PoliedrosEles não rolam!

Corpos Redondos

Eles rolam!

Outras formas

espaciais

Além dos poliedros, esses também são formas espaciais .

Com certeza os mais conhecidos fazem parte do seu cotidiano. Veja:

São sólidos limitados por polígonos planos tais que cada um dos lados desses polígonos pertença a dois e somente dois deles. Dois desses polígonos nunca são coplanares.

Prismas-Base triangular- Paralelepípedo

-Base pentagonal-Base hexagonal

-- de base ...Pirâmides

-Base triangular-Base quadrada

-Base pentagonalBase hexagonal

- De base ...Outros

-Octaedro-Dodecaedro-Icosaedro

-outros

Convexos

Não-convexos

Poliedros

Alguns elementos dos poliedros recebem nomes especiais:Face de um poliedro é cada um dos

polígonos que o delimitam.Aresta de um poliedro é cada um dos

lados das faces.Vértice de um poliedro é cada um dos

vértices das faces.vértice

face

aresta

Um poliedro é convexo quando o segmento de reta que ligar dois pontos distintos quaisquer desse poliedro estiver contido no poliedro. Caso contrário, é chamado de poliedro não-convexo.

Prédio em forma de Escultura de metal poliedro convexo

Mais exemplos de poliedros não-convexo

Número de vértices (V)

Número de faces (F)

Número de arestas (A)

Paralelepípedo

Prisma de base triangularPrisma de base quadradaPrisma de base pentagonalPrisma de base hexagonalPirâmide triangular

Pirâmide de base quadradaPirâmide pentagonal

Pirâmide hexagonal

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, todos com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Na figura abaixo, temos:Dois planos paralelos α e βUm polígono P contido em αUma reta r que intercepta α e β, mas não

intercepta P

A figura geométrica formada pela reunião pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade num ponto do polígono P e a outra no plano β, denomina-se prisma.

As duas faces opostas congruentes são chamadas de bases e as outras em forma de paralelogramo, de faces laterais.

Num prisma, convém destacar os seguintes elementos:

Um prisma pode ser classificado pelo tipo de polígonos que constitui suas bases. Ele pode ser um prismaTriangular, se suas bases são

triângulos;Quadrangular, se suas bases são

quadriláteros;Pentagonal, se suas bases são

pentágonos;Hexagonal, se suas bases são

hexágonos;

Conforme a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Nos prismas retos, as faces laterais são retângulos.

Nos prismas oblíquos, as faces laterais são paralelogramos.

No prisma hexagonal regular abaixo , temos que:

As bases são hexágonos regulares;

As faces laterais são retângulos congruentes.

Todo prisma reto, cujas as bases são polígonos regulares é chamado prisma regular

A intersecção de um prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais denomina-se secção do prisma.

A secção determinada num prisma por um plano paralelo às bases é denominada de secção transversal.

Observe que a secção transversal é um polígono congruente aos polígonos das bases.

As principais dimensões de um paralelepípedo retângulo são comprimento , largura e altura .

Quando as três dimensões são iguais, o paralelepípedo retângulo é denominado cubo.

Denomina-se paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos.

Um prisma reto cujas bases são retângulos é chamado paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.

Na figura abaixo, indicamos por d a medida da diagonal do paralelepípedo, por d1 a medida da diagonal da base e por a,b e c as medidas das arestas.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD:

d1 = a² + b² Aplicando o teorema novamente, agora

no triângulo BDH: d² = d1² + c²

Portanto: d² = a² + b² + c²

No caso particular de um cubo, de aresta a, temos:

A figura abaixo, à direita, representa a planificação de um prisma triangular regular.

Vamos definir a área de algumas partes da superfície desse prisma. Área da base (Sb): é a área de um dos polígonos das

bases. Área lateral (Sl): é a soma das áreas de todas as

faces laterais. Área total (St): é a soma da área lateral e das áreas

das bases.

Observe que todos esses sólidos tem uma das faces como sendo uma região poligonal qualquer e as demais faces são triangulares com um vértice comum. A esses tipos de poliedros chamamos de pirâmides.

Numa pirâmide a região poligonal é chamada de base e as outras faces, todas triangulares, são chamadas de faces laterais.

De acordo com o polígono da base, uma pirâmide pode ser:Triangular – a base é um triângulo;Quadrangular – a base é um quadrado;Pentagonal – a base é um pentágono;Hexagonal – a base é um hexágono;e assim por diante.

Vejamos alguns exemplos de pirâmides:

Em relação ao segmento que une o vértice da pirâmide ao centro da base, as pirâmides podem ser:

Pirâmide reta – quando esse segmento for perpendicular ao plano da base.

Pirâmide oblíqua – quando o segmento citado não for perpendicular ao plano da base.

Uma pirâmide reta que tem como base um polígono regular é chamada de pirâmide regular

Em toda pirâmide regular:As arestas laterais são congruentes;As faces laterais são triângulos isósceles

congruentes;O apótema do polígono regular da base é

chamado de apótema da base;A altura de uma face lateral relativa à

aresta da base é chamada de apótema da pirâmide.

Indicamos as medidas:Da aresta da base por a;Da altura da pirâmide por h;Do apótema da base por m;Da aresta lateral por l;Do apótema da pirâmide por g;Do raio do círculo que circunscreve a base

por r.

COLOCAR FIGURA.

Utilizando o teorema de Pitágoras nos triângulos, encontramos as relações métricas a seguir:Do triângulo retângulo VOM, temos:

h² + m² = g²Do triângulo VOA, temos:

h² + r² = l²Do triângulo retângulo VMA, temos:

g² + (a/2)² = l²

Área da base (sb): é a área do polígono da base.

Área lateral (sl): é a soma das áreas das faces laterais.

Área total (st): é a soma da área lateral com a área da base.

Vamos, através de uma experiência, encontrar o volume de uma pirâmide.

Usando uma folha de cartolina, construímos um prisma reto, sem uma das tampas, e uma pirâmide de mesma base e mesma altura do prisma sem o fundo.

Enchemos a pirâmide de areia e despejamos dentro do prisma, repetindo essa operação ate encher o prisma de areia

Agora é repetir a experiência usando outras pirâmides e outros prismas de mesma base e de mesma altura.

Quais são as diferenças entre poliedros e corpos redondos?

Quais as diferenças existentes entre:Um prisma e uma pirâmide?Um prisma e um cilindro?Uma pirâmide e um cone?Um cone e um cilindro?

Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular.Sabendo que a altura da caixa é de 20cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a área de papelão necessária para se construir essa embalagem. Admitindo que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa. (Use √3 = 1,73.)