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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
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O ENSINO DE TRIGONOMETRIA COM APOIO DO SOFTWARE GEOGEBRA
Cleidi Vons Nogueira Tamaributi1
Amarildo de Vicente2
RESUMO
O presente artigo relata um trabalho desenvolvido com o intuito de aplicar o software
Geogebra e outros recursos tecnológicos como ferramentas de apoio ao ensino de
trigonometria. A execução da proposta foi realizada com a aplicação de uma
unidade didática, oportunizando, através de sua implementação, o caráter vivencial
da mesma. O trabalho teve como público alvo os alunos do 2º ano do Ensino Médio,
de um Colégio Estadual de Cascavel-PR. O objetivo foi repensar a prática
pedagógica da disciplina de Matemática, possibilitando melhor aprendizado do
conteúdo de Trigonometria. A aplicação da proposta serviu para avaliação do
impacto, dos resultados alcançados, que foram bastante satisfatórios, e das
dificuldades de implementação da prática.
Palavras-chave: Matemática, trigonometria, software livre GeoGebra.
1 INTRODUÇÃO
A proposta deste projeto é a socialização dos conhecimentos de Matemática,
buscando o relacionamento da mesma com o uso das tecnologias, aprimorando as
experiências aplicáveis no cotidiano. Nos últimos anos, os professores de
1 Pós Graduada em Educação Matemática, Graduada em matemática pela Unioeste, Professora
Estadual atua no Col. Est. Profº Victório Emanuel Abrozino em Cascavel
2 Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção, Graduação em Licenciatura Plena em
Matemática; Professor da área de Matemática da UNIOESTE-Cascavel
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matemática da rede pública do Estado do Paraná vêm realizando estudos,
discussões e debates sobre as Diretrizes Curriculares, procurando neste documento,
legitimar suas vozes em relação às suas práticas e seus anseios. As Diretrizes
Curriculares de Matemática têm como fundamento teórico metodológico a Educação
Matemática, que destaca a prática do professor e também o uso da tecnologia. A
proposta é tornar mais acessível o ensino da Matemática, especificamente o
conteúdo de Trigonometria, usando destes recursos tecnológicos.
Um problema já bastante conhecido é que os alunos do segundo ano do
Ensino Médio, dizendo que sentem dificuldades em compreender o conteúdo de
trigonometria, consideram um conteúdo de difícil assimilação, assim como alguns
professores também confirmam que ficam pouco à vontade ao ensinar o mesmo.
Com base nessas situações, está-se propondo uma prática didático-pedagógica de
ensino, utilizando o software Geogebra como um dos recursos tecnológicos que
ajudarão no ensino de Trigonometria e que auxiliem tanto ao professor quanto ao
aluno. O trabalho foi desenvolvido no Colégio Estadual Professor Victório Emanuel
Abrozino com uma turma do 2º ano do Ensino Médio, a qual possui 38 alunos. No
laboratório de informática, o software GeoGebra encontra-se disponível no Paraná
Digital e no Portal Dia-a-dia Educação.
No decorrer do ano de 2010, foi trabalhada a Unidade Didática do PDE, num
curso a distância online, no Grupo de Trabalho em Rede – GTR, no qual foi
apresentado o projeto de intervenção pedagógica.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Uma das novas tendências temáticas da Educação Matemática é o contexto
sociocultural e político do ensino-aprendizagem da Matemática, em que ocorre uma
investigação da relação entre a matemática e as mídias tecnológicas. Mudanças
sucessivas das técnicas e tecnologias ocorrem em diferentes épocas da história da
humanidade, ver Howard (2004). A Idade da Pedra, do Bronze, do Ferro e da
Revolução Industrial correspondem a momentos dessa história em que os recursos
naturais são transformados e utilizados como tecnologias. Em um dos seus
discursos, Moran (2006) diz que “Tecnologia é todo e qualquer instrumento que se
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utiliza para transformar em recursos que possam auxiliar no aprimoramento do
desenvolvimento”. A Educação Matemática, juntamente com pesquisadores, buscam
dentre outros assuntos, novas tendências metodológicas que facilitem a
compreensão da matemática e sua aplicação com significado real. Surgem grandes
avanços para seu ensino e também algumas preocupações.
“Ainda há uma enorme resistência de educadores em aceitar tecnologia. O caso mais danoso é a resistência ao uso da calculadora nas escolas. Os computadores e a internet são igualmente ignorados nos currículos de matemática”. A resistência ao uso dessas tecnologias acredita-se que seja pela falta de tempo e pela falta de interação com as novas tendências. (D’AMBROSIO 2005, p. 55).
No ensino da matemática são encontradas muitas dificuldades,
principalmente a falta de conhecimento na área da informática, ou seja, a falta do
manuseio dos recursos tecnológicos que as novas tendências oferecem. Para Borba
(2008, apud DCE, 2008, p.66).
No contexto da Educação Matemática, os ambientes gerados por aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo pedagógico. O uso de mídias tem suscitado novas questões, sejam elas em relação ao currículo, à experimentação matemática, às possibilidades do surgimento de novos conceitos e de novas teorias matemáticas.
As DCE de 2008 destacam o uso dos recursos midiáticos que vieram para
auxiliar o professor na sua prática docente e também o aluno como um dos recursos
para a compreensão dos conteúdos propostos como reafirmam D´Ambrósio e Barros
(2008, apud PARANÁ, 2008).
“Atividades com lápis e papel ou mesmo quadro e giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem feitas com o uso dos computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são sintetizadas”
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Sendo assim, cabe ao professor fazer essa relação entre os conhecimentos e
os recursos tecnológicos que se fundamentam por meio das tendências da
Educação Matemática, procurando resgatar o interesse do aluno para o ensino da
matemática, articulando com outros recursos desta tendência, tais como: a
resolução de problemas, etnomatemática, modelagem matemática, mídias
tecnológicas e história da matemática. Mesmo assim os professores encontram
dificuldades na contextualização dos conteúdos. Alguns dos fatores que contribuem
para esta dificuldade são: a falta de conhecimento desses recursos tecnológicos, a
má qualidade do material didático, a redução da carga horária da disciplina, a falta
de tempo para planejamento e de cursos para dominar as tecnologias, a falta de
estudo por parte da maioria dos professores, entre outros.
As Diretrizes Curriculares de Matemática contempla uma metodologia de um
ensino que utilize os conhecimentos que o aluno já traz consigo, ou seja, a cultura
adquirida no dia a dia, onde muitas vezes são podados. É importante aproveitar
esses conhecimentos para que a escola oportunize um novo espaço de saberes
historicamente produzido, preparando-o para que possa exercer criticamente sua
função de cidadão na sociedade.
Percebe-se que grande importância se dá à inclusão das novas tecnologias
na prática pedagógica, pois elas trazem consigo novos desafios e exigências,
sobretudo que permitem aos educandos ampliarem seus conhecimentos e suas
possibilidades de investigação e observação no processo construtivo. Uma vez que
estes educandos encontrarão pela frente, nos diversos setores da sociedade,
desafios e situações que exigem atitudes e criatividades para exercer o papel de
cidadãos, eles sabem que aprendem muito mais fora da escola. Mas sabem também
que é necessária a aquisição de novos conhecimentos na sua formação acadêmica.
3. METODOLOGIA
Destacam-se aqui algumas das atividades da Unidade Didática para serem
desenvolvidas na prática pedagógica da sala de aula para o ensino de
Trigonometria.
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A proposta desta Unidade Didática é a socialização dos conhecimentos de
matemática buscando o relacionamento da mesma com o uso das tecnologias,
aprimorando as experiências aplicáveis no cotidiano. No Geogebra é possível
construir figuras geométricas, ângulos, medir os ângulos com precisão, funções,
álgebra e planilha de cálculos interativos (TUTORIAL..., 2010). O Software pode ser
baixado dos endereços http://celcoluiz.wordpress.com/prd-tutoriais ou
http://www.geogebra.org/download/install.htm.
Há necessidade de mudar, de propor um ensino de matemática que desperte
o interesse dos alunos e ampliem seus conhecimentos.
As mídias, a informática, as tecnologias são presença indispensáveis no
campo educacional e precisam fazer parte da nossa linguagem. É preciso utilizar
desses recursos nas salas de aulas, no ensino de matemática, de forma que
venham contribuir para compreensão de significados matemáticos e do ensino
aprendizagem escolar.
Percebeu-se após alguns anos de trabalho, que no cotidiano escolar dos
alunos, alguns encontram dificuldades para assimilar os conteúdos de Matemática.
Muitos alunos dizem que não gostam da disciplina, acham difícil e que não
conseguem entender. Constatou-se também, pelas queixas dos alunos do segundo
ano do Ensino Médio, que os mesmos sentem dificuldades em compreender
principalmente o conteúdo de Trigonometria e alguns professores também
confirmam que não gostam desse conteúdo e sentem dificuldade para ensinar aos
alunos.
Com base nessas situações, pensou-se em utilizar os recursos tecnológicos,
como o software Geogebra e outros, para auxiliar o professor no ensino de
Trigonometria e facilitar a aprendizagem para os alunos. Nos laboratórios de
informática das escolas encontra-se disponível o software GeoGebra. Trata-se de
um software livre disponibilizado no Paraná Digital e no Portal Dia-a-dia Educação.
Dessa forma, pensando em ajudar aos alunos e aos professores, optou-se em
utilizar no ensino de Trigonometria o uso do software Geogebra e assim contribuir
com as atividades propostas (ver Apêndice A).
Nesta proposta de intervenção apresenta-se uma alternativa motivadora no
ensino-aprendizagem de Trigonometria, utilizando recursos tecnológicos, elegendo
para isso o software GeoGebra, como auxilio no ensino deste conteúdo.
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O desenvolvimento do trabalho na escola teve início com a apresentação do
projeto de Implementação, bem como de um vídeo gravado pela proponente, para
auxiliar o trabalho. Esta apresentação foi feita aos professores, funcionários, equipe
pedagógica e direção da escola juntamente com os demais professores do PDE que
também fizeram o colóquio de seus projetos. Nesta apresentação foi feita uma
abordagem sobre trabalho enfatizando qual foi o problema que levou ao
desenvolvimento do projeto.
Na sequencia deu-se início ao trabalho com os alunos. Primeiramente iniciou-
se o conteúdo de trigonometria com uma pesquisa, buscando revisar alguns
conceitos básicos que serviriam de suporte para desenvolver o conteúdo. Também
buscou-se a origem da trigonometria, suas aplicações ao longo da história,
oportunizando aos alunos conhecer os grandes matemáticos e a evolução histórica
com suas valiosas contribuições sobre o assunto. Após isso retornou-se ao estudo
sobre os ângulos e suas classificações, enfatizando os ângulos agudos e
principalmente, o ângulo reto. Depois estudou-se a classificação dos triângulos
quanto à medida de seus lados e também de seus ângulos, enfatizando o triangulo
retângulo. Recordou-se o teorema de Pitágoras e, em seguida, foram feitas
construções das razões trigonométricas no triangulo retângulo. Nesta classe de
triângulos foram feitas aplicações das razões trigonométricas, onde foram deduzidos
os ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°. Foram desenvolvidas situações problemas
envolvendo os ângulos e as razões seno, cosseno e tangente. Em uma das aulas os
alunos foram até o pátio da escola para fazer aplicações práticas de trigonometria
usando o teodolito, criando situações problemas, calculando medições de distâncias
inacessíveis com cálculos de aproximação. Dentre as experiências realizadas foi
avaliada qual seria a altura de uma árvore existente, qual a distância do fio de apoio
de um poste com o solo, etc.
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Ao desenvolver o projeto de intervenção muitos problemas foram
encontrados. Um deles foi o agendamento dos horários no laboratório de
informática, no qual se pretendiam levar as quatro turmas do segundo ano do Ensino
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Médio para que todos participassem do projeto. A princípio estava tudo certo. Na
primeira semana foram agendados horários para todas as turmas e todos se dirigiam
para o laboratório. Após isso veio um pedido da equipe pedagógica, solicitando que
se escolhesse apenas uma turma, pois os demais professores do colégio e também
os do PDE, que totalizava doze professores, também precisariam levar os seus
alunos no laboratório de informática. Este laboratório só dispõe de vinte monitores,
destes só podem ser utilizados dezoito, pois, dois desses precisam ficar à
disposição da laboratorista e de professores que necessitem utilizá-los para outros
trabalhos.
Por este motivo foi escolhida apenas uma turma, o 2°C do período da manhã
para trabalhar o conteúdo de Trigonometria utilizando o software Geogebra.
Ao iniciar o trabalho outros problemas apareceram. Um deles é que o
multimídia não poderia ser levado ao laboratório de informática, pois assim estariam
sendo utilizados neste local dois recursos tecnológicos que a escola dispõe,
deixando desprovidos outros professores que necessitavam destes recursos para
desenvolverem seus trabalhos. E como a escola só dispõe de um multimídia, foi
preciso optar por outro recurso. No laboratório de informática não tem TV Pendrive.
Elas estão somente nas salas de aula e todas estão fixas na parede, não podendo
ser removidas. Outros recursos foram utilizados sem sucesso. Retornou-se para a
sala de aula para assistir o vídeo na TV Pendrive, vídeo gravado com o objetivo de
desenvolver o projeto de implementação. Este vídeo narra um tutorial do software
Geogebra, sendo para os alunos uma introdução deste software. Só depois disso
pôde-se retornar ao laboratório de informática. Foi pedido aos alunos que
formassem grupos de dois e três grupos e que estes grupos ficassem juntos até o
final do projeto. Em seguida distribui-se uma apostila para cada aluno, num total de
38. Esta apostila contempla atividades primeiramente básicas, para que os alunos
pudessem conhecer as ferramentas do software Geogebra. Foi muito difícil realizar
trabalho planejado, pois não tinha ninguém para prestar auxilio e os alunos
encontravam muitas dificuldades até conhecer as ferramentas. Acredita-se que se
tivesse um multimídia no laboratório teria sido mais fácil, poderiam ser demonstrados
aos alunos as ferramentas na tela e seus comandos. Assim, foi necessário
assessorar cada grupo individualmente tornando o trabalho mais lento e cansativo. A
falta de infra-estrutura e a falta de mídias para o armazenamento dos trabalhos
dificultaram bastante o desenvolvimento das atividades. Os alunos precisam optar
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por outros recursos para que possam concluir as questões. Na primeira etapa os
alunos desenvolveram atividades de construções, básicas de desenho geométrico,
como a construção de retas, pontos e figuras geométricas. Foram exploradas
construções do hexágono regular, hexágono irregular, triângulo inscrito e circunscrito
a uma circunferência, além de análise das questões. A segunda etapa constituiu-se
de atividades voltadas especificamente ao conteúdo de trigonometria. Foi iniciada
pela construção do círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico, marcando os arcos
congruentes e simétricos, destacando-se os valores de ângulos de: 0º, 30º, 45º, 60º,
90º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 360º. Para estas medidas foi
construída uma tabela de imagens das funções seno, cosseno e tangente, além de
uma análise de questões de arcos côngruos. Também formam construídos gráficos
das funções trigonométricas de seno, cosseno e tangente, e do ciclo trigonométrico
para a redução de quadrantes.
A base inicial foi bastante difícil em função da falta de estrutura e da
operacionalização do trabalho. Mas com o decorrer das aulas os alunos foram
conhecendo melhor o software e foram desenvolvendo as atividades com mais
segurança e tranquilidade, e até descobrindo maneiras de se fazer algumas
atividades de forma mais diretas do que aquelas que foram instruídos. Nesta etapa
de trabalho foram necessárias vinte aulas para desenvolvimento e conclusão. Os
alunos ficaram muito satisfeitos e relataram que a matéria ficou mais fácil de ser
entendida e passaram a gostar da disciplina.
Os professores da rede, participantes do GTR, elogiaram o projeto,
principalmente, pela necessidade que sentiam em estar aprimorando seus
conhecimentos a respeito do sobre o conteúdo de Trigonometria através do software
Geogebra.
Outro aspecto relevante foi a questão de preparar novos caminhos para o
trabalho com conhecimento de um novo recurso tecnológico que veio auxiliar no
desenvolvimento da Matemática, sendo que o software Geogebra pode ser aplicado
no desenvolvimento de vários conteúdos matemáticos.
Também, com posse da apostila da Unidade Didática e após baixarem o
software Geogebra em seus computadores, os professores comentaram que ao
executar algumas das atividades de trigonometria, o ensino deste conteúdo ficou
mais acessível tanto para o professor quanto para o aluno. Alguns disseram que não
conheciam o software e sentiram um pouco de dificuldade em desenvolver as
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questões e outros, como já o conheciam, disseram que ficou fácil e pretendem fazer
uso em suas práticas pedagógicas.
5 CONCLUSÕES
Este trabalho foi o resultado da produção de uma Unidade Didática, que foi
desenvolvida com os alunos do 2° ano de Ensino Médio. A realização deste trabalho
aborda uma proposta metodológica para a disciplina de Matemática no Ensino
Médio, que visa aprimorar o ensino e a aprendizagem de seus conteúdos,
especificamente a Trigonometria.
Esta proposta teve como objetivo possibilitar a interação entre alunos e
professores e, com isso, proporcionar maior interesse por parte dos alunos,
melhorando, principalmente, a prática didático-pedagógica do professor e
despertando no aluno o gosto e a compreensão da matemática. Ou seja, essa
proposta atende às tendências metodológicas para o ensino da matemática proposta
nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (DCE - 2008),
destacando o uso das Mídias Tecnológicas para compreensão do conteúdo de
Trigonometria e propondo a utilização do software livre GeoGebra e outros recursos
midiáticos disponíveis na escola, como Laboratório de Informática, TVs Multimídia,
Pendrive e demais softwares livres disponibilizados no Paraná Digital.
Possibilitou também as construções de gráficos, tabelas, análises de
construção, para entender os conceitos trigonométricos, colaborando desse modo
com maior interesse dos alunos e melhor compreensão. Os resultados obtidos foram
satisfatórios, melhorando o ensino-aprendizagem da Matemática.
Com este projeto foi possível levar ao conhecimento dos alunos o conteúdo
de Matemática, trabalhando trigonometria no software Geogebra, que possibilitou
aos alunos um melhor desempenho e uma maior compreensão deste conteúdo.
Concluiu-se que a compreensão dos alunos melhorou em média de 80%. Segundo
relato dos alunos ficou mais fácil de compreender o conteúdo e se tornou possível
saber que na matemática, que muitos consideravam uma disciplina difícil, existem
muitos recursos para melhorar a compreensão dos conteúdos e confessaram que foi
a disciplina mais fácil que já tiveram no decorrer deste ano.
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Após o curso do GTR, a satisfação é de saber que este projeto veio de
encontro com as expectativas dos professores cursistas que comentaram em farão
uso deste do material da Unidade Didática em suas aulas, assim como o uso do
software Geogebra. Alguns colegas destacam que já o conheciam, mas, não sabiam
utilizar em trigonometria, e comentaram que farão uso em suas práticas
pedagógicas.
6 REFERÊNCIAS
BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei nº 9394, de 20 de dezembro de 1996.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Tecnologias de Informação e Comunicação: REFLEXOS NA MATEMÁTICA E NO SEU ENSINO. Palestra de encerramento na Conferência de 10 anos do GPIMEM Rio Claro, SP, 05-06 de dezembro de 2003. Disponível em: (http://vello.sites.uol.com.br/reflexos.htm). Acesso em 14 abr 2010.
MORAN, J. Tecnologias Educacionais Frente às Tecnologias. EAD, Vídeo. Disponível em: (http://www.metacafe.com/watch/2993853/moran1/). Acesso em 25 agosto 2009.
TUTORIAL DO GEOGEBRA (Disponível em: http://www.nre.seed.pr.gov.br /cascavel/arquivos/File/material_curso_geogebra.pdf, http://celcoluiz.wordpress.com/prd-tutoriais, http://www.geogebra.org/download/install.htm). Acesso em: 27abr. 2010.
HOWARD, Eves. Introdução à História da Matemática. Campinas – SP. Editora da Unicamp, 2004.
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Apêndice A
ATIVIDADE Nº 1
Tema: Apresentação das ferramentas do Software Geogebra.
Introdução: O software GeoGebra é apropriado para utilizar em ambiente de sala
de aula. Ele reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Está disponível em
http://www.geogebra.org, em versão para download gratuito ou para ser executado
via web (WebStart). O manual disponível em http ://www.geogebra.org/he
lp/docupt_BR.pdf e outro http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em
português de Portugal, mas um pouco mais completo. Um guia rápido de comandos,
disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.
Objetivos: Conhecer o Software Geogebra, compreendendo o manuseio das
ferramentas para as construções do desenvolvimento das atividades propostas.
Material: Pesquisas na Internet, laboratório de informática, o Software Geogebra,
TV multimidia, pendrives e apostilas.
Disciplinas de Apoio: Matemática, História, Física, Português e Geografia.
Metodologia:
No laboratório de informática, utilizando o software Geogebra para explorar e
conhecer suas ferramentas, com o uso de apostilas e apoio da TV multimídia;
Em grupos, pesquisar na Internet, a história da Matemática enfatizando o
surgimento da Trigonometria;
Descrevam de que forma os matemáticos da antinguidade fizeram as
medições da distância da Terra até a Lua, da Terra até Sol, da Lua até o Sol,
a medida do raio da Terra, o comprimento da circunferência da Terra;
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Após, auxiliados pelo professor, desenvolver as atividades no Software
Geogebra.
Tutorial do Software Geogebra
1º - Ao iniciar o Software GeoGebra, aparecem duas janelas, uma sendo a janela de
álgebra e a outra janela da área de Geometria, como mostra a figura 2. Através da
Barra de Ferramentas pode-se iniciar as construções, que são feitas na área de
trabalho com uso do mouse. Ao mesmo tempo, na Janela de Álgebra aparecem as
coordenadas e equações correspondentes. O Campo de Entrada de texto é usado
para digitar o comando das coordenadas, equações e funções diretamente e estes
são mostrados na área de trabalho. As construções são feitas simultaneamente. É
importante observar que na internet são feitas atualizações constantes do Software
e ao conectar verá novas versões com novas ferramentas.
TUTORIAL RESUMIDO DAS FERRAMENTAS DO SOFTWARE GEOGEBRA
O software Geogebra é um software de Matemática Dinâmica. Possui duas
janelas, uma de Geometria e a outra de Cálculos. Na BARRA DE FERRAMENTAS
há diversas opções de trabalhos e, dentro de cada opção, há diversas
FERRAMENTAS que podem ser utilizadas. Mais informações podem ser obtidas no
link, http://www.geometriadinamica.com.
APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE:
Este é o símbolo do software.
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Figura 1
Conheça o software GeoGebra:
Veja na parte superior temos as BARRAS DE FERRAMENTAS, a direita a JANELA
DE GEOMETRIA e a esquerda JANELA DE áLGEBRA.
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Figura 2
Nessa tela a demonstração é para visualizar as barras de ferramentas. Clicando na
opção Arquivo abrirão outras ferramentas, com outros comandos. Observe os
atalhos do lado de cada comando. Veja: Nova Janela, atalho Ctrl+N; Novo e Abrir,
atalho Ctrl+O, Gravar, atalho Ctrl+S; Gravar Como, Explorar, Visualizar
Impressão atalho Ctrl+P. Podem-se salvar os arquivos como os que foram
arquivados e gravados nessas atividades. Observe que aparece o este símbolo
do Software Geogebra e o nome do arquivo e com a extensão do programa, como
mostra: , Redução de quadrantes, ,
Navegação, , Agrimensor, , e por fim, Fechar
(atalho Alt+F4).
JANELA DE
GEOMETRIA
JANELA DE
ÁLGEBRA
BARRAS DE
FERRAMENTAS
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Figura 3
Nesta tela a demonstração é para visualizar a ferramentas Janela. Colocando o
cursor e clicando em cima de Janela, será exibida a ferramenta Nova Janela, cujo
atalho é Ctrl+C.
Figura 4
Nesta tela a demonstração é para visualizar a ferramentas Ajuda. Pode-se também
buscar ajuda no site www.geogebra.org, GeoGebra Fórum, GeogebraWiki,
Sobre/Licença.
FERRAMENTAS
OUTRAS
FERRAMENTAS
NOME DO
ARQUIVO DAS
ATIVIDADES
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Clicando em cima da ferramenta, WWW.geogebra.org, é um
link que abrirá o site na internet, para fazer download do software Geogebra.
Clicando em cima da ferramenta, GeoGebra Forum, (procure a
versão em português), acessa-se um site para trocas de idéias, debates e
comentários sobre as construções de atividades de matemática e o endereço que
abrirá a versão em português é:
http://geogebra.uni.lu/en/wiki/index.php/Portuguese.
Clicando em cima da ferramenta, Sobre/Licença, abrirá uma caixa
com informações sobre a licença do software (procure na internet a versão em
português).
Figura 5
O software possui diversas ferramentas, sendo que em cada ferramenta há outras
opções de comandos para o desenvolvimento das atividades. Vamos enumerá-las
de 1 até 11, para podermos direcionar melhor o tutorial das atividades.
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Figura 6
Em cada uma das ferramentas existem algumas opções, por exemplo: clicando na
FERRAMENTA Nº 1, aparecerão três opções: MOVER, GIRAR EM TORNO DE UM
PONTO e GRAVAR PARA A PLANILHA DE CÁLCULOS. Para selecionar uma
destas opões deve-se colocar o cursor em cima da opção desejada, depois ir com o
cursor até a janela de Geometria e clicar nela para executar a atividade planejada.
Algumas atividades para serem executadas com o software Geogebra.
ATIVIDADES Nº 1
Tema: Construção dos gráficos das funções trigonométricas no software
Geogebra.
Introdução: Utilizar as ferramentas do software para construir os gráficos das
funções trigonométricas.
Objetivo: Construir o gráfico de cada função.
Material: No laboratório de informática, utilizando do Software Geogebra, TV
multimidia, pendrives e apostilas.
Disciplina de apoio: Matemática, Biologia e Física.
Metodologia: Desenvolvimento das atividades, seguindo o tutorial abaixo:
Tutorial para construção do circulo trigonométrico.
1º Questão: Construção da Função Seno.
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1º - É necessário colocarmos os eixos no centro da janela de Geometria. Clicar na
(FERRAMENTA Nº 11) , DESLOCAR EIXOS, clicar em cima dos eixos nos
pontos (0,0) e arrastar para o centro da tela;
2º - Precisamos trocar a escala dos eixos x e y, para 2
Clicar o botão direito em
cima do eixo x, abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades,
3º - Abrirá outra caixa, escolha a opção Eixo x, marcar Distância, clicar em 2
e
Fechar.
4º - Precisamos digitar a função seno para construir o gráfico. Na parte de baixo tem
um campo de Entrada, lá é preciso digitar a função desta forma: sin(x) e clicar em
Enter.
5º - Ao clicar em Enter o gráfico da função será construído;
6º - Vamos pintar o gráfico da função. Clicar com o botão direito em cima do gráfico,
abrira uma caixa, escolha a opção Propriedades, clicar em, Cor, escolha a de sua
preferência, clicar em, Estilo, arraste o cursor ate o nº3 para alterar a espessura do
gráfico, clicar em Fechar.
Observe na janela da álgebra a equação.
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Analisando a questão:
a) Qual o período desta função?
b) Qual é seu domínio?
c) Qual sua imagem?
2º Questão: Construção do gráfico da Função Cosseno
- Construa o gráfico para a função y = cos x.
1º - Trazer o eixo para o centro da tela, clicar na (FERRAMENTA Nº 11) ,
DESLOCAR EIXOS, clicar em cima dos eixos nos pontos (0,0) e arrastar para o
centro da tela;
2º - Precisamos trocar a escala dos eixos x e y, para 2
.Clicar o botão direito em
cima do eixo x, abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades,
3º - Abrirá outra caixa, escolha a opção Eixo x, marcar Distância, clicar em 2
e
Fechar.
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4º - Precisamos digitar a função seno para construir o gráfico. Na parte de baixo tem
um campo de Entrada, lá é preciso digitar a função desta forma: y = cos(x) e clicar
em Enter.
5º - Ao clicar em Enter o gráfico da função será construído;
6º - Vamos pintar o gráfico da função. Clicar com o botão direito em cima do gráfico
abrira uma caixa, escolha a opção Propriedades; clicar em Cor, escolha a de sua
preferência; clicar em, Estilo; arraste o cursor até o nº3 para alterar a espessura do
gráfico; clicar em Fechar.
Analisando a questão:
a) Qual o período dessa função?
b) Qual é seu domínio?
c) Qual sua imagem?
3º Questão: Construção do gráfico da Função Tangente.
- Construa o gráfico para a função y = tan(x).
1º - Trazer o eixo para o centro da tela, clicar na (FERRAMENTA Nº 11) ,
DESLOCAR EIXOS, clicar em cima dos eixos nos pontos (0,0) e arrastar para o
centro da tela;
2º - Precisamos trocar a escala dos eixos x e y, para 2
. Clicar o botão direito em
cima do eixo x abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades,
3º - Abrirá outra caixa, escolha a opção Eixo x, marcar Distância, clicar em 2
e
Fechar.
4º - Precisamos digitar a função seno para construir o gráfico. Na parte de baixo tem
um campo de Entrada, lá é preciso digitar a função desta forma: y = tan(x) e clicar
em Enter.
5º - Ao clicar em Enter o gráfico da função será construído;
6º - Vamos pintar o gráfico da função. Clicar com o botão direito em cima do gráfico
abrirá uma caixa, escolha a opção Propriedades; clicar em Cor, escolha a de sua
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preferência; clicar em Estilo, arraste o cursor ate o nº3 para alterar a espessura do
gráfico, clicar em Fechar.
Analisando a questão:
a) Qual o período desta função?
b) Qual é seu domínio?
c) Qual sua imagem?
ATIVIDADE Nº 2
Tema: Construção do ciclo trigonométrico para redução de quadrantes no
software Geogebra.
Introdução: Utilizar as ferramentas do software para construir o ciclo trigonométrico
para a redução do 1º quadrante.
Objetivo: Relacionar o arco do seno e do cosseno de um arco seja do 2º, 3º ou do
4º quadrante com os arcos correspondentes no 1º quadrante.
Material: No laboratório de informática, utilizando do Software Geogebra, TV
multimidia, pendrives e apostilas.
Disciplina de apoio: Matemática e Física.
Metodologia: Desenvolvimento das atividades, seguindo o tutorial abaixo:
Tutorial para construção do ciclo trigonométrico para redução de quadrantes.
1º Questão: Construção do ciclo trigonométrico para redução do 1º
quadrante.
1º- É necessário construir o círculo trigonométrico a partir de um centro e um raio
dado. Selecione a (FERRAMENTA Nº 6) CÍRCULO DADO CENTRO E RAIO .
2º - Clicar primeiro no centro dos eixos x e y e construir o ponto A (0,0). Na caixa
que se abrirá escrever o nº 1 e clicar em Ok.
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3º - Observe que do lado esquerdo da tela aparece o ponto A=(0,0), o centro da
circunferência e também sua equação.
4º - O Círculo está dividido em quatro partes iguais, chamados quadrantes. É
necessário alterar a escala dos eixos x e y para ampliar o círculo. Clique com o
botão direito em cima do eixo x e abrirá uma janela. Clicando em Propriedades
abrirá uma nova janela. Clicar no eixo x, marcar a caixa da palavra Distância 0.2
(usar ponto e não vírgula entre os números) digitar -2 para valor Mínimo e 2 para
Máximo. Fechar a janela e repetir o mesmo processo para o eixo y.
5º - Observe que o tamanho do círculo aumenta, mas os eixos x e y estão fora de
escala.
6º - Para corrigir, clicar em cima do eixo x com o botão direito e escolher a opção 1 :
1.
7º - Marcar os pontos nos quadrantes da circunferência e clicar na (FERRAMENTA
Nº 2), NOVO PONTO. Marcar outro ponto F, que chamaremos de ponto
Móvel da circunferência.
8º - Traçar uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto F. Clicar na
(FERRAMENTA Nº3) , RETAS PARALELAS, e em seguida, no ponto F e no
eixo x.
9º - Precisamos criar um ponto de interseção, ou seja, em comum com a reta e o
círculo no 2º quadrante. Clicar na (FERRAMENTA Nº 2) , INTERSEÇÃO DE
DOIS OBJETOS, e depois clicar na reta e na circunferência, construindo o ponto de
interseção H;
10º Observe que os pontos ficaram sobrepostos os F e G, clicar na (FERRAMENTA
Nº) , MOVER, e arrastar o ponto F para cima, onde possa ficar mais visível.
Precisamos esconder o outro ponto, clicar na (FERRAMENTA Nº 11)
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EXIBIR/ESCONDER OBJETOS, clicar sobre o ponto G e também, clicar na
(FERRAMENTA Nº 1) , MOVER. Chamamos isso de despoluir a tela. Traçar
um segmento de reta, clicar na (FERRAMENTA Nº 3) escolher a opção
SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS, clicar nos pontos A e F, depois
nos pontos A e H.
11º - Precisamos medir os ângulos. Escolher a (FERRAMENTA Nº 8)
ÂNGULO, e marcar o ângulo CAF clicando nos pontos C, A.e F. Fazer mesmo para
o ângulo CAH. Agora vamos pintar o ângulo CAF.
Com o botão direito do mouse clicar em cima do ângulo CAF no ângulo α. Na tela
que se abrirá escolher a opção propriedades, selecionar Cor e clicar na cor
escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.
12º - Vamos brincar um pouco. Clicar na (FERRAMENTA Nº 1) , MOVER,
clicar no ponto F e arrastar. Perceba os valores dos ângulos quando move o ponto
F. Observe o que acontece com a janela de álgebra e os quadrantes.
13º - Precisamos digitar no campo de Entrada y = α + β. Na parte de baixo tem um
campo de Entrada, lá é preciso digitar y = α + β e teclar em Enter. Para mover o
ponto F, clicar na (FERRAMENTA Nº 1) , MOVER e no ponto F, que também
chamamos de ponto móvel, girar e verificar o que acontece. Observe, na janela de
álgebra, as equações.
15º - Precisamos de um novo ponto J de interseção entre a reta a e o eixo y. Clicar
na (FERRAMENTA Nº 2) , INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS, clicar na reta
e no eixo y, construindo o ponto de interseção J;
Traçar um segmento de reta do ponto A até o ponto J. Para isso clicar na
(FERRAMENTA Nº 3) , escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR
DOIS PONTOS e clicar nos pontos A e J; chamamos esse segmento de reta de eixo
SENO.
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Vamos pintar esse segmento de reta. Com o botão direito do mouse, clicar em cima
do segmento AJ. Na tela que abrirá escolher a opção propriedades, selecionar Cor e
clicar na cor escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.
15º - Precisamos de três retas perpendiculares ao eixo x, passando por F, H e por C.
Clicar na (FERRAMENTA Nº 4) , RETAS PERPENDICULARES. Clicar no
ponto F e no eixo x, depois clicar no ponto H e no eixo x e, finalmente, no ponto C e
no eixo x.
Fazer os pontos de interseção das retas com o eixo x. Escolher a (FERRAMENTA
Nº 2) , na opção INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS. Clicar na reta g e no eixo
x, depois na reta h e no eixo x e, por fim, na reta j e no eixo x.
Precisamos traçar um segmento de reta nos pontos K e L. Clicar na (FERRAMENTA
Nº 3), escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS e clicar
nos pontos K e L; chamamos esse segmento de reta de eixo COSSENO.
Vamos pintar esse segmento de reta KL. Com o botão direito do mouse, clicar em
cima do segmento KL. Na tela que abrirá escolher a opção propriedades, selecionar
Cor e clicar na cor escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.
16º - Traçar uma semirreta passando por A e F. Traçar a semirreta, clicar na
(FERRAMENTA Nº 3) SEMIRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS, e clicar
nos pontos A e F.
Fazer um ponto de interseção com a semirreta AF e reta j. Escolher a
(FERRAMENTA Nº 2) e, na opção INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS, clicar
na reta semirreta e na reta j.
Precisamos traçar um segmento de reta nos pontos C e N. Clicar na (FERRAMENTA
Nº 3) , escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS e
clicar nos pontos C e N;
A reta j chamamos de reta de eixo da TANGENTE,
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Vamos pintar esse segmento de reta KL. Com o botão direito do mouse clicar em
cima do segmento KL. Na tela que abrirá escolher a opção propriedades, selecionar
Cor, clicar na cor escolhida. Depois, selecionar Estilo, clicar no nº 3 e Fechar.
17º - Traçar uma semirreta passando por H e A Clicar na (FERRAMENTA Nº 3)
, SEMIRETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS, e nos pontos H e A.
Fazer o ponto de interseção entre a semirreta HA e da reta j. Escolher a
(FERRAMENTA Nº 2) e, na opção INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS, clicar
na semi-reta HA e na reta j.
Precisamos traçar um segmento de reta nos pontos H e A. Clicar na (FERRAMENTA
Nº 3) , escolher a opção SEGMENTOS DEFINIDOS POR DOIS PONTOS e
clicar nos pontos C e O;
Vamos pintar esse segmento de reta CO. Com o botão direito do mouse, clicar em
cima do segmento CO. Na tela que se abrirá, escolher a opção propriedades,
selecionar Cor e clicar na cor escolhida. Depois selecionar Estilo, clicar no nº 3 e
Fechar.
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Explorando a questão:
a) Selecione a ferramenta mover e mova o ponto F. Descreva o que acontece com
os Ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes.
b) Considere a seguinte situação: O arco de 150º está no 2º quadrante. Qual é o
valor do ângulo correspondente no 1º quadrante para que se possa obter sen150º e
cos150º?
c) Colocando o ponto F no 3º quadrante, marcando 240º, qual é o ângulo
correspondente no 1º quadrante para que se possa calcular sen240º e cos 240º?
d) Mova o ponto F, no 4º quadrante, com um ângulo no valor de 330º. Qual é o
ângulo correspondente no 1º quadrante que permite calcular sen330º e cos330º?
e) Ao mover os pontos F e o ponto H, o que acontece com as abscissas e
ordenadas?
f) O que acontece com a soma dos ângulos criados pela equação γ = α + β?
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g) Vamos escrever no campo de Entrada outra equação: y = 3α + β. Observe na
janela de álgebra o que acontece com os objetos dependentes o valor de γ. Mova
novamente o ponto F e observe o que acontece com o valor de γ?
h) Como se classificam esses ângulos? Os ângulos CAF e CAH são semelhantes?
i)O seno de um ângulo qualquer é medido no eixo x ou no eixo y?