O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

O ENSINO DE TRIGONOMETRIA COM APOIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Cleidi Vons Nogueira Tamaributi1

Amarildo de Vicente2

RESUMO

O presente artigo relata um trabalho desenvolvido com o intuito de aplicar o software

Geogebra e outros recursos tecnológicos como ferramentas de apoio ao ensino de

trigonometria. A execução da proposta foi realizada com a aplicação de uma

unidade didática, oportunizando, através de sua implementação, o caráter vivencial

da mesma. O trabalho teve como público alvo os alunos do 2º ano do Ensino Médio,

de um Colégio Estadual de Cascavel-PR. O objetivo foi repensar a prática

pedagógica da disciplina de Matemática, possibilitando melhor aprendizado do

conteúdo de Trigonometria. A aplicação da proposta serviu para avaliação do

impacto, dos resultados alcançados, que foram bastante satisfatórios, e das

dificuldades de implementação da prática.

Palavras-chave: Matemática, trigonometria, software livre GeoGebra.

1 INTRODUÇÃO

A proposta deste projeto é a socialização dos conhecimentos de Matemática,

buscando o relacionamento da mesma com o uso das tecnologias, aprimorando as

experiências aplicáveis no cotidiano. Nos últimos anos, os professores de

1 Pós Graduada em Educação Matemática, Graduada em matemática pela Unioeste, Professora

Estadual atua no Col. Est. Profº Victório Emanuel Abrozino em Cascavel

2 Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção, Graduação em Licenciatura Plena em

Matemática; Professor da área de Matemática da UNIOESTE-Cascavel

matemática da rede pública do Estado do Paraná vêm realizando estudos,

discussões e debates sobre as Diretrizes Curriculares, procurando neste documento,

legitimar suas vozes em relação às suas práticas e seus anseios. As Diretrizes

Curriculares de Matemática têm como fundamento teórico metodológico a Educação

Matemática, que destaca a prática do professor e também o uso da tecnologia. A

proposta é tornar mais acessível o ensino da Matemática, especificamente o

conteúdo de Trigonometria, usando destes recursos tecnológicos.

Um problema já bastante conhecido é que os alunos do segundo ano do

Ensino Médio, dizendo que sentem dificuldades em compreender o conteúdo de

trigonometria, consideram um conteúdo de difícil assimilação, assim como alguns

professores também confirmam que ficam pouco à vontade ao ensinar o mesmo.

Com base nessas situações, está-se propondo uma prática didático-pedagógica de

ensino, utilizando o software Geogebra como um dos recursos tecnológicos que

ajudarão no ensino de Trigonometria e que auxiliem tanto ao professor quanto ao

aluno. O trabalho foi desenvolvido no Colégio Estadual Professor Victório Emanuel

Abrozino com uma turma do 2º ano do Ensino Médio, a qual possui 38 alunos. No

laboratório de informática, o software GeoGebra encontra-se disponível no Paraná

Digital e no Portal Dia-a-dia Educação.

No decorrer do ano de 2010, foi trabalhada a Unidade Didática do PDE, num

curso a distância online, no Grupo de Trabalho em Rede – GTR, no qual foi

apresentado o projeto de intervenção pedagógica.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Uma das novas tendências temáticas da Educação Matemática é o contexto

sociocultural e político do ensino-aprendizagem da Matemática, em que ocorre uma

investigação da relação entre a matemática e as mídias tecnológicas. Mudanças

sucessivas das técnicas e tecnologias ocorrem em diferentes épocas da história da

humanidade, ver Howard (2004). A Idade da Pedra, do Bronze, do Ferro e da

Revolução Industrial correspondem a momentos dessa história em que os recursos

naturais são transformados e utilizados como tecnologias. Em um dos seus

discursos, Moran (2006) diz que “Tecnologia é todo e qualquer instrumento que se

utiliza para transformar em recursos que possam auxiliar no aprimoramento do

desenvolvimento”. A Educação Matemática, juntamente com pesquisadores, buscam

dentre outros assuntos, novas tendências metodológicas que facilitem a

compreensão da matemática e sua aplicação com significado real. Surgem grandes

avanços para seu ensino e também algumas preocupações.

“Ainda há uma enorme resistência de educadores em aceitar tecnologia. O caso mais danoso é a resistência ao uso da calculadora nas escolas. Os computadores e a internet são igualmente ignorados nos currículos de matemática”. A resistência ao uso dessas tecnologias acredita-se que seja pela falta de tempo e pela falta de interação com as novas tendências. (D’AMBROSIO 2005, p. 55).

No ensino da matemática são encontradas muitas dificuldades,

principalmente a falta de conhecimento na área da informática, ou seja, a falta do

manuseio dos recursos tecnológicos que as novas tendências oferecem. Para Borba

(2008, apud DCE, 2008, p.66).

No contexto da Educação Matemática, os ambientes gerados por aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo pedagógico. O uso de mídias tem suscitado novas questões, sejam elas em relação ao currículo, à experimentação matemática, às possibilidades do surgimento de novos conceitos e de novas teorias matemáticas.

As DCE de 2008 destacam o uso dos recursos midiáticos que vieram para

auxiliar o professor na sua prática docente e também o aluno como um dos recursos

para a compreensão dos conteúdos propostos como reafirmam D´Ambrósio e Barros

(2008, apud PARANÁ, 2008).

“Atividades com lápis e papel ou mesmo quadro e giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são sintetizadas”

Sendo assim, cabe ao professor fazer essa relação entre os conhecimentos e

os recursos tecnológicos que se fundamentam por meio das tendências da

Educação Matemática, procurando resgatar o interesse do aluno para o ensino da

matemática, articulando com outros recursos desta tendência, tais como: a

resolução de problemas, etnomatemática, modelagem matemática, mídias

tecnológicas e história da matemática. Mesmo assim os professores encontram

dificuldades na contextualização dos conteúdos. Alguns dos fatores que contribuem

para esta dificuldade são: a falta de conhecimento desses recursos tecnológicos, a

má qualidade do material didático, a redução da carga horária da disciplina, a falta

de tempo para planejamento e de cursos para dominar as tecnologias, a falta de

estudo por parte da maioria dos professores, entre outros.

As Diretrizes Curriculares de Matemática contempla uma metodologia de um

ensino que utilize os conhecimentos que o aluno já traz consigo, ou seja, a cultura

adquirida no dia a dia, onde muitas vezes são podados. É importante aproveitar

esses conhecimentos para que a escola oportunize um novo espaço de saberes

historicamente produzido, preparando-o para que possa exercer criticamente sua

função de cidadão na sociedade.

Percebe-se que grande importância se dá à inclusão das novas tecnologias

na prática pedagógica, pois elas trazem consigo novos desafios e exigências,

sobretudo que permitem aos educandos ampliarem seus conhecimentos e suas

possibilidades de investigação e observação no processo construtivo. Uma vez que

estes educandos encontrarão pela frente, nos diversos setores da sociedade,

desafios e situações que exigem atitudes e criatividades para exercer o papel de

cidadãos, eles sabem que aprendem muito mais fora da escola. Mas sabem também

que é necessária a aquisição de novos conhecimentos na sua formação acadêmica.

3. METODOLOGIA

Destacam-se aqui algumas das atividades da Unidade Didática para serem

desenvolvidas na prática pedagógica da sala de aula para o ensino de

Trigonometria.

A proposta desta Unidade Didática é a socialização dos conhecimentos de

matemática buscando o relacionamento da mesma com o uso das tecnologias,

aprimorando as experiências aplicáveis no cotidiano. No Geogebra é possível

construir figuras geométricas, ângulos, medir os ângulos com precisão, funções,

álgebra e planilha de cálculos interativos (TUTORIAL..., 2010). O Software pode ser

baixado dos endereços http://celcoluiz.wordpress.com/prd-tutoriais ou

http://www.geogebra.org/download/install.htm.

Há necessidade de mudar, de propor um ensino de matemática que desperte

o interesse dos alunos e ampliem seus conhecimentos.

As mídias, a informática, as tecnologias são presença indispensáveis no

campo educacional e precisam fazer parte da nossa linguagem. É preciso utilizar

desses recursos nas salas de aulas, no ensino de matemática, de forma que

venham contribuir para compreensão de significados matemáticos e do ensino

aprendizagem escolar.

Percebeu-se após alguns anos de trabalho, que no cotidiano escolar dos

alunos, alguns encontram dificuldades para assimilar os conteúdos de Matemática.

Muitos alunos dizem que não gostam da disciplina, acham difícil e que não

conseguem entender. Constatou-se também, pelas queixas dos alunos do segundo

ano do Ensino Médio, que os mesmos sentem dificuldades em compreender

principalmente o conteúdo de Trigonometria e alguns professores também

confirmam que não gostam desse conteúdo e sentem dificuldade para ensinar aos

alunos.

Com base nessas situações, pensou-se em utilizar os recursos tecnológicos,

como o software Geogebra e outros, para auxiliar o professor no ensino de

Trigonometria e facilitar a aprendizagem para os alunos. Nos laboratórios de

informática das escolas encontra-se disponível o software GeoGebra. Trata-se de

um software livre disponibilizado no Paraná Digital e no Portal Dia-a-dia Educação.

Dessa forma, pensando em ajudar aos alunos e aos professores, optou-se em

utilizar no ensino de Trigonometria o uso do software Geogebra e assim contribuir

com as atividades propostas (ver Apêndice A).

Nesta proposta de intervenção apresenta-se uma alternativa motivadora no

ensino-aprendizagem de Trigonometria, utilizando recursos tecnológicos, elegendo

para isso o software GeoGebra, como auxilio no ensino deste conteúdo.

O desenvolvimento do trabalho na escola teve início com a apresentação do

projeto de Implementação, bem como de um vídeo gravado pela proponente, para

auxiliar o trabalho. Esta apresentação foi feita aos professores, funcionários, equipe

pedagógica e direção da escola juntamente com os demais professores do PDE que

também fizeram o colóquio de seus projetos. Nesta apresentação foi feita uma

abordagem sobre trabalho enfatizando qual foi o problema que levou ao

desenvolvimento do projeto.

Na sequencia deu-se início ao trabalho com os alunos. Primeiramente iniciou-

se o conteúdo de trigonometria com uma pesquisa, buscando revisar alguns

conceitos básicos que serviriam de suporte para desenvolver o conteúdo. Também

buscou-se a origem da trigonometria, suas aplicações ao longo da história,

oportunizando aos alunos conhecer os grandes matemáticos e a evolução histórica

com suas valiosas contribuições sobre o assunto. Após isso retornou-se ao estudo

sobre os ângulos e suas classificações, enfatizando os ângulos agudos e

principalmente, o ângulo reto. Depois estudou-se a classificação dos triângulos

quanto à medida de seus lados e também de seus ângulos, enfatizando o triangulo

retângulo. Recordou-se o teorema de Pitágoras e, em seguida, foram feitas

construções das razões trigonométricas no triangulo retângulo. Nesta classe de

triângulos foram feitas aplicações das razões trigonométricas, onde foram deduzidos

os ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°. Foram desenvolvidas situações problemas

envolvendo os ângulos e as razões seno, cosseno e tangente. Em uma das aulas os

alunos foram até o pátio da escola para fazer aplicações práticas de trigonometria

usando o teodolito, criando situações problemas, calculando medições de distâncias

inacessíveis com cálculos de aproximação. Dentre as experiências realizadas foi

avaliada qual seria a altura de uma árvore existente, qual a distância do fio de apoio

de um poste com o solo, etc.

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Ao desenvolver o projeto de intervenção muitos problemas foram

encontrados. Um deles foi o agendamento dos horários no laboratório de

informática, no qual se pretendiam levar as quatro turmas do segundo ano do Ensino

Médio para que todos participassem do projeto. A princípio estava tudo certo. Na

primeira semana foram agendados horários para todas as turmas e todos se dirigiam

para o laboratório. Após isso veio um pedido da equipe pedagógica, solicitando que

se escolhesse apenas uma turma, pois os demais professores do colégio e também

os do PDE, que totalizava doze professores, também precisariam levar os seus

alunos no laboratório de informática. Este laboratório só dispõe de vinte monitores,

destes só podem ser utilizados dezoito, pois, dois desses precisam ficar à

disposição da laboratorista e de professores que necessitem utilizá-los para outros

trabalhos.

Por este motivo foi escolhida apenas uma turma, o 2°C do período da manhã

para trabalhar o conteúdo de Trigonometria utilizando o software Geogebra.

Ao iniciar o trabalho outros problemas apareceram. Um deles é que o

multimídia não poderia ser levado ao laboratório de informática, pois assim estariam

sendo utilizados neste local dois recursos tecnológicos que a escola dispõe,

deixando desprovidos outros professores que necessitavam destes recursos para

desenvolverem seus trabalhos. E como a escola só dispõe de um multimídia, foi

preciso optar por outro recurso. No laboratório de informática não tem TV Pendrive.

Elas estão somente nas salas de aula e todas estão fixas na parede, não podendo

ser removidas. Outros recursos foram utilizados sem sucesso. Retornou-se para a

sala de aula para assistir o vídeo na TV Pendrive, vídeo gravado com o objetivo de

desenvolver o projeto de implementação. Este vídeo narra um tutorial do software

Geogebra, sendo para os alunos uma introdução deste software. Só depois disso

pôde-se retornar ao laboratório de informática. Foi pedido aos alunos que

formassem grupos de dois e três grupos e que estes grupos ficassem juntos até o

final do projeto. Em seguida distribui-se uma apostila para cada aluno, num total de

38. Esta apostila contempla atividades primeiramente básicas, para que os alunos

pudessem conhecer as ferramentas do software Geogebra. Foi muito difícil realizar

trabalho planejado, pois não tinha ninguém para prestar auxilio e os alunos

encontravam muitas dificuldades até conhecer as ferramentas. Acredita-se que se

tivesse um multimídia no laboratório teria sido mais fácil, poderiam ser demonstrados

aos alunos as ferramentas na tela e seus comandos. Assim, foi necessário

assessorar cada grupo individualmente tornando o trabalho mais lento e cansativo. A

falta de infra-estrutura e a falta de mídias para o armazenamento dos trabalhos

dificultaram bastante o desenvolvimento das atividades. Os alunos precisam optar

por outros recursos para que possam concluir as questões. Na primeira etapa os

alunos desenvolveram atividades de construções, básicas de desenho geométrico,

como a construção de retas, pontos e figuras geométricas. Foram exploradas

construções do hexágono regular, hexágono irregular, triângulo inscrito e circunscrito

a uma circunferência, além de análise das questões. A segunda etapa constituiu-se

de atividades voltadas especificamente ao conteúdo de trigonometria. Foi iniciada

pela construção do círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico, marcando os arcos

congruentes e simétricos, destacando-se os valores de ângulos de: 0º, 30º, 45º, 60º,

90º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 360º. Para estas medidas foi

construída uma tabela de imagens das funções seno, cosseno e tangente, além de

uma análise de questões de arcos côngruos. Também formam construídos gráficos

das funções trigonométricas de seno, cosseno e tangente, e do ciclo trigonométrico

para a redução de quadrantes.

A base inicial foi bastante difícil em função da falta de estrutura e da

operacionalização do trabalho. Mas com o decorrer das aulas os alunos foram

conhecendo melhor o software e foram desenvolvendo as atividades com mais

segurança e tranquilidade, e até descobrindo maneiras de se fazer algumas

atividades de forma mais diretas do que aquelas que foram instruídos. Nesta etapa

de trabalho foram necessárias vinte aulas para desenvolvimento e conclusão. Os

alunos ficaram muito satisfeitos e relataram que a matéria ficou mais fácil de ser

entendida e passaram a gostar da disciplina.

Os professores da rede, participantes do GTR, elogiaram o projeto,

principalmente, pela necessidade que sentiam em estar aprimorando seus

conhecimentos a respeito do sobre o conteúdo de Trigonometria através do software

Geogebra.

Outro aspecto relevante foi a questão de preparar novos caminhos para o

trabalho com conhecimento de um novo recurso tecnológico que veio auxiliar no

desenvolvimento da Matemática, sendo que o software Geogebra pode ser aplicado

no desenvolvimento de vários conteúdos matemáticos.

Também, com posse da apostila da Unidade Didática e após baixarem o

software Geogebra em seus computadores, os professores comentaram que ao

executar algumas das atividades de trigonometria, o ensino deste conteúdo ficou

mais acessível tanto para o professor quanto para o aluno. Alguns disseram que não

conheciam o software e sentiram um pouco de dificuldade em desenvolver as

questões e outros, como já o conheciam, disseram que ficou fácil e pretendem fazer

uso em suas práticas pedagógicas.

5 CONCLUSÕES

Este trabalho foi o resultado da produção de uma Unidade Didática, que foi

desenvolvida com os alunos do 2° ano de Ensino Médio. A realização deste trabalho

aborda uma proposta metodológica para a disciplina de Matemática no Ensino

Médio, que visa aprimorar o ensino e a aprendizagem de seus conteúdos,

especificamente a Trigonometria.

Esta proposta teve como objetivo possibilitar a interação entre alunos e

professores e, com isso, proporcionar maior interesse por parte dos alunos,

melhorando, principalmente, a prática didático-pedagógica do professor e

despertando no aluno o gosto e a compreensão da matemática. Ou seja, essa

proposta atende às tendências metodológicas para o ensino da matemática proposta

nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (DCE - 2008),

destacando o uso das Mídias Tecnológicas para compreensão do conteúdo de

Trigonometria e propondo a utilização do software livre GeoGebra e outros recursos

midiáticos disponíveis na escola, como Laboratório de Informática, TVs Multimídia,

Pendrive e demais softwares livres disponibilizados no Paraná Digital.

Possibilitou também as construções de gráficos, tabelas, análises de

construção, para entender os conceitos trigonométricos, colaborando desse modo

com maior interesse dos alunos e melhor compreensão. Os resultados obtidos foram

satisfatórios, melhorando o ensino-aprendizagem da Matemática.

Com este projeto foi possível levar ao conhecimento dos alunos o conteúdo

de Matemática, trabalhando trigonometria no software Geogebra, que possibilitou

aos alunos um melhor desempenho e uma maior compreensão deste conteúdo.

Concluiu-se que a compreensão dos alunos melhorou em média de 80%. Segundo

relato dos alunos ficou mais fácil de compreender o conteúdo e se tornou possível

saber que na matemática, que muitos consideravam uma disciplina difícil, existem

muitos recursos para melhorar a compreensão dos conteúdos e confessaram que foi

a disciplina mais fácil que já tiveram no decorrer deste ano.

Após o curso do GTR, a satisfação é de saber que este projeto veio de

encontro com as expectativas dos professores cursistas que comentaram em farão

uso deste do material da Unidade Didática em suas aulas, assim como o uso do

software Geogebra. Alguns colegas destacam que já o conheciam, mas, não sabiam

utilizar em trigonometria, e comentaram que farão uso em suas práticas

pedagógicas.

6 REFERÊNCIAS

BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei nº 9394, de 20 de dezembro de 1996.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Tecnologias de Informação e Comunicação: REFLEXOS NA MATEMÁTICA E NO SEU ENSINO. Palestra de encerramento na Conferência de 10 anos do GPIMEM Rio Claro, SP, 05-06 de dezembro de 2003. Disponível em: (http://vello.sites.uol.com.br/reflexos.htm). Acesso em 14 abr 2010.

MORAN, J. Tecnologias Educacionais Frente às Tecnologias. EAD, Vídeo. Disponível em: (http://www.metacafe.com/watch/2993853/moran1/). Acesso em 25 agosto 2009.

TUTORIAL DO GEOGEBRA (Disponível em: http://www.nre.seed.pr.gov.br /cascavel/arquivos/File/material_curso_geogebra.pdf, http://celcoluiz.wordpress.com/prd-tutoriais, http://www.geogebra.org/download/install.htm). Acesso em: 27abr. 2010.

HOWARD, Eves. Introdução à História da Matemática. Campinas – SP. Editora da Unicamp, 2004.

Apêndice A

ATIVIDADE Nº 1

Tema: Apresentação das ferramentas do Software Geogebra.

Introdução: O software GeoGebra é apropriado para utilizar em ambiente de sala

de aula. Ele reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Está disponível em

http://www.geogebra.org, em versão para download gratuito ou para ser executado

via web (WebStart). O manual disponível em http ://www.geogebra.org/he

lp/docupt_BR.pdf e outro http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em

português de Portugal, mas um pouco mais completo. Um guia rápido de comandos,

disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

Objetivos: Conhecer o Software Geogebra, compreendendo o manuseio das

ferramentas para as construções do desenvolvimento das atividades propostas.

Material: Pesquisas na Internet, laboratório de informática, o Software Geogebra,

TV multimidia, pendrives e apostilas.

Disciplinas de Apoio: Matemática, História, Física, Português e Geografia.

Metodologia:

No laboratório de informática, utilizando o software Geogebra para explorar e

conhecer suas ferramentas, com o uso de apostilas e apoio da TV multimídia;

Em grupos, pesquisar na Internet, a história da Matemática enfatizando o

surgimento da Trigonometria;

Descrevam de que forma os matemáticos da antinguidade fizeram as

medições da distância da Terra até a Lua, da Terra até Sol, da Lua até o Sol,

a medida do raio da Terra, o comprimento da circunferência da Terra;

Após, auxiliados pelo professor, desenvolver as atividades no Software

Geogebra.

Tutorial do Software Geogebra

1º - Ao iniciar o Software GeoGebra, aparecem duas janelas, uma sendo a janela de

álgebra e a outra janela da área de Geometria, como mostra a figura 2. Através da

Barra de Ferramentas pode-se iniciar as construções, que são feitas na área de

trabalho com uso do mouse. Ao mesmo tempo, na Janela de Álgebra aparecem as

coordenadas e equações correspondentes. O Campo de Entrada de texto é usado

para digitar o comando das coordenadas, equações e funções diretamente e estes

são mostrados na área de trabalho. As construções são feitas simultaneamente. É

importante observar que na internet são feitas atualizações constantes do Software

e ao conectar verá novas versões com novas ferramentas.

TUTORIAL RESUMIDO DAS FERRAMENTAS DO SOFTWARE GEOGEBRA

O software Geogebra é um software de Matemática Dinâmica. Possui duas

janelas, uma de Geometria e a outra de Cálculos. Na BARRA DE FERRAMENTAS

há diversas opções de trabalhos e, dentro de cada opção, há diversas

FERRAMENTAS que podem ser utilizadas. Mais informações podem ser obtidas no

link, http://www.geometriadinamica.com.

APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE:

Este é o símbolo do software.

Figura 1

Conheça o software GeoGebra:

Veja na parte superior temos as BARRAS DE FERRAMENTAS, a direita a JANELA

DE GEOMETRIA e a esquerda JANELA DE áLGEBRA.

Figura 2

Nessa tela a demonstração é para visualizar as barras de ferramentas. Clicando na

opção Arquivo abrirão outras ferramentas, com outros comandos. Observe os

atalhos do lado de cada comando. Veja: Nova Janela, atalho Ctrl+N; Novo e Abrir,

atalho Ctrl+O, Gravar, atalho Ctrl+S; Gravar Como, Explorar, Visualizar

Impressão atalho Ctrl+P. Podem-se salvar os arquivos como os que foram

arquivados e gravados nessas atividades. Observe que aparece o este símbolo

do Software Geogebra e o nome do arquivo e com a extensão do programa, como

mostra: , Redução de quadrantes, ,

Navegação, , Agrimensor, , e por fim, Fechar

(atalho Alt+F4).

JANELA DE

GEOMETRIA

JANELA DE

ÁLGEBRA

BARRAS DE

FERRAMENTAS

Figura 3

Nesta tela a demonstração é para visualizar a ferramentas Janela. Colocando o

cursor e clicando em cima de Janela, será exibida a ferramenta Nova Janela, cujo

atalho é Ctrl+C.

Figura 4

Nesta tela a demonstração é para visualizar a ferramentas Ajuda. Pode-se também

buscar ajuda no site www.geogebra.org, GeoGebra Fórum, GeogebraWiki,

Sobre/Licença.

FERRAMENTAS

OUTRAS

FERRAMENTAS

NOME DO

ARQUIVO DAS

ATIVIDADES

Clicando em cima da ferramenta, WWW.geogebra.org, é um

link que abrirá o site na internet, para fazer download do software Geogebra.

Clicando em cima da ferramenta, GeoGebra Forum, (procure a

versão em português), acessa-se um site para trocas de idéias, debates e

comentários sobre as construções de atividades de matemática e o endereço que

abrirá a versão em português é:

http://geogebra.uni.lu/en/wiki/index.php/Portuguese.

Clicando em cima da ferramenta, Sobre/Licença, abrirá uma caixa

com informações sobre a licença do software (procure na internet a versão em

português).

Figura 5

O software possui diversas ferramentas, sendo que em cada ferramenta há outras

opções de comandos para o desenvolvimento das atividades. Vamos enumerá-las

de 1 até 11, para podermos direcionar melhor o tutorial das atividades.

Figura 6

Em cada uma das ferramentas existem algumas opções, por exemplo: clicando na

FERRAMENTA Nº 1, aparecerão três opções: MOVER, GIRAR EM TORNO DE UM

PONTO e GRAVAR PARA A PLANILHA DE CÁLCULOS. Para selecionar uma

destas opões deve-se colocar o cursor em cima da opção desejada, depois ir com o

cursor até a janela de Geometria e clicar nela para executar a atividade planejada.

Algumas atividades para serem executadas com o software Geogebra.

ATIVIDADES Nº 1

Tema: Construção dos gráficos das funções trigonométricas no software

Geogebra.

Introdução: Utilizar as ferramentas do software para construir os gráficos das

funções trigonométricas.

Objetivo: Construir o gráfico de cada função.

Material: No laboratório de informática, utilizando do Software Geogebra, TV

multimidia, pendrives e apostilas.

Disciplina de apoio: Matemática, Biologia e Física.

Metodologia: Desenvolvimento das atividades, seguindo o tutorial abaixo:

Tutorial para construção do circulo trigonométrico.

1º Questão: Construção da Função Seno.

1º - É necessário colocarmos os eixos no centro da janela de Geometria. Clicar na

(FERRAMENTA Nº 11) , DESLOCAR EIXOS, clicar em cima dos eixos nos

pontos (0,0) e arrastar para o centro da tela;

2º - Precisamos trocar a escala dos eixos x e y, para 2

Clicar o botão direito em

cima do eixo x, abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades,

3º - Abrirá outra caixa, escolha a opção Eixo x, marcar Distância, clicar em 2

e

Fechar.

4º - Precisamos digitar a função seno para construir o gráfico. Na parte de baixo tem

um campo de Entrada, lá é preciso digitar a função desta forma: sin(x) e clicar em

Enter.

5º - Ao clicar em Enter o gráfico da função será construído;

6º - Vamos pintar o gráfico da função. Clicar com o botão direito em cima do gráfico,

abrira uma caixa, escolha a opção Propriedades, clicar em, Cor, escolha a de sua

preferência, clicar em, Estilo, arraste o cursor ate o nº3 para alterar a espessura do

gráfico, clicar em Fechar.

Observe na janela da álgebra a equação.

Analisando a questão:

a) Qual o período desta função?

b) Qual é seu domínio?

c) Qual sua imagem?

2º Questão: Construção do gráfico da Função Cosseno

- Construa o gráfico para a função y = cos x.

1º - Trazer o eixo para o centro da tela, clicar na (FERRAMENTA Nº 11) ,

DESLOCAR EIXOS, clicar em cima dos eixos nos pontos (0,0) e arrastar para o

centro da tela;

2º - Precisamos trocar a escala dos eixos x e y, para 2

.Clicar o botão direito em

cima do eixo x, abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades,

3º - Abrirá outra caixa, escolha a opção Eixo x, marcar Distância, clicar em 2

e

Fechar.

4º - Precisamos digitar a função seno para construir o gráfico. Na parte de baixo tem

um campo de Entrada, lá é preciso digitar a função desta forma: y = cos(x) e clicar

em Enter.

5º - Ao clicar em Enter o gráfico da função será construído;

6º - Vamos pintar o gráfico da função. Clicar com o botão direito em cima do gráfico

abrira uma caixa, escolha a opção Propriedades; clicar em Cor, escolha a de sua

preferência; clicar em, Estilo; arraste o cursor até o nº3 para alterar a espessura do

gráfico; clicar em Fechar.

Analisando a questão:

a) Qual o período dessa função?

b) Qual é seu domínio?

c) Qual sua imagem?

3º Questão: Construção do gráfico da Função Tangente.

- Construa o gráfico para a função y = tan(x).

1º - Trazer o eixo para o centro da tela, clicar na (FERRAMENTA Nº 11) ,

DESLOCAR EIXOS, clicar em cima dos eixos nos pontos (0,0) e arrastar para o

centro da tela;

2º - Precisamos trocar a escala dos eixos x e y, para 2

. Clicar o botão direito em

cima do eixo x abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades,

3º - Abrirá outra caixa, escolha a opção Eixo x, marcar Distância, clicar em 2

e

Fechar.

4º - Precisamos digitar a função seno para construir o gráfico. Na parte de baixo tem

um campo de Entrada, lá é preciso digitar a função desta forma: y = tan(x) e clicar

em Enter.

5º - Ao clicar em Enter o gráfico da função será construído;

6º - Vamos pintar o gráfico da função. Clicar com o botão direito em cima do gráfico

abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades; clicar em Cor, escolha a de sua

preferência; clicar em Estilo, arraste o cursor ate o nº3 para alterar a espessura do

gráfico, clicar em Fechar.

Analisando a questão:

a) Qual o período desta função?

b) Qual é seu domínio?

c) Qual sua imagem?

ATIVIDADE Nº 2

Tema: Construção do ciclo trigonométrico para redução de quadrantes no

software Geogebra.

Introdução: Utilizar as ferramentas do software para construir o ciclo trigonométrico

para a redução do 1º quadrante.

Objetivo: Relacionar o arco do seno e do cosseno de um arco seja do 2º, 3º ou do

4º quadrante com os arcos correspondentes no 1º quadrante.

Material: No laboratório de informática, utilizando do Software Geogebra, TV

multimidia, pendrives e apostilas.

Disciplina de apoio: Matemática e Física.

Metodologia: Desenvolvimento das atividades, seguindo o tutorial abaixo:

Tutorial para construção do ciclo trigonométrico para redução de quadrantes.

1º Questão: Construção do ciclo trigonométrico para redução do 1º

quadrante.

1º- É necessário construir o círculo trigonométrico a partir de um centro e um raio

dado. Selecione a (FERRAMENTA Nº 6) CÍRCULO DADO CENTRO E RAIO .

2º - Clicar primeiro no centro dos eixos x e y e construir o ponto A (0,0). Na caixa

que se abrirá escrever o nº 1 e clicar em Ok.

3º - Observe que do lado esquerdo da tela aparece o ponto A=(0,0), o centro da

circunferência e também sua equação.

4º - O Círculo está dividido em quatro partes iguais, chamados quadrantes. É

necessário alterar a escala dos eixos x e y para ampliar o círculo. Clique com o

botão direito em cima do eixo x e abrirá uma janela. Clicando em Propriedades

abrirá uma nova janela. Clicar no eixo x, marcar a caixa da palavra Distância 0.2

(usar ponto e não vírgula entre os números) digitar -2 para valor Mínimo e 2 para

Máximo. Fechar a janela e repetir o mesmo processo para o eixo y.

5º - Observe que o tamanho do círculo aumenta, mas os eixos x e y estão fora de

escala.

6º - Para corrigir, clicar em cima do eixo x com o botão direito e escolher a opção 1 :

1.

7º - Marcar os pontos nos quadrantes da circunferência e clicar na (FERRAMENTA

Nº 2), NOVO PONTO. Marcar outro ponto F, que chamaremos de ponto

Móvel da circunferência.

8º - Traçar uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto F. Clicar na

(FERRAMENTA Nº3) , RETAS PARALELAS, e em seguida, no ponto F e no

eixo x.

9º - Precisamos criar um ponto de interseção, ou seja, em comum com a reta e o

círculo no 2º quadrante. Clicar na (FERRAMENTA Nº 2) , INTERSEÇÃO DE

DOIS OBJETOS, e depois clicar na reta e na circunferência, construindo o ponto de

interseção H;

10º Observe que os pontos ficaram sobrepostos os F e G, clicar na (FERRAMENTA

Nº) , MOVER, e arrastar o ponto F para cima, onde possa ficar mais visível.

Precisamos esconder o outro ponto, clicar na (FERRAMENTA Nº 11)

EXIBIR/ESCONDER OBJETOS, clicar sobre o ponto G e também, clicar na

(FERRAMENTA Nº 1) , MOVER. Chamamos isso de despoluir a tela. Traçar

um segmento de reta, clicar na (FERRAMENTA Nº 3) escolher a opção

SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS, clicar nos pontos A e F, depois

nos pontos A e H.

11º - Precisamos medir os ângulos. Escolher a (FERRAMENTA Nº 8)

ÂNGULO, e marcar o ângulo CAF clicando nos pontos C, A.e F. Fazer mesmo para

o ângulo CAH. Agora vamos pintar o ângulo CAF.

Com o botão direito do mouse clicar em cima do ângulo CAF no ângulo α. Na tela

que se abrirá escolher a opção propriedades, selecionar Cor e clicar na cor

escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.

12º - Vamos brincar um pouco. Clicar na (FERRAMENTA Nº 1) , MOVER,

clicar no ponto F e arrastar. Perceba os valores dos ângulos quando move o ponto

F. Observe o que acontece com a janela de álgebra e os quadrantes.

13º - Precisamos digitar no campo de Entrada y = α + β. Na parte de baixo tem um

campo de Entrada, lá é preciso digitar y = α + β e teclar em Enter. Para mover o

ponto F, clicar na (FERRAMENTA Nº 1) , MOVER e no ponto F, que também

chamamos de ponto móvel, girar e verificar o que acontece. Observe, na janela de

álgebra, as equações.

15º - Precisamos de um novo ponto J de interseção entre a reta a e o eixo y. Clicar

na (FERRAMENTA Nº 2) , INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS, clicar na reta

e no eixo y, construindo o ponto de interseção J;

Traçar um segmento de reta do ponto A até o ponto J. Para isso clicar na

(FERRAMENTA Nº 3) , escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR

DOIS PONTOS e clicar nos pontos A e J; chamamos esse segmento de reta de eixo

SENO.

Vamos pintar esse segmento de reta. Com o botão direito do mouse, clicar em cima

do segmento AJ. Na tela que abrirá escolher a opção propriedades, selecionar Cor e

clicar na cor escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.

15º - Precisamos de três retas perpendiculares ao eixo x, passando por F, H e por C.

Clicar na (FERRAMENTA Nº 4) , RETAS PERPENDICULARES. Clicar no

ponto F e no eixo x, depois clicar no ponto H e no eixo x e, finalmente, no ponto C e

no eixo x.

Fazer os pontos de interseção das retas com o eixo x. Escolher a (FERRAMENTA

Nº 2) , na opção INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS. Clicar na reta g e no eixo

x, depois na reta h e no eixo x e, por fim, na reta j e no eixo x.

Precisamos traçar um segmento de reta nos pontos K e L. Clicar na (FERRAMENTA

Nº 3), escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS e clicar

nos pontos K e L; chamamos esse segmento de reta de eixo COSSENO.

Vamos pintar esse segmento de reta KL. Com o botão direito do mouse, clicar em

cima do segmento KL. Na tela que abrirá escolher a opção propriedades, selecionar

Cor e clicar na cor escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.

16º - Traçar uma semirreta passando por A e F. Traçar a semirreta, clicar na

(FERRAMENTA Nº 3) SEMIRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS, e clicar

nos pontos A e F.

Fazer um ponto de interseção com a semirreta AF e reta j. Escolher a

(FERRAMENTA Nº 2) e, na opção INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS, clicar

na reta semirreta e na reta j.

Precisamos traçar um segmento de reta nos pontos C e N. Clicar na (FERRAMENTA

Nº 3) , escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS e

clicar nos pontos C e N;

A reta j chamamos de reta de eixo da TANGENTE,

Vamos pintar esse segmento de reta KL. Com o botão direito do mouse clicar em

cima do segmento KL. Na tela que abrirá escolher a opção propriedades, selecionar

Cor, clicar na cor escolhida. Depois, selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.

17º - Traçar uma semirreta passando por H e A Clicar na (FERRAMENTA Nº 3)

, SEMIRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS, e nos pontos H e A.

Fazer o ponto de interseção entre a semirreta HA e da reta j. Escolher a

(FERRAMENTA Nº 2) e, na opção INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS, clicar

na semi-reta HA e na reta j.

Precisamos traçar um segmento de reta nos pontos H e A. Clicar na (FERRAMENTA

Nº 3) , escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS e

clicar nos pontos C e O;

Vamos pintar esse segmento de reta CO. Com o botão direito do mouse, clicar em

cima do segmento CO. Na tela que se abrirá, escolher a opção propriedades,

selecionar Cor e clicar na cor escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e

Fechar.

Explorando a questão:

a) Selecione a ferramenta mover e mova o ponto F. Descreva o que acontece com

os Ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes.

b) Considere a seguinte situação: O arco de 150º está no 2º quadrante. Qual é o

valor do ângulo correspondente no 1º quadrante para que se possa obter sen150º e

cos150º?

c) Colocando o ponto F no 3º quadrante, marcando 240º, qual é o ângulo

correspondente no 1º quadrante para que se possa calcular sen240º e cos 240º?

d) Mova o ponto F, no 4º quadrante, com um ângulo no valor de 330º. Qual é o

ângulo correspondente no 1º quadrante que permite calcular sen330º e cos330º?

e) Ao mover os pontos F e o ponto H, o que acontece com as abscissas e

ordenadas?

f) O que acontece com a soma dos ângulos criados pela equação γ = α + β?

g) Vamos escrever no campo de Entrada outra equação: y = 3α + β. Observe na

janela de álgebra o que acontece com os objetos dependentes o valor de γ. Mova

novamente o ponto F e observe o que acontece com o valor de γ?

h) Como se classificam esses ângulos? Os ângulos CAF e CAH são semelhantes?

i)O seno de um ângulo qualquer é medido no eixo x ou no eixo y?