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Potencial Elétrico

Cap. 24

Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

24-1 Potencial Elétrico

O potencial elétrico V em um ponto P devido ao campo elétrico produzido por um objeto carregado é dado por

onde W∞ é o trabalho que seria realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de prova positiva q0 se a carga fosse transportada de uma distância infinita até o ponto P, e U é a energia potencial elétrica que seria armazenada no sistema carga-objeto.

(a) Uma carga de prova foi deslocada do infinito até o ponto P, na presença do campo elétrico criado pela barra.

(b) Definimos um potencial elétrico V no ponto P com base na energia potencial da configuração mostrada em (a).

Se uma partícula de carga q é colocada em um ponto no qual o potencial elétrico de um objeto carregado é V, a energiapotencial elétrica U do sistema partícula-objeto é dada por

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A barra cria um potencial elétrico que determina a energia potencial.

Carga de prova q0 no ponto P

Objeto carregado

Potencial elétrico V no ponto P

24-1 Potencial Elétrico

Variação no Potencial Elétrico. Se uma partícula atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial ΔV, a variação da energia potencial elétrica édada por

Trabalho pelo Campo. O trabalho realizado pela força elétrica ao mover a partícula de i até f:

Conservação de Energia. Se uma partícula carregada se move através de uma variação ΔV no potencial elétrico sem ser submetida a nenhuma outra força além da força elétrica, aplicando a conservação da energia mecânica, isto provoca uma alteração na energia cinética de

Trabalho por uma Força Externa. Se uma partícula carregada se move na presença da força elétrica e de outra força qualquer, o trabalho é


24-2 Superfícies Equipotenciais e o Campo Elétrico

Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real.

A Figura mostra uma família de superfícies equipotenciais associada ao campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas. trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das trajetórias Ie II é zero, já que essas trajetórias começam e terminam na mesma superfície equipotencial.O trabalho realizado quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das trajetórias III e IV não é zero, mas tem o mesmo valor para as duas trajetórias, pois os potenciais inicial e final são os mesmos para as duas trajetórias, ou seja, as trajetórias III e IV ligam o mesmo par de superfícies equipotenciais.


Trabalhos realizados ao longo de trajetórias que começam e terminam nas mesmas superfícies equipotenciais são iguais

Trabalho realizado ao longo de uma trajetória que se mantém em uma superfície equipotencial é nulo

Trabalho realizado ao longo de uma trajetória que começa e termina em uma mesma superfície equipotencial é nulo

24-2 Superfícies Equipotenciais e o Campo Elétrico

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é

Onde a integral é tomada sobre qualquer caminho conectando os pontos. Se a integração é difícil ao longo de uma trajetória em particular, podemos escolher uma diferente e mais fácil.Se escolhermos Vi = 0, teremos, para o potencial num determinado ponto,

Em um campo uniforme de módulo E, a variação de potencial de uma superfície com potencial maior para uma de potencial menor, separadas por Δx, é

Uma carga de prova q0 se desloca do ponto i para o ponto f ao longo da trajetória indicada, na presença de um campo elétrico não uniforme. Durante um deslocamento ds, uma força eletrostática q0 Eage sobre a carga de prova. A força aponta na direção da linha de campo que passa pela carga de prova.


Trajetória Linha de campo

Para determinar o potencial da partícula carregada, deslocamos esta carga de prova até o infinito

24-3 Potencial devido a uma partícula carregada

Sabemos que a diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é

Para uma trajetória radial

O módulo do campo elétrico no ponto da carga teste

Fazendo Vf =0 (no ∞) e Vi =V (em R)

Resolvendo para V e trocando R por r, obtemos

Nesta figura a partícula de carga positiva q produz um campo elétrico E e um potencial elétrico V no ponto P. Calculamos o potencial deslocando uma carga de prova q0 do ponto P até o infinito. A figura mostra a carga de prova a uma distância r da carga pontual, durante um deslocamento elementar ds.

Como o potencial elétrico V devido a uma partícula com carga q a uma distância radial r da partícula.


24-3 Potencial devido a uma partícula carregada

O potencial devido a uma coleção de partículas carregadas é

Então, o potencial é a soma algébrica dos potenciais individuais, sem considerar as direções.

Potencial devido a um grupo de Partículas Carregadas

Answer: Same net potential (a)=(b)=(c)© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo; uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo.

24-4 Potencial devido a um Dipolo Elétrico

(a) O ponto P está a uma distância r do ponto central O de um dipolo. A reta OP faz um ângulo θ com o eixo do dipolo.

(b) Se o ponto P está a uma grande distância do dipolo, as retas de comprimentos r(+) e r(-) são aproximadamente paralelas à reta de comprimento r e a reta tracejada é aproximadamente perpendicular à reta de comprimento r(-).

O potencial resultante em P é dado por

Podemos aproximar as duas linhas até P como sendo paralelas e sua diferença de comprimento como um cateto de um triângulo retângulo com hipotenusa d (Fig. (b)). Esta diferença é tão pequena que o produto dos comprimentos é aproximadamente r 2.

Podemos aproximar V como

onde θ é medido a partir do eixo do dipolo como mostrado em (a). E uma vez que p=qd :


24-5 Potencial devido a uma Distribuição Contínua de Carga

No caso de uma distribuição contínua de carga (em um objeto macroscópico), o potencial pode ser calculado (1) dividindo a distribuição em elementos de carga dq que podem ser tratados como

partículas e(2) somando o potencial produzido pelos elementos calculando uma integral para toda a

distribuição:

Agora examinaremos duas distribuições contínuas de cargas, uma linha de carga e um disco carregado.



Linha de CargaA fig. (a) mostra uma barra fina condutora de comprimento L. Como mostrado na fig. (b) o elemento da barra tem um diferencial de carga de Este elemento produz um potencial elétrico dV num ponto P (fig. (c)) dado por

Agora encontramos o potencial total V produzido pela barra no ponto P integrando dV ao longo do comprimento da barra, de x = 0 até x = L (Figs. (d) e (e))

Simplificando,


Esta barra carregada obviamente não é uma partícula.

Mas podemos tratar este elemento como uma partícula.

Esta é a forma de calcular a distância r ao ponto P.

Precisamos somar os potenciais produzidos por todos os elementos.

Este é o elemento mais a esquerda.

Este é o elemento mais a direita.


Disco CarregadoNa figura, considere um elemento diferencial consistindo de um anel de raio R’ e largura radial dR’. A carga tem módulo

na qual (2πR’)(dR’) é a superfície do anel. A contribuição do anel para o potencial elétrico em P é

Encontramos o potencial total em P integrando as contribuições de todos os anéis desde R’=0 até R’=R: Um disco de plástico de raio R,

carregado em sua superfície com uma densidade superficial de carga σ. Desejamos encontrar o potencial V num ponto P no eixo central do disco.Note que a variável da segunda integral é R’ e não z


Cada elemento de carga no anel contribui para o potencial em P

24-6 Calculando o Campo a partir do Potencial

Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra um deslocamento ds de uma superfícieequipotencial para a superfície vizinha. o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova durante o deslocamento é – q0dV. Por outro lado o mesmo trabalho também pode ser escrito como o produto escalar(q0E)ds. Igualando as duas expressões para o trabalho, obtemos

ou,

Como E cosθ é a componente de E na direção de ds, obtemos,

Uma carga de prova positiva q0 sofre um deslocamento ds de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha. (A distância entre as superfícies foi exagerada na figura.) O deslocamento ds faz um ângulo θ com o campo elétrico E.


Duas superfícies equipotenciais

A cada par de partículas está associada uma energia.

A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema, começando com as partículas separadas por uma distância infinita. No caso de duas partículas separadas por uma distância r,

Duas cargas mantidas a uma distância fixa r.

24-7 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas


A energia potencial total de um sistema de partículas é a soma das energias potenciais de todos os pares de partículas do sistema.

Três cargas estão fixas nos vértices de um triângulo equilátero. Qual é o potencial elétrico do sistema?

24-7 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas

24-8 Potencial de um Condutor Carregado Isolado

(a) Um gráfico de V(r)ambos interior e exterior de uma casca esférica carregada de raio 1,0 m.

(a) Gráfico de E(r) para a mesma casca.

É recomendável se proteger numa cavidade dentro de uma casca condutora, onde o campo elétrico é com certeza igual a zero. Um carro (a menos que seja um conversível ou feito com corpo de plástico) é quase ideal


Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor (tanto na superfície como no interior). Isto acontece, mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo que a cavidade interna contenha uma carga elétrica.

24 Sumário

Potencial Elétrico• O potencial elétrico V no ponto P no

campo elétrico de um objeto carregado:

Energia Potencial Elétrica• A energia potencial elétrica U do

sistema partícula-objeto:

• Se a partícula se desloca através de um potencial ΔV:

Eq. 24-2

Eq. 24-3

Eq. 24-4

Energia Mecânica• Aplicando conservação de energia

mecânica obtemos a variação daenergia cinética:

• No caso de uma força externa aplicada numa partícula

• Num caso especial quando ΔK=0:

Eq. 24-9

Eq. 24-11

Eq. 24-12

Encontrando V a partir de E• A diferença de potencial elétrica

entre dois pontos i e f é:

Eq. 24-18


24 Sumário

Potencial devido a uma Partícula Carregada• Devido a uma única partícula

carregada numa distância r:

• Devido a um conjunto de partículas carregadas

Eq. 24-26

Eq. 24-27

Eq. 24-30

Potencial devido a uma Distrib. Contínua de Carga• Para uma distribuição contícua de

carga:

Eq. 24-32

Eq. 24-40

Eq. 24-46

Potencial devido a um Dipolo Elétrico• O potencial elétrico de um dipolo é

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas • Para duas partículas separadas por r:


Calculando E a partir de V• A componente de E em qualquer

direção é:

24 Exercícios


Halliday 10ª. Edição

Cap. 24:

Problemas 3; 4; 9; 16; 21; 23; 31; 34; 47; 66

24 Problema 24-3


Suponha que, em um relâmpago, a diferença de potencial entre uma nuvem e a terra é 1,0 × 109 V e a carga transferida pelo relâmpago é 30 C. (a) Qual é a variação da energia da carga transferida? (b) Se toda a energia liberada pelo relâmpago pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg, qual seria avelocidade final do carro?

24 Problema 24-4


Duas placas paralelas condutoras, de grande extensão, estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas. Uma força eletrostática de 3,9 × 10−15 N age sobre um elétron colocado na região entre as duas placas. (Despreze o efeito de borda.) (a) Determine o campo elétrico na posição do elétron. (b) Determine a diferença de potencial entre as placas.

24 Problema 24-9


Uma placa isolante infinita possui uma densidade superficial de carga σ = +5,80 pC/m2. (a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q = +1,60 × 10−19 C é deslocada da superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d = 3,56 cm da superfície da placa? (b) Se o potencial elétrico V é definido como zero na superfície da placa, qual é o valor de V no ponto P?

24 Problema 24-16


A Figura mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar, com a = 39,0 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1

= 3,40 pC e q2 = 6,00 pC. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (Sugestão: Examinando o problema com atenção, é possível reduzir consideravelmente os cálculos.)

24 Problema 24-21


A molécula de amoníaco (NH3) possui um dipolo elétrico permanente de 1,47 D, em que 1 D = 1debye = 3,34 × 10−30 C · m. Calcule o potencial elétrico produzido por uma molécula de amoníaco em um ponto do eixo do dipolo a uma distância de 52,0 nm. (Considere V = 0 no infinito.)

24 Problema 24-23


(a) A Fig. (a) mostra uma barra isolante, de comprimento L = 6,00 cm e densidade linear de carga positiva uniforme λ = +3,68 pC/m. Considere V = 0 no infinito. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00 cm acima do ponto médio da barra? (b) A Fig. (b) mostra uma barra igual à do item (a), exceto pelo fato de que a metade da direita está carregada negativamente; o valor absoluto da densidade linear de carga continua sendo 3,68 pC/m em toda a barra. Com V = 0 no infinito, qual é o valor de V no ponto P?

24 Problema 24-31


Um disco de plástico, de raio R = 64,0 cm, é carregado na face superior com uma densidade superficial de cargas uniforme = 7,73 fC/m2; em seguida, três quadrantes do disco são removidos. A Figura mostra o quadrante remanescente. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P, que está no eixo central do disco original a uma distância D = 25,9 cm do centro do disco?

24 Problema 24-34


Duas placas metálicas paralelas, de grande extensão, são mantidas a uma distância de 1,5 cm e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfícies internas. Considere o potencial da placa negativa como zero. Se o potencial a meio caminho entre as placas é +5,0 V, qual é o campo elétrico na região entre as placas?

24 Problema 24-47


Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com 1,0 cm de raio e uma carga uniformemente distribuída de 1,6 × 10−15 C? Em outras palavras, que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero?

24 Problema 24-66


Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R1 = 0,500 m e R2 = 1,00 m, cargas uniformes q1 = +2,00 μC e q2 = +1,00 μC e espessura insignificante. Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância do centro de curvatura das cascas (a) r = 4,00, (b) r = 0,700 m e (c) r = 0,200 m. Com V = 0 no infinito, determine V para (d) r = 4,00 m, (e) r = 1,00 m, (f) r = 0,700 m, (g) r = 0,500 m, (h) r = 0,200 m, e (i) r = 0. (j) Plote E(r) e V(r).

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