esforços elementares em peças lineares · de um banco (antes deste quebrar) sinal ( + ) sinal ( -...

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA

CAPÍTULO III

Esforços Elementares em Peças Lineares

SEMESTRE VERÃO 2004/2005

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes 1/13


Capitulo III – Esforços Elementares em Peças Lineares

3.1 Definição dos esforços elementares

Uma estrutura sujeita a um sistema de cargas mantém-se em equilíbrio devido à correcta

distribuição dos apoios.

As forças reactivas dependem das forças activas e todas em conjunto determinam as forças de

ligação entre as diversas partículas que constituem a estrutura.

O corpo representado na figura está em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, activas e

reactivas.

Figura 1

S

A B

P

G

Considerando uma qualquer secção S que separa o corpo em duas partes A e B, as acções

moleculares exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que actuam na

parte B.

Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centro de gravidade G da secção S

por intermédio das forças externas que actuam na parte B obtém-se R e RM .

Figura 2 Ry Mt

Rz

B

My

Mz

Rx

z

y

x



Apenas com sentidos opostos obtinha-se a redução do sistema de forças interiores sobre a outra

parte. Assim, a força R que actua na parte esquerda é a resultante das forças exteriores que

fcam à direita e reciprocamente. O momento M que actua na parte esquerda é o momento

resultante das forças exteriores que ficam à direita, e reciprocamente.

O conjunto de forças estaticamente equivalente à acção de uma parte do corpo sobre a outra,

através da secção qua as separa, é o esforço na secção.

Decompondo as resultantes R e –R e os momentos MR e –MR em componentes normais e

tangenciais ao plano da secção considerada, obtêm-se os esforços elementares ou também

designados por esforços simples.

x y z y zR R i R j R k R Ni V j V k= + + ⇔ = + +

sendo:

N ⇒ Esforço normal ou axial

Vy ⇒ Esforço transverso segundo y

Vz ⇒ Esforço transverso segundo z

e x y z t y zM M i M j M k M M i M j M k= + + ⇔ = + +

sendo:

Mt ⇒ Momento torsor ou momento de torsão

My ⇒ Momento flector segundo y

Mz ⇒ Momento flector segundo z



Quando as estruturas admitem um plano de simetria e as forças estão todas nesse plano a

análise dos esforços elementares ou simples é feita nesse plano (Figura 3 e 4).

Figura 3

Figura 4 Se o plano de simetria for o plano xy obtém-se:

zR Ni Vj e M M k= + = Na figura 5 estão indicados os esforços elementares convencionais para positivos.

Figura 5



3.1.1 Esforço Normal (N)

A componente N é designada por esforço normal ou esforço axial e o seu efeito é de

aproximar, esforço de compressão, ou afastar, esforço de tracção, secções imediatamente

próximas.

Compressão

Ocorre quando há duas forças, na mesma

direcção, empurrando em sentidos opostos.

Exemplo: pisar uma bola

Tracção

Ocorre quando há duas forças, na mesma

direcção, e estas estão em sentidos opostos.

Exemplo: O jogo da corda

Sinal ( - )

Esforço normal é a soma algébrica das projecções sobre a

situadas de um mesmo lado da secção.

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes

Sinal ( + )

normal à secção das forças exteriores

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3.1.2 Esforço Transverso ou Cortante (V)

A componente V é designada por esforço transverso e tende a fazer com que a secção deslize

sobre a secção imediatamente a seguir.

Corte

Ocorre quando há o deslizamento entre secções

paralelas devido à forças paralelas.

Exemplo:

acontece quando uma tesoura corta um pedaço de papel

Sinal ( - )

Sinal ( + )

Esforço transverso é a soma algébrica das projecções sobre o plano da secção das forças

exteriores situadas de um mesmo lado da secção.



3.1.3 Momento Flector (M)

A componente M é designada por momento flector e tende a fazer com que a secção gire em

torno de um eixo localizado no seu próprio plano.

Flexão

Ocorre quando há carregamento transversal

entre os apoios

Exemplo:

acontece quando algumas pessoas se põe no meio de um banco (antes deste quebrar)

Sinal ( + )

Sinal ( - )

Momento flector é a soma vectorial das projecções

forças, situadas de um mesmo lado da secção, em r

Manuela Gonçalves Maria Idália Gomes

sobre o plano da secção dos momentos das

elação ao seu centro de gravidade.

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3.1.4 Momento Torsor (T)

A componente T é designada por momento torsor ou momento de torsão e o seu efeito é o de

torcer a secção em torno da normal.

Torção

Ocorre quando há rotação das extremidades

em direcções opostas.

Exemplo: acontece quando se torce a roupa molhada para deixá-la mais enxuta

Momento torsor é a soma algébrica dos momentos, em relação a um eixo perpendicular ao

plano da secção e passando pelo seu centro de gravidade, das forças exteriores situadas de um

mesmo lado da secção.



3.2 Diagramas de Esforços Elementares

Podem-se conhecer os valores dos esforços elementares em qualquer secção de uma peça

linear, pela via analítica – leis dos esforços elementares – ou pela via gráfica – diagrama dos

esforços elementares.

Para tal, adoptam-se para eixos de referência o eixo da peça (x) e o que lhe é perpendicular (y),

sendo xy o plano das cargas. Define-se a posição da secção genérica pela sua abcissa x e

exprime-se cada esforço elementar em função dessa abcissa.

3.2.1 Regras básicas para o traçado dos diagramas de esforços elementares

O diagrama dos momentos flectores é sempre representado do lado das fibras traccionadas,

pelo que, de acordo com a convenção de sinais adoptada, os valores positivos ficam marcados

do lado de baixo do eixo da peça e os negativos do lado de cima desse mesmo eixo.

Os restantes esforços elementares são marcados do lado de acima do eixo os valores positivos e

do lado abaixo do eixo da peça os valores negativos.

Para se fazer o traçado dos diagramas é conveniente conhecer as relações que existem entre a

carga, esforço transverso e momento flector.

Vamos supor que uma carga distribuída de ordenada p actua uma dada secção S sujeita ao

esforço transverso V e ao momento flector M, ambos positivos.

p

V + dV M + dM

S dx

VM



Para a secção infinitamente próxima verifica-se uma variação infinitésimal daqueles esforços

de

dV q dx e dM Vdx= − =

A partir da equação diferencial dVpdx

− = pode concluir-se:

- a ordenada de carga p numa secção, mede a tangente à curva que define o

diagrama dos esforços transversos , V. Se na vizinhança de uma secção p=0, a tangente

à curva dos V nessa secção é zero, isto é, é horizontal;

- entre as secções A e B não existem cargas concentradas aplicadas e a lei das cargas

distribuídas (equação da curva que limita o diagrama de cargas ) é p(x), então, se entre as

secções A e B:

p(x) > 0, o esforço transverso decresce;

p(x) < 0, o esforço transverso cresce;

p(x) = 0, o esforço transverso é constante;

- e porque se

caminha no eixo x de A para B no sentido positivo do eixo a variação do esforço

transverso entre as secções A e B igual à área do diagrama das cargas entre essas secções.

( ) ( ) ( )VB xB xB

B AVA xA xA

dV p x dx dV p x dx V V p x dx= − ⇒ = − ⇒ − = −∫ ∫ ∫



A partir da equação diferencial dMdx

=V pode concluir-se:

- o valor do esforço transverso V, numa secção, é igual à tangente à curva que

limita o diagrama de momentos flectores, M. Se na vizinhança de uma secção V=0, então

nessa secção a tangente à curva dos M é nula, e M será máximo ou mínimo;

- entre as secções A e B não existem cargas concentradas nem momentos aplicados e

a equação que limita o diagrama dos esforços transversos é V(x), então, se entre as

secções A e B:

V(x) > 0, o momento flector cresce;

V(x) < 0, o momento flector decresce;

V(x) = 0, o momento flector é constante;

- , porque se caminha

no eixo x de A para no sentido positivo do eixo. A variação do momento flector entre as

secções A e B igual à área do diagrama dos esforços transversos entre as secções.

( ) ( ) M ( )MB xB xB

B AMA xA xA

dM V x dx dM V x dx M V x dx= ⇒ = ⇒ − =∫ ∫ ∫

Porque se verifica 2

2

( )d M xpdx

= − , pode concluir-se:

- para cargas positivas, p(x) > 0, a curva que limita o diagrama dos M é côncava (∪)

p(x) > 0 p

x



e para cargas negativas, p(x) < 0, a curva que limita o diagrama dos M é convexa (∩).

p

x

p(x) < 0

As cargas distribuídas, os esforços transversos e os momentos flectores variam ao

longo do eixo x da peça sendo definidos por equações polinomiais. Se:

o grau de p(x) é n então

o grau de V(x) é n + 1 e

o grau de M(x) é n + 2.

Resumo das convenções de sinais

Convenção (+) Convenção (-)




Exercício de Aplicação

Enunciado

a) Trace os diagramas de esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e cálculos

b) escreva as leis de variação dos esforços no troço EF

c) faça o “diagrama de corpo livre” no troço BC.

Exercício de Aplicação

Enunciado Figura

Para a estrutura, com:

p = 25 kN/m e

q = 60 kN/m:

a) trace os diagramas dos esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e cálculos

b) escreva as leis de variação daqueles esforços na barra ACE

c) faça o diagrama de Corpo Livre da barra DE.

3,0

m4,

0 m

D

C

E

A

45 kN.mF G

p B

40 kN

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