CAPÍTULO P Preparação para o Cálculo 15

y - (-1) = ~(x - 2)

3(y + 1) = 2(x - 2)

2x - 3y - 7 = O

Substitua

Simplifique

Forma geral

(d) Indefinida

(d) O

3(c) -2

1(c) :3

10. (1,2), (- 2,4)

Forma ponto-coeficiente angular

Substitua

(b) - 2

(b) -3

Simplifique

Forma geral

.....•..

J

...•.•....•.

..·f·

~_: 19

.I

-.........

/- -6

(b) A escala no eixo x é a mesma escala no eixo y.

(a) 1

(a) 3

Coeficientes angulares

10

s. y 6.y• j

28242016]284

,X",, ,x

Ponto

9. (3, -4), (5, 2)

7. (2,3)

8. (-4,1)

Nos Exercícios 7 e 8, esboce as retas que passam pelo pontocom o coeficiente angular indicado. Faça os esboços no mesmosistema de eixos coordenados.

Nos Exercícios 9 a 14, marque o par de pontos e encontre ocoeficiente angular da reta que passa por eles.

x

y - Yl = m(x - Xl)

Y - (-1) = -~(x - 2)2(y + 1) = - 3(x - 2)

3x + 2y - 4 = O

y

y

7

6

5

4

3

2

1

2.

-10

(a) A escala no eixo x não é a mesma escala no eixo y.

Figura P.21

4.

1234567

Observe a semelhança com a equação original.

b. Usando a recíproca negativa do coeficiente angular da reta dada, você pode deter­minar que o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta dada é - ~.Assim,a reta pelo ponto (2, -1) que é perpendicular à reta dada tem a seguinte equação:

ARMADILHA TECNOLÓGICA O coeficiente angular de uma reta aparecerádistorcido se você usar escalas diferentes nos eixos X e y. Por exemplo, as telas decalculadoras gráficas nas Figuras P.21(a) e P.21(b) mostram ambas as retas dadas

por y = 2x e y = -~x + 3. Como estas retas têm inclinações que são recíprocasnegativas, devem ser perpendiculares. Na Figura P.21(a), no entanto, as retas não

parecem ser perpendiculares, porque a escala no eixo x não é a mesma no eixo y.Na Figura P.21(b), as retas parecem perpendiculares pois a escala no eixo x é amesma no eixo y. Diz-se que esse tipo de janela está em uma escala quadrada.

10 6

~ •.....

- ........... -- , .-- ":::.:· ...~_ ~ - . _~ n.: " ..

""- ---.;- , " ..- . :· : :--_.--: : .- . '- .- : ; : ;- -.:;::~- : : : : ',..- : ' :~- ; ;-- -;, ;..

• ·,.u.,·, -,..

. ~ ••..•.•- , ..

• x

Exercícios 1 a 6, faça uma estimativa do coeficiente angu­reta a partir do gráfico. Para imprimir uma cópia

.da do gráfico, veja o endereço www.mathgraphs.com.

Y I 269,7 I 272,9 I 276,1 I 279,3 I 282,3 I 285,0

5 30

r I 57 43

. 'os Exercícios 15 a 18, use o ponto da reta e o coeficiente~aular da reta para encontrar três pontos adicionais pelosqnais passa a reta. (Há mais de uma resposta correta.)

Ponto CoeI angular Ponto CoeI angular

15. (2, 1) m = O 16. (- 3,4) m indefinida

1. 7) m = - 3 18. (- 2, - 2) m = 2

Xmín =-6Xmáx = 6Xscl = IYmín =-4Ymáx =4Yscl = 1

Xmín = -15Xmáx = 15Xscl = 1Ymín =-10Ymáx = 10Yscl = 1

(b)

(b)

34. (0, O), (- 1, 3)

36. (-3, -4), (1,4)

38. (- 3,6), (I, 2)

40. (1, -2), (3, -2)

42. G, ~), (~, -~)

Xmín =-5Xmáx= 5Xscl = 1Ymín =-5Ymáx = 5Yscl = 1

Xmín =-10Xmáx = 10Xscl = 1Ymín =-10Ymáx = 10Yscl = 1

1

58. y = 2x - 3, y = -!x + 1

(a)

57. y = x + 6, y = -x + 2

(a)

Nos Exercícios 45 a 48, use o resultado do Exercício 44 para

escrever uma equação da reta.

45. Intersecção com o eixo x: (2, O)

lntersecção com o eixo y: (0,3)

46. Intersecção com o eixo x: (- ~, O)

Intersecção com o eixoy: (O, - 2)

47. Ponto na curva: (1,2)

Intersecção com o eixo x: (a, O)

Intersecção com o eixo y: (0, a)

(a =F O)

48. Ponto na curva: (- 3,4)

Intersecção com o eixo x: (a, O)

Intersecção com o eixo y: (0, a)

(a =F O)

Nos Exercícios 49 a 56, desenhe um gráfico da equação.

49. y = - 3 50. x = 4

51. Y = - 2x + 1 52. y = ~x-I

53. y - 2 = ~(x - 1) 54. y - 1 = 3(x + 4)

55. 2x - y - 3 = O 56. x + 2y + 6 = °

43. Encontre uma equação da reta vertical com a intersecção como eixo xem 3.

44. Mostre que a reta com intersecções (a, O) e (O, b) tem aseguinte equação:x y~ + b = I, a =F O, b =F °

Ajustando a Janela Nos Exercícios 57 e 58, use uma ferra­menta gráfica para desenhar os gráficos de ambas as retas emcada janela. Compare os gráficos. As retas parecem perpen­diculares? São retas perpendiculares? Explique.

Nos Exercícios 33 a 42, encontre uma equação da reta quepassa pelos pontos e esboce a reta.

33. (0, O), (2, 6)

35. (2,1),(0,-3)

37. (2, 8), (5, O)

39. (5, I), (5, 8)

41. (!, ~),(O, ~)

11109

12. (3, - 2), (4, - 2)

14. (~, ~), (~, -D

876

(a) Marque os pontos à mão e conecte os pontos adjacentescom um segmento de reta.

(b) Use o coeficiente angular do segmento de reta para deter­minar o intervalo em que a taxa do veículo está variando

mais rapidamente. Como a taxa variou?

Nos Exercícios 23 a 26, encontre o coeficiente angular e a

intersecção com o eixo y (se possível) da reta.

23. x + 5y = 20 24. 6x - 5y = 15

25. x = 4 26. y = - I

Nos Exercícios 27 a 32, encontre uma equação da reta quepassa pelo ponto e tem a inclinação indica da. Esboce a reta.

Ponto CoeI angular Ponto CoeI angular

27. (0,3) m = ~ 28. (-1,2) m indefinida

29. (0, O) m = ~ 30. (0,4) m = °31. (3, -2) m = 3 32. (-2,4) m = -~

(a) Marque os pontos à mão e conecte os pontos adjacentescom um segmento de reta.

(b) Use o coeficiente angular do segmento de reta para deter­minar o ano em que a população aumentou menos rapi­damente.

22. Modelando Dados A tabela mostra a taxa r (em milhas porhora) em que um veículo está viajando após t segundos.

19. Projetando uma Esteira Uma esteira móvel é construída

para elevar-se 1 metro para cada 3 metros de deslocamentohorizontal.

(a) Encontre a inclinação da esteira.

(b) Suponha que a esteira liga dois andares em uma fábrica.Encontre o comprimento da esteira se a distância verticalentre os andares é de 10 pés.

20. Taxa de Variação Cada um dos seguintes números é umcoeficiente angular de uma reta representando a receita diáriay em termos do tempo x em dias. Use o coeficiente angular

para interpretar qualquer variação na receita diária para umacréscimo de um dia no tempo.

(a) m = 400 (b) m = 100 (c) m = O

21. Modelando Dados A tabela mostra a população y (em mi­lhões) dos Estados Unidos no período 1996-2001. A variávelt representa o tempo em anos, com t = 6 correspondendo a1996. (Fonte: U. S. Bureau ofthe Census.)

CALCULO Vol. 1

1. ':. 1.2,5)I 1) ( ~ 1)13. --:."3, -4' 6

----------- .....--

CAPÍTULOP Preparação para o Cálculo 17

80. Depreciação Linear Uma pequena empresa adquire umapeça de equipamento por $875. Após 5 anos, o equipamentoestará desatualizado, não possuindo mais valor.

(a) Escreva uma equação linear que forneça o valor y do

equipamento em função do tempo x, O ~ x ~ 5.

(b) Encontre o valor do equipamento quando x = 2.

(c) Faça uma estimativa (com precisão de duas casas deci­mais) do tempo necessário para que o valor do equipa­mento seja de $200.

81. Aluguel de Apartamento Uma imobiliária administra um

prédio de apartamentos com 50 unidades. Quando o aluguel é$580 por mês, todas as 50 unidades são alugadas. No entanto,quando o aluguel é $625, o número médio de unidades ocu­padas cai para 47. Considere que a relação entre o aluguelmensal p e a demanda x seja linear. (Observação: O termodemanda se refere ao número de unidades ocupadas.)

(a) Escreva uma equação linear que forneça a demanda x emfunção do aluguel p.

m (b) Extrapolação linear Use uma ferramenta gráfica paradesenhar o gráfico da equação da demanda e use os recur­sos de "trace" para prever o número de unidades ocupadasse o aluguel fosse elevado para $655.

(c) Interpolação linear Faça uma previsão do número deunidades ocupadas se o aluguel fosse diminuído para$595. Verifique graficamente.

82. Modelando Dados Um professor aplica periodicamente tes­tes valendo 20 pontos e provas valendo 100 pontos. As notasmédias de seis alunos, dadas em forma de pares ordenados (x,

y), onde x é a nota média de testes e y a nota média de provas,são (18, 87), (10,55), (19,96), (16,79), (13,76) e (15, 82).

(a) Use os recursos de regressão de uma ferramenta gráfica

para encontrar a reta de regressão por mínimos quadra­dos para os dados.

(b) Use uma ferramenta gráfica para marcar os pontos edesenhar o gráfica da reta de regressão na mesma janelade visualização.

(a, O)

Reta

(b, c)

~(-a, O)

Medianas

Ponto

74.

72. (0,4), (7, -6), (-5,11)

70. y = x2 - 4x + 3

y=-x2+2x+3

(a, O)

(a, O)

Reta

(b, c)A(b, c)

~

5'Ie que os pontos de intersecção dos Exercícios 73, 74-5 são colineares.

--,1.. O)

ediatrizes

Exercícios 73 a 7S, encontre as coordenadas do ponto de

ção dos segmentos dados. Explique seu raciocínio.

?= x-

= 4x - x2

- 2. 1), (- 1, O), (2, - 2)

ão d';,'Temperatura Encontre uma equação linear<= ::1:presse a relação entre a temperatura em graus Celsius~ ;:-aus Fahrenheit F. Use o fato de que a água congela a- .32~ e ferve a 100cC (212CF). Use a equação para con-

~- ':::oF em graus Celsius.

Exercícios 71 e 72, determine se os pontos são colineares.

pontos são colineares se pertencem à mesma reta.)

Exercícios S9 a 64, escreva uma equação da reta que passa

ponto e que seja (a) paralela a uma reta dada e (b) per­.cular à reta dada.

Ponto

78. Gastos com Reembolso Uma companhia reembolsa seus

representantes de vendas com $150 por dia para alojamento ealimentação mais 34 centavos por milha percorrida. Escreva

uma equação linear que forneça o custo diário C para a com-

2. 1) 4x _ 2 = 3 60. (_ 3,2) x + = 7 panhia em fu~ÇãO de x, o número de milhas percorridas.3 7 Y Y Quanto custara para a empresa se um representante de vendas::. 8) 5x - 3y = O 62. (- 6,4) 3x + 4y = 7 percorrer 137 milhas em um certo dia?

2.5) x = 4 64. (-1, O) y = - 3 m79. Escolha de Carreira Um funcionário tem duas opções de car-

de Variação Nos Exercícios 6S a 68, é dado o valor em gos em uma grande corporação. Um cargo paga $12,50 por horade um produto em 2006 e a taxa pela qual é esperado rrwis uma taxa adicional de $0,75 por unidade produzida. O

o produto varie durante os próximos S anos. Escreva uma outro paga $9,20 por hora rrwis uma taxa de $1,30 por unidade.lÇâo linear que dê o valor em dólar V do produto em (a) Encontre equações lineares para a remuneração horária W

.ão do ano t. (Faça t = O representar 2000.) em função de x, o número de unidades produzidas por

; 'alor em 2006 Taxa hora, para cada opção.

- ~2540 Aumento de $125 por ano (b) Use uma ferramenta gráfica para desenhar as equaçõeslineares e encontre o ponto de intersecção.

5156 Aumento de $4,50 por ano

_~ ... _ $ (c) Interprete o significado do ponto de intersecção dos gráfi-• ::_0.400 DnnlllUlçao de 2000 por ano d (b) C A' • f -cos a parte . orno voce usana esta III ormaçao para.,;245.000 Diminuição de $5600 por ano selecionar a opção correta se a meta fosse obter a maior

remuneração horária?Exercícios 69 e 70, use uma ferramenta gráfica para

~h~r as parábolas e encontrar seus pontos de intersecção.tre uma equação da reta que passa pelos pontos de

ção e desenhe o gráfico da reta na mesma janela deção.

Funções e seus Gráficos

• Usar a notação de função para representar e avaliar uma função.• Encontrar o domínio e a imagem de uma função.• Esboçar o gráfico de uma função.• Identificar diferentes tipos de transformações de funções.• Classificar funções e reconhecer combinações entre funções.

ceLO Vol. 1

_,r~ :i reta de regressão para fazer uma previsão da nota.é-±a de prova para um aluno com uma nota média de

-â-rede 17.

Interprete o significado do coeficiente angular da reta deregressão.

e O professor acrescenta 4 pontos à nota média de provapara todos na classe. Descreva as variações nas posiçõesdos pontos marcados e a variação na equação da reta.

83. Reta Tangente Encontre uma equação da reta tangente ao

círculo x2 + y2 = 169 no ponto (5, 12).

84. Reta Tangente Encontre uma equação da reta tangente aocírculo (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 no ponto (4, - 3).

Distância Nos Exercícios 85 a 90, encontre a distância entreo ponto e a reta, ou entre as retas, usando a fórmula para adistância entre o ponto (Xl' YI) e a reta Ax + By +C = O.

Distância = _IAx_I---;+=B=YI=+CI~A2 + B2

85. Ponto: (O, O)

Reta: 4x + 3y = 10

86. Ponto: (2, 3)

Reta: 4x + 3y = 10

87. Ponto: (- 2, 1)

Reta: x - y - 2 = O

88. Ponto: (6,2)Reta: x = -1

89. Reta: x + y = 1

Reta: x + y = 5

90. Reta: 3x - 4y = 1

Reta: 3x - 4y = 10

Seção P.3

91. Mostre que a distância entre o ponto (x" YI) e a retaAx+By+C=Oé

. IAx, + BYI + CI

DistânCIa = ~ A2 + B2

92. Escreva a distância d entre o ponto (3, 1) e a reta Y = mx + 4em função de m. Use uma ferramenta gráfica para desenhar o

gráfico da equação. Em que momento a distância é 07Explique o resultado geometricamente.

93. Prove que as diagonais de um losango intersectam-se perpen­dicularmente (um losango é um quadrilátero com lados demesmas medidas).

94. Demonstre que a figura formada ligando pontos médios de

lados consecutivos de qualquer quadrilátero é um paralelo­gramo.

95. Prove que se os pontos (x" Yl) e (x2, yJ estão na mesma reta

que (xt, yr) e (x;, y~), então

y~ - yt = Y2 - YI

x~ - xt x2 - Xl

Assuma que Xl *' x2 e xt *' x~.

96. Prove que se as inclinações de duas retas não verticais sãorecíprocas negativas entre si, então as retas são perpendicu­lares.

Verdadeiro ou Falso? Nos Exercícios 97 e 98, determine se aafirmação é verdadeira ou falsa. Se for falsa, explique por queou dê um exemplo mostrando que é falsa.

97. As retas representadas por ax + by = c, e bx - ay = c2 sãoperpendiculares. Assuma a *' O e b *' O.

98. É possível que duas retas com coeficientes angulares posi­tivos sejam perpendiculares entre si.

Funções e Notação de FunçãoUma relação entre dois conjuntos X e Y é um conjunto de pares ordenados, cada umda forma (x, y), em que x é um elemento de X e y é um elemento de Y. Uma funçãode X em Y é uma relação entre X e Y que tem a propriedade de que todos os paresordenados com o mesmo valor de x também tenham o mesmo valor de y. A variávelx é a variável independente, e a variável y é a variável dependente.

Muitas situações da vida real podem ser modeladas por funções. Por exemplo, aárea A de um círculo é uma função do raio r do círculo.

A é uma função de r

Nesse caso, r é a variável independente e A é a variável dependente.