

pelas duas professoras e têm como objectivo identificar os principais aspectos do

conhecimento didáctico que as professoras mobilizam na prática lectiva e relacioná-los

com outros aspectos do seu conhecimento profissional, evidenciados nas sessões de

planificação desse trabalho.

O processo de recolha de dados

Os dados qualitativos a recolher do mundo empírico, sob a forma de palavras,

pretendem trazer profundidade e detalhe ao estudo e assumem a forma de descrições

detalhadas, citações directas dos informantes e excertos de documentos e outros

registos.

Numa investigação do tipo estudo de caso, importa recorrer a fontes diversificadas de

informação, num processo de triangulação, quer das fontes de dados4, quer dos

métodos e técnicas a adoptar, como a observação, a entrevista ou a análise

documental, os „nossos‟ protocolos da investigação qualitativa, de modo a melhorar a

qualidade da evidência a recolher e a validar os resultados do estudo (Stake, 2007).

Constituirão potenciais fontes de dados: as sessões de trabalho da equipa, presenciais

e a distância, síncronas e assíncronas; as notas de campo e os documentos escritos,

resultado de transcrições dos registos áudio e vídeo, das sessões e das aulas; a

4 “Para a triangulação das fontes de dados, vamos ver se o fenómeno ou o caso se mantém inalterado noutros momentos, noutros espaços ou à medida que as pessoas interagem de forma diferente (…) procurando ver se o que estamos a observar e a relatar transmite o mesmo significado quando descoberto em circunstâncias diferentes” (Stake, 2007, p. 126)


69

reflexão sobre os relatos, episódios ou incidentes críticos das aulas, escolhidos pelo

investigador e pelas professoras; as transcrições das entrevistas; os materiais,

comentários e reflexões disponibilizados pelas professoras na plataforma de gestão de

aprendizagem a distância, em complementaridade do trabalho presencial. Nem toda a

informação recolhida através destas fontes, como as notas de campo, as transcrições

das observações e das entrevistas ou os documentos, reverterá necessariamente em

dados, antes constituirão recursos para a elaboração dos dados, o que deverá ser

realizado através de meios formais de análise (Erickson, 1986) e deverá iniciar-se

“com mútiplas leituras do conjunto completo das notas de campo” (p. 149).

Segundo Yin (1984), “a força singular do estudo de caso é a sua capacidade para lidar

com uma grande variedade de evidência, documentos, artefactos, entrevistas e

observações” (p. 20). Neste sentido, as técnicas ou métodos de recolha de dados a

utilizar, serão:

Entrevista. A entrevista usa-se quando se pretende captar o que vai no pensamento

das pessoas, o que não pode ser directamente observado ou quando temos algum

interesse em factos passados, ou seja, ela pode permitir-nos aceder e perceber

melhor a perspectiva das pessoas tal como elas a assumem (Merriam, 1988). Mais do

que observar uma realidade através do nosso próprio ponto de vista, pretendemos

“descobrir e retratar as múltiplas perspectivas sobre o caso. A entrevista é a via

principal para as realidades múltiplas” (Stake, 2007, p. 81).

Assim, a natureza do problema, a preocupação com o percurso profissional das

professoras e factores de influência passados que procuramos perceber de modo a

melhor caracterizar o seu conhecimento didáctico, justificam o uso deste método.

De acordo com a natureza do problema e a metodologia adoptada, pode recorrer-se a

diferentes tipos de entrevistas desde as muito estruturadas, com questões muito

guiadas e numa ordem bem determinada, num extremo do contínuo, até às

completamente abertas e mais informais no outro (Merriam, 1988). No entanto, neste

último tipo de entrevista, de natureza mais exploratória, tem que se ter algum

cuidado de modo a não nos perdermos do objectivo central do estudo.

Num estudo qualitativo, a opção é normalmente por um tipo de entrevista mais

aberto, menos estruturado, menos próximo do inquérito e mais adequado a permitir a

cada entrevistado dar conta da sua experiência única e da sua própria perspectiva

sobre o mundo (Merriam, 1988), podendo passar pela entrega aos professores de uma

pequena lista de questões (Anexo 7D) orientadas para o problema (Stake, 2007).

Neste estudo, serão conduzidas duas entrevistas de natureza semi-estruturada,

procurando compreender os aspectos do conhecimento didáctico das professoras que

mais valorizam e a sua relação com o seu percurso e experiência profissional. A

primeira entrevista, aconteceu em Setembro e Outubro com cada uma das

professoras, segundo um guião (Anexo 7C) que focou aspectos do seu percurso


70

profissional, experiências relevantes da sua formação e desenvolvimento profissional

no que respeita ao currículo e à didáctica dos Números e da Álgebra e à integração

curricular da tecnologia. Esta ocorreu após a apresentação e discussão com cada

professora dos objectivos do estudo e respectivo plano de trabalho e antes da 1ª

sessão de trabalho realizada individualmente com cada uma das professoras, devido

ao diferencial de tempo entre a selecção do 1º caso e o encontrar do 2º (3 semanas).

A segunda entrevista será realizada em Julho de 2009, após a última sessão de

trabalho e incidirá sobre o trabalho realizado pela equipa e eventual clarificação sobre

alguns dados recolhidos, com vista a melhorar a compreensão sobre o conhecimento

didáctico das professoras.

Nas entrevistas deve prevalecer uma relação de interacção que influencia

reciprocamente as perguntas e as respostas e atenção especial deve ser dada ao não-

dito, como os gestos, sinais não-verbais ou entoações, tantas vezes importantes para

a compreensão do que foi registado (Ludke & André, 1986). Estas preocupações

devem acompanhar o investigador na condução das entrevistas, uma vez que o seu

objectivo “não é obter simples respostas de sim e não, mas a descrição de um

episódio, uma ligação entre factos, uma explicação. Formular as questões e prever as

perguntas que evocam boas respostas é uma arte especial” (Stake, 2007, p. 82).

Finalmente, de modo a preservar a memória das conversas a levar a cabo através das

entrevistas, estas serão audiogravadas, com o consentimento das professoras, sendo-

lhes posteriormente devolvidas as respectivas transcrições para validação. Também

imediatamente a seguir às entrevistas o investigador deverá registar um conjunto de

notas de campo que permitirão relembrar e reconstituir posteriormente os aspectos

essenciais e substantivos da conversa, para além da transcrição exacta (Merriam,

1988). Relativamente à 1ª entrevista ela já foi entregue a cada uma das professoras,

para verificarem a sua adequação ao que disseram e poderem emitir algum

comentário, o que já foi feito pelas duas professoras.

Registos. Aqui integram-se quatro diferentes tipos de registos descritivos: i) os

resultantes das notas de campo, tiradas imediatamente após as entrevistas, as

sessões de trabalho presenciais da equipa ou as aulas observadas; ii) as transcrições

das gravações em áudio e vídeo que registaram as entrevistas, as sessões de trabalho

da equipa e as aulas onde foram implementadas as tarefas; iii) os registos dos

episódios seleccionados das aulas, para discussão no seio da equipa; e iv) os registos

das participações nas actividades (fórum e chat) na plataforma a distância, com vista

a complementar a informação recolhida nas sessões de trabalho presenciais.

Observação. A observação permite-nos registar um comportamento tal como ele

acontece e pode assumir vários graus de entrosamento com a situação e com os

sujeitos, desde o de completo observador ao de completo participante. No entanto, no

estudo de caso qualitativo o que normalmente ocorre é o investigador assumir o papel


71

de investigador participante, ou seja, um observador parcialmente envolvido na

situação (Merriam, 1988). O investigador, como observador participante, deve ter em

conta que a sua observação é filtrada pela sua história pessoal, pelo que deve ser

controlada e sistemática, de acordo com um planeamento cuidado que deve prever a

delimitação clara do objecto de estudo, assim como uma atenção ao tipo de registos a

fazer e à concentração a ter sobre os aspectos essenciais (Ludke & André, 1986). O

investigador deve reconhecer que na observação devem estar presentes vários

elementos, para além das actividades e interacções que se desenvolvem, como seja a

atenção aos contextos nos seus aspectos físicos e outros (Merriam, 1988; Stake,

2007) e de cuja descrição depende aquilo que Stake identifica como o

desenvolvimento de uma experiência vicária com o leitor, ou seja, fornecer-lhe a

informação contextual que lhe dê a sensação de estar lá (Stake, 2007).

No estudo, serei um participante observador, na equipa de trabalho colaborativo e um

simples observador, muito pouco participante, em três das cinco aulas de

implementação das tarefas. No primeiro caso, trabalharei em conjunto com as

professoras, propondo e discutindo ideias e tarefas e orientando a discussão e reflexão

sobre episódios da prática, procurando perceber os aspectos do conhecimento

didáctico que mobilizam no planeamento e elaboração das tarefas e na prática lectiva.

Relativamente à observação das aulas, o meu papel, será o de me tornar familiar e

pouco intrusivo, de modo a limitar a minha interferência no ambiente de trabalho,

tornar-me atento ao que se passa à volta, mantendo um bom registo dos

acontecimentos, centrado na professora e num conjunto de questões orientadoras a

integrar num guião semi-estruturado e deixando a ocasião contar a sua história, nas

palavras de Stake (2007).

O papel do investigador

Numa investigação desta natureza, o investigador constitui o principal instrumento de

recolha e análise da informação, o que alerta para alguns cuidados a ter e para um

conjunto de características que devem ser observadas. A tolerância para a

ambiguidade, procurando e inflectindo caminhos em busca de significado, mais do que

seguindo procedimentos óbvios ou protocolos pré-determinados, a sensitividade ao

contexto, aos espaços e aos tempos no processo de recolha de dados, estar a par das

várias formas de que se pode revestir a sua interferência no estudo e ser um bom

comunicador, constituem algumas das características a serem acauteladas pelo

investigador (Merriam, 1988).

A subjectividade, longe de ser evitada ou considerada uma imperfeição a eliminar,

deve ser considerada um elemento fundamental para a compreensão do problema,

desde que o investigador tenha consciência dos erros de interpretação em que pode


72

incorrer e use procedimentos de triangulação com vista a melhorar a confiança nos

dados e nas suas interpretações (Stake, 2007).

De um modo geral, as competências de observação, comparação e reflexão

necessárias a qualquer pesquisa, são comuns a todos os seres humanos. ”O que os

investigadores interpretativos profissionais fazem é usarem as vulgares competências

de observação e reflexão sob formas especialmente sistemáticas e deliberadas”

(Erickson, 1986, p. 157), o que vem valorizar o professor como investigador da sua

própria prática.

A análise de dados

Num estudo de caso, a análise de dados caminha normalmente a par da recolha,

influenciando-se mutuamente, numa relação recursiva e dinâmica e que termina por

exaustão das fontes e por saturação das categorias, quando se verifica que nova

informação já não acrescenta maior compreensão ao caso e que apenas o torna mais

extenso (Merriam, 1988).

A análise dos dados resultantes dos registos das discussões e do processo de

elaboração das tarefas pela equipa, dos registos de observação das aulas, da reflexão

sobre as aulas, dos relatos escritos e dos registos das transcrições das entrevistas

audio e videogravadas, poderá fazer-se por interpretação directa ou por agregação em

categorias, uma e outra correspondendo a um processo de procura de

correspondências e de padrões, com vista à busca de significados (Stake, 2007).

As categorias de análise poderão organizar-se de acordo com as questões

orientadoras do estudo, desenvolvidas no quadro teórico, surgindo a priori, ou

decorrerem de questões emergentes que se vierem a revelar como pertinentes pelas

professoras, como aspectos importantes do seu conhecimento didáctico. “Muitas

vezes, os padrões serão conhecidos antecipadamente, retirados a partir das perguntas

de investigação, servindo como um modelo para a análise. Outras vezes, os padrões

surgirão inesperadamente a partir da análise” (Stake, 2007, p. 93).

Num estudo de caso, de natureza eminentemente indutiva, a análise dos dados irá

sendo realizada „de baixo para cima‟, paralelamente ao desenvolvimento da

investigação, procurando-se construir as abstracções à medida que os dados são

recolhidos e se agrupam (Bogdan e Biklen, 1994), revelando padrões que poderão ou

não enquadrar-se nas categorias definidas apriori. “Uma tarefa básica da análise de

dados é gerar estas afirmações, predominantemente através de indução” (Erickson,

1986), o que é conseguido num processo de revisão do conjunto dos dados recolhidos,

desde as notas de campo ou de entrevista, aos registos audio ou videogravados e são

estas múltiplas leituras dos recursos que os convertem em dados.


73

Num primeiro nível de análise, os dados são organizados por tópicos ou

cronologicamente, constituindo aquilo que se pode chamar a base de dados do estudo

de caso, podendo traduzir-se numa narrativa descritiva como produto final. Um

segundo nível de análise diz respeito ao desenvolvimento de categorias que envolvem

já a interpretação de significados dos dados. Finalmente, quando as categorias se

refinam e relacionam, podemos entrar num terceiro nível de análise com vista ao

desenvolvimento de teoria para explicar os significados dos dados (Merriam, 1988).

Também de acordo com Erickson (1986), as unidades básicas de análise no processo

de indução analítica são os exemplos concretos das acções que ocorrem entre pessoas

com estatutos específicos diferentes e instâncias de comentários sobre o significado

dessas acções e outros aspectos mais gerais acerca dos significados e crenças e essas

“unidades básicas no processo de análise de dados são também os elementos básicos

do relatório escrito do estudo” (Erickson, 1986, p. 149). De acordo com o mesmo

autor, o corpo essencial do relatório é constituído por descrições particulares

(exemplos de acções ou comentários de entrevistas com citações e episódios

narrativos que acompanham a narrativa descritiva), que suportam as afirmações e

abstracções, chamadas de descrições gerais que as articulam em padrões e

comentários interpretativos interpolados entre as descrições particulares e as gerais,

que ajudam o leitor a estabelecer ligações entre os detalhes específicos e os

argumentos mais abstractos (Erickson, 1986).

Os relatórios descritivos intermédios de investigação e as transcrições de aulas ou

sessões da equipa, consideradas importantes e a integrar no estudo, deverão ser

devolvidos às professoras participantes para revisão, eventual correcção ou

acrescento, num processo que Stake (2007) designa de verificação pelos

intervenientes, podendo fornecer com regularidade, “observações e interpretações

importantes, fazendo às vezes sugestões quanto às fontes de dados. Eles também

ajudam a triangular as observações e as interpretações do investigador” (p. 128).

Também o relatório do estudo deve organizar-se compilando todos os dados

considerados relevantes para o caso e clarificando a audiência a que se dirige e, em

seguida, identificando a principal mensagem que quer passar, tendo em conta o foco

do estudo, uma vez que está a lidar com uma grande quantidade de informação

(Merriam, 1988).

Assim, a tarefa do investigador na escrita do relatório, obedece a duas ordens de

preocupações: por um lado, ela é didáctica, na medida em que os significados e os

conceitos analíticos mais abstractos devem emergir das acções específicas levadas a

cabo pelas pessoas; por outro lado, ela é retórica, fornecendo adequada evidência de

que a análise realizada é válida e decorre do que os acontecimentos significam, do

ponto de vista dos actores que neles intervêm (Erickson, 1986).


74

Finalmente, na escrita do relatório integrando os dados relevantes e a sua

interpretação e tendo em conta que normalmente se dá maior ênfase às

interpretações do investigador do que às dos casos estudados, ele deve procurar

“preservar as múltiplas realidades, as perspectivas diferentes e até contraditórias do

que está a acontecer” (Stake, 2007, p. 28), estimulando a reflexão pelos leitores e

alargando as suas oportunidades de aprenderem.


75

Capítulo VII:

Análise de dados

Contextos

História da constituição da equipa

A selecção da 1ª professora

A primeira professora, que eu já conhecia há muitos anos, foi seleccionada em 16 de

Setembro de 2008, na sequência de uma conversa que tivemos em sua casa,

previamente combinada por mail e telemóvel, após um primeiro contacto que com ela

estabeleci no ProfMat de Elvas, no início de Setembro. Nessa altura, apenas confirmei

que Ana leccionava o 7º ano e sugeri que posteriormente falaríamos da sua possível

colaboração num trabalho de investigação, o que foi concretizado nessa conversa,

onde apresentei e discuti o plano de trabalho (Anexo 1).

Dada a natureza do trabalho colaborativo que queríamos desenvolver, que implicava

criar um bom ambiente e relações de trabalho intensas, procurei envolver Ana na

procura do segundo elemento da equipa. Nessa primeira conversa, partilhei com Ana

um contacto que já tinha feito, sem êxito, porque a referida professora não leccionava

7º ano e também outras ideias que tinha, assim como lhe perguntei se ela tinha

alguém com quem gostasse de trabalhar.

Nesse esforço de memória que ia fazendo em voz alta, chegou a um nome de uma

professora da sua zona que se tinha destacado numa acção de formação na qual Ana

era formadora. Falámos sobre algumas características a ter em conta, como a sua

experiência profissional, espírito de abertura à inovação e desempenho com as TIC e

do pouco que ela conseguia identificar ou lembrar-se, pareceu-nos que a Ana deveria

desenvolver um contacto informal para saber que ano leccionava, explicando que a

informação que pretendíamos, seria para participar num projecto de investigação, que

ficaria dependente de um contacto a desenvolver. Surgiu ainda outro nome de uma

outra professora que tinha também participado no mesmo curso e que também se

tinha evidenciado no trabalho que realizou. No entanto e dado que eu tinha

conhecimento do recente envolvimento dessa professora numa outra investigação,

deixámos a situação em suspenso.


76

Ana lembrou-se ainda de uma colega da sua escola, mas sugeri, com o seu acordo,

que procurássemos introduzir outro contexto diferente, que poderia vir a enriquecer o

nosso estudo.

Os cerca de oito contactos que desenvolvi, sempre em contacto com Ana, mostraram-

se infrutíferos devido, quer a não leccionarem o 7º ano de escolaridade, quer por se

tratar de professores (as) envolvidos (as) em formação avançada ou em projectos de

formação nacionais que lhes ocupavam muito tempo.

Um mês depois …

Só um mês depois, em 15 de Outubro, conseguimos a 2ª professora para o estudo.

Por indicação de uma colega que eu conhecia, ela sugeriu-me Beatriz como uma

professora jovem que lhe parecia disponível e receptiva a um trabalho desta natureza,

pelo que conhecia do trabalho que mantinha com ela na escola. Nem eu, nem Ana, a

conhecíamos, mas confiei na informação que me deu.

A conversa que mantive com ela, onde lhe apresentei o plano de trabalho e se decidiu

a sua integração neste trabalho colaborativo, decorreu durante cerca de uma hora, na

própria escola onde Beatriz lecciona, numa sala de apoio aos directores de turma, com

boas condições e sem interrupções.

Tal como Ana, Beatriz mostrou-se bastante agradada com a proposta de trabalho que

lhe apresentei, vendo nesta colaboração um desafio e uma mais-valia para pensar no

seu trabalho e na sua prática.

Com a apresentação e discussão do plano de trabalho, forneci às professoras uma

pasta com textos e documentos de orientação curricular e alguns documentos que

organizei com o objectivo de apoiarem o nosso trabalho de equipa.

À semelhança do que já tinha conversado com Ana, falei sobre os locais de realização

das sessões e sugeri que fossem sempre elas a decidir. As suas casas, as suas escolas

ou a minha própria casa, constituíam locais possíveis a que poderíamos recorrer, mas

a casa da Ana pareceu a todos a mais bem situada, para começarmos, face aos

diferentes locais de residência e de trabalho das professoras.

Relativamente às planificações, as professoras perguntaram se existia alguma

proposta de abordagem curricular que se deveria adoptar, face aos objectivos do

estudo, uma vez que precisavam de articular isso com decisões ao nível do grupo

pedagógico da escola. Dado que o estudo seria desenvolvido em contexto natural,

procurei deixá-las à vontade para escolherem a ordem que achassem confortável para

si próprias e adequada ao planeamento do seu trabalho dentro da escola.

Lembrei apenas que, de acordo com o plano de trabalho, as tarefas que iríamos

elaborar visariam o desenvolvimento do pensamento algébrico, tendo as TIC como

suporte. Assim, poderíamos partir dos números e operações, das suas propriedades e

relações, passar pelas sequências e regularidades, pelo estudo das funções e pela


77

proporcionalidade, até chegar às equações. Estes temas, enquadram-se nas áreas dos

Números e da Álgebra do actual programa e seria a partir deles que poderíamos

desenvolver o que designamos por pensamento algébrico, uma nova linguagem e

abordagem que está presente nas orientações metodológicas propostas no novo

programa e que iremos ter em conta.

Seria portanto natural que, no 1º período lectivo, pudéssemos trabalhar nas

sequências e regularidades e que uma 1ª aula de implementação das tarefas, usando

as TIC, ocorresse entre Novembro e Dezembro, o que veio a suceder.

Das professoras à equipa colaborativa

Dado o tempo que mediou entre a selecção do 1º e do 2º caso e face à necessidade

de Ana planear a sua intervenção para o 1º período, resolvemos iniciar o trabalho em

Setembro, realizando a entrevista e uma 1ª sessão de trabalho, apenas com Ana.

Após a chegada de Beatriz, em meados de Outubro, realizei de imediato uma primeira

entrevista e uma sessão de trabalho apenas com ela, procurando „acertar o passo‟

com o que tinha discutido com Ana. Para mim, este processo inicial mais

individualizado, serviu como um teste ao nível da qualidade dos registos de som, da

criação de uma linguagem comum e de ganhar alguma experiência no colocar de

questões para promover o esclarecimento das opções das professoras e promover a

sua reflexão. Nomeadamente, uma questão que me preocupava era a capacidade de

gerir, num projecto de natureza colaborativa, a minha iniciativa versus a iniciativa das

professoras, os tempos despendidos com as diferentes questões face aos interesses

das professoras e o equilíbrio entre discutir, colaborar, propor, ouvir e tomar notas.

Também a leitura das primeiras transcrições me fez reflectir sobre o meu papel como

investigador, na forma como ouvia, como tomava a palavra, ou como, por vezes, a

sobrepunha à voz das professoras, interrompendo o seu discurso ou não lhe dando a

devida continuidade.

As sessões de recolha de dados

A recolha de informação tem-se processado, de acordo com a metodologia adoptada e

com o plano de trabalho, através das entrevistas (no início do processo), das sessões

presenciais de trabalho para elaboração de tarefas e reflexão sobre a prática, da

participação em fóruns e em chats, numa plataforma de apoio a distância e através do

registo e selecção de episódios que decorrem da observação de aulas e que são

objecto de reflexão nas sessões presenciais (Anexo 7A). Materiais de trabalho como,

fichas com tarefas, resoluções de alunos ou relatos de aulas da iniciativa das

professoras, disponibilizados nas sessões presenciais ou a distância, constituirão

informação adicional para reflexão, recursos para chegar aos dados, através de

processos formais de análise (Erickson, 1986).


78

Neste trabalho, assumo um conjunto de pressupostos que guiam a minha intervenção

nas sessões que realizamos e nos contactos que estabeleço, presenciais ou a

distância. As professoras trabalham em colaboração comigo, com base no Programa

de Matemática actual, em Números e Álgebra, mas com o horizonte no pensamento

algébrico e no uso curricularmente integrado da tecnologia, que estão presentes na

investigação, nas orientações curriculares internacionais e no novo Programa de

Matemática.

Sendo a natureza do trabalho colaborativa e desconhecendo as professoras, à partida,

as questões da Aritmética que podem ser tomadas como ponto de partida para o

desenvolvimento do pensamento algébrico:

elas devem surgir em documentos a elaborar que cruzem o programa actual e

as tarefas, com o que as orientações curriculares e a investigação dizem sobre

as TIC e o pensamento algébrico;

ao mesmo tempo, as questões devem emergir de forma natural a partir das

ideias e dos problemas que as professoras trazem para as sessões, num

processo que chamarei de „abertura‟ e algebrização das tarefas.

O meu trabalho é partir do conhecimento didáctico que as professoras evidenciam no

terreno da elaboração das tarefas e nas práticas, procurando percebê-lo e interpretá-

lo, à medida que procuro fazer emergir ideias algébricas que estão na estrutura da

matemática elementar, utilizando as TIC.

As sessões presenciais da equipa: cronologia e assuntos

Até Janeiro de 2008, realizaram-se, para além de uma conversa informal para

apresentar e discutir o plano de trabalho, de uma primeira sessão de trabalho e de

uma entrevista, com cada uma das professoras, quatro sessões presenciais da equipa

colaborativa, 3 chats e vários contactos informais de troca de ideias e materiais,

realizados fundamentalmente a distância.

Para a sessão individual, que realizei com cada uma das professoras (em 10 e 21 de

Outubro de 2008), preparei um documento (Anexo 7B) que lancei no Moodle na

véspera e que teve por objectivo orientar esta primeira abordagem.

Procurei chamar a atenção das professoras para a natureza dos documentos que

tinham na pasta que lhes entreguei e que iam desde documentos de orientação

curricular, até exemplos de tarefas retiradas de livros de referência, de artigos de

investigação ou de teses. Na sessão, analisaram-se um conjunto de tarefas sobre

sequências e padrões numéricos e geométricos, visualizaram-se abordagens possíveis

com a folha de cálculo e reflectiu-se sobre episódios de aprendizagem retirados de

teses, tendo como quadro orientador do nosso trabalho, o pensamento algébrico e as

potencialidades reconhecidas às TIC, em particular os applets e a folha de cálculo.


79

Na 1ª sessão da equipa, realizada em 28 de Outubro, após uma breve apresentação

das professoras, seguiu-se uma estratégia semelhante à das sessões anteriores:

resolução e discussão de tarefas sobre sequências, tendo presente o uso da folha de

cálculo; exploração de ficheiros na folha de cálculo, procurando identificar

potencialidades e dificuldades no trabalho com padrões numéricos, numa primeira

abordagem que se faz da ferramenta; exploração de um applet com vista à elaboração

de uma tarefa com um conjunto de questões para implementar em sala de aula;

discussão de alguns episódios de sala de aula, retirados da tese da Neusa Branco.

Na 2ª sessão da equipa, realizada em 18 de Novembro de 2008, discutiram-se:

episódios, relatados por Beatriz, relativos a uma aula com sequências e pequenas

passagens de um filme, de uma aula observada de Ana; um texto sobre estratégias de

cálculo mental (do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores

do 1º ciclo, da ESE de Setúbal), para desenvolver nos professores uma sensibilidade

para o trabalho numérico, centrado nas relações entre os números e entre as

operações e não só no cálculo; algumas questões de um documento que elaborei

(Anexo 4) sobre a sintaxe da folha cálculo e a aprendizagem da Matemática (relação

entre os endereços e fórmulas da FC e os conceitos de variável e de expressão com

variáveis); algum planeamento do trabalho futuro (regularidades, proporcionalidade,

equações, …), as próximas sessões e a observação de aulas.

Na 3ª sessão da equipa, realizada em 2 de Dezembro de 2008: discutiram-se os

problemas das caixas de doces e das carteiras (Anexo 6D), os conhecimentos

matemáticos envolvidos e as possibilidades de exploração didáctica; resolveu-se e

discutiu-se o problema das castanhas, o relato da professora (Anexo 6B – 1ª e 2ª

parte), integrando diálogos dos alunos e uma reformulação do problema (Anexo 6C) e

sua possível algebrização; discutiu-se a tarefa dos quadrados e cubos perfeitos (Anexo

6E), com uso da folha de cálculo, que Beatriz vai introduzir, numa aula a ser filmada;

reflectiu-se sobre uma aula da Ana que experimentou tarefas discutidas e planeadas

em sessões anteriores, com o apoio de um applet sobre sequências lineares, com base

no relato oral da professora; reflectiu-se sobre uma aula de Beatriz, com base no seu

relato e nalgumas resoluções escritas que ela tinha recolhido dos alunos; sugeriram-se

algumas ideias para tarefas no âmbito da proporcionalidade directa, tema que Ana ia

abordar recentemente com os alunos.

De todas as sessões realizadas e que foram gravadas, fiz as respectivas transcrições,

nos dois a três dias imediatos à sessão, procurando não perder informação

complementar que assinalo no início e no fim da transcrição e sobre a qual faço uma

primeira análise, destacando em caixa e em realçado a cor, as frases e os diálogos

mais significativos, tendo em conta o quadro teórico e as questões do estudo.


80

O papel da plataforma de apoio a distância

Neste estudo, estamos a usar uma plataforma de gestão de aprendizagem a distância

(Moodle), com dois objectivos:

constituir um repositório de materiais que eu e as professoras vamos

disponibilizando e que suportam todo o trabalho que estamos a desenvolver;

ser um espaço de interacção, síncrona e assíncrona, que serve de preparação

ou dá continuidade às sessões presenciais.

A apresentação da página principal da disciplina Moodle (Anexo 8), dá-nos uma ideia

da diversidade e organização dos documentos, assim como dos espaços de interacção.

A estrutura, obedece a uma organização mista: uma organização por assuntos, em

cima e uma organização cronológica, por sessão, da parte de baixo.

Na zona de assuntos, disponibilizam-se documentos de orientação curricular,

propostas de tarefas com origem na investigação, em estudos e em documentos

curriculares, textos de orientação/reflexão e ficheiros de trabalho que vou criando.

Na zona das sessões, o trabalho organiza-se por mês/sessão e tem basicamente duas

actividades abertas: o fórum que serve de meio de comunicação e envio de

documentos anexos, antes e depois da sessão presencial; o chat, que serve o

propósito de conversar, de forma síncrona, entre duas sessões presenciais, para

discutir assuntos muito precisos, como a definição e alguma preparação para o que se

vai discutir na sessão presencial seguinte.

Os anexos enviados para o fórum, podem ser ideias para fichas, esboços de tarefas,

relatos ou outros documentos de orientação sobre pensamento algébrico e TIC.

E embora no plano se assuma que esta plataforma constitui o nosso espaço de

trabalho a distância, muita comunicação do tipo „um para um‟ continua a desenvolver-

se das professoras comigo, através de mensagens de correio electrónico, procurando

filtrar as dúvidas e melhorar as tarefas, antes de as enviar para a plataforma.

A observação de aulas

A observação de aulas tem decorrido a ritmos diferentes, com Ana e Beatriz. No

entanto, em qualquer das situações, estamos adiantados face ao que o plano previa,

no que diz respeito ao número de sessões a registar em vídeo.

Ana tem realizado mais aulas da disciplina de Matemática, usando a tecnologia e

solicitando a minha presença frequentemente, enquanto Beatriz tem feito um caminho

exploratório, preparatório e mais cauteloso do uso da tecnologia, no estudo das

sequências, nas aulas de Estudo Acompanhado, levando com menos frequência esse

tipo de tarefas para a sala de aula.

Até agora, observei e registei em vídeo, cinco aulas da Ana e uma da Beatriz, fazendo

nos dois a três dias seguintes, a montagem de um filme de cerca de 30 minutos,


81

organizando com separadores, vários clips que procuram traduzir as sequências de

diálogos que me parecem mais relevantes e registando um conjunto de notas escritas

sobre os mesmos. Este filme é entregue à respectiva professora alguns dias depois,

que dele selecciona os episódios que quer discutir na sessão, situação que ainda não

está a funcionar bem. Isso deve-se a quatro ordens de razões: nem sempre se

conseguem registos vídeo com bom nível de som, de modo a perceber bem os

diálogos específicos entre a professora e um aluno ou pequeno grupo de alunos; os

registos mais frequentes, centram-se em apresentações gerais para toda a turma; as

professoras têm tido dificuldades em seleccionarem bons episódios, por falta de

experiência neste trabalho de reflexão sobre a prática, a partir de episódios; eu

próprio tenho sentido dificuldades em despoletar alguma discussão e reflexão

aprofundada sobre as situações, pois as primeiras impressões são sempre de

entusiasmo pela participação e descoberta dos alunos e pelas oportunidades que se

lhes dão.

Breve apresentação dos casos

Ana: a pessoa na profissão e na escola. A Ana é uma professora de estatura

média baixa, cabelo curto, simpática, alegre e que sempre conheci extrovertida e

disponível para desafios. Tem 54 anos de idade, 28 anos de serviço e passou por 4

escolas na sua vida profissional, estando há 24 anos na escola onde actualmente

lecciona, uma escola básica com 2º e 3º ciclo do distrito de Setúbal. Tem dois filhos

maiores de idade e a mais nova ingressou recentemente na Universidade.

Licenciou-se em Matemática (Ramo Educacional), na Faculdade de Ciências da

Universidade de Lisboa em 1980 e uns anos mais tarde, em 1994, iniciou o Mestrado

em Informática e Educação, na mesma instituição, tendo defendido, em 1998, após

um ano de licença sabática, uma dissertação sob o título, O computador e o Professor

– As culturas profissionais dos professores na sala de aula. Ana é clara sobre as razões

para a procura de uma pós-graduação nesta área.

Depois de ter trabalhado na escola com o projecto Minerva, já na fase final

deste projecto, tive conhecimento deste Mestrado e senti que era a altura

de parar um trabalho diário, para aprender mais e ao mesmo tempo

reflectir sobre a temática da utilização do computador (E1_A).

Conheço-a desde os „tempos‟ do Projecto MINERVA, há cerca de 21 anos, quando

integrava a equipa do Centro Escolar MINERVA da escola e dinamizava os „primeiros

passos‟ da „entrada‟ dos computadores no ensino, participando em processos de


82

formação e experimentando o uso do computador em clube e na sala de aula, com

pequenas aplicações de software e com o Logo.

Actualmente faz parte da equipa do Plano da Matemática. A ginástica, as tarefas

domésticas e a leitura, ocupam algum do seu tempo e servem para descansar e

libertar tensões. Lê, porque gosta muito de ler outra literatura, para além da de

natureza profissional.

A escolha da profissão

Desde cedo quis ser professora de Matemática, área com que teve sempre boa

relação, próxima da sua maneira de pensar e com que se entendeu melhor, embora

“uns anos correu melhor [e] outros não correu tão bem” (E1_A). Quando na escola

secundária começou a pensar no que escolher, ser professora de Matemática

constituiu uma escolha natural. Recorda uma professora de Física e Química do seu

antigo Liceu que tendo-a solicitado para ajudar colegas que estavam com dificuldades,

ficou a observá-la e no fim da aula sugeriu-lhe que deveria ser professora.

Acha a profissão com muitas e variadas vertentes de que gosta. “Eu gosto de

comunicar com as pessoas, gosto de estar rodeada de pessoas, tenho uma certa

dificuldade, não é dificuldade, gosto mais de coisas … de desafios, do que de muita

rotina” (E1_A).

A relação com a Matemática e a Álgebra

A área da Matemática que mais gostou, no seu percurso pela escola básica e

secundária, foi da Geometria.

Eu por acaso gosto de Geometria. Eu ... não tenho assim uma preferência

... não tenho áreas que diga que não gosto, mas eu acho piada ao desafio

da Geometria ... pensar na Geometria. E quando eu era aluna, lembro-me

nas férias de espreitar a parte dos anos seguintes, ... eu não me

preocupava em ir aprender os assuntos, isso não ... nem ler os assuntos ...

mas achava piada em ir, lá está, em Geometria achava piada em ir às

actividades, aos problemas e pensar como é que havia de fazer aquilo (…)

entretinha-me a fazer (risos) actividade de raciocínio, sabendo que não

estava preocupada com as fórmulas, sabendo que logo ia lá aprendê-las,

mas gostava de raciocinar (E1_A).

Da Álgebra, lembra-se do cálculo algébrico, de procedimentos e da repetição, aos

quais também acha alguma graça, que tenta passar para os seus alunos “quando eles

têm alguma dificuldade” (E1_A).


83

Eu ... da álgebra ... o que eu tenho, ao contrário ... bom … mas é assim,

não é ao contrário ... eu da álgebra gostava daquela ... portanto, fazia

muita reprodução de procedimentos, não é?! Portanto, para calcular isto,

para calcular aquilo (I interrompe: cálculo algébrico não é?!), repetia-se,

repetia-se, repetia-se ... mas eu também achava graça a essa parte,

curiosamente ... acho que dá assim uma certa segurança saber o que é

que era para fazer (…) É ver aquilo como um jogo (E1_A).

As marcas gratificantes do percurso profissional

Os principais marcos positivos no seu percurso profissional foram o estágio e a sua

participação no Projecto MINERVA. O estágio, pelas características e trabalho da

orientadora,

uma orientação feita todos os dias em actividade na escola (…) um

trabalho muito bem feito. Discutíamos muito … era o trabalho de grupo, a

elaboração de todas as tarefas, a discussão de como essas tarefas se

implementarem na sala de aula, tirar o melhor partido da actividade dos

alunos, os diferentes momentos da aula, as diferentes questões que se

podiam colocar (E1).

Muito do que ainda hoje faz, embora reconheça a contribuição da experiência, sente

que se deve a esse momento gratificante que marcou o início da sua vida profissional.

“Eu sinto que ... a minha capacidade de trabalhar em sala de aula ou de colocar

[questões] em sala de aula ou de tirar partido das situações, tem a ver sempre com

esses frutos que tiveram naquele ano” (E1_A).

Quanto ao Projecto MINERVA, reconhece ser, de longe, o que mais influência exerceu

sobre ela, sendo o responsável por ter começado a usar a tecnologia nas aulas. A

integração do computador processou-se naturalmente, dado que ele constituiu apenas

mais uma ferramenta que se integrou na forma como já organizava e geria o trabalho

de grupo dos alunos e as discussões dentro da sala de aula, aprendizagem que atribui

à experiência do estágio.

Lá venho outra vez ao estágio (…) foi muito engraçado que eu tenho

sempre esta sensação: a maneira de organizar a aula, a maneira de

organizar a discussão com os elementos dos grupos dos alunos ou

individualmente, senti que quando eu comecei a usar o computador ... eu

já trabalhava, o que eu senti naquela altura foi que ... a maneira como eu

trabalhava em sala de aula era sem computador, mas era já uma forma de

trabalhar que me permitiu não ter receio de utilizar o computador (E1_A).


84

Ana reconhece ainda outro projecto com alguma relevância, mas de outro tipo: é o

Plano da Matemática, mais ligado com os conhecimentos de Matemática, de um nível

mais macro, uma vez que pertence à Comissão.

Assim marcante ... sob outra perspectiva não é?! Tem a ver com

conhecimentos ... já mais estrutural. Mais com uma visão ... por exemplo,

se fosse professora acompanhante já seria outro tipo de experiência, não

é?! Mas ... fazendo parte da Comissão, já é uma experiência diferente,

também está a ser muito interessante ....(…) É, é, é ... mais superior, é!

(E1_A).

Aprender a ensinar

Questionada sobre forma como acha que aprendeu e continua a aprender a ensinar,

Ana fez alguns comentários sobre a dificuldade da pergunta e ri-se.

O aprender a ensinar ... já fiz referência aqui ao estágio. Foi na verdade ...

o estágio ensinou-me ... ensinou-me a aprender a ensinar (…) Eu sei que

eu tenho uma característica que eu já mencionei que é o facto de eu gostar

de me relacionar e não tenho dificuldade em relacionar-me com nenhuma

idade. Também acho que isso é importante (…) ao longo da vida a gente

vai pensando às vezes nestas coisas e eu acho que isso que me faz

também todos os dias aprender a ensinar, porque .... consigo estar

também atenta às reacções (…) eu gosto de estar atenta aos sinais físicos

das pessoas. E eu acho que é isso ... nunca tinha pensado nisso! Mas eu …

essa característica que eu gosto de estar atenta, como é que a pessoa está

a reagir, em termos de expressão, aquilo que faz … àquilo que eu digo, me

faz colocar as coisas às vezes de outra maneira (E1_A).

No seu percurso escolar em Matemática, nem tudo „foram rosas‟, mas isso também

parece constituir uma mais-valia como professora, para dar valor e perceber algumas

dificuldades dos alunos.

Aquilo que os miúdos estão a fazer, eu sou capaz de perceber, porque sou

capaz de me lembrar quando estava na pele deles, algumas das

dificuldades que senti. O que quer dizer que, embora eu goste de

Matemática e me sentisse bem nela eu também não fui daquelas ...

pessoas ... que tudo foi rosas na Matemática enquanto aprendi e isso acho


85

que foi bom para eu ser professora ... porque eu sei perceber porque é que

eu também tinha dificuldades nalguma coisa ou noutra (E!_A).

Desafios e projectos

Entre 2000 e 2005, foi convidada por uma colega, sob proposta de uma editora, para

elaborar manuais escolares, à luz das novas competências previstas no Currículo

Nacional do Ensino Básico, projecto que desenvolveu para os diferentes anos, desde o

5º ao 8º ano de escolaridade. Faz um balanço positivo desta experiência que

considera enriquecedora, mas cansativa, referindo-se a todo o processo, incluindo a

divulgação em acções para professores, realizadas em quase todas as capitais de

distrito.

Contudo, é uma máquina de fazer dinheiro e o autor também não faz

sempre o que quer. Está condicionado a realizar um trabalho que também

é usado pelos professores, tendo em vista outros objectivos educacionais

que não aqueles que tinham por base a construção das tarefas (E1_A).

A colaboração

A colaboração neste projecto aceitou-a como um desafio, articulado com a reflexão

sobre si e a sua própria prática, sendo uma contribuição para melhorar o seu

conhecimento profissional.

Eu por acaso gosto de participar nestas coisas (...) por exemplo, aquilo que

a gente está a fazer aqui hoje permite-me também pensar sobre mim

mesma e para dar resposta às coisas que me perguntas eu estou a pensar

em voz alta, acerca de mim própria e portanto é uma coisa que gosto de

fazer (…) e a expectativa que eu tenho é de me ajudar a pensar acerca das

coisas e se me obriga a pensar, decerto que vou ficar com mais

conhecimentos (E1_A).

É a 4ª vez que se envolve em investigações deste tipo, ligada a programas de

mestrado e doutoramento, tendo sido um dos casos que, em 1991, participou na

investigação que desenvolvi no âmbito do mestrado. Mesmo reconhecendo que por

vezes estas colaborações acarretam alguma sobrecarga de trabalho, acha que

consegue encontrar esse tempo e que isso é uma mais-valia que lhe traz obrigação de

pensar melhor, com objectivos e de forma mais sistemática sobre o ensino e as aulas

e fugir às rotinas quotidianas da profissão.


86

O contexto profissional da escola

A escola onde trabalha, insere-se num meio sócio económico médio baixo, com mais

de 50% dos pais com a escolaridade ao nível do 9º ano completa, com uma actividade

sócio profissional predominante de Empregados de Comércio e Serviços (30%). Acolhe

cerca de 750 alunos, distribuídos por mais de três dezenas de turmas, de forma mais

ou menos equilibrada, entre o 5º e o 9º ano. Cerca de uma centena de professores,

distribuídos entre o 2º e o 3º ciclo, constituem um corpo que pode considerar-se

estável, embora nos próximos anos deva sofrer significativas alterações, devido a um

largo leque deles atingir a idade da reforma.

É uma escola com uma boa relação entre os colegas, mas com alguma

dificuldade em estabelecer regras de funcionamento na classe docente, o

que se torna visível no cumprimento de regras nos departamentos e no

trabalho colaborativo (E1_A).

Esta escola foi uma das que, desde cedo, integrou a experiência nacional que

constituiu o Projecto MINERVA, trabalhando em ligação com uma instituição de ensino

superior na formação e apoio a projectos de integração curricular das tecnologias de

informação e comunicação na educação.

A Beatriz: outra pessoa na profissão e na escola. Beatriz é uma professora

de estatura média alta, cabelo curto, simpática e com dois filhos muito novos, o mais

pequeno dos quais tem nove meses. Com 31 anos, completa este ano o seu 9º ano de

serviço e já leccionou em 8 escolas, estando há 3 anos na escola básica com 2º e 3º

ciclo do distrito de Setúbal, onde lecciona actualmente. Licenciou-se em Matemática

na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, onde foi uma

aluna muito aplicada e lembra-se de gostar muito das Análises Matemáticas, mas não

só.

Também as cadeiras de informática, gostava muito, tínhamos a

Investigação Operacional … que eu gostava imenso da Investigação

Operacional, tínhamos a Programação também, tínhamos também a

Análise Numérica que eu gostava imenso. Portanto, tudo o que se relaciona

com Cálculo, com Números, com a Álgebra, foi sempre aquilo com que eu

mais me identifiquei também (E1_B).

Os tempos em casa, até ir buscar os filhos, são para preparar materiais e investigar,

este ano que tem mais algum tempo e menos dispersão de disciplinas e áreas. Por

volta das 5 da tarde,


87

é chegar a casa, tratar deles, jantar, brincar um bocadinho com eles, estar

um bocadinho com eles, deitá-los e depois muitas vezes depois de os

deitar ainda vou trabalhar um bocadinho (risos) até conseguir (E1_B).

No entanto, ainda arranja um tempo livre para a hidroginástica, visto que ler, uma

coisa de que tanto gosta, tem pena de não ter tempo, senão nas férias. Ao fim de

semana, procura interromper as rotinas da semana, descansar e fazer outras

actividades.

Não consigo fazer trabalho de escola, porque há uma casa para orientar,

temos que arejar também um bocadinho e descansar, portanto, desde

brincar com os meus filhos a fazer puzzles, fazer actividades, passear,

jogar à bola com eles no parque (risos), ir ao parque com eles, ao cinema

… (E1_B).

A relação com a Matemática e a Álgebra

As áreas da Matemática de que Beatriz mais gosta, integram-se nos grandes temas,

Números e Operações e Álgebra.

O cálculo, as funções e os números. São as áreas que eu mais gostava,

mas também eu gostava muito de geometria … estatística é que é aquilo

que menos me fascina, porque acho que é uma área da Matemática mais

maçuda, em que não existe tanto raciocínio quanto as outras áreas … (…)

Agora como professora acho que os alunos sentem que eu prefiro mais as

outras áreas e que estou mais à-vontade para diversificar as estratégias de

ensino (E1_A).

No entanto, há dois anos Beatriz abandonou, com pena, um trabalho que realizava

com gosto desde os seus 18 anos, ligado à igreja. Era catequista e chegou a ser

coordenadora de uma paróquia, mas teve que abandonar “porque há prioridades na

vida e neste momento a prioridade é a família e agora a profissão” (E1_B).

Para Beatriz, a Matemática marcou-a, porque teve sempre a sorte de ter bons

professores, excepto no 10º ano e ser professora foi uma escolha que fez cedo, do

que se recorda, no 1º ciclo. “Eu lembro-me de que estava no 1º ciclo e me virava para

a professora e dizia, Professora, eu quero ser professora, também! (risos) … portanto,

acho que foi … mesmo gosto, já desde pequenina” (E1_B).

A escolha da profissão


88

Na sua aproximação a esse papel, parece reconhecer o método que utilizava em

História, no 7º ano. “Eu fazia os meus resumos e depois fazia perguntas e respondia

às perguntas (risos) … portanto, acho que já estava em mim …” (E1_B).

A confirmação do seu „jeito especial‟ para esta profissão, veio através dos resultados

dos testes psicotécnicos, que realizou no final do 9º ano para orientar as suas

escolhas.

Algumas das questões dava mesmo para perceber onde é que aquilo

levava (risos) e toda a escolha foi também para a área da Matemática,

apesar da psicóloga dizer que eu também tinha muita aptidão e capacidade

para a área de informática (E1_B).

Aprender a ensinar

Questionada sobre como aprendeu a ensinar, Beatriz, à semelhança de Ana, achou a

pergunta bem difícil.

… Eu começo a pensar, era aquilo que eu dizia se calhar inicialmente,

quando eu era estudante do básico, quando eu fazia os resumos, mesmo

no secundário, eu (…) [por exemplo] queria estudar, por exemplo,

Filosofia. O meu quarto, no chão, era só livros. Eu relacionava as coisas, eu

interligava as coisas, eu fazia questões a mim própria e se calhar isso foi-

me ajudando um bocadinho a perceber como é que nós alunos ou como é

que os alunos conseguem aprender (…) Vou aprendendo ao longo dos

anos, sem dúvida, com a reflexão que se faz semanalmente e diariamente

da nossa prática, porque tem que ser feita senão o que é que andamos a

fazer, não é?! … mas eu acho que também faz um bocadinho parte de nós,

quando acho que nós estamos dotadas para ensinar e acho que as

explicações que eu dei também ajudou imenso, porque ao dar explicações

individuais também me fui apercebendo se calhar mais perto das

dificuldades dos alunos, e tentando porque eu sempre vi a Matemática de

maneira muito simples ... (E1_B).

Algumas marcas do seu percurso profissional

A sua actividade social ao nível dos grupos da igreja e a sua aptidão para a

Matemática e para a Informática, tiveram provavelmente alguma implicação no início

do seu ainda curto, mas diversificado, percurso profissional.

Em todos estes anos de ensino, nem sempre dei Matemática … portanto,

comecei … dei Matemática, dei Aplicações Informáticas ao 12º ano e dei


89

Técnicas e Linguagens de Programação, portanto, mais a linguagem Pascal

…. ao 10º ano. Também … depois fui dando as Áreas de Projecto, Estudo

Acompanhado, a Formação Cívica … e também houve dois anos que eu

cheguei a dar Educação Moral e Religiosa Católica, porque como não tinha

colocação pelo Ministério, tive que arranjar (risos) outra maneira de

continuar no ensino (E1_B).

Ao contrário de Ana, o estágio constituiu uma experiência negativa no início do

percurso profissional de Beatriz.

O estágio não foi normal, para mim não foi normal, acho que foi … que foi

… para mim, foi negativo. Foi negativo porque … não é falar mal da

orientadora é ser real (…) não estava ali para nos ajudar, mas sim para nos

criticar e humilhar. Muitas vezes humilhava-nos, portanto o nosso trabalho

em vez de nos ajudar e nos mostrar … fazer umas críticas construtivas era

mais destrutivas … quando saíamos de lá completamente de rastos (E1_B).

No entanto, esta má experiência não impediu que continuasse a gostar da profissão.

Portanto, eu que gostava tanto da profissão e estava com tanto

entusiasmo, senti ali assim uma quebra, mas nunca desisti (risos) porque

realmente foi esta profissão que eu escolhi e é disto que eu gosto … claro

(E1_B).

Desafios, projectos e estabilidade profissional

Quando procurou identificar projectos que marcaram a sua profissão, Beatriz teve

alguma dificuldade, pela mobilidade que tem marcado o seu percurso, que a obriga a

uma constante adaptação a novos ambientes e culturas profissionais, das escolas por

onde tem passado.

Isto de andar sempre a mudar de escola, para mim é um bocadinho

complicado. Eu sou uma pessoa, custa-me sempre a adaptar às novas

situações … portanto, demoro algum tempo a adaptar-me e quando se

muda de escola temos que nos adaptar a tudo (risos), desde … colegas,

desde a forma … ao Conselho Executivo, à forma como a escola está

organizada … portanto, para mim essa parte é muito complicada (E1_B).

No entanto, reconhece várias experiências positivas em que participou nas escolas, de

natureza um pouco mais isolada, o que decorre dessa grande mobilidade: a


90

organização local do Jogo do 24, a colaboração nos Dias da Matemática ou a

colaboração numas provas para o 2º ciclo, equivalentes às Olimpíadas da Matemática.

Também a sua experiência na dinamização de actividades e intervenção social na

igreja, parece transpor-se para projectos que organiza e dinamiza, quer fora da escola

para a comunidade, quer nas escolas, ao nível da Área de Projecto e da Formação

Cívica, abordando temas como os hábitos alimentares, a saúde ou a

toxicodependência.

Quando se lhe pede para indicar o mais relevante, é peremptória em referir o Plano da

Matemática.

Aquilo que eu gosto mais, é realmente tudo o que está relacionado com a

Matemática. O Plano [da Matemática] agora … então este ano está-me a

dar muito prazer em … para já, eu e a [outra colega] temos os mesmos

métodos … semelhantes de trabalhar … está-me a dar … para já aprendo

muito com ela, não é?! … (risos) (…) Às vezes há colegas que dizem que

gostavam de fazer coisas diferentes da Matemática, não ser só Matemática.

Eu não! Eu acho, gosto de aprofundar a minha área e está-me a dar

imenso prazer trabalhar no Plano e tudo que se relacione com a

Matemática dá-me imenso prazer (E1_B).

Estar na mesma escola há 3 anos, cria-lhe melhores condições para se envolver em

projectos e dá-lhe um conhecimento da escola, como o que tinha da paróquia quando

coordenadora.

A mais valia que me trás é que aprendo mais, tenho outra visão das coisas

… sinto mais facilidade e mais … isso também já por estar na escola há 3

anos, não é?! Já conhecer o ambiente, já conhecer o contexto, também já

me possibilita mais …, por exemplo, quando eu era … eu faço muito esta

comparação, quando era coordenadora da paróquia eu conhecia, sabia

„com que linhas me podia cozer‟ … conhecia a paróquia (E1_B).

A colaboração

Convidada a explicitar o porquê de ter aceitado participar neste estudo e das

expectativas que tem, Beatriz afirma querer aprender num trabalho em equipa,

estabelecendo o paralelo com a experiência que está a ter na escola.

Tenho a expectativa de vir a aprender muito mais (…) eu vou aprender

com toda a equipa, tal como aprendo com a [minha colega da escola] …

tem outro tipo de formação que eu, tem outras perspectivas e tenho


91

aprendido imenso com ela, também acho que vou aprender convosco, não

é?! Vou aprender com toda a equipa e isto vai trazer uma mais-valia e

depois também a nível de futuro, porque isto de estar estagnada num sítio

… (E1_B).

Beatriz parece pouco conformada com os horizontes que reconhece na profissão e

ambiciona ir mais longe, vendo na sua participação neste projecto, alguma esperança

num futuro melhor.

Eu, por exemplo, também na paróquia quando eu consegui desenvolver

mais da minha pessoa a nível religioso, mas onde eu me desenvolvi

bastante … eu dava formação (…) a nossa maneira de dar formação acaba

por ir ao encontro também da maneira como lidamos com os alunos (…)

tem que haver o fio condutor (…) e tudo isso se relaciona (…) e … este

projecto pode ser uma mais-valia para mim, para o meu futuro (E1_B).

O contexto profissional da escola

A escola básica do 2º e 3º ciclo onde Beatriz trabalha, está localizada no centro de

uma cidade da margem sul e recebe pouco menos de um milhar de alunos,

distribuídos por cerca de 40 turmas, entre o 5º e o 9º ano, sendo que dois terços das

turmas pertencem ao 2º ciclo. Tem um corpo docente muito estável de cerca de 120

professores e é uma escola com bons espaços de recursos educativos, nomeadamente

ao nível da Biblioteca e de espaços com recursos informáticos.

À semelhança da escola de Ana, também a de Beatriz ingressou no Projecto MINERVA

desde o início, apoiada por uma instituição de ensino superior, trabalhando na área da

integração curricular das tecnologias de informação e comunicação.

Descrição de uma sessão de trabalho da equipa

Contexto, negociação e primeiros passos

A 3ª sessão presencial da equipa (S3) ocorreu, como habitual, em casa da Ana, numa

sala ampla, arejada, bem iluminada, com uma boa mesa de trabalho, onde nos

acomodamos os três, normalmente com dois computadores abertos, apontamentos e

outros materiais de suporte ao trabalho. A sessão teve lugar no dia 2 de Dezembro de

2008 e durou duas horas e trinta e cinco minutos.

Como sempre faço, embora os temas da sessão já tenham sido falados no chat

anterior e às vezes por mail, proponho um conjunto de ideias que são negociadas em

conjunto quanto à pertinência e à ordem de abordagem.


92

Assim, propus: (i) a apresentação e discussão dos problemas dos doces e das

carteiras (Anexo 6D), identificando os conhecimentos matemáticos envolvidos e

possibilidades de exploração didáctica; (ii) a resolução e discussão do problema das

castanhas e respectivo relato escrito da professora (Anexo 6B), integrando diálogos

dos alunos, material enviado voluntariamente por Beatriz, uma semana antes; a

discussão sobre a tarefa dos quadrados e cubos perfeitos (Anexo 6E), integrando a

folha de cálculo, que Beatriz iria introduzir na 1ª aula a ser observada; a apresentação

de uma ficha sobre regularidades em cubos pintados, como eventual material

complementar a usar numa outra aula; a discussão sobre um ou dois episódios de

aulas, uma de cada professora, em que foram experimentadas tarefas planeadas em

sessões anteriores, sobre sequências com uso da tecnologia, com base no relato oral

das professoras e nalgumas resoluções escritas que Beatriz tinha dos alunos; a

identificação de algumas ideias de tarefas para a proporcionalidade directa.

Ana estava eufórica com uma aula da semana anterior em que tinha usado um applet

para explorar a construção de sequências e a identificação da expressão geral, com

base na manipulação de dois selectores que tinham implicações nas várias

representações (numérica, gráfica e simbólica). Por seu lado, Beatriz estava também

muito entusiasmada com uma iniciativa que tinha tido: adaptar um problema do

manual escolar, explorá-lo na aula, pedir registos aos alunos, recolher e interpretar

esses registos e elaborar um pequeno relato (Anexo 6B). Claro que também por isso,

estes eram assuntos que iriam necessariamente fazer parte do nosso trabalho.

Logo ao início, as professoras sugeriram os seus pseudónimos, cuja decisão andava

suspensa de sessão para sessão, tendo mesmo Ana, logo na apresentação do estudo,

sugerido que poderia dispensar o anonimato. As escolhas recaíram nos nomes de Ana

(A) e Beatriz (B), a primeira, uma escolha de acordo com pseudónimo já escolhido em

estudo anterior onde participou e, a segunda, penso que induzida por razões

cronológicas (ter surgido depois no estudo e escolher a seguir … a segunda letra do

alfabeto).

Partir do que trazem e procurar o sentido

Em seguida, pelo entusiasmo de Beatriz, decidimos começar pelo problema das

castanhas, “uma coisa que já foi feita” (S3_B), valorizando assim o investimento

voluntário que esta professora fez nos materiais que recolheu e sobre os quais

reflectiu oralmente e por escrito.

Este, adaptei do manual. Era com um problema de azeitona e oliveira

(risos) que eu adaptei para as castanhas e … lá estava, em vez de estar

em percentagem, estava também fracções … Espera aí, então já que está


93

em percentagem, vou meter também já aqui isto … assim já estamos a

adiantar um bocadinho de trabalho (S3_B).

Quando li o problema que Beatriz enviou, acompanhado do relato, tive alguma

dificuldade em identificar que importância poderia ter para o nosso trabalho, pois não

reconhecia nele, indicadores de pensamento algébrico, nem de tecnologia, mas

apenas um problema aritmético.

Procurei perceber o sentido da apresentação deste problema, para além da

coincidência com a semana do S. Martinho, que provocou alguns risos.

Fizeste isto a pensar no S. Martinho também e nas castanhas … (risos) mas

além disso fizeste a pensar nas … expressões numéricas …? (S3_I)

Beatriz foi pronta na resposta, afirmando: “Foi só resolução de problemas, só

resolução de problemas (…) como estamos nos números ... [tema Números

Racionais], portanto, para resolver problemas, foi mais um problema para eles

resolverem” (S3_B). Não fico satisfeito com a resposta e procuro que se identifiquem

conteúdos, temas e conceitos matemáticos que estão envolvidos no enunciado e nos

dados do problema e Beatriz reage apontando a noção de percentagem, de parte e de

fracção. Sugiro ainda às professoras que se envolvam na resolução e que „metam as

mãos na massa‟, única forma de identificarmos caminhos, dificuldades e possíveis

alternativas, nomeadamente valores numéricos mais apropriados para desenvolver

relações e o cálculo mental.

Para tentar perceber melhor as razões, fui ler o seu relato, onde apresentava assim o

problema:

Na semana do S. Martinho preparei um problema sobre castanhas

adaptado do manual “Matemática em Acção” – 7º Ano, da Lisboa Editora,

que envolvia diferentes pré-requisitos: fracções, percentagens e regra de

três simples. Entreguei-o aos alunos e pedi que o resolvessem em casa. Na

aula de discussão, pedi aos alunos que relessem o problema

individualmente e, posteriormente, questionei-os sobre a sua interpretação

(R1_B).

Aqui estão presentes, um contexto (o S. Martinho, com as suas lendas, lengalengas,

quadras e provérbios) para um problema de palavras, algumas questões envolvendo

diferentes representações dos números (fraccionária, decimal e percentagem) e

interpretação da linguagem natural e matemática.


94

Por um lado, o trabalho com diferentes representações dos números em simultâneo, é

um dos traços do novo Programa de Matemática e isso estava presente. Por outro

lado, se eu escolhesse com algum cuidado outros valores, teria possibilidades de

explorar o cálculo mental, usando alguns valores como referências para encontrar os

outros. Podia até ir mais longe, partindo no 1º ano de um valor desconhecido

(variável) P e, a partir daí, colocar as outras produções (2º e 3º anos), em

percentagem e fracção, dependentes desta variável. Procurava assim que a análise se

centrasse nas relações entre os números e não nos cálculos, na tentativa de algebrizar

o problema, permitindo às professoras o contacto com esta nova abordagem, de

acordo aliás com alguma investigação (Blanton & Kaput, 2005).

Foi o que fiz, começando por apresentar outros valores para o mesmo problema

(Anexo 6C) e, em seguida, através de discussão procurei que estabelecessem relações

entre as produções dos diferentes anos, sem ficarem presas aos cálculos.

Ana e Beatriz analisam as resoluções de alguns alunos e reconhecem indicadores do

uso do cálculo mental, da decomposição dos números e recordam alguns exemplos do

trabalho com cadeias numéricas5, que explorámos na 1ª sessão da equipa.

Este aqui [refere-se ao diálogo de um aluno, usando referências – um

quarto, 25%, …] … fez-me lembrar aquele que a gente esteve aqui a

resolver … (…) foi, um processo rápido … cálculo mental … através da

decomposição … e olha que são poucos os que pensam nisto … que estão

muito agarrados ao cálculo formal … somos nós com certeza que os

levamos a isso … (S3_A).

Alargar a exploração, desocultar o algébrico na estrutura da Aritmética

Após alguma reflexão e discussão, apoiada em esquemas e notas em papel, sobre as

implicações de adoptar outro tipo de números, convenientemente escolhidos, Beatriz

vai comentando os valores que introduzi no problema.

… a partir daqui, uma parte era 400, portanto chegávamos aqui, 75 era

logo 1200, chegando aqui era vezes 5 era logo os 2000, aqui ¾ da

castanha produzida, portanto aqui era 4800, aqui já tinham que fazer outra

vez outra divisão (…) em termos de cálculo era mais fácil, o problema não

ficava preso ao cálculo, nem às dificuldades do cálculo … (…) Se calhar

5 Na 1ª sessão, apresentei e discutimos alguns exemplos de sequências de cadeias numéricas,

desenvolvidos no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1º ciclo,

na ESE de Setúbal, com o objectivo de trabalhar com referências e relações e desenvolver o

cálculo mental.


95

para este tipo de miúdos que têm mais dificuldades, acaba por ser mais

fácil isto do que fazer o cálculo … o cálculo em pé, não é …? (S3_B)

Ana, apoiada também por Beatriz, reconhece traços de um tipo de trabalho baseado

na estrutura e nas propriedades dos números, diferente daquele que normalmente se

faz e o paralelo que estabelece com um exemplo de cadeias numéricas, centrado nas

relações entre números e operações, que explorámos em sessão anterior, torna-se

presente.

Desafiada a comentar se algumas das estratégias que documenta não serão apenas

obra de um ou dois alunos, não acompanhadas pela restante turma, que

eventualmente até pode não ter percebido, Beatriz rejeita a ideia, referindo que

“foram eles que explicaram … perceberam, porque eles dividiram e explicaram e

depois também ajudei e … perceberam … com o desenho, com o desenho também

ajudou muito …” (S3_B).

As representações icónicas intermédias dos alunos parecem desempenhar um papel

importante no trabalho que Beatriz desenvolve e que refere em diferentes momentos,

noutras sessões de trabalho da equipa, na linha do que alguma investigação também

encontra (Bednarz, 2001; Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

Ainda na discussão sobre o problema, Ana chamou a atenção para o pouco sentido

que tinha uma das questões lá colocada. A questão era O avô do Afonso contou ao

neto que tinha vendido ¾ da castanha produzida nos três anos que Ana identificou

como pouco realista, uma vez que a venda se vai fazendo anualmente. Beatriz

reconhece que nem ela nem os seus alunos tinham notado, “ fiz nas duas turmas e …

vê lá que nem a mim me ocorreu …” (S3_B). Para Ana, “estão a ler mas não estão a

pensar (…) Mas isso não é real. Ele não espera 3 anos para vender castanhas … Pode

é fazer um balanço ao fim dos 3 anos …” (S3_A).

Ana preocupa-se com o sentido das situações que se criam e esta experiência ter sido

realizada nas duas turmas, não é exemplo único. Quer Beatriz, quer Ana, têm

frequentemente usado as tarefas decorrentes do nosso trabalho, na turma onde

decorre a observação e também numa outra que leccionam, fazendo por vezes

comparações, pois uma vez que as turmas não fazem exactamente o mesmo percurso

didáctico, encontram diferenças na forma como os alunos reagem e nas estratégias

que adoptam.

Ana retoma os valores iniciais do problema de Beatriz (6/5, por exemplo) para referir

que, “quando fazemos cálculo mental com estes números … a gente faz por

aproximações …” (S3_A), o que aproveito para identificar a importância de fazer

estimativas, para ter uma primeira noção de ordem de grandeza. Ana concorda,

acrescentando que


96

(…) é o que nós na vida real também fazemos, quando estamos a querer

fazer alguma coisa mentalmente … fazemos por valores que são mais

fáceis para nós e próximos, ou para cima ou para baixo, perante aquilo que

nós pretendemos e quando queremos a certeza vamos fazer ao papel …

(S3_A).

No esforço de algebrização, para o qual continuei a desafiar as professoras, Beatriz foi

acompanhando e comentando as relações entre as diferentes representações dos

números. Esta professora vê os seus alunos “pensarem que no 2º ano eram 3 partes

do 1º e no último ano, era uma parte do 1º, portanto, nos 2 últimos anos tinham a

mesma produção que no 1º ano, era como se tivéssemos … equivalia a 2 anos com a

mesma produção” (S3_B). Já Ana, procurava alinhar ideias para levar o problema para

a folha de cálculo, sugerindo dois processos diferentes.

A propósito, lembro que o problema também se pode resolver na folha de cálculo,

experimentando apenas com uma célula ou construindo uma tabela com um passo

definido, que pode fazer sentido ser de 100 ou de 500, uma vez que se refere à

produção de castanha, em quilogramas. Ana sente a necessidade, aqui como noutras

ocasiões, nesta e noutras sessões, de estabelecer alguma analogia desta questão com

outros processos, ligados a temas ou conteúdos da Matemática, neste caso, a

formatação das escalas dos gráficos.

Aqui, pode-se escolher [o passo] … discutir (…) dá um salto também para

aquilo que nós costumamos fazer com eles com os gráficos, precisamente

nesse aspecto … quando as escalas … quando os valores são muito

grandes, não há necessidade nenhuma de estar a fazer um a um e

portanto, pensamos nisso … na divisão em valores maiores no sentido de

equilibrar e aqui pode ser do género … (S3_A).

Procurar relações com o currículo, assim como conexões, é outra das suas

preocupações, quando, a propósito do percurso de algebrização que discutimos,

afirma: “Nas percentagens, isto é óptimo … na proporcionalidade directa,

perfeitamente … este tipo de raciocínio …” (S3_A).

Quando refiro que é natural este tipo de resoluções dos alunos começarem a surgir, à

medida que vamos fazendo este tipo de trabalho, Ana e Beatriz parecem reconhecer

que elas próprias descobrem abordagens novas e que reconhecem que isso se

transpõe ou pode transpor para os seus alunos, para a sala de aula.

Neste sentido, Ana comenta que é “porque já estamos nós mais despertas para elas e

depois também se as questões não surgirem logo, podemos provocar …” (S3_A),


97

enquanto que Beatriz refere que “eu achei giro foi os diferentes raciocínios … depois já

todos queriam arranjar um diferente …” (S3_B).

Novas ideias e novos problemas: à procura de um lugar no currículo

Ao fim de 45 minutos, passámos a outro assunto da nossa sessão: a resolução,

discussão e possíveis abordagens dos problemas das caixas dos doces e das carteiras

(Anexo 6D). Comecei por dar um tempo de leitura do problema das caixas de doces.

As reacções que se seguiram foram mais ou menos esperadas, uma vez que se trata

de uma situação pouco vulgar nos recursos convencionais, como os manuais

escolares, porque muito aberta.

Ana e Beatriz reagiram com uma atitude de perplexidade e com alguns risos. Ana

afirmava

É uma forma da pessoa ficar aflita … porque a pessoa diz … Escapou-me

aqui qualquer coisa!? Tenho que ler outra vez … (…) Eu até fui fazer um

esquema, não fosse estar aqui a haver alguma coisa que eu não estivesse

a ver … (risos) (S3_A)

Os alunos, esses acha que diriam qualquer coisa como Isto não é problema nenhum

professora?! (…) falta aqui qualquer coisa! No entanto, Ana investe na discussão do

problema, colocando várias hipóteses sobre o conteúdo das caixas e sobre o total de

doces de cada um, procurando interpretar os dados fornecidos e ao mesmo tempo,

pensando como os seus alunos.

Face a algumas ideias que adiantei, de que os alunos poderiam, sob proposta do

professor, começar a estabelecer hipóteses ou a fazer simulações relativamente ao

número de doces em cada caixa, Ana duvida dessa necessidade num 7º ano.

Concorda, no entanto, que isso será natural num 3º ou 4º ano, aliás os contextos em

que os problemas aparecem no texto de investigação de onde foram retirados.

Eu fico tentada a pensar que no 7º ano já não precisarão de fazer isso

[experimentar valores numéricos]. Não, acho que não (…) Se isto fosse

para a sala de aula, o professor seria mais tentado a colocar essa questão

para ver se eles na verdade … estamos todos a falar do mesmo … não sei é

se no 7º ano eles terão essa necessidade de fazer isso … mas se calhar o

professor pode colocar a questão nesse sentido. Afinal vamos lá ver se …

eles dizem Têm tantos! Ah! pronto!, então estamos todos a falar do

mesmo, mas não sei se eles no 7º ano para perceber isso, fazem isso …

era essa a minha questão (S3_A).


98

Quando confrontadas com a possibilidade de os alunos experimentarem valores nas

caixas, realizando simulações numéricas para tirarem conclusões, Ana acha que isto

pode ser ‟andar para trás‟, estabelecendo o paralelo com uma experiência de materiais

produzidos por professores para as aulas, com o uso das TIC, que teve recentemente

no âmbito de um Curso, em que é formadora.

Estive a fazer … que era … ver actividades … relatos de experiências do

Curso … e às vezes parece-me que as questões e da experiência que eu

tive, quando tive que estar a ver com eles as actividades que eles estavam

a preparar … é que nós reduzimos, temos esta tendência … nós reduzimos

e depois queremos à viva força, a certa altura que eles já estejam num

patamar a seguir, quando nós com as questões, andamos sempre para

trás, a rever as coisas e a não sei quê …

Ana chama a atenção para as baixas expectativas face ao desempenho dos alunos e

Beatriz parece concordar ela, neste aspecto. Os argumentos de Ana sobre o problema,

baseiam-se numa forte relação com o contexto do problema e com a sua

interpretação.

Na verdade, não diz se a caixa está completa ou não … Na Maria dá a

sensação que a caixa está completa, pois restaram 3 que estão em cima da

caixa. Mas sabe-se que as caixas têm exactamente o mesmo número de

doces. Portanto, esteja completa ou não esteja, têm exactamente o mesmo

número de doces. Portanto, continua um a ter mais 3 do que o outro

(S3_A).

No entanto, o que parece estar aqui em causa também, são as dificuldades criadas

com este tipo de problemas que, sendo muito abertos, exigem uma grande discussão

e reflexão sobre os caminhos possíveis de exploração.

Desafiadas a pensar sobre algumas questões a colocar, para explorar o problema das

caixas dos doces, Ana acha que se poderiam colocar condições (por exemplo, um caso

ser múltiplo do outro) que permitissem trabalhar algumas relações, nomeadamente

com a tecnologia, enquanto Beatriz sugere que na abordagem didáctica se deve ter

em conta que o conceito de variável está aqui claramente implícito.

Aproveito a referência à tecnologia, para sugerir que este problema pode justificar a

construção de uma tabela na folha de cálculo, identificando o que pode variar e o que

se mantém constante, em cada uma das crianças e tentando procurar a generalização,

o que pode fazer emergir de forma mais natural, o conceito de variável.


99

Mas para Ana, isso só sucederá associado à necessidade de explicação das ideias. “Eu

acho que isso pode aparecer, caso a caso, se eu pedir para explicar porque é que

dizes isso …?!” (S3_A), ou seja, Ana acha que ele só precisa dos exemplos para apoiar

a explicação.

Cerca de 20 minutos depois de termos reflectido sobre as potencialidades do problema

das caixas dos doces, passámos ao problema das carteiras, seguindo o mesmo

processo: um tempo para leitura e pensar individualmente, seguido de discussão entre

toda a equipa. As reacções aqui são diferentes, existe um maior entusiasmo, talvez

porque surja como mais evidente o que se quer ou o que se poderá pedir.

Este (Rodrigo) pode ter mais, mas pode ter menos … Tem menos, só a

partir de certa altura é que tem mais … (…) Só a partir de certa altura é

que compensa ser um em vez de outro … não é?! É como aquele das

mesadas … a maneira de crescer … Este é muito giro. Olha que eu até te

digo que eu até gosto mais deste do que o das mesadas vê lá?! Este está

muito giro, eu gosto mais deste … (S3_A).

Embora se tratem aqui de dois crescimentos lineares, Ana compara o problema das

carteiras com o das mesadas, este último, um problema típico que aparece nalguns

manuais escolares e que confronta o crescimento aritmético com o geométrico,

procurando desafiar a intuição dos alunos.

Ana continua como habitualmente a pensar na transposição do problema para a folha

de cálculo (tabelas) e mais uma vez procura outras associações com o currículo,

quando verifica que existe uma variação dos valores em dois sentidos.

Se eu fizer uma coluna com a diferença?! Isto é giro para introduzir os

números negativos. Porque aqui, quando tem 4 dá igual, aqui eles podem

escolher, provavelmente aqueles que eles acham que têm maior valor … se

eu começar pelo Miguel e fizer a diferença do Miguel com o Rodrigo, aqui

vai dar positivos porque vai diminuindo até ao zero … 6, depois 4, até dar o

zero. Depois daqui começa a ser ao contrário, começa a ser o Rodrigo a ter

mais e se eles começarem pela diferença do Miguel, começa a ser negativo

não é?! … começam a dizer que não pode ser … (S3_A).

Ao mesmo tempo que identifica uma „entrada‟ possível para os números negativos,

coloca-se no papel dos alunos sobre os seus eventuais percursos e dúvidas, com o

aparecimento de novos números.

Continuo a desafiar as professoras a encontrarem boas questões a colocar aos alunos.

Beatriz sugere que pensem “quando é que o Miguel e o Rodrigo têm a mesma quantia


100

… se existe essa situação e aí eles seriam obrigados a substituir valores … (…) [ou]

quando é que o Miguel tem mais dinheiro do que o Rodrigo” (S3_B). Procuro que

partam um pouco antes, da pergunta inicial, O que se pode dizer da quantidade de

dinheiro que Miguel e Rodrigo têm?, porque esta é uma questão aberta que nos

permite trabalhar as expressões como representações de funções, livres, realmente a

variar, pois uma vez colocada a condição Então quando é que são iguais?, tudo fica

condicionado à resolução de uma equação, onde a variável assume o papel de

incógnita.

Dificuldades das professoras, dificuldades dos alunos

Perante este desafio, Ana e Beatriz prevêem alguns problemas com os seus alunos,

reacção que me parece natural, na medida em que não fica explícita qualquer

pergunta concreta que exija um cálculo, mas apenas relações implícitas que têm de

ser desocultadas para procurar a forma e a generalidade. Para Beatriz, eles vão ter

dificuldades, enquanto Ana refere eventuais desequilíbrios ou conflitos cognitivos. O

que é pelas professoras entendido como dificuldade ou conflito cognitivo, é

identificado nalguma investigação como motor de desenvolvimento do raciocínio

matemático, através de tarefas e questões que exijam altos níveis cognitivos (Kieran,

2007b).

Porque cria desequilíbrios … isto é perfeitamente um desequilíbrio esta

questão. A outra não me parece que seja, porque pode-se discutir … está

cheia, não está cheia, … agora esta não. Acho que a outra se pode discutir

mas não é tanto desequilíbrio … (S3_A)

O que parece que querem dizer é que a variação, ou a diferença, ao não ser sempre a

mesma, introduz dificuldades adicionais, ilustrado nas palavras da Ana que diz “que se

pode discutir, mas é sempre um desequilíbrio dentro da discussão … não é?! porque

como ela vai variando …” (S3_A). Beatriz partilha também as apreensões de Ana

É que nós podemos relacionar … as quantias não podem ser relacionadas

assim, não é?! Na outra podíamos dizer: Olha! A Maria tem mais 3 doces

do que o João … e aqui não, aqui não há maneira de fazer essa relação (…)

maneira … directa … directa não há! (S3_B).

Ana continua a desenvolver o seu raciocínio, explicitando o que podem ser possíveis

dúvidas dos alunos


101

Eles não podem ter à partida a relação, porque como … esta [quantia na

carteira do Rodrigo] está a variar dependente daquela [quantia na carteira

do Miguel] … como esta é desconhecida, também não se sabe o que

acontece ali, só se sabe é que está dependente daquela … esta é o triplo do

que estiver lá dentro … e dependendo do que estiver lá dentro a coisa pode

… (S3_A)

Discuto que, talvez aqui fosse importante, procurar traduzir em diferentes linguagens,

desde a natural, à numérica, gráfica e algébrica simbólica, o que está a acontecer. Por

exemplo, o aumento de uma unidade na carteira do Miguel, conduz a um aumento

três vezes maior na carteira do Rodrigo, o que tem implicações bastante diferentes na

diferença entre as quantias totais, conforme o que está na carteira do Miguel, seja

pouco ou muito dinheiro.

Convidadas a pensar sobre possíveis reacções dos alunos, Beatriz coloca, embora com

dúvidas, a hipótese de os alunos começarem por experimentar valores, enquanto Ana

acha que passarão por alguns momentos de perplexidade ou estranheza como lhes

chama e que só tomarão iniciativa, induzidos por questões que o professor coloque,

pelo que sugere que se estudem vários cenários.

Enquanto Beatriz acha que começaria por colocar as representações icónicas (mão,

carteira, …), Ana deixaria essa iniciativa aos alunos para organizarem os dados. As

duas concordam, no entanto, que o mais provável seria eles começarem por substituir

valores.

Aproveito para as questionar sobre o possível uso de uma tabela, pelos alunos, no

processo de organização dos dados, mas Beatriz e Ana acham que isso só acontecerá

proposto pelo professor. A minha interrogação continua, sobre se isso não será um

processo que, a ser normalmente adoptado pelo professor, acabará por passar para os

alunos, uma espécie de currículo oculto.

Ana concorda que é uma questão de hábitos de trabalho, até relembrando a sua

experiência quando leccionou o 2º ciclo e trabalhava com a mesma turma dois anos

seguidos, no 5º e no 6º ano.

Eu depois tinha alunos no 6º ano que já pensavam assim … que é uma

questão de hábito de organizar … a forma como nós organizamos no

quadro, aquilo que eles vão dizendo … eles vão vendo e vão-se lembrando

da forma de organizar … (S3_A)

Aliás nas aulas observadas de Ana, o caminho exploratório é deixado mais aos alunos,

em trabalho de grupo, mas depois eles são chamados a sistematizar as descobertas e

as suas conclusões, na folha de cálculo, através do quadro interactivo. Já Beatriz,


102

conduz mais a sistematização e organização dos dados no quadro negro e no quadro

interactivo, em diálogo com toda a turma, dando no entanto um tempo prévio para o

trabalho nos grupos.

Finalmente, coloco à discussão a introdução da representação gráfica, como mais uma

forma de representação da situação, cujas leituras podem aparecer separadas ou

juntas para ver a co-variação e sugiro que se pense em questões a colocar aos alunos.

Beatriz, reafirma a sua posição anterior

Uma das questões é se têm consciência que à medida que a quantia da

carteira vai aumentando, a quantia de cada um deles vai variar no sentido

de um ter mais do que o outro e não varia de igual modo não é?! Até 4 …

quando a carteira tem 4, o Miguel vai ter sempre mais e a partir do 4 tem

o Rodrigo … portanto (…) uma primeira questão era também … a Ana já

tinha sugerido que é Quando é que o Miguel tem mais dinheiro que o

Rodrigo? A outra depois, vai ao encontro, que é Quando é que eles têm o

mesmo dinheiro? (S3_B).

Por seu lado, Ana antevê também dificuldades, mas centra a sua atenção nas

diferenças, solução que Beatriz tem dúvidas.

Até porque a variação nem é assim muito lógica … porque como eles

começam por ter 6 de diferença, depois passa a 4, depois 2, depois passa

a zero, depois é 2 negativo, depois 4 negativo, … nem é assim uma relação

(…) Quando é que um tem mais …? Acabamos por estar a pensar na

diferença, não é?! (S3_A).

O facto de as diferenças irem variando e mudarem de sinal, parece dificultar o

identificar de uma relação entre as duas quantias e as duas professoras são unânimes

em considerar que isto não é nada intuitivo para os alunos. Mas toda esta sua

interpretação a fazem com base em tabelas, como me justificam. E os gráficos?

Beatriz tem dúvidas da pertinência da introdução dos gráficos, enquanto Ana vai

pensando alto sobre a nova situação.

Estava a pensar, não sei se é bom se é mau, depois de construirmos a

tabela, pedir a construção do gráfico e depois fazer as questões quando é

que o Miguel tem mais quantia do que o Rodrigo e fazer uma análise da

tabela e gráfico em paralelo?! (S3_B).


103

Penso que estão presentes, nas palavras de Beatriz, algumas preocupações

curriculares na decisão sobre esta opção, uma vez que esta abordagem não é falada

no actual programa. Continuo a acompanhar a discussão, dando contribuições como, a

identificação da variável, a análise e comparação das quantias que cada um tem, até

ao colocar a condição de serem iguais, procurando perceber os caminhos e as

justificações das professoras. Com o decorrer da discussão, Beatriz parece ficar

progressivamente mais entusiasmada com a introdução do gráfico, identifica as

múltiplas representações, como factor que pode contribuir para uma melhor

compreensão e estabelece „pontes‟ com tópicos do currículo mais avançados, ideia que

é partilhada por Ana, quando reconhece que “isso até é um passo para os sistemas de

equações … do 9º ano” (S3_A).

E aqui já tínhamos uma solução dessa equação … que era eles tinham na

carteira … viam na tabela e viam no gráfico e é importante porque, nas

rectas eles iriam perceber que o ponto de encontro de ambas as rectas é a

solução da equação (S3_B).

Beatriz parece hesitar entre algumas potencialidades que vai descobrindo na

exploração da situação, no decurso da nossa discussão, e as questões do programa

que lhe parecem deslocadas do ano de escolaridade, nomeadamente o uso e

interpretação dos gráficos das funções definidas pelas expressões 8+c e 3.c.

Aproveitando Beatriz ter referido a equação que surge quando se coloca a condição de

serem iguais, sugiro o uso do modelo das balanças para resolver a referida equação,

usando um esquema e a decomposição, sem referir inicialmente os princípios de

equivalência.

Beatriz concorda, sugerindo “talvez decompor aqui o 3c em c+c+c e eles pensarem

que este c e o outro c pertencem à mesma coisa …”, ao mesmo tempo que parece

estar mais disponível para integrar esta situação quando leccionar as equações, em

Janeiro (S3_B).

No entanto, Ana que ainda tem muito presente uma aula de que vai falar mais à

frente, reconhece a grande capacidade dos alunos ultrapassarem as expectativas …

irem muito mais além.

Foi o que aconteceu na exploração do applet (…) Aconteceu isto. Aconteceu

ir mais à frente, muito à frente e portanto, quando lá voltar aquilo já lá há

qualquer coisa … (S3_A).

As boas experiências: algebrizar, usar representações e manter significado


104

O seu entusiasmo com essa aula, leva-a a interromper momentaneamente para

introduzir alguns comentários ao trabalho que estamos a desenvolver na equipa. Ana

está muito satisfeita por participar neste grupo de trabalho colaborativo e fez

transparecer isso com uma colega, no final de uma reunião de trabalho, que teve

lugar no dia seguinte à aula que designou de „fantástica‟.

Ontem tive uma aula fantástica, disse-lhe eu (…) Estou toda contente! E

porquê? Porque eu acho que este tipo de trabalho que a gente está a fazer

e com este tipo de problemas que a gente está a levar para a sala de aula

… está a possibilitar aos alunos uma experiência matemática que eles

necessitam para quando nós trabalhamos as coisas lá mais à frente, mas

que não a têm (…) por isso é que nós dizemos que eles depois deviam de

aprender este ou aquele conhecimento naquela altura e não aprendem

porque não tiveram essa experiência para trás … (S3_A).

Ana reconhece nas características deste tipo de trabalho que temos desenvolvido,

fortes implicações na aprendizagem dos alunos mais à frente, na medida em que abre

caminhos, que eu aproveito para apoiar a exploração de situações abertas, pensando

em boas questões e desafios que „alarguem os horizontes‟ dos alunos.

Chamo a atenção, no entanto, para que este trabalho não se compadece com pressas

de resultados imediatos e se revela de formas que nem sempre identificamos ou de

que nem estamos à espera, o que encontra algum eco em Ana.

E nós na nossa profissão temos muito isso (…) que é querer fazer algo na

sala de aula que seja imediatamente assimilado e nunca temos este hábito

de ir criando caminhos … (S3_A).

Desafio ainda as professoras a pensarem quando transitamos das representações por

tabela e por gráfico para a representação simbólica algébrica, ou seja, como

conduzimos o processo de progressiva formalização, procurando manter o significado

das expressões, colocando, por exemplo, a variável c como cabeçalho da coluna que

contém possíveis valores para as quantias na carteira do Miguel.

Por acaso essa coisa de pensar numa situação particular e aí pôr a letra

que é a inicial, ao fim e ao cabo vai criar mentalmente essa noção da

variável dos miúdos … (…) Porque eu acho que a gente quer dar a noção da

variável sem ser associada assim a um problema e depois a seguir é que

vai pôr os problemas no fim … é tudo ao contrário … o problema é que é o

caso particular que ajuda a ir na sua exploração à generalização e nós


105

trabalhamos com os miúdos na generalização e a seguir é que queremos

resolver o problema para o caso particular (S3_A).

Ana põe em causa a forma usual de introdução do conceito de variável, feita do

conceito para a aplicação, quando devia ser feita a partir de um problema, apoiada por

Beatriz que reconhece também esta aparente contradição. “Eu acho que faz mais

sentido ao contrário (…) Está ao contrário, mas eu tenho andado a reflectir nisso (…)

Eu acho que este trabalho que nós temos feito, obriga-nos também a pensar um

bocadinho nisto …” (S3_B).

Estas observações das professoras, vêm no sentido de privilegiar os contextos e o

significado, nomeadamente as situações reais como ponto de partida para a

aprendizagem dos conceitos, nas abordagens didácticas à Álgebra, opção que começa

a ser cada vez mais reconhecida nas novas orientações curriculares, de acordo com

Ponte (2006). Á semelhança de Ana, também Beatriz identifica uma dimensão

reflexiva neste tipo de trabalho que se tem desenvolvido nas sessões, quando se

exploram situações abertas como estas.

Continuo a colocar em discussão os diferentes aspectos que estão implícitos na

exploração da situação: a abordagem das equações através das funções e o uso de

várias representações. Estas ilustram diferentes aspectos da situação, procurando-se

que a transição entre elas e a tradução de umas nas outras, traga uma compreensão

mais completa sobre a situação.

Beatriz parece reconhecer o papel da representação gráfica na interpretação, quando

refere que “outra competência que se está aqui a desenvolver é exactamente a análise

gráfica … (…) [sendo] muito importante eles saberem interpretar …” (S3_B). Ana dá

ênfase aos cuidados a ter com os excessos do formalismo ou o falso rigor colocado à

partida, quando lembra que “quando a gente quer encaixar nomes para as coisas é

quando as coisas começam a perder toda a graça … e eles começam até a ficar aflitos

e … Agora tenho de saber aquilo que é não sei quê e aquilo que é não sei quê! … e não

que as coisas estejam interligadas” (S3_A). Beatriz concorda e acrescenta que “a

demasiada formalização bloqueia-os” (S3_B).

De acordo com alguma investigação, esta falta de ligação entre a simbologia formal da

Álgebra e outras representações que possam atribuir sentido às acções, como

representações as gráficas, constitui uma dificuldade para os alunos (Kaput, 1999).

Lidar com as pressões dos contextos

Não se arriscar mais, nem se adoptarem abordagens mais abertas, explorando

assuntos que não estão explícitos no programa da disciplina, decorre, segundo Ana,

das pressões sociais que o professor enfrenta, a primeira das quais vem dos seus

pares.


106

Temos pressões em cima e as pressões são às vezes os nossos próprios

pares, porque nós estamos dentro de um grupo de trabalho, entre aspas,

porque às vezes não é nada de trabalho, é só um grupo formal de

organização escolar, mas os comentários … nós sabemos que aquelas

pessoas não têm razão, mas são comentários que podem de alguma forma

… nós temos algum receio de que as pessoas não percebam bem o que a

gente está a fazer … e isso condiciona (…) Então não sabem fazer

equações, então … e isso condiciona muito … e quem não se deixa

condicionar é só porque faz um grande esforço (risos)” (S3_A).

Beatriz concorda em absoluto que se sente esse condicionamento. Conduzo a

discussão no sentido de ligar a abordagem e as representações informais e próprias

dos alunos, à sistematização, ao uso dos princípios e à progressiva formalização,

realçando os papéis de ambas as fases.

Eu por acaso tenho sempre esse cuidado … eu gosto de encaixar estas

coisas e tenho sempre o cuidado de saber porque é que eu encaixo aqui …

qual é a ligação directa, mas sei que há outras ligações para outros sítios,

mas a directa tenho sempre esse cuidado porque, também para os miúdos

que estão habituados a essa segurança ... que também nas outras

disciplinas têm essa segurança, na nossa, se não têm … (…) e se nós não

soubermos explicar, a coisa pode sair mal para o nosso lado e estamos a

fazer um bom trabalho … (S3_A).

Ana reconhece que este tipo de abordagem e de trabalho que fazemos é de um nível

mais avançado, mas que se devem ter cuidados para dar coerência à sequência de

tarefas, tendo em conta os alunos e os pais. Isso tem implicações na sua forma de

organizar o trabalho e funciona também como defesa face ao exterior.

Eu até agora, na minha planificação, acrescentei um sector onde faço

Aprendizagens adicionais … e organizacionais, porque eu trabalho com

relatórios e com uma disciplina Moodle e não sei quê, isso também são

questões de organização ... que é para ficarem visíveis as razões das

coisas. Porque se alguém me perguntar, eu já tenho ali em mãos o que é

que eu estou a fazer, porque para além daquilo que está associado ao

trabalho directo, o que é que eu estou a provocar em termos de

organização, em termos de capacidades transversais, em termos de

„pontes‟ para outras coisas, porque ajuda, se a gente for logo pensando


107

nisso, está ali registado e até se percebe o alcance superior deste tipo de

trabalho não é?! (S3_A).

A discussão está agora centrada nas planificações e nas sequências de tarefas,

procurando evidenciar as diferenças entre ter boas tarefas soltas ou ter um plano

integrado capaz de articular e potencializar as aprendizagens. Ana estabelece um

paralelo com aquilo que está a acontecer na Comissão de Acompanhamento de que

faz parte e o que estamos aqui a fazer, nas sessões de trabalho da equipa.

No trabalho com os acompanhantes … sequências de tarefas com … uma

determinada intenção … cadeias de tarefas … que é no fundo aquilo que a

gente está aqui também a fazer … (S3_A).

Ana prossegue, clarificando que isto se identifica com o que designa por integração

curricular e que passa por ter razões para as escolhas que faz, dar sentido e articular,

retomar os assuntos noutros contextos e noutros níveis de abordagem.

Eu para mim a integração curricular começa no plano da planificação,

porque eu não sou capaz de pensar como é que eu me decido por esta

tarefa ou por aquela, quando estou a pensar de uma forma geral … porque

é que eu vou escolher aquilo. Eu vou escolher aquilo com uma intenção e a

minha intenção que era agora aquilo que a gente estava a dizer tem uma

„ponte‟ logo ligada àquilo que eu estou a trabalhar, mas tem outras que eu

estou a usá-las conscientemente, mas embora para eles aquilo ainda não

pareça … isso é que é para mim a tal integração curricular … Eu tenho essa

consciência que já lancei esta semente e aquela … e agora quando for

decidido por outro problema diferente provavelmente, eu vou pegar num

que possa usar aquela semente que já lancei com o outro … (S3_A).

Apoio a discussão, chamando a atenção para a importância de resolver, para além de

discutir os problemas, como forma de identificar as suas potencialidades e nos

servirmos delas em diferentes momentos, uma vez que identifiquei nas transcrições

das sessões anteriores, esta necessidade de „meter as mãos na massa‟, o que nem

sempre tem sido feito.

Quando a gente lança problemas para as pessoas sem essa discussão é

isso que dá. Utilizam isto no Estudo Acompanhado como engraçado não sei

quê, porquê? Porque como não vêem as pontes … (S3_A).


108

As tarefas e a tecnologia: do pensar à sala de aula

Como Beatriz vai implementar brevemente uma tarefa sobre sequências geométricas,

Os quadrados e cubos perfeitos (Anexo 6E), usando a folha de cálculo, passámos a

analisar essa situação, ou seja, a tarefa em si, as questões a colocar e as formas de

organizar o trabalho.

O processo de integração da folha de cálculo nesta turma de Beatriz, passou já por 3

sessões de Estudo Acompanhado, onde os alunos estabeleceram um primeiro contacto

com esta ferramenta na resolução de problemas. A professora familiarizou-os com os

aspectos principais da sintaxe da folha de cálculo, importantes para o trabalho com

sequências e suas representações em tabela (fórmulas e processos de cópia) e

gráficas, procurando assim ganhar algum tempo e segurança para a sua integração

posterior em sala de aula.

No entanto, uma aula anterior onde teria existido muita agitação dos alunos,

perturbou as intenções de Beatriz, ao ponto de a fazer retroceder quanto às formas de

organização do trabalho dos alunos, no que respeita ao uso da tecnologia.

Eu tinha estado a pensar cada um ter o seu portátil à frente, cada par ter o

portátil à frente também para eles irem experimentando no Excel, mas a

turma está um bocadinho agitada e eles têm que se acalmar, mas não é só

comigo … de um modo geral, estão muito agitados. Então eu se calhar vou

fazer isto só com o quadro interactivo … depois a partir da questão e) fazia

só com o quadro interactivo … eles vinham fazer também, portanto não

seria só eu, mas eles iam fazer voluntariamente. Eu propunha aqui na

coluna A da folha de cálculo, vamos reproduzir os primeiros oito números

naturais (…) escreve na célula A1 os títulos, portanto, a ordem …

O contexto condiciona as opções da professora que, ao mesmo tempo que toma

consciência disso, procura reconhecer no processo de trabalho alternativo que pensou,

algumas vantagens. No entanto, com o decorrer da conversa, parece ter-se percebido

que as razões da agitação na turma, não seriam tanto um problema de indisciplina,

mas a interferência dos computadores no processo de comunicação da professora com

a turma, pois como refere Beatriz, “eles só olhavam para o computador e eu queria

explicar … é que não ouviam nada …” (S3_B).

Eu e Ana lembrámos que isso acontecia até com os adultos, na formação de

professores e que nem sempre era fácil de gerir. No entanto, Beatriz continua a

descrever a situação, a partir da qual se desencadeou a agitação na turma.

Foi a terminar esta ficha [apontando para a ficha que utilizou]. Eles

estavam a fazer isto e depois eu queria … havia aqui alguns números pares


109

que em vez de porem 2 vezes A2, punham A2 mais A2. Eu aproveitei logo

ali, Olhem! Vamos aqui já introduzir a noção de expressões equivalentes …

e não cheguei mais à frente, às expressões com variáveis, lá está, porque

não estávamos em Matemática … é o contra de fazer em Estudo

Acompanhado … mas chegámos à conclusão, até fiz com 2 colunas com

esta fórmula e com a outra fórmula para ver que davam iguais e aquilo foi

uma agitação … uma coisa, uma agitação … eles perceberam, mas foi uma

agitação … não sei … (…) pois na turma há uns alunos problemáticos

(S3_B).

Beatriz mostra tudo aquilo que já tinha preparado e planificado para essa aula,

nomeadamente anotações sobre questões que deveria colocar aos alunos, notas sobre

a História da Matemática, relativamente aos números quadrangulares, etc. e pondera

ainda, face às questões que vamos colocando para desdramatizar o sucedido, levar à

prática essa planificação, de acordo com a ideia inicial.

Isto a azul é a minha aula, não é?! Fui eu a pensar … Só assim é que nós

nos apercebemos às vezes das questões que vamos colocando … Eu … fui

uma data de vezes atrás … ia escrevendo e depois dizia Olha! Posso

perguntar isto aqui! Na f) poderá existir um termo da sequência que tenha

140 bolas? Explica porquê. Aqui podem pensar de duas maneiras e o Excel

vai ajudar imenso, porque se eles pensarem ou dizem logo que não há

nenhum que multiplicado dê 140, o que eu não acredito que de imediato vá

acontecer e com o Excel o que é que me vai permitir? Vai permitir eles

verem o que é que está na posição 11, na 12 e verem, observando os

termos da sequência, que não há mais nenhuma figura entre esses dois e

aí vai ajudar (S3_B).

A professora anota na própria ficha o conjunto de questões que deve colocar aos

alunos para desenvolver o raciocínio e, no decorrer da nossa conversa, continua a

comentar as diferentes alíneas, referindo que nas finais já é para dar o salto para as

expressões com variáveis. “Nós ainda não falámos em expressões com variáveis e

aqui seria a 1ª vez … começava a surgir aqui … e depois aqui explorava também a

noção … na i) [escrita da expressão explícita em função da posição]” (S3_B).

No trabalho de Beatriz, assim como no de Ana, estão presentes algumas preocupações

de uma cultura da sala de aula que promova o raciocínio e uma aprendizagem com

compreensão, como os desafios e apoios aos alunos, as interacções e sua articulação

com diferentes formas de trabalho, na linha do que refere alguma investigação

(Blanton & Kaput, 2008; Kieran, 2007b; Boavida et al., 2008).


110

Embora reconheça que os alunos já conhecem e trabalham com a expressão da área

do quadrado, acha que terá de os ajudar no processo de lá chegar.

(…) Não estou à espera, vou ter de ajudar … primeiro estou à espera que

eles me vão dizendo lado vezes lado … ou lado ao quadrado e a partir daí

eu iria introduzir a noção de variável … não sei, o que é que achas? (S3_B)

Sugiro ideias possíveis para conduzir a generalização numérica, a partir da „leitura‟ das

figuras, que podem ir da adição sucessiva, à multiplicação e à potenciação.

O lado, podemos representar por uma letra qualquer, não é? … porque eles

já utilizam a fórmula … (…) Exactamente. E aqui aproveitava … são capazes

de surgir as duas expressões, o n vezes n e o n ao quadrado ou outra

variável qualquer e aí aproveito e reforço outra vez as expressões

equivalentes (S3_B).

A ideia é que o conceito de variável possa emergir deste processo de generalização

numérico e não se centre na designação das letras para, em seguida, se dar atenção à

equivalência das expressões. Beatriz justifica também ter acrescentado algumas

alíneas que exigem a operação inversa (a raiz quadrada).

E depois acrescentei outra que foi Em que posição está a figura com 25

bolas? E com 2500? Aqui já é para eles fazerem com a operação inversa.

Achei que era pertinente para fazer o raciocínio ao contrário, o inverso para

ver se eles perceberam afinal qual é o inverso do quadrado … (S3_B).

Em seguida, Beatriz partilha connosco a dúvida sobre a pertinência de entrar na 2ª

parte da ficha sobre os cubos perfeitos, nomeadamente porque a acha muito extensa.

As questões que coloco à discussão, sugerem que a estratégia e a margem de

liberdade e de autonomia que é dada aos alunos na exploração, tem implicações no

tempo que se gasta. Ou a sessão é mais conduzida pelo professor, solicitando aos

alunos a resolução das diferentes alíneas no quadro interactivo, ou aos alunos é

proposta a exploração e descoberta em trabalho em grupo, seguida pela apresentação

de algumas estratégias e de sistematização das conclusões. Neste último caso, eu e

Ana concordamos que não será possível ir mais além, mas deixo a ideia de que podem

existir as duas estratégias presentes na mesma sessão. Beatriz pretende pensar

melhor sobre o assunto. “ Eu vou pensar como é que é melhor para eles …” (S3_B).

Estas últimas frases, caracterizam um pouco o papel das nossas sessões de trabalho

em colaboração: fundamentam-se e discutem-se as questões, identificam-se


111

diferentes caminhos, vantagens e desvantagens e deixa-se, em seguida, uma margem

de autonomia às professoras para decidirem em concreto o que irão fazer. Essa

decisão, assim como a elaboração completa das fichas com as questões é depois

concretizada a distância, através dos fóruns, do chat e, muitas vezes, usando o correio

electrónico.

Beatriz aproveita para relatar de forma muito breve como decorreu um outro desafio

que fez aos alunos para ser realizado em casa, usando a folha de cálculo: a ficha do L

invertido, como lhe chamámos, inspirada num exemplo integrado na tese de mestrado

da Neusa Branco.

A resposta foi reduzida, uma vez que apenas dois alunos responderam por mail.

Enquanto que um aluno encontrou a expressão geral e colocou na célula, a fórmula

A2+2, a outra aluna usou a recursão, o que causou alguma admiração a Beatriz.

Houve outra que me fez assim: colocou na 1ª linha da 1ª posição os 3

círculos, as 3 bolas e depois o que é que fez? A figura da 2ª posição fez por

recorrência da linha anterior, ou seja, não relacionou com a ordem …

(S3_B).

Para além disso, tinha dúvidas como teria chegado a aluna às respostas (certas) do

número de elementos da posição 50 e da 100. Também através da recursão? Ana

acha que, ao contrário de nós que „agarrávamos‟ as ferramentas (algébricas) que nos

permitiam poupar esse trabalho, pode ter acontecido que a aluna tenha mesmo

estendido a tabela até encontrar as respostas.

Eles curiosamente não são nada preguiçosos … são para umas coisas, não

são para outras … Nós na idade deles éramos preguiçosos para esse tipo de

coisas e portanto agarrávamos logo a ferramenta [algébrica] … eu penso

por mim (risos) para me dar essa possibilidade. Eles agora não (S3_A).

Pode ter acontecido os alunos, aproveitando a facilidade de gerar valores numa

abordagem escalar, copiando em coluna, „evitarem‟ adoptar uma abordagem funcional

e chegar a uma expressão geral, função da ordem ou posição. Também a investigação

reconhece que, perante a folha de cálculo, os alunos tendem a estender as tabelas

recursivamente até encontrarem o valor, usando esta importante potencialidade da

ferramenta e não procurando a expressão geral que permite calcular qualquer termo,

em função da ordem (Yerushalmy & Chazan, 2003). E Ana continua.

São capazes de fazer … Mas se calhar percebeu e não formalizou … Isso é

outra coisa que a gente também tem em consideração que eu notei na aula


112

(…) É que eles verbalizam bem as coisas … pode ter reparado, pode ter

visto e têm uma grande dificuldade em fazer a escrita das coisas. E se nós

em termos de trabalho, se não estivermos ao pé e não ouvirmos, pode-nos

parecer que se calhar eles foram por outro caminho e não foram capazes e

eles até foram. Não são é capazes de fazerem a passagem para a escrita

que isso é muito difícil … (S3_A).

Nas palavras de Ana, identificam-se também preocupações com o processo de

comunicação dos alunos, relativamente às dificuldades que encontram na explicitação

das ideias por escrito, ao contrário do que acontece com a linguagem oral,

nomeadamente quando descrevem padrões. Estas ideias encontram eco na

investigação (Warren & Cooper, 2008), que sugere que a gestualidade e o uso de

materiais, juntamente com a verbalização, podem completar a interpretação deficiente

que decorre da comunicação escrita.

Expectativas das professoras e aprendizagens dos alunos

Demos, em seguida, a palavra a Ana para descrever a aula em que usou o applet das

sequências lineares da waldomaths (Anexo 6A) e que tanto a entusiasmou.

Então foi assim, foi muito engraçado porque os miúdos foram muito bem

ao applet … Eu fiz isto nas duas turmas … Quero já aqui dizer que a

sequência toda deste conjunto de tarefas que estamos a realizar eu não

pude fazer a do Excel com uma das turmas, eu já notei aqui a diferença

entre as duas turmas e agora pegando naquilo que a gente estava a falar

… a tal sequência com uma intenção, já produziu numa turma um efeito à

frente do que a outra que ficou privada daquela experiência e que notei

perfeitamente que trouxe efeitos … (S3_A).

Ana, à semelhança do que tem feito anteriormente, experimenta, quase sempre, as

tarefas nas duas turmas e estabelece algumas comparações, valorizando o papel da

tecnologia na interpretação das situações e na aprendizagem dos alunos.

Então eles trabalharam … como o applet tem esta particularidade de gerar

aleatoriamente as sequências em si, não conjuntos de sequências, mas as

sequências em si, eles estavam todos a trabalhar sequências diferentes e

quando tiveram que ir explicar no quadro interactivo o que tinham

construído, não era nunca a usar a sua própria sequência. Quer dizer que

estavam a explicar, mediante outra sequência qualquer e portanto, a


113

essência daquilo que eles sabiam é que estava ali em questão e não a fazer

uma cópia de algo que eles já tinham ali … (S3_A)

Esta situação tinha sido por nós prevista e discutida dias antes por mail, tendo-se

colocado várias hipóteses, desde iniciar em sequências de termo geral do tipo a*n,

evitando numa 1ª fase, trabalhar com os dois selectores, mas apenas com o que

controlava a inclinação. Em colaboração, decidimo-nos por deixar a situação livre,

trabalhando cada um com a sequência que lhe saísse, o que constituía um desafio

maior para a gestão da aula pelo professor, mas também algum risco no caminho para

as conclusões. Ana refere com alegria que, “isso que ao princípio nos estava a afligir,

penso eu que foi uma mais-valia em termos da discussão” (S3_A).

Cada uma das turmas seguiu caminhos diferentes, de acordo com a experiência

anterior com a tecnologia.

Fizeram coisas diferentes, iguais e diferentes, … que é assim: a turma onde

nós temos feito a experiência, onde se tem reportado a experiência,

olharam sempre para o gráfico, foi muito engraçado … e rapidamente

foram capazes de ir mexendo e ver que ficava paralelo e acertar depois

com o outro e quando foram explicar explicaram isso (S3_A).

Esta observação é particularmente significativa, e destaca a importância de os alunos

conhecerem diferentes representações, independentemente da sua „oportunidade

curricular‟, para poderem mobilizar e usar em cada momento a que consideram ser a

mais adequada de acordo com a situação e com a sua compreensão. Estes foram

alguns dos aspectos que foram valorizados, com o alargar do conceito tradicional da

Álgebra, ao que designou por pensamento algébrico, para incluir outras formas de

representação, para além da notação algébrica simbólica (Carraher, Schliemann, &

Schwartz, 2008; Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007).

As turmas respondem de forma diferente, de acordo com as experiências e os

recursos tecnológicos que lhes foram proporcionados. De novo, Ana confirma a

discrepância entre a oralidade e a escrita dos alunos, quando descrevem ou explicam

uma descoberta.

Eu estava a dizer há pouco da experiência que a gente ouviu e depois ver o

que está escrito … porque miúdas que … digo miúdas, porque são mais

faladoras … que explicam muito bem, não escreveram … quem fosse ler o

escrito, parecia que não tinham percebido tão bem (S3_A).


114

Ana comenta entusiasmada que, nas explicações, houve quem usasse metáforas para

descrever o papel dos dois selectores que controlam, respectivamente, o declive e a

ordenada na origem, da recta que se ajusta aos pontos da sequência.

E explicaram lá muito bem o que é que tinham feito e o que é que

significava … foram capazes muito bem de ver que este valor aqui do

coeficiente do n, fazia a inclinação e foi tão giro que eles falaram …

podíamos pensar em quê, em escadas e que a escada quanto maior fosse

este valor a escada ficaria mais difícil de subir … e houve até quem

dissesse … se aqui passasse uma linha até poderia ser uma rampa … e

depois até se falou nas rampas para deficientes que não podem ser com

uma inclinação muito grande senão fica difícil de subir. Foi muito giro …

(S3_A)

Ana reflecte sobre a 2ª parte da ficha, que por não necessitar de ser feita em

presença dos computadores, deveria ter ficado para outra aula, pois acabou por

prejudicar e limitar a discussão muito rica desta 1ª parte. Atribui isto a alguma

inexperiência e dificuldades na gestão do tempo, mas continua entusiasmada a dar

exemplos da forma como os alunos lidaram com o applet e os significados.

Foi muito giro, mas eles exploraram aquilo, coisas muito interessantes e

depois aqui foram sempre pelo gráfico nesta turma [a do Projecto] foi

sempre pelo gráfico, foram olhando ao gráfico e foram capazes de explicar,

foram lá explicar e explicaram pelo gráfico, como é que faziam … foram

andando até dar ali paralelo, depois então pegaram no outro e subiram ou

desceram conforme estava aqui para baixo ou não … (S3_A).

Na outra turma, que também usou o applet, mas que tem uma experiência mais

reduzida na utilização das representações com a tecnologia, “acho que quase nunca

olhavam para o gráfico, só olhavam para os números …” (S3_A) e Ana admira-se com

a clareza com que um aluno dessa turma explica o processo de fazer coincidir as duas

sequências, a partir da manipulação dos selectores.

Eu olho aqui ao valor que está entre estes dois [a diferença constante que

está registada entre os dois valores da sequência] que é 9 e ponho no

comando do n, 9.n e assim que ponho, aqui [no gráfico] fica logo paralelo

… Depois, vou fazer a diferença entre este e este [diferença entre os dois

primeiros termos das 2 sequências] e a diferença entre este número e


115

aquele que está ali, dá-me o número de baixo e trás! Ficou logo lá em

cima! E eu que nunca tinha pensado nisso fiquei … (S3_A).

Ana e também Beatriz, como nos referiu, nunca tinha pensado nesta forma de

resolver o problema, que está relacionada com o modo como se chega ao declive: por

cada unidade que aumenta na ordem, aumentam nove unidades no termo da

sequência, pelo que a razão é nove. Esta evidência, parece vir no sentido da

investigação, que reconhece que os estudantes podem raciocinar muito para além

daquilo que os professores pensam que eles são capazes (Kieran, 2007a). Na

sequência da descoberta deste aluno, Ana convidou-os a procurarem validar essa

conjectura para outras sequências e mais alunos confirmaram a descoberta.

Oh! Stora dá sempre! … Então aqui está de 8 em 8, 8.n e aqui eu a ver

logo o gráfico, paralelo, pronto já está a dar … Agora está a diferença entre

não sei quê … trás … já está em cima … (…) Porque aqui temos várias

coisas … temos números, temos as diferenças entre eles … e temos o

gráfico … então vamos aproveitar essa representação e vamos olhar para

ver o que é que acontece quando ele está a fazer aquilo … Mais outro!

Então vai-se à diferença, não sei quê … trás! Então e como é que ficou? E

agora? Trás! … Era uma limpeza … Giríssimo! Na outra turma ninguém viu

isto (S3_A).

Esta situação não deixa de ser curiosa. Embora privados de alguma experiência com a

tecnologia, esta turma revelou um processo bastante expedito para encontrar a

expressão geral, a partir de um processo de experimentação que partiu da análise da

relação entre os termos das sequências numéricas.

Outra questão que Ana deixa para reflexão, na gestão da aula, é a articulação entre a

exploração e descoberta que se faz com a tecnologia e o momento adequado para

solicitar o registo e a formalização.

E não sei se não alteraria aqui a ordem e só depois é que pediria … aqui

para registar, porque é assim: eles acertam isto com uma grande intuição

e só depois é que … fui provocando a apropriação … (…) não sei se dava

aqui um jeitinho e depois a formalização do que é que significa deixar mais

… (…) Porque essa coisa de a gente estar a dizer como é que funciona …

eles não olham … eles querem é … acertam logo … acertam e só depois de

já terem percebido aquilo tudo e acertado é que começam a olhar …

(S3_A).


116

Esta gestão é um desafio para o professor, procurar este equilíbrio, entre deixar o

aluno livre para explorar a situação à sua maneira e apresentar, explicar e registar as

conclusões a que chegou. Conseguir este equilíbrio, é um dos aspectos presentes na

investigação sobre o desenvolvimento da competência algébrica, que aponta para uma

alternância entre a prática de automatismos, usando símbolos e a procura de

significados, procurando a compreensão, através da reflexão que o professor promove

(Arcavi, 2006).

Ana continua, estabelecendo o paralelo entre a situação dos alunos e os adultos em

formação.

Outra coisa que temos sempre uma grande dificuldade, eu também sinto

isso e com os formandos também acontece o mesmo … é que eles não têm

… lá está, tem a ver com anos e anos de trabalho que é não têm o hábito

de descrever as experiências … (S3_A).

Finalmente, relativamente à primeira questão que se colocava na 2ª parte da ficha,

pretendia-se saber se seria possível a sequência ter um termo cujo valor era 50 e aqui

voltaram a encontrar-se diferenças nas abordagens das duas turmas.

Eles foram dizendo e foi-se formalizando no quadro interactivo … e o que é

que aconteceu com a turma que teve a experiência com o Excel e que eles

próprios já tinham quase que … resolvido equações anteriormente, não é?!

só que não estava com aquela formalização … que até metia a inversa, faz-

se a inversa … bom aqui foi uma limpeza!! … eu aqui escrevi mesmo como

uma equação … (S3_A)

Convidados a explicar como fizeram, os alunos evidenciaram claramente perceber o

uso das operações inversas, apoiados na representação intermédia permitida pela

tecnologia, para resolverem a equação, o que transmitiu segurança à professora para

passar ao uso da linguagem simbólica formal. O recurso às operações inversas, com

compreensão das relações entre elas, é reconhecido pela investigação como tendo

implícito o raciocínio algébrico (Shifter, 1999). Também as representações intermédias

proporcionadas pela tecnologia, como a folha de cálculo, são reconhecidas como

importantes, na investigação focada na aprendizagem em ambientes computacionais

(Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007), desde que acompanhadas de actividades

estruturadas para o efeito e do apoio do professor.

Então agora como é que a gente descobre? Então, disseram-me assim:

como o último deslizador a mexer é este [o segundo da ordenada na


117

origem], primeiro tem que se pôr em paralelo com este e depois é que

mexem este para ir abaixo ou ir acima e ficar em simultâneo (…) Então

como este aqui no 8, foi o último a mexer, é o primeiro que a gente volta

para trás … o conceito da inversa … Nós estamos a fazer o processo ao

contrário para saber se … Então é menos 8, primeiro tira-se 8 e a seguir

divide por 3 … Pronto! E eu lá fui escrevendo o que eles me estavam a

dizer … Este aqui [refere-se à 2ª questão], disseram-me logo, Não pode

ser porque não dá um número inteiro! (…) e a ordem é sempre um número

inteiro … portanto este não pode ser e resolveram os dois … as duas

equações … (S3_A).

Mais uma vez, o uso de diferentes representações e a capacidade de transição entre

diferentes interpretações, parece constituir uma mais-valia para a aprendizagem dos

alunos, manifestada, neste caso, perante dois grupos com percursos diferentes.

Na outra turma, que não a do Projecto, “já não pude fazer isso… eu própria senti que

não devia, porque … foi até já mais conduzido, porque não passaram pela experiência

anterior …” (S3_A).

Da colaboração à partilha nos contextos profissionais

Mais uma vez, Ana conta-nos com alguma satisfação, como transportou a sua

experiência bem sucedida, para os colegas do grupo disciplinar. Beatriz apoia a ideia,

porque “o que é bom tem que ser contado” (S3_B).

Acho que já vai ser um trabalho que já tem pernas para andar depois disto

… porque o trabalho das sequências está a ser na verdade … já agora

quero contar-te também fiz esta … contei a minha experiência ao meu

grupo disciplinar … eu tenho esta característica, eu gosto muito de contar

as coisas … (…) predispus-me a contar e fomos um dia, as pessoas foram

lá (…) entraram na página dos miúdos e eu estive a contar a experiência e

pus as pessoas (…) com os computadores, estiveram lá a fazer com o Excel

… vamos lá fazer …. E fizemos uma sessão de uma hora e meia … Olha,

tudo o que os miúdos me disseram das sequências das bolinhas e tudo o

mais foi dito ali (…) Muito giro. E quando foi do applet também adoraram,

adoraram a ideia e acharam … Que eles estão aí a falar de tudo que não

tem nada a ver com este ano! … (risos) … Agradados, estás a perceber,

[estavam] agradados (S3_A).

Ana adopta esta postura na profissão, partilhando com os outros colegas do seu grupo

pedagógico, o que vai aprendendo e experimentando com os seus alunos,


118

transportando as ideias e as tarefas para pequenas sessões de formação. No mesmo

sentido, perante uma colega chegada de novo à escola, que comentou no final da

sessão com Ana, o muito que tinha aprendido, disponibiliza-se a apoiá-la a trabalhar

sequências no 6º ano.

Esta iniciativa de partilha com os pares, parece reflectir a satisfação com este

processo de trabalho, o feedback positivo que recebe dos alunos e o reconhecimento

de que ele constitui um desafio para os alunos que deixa sementes para uma

aprendizagem com compreensão. No entanto, pode constituir também uma fase de

legitimação do seu percurso, pelas tarefas em que investe e que vão além do

conhecimento matemático previsto no programa de Matemática, para este ano.

Lá mais à frente, quando tivermos mais coisas para também contar o que é

que se está a passar, precisamente nessa perspectiva, o que eu gostava de

lhes passar era o facto de a gente poder estar já a usar coisas e criar essas

sementes que lá mais à frente pudessem ser … mais interessantes …

(S3_A)

Beatriz reconhece neste trabalho também um poder “fazê-los crescer mais …” (S3_B).

Também Beatriz tinha previsto integrar-se num grupo de colegas da escola que

lecciona 7º ano, com vista a preparar e partilhar materiais, mas ainda não iniciaram,

devido a algum desfasamento na abordagem dos temas, mas também por alguma

falta de tempo. Mantém, no entanto, um trabalho de preparação de tarefas com outra

colega no 9º ano.

Antes de terminarmos a sessão, Ana comprometeu-se a escrever um pequeno relato

sobre a experiência que desenvolveu com o applet, após ver os trabalhos que os

alunos registaram e enviaram para o Moodle. Esta iniciativa voluntária de escrever,

mostra o significado que teve para si esta „resposta‟ dos alunos e o querer partilhar

connosco uma reflexão mais aprofundada.

Os momentos finais

Ainda houve tempo para comentar brevemente umas fichas sobre proporcionalidade

directa que eu tinha levado, a pedido de Ana, assim como Beatriz também informou

ter pesquisado outras no site da Rede MatTIC – As TIC na aula de Matemática, para

além de falarmos sobre problemas e exercícios que vêm nos manuais escolares.

Para Ana, o manual é um recurso com algumas limitações, mas que serve o objectivo

de permitir realizar um certo diagnóstico das aprendizagens que os alunos

efectivamente realizaram, para trabalhar nas dificuldades a partir daí.


119

O manual não pode fugir de uma estrutura, quer a gente queira quer não e

portanto, aquilo tira a graça, aquilo está ali já tudo escarrapachado (…) Eu

utilizo mais na perspectiva de actividades que já lá estejam e nem sigo a

ordem, vou aos do fim e selecciono dois ou três, que eu acho que são

importantes (…) Fui à parte de trás que já parece que é mais aplicação,

mas que eu sei que são capazes de fazer porque já aprenderam no 6º ano

e portanto fui ali e foi a partir dali, pô-los a trabalhar e a aperceber-me das

coisas que eles se estavam a lembrar ou não, (…) em vez de estar a fazer

revisões, mas através do trabalho deles e comecei a fazer esse tipo de

trabalho assim (S3_A).

Ana estabelece o paralelo com aquilo que pretende fazer agora de seguida, tendo em

conta esta experiência que realizou com os alunos.

Com esta experiência pegar naquilo que eles já sabem e começar a

transportá-los então para o gráfico, o que foi muito engraçado com aquela

turma que já tem esta experiência mais desenvolvida é que com a

actividade, com os problemas que eles estavam a fazer, eles foram a cada

um dos problemas, eu perguntava e aquilo saía a expressão com uma

limpeza engraçada … 3n … 7n … e aquilo como se fosse a coisa já mais

natural da vida … o que quer dizer que já estamos a fazer … a trabalhar a

proporcionalidade directa através daquilo que eles … como função, sem a

coisa aparecer … (…) porque veio daquela experiência anterior … (S3_A).

Apoio este caminho exploratório e de progressiva formalização, que acontece de forma

natural, como a própria Ana e Beatriz reconhecem.

Esta sessão, ao contrário das anteriores, teve um maior peso de trabalho de resolução

de problemas, antes de se partir para a discussão das explorações possíveis, opção

que decorreu da análise que fiz das transcrições das sessões anteriores. Perdeu-se, no

entanto, a possibilidade de ouvir as professoras sobre alguns episódios de sala de aula

gravados (de Ana), pois esta não os seleccionou, como combinado e eu também não o

fiz, situação que deverá ser corrigida em próximas sessões.

Em resumo

O ambiente geral das sessões

Ana e Beatriz têm vindo a apropriar-se progressivamente de aspectos que

caracterizam o pensamento algébrico e que emergem na discussão de problemas que


120

eu vou colocando ou que elas trazem. São receptivas a discutir ideias e materiais que

trago para a discussão, mas também adaptam e concebem as suas próprias tarefas,

tendo em conta o programa da disciplina e o planeamento do seu grupo.

O „quadro teórico‟ do nosso trabalho de equipa, é constituído pelos documentos que

concebi ou adaptei, cruzando o programa de Matemática actual e o novo programa,

com as questões críticas sobre o pensamento algébrico e as TIC, presentes em artigos

de investigação e documentos de orientação curricular.

O meu papel é estar atento e no decorrer da conversa, a partir de diferentes

situações, como problemas numéricos, relatos e reflexões sobre episódios das aulas,

comentários acerca de descobertas que fazem ou reacções que acham que os seus

alunos têm, procurar fazer emergir aspectos do pensamento algébrico e

potencialidades do uso da tecnologia.

Este parece ser o equilíbrio possível, exigido por um trabalho em colaboração que visa

procurar compreender o conhecimento didáctico que as professoras mobilizam no

desenvolvimento curricular e na prática da sala de aula.

A apropriação natural das ideias

As principais características do pensamento algébrico que começam a emergir

naturalmente no trabalho das professoras são, a procura de relações entre os

números e as operações, no trabalho com padrões, o uso das múltiplas

representações e a sua tradução de umas nas outras, como factores de compreensão

dos conceitos pelos alunos.

Já relativamente à integração curricular das TIC, os aspectos mais salientes são o uso

da dimensão recursiva e funcional da folha de cálculo no processo de generalização

numérica e de progressiva formalização e o apoio nas representações intermédias que

a tecnologia, nomeadamente alguns applets, proporcionam.

Ideias, planeamento e prática

Ana usa as tarefas que discutimos e elaboramos em conjunto, directamente na sala de

aula, procurando que isso siga os processos de organização e registo com que tem

trabalhado desde o início do ano, nomeadamente usando relatórios e o Moodle.

Não parece utilizar muito planeamento específico nessa acção didáctica, mas a forma

como gere a actividade na sala de aula, passa inevitavelmente por um conjunto de

fases: lança a tarefa em grande grupo; deixa os grupos de 3 a 4 alunos por

computador a trabalhar autonomamente, em torno de questões colocadas numa ficha

de trabalho; circula pelos grupos, assegurando-se de que estão envolvidos, lançando

pequenos desafios e clarificando dúvidas; sistematiza, em 3 ou 4 momentos da aula,

as descobertas, conclusões e diferentes caminhos dos alunos, chamando-os ao quadro

interactivo e mantendo um diálogo com toda a turma; finalmente, recolhe resoluções


121

e registos escritos dos alunos ou pede-lhes para enviarem os respectivos ficheiros

para o Moodle.

Beatriz demora mais tempo na análise e discussão das propostas que irão ser

experimentadas, é pormenorizada na planificação que faz e anota para si um conjunto

de questões a colocar aos alunos, no processo de exploração e resolução da ficha. Na

gestão do currículo, reconhecem-se algumas preocupações com a ordem do programa

e com a sequência de abordagem dos conteúdos, mesmo quando trata assuntos que

os alunos já conhecem.

Normalmente, usa as aulas de Estudo Acompanhado como „laboratório de ensaio‟,

onde os alunos se apropriam da(s) ferramenta(s) tecnológicas e ela se apropria das

formas de organização e das interacções que se desenvolvem, procurando „ganhar‟

algum tempo e segurança para a sua integração posterior em sala de aula. Aí, os

momentos, as modalidades de organização do trabalho e a sua sequência, têm alguma

semelhança com os de Ana. No entanto, há diferenças evidentes que passam por: os

alunos organizam-se em grupos de dois por computador, o ritmo e os tempos da aula

são mais marcados pela professora e as sistematizações de descobertas e conclusões,

são mais dirigidas no quadro preto e no quadro interactivo pela professora, embora

em diálogo com toda a turma.

No equilíbrio entre a livre exploração do software e os registos do que se aprendeu,

entre um trabalho mais informal e a passagem ao formal, Ana deixa aos alunos mais

tempo e a responsabilidade pela sistematização, pelos registos e pelo seu envio para a

plataforma a distância, enquanto Beatriz, marca mais os diferentes tempos da aula e

assume a responsabilidade pela sistematização e pelos registos, mas envolvendo a

turma num diálogo colectivo.

Os contextos desfavoráveis da prática, nomeadamente os comportamentos instáveis

dos alunos, agem sobre as concepções de Beatriz e condicionam a sua acção de

introduzir desafios com tecnologia na sala de aula.

No entanto, ambas as professoras parecem preocupar-se em estar a par da

compreensão das ideias e conceitos pelos seus alunos, procurando indicadores nas

interacções que promovem em pequeno e grande grupo.

Iniciar o trabalho com os alunos em pequenos grupos, em torno de questões abertas e

conduzir boas discussões com a turma, envolvendo os alunos, pode conduzir, de

acordo com alguma investigação, a elevados níveis de raciocínio (Kieran, 2007a).

A satisfação com o trabalho da equipa e as suas implicações

Ana por várias vezes explicita a sua satisfação por integrar esta equipa de trabalho,

pelo tipo de trabalho que aqui se desenvolve, que proporciona uma experiência

matemática rica aos alunos, lança sementes e abre caminhos.

No mesmo sentido, Beatriz também identifica uma dimensão reflexiva no trabalho.


122

Por reconhecerem mais-valias neste processo de trabalho e nas ideias e propostas que

dele decorrem, ambas as professoras levam várias das tarefas à outra turma do 7º

ano que leccionam e Ana estabelece mesmo comparações apreciando as diferentes

estratégias usadas pelos dois grupos de acordo com as experiências que lhes foram

proporcionadas.

Também por isso, transpõem algum deste trabalho para colegas do seu grupo

disciplinar e Ana, dada a sua experiência anterior como delegada do grupo e como

formadora e as suas funções actuais no âmbito do Plano da Matemática, integra estas

experiências em contextos de desenvolvimento profissional na escola.

Para além do que foi negociado no nosso plano de trabalho, Beatriz toma iniciativa de

propor problemas, recolher resoluções dos alunos e relatar aspectos discutidos na

aula, procurando identificar nessas resoluções, aspectos que entende enquadrarem-se

nas preocupações que temos referido nas sessões, nomeadamente a decomposição

dos números e o estabelecer de relações entre os números e entre as operações.

Também Ana, perante uma aula que lhe corre muito bem e em que os alunos

ultrapassam as suas próprias expectativas, toma a iniciativa de elaborar um relato

reflexivo que envia para o grupo.

Desafios e expectativas

Os problemas ou actividades de investigação muito abertas, causam algumas

perturbações nas professoras e no que presumem serem as reacções dos alunos, uma

vez que exigem muita discussão para se identificarem possíveis caminhos de

exploração, questões a colocar aos alunos e integração numa sequência didáctica

coerente, tendo em conta o programa e o seu planeamento.

Embora Ana e Beatriz, não se possam considerar professoras que tenham baixas

expectativas dos seus alunos, continuam a surpreender-se com alguns dos seus

desempenhos e isso, progressivamente, parece constituir uma alavanca para se

lançarem em desafios mais abertos e arrojados.


123

Referências bibliográficas

Alvarenga, D. & Vale, I. (2007). A exploração de problemas de padrão: um contributo

para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Quadrante, Vol. XVI (1), 27-

55.

Arcavi, A. (2006). El dasarrollo y el uso del sentido de los símbolos. In I. Vale et al.

(Orgs.), Números e Álgebra na aprendizagem da Matemática e na formação de

professores (pp. 29-47). Lisboa: SPCE.

Bednarz, N. (2001). A problem-solving approach to algebra: Accountig for the

reasonings and notations developed by students. In H. Chick, K. Stacey, J.

Vincent & J. Vincent (Eds.), The future of the teaching and learning of algebra:

Proceedings of the 12th ICMI Study Conference, Vol. I, (pp. 69-78). Melbourne,

Australia: The University of Melbourne.

Blanton, M. & Kaput, J. (2005a). Characterizing a classroom practice that promotes

algebraic reasoning. In Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 36,

Nº 5 (pp. 412-446).

Blanton, M. & Kaput, J. (2005b). Helping elementary teachers build mathematical

generality into curriculum and instruction. ZDM, Vol. 37 (1), 1-9.

Boavida, A., Paiva, A., Cebola, G., Vale, I. & Pimentel, T. (2008). A experiência

Matemática no Ensino Básico. Lisboa: ME – DGIDC.

Bogdan, R., & Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em Educação. Porto: Porto

Editora.

Brocardo, J. (2001). Investigações na aula de matemática: Um projecto curricular no

8º ano (Tese de doutoramento, Universidade de Lisboa). Lisboa: APM.

Brocardo, J. et al. (2006). Números e Álgebra: Desenvolvimento curricular. In I. Vale

et al. (Orgs.), Números e Álgebra na aprendizagem da Matemática e na

formação de professores (pp. 65-92). Lisboa: SPCE.

Canavarro, A. & Ponte, J. (2005). O papel do professor no currículo de Matemática. In

GTI (Org.), O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: APM.

Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating

arithmetic and algebra in elementary school. Portsmouth. NH Heinemann.


124

Carraher D., Schliemann, A. & Schwartz, J. (2008). Early Algebra is not the same as

Algebra Early. In Kaput, J., Carraher, D. e Blanton, M. (Eds). Algebra in the

Early Grades (p. 235-272). LEA: New York.

Carraher, D.W. & Schliemann, A.D. (2007). Early Algebra and Algebraic Reasoning. In

Frank K. Lester, Jr. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning (pp. 669-705). Charlotte NC: NCTM and Information

Age Publishing.

Cebola, G. (2002). Do número ao sentido do número. In Ponte, J. P. et al., Actividades

de Investigação (pp. 223-239). Lisboa: SPCE.

Chazan, D. & Yerushalmy, M. (2003). On appreciating the cognitive complexity of

school álgebra: Research on algebra learning and directions of curricular

change. In J. Kilpatrick, G. W. Martin e D. Schifter (Eds.), A research

companion to the Principles and Standards for School Mathematics (pp. 123-

135). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Cusi, A. & Malara, N. (2007). Approaching Early Algebra: Teachers‟ educational

processes and classroom experiences. Quadrante, XVI (1), 57-80.

DEB (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico: Competências essenciais. Lisboa:

Editorial do Ministério da Educação.

Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. In M. C. Wittrock

(Ed.), Handbook of research on teaching (pp. 119-161). Nova Iorque:

MacMillan.

Ferrara, F., Pratt, D., & Robutti O. (2006). The role and uses of Technologies for the

teaching of algebra and calculus. In A. Gutiérrez & P. Boero (Orgs), Handbook

of Research on the Psychology of Mathematics Education: past, present and

future (pp. 237-273). Roterdão: Sense.

Fujii, T. (2003). Probing studentes‟ understanding of variables through cognitive

conflict problems: is the concept of variable so dificult for students to

understand? In N. A. Paterman, B. J. Dougherty, & J. T. Zilliox (Eds.),

Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology

of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 49-65). Honolulu, HI.

Gimeno, J. (1989). El curriculum: una reflexión sobre la prática. Madrid: Morata.

Kaput, J. (1999). Teaching and Learning a new algebra. In E. Fennema, & T. Romberg

(Eds.), Mathematics classrooms that promote understanding (p. 133-155).

Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.


125

Kaput, J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? In J. Kaput, D.

Carraher & M. Blanton (Eds.), Algebra in the Early Grades (pp. 133-160). New

York: Lawrence Erlbaum Associates.

Kaput, J. & Blanton, M. (s/d). Algebrafying the elementary mathematics experience.

Parte I: Transforming task structures. Capturado em 10 de Dezembro de 2008

em http://www.scps.k12.fl.us/scctm/Site%20Pages/algebraproject/articles.cfm.

Kieran, C. (2007a). Learning and teaching Algebra at the middle school trough college

levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In Frank K.

Lester, Jr. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and

Learning (pp. 707-762). Greenwich, CT: Information Age Publishing.

Kieran, C. (2007b). Developing algebraic reasoning: the role of sequenced tasks and

teacher questions from the primary to the early secondary school levels.

Quadrante, XVI (1), 5-26.

Ludke M. & André M. (1986). Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São

Paulo: Ed. Pedagógica e Universitária.

Merriam, S. B. (1988). Case study research in education. S. Francisco, CA: Jossey-

Bass Publishers.

NCTM (1985). Agenda para a acção. Lisboa: APM. (Trabalho original publicado em

1980).

NCTM (1991). Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa:

APM e IIE (Trabalho original publicado em 1989).

NCTM (1994). Normas Profissionais para o ensino da Matemática. Lisboa: APM e IIE.

(Trabalho original publicado em 1991).

NCTM (1999). Normas para a avaliação em matemática escolar. Lisboa: APM

(Trabalho original publicado em 1995).

NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM. (Trabalho

original publicado em 2000).

Olson, M. (1997). Collaboration: An Epistemological Shift. In Christiansen, H. et al.

(Eds.). Recreating relationships: Collaboration and educational reform (pp. 13-

25). New York: State University of New York Press.

Papert, S. (1985). Logo: Computadores e Educação. São Paulo: Editora Brasiliense.

Ponte et al. (1998). Currículo e desenvolvimento curricular em Matemática. In

Investigação em educação matemática – implicações curriculares (pp. 17 –

28). Lisboa: IIE.


126

Ponte et al. (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. (consultado em 15 de

Outubro de 2008 em http://sitio.dgidc.min-

edu.pt/matematica/Documents/ProgramaMatematica.pdf)

Ponte, J. P. (2006). Números e Álgebra no currículo escolar. In I. Vale. (Org.),

Números e Álgebra na aprendizagem da Matemática e na formação de


Schifter, D. (1999). Reasoning about operations: Early algebraic thinking in grades K-

6. In L. Stiff and F. Curio (Eds.) Developing Mathematical reasoning in Grades

K-12 (pp. 62-81). NCTM Yearbook. Reston, VA: NCTM.

Schliemann, A. D., Carraher, D. W. & Brizuela, B. M. (2007). Bringing out the

Algebraic Character of Arithmetic: from children’s ideas to classroom practice.

Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers.

Sfard, A. & Linchevsky, L. (1994). The gains and pitfalls of reification – the case of

algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, 191-228.

Sheffield, L. J. & Cruikshank, D. E. (2005). Teaching and Learning Mathematics – Pre-

Kindergarten Through Middle School. USA: Jossey – Bass Education.

Stake, R. E. (2007). A arte da investigação com estudos de caso. Lisboa: Fundação

Calouste Gulbenkian.

Vale, I. (2006). Os padrões no ensino e aprendizagem da Álgebra. In I. Vale et al.

(Org.), Números e Álgebra na aprendizagem da Matemática e na formação de


Warren, E. & Cooper, T. (2007). Generalizing the pattern rule for visual growth

patterns: Actions that support 8 year olds‟ thinking. Educational Studies in

Mathematics, 67(2), 171-185.

Yerushalmy, M. e Chazan, D. (2003). Flux in School Algebra: Curricular Change,

Graphing Technology, and Research on Student Learning and Teacher

Knowledge. In A. J. Bishop et al. (Eds.), Second International Handbook of

Mathematics Education (pp. 725-755). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Yin, R. (1994). Case Study Research: Design and methods (2ª ed.). Newbury Park,

CA: Sage.


127

Anexos

Anexo 1 - Plano de trabalho a desenvolver com as professoras

Anexo 2 – Documento de operacionalização das questões do estudo

Anexo 3 – Documento para uma gestão do programa de Matemática que contribua

para o desenvolvimento do pensamento algébrico com a utilização das TIC

Anexo 4 – Documento de reflexão sobre a aprendizagem da folha de cálculo versus a

aprendizagem da matemática

Anexo 5 – Recursos (applets e vídeos) na Internet sobre pensamento algébrico

Anexo 6 – Alguns materiais de trabalho das sessões

6A – Sequências e mais sequências (tendo por base um applet)

6B – Problema das castanhas e relato da professora sobre resoluções dos alunos

6C – Problema das castanhas (reformulado)

6D – Problema das caixas de doces e problema das carteiras

6E – Ficha dos quadrados e cubos perfeitos

Anexo 7 – Conteúdos, contextos e instrumentos de recolha de dados

7A – Breve cronologia e códigos

7B – Texto orientador da 1ª sessão de trabalho com cada uma das professoras

7C – Guião da 1ª entrevista

7D – Esquema (lista de questões) da entrevista, apresentado às professoras

Anexo 8 – Página principal da disciplina Moodle de apoio ao projecto


128

Anexo 1 – Plano de trabalho com as professoras


129

Plano de trabalho

(da equipa de trabalho colaborativo com as professoras)

1. Apresentação

Esta investigação sob o título Tecnologias na Educação Matemática: um estudo sobre o

conhecimento profissional dos professores, tem por objecto de estudo o conhecimento

didáctico de duas professoras de Matemática.

O objectivo da investigação visa descrever e compreender o conhecimento didáctico

que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática lectiva no domínio

dos Números e da Álgebra, com recurso à tecnologia, recorrendo para o efeito a uma

metodologia qualitativa e interpretativa, do tipo estudo de caso.

O professor desempenha a sua actividade profissional em diferentes contextos que

passam, nomeadamente, pela preparação e execução da actividade lectiva, por

leituras, participação em cursos, envolvimento em projectos ou participação em

congressos. No entanto, é o contexto da preparação e implementação das aulas que

determina muita da acção didáctica do professor e lhe ocupa mais tempo,

nomeadamente no planeamento das aulas, na elaboração de tarefas para promover a

aprendizagem, posteriormente experimentadas em sala de aula e noutros espaços de

apoio curricular.

Neste sentido, propõem-se basicamente dois contextos de recolha directa de dados,

com vista a reunir evidência para o estudo: as sessões de trabalho (presencial e a

distância) de uma equipa que planifica e elabora tarefas de forma colaborativa e as

aulas onde as mesmas são experimentadas.

Os dados relativos ao percurso profissional dos professores, envolvendo os outros

contextos, serão recolhidos através de duas entrevistas, a realizar no início e no fim

do período reservado à recolha dos dados (ver cronograma no fim do documento).

As entrevistas, a observação participante e a análise de documentos constituirão as

técnicas a recorrer, tendo presente que o investigador é o principal instrumento de

recolha dos dados e que a interpretação será sempre um processo de negociação de

significados, construídos na intersubjectividade do ver, do olhar e do escutar, entre

todos os participantes neste projecto.

2. Proposta

Tendo em conta:

as novas orientações curriculares no domínio dos Números e da Álgebra,

nomeadamente o desenvolvimento do pensamento algébrico e as

potencialidades reconhecidas às tecnologias de informação e comunicação

(TIC), identificadas no novo Programa de Matemática do Ensino Básico;


130

que o professor desenvolve a sua actividade profissional em diferentes

contextos, nomeadamente os espaços de planificação e de elaboração de

tarefas, que constituem uma parte importante do seu trabalho lectivo e o

espaço de implementação das mesmas - a sala de aula;

propõe-se a constituição de uma equipa de trabalho colaborativo, constituída por duas

professoras de Matemática do 7º ano do ensino básico e pelo investigador, com os

seguintes objectivos:

i. elaborar um conjunto tarefas sobre Números e Álgebra, integrando o uso das

TIC, a serem implementadas em cinco aulas (de 90 minutos);

ii. discutir alguns textos de orientação curricular e de didáctica da Matemática,

sobre o tema, identificados pelas professoras e pelo investigador como

pertinentes e que possam constituir suporte à elaboração das tarefas;

iii. implementar cinco aulas (de 90 minutos) com as tarefas elaboradas;

iv. discutir e reflectir sobre essas aulas, com base em episódios identificados pelas

professoras e pelo investigador e que possam ter interesse para a investigação

sobre o conhecimento didáctico;

v. divulgar as tarefas elaboradas numa plataforma de gestão de aprendizagem a

distância, comentá-las e desenvolvê-las de forma assíncrona;

vi. discutir e participar de forma síncrona na discussão de tópicos, estratégias

didácticas, episódios da sala de aula ou na resolução de problemas, a definir

consensualmente pela equipa, num processo rotativo de responsabilidade pela

sua dinamização.

As tarefas resultam das ideias, materiais e propostas de trabalho que qualquer dos

participantes traga para as reuniões e do trabalho de discussão e elaboração que a

equipa desenvolva, presencialmente e a distância.

Modo de funcionamento da equipa

A equipa de trabalho colaborativa, constituída por mim e pelas duas professoras,

reunirá entre Setembro de 2008 e Julho de 2009, presencialmente uma vez por mês,

em sessões de 2,5 horas e terá como suporte a distância, uma plataforma de gestão

de aprendizagem. Estas sessões, a realizar em local escolhido pelas professoras, serão

audiogravadas.

A plataforma de gestão de aprendizagem a distância visa:

permitir disponibilizar, através da publicação como recurso, as tarefas

elaboradas pela equipa e outros materiais considerados relevantes para o

trabalho como, documentos de apoio à integração da tecnologia ou


131

documentos para discussão identificados como relevantes por qualquer dos

elementos da equipa;

dar continuidade de forma assíncrona, através de fórum próprio, à sessão

presencial anterior ou preparar a próxima, quer no que respeita à elaboração e

desenvolvimento das tarefas, quer relativamente à discussão de algum texto

ou de algum episódio identificado da prática das professoras;

permitir a discussão síncrona, uma vez por mês, durante 30 a 45 minutos,

através de chat, de diferentes abordagens didácticas de um tópico dos

Números e Álgebra, de diferentes resoluções de um problema ou de episódios

de sala de aula, a definir pela equipa.

O próprio sistema guarda automaticamente as contribuições de todos os participantes,

permitindo em qualquer altura, revê-las e retomá-las.

Disponibilidade das professoras

Face aos objectivos da investigação e ao plano de trabalho aqui descrito, deve existir

disponibilidade das professoras para:

participarem numa equipa de trabalho, em sessões presenciais mensais de

duração prevista de 2 horas e meia;

participarem em duas sessões extraordinárias da mesma duração, no arranque

do trabalho, em Setembro/Outubro e em Dezembro/Janeiro;

participarem numa plataforma de gestão de aprendizagem a distância,

responsabilizando-se, em regime de rotatividade, pela dinamização do chat e

do fórum (uma vez de 3 em 3 meses);

implementarem, ao longo do ano, as tarefas elaboradas nas sessões, em cinco

aulas, três das quais assistidas;

darem duas entrevistas, de cerca de duas horas cada, sobre aspectos do seu

percurso profissional passado e do seu conhecimento didáctico sobre Números

e Álgebra e uso da tecnologia;

abordarem o programa da sua disciplina à luz das orientações metodológicas

do novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Protocolos

As sessões presenciais de trabalho da equipa serão audiogravadas;

As cinco aulas de implementação das tarefas serão videogravadas e posteriormente

transcritas pelo investigador;

Em três dessas aulas, o investigador estará presente como observador.


132

Compromissos do investigador

O investigador garante:

o anonimato e protecção da identidade das professoras ao longo de todo o

estudo, caso isso constitua o seu interesse;

transcrever o material resultante das gravações das entrevistas e das aulas e

devolvê-lo para revisão pelos informantes, assim como os relatórios dos casos

de cada uma das professoras, a integrar no relatório final da investigação;

prestar informação e apoio técnico e pedagógico que seja solicitado para o uso

da plataforma a distância e para a integração da tecnologia no currículo;

disponibilizar documentos de orientação curricular e de didáctica da

Matemática, da sua iniciativa ou a pedido das professoras, que possam

constituir material de apoio ao desenvolvimento do trabalho da equipa, com

vista à preparação e fundamentação das tarefas a elaborar.

Eventuais benefícios para as professoras

O trabalho entre professores com diferentes experiências profissionais, envolvidos

num trabalho de construção de propostas didácticas para a sala de aula, com vista a

melhorar a aprendizagem dos alunos, pode constituir um desafio estimulante.

Espera-se que todos os intervenientes possam aprender do seu envolvimento neste

trabalho, em particular, as duas professoras, devido à sua participação numa equipa

de trabalho colaborativo, com vista a desenvolverem materiais didácticos para as suas

aulas, no domínio dos Números e Álgebra, com uso das TIC, experimentarem-nos e

reflectirem sobre esse processo. Uma mais-valia do envolvimento das professoras

neste estudo, poderá ser o desenvolvimento de competências de investigação sobre a

sua própria prática, melhorando o seu conhecimento didáctico, podendo essa

experiência constituir também uma oportunidade de desenvolvimento profissional.

Cronograma

Ano de 2008 Ano de 2009

Tarefas Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

Selecção dos participantes

Sessões de trabalho (P) P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

Sessões de trabalho (D) D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Sessões extra (EX) EX1 EX2

1ª entrevista E1

2ª entrevista E2

Aulas observadas (O) O1 O2 O3

(P) Presenciais; (D) A distância; (EX) Momentos intensivos de trabalho


133

Anexo 2 – Documento de operacionalização das questões do estudo


134

Tecnologias e pensamento algébrico:

um estudo sobre o conhecimento didáctico do professor

Objectivo: compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no

desenvolvimento curricular e na prática profissional, no domínio do pensamento

algébrico, com recurso à tecnologia.

Questões orientadoras:

(Q1) Como se caracteriza o conhecimento didáctico do professor no processo de


As preocupações que manifesta quando elabora, planifica e discute as tarefas e

justifica as opções gerais que faz (G), no processo de desenvolvimento

curricular, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC?

Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, os vários

aspectos envolvidos no conhecimento que ele precisa para ensinar: o

conhecimento matemático sobre Números e Álgebra (CM) e as suas relações; a

forma como entende e o lugar que reserva ao desenvolvimento do pensamento

algébrico (PA) e às TIC (TIC) no currículo (CC) (; e, a forma como entende a

aprendizagem dos alunos (CAA) neste domínio?

(Q2) Como conduz em sala de aula o processo de ensino e a aprendizagem, neste

domínio, tendo em conta as várias dimensões do conhecimento que ele precisa para

ensinar.

(Q3) Quais os factores de influência na construção do conhecimento didáctico, em

particular, nas opções curriculares e didácticas que faz e nas práticas de ensino, para

promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC, nomeadamente:

O papel do seu percurso profissional (PP)?

O papel dos contextos profissionais (CP)?

O papel da sua participação numa equipa colaborativa apoiada por uma

plataforma de trabalho a distância (EC)?

Legenda:

G: Opções gerais; CM: Conhecimento da Matemática; CC: Conhecimento do currículo

(PA: … em pensamento algébrico; TIC: … sobre as TIC); CAA: Conhecimento sobre a

aprendizagem dos alunos; PP: Percurso profissional; CP: Contextos profissionais; EC:

Equipa colaborativa


135

INDICADORES (EVIDÊNCIA) PARA AS QUESTÕES DO ESTUDO

(3ª versão)

(Q1) Como se caracteriza o conhecimento didáctico do professor no processo de


(a) As preocupações que manifesta quando elabora, planifica e discute as tarefas e

justifica as opções gerais que faz (G), no processo de desenvolvimento curricular, para


Nas sessões da equipa:

Que tipo de planificações usa (muito ou pouco especificadas; em torno de uma ideia;

em torno de um problema; em torno de um conjunto de exercícios; com várias fases

diversificadas)? Elabora fichas de trabalho personalizadas com tarefas para entregar

aos alunos? As tarefas que prepara são abertas, fechadas, simples, complexas, com

graus de dificuldade diferenciados? Existe alguma ideia ou procedimento diferente

quando introduz um conceito novo?

Como pensa os aspectos de gestão da sala de aula (a forma de gerir a comunicação e

a organização dos alunos)? Como pensa promover a participação dos alunos nos

diferentes momentos da aula? Como pensa organizar a apresentação de estratégias

diversificadas pelos alunos? Identifica aspectos relacionados com o pensamento

algébrico nomeadamente: a generalização, a procura de relações entre números e

operações, as múltiplas representações, …? Como justifica as tarefas que escolhe?

(b) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, os vários

aspectos envolvidos no conhecimento que ele precisa para ensinar: o conhecimento

matemático sobre Números e Álgebra (CM) e as suas relações; (CC) a forma como

entende e o lugar que reserva ao desenvolvimento do pensamento algébrico (PA) e às

TIC (TIC) no currículo (CC); e, a forma como entende a aprendizagem dos alunos

(CAA) neste domínio?

(b1) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, o

conhecimento matemático (CM) sobre Números e Álgebra6 e as suas relações?

6 Adopta-se a designação mais geral Números e Álgebra e as suas relações, uma vez que os

professores se encontram a leccionar um Programa sem qualquer referência ao pensamento

algébrico, ao mesmo tempo que estão a ter o primeiro contacto com essas ideias.


136


Como mobiliza os diferentes conteúdos da aritmética e da álgebra, como os relaciona

e como „passa de uns aos outros‟, no processo de elaboração das tarefas, através de

um trabalho com as propriedades dos números e das operações, da procura de

relações, de conexões e da generalização? Como responde e desenvolve processos de

algebrização das tarefas?

Notas:

Aspectos do conhecimento matemático presentes na Aritmética: cálculo e relações

numéricas; composição e decomposição dos números; propriedades dos números e

das operações; estratégias de cálculo mental; regularidades; uso do sinal de igual;

álgebra como aritmética generalizada.

Aspectos do conhecimento matemático presentes na Álgebra e no pensamento

algébrico: uso de letras (incógnita e variável como número generalizado); múltiplas

representações; esquemas e representações intermédias; extensão do uso do sinal de

igual; equivalência de expressões; abordagem funcional das equações.

(b2) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, a forma

como entende e o lugar que reserva no currículo (CC), ao desenvolvimento do

pensamento algébrico (PA) e ao uso das TIC (TIC)?


(PA) Conhece os objectivos e orientações metodológicas do Currículo Nacional e do

Programa actual no que respeita aos NA, suas relações e conexões? Reconhece

relações entre a Aritmética e a Álgebra, nomeadamente o trabalho com a

generalização? Identifica articulações e conexões nos NA, entre o que está antes e o

que vem depois? Conhece as mudanças curriculares que o novo Programa traz no

domínio do pensamento algébrico? Tem preocupações em manter o significado, no

trabalho com expressões com variáveis? Qual a importância relativa que atribui aos

temas Números e Álgebra e às suas relações, no contexto do currículo do Ensino

Básico e do 7º ano, em particular?

(TIC) Usa as características e o potencial da tecnologia, nomeadamente a

dinamicidade e interactividade, para gerar múltiplos valores relacionados, para

construir, explorar e validar modelos de situações, para realizar simulações e ver

implicações e para desafiar a elaboração de conjecturas? Como identifica o papel das

TIC no currículo de NA e qual a importância que lhe atribui? Para quê: como

motivação, como ferramenta de consolidação de conceitos (já explorados de forma


137

mais ou menos tradicional) ou como instrumento de descoberta e de construção de

conceitos?

(PA e TIC) Procura mobilizar as múltiplas representações, servindo-se de

potencialidades da tecnologia? Procura usar as potencialidades das TIC na

generalização para desenvolver o pensamento algébrico? Que factores reconhece

como um obstáculo à experimentação de novas metodologias na abordagem dos

Números e da Álgebra, para o desenvolvimento do pensamento algébrico? E ao uso

curricularmente integrado das TIC?

(b3) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, a forma

como entende a aprendizagem dos alunos (CAA) neste domínio?


No tipo de tarefas que elabora (tarefas abertas ou fechadas; tarefas simples,

complexas ou com níveis de dificuldade diferenciados; tarefas muito ou pouco

orientadas), tem presentes o desempenho dos seus alunos e algumas preocupações

com aprendizagens específicas? Como prevê e planifica a sua exploração

(apresentação, exemplos, descoberta guiada, livre exploração, gestão da comunicação

com e entre os alunos e sistematização de conclusões)? Procura (e de que modo)

envolver os alunos de modo a integrar as suas contribuições no curso da aula? Que

expectativas tem do desempenho e das capacidades dos seus alunos, quando pensa

nas tarefas? Como pensa certificar-se das aprendizagens que os alunos realizaram?

(Q2) Como conduz em sala de aula o processo de ensino e a aprendizagem, neste

domínio, tendo em conta as várias dimensões do conhecimento (CM, CC e CAA) que

ele precisa para ensinar.

Nas aulas (aspectos gerais):

Como conduz o processo de ensino e aprendizagem? Explica primeiro a „matéria‟ e

depois dá exercícios/problemas no quadro? Que tipo de aulas faz (exposição da

matéria –> exemplo guiado –> exercício/problema -> correcção; apresentação de

tarefa baseada em ideia ou ficha –> envolvimento dos alunos em trabalho em grupo -

> apresentação de soluções dos alunos -> discussão e síntese; outras modalidades

...)? Que preocupações especiais tem e como lida com os aspectos de motivação dos

alunos? E com eventuais situações de dispersão, desatenção, indisciplina, ...?

Como relaciona diferentes aspectos da Aritmética e da Ágebra, potenciando a

aprendizagem desta última? Como integra as TIC e como valoriza o seu papel na

aprendizagem? Como e para que dá a palavra aos alunos? Como gere as interacções


138

na sala de aula? Como gere o tempo entre o trabalho individual, o trabalho em

pequeno grupo e o trabalho com toda a turma? Como integra as contribuições dos

alunos no normal decurso da aula? Que diferentes estratégias usa de modo a

esclarecer dúvidas dos alunos e a clarificar os conceitos? Como organiza e sistematiza

as contribuições dos alunos na resolução das tarefas? Que aspectos relevantes

(episódios) destaca da sua intervenção nas aulas (no que respeita aos aspectos

curriculares, aos aspectos de gestão da comunicação e aos processos de

aprendizagem dos alunos) e porquê?

Nas aulas (CM):

Como conduz a aprendizagem dos conceitos (como envolve os alunos na exploração

das tarefas, como os explica e sistematiza, como promove a aprendizagem, ...) e

como os relaciona? Como mostra flexibilidade na mudança de rumo da aula face a

dúvidas ou sugestões/respostas dos alunos?

Como mobiliza os diferentes conteúdos da Aritmética e da Álgebra, como os relaciona

e como „passa de uns aos outros‟? Como usa as propriedades dos números e das

operações, as relações, a generalização e as conexões, para desenvolver o

pensamento algébrico? Como desenvolve processos de algebrização das tarefas?

Nas aulas (CC):

Que aspectos sobressaem nas estratégias de exploração dos NA e das TIC nas aulas?

Onde se centram as dificuldades dos alunos e como é que o professor procura superá-

las? Como desevolve as relações entre a Aritmética e a Álgebra e os processos de

generalização? Como mantém o significado no trabalho algébrico? Como usa as

múltiplas representações para melhorar a compreensão dos alunos? Como aproveita

as potencialidades da tecnologia (dinamicidade e interactividade; gerar múltiplos

valores relacionados; construir modelos; elaborar simulações e ver implicações;

facilitar a elaboração de conjecturas) no processo de ensino e aprendizagem?

Nas aulas (CAA):

O lugar e o tempo que reserva à exposição (apresentação e explicação da tarefa)

sobre um tema ou conceito, no global da aula? A forma como „põe os alunos a

trabalhar‟? O papel dos problemas, das tarefas de investigação e dos exercícios e o

seu estatuto no ‟garante‟ da aprendizagem? A cultura da sala de aula? Os diferentes

tipos de comunicação na sala de aula e a sua relação com a aprendizagem? A forma

como identifica as dificuldades dos alunos e os caminhos que traça para as superar,

tendo em conta as diferentes formas de compreensão – instrumental e relacional - da


139

matemática e as diferentes formas de conhecimento envolvido nas actividades

matemáticas da sala de aula – algorítmico, formal e intuitivo? Que aspectos valoriza

no trabalho dos alunos? A forma como vê as concepções dos alunos, nomeadamente,

como evolui a aprendizagem dos conceitos, o papel dos erros, a sua origem e como

estes se podem transformar em conhecimento? Reconhece diferenças entre as

expectativas que tem dos alunos e aquilo que eles realmente são capazes de fazer?

(Q3) Quais os factores de influência na construção do conhecimento didáctico, em

particular, nas opções curriculares e didácticas que faz e nas práticas de ensino, para


(a) O papel do seu percurso profissional (PP)?

Qual o papel do seu percurso profissional na construção do seu conhecimento

didáctico (nas opções que faz e na prática que desenvolve)?

Na entrevista e, eventualmente, nas sessões da equipa:

Como se forma o seu eu pessoal e profissional? Experiências formais relevantes na

escola básica e secundária (como estudante), na formação inicial de professores

(como estudante) e na formação contínua e pós-graduada? Experiências informais

relevantes no seu percurso de vida com um sentido „didáctico‟? Como acha que

aprende e como aprendeu? Que imagem tem de si e dos outros? Como escolheu a

profissão e que imagem tem dela?

Que aspectos mais significativos do seu percurso profissional, influenciaram a forma

como aborda os Números, a Álgebra e as suas relações e como integra

curricularmente as tecnologias nestes domínios?

(NA) Cursos/acções ou Projectos em que participou sobre Números e Álgebra?

Leituras de livros (científicos, didácticos, ...) sobre os temas? Auto-aprendizagem:

resolução de problemas, exploração de actividades de investigação, resolução de

exercícios e tarefas nestes domínios?

(TIC) Cursos/acções sobre tecnologias em que participou (gerais, na educação, na

educação matemática, ...)? Percurso de auto-aprendizagem com a tecnologia? O

acesso à tecnologia (em casa, na escola, noutros espaços, ...)? Como lida com as

ferramentas de produtividade de uso corrente? Como lida com as ferramentas

específicas para o ensino da Matemática (usa-as para explorar, conhecer, preparar

aulas ou como ferramentas para preparar tarefas e para usar com os seus alunos)?


140

Importância dos programas, das orientações curriculares e dos materiais de apoio

curricular, na disponibilidade para encarar novas abordagens dos temas Números e

Álgebra e das suas relações e para integrar curricularmente as TIC?

(b) O papel dos contextos profissionais (CP)?

Qual o papel dos contextos na construção do seu conhecimento didáctico (nas opções

que faz e na prática que desenvolve)?

Na entrevista e, eventualmente, nas sessões da equipa:

Contextos de trabalho estimulantes em que participou e „marcas‟ que deixou: escolas

onde esteve/está, trabalho no seu grupo pedagógico, alunos/turmas que teve,

experiência do estágio, cursos/acções que frequentou, projectos em que participou,

ideias e materiais de encontros/congressos em que participou e participação em

actividades com os seus alunos fora da sala de aula?

Importância da sua participação em espaços associativos de natureza profissional ou

outros? Espaços de reflexão e de colaboração em que teve oportunidade de participar,

como professor e/ou como formador de professores e sua contribuição para o seu

conhecimento profissional?

Como prepara normalmente materiais para as aulas? Principais fontes de inspiração

(leitura de livros científícos, didácticos, manuais escolares, leitura do programa,

discussão/partilha com colegas)? Processo individual ou em grupo? Como articula as

contribuições do grupo, com as suas opções individuais?

No seu percurso profissional, que contextos identifica como sendo (ou tendo sido)

facilitadores ou inibidores de novas opções curriculares, abordagens metodológicas ou

do uso curricularmente integrado das TIC nas aulas? Que influências reconhece de

diferentes contextos (colegas do grupo pedagógico, grupos de trabalho e/ou projecto,

direcção da escola, meio/pais/comunidade, …) nas práticas? Que relação entre as

ideias expressas no trabalho de discussão e elaboração das tarefas (as suas

concepções e crenças) e as práticas?

Nas suas experiências de inovação curricular no âmbito dos NA e suas relações e no

trabalho com as TIC, com vista a promover a aprendizagem de conceitos

matemáticos, quais as que resultaram de um investimento estritamente pessoal e

individual e quais as que decorreram de algum trabalho em equipa? Quais as

diferenças que identifica nos dois tipos de trabalho?


141

(c) O papel da sua participação numa equipa de trabalho colaborativo, apoiada por

uma plataforma de gestão de aprendizagem a distância (EC)?

Já integrou experiências de trabalho colaborativo presencial? E de trabalho

colaborativo a distância? E em regime misto? Em particular, que potencialidades e

limitações reconhece a este trabalho colaborativo, nas suas duas dimensões

(presencial e a dsitância)?

Que potencialidades e limitações reconhece às plataformas de gestão de

aprendizagem nos seus processos de formação (como professora e como formadora)?

Como repositório de materiais? Como espaço de comunicação síncrona e assíncrona?

Que potencialidades e limitações reconhece às plataformas de gestão de

aprendizagem para o trabalho com os seus alunos?

Nas sessões da equipa (presenciais e a distância):

Qual o papel que assume na preparação das tarefas (nível de iniciativa, grau de

abertura, …)? Traz ideias e tarefas (da sua autoria; adaptadas de manuais; que já

experimentou)? Diferenças entre participação presencial e a distância? Como encara

as propostas dos outros e como vê as sugestões e comentários às suas propostas?

Como articula as contribuições do grupo com as suas ideias pessoais, de modo a

chegar a uma proposta de trabalho final?

3ª versão

Organização 18.Janeiro.2008


142

Anexo 3 – Documento para uma gestão do programa que contribua para o

desenvolvimento do pensamento algébrico com a utilização das TIC


143

Ideias orientadoras para a elaboração de tarefas sobre pensamento algébrico,

usando as potencialidades das TIC, tendo em conta o actual Programa do 7º ano

(temas/conteúdos) e o novo (orientações metodológicas) e o que dizem a

investigação e os documentos de orientação curricular nacionais e internacionais,

nestes domínios.

Programa actual

Identificação de temas, conteúdos e algumas sugestões metodológicas, em paralelo

com questões do pensamento algébrico que possam ser desenvolvidas no contexto

do programa actual.

Temas, objectivos, sugestões … Questões do pensamento

algébrico

1. Conhecer melhor os números (primos,

múltiplos, divisores, quadrados perfeitos,

potências, raiz quadrada, raiz cúbica, …)

Descobrir propriedades e relações; resolver

problemas com números e procurar a

generalização; critérios de divisibilidade;

decomposição dos números e uso das

propriedades; expressões com variáveis –

tradução de problemas

Diferentes formas de representação

(tabelas, gráficos, linguagem

natural e simbólica) e transitar de

umas a outras;

A variável como quantidade a variar

e números generalizados;

Regularidades;

O sinal de igual como expressando

relações e equivalências;

O significado das expressões;

Expressões equivalentes (a partir

das várias „leituras‟ de um padrão);

2. Proporcionalidade directa

Preparar a proporcionalidade geométrica;

preparar o conceito de função; tabelas e

gráficos cartesianos; problemas de

percentagens, escalas e câmbios; constante

de proporcionalidade; exemplos de

situações do quotidiano (escalas, espaço-

tempo; perímetro-raio; área-raio)

Importância do significado;

Modelação;


(tabelas, gráficos, linguagem

natural e simbólica) e transitar de

umas a outras.

3. Semelhança de figuras

Proporcionalidade geométrica – semelhança;

ampliações e reduções; razões de

semelhança (problemas de distâncias no

mapa – escalas).


144

4. Números racionais

Cálculo mental, à mão e com a tecnologia

(uso das propriedades dos números e das

operações); Potenciação ak; Traduzir

situações de uma linguagem para outra.

Trabalho com números procurando

relações; as quasi-variáveis;

Modelação.

5. Estatística

Formas de representação (tabelas e

gráficos)


e transitar de umas a outras

6. Do espaço ao plano

7. Equações

Partir de problemas; princípios de

equivalência

Importância do significado;

Modelação;

Expressões equivalentes;

7Conexões equações – funções

(abordagem funcional às

equações);

Importância das notações

intermédias (descrições verbais,

representações icónicas de

quantidades) na resolução de

problemas de Álgebra;

Modelo das balanças (applets).

Novo Programa (7º ano)

(Temas identificados a partir dos Percursos Temáticos de Aprendizagem A ou B)

Temas/tópicos:

Números inteiros (propriedades, potências, raízes quadradas e cúbicas).

Sequências e regularidades (termo geral e representação).

Funções e gráficos de funções. Proporcionalidade directa como função.

Equação do 1º grau.

Noção de semelhança.

Ideias do Novo Programa (3º ciclo), a pensar nas tarefas

Álgebra

No 3.º ciclo, alarga-se e aprofunda-se o estudo das relações, nomeadamente da

proporcionalidade directa e introduz-se a proporcionalidade inversa, ambas

7 Problemas das caixas de doces e das carteiras; problema do perímetro do campo


145

trabalhadas como funções. A partir do estudo de sequências iniciado anteriormente,

representa-se simbolicamente o termo geral. Estudam-se as equações do 1.º e 2.º

graus e sistemas de equações do 1.º grau, e introduzem-se as inequações e

funções associadas à modelação de situações da realidade.

(…)

Propósito principal de ensino

Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébricos, bem como a

capacidade de interpretar, representar e resolver problemas usando procedimentos

algébricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na exploração e

modelação de situações em contextos diversos.

(…)

Indicações metodológicas

Abordagem. Tendo em vista o desenvolvimento do pensamento algébrico dos

alunos, propõe-se neste ciclo o estudo de relações de diversos tipos (equações,

inequações e funções) e da variação, bem como o trabalho com tarefas que

envolvam actividades de simbolização e de modelação. No desenvolvimento dos

conceitos e procedimentos algébricos é importante que sejam proporcionadas aos

alunos experiências informais antes da manipulação algébrica formal (por exemplo,

na resolução de equações, sistemas de equações e inequações) (…)

A aprendizagem das operações com monómios e polinómios, e da simplificação de

expressões algébricas, deve ser progressiva e recorrer a situações que permitam

aos alunos compreender a manipulação simbólica envolvida, por exemplo,

efectuando cálculos a partir de expressões algébricas substituindo as letras por

valores numéricos. É conveniente usar expressões algébricas para representar

problemas, usando letras para designar incógnitas ou variáveis, e introduzir

expressões com variáveis ligadas a um contexto. O conceito de variável, pela sua

complexidade, justifica que os alunos explorem situações variadas em que surjam

letras (nomeadamente, em equações e fórmulas) e discutam os seus significados.

Na resolução de equações, os alunos devem fazer uma transição progressiva da

linguagem natural para a linguagem matemática.

Neste ciclo retoma-se a investigação de sequências e regularidades, já realizada

nos ciclos anteriores, com vista a aprofundar o estudo de relações algébricas e sua

simbolização, fundamental para o desenvolvimento da noção de variável e para a

compreensão da linguagem algébrica.

Tarefas e recursos. As tarefas a propor aos alunos devem privilegiar a resolução de

problemas e a modelação de situações, usando conceitos e procedimentos

algébricos de complexidade crescente, sem perder de vista a consolidação dos

procedimentos algébricos de rotina. O computador (por exemplo, com a folha de


146

cálculo) é um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de relações

entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos, na realização de tarefas de

exploração e investigação e na resolução de problemas.

Conceitos específicos. Neste ciclo, uma função é estudada essencialmente como

relação entre variáveis (…) Deve recorrer-se às várias representações (algébrica,

gráfica e tabular) de uma função na interpretação e resolução de problemas e na

modelação de situações. As funções cujo estudo se propõe (linear, afim, do tipo y =

k/x e quadráticas simples) devem ser exploradas como ferramentas de modelação

em situações diversas. (…)

Algumas notas sobre as capacidades transversais (pp. 62-63)

O programa destaca três capacidades transversais a toda a aprendizagem da

Matemática: a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação

matemática.

A Resolução de problemas

Ser capaz de resolver e de formular problemas, e de analisar diferentes

estratégias e efeitos de alterações no enunciado de um problema. É

simultaneamente um objectivo de aprendizagem e uma actividade para a

aprendizagem de conceitos.

O Raciocínio matemático

Envolve a formulação e teste de conjecturas e, numa fase mais avançada, a

sua demonstração. Os alunos devem compreender o que é uma generalização, um

caso particular e um contra-exemplo.

Além disso, o raciocínio matemático envolve a construção de cadeias

argumentativas que começam pela simples justificação de passos e operações na

resolução de uma tarefa e evoluem progressivamente para argumentações mais

complexas, recorrendo à linguagem dos Números, da Álgebra e da Geometria.

No fim do 3.º ciclo, os alunos devem ser capazes de distinguir entre raciocínio

indutivo e dedutivo e reconhecer diferentes métodos de demonstração.

A Comunicação matemática

Envolve as vertentes oral e escrita. O aluno deve ser capaz de expressar as suas

ideias, mas também de interpretar e compreender as ideias que lhe são

apresentadas e de participar de forma construtiva em discussões sobre ideias,

processos e resultados matemáticos.

A comunicação oral tem lugar tanto em situações de discussão na turma como no

trabalho em pequenos grupos, e os registos escritos, nomeadamente no que diz

respeito à elaboração de relatórios associados à realização de tarefas (…)

promovem a comunicação escrita. O desenvolvimento da capacidade de


147

comunicação por parte do aluno, é assim considerado um objectivo curricular

importante e a criação de oportunidades de comunicação adequadas é

assumida como uma vertente essencial no trabalho que se realiza na sala de aula.

Ideias da investigação e documentos de orientação curricular (nacionais e

internacionais) sobre Álgebra e pensamento algébrico

Recentemente valorizou-se uma abordagem funcional, a modelação (esta

valorizada com a tecnologia) e as múltiplas representações

Trabalho com números procurando relações (as quasi-variáveis)

As letras como números generalizados

Importância do significado (das expressões)

As expressões equivalentes (p. ex., a partir das várias „leituras‟ de um padrão)

O sinal de igual como expressando relações e equivalências (não é unidireccional)

Importância das notações intermédias (descrições verbais, representações icónicas

de quantidades) dos alunos na resolução de problemas de Álgebra.

Nota: importante desenhar situações de aprendizagem sistemáticas

Nota: uma proposta do movimento da EA (Early Algebra)8 é repensar, desde os

primeiros anos de escolaridade, as relações entre a Aritmética e a Álgebra,

considerando a primeira, parte integrante da segunda (por exemplo, pensando as

relações entre as diferentes operações aritméticas e o recurso às inversas na

resolução dos problemas de Álgebra; deslocar-se do cálculo de respostas numéricas

para a descrição e representação de relações entre variáveis).

Ideias da investigação e documentos de orientação curricular sobre as TIC

A tecnologia, cujas duas características fundamentais são a interactividade e a

dinamicidade, facilita: as múltiplas representações (simbólica, numérica, gráfica e

linguagem natural) e a transição de umas para outras; o apoio à modelação

(construção e exploração), fazendo emergir o raciocínio algébrico; convida à

conjectura e à exploração … mas a qualidade das tarefas, o ensino e o ambiente de

aprendizagem são decisivos.

A folha de cálculo (FC) é importante para: trabalhar as letras como números

generalizados (a FC trabalha com números e põe em evidência relações; é um

interface natural entre os Números e a Álgebra); confirmar a equivalência entre

8 De uma forma sintética, este movimento assume que as razões das dificuldades dos alunos

na Álgebra residem na forma como a Aritmética foi abordada, pelo que propõem uma nova

abordagem da matemática elementar, desde os primeiros anos de escolaridade.


148

expressões, através da produção de resultados numéricos; a investigação/análise

da variação, dada a sua orientação funcional; a abordagem das equações através

das funções, estabelecendo conexões; modelar fenómenos que possam ser

descritos através de regras recursivas, difíceis de escrever explicitamente.

A FC é um recurso tecnológico importante no desenvolvimento do pensamento

algébrico, uma vez que permite realizar com rapidez experiências com números e

pôr em evidência relações numéricas (Novo Programa, p. 40).

Um problema a ter em conta, no trabalho com padrões e com tabelas,

nomeadamente com a FC (principalmente quando se prepara o trabalho com

funções): os alunos trabalharem apenas numa variável, trabalharem em coluna

sem procurarem perceber a relação entre as variáveis (entre colunas). Na FC,

tendem a fazer um preenchimento em coluna (escalar), não relacionando uma

coluna com a outra (funcional).

Organização de: José Duarte

03. Novembro.2008


149

Anexo 4 – Documento de reflexão sobre a aprendizagem da folha de cálculo

versus a aprendizagem da matemática


150

Aprendizagem de matemática … e aprendizagem da folha de cálculo

Pequena contribuição teórica …

Maria Blanton e James Kaput, dois dos principais impulsionadores do pensamento

algébrico, definiam-no como ”um processo no qual os alunos generalizam ideias

matemáticas a partir de informação particular, estabelecem estas generalizações

através do discurso da argumentação e expressam-nas sob formas

progressivamente mais formais”.

Os mesmos autores reconhecem que este “raciocínio algébrico pode tomar várias

formas, incluindo: (i) o uso da Aritmética como um domínio para expressar e

formalizar generalizações; (b) generalizando padrões numéricos para descrever

relações funcionais; (c) modelando como um domínio para expressar e formalizar

generalizações; e (d) generalizando acerca de sistemas matemáticos abstraídos de

cálculos e relações”.

O que parece estar no centro deste processo de desenvolvimento do pensamento

algébrico? O processo de generalização e de progressiva formalização da

generalidade e o pensamento funcional, através de caminhos onde a conjectura e a

argumentação têm um lugar destacado.

Algumas questões práticas

Reflectir sobre aspectos do pensamento algébrico presentes no nosso trabalho com

regularidades e folha de cálculo, de modo a poder preparar as boas questões que

promovam compreensão e aprendizagem da Matemática.

Indicação a escrever no quadro

Atenção! Uma fórmula começa sempre com o sinal de igual!

A FC valoriza o pensamento recursivo (recorre ao termo anterior para chegar ao

seguinte) e isso deve ser reconhecido que, para alguns problemas, constitui a única

forma de os abordar no ensino básico. É o caso do crescimento exponencial na

modelação, visível no problema das dobras da folha da Terra à Lua ou no problema

dos mealheiros (para o caso da opção de poupança de crescimento geométrico).

No entanto, se queremos promover e desenvolver o pensamento funcional,

devemos procurar tornar explícita a variável independente, no caso das sequências,

a ordem ou posição. Nos problemas de padrões, o que normalmente está presente


151

é exclusivamente o termo em si, a variável dependente e o que domina é o

pensamento recursivo (o que vem a seguir?!), que leva no uso da FC ao

preenchimento em coluna („pegar e arrastar‟ onde está a fórmula) e na observação

das tabelas olhando cada uma das colunas independentemente,

Ter presente: há sempre duas variáveis! Ir sempre falando, associando e

distinguindo a ordem ou posição e o termo em si.

Nesta sequência, na ficha Trabalho de casa: sequências com Excel

Quando na questão 5) se pede para descrever como é construída qualquer figura

da sequência, incentiva-se a procura de várias expressões equivalentes. Estas

várias „leituras‟ devem ir identificadas para a aula para poderem ser apoiadas e

destacadas no caso de aparecerem ou de serem sugeridas/provocadas, caso não

surjam naturalmente.

Uma leitura possível será, a base (2) mais a ordem (a outra perna do L invertido na

horizontal) 2 + n. Quantas mais haverá?

Uma questão que pode ser colocada a um grupo de alunos, após terem um tempo

para resolver a questão 5) é Nesta sequência, o que se mantém fixo e o que varia?

Com a questão 6 pretende-se que usem a FC para traduzir e generalizar o seu

processo de pensamento, ou seja, a forma como pensaram.


152

No entanto, a passagem “e outra coluna onde deve surgir o número total de bolas

em cada posição, em função desse número de ordem” pode conduzir a uma fórmula

única tipo n+2, sem atender às diferentes leituras.

Aqui nesta questão 6) pode agora verificar-se porque são as diferentes expressões

descobertas em 5) equivalentes: substituindo os vários valores numéricos (da

ordem), obtém-se sempre o mesmo resultado e do ponto de vista algébrico podem

converter-se umas nas outras por simplificação (um trabalho que pode ser

desenvolvido … a tal formalização progressiva).

Após a questão 6 resolvida, pode sugerir-se que cada grupo escreva uma expressão

simbólica (com um símbolo no „lugar‟ onde varia, que pode tomar vários valores)

que traduza a relação para determinar o número de bolas de uma figura de

qualquer ordem. Deixar a cada grupo a escolha do símbolo e talvez negociar no fim

um mais adequado ou consistente.

Extensão ou aprofundamento da tarefa

(soma dos ímpares consecutivos e quadrados perfeitos)

Indicação: clarificar logo de início o que se entende com a soma dos primeiros

ímpares consecutivos, porque pode haver confusão, pensando em 1+3; 3+5; 5+7

… sem ter em conta que se trata de uma soma acumulada dos (x, n ??) primeiros

ímpares consecutivos.

Talvez começar por pedir:

A soma dos dois primeiros … 1+3

A soma dos três primeiros … 1+3+5

E, em seguida, alterar a pergunta: Como calculas a soma dos primeiros quatro

ímpares consecutivos, a partir da soma dos 3 primeiros? E a soma dos cinco

primeiros, a partir da anterior … e assim sucessivamente?

Antes de partir para a FC deve ser dado um tempo, discutindo e pedindo um

esquema de apoio (a importância das representações intermédias dos alunos), que

ajude a ver como se forma a sequência com duas colunas (ver exemplo abaixo)


153

A discussão e os apoios devem ser no sentido de criar

uma soma acumulada (na coluna da direita) à qual se

junta cada novo ímpar (coluna à esquerda).

Após a identificação da relação e escrita da fórmula, deve

ser dado um tempo para observarem o tipo de números

que se obtém. Pode não ser fácil aparecer a fórmula

esperada, uma vez que a tendência vai ser somar dois,

depois três, depois quatro termos, e assim

sucessivamente, o que não faz surgir qualquer

regularidade que possa ser copiada.

Que tipo de números estamos em presença?

Poderão estes números ser obtidos de uma outra forma?

Após algum tempo para pensar e discutir em

pequeno grupo deve ser fornecida uma

imagem geométrica do que está a acontecer

(imagem ao lado)

Endereços, fórmulas, variáveis e expressões com variáveis

Uma pergunta a colocar: Como se obtém a sequência constituída pelos números de

ordem, a partir do 1, ou seja:

(a) como se obtém o 2º termo?

(b) como se obtêm, todos os outros?

Nota: isto deve ser explicitamente identificado como um processo recursivo.

Afinal o que é B2? Um endereço de uma célula!

Mas o que representa matematicamente? Uma variável?

E quando eu escrevo em B3, por exemplo, =B2+1, o que é isto? Uma fórmula! Mas

o que representa matematicamente? Uma expressão com variável?


154

Reflectir sobre o slide9 com uma citação dos investigadores Yerushalmy e Chazan

(2003) relativamente ao trabalho com endereços na folha de cálculo e sua relação

com os conceitos de variável e incógnita.

E se agora voltarmos à primeira página, será que encontrámos nas questões

práticas aqui contempladas, as ideias teóricas sobre pensamento algébrico

referidas?

Organização de José Duarte, 13 de Novembro de 2008

(apoio à preparação das aulas com FC e às sessões de trabalho colaborativo)

9 Retirado de um conjunto de slides da investigação e de documentos de orientação

curricular sobre as potencialidades das TIC na aprendizagem da Matemática


155

Anexo 5

Recursos (applets e vídeos) na Internet sobre pensamento algébrico

1) Indicados na publicação Sheffield, L. J. e Cruikshank, D. E. (2005). Teaching

and Learning Algebra. In Teaching and Learning Mathematics – Pre-Kindergarten

Through Middle School (pp. 303-329). USA: Jossey – Bass Education.

Number Cruncher

(weblink 10.5: http://shodor.org/interactivate/activities/NumberCruncher/)

Applet em que, dado o input o programa calcula o output, coloca-o numa tabela e

aguarda que se descubra a expressão geral.

Mistery Operations

(weblink 10.6: http://www.learner.org/teacherslab/math/patterns/mystery/)

Applet em que, dados dois inputs (a e b) o programa devolve um resultado que foi

encontrado através da combinação de operações sobre os inputs (uma expressão

em a e b). O objectivo é encontrar a expressão.

2) Vídeos educativos no Youtube

Number sequences

(vídeo no Youtube: http://www.youtube.com/watch?v=Z1jIh65ytzk)

Um vídeo em que um professor, mostra alguns termos de duas sequências, e

explica como se geram os sucessivos termos e as suas relações.

The nth term of a linear sequence

(video no Youtube: http://www.youtube.com/watch?v=6b6MkgcQM28)

Vídeo que explica, dados alguns termos de uma sequência e a respectiva

representação gráfica, através da manipulação de dois cursores que controlam

respectivamente o declive e a ordenada na origem da representação linear (uma

recta que representa a expressão geral da respectiva sequência) como se podem

gerar esses termos e sobrepor o respectivo gráfico.

Site com o respectivo applet: www.waldomaths.com.

3) Sequências e equações no site waldomaths

Simple sequences – sequências lineares (11-16 anos)

http://www.youtube.com/watch?v=Z1jIh65ytzk

http://www.youtube.com/watch?v=6b6MkgcQM28

http://www.waldomaths.com/


156

http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmks3/linseq1.htm ou, no novo site, em

http://www.waldomaths.com/Linseq1NL.jsp

Applet em que são dados alguns termos de uma sequência e a respectiva

representação gráfica. O programa disponibiliza então dois sliders que controlam

respectivamente o declive e a ordenada na origem da representação linear (recta)

que o utilizador pode controlar, gerando a expressão do termo geral e visualizando

em simultâneo os termos da sequência e a sua representação gráfica.

Equations 1 – equações simples (11-16 anos)

http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmks3/Equation2.htm ou, no novo site, em

http://www.waldomaths.com/Equation2NL.jsp

Applet que permite explorar a resolução de equações do 1º grau (com 5 níveis de

dificuldade) com a incógnita num só membro ou nos dois membros. Pode adicionar-

se ou subtrair-se a ambos os membros um termo semelhante em x ou adicionar,

multiplicar ou dividir por qualquer número inteiro.

4) Matchbox no Centro de Excelência (NCETM) de Celia Hoyles

Applet indicado a partir do site do National Centre for Excellence in the Teaching of

Mathematics (NCETM – Celia Hoyles), procurando em Resources – applets algebra.

http://cme.open.ac.uk/applets/Matchbox.html

Resolução de equações através do trabalho com match boxes (caixas de fósforos),

com 5 níveis de dificuldade, conforme existe uma ou mais match box e apenas num

ou nos dois membros da equação. Cada match box contém um determinado

número de fósforos que se determina operando em cada um dos membros da

equação, servindo-se de operadores de adição/subtracção ou de divisão sobre os

objectos ou sobre a expressão simbólica algébrica. A caixa de fósforos desempenha

o papel da variável contendo um número ainda não conhecido (a incógnita) de

fósforos. Permite alternar entre a representação icónica e algébrica na resolução

das equações e rever os passos seguidos na resolução.

5) Applets no Instituto Freudenthal

Em http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/ escolher algebra & calculus (all age groups ou

middle school – graus 7-8): encontra vários applets sobre equações, expressões

algébricas, geometria analítica, sequências numéricas, funções, gráficos, etc.

Exemplos:

http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmks3/linseq1.htm


http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmks3/Equation2.htm

http://www.waldomaths.com/Equation2NL.jsp

http://cme.open.ac.uk/applets/Matchbox.html

http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/


157

Algebra arrows: permite a construção de modelos para as expressões algébricas e

respectiva visualização gráfica e em tabela.

Spotting numbers: permite a construção de padrões de pontos.

Spotting numbers problems: a partir de sequências de pontos pré-definidas, vai

colocando um conjunto de questões – termo ou figura seguinte, termo geral, …

Solving equations with balance-strategy: permite resolver equações usando os

princípios de equivalência, recorrendo a diferentes operadores que o programa

disponibiliza e permitindo a „entrada‟ de valores numéricos pelo utilizador; permite

também construir a nossa própria equação.

Geometric Algebra 1D: permite a construção de expressões algébricas, atribuindo

valores às variáveis e comparando-as.

Algebra trees: permite a construção de modelos de expressões aritméticas e

algébricas, em árvore, visualizando e comparando gráficos e tabelas.

True markers: permite a resolução de equações através da substituição directa de

valores na expressão.

Geometric algebra 2D Problems 1: permite a simplificação de expressões algébricas

com parêntesis, por utilização das propriedades das operações, com o apoio num

modelo geométrico rectangular.

Geometric algebra 2D Problems 2: permite a factorização de expressões algébricas,

com o apoio num modelo geométrico rectangular.

Graphs: dois applets que oferecem um conjunto de gráficos diferentes, acerca dos

quais se colocam 4 questões de interpretação, dando sentido a uma história, em

que o utilizador pode escolher entre um conjunto de opções em cada pergunta.

Area algebra: permite a prática de skills algébricos, desenvolvendo e factorizando

expressões, com o apoio num modelo geométrico rectangular.

Enlargement: permite trabalhar a semelhança de figuras, alterando

proporcionalmente as dimensões de um rectângulo que as enquadra e averiguando

a relação entre as respectivas áreas dos rectângulos.

Nota: este site dispõe de um pequeno conjunto de applets sobre álgebra, já

traduzidos para português, em http://www.fi.uu.nl/en/pt/.

6) Interactive Algebra no MathsNet

Encontra no site do MathsNet (em www.mathsnet.net), seleccionando algebra, um

conjunto de recursos interactivos (embora do tipo demonstrativo) sobre sequências

http://www.fi.uu.nl/en/pt/

http://www.mathsnet.net/


158

(próximo termo, termo geral, método das diferenças), funções dados objecto e

imagem, encontrar a regra) e equações (colocar em equação problemas de

palavras ou aplicar princípios de equivalência). Por exemplo, permite-nos definir o

1º termo de uma sequência e a regra de crescimento e seguidamente ele mostra-

nos, passo a passo, como se chega ao termo geral (método das diferenças).

No entanto, se escolher no mesmo directório da álgebra, o menu Activities, pode

aceder a um conjunto de applets, estes efectivamente interactivos, sobre diferentes

actividades algébricas (balance, algebra charts, sequences, etc.). Parte destes

applets, estão associados a sites de referência como o wisweb do Instituto

Freudenthal.‟, já referidos anteriomente.

7) National Library of Virtual Manipulatives (Utah State University)

(http://nlvm.usu.edu/en/nav/)

Applets para Grades 3-5

Algebra tile: oferece um conjunto de pequenos rectângulos, representando

monómios (x, y, x.y, 1, 5, …) que podemos arrastar para uma área de trabalho,

colocando-os na horizontal ou na vertical, ficando assim a constituir os factores de

um produto. A área que representa o produto aparece de imediato assinalada na

área de trabalho e agora trata-se de arrastar os diferentes produtos parciais, até

encher por completo a área referida. De forma inversa, podemos também partir da

área de trabalho e procurar os respectivos factores (factorização).

Colour Patterns: permite continuar padrões, usando combinações de contas de cor.

Grapher: permite representar gráficos de funções (lineares, quadráticas, etc.),

dependentes de parâmetros a, b e c, aos quais podemos atribuir valores e depois,

manipular por acção sobre um cursor e visualizar os efeitos gráficos.

Pattern blocks: permite agrupar figuras geométricas, criando os nossos próprios

padrões, reproduzi-los através de um processo de clonagem e depois juntá-los,

procurando eventualmente pavimentar o plano.

Applets para Grades 6-8

Algebra balance scales – negatives: permite criar e resolver equações do 1º grau

em x, usando o modelo da balança, arrastando os termos para os respectivos

pratos (membros) e posteriormente, resolvê-la, aplicando os princípios de

equivalência (adicionar, subtrair, multiplicar e dividir ambos os membros), até

isolar a incógnita (x) num dos pratos.

http://nlvm.usu.edu/en/nav/


159

Function Machine: apresenta uma máquina que pode receber valores (input) dados

e devolve valores de saída (output), segundo uma regra que desconhecemos e que

são colocados numa tabela. Quanto entendemos ter encontrado a fórmula de

transformação, podemos preencher os valores da tabela em falta.

Nota: este site disponibilizou recentemente, uma versão das aplicações applets,

que pode ser descarregada da Internet para funcionar de forma independente no

computador (grátis para experimentação durante 7 dias).

8) Applets no site Illuminations (NCTM)

(Em http://illuminations.nctm.org)

Grades 3-5 e 6-8

Pan Balance – Expressions: apresenta uma balança de pratos, em cada um dos

quais podemos escrever expressões numéricas ou algébricas (onde figura uma

incógnita – x). Ao mesmo tempo, temos acesso a um cursor que manipula

directamente o valor da variável x e que o substitui na expressão, fazendo oscilar

os pratos da balança para um e outro lado, de acordo com o seu „peso‟ (valor).

Simultaneamente, visualizamos um gráfico representando as duas relações

(funções) definidas pelas expressões em cada um dos pratos e que, ao manipular o

referido cursor, deixam um rasto no écran, permitindo visualizar a solução como o

ponto de intersecção dos 2 gráficos.

Pan Balance Shapes: apresenta uma balança de dois pratos e um conjunto de 4

formas diferentes que podem ser deslocadas para cada um dos pratos, gerando

(des)equilíbrios, de acordo com a relação entre os „pesos‟ de cada uma das formas

que desconhecemos. Quando os pratos atingem o equilíbrio, a relação de

equivalência surge registada na tabela. Se seleccionarmos o botão Count Items, ele

agrupa as formas iguais, „modelando‟ a manipulação algébrica, no que respeita a

agrupar os termos semelhantes.

Pan Balance Numbers: apresenta uma balança de dois pratos, em cada um dos

quais podemos introduzir uma expressão numérica. Quando a balança se encontra

em equilíbrio, estamos perante expressões equivalentes que aparecem de imediato

registadas na janela lateral Balanced equations.

Nota: o trabalho com este conjunto de applets (Balance) é importante para

„desfazer‟ a concepção errada de que o sinal de igual significa uma operação (ou

que a sua presença implica a produção de um resultado), em vez de indicar a

existência de uma relação que traduz uma equivalência. Nestes, como noutros,

http://illuminations.nctm.org/


160

applets, as instructions e explorations sugerem indicações de funcionamento e

abordagens que permitem aproveitar plenamente as potencialidades dos

programas, com vista a perseguir os objectivos de aprendizagem com que foram

desenvolvidos.

Chairs: permite simular o número de pessoas que se podem sentar à volta de

várias mesas num restaurante, variando o tipo de mesa, o número de mesas e a

forma da distribuição das mesmas. O programa tem dois modos de funcionamento:

exploratório ou, uma vez definida uma situação, pede uma resposta (e dá

feedback). Este applet pode ser importante para apoiar a análise da sequência de

pessoas que se podem sentar quando varia o número de mesas (em linha),

procurando a existência de regularidades.

Factorize: gera um número (permite a „entrada‟ do utilizador) e pede as

factorizações (com dois factores) possíveis desse número. Após o utilizador

escrever todas as factorizações reconhecidas, ele pede a sua representação gráfica

numa grelha quadriculada (rectângulo com as dimensões dos factores e área igual

ao produto deles).

Mistures: permite criar dois conjuntos de círculos, colori-los e a seguir combiná-los

e verificar se a percentagem dos coloridos no total se modifica ou mantém.

9) Referência do novo programa de Matemática (http://www.cut-the-knot.org)

Escolha actividades matemáticas interactivas (Interactive activities) e depois

Álgebra. Vale a pena explorar algumas actividades sobre sequências como, Sum of

consecutive integers is triangular, Sum of consecutive odd numbers is square, Sum

of consecutive triangular numbers is square, What’s the next? e problemas

traduzidos em equações, em Word Problems.

Organização de: José Duarte

22 de Setembro de 2008

http://www.cut-the-knot.org/


161

Anexo 6 – Alguns materiais de trabalho das sessões

6A – Sequências e mais sequências … (applet)

6B – (1) Problema das castanhas e (2) relato da professora sobre a

apresentação/discussão em sala de aula

6C – Problema das castanhas (com valores de referência)

6D – Problemas das caixas de doces e das carteiras

6E – Ficha quadrados e cubos perfeitos


162

Anexo 6A

Sequências e mais sequências …

Vamos continuar o nosso trabalho com as sequências de números mas agora temos

à nossa disposição um applet, programa interactivo com fins específicos e que

funciona na Internet.

Quando acederes ao applet, encontras um écran semelhante ao da figura 1.

fig.1

Instruções sobre o applet

Para criares uma nova sequência, que aparece escrita a branco, no topo do écran,

basta clicar no botão

No écran podes encontrar quatro zonas distintas:

(1) A zona das sequências (a branca, gerada pelo computador e a amarela, que tu

vais modificar até coincidir com a de cima);

(2) Por baixo, a zona dos deslizadores, que se movem com o rato e controlam os

números da tua sequência;

(3) Ao lado direito, a zona de representação gráfica, com os dois conjuntos de

pontos (brancos e amarelos), relativos a cada uma das sequências.

(4) Dentro da caixa rectangular, ao centro, a expressão que, em cada momento,

traduz a tua sequência (e que varia com os movimentos que fizeres sobre cada um

dos deslizadores).


163

Investigação: Como descubro a sequência com o applet?

Acede ao applet, no endereço http://www.waldomaths.com/Linseq1NL.jsp.

Usa o botão New Problem, até encontrares uma sequência só com números

positivos.

1.) Regista a sequência de números que seleccionaste e diz como estão

relacionados os seus elementos.

2.) Agora movimenta o primeiro deslizador (o de cima) e observa o que acontece

no écran (aos números da sequência e ao gráfico). Procura descrever o que faz este

deslizador.

3.) Agora movimenta o segundo deslizador (o de baixo) e observa o que acontece

no écran. Procura descrever o que faz este deslizador.

4.) Finalmente, procura agora chegar à sequência gerada pelo computador (a

branco), movimentando apenas o 1º deslizador. Conseguiste fazer coincidir a tua

sequência (a amarelo) com a dada? Os pontos do gráfico sobrepõem-se?

Se sim, regista a expressão que está dentro da caixa ao centro.

Se não, movimenta agora o 2º deslizador para conseguires o teu objectivo. Quando

o atingires, regista a expressão como foi referido anteriormente.

5.) Gera uma nova sequência em New Problem e regista os seus elementos na

ficha, para depois os explicares aos teus colegas: os termos da sequência e a forma

como crescem, o sentido (para a direita ou para a esquerda) dos movimentos que

fizeste com cada um dos deslizadores e porquê e a expressão final (YES!) na caixa.



164

Problema: Interpretar uma sequência obtida com o applet

Observa o écran da figura 2 e responde às questões justificando o teu raciocínio:

fig. 2

1.) Indica qual é a ordem do termo desta sequência que tem como valor o número

50.

2.) Será que é possível esta sequência ter um termo cujo valor é 70?

3.) O que distingue esta sequência da sequência dos múltiplos de 3 (sem o zero)?

Compara a expressão geradora dos múltiplos de 3, com a expressão da sequência

acima. O que concluis?

És capaz de representar graficamente10 um

esboço das duas sequências, de modo a

que se percebam os „seus andamentos‟?

10 Cada ponto do gráfico tem uma coordenada que é a ordem e outra que é o valor do termo. Na

sequência acima, o 1º termo que é 11, é representado pelo ponto de coordenadas (1,11). Como serão

as coordenadas do ponto que representa o 1º múltiplo de 3?


165

Anexo 6B (1ª parte)

ESCOLA BÁSICA DOS 2º E 3º CICLOS DE BEATRIZ Data: __/__/__

Ficha de Trabalho de Matemática TPC - Problema

Nome: Turma: Nº 7º Ano

O avô do Afonso tem um campo de castanheiros.

A produção de castanha em 3 anos consecutivos foi a seguinte:

1º ano: 1600 kg;

2º ano: 75% da produção do 1º ano;

3º ano: 5

6 da produção do 1º ano.

O avô do Afonso contou ao neto que tinha vendido 4

3 da castanha produzida

ganhando 5 310 euros e ofereceu-lhe, como prenda, 6

1 desse ganho.

1. Quantos quilos de castanha se produziram nestes 3 anos

consecutivos?

2. A que preço, o avô do Afonso, vendeu cada quilo de castanhas?

3. Qual foi a quantia que o avô deu ao seu neto?

Conheces a lenda de São Martinho?

Faz uma pesquisa na internet e regista o que encontrares.


166

Anexo 6B (2ª parte)

Relato de Beatriz (R1_B)

Uma aula de discussão do problema das castanhas

(aula não observada)

Na semana do S. Martinho preparei um problema sobre castanhas adaptado do

manual “Matemática em Acção” – 7º Ano da Lisboa Editora que envolvia diferentes

pré-requisitos: fracções, percentagens e regra de três simples. Entreguei-o aos

alunos e pedi que o resolvessem em casa.

Na aula de discussão, pedi aos alunos que relessem o problema individualmente e,

posteriormente, questionei-os sobre a sua interpretação. Claramente verifiquei que

o entenderam embora revelassem alguma dificuldade em comunicar o

entendimento do mesmo. Ajudei os alunos a registar os dados do problema no

quadro.

1ª Questão:

Solicitei a um aluno que resolvesse esta questão no quadro.

A primeira aluna fê-lo utilizando a regra de três simples, para calcular a produção

de castanha do 2º ano.

Outra propôs uma expressão numérica para calcular a produção dos 3 anos e

escreveu:

1600

5

6)160075,0(1600

Intervi, para explicar aos alunos como se utilizava a calculadora no cálculo de

percentagens e fiz alguns esclarecimentos sobre o funcionamento de algumas

delas.

Nesta situação, a produção do 2º ano também podia ser calculada da seguinte

forma:

%751600

Entretanto, num contexto de apresentação de diferentes raciocínios de resolução de

um mesmo problema, um aluno pede para falar porque tem ainda outro raciocínio.

Dirige-se ao quadro e escreve, explicando:

100% pode ser decomposto em 4 partes

100 : 4 = 25%

1600 : 4 = 400


167

Como 75% corresponde a 3 partes de 100%, a produção do 2º ano calcula-

se, fazendo: 400 x 3 = 1200 kg.

Ainda referiu que outra alternativa ao último cálculo era: uma vez que se

queriam 3 partes, bastava fazer: 1600 – 400 = 1200 kg.

No cálculo da produção de castanha do 3º ano, os alunos começaram por resolver

da maneira mais “clássica”:

16005

6

Mas, outro aluno pediu a palavra porque tinha outro raciocínio. Explicou que como a

produção estava dividida em 5 partes, dividiu 1600 por 5, para calcular uma parte

dessa produção e, em seguida, multiplicou por 6, pois era o pretendido.

Posteriormente, somaram-se as produções dos 3 anos.

2ª Questão:

Pedi aos alunos para lerem e interpretarem a questão e, em seguida, solicitei a um

aluno a explicação do mesmo à turma, revelando alguma dificuldade no significado

dos dados do problema. Perante este facto, de um modo geral, a turma estava

impaciente uma vez que era claro o pedido. Mas dei tempo ao aluno para reflectir e

orientei o seu raciocínio com questões relacionadas mais directamente com o seu

quotidiano.

Na 1ª fase desta questão, tive de salientar que o que se pretendia era conhecer o

preço de 1 kg de castanhas vendidas e não as produzidas. Assim, rapidamente me

responderam que bastava fazer como na questão anterior.

Na 2ª fase, o aluno revelou dificuldades em distinguir no problema, o dividendo e o

divisor. Desta forma orientei-o com a seguinte questão: “Se fores a uma papelaria

para comprar 4 canetas e pagares 1 euro no total, quanto custou cada caneta?” Ao

que o aluno respondeu: “4 a dividir por 1”. Procedi então ao esclarecimento desta

situação. A maioria dos alunos da turma não revelou aqui dificuldades.

3ª Questão:

Facilmente foi resolvida pelos alunos.

Uma vez que também solicitei uma pequena pesquisa sobre a Lenda de S.Martinho,

pedi que algum aluno se oferecesse para a contar à turma. Assim foi. No final da

aula ainda apareceram mais alunos com pesquisas da lenda, de lengalengas,

quadras e provérbios sobre esta festa. Solicitei-lhes a apresentação das mesmas

em cartaz para afixar na sala de aula.

Nota: relato realizado e enviado voluntariamente pela professora


168

Anexo 6C

Data: __/__/__

Ficha de Trabalho de Matemática TPC - Problema

Nome: Turma: Nº 7º Ano

O avô do Afonso tem um campo de castanheiros.

A produção de castanha em 3 anos consecutivos foi a seguinte:

1º ano: 1600 kg;

2º ano: 75% da produção do 1º ano;

3º ano: 4

5 da produção do 1º ano.

O avô do Afonso contou ao neto que tinha vendido 4

3 da castanha produzida ganhando 7 200

euros e ofereceu-lhe, como prenda, 6

1 desse ganho.

4. Quantos quilos de castanha se produziram nestes 3 anos

consecutivos?

5. A que preço, o avô do Afonso, vendeu cada quilo de castanhas?

6. Qual foi a quantia que o avô deu ao seu neto?

Conheces a lenda de São Martinho?

Faz uma pesquisa na internet e regista o que encontrares.


169

Anexo 6D

Ideias para modelação e trabalho com expressões, equações e funções

(numa perspectiva de desenvolvimento do pensamento algébrico)

Ideias adaptadas de …

Carraher D., Schliemann, A. e Schwartz, J. (2008). Early Algebra is not the same as

Algebra Early. In Kaput, J., Carraher, D. e Blanton, M. (Eds). Algebra in the Early

Grades (p. 235-272). LEA: New York.

Qual o sentido que os jovens (3º ou 4 ano) dão às variáveis e à variação em

matemática?

Problema 1 (Candie Boxes – As caixas de doces)

O professor David, exibe uma caixa de doces em cada mão: na mão esquerda, tem

os doces do João que estão todos dentro da caixa; na mão direita, tem os doces da

Maria e estes incluem os que estão na caixa e ainda três que restam e estão em

cima da caixa. Sabe-se que as caixas têm exactamente o mesmo número de doces.

A questão que todos são convidados a discutir é a seguinte: o que é que se sabe

acerca do número de doces que o João e a Maria têm?

Problema 2 (Wallet’ problem – Problema das carteiras)

Miguel tem 8 € na sua mão e o resto do seu dinheiro na carteira.

Rodrigo tem exactamente 3 vezes mais dinheiro do que Miguel tem na sua carteira

O que se pode dizer da quantidade de dinheiro que Miguel e Rodrigo têm?

Questões para reflexão:

Que conhecimentos matemáticos podem estar envolvidos na exploração destes

problemas?

Que abordagens didácticas poderemos fazer a estes problemas?

Que competências transversais poderemos mobilizar na sua exploração?

Que contribuições para o desenvolvimento do pensamento algébrico?

Que vantagens/potencialidades das TIC nestes problemas?

Organização de José Duarte, 17 de Dezembro de 2008


170

Anexo 6E

ESCOLA BÁSICA DOS 2º E 3º CICLOS DE BEATRIZ Data: __/__/__

Ficha de Trabalho de Matemática Quadrados e Cubos perfeitos

Nome: N.º:

Turma: 7º Ano

Sequências de Números

Nas actividades desta ficha explica o teu raciocínio recorrendo a palavras,

esquemas, cálculos ou símbolos.

Quando indicado, deverás também recorrer à Folha de Cálculo do Excel.

Quadrados Perfeitos

1. Considera a seguinte sequência:

…

1 2 3 4

a) Desenha a próxima figura da sequência.

b) Desenha a 7ª figura da sequência. Quantas bolas tem a figura? Como

calculaste esse resultado?

c) Sem desenhar, indica o número de bolas da figura que ocupa a

posição 10 da sequência, descrevendo a forma como pensaste.

d) Considera a figura seguinte:

Poderá existir uma figura como esta como termo da sequência? Explica a razão da

tua resposta.


171

Abre o programa para te ajudar a pensar nas seguintes

questões.

e) Na coluna A da Folha de Cálculo, reproduz os primeiros 8

números naturais. Escreve na célula A1 o título da coluna “Ordem” e na

célula B1 “Termos da sequência”.

Na coluna B, escreve os elementos da sequência numérica (que são

os termos) correspondentes a cada uma das figuras até à posição 8 e

copia-os para a tabela abaixo.

Ordem (coluna A)

Termos (coluna B)

f) Poderá existir um termo desta sequência com 140 bolas? Explica

porquê.

g) Como explicarias a um colega teu que a figura na posição 40 não

poderia ter 160 bolas?

h) Descreve como é constituída qualquer figura desta sequência.

i) Escreve uma expressão que permita calcular o número de bolas que

tem uma figura sabendo a posição em que se encontra.

j) A partir da expressão encontrada na alínea anterior, calcula o número

de bolas da sequência relativa aos termos na posição:


172

j1) 16

j2) 20

k) Em que posição está a figura com 25 bolas? E com 2500?

l) Completa a tabela seguinte:

23

121

225

45

1369

729

Cubos Perfeitos

Para visualizares melhor a composição dos cubos que se seguem recorre ao

auxílio do seguinte applet: http://www.igm.mat.br/cursos/basicas/cubos.htm ,

que te permite visualizar cubos de 1 unidade de aresta até 5 unidades.

2. Considera a seguinte sequência:

…

1 2 3

a) Cada cubo da sequência é composto por quantos cubinhos?

b) E os cubos das posições 4 e 10, quantos cubinhos têm cada um?

N.º ao Quadrado

Raiz Quadrada do N.º

http://www.igm.mat.br/cursos/basicas/cubos.htm


173

c) Será que existe algum cubo composto por 100 cubinhos? Argumenta

a tua resposta.

d) Descreve como é constituída qualquer figura desta sequência.

e) Escreve uma expressão que te permita calcular o número de

cubinhos de qualquer cubo de uma dada ordem.

f) Através da expressão que encontraste na alínea anterior, averigua o

número de cubinhos do cubo da ordem 6.

g) Em que posição está a figura com 8 cubinhos? E com 1728?

h) Completa a tabela seguinte:

8

3

216

10

N.º ao Cubo

Raiz cúbica do N.º


174

Anexo 7 - Conteúdos, contextos e instrumentos de recolha de dados


175

Anexo 7A

Cronologia dos diferentes momentos de recolha de dados e códigos

Designação (códigos)

Data Tipo de sessão

Ap_A 16.Setembro.08 Sessão de apresentação e discussão do Plano de

Trabalho com a Ana

E1_A 26.Setembro.08 1ª Entrevista com Ana

S0_A 10.Outubro.08 Sessão de trabalho apenas com Ana

Ap_B 15.Outubro.08 Sessão de apresentação e discussão do Plano de

Trabalho com a Beatriz

E1_B 17.Outubro.08 1ª Entrevista com Beatriz

S0_B 21.Outubro.08 Sessão de trabalho apenas com Beatriz

S1 28.Outubro.08 1ª sessão de trabalho da equipa

A1_A 5.Novembro.08 1ª aula observada (Ana)

Ch1 10.Novembro.08 1º chat com a equipa



S2 18.Novembro.08 2ª sessão de trabalho da equipa

S3 2.Dezembro.08 3ª sessão de trabalho da equipa

A1_B 10.Dezembro.08 1ª aula observada (Beatriz)

Ch2 15.Dezembro.08 2º chat com a equipa

A4_A 12.Janeiro.09 4ª aula observada (Ana)

Ch3 13.Janeiro.09 3º chat com a equipa

A5_A 14.Janeiro.09 5ª aula observada (Ana)

S4 20.Janeiro.09 4ª sessão de trabalho da equipa

Duração média das sessões de apresentação do Plano: 1 h. 15 m.

Duração média das entrevistas: 1 h. 30 m.

Duração média das sessões de trabalho 2 h. 15 m.

Duração de cada aula observada: 1 h. 30 m.

Duração média dos chat: 45 minutos.


176

Anexo 7B

Ideias para o trabalho da equipa

(1as sessões individuais: 10 e 21 de Outubro de 2008)

Pasta de materiais (investigação, orientações curriculares e tarefas)

1. Lançamento do trabalho (tarefas, pensamento algébrico e TIC); 2. Episódios

1. Conteúdos: sequências, regularidades e padrões (numéricos e geométricos).

Materiais dispersos – tarefa 1 (voo em V) e tarefa 2 (azulejos)

Tese da Neusa Branco (p. 203) – tarefa 2 (ponto 1)

Tarefas PAM (Vieira de Leiria): exploração de ficheiros da folha de cálculo

(FC): último algarismo das potências e desafios ímpares.

Dar atenção ao desenvolvimento do pensamento algébrico:

os significados, trabalho com números procurando relações, letras como

números generalizados, expressões equivalentes a partir das diferentes

„leituras‟ dos padrões, o sinal de igual expressando relações de equivalência

e não exclusivamente a produção de um resultado numérico, os números

como quasi-variáveis, a abordagem funcional, as múltiplas representações e

a modelação.

Procurar no uso da tecnologia (folha de cálculo e applets), potencialidades que

facilitem as múltiplas representações (simbólica, numérica, gráfica e linguagem

natural) e as ligações entre elas; o apoio à modelação (construção e exploração de

modelos), fazendo emergir o raciocínio algébrico, o convite à conjectura e à

exploração. Em particular, com a folha de cálculo (FC), procurar trabalhar as letras

como números generalizados, as expressões equivalentes e a investigação da

variação, dada a orientação funcional da ferramenta.

Ter em atenção na FC: como ultrapassar o trabalho centrado na recursividade

(sempre partindo do termo anterior, através da cópia de fórmulas em coluna),

tornando-o funcional e explícito através de uma relação entre duas variáveis

(relacionando duas colunas)?

Aspectos do pensamento algébrico no Novo Programa (novas relações entre a

aritmética e a álgebra):

Regularidades numéricas e padrões


177

Trabalho com números, centrado nas relações entre eles e entre estes e as

operações

Múltiplas representações

Importante criar percursos de aprendizagem

2. Episódios

Discussão de um ou dois episódios de aprendizagem, escolhidos de entre as

seguintes tarefas:

padrão repetitivo de 3 figuras geométricas (tarefa 1, questão 1, da tese da

Neusa)

tarefas exploradas em 1 (bolas, voo em V ou azulejos)


178

Anexo 7C

Guião da 1ª entrevista

Apresentação e desenvolvimento profissional (percurso profissional e relação com

aspectos do conhecimento profissional)

Dados pessoais prévios à entrevista

Idade, tempo de serviço, número de escolas/zonas por onde passou e há quanto

tempo está na actual escola.

1. Dados biográficos/percurso escolar

O dia-a-dia. Qual é o seu dia-a-dia padrão? Que outros hobbies ou

actividades extra-profissionais mantém? Como ocupa os seus tempos livres?

O percurso escolar (básico e secundário). Que professores deixaram

alguma marca? Que relação teve/manteve com a matemática? Que

temas/conteúdos eram os seus preferidos? O que menos gostou? Qual a sua

relação com a Álgebra? E com a tecnologia?

O percurso na formação inicial (ensino superior). Onde a realizou? Que

experiências relevantes recorda? Do estágio retém alguma recordação, em

particular? Qual a relação com a Matemática e com alguns temas/conteúdos

em particular? Qual a sua relação com a Álgebra? E com a tecnologia?

2. Profissão

Razões da escolha. Que razões a levaram a escolher ser professora?

Percurso profissional. O que recorda do seu início de carreira e o que foi

mudando e continua a mudar até aos dias de hoje? De que mais gosta e de

que menos gosta no ensino? Uma história (positiva ou negativa) que

aconteceu na profissão e que gostasse de contar?

Imagem de si e dos outros. Que imagem tem de si própria como

professora? O que é para si ser um bom professor de matemática?

Os contextos (a escola e o grupo). Que relação mantém com os contextos?

Como vê cada um deles (a dinâmica da escola e do grupo e os órgãos de

gestão) e como acha que a vêem a si?


179

Em que actividades extra-lectivas significativas ou em que projectos de

intervenção relevantes (com alunos e/ou professores) participou? Algum

desses projectos teve a ver com Números e Álgebra? E com as tecnologias?

Que marcas significativas lhes reconhece?

Aprender a ensinar. Como acha que aprendeu (e continua a aprender) a

ensinar e de que se compõe (como é constituído) esse conhecimento? Se lhe

pedissem para encontrar semelhanças e diferenças entre „saber matemática‟

e „saber ensinar matemática‟ o que diria?

3. Aulas

Planificação. Como prepara, normalmente, as actividades para a sala de

aula? Quando tem que introduzir um assunto novo, como procede

habitualmente? Em que recursos se apoia, essencialmente?

Papel dos alunos e do professor. Que papel espera dos seus alunos?

Como identifica indicadores de que os seus alunos estão a aprender ou a ter

dificuldades? O que é, para si, ser um bom aluno de matemática?

O que a faz sentir-se realizada no final da aula? O que lhe indica que uma

aula foi bem sucedida?

A prática. Possivelmente já lhe aconteceu planear uma coisa e acontecer

outra na prática. O que acha que pode condicionar a sua prática?

4. Currículo e desenvolvimento curricular

Temas preferidos. Que temas do currículo mais gosta de ensinar

(Números, Geometria, Álgebra, Organização de Dados)? Por alguma razão?

Dificuldades dos alunos. Que dificuldades encontrou/encontra nos seus

alunos, sobre a compreensão de temas/conceitos algébricos (variáveis,

expressões, equações, funções, …) e qual poderá ser a sua origem?

Relação com as tecnologias. Qual a relação pessoal com as tecnologias

no seu dia-a-dia e o papel que lhes reconhece na aprendizagem (motivação,

introdução/exploração de conceitos, consolidação, …)? Que uso, quantitativo

e qualitativo (diversidade e profundidade/continuidade) tem feito das TIC no

currículo?

O que faz de uma tarefa, uma „boa tarefa‟ para a aprendizagem?


180

Novo Programa. Como encara as alterações curriculares realizadas ao

longo dos anos? Como encara o novo programa de Matemática do ensino

básico. Que alterações significativas positivas lhe reconhece e que críticas

lhe faz?

5. Trabalho em colaboração/investigação sobre a prática

Que experiência tem da sua participação em projectos de investigação?

Que experiência tem da participação em projectos colaborativos? O que tem

dado e o que tem recebido da sua participação nesses projectos?

O que a levou a aceitar participar neste projecto e o que espera da sua

participação nele?

Outras questões importantes que gostaria de expressar


181

Anexo 7D

Percurso escolar como estudante

(escolaridade básica e secundária;

formação inicial para professora)

Dia a dia, hobbies, tempos livres

Profissão

Escolha, aspectos (+) e (-); 1 história

Imagem de si e dos outros

Projectos

Aprender a ensinar

Aulas

Planificação

Papel da professora e dos

alunos

Do planeado à prática

Currículo e Desenvolvimento Curricular

Temas (+) e (-)

Dificuldades dos alunos em Álgebra

Relação com a tecnologia

Uma boa tarefa?

O Novo Programa

Colaboração

Investigação

Expectativas

Outras questões …

1ª Entrevista

(esquema de questões)


182

Anexo 8

Aspecto parcial da página principal da disciplina Moodle