curso aplicado de estatistica

CURSO APLICADO DE ESTATÍSTICA

Disciplina de Tópicos Especiais para Engenharia Química UFPR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Dr. GEORGES KASKANTZIS NETO

---- Dr. Georges Kaskantzis Neto ----

~ 1 ~

Em homenagem ao meu tio Nikolas,

irmão da minha mãe, que faleceu

recentemente, tendo findado a sua

missão de bravo paraquedista do

Rei Constantino II da Grécia.


~ 2 ~

PROLEGÔMENOS

Esta apostila foi elaborada visando a realização da disciplina

de Tópicos Especiais para os alunos da Engenharia Química do Setor

de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná.

O objetivo da disciplina é revisar os conceitos básicos da es-

tatística descrita, aplicando-os na investigação de um caso real de

emborcamento naval acontecido no ano de 2011, na Baía da Babi-

tonga de São Francisco do Sul, do Estado de Santa Catarina, BR.

Os objetivos específicos são o aprimoramento da formação

profissional dos graduandos da UFPR e a capacitação destes, na a-

nálise sistemática de questões que envolvam os recursos naturais

O autor da apostila é o professor doutor Georges Kaskantzis

Neto, funcionário público federal lotado no departamento de Enge-

nharia Química da UFPR, desde de o ano de 2001. A apostila foi ela-

borada no período de Janeiro a Fevereiro do ano de 2104.

O conteúdo da apostila a ser descrito contempla os concei-

tos e as técnicas usuais da estatística básica descritiva, os conceitos

de probabilidade, as distribuições teóricas das funções de probabi-

lidade e os testes de hipóteses das médias, das variâncias, das pro-

porções e a técnica ANOVA.


~ 3 ~

LISTA DE TABELAS

TABELA 1. BALANÇO DE MASSA DOS PRODUTOS DO EMBORCA-

MENTO 11

TABELA 2. COMPOSIÇÃO DA MISTURA DOS ÓLEOS DE PETRÓLEO. 12

TABELA 3. RESULTADOS DA CAMPANHA DE AMOSTRAGEM REALIZADA

PELOS TÉCNICOS 13

TABELA 4. CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS RELATIVAS AO EMBORCA-

MENTO. 22

TABELA 5. OBSERVAÇÕES COM AS QUAIS OBTIVERAM-SE AS FREQUÊN-

CIAS 26

TABELA 6. ESTATÍSTICAS DA AMOSTRA DE COMPONENTES AMBIENTAIS 27

TABELA 7. ESTATÍSTICAS DOS VALORES DAS SOMAS DAS CONCENTRA-

ÇÕES DOS COMPOSTO CONTAMINANTES EM FUNÇÃO DAS CLASSES

AMBIENTAIS

41

TABELA 8. CONCENTRAÇÕES GLOBAIS DOS GRUPOS DE COMPOSTOS

OBSERVADOS NAS AMOSTRAS DAS CLASSES DE COMPONENTES AM-

BIENTAIS.

42

TABELA 9. DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL DOS VALORES DAS CONCEN-

TRAÇÕES DOS COMPOSTOS HIDROCARBONETOS E METAIS EM FUN-

ÇÃO DAS CLASSES DE COMPONENTES AMBIENTAIS ATINGIDOS PELO

ACIDENTE NAVAL.

42

TABELA 10. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO P (Z < z). 60

TABELA 11. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO P (Z < z). 61

TABELA 12. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO DE t – STUDENT [WIKIPÉDIA, 2014] 62

TABELA 13. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO DE CHI-QUADRADO [WIKIPÉDIA,

2014] 63

TABELA 14. MEDIDAS EXPERIMENTAIS DO pH das soluções 92

TABELA 15. RESULTADO DA PESAGEM DE CONTAMINANTES IDENTIFI-

CADOS NAS FRUTAS IMPORTADAS PELOS AGENTES DE FISCALIZAÇÃO

DO IBAMA.

96

TABELA 16. DIFERENÇAS DAS PESAGENS EXECUTADAS POR TÉCNICOS 96


~ 4 ~

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1. DETALHE DAS EMBARCAÇÕES ENVOLVIDAS NO ACIDENTE. 10

FIGURA 2. GRUPOS DE COMPOSTOS QUÍMICOS DEFINIDOS EM FUNÇÃO DO

NÚMERO DE SUBSTÂNCIA DE CADA GRUPO E DA CONCENTRAÇÃO MÉDIA. 17

FIGURA 3. NÚMERO DE AMOSTRAS COLETADAS EM FUNÇÃO DOS LOCAIS DE

COLETA E DAS CLASSES DE COMPONENTES 18

FIGURA 4. DISTRIBUIÇÃO DA MASSA E DA FRAÇÃO PERCENTUAL DOS GRUPOS

DE COMPOSTOS QUÍMICOS QUE FORAM DEFINIDOS NO ESTUDO DO DER-

RAME.

19

FIGURA 5. HISTOGRAMA DOS VALORES DO LOGARITMOS DAS CONCENTRA-

ÇÕES DOS GRUPOS DOS COMPOSTOS OBSERVADOS NOS COMPONENTES

AMBIENTAIS ATINGIDOS PELA MISTURA OLEOSA.

27

FIGURA 6. HISTOGRAMA DAS FREQUÊNCIAS DE OCORRÊNCIA DAS CLASSES

DE COMPONENTES AMBIENTAIS NA AMOSTRA DOS VALORES DAS CONCEN-

TRAÇÕES DE COMPOSTOS QUÍMICOS OBSERVADOS NOS TESTES ANALÍTICOS

28

FIGURA 7. MOSAICO DOS HISTOGRAMAS DAS FREQUÊNCIAS DOS VALORES

DO LOGARÍTMO DAS CONCENTRAÇÕES DE BTEX E HEP OBSERVADAS NAS A-

MOSTRAS DE COMPONENTES AMBIENTAIS INVESTIGADOS NA ÉPOCA DOS FA-

TOS

29


DO LOGARÍTMO DAS CONCENTRAÇÕES DE HPA E DE METAIS OBSERVADAS

NAS AMOSTRAS DE COMPONENTES INVESTIGADOS NA ÉPOCA DOS FATOS.

30

FIGURA 9. ESTATÍSTICAS DOS COMPOSTOS BTEX NA MISTURA OLEOSA 37

FIGURA 10. ESTATÍSTICAS DOS COMPOSTOS HEP NA MISTURA OLEOSA 37

FIGURA 11. ESTATÍSTICAS DOS COMPOSTOS HPA NA MISTURA OLEOSA 38

FIGURA 12. ESTATÍSTICAS DO GRUPO DOS METAIS NA MISTURA OLEOSA 38

FIGURA 13. ESTATÍSTICAS DOS BTEX NOS COMPONENTES AMBIENTAIS 39

FIGURA 14. ESTATÍSTICAS DOS HEP NOS COMPONENTES AMBIENTAIS 39

FIGURA 15. ESTATÍSTICAS DOS HPA NOS COMPONENTES AMBIENTAIS 40

FIGURA 16. ESTATÍSTICAS DOS METAIS NOS COMPONENTES AMBIENTAIS 40

FIGURA 17. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES POR LINHAS 47

FIGURA 18. FUNÇÃO PROBABILIDADE REPRESENTADA POR PONTOS 48


~ 5 ~

FIGURA 19. FUNÇÃO PROBABILIDADE NORMAL E SUAS ESTATÍSTICAS 48

FIGURA 20. CURVA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES. 57

FIGURA 21. PECULIARIDADES DA FUNÇÃO NORMAL DE DISTRIBUIÇÃO DE FRE-

QUÊNCIAS 57

FIGURA 22. MOSAICO DE GRÁFICOS INDICANDO AS CURVA DA DISTRIBUI-

ÇÃO LOGNORMAL E LOGNORMAL ACUMULADA. 58

FIGURA 23. FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES RESPECTIVA-

MENTE BINOMIAL, t – STUDENT e WEIBUL [WIKIPEDIA, 20013 59

FIGURA 24. MOSAICO DOS GRÁFICOS DAS DISTRIBUIÇÕES DOS VALORES DO

DIÂMETRO DAS PEÇAS DEFEITUOSAS E DA ESTATÍSTICA PONTUAÇÃO Z 69

FIGURA 25. DISTRIBUIÇÃO DAS CLASSES DOS COMPOSTOS QUÍMICOS QUE

FORMARAM A MISTURA OLEOSA EM VIRTUDE DO ACIDENTE NAVAL. 74

FIGURA26. VARIABILIDADE DA CONCENTRAÇÃO DOS GRUPOS DE COMPOS-

TOS QUÍMICOS DA MISTURA OLEOSA DERRAMA NO ACIDENTE. 75

FIGURA 27. CONTRIBUIÇÕES DOS GRUPOS COMBINADOS DOS COMPOSTOS

DA MISTURA OLEOSA DERRAMADA NO ACIDENTE NAVAL 76

FIGURA 28. HISTOGRAMA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DOS COMPO-

NENTES AMBIENTAIS ALTERADOS PELA MISTURA DE ÓLEOS FORMADA 77

FIGURA 29. DISTRIBUIÇÃO DAS CLASSES E COMPONENTES AMBIENTAIS 78

FIGURA 30. VARIABILIDADE DAS CONCENTRAÇÕES DAS CLASSES DE COM-

PONENTES AMBIENTAIS ATINGIDOS NO ACIDENTE NAVAL 79

FIGURA 31. VARIABILIDADE DOS VALORES DAS CONCENTRAÇÕES OBSERVA-

DAS NOS TESTES DE LABORATÓRIO NAS AMOSTRAS DOS COMPONENTES AM-

BIENTAIS COLETADAS NA ÉPOCA DOS FATOS.

79

FIGURA 32. Regiões de rejeição da hipótese nula do primeiro e segundo

caso em função da hipótese alternativa escolhida. Os gráficos estão asso-

ciados as hipóteses alternativas a, b e c.

85

FIGURA 33. DETALHE DA REGIÃO DE REJEIÇÃO DA HIPÓTESE NULA 87

FIGURA 34. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE DO EXEMPLO APRE-

SENTADO 87


~ 6 ~

SUMÁRIO

- PROLEGÔMENOS

- LISTA DE TABELAS

- LISTA DE FIGURAS

- SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO

2. RESUMO DO ACIDENTE

3. CONCEITOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA

3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS, 21

3.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS, 22

3.3. ANÁLISE DAS FREQUÊNCIAS, 24

3.4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, 31

3.5. MEDIDAS DE DISPERSÃO, 32

3.6. MEDIDAS DE DISTRIBUIÇÃO, 33

3.6.1 CURTOSE, 34

3.7. ESTATÍSTICAS DAS AMOSTRAS, 35

3.7.1. ESTATÍSTICAS DOS GRUPOS DE COMPOSTOS, 36

3.7.2. ESTATÍSTICAS DAS CLASSES DE COMPONENTES, 39

4. FUNÇÃO PROBABILIDADE

4.1. CONCEITOS, 44

4.1.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA, 44

4.1.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE ACUMULADA, 44

4.1.4. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE, 45


~ 7 ~

4.1.5. GRÁFICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE, 47

4.2 ESTATÍSTICAS BÁSICAS, 48

4.2.1. ESPERANÇA, MÉDIA OU VALOR ESPERADO, 49

4.2.2. VARIÂNCIA OU DISPERSÃO, 49

4.2.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIA DISCRETAS, 50

4.2.4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS, 51

5. DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADES

5.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES, 52

5.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES, 53

5.3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIADES DADOS, 64

5.4 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DE AMOSTRAS, 72

6. TESTES DE HIPÓTESES

6.1. HIPÓTESES ESTATÍSTICAS, 80

6.2. HIPÓTESE NULA E ALTERNATIVA, 80

6.3. REGIÕES DE REJEIÇÃO DE HIPÓTESES, 81

6.4 ERROS DO TIPO I E DO TIPO II, 81

6.5. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA, 82

6.6. TESTE UNILATERAL E BILATERAL, 82

6.7. CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO, 82

6.8. SISTEMÁTICA DE EXECUÇÃO DO TESTE DE HIPÓTESE, 83

6.9. TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL, 83

6.10. TESTE DA DIFERENÇA DE MÉDIAS POPULACIONAIS, 89

6.11. TESTES PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL, 97


~ 8 ~

6.12. TESTE PARA A IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS, 100

6.13. TESTE DA IGUALDADE DE K (K>2) VARIÂNCIAS, 101

6.14. TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL, 103

6.15. TESTE DA DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPORÇÕES, 105

7. ANÁLISE DE VARIÂNCIA

7.1. VARIÂNCIA TOTAL, 108

7.2. VARIÂNCIA ENTRE AMOSTRAS, 109

7.3. VARIÂNCIA RESIDUAL, 109

7.4. ROTEIRO DO TESTE, 110

7.5. QUADRO ANOVA, 110

8. TESTE DE HIPÓTESES PARA AS AMOSTRAS

8.1 TESTE PARA AS MÉDIAS, 113

8.2. TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS, 115


~ 9 ~

1. INTRODUÇÃO

A investigação de acidentes ambientais, em geral, envolve

uma grande quantidade de informações. As técnicas estatísticas,

quando utilizadas de forma correta asseguram a confiabilidade e a

qualidade dos resultados, como, por exemplo, aqueles produzidos

na análise técnica de ecossistemas afetados por contaminações.

Neste texto apresentam-se os conceitos da estatística básica

descritiva que são aplicados no estudo de um acidente ocorrido no

ano de 2011. Trata-se da contaminação de ecossistemas da Baía da

Barbilonga do Estado de Santa Catarina, a qual teria sido, suposta-

mente oriunda do emborcamento de um empurrador e de uma bar-

caça.

O objetivo foi investigar a hipótese da contaminação dos e-

cossistemas da Babitonga decorrente do acidente naval. Com este

propósito realizaram a determinação e comparação das estatísticas

de duas amostras. A primeira amostra é o conjunto dos valores das

concentrações dos compostos químicos derivados de petróleos, os

quais formaram uma mistura oleosa que se dispersou no ambiente.

A segunda amostra é o conjuntos dos valores das concentra-

ções dos compostos na mistura observados, nos testes de laboratório

realizados nas amostras de componentes ambientais atingidos pelos

óleos derramados, no acidente naval.


~ 10 ~

2. RESUMO DO ACIDENTE

O emborcamento investigado aconteceu no final do mês de

Janeiro do ano de 2008, nas proximidades do porto de São Francisco

do Sul, no Estado de Santa Catarina. Em virtude das condições des-

favoráveis do tempo, no dia dos fatos, o empurrado e a barcaça

emborcaram, tendo sido derramados no mar, cerca de, 124 m3 de

óleos combustíveis, lubrificantes e resíduos de petróleo. Na FIGURA 1

indicam-se as embarcações envolvidas no evento e na TABELA 1a-

presentam-se os compostos de petróleos derramados no mar.

FIGURA 1. DETALHE DAS EMBARCAÇÕES ENVOLVIDAS NO ACIDENTE.

Os óleos derivados de petróleos despejados no mar atingi-

ram: praias; mangues; marismas; costões; cultivos de ostras mariscos

e mexilhões; crustáceos; a ictiofauna e outros recursos naturais.


~ 11 ~

TABELA 1. BALANÇO DE MASSA DOS PRODUTOS DO EMBORCAMENTO

Produtos Volume (m3) W Dmédia (kg/m3) Massa (kg)

Óleo pesado 90,0 0,7241 967,7 87.097,5

Óleo diesel 13,8 0,1110 850,0 11.730,0

Óleo lubrificante 13,5 0,1086 903,0 12.190,5

Óleos residuais 7,0 0,0563 893,0 6.251,0

Total 124,30 1,0000 943,45 117269,0

Com base nas fichas de segurança dos produtos comerciais

identificaram-se as substâncias químicas que constituem os óleos de

petróleo. Adotando uma base cálculo foi definida a composição da

mistura oleosa, a qual se encontra apresentada na TABELA 2.

Empregando os laudos das análises de laboratório das amos-

tras coletadas na campanha de monitoramento da contaminação,

determinaram-se os de componentes ambientais afetados, os quais

se encontram apresentados na TABELA 3.

Inspecionando os dados das citadas tabelas pode-se notar

que a mistura oleosa originada na ocasião do acidente era formada

por hidrocarbonetos aromáticos (BTEX - 7,76%); hidrocarbonetos pe-

sados (HEP - 80,92%), hidrocarbonetos poliaromáticos (HPA - 3,97%)

e metais pesados (METAIS - 7,34%). A grande quantidade de metais

pesados presentes na mistura oleosa é oriunda dos óleos residuais,

dos óleos pesados e do óleo marítimo (IFO 180), pois estes hidrocar-

bonetos são os resíduos do Da destilação à vácuo dos petróleos.


~ 12 ~

TABELA 2. COMPOSIÇÃO DA MISTURA DOS ÓLEOS DE PETRÓLEO.

COMPOSTO GRUPO C (mg/g) Fração W

Benzeno BTEX 2,444E-04 2,68E-03

Tolueno BTEX 1,111E-03 1,22E-02

Etilbenzeno BTEX 4,422E-03 4,84E-02

m, p - Xilenos BTEX 5,329E-04 5,84E-03

o-Xileno BTEX 7,812E-04 8,55E-03

C10 HEP 5,400E-03 5,91E-02

C12 HEP 4,800E-03 5,26E-02

C14 HEP 7,100E-03 7,77E-02

C16 HEP 8,000E-03 8,76E-02

C18 HEP 6,000E-03 6,57E-02

C20 HEP 9,600E-03 1,05E-01

C22 HEP 9,700E-03 1,06E-01

C24 HEP 9,800E-03 1,07E-01

C26 HEP 4,900E-03 5,37E-02

C28 HEP 8,600E-03 9,42E-02

Benzo(k)fluoranteno HPA 3,900E-06 4,27E-05

Benzo(b)fluoranteno HPA 1,280E-06 1,40E-05

Benzo(a)pireno HPA 2,170E-06 2,38E-05

Fluoranteno HPA 4,650E-05 5,09E-04

Benzo(a)antraceno HPA 5,080E-05 5,56E-04

Criseno HPA 5,530E-05 6,06E-04

Acenaftileno HPA 5,740E-05 6,29E-04

Antraceno HPA 1,552E-04 1,70E-03

Fluoreno HPA 1,933E-04 2,12E-03

Pireno HPA 2,234E-04 2,45E-03

Acenafteno HPA 2,282E-04 2,50E-03

Naftalenos HPA 6,830E-04 7,48E-03

Fenantreno HPA 6,848E-04 7,50E-03

Indeno(1,2,3-cd) pireno HPA 2,483E-04 2,72E-03

Dibenzo (a, h) antraceno HPA 3,483E-04 3,81E-03

Benzo(ghi)perileno HPA 6,483E-04 7,10E-03

Arsênio METAIS 5,200E-05 5,69E-04

Cadmio METAIS 2,600E-05 2,85E-04

Chumbo METAIS 2,600E-05 2,85E-04

Cobre METAIS 1,600E-04 1,75E-03

Cromo METAIS 2,600E-04 2,85E-03

Mercúrio METAIS 5,200E-05 5,69E-04

Níquel METAIS 1,310E-03 1,43E-02

Zinco METAIS 4,820E-03 5,28E-02

BTEX – Benzeno + Tolueno + Etilbenzeno + Xilenos; HPA – hidrocarbo-

netos poliaromáticos, PHE – hidrocarbonetos extraíveis de petróleo.


~ 13 ~

TABELA 3. RESULTADOS DA CAMPANHA DE AMOSTRAGEM REALIZADA PELOS TÉCNICOS

ID Tipo de Amostra Ponto de

Amostragem Classe

BTXE

(mg g-1)

HPE

(mg g-1)

HPA

(mg g-1)

Metais

(mg g-1)

1 Raiz de mangue 4 MG 0.00E+00 6.61E-03 2.38E-05 5.19E-03


3 Raiz de mangue 8 MG 1.24E-04 1.06E-02 4.00E-05 3.20E-03




7 Marisma folha 3 MR 4.33E-04 6.53E-02 5.16E-05 1.13E-01








15 Marisma raiz 3 MR 5.60E-05 2.64E-03 4.91E-05 3.31E-01

16 Marisma raiz 3 MR 0.00E+00 3.30E-01 6.19E-05 6.84E-01






22 Marisma raiz 4 MR 0.00E+00 1.26E-01 9.90E-06 5.16E+00

23 Mangue preto 3 MG 1.42E-04 5.15E+00 5.63E-04 4.04E+00


~ 14 ~


25 Mangue preto 5 MG 0.00E+00 6.34E+00 1.10E-03 6.90E+00






31 Mangue vermelho 4 MG 2.08E-03 1.98E+00 8.17E-05 1.74E+00

32 Mangue vermelho 4 MG 7.97E-04 1.73E+00 5.32E-05 1.32E+00

33 Mangue branco 5 MG 7.07E-04 1.32E+00 1.01E-04 1.26E+00





38 Mangue branco 3 MG 4.62E-04 1.15E+00 8.03E-05 4.94E-01

39 Alga verde 9 AL 2.18E-04 4.94E-01 2.19E-05 1.45E-01

40 Alga verde 9 AL 2.45E-04 1.45E-01 1.26E-05 1.64E-01

41 Alga parda 9 AL 3.04E-04 1.64E-01 1.28E-05 4.68E-01

42 Alga parda 9 AL 1.83E-04 4.67E-01 2.39E-05 1.12E-03

43 Ostra do mangue 5 OM 0.00E+00 1.12E-03 0.00E+00 1.34E-01


45 Ostra do mangue 4 OM 2.10E-03 3.76E-03 0.00E+00 6.01E-04




49 Ostra de cultivo 10 OM 7.30E-03 1.95E-01 0.00E+00 3.10E-03

50 Ostra de cultivo 10 OM 1.10E-02 3.10E-03 0.00E+00 2.23E-03


~ 15 ~

51 Bacucu 5 IC 0.00E+00 2.23E-03 0.00E+00 3.13E-03

52 Bacucu 5 IC 0.00E+00 3.13E-03 0.00E+00 4.35E-03

53 Bacucu 8 IC 2.87E-03 4.35E-03 0.00E+00 9.31E-04

54 Bacucu 8 IC 3.77E-03 9.30E-04 0.00E+00 2.51E-01

55 Bacucu 5 IC 1.31E-04 2.51E-01 0.00E+00 4.58E-03

56 Bacucu 5 IC 2.50E-04 4.58E-03 0.00E+00 1.61E-01

57 Marisco de costão 9 OM 0.00E+00 1.61E-01 0.00E+00 1.23E-01

58 Marisco de costão 9 OM 0.00E+00 1.23E-01 0.00E+00 1.36E+00

59 Marisco de costão 7 OM 0.00E+00 1.36E+00 0.00E+00 6.26E-01

60 Marisco de costão 7 OM 0.00E+00 6.25E-01 0.00E+00 1.48E-01

61 Marisco de costão AMACOP 3S OM 2.55E-04 1.48E-01 2.96E-05 5.77E-01

62 Marisco de costão AMACOP 2S OM 3.15E-04 5.76E-01 8.59E-05 9.66E-01

63 Marisco de costão AMAPRI 3S OM 2.13E-04 9.65E-01 1.01E-04 1.06E+00

64 Marisco de costão AMAPRI 2S OM 2.85E-04 1.06E+00 8.18E-05 1.05E+00

65 Marisco de costão AMAE 3S OM 2.42E-04 1.05E+00 2.07E-04 5.38E-01

66 Marisco de costão AMARIPE 3S OM 2.89E-04 5.38E-01 1.14E-04 2.89E-01

67 Marisco de costão AABC 1S OM 3.72E-04 2.89E-01 5.20E-04 9.47E-01

68 Marisco de costão AMAPRI 3M OM 3.72E-04 9.46E-01 1.12E-03 2.73E-01

69 Marisco de costão AMAPRI 2M OM 4.12E-04 2.73E-01 2.41E-04 5.91E-01

70 Marisco de costão AMACOP 3F OM 4.58E-04 5.90E-01 5.28E-04 9.88E-02

71 Marisco de costão AMACOP 2F OM 4.73E-04 9.87E-02 0.00E+00 1.10E-01

72 Marisco de costão AMAPRI 3F OM 3.01E-04 1.10E-01 0.00E+00 1.05E-01

73 Marisco de costão AMAPRI 2F OM 3.07E-04 1.05E-01 0.00E+00 8.55E-02

74 Marisco de costão AMACOP 2M OM 3.98E-04 8.54E-02 1.49E-04 6.07E-01

75 Marisco de costão AMACOP 3M OM 3.85E-04 6.07E-01 6.97E-05 8.72E-01

76 BERBIGÃO 4 IC 1.47E-04 8.71E-01 0.00E+00 7.34E+00

77 BERBIGÃO 4 IC 2.06E-04 7.33E+00 0.00E+00 3.92E+00


~ 16 ~

78 CAMARÃO 1 CR 1.19E-04 3.92E+00 2.83E-05 2.51E+00

79 CAMARÃO 2 CR 7.52E-05 2.51E+00 1.26E-04 7.03E-01

80 SIRI 1 CR 1.17E-04 7.03E-01 0.00E+00 4.09E+00

81 SIRI 2 CR 1.59E-04 4.09E+00 0.00E+00 2.84E-01

82 BAIACU 1 IC 1.18E-04 2.84E-01 0.00E+00 7.61E-04

83 BAIACU 2 IC 1.19E-04 7.60E-04 0.00E+00 1.91E+00

84 FIGADO DE BAIACU 1 VC 2.27E-04 1.91E+00 0.00E+00 4.07E-01

85 FIGADO DE BAIACU 2 VC 3.84E-04 4.07E-01 0.00E+00 5.10E-01

86 CORVINA 1 IC 1.40E-04 5.09E-01 0.00E+00 6.84E-01

87 CORVINA 2 IC 9.83E-05 6.84E-01 0.00E+00 7.76E-01

88 TANHOTA 1 IC 1.61E-04 7.75E-01 0.00E+00 9.74E-01

89 TANHOTA 2 IC 1.93E-04 9.73E-01 0.00E+00 8.11E-01

90 CORCOROCA 1 IC 1.57E-04 8.11E-01 0.00E+00 8.49E-01

91 CORCOROCA 2 IC 1.30E-04 8.48E-01 0.00E+00 7.01E-01

92 CARANGUEIJO 4 CR 0.00E+00 7.00E-01 2.44E-04 6.71E-01

93 CARANGUEIJO 5 CR 0.00E+00 6.70E-01 2.48E-04 3.75E-01

94 CARANGUEIJO 8 CR 0.00E+00 3.75E-01 2.73E-04 3.17E+00

95 CRACA 6 IC 2.09E-04 3.16E+00 1.40E-04 0.00E+00

Nomenclatura. IC – ictiofauna; CR – crustáceo; VC – vísceras; OM – marisco, mexilhão e ostra; AL – algas; MG – mangues; MR – marisma.


~ 17 ~

Visando a adequação dos dados das amostras investigadas

definiram-se sete classes de componentes ambientais e quatro gru-

pos de compostos químicos.

As sete classes de componentes ambientais definidos foram:

mangues (MG); ictiofauna (IC); crustáceos (CR); ostras, mariscos e

mexilhões (OM); algas (AL) e vísceras (VC). Além destes, os quatro

grupos de compostos definidos foram: BTEX; HEP; HPA e Metais.

Nas FIGURAS 1 – 3, encontram-se apresentados os grupos dos

compostos químicos; as classes dos componentes ambientais atingi-

dos pelo acidente naval e os pontos de amostragem.

FIGURA 2. GRUPOS DE COMPOSTOS QUÍMICOS DEFINIDOS EM FUNÇÃO DO

NÚMERO DE SUBSTÂNCIA DE CADA GRUPO E DA CONCENTRAÇÃO MÉDIA.


~ 18 ~

FIGURA 3. NÚMERO DE AMOSTRAS COLETADAS EM FUNÇÃO DOS LOCAIS DE COLETA E DAS CLASSES DE COMPONENTES


~ 19 ~

Estima-se que a quantidade de óleo derramada no acidente

naval tenha sido da ordem de 117.269 kg. Adotando o valor de 943,4

kg m-3 para a densidade da mistura, o volume da mistura derramada

foi aproximadamente 124,3 m3.

Da massa total de óleos derramados, cerca de, 9.100,07 kg

(7,76%) eram os compostos BTEX, 94.905,80 kg (80,93%)eram os com-

postos HEP, 4.655,58 kg (3,97%) correspondiam aos hidrocarbonetos

HPA e o restante da massa derramada, cerca de, 8607,55 kg (7,34%)

eram os metais.

FIGURA 4. DISTRIBUIÇÃO DA MASSA E FRAÇÃO PERCENTUAL DOS GRUPOS DE

COMPOSTOS QUÍMICOS QUE FORAM DEFINIDOS NO ESTUDO DO DERRAME.


~ 20 ~

Naturalmente que uma parcela dos produtos derramados e-

vaporou nas primeiras horas após o acidente, outra parcela formou

emulsão e o restante dos compostos dispersou no ambiente. Neste

acidente, a massa dos contaminantes que evaporou foi pequena,

porque as condições do tempo no dia do acidente, eram desfavo-

ráveis.

A probabilidade de cada uma das classes de componentes

ambientais ter sido atingida pelos contaminantes químicos dos qua-

tro grupos que formaram a mistura é a mesma, significando que po-

dem ter ocorrido 28 combinações entre os grupos dos compostos e

as classes dos componentes ambientais.

3. CONCEITOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Visando a organização e descrições das observações relati-

vas as amostras da mistura oleosa e das amostragens de campo e-

xecutadas na época do emborcamento, a seguir, apresentam-se os

conceitos e técnicas da estatística básica descritiva, os quais, à me-

dida que forem sendo descritos serão aplicados na investigação do

acidente naval.

TIPOS DE VARIÁVEIS

Na descrição e análise de um conjunto de dados estatísticos,

podem ser definidas distintos tipos de variáveis, pois, o tratamento e


~ 21 ~

o método estatístico a serem usados dependem da natureza da va-

riável investigada.

Basicamente, as variáveis podem ser de natureza qualitativa

ou quantitativa. Em geral, as variáveis qualitativas estão associadas

a características que denotam qualidade ou atributo, como, por e-

xemplo, a cor dos olhos do entrevistado, desempenho do trabalha-

dor (ótimo, bom, ruim). As variáveis quantitativas, por sua vez, estão

associadas a valores numéricos, podendo ser discretos ou contínuos.

A variável discreta está associada às contagens e, a variável contí-

nua está associada às medições.

3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS

Tendo sido definidas as tipologias das variáveis estatísticas, a

seguir, apresentam-se as categorias das variáveis envolvidas no em-

borcamento.

As variáveis relativas ao cenário acidental são as concentra-

ções dos compostos químicos da mistura de óleos e aquelas obser-

vadas nos ensaios de laboratório das amostras dos componentes

ambientais atingidos pelos óleos, as classes de componentes ambi-

entais, os grupos de compostos da mistura oleosa, os pontos de a-

mostragem e os componentes ambientais alterados pelo derrame.


~ 22 ~

Com base na definição das características das variáveis es-

tatísticas, realizou-se a classificação das variáveis envolvidas no aci-

dente, tendo sido elaborado a TABELA 4, na qual se pode avaliar as

qualificações das variáveis de interesse deste estudo.

TABELA 4. CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS RELATIVAS AO EMBORCAMENTO.

VARIÁVEL CLASSIFICAÇÃO

Concentração Quantitativa contínua

Fração ponderal Quantitativa contínua

Grupos de compostos Qualitativa nominal

Classes de componentes Qualitativa nominal

Componentes ambientais Qualitativa nominal

Pontos de amostragem Qualitativa ordinária

A seguir, apresenta-se os conceitos e as técnicas de análise

das distribuições de frequências de amostras estatísticas.

3.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

As observações de um fenômeno ou de um evento aciden-

tal devem ser organizadas de maneira adequada para que possam

fornecer as informações de interesse ao pesquisador. Com esse pro-

pósito, as observações são agrupadas empregando tabelas e gráfi-

cos elaborados de modo conveniente. O tipo de gráfico ou de ta-

bela a ser construído é função da variável que representa o fenô-

meno de interesse.


~ 23 ~

As variáveis discretas, em geral, são representadas por gráfi-

cos de pontos. Outra representação interessante é o gráfico das fre-

quências acumuladas sendo a frequência acumulada de um ponto

igual à frequência desse ponto somada com as frequências de to-

dos os valores menores que o ponto considerado.

As variáveis do tipo contínuas podem ser agrupadas em clas-

ses ou categorias. O critério que pode ser utilizado para definir o nú-

mero de classes k é aquele proposto por STURGES, cuja equação é

k = 1 + 3,32 ∙ log n (1)

Sendo: k – o número de classes; n – o número de observações

A amplitude, h, de cada classe será dada por

h =a

k (2)

Sendo: a – a amplitude total das observações, definida como a di-

ferença entre o maior e o menor valores observados; h – amplitude.

Na construção de tabelas ou gráficos de frequências outro

ponto que deve ser observado é quanto aos limites de classe de fre-

qüências. Em geral, na elaboração da tabela adotam-se os limites

aparentes que não correspondem ao significado real das observa-

ções. Pode-se, também adotar a frequência relativa de uma deter-

minada classe.


~ 24 ~

A frequência relativa, fi´ corresponde a razão da frequência

de classe fi e o número total de observações, ou frequência total n.

Assim, pode-se escrever,

fi′ =

fi

n (3)

O histograma de frequências é uma representação gráfica,

onde cada classe é representada por um retângulo, cuja base é i-

gual à amplitude de classe correspondente, e, a área é proporcio-

nal à frequência de classe.

O histograma de frequências acumuladas é outra represen-

tação gráfica muito utilizada para analisar as observações. Esse grá-

fico é obtido assinalando no eixo das abscissas os valores da variável

e no eixo ordenado as frequências acumuladas correspondentes.

3.3. ANÁLISE DAS FREQUÊNCIAS

Nesta seção se encontram apresentados os resultados da a-

nálise das classes de frequências dos valores das concentrações dos

grupos de compostos observados no laboratório nas amostras dos

componentes ambientais atingidos pela mistura oleosa.

Levando em consideração o fato dos valores das concentra-

ções observados nas amostras não atenderem a distribuição normal

de frequências, determinaram-se as frequências relativas das classes

de frequências identificadas conforme descrito, a seguir:


~ 25 ~

Aplicando a função do logaritmo natural ao valores da soma

das concentrações dos grupos BTEX, HEP, HPA e Metais obtiveram-

se os resultados que se encontram apresentados na TABELA 5.

Em seguida foram calculadas as classes de frequências, a sa-

ber:

N° de classes (k): N = 95 pontos

k = 1 + 3,32 × log 95 = 7,57~8 classes

Amplitude total (a)

o Valor máximo = - 11,67

o Valor mínimo = - 40,93

o Amplitude total = 29,26

Amplitude de cada classe (h)

h =a

k=

29,26

8= 3,66

Os resultados indicaram que o intervalo dos valores dos loga-

ritmos naturais das concentrações dos grupos de compostos, encon-

trados nas amostras dos componentes ambientais, com os testes de

laboratório, poderiam ser representados por oito classes de frequên-

cias, cujas amplitudes total e de classe eram respectivamente iguais

a 29,26 e 3,66. Das 95 observações inicialmente analisadas foram re-

movidos do adotadas apenas 58, significando que 37 observações

foram excluídas da amostra dos componentes ambientais.


~ 26 ~

TABELA 5. OBSERVAÇÕES COM AS QUAIS OBTIVERAM-SE AS FREQUÊNCIAS

ID ESPECIE LN (SOMA) INTERVALO FREQUENCIA LNSOMAPND

1 Raiz de mangue -32.44 1 6 -2.05

3 Raiz de mangue -40.93 1 6 -2.58

4 Raiz de mangue -34.24 1 6 -2.16

5 Raiz de mangue -34.06 1 6 -2.15

7 Marisma folha -34.04 2 10 -3.58

8 Marisma folha -35.4 2 10 -3.73

9 Marisma folha -37.28 2 10 -3.92

10 Marisma folha -36.9 2 10 -3.88

11 Marisma folha -36.17 2 10 -3.81

12 Marisma folha -36.98 2 10 -3.89

13 Marisma folha -38.98 2 10 -4.1

14 Marisma folha -39.24 2 10 -4.13

15 Marisma raiz -38.27 2 10 -4.03

16 Marisma raiz -22.69 2 10 -2.39

17 Marisma raiz -33.45 3 12 -4.23

18 Marisma raiz -35.7 3 12 -4.51

19 Marisma raiz -25.4 3 12 -3.21

20 Marisma raiz -32.67 3 12 -4.13

21 Marisma raiz -25.03 3 12 -3.16

22 Marisma raiz -23.47 3 12 -2.96

32 Mangue vermelho -27.66 4 20 -5.82

33 Mangue branco -27.46 4 20 -5.78

34 Mangue branco -26.84 4 20 -5.65

35 Mangue branco -27.33 4 20 -5.75

38 Mangue branco -29.19 4 20 -6.14

42 Alga parda -38.32 4 20 -8.07

43 Ostra do mangue -20.32 4 20 -4.28

44 Ostra do mangue -19.11 4 20 -4.02

45 Ostra do mangue -30.68 4 20 -6.46 47 Ostra do mangue -24.32 4 20 -5.12

49 Ostra de cultivo -23.84 4 20 -5.02

51 Bacucu -23.39 5 21 -5.17

52 Bacucu -22.72 5 21 -5.02

53 Bacucu -29.78 5 21 -6.58

54 Bacucu -25.46 5 21 -5.63

55 Bacucu -27.22 5 21 -6.02

59 Marisco de costão -11.67 5 21 -2.58













76 BERBIGÃO -18.48 6 16 -3.11

80 SIRI -19.51 6 16 -3.29

82 BAIACU -29 6 16 -4.88

83 BAIACU -27.08 6 16 -4.56

85 FIGADO BAIACU -20.95 6 16 -3.53

86 CORVINA -21.44 6 16 -3.61

87 CORVINA -21.37 7 3 -0.67

90 CORCOROCA -20.65 8 6 -1.3

91 CORCOROCA -20.98 8 6 -1.33

92 CARANGUEIJO -20.59 8 6 -1.3

93 CARANGUEIJO -21.2 8 6 -1.34

94 CARANGUEIJO -19.55 8 6 -1.23


~ 27 ~

Com as observações escolhidas foram obtidas as estatísticas

da amostra cujos valores e histograma encontram-se apresentados

na TABELA 6 e FIGURA 5, respectivamente

FIGURA 5. HISTOGRAMA DOS VALORES DO LOGARITMOS DAS CONCENTRA-

ÇÕES DOS GRUPOS DOS COMPOSTOS OBSERVADOS NOS COMPONENTES

AMBIENTAIS ATINGIDOS PELA MISTURA OLEOSA.

TABELA 6. ESTATÍSTICAS DA AMOSTRA DE COMPONENTES AMBIENTAIS

ESTATÍSTICAS VALORES

Média e Mediana -4,22 ; -4,10

Desvio padrão e variância -1,72 ; 2,97

Soma e N (observações) - 245 ; 58

IC+95% e IC-95% -3,72 ; -4,07

Skewness e Kurtosis 0,055 ; - 0,57


~ 28 ~

O histograma das frequências das classes dos componentes

ambientais definidos no estudo se encontra ilustrado na FIGURA 6. E,

nas FIGURAS 7 – 10, apresentam-se os histogramas de frequência dos

grupos de compostos químicos encontrados nas amostras dos com-

ponentes ambientais.

FIGURA 6. HISTOGRAMA DAS FREQUÊNCIAS DE OCORRÊNCIA DAS CLASSES

DE COMPONENTES AMBIENTAIS NA AMOSTRA DOS VALORES DAS CONCEN-

TRAÇÕES DE COMPOSTOS QUÍMICOS OBSERVADOS NOS TESTES ANALÍTICOS

Os dados apresentados na FIGURA 6 indicaram que 28% dos

valores dos logaritmos das somas das concentrações dos compostos

observados nas campanhas de amostragem foram relativos a classe

dos componentes ostras, mexilhões e mariscos. Em seguida, foram os

mangues, depois, marismas e ictiofauna e algas e crustáceos.


~ 29 ~


DO LOGARÍTMO DAS CONCENTRAÇÕES DE BTEX E HEP OBSERVADAS NAS

AMOSTRAS DE COMPONENTES AMBIENTAIS INVESTIGADOS NA ÉPOCA DOS

FATOS.


~ 30 ~


DO LOGARÍTMO DAS CONCENTRAÇÕES DE HPA E DE METAIS OBSERVADAS

NAS AMOSTRAS DE COMPONENTES INVESTIGADOS NA ÉPOCA DOS FATOS.


~ 31 ~

3.4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Tendo sido discutidas a importância da análise das frequên-

cias das ocorrências que atingiram os recursos naturais da Baía da

Babitonga, nesta seção da apostila deverão ser apresentadas e a-

plicadas as variáveis estatísticas de medida da tendência central de

populações e de amostras de observações.

Com o avanço da ciência, notadamente o desenvolvimento

do computador, as métodos matemáticos empregados para a re-

solução de problemas complexos foram aperfeiçoados, possibili-

tando a manipulação de uma grande quantidade de informações.

Uma forma simples de manipular uma grande quantidade de

dados para descrever um evento acidental ou um fenômeno natu-

ral é utilizar um único elemento cujo valor representa todos os dados,

tendendo a se localizar no centro do conjunto de todos os valores.

Esta peculiaridade descoberta pelos pesquisadores é conhe-

cida como “medida de tendência central”. As medidas de tendên-

cia central usuais são a média aritmética, a mediana e a moda. A

seguir, apresentam-se as definições das citadas estatísticas, as quais,

posteriormente serão aplicadas com as amostras do acidente naval.

3.4.1. MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA

A média aritmética, x, de um conjunto de n valores x1, x2, ...,

xn, é definida como:


~ 32 ~

�̅� =∑ xi

ni=1

n=

∑ x

n (4)

Se, x1, x2, ..., xn, ocorrem com as frequências f1, f2, ..., fn, respec-

tivamente, a média aritmética será definida como:

�̅� =∑ fixi

ni=1

∑ f=

∑ f x

∑ f =

∑ f x

n (5)

A mediana, Me, de um conjunto de n valores ordenados, x1,

x2, ..., xn, é representada pelo valor central do conjunto, o elemento

de ordem n/2, para n impar ou pela média de dois valores de ordem

n/2 e (n/2 +1). Observa-se que a mediana é utilizada nos casos nos

quais o conjunto de dados é influenciado por valores extremos,

sendo mais utilizada nestes casos do que a média.

A moda, Mo, de um conjunto de valores de n valores x1, x2, ...,

xn, é determinada pelo elemento do conjunto de dados que apre-

senta o maior valor de frequência significando que dependendo do

caso analisado, pode existir mais do que um valor para a moda.

3.5. MEDIDAS DE DISPERSÃO

As medidas de tendência central, apesar da sua grande uti-

lidade, dependendo do evento a ser analisado, não são capazes o

suficiente de fornecer detalhes o comportamento da amostra ou do

conjuntos de dados a ser analisado, devendo-se usar as variáveis de

medida de dispersão.


~ 33 ~

As principais variáveis de medida da dispersão são a variân-

cia s2, o desvio padrão, s e coeficiente de variação cv, cujas defini-

ções se encontram indicadas nas equações 6 - 9, respectivamente:

s2 =∑ (xi − x̅)2n

i=1

n (6)

s2 =∑ fi(xi − x̅)2k

i=1

∑ fiki

=∑ fi(xi − x̅)2k

i=1

n (7)

s = √s2 (8)

cv =s

x̅ (9)

3.6. MEDIDAS DE DISTRIBUIÇÃO

As variáveis de medida de distribuição são empregada para

analisar o comportamento da distribuição de frequência dos dados

em relação a função de distribuição normal de probabilidades.

As estatísticas calculadas para este fim são o coeficiente de

assimetria (Skewness), o coeficiente de achatamento (Kurtosis). Ob-

serva-se que os valores esperados para os coeficientes de assimetria

e achatamento são respectivamente zero e um, os quais correspon-

dem aqueles da função de distribuição normal de probabilidades.

A assimetria é definida como o grau de desvio, ou de afasta-

mento da simetria de uma distribuição. Em termos matemáticos essa


~ 34 ~

estatística pode ser estimada, calculado o coeficiente do momento

de assimetria e o coeficiente de assimetria de Pearson.

O coeficiente do momento de assimetria, ai, é uma medida

adimensional definida pela razão do terceiro momento centrado na

média, m3, e o cubo do desvio padrão, isto é,

a3 =m3

s3 (10)

m3 =∑ (xi − x̅)3n

i=1

n (11)

Casos particulares

a) Para a = 0

A distribuição é simétrica

b) Para a < 0

A distribuição é alongada à esquerda (cauda pesada)

c) Para a > 0

A distribuição é alongada à direita (cauda pesada)

O coeficiente de assimetria de Pearson, A, é uma medida a-

dimensional de assimetria definida como:

A =x̅ − Mo

s (12)

3.6.1. CURTOSE


~ 35 ~

A curtose é uma medida do grau de achatamento de uma

distribuição em relação aquele da distribuição normal de probabili-

dades, podendo ser de três tipos: normal; platocúrtica; leptocúrtica.

Em termos matemáticos, a curtose de uma distribuição pode

ser determinada pelo coeficiente do momento de curtose, a4, cuja

definição é o quociente do quarto momento centrado da média e

o quadrado da variância, isto é,

a4 =m4

(s2)2=

m4

s4 (13)

m4 =∑ fi(xi − x̅)4

n (14)

Tendo sido apresentados os principais fundamentos da esta-

tística básica descritiva, na sequência deverão ser determinadas as

estatísticas descritivas da amostra constituída pelos valores das con-

centrações dos compostos da mistura oleosa, assim como, da amos-

tra dos valores das concentrações dos compostos identificados nas

amostragens dos componentes ambientais alterados pelo acidente,

as quais foram determinadas nos testes de laboratório.

3.7. ESTATÍSTICAS DAS AMOSTRAS


~ 36 ~

Com base nas estatísticas da análise descritiva apresentadas

foram analisadas as amostras da mistura oleosa e dos componentes

ambientais definidos neste estudo.

Uma vez que, o escopo da investigação do emborcamento

foi verificar se os compostos identificados nos componentes ambien-

tais afetados eram aqueles mesmos que formaram a mistura oleosa,

a partir dos óleos vazados no incidente, calcularam-se as estatísticas

dos grupos de compostos da mistura oleosa e daqueles observados

nas amostras dos componentes ambientais.

Deve-se observar que os compostos químicos determinados

nas amostras dos componentes ambientais estar relacionados com

as classes dos componentes ambientais, bem com, com os locais de

coleta das amostras, ou com ambos, isto é, com as classes e com os

locais de amostragem dos componentes ambientais.

Tais hipóteses somente poderão ser analisadas com os testes

de hipóteses a serem apresentados nas próximas seções da apostila,

mas, considerando factível essas possibilidades, decidiu-se determi-

nar as estatísticas dos grupos de compostos em função das locais de

amostragem e das classes de componentes ambientais, e, também

de todos os elementos da segunda amostra investigada no estudo.

3.7.1. ESTATÍSTICAS DOS GRUPOS DE COMPOSTOS


~ 37 ~

Nas FIGURAS 9 e 12, indicam-se as estatísticas dos grupos dos

compostos BTEX, HEP, HPA e Metais, respectivamente, na mistura.

FIGURA 9. ESTATÍSTICAS DOS COMPOSTOS BTEX NA MISTURA OLEOSA

FIGURA 10. ESTATÍSTICAS DOS COMPOSTOS HEP NA MISTURA OLEOSA


~ 38 ~

FIGURA 11. ESTATÍSTICAS DOS COMPOSTOS HPA NA MISTURA OLEOSA

FIGURA 12. ESTATÍSTICAS DO GRUPO DOS METAIS NA MISTURA OLEOSA

Inspecionando os valores das estatísticas dos grupos de com-

postos da mistura oleosa se pode notar que os HEP são aqueles que

se encontravam mais concentrados (6,55 x 10-3 mg g-1), em seguida

eram os compostos BTEX (5,798 x 10-4), e, os menos concentrados e-

ram os HPA (1,85 x 10-4 mg g -1) e os metais (1,62 x 10 -4 mg g-1).


~ 39 ~

3.7.2. ESTATÍSTICAS DAS CLASSES DE COMPONENTES

Nas FIGURAS 13 e 16 podem ser observadas as estatísticas dos

grupos BTEX, HEP, HPA e metais nos componentes ambientais

FIGURA 13. ESTATÍSTICAS DOS BTEX NOS COMPONENTES AMBIENTAIS

FIGURA 14. ESTATÍSTICAS DOS HEP NOS COMPONENTES AMBIENTAIS


~ 40 ~

FIGURA 15. ESTATÍSTICAS DOS HPA NOS COMPONENTES AMBIENTAIS

FIGURA 16. ESTATÍSTICAS DOS METAIS NOS COMPONENTES AMBIENTAIS

Analisando as estatísticas dos grupos de compostos observa-

dos nas amostras dos componentes ambientais afetados, verifica-se

que os compostos HEP são aqueles que estavam mais concentrados

(4,33 x 10 -3 mg g-1), em seguida, os compostos mais concentrados

eram do grupo dos BTEX (2,34 x 10-4 mg g-1).


~ 41 ~

Os compostos dos grupos metais e HAP, se comportaram do

mesmo modo como observado para a mistura oleosa, sendo aque-

les apresentaram as menores valores de concentrações, respectiva-

mente 4,53 x 10-4 e 9,71 x 10 -5 mg g-1.

Conforme citado na introdução os componentes ambientais

afetados pelo derrame foram categorizados visando a determina-

ção das estatísticas básicas descritivas. Os grupos dos componentes

ambientais definidos foram os mangues; as marismas; as espécies da

ictiofauna; crustáceos; mexilhões, ostras e mariscos; algas e vísceras.

As estatísticas descritivas dos valores das concentrações dos

grupos de compostos em função das categorias dos componentes

ambientais se encontram apresentadas na TABELA 7.

TABELA 7. ESTATÍSTICAS DOS VALORES DAS SOMAS DAS CONCENTRAÇÕES

DOS COMPOSTO CONTAMINANTES EM FUNÇÃO DAS CLASSES AMBIENTAIS

ESTATÍSTICA AL CR IC MG MR OM

Média 6.36E-04 5.45E-02 4.29E-02 2.21E-02 2.40E-02 5.92E-03

Des. Padrão 1.63 5.16 7.61 5.47 1.73 4.76

Erro padrão 1.28 1.86 1.68 1.43 1.15 1.42

IC (+95%) 1.39E-03 2.49E-01 1.31E-01 4.74E-02 3.21E-02 1.23E-02

IC (-95%) 2.92E-04 1.20E-02 1.40E-02 1.05E-02 1.80E-02 2.85E-03

N 4 7 15 22 16 20

Nas TABELAS 8 -9, apresentam-se os valores da soma das con-

centrações e respectivos percentuais de compostos químicos obser-

vados nas campanhas do monitoramento da contaminação.


~ 42 ~

TABELA 8. CONCENTRAÇÕES GLOBAIS DOS GRUPOS DE COMPOSTOS OB-

SERVADOS NAS AMOSTRAS DAS CLASSES DE COMPONENTES AMBIENTAIS.

CLASSE BTEX HEP HPA METAIS SOMA

AL (mg g-1) 2.33E-04 2.71E-03 1.70E-05 5.95E-05 3.02E-03

CR (mg g-1) 1.14E-04 1.25E-02 1.42E-04 1.07E-03 1.38E-02

IC (mg g-1) 1.54E-04 1.55E-03 1.41E-04 1.94E-04 2.04E-03

MG (mg g-1) 7.17E-04 4.43E-03 1.17E-04 4.44E-04 5.71E-03

MR (mg g-1) 4.31E-04 6.89E-04 4.45E-05 9.05E-05 1.26E-03

OM (mg g-1) 3.29E-04 3.21E-03 1.65E-04 3.71E-04 4.08E-03

Total (mg g-1) 1.98E-03 2.51E-02 6.27E-04 2.23E-03 2.99E-02

TABELA 9. DISTRIBUIÇÃO PERCENTUAL DOS VALORES DAS CONCENTRAÇÕES

DOS COMPOSTOS HIDROCARBONETOS E METAIS EM FUNÇÃO DAS CLASSES

DE COMPONENTES AMBIENTAIS ATINGIDOS PELO ACIDENTE NAVAL.

CLASSE % BTEX % HEP % HPA % METAIS % SOMA

AL 0.78% 9.06% 0.06% 0.20% 10.09%

CR 0.38% 41.77% 0.47% 3.58% 46.21%

IC 0.51% 5.18% 0.47% 0.65% 6.81%

MG 2.40% 14.80% 0.39% 1.48% 19.08%

MR 1.44% 2.30% 0.15% 0.30% 4.19%

OM 1.10% 10.73% 0.55% 1.24% 13.62%

SOMA 6.61% 83.85% 2.09% 7.45% 100.00%

Com base nos resultados apresentados nas TABELAS 8 e 9 se

pode nota que os compostos encontrados nas amostras dos com-

ponentes ambientais, na sua grande maioria, eram HEP (83,85%),

tendo se acumulado, preferencialmente na classe de componentes


~ 43 ~

crustáceos, provavelmente em razão da maior quantidade de óleos

que se depositou nos mangues.

Os compostos do grupo BTEX, apesar de terem representado

o segundo grupo mais concentrado de composto da mistura oleosa,

nas amostras analisadas ocuparam a terceira posição em termos de

concentração, tendo sido ultrapassados pelo grupo dos metais, fato

que pode ser justificado com base no menor ponto de ebulição nor-

mal dos hidrocarbonetos em relação aos metais.

Neste sentido, observa-se que a concentração dos HPA nas

amostras analisadas estavam, cerca de, sete vezes menos concen-

trado nas amostras do que na mistura dos óleos de petróleo. Os da-

dos descritos nas tabelas também revelam que os compostos BTEX

se depositaram nos mangues, enquanto, os compostos dos grupos

HEP e metais foram encontrados com maior frequências nos crustá-

ceos. Finalmente, observou-se que a distribuição das concentrações

dos compostos do grupo HPA foi praticamente constante nas classes

de todos os componentes ambientais, exceto nas algas e nos culti-

vos de mariscos, mexilhões e ostras.


~ 44 ~

4. FUNÇÃO PROBABILIDADE

4.1. CONCEITOS

Tendo sido descritos os conceitos básicos da estatísticas des-

critiva, nesta seção do estudo apresentam-se a função de probabi-

lidade e as distribuições teóricas contínuas e discretas de probabili-

dades.

4.1.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA

Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível resul-

tado ou evento xi associasse um número p(x) = P(X=xi), denominado

como probabilidade de xi. Por consequência, a função p(x) deno-

mina-se como função de probabilidade da variável aleatória X.

Sendo p(x) uma função de probabilidade, tem-se:

a) p(xi) ≥ 0 para q. q. i (15)

b) ∑ p(xi) = 1 (16)

∞

i=1

Assim, o conjunto dos pares (𝑥𝑖, 𝑝(𝑥𝑖)),denomina-se como dis-

tribuição de probabilidades de X.

4.1.3. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA


~ 45 ~

Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição acu-

mulada de X é definida como:

F(x) = P(X ≤ x) (17)

Se a variável X fora discreta, tem-se

F(x) = ∑ P(xi)

xi< x

(18)

Propriedades

a) 0 ≤ F(x) ≤ 1;

b) limn→−∞

F(x) = 0 ;

c) limn→+∞

F(x) = 1 ;

d) Seja F(x) decrescente, então, p/ todo x1 ≤ x2, F(x1) ≤ F(x2);

e) F(x2) − F(x1) = P(x1 < X ≤ x2), sendo x1 > x2

4.1.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE

Seja X uma variável aleatória contínua. Define-se A função

densidade de probabilidade aquela que satisfaz as propriedades, a

saber:

a) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R;

b) ∫ f(x) dx = 1

A segunda condição de verificação da função densidade

de probabilidade representa a área total limitada pela função, cujo

valor é igual a unidade. Essa condição, pode ser escrita como:


~ 46 ~

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx (19)b

a

Como a probabilidade das variáveis contínuas é uma área,

para um único valor de x o seu valor é zero. Em virtude dessa pecu-

liaridade, tem-se:

P(X = xo) = ∫ f(x)dxxo

xo

= 0 (20)

Logo,

P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) (21)

Uma vez definida a função de distribuição acumulada F(X),

para a variável X aleatória contínua, pode-se determinar a função

densidade de probabilidade (fdp), cuja expressão matemática tem

a forma:

f(x) = F(x) =dF(x)

dx (22)

RESUMO

a) Probabilidade: p(xi) = P (X = xi);

b) Função probabilidade: conjuntos de variáveis aleatórias

Para variáveis discretas: p(xi) ≥ 0 p/ todo x

Para variáveis contínuas: ∑ p(xi) = 1

c) Função distribuição acumulada de probabilidades F(x)

Para variáveis discretas: F(x) = p (X ≤ xi)


~ 47 ~

Para variáveis contínuas: F(x) = ∑ p(xi) p/ xi ≤ x

d) Função densidade de probabilidades: 2 condições

(i) f(x) ≥ 0 para todo x Є R

(ii) Integral f(x) = 1 – representa uma área

e) Propriedades

(i) Se xo = a = b - fdp = 0;

(ii) Se xo = k - fdp = 1

(iii) Se F(x) for conhecida, p(x) será F(x)/ dx = p(x)

4.1.5 GRÁFICOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

FIGURA 17. Função distribuição de probabilidades por linhas

Nas FIGURAS 17 – 19, apresentam-se as formas de represen-

tar as funções de probabilidades.


~ 48 ~

FIGURA 18. Função probabilidade representada por pontos

FIGURA 19. Função probabilidade normal e suas estatísticas

4.2. ESTATÍSTICAS BÁSICAS

Nesta seção apresentam-se os conceitos e sistemáticas de

cálculo das estatísticas básicas descritivas.


~ 49 ~

4.2.1.ESPERANÇA, MÉDIA OU VALOR ESPERADO

Seja X um variável aleatória. A esperança, E(X) média ou va-

lor esperado são definidos como:

E(X) = μX = ∑ xi(p(xi)

∞

i=1

(23)

Quando a variável aleatório for contínua, a esperança é definida

como:

E(X) = µ =∫ 𝑥 𝑓(𝑥) (24)+∞

−∞

PROPRIEDADES

a) E(k) = k p/ todos os valores de F(x) e k = cte.

b) E(k*X) = k * E(X)

c) E (X ± Y) = E(X) ± E(Y)

d) E (k ± X) = E(X) ± k;

e) E (X * Y) = E(X) * E(Y), p/ X e Y independentes e reais

4.2.2. VARIÂNCIA OU DISPERSÃO

Se X é uma variável aleatória, a variância é definida como:

V(X) = Var (X) = s2 = E [X – E(X)] = E [X – E(x)]2 (25)

Reagrupando a equação 22, obtém-se


~ 50 ~

V(X) = E(X2 − 2XE(X) + (E(X))2) = E(X2) − 2E(X)E(X) + [E(X)]2

= E(X2) − [E(X)]2 (26)

PROPRIEDADES

a) V(k)=0, sendo k = cte;

b) V(kX)= k2 V(X);

c) V (K ± k) = V(X);

d) V(X ± Y) = V(X) + V(Y) ± 2 COV(X, Y).

Sendo, a covariância, COV, definida como:

COV(X, Y) = E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} = E(XY) − E(X)E(Y) (27)

Se, as variáveis X e Y foram independentes, então, tem-se

E(XY) = E(X)E(Y) (29)

Observa-se que, embora a COV (X, Y) seja nula sempre que

X e Y forem independentes, a recíproca pode não ser verdadeira,

isto é, o fato da covariância ser nula não é suficiente para afirmar-

se que as variáveis aleatória X e Y sejam necessariamente indepen-

dentes.

4.2.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Para variável aleatória discreta a variância é definida como:

V(X) = E(X2) − [E(X)]2 = ∑ xi2p(xi) − [∑ xip(xi)

∞

i=1

]

2

(30)

∞

i=1


~ 51 ~

Observando a eq. 26 verifica-se que o valor da variância é

igual a média das diferenças ao quadrado das observações e das

suas médias

4.2.4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Seja X uma variável aleatória contínua no intervalo [a, b]. A va-

riância dessa variável é definida como:

V(X) = E(X2) − [E(X)]2 = ∫ x2f(x)dx − [∫ x ∙ f(x)dx

b

a

]

2b

a

(31)

CONSIDERAÇÕES

Conforme apresentado, o cálculo da esperança matemá-

tica e variância estatísticas deverá ser realizado de maneira particu-

lar para as variáveis aleatórias discretas e contínuas. Estas variáveis

quando determinadas com base na probabilidade são estimativas

obtidos a partir dos valores observados.

Considerando o fato da esperança matemática e da variân-

cia dependerem da probabilidade é necessário assegurar o nível de

confiança dos valores estimados. Para tanto, deverão ser apresen-

tadas as funções de distribuição de probabilidades.


~ 52 ~

5. DISTRIBUIÇÕES TÉORICAS DE PROBABILIDADES

Considerando os conhecimentos adquiridos nas seções anteri-

ores, apresentam-se as distribuições teóricas de probabilidades para

as variáveis aleatórias contínuas a discretas.

Para variáveis aleatórias discretas as distribuições usualmente

empregadas são a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson.

Quanto as distribuições para as variáveis aleatórias contínuas deve-

rão ser apresentadas as distribuições de: Uniforme ou Retangular; Ex-

ponencial; Normal; t de Student; F de Snedecor, as quais são aquelas

de maior interesse da área da engenharia.

5.1. DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DISCRETAS DE PROBABILIDADES

A) Distribuição Binomial

Seja p a probabilidade de um evento E acontecer em uma

única tentativa (denomina como sucesso, sendo q a probabilidade

do evento não acontecer nessa única tentativa. Então, a probabili-

dade do evento E ocorrer exatamente x vezes em n tentativa é de-

finida pela função de probabilidade denominada distribuição Bino-

mial, cuja equação tem a forma:

P(X = x) = (n

x) pxqn−x =

n!

x! (n − x)!pxqn−x (32)

Na distribuição Binomial a média e a variância são respecti-

vamente definidas como:


~ 53 ~

μ = n ∙ p (33)

σ2 = n ∙ p ∙ q (34)

Como a variável X aleatória representa o número de suces-

sos, os possíveis valores que podem ser atribuídos para X são 0, ..., n.

B) Distribuição de Poisson

Partindo da expressão da distribuição Binomial, isto é, da eq.

28, fazendo n tender ao infinito e mantendo constante o produto n

x p, o qual corresponde ao valor da média da distribuição de X, ob-

tém-se a função da distribuição de probabilidades de Poisson, cuja

a equação é definida como:

P(X = x) =𝜇𝑥𝑒−𝑥

𝑥! (35)

Observa-se que a distribuição de Poisson á adequada para

investigar evento cuja probabilidade de ocorrência é pequena, em

razão das hipóteses adaptadas para a sua derivação. Na prática, a

distribuição de Poisson é aplicada aos caso cujos valores de n ≥ 50

e n x p < 5, como µ = n x p.

Na distribuição de Poisson, a média coincide com a variân-

cia, isto é, 2 = µ = n x p.

5.2. DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

C) Distribuição uniforme ou retangular


~ 54 ~

Para uma variável aleatória contínua contida no intervalo [a,

b], a função densidade de probabilidades é definida como:

f(x) =1

b − a {

se a ≤ xi ≤ b

se x ≠ xi f(x) = 0 (36)

A esperança matemática e a variância da distribuição uni-

forme de probabilidades são definidas como:

E(X) =a + b

2 (37)

V(X) =(b − a)2

12 (38)

D) Distribuição exponencial

A função de densidade de probabilidade exponencial para

uma variável aleatória contínua X é definida como:

f(x) = k ∙ e−kx { para x ≥ 0

= 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 (39)

A esperança matemática e a variância da distribuição exponen-

cial de probabilidades são definidas como:

E(X) = μ =1

𝑘 (40)

V(X) = 𝜎2 =1

𝑘2 (41)

E) Distribuição normal (Gauss)

Seja X uma variável aleatória continua. A função densidade

de probabilidade normal da variável X é definida como:


~ 55 ~

f(x) =1

σ√2πe−

12

(x−μ

σ)

2

(42)

Essa função apresenta dois parâmetros, a média e o desvio

padrão. A representação formal da distribuição normal de probabi-

lidades da variável aleatória contínua X se encontra na eq. 43.

X~N(μ, σ2) (43)

PROPRIEDADES

a) A distribuição normal é simétrica em relação à média;

b) A função apresenta um máximo em x = µ;

c) A função é assintótica ao eixo das abscissas;

d) A função admite dois ponto de inflexão, para x = µ ±;

e) A função de distribuição acumulada é definida como

F(x) =1

σ√2π∫ e−

12

(x−μ

σ)

2dx

x

−∞

(44)

A estatística z, isto é, o valor da pontuação padrão, também

conhecida como pontuações-Z é o número direcionado de desvio

padrão com base na média na qual o valor é definido pela eq. 45.

z =x − μ

σ (45)

Diferenciando a equação 14 em relação a variável x, obtém-

se,

dz =dx

σ (46)

Logo,


~ 56 ~

dx = σ dz (47)

Substituindo a equação (47) na eq. (44) e fazendo as opera-

ção algébricas necessárias obtém-se a equação (48).

G(z) = 1

√2π∫ e−

z2

2dz

z

−∞

(48)

A equação (44) é a distribuição acumulada da variável nor-

mal reduzida z, cujas média e a variância são zero e um, respectiva-

mente.

Logo, a equação (48) pode ser escrita como,

g(z) =1

√2πe−

z2

2 − ∞ < z < +∞ (49)

A forma da função padrão densidade de probabilidade da

variável aleatória contínua X tem a forma sinodal, sendo conhecida

como função de Gauss, cuja média é igual a zero e o desvio padrão

é igual a unidade. A seguir, encontram-se apresentadas as curvas

de distribuição de probabilidades mais utilizadas.


~ 57 ~

FIGURA 20. CURVA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES.

FIGURA 21. PECULIARIDADES DA FUNÇÃO NORMAL DE DISTRIBUIÇÃO


~ 58 ~

FIGURA 22. MOSAICO DE GRÁFICOS INDICANDO AS CURVA DA DIS-

TRIBUIÇÃO LOGNORMAL E LOGNORMAL ACUMULADA.


~ 59 ~

FIGURA 23. FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES RESPECTI-

VAMENTE BINOMIAL, t – STUDENT e WEIBUL [WIKIPEDIA, 20013]


~ 60 ~

TABELA 10. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO P (Z < z).

Z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000


~ 61 ~

TABELA 11. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO P (Z < z). Z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007

-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005

-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003

-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


~ 62 ~

TABELA 12. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO DE t – STUDENT [WIKIPÉDIA, 2014]


~ 63 ~

TABELA 13. TABELA DA DISTRIBUIÇÃO DE CHI-QUADRADO [WIKIPÉDIA, 2014]


~ 64 ~

5.3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DE OBSERVAÇÕES

Para utilizar de maneira correta as funções de distribuição de

probabilidades pode-se adotar dois métodos para investigar a hipó-

tese de interesse. Observa-se que o conteúdo relativo aos testes es-

tatístico de hipótese deverá ser apresentado nas próximas seções,

mas, é fundamente entender a sistema do emprego das tabelas de

distribuições estatísticas nessa etapa do estudo.

Basicamente, existem dois métodos para investigar eventos,

com base nas distribuições de probabilidades. O primeiro método, o

qual deverá ser descrito nessa seção, chama-se método tradicional.

Neste método, predetermina-se o nível de significância, alfa,

para compará-lo com o valor da função fornecida pela distribuição

adota. Os níveis de significância, em geral, empregados são 0,01 (99

% de confiança); 0,05 (95% de confiança) e 0,10 (90% de confiança).

O segundo método de investigação de hipóteses, o método

do valor-p, a estatística do teste é calculada usando-se o dado a-

mostral, então a distribuição de probabilidade adequada é usada

para encontrar a probabilidade de se observar uma estatísticas a-

mostral que seja pelo menos um pouco diferente do valor da hipó-

tese nula para o parâmetro populacional (o valor da probabilidade

ou valor-p), quanto menor for o valor-p, melhor é a prova para rejei-

tar a hipótese nula (Ho).


~ 65 ~

O valor-p também representa o menor nível de significância

ao qual a hipótese nula (Ho) pode ser rejeitada. Portanto, os resulta-

dos dos valores-p podem ser usados com nível de significância fixo,

rejeitando a Ho se o valor-p for menor ou igual a alfa (valor p ≤α).

Geralmente, quanto maior for o valor da estatística do teste,

isto é, mais distanciado de zero, positivo ou negativo, menor o valor-

p, o que fornece uma prova melhor contra a hipótese nula a favor

da hipótese alternativa.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO DOS CONTEÚDOS

Uma indústria mecânica fabrica tubulações industriais cujos

diâmetros externos são normalmente distribuído, apresentando mé-

dia e desvio padrão da ordem de 40 e 2,0mm, respectivamente.

Calcular a percentagem de peças defeituosas, com base nos da-

dos registrados pelo departamento de qualidade da indústria. Os

dados indicam os fatos, a saber.

a) Existem peças com diâmetro menor que 37,0 mm;

b) Existem peças com diâmetro maior que 44,0 mm;

c) Existem peças com desvio maior do que 2mm da média

d) Estimar os limites de 40 ± h, visando diminuir o percentual

de refugos para 12,6%


~ 66 ~

INTRODUÇÃO E DISCUSÃO DO EXERCÍCIO

Inicialmente, observa-se que o comportamento da ocorrên-

cia de peças defeituosa segue uma distribuição normal de frequên-

cias, significando que pode-se usar a equações da pontuação-z.

Uma vez escolhida a distribuição a ser empregada para o

cálculo das probabilidades, pode-se iniciar a solução do problema,

adotando a sistemática apresentada, a seguir. Conforme citado

nesta seção, o método escolhido para obter as estimativas foi o mé-

todo tradicional.

Neste método, costuma-se definir o nível de significância, em

seguida, calcula a estatística, e compara-se o resultado como o va-

lores tabelados da distribuição escolhida. Existem diferentes casos a

serem enfrentados, dependo da resposta que se procura.

Para tanto, recomenda-se a elaboração de dois diagramas

os quais facilitam a identificação da solução almejada. Além da e-

laboração dos dois diagramas, podem ser utilizadas os valores tabe-

lados das funções de distribuição, assim como, as equações das dis-

tribuições para obter as probabilidades.

A escolha da função adequada é fundamental, pois existem

quatro formas de expressar as funções de distribuição normal de pro-

babilidades. As equações da distribuição normal podem ser escritas

em função da média ou da variáveis de pontuação-z.


~ 67 ~

As equação de distribuição que utilizam a média são aque-

las aplicáveis as variáveis contínuas e as variáveis discretas. As equa-

ções de distribuição que adotam o valor da pontuação-z são aque-

las da função acumulada de probabilidade e da função densidade

de probabilidades.

As supracitadas equações da distribuição normal de proba-

bilidades são as seguintes:

As função densidade de probabilidades que adota a média,

a equação (38),

f(x) =1

σ√2πe−

12

(x−μ

σ)

2

(38)

A função da distribuição acumulada de probabilidades que

adota a média e o desvio padrão como parâmetros de referência,

a equação (40),

F(x) =1

σ√2π∫ e−

12

(x−μ

σ)

2dx

x

−∞

(40)

A função densidade de probabilidades que adota a variável

reduzida ou de pontuação-z, a equação (45)

g(z) =1

√2πe−

z2

2 (45)


~ 68 ~

A equação da distribuição acumulada norma, a qual adota

a variável reduzida para determinar o valor da probabilidade, cuja

expressão está indica na equação (44).

G(z) = 1

√2π∫ e−

z2

2dz

z

−∞

(44)

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

1º Passo: Elaboração dos diagramas.

Primeiro deve-se identificar a natureza da variável aleatória

a ser investigada. No presente caso, a medida do diâmetros da tu-

bulação defeituosa é uma contínua, porque existe um número finito,

isto é, que pode ser contado de tubos.

a) Natureza da variáveis: Contínua

Tendo sido identificada a natureza da variável aleatória, em

seguida deve-se definir a função da distribuição densidade de pro-

babilidades que deverá ser utilizada na solução do problema.

Com base na natureza da variável aleatória, decidiu-se usar

a função densidade de probabilidade da variável pontuação-z. A

equação (45)

g(z) =1

√2πe−

z2

2 (45)


~ 69 ~

2º Passo: Elaboração dos diagramas da função de distribuição escolhida

A primeira tarefa do segundo passo da sistemática adotada é a

elaboração dos gráficos que encontram-se indicado na FIGURA 24. Neste

diagrama, pode-se observar os aspectos, seguintes:

FIGURA 24. MOSAICO DOS GRÁFICOS DAS DISTRIBUIÇÕES DOS VALORES DO

DIÂMETRO DAS PEÇAS DEFEITUOSAS E DA ESTATÍSTICA PONTUAÇÃO Z

Probabili-

dade


~ 70 ~

O valor da estatística pontuação-z que encontra indicado

no segundo gráfico da FIGURA 7 foi calculado com a equação 41.

z =x − μ

σ=

37 − 40

2= −1,5

O valor calculado de z foi – 1,5. Na FIGURA 8, pode-se obser-

var a localização do valor da estatística em relação ao valor da mé-

dia dos diâmetros das tubulações que são fabricas na indústria.

Antes de seguir para o próximo passo da sistema empregada

neste trabalho, apresentam-se as considerações a respeito do gráfi-

cos apresentados nas figuras.

CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DOS DIAGRAMAS

A média dos valores dos diâmetros das peças com defeito se

encontra posicionado no centro da distribuição (µ = 40 mm);

O valor do diâmetro que se deseja avaliar é 37mm, estando

localizado no lado esquerdo da figura;

Os valores dos diâmetros, para os quais se quer calcular a pro-

babilidade são iguais ou menores do que 37mm;

A área destacada com a cor azul e delimitada pela curva de

distribuição é o local onde se encontram os valores dos diâ-

metros menores do que 37mm, portanto a área que inclui estes

pontos é equivalente a chance de o diâmetro das peças (tu-

bos) fabricadas serem menores do que 37mm;


~ 71 ~

A área complementar, desde o ponto da coordenada x = 37,

até o centro da curva, onde o valor de x é 40 é igual a metade

da probabilidade total menos aquela da área de cor azul,

Isso significa que a diferença das áreas corresponde ao valor

da probabilidade dos tubos fabricados na indústria não apre-

sentarem defeito, isto é, valor do diâmetro menor que 37mm;

A área delimita pela curva da distribuição representa a soma

de todas as peças defeituosas;

3º Passo. Cálculo da probabilidade

No terceiro passo da sistema, determina-se o valor da proba-

bilidade relativo ao item (a) do exercício proposto.

Partindo da definição de probabilidade, têm-se:

P (X < 37,0mm) =?

z =x − μ

σ=

37 − 40

2= −1,5

Para z = -1,5 --- área delimitada pela curva = 0,4332

P (X < 37,0mm) = P (z < 1,5) = 0,5000 – 0,4332 = 0,0668

P = 0,0668 = 6,68%

Assim, pode-se verificar que a probabilidade da peças fabrica-

das apresentarem o diâmetro menor do que 37mm é da ordem de

6,68%. Os demais itens do exercício podem ser resolvidos adotando

a mesma sistemática descrita. Respostas: b) 2,28%; c) 31,74%


~ 72 ~

5.4. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DAS AMOSTRAS

Com base no conhecimento adquirido dos conteúdos apre-

sentados nas seções anteriores, nesta etapa do estudo apresentam-

se os resultados do ajuste e da análise das distribuições de frequên-

cias dos dados que constituem as suas amostras investigadas no en-

corbamento acontecido na Baía da Babitonga, em Santa Catarina.

Na etapa de determinação das estatísticas básicas descritas

das amostras do acidente, isto é, a mistura dos óleos derivados dos

petróleos e o conjuntos dos resultados dos testes de laboratórios das

amostras do componentes ambientais afetados no acidente naval,

elaboraram-se os histogramas das ocorrências dos grupos dos com-

postos químicos que formaram a mistura oleosa e das classes definas

com base na natureza dos componentes ambientais da 2ª amostra.

Os resultados da etapa preliminar de avaliação do compor-

tamentos das frequências de ocorrências dos valores de concentra-

ção indicaram que as amostras não atendiam a função distribuição

normal de frequências ou probabilidades, tendo sido aplicada aos

elementos das amostras a função logaritmo natural visando a corre-

ção do comportamento não ideal.

Nesta etapa do estudo, as distribuições de frequências foram

determinado incluindo os efeitos das variáveis que exercem influên-

cia nos resultados, como, por exemplo, as frequências.


~ 73 ~

Visando aumentar a qualidade do ajustamento das amostras

as curvas de distribuição de frequências, incialmente, identificaram-

se os dados das amostras cujos valores das concentrações são anô-

malos em relação aos demais dados amostrais. No âmbito da esta-

tística estes valores denominam-se como “outlier”.

Além da identificação e exclusão dos “outlier” encontrados

nas amostras, realizou-se a análise da variabilidade dos valores das

concentração dos elementos das amostras empregando a Técnica

da Variabilidade Gráfica Calibrada – R&R (reprodutibilidade e repe-

titividade).

Em razão da análise o número de registros das amostras dimi-

nuiu, mas, a quantidade de dados utilizados, posteriormente foi sufi-

ciente para assegurar o nível de significância adotado no estudo.

Visando a determinação da distribuição de frequências mais

adequada ao perfil de concentração da mistura de óleos derrama-

dos no dia dos fatos, os trinta e novo compostos químicos presentes

da composição da mistura oleosa foram agrupados em quatro gru-

pos: BTEX; HEP; HPA; METAIS.

Na FIGURA 25 pode-se observar a distribuição de frequências

dos quatro grupos de compostos químicos que constituem a mistura.


~ 74 ~

FIGURA 25. DISTRIBUIÇÃO DAS CLASSES DOS COMPOSTOS QUÍMICOS

QUE FORMARAM A MISTURA OLEOSA EM VIRTUDE DO ACIDENTE NAVAL.

O histograma da frequência de ocorrências dos grupos dos

compostos químicos que formaram a mistura dos óleos indica que o

grupo HAP é aquela que apresenta a maior frequência, significando

que ele o grupo que tem o maior número de compostos, denomina-

dos Hidrocarbonetos poliaromáticos, em relação aos outros grupos.

O BTEX inclui cinco compostos, o HEP apresenta dez compos-

tos e os METAIS incluem oito representantes. É importante citar a exis-

tência de um erro sistemático nesta abordagem, uma vez que, cer-

tos compostos dos grupos estão repetidos, isto é, se encontram pre-

sentes em mais de um grupo de compostos químicos. Assim, as pro-

babilidades associadas a esta distribuição não podem ser conside-


~ 75 ~

ras como adequadas, devendo utilizadas somente a título de exem-

plo. Quanto a variabilidade das concentrações dos compostos, no-

tadamente aqueles misturados em cada grupo, apresenta-se na FI-

GURA 26 as parcelas dos valores das concentrações dos grupos.

FIGURA26. VARIABILIDADE DA CONCENTRAÇÃO DOS GRUPOS DE COM-

POSTOS QUÍMICOS DA MISTURA OLEOSA DERRAMA NO ACIDENTE.

Os dados da FIGURA 9 indicam que a parcela de contribui-

ção do grupo dos compostos HPA na concentração total da mistura

é a maior de todas, confirmando, deste modo, o resultado anterior,

isto é, a maior número de compostos do grupo HPA na mistura.

Os dados indicam que a concentração média da mistura o-

leosa era da ordem de 1,35 x 10-3 mg g-1. Os dados também indicam

que variabilidade do desvio-padrão é pequena.


~ 76 ~

Após ter sido analisados os valores das concentrações dos

componentes de cada grupo, realizou-se a concatenação dos gru-

pos, tendo sido obtido o resultado seguinte

FIGURA 27. CONTRIBUIÇÕES DOS GRUPOS COMBINADOS DOS COMPOSTOS

DA MISTURA OLEOSA DERRAMADA NO ACIDENTE NAVAL

O resultado apresentado na FIGURA 27 indicam que o efeito

cruzado dos grupos de compostos não exerce grande influência nos

resultados, pois a ordem, isto é, a contribuição das concentrações

dos grupos concatenados manteve-se semelhante a anterior, tendo

sido obtidos o resultado esperado.


~ 77 ~

Conforme sabido, os componentes ambientais atingidos pe-

los óleos derramados no acidente foram agrupados em classes. As

classes de componentes definidas foram: mangue, marisma, ictio-

fauna; crustáceos; ostras, mexilhões e mariscos; algas; vísceras.

Na FIGURA 28, apresenta-se o histograma das frequências de

ocorrência dos componentes atingidos pelo acidente naval. A dis-

tribuição de frequências das classes de componentes ambientais se

encontra ilustrada na FIGURA 29.

FIGURA 28. HISTOGRAMA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DOS COMPO-

NENTES AMBIENTAIS ALTERADOS PELA MISTURA DE ÓLEOS FORMADA


~ 78 ~

FIGURA 29. DISTRIBUIÇÃO DAS CLASSES E COMPONENTES AMBIENTAIS.

Observando os histogramas apresentados nas citadas figuras

se pode verificar que as marismas e a ictiofauna são os componen-

tes ambientais que apresentam o maior valor de frequências, prova-

velmente devido a readequação dos valores das concentrações,

isto é a desconsiderações dos pontos considerados como anômalos.

Nas FIGURAS 30 – 31, apresentam-se os gráficos das variabili-

dades da primeira amostra investigada, isto é, os componentes am-

bientais individuais e categorizados.

Inspecionando a variabilidade da contaminação dos com-

ponentes ambientais constata-se que a classe ictiofauna era aquela

que apresentava a maior variação das concentrações e as classes

marisma, ostras, mariscos e mexilhões apresentavam a menor em re-

lação a primeira.


~ 79 ~

FIGURA 30. VARIABILIDADE DAS CONCENTRAÇÕES DAS CLASSES DE COM-

PONENTES AMBIENTAIS ATINGIDOS NO ACIDENTE NAVAL.

FIGURA 31. VARIABILIDADE DOS VALORES DAS CONCENTRAÇÕES OBSERVA-

DAS NOS TESTES DE LABORATÓRIO NAS AMOSTRAS DOS COMPONENTES AM-

BIENTAIS COLETADAS NA ÉPOCA DOS FATOS.


~ 80 ~

A grande variabilidade registrada nas amostras coletadas na

época dos fatos dificulta a determinação da distribuição de proba-

bilidades adequada aos valores das concentrações da amostra.

Para verificar essa hipótese devem ser realizados os testes da

hipótese empregado diferentes métodos. Com este fim, a seguir, a-

presentam-se a teoria dos principais Testes de Hipóteses.

6. TESTES DE HIPÓTESES

6.1. HIPÓTESES ESTATÍSTICAS

Basicamente, as hipóteses são suposições que se faz, acerca

dos parâmetros estatísticos de uma população, visando a tomada

de decisão. Tais suposições são verificadas ou não, dependendo do

resultado do teste estatístico realizado, como, por exemplo, aqueles

de comparação dos valores absolutos ou das diferenças dos valores

das médias, das medianas ou das variâncias de duas ou mais popu-

lações.

6.2. HIPÓTESE NULA E ALTERNATIVA

A hipótese nula (Ho) é qualquer hipótese a ser investigada.

A hipótese alternativa (H1), por sua vez, é qualquer hipótese dife-

rente da hipótese nula.


~ 81 ~

O teste da hipótese coloca a hipótese nula em contraposi-

ção a hipótese alternativa, podendo ser enunciado, para um deter-

minado parâmetro estatístico () como:

a) Ho: = o em contraposição com H1: < o

b) Ho: = o em contraposição com H1: > o

c) Ho: = o em contraposição com H1: ≠ o

6.3. REGIÕES DE REJEIÇÃO DE HIPÓTESES

A região de verificação ou de aceite (R.A) é a região na qual

se verifica a hipótese nula. A região de rejeição ou crítica é a região,

na qual rejeita-se a hipótese nula, sendo complementar a primeira.

Em geral, a região de verificação ou rejeição da hipótese é aquele

região associada a área delimitada pela função de distribuição de

probabilidade adequada ao dados.

6.4. ERROS DO TIPO I E DO TIPO II

Na execução de um teste estatístico podem acontecer dois

erros: - o erro do tipo I; - o erro do tipo II. O erro tipo I é aquele come-

tido quando rejeita-se a hipótese nula, sendo ela verdadeira. O erro

tipo II é aquele cometido quando se aceita a hipótese nula, sendo

ela falsa.


~ 82 ~

6.5. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA

O nível de significância estatística é igual a máxima probabi-

lidade, com qual se estaria disposto a correr o risco de acontecer o

erro tipo I. A representação formal dessa probabilidade é a seguinte

α = P(rejeitar H0 H0 verdadeira⁄ ) (46)

Na prática, os valores do nível de significância adotados são

0,05 (5%) e 0,01(1%).

A probabilidade de se cometer o erro tipo II é definida como

β = P(aceitar H0 Ho falsa⁄ ) (47)

6.6. TESTES UNILATERAL E BILATERAL

O teste unilateral é aquele no qual a região de rejeição, R.R.,

se encontra localizada em um dos extremos do intervalo de varia-

ção da variável de interesse. O teste bilateral, por sua vez, é aquele

no qual a R.R., encontra-se localizada em ambos os extremos do in-

tervalo de variação da variável.

6.7. CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO (C.C.O.)

A curva característica de operação (C.C.O.) é a representa-

ção gráfica da função de probabilidade β. Na construção da curva,

os valores dos parâmetros a serem testados são colocados no eixo


~ 83 ~

das abscissas (eixo x), e no eixo das ordenadas se encontram os va-

lores da probabilidade de aceitar a hipótese nula, quando ela for

falsa. Para cada teste estatístico de hipótese realizado existe uma

C.C.O., que assume as condições necessárias e fundamentais de o-

peração do teste. Embora, a curva não seja obrigatória, a sua cons-

trução é útil para a compreensão do teste a ser executado.

6.8. SISTEMÁTICA DE EXECUÇÃO DO TESTE DE HIPÓTESE

A sistemática recomendada para a realização do teste de

hipótese contempla as etapas, a saber:

1. Enunciar a hipótese nula, Ho;

2. Enunciar a hipótese alternativa, H1;

3. Definir o nível de significância, alfa;

4. Definir a função de distribuição de probabilidades;

5. Extrair a amostra aleatória e calcular a estatística;

6. Conclusão.

Com base no valor da estatística calculada, rejeitar a hipó-

tese nula, Ho, se o valor calculado estiver situado na R.R., ou aceitar

a Ho, caso o valor da estatística calculado estiver localizado na R.A.

6.9. TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL

Ho: µ = µo

H1: três possibilidades


~ 84 ~

a) µ < µo

b) µ > µo

c) µ ≠ µo

Definir o nível de significância (α)

Determinar a região de rejeição da hipótese (R.R.)

Se o desvio padrão for conhecido adota-se a pontua-

ção z, se o desvio padrão for desconhecido, adota-se a

estatística definida pela distribuição de t-Student.

Regiões de rejeição do primeiro e segundo caso

(a)

(b)

R.R. –zα

ou -tα

R.R. zα

ou tα

R.A

R.A


~ 85 ~

FIGURA 32. Regiões de rejeição da hipótese nula do primeiro e segundo

caso em função da hipótese alternativa escolhida. Os gráficos estão

associados as hipóteses alternativas a, b e c.

Calcular a estatística do teste

o 1º caso

z =x̅ − μo

σ

√n

(48)

o 2º caso

t =�̅� − 𝜇𝑜

𝑠

√𝑛

(49)

Conclusão

a) Se z < − zα ou t < −tα, rejeitar Ho

b) Se z > zα ou t > tα, rejeitar Ho

c) Se |z| > zα/2 ou |t| > tα/2, rejeitar Ho

Exemplo

Uma população apresenta um desvio padrão igual a 5mm.

Se uma amostra de 50 elementos obtida dessa população tem mé-

dia igual a 46mm, testar a hipótese de que essa população tem mé-

dia maior do que 43mm, ao nível de significância de 1%.

(c)

R.R. –zα/2

ou -tα/2

R.R. zα/2

ou tα/2

R.A


~ 86 ~

Solução

(1) Ho: µ=43 mm

(2) H1: µ>43 mm

(3) Alfa = 0,01

(4) Região de rejeição

Para obter o valor da estatística zα ou zcrítico, primeiro deter-

mina-se a área correspondente a diferença da área total sob a

curva, cujo valor é 1,0 e a aquela correspondente ao nível de signi-

ficância adotado, ou seja, α=0,01

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝛼=0,01 = 1,0 − 0,01 = 0,990 → 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 = 2,33

Com o resultado obtido, consultam-se as TABELAS 13 e 14,

para obter o valor da estatística desejada, a qual no presente caso

é igual a 2,33. Na FIGURA 19, apresenta-se a região de rejeição.

(5) Cálculo da estatística

𝑧 =46 − 43

5

√50

= 4,24

R.R. α=0,01 R.A.


~ 87 ~

FIGURA 33. DETALHE DA REGIÃO DE REJEIÇÃO DA HIPÓTESE NULA

(6) Conclusão

Como z (calculado) > z (alfa) = 2,33, rejeita-se a hipótese nula, ou

seja, o resultado amostral é suficiente para afirmar que a média é superior

a 43mm, no nível de significância adotado (α=0,01). Na FIGURA 34, pode-

se observar a curva de distribuição normal do presente caso e a pro-

babilidade de verificação da hipótese alternativa, cujo valor é da

ordem de 72,57%

FIGURA 34. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE DO EXEMPLO APRESENTADO

R.R. α=0,01

zα = 2,33

R.A


~ 88 ~

CÁLCULO DO ERRO TIPO II

Neste item, apresenta-se o cálculo do erro tipo II do presente

caso para as seguintes hipóteses alternativas:

H1: µ=40mm;

H1: µ=47mm.

Conforme citado, o erro tipo II é aquele cometido ao aceitar

a hipótese nula, sendo ela falsa. A probabilidade máxima de correr

o risco de se cometer o erro do tipo II é definida como:

β = P(aceitar H0 Ho falsa⁄ )

Para a primeira hipótese alternativa, tem-se: H1: 40mm e zα =

2,33, então, pode-se escrever

2,33 =�̅� − 43

5

√50

Isolando x, obtém-se

�̅� = 44,6𝑚𝑚

Logo, a hipótese nula é aceita quando, x̅ ≤ 44,6mm, então, a

probabilidade do erro tipo II pode ser escrita como:

β = P(aceitar H0 Ho falsa⁄ ) = P(x̅ ≤ 44,6mm | μ = 40mm)

z =44,6 − 40

5

√50

= 6,51 → β = P(z ≤ 6,52) = 1

Para a segunda hipótese alternativa, tem-se:


~ 89 ~

β = P(aceitar H0 Ho falsa⁄ ) = P(x̅ ≤ 44,6mm | μ = 47mm)

z =44,6 − 47

5

√50

= −3,39 → β = P(z ≤ 3,39) = 0,0003

Assim, o risco de se cometer o erro tipo II quando se a hipó-

tese nula em contraposição com a hipótese alternativa cujo valor é

40mm é igual a 100%, e a probabilidade de se cometer o erro tipo II

ao aceitar a hipótese nula em contraposição a hipótese alternativa,

cujo valor e 47mm é igual a 0,03%.

6.10 TESTE PARA A DIFERENÇA DE MÉDIAS POPULACIONAIS

1º Caso. Se os desvios padrões forem conhecidos

1) Ho: µ1 - µ2 = do

2) H1: três possibilidades

a. µ1-µ2<do;

b. µ1-µ2>do;

c. µ1-µ2≠do.

3) Fixar o nível de significância α

4) Determinar a região de rejeição (R.R.), conforme a FIGURA 18

5) Calcular a estatística do teste, definida como


~ 90 ~

z =(x̅1 − x̅2) − do

√σ1

2

n1+

σ22

n2

(50)

6) Conclusões

a) Se z < − zα, rejeitar Ho

b) Se z > zα, rejeitar Ho

c) Se |z| > zα/2, rejeitar Ho

Exemplo

Uma amostra de 100 válvulas da companhia A tem duração

média de 1530 horas, sendo o desvio padrão dessa amostra igual a

100h. Uma outra amostra de 70 válvulas da companhia B tem dura-

ção de 1420 horam, com desvio padrão de 80h. Testar a hipótese

de que as válvulas da companhia A em reação a B tem duração

média superior a 100H, com nível de significância de 1%.

Solução

1) Ho: µ1 - µ2 = 100 horas

2) H1: µ1- µ2 > 100 horas

3) Alfa =0,01

4) Região de rejeição

Para alfa = 0,01 e H1, tem-se

Área sob a curva cujo z crítico se deseja determinar é igual

(ATotal – 0,01) (área correspondente a R.R.) = 0,99. Consultando a Ta-

bela 13, obtém-se: zα = 2,33.


~ 91 ~

5) Cálculo da estatística

z =(1530 − 1420) − 100

√1002

100+

802

70

= 0,72

6) Conclusão

Como z < zα = 2,33, aceita-se Ho, ou seja, a diferença do

tempo de duração das válvulas das companhias A e B não é

maior do que 100h, para o nível de significância usado no teste.

2º Caso. Se os desvios padrões forem desconhecidos

1) Ho: µ1 - µ2 = do


a. µ1 - µ2 < do;

b. µ1 - µ2 > do;

c. µ1 - µ2 ≠ do.




R.R. α=0,01

R.A.


~ 92 ~

t =(x̅1 − x̅2) − do

√𝑠𝑝2 (

1𝑛1

+1𝑛2

) (51)

Onde: sp2 – é a variância definida como:

sp2 =

(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2

2

n1 + n2 − 2 (52)

s12 =

∑(xi − x̅1)2

n1 − 1 (53)

6) Conclusões

a) Se t < − tα, rejeitar Ho

b) Se t > tα, rejeitar Ho

c) Se |t| > tα/2, rejeitar Ho

Exemplo

O pH de duas soluções de contaminantes foi medido, tendo

sido obtidos os valores, a saber:

TABELA 14. MEDIDAS EXPERIMENTAIS DO pH das soluções

Valor pH P1 P2 P3 P4 P5 P6

Solução A 7,50 7,54 7,51 7,53 7,50 ---

Solução B 7,49 7,50 7,51 7,52 7,50 7,51

Testar a hipótese de que não existe diferença entre os valores

do pH medidos das duas soluções, adotando que os desvios pa-

drões populacionais são iguais, ao nível de 5% de significância.

Solução do exercício


~ 93 ~

1) Ho: µA = µB ou µA - µB = 0

2) H1: µA ≠ µB ou µA - µB ≠ 0

3) Alfa = 0,05

4) Determinação da região de rejeição de Ho

Para alfa = 0,025, = n1 + n2 – 2 graus de liberdade, isto é, =

5 + 6 – 2 = 9 graus de liberdade, obtém-se tα = 2,26.

5) Cálculo da estatística

x̅A =37,58

5= 7,516 x̅B =

45,03

6= 7,505

sA2 =

0,00132

5 − 1= 0,0003 𝑠𝐵

2 =0,00055

6 − 1= 0,0001

sp2 =

(5 − 1)0,0003 + (6 − 1)0,0001

5 + 6 − 2= 0,0002

t =(7,516 − 7,505) − 0

√0,0002 (15 +

16)

= 1,28

6) Conclusão

R.R. α/2 = 0,025 R.R. α/2 = 0,025

R.A.


~ 94 ~

Como |t| < tα/2 = 2,26, aceita-se a hipótese nula – Ho, ou seja,

não existe diferença significativa, ao nível de 5% de significância, en-

tre os valores do pH das solução de contaminantes analisadas.

3º Caso. Os desvios padrões populacionais são desconhecidos e

supostamente diferentes.

1) Ho: µ1 - µ2 = do


a. µ1 - µ2 < do;

b. µ1 - µ2 > do;

c. µ1 - µ2 ≠ do.




t =(x̅1 − x̅2) − do

√s1

2

n1+

s22

n2

(54)

6) Conclusão




4º Caso. Se os dados são emparelhados


~ 95 ~

Este teste deverá ser empregado quando os dados estão re-

lacionados, dois a dois, de acordo com algum critério definido.

1) Ho: µ1 - µ2 = do


a) µ1 - µ2 < do;

b) µ1 - µ2 > do;

c) µ1 - µ2 ≠ do.

3) Fixar o nível de significância alfa

4) Determinar a região de rejeição, com = n -1

5) Calcular a estatística

t =d̅ − do

s

√n

(55)

𝑠 = √∑(𝑑𝑖 − 𝑑̅)

2

𝑛 − 1 (56)

d̅ =∑ di

n (57)

di = x1,i − x2,i (58)

6) Conclusões




Exemplo


~ 96 ~

Dois técnicos do órgão de controle e fiscalização ambiental

determinaram os pesos de contaminantes encontradas em amos-

tras de frutas estocadas em 6 containers, tendo obtido os dados in-

dicados na TABELA 15

TABELA 15. RESULTADO DA PESAGEM DE CONTAMINANTES IDENTIFICADOS

NAS FRUTAS IMPORTADAS PELOS AGENTES DE FISCALIZAÇÃO DO IBAMA.

Amostra (g) P1 P2 P3 P4 P5 P6

Técnico A 10,1 10,4 10,2 10,5 9,9 10,0

Técnico B 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5

Determinar se existe diferença entre as pesagens realizadas

pelos técnicos, ao nível de significância de 1%. As diferenças entre

as pesagens encontram-se indicadas na TABELA 16.

TABELA 16. DIFERENÇAS DAS PESAGENS EXECUTADAS POR TÉCNICOS

Amostra (g) D1 D2 D3 D4 D5 D6

Diferença (g) 0,3 0,4 0,1 0,5 - 0,2 0,5

d̅ =1,6

6= 0,270 g

s = √0,3734

6 − 1= 0,273 g

1) Ho: µA - µB = 0 ou µA = µB

2) H1: µ1 - µ2 ≠ 0 ou µA ≠ µB

3) Alfa = 0,01

4) Determinação da R.R.


~ 97 ~

Para α/2 = 0,005 e =n-1= 5; consultando a TABELA da distri-

buição t-Student, obtém-se tα/2 = 4,03.

5) Cálculo da estatística do teste

t =0,27̅̅ ̅̅ ̅̅ − 0

0,273

√6

= 2,42

6) Conclusão

Como |t|< tα/2 = 4,03, aceita-se a hipótese nula, isto é, não

existe diferença entre as pesagens de contaminantes realizadas pe-

los técnicos do IBAMA.

6.11. TESTES PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL

Conforme sabido, o teste para a variância populacional é

uma generalização do teste das média, no qual se empregam os

valores das variância para a tomada de decisão.

R.R. α/2 = 0,005 R.R. α/2 = 0,005 R.A.


~ 98 ~

Nos testes de hipóteses cujas estatísticas adotadas são as va-

riâncias, em geral, adotam-se as distribuições de probabilidades de

Qui-quadrado e de Snedecor (distribuição F).

1. TESTE PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL

O roteiro empregado neste teste de hipótese é igual aquele

descrito para a média populacional.

(1) Ho: 2 = o2

(2) H1: três casos possíveis

a. 2 = o2

b. 2 > o2

c. 2 < o2

(3) Fixar o nível de significância (alfa)

(4) Determinar a região de rejeição

(a)


~ 99 ~

(5) Calcular a estatística do teste

χ2 =(n − 1)s2

σo2

(59)

(6) Conclusões

a) Se 𝜒2 < − χ1−𝛼2 , rejeitar Ho

a) Se 𝜒2 > 𝜒𝛼2 , rejeitar Ho

b) Se 𝜒2 < 𝜒1−𝛼/22 , ou 𝜒2 > 𝜒𝛼/2

2 , rejeitar Ho

(b)

(c)


~ 100 ~

6.12. TESTE PARA A IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS

(1) Ho: 12 = 2

2

(2) H1: três casos possíveis

a. 12 = 2

2

b. 12 > 2

2

c. 12 ≠ 2

2


(4) Obter a região de rejeição para =n-1 graus de liberdade


~ 101 ~


F =s1

2

s22 (60)

(6) Conclusões

a) Se F < F1−𝛼, rejeitar Ho

b) Se F > Fα, rejeitar Ho

c) Se F < F1−α/2, ou F > Fα/2, rejeitar Ho

6.13. TESTE PARA IGUALDADE DE K (k>2) VARIÂNCIAS

Quando se deseja analisar a variâncias de mais de duas a-

mostras, pode-se empregar o teste a ser descrito. Se as amostras a-

presentam tamanhos diferentes, adota-se o teste de Bartlett.

(1) Ho: 𝜎12 = 𝜎2

2 = ⋯ = 𝜎𝑘2

(2) H1: no mínimo uma das variâncias é diferentes das demais


(4) Determinar R.R


~ 102 ~

A estatística adequada segue uma distribuição do tipo Qui-

quadrado com v=k-1 graus de liberdade.


χν2 =

2,3026

C∙ [(n − k) × log

∑ νisi2k

i=1

n − k− ∑ νi logsi

k

k

i=1

] (61)

Onde: n = ∑ niki=1 , νi = ni − 1, ν = k − 1, C = 1 +

1

3(k−1)(∑

1

νi

ki=1 −

1

n−k)

(6) Conclusões

Se χν2 > χα

2 , rejeitar Ho

Para amostras de mesmo tamanho n, a hipótese de igual-

dade das variâncias pode ser investigada utilizando o teste de Co-

chran, cuja estatística é definida como

g =max si

2

∑ si2 (62)


~ 103 ~

6.14. TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL

O teste da proporção populacional p é um teste de grande

interesse e aplicabilidade na investigação de eventos naturais ou in-

tencionais associados as questões do meio ambiente.

Em geral, o comportamento de compostos químicos envolvi-

dos em questões ambientais, como, por exemplo, o nível de conta-

minação, modifica no espaço e com o tempo, aumentando a com-

plexidade da representação dos fenômenos dessa natureza.

Neste sentido, a utilização das proporções ou razões das va-

riáveis estatísticas é útil para o entendimento de fenômenos a serem

analisados. Conforme citado, os valores da concentração se man-

tém, praticamente proporcionais, à medida que a diluição da con-

taminação acontece, podendo ser comparados aos teores iniciais.

O teste da proporção populacional é realizado executando

os seguintes procedimentos:

(1) Ho: p = po

(2) H1: pode ser de três tipos

a) p < po;

b) p > po;

c) p ≠ po.

(3) Fixar o nível de significância alfa

(4) Determinar R.R.


~ 104 ~


z =P − po

√po(1 − po)n

(63)

(6) Conclusões

a. Se z < - zα rejeitar Ho

b. Se z > zα rejeitar Ho

c. Se |z| > zα/2 rejeitar Ho

EXEMPLO

Visando a determinação da eficiência de um novo produto

comercial desenvolvido para minimizar a corrosão foram ensaiados

90 peças, sendo que 45 do total de 50 peças apresentaram um bom

resultado. O produto é considerado eficiente se pelo menos 95% das

peças ensaiadas apresentarem resultado satisfatório. Qual a conclu-

são, ao nível de significância de 5%.

SOLUÇÃO

(1) Ho: p = 0,95 (eficiente)

(2) H1: p < 0,95 (ineficiente)

(3) Alfa = 0,05

(4) Determinação da região crítica ou de rejeição

Para alfa = 0,05, adotando a distribuição Z, obtém-se o –

zα/2, cujo valor tabelado é -1,64


~ 105 ~

(5) Cálculo da estatística do teste

P =45

50= 0,9

𝑧 =0,90 − 0,95

√0,95(1 − 0,95)50

= −1,62

(6) Conclusão

Como z > - zα = -1,64, aceita-se Ho, ou seja, o produto anti-

corrosivo é eficiente no nível de significância de 5%.

6.15. TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPORÇÕES

(1) Ho: p1 – p2 = do

(2) H1: pode ser de três tipos

a) p1 - p2 < do

b) p1 – p2 > do


~ 106 ~

c) p1 – p2 ≠ do

(3) Fixar o nível de significância alfa

(4) Determinar R.R.


Para do = 0

z =(P1 − P2)

√p̂(1 − p̂) (1n1

+1

n2)

(64)

Para do ≠ 0

z =(P1 − P2) − do

√p̂1(1 − p̂1)

n1+ (

p̂2(1 − p̂2)n2

)

(65)

p̂1 = P1 ∙ p̂2 = P2 (66)

p̂ =n1P1 + n2P2

n1 + n2 (67)

(6) Conclusões

a) Se z < -zα, rejeitar Ho;

b) Se z > zα, rejeitar Ho;

c) Se |z| > zα/2, rejeitar Ho.

EXEMPLO

Uma indústria de automóveis anunciou que os veículos do

modelo A superaram em venda os do modelo B. Obtidas duas a-


~ 107 ~

mostras aleatórias independentes, encontrou-se que 56 de 200 con-

sumidores preferem o modelo A e 29 de 150 preferem o modelo B.

Testar a hipótese ao nível de significância de 6% de que o modelo A

supera o modelo B em 10% contra a alternativa de que esta dife-

rença é menor que 10%.

(1) Ho: pA - pB = 0,10

(2) H1: pA - pB < 0,10

(3) Alfa = 0,06

(4) Determinar R.R.

Para alfa = 0,06, consultando a distribuição z, obtém-se o va-

lor de -zα = -1,55


p̂A = PA =56

200= 0,280

p̂B = PB =29

150= 0,193


~ 108 ~

z =(0,280 − 0,193) − 0,10

√0,28 × 0,72200 +

0,807 × 0,193150

= −0,29

(6) Conclusão

Como –z > -zα = -1,55, aceita-se a Ho, ou seja, o modelo A

supera em vendas o modelo B em pelo menos 10%.

7. ANÁLISE DA VARIÂNCIA

A técnica da análise da variância, também chamada como

ANOVA, como sabido, consiste de uma generalização do teste para

a igualdade de duas médias populacionais. Enquanto no teste da

igualdade de duas médias adotam-se as estatísticas z ou t, con-

forme os desvios padrão são conhecidos ou não, na análise da va-

riância, investigam-se k (k>2) médias populacionais com base na es-

tatística F, significando que a ANOVA é um teste para igualdade das

médias que utiliza as variâncias.

7.1. VARIÂNCIA TOTAL

Consiste em estimar a variância 2, considerando todas as

amostras reunidas em uma única amostra. Essa suposição é factível

em razão da hipótese inicial adota, isto é, de que todas as variân-

cias populacionais são iguais a 2.

Assim, a variância total é definida como:


~ 109 ~

st2 =

∑ ∑ (xi,j − X̅)2n

i=1kj=1

N − 1 (68)

7.2. VARIÂNCIA ENTRE AMOSTRAS

Sendo verdadeira a hipótese Ho, pode-se estimar a variância

2, através das médias das k amostras, ou seja, como se fosse uma

única amostra de k valores, definida como:

σX2 =

σ2

n (69)

Associando a estatística 𝑠�̅�2 a estimativa de, então, a estima-

tiva se2 de 2 será

se2 = n ∙ sX̅

2 =∑ ∑ (x̅j − X̅)

2ni=1

kj=1

k − 1 (70)

O denominador da equação denomina-se “soma de qua-

drados entre amostras” (SQE).

7.3. VARIÂNCIA RESIDUAL

Consiste em estimar a variância dentro de cada amostra, e,

posteriormente, estimar o valor único para 2, através da combina-

ção da k variâncias.

Para uma amostra qualquer, têm-se:

sj2 =

∑ (xi,j − x̅j)2n

i=1

n − 1 (71)

Combinando as k variâncias, obtém-se como estimativa de

2, a estatística em questão, definida como:


~ 110 ~

sr2 =

∑ sj2k

j=1

k=

∑ ∑ (xi,j − x̅j)2n

i=1kj=1

N − k (72)

7.4. ROTEIRO DO TESTE

(1) Ho: µ1 = µ2 = ... = µk = µ

(2) H1: pelo menos uma das médias µj é diferente das demais

(3) Fixar o nível de significância

(4) Determinar a R.R para 1 = k – 1 e 2 = N – k


- Soma de quadrados

SQE = ∑ ∑(x̅j − X̿)2

= ∑ [(∑ xi,j

nj

i=1)

2

nj] −

(∑ xi,jkj=1 )

2

N (73)

k

j=1

n

i=1

k

j=1

SQR = ∑ ∑(xi,j − x̅j)2

= ∑ ∑ xi,j2 − ∑ [

(∑ xi,jnj

i=1)

2

nj] (74)

k

j=1

n

i=1

k

j=1

n

i=1

k

j=1

SQT = ∑ ∑(xi,j − X̅)2

= ∑ ∑ xi,j2 −

(∑ ∑ xi,jni=1

kj=1 )

2

N (75)

n

i=1

k

j=1

n

i=1

k

j=1

SQT = SQE + SQR (76)

7.5. QUADRO ANOVA

Fonte de

Variação

Soma de

quadrados

Graus de li-

berdade

Quadrado

Médio (s2)

Estatística

F

Entre a-

mostras SQE K-1

Se2 = QME =

SQE/(k-1)

F = Se2 / Sr

2 =

QME / QMR

Residual SQR N – k Sr

2 = QMR =

SQR/ (N-k)

Total SQT N - 1


~ 111 ~

(6) Conclusão

Se F > F k-1, N-k, rejeita-se a Ho, caso contrário aceita-se a Ho.

EXEMPLO

A análise de um componente contaminado foi realizada por

quatro fiscais. Os advogados das partes da lide alegaram que existe

uma diferença significativa entre os resultados obtidos pelos fiscais.

Verificar se a diferença das amostragens realizadas pelos fiscais é

significativa ao nível de 5%.

Os resultados das análises encontram-se indicados, a seguir

QUADRO. RESULTADOS DAS AMOSTRAGENS REALIZADAS PELOS FISCAIS

Fiscal Amostra1 Amostra2 Amostra3 Amostra4 Amostra5

1 8,1 8,3 8,0 8,1 8,5

2 8,4 8,4 8,5 8,3 ---

3 8,8 8,7 8,9 --- ---

4 8,3 8,4 8,2 8,3 8,4

SOLUÇÃO

(1) Ho: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ

(2) H1: pelo menos uma das médias é diferente das demais

(3) Fixar o nível de significância: alfa = 0,05

(4) Determinar a R.R para 1 = 4 – 1=3 e 2 = 18 – 4 = 14


~ 112 ~


SQE = 1264,10 – 1263,37 = 0,73

SQR = 1264,34 – 1264,10 = 0,24

SQT = 1264,34 – 1263,37 = 0,97

QUADRO ANOVA

Fonte de

Variação

Soma de

Quadrados

Graus de

Liberdade

Quadrado

Médio (s2)

Estatística

F

Entre amostras 0,73 4 – 1 = 3 0,243 0,243/0,017 =

14,29

Residual 0,24 18 – 4 = 14 0,017

Total 0,97 18 – 1 = 17

(6) Conclusão

Como F > F 3, 14 = 3,34, rejeita-se a Ho, isto é, existe pelo menos

uma amostragem cujo resultado é significativamente diferente dos

demais.


~ 113 ~

8. TESTES DE HIPÓTESES PARA AS AMOSTRAS

Adotando factível aplicação dos testes de hipóteses as amos-

tras do acidente investigado, apresentam-se nesta seção os resulta-

dos obtidos na citada atividades. Incialmente, realizaram os testa

para a médias dos grupos de componentes que se encontram pre-

sentes na mistura dos óleos que derramaram no emborcamento e

os grupos de compostos determinados com testes de laboratórios

nas amostras dos componentes ambientais alterados pelo acidente

naval.

8.1. TESTES PARA AS MÉDIAS

Os valores das médias dos logaritmos das concentrações dos

grupos BTEX, HEP, HPA e Metais e, os seus respectivos desvios padrões

e graus de liberdade se encontram apresentados na TABELA

TABELA 17. VALORES DAS ESTATÍSTICAS DOS BTEX, HEP, HPA, METAIS.

ESTATÍSTICA BTEX HEP HPA METAIS

Média -8,36 - 5,44 -9,24 -7,70

Desvio padrão 0,64 1,56 1,28 1,59

Graus de liberdade 47 63 43 62

(1) Ho: µ = µo

(2) H1: µ > µo

(3) Nível de significância: 0,05 (5%)

(4) Região de rejeição


~ 114 ~

Para o nível de significância de 0,05 e 47 graus

de liberdade consultando a tabela da distribuição de t-Stu-

dent, obtém-se os valores:

tαlfa = -1,67


t =x̅ − μo

σ

√n

=−8,36 − 0

0,638

√48

=−8,36

9,21 × 10−2= −90,78

(6) Conclusões

Como t < talfa = -1,67, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, a con-

centração dos compostos do grupo BTEX observadas nas amostras

do componentes ambientais é maior do que zero com 95% de con-

fiança.

Para os demais grupos de compostos que constituíam a mis-

tura oleosa, o valor da estatística t é praticamente o mesmo. Os va-

lores calculados da estatística t dos demais grupos são os seguintes:


~ 115 ~

t =x̅ − μo

σ

√n

=−5,44

1,556

√64

= − 27,97

Para os compostos do grupo HPA, tem-se:

t =x̅ − μo

σ

√n

=−9,23

1,279

√46

= −48,95

Para os compostos do grupo metais, tem-se:

t =x̅ − μo

σ

√n

=−7,70

1,589

√63

= −38,46

Como, todos os valores calculados de t < talfa rejeita-se Ho, sig-

nificando que as concentrações dos compostos derramados no em-

borcamento nas amostras analisadas eram maiores do que zero.

8.2 TESTES PARA A DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAIS

Neste teste, adotou-se a hipótese nula de que as diferenças

entre os valores dos logaritmos das concentrações dos compostos

químicos da mistura oleosa e aqueles observados nas amostras dos

componentes ambientais são iguais a zero, ou seja, não existe dife-

rença significativa entre as concentrações.

Para o grupo dos compostos BTEX, obtiveram os resultados, a

saber. O valor da média dos compostos BTEX observados nas amos-

tras foi definido como x1 e o outro, como x2.


~ 116 ~

Componente x1

o Média x1 = - 8,3645

o Variância s21 = 0,4073

o N1 = 48

Componente x2

o Média x2 = -7,4527

o Variância s22 = 0,4217

o N2 = 4

TESTE DA HIPÓTESE

(1) Ho: x1- x2 = do ou x1 = x2

(2) H1: x1 – x2 ≠ do ou x1 ≠ x2

(3) Alfa = 0,05

(4) Determinação da R.R.

Para o teste bilateral, adotando o nível de significância da

ordem de α/2 = 0,025, e ν=48+4-2 = 50 graus de liberdade, obtém-se

o valor de tα/2 = -1,96.


𝑠𝑝2 =

(48 − 1) × 0,4073 + (4 − 1) × 0,4217

48 + 4 − 2= 0,4000

t =(−8,36 + 7,45) − 0

√0,4 × (1

48 +14)

= −2,76

(6) Conclusões


~ 117 ~

Como |t|> tα/2 = -1,96, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, e-

xiste diferença significativa, ao nível de 5% entre os valores das con-

centrações investigadas.

Os resultados dos testes das diferenças entre os valores das

médias do logaritmos das concentrações dos compostos presentes

na mistura oleosa e observados nas amostras dos componentes am-

biental pode ser avaliados na TABELA 18.

TABELA 18. RESULTADOS DOS TESTES DA DIFERENÇA DAS MÉDIAS

Estatística HEP HPA METAIS

X1 -5,44 -9,24 -7,01

S12 1,56 1,64 2,53

N1 64 46 63

X2 -5,03 -8,59 -8,73

S22 0,03 0,99 3,63

N2 4 13 8

Valor t-crítico ± 2,01 ± 2,06 ±2,29

Valor t cal. 1,92 1,95 1,47

Sig. (Valor-p) 0,061 0,063 0,1786

Resultado Aceitar Ho Aceitar Ho Aceitar Ho

Os resultados dos testes das diferenças entre as médias dos

valores do logaritmo das concentrações dos compostos constituin-

tes da mistura oleosa e identificados nas amostragem indicam que

os HEP, HPA e Metais verificam o teste, significando que a contami-

nação dos ecossistemas da Babitonga foi oriunda do acidente.

curso aplicado de estatistica

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