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 Problema de Transporte Problema de Transporte Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Novembro - 2009

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Problema de TransporteProblema de Transporte

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Novembro - 2009

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O problema de transporte é uma classeespecial de problema de programação linearque trata do envio de uma mercadoria deorigens (por exemplo, fábricas) para destinos

(por exemplo, depósitos). O objetivo édeterminar a programação de expedição queminimize o custo total de expedição e, aomesmo tempo, satisfaça os limites defornecimento e demanda.

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 A  aplicação do problema de transporte podeser estendida a outras áreas de operações,entre elas controle de estoque, programaçãode empregos e designação de pessoal.

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Definição do problema

O problema geral é representado pela redena figura a seguir:

: :

Há m origens e n destinos, cada umrepresentado por um nó. Os arcosrepresentam as rotas que ligam as origensaos destinos. O arco (i, j), que liga a origem i

ao destino j, nos dá duas informações:

1

2

1

nm

2

a1

a2

am

b1

b2

bn

Origens c11:x11 Destinos

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O custo de transporte por unidade cij

A  quantidade enviada, xij

 A  quantidade de suprimento na origem i é ai

e a quantidade de demanda no destino j é b j.O objetivo do problema é determinar asincógnitas xij que minimizarão o custo total detransporte e, ao mesmo tempo, satisfarão

todas as restrições de suprimento edemanda.

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Esta classe de problemas recebeu este nomeporque seu método de resolução,denominado Método de Transporte, foiinicialmente utilizado para determinar o

menor custo de transporte entre diversasfábricas de um produto e diversos centrosconsumidores.

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O Método de Transporte resolve esta classede problemas de programação linear de umamaneira mais eficiente que o Simplextradicional.

Porém o Método de Transporte foiespecialmente utilizado antes da era damicrocomputação, ou seja, nos primórdios da

Pesquisa Operacional, para aperfeiçoarcálculos feitos a mão.

 

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Com o advento dos computadores pessoais,cada vez mais rápidos e com maiorcapacidade de processamento, diversossistemas automatizados de resolução de

Problemas de programação Linear têm sidolançados, os quais tornam dispensável aaplicação do Método de Transporte em suaforma original. No entanto, a maneira como o

problema pode ser equacionado permanece amesma.

 

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O Problema de Transporte básico é aqueleem que queremos determinar, dentre asdiversas maneiras de distribuição de umproduto, a que resultará no menor custo de

transporte entre as fábricas e os centros dedistribuição. Por se tratar de um problema deprogramação linear, devemos fazer ahipótese de que o custo unitário detransporte de cada fábrica para cada destinoé constante, independentemente daquantidade transportada.

 

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Matematicamente, queremos aminimização do custo total de transporte,a qual é dada por:

Min Z = §§! !

m

i

n

 j

ijij xc1 1

 

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A s restrições deste tipo de problema são: asfábricas não podem produzir mais do quesuas capacidades instaladas e os centrosconsumidores não desejam receber volumes

acima de suas demandas. Existem duas maneiras para que estas

restrições seja implementadas.

 

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1. Na primeira, o montante ofertado(somat ório das capacidades das fábricas)deve ser igualado ao total demandado(somat ório das demandas dos centros

consumidores). Para operacionalizar estasrestrições de igualdade, as seguintes regrasdevem ser seguidas:

 

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No caso de Oferta maior que a Demanda devemosintroduzir um destino fantasma (dummy) que tenhaos custos de trasnporte unitários de todas as fábricaspara este destino iguais a zero. A  demanda destecentro consumidor deve ser igual à diferença entre ototal ofertado e o total demandado;

No caso de Demanda maior que Oferta devemosintroduzir uma fonte de oferta fantasma (dummy)que tenha os custos de transporte unitários paratodos os destinos iguais a zero e uma capacidadeigual à diferença entre o total demandado e o totalofertado.

 

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Inserindo uma demanda ou uma ofertafantasma, garantimos que todas as restriçõesdo problema serão dadas por igualdades. Emoutras palavras, o total fabricado será

virtualmente igual à demanda dos centrosconsumidores e vice-versa.Matematicamente, estas restrições serãorepresentadas pelas equações a seguir:

 

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§!

!n

 j

iij f   x1

(para i = 1, 2, ..., m) restrições das

capacidades das fábricas

O somatório das quantidades enviadas de cada fábrica

para os n destinos deve ser igual ao total ofertado por aquela fábrica (f i)

 j

m

i

ij d  x !

§!1

(j = 1, 2, ..., n) restrições dos centros

consumidores

O somatório das quantidades recebidas por centro

consumidor das m fábricas deve ser igual ao total

demandado por aquele destino (d j).

 

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Somando-se todos os lados de todas as restrições,teremos:

e§§ §!! !

!m

i

i

m

i

n

 j

ij f   x11 1

§§§!! !

!n

 j

 j

n

 j

m

i

ij d  x11 1

 

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Como os lados esquerdos das duas equaçõesacima representam o somat ório dos custos detodos os itens transportados das fábricas para osdestinos, podemos concluir que os lados direitosdas equações também devem ser iguais, isto é:

§§!!

!n

 j

 j

m

i

i d  f  11

Esta última igualdade é condição necessária esuficiente para que qualquer problema detransporte tenha solução ótima quando modelado

utilizando variáveis dummy.

 

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2. A  segunda forma de se implementar asrestrições varia com o total demandadopelos centros consumidores.

O procedimento é o seguinte:

No caso da oferta total ser maior do que ademanda total, nem todas as fábricasproduzirão em plena capacidade, porém os

centros consumidores irão receber asquantidades que desejam.

 

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Matematicamente, isto pode ser representado por:

(i = 1, 2, ..., m) restrições das fábricas

(j = 1, 2, ..., n) restrições dos centros

consumidores

i

n

 j

ij f   x e§!1

 j

m

i

ij d  x !§!1

 

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No caso da demanda total ser maior do que aoferta total, nem todos os centrosconsumidores não receberão toda aquantidade que desejam, porém as fábricas

irão produzir tudo o que puderem, ou seja,irão trabalhar em plena capacidade.

 

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Matematicamente,

(i = 1, 2, ..., m) restrições das

fábricas

(j = 1, 2, ..., n) restrições doscentros consumidores

§!

!n

 j

iij f   x1

 j

m

i

ij d  x e§!1

 

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Conforme vimos, a inserção de variáveis do tipodummy não é obrigat  ória, porém facilitam ainterpretação do resultado da otimização. Quandoexiste um desequilíbrio entre oferta e demanda,podemos ter as seguintes ações e interpretaçõespara as variáveis dummy:

Capacidade > Demanda Demanda > capacidade

 Ação: busca de novoscentros consumidores  Ação: criação de novafábrica

Interpretação:capacidade ociosa das

fábricas

Interpretação:demanda não atendida

 

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Exemplo A  MG A uto tem três fábricas: uma em Los

 A ngeles, uma em Detroit e outra em NovaOrleans, e duas grandes centrais dedistribuição: uma em Denver e outra em Miami. A s capacidades das três fábricas para o próximotrimestre são 1000, 1500 e 1200 carros. A sdemandas trimestrais nas duas centrais dedistribuição são 2300 e 1400 carros. O mapa dedistâncias entre as fábricas e as centrais dedistriuição é dado na tabela a seguir.

Mapa de distânciasDenver Miami

Los  A ngeles 1000 2690

Detroit  1250 1350

Nova Orleans 1275 850 

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 A 

empresa transportadora encarregada dotransporte dos carros cobra 8 centavos por milhapor carro. Os custos de transporte por carro nasdiferentes rotas, arredondados para o valor maispróximo, são dados na tabela a seguir.

Custos ($) de transporte por carroDenver Miami

Los  A ngeles 80 215

Detroit  100 108

Nova Orleans 102 68

 

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Qual a formulação do problema deprogramação linear?

 

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Problemas de Transporte Não Tradicionais

Como dito anteriormente, a aplicação doproblema de transporte não se limita aotransporte de mercadorias entre origens edestinos geográficos. A gora apresentaremos

duas situações de aplicações nas áreas decontrole da produção e estoques, e serviço deafiação de ferramentas.

 

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Exemplo 1

A Boralis fabrica mochilas para praticantes deesportes radicais. A  demanda para seu produtoocorre entre março e junho de cada ano. A Boralisestima que a demanda para os quatro meses é 100,200, 180 e 300 unidades, respectivamente. A empresa usa mão-de-obra de tempo parcial para

fabricar as mochilas e, por causa disso, suacapacidade de produção varia mensalmente. Estima-se que a Boralis possa produzir 50, 180, 280 e 270unidades de maço a junho. Como a capacidade deprodução e a demanda para os diferentes meses não

combinam, a demanda de um mês corrente pode sersatisfeita de uma entre três maneiras:

 

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Exemplo 1

1. Produção do mês corrente.2. Excesso de produção de um mês anterior.

3. Excesso de produção em um mês posterior(atendimento de pedidos pendentes).

 

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Exemplo 1

No primeiro caso, o custo de produção pormochila é $ 40. O segundo caso incorre emum custo adicional de permanência emestoque de $ 0,50 por mochila por mês. No

terceiro caso há um custo adicional de multade $ 2 por mochila para cada mês de atraso.

 A Boralis quer determinar a programaçãoótima de produção para os quatro meses.

 

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Exemplo 1

 A  situação pode ser formulada como umproblema de transporte reconhecendo osparalelos entre os elementos do problema deprodução-estoque e o problema de

transporte, conforme demonstrado na tabelaa seguir.

 

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Exemplo 1 

Produção-estoque e problema de transporteTransporte Produção-estoque

1 - Origem i 1 Período de Produção i

2 - Destino j 2 Período de Demanda j3 Quantidade fornecidana origem i

3 Capacidade deprodução do período i

4 Demanda do destino j 4 Demanda para o

período j5 Custo unitário detransporte da origem i aodestino j

5 Custo unitário(produção + estoque +multa) no período i para o

período j 

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Exemplo 2

 A A rkansas Pacific opera uma serraria demédio porte. A  serraria prepara diferentestipos de madeira que abrangem desde opinho, macio, até o carvalho, duro, conforme

uma programação semanal. Dependendo dotipo de madeira a ser serrada, a demanda deserras adiadas varia de dia para dia conformeos dados da tabela a seguir, referentes a umasemana (7 dias) de produção.

 

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Demanda de serras

Dia Seg. Ter. Quarta Quinta Sexta Sab. Dom

Demanda

Serras

24 12 14 20 18 14 22

 

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 A  serraria pode satisfazer a demanda diáriadas seguintes maneiras:

1. Comprar novas serras ao custo de $ 12 porserra.

2. Usar um serviço noturno de afiação ao custode $ 6 por serra.

3. Usar um serviço de afiação lento, de 2 dias,

ao custo de $ 3 por serra.

 

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 A  situação pode ser representada como umproblema de transporte com oito origens esete destinos. Os destinos representam ossete dias da semana. A s origens do modelo

são definidas da seguinte maneira:Origem 1 corresponde a comprar novasserras, o que, em caso extremo, pode chegar

à quantidade suficiente para abastecer ademanda para todos os sete dias ( = 24 + 12+ 14 + 20 + 18 + 14 + 22 = 124). Origens 2a 8 correspondem aos sete dias da semana.

 

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 A  quantidade fornecida por cada uma dessasorigens é igual ao número de serras utilizadasao final do dia associado. Por exemplo,origem 2 (isto é, segunda) fornecerá uma

quantidade de serras utilizadas igual àdemanda de segunda. O custo unitário detransporte para o modelo é $ 12, $ 6 ou $ 3,dependendo de o suprimento de serras sersatisfeito por novas serras, pelo serviçonoturno de afiação ou pelo serviço de afiaçãode dois dias.

 

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Observe que o serviço noturno significa queas serras utilizadas enviadas ao final do dia iestarão disponíveis para utilização no iníciodo dia i + 1 ou do dia i + 2, porque o serviço

lento de dois dias não estará disponível até oinício do dia i + 3.

 

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O Problema de Designação

  A  melhor pessoa para a tarefa é umadescrição adequada do problema dedesignação. A  situação pode ser ilustradapela designação de trabalhadores com graus

variáveis de habilidade a determinadastarefas. Uma tarefa que combine com ahabilidade de um trabalhador custa menos doque uma tarefa para a qual o trabalhador nãoseja tão habilidoso.

 

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O Problema de Designação

Também conhecido por Problema de A tribuição ou A locação.

Podemos dizer também que consiste emdeterminar a maneira ótima de se alocar ntarefas à n máquinas de modo que nenhumatarefa deixe de ser executada e que todas as

máquinas tenham uma tarefa designada aelas.

 

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O Problema de Designação

O objetivo do problema é determinar adesignação de menor custo de trabalhadoresa tarefas.

O problema geral de designação com ntrabalhadores e n tarefas é representado natabela a seguir.

 

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O Problema de Designação

Tarefas1 2 ... n

1 c11 c12 ... C1n 1

2 c21 c22 ... C2n1

Trabalhador

: : : : : :

n cn1 cn2 ... cnn1

1  1 ... 1

 

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O Problema de Designação

O problema de designação é, na realidade,um caso especial do problema de transporteno qual os trabalhadores representam asorigens e as tarefas representam os destinos.

 A  quantidade fornecida (demandada) emcada origem (destino) é exatamente igual a1. O custo de transportar o trabalhador ipara a tarefa j é cij.

 

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O Problema de Designação

Na verdade, o problema de designação podeser resolvido diretamente como um problemade transporte comum. De qualquer maneira,o fato de todas as quantidades fornecidas e

demandadas serem iguais a 1 levou aodesenvolvimento de um algoritmo de soluçãosimples denominado Método Húngaro.

 

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O Método Húngaro

Embora o novo método de solução pareçanão ter relação alguma com o problema detransporte, na realidade a raiz do algoritmo éo método simplex, exatamente como a do

problema de transporte.

 

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O Método Húngaro

Exemplo:Os três filhos de Joe Kline John, Karen e

Terri querem ganhar algum dinheiro paragastar durante uma excursão da escola até o

zoológico local. O Sr. Klyne escolheu trêstarefas para seus filhos:

1 cortar a grama

2 pintar a porta da garagem

3 lavar os carros da família

 

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O Método Húngaro

Para evitar a concorrência prevista entre osirmãos, ele pediu que seus filhosapresentassem propostas (fechadas) do queeles consideravam que fosse um pagamento

 justo para cada uma das três tarefas. Ficoucombinado que os três concordariam com adecisão do pai sobre quem executaria qualtarefa. A  Tabela a seguir resume as propostasrecebidas. Com base nessas informações,como o Sr. Klyne deve designar as tarefas?

 

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O Método Húngaro

Resolução:O Método Húngaro consta de 3 etapas:

1ª - na matriz de custo original, identifique omínimo de cada linha e o subtraia de todas as

entradas da linha.2ª - na matriz resultante da etapa 1, identifique

o mínimo de cada coluna e o subtraia de todaas entradas da coluna.

3ª - Identifique a solução ótima como adesignação viável associada com oselementos zero da matriz obtida na etapa 2.

 

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O Método Húngaro

Problema de designação do Sr. KlyneCortar Pintar Lavar

John $ 15 $ 10 $ 9

Karen $ 9 $15

$10Terri $ 10 $ 12 $ 8

 

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O Método Húngaro

Etapa

1do Método Húngaro

mínimo

Cortar Pintar Lavar linha

John15 1

0 9 p1=9Karen 9 15 10 p2=9

Terri 10 12 8  p3=8

 

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O Método Húngaro

Etapa 2 do Método Húngaro

Cortar Pintar Lavar

John 61

0Karen 0 6 1 

Terri 2 4 0

mínimo

coluna q1 = 0 q2 = 1 q3 = 0

 

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O Método Húngaro

Etapa 3 do Método Húngaro

Cortar Pintar Lavar

John 6 0 0Karen 0 5 1 

Terri 2 3 0

 

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O Método Húngaro

 A s células com entradas zero sublinhadas dãoa solução ótima, o que significa que John

pintará a porta da garagem, Karen cortará agrama e Terri lavará os carros da família. O 

custo total para o Sr. Klyne é:

9 + 10 + 8 = 27.

 

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O Método Húngaro

Essa quantia também será sempre igual a

(p1 + p2 + p3) + (q1 + q2 + q3) =

(9 + 9 +8) + (0 +

1+ 0) = $ 27

 

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O Método Húngaro

 A 

s etapas do método húngaro apresentadasfuncionam bem no exemplo precedenteporque as entradas zero na matiz finalproduzem uma designação viável (no sentidode que uma tarefa distinta é designada acada filho). Em alguns casos, os zeros criadospelas etapas 1 e 2 podem não resultar emuma solução viável diretamente e serãonecessárias mais etapas para achar adesignação ótima (viável).

 

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O Método Húngaro

Considere o exemplo a seguir.Considere que a situação discutida noexemplo anterior seja estendida para quatrofilhos e quatro tarefas, conforme tabela a

seguir.

 

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O Método Húngaro

Tarefa1 2 3 4 

1 $ 1 $ 4 $ 6 $ 3

Filho 2 $ 9 $ 7 $1

0 $ 93 $ 4 $ 5 $ 11 $ 7

4 $ 8 $ 7 $ 8 $ 5

 

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A plique as etapas

1e 2 do método húngaro.

 

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 A s localizações das entradas zero nãopermitem designar tarefas únicas a todos os

filhos. Por exemplo, se designarmos a Tarefa1 ao Filho 1, então a coluna 1 será eliminada

e o Filho 3 não terá uma entrada zero nastrês colunas restantes.

Esse obstáculo pode ser superado com aadição das seguintes etapas:

 

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Etapa 2a: Se não for possível garantirnenhuma designação viável (com todas as

entradas zero) pelas etapas 1 e 2,

i) Trace o número mínimo de linhas

horizontais e verticais na última matrizreduzida que abrangerá todas as entradaszero;

ii) Selecione a menor entrada não abrangida,subtraia essa entrada de todas as entradasnão abrangidas e então a adicione a todasas entradas na interseção de duas linhas;

 

é ú

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O Método Húngaro

Tarefa1 2 3 4 

1 0 3 2 2

Filho 2 2 0 0 23 0 1 4 3

4 3 2 0 0

1 2 3 4

1 0 2 1 1

Filho 2 3 0 0 2

3 0 0 3 2

4 4 2 0 0 

é d ú

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O Método Húngaro

iii) Se não for possível encontrar nenhumadesignação viável entre as entradas zeroresultantes, repita a etapa 2a. Caso contrário,passe para a etapa 3 a fim de determinar a

designação ótima.

 

O é d ú

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O Método Húngaro

1 2 3 4

1 0 2 1 1

Filho 2 3 0 0 23 0 0 3 2

4 4 2 0 0

 

O Mé d Hú

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O Método Húngaro

O custo ótimo associado é

1+ 10 + 5 + 5 = $ 21

O mesmo custo também é determinado pelasoma dos pi e q j e pela entrada que foisubtraída depois que as células selecionadas

foram determinadas, isto é,(1 + 7 + 4 + 5) = (0 + 0 + 3 + 0) + 1 = $ 21 

 

R f ê i

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Referências

L A 

CHTERM

 A CH

ER, G.

P

esquisaOperacional na Tomada de Decisões:modelagem em Excel. São Paulo: Campus,2006.

T A H A , H. A . Pesquisa Operacional: uma visãogeral. 8. ed. São Paulo: Pearson PrenticeHall, 2008.