CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ESTRUTURAS

Professora: Raquel Barros Leal Gondim

Unidade II – Aula 01

BARRAS CURVAS

SUMÁRIO

1.0 Introdução

2.0 Tipos de Arcos

3.0 Princípio de funcionamento

4.0 Vínculos

5.0 Análise dos esforços de um arco biapoiado

6.0 Exercícios

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

1.0 INTRODUÇÃO

• Os arcos tem sua origem ligada ao desenvolvimento do Império

Romano. A partir da Idade Média os arcos, devido a sua grande

capacidade para suportar grandes vãos, começaram a aparecer em

edificações mais ousadas, permitindo a construção de edifícios altos

com grandes aberturas nas paredes.

• O que faz uma estrutura um arco é sua forma curva, sendo que a parte

central é mais alta que as extremidades.

• A forma da curva que define o arco é um função de uma série de

fatores como tipo de materiais, esforços atuantes entre outros fatores.

• São elementos estruturais que sustentam cargas e absorvem esforços

de compressão.

• São sistemas estruturais muito utilizados para vencer grandes vãos,

sendo muito notável sua utilização em pontes.

As cargas se transmitem aos arcos através de tabuleiros (estrado da

ponte), através dos montantes (pilares) ou através dos tirantes

(pendurais).

• De certa forma arcos podem ser definidos como pórticos de barras

curvas.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

2. TIPOS DE ARCOS

Existem fatores para determinar o tipo de arco que se deve utilizar. Entre

os diversos tipos de arcos destacam-se:

2.1 Arco semi-circular: Conhecido como arco romano, é uma

estrutura biapoiada e não recomenda-se seu uso em grandes vãos.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

2.2 Arco elíptico: Possui dois ou mais apoios, e seu uso varia de

grandes a pequenos vãos.

2.3 Arco hiperbólico: Por possui a forma de uma hipérbole torna-

se difícil sua construção, sendo menos utilizado.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

2.4 Arco parabólico: Por possuir a mesma forma de diagramas

de momento fletores faz com que as tensões de flexão sejam anuladas,

sendo assim um dos mais recomendados tipos de arco a ser utilizado.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

3. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO

Os apoios de um arco evitam que o arco se abra.

As reações que aparecem no apoio são provenientes do carregamento

e da forma dos arcos.

Quanto mais alto o arco, maior o vão, maior o peso e maior as

reações de apoio.

As reações horizontais podem causar esforços de tração na base, que

podem ser evitados através do uso de tirantes, ou seja, ligando as

extremidades dos arcos através de um material resistente a tração.

As reações verticais do arco terão o mesmo valos das reações de

apoio de uma viga substituindo um arco.

3. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO

Os apoios de um arco evitam que o arco se abra.

As reações que aparecem no apoio são provenientes do carregamento

e da forma dos arcos.

Quanto mais alto o arco, maior o vão, maior o peso e maior as reações

de apoio.

As reações horizontais podem causar esforços de tração na base, que

podem ser evitados através do uso de tirantes, ou seja, ligando as

extremidades dos arcos através de um material resistente a tração.

As reações verticais do arco terão o mesmo valos das reações de

apoio de uma viga substituindo um arco.

4. VÍNCULOS

Os arcos podem apresentam alguns vínculos que permitam rotação

relativa entre duas seções adjacentes. O número máximo de

articulações que podem ocorrer num arco é 3. Acima disso, o arco torna-

se hipostático. Essas articulações geralmente ocorrem nos apoios e nos

topos.

1. Arcos triarticulados: Podem ser montados em partes e possuem

grande adaptação para mudanças de cargas. Sofrem mais com a

flambagem. Utilizados quando estiverem previstas grandes reações

de recalque.

2. Arco Biarticulado: Bastante utilizados em locais onde são previstas

pequenos recalques. Sofrem grande influência quando existe

mudança na forma.

3. Arcos Biengastados: Por não possuírem articulações são

recomendados quando não existirem possiblidades de recalque nos

apoios. São arco hiperestáticos e absorvem os momentos fletores.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

5. ANÁLISE DOS ESFORÇOS EM UM ARCO BIAPOIADO

Estudo da seção S1:

NORMAL:

Ns + Na = 0

Ns= -Na .∙. Ns = - Va.cosθ .∙. Ns = -𝑷

𝟐.cosθ

CORTANTE:

Qa – Qs = 0

Qs = Qa .∙. Qs = Va.senθ .∙. Qs = 𝑷

𝟐.senθ

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

MOMENTO:

Ms – Va.(R - Rcosθ) = 0

Ms = Va .(R - Rcosθ) .∙. Ms = 𝑷𝑹

𝟐( 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)

DIAGRAMA DE E.I.S

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

Ms = 𝑷𝑹

𝟐( 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)

Ms = 𝑃𝑅

2( 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

Observação 01:

Numa estrutura plana simétrica com carregamento simétrico os

diagramas dos momentos fletores e dos esforços normais são simétricos

e o dos esforços cortantes é assimétrico.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

O traçado dos diagramas dos esforços internos em barras curvas fica

bastante simplificado se seus valores forem marcados a partir de uma

linha reta (reta 1-2 ligando os extremos da barra) o diagrama obtido

anteriormente, se marcado a partir da reta 1-2 seria convenientemente

representado por uma função linear do valor (R-Rcosθ). Isto corresponde

a uma mudança de eixos do sistema local onde x e y são tangentes e

normais em cada ponto, correspondente às coordenadas polares R-θ,

para um eixo x’-y’, com origem em 1, sendo x’ horizontal e obtido como:

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

Eixo da barra curva definido por uma função qualquer f(x):

Seja, por exemplo, a obtenção do DMF de uma barra curva definida por

uma função qualquer y = f(x) e submetida a uma força concentrada

unitária no nó 2. Considerando-se que:

M = -1 . y

O seu traçado a partir da reta 1-2 é imediato sendo este delimitado pelo

próprio eixo da barra, conforme ilustrado na figura.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

Observação 02:

A determinação dos esforços internos em uma barra curva fica bastante

simplificado quando decompõem-se os carregamentos em:

• Cargas verticais e momentos

• Cargas horizontais

Sendo os valores totais obtidos através da superposição, conforme

ilustrado na figura.

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

EXEMPLO 1: Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura abaixo:

f = 3m

4m

3m 3m

3tf

HA

VA VB

5tf

2 tf/m

par. 2° grau

A B

C D

𝑭𝒚 = 0

Va + Vb - 12 = 0

Va = 4tf

𝑴𝑨 = 0

6Vb - 3 x 4 - 12 x 3 = 0

Vb = 48/6

Vb = 8tf

𝑭𝒙 = 0

Ha + 3 – 5 = 0

Ha = 2tf

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

3tf + 2tf = 5tf

4tf 8tf

5tf

12 tf

A B

C D

2tf

2tf5tf

5tf

4tf 8tf

4tf 8tf

8tf.m

8tf.m

20t.m

20tf.m

DECOMPOSIÇÃO DAS BARRAS:

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

DECOMPOSIÇÃO PARA DIAGRAMA DE MOMENTO:

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

DIAGRAMA DE MOMENTO:

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

DIAGRAMA RESULTANTE DE MOMENTO:

Pro

f.(a) R

aq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

EXERCÍCIOS:

1. Traçar o diagrama de momento fletor para o quadro abaixo:P

rof.(a

) Raq

uel L

ea

l -E

strutu

ras

2. Achar os esforços internos nas seções C, D, E, F e G da estrutura a seguirP

rof.(a

) Raq

uel L

ea

l -E

strutu

ras