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I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA

DIAGRAMAS

ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR

EXERCÍCIO 1 EXERCÍCIO 2 EXERCÍCIO 3

EXERCÍCIOS EXEMPLIFICATIVOS APRESENTADOS NAS AULAS TEÓRICAS

ISABEL ALVIM TELES

ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES

versão 0 1/14 Exercício 1


EXERCÍCIO 1

Sem calcular previamente as reacções,

determine as expressões analíticas do esforço

axial (N), esforço transverso (V) e momento

flector (M) da viga encastrada representada

na figura.

Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M).

EXERCÍCIO 1 - RESOLUÇÃO

0,6 α sen

0,8 α cos 36,8699

43

arctg

=

=⇒== oαααα

a = x cos α

a = 0,8 x

kNm a 5 2a

a 10 (a) M 2 −=−=

grau) (2º curva kNm 3,2 ) (0,8 5 (x) M 2 2 ⇒−=−= xx

Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d

Md2

2

⇒< concavidade U

CONVENÇÃO DE SINAIS

DA

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

4.0 m

3.0 m

αααα

a

R=10a kN

a2

d

e

x

x

a

αααα

d

V

e

N

VN

+




R – resultante de todas as forças à direita do ponto.

R = 10 a kN

N = R sen α = 10 a sen α

V = R cos α = 10 a cos α

recta kN 6,4 0,8 0,8 10 α cos α cos 10 )x( V

recta kN 4,8 0,6 0,8 10 α sen α cos 10 )x( N

α cos a 10 )a( V

α sen a 10 )a( N α cos x a

⇒=××==

⇒=××== →

=

==

xxx

xxx

Extremidade da consola: (x=0)

0 M

0 V

0 N

=

=

=

Encastramento: (x=5 m)

kNm 80 5 3,2 M

kN 32 5 6,4 V

kN 24 5 4,8 N

2

−=×−=

=×=

=×=

_______________________________________________________________________________________

EXERCÍCIO 1 - OUTRA RESOLUÇÃO

Para os dois sistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja:

R = 10 x 4 = 40 kN ⇒ p x 5 = R = 40 kN ⇒ p = 8 kN/m

αααα

ad

e

x

R

VN αααα

R=10a kN

R=40kN

4.0 m

3.0 m

R=40kN

⇔⇔⇔⇔ 5.0 m

4.0 m

3.0 m




pv= p cos α = 8 x 0,8 = 6,4 kN/m

pn= p sen α = 8 x 0,6 = 4,8 kN/m

grau) (2º curva kNm 3,2 2

6,4 (x)

recta kN 6,4 . pv )x(

recta kN 4,8 . pn )x(

2

⇒−=−=

⇒==

⇒==

xxxM

xxV

xxN


Md2

2

⇒< concavidade U


0 M

0 V

0 N

=

=

=


kNm 80 5 3,2 M

kN 32 5 6,4 V

kN 24 5 4,8 N

2

−=×−=

=×=

=×=

pv=6,4kN/m

5.0 m

pn=4,8kN/m

+

x x

5.0 m

αααα

5.0 m

p

ααααpv =pcosα

pnpsenα=




DIAGRAMAS

+

24 kN

r

+

32 kN

r

-80 kNm

c

-

N

ESFORÇO AXIAL

V

ESFORÇO TRANSVERSO

M

MOMENTO FLECTOR




EXERCÍCIO 2


determine as expressões analíticas do esforço

axial (N), esforço transverso (V) e momento

flector (M) da viga encastrada representada

na figura.

Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M).


0,6 α sen

0,8 α cos 36,8699

43

arctg

=

=⇒== oαααα

b = x sen α

b = 0,6 x

kNm b 10 2b

b 20 (b) M 2 −=−=

grau) (2º curva kNm 3,6 ) (0,6 10 (x) M 2 2 ⇒−=−= xx


Md2

2

⇒< concavidade U


DA


4.0 m

3.0 m

x b

αααα

αααααααα

b

d

e

b2 R=20b kN

x

d

V

e

N

VN

+




R – resultante de todas as forças à

direita do ponto.

R = 20 b kN

N = R cos α = 20 b cos α

V = R sen α = 20 b sen α

recta kN 7,2 0,6 0,6 02 α sen α sen 20 )x( V

recta kN ,69 0,8 0,6 20 α cos α sen 20 )x( N

α sen b 20 )b( V

α cos b 20 )b( N α sen x b

⇒=××==

⇒−=××−=−= →

=

−= =xxx

xxx


0 M

0 V

0 N

=

=

=


kNm 90 5 3,6 M

kN 36 5 7,2 V

kN 48 5 ,69 N

2

−=×−=

=×=

−=×−=

_______________________________________________________________________________________


Para os dois sistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja:

R = 20 x 3 = 60 kN ⇒ p x 5 = R = 60 kN ⇒ p = 12 kN/m

αααα

b

d

e

R=20b kNx

VR

Nαααα

4.0 m

3.0 mR=60 kN

4.0 m

3.0 m⇔⇔⇔⇔R=60 kN




pv= p sen α = 12 x 0,6 = 7,2 kN/m

pn= p cos α = 12 x 0,8 = 9,6 kN/m


7,2 (x)



2

⇒−=−=

⇒==

⇒−=−=

xxxM

xxV

xxN


Md2

2

⇒< concavidade U


0 M

0 V

0 N

=

=

=


kNm 90 5 3,6 M

kN 36 5 7,2 V

kN 48 5 ,69 N

2

−=×−=

=×=

−=×−=

5.0 m

αααα

5.0 m

pv=7,2kN/m

5.0 m

pn=9,6kN/m

+

x x

p

pv =psenα

αααα

pn =pcosα




DIAGRAMAS

-48 kN

r

+

36 kN

r

-90 kNm

c-

N

ESFORÇO AXIAL

V

ESFORÇO TRANSVERSO

M

MOMENTO FLECTOR

-




EXERCÍCIO 3


determine as expressões analíticas do

esforço axial (N), esforço transverso (V) e

momento flector (M) da viga encastrada

representada na figura.

Desenhe os diagramas dos esforços (N, V

e M).


0,6 α sen

0,8 α cos 36,8699

43 arctg

=

=⇒== oαααα

a = x cos α

a = 0,8 x

b = x sen α b = 0,6 x


DA


d

V

e

N

VN

+

x b

αααα

ααααa

4.0 m

3.0 m

αααα

b

d

e

b2

x

R =10a kN

a2

a

R =20b kN




kNm b 10 a 5 2b b 20

2a a 10 b) (a, M 2 2 −−=−−=

Substituindo 0,6 α sen

0,8 α cos

xxb

xxa

==

==

grau) (2º curva kNm 6,8 3,6 3,2 ) (0,6 10 ) (0,8 5 (x) M 2 2 2 2 2 ⇒−=−−=−−= xxxxx


Md2

2

⇒< concavidade U

R1 – resultante da carga distribuida R2 – resultante da carga distribuida

de 10 kN/m à direita do ponto de 20 kN/m à direita do ponto

R1 = 10 a kN R2 = 20 b kN

N1 = R1 sen α = 10 a sen α N2 = R2 cos α = 20 b cos α

V1 = R1 cos α = 10 a cos α V2 = R2 sen α = 20 b sen α

kN 12 8 0,6 02 0,8 10 α sen b 02 α cos a 10 V V )b ,a( V

kN 16 6 0,8 02 0,6 10 α cos 02 α sen 10 N N )b ,a( N

21

21

+=×+×=+=+=

−=×−×=−=−=

baba

bababa

Substituindo: recta kN 13,6 0,6 12 0,8 8 )x( V

recta kN 8,4 0,6 16 0,8 6 )x( N

0,6 α sen

0,8 α cos

⇒=×+×=

⇒−=×−×=⇒

==

==

xxx

xxx

xxb

xxa

Expressões analíticas dos esforços:

grau) (2º curva kNm 6,8 (x) M

recta kN 13,6 )x( V

recta kN 8,4 )x( N

2

⇒−=

⇒=

⇒−=

x

x

x

αααα

b

d

e

x

αααα

αααα

d

e

x

αααα

R =10a kN

a

R

VN

+R =20b kN

R

N

V





0 M

0 V

0 N

=

=

=


kNm 170 5 6,8 M

kN 68 5 13,6 V

kN 24 5 4,8 N

2

−=×−=

=×=

−=×−=

_______________________________________________________________________________________


Para os dois sistemas serem equivalentes, as Resultantes R1 e R2 têm que ser igual, ou seja:

kN/m 12 p

kN/m 8 p

kN 60 R 5 p

kN 40 R 5 p

2

1

22

11

=

=⇒

==×

==×

4.0 m

3.0 m

R =40kN

R =60 kN

4.0 m

3.0 m 5.0 m+

4.0 m

3.0 m

R =40kN

R =60 kN

⇔⇔ ⇔⇔




p1n= p1 sen α = 8 x 0,6 = 4,8 kN/m p2n= p2 sen α = 12 x 0,8 = 9,6 kN/m

p1v= p1 cos α = 8 x 0,8 = 6,4 kN/m p2v= p2 sen α = 12 x 0,6 = 7,2 kN/m

pn = p1n + p2n

pv = p1v + p2v

p1

αααα

p1v=p1 cosαp1np1 senα=

p2

p2v=p2 senα

αααα

p2n=p2 cosα

⇔⇔ ⇔⇔5.0 m

αααα

5.0 m

p1v=6,4kN/m

p1n=4,8kN/m

+

+

+

5.0 m

pv=13,6kN/m

pn=4,8kN/m

+

⇔⇔ ⇔⇔5.0 m

αααα

5.0 m

p2v=7,2kN/m

p2n=9,6kN/m

+





13,6 2

. . pv (x)



2

⇒−=−=−=

⇒==

⇒−=−=

xxxxxM

xxV

xxN


Md2

2

⇒< concavidade U


0 M

0 V

0 N

=

=

=


kNm 170 5 6,8 M

kN 68 5 13,6 V

kN 24 5 4,8 N

2

−=×−=

=×=

−=×−=




DIAGRAMAS

-24 kN

+

68 kN

r

-170 kNm

c-

N

ESFORÇO AXIAL

V

ESFORÇO TRANSVERSO

M

MOMENTO FLECTOR

-

r

estÁtica - paginas.isep.ipp.ptpaginas.isep.ipp.pt/iat/files/estac-exerc-diagramas-barra_incl... ·...

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