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Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial
10ª Aula e 11ª Aula Duração - 2 Horas Data - 3 de Novembro de 2003 Sumário: Conceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio de Forças e Momentos. Reacções de Apoio. Esforços Transversos e Momentos Flectores. Esforço Axial. Diagramas de Esforços. Objectivos da Aula: Rever a forma de Cálculo de Reacções de Apoio em Vigas Isostáticas e Aprender a traçar os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores. Resumo do Conteúdo da Aula 1- Introdução
Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e momentos flectores como se representa na figura 10.1, podendo ser considerada plana ou tridimensional conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que também contém o eixo da peça linear, a viga é dita viga plana, é sobre este tipo de vigas que se vai fazer incidir a maior parte do estudo sobre peças lineares. O tipo de ligações ao exterior usualmente consideradas estão também representadas. As peças lineares consideradas são do tipo viga plana isostática, isto é, são vigas cujo eixo está contido no plano de solicitação e para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de cálculo das reacções de apoio. Os tipos de apoios considerados são: o encastramento, que impede todos os movimentos de rotação e translação, o apoio duplo que impede dois movimentos de translação e o apoio simples que impede um movimento de translação. No caso das vigas planas, no encastramento desenvolvem-se três reacções, duas forças e um momento, no apoio duplo desenvolvem-se duas reacções que são duas forças e no apoio simples desenvolve-se uma reacção que é uma força. Nas secções de corte consideradas em B nas vigas da figura 10.1, estão representados os esforços que se desenvolvem e que são esforços transversos, T e momentos Flectores, M, estes esforços surgem em consequência da necessidade de cada um dos sólidos elementares em que a viga foi decomposta estarem em equilíbrio. Os diagramas de corpo livre para as duas vigas planas consideradas estão representados na figura 10.2.
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Apoio Duplo
AB
MT
TM
B
P
C
L
Encastramento
x
A xP
B C
P
T
M
AB
BM
TC
L
A
x
BP
C x
Apoio Simples
Figura 10.1: Esforços Transversos e Momentos Flectores
θ
θ
θ
Apoio DuploEncastramento Apoio Simples
θoscPθsenP
θsenP/2 θsenP/2θoscP
θsenPL
Figura 10.2: Diagramas de Corpo Livre
Neste capítulo pretende-se proceder ao cálculo das reacções nos apoios de vigas planas sujeitas a acções externas e ao cálculo dos esforços transversos e momentos flectores nas várias secções das vigas.
Os tipos de acções mais frequentes, a que uma viga pode estar sujeita, são as acções ditas concentradas e as acções ditas distribuídas. A carga concentrada numa viga é considerada aplicada num ponto para efeitos de cálculo e as cargas distribuídas estão distribuídas numa parcela da viga. Para efeitos de cálculo, as acções, desde que possível, são reduzidas a cargas distribuídas por unidade de comprimento e a cargas concentradas.
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2. Esforços Internos e Externos
As cargas exteriores e as reacções de apoio constituem o conjunto dos esforços externos na viga, as forças directamente aplicadas são em geral conhecidas e as reacções de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os esforços internos são os esforços que se desenvolvem numa secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga passando na referida secção e impondo o equilíbrio estático de cada uma das partes em que a viga ficou dividida.
Para efeitos de cálculo das Reacções de apoio em vigas planas isostáticas é suficiente considerar as equações de equilíbrio de forças e momentos, conhecidas da Estática. Considere-se uma viga isostática plana, por exemplo uma das vigas representadas na figura 10.3. As equações de equilíbrio de forças a considerar são duas, a equação de equilíbrio de forças segundo x e a equação de equilíbrio de forças segundo y
0F
0Fy
x=∑
=∑
10.1 O eixo dos xx é considerado coincidente com o eixo da viga, o eixo dos yy é
considerado perpendicular ao eixo dos xx e contido no plano de solicitação e o eixo dos zz é normal ao plano Oxy.
Além das duas equações de equilíbrio de forças já referidas é necessário considerar a equação de equilíbrio de momentos segundo z num ponto
0M z =∑ 10.2
x
y
P
p(x) y p(x)
x
P
p(x)P P p(x) P
y
x x
y
Figura 10.3: Vigas Isostáticas Planas
O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das reacções são três, eventualmente duas no caso de não existirem forças axiais. As equações de equilíbrio estático a considerar para efeitos de cálculo dos esforços internos são as equações de equilíbrio de momentos e forças, referidas no cálculo das reacções, no caso da viga estar sujeita a forças no plano de solicitação.
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A fim de exemplificar o cálculo de reacções e esforços internos, vão considerar-se alguns casos simples 2.1.Vigas Encastradas
Considerem-se as vigas encastradas representadas na figura 10.4 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As duas reacções existentes são uma reacção R y e um momento M, como se representa na figura.
x
y
P
y
xA B
BAM M
Ry Ry
PLMM
PRF
z
yy
=⇒=∑
=⇒=∑
0
0
L L
/2LpMM
pLRF2
z
yy
=⇒=∑
=⇒=∑
0
0
p(x)=p
Figura 10.4: Reacções de Apoio em Vigas Encastradas
No caso de se tratarem de outras solicitações, as equações de equilíbrio a considerar ainda seriam as mesmas, mas as forças intervenientes seriam distintas. Exemplo 10.1 Considere a viga encastrada representada na figura 10.5 e determine a) As reacções de Apoio. b)Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C. Resolução a) Cálculo das Reacções de Apoio
m.kN480480820M0M
kN1002080R0F
Az
Ay
=×+×=⇒=∑
=+=⇒=∑
m.kN480M;kN100R AA ==
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10kN/m
20kN
8m
2.0m3.0m
A
B
B
C
C
20kN
20kN
M A
M A
M B
M B
M C
M C
TBT B
TC
TC
R A
R A
Figura 10.5: Viga Encastrada
b)Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C O esforço T B é igual à resultante das forças à direita da Secção B-B, ou seja
kNT B 7051020 =×+= O esforço T C é igual à resultante das forças à direita da Secção C-C, ou seja
kNT C 4021020 =×+= Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à direita da Secção B-B, ou seja
m.kN2255.2510520M B =××+×= O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja
C 20 2 10 2 1 60kN.mM = × + × × = 2.2.Vigas Simplesmente Apoiadas Considerem-se as vigas simplesmente apoiadas representadas na figura 10.6 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As reacções são uma reacção R y em A e uma reacção R y em C, como se representa na figura.
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y
x
y
x
P
A B C
p(x)=p
L/2 L/2 LR A R C R A R C
P/2RP/2;R
PL/2LR0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
===⇒=∑
=+⇒=∑
pL/2RpL/2;R
/2LpLR0M
pLRR0F
CA
2Cz
CAy
===⇒=∑
=+⇒=∑
CA
Figura 2.6: Reacções em Vigas Simplesmente Apoiadas
O cálculo das reacções de apoio é em geral necessário para efeitos de cálculo dos Esforços Transversos e Momentos Flectores. Exemplo 10.2 Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.7 e determine a) As Reacções de Apoio. b) Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C. Resolução Equações de equilíbrio de forças e momentos
m.kN5.4725.3305.3715R70M
kN13530715RR0F
Dz
DAy
=×+××=×⇒=∑
=+×=+⇒=∑
Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se:
5.67R;5.67R DA ==
7/28
30kN
2.0m
B
15kN/mB
2.0m
C
C
3.5m 3.5m
A D
R A
R A
R D
R DM B
M BT B
30kN
15kN/m
15kN/m
15kN/m30kN
15kN/mM C
M C
TB
TC
T C
Figura2.7: Viga simplesmente Apoiada
b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C O esforço T B é igual à resultante das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja
kN5.372155.67T B =×−= O esforço T C é igual à resultante das forças à esquerda da Secção C-C, ou seja
kN5.37515305.67T C −=×−−= Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja
m.kN105121525.67M B =××−×= O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja
m.kN1055.1305.251555.67M C =×−××−×= 2.3.Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em consola
Considerem-se as vigas simplesmente apoiadas com tramo em consola representadas na figura 10.8 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As reacções são uma reacção R y em A e uma reacção R y em C, como se representa na figura.
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y p(x)=p
x
y
xA
R A R A
AB
P
C
L/3
C
R CL/3 L/3
P/2RP/2;R
PL/3L/32R0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
===⇒=∑
=+⇒=∑
R C
2L/3 L/3
3pL/4RpL/3;R/18L5p/18L4p
L/32R0M
pLRR0F
CA
22Cz
CAy
==+=
=⇒=∑
=+⇒=∑
Figura 10.8: Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em Consola Exemplo 10.3 Considere a viga simplesmente apoiada com tramo em consola representada na figura 10.9 e determine a) As Reacções de Apoio. b) Os Esforços Transversos e os Momentos Flectores nas Secções B-B e C-C. Resolução a) Cálculo das Reações de Apoio Equações de equilíbrio de forças e momentos
m.kN3655.62525.25.420R5.40M
kN115255.420RR0F
Dz
DAy
=×+××=×⇒=∑
=+×=+⇒=∑
Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se:
kN)1(1.81R;kN)8(8.33R DA == b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C O esforço T B é igual à resultante das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja
kN)8(8.13220)8(88.33T B −=×−= O esforço T C é igual à resultante das forças à direita da Secção C-C, ou seja
kN25T C =
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2.0m
B
BA
C
CRA
R A
MB
M B
TB
TB
1.0m1.0m
R DD
TC
MC
T CMC
R D
20kN/m25kN
2.5m
20kN/m
20kN/m
20kN/m
25kN
25kN
Figura2.9: Viga simplesmente Apoiada com tramo em consola
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja
m.kN)7(7.2712202)8(8.33M B =××−×= O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja
m.kN25125M C =×= 3. Diagramas de Esforços
O diagrama de esforços transversos é um gráfico que mostra o valor do esforço transverso em função da distância x ao longo do eixo da viga e o diagrama de momentos flectores é um gráfico que mostra o valor do momento flector em função da distância x ao longo do eixo da viga. Para traçar os diagramas de esforços (entendidos como esforço transverso e momento flector) é necessário considerar um corte na viga a uma distância x da origem e determinar os valores dos esforços transversos e momentos flectores em função de x e desenhar o gráfico das funções obtidas. Para ilustrar o processo, considerem-se os exemplos seguintes. No traçado dos diagramas de esforços transversos e momentos flectores usa-se a convenção de sinais representada na figura10.10.
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Esforços Transversos Positivos
+
Esforços Transversos Negativos
-
+
Momentos Flectores Positivos
Momentos Flectores Negativos
Figura 10.10: Convenção de Sinais
Exemplo 10.4 Considere a viga encastrada representada na figura 10.11 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
P
L
x
A B C CB
BA
R A
M A
PTB
T B
M B
M B
PT B =
PxM B =
Figura 10.11: Viga Encastrada- Carga Pontual
Resolução: Em geral, é necessário calcular as reacções de apoio, no caso da viga encastrada pode evitar-se o cálculo das reacções de apoio considerando a origem do sistema de eixos na extremidade livre da viga como se representa na figura 10.11. O esforço transverso numa secção a uma distância x da extremidade livre são como se representa na figura T=P e M=Px.
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O traçado dos diagramas é facilmente feito tendo em conta que T é constante e igual a P e M é linear sendo a recta de inclinação P, como se representa na figura 10.12.
P
L
x
A B C
R A
M A PT =
PxM =
y
+
-
P
PL
Figura 10.12: Viga Encastrada sujeita a uma Carga Pontual
Exemplo 10.5 Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, representada na figura 10.13 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
P
a b
L
R A R C
B C
Pa/LRPb/L;R cA ==
xR A
R Ax
T
M
M
T
P
0<x<a
a<x<L
A
y
x
Figura 10.13: Viga Simplesmente Apoiada sujeita a uma Carga Pontual Resolução: Determinação das Reacções de Apoio
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L/PaR;L/PbRou
PaLR0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
Para efeitos de cálculo dos esforços transversos e momentos flectores a viga tem de ser dividida em duas partes, uma entre A e B, 0<x<a e outra entre B e C, a<x<L, como se representa na referida figura. Os esforços transversos são:
RT A= =Pb/L para 0<x<a
L/PaRRPT BA ==−= para a<x<L sendo este esforço, de acordo com a convenção de sinais, negativo. Os momentos flectores são:
L/PbxxRM A == para 0<x<a )ax(PL/Pbx)ax(PxRM A −−=−−= para a<x<L
De acordo com a convenção de sinais, estes momentos flectores, são positivos. Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.14.
P
a b
L
A B C
y
x
+
-
Esforços Transversos
Momentos Flectores
+
y
y
x
x
R A R C
Pa/LRPb/L;R cA ==
Pb/LR A =
Pa/LR C =
Pab/L
Figura 10.14: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada-Carga Pontual
Exemplo 10.6 Considere a viga encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuida, representada na figura 10.15 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
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L
x
BM B
M BB CA
p(x)=p
AT B
B
TB
C
/2xPM 2B =
pxT B =R A
M A
M AR A
Figura 10.15: Viga Encastrada Sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuída
Resolução: Cálculo das Reacções de Apoio
2/LpM0M
pLR0F2
Az
Ay
=⇒=∑
=⇒=∑
O esforço transverso numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga é: T=px O momento flector numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga é:
2/xpM 2= Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.16.
L
x
A B C
R A
M A
p(x)=p
pxT =
x
+
/2xPM 2=
x
-
pL
pLR A =
/2LpM 2A =
/2Lp 2
Figura 10.16: Diagramas de Esforços - Viga Encastrada - Carga Uniformemente
Distribuída
14/28
Exemplo 10.7 Considere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, representada na figura 10.17 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
A C
x
y
x
B
x
L
R A R C
PL/2RPL/2;R cA ==
R A
/2xppLx/2M 2B −=
M B
M B
TB
T B
p(x)=pp(x)=p
p(x)=p
pxpL/2T B −=
Figura 10.17: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga uniformemente
Distribuída Resolução: Cálculo das Reacções de Apoio
2/LpLR0M
pLRR0F2
Cz
CAy
=×⇒=∑
=+⇒=∑
ou seja: 2/pLRR CA ==
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é igual à diferença entre a reacção RA e a resultante da carga distribuída ao longo de um comprimento x:
pxpLT −= 2/ O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é igual ao momento resultante da reacção de apoio RA menos o momento da resultante da carga distribuída ao longo de um comprimento x, ou seja:
2/xp2/pLxM 2−= Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.18.
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2/pLRR CA ==
L
A
x
B
y
C x
Momentos Flectores pL/2
pL/2
Esforços Transversos
/8Lp 2
px2/pL)x(T −=
2/xp2/pLX)x(M 2−=
Figura 10.18:Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada - Carga
Uniformemente Distribuída
Exemplo 10. 8 Considere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura 2.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
y
x
x
p(x)=px/L
A B C
p(x)=px/L
pL/2R A =
/6LpM 2A −=
R A R AM A
M A M BTB
T BM B
/2LxpT 2B =
/6LxpM 3B −=
Figura 10.19: Viga Encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída
Resolução: Cálculo das Reacções de Apoio
6/LpM0M
2/pLR0F2
Az
Ay
−=⇒=∑
=⇒=∑
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A uma distância x da extremidade livre a intensidade da carga p(x) é p(x)=px/L, como se representa na figura 10.19. O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga, é igual à resultante da carga triangular de altura x e base px/L, ou seja:
( ) LxpxLpxT 2/2// 2−=×−= O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga, é igual ao momento resultante da carga triangular de altura x e base px/L:
3M (px / L) (x / 2) x / 3 p / 6Lx= − × × = − Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.20.
y
x
x
p(x)=px/L
A B C
Esforços Transversos
pL/2
R AM A
pL/2R A =
/6LpM 2A −=
/2LxpT(x) 2=
Momentos Flectores
-/6Lxp)x(M 3−=
/6Lp 2
Figura 10.20: Viga Encastrada sujeita a uma Carga Linearmente Distribuída
Exemplo 10. 9 Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada na figura 10.21 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores.
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y
x
p(x)=px/L
A B C
R A
p(x)=px/L
R A
2pL/6px-/2Lxp 2BT +=
2pLx/6/2xp-/6Lxp 23BM +=
R C
R C
x
pL/6R C=
pL/2R A =
L
M B
M B
T B
T B
Figura 10.21: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a um Carregamento Linearmente Distribuído
Resolução: Cálculo das Reacções de Apoio
6/0
2/02LpLR
pLRR
Cy
CAy
MF
=⇒=
=+⇒=
∑∑
ou seja: 6/;6/2 pLRpLR CA ==
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é calculado determinando a diferença entre a reacção de apoio e a resultante da carga distribuida na área trapezoidal de comprimento x, tendo em conta que a carga distribuída é –px/L+p, ou seja:
6/22/2
)/()( 2 pLpxLxpxpLpxpRxT A +−=×
+−+−=
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é obtido por adição do momento resultante da reacção RA com o momento resultante da carga trapezoidal de comprimento x:
( )
6/22/6/)(
)/(32/2
2)/()(
23 pLxxpLxpxM
ppLpxppLpxxxxpLpxpxRxM A
+−=
++−++−×
−××+−+
−×=
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Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.22.
y
x
p(x)=px/L
A B C
RA RC
x
L
+
-
Esforços Transversos
Momentos Flectores
+
2pL/6 pL/6
2pL/6px-/2LxpT(x) 2 +=2pLx/6/2xp-/6LxpM(x) 23 +=
Figura 10.22: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga
Linearmente Distribuida 4. Equações de Equilíbrio
Considere-se uma viga rectilínea sob a acção de forças e momentos exteriores, como se representa na figura 10.23, um elemento da viga de dimensão dx, a uma distância x da origem do sistema de eixos deve estar em equilíbrio sob a acção de forças exteriores e de esforços internos, momentos e esforços transversos.
x dx M+dMMT
pdx
MT
M+dM
T+dT
T+dT
dx
y
x
p(x)
Figura 10.23: Esforços Transversos e Momentos Flectores num Elemento de
Dimensão Infinitesimal
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As cargas exteriores aplicadas no elemento de dimensão dx, têm uma resultante igual a pdx, os esforços de corte ou transversos resultantes nas secções de corte são, T e T+dT, como se representa na figura 10.23. A equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos yy é:
0)( =+−+ pdxTdTT Simplificando obtém-se:
pdxdT
−=
10.3 A equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão dx é:
0)()()( 21 =+++−+ dxpdxMdMMdxdTT
Desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira obtém-se:
0=− dMTdx ou no limite
Tdx
dM=
10.4 que representa a equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão dx. Substituindo a equação 10.4 na equação 10.3, obtém-se:
pxdMd −=
2
2
10.5 Observando a equação 10.4 e 10.5, conclui-se que o máximo do momento flector M ocorre para valores nulos do esforço transverso T, as equações 10.3, 10.4 e 10.5 resultam só da consideração do equilíbrio estático e são portanto independentes do material da viga. A equação 10.3, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância x1 e outra a uma distância x2 da origem, obtendo-se:
∫∫ −==
=
x
x
xx
xx
pdxdT2
1
2
1
Designando por T1 o esforço transverso a uma distância x1 e por T 2 o esforço transverso a uma distância x2 da origem, a equação anterior toma a forma:
∫−=x
xpdxTT
2
1
12
2.6
20/28
A equação 10.4, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância x1 e outra a uma distância x2 da origem, obtendo-se:
∫∫ ==
=
x
x
xx
xx
TdxdM2
1
2
1
Designando por M 1 o esforço transverso a uma distância x1 e por M 2 o esforço transverso a uma distância x2 da origem, a equação anterior toma a forma
∫+=x
xTdxMM
2
1
12
10.7 O valor de T(x) pode ser obtido considerando a equação 10.6 e considerando xx =2 , ou seja:
∫−=x
xpdxTxT
1
1)(
10.8 Substituindo este valor na equação 10.7 obtém-se:
dxx
x
x
xpdxxxTMxM ∫ ∫
−−+=1 1
)()( 111
10.9 As equações 10.8 e 10.9 podem ser utilizadas para calcular as expressões dos esforços transversos e momentos flectores a uma distância x de um ponto de referência x1 . Estas equações podem ser utilizadas para efeitos de traçado dos diagramas de esforços em alternativa ao processo utilizado no parágrafo anterior. 5. Diagramas de Esforços utilizando as Equações de Equilíbrio
Os exemplos anteriormente considerados podem ser refeitos fazendo uso das equações de equilíbrio estático e da convenção de sinais anteriormente apresentada, estes exemplos podem ser bastante elucidativos quanto à utilização das referidas equações quer no que respeita à obtenção dos diagramas quer no que respeita à interpretação dos mesmos. Alguns dos referidos exemplos serão repetidos considerando agora as equações de Equilíbrio Estático.
Exemplo 10.10 Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.24 e fazendo uso das equações de equilíbrio estático, determine: a) Os diagramas de Esforços b) O momento máximo e o ponto em que ocorre.
21/28
Resolução a) O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, e este cálculo como foi indicado anteriormente conduz às reacções seguintes:
LPaRLPbR CA /;/ == A viga tem de ser dividida em dois tramas, o tramo 1 que corresponde a 0<x<a e o tramo 2 que corresponde a a<x<L, no ponto em que está aplicada a carga pontual existe uma discontinuidade no esforço transverso. A carga p(x) nos dois tramos é p(x)=0. Para 0<x<a o esforço transverso é:
)0()()0()(0
TdxxpTxTx
=−= ∫
ou seja tendo em conta que T(0)= RA e que p(x)=0,o esforço transverso T(x) é:
LPbRxT A /)( ==
P
a b
L
dx
xy
dx
P
)2/( xxM ∆− )2/( xxM ∆+
)2/( xxT ∆−
)2/( xxT ∆+
Esforços Transversos
+LPb /
Momentos Flectores
+
0/ =dxdTsalto para T=P
0)(/ =−= xpdxdT
LPbTdxdM // ==
LPbxM /= LxLPaM /)( −=
LPaTdxdM // −==
T
Pa/L
Mx
x
∫+
−=+=
=⇒<<
×+===⇒<<
x
adxxTaMxMaTxT
xpLxaxR AMxMTxT
xpax
)()()();()(
0)()0()();0()(
0)(0
LPaRLPbR BA /;/ ==
Figura 10.24: Viga Simplesmente apoiada Sujeita a uma Carga Pontual Para 0<x<a o momento flector é tal que.
0/)(/ >=== LPbRxTdxdM A ou seja é rectilíneo uma vez que a inclinação é constante e crescente até x=a, uma vez que a inclinação é positiva, ou seja integrando a equação anterior
22/28
LPbxxRdxxTMxMx
A /)()0()(0
==+= ∫
uma vez que M(0)=0, M(x) representa a área do diagrama de esforços Transversos entre 0 e x. No ponto x=a existe uma discontinuidade de esforços transversos e considerando o equilíbrio de forças no elemento de dimensão dx representado na figura conclui-se que é:
PxaTxaT −∆
−=∆
+ )2
()2
( ou LPaPaTaT /)()( −=−= −+
Considerando o equilíbrio de momentos no referido elemento conclui-se que:
)()( aMaM −+ =
ou seja existe continuidade de momento para x=a, embora exista uma mudança de inclinação como resulta do facto de o esforço transverso à direita e à esquerda ter valores distintos, sendo um valor positivo e outro negativo. Para a<x<L o esforço transverso é:
)()()()(0
aTdxxpaTxTx
++ =−= ∫ =-Pa/L
O momento flector para a<x<L é tal que:
0/)(/ <−=−== LPaRxTdxdM B
ou seja é rectilíneo tendo em conta que a inclinação é constante e decrescente ente x=a e x=L, atendendo que a inclinação é negativa, integrando a equação anterior obtém-se.
LxLPadxRaRdxxTaMxMx
aB
x
aA /)()()()( −=−=+= ∫∫+
Os diagramas resultantes estão representados na figura 10.24. b) O momento máximo ocorre no ponto a que corresponde um esforço transverso nulo, neste caso o referido ponto corresponde a x=a. O momento correspondente é: M=Pab/L. Exemplo 10.11 Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.25 e fazendo uso das equações de equilíbrio estático, determine: a)Os diagramas de Esforços b)O momento máximo e o ponto em que ocorre.
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Resolução a)O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, este cálculo, como foi indicado
anteriormente, conduz às reacções seguintes:
2/;2/ pLRpLR CA == Neste caso não há necessidade de dividir a viga em troços tendo em conta que a carga é uniformemente distribuída em todo o tramo, não havendo lugar a discontinuidades de carregamento ou ligação ao exterior. A carga p(x) é p(x)=p e consequentemente é:
pxTdxxpTxTx
−=−= ∫ )0()()0()(0
Tendo em conta que T(0) é igual à reacção no apoio A, a expressão de T(x) toma a forma:
pxpLpxRpxTxT A −=−=−= 2/)0()(
L
xy
∫−=
−==
xdxxTMxM
pxTxTpxp
0)()0()(
)0()()(
2/;2/ pLRpLR BA ==
Esforços Transversos
+
Momentos Flectores
+M
x
x
T2/pL
2/pL
pdxdT −=/
0/ >dxdM 0/ <dxdM
0/ =dxdM
8/2Lp
Figura 10.25: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga Uniformemente
Distribuída
O momento flector é obtido por integração da equação dM/dx=T(x), ou seja:
2/2/)()0()( 2
0xppLxdxxTMxM
x
−=−= ∫
b) O momento flector máximo ocorre quando for T(x)=0, ou seja para x=T(0)/p. Tendo em conta que T(0) é igual à reacção em A e que tem o valor de pL/2, a distância x a
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que ocorre o momento máximo é x=L/2. O momento máximo é:
8/)2/( 2LpLM = Exemplo 10.12 Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.26 e determine: a) As Reacções de Apoio b) b)Os diagramas de Esforços c) c)Os valores máximos dos Esforços e sua localização Resolução:
a)Fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se:
6.0m 4.0m
6kN/m
A B
kNRkNR CA 8.10;2.25 ==
Esforços Transversos
Reacções de Apoio
T6/ −=dxdT
25.2
10.8
+
0/ =dxdT2.256)( +−= xxT
8.10)( −=xT
Momentos Flectores
+
x
x
M 0/ =dxdMxxMxM 2.253)0()( 2 +−=
1088.10)( −−= xxM
Cx
y
Figura10.26: Viga Simplesmente Apoiada parcialmente carregada com Carga
Uniformemente Distribuída
336100
360
×=⇒=
=+⇒=
∑∑
RM
kNRRF
Cz
CAy
ou seja: kNRekNR CA 8.102.25 ==
b) Para 0<x<6 a equação de equilíbrio de forças é:
25/28
6−=dxdT donde se conclui que 2.2566)0()( +−=−= xxTxT
A equação de equilíbrio de momentos para 0<x<6 é:
2.256)( +−== xxTdx
dM
donde se conclui que xxxxMxM 2.2532.253)0()( 22 +−=+−= Para 6<x<10 a equação de equilíbrio de forças é:
0=dxdT donde se conclui que ∫ −=+=
x
dxxpTxT6
8.10)()6()(
A equação de equilíbrio de momentos para 6<x<10 é:
8.10)( −== xTdx
dM
donde se conclui que
xxdxxTMxMx
8.100.10868.108.102.45)()6()(6
−=×+−=+= ∫
Os diagramas que resultam das expressões acabadas de obter estão representados na figura 10.26. c) O valor máximo do momento ocorre para T(x)=0 o que corresponde a ser no
intervalo 0<x<6 e ao valor 02.256)( =+−= xxT , donde se conclui que x=4.2m. Para este valor de x, o momento é:
mkNM .92.522.42.252.43)2.4( 2 =×+×−= Exemplo 10.13 Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.27 e determine: a) As Reacções de Apoio b) Os diagramas de Esforços c) Os valores máximos dos Esforços e sua localização.
26/28
Figura 10.27: Viga Simplesmente Apoiada com Tramo em Consola Resolução: a)Fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se:
As reacções de apoio são em consequência das equações anteriores kNRkNR CA 5010 ==
b)No troço 0<x<4 a equação de equilíbrio de forças é
10−=dxdT que conduz a ∫ −=−=
x
xdxTxT0
101010)0()(
No troço 0<x<4 a equação de equilíbrio de momentos é
)(xTdx
dM= que conduz a ∫ −=−+=
x
xxdxxMxM0
2510)1010()0()(
No troço 4<x<6 a equação de equilíbrio de forças é
0=dxdT que implica que seja: ∫ =+−=+=−=
x
kNTdxTxT4
205030)4(0)4()(
tendo em conta que no ponto B existe uma discontinuidade do esforço transverso sendo o esforço transverso À direita de B igual a –30kN e à esquerda de B igual a 20kN, como resulta da existência de uma reacção concentrada em B. No troço 4<x<6 a equação de equilíbrio de momentos é:
)(xTdx
dM= que
implica que seja:
4.0m
A
10kN/m
2.0m
Esforços Transversos
B C
20kN
-
+
RA RC
kNRkNR CA 50;10 ==
Momentos Flectores
xxT 1010)( −=T
M
x x
xxxM 2510)( −=
xxM 2040)( −=
20)( =xT
x
2008012024020640
600
=+=×+×=×⇒=
=+⇒=
∑∑
RM
RRF
CA
CAy
27/28
xxdxMxMx
20120420204020)4()(4
+−=×−+−=+= ∫
Os diagramas resultantes das equações obtidas estão representados na figura 10.27. 6. Problemas Propostos para Resolução na Aula 1. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas simplesmente apoiadas representadas nas figuras 10.28 a) …f)
Figura 10.28: Vigas Simplesmente Apoiadas
2. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas simplesmente apoiadas com tramos em consola representadas nas figuras 10.29 a) …f)
xy
xy
xy
x y
x
y
x
y
L=1m
M=1500N.m
P=3000N M=1500Nm
0.5 m 0.25m
1000N/m
0.5m 0.5m
a)
b)
c)
2000N/m
0.5m 0.5m
3m 2m
2 kN/m 4kN/m d)
e)
0.25m 0.5m 0.25m
3kN/m 3kN/m
f)
28/28
Figura 10.29: Vigas com tramos em Conso
3. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas encastradas representadas nas figuras 10.30 a) e b)
7- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995. - Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989. - J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.
xy 1000N/m
xy
0.25 m 0.25m
x y
0.5m
xy
L=1m
P=2kN M=3kNm
x
y
x
y
a) b)
4.5kN/m
2kNm
0.5m 0.5m
2kNm 5kN/m
0.25m 0.25m 0.5m 5kN
x
y
x
y
M=1500N.m
0.25m
0.5m 0.5m
a)
b)
c)
2000N/m
0.5m
3m 2m
2 kN/m 4kN/m d)
e) 3kN/m 3kN/m
f)
0.25m 0.5m0.25m