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Deflexão em vigas de eixo retoExemplos

TabelasExercícios

Deflexão em vigas de eixo reto

10 de novembro de 2016



TabelasExercícios


Linha elástica da flexão é a curva formada pelo eixo de uma vigainicialmente retilíneo, devido à aplicação de momentos de flexão.

Figura :Exemplo de viga em flexão



TabelasExercícios

Antes da aplicação das cargas, a superfície neutra se encontra contidaem um plano horizontal. Com a aplicação das cargas a superfícieneutra se transforma em uma superfície curva.

Figura :Exemplo de viga em flexão



TabelasExercícios

A curva da superfície neutra representa a deformação de todaa viga.Esta curva se denominacurva elásticae, por simplicidade, érepresentada pela interseção do plano de simetria com a superfícieneutra.Desta forma, a curva elástica representa os deslocamentos dos centrosde gravidade de todas as seções transversais que formam a viga.

Figura :Representação plana da deflexão da viga



TabelasExercícios

Matematicamente a curva elástica ou simplesmente elásticaserepresenta pela equação no plano de simetria. Se o eixo das deflexõesfor representado porv a curva elástica se torna uma funçãov(x), quedependera também das cargas aplicadas e das propriedades mecânicasdo material que compõe a viga. A Figura mostra uma representaçãoplana da deflexão da viga, ondex coincide com o eixo da viga ev = v(x) é o deslocamento no caso vertical, de cada seção da viga.

Figura :Representação plana da deflexão da viga



TabelasExercícios

Além deste movimento, no caso descendente, no plano vertical,deve-se observar também que as seções transversais, que inicialmenteeram retas e perpendiculares ao eixo continuam, após a flexão, retas eperpendiculares ao eixo.



TabelasExercícios

Desta forma, as seções transversais sofrem uma rotaçãoθ = θ(x) emtorno do eixo de rotação.



TabelasExercícios

Objetivo

O objetivo, portanto, deste capítulo é o de determinar as equaçõesdo(s) deslocamento(s)v(x) e da(s) rotação(ções)θ(x) para diversostipos de vigas.



TabelasExercícios

Equação diferencial da linha elástica

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

seçõesA e B: duas seções adjacentes da viga. Antes da aplicaçãodo carregamento estas seções estavam paralelas e distantesentresi dx.



TabelasExercícios

Equação diferencial da linha elástica

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

ds = AB: o comprimento do trecho do eixo compreendido entreAe B



TabelasExercícios

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

A′B′: um segmento de reta paralelo ao eixo e de comprimentods+ds εx = ds(1+ εx)

y: a distância entreA e A′, B e B′



TabelasExercícios

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

ρ: o raio de curvatura do trechoAB do eixo da barra após aatuação deM;dθ: o ângulo de curvatura do trecho do eixo entreAB que, porconseqüência, também é o ângulo de curvatura deA′B′



TabelasExercícios

Conceitos já conhecidos:

As tensões normais na flexão se relacionam com o momentofletor atuante da seguinte forma:

σx =Mz

Izy (1)

Lei de Hooke:

εx =σx

E=

Mz

EIzy (2)



TabelasExercícios

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

O comprimento deAB após atuação do carregamento éds podeser relacionado comρ e dθ da seguinte forma:

ds = ρ dθ⇒dθds=

1ρ

(3)

A curvaturaκ da barra é expressa como:

κ =1ρ=

dθds

(4)



TabelasExercícios

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

Para pequenas deformações, pode-se fazer a seguintesimplificação:

ds ≈ dx =⇒ κ =1ρ=

dθdx

(5)



TabelasExercícios

dθ

B´A´

A B

ρ

eixo

M My

σx =MzIz

y

εx =σxE =

MzEIz

y

ds = ρ dθ⇒ dθds =

1ρ

Para pequenas deformações:ds ≈ dx =⇒ dθ

ds ≈dθdx

du = dθy =⇒ εx =dudx =

dθdx y

Logo: dθdx =

MzEIz



TabelasExercícios

dθ

dφ

S TΡ

S´T´

dφ = dθ⇒ φ = θSendo tanφ o coeficiente angular da reta tangente à LEv numaposiçãox e considerando a hipótese de pequenos deslocamentos edeformações tem-se:

tanφ ≈ φ(x) =dvdx

edφdx=

d2v

dx2



TabelasExercícios

dθ

dφ

S TΡ

S´T´

dθds≈

dθdx=

Mz

EIz

dφ = dθ⇒ φ = θ

tanφ ≈ φ(x) =dvdx

edφdx=

d2v

dx2

⇓d2vdx2 =

MzEIz



TabelasExercícios

d2vdx2 =

MzEIz

Para adequar a equação acima ao referencial de sinais que adotaflecha positiva para baixo e rotações positivas no sentido horário econsiderando a convenção de momento fletor positivo tracionado asfibras situadas abaixo da linha neutra, faz-e necessário a inclusão dosinal negativo na equação do momento fletor:

d2vdx2 = −

MzEIz

d3vdx3 = − 1

EIz

dMzdx = −

QvEIz

d4vdx4 = − 1

EIz

dQvdx =

q(x)EIz



TabelasExercícios

d2vdx2 = −

MzEIz

d3vdx3 = − 1

EIz

dMzdx = −

QvEIz

d4vdx4 = − 1

EIz

dQvdx =

q(x)EIz

Para se determinarv(x) basta resolver uma das equações diferenciaisacima. As constantes de integração são determinadas a partir daconsideração das condições de contorno (apoios). Essas condiçõesrepresentam os valores conhecidos das funções em determinadospontos da viga e as mais usadas estão resumidas na Tabela a seguir.Se uma única coordenadax não puder ser usada para expressar aequação da inclinação ou da linha elástica, então devem ser usadascondições de continuidade para calcular algumas das constantes deintegração.



TabelasExercícios

Apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)).

Apoio do 10 gênero Apoio do 20 gênerode extremidade de extremidade

MA = 0 MA = 0vA = 0 vA = 0θA , 0 θA , 0

Apoio interno Apoio internodo 10 gênero do 20 gênero

vA = vB = 0 vA = vB = 0θA = θB , 0 θA = θB , 0



TabelasExercícios

Apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)).

Apoio do 30 gênero Extremidade livre

MA , 0 MA = 0QA , 0 QA = 0vA = 0 vA , 0θA = 0 θA , 0

Pino ou articulação interna

M = 0 (no pino)QA = QB

vA = vB θA , θB



TabelasExercícios

Exemplo 1 - Viga simplesmente apoiada com cargadistribuída



TabelasExercícios

Equação de momento - Equação diferencial da LE

M =qLx2− qx2

2EI

d2v

dx2= −qLx

2+

qx2

2

Integração

EIθ = EIdvdx

EIθ = −qLx2

4+

qx3

6+C1

EIv = −qLx3

12+

qx4

24+C1x+C2



TabelasExercícios

EIθ = −qLx2

4+

qx3

6+C1 EIv = −

qLx3

12+

qx4

24+C1x+C2

Condições de contornoAs constantes de integraçãoC1 e C2 são obtidas a partir dascondições de contorno:

parax = 0⇒ v = 0⇒ C2 = 0

parax = L⇒ v = 0⇒ C1 =ql3

24



TabelasExercícios

EIθ = −qLx2

4+

qx3

6+

ql3

24

EIv = −qLx3

12+

qx4

24+

qxl3

24

Pontos de interesse

vmax =5qL4

384EIθa = −θb =

qL3

24EI



TabelasExercícios

Exemplo 2 - Viga simplesmente apoiada com cargaconcentrada



TabelasExercícios

Equações de momento - Equações diferenciais da LE

Para 06 x 6 a Paraa 6 x 6 LM = Pbx

L M = PbxL −P(x−a)

EI d2vdx2 = −Pbx

L EI d2vdx2 = −Pbx

L +P(x−a)

Integração

EIθ = −Pbx2

2L +C1 EIθ = −Pbx2

2L +P(x−a)2

2 +C2

EIv = −Pbx3

6L +C1x+C3 EIv = −Pbx3

6L +P(x−a)3

6 +C2x+C4



TabelasExercícios

EIθ = −Pbx2

2L +C1 (1) EIθ = −Pbx2

2L +P(x−a)2

2 +C2 (3)

EIv = −Pbx3

6L +C1x+C3 (2) EIv = −Pbx3

6L +P(x−a)3

6 +C2x+C4 (4)Condições de contorno

x = 0⇒ v = 0⇒(2) C3 = 0 x = L⇒ v = 0⇒(4)

C2L+C4 =PbL2

6 −Pb3

6

Condição de continuidadex = a⇒ θ(a)(1)

= θ(a)(3)⇒ C1 = C2

x = a⇒ v(a)(2)= v(a)(4)⇒ C1a = C2a+C4⇒ C4 = 0



TabelasExercícios

EIθ = −Pbx2

2L +C1 (1) EIθ = −Pbx2

2L +P(x−a)2

2 +C2 (3)

EIv = −Pbx3

6L +C1x+C3 (2) EIv = −Pbx3

6L +P(x−a)3

6 +C2x+C4 (4)

C3 = C4 = 0 C2 = C1 =Pb6L

(L2−b2)

Equações da LE:Para: (0≤ x ≤ a)

EIθ =Pb6L

(L2−b2−3x2)

ELv =Pbx6L

(L2−b2− x2)

Para: (a ≤ x ≤ L)

EIθ =Pb6L

(L2−b2−3x2)+P(x−a)2

2

ELv =Pbx6L

(L2−b2− x2)+P(x−a)3

6Deflexão em vigas de eixo reto


TabelasExercícios

Caso Equações

v = deflexão na direção yv′ = dv

dx = θ = inclinação da linha elásticavB = v(L) = deflexão na extremidade direita da vigaθB = inclinação na extremidade direita da viga

(1)

v = qx2

24EI (6L2−4Lx+ x2)θ =

qx6EI (3L2−3Lx+ x2)

vB =qL4

8EI θB =qL3

6EI



TabelasExercícios

Caso Equações(2)

v = qx2

24EI (6a2−4ax+ x2) 0≤ x ≤ aθ =

qx6EI (3a2−3ax+ x2) 0≤ x ≤ a

v = qa3

24EI θ =qa3

6EI a ≤ x ≤ L

Parax = a : v = qa4

8EI θ =qa3

6EI

vB =qa3

24EI (4L−a) θB =qa3

6EI



TabelasExercícios

Caso Equações(3)

v = qx2

12EI (3bL+3ab−2bx)0≤ x ≤ a

θ =qbx2EI (L+a− x)

0≤ x ≤ av = q

24EI (x4−4Lx3+6L2x2

+ ...

−4a3x+a4) a ≤ x ≤ Lθ =

q6EI (x

3−3Lx2+3L2x−a3)

a ≤ x ≤ L

Parax = a : v = qa2b12EI (3L+a)

Parax = a : θ = qabL2EI

vB =q

24EI (3L4−4a3L+a4)θB =

q6EI (L3−a3)



TabelasExercícios

Caso Equações(4)

v = Px2

6EI (3L− x) θ = Px2EI (2L− x)

vB =PL3

3EI θB =PL2

2EI

(5)

v = Px2

6EI (3a− x) θ = Px2EI (2a− x) 0≤ x ≤ a

v = Pa2

6EI (3x−a) θ = Pa2

2EI a ≤ x ≤ L

Parax = a : v = Pa3

3EI θ = Pa2

2EI

vB =Pa2

6EI (3L−a) θB =Pa2

2EI

(6)

v = Mx2

2EI θ = MxEI

vB =ML2

2EI θB =MLEI



TabelasExercícios

Caso Equações(7)

v = q0x2

120LEI (10L3−10L2x+5Lx2− x3)θ =

q0x24LEI (4L3−6L2x+4Lx2− x3)

vB =q0L4

30EI θB =q0L3

24EI

(8)

v = q0x2

120LEI (20L3−10L2x+ x3)θ =

q0x24LEI (8L3−6L2x+ x3)

vB =11q0L4

120EI θB =q0L3

8EI



TabelasExercícios

Caso Equações

v = deflexão na direção yv′ = dv

dx = θ = inclinação da linha elásticavC = v(L/2)= deflexão no meio do vão

x1 = distância da A ao ponto de deflexão máximavmax = deflexão máxima

θA = ângulo na extremidade esquerda da vigaθB = ângulo na extremidade direita da viga

(1)v = qx

24EI (L3−2Lx2+ x3)

θ =q

24EI (L3−6Lx2

+4x3)

vC = vmax =5qL4

384EI θA = θB =qL3

24EI



TabelasExercícios

Caso Equações(2)

v = qx384EI (9L3−24Lx2

+16x3)0≤ x ≤ L

2θ =

q384EI (9L3−72Lx+64x3)

0≤ x ≤ L2

v = qL384EI (8x3−24Lx2

+17L2x−L3)L2 ≤ x ≤ L

θ =qL

384EI (24x2−48Lx+17L2)L2 ≤ x ≤ L

vC =5qL4

768EI θA =3qL3

128EI θB =7qL3

384EI



TabelasExercícios

Caso Equações(3)

v = Px48EI (3L2−4x2) 0≤ x ≤ L

2θ = P

16EI (L2−4x2) 0≤ x ≤ L

2

vC = vmax =PL3

48EI

θA = θB =PL2

16EI(4)

v = Pbx6LEI (L

2−b2− x2) 0≤ x ≤ aθ = Pb

6LEI (L2−b2−3x2) 0≤ x ≤ a

θA =Pab(L+b)

6LEI θB =Pab(L+a)

6LEI

→ Sea ≥ b, vC =Pb(3L2−4b2)

48EI

→ Sea ≥ b, x1 =

√

L2−b2

3 e

vmax =Pb(L2−b2)3/2

9L√

3EI



TabelasExercícios

Caso Equações(5) v = qx

24LEI × ...(a4−4a3L+4a2L2

+2a2x2+ ...

−4aLx2+Lx3) 0≤ x ≤ aθ =

q24LEI × ...

(a4−4a3L+4a2L2+6a2x2

+ ...

−12aLx2+4Lx3) 0≤ x ≤ a

v = qa2

24LEI (−a2L+4L2x+a2x−6Lx2+2x3)

a ≤ x ≤ L

θ =qa2

24LEI (4L2+a2−12Lx+6x2)

a ≤ x ≤ L

θ =qa2

24LEI (4L2+a2−12Lx+6x2) a ≤ x ≤ L

θa =qa2

24LEI (a2−4aL+4L2)

θB =qa2

24LEI (2L2−a2)



TabelasExercícios

Caso Equações(6)

v = Px6EI (3aL−3a2− x2) 0≤ x ≤ a

θ = P2EI (aL−a2− x2) 0≤ x ≤ a

v = Pa6EI (3Lx−3x2−a2) a ≤ x ≤ L

2θ = Pa

2EI (L−2x) a ≤ x ≤ L2

θA =Pa(L−a)

2EIvC = vmax =

Pa24EI (3L2−4a2)

(7) v = Mx6LEI (2L2−3Lx+ x2)

θ = M6LEI (2L2−6Lx+3x2)

vC =ML2

16EI θA =ML3EI θB =

ML6EI

x1 = L(

1−√

33

)

e

vmax =ML2

9√

3EI



TabelasExercícios

Caso Equações(8)

v = Mx24LEI (L2−4x2) 0≤ x ≤ L

2θ = M

24LEI (L2−12x2) 0≤ x ≤ L

2vC = 0 θA =

ML24EI θB = − ML

24EI

(9)v = Mx

6LEI × ...(6aL−3a2−2L2− x2) 0≤ x ≤ a

θ = M6LEI × ...

(6aL−3a2−2L2−3x2)0≤ x ≤ aParax = a : v = Ma

3LEI (3aL−2a2−L2)Parax = a : θ = M

3LEI (3aL−3a2−L2)θA =

M6LEI (6aL−3a2−2L2)θB =

M6LEI (3a2−L2)



TabelasExercícios

Caso Equações(10)

v = q0x360LEI (7L4−10L2x2

+3x4)θ =

q0360LEI (7L4−30L2x2

+15x4)

vC =5q0L4

768EI θA =7q0L3

360EI θB =q0L3

45EI

x1 = 0,5193L vmax = 0,00652q0L4

EI



TabelasExercícios

Exercícios

Demonstrar que a flecha no meio do vão da viga da Figura é5MoL2

16EI .Calcule também as rotações nos apoios. Resolva por integração diretae também utilizando a tabela através de superposição de efeitos.Resposta:θA =

7M0L6EI ;θB =

−4M0L3EI

2Mo 3Mo

L



TabelasExercícios

Para a viga da Figura, determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 2,4×104 kNm2.Resposta:vC = 1,4×10−3 m ↓; vD = −1,6875×10−3 m↑;θA = −θB = 1,4×10−3 rad (horário);



TabelasExercícios

Para a viga da Figura, determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 2,4×104kNm2

Resposta:vC = −1,125×10−3 m ↑; vD = 3,36×10−3 m ↓;θA = −0,001rad (anti-horário);θB = 0,002 rad (horário);



TabelasExercícios

Para a viga da Figura, determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 2,4×104kNm2

Resposta:vC = 2,75×10−4 m ↓; vD = 1,6725×10−3 m↓;θA = 4×10−4 rad (horário);θB = 6×10−4 rad (horário);



TabelasExercícios

Para a viga da Figura determine os valores devC, vD, θA e θB. DadoEI = 4600 kNm2.Resposta:θA = 0,01014 rad (horário);θB = −8,6915×10−3 rad(anti-horario);vC = 0,012326 m↓ e vC = −8,148×10−3 m ↑



TabelasExercícios

Problemas estaticamente indeterminados



TabelasExercícios


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