Corpos RedondosCorpos Redondos so slidos geomtricos que tem superfcies curvas.Os slidos geomtricos que representam os corpos redondos so: Cilindro; Cone; Esfera.Essas figuras possuem caractersticas semelhantes, como:slidos que possuem as bases em forma de crculo; slidos que colocados em um plano inclinado rolam.Podemos observar alguns objetos que possuem as formas de um corpo redondo, como:Cilindro: cano,tubo de caneta, rolo de papel higinico, canudo, copo, etc.Cone: Casquinha de sorvete, chapu de festa de criana, etc.Esfera: bola de futebol, bolinha de gude, etc.Os corpos redondos e os poliedros possuem caractersticas semelhantes. Aocompararmos o cilindro com o prisma percebemos que possuem duas bases e secompararmos o cone com a pirmide percebemos que possuem apenas uma base etodas as arestas que saem dessa base se encontram em um nico vrtice.Essas semelhanas sero notadas no clculo do volume de casa slido geomtrico.CilindroO formato cilndrico possui vrias aplicaes no cotidiano: peas de carros, compartimentos de produtos gasosos e lquidos, mquinas industriais, embalagens de produtos para consumo e etc. Vamos conhecer as propriedades, os elementos e asclassificaes de um cilindro.O cilindro um slido geomtrico gerado pela rotao de uma superfcie retangular.Observe:cilindro de revoluoElementos de um cilindroO cilindro composto por duas bases, com a forma circular de raio (r), altura (h) e geratriz (medida da lateral do cilindro). No cilindro circular reto, a geratriz forma com a base um ngulo de 90 e possui a mesma medida da altura (h). No cilindro oblquo, as medidas da altura (h) e da geratriz so diferentes.Cilindro oblquo Cilindro circular retoPlanificao do cilindro

reas correspondentes ao cilindro

rea da base do cilindroPor ser uma circunferncia, calculamos a rea da base de um cilindro aplicando a expresso: Ab = r2 ( = 3,14).

rea lateral do cilindro

Veja que a lateral do cilindro, quando planificado, forma um retngulo cujas dimenses so: altura h e base 2 r (Observe que a base do retngulo o comprimento da circunferncia que forma a base do cilindro)

A expresso quepermite calcular a rea lateral do cilindro : AL = 2 * *r * h, onde = 3,14, r: raio e h: altura.

rea total

A rea total de um cilindro dada somando a rea lateral e as duas reas das bases.A expresso matemtica que permite realizar esse clculo utilizando a altura (h), o raio da base (r) e o valor de (3,14) :

AT = 2r(h +r)

Volume do cilindro

Dado um cilindro de raio (r) e altura (h), calculamos seu volume atravs do produto da rea da base pela altura. Observe a expresso:

V = r2h

Cone

Um cone um slido geomtrico formado por todos os segmentos de reta que tm uma extremidade em um ponto V (vrtice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma regio plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vrios elementos:

Vrtice de um cone o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.Base de um cone a regio plana contida no interior da curva, inclusive a prpria curva.Eixo do cone quando a base do cone uma regio que possui centro, o eixo o segmento de reta que passa pelo vrtice P e pelo centro da base.Geratriz qualquer segmento que tenha uma extremidade no vrtice do cone e a outra na curva queenvolve a base.Altura a distncia do vrtice do cone ao plano da base.Superfcie lateral de um cone a reunio de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.Superfcie do cone a reunio da superfcie lateral com a base do cone que o crculo.Seo meridiana de um cone uma regio triangular obtida pela interseo do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificao:Os cones podem ser divididos em:

Reto; Oblquo; Eqiltero.

Reto:

O cone dito reto quando a sua base uma circunferncia e a reta que liga o vrtice superior ao centro da circunferncia da sua base perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base um crculo, a face lateral formada por geratrizes (g), que so linhas retas que ligam o vrtice superior a pontos constituintes da circunferncia do crculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferncia tem o nome de diretriz, porque a direo que as geratrizes tomam para criar a superfcie cnica. Pode-se dizer tambm que o cone gerado por um tringulo retngulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto. O eixo perpendicular base.

Oblquo:

Denomina-se oblquo quando no um cone reto, ou seja, quando o eixo oblquo ao plano da base.

Equiltero:

Um cone circular reto um cone eqiltero se a sua seo meridiana uma regio triangular eqiltera e neste caso a medida da geratriz igual medida do dimetro da base.

Frmulas:O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimenses, i.e. . O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) est localizado no seu eixo, a 1/4 da distncia da base ao eixo.A rea da superfcie de um cone A dada por A = r(r + s), onde seria a altura lateral do cone. O primeiro termo na rea da frmula, r2, a rea da base; enquanto que o segundo termo, rs, a rea da superfcie inclinada.Desenvolvendo, ento, a rea total a rea lateral mais a rea da base:

Para Tringulos Equiltero: A rea da base do cone = A(base) = r2Pelo Teorema de Pitgoras temos que (2r)2, = ,h2 + r2, logo h2 = 4r2 r2 = 3r2, assim:h =Como o volume do cone obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento:V = (1/3) r3Como a rea lateral pode ser obtida por: A(lateral) = .r.g = .r.2r = 2..rento a rea total ser dada por: A(total) = 3 r2

Tronco de cone

Se um cone sofrer a interseco de um plano paralelo sua base circular, a uma determinadaaltura, teremos a constituio de uma nova figura geomtrica espacial denominada Tronco de Cone.

O tronco de cone de bases paralelas obtido realizando-se uma seco transversal num cone circular.

Elementos do tronco de cone:

Base do tronco (B) a maior base do troncoAltura (h) distncia entre as duas basesRaio da base (R) o raio da maior baseGeratriz (g)

O volume do tronco de cone de bases paralelas dado fazendo a diferena entre os volumes dos dois cones obtidos aps a seco transversal. Colocando o volume em funo dos raios das bases e da altura do cone, obtemos a frmula:

Onde:

h a altura do tronco de cone.R o raio da base maior.r o raio da base menor.

Exemplo: Calcule o volume de um tronco de cone de bases paralelas de altura 10 cm, raio da base maior medindo 8 cm e raio da base menor com 4 cm de comprimento.

Soluo: temos que

h = 10 cmR = 8 cmr = 4 cmV = ?

Substituindo os valores na frmula do volume, obtemos:

Esfera

A esfera obtida atravs da revoluo da semicircunferncia sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera um slido.Alguns conceitos bsicos esto relacionados esfera, se considerarmos a superfcie esfrica destacamos os seguintes elementos bsicos:

PlosEquadorParaleloMeridiano

rea de uma superfcie esfrica

Temos que a rea de uma superfcie esfrica de raio r igual a:

Volume da esfera

Por ser considerada um slido geomtrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equao:

Posio relativa entre plano e esfera

Plano secante esfera

O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais.

Plano tangente esfera

O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ngulo de 90 graus com o eixo de simetria.

Plano externo esfera

O plano e a esfera no possuem pontos em comum.

A esfera possui inmeras aplicaes, como exemplo podemos citar a ptica (Fsica), a seo de uma esfera forma uma lente esfrica, que so objetos importantes na construo de culos. Corpos esfricos possuem grande importncia na Engenharia Mecnica, a parte interior de inmeras peas capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos constituda de esferas de ao. Um bom exemplo dessas peas o rolamento.