delineamento e análise experimental aula...

Delineamento e Análise ExperimentalAula 5

Anderson Castro Soares de Oliveira

Anderson Delineamento e Análise Experimental

Notes

Delineamentos ExperimentaisDelineamento experimental ou desenhos experimentais é oplano utilizado para realizar o experimento.Esse plano implica na maneira como os diferentes trata-mentos deverão ser distribuídos nas parcelas experimen-tais, e como serão analisados os dados a serem obtidosOs principais são:

Delineamento Inteiramente ao Acaso (DIC)Delineamento em Blocos Casualizados (DBC)Delineamento Quadrado Latino (DQL)


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoEste delineamento é utilizado quando a variabilidade entreas parcelas experimentais for muito pequena.Deve ser utilizado em locais em que as condições expe-rimentais possam ser bem controladas (laboratórios, casade vegetação, terrenos com pouca heterogeneidade, etc).Vantagens da sua utilização

O número de graus de liberdade para o Erro Experimental émáximo;O número de tratamentos e de repetições depende apenasdo número de parcelas experimentais disponíveis;é o delineamento mais simples de ser instalado e conduzido


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoDesvantagens da sua utilização

É mais apropriado para um pequeno número de tratamentose para um material experimental homogêneo;Todas as fontes de variação não associadas aos tratamen-tos farão parte do resíduo, podendo comprometer a preci-são das análises;Super-estima a variância residual


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoAleatorização - Os tratamentos são designados aleatoria-mente às parcelas experimentais.Este tipo de sorteio implica em que todo tratamento tem amesma chance de ser aplicado à qualquer parcela na áreaexperimental


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Um estudo foi realizado com o objetivo de avaliar o efeito deuma dose fisiológica de estradiol no crescimento da prós-tata em cães, utilizando ultra-som para verificar o volumeda próstata.Foram utilizados 20 cães divididos aleatoriamente em 4grupos e tratados da seguinte forma:

Nenhum tratamento - Sem castração (T0)Somente com castração (T1)Castração mais doses baixas de estradiol (T2)Castração mais doses altas de estradiol (T3)

Neste experimento se supor que não existe uma predispo-sição de raça ou faixa etária pode-se atrituir que os cãessão homogêneos e tem-se um delineamento inteiramentecausalizado


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Assim, temos um DIC

4 tratamentos5 repetições

Tratamento Repetição total média1 2 3 4 5

T0 9,3 13,5 12,8 14,3 25,1 75,0 15,0T1 2,0 3,1 4,4 6,2 4,2 19,9 4,0T2 10,4 6,3 21,7 12,7 15,5 66,6 13,3T3 37,2 22,6 26,8 37,0 22,8 146,4 29,3


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoO modelo estatístico para representar um DIC é dado por

yij = µ+ τi + εij

yij é o valor observado na unidade experimental que re-cebeu o tratamento i (i = 1,2, ..., I) na repetição j (j =1,2, ..., J)µ representa a média geralτi representa o efeito do tratamento iεij é o erro experimental observado na unidade experimentalque recebeu o tratamento i na repetição j .


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoAnálise de Variância (ANOVA)

FV GL SQ QM FcTratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErroErro I(J-1) SQErro QMErroTotal IJ-1 SQTotal

No planejamento de experimento em DIC com Itratamentos deve-se obter o J repetições considerando:

No mínimo 20 parcelas, ou seja IJ ≥ 20Grau de liberdade (GL) do erro experimental seja superior a10, ou seja, I(J − 1) ≥ 10


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoA variabilidade entre as unidades experimentais de expe-rimentos envolvendo diferentes unidades de medidas e/outamanhos de parcelas pode ser comparada pelos coefici-entes de variação.Coeficiente de Variação (CV) é dada por:

CV =

√QMErro

y••.100,


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Um pesquisador deseja realizar um experimento em DICcom 3 tratamentos, qual o numero mínimo de repetições aser utilizadas?Neste caso temos I = 3 tratamentos, desta forma:

IJ ≥ 20⇒ 3J ≥ 20⇒ J ≥ 6.67⇒ J = 7I(J − 1) ≥ 10 ⇒ 3(J − 1) ≥ 10 ⇒ 3J ≥ 13 ⇒ J ≥ 4,33 ⇒J = 5

Assim, para que as duas condições sejam atendidas o nu-mero minimo de repetições deve ser J = 7Desta forma o resumo da ANOVA deste experimento

FV GLTratamento 2

Erro 18Total 20


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Análise de Variância (ANOVA) para o dados do experi-mento do Cães

FV GL SQ QM Fc valor-pTratamento 3 1637,79 545,93 17,463 < 0,0001

Erro 16 500,18 31,26Total 19 2137,97

CV=36,32%


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Assim, o resultado do teste de Scoot-Knoot é dado por:Médias seguidas de mesma letra não difere entre si ao nívelnominal de m 5% de significância

Tratamento MédiasT3 29,28aT0 15,00bT2 13,32bT1 3,98c


Notes

Delineamento Inteiramente CasualizadoAssim, o resultado do teste de Scoot-Knoot é dado por:Médias seguidas de mesma letra não difere entre si ao nívelnominal de m 5% de significância

Tratamento MédiasT3 29,28aT0 15,00bT2 13,32bT1 3,98c


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Neste delineamento o material experimental é dividido emgrupos homogêneos denominados bloco.Cada bloco representa uma repetição e recebe uma vezcada tratamento.O número de Unidades Experimentais por bloco é igual aonumero de tratamentos.O principal objetivo é manter o erro, dentro de cada bloco,tão pequeno quanto seja possível.Aleatorização - Quando as parcelas se acham agrupadasem blocos, os tratamentos são aleatoriamente designadosàs unidades dentro de cada bloco. Posteriormente, os blo-cos são sorteados na área experimental.


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Vantagens da sua utilização

Permite o controle da influência de uma fonte de variaçãoalém do efeito de tratamentos, pelo agrupamento hábil dasparcelas (controle local)Com o agrupamento das parcelas, geralmente se obtém re-sultados mais precisos que aqueles obtidos num DIC.

Desvantagens da sua utilizaçãoQuando há perda de parcela(s) em algum tratamento. Ape-sar de existir um método apropriado de estimação dessesvalores, há a perda de eficiência na comparação de médiasenvolvendo esses tratamentos.


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (exemplo)No experimento do efeito do estradiol no crescimento dapróstata em cães, se for considerando que:

a faixa etária é fator que pode afetar os resultadoscada repetição do experimento corresponde a animais deuma determinada faixa etária.

Neste tem-se um delineamento em blocos causalizados emque os blocos são a faixa etária


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Assim, temos um DBC

4 tratamentos5 blocos

Tratamento Bloco Total Média1 2 3 4 5

T0 9,3 13,5 12,8 14,3 25,1 75 15T1 2 3,1 4,4 6,2 4,2 19,9 4T2 10,4 6,3 21,7 12,7 15,5 66,6 13,3T3 37,2 22,6 26,8 37 22,8 146,4 29,3

Total 58,9 45,5 65,7 70,2 67,6Média 14,7 11,4 16,4 17,6 16,9


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)O modelo estatístico para representar um DBC é dado por

yij = µ+ τi + bj + εij

yij é o valor observado na unidade experimental que re-cebeu o tratamento i (i = 1,2, ..., I) na repetição j (j =1,2, ..., J)µ representa a média geralτi representa o efeito do tratamento ibi representa o efeito do bloco jεij é o erro experimental observado na unidade experimentalque recebeu o tratamento i no bloco j .


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Análise de Variância (ANOVA)

FV GL SQ QM FcBlocos J-1 SQBlocos QMBlocos QMBlocos

QMErroTratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErroErro (I-1)(J-1) SQErro QMErroTotal IJ-1 SQTotal

As somas de quadrados são obtidas da seguinte forma:

SQTotal =∑

i

∑j

(yij)2 − C C =

∑i

∑j

yij

2

IJ

SQBlocos =

∑i

(y.j)2

I− C

SQTratamento =

∑i

(yi.)2

J− C

SQErro = SQTotal − SQTratamento − SQBloco


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Formulado-se a hipótese H0 : τ1 = τ2 = ... == τi ou H0 :µ1 = µ2 = ... = µi

O teste da hipótese na ANOVA é dado por

Fc =QMTratamento

QMErro

A partir do calculo de Fc pode-se obter:o valor-p associado ao Fc e compara-lo ao nível de signifi-cância αobter o dado na tabela de distribuição F para (I−1) e (IJ−I)graus de liberdade, respectivamente, de tratamentos e doerro e comparar com o Fc

Rejeita-se H0 se valor − p < α ou Fc > F


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Geralmente o teste de hipótese com relação aos efeitos deblocos não é feito por dois motivos:

O interesse principal é testar os efeitos de tratamento, o pro-pósito usual dos blocos é eliminar fontes estranhas de vari-ação.As unidades experimentais sejam distribuídas aleatoria-mente aos tratamentos, mas os blocos são obtidos de umamaneira não aleatória.


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Ao aplicar o teste F numa análise de variância é necessárioverificar as pressuposições do modelo.

Os erros têm distribuição Normal (normalidade).Os erros das observações não são correlacionados(independência);Os erros têm a mesma variância (homocedasticidade);Os efeitos de blocos e tratamentos são aditivos


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)No planejamento de experimento em DBC com I tratamen-tos deve-se obter o J blocos considerando:

No mínimo 20 parcelas, ou seja IJ ≥ 20Grau de liberdade (GL) do erro experimental seja superior a10, ou seja, (I − 1)(J − 1) ≥ 10


Notes

Delineamento Inteiramente Casualizado (exemplo)Um pesquisador deseja realizar um experimento em DBCcom 3 tratamentos, qual o numero mínimo de blocos a serutilizados?Neste caso temos I = 3 tratamentos, desta forma:

IJ ≥ 20⇒ 3J ≥ 20⇒ J ≥ 6.67⇒ J = 7(I − 1)(J − 1) ≥ 10⇒ (3− 1)(J − 1) ≥ 10⇒ 2J ≥ 12⇒J ≥ 6⇒ J = 6

Assim, para que as duas condições sejam atendidas o nu-mero mínimo de blocos deve ser J = 7Desta forma o resumo da ANOVA deste experimento

FV GLBloco 6

Tratamento 2Erro 12Total 20


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Considerando o exemplo dos cães temosANOVA para DBC

FV GL SQ QM Fc valor-pBloco 4 98,32 24,58 0,734 0,5862

Tratamento 3 1637,79 545,93 16,302 0,0002Erro 12 401,87 33,49Total 19 2137,97

CV=37,59%

ANOVA para DICFV GL SQ QM Fc valor-p

Tratamento 3 1637,79 545,93 17,463 < 0,0001Erro 16 500,18 31,26Total 19 2137,97

CV=36,32%


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Um experimentador está interessado em testar o % de mo-tilidade em sêmen de jumento. Para isto ele dispunha de 5animais.O interesse é testar 4 diferentes diluentes e seu efeito sobrea motilidade.Para cada animal foi testado 4 alíquotas.As alíquotas iguais de uma mesma coleta de cada animalsão sorteadas para cada tratamento e nesse caso cada ani-mal é considerado um bloco.


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Resultados do ExperimentoJumento Diluentes

gema leite coco citrato1 80 76 77 652 72 65 60 503 63 55 53 484 83 75 73 645 76 70 69 57


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Análise de Variância (ANOVA)

FV GL SQ QM Fc valor-pBlocos 4 1117,7 279,425 73,052 <0,0001

Diluente 3 829,35 276,45 72,275 <0,0001Erros 12 45,9 3,825


Notes

Delineamento Blocos Casualizados (DBC)Teste de Tukey

Tratamento MédiaGema 74,8aLeite 68,2bCoco 66,4b

Citrato 56,8cMédias seguidas de mesma letra não difere entre si ao

nível nominal de m 5% de significância


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Neste delineamento os tratamentos são agrupados nas re-petições de duas maneiras distintasEsta sistematização dos blocos em duas direções (desig-nadas genericamente por "linhas"e "colunas") permite eli-minar os efeitos de duas fontes de variação do erro experi-mental.O esquema do delineamento para I tratamentos corres-ponde a um "quadrado"com I linhas e I colunas, contendoI2 parcelasesse tipo de delineamento o número de linhas, colunas etratamentos deve ser o mesmo.Cada tratamento ocorre uma vez em cada linha e em cadacolunaAleatorização - Em geral, é satisfatório tomar um quadradolatino qualquer, permutar as linhas e colunas e designar, aoacaso, os tratamentos às letras


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)O uso o DQL é mais freqüente em experimentos onde secomparam de 5 a 8 tratamentos.Como o número de repetições deve ser igual ao número detratamentos, temos que:

o número de graus de liberdade para o resíduo pode sermuito baixo nos delineamentos QL 4 x 4 ou menoreso número de repetições pode se tornar muito alto nos expe-rimentos com mais de 8 tratamentos, dificultando a obten-ção de unidades experimentais com semelhança adequada.


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)O modelo estatístico para representar um DQL é dado por

yijk = µ+ τi + cj + lk + εijk

yij é o valor observado na unidade experimental que rece-beu o tratamento i , na coluna j e linha kµ representa a média geralτi representa o efeito do tratamento ici representa o efeito da coluna jlk representa o efeito da linha kεij é o erro experimental observado na unidade experimentalque recebeu o tratamento i , na coluna j e linha k


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Análise de Variância (ANOVA)

FV GL SQ QM FcColuna I-1 SQColuna QMColiuna QMColuna

QMErroLinha I-1 SQLinha QMLinha QMLinha


QMErroErro (I-1)(I-2) SQErro QMErroTotal I2 − 1 SQTotal

As somas de quadrados são obtidas da seguinte forma:

SQTotal =∑

i

∑j

(yij)2 − C C =

∑i

∑j

(yij)2

IJ

SQColuna =

∑i

(y.j)2

I− C SQLinha =

∑i

(y.k )2

I− C

SQTratamento =

∑i

(yi.)2

I− C

SQErro = SQTotal − SQTratamento − SQColuna − SQLinha


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Formulado-se a hipótese H0 : τ1 = τ2 = ... == τi ou H0 :µ1 = µ2 = ... = µi

O teste da hipótese na ANOVA é dado por

Fc =QMTratamento

QMErro

A partir do calculo de Fc pode-se obter:o valor-p associado ao Fc e compara-lo ao nível de signifi-cância αobter o dado na tabela de distribuição F para (I−1) e (IJ−I)graus de liberdade, respectivamente, de tratamentos e doerro e comparar com o Fc

Rejeita-se H0 se valor − p < α ou Fc > F


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Geralmente o teste de hipótese com relação aos efeitos delinhas e colunasAo aplicar o teste F numa análise de variância é necessárioverificar as pressuposições do modelo.

Os erros têm distribuição Normal (normalidade).Os erros das observações não são correlacionados(independência);Os erros têm a mesma variância (homocedasticidade);Os efeitos de linhas, colunas e tratamentos são aditivos


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Um experimento foi instalado para testar o efeito de anes-tésicos sobre o metabolismo animal (Frequência cardíacae respiratória, pressão sanguínea, tempo efetivo de anes-tesia).Deseja-se testar 5 tipos de anestésicos.Considerando um experimento com 5 repetições seriamnecessários 25 animais.Uma forma de reduzir o numero de animais e utilizar o DQLAssim, para testar 5 tipos de anestésicos, seriam necessá-rios apenas 5 animaisCada animal receberia um tipo de anestésico, e isso seriafeito em 5 diferentes dias.Assim, teríamos um primeiro controle que é o animal e osegundo que é o dia.


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Croqui do Experimento

Animal Dias de ExecuçãoI II III IV V

1 D B C E A2 B E A C D3 A D E B C4 E C D A B5 C A B D E


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Resultados do Experimento

Animal Dias de ExecuçãoI II III IV V

1 112,90 D 135,60 B 137,30 C 116,21 E 125,87 A2 117,34 B 136,54 E 115,53 A 118,02 C 136,93 D3 134,54 A 132,83 D 116,67 E 133,42 B 118,09 C4 131,06 E 126,23 C 137,92 D 130,99 A 121,07 B5 136,20 C 119,06 A 129,15 B 134,23 D 137,87 E


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)ANOVA do experimento

FV GL SQ QM Fc valor-pColuna 4 43,39 10,85 0,08 0,9855Linha 4 144,49 36,12 0,28 0,8837

tratamento 4 86,49 21,62 0,17 0,9500Erro 12 1534,02 127,84Total 24 1808,39


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)O problema que aparece quando usamos o DQL é com umnúmero pequeno de tratamentos, pois o resíduo passa aser estimado com um número pequeno de graus de liber-dade.Graus de liberdade do resíduo no DQL para diferentes nú-meros de tratamentos:

Número de Tratamentos g.l.do resíduo3 24 65 126 207 308 42


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Uma alternativa para pequenos quadrados latinos é repetí-los para aumentar os graus de liberdade do resíduo.Existem três maneiras de repetir o quadrado latino

Usar os mesmos tratamentos (em linhas e colunas) em cadarepetição;Usar os mesmos tratamentos nas linhas, mas diferentes nascolunas em cada repetição (ou, de forma equivalente, usaros mesmos níveis nas colunas e diferentes nas linhas);Usar tratamentos diferentes em linhas e colunas.

A análise de variância depende do método de repetição.


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamen-tos (em linhas e colunas) em cada repetição (tipo I)

FV GL SQ QM FcQuad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino

QMErroColuna I-1 SQColuna QMColiuna QMColuna

QMErroLinha I-1 SQLinha QMLinha QMLinha


QMErroErro (I-1)(R(I+1)-3) SQErro QMErroTotal RI2 − 1 SQTotal


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Seja yijkl a observação do i-ésimo tratamento linha, j-ésimalinha, k-ésima coluna e l-ésima repetição, as somas de qua-drados são obtidas da seguinte forma:

SQTotal =∑

i

∑j

(yijkl )2 − C C =

∑i

∑j

(yijkl )2

RI2

SQQuad .Latino =

∑i

(y...l )2

I2− C

SQTratamento =

∑i

(yi...)2

rI− C

SQLinha =

∑i

(y..k.)2

rI− C

SQColuna =

∑i

(y.j..)2

rI− C

SQErro = SQTotal − SQQuad .Latino − SQTratamento − SQColuna − SQLinha


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamen-tos nas linhas, mas diferentes nas colunas em cada repeti-ção (tipo II)


QMErroColuna R(I-1) SQColuna QMColiuna QMColuna

QMErroLinha (I-1) SQLinha QMLinha QMLinha


QMErroErro (I-1)(RI-2) SQErro QMErroTotal RI2 − 1 SQTotal


Notes


SQTotal =∑

i

∑j

(yijkl )2 − C C =

∑i

∑j

(yijkl )2

RI2

SQQuad .Latino =

∑i

(y...l )2

I2− C

SQTratamento =

∑i

(yi...)2

rI− C

SQLinha =

∑i

(y..k.)2

rI− C

SQColuna =

∑i

(y.j..)2

I− C



Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamen-tos nas colunas, mas diferentes nas linhas em cada repeti-ção (tipo III)


QMErroColuna I-1 SQColuna QMColiuna QMColuna

QMErroLinha R(I-1) SQLinha QMLinha QMLinha




Notes


SQTotal =∑

i

∑j

(yijkl )2 − C C =

∑i

∑j

(yijkl )2

RI2

SQQuad .Latino =

∑i

(y...l )2

I2− C

SQTratamento =

∑i

(yi...)2

rI− C

SQLinha =

∑i

(y..k.)2

I− C

SQColuna =

∑i

(y.j..)2

rI− C



Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Análise de Variância (ANOVA) para diferentes tratamentosnas colunas e nas linhas em cada repetição (tipo IV)


QMErroColuna R(I-1) SQColuna QMColiuna QMColuna

QMErroLinha R(I-1) SQLinha QMLinha QMLinha




Notes


SQTotal =∑

i

∑j

(yijkl )2 − C C =

∑i

∑j

(yijkl )2

RI2

SQQuad .Latino =

∑i

(y...l )2

I2− C

SQTratamento =

∑i

(yi...)2

rI− C

SQLinha =

∑i

(y..k.)2

I− C

SQColuna =

∑i

(y.j..)2

I− C



Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)No experimento do anestésico para repetir o Quadrado La-tino, pode-se trabalhar com os mesmo animais, mas não épossível repetir os mesmos tempos, desta forma deve-seavaliar realizar a ANOVA do tipo II.

Animal Dias de ExecuçãoVI VII VIII IX X

1 114,32 D 136,56 B 138,68 C 116,99 E 127,06 A2 117,85 B 136,76 E 116,14 A 134,46 C 137,15 D3 134,84 A 134,11 D 117,78 E 118,70 B 119,61 C4 132,20 E 127,74 C 138,64 D 131,45 A 122,72 B5 137,52 C 120,16 A 130,70 B 134,60 D 138,88 E


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)ANOVA do Quadrado Latino Repetido

FV GL SQ QM Fc valor-pQuadrado 1 23,04 23,04 0,26 0,6143

Coluna 8 54,71 6,84 0,08 0,9996Linha 4 337,62 84,41 0,95 0,4488

Tratamento 4 1021,73 255,43 2,87 0,0386Erro 32 2846,91 88,97Total 49 4284,01


Notes

Delineamento Quadrado Latino (DQL)Teste de Scott-Knott

Tratamento MédiaD 131,36aC 130,93aE 128,10aA 125,56aB 118,97b

Médias seguidas de mesma letra não difere entre si aonível nominal de m 5% de significância


Notes

delineamento e análise experimental aula...

Documents