Dicas elaboradaspelo professor Gilberto

do Sistema de Ensino Energia.

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e ti av s bul rvesti ul rb avestibulardicas do vestibular Confira essa e outras dicas em nosso sitewww.energia.com.br

Matrizes Matriz quadrada

Matriz na qual o número de linhas é igual ao de colunas.

m = n

Observe a matriz quadrada:

a = i + j = n + 1ij

n = ordem da matriz

Traço: soma dos elementos da diagonal principal.

Obs.: Se m π n, a matriz recebe o nome de retangular.

Matrizes especiais

1) Matriz linha (A ) – Possui apenas uma linha.1 x n

Exemplo

A = (1 2 3)1 x 3

2) Matriz coluna (A ) – Apresenta apenas uma coluna.m x 1

Exemplo

A =

3) Matriz nula – Tem todos os elementos nulos.

Exemplo

A = = 02 x 3

4) Matriz diagonal – Matriz quadrada em que a = 0, se i π j.ij

Exemplo

A =

5) Matriz triangular – Possui os elementos acima ou abaixo da diagonal principal nulos.

Exemplo

6) Matriz identidade (In) – InÞ a = ij

Exemplo

I = Obs.: A matriz identidade também é chamada matriz unidade.3

t tTransposta de uma matriz (A , A)

É uma matriz obtida trocando-se, ordenadamente, linha por coluna.

Exemplo

tA =A =

tObs.: Se A = A, A é simétrica.

Exemplo

tA = A =

Oposta de uma matriz (–A)

É uma matriz obtida trocando-se os sinais de seus elementos.

Exemplo

tA = A =

tObs.: Se A = –A, A é anti-simétrica.

Exemplo

tA = A = –A =

O estudo formal de matrizes teve início em 1855 com Arthur Cayley (1821-1895), embora o termo matriz já tenha sido usado por Joseph Sylvester (1814-1897), em uma revista alemã, em 1850.Em textos chineses, de alguns anos antes de Cristo, já se resolviam sistemas lineares, por um processo em que a notação matricial já estava subentendida. Cayley tinha em mente apenas os aspectos algébricos, e não os efeitos práticos, de matrizes quando formulou sua teoria.

Matriz

É uma tabela disposta em m linhas e n colunas. (m, n IN*)

Exemplo

A =

Os elementos da matriz possuem dois índices de localização (i) para a posição da linha e para a posição da coluna (j).

Exemplo

a = 723

Então, genericamente, a matriz é representada por:

A = (a )ij m x n

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, de mesmo tipo, serão iguais se, e somente se, seus elementos correspondentes (que ocupam a mesma posição) forem iguais.

2 3 70 5 2 2 x 3

1 2 3

A = 4 5 6

7 8 9

æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø diagonal principal a ij Þ i = j

diagonal secundária

237 3 x 1

0 0 00 0 0

2 0 00 4 00 0 7

1 0 00 1 00 0 1

2 0 0

A = 3 2 0

5 2 3

æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

triângular inferior

2 3 5

A = 0 2 3

0 0 3

æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

triângular superior

1, se i = j 0 , se i j π

2 3 41 1 4

2 13 14 4

2 3 43 1 74 7 5

2 3 43 1 74 7 5

–2 3 1 0 –4 2

2 –3 –10 4 –2

0 –22 0

0 2–2 0

0 2–2 0

ij

2x33x2

2x23x3

jix

mxn

mxn

4x1

1x4

ij

m nx