departamento de engenharia civil -...

ESTÁTICA (2012/2013)

REVISÕES

FICHA 1

versão 0 1/2 Isabel Alvim Teles

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

1- Determine o comprimento de todas as barras, as cotas e os ângulos representados nas figuras seguintes.

a) Figura 1 b) Figura 2

2- Considere as forças F1, F2, F3 e F4 representadas na figura.

a) Determine as componentes segundo os eixos coordenados x e y, de cada uma das forças.

b) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fa = F1 + F2 + F3 + F4,

caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo x e sentido.

c) Considerando que todas as forças estão a actuar num ponto P, determine a força Fb = F1 - F2 + F3 - F4,

caracterizando a sua grandeza, ângulo com o eixo y e sentido.

3- Considere a força de 100 N representada na figura.

Determine as componentes da força segundo os eixos

coordenados x e y.

4- Considere a força de 200 N representada na figura.

a) Determine as componentes da força segundo os

eixos coordenados x e y.

b) Decomponha a força em duas componentes: uma na

direcção AB e outra na perpendicular à direcção AB.

BA C

D

4.0 m 2.0 m

2.5 m

30º

c

E

G

ϕϕϕϕ

3.0 m

2.0 m

5.0 m

b

a

F

4.0 m

5.0 m

2.0

A B

D

C

a

αααα ββββδδδδ

ϕϕϕϕ

ββββ

δδδδ αααα

35º 2

1

F1=5 kNF2=10kN

40º F3=15kN70º

F4=18kN

30º

100 N

200 N

20º

60º

A

B


REVISÕES

FICHA 1



5- Considere o corpo rectangular representado na figura onde actuam três forças.

a) Considere αααα=25o.

- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua

grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.

- Determine as componentes da resultante nas direcções

perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.

b) Considere αααα=50o.

- Determine a resultante das três forças caracterizando a sua

grandeza, ângulo com a horizontal e sentido.

- Determine as componentes da resultante nas direcções

perpendiculares aos lados maior e menor do corpo rectangular.

6- Para que não danifique a tábua de madeira onde está cravado, o prego

representado na figura deverá ser arrancado na vertical. As ferramentas

existentes permitem aplicar forças paralelas e perpendiculares à

superfície da madeira.

a) Se for aplicada uma força paralela à superfície da madeira de 100 N

(Fa), determine a grandeza da força perpendicular (Fb) que deverá ser

aplicada simultaneamente para que o prego seja arrancado na

vertical.

b) Determine a grandeza da força de arranque.

7- Considere a esfera representada na figura, sob a acção de duas forças: F1 e F2.

a) Considere αααα=25o.

- Determine a grandeza da força F2, que actuando conjuntamente com F1, faz a esfera deslocar-se na

trajectória AB.

- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.

b) Considere a força |F2| = 40 kN.

- Determine o ângulo αααα da direcção da força F2 que, actuando conjuntamente com F1, faz a esfera

deslocar-se na trajectória AC.

- Determine a grandeza da resultante R = F1 + F2.

αααα

35º

500N

260N

αααα

320 N

40º

Fa=100 NFb

αααα

30º

20º

F1=20 kN

B

A

C

F2


ESTÁTICA DO PONTO MATERIAL

FICHA 2



1- Considere o sistema de forças aplicado num ponto representado na figura 1 e os sistemas de eixos (x,y)

das figuras 2 e 3 ( x ┴ y ).

a) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a

direcção dos eixos (x,y) da figura 2.

b) Substitua o sistema de forças da figura 1 por outro equivalente composto por duas forças com a

direcção dos eixos (x,y) da figura 3.

c) Determine a resultante do sistema de forças representado na figura 1.

d) Caracterize completamente a força que actuando conjuntamente com o sistema representado na

figura 1, conduz ao equilíbrio do ponto.

e) Determine a força F que actuando conjuntamente com o sistema representado na figura 1, torna o

novo sistema (forças da figura 1 + F) equivalente a uma força horizontal (←) de 60 kN.

f) Considere um sistema constituído por uma força F actuando conjuntamente com as forças de 25 kN e

70 kN representadas na figura 1.

- Determine a menor força F que conduz a uma resultante com a direcção do eixo y da figura 2.

- Caracterize a resultante deste novo sistema de forças.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

2- Considere o sistema de forças aplicado num ponto, constituído

por F1, F2, F3 e F4, cuja resultante é a força R.

a) Considerando R = 50 kN, F3 = 25 kN e F4 = 15 kN, determine a

grandeza e sentido de F1 e F2.

b) Considerando R = 30 kN, F1 = 10 kN e F2 = 15 kN, determine a

grandeza e sentido de F3 e F4.

c) Considerando F1 = 30 kN e F4 = 65 kN, determine a grandeza e

sentido de F2 e F3 para que a resultante tenha uma grandeza

de 40 kN, a direcção indicada na figura e sentido contrário ao

indicado na figura.

d) Considerando F1 = 40 kN, F2 = 50 kN, F3 = 20 kN e F4 = 10 kN,

caracterize a força F5 que deverá adicionar ao sistema para

que o ponto esteja em equilíbrio.

35º

25kN

20º

50kN

10kN

70kN

xy

40º

x

y

25º

=

0.20

0.15 =

=

=

=

0.20

= = = = =0.

15

F1F2

F3

RF4


ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO

FICHA 3



1- Considere a manivela que roda em torno do ponto C e que

se encontra caracterizada na figura 1.

a) Figura 2

a1) Determine o momento da força em relação ao pto C;

a2) Determine o momento da força em relação ao pto D;

b) Figura 3

b1) Determine o momento da força em relação ao pto C;

b2) Determine o momento da força em relação ao pto E;

c) Figura 4

c1) Determine o momento da força em relação ao pto D;

c2) Determine o momento da força em relação ao pto C;

d) Figura 5

d1) Determine o momento da força em relação ao pto D;

d2) Determine o momento da força em relação ao pto C;

e) Figura 6

e1) Determine o momento do binário em relação ao pto C;

e2) Determine o momento do binário em relação ao pto B;

e3) Determine o momento do binário em relação ao pto A;

f) Figura 7

f1) Determine o momento de todas as forças em relação ao

pto C;

f2) Determine o momento de todas as forças em relação ao

pto E;

f3) Substitua o sistema de forças por outro equivalente com

ponto de aplicação em D;

f4) Determine a força vertical a actuar em A que, actuando

conjuntamente com as forças representadas na figura,

conduz a um momento nulo em C;

f5) Determine a força horizontal a actuar em E que,

actuando conjuntamente com as forças representadas

na figura, conduz a um momento em A de 20 kNm

(sentido horário);

g) Figura 8

g1) Reduza o sistema de forças a um sistema

força+momento equivalente com ponto de aplicação em

C;

g2) Reduza o sistema de forças da figura a um sistema

força+momento equivalente com ponto de aplicação a

meio da barra DE;

g3) Reduza o sistema de forças a uma resultante com ponto

de aplicação sobre o tramo BCD.

A

BC

D

EFigura 8

8kNm30kN

12kNm

50kN25kN

55º

55º

25kN

70º

20kN

A

B C D

EFigura 5

40kN

50kN

30kN

A

B C D

EFigura 7

35º

A

B C D

EFigura 615kN

15kN

25kN60º 60º

25kN

0.40 m 0.40 m 0.200.20

0.15 m

0.15 mA

B C D

EFigura 1

A

B C D

EFigura 2

25 kN

A

B C D

EFigura 3

A

B C D

EFigura 4


ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO

FICHA 3



2- Considere o corpo rígido representado na figura.

a) Determine a força e o momento a aplicar em B para que, conjuntamente com o carregamento da figura,

o corpo rígido esteja em equilíbrio.

b) Para que seja alcançado o equilíbrio do corpo, determine as seguintes três forças que deverão actuar

conjuntamente com o carregamento da figura:

- uma força horizontal a aplicar em D;

- uma força horizontal a aplicar em H;

- uma força vertical a aplicar em G;

c) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de

aplicação em A.

d) Reduza o carregamento representado a um sistema força+momento equivalente com ponto de

aplicação em G.

e) Reduza o carregamento representado a uma resultante com ponto de aplicação sobre o alinhamento

ABC.

3- Considere o poste de electricidade que suporta

quatro linhas que exercem sobre ele as forças

representadas na figura.

a) Determine a resultante na extremidade

inferior do poste.

b) Considere que os parafusos que fixam o

poste ao solo distam 20 cm do seu eixo

(a=20cm). Determine as forças verticais

transmitidas aos parafusos.

c) Determine a cota a para que a força

transmitida aos parafusos não ultrapasse

220 kN.

0.50 0.50

0.50 m

50 kN25 kN

90 kN15 kN

2.50 m

0.400.40

a a

1.5 m

40kN

30kN

50kN

75kNm

35kN

45kN

40º

A B C

D E F

H

1.5 m

2.0 m

1.5 mG


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES

FICHA 4



1- Substitua os carregamentos da figura por forças resultantes equivalentes no cálculo do equilíbrio de corpos

rígidos.

2- Determine as reacções nos apoios das estruturas seguintes.

40º

2.1 m

6kN/m

3.2 m

9kN/m

2.0 m 2.4 m

p=8kN/m 10kN/m

3.3 m

7kN/m12kN/m 3.0 m

6kN/m

8kN/m

2.0 m

5kN/m

60º

2.8 m

p =10-2x (kN/m)

p =7kN/m

3.0 m

2.0 m

4kN/m

1.5 m

2.0 m

3kN/m

0.5 0.5

2kN/m

3.0 m

2.0 m

3.0 m

15 kN

A B

2.0 m

3.0 m 1.5 m

C D

25 kN

4.0 m

A

1.5 m

B C

20 kN

0.8

25 kN

A B

3.5 m 1.4 m

C D

40 kN

A B

50º

30 kN

65º

1.1 m

6 kN/m

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

2.2 m

DA B

1.2 m

Figura 5

2.1 m 0.90

A

1 m

Figura 6

4kN/m7kN/m

7 kNm 9 kNm 15kNm

2.0 m

C

18 kNm 12kNm

B C D

5 kN

1.2 m


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - REACÇÕES

FICHA 4



3- Considere as estruturas do exercício anterior.

a) Figura 2

Determine o ponto de aplicação da força vertical de 25 kN (↓), que actuando conjuntamente com a força de

20 kN representada na figura, conduz a uma reacção nula no apoio A.

b) Figura 4

Determine a grandeza e sentido do momento a aplicar em C, que actuando conjuntamente com o restante

carregamento ilustrado na figura, reduz a reacção vertical em B para 30 kN (↑).

c) Figura 5

Determine a grandeza e sentido da carga vertical uniformemente distribuída a aplicar no tramo AB que

actuando conjuntamente com o restante carregamento ilustrado na figura, leva a que a reacção no apoio B

seja uma força vertical de 22 kN (↑).


55º

30 kN

60º

10kN

/m 1.5 m

20 kNm

2.5 m

25 kN

1.2 m0.82.0 m

20 kN 30 kN

0.8 m15 kN

18 kN1.2 m

5 kN

1.1

23 kN10 kN

1.4 m 1.5 m

1.5 m

Figura 4Figura 3

2.2 m

0.5

4kN/m

30º

20 kNm

7kN

15kN 0.5

10kN/mA

B

1.0

Figura 2

2.0 m

7kN

1.5 m 1.0

20 kN

50º

0.80.7

Figura 1


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS

FICHA 5



1- Considere os dois corpos rígidos rectangulares unidos por uma rótula em C, representados na figura.

Determine as reacções e as forças de ligação na rótula C.


Figura 1

30º

0.8 2.0 m 0.8

40 kN

45º

50 kN

1.5 m 1.5 m

20 kNm

A

0.6 m

0.6 m

12 kN/m

B

C

15kN/m27kN/m

EF

H

I

G

C A

2.0 m

4.0 m

20 kN/m

40 kN

60º

35º50 kNm

2.0 m 2.0 m 2.0 m 2.0 m

B

D

3.0 m


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ARCO DE TRÊS RÓTULAS

FICHA 5



10 kN/m

40 kN/m

3.0 m 3.0 m

10 kN

75 kNmA

B

C

D

30 kN

80°

90°

E

2.0 m

20 kN/m

2.5 m 2.5 m

2.0 m

2.5 m2.0 m

1.5 m

25 kN/m

100 kN

15°

15 kN/m

30 kN/m

A

B

C

D

F G H

I

50 kNmE

4.0 m 3.0 m 3.0 m 1.2

3.0 m

3.0 m

1 m

4.0

m

4.0 m 2.0 m 2.0 m 1.7 m

F

20 kN/m

A 30°

D

B

G

40 kN

80 kNm

35 kN/m

E

C

75°

2.0 m

1.3 m

50 kN

Figura 2

Figura 3

Figura 4


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - VIGAS GERBER

FICHA 6



1- Determine as reacções nos apoios das vigas Gerber abaixo representadas.

1.2 m

FC

1.3 m

E

15kN/m10kN/m

1.5 m

35 kN

50º

0.81.1 m

45 kN40º

1.3 m

D

2.0 m

A B

1.3 m

E

1.1 m

D

9 kNm

1.2 m

C

0.7

F G

8kN/m45 kN65º

0.8

7 kN/m60 kN

65º

0.7 1.1 m

1.2 m

A C D

2.0 m

12 kNm

1.7 m

B

1.5 m

E

1.8 m

10 kN/m

30 kN

8 kNm 6 kNm

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

1.5 m

C

40 kN

55º

2.0 m 1.2 m

A

1.8 m 0.9

20kN/m

B D

2.5 m

EA

1.1 m1.0

C F

50 kN

0.8

D

15 kNm

0.6 0.9

B

8 kNm

5kN/m

60º

1.1

A

0.91.4 m

B G


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS

FICHA 7




Figura 1

Figura 2

Figura 3

20 kN/m

A B

C

30kN

1.7 m

1.3 m

D

E

3 m 3 m

1.5 m

3 m

4 m

70kNm

4 m

4 m

10kN/m

8kN/m

5kN/m

A

2.0 m

1.0 m

2.0 m 1.0 1.0 1.6 m 2.4 m

30kNm20kN 5 kN/m

B

D E

FG

KIH J

C

10kN/m25 kN/m

35°

40 kN

1 3 m 2 m 2 m 3 m

80kNm

50kN/m

40kN

30kN/m

40kN/m

A

B

C

D

EF

HG I 30°

110°

1.5 m

3 m


EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS - ASSOCIAÇÃO DE CORPOS

FICHA 7



Figura 4

Figura 5

Figura 6

3 m3 m12 m

1 m

75°

40kN

/m35kNm

A

C

B DG

F

I

E

HJ100kN

20kN

/m

80kN

3 m

2 m

3 m 3 m 2.5 m 2.5 m

4 m

A

10 kN/m

B

C

D

E

F

50kNm

20kN/m

20 kN/m

G

3 m 3 m 1

3 m

A

3 m

12 kN/m

20kN/m

5kN/m

15kNm

B C

D E

F

GH


SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS (SAP)

FICHA 8



1- Determine os esforços em todas as barras pelo Método do Equilíbrio dos Nós.

Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

Figura 5

50kN

100kN

3.0 m2.5 m

40kN45°

4 m

A

C

B

2.5

3.0 m 3.0 m 2.5 m3.0 m

40kN

25kN

60kN

D EF

G

H

20kN

2 m

1 m

30kN

4.0 m2.5 m

30kNA C

B

D

E

B

A

C

D

3.0 m

10kN

20kN

3.0 m

1.5 m

3 m

A

BC

FE

D

4 m

2 m

1.5 m

5kN

10kN

20kN

60°30kN

2.0 m4.0 m

dir.

50°

A

C

E

B D



FICHA 8



2- Considere as estruturas do exercício anterior e recorra ao Método de Ritter na resolução das alíneas

seguintes. Sempre que possível, não calcule previamente as reacções.

a) Figura 1

Determine os esforços nas barras AB, BC,

BD e CD.

b) Figura 2

b1) Confirme que a barra AB está descarregada.

b2) Determine os esforços nas barras BC e CD.

c) Figura 3

Determine o esforço na barra CD.

d) Figura 4

Determine os esforços nas barras BE e EF.

e) Figura 5

Determine o esforço na barra BC.

3- Considere a estrutura articulada plana representada na figura. As forças F3 e F4 têm a mesma direcção que

a barra FH.

Tenha em atenção o seguinte:

• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.

• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa

alínea para resolver outra.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras AD e AE.

b) Utilizando o Método de Ritter, calcule o esforço axial na barra EG.

c) Utilizando o Método de Ritter, determine que direcção e sentido a força F5 = 40 kN deveria ter para que

na barra HI actuasse um esforço de compressão de 25 kN

3 m

2 m

1 m

1 m

2 m

3 m 2 m

F1=50kN

A

E

B

C

GF

H

I

J

4 m

F2=30kN

D

F3=25kN

F4=20kN

F5=40kN



FICHA 8



4- Considere a estrutura articulada plana

representada na figura.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós e considerando

α=30°°°°, determine o esforço axial

nas barras DI, DJ e IJ.

b) Utilizando o Método de Ritter e

considerando α=30°°°°, determine o

esforço axial na barra GJ.

c) Utilizando o Método de Ritter,

determine qual o ângulo α que

provoca um esforço de compressão

de 10 kN na barra IJ.

5- Considere a estrutura articulada plana representada na figura.

Tenha em atenção o seguinte:

• Resolva todas as alíneas sem calcular as reacções nos apoios.

• Cada alínea é independente das demais, pelo que não devem ser utilizados resultados obtidos numa

alínea para resolver outra.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BF e BG.

b) Utilizando o Método de Ritter, determine o esforço axial na barra AC.

c) Utilizando o Método de Ritter, determine a grandeza e sentido da força vertical a aplicar no nó D para

que o esforço axial a actuar na barra CD seja um esforço de compressão de 35 kN.

A B C

ED F

G

JI

H

4 m 2 m2 m 3 m

4 m2 m

25kN

30kN

15kN

2 m

3 m

3 m

10kN

BA

C

D

E

// AC

FG

H I

20kN

3.0 m

1.5 m

2.5 m 2.5 m 3.0 m 1.0 2.0 m

40kN30kN

10kN

45°25kN

dir.



FICHA 8



2 m

2 m

1 m 10kN

7kN

8kN

5kN

A

B

C

D

E

F H

G

3 m 4 m


A força de 50 kN aplicada no nó F tem a direcção da barra DG.

a) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós, determine o esforço axial nas barras BE e CE.

b) Calcule o esforço axial na barra DE pelo Método de Ritter.


a) Sem calcular previamente as reacções e recorrendo ao Método de Ritter, determine o esforço axial na

barra BE.

b) Utilizando o Método de Ritter determine o esforço axial na barra AD.

c) Recorrendo ao Método de Equilíbrio dos Nós determine o esforço axial na barra DF.

2 m

20 kN

30 kN50 kN

B C

A

FED

G

3 m

2 m

2 m

5 m


DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( N, V, M )

FICHA 9



1- Considere a viga com o carregamento indicado na figura.

(Reacções: VA = 20,652 kN ↑ HF = 68,051 kN → VF = 13,006 kN ↓ )

a) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)

em função de x1.

b) Desenhe os diagramas de esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos,

mínimos e zeros dos diagramas).

c) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)

em função de x2.

d) Com as expressões determinadas na alínea anterior, confirme o traçado dos diagramas de esforços (N, V

e M) anteriormente desenhados.

e) Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M)

em função de um referencial local de cada tramo.

Nos tramos AB, BC e CD considere x da esquerda para a direita (→); nos tramos DE e EF considere x da

direita para a esquerda (←).

Confirme o traçado dos diagramas de esforços anteriormente desenhados.

2- Considere as estruturas abaixo representadas.

Determine as expressões analíticas dos esforços esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas.

a) Reacções:

HB = 11,0525 kN →

VB = 65,8589 kN ↑

VC = 74,3859 kN ↑

b) Reacções:

HA = 5,5 kN →

VA = 12,0737 kN ↑

MA = 6,4575 kNm

0.8 m

30 kN

45º

50 kN60º

0.9 m

8 kNm

0.8 m 0.95 m 0.55 m

60 kN

40º

x2x1

A

B C D EF

3.5 m 1.4 m

C

D

10kN

AB

50º

20kN

65º

1.1 m

25kN/m30kN

70º 6kNm9kNm

10kN/m

60ºB

C

1.12.4 m

18kN/m

A



FICHA 9



c) Reacções:

HA = 12,262 kN →

VA = 3,50 kN ↑

MA = 11,581 kNm

d) Reacções:

HB = 9,5 kN →

VB = 17,45625 kN ↑

VD = 28,54375 kN ↑

e) Reacções:

HA = 13,731 kN ←

VA = 14,949 kN ↑

RD = 45,819 kN �

RE = 22,116 kN �

15kN/m

6kN

/m

A

B

D

E

C

2.0 m0.8 2.0 m 1.2 m

16kN

5kN/m

3.0 m

7kN

10kN

7kN

12kN

5kNm

8kN/m

2.2 m

A

B

C

E

F

1.2 m

1.2 m 1.0 m

4kNm

D

1.2 m 1.9 m 1.5 m

2.2 m

0.5

4kN/m

30º

20 kNm

7kN

15kN 0.5

A

B

C

D



FICHA 10



1- Considere a estrutura abaixo representada.

Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) e desenhe os respectivos diagramas,

caracterizando todos os pontos notáveis.

Reacções: HA = 10,4 kN → VA = 9 kN ↑ MA = 23,94 kNm

N (kN) V (kN) M (kNm)

0.8 m2

kN/m

A

B

0.9 m

1.1 m

C

E

D

3kN

2kN

8kN

/m2.4 m

4kN



FICHA 10



2- Considere a estrutura representada.

Determine as expressões analíticas dos

esforços (N, V e M). Desenhe os

respectivos diagramas, caracterizando

todos os pontos notáveis.

Reacções:

HF = 19 kN ←

VF = 58 kN ↑

MF = 58,9 kNm

N (kN

Esc: 1 cm ↔ 0,5m

0.8 m

1.2 m

0.52.4 m 0.81.1 m

2.0 m

1.5 m 1.2 m

1.5 m

25kN/m

15kN/m

40kNm

5kN

6kN

8kN

30kN

10kN

18kN

20kN

5kN

A

B C D E

F

G

H

J I K 10kN



FICHA 10



V (kN)

M (kNm)

Esc: 1 cm ↔ 0,5m



FICHA 10



3- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os

respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.

Reacções:

A kN 21,1225 V

kN 8,9032 H

A

A

↑=→=

D kN 31,0892 V

kN 11,9032 H

D

D

↑=←=

VK = 17,7882 kN ↑

N (kN)

Esc: 1 cm ↔ 0,5m

D E F

G

I J

K

5kN/m

25kN/m

20kN

35kN

A

B

C

H

1.25 m 2.0 m

2.5 m 1.6 m 2.4 m 1.0 m

1.0 m

1.0 m

2.2 m

0.5 m

18kNm

10kN

20kNm 12kN



FICHA 10



V (kN)

M (kNm)

Esc: 1 cm



FICHA 10



4- Determine as expressões analíticas dos

esforços (N, V e M) da estrutura

representada. Desenhe os respectivos

diagramas, caracterizando todos os

pontos notáveis.

Reacções:

A kN 13,1985 V

kN 22,0245 H

A

A

↑=←=

I kN 54,8015 V

kN 18,9411 H

I

I

↑=→=

N (kN)

0.8 1.6 m

15kN

/m

12kNm

3.4 m

0.7 m

0.8 m

3kN

18kN20kN

30kN

35kN/m

1.2 m 0.8 0.6



FICHA 10



V (kN)

M (kNm)



FICHA 10



5- Determine as expressões analíticas dos esforços (N, V e M) da estrutura representada. Desenhe os

respectivos diagramas, caracterizando todos os pontos notáveis.

Reacções: A kN 24,6727 V

kN 9,7303 H

A

A

↑=←=

G kN 4,3273 V

kN 31,7303 H

G

G

↑=→=

N (kN)

8kNm

40kN/m

0.8

1.5 m

10kN

15kN

28kN

14kN

0.90.6 4.0 m

1.5 m

0.6 m



FICHA 10



V (kN)

M (kNm)


GEOMETRIA DE MASSAS - CENTRO DE GRAVIDADE

FICHA 11



1- Para as secções transversais representadas, calcule as coordenadas do centro de gravidade referidas ao

respectivo sistema de eixos. Represente o centro de gravidade na figura.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

R=12

,5

Y

X

25 cm15 10

15 cm

12.5

42.5

35 cm

Y

X

3.4 cm

2.7 cm

R=5cm

30 cm

Y

X

15 cm 45 cm

30 cm

Z

Y

23 mm

20 mm

9 mm

15 mm 10

30 mm15 mm

7 mm

515 mm

10 mm

R=20m

m



FICHA 11



Figura 5

Figura 6

2- Considere as secções transversais constituídas por perfis metálicos. Calcule as coordenadas do centro de

gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um).

Represente o centro de gravidade na figura.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

Z

Y

R=12cm

12 cm12 cm

13 cm

12 cm

12 cm

13 cm

13 cm

4 cm 3 cm

3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

Z

Y

R=2cm

18 cm

UPN240UPN160

UPN160

Y

X

HEB 200 L200x200x20

100

100

Z

Y



FICHA 11



3- Considere as secções transversais representadas nas figuras. Calcule as coordenadas do centro de

gravidade referidas ao respectivo sistema de eixos (na ausência de um sistema de eixos, arbitre um).

Represente o centro de gravidade na figura.

PESOS VOLÚMICOS DOS MATERIAIS

AÇO BETÃO MADEIRA MÁRMORE CORTIÇA

77 kN/m3 25 kN/m

3 6 kN/m

3 30 kN/m

3 3 kN/m

3

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

betão

18

6

8

4

25 cm5 5

0.100.20 m0.15

Z

Y

0.18 m

0.18 m

madeira

betão mármore

Ø 219,1 esp.8perfil tubular

9 cm

12 cm

12 cm

9 cm

betão

madeira

9 cm

9 cm

cortiça

912 cm 12 cm9 9 cm 7 cm

R9cm

Ø 355,6 esp.10perfil tubular

betão cortiça


GEOMETRIA DE MASSAS MOMENTOS E PRODUTO DE INÉRCIA. RAIO DE GIRAÇÃO

FICHA 12



1- Considere as secções transversais representadas.

a) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos representados.

b) Calcule os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos

representados.

c) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pela

origem do sistema de eixos representado (momento de inércia polar IO).

d) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e com origem no

centro de gravidade (momento de inércia polar ICG).

e) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos representados.

f) Calcule o raio de giração em relação a cada um dos eixos baricêntricos paralelos aos eixos

representados.

g) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos representados.

h) Calcule o produto de inércia em relação aos eixos baricêntricos paralelos aos eixos representados.

i) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com a mesma

origem do representado mas rodado de 30⁰ no sentido horário.

j) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a um sistema de eixos com origem no

CG e rodado de 25⁰ no sentido anti-horário.

Figura 1 Figura 2

R=12

,5

Y

X

25 cm15 10

15 cm

12.5

42.5

35 cm

30 cm

Y

X

15 cm 45 cm

30 cm



FICHA 12



Figura 3 Figura 4

Figura 5

Figura 6

Z

Y

R=12cm

12 cm12 cm

13 cm

12 cm

12 cm

13 cm

13 cm

Y

X

3.4 cm

2.7 cm

R=5cm

4 cm 3 cm

3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

Z

Y

R=2cm

Z

Y

23 mm

20 mm

9 mm

15 mm 10

30 mm15 mm

7 mm

515 mm

10 mm

R=20m

m



FICHA 12



Figura 7 Figura 8

Figura 9 Figura 10

2- Considere a secção transversal representada, constituída

por duas cantoneiras L 200x100x10.

a) Determine a que distância d deverão ser colocadas as

duas cantoneiras para que o momento de inércia da

secção em relação ao eixo Z seja igual ao momento de

inércia em relação ao eixo Y ( IY = IZ).

3- Determine a espessura e das chapas com que

deverá ser reforçado o perfil IPE 220 para que

apresente o mesmo momento de inércia que

o perfil HEB 220 em relação ao eixo

baricentro ΔG.

Y

X

HEB 200 L200x200x20

100

100

Z

Y

Y

X

UPN160

9 cm

UPN240

UPN160

Z

Y9 cm

8

Z

Y

G

d

150 mme

∆G

150 mm

e

∆G


GEOMETRIA DE MASSAS EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA

FICHA 13



1- Considere as secções transversais representadas.

a) Calcule os Eixos Principais de Inércia (EPI) e os Momentos Principais de Inércia (MPI). Represente os

Eixos Principais de Inércia na figura.

b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia

(MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

R=12

,5

Y

X

25 cm15 10

15 cm

12.5

42.5

35 cm

Y

X

3.4 cm

2.7 cm

R=5cm

30 cm

Y

X

15 cm 45 cm

30 cm

Z

Y

23 mm

20 mm

9 mm

15 mm 10

30 mm15 mm

7 mm

515 mm

10 mm

R=20m

m



FICHA 13



Figura 5

Figura 6

2- Considere a secção transversal representada, constituída por dois perfis metálicos.



b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é máximo. Determine o

valor desse Momento de Inércia máximo.

Z

Y

R=12cm

12 cm12 cm

13 cm

12 cm

12 cm

13 cm

13 cm

4 cm 3 cm

3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

Z

Y

R=2cm

HEB 200 L200x200x20

100

100

Z

Y



FICHA 13



3- Considere as secções transversais representadas, constituídas por perfis metálicos.



b) Calcule os Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI) e os Momentos Principais Centrais de Inércia

(MPCI). Represente os Eixos Principais Centrais de Inércia na figura.

c) Determine o Momento de Inércia em relação ao eixo Δ representado na figura.

Figura 1 Figura 2

4- Considere a secção transversal representada, constituída por perfis metálicos.



b) Posicione na figura o eixo baricêntrico em relação ao qual o Momento de Inércia é mínimo. Determine o

valor desse Momento de Inércia mínimo.

UPN160

9 cm

UPN240

UPN160

Z

Y9 cm

8

∆

Y

X

Y

X

∆

70°

departamento de engenharia civil -...

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