controladores robustos do tipo lqg-ltr de ordem reduzida para sistemas mimo com saídas...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA
CONTROLADORES ROBUSTOS DO TIPO LQG/LTR DE ORDEM REDUZIDA
PARA SISTEMAS MIMO COM SADAS INDEPENDENTES
DE SEUS MODOS NO DOMINANTES
PEDRO BAPTISTA FERNANDES
DM 01/2014
UFPA / ITEC / PPGEE
Campus Universitrio do Guam
Belm-Par-Brasil
2014
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA
PEDRO BAPTISTA FERNANDES
CONTROLADORES ROBUSTOS DO TIPO LQG/LTR DE ORDEM REDUZIDA
PARA SISTEMAS MIMO COM SADAS INDEPENDENTES
DE SEUS MODOS NO DOMINANTES
DM 01/2014
UFPA / ITEC / PPGEE
Campus Universitrio do Guam
Belm-Par-Brasil
2014
-
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA
PEDRO BAPTISTA FERNANDES
CONTROLADORES ROBUSTOS DO TIPO LQG/LTR DE ORDEM REDUZIDA
PARA SISTEMAS MIMO COM SADAS INDEPENDENTES
DE SEUS MODOS NO DOMINANTES
Dissertao submetida Banca
Examinadora do Programa de Ps-
Graduao em Engenharia Eltrica da
UFPA para a obteno do Grau de
Mestre em Engenharia Eltrica na rea
de Sistemas de Energia.
UFPA / ITEC / PPGEE
Campus Universitrio do Guam
Belm-Par-Brasil
2014
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Fernandes, Pedro Baptista, 1986 -
Projeto de controladores robusto de ordem reduzida para sistemas MIMO com sadas independentes de seus modos no dominantes / Pedro Baptista Fernandes. - 2014.
Orientador: Jorge Roberto Brito de Souza.
Dissertao (Mestrado) Universidade Federal do Par, Instituto de Tecnologia, Programa de Ps-graduao em Engenharia Eltrica, Belm, 2014.
1. Controle robusto. 2. Controladores programveis. 3. Filtro de Kalman. I. Ttulo.
CDD 629.8 ed. 22
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente minha famlia que sempre me deu suporte em todos os momentos.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Jorge Roberto Brito de Souza, pela orientao segura
durante a realizao deste trabalho.
Ao Prof. Dr. Walter Barra Jr., pelo apoio e incentivo constantes.
Aos alunos e professores que frequentavam a sala de estudos, em especial Marcos,
Erick, Cleyton, Laurindo e Conceio, que sempre se disponibilizaram a ajudar quando
preciso.
Aos meus grandes amigos e colegas de mestrado Danilo Figueiredo e Gilson Fernandes
que se dispuseram a ajudar.
A todos os professores que me deram aula durante o curso, pelos ensinamentos
valiosos.
Ao PPGEE e todos os funcionrios que o compem e ao CAPES que acreditaram e deram
condies para que o projeto se desenvolvesse.
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I
Sumrio
1. Introduo....................................................................................................................1
O Mtodo LQG/LTR ................................................................................................................ 2
1.1.1. Desvantagens do Mtodo LQG/LTR .................................................................... 3
Algumas Tcnicas de Reduo de Ordem ................................................................................. 4
Escopo e Contribuio desta Dissertao ................................................................................. 5
Organizao do Contedo ....................................................................................................... 6
2. Sntese do Mtodo LQG/LTR .......................................................................................... 8
Consideraes Preliminares .................................................................................................... 9
2.1.1. Representao das Incertezas do Modelo .......................................................... 9
2.1.2. Valores Singulares e Estabilidade de Sistemas Multivariveis ......................... 11
Procedimentos Duais para a Realizao do Mtodo LQG/LTR ................................................. 13
O Regulador Linear timo Quadrtico (LQR).......................................................................... 14
O Filtro de Kalman ................................................................................................................ 15
O Projeto de um Controlador Robusto LQG/LTR .................................................................... 18
2.1.3. Projeto do Regulador Linear Quadrtico (LQR) ................................................ 18
2.1.4. Projeto do Filtro de Kalman .............................................................................. 19
2.1.5. Adio de Integradores ..................................................................................... 21
2.1.6. Equalizao de Ganhos em Todas as Frequncias ............................................ 21
Concluses ........................................................................................................................... 24
3. Compensadores Dinmicos.......................................................................................... 25
Determinao da Ordem do Compensador Dinmico ............................................................. 26
Alocao de Plos ................................................................................................................. 27
Descrio Matemtica dos Compensadores Dinmicos .......................................................... 28
Concluses ........................................................................................................................... 29
4. Aplicao do Projeto de Controlador Robusto LQG/LTR para um Sistema Multiva-
rivel com Reduo de Ordem de Modelo com Variveis Desacopladas ...................... 30
Descrio do Sistema a Ser Controlado .................................................................................. 31
Obteno do Modelo Reduzido ............................................................................................. 34
Pr-Estabilizao do Sistema Reduzido .................................................................................. 37
-
II
Projeto do Controlador LQG/LTR de Ordem Reduzida ............................................................ 40
4.1.1. Adio de Integradores na Sada da Planta ...................................................... 42
4.1.2. Projeto de um Regulador LQR com Equalizao de Ganhos em Todas as
Frequncias .......................................................................................................... 44
4.1.3. Projeto de um Filtro de Kalma .......................................................................... 48
4.1.4. Implementao do Controlador Projetado com a Planta Original ................... 51
Anlise de Estabilidade do Sistema Controlado...................................................................... 54
Anlise do Desempenho do Sistema Controlado .................................................................... 56
Comentrio Sobre a Escolha de Parmetros no Projeto .......................................................... 62
Concluses ........................................................................................................................... 68
5. Concluso .................................................................................................................... 70
Referncias Bibliogrficas ........................................................................................... 74
Apndice A: Rotina Computacional para o Projeto ...................................................... 77
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III
Lista de Ilustraes
2.1. Diagrama de Blocos de um Sistema Real MIMO Controlado com Realimentao Unitria ....................................................................................................................... 9
2.2. Representao do Sistema Controlador em Malha Fechada com Incertezas do Modelo na Forma Multiplicativa .............................................................................. 10
2.3. Diagrama de Blocos do Sistema para a Anlise da Abertura da Malha Fechada do Sistema Controlado ............................................................................................. 14
2.4. Diagrama de Blocos do Filtro de Kalman ................................................................... 16
2.5. Diagrama de Blocos do Controlador ................................................................ 20
2.6. Modelo do Sistema com Incertezas na Sua Entrada e Integradores na Sada .......... 21
3.1. Diagrama de Blocos de um Sistema com um Pr-Compensador Dinmico ..... 28
4.1. Ganhos Principais do Sistema ......................................................................... 33
4.2. Diagrama de Blocos de com o Destaque das Variveis do Restante
do Sistema ................................................................................................................ 35
4.3. Comparao dos Ganhos do Sistema Original aos do Sistema Reduzido ................. 36
4.4. Plos de ........................................................................................................... 37
4.5. Alocao de Modos Instveis e a Criao de um Novo .................................. 39
4.6. Comparao dos Ganhos Aps a Alimentao do Compensador Dinmico de 1 Ordem ao Sistema Original e ao Sistema Reduzido ....................................... 40
4.7. Ganhos das Incertezas do Modelo............................................................................. 41
4.8. Diagrama de Blocos Aps Adio de Integradores na Sada do Sistema e as Incertezas Multiplicativas na Entrada ...................................................................... 42
4.9. Ganhos Principais de ........................................................................................ 43
4.10. Equalizao dos Ganhos do Sistema ......................................................................... 46
4.11. Relao Inversamente Proporcional entre e ....................................... 47
4.12. Ganhos Principais da Malha de Referncia ............................................................... 48
4.13. Ganhos Principais de Comparados com os de ................................. 50
4.14. Comparao entre os Ganhos de e ....................................................... 52
4.15. Ganhos Principais de Comparados com os de ................................. 53
4.16. Teste de Estabilidade do Sistema Controlado ........................................................... 54
4.17. Ganho Inferior de ............................................................................. 55
-
IV
4.18. Sadas do Sistema com Controlador Reduzido com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Primeira Referncia .................................................................. 57
4.19. Sadas do Sistema com Controlador Reduzido com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Segunda Referncia ................................................................. 57
4.20. Sinais de Controle do Sistema com Controlador Reduzido com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Primeira Referncia ............................................. 58
4.21. Sinais de Controle do Sistema com Controlador Reduzido com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Segunda Referncia ............................................. 58
4.22. Sadas do Sistema Fazendo com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Primeira Referncia ............................................................................... 66
4.23. Sadas do Sistema Fazendo com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Segunda Referncia .............................................................................. 66
4.24. Sinais de Controle do Sistema Fazendo com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Primeira Referncia ......................................................... 67
4.25. Sinais de Controle do Sistema Fazendo com Estmulo de um Sinal Degrau Unitrio na Segunda Referncia ........................................................ 67
4.26. Deslocamento de Plos Aps Alterao do Valor de ............................................. 68
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V
Lista de Tabelas
2.1. Parmetros Duais do Regulador LQR e do Filtro de Kalman ..................................... 17
4.1. Zeros de Transmisso do Sistema Controlado........................................................... 59
4.2. Plos em Malha Aberta e em Malha Fechada Correspondentes ao Sistema Controlado ................................................................................................................ 60
4.3. Plos em Malha Fechada e Zeros de Transmisso Mais Prximos da Regio de Instabilidade do Sistema Controlado .................................................................. 61
4.4. Comparao das Ordens dos Controladores com e sem a Reduo de Ordem de Modelo ................................................................................................................ 62
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VI
RESUMO
O objetivo principal desta dissertao apresentar uma soluo eficiente, prtica e de simples
implementao para um problema recorrente em projetos de controladores robustos multivariveis
do tipo LQG/LTR: a elevada ordem que estes controladores podem obter dependendo das
complicaes apresentadas pelo sistema dificultando para que este possa ser controlado de maneira
satisfatria.
Para que esta meta seja alcanada, apresentada uma tcnica de reduo do modelo de
sistemas com metodologia bastante descomplicada, dispensando qualquer necessidade de
complexas programaes para a sua utilizao. Esta metodologia porm, somente aplicvel a uma
classe bastante especfica de sistema. Em suma, o sistema deve possuir variveis de estado
desacopladas do restante do sistema, ou seja, variveis que no sofram influncias de outras e que
tambm no provoquem grande efeito nas sadas do sistema.
Foi escolhido um sistema multivarivel de sexta ordem, com duas entradas e duas sadas para
que a tcnica de reduo de ordem de modelo seja testada. Este sistema possui as caractersticas
especiais mencionadas anteriormente bem como exige o projeto de compensador dinmico e a
adio de integradores s suas sadas para que seja controlado adequadamente.
Este trabalho pretende apresentar o procedimento de todo o projeto mencionado, desde a
obteno de um modelo de ordem reduzida at a implementao do controlador LQG/LTR. Em
seguida, o controlador obtido testado atravs de diversas simulaes e os resultados encontrados
so discutidos para a avaliao da eficcia e da praticidade do mtodo proposto para obteno de
controladores de ordem reduzida.
PALAVRAS-CHAVES: Controladores LQG/LTR, reduo de modelos de sistemas, compensadores
dinmicos, sistemas multivariveis.
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VII
ABSTRACT
This thesis main goal is to introduce an efficient, practical and easy to implement solution to a
recurring problem in projects of LQG/LTR multivariable robust controllers: the high order these
controllers may obtain depending on the complications presented by the system hampering its
control in a satisfactory way.
For this goal to be achieved, a system model reduction technique with very simple methodology
is introduced, dispensing any needs of complex programming for its use. This methodology however,
is only applicable to a very specific class of system. Summarizing, the system must have state
variables decoupled from the rest of the system, that is, variables that dont not influenced by others
and that also dont cause major effects on the systems outputs.
It was chosen a sixth order multivariable system having two inputs and two outputs for the
model order reduction be tested. This system has the special characteristics mentioned before and
also demands a dynamic compensator project as well as the integrators addition to its outputs so it
can be controlled adequately.
This text intends to show the procedure for the whole project, since the reduced order model
achievement to the LQG/LTR controller implementation. Then, the obtained controller is tested
through several simulations and the attained results are discussed for effectiveness and practicality
evaluation of the proposed method for reduced order controller project.
KEYWORDS: LQG/LTR controllers, Systems models reduction, dynamic compensators, multivariable
systems.
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1
Captulo 1: Introduo
O papel da Engenharia de Controle de fundamental importncia para o
desenvolvimento de modernos sistemas de controle para aplicaes tanto em processos
industriais e de produo, como tambm nos campos da robtica e de sistemas
aeroespaciais, dentre outras. Seu principal foco a elaborao de projetos de controladores
para determinados sistemas com base em modelos matemticos que descrevem seus
comportamentos dinmicos de acordo com os sinais fsicos que os influenciam.
O projeto de um controlador robusto visa fazer com que o sistema obtenha certo
grau de imunidade a uma classe especfica de perturbaes, ou seja, ele deve ser capaz de
manter a estabilidade e assegurar certo grau de insensibilidade do sistema controlado
quando este submetido a distrbios e rudos. Alm de assegurar a robustez da
estabilidade, o controlador deve proporcionar um bom desempenho dinmico ao sistema
controlado, isto , ele deve proporcionar um desempenho rpido e preciso do processo
sobre o qual ele atua.
Tendo em vista a sua importncia, foram desenvolvidas recentemente diversas
tcnicas para o projeto de controladores robustos, baseadas nas classes de incertezas
estruturais previamente conhecidas. Estas incertezas so as estimativas realizadas com o
intuito de limitar quaisquer erros provenientes da modelagem do sistema. Os controladores
robustos devem ser capazes de proporcionar o bom desempenho dinmico do sistema,
dentro dos limites estabelecidos previamente para tais incertezas. Esses so chamados
controladores com estrutura fixa [1].
Existem duas abordagens bsicas que podem ser estudadas para o projeto de
controladores robustos. A primeira utiliza o conceito de variaes paramtricas, e ela
adequada para sistemas dinmicos cujos parmetros incertos assumem valores dentro de
um intervalo determinado por limites superior e inferior. Neste caso, o controlador robusto
deve garantir a estabilidade do sistema para quaisquer valores que as variveis do vetor de
parmetros de incerteza assumam dentro de seus intervalos. Pode-se destacar o mtodo
PRLQG (Parameter Robust Linear-Quadratic Gaussian) proposto por Tahk e Speyer [2], o
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2
mtodo PRCBI (Parameter Robust Control by Bayesian Identification) introduzido por
Gomes [3], e o mtodo de Siljak [4], dentre outros.
Na segunda abordagem as incertezas do sistema so representadas no domnio da
frequncia por uma funo que as limita. Durante o projeto, busca-se garantir boas margens
de estabilidade que acomodem tais incertezas, impedindo assim o mal funcionamento do
sistema controlado. Existem vrias tcnicas de projeto de controladores robustos que so
baseadas nesta abordagem, tais como os mtodos e [5] ou o mtodo LQG/LTR [6].
Este ltimo mtodo ser considerado nesta dissertao, dando-se nfase ao controle de
sistemas que necessitam de pr-estabilizao e equalizao dos seus ganhos principais,
operaes que aumentam a ordem do sistema a ser controlado.
1.1 O Mtodo LQG/LTR
O mtodo LQG/LTR uma das metodologias mais utilizadas para o projeto de
controladores robustos para sistemas lineares contnuos. O procedimento se baseia numa
abordagem no domnio da frequncia, aplicando-se ento a sistemas lineares e invariantes
no tempo. Este mtodo basicamente uma combinao de um regulador LQR e um filtro de
Kalman.
O regulador LQR, tambm chamado regulador linear timo quadrtico, possui como
caracterstica a garantia de estabilidade em malha fechada [7], bem como um alto grau de
robustez do sistema controlado, proporcionando margem de ganho infinita e margem de
fase de [8], quando aplicado a sistemas contnuos SISO e MIMO [9].
A grande desvantagem destes reguladores a necessidade da utilizao de
observadores de estados com o objetivo de estimar os estados do sistema e tornar possvel
a realimentao de todos eles, visto que, sem os observadores, vrios estados no so
acessveis [10]. Porm, Doyle provou [11] que a adio de observadores de estados reduz
drasticamente as caractersticas de robustez do regulador LQR. Foi ento que Doyle e Stein
[12] propuseram um procedimento semelhante ao filtro de Kalman, com mudanas nas
matrizes de covarincia das perturbaes e dos rudos atuantes no sistema. Esta
metodologia permite ento o clculo dos observadores necessrios ao regulador LQR,
mantendo as suas boas propriedades de robustez.
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3
O mtodo LQG/LTR garante ento elevada robustez do controlador projetado diante
de perturbaes do ambiente e rudos, alm de suportar ampla classe de erros de
modelagem, dando ao projetista segurana ao realizar simplificaes no modelo. Esta
caracterstica o que possibilita a realizao do objetivo deste trabalho.
1.1.1 Desvantagens do Mtodo LQG/LTR
Apesar de todas as excelentes propriedades citadas anteriormente, o mtodo
LQG/LTR para o projeto de controladores robustos tambm possui algumas propriedades
desfavorveis que dificultam o desempenho do controlador. Inicialmente, as nicas
restries ao procedimento so as de que o sistema a ser controlado seja linear e de fase
mnima, sendo assim, o sistema deve possuir somente zeros de transmisso estveis. O fato
do controlador LQG/LTR incorporar a inversa da matriz de transferncia da planta implica
em um controlador instvel, quando projetado para um sistema de fase no-mnima.
Mas no basta que a planta estudada seja de fase mnima para que o projeto do
controlador seja realizado sem obstculos. Se o modelo analisado contiver modos instveis
muito prximos do eixo imaginrio, o sistema com controlador LQG/LTR pode apresentar
um comportamento transitrio com oscilaes mal amortecidas. Isso ocorre porque os zeros
de transmisso do controlador no conseguem anular por completo os efeitos destes modos
instveis que, por estarem prximos do eixo imaginrio, so dominantes. Pode-se aumentar
o ganho da malha do sistema controlado para atenuar este efeito, mas muitas vezes essa
ao no eficaz e normalmente necessrio incluir um compensador dinmico ao projeto
do controlador LQG/LTR para pr-estabilizar o sistema.
Outro requisito necessrio para realizar o projeto deste tipo de controlador robusto
a equalizao dos ganhos principais da planta, em sistemas MIMO, visando-se obter o
desacoplamento dos seus diversos canais de entrada-sada. Em [13] apresentado um
mtodo que utiliza integradores em cada canal do sistema, e equaliza seus ganhos principais
nas baixas e nas altas frequncias. A referida equalizao pode ser estendida a qualquer
faixa de frequncia utilizando-se uma frmula alternativa apresentada em [6]. Esta frmula,
porm, s pode ser aplicada no caso de sistemas sem plos na origem, j que ela requer a
inverso da matriz do modelo da planta.
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4
Por fim, o controlador LQG/LTR, por ser uma combinao de um regulador LQR e um
filtro de Kalman, tem a mesma ordem do sistema a ser controlado. Porm, como se viu
anteriormente, dependendo das suas caractersticas, este sistema pode ser constitudo por
um compensador dinmico estabilizador e por integradores, alm da prpria planta a ser
controlada. Dessa forma, o sistema final pode atingir uma ordem extremamente elevada,
dificultando no s o projeto do controlador, mas tambm a sua implementao prtica.
Esta dificuldade o principal foco desta dissertao, a qual apresenta como soluo a
reduo de ordem do modelo matemtico do sistema para a realizao do projeto do
controlador.
1.2 Algumas Tcnicas de Reduo de Ordem
A dificuldade encontrada para aplicaes de tcnicas de controle em sistemas muito
complexos e/ou de grandes dimenses vem sendo motivo de muitos de estudos h pelo
menos meio sculo. De fato, existem muitas tcnicas para tratar deste assunto [14] que
focalizam o problema com diferentes tipos de abordagens.
Davison [15] props, em 1966, que o modelo de um sistema pode ser reduzido a um
modelo mais simples ao serem considerados apenas os efeitos dos plos dominantes do
sistema, ou seja, aqueles mais prximos da instabilidade. Este princpio simplesmente
despreza os modos estveis mais afastados do eixo imaginrio. O procedimento realizado
atravs de manipulaes matriciais que identificam as menores constantes de tempo do
sistema, as quais devem ser desprezadas. Essa abordagem, bem simples, tem a desvantagem
de muitas vezes resultar em modelos reduzidos que apresentam muitas imprecises no seu
comportamento dinmico quando comparado ao comportamento do sistema original.
Outro mtodo de grande importncia para a obteno de modelos de ordem
reduzida o mtodo da agregao, proposto por Aoki [16]. Ele sugere procedimentos de
decomposio modal com o objetivo de identificar os plos dominantes do modelo original
os quais so agregados ao modelo de ordem reduzida, enquanto os modos mais rpidos
(no dominantes) so desprezados. Esta tcnica lana mo de mtodos de diagonalizao de
sistemas, para que a eliminao destes modos no resulte em grandes mudanas nas
caractersticas dinmicas do sistema original.
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5
H tambm vrios mtodos de reduo de ordem de modelo baseados no domnio
da frequncia [17]-[18], e na norma das matrizes caractersticas [19]-[20], dentre outros.
Este trabalho explora, conforme sugerido por Matos [21], propriedades especiais
apresentadas por certos sistemas do tipo MIMO, cujas sadas no dependem diretamente de
certas variveis dinmicas do sistema, as quais, por sua vez, so desacopladas entre si e
tambm em relao s demais variveis do sistema. Alm disso, estas variveis desacopladas
das demais devem estar associadas a modos no dominantes do sistema. As caractersticas
deste tipo particular de sistema permitem que a reduo de seus modelos seja feita de
maneira imediata, sem a necessidade de complexas manipulaes matemticas, uma vez
que estes modos dominantes podem ser desprezados sem causar grande mudana no
desempenho dinmico do sistema. Modelos com estas propriedades costumam ser
encontrados em aplicaes na rea de sistemas de controle aeroespaciais, como por
exemplo, nos casos dos avies dos tipos F14 e Canard, que so abordados em [13] e [22],
respectivamente.
1.3 Escopo e Contribuio desta Dissertao
O grande destaque negativo dos controladores do tipo LQG/LTR o fato de sua
ordem ser igual do sistema a ser controlado. Este problema torna-se ainda mais grave
dependendo das caractersticas especficas deste sistema. O foco principal desta dissertao
a realizao de um controlador robusto desse tipo utilizando um modelo reduzido do
sistema original a ser controlado, com o intuito de reduzir a complexidade do controlador
final projetado, minimizando assim o problema citado.
O procedimento utilizado neste trabalho para a reduo do modelo original do
sistema voltado para um tipo bem especfico de planta, na qual h variveis desacopladas
das outras, cujas influncias no afetam diretamente as sadas do sistema e que esto
ligadas aos modos rpidos e, portanto, no-dominantes.
Outro problema tambm abordado a presena de oscilaes de baixas frequncias
em sistemas MIMO que possuem plos instveis prximos ao eixo imaginrio, quando esto
sendo controlados por controladores do tipo LQG/LTR. Nesse caso, necessrio o projeto de
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6
um compensador dinmico, que resolve este obstculo, porm deixa a ordem do sistema
ainda mais elevada.
A reduo da ordem do modelo original pode implicar, dependendo do sistema, em
um compensador dinmico de ordem menor em comparao com o que seria projetado
para pr-estabilizar o sistema original. Esta reduo pode resultar em um desempenho um
pouco inferior em termos de transitrio, mas vantajosa em termos gerais.
Os procedimentos apresentados neste trabalho para a realizao da reduo de
ordem, do projeto do compensador dinmico, dos integradores necessrios equalizao
dos ganhos do sistema e, finalmente, ao controlador robusto LQG/LTR, sero mostrados
usando o exemplo de um sistema instvel multivarivel de sexta ordem, com duas entradas
e duas sadas.
1.4 Organizao do Contedo
Esta dissertao est organizada da seguinte forma.
O Captulo 2 apresenta um resumo a respeito dos controladores robustos LQG/LTR.
Para o melhor entendimento da teoria por trs desta tcnica, feito um breve resumo de
tpicos muito importantes para o projeto tais como o tratamento das incertezas de um
modelo, os seus valores singulares e as tcnicas utilizadas para a determinao do seu grau
de estabilidade. So descritas as principais equaes relacionadas com o regulador linear
timo quadrtico (LQR) e o filtro de Kalman, alm do prprio controlador LQG/LTR.
Considera-se o caso em que as incertezas do modelo nominal so representadas na entrada
da planta.
O Captulo 3 apresenta conceitos bsicos relacionados com compensadores
dinmicos, estrutura capaz de estabilizar um sistema atravs da alocao de modos instveis
para regies de estabilidade. A determinao da ordem do compensador dinmico, bem
como o modo de ao sobre a localizao dos plos descrita, bem como sua representao
matemtica.
O Captulo 4 apresenta um estudo de caso, onde o modelo utilizado o de um
sistema MIMO instvel de fase mnima, com duas entradas e duas sadas. Alm disso, este
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7
sistema apresenta caractersticas especiais que so aproveitadas para a realizao de uma
forma bastante direta de reduo de ordem de seu modelo, simplificando o projeto em
geral. Todo o projeto apresentado neste captulo, desde a j mencionada reduo de
ordem, passando pela incluso de compensadores dinmicos, at o projeto do controlador
LQG/LTR propriamente dito. Ao final os resultados obtidos atravs de simulaes so
discutidos, bem como h observaes sobre a importncia da escolha apropriada de certos
parmetros de projeto, inclusive fazendo novas simulaes com novos valores para que as
diferenas nos resultados sejam analisadas e discutidas.
O Captulo 5, por fim, apresenta as concluses desta dissertao, observando as
vantagens e desvantagens do projeto apresentado bem como a sua contribuio, alm de
apresentar sugestes para trabalhos futuros.
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Captulo 2: Sntese do Mtodo LQG/LTR
O mtodo LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Recovery) um
procedimento de grande eficcia para a realizao do projeto de controladores robustos
para sistema lineares, monovariveis ou multivariveis. Esta tcnica consiste basicamente
numa combinao de um regulador LQR e um filtro de Kalman. Deste modo, trata-se de um
controlador LQG, j que constitudo por um observador de estados para que seja possvel a
realimentao dos mesmos.
A sntese de um controlador LQG/LTR depende da localizao das incertezas do
sistema, que podem ser consideradas na sada ou na entrada da planta a ser controlada.
Dependendo desta informao, o regulador LQR e o filtro de Kalman devem ser projetados
em momentos diferentes do projeto. Sendo assim, existem duas verses duais para a
aplicao do mtodo LQG/LTR.
Normalmente o projetista tem a liberdade de escolher onde as incertezas do modelo
devem estar localizadas, podendo ento determinar posies convenientes para a
simplificao do projeto. Porm, ambas as formas devem ser igualmente funcionais. Existem
diversos trabalhos publicados usando as duas verses: com incertezas na sada [23] e na
entrada da planta [24]. notvel, em vrias publicaes, a preferncia em considerar estas
incertezas na sada da planta, uma vez que essa abordagem permite reduzir o nmero de
operaes necessrias para o clculo dos parmetros do controlador.
Nesta dissertao, as incertezas do modelo estudado so consideradas na entrada da
planta, por razes a serem discutidas no Captulo 4. Neste caso, o mtodo LQG/LTR tem
como primeiro passo o projeto de um regulador LQR, e em seguida o desenvolvimento de
um filtro de Kalman.
Este captulo apresenta inicialmente algumas consideraes a respeito da resposta
desejada para o sistema a ser controlado, com nfase na garantia de sua estabilidade em
malha fechada, e na obteno de altas margens de ganho e de fase. As etapas do
desenvolvimento do controlador LQG/LTR so igualmente abordadas, expondo de maneira
resumida a teoria por trs deste mtodo.
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9
2.1 Consideraes Preliminares
O desenvolvimento de um controlador robusto tem como objetivos principais
garantir a estabilidade do sistema controlado em malha fechada e lhe proporcionar um bom
desempenho dinmico. Sendo assim, o controlador projetado deve ser capaz de acomodar
eventuais variaes na dinmica do sistema, o que natural ocorrer em qualquer processo.
Para que essas metas sejam satisfeitas necessrio impor certas restries sobre os
ganhos principais da matriz de transferncia do sistema controlado em malha
aberta, conforme o diagrama de blocos mostrado na Figura 2.1. Estas restries so
definidas sobre os ganhos principais, superior e inferior, de . Estes ganhos devem
ser altos nas baixas frequncias e baixos nas altas frequncias.
2.1.1. Representao das Incertezas do Modelo
A Figura 2.1 representa de maneira bsica um sistema de controle real. Note-se que,
em princpio, o sistema real difere do sistema nominal , mas o controlador o
mesmo nos dois casos. Considera-se que seja o modelo considerando as incertezas de
modelagem.
Uma das maneiras mais imediatas de representar o erro de modelagem atravs da
chamada forma aditiva [25]. Neste caso a incerteza representada por uma funo
que definida por
. (2.1)
Figura 2.1: Diagrama de blocos de um sistema real MIMO controlado com realimentao unitria.
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O inconveniente da representao das incertezas do sistema atravs de que
esta funo atrelada ao controlador . Verifica-se isso quando se considera o sistema
com controlador. Neste caso obtm-se, a partir da Equao (2.1), que
. (2.2)
Esta situao bastante inconveniente, visto que o objetivo justamente projetar o
controlador . Ou seja, desejvel que a funo das incertezas do modelo seja
dependente apenas da planta do sistema.
Para contornar esta inconvenincia, opta-se ento pela representao das incertezas
do sistema atravs da chamada forma multiplicativa no estruturada, que denotada por
, e definida por
)(
)()()(
sG
sGsGsL R
M
. (2.3)
Caso esta representao seja utilizada no sistema com controlador, verifica-se que
)()()(
)()()()(sL
sKsG
sKsGsKsGM
R
(2.4)
Portanto, a funo que representa a incerteza do sistema na forma multiplicativa a mesma
com ou sem a incluso do controlador, isto , ela s dependo do modelo do sistema.
Da Equao (2.3) obtm-se que
)()()( sGsLIsGMR
. (2.5)
A Figura 2.2 apresenta o diagrama de blocos deste sistema, com as incertezas do
modelo representadas na entrada da planta.
Figura 2.2: Representao do sistema controlado em malha fechada com incertezas do modelo na forma multiplicativa.
-
11
Como a funo desconhecida, estima-se ento uma funo limitante
que define os valores mximos que as incertezas multiplicativas podem alcanar.
Assim tem-se que
)()( MMljL
. (2.6)
Segundo Cruz [6], tipicamente as incertezas estimadas assumem valores menores em
baixas frequncias, mas tornam-se maiores conforme o aumento da frequncia. Sendo
assim, os modelos costumam ser mais confiveis em baixas frequncias. Estes erros em altas
frequncias podem estar associados a vrios efeitos como indutncias e capacitncias
parasitas, dinmica de atuadores, dentre outros.
2.1.2. Valores Singulares e Estabilidade de Sistemas Multivariveis
Em sistemas monovariveis, o desempenho de um sistema analisado atravs do
conceito de ganho ou magnitude. Em sistemas multivariveis, contudo, necessrio
estabelecer um mtodo para medir estas magnitudes com a inteno de obter respostas em
frequncia adequadas.
Com esse fim usa-se o conceito de norma euclidiana, que definida por
xxx * , (2.7)
onde denota o vetor ou a matriz conjugada de .
Atravs do quociente de Rayleigh [26], a norma euclidiana da matriz de trans-
ferncia da planta pode ser escrita como
GGG *max
, (2.8)
onde o mximo autovalor da matriz GG* .
A Equao (2.8) sugere a seguinte definio de valores singulares:
GGGii
*)( , ni ,...,2,1 (2.9)
onde indica o i-simo autovalor de .
-
12
Observa-se que o nmero de valores singulares que a matriz de transferncia
possui depende das dimenses desta matriz. Por esta razo, visando simplificar a anlise do
sistema, trabalha-se somente com os ganhos principais, superior e inferior, de , visto
que todos os outros valores singulares ficam inevitavelmente confinados entre esses
referidos ganhos, os quais so denotados e definidos pelas equaes que seguem:
GGGG *max
)( (2.10)
1
*
min
1)(
GGGG
(2.11)
Com base nestas definies de ganhos principais, superior e inferior, de um sistema
, dito que a matriz de transferncia possui ganhos altos quando seu ganho principal
inferior alto. Analogamente, considera-se que tem baixos ganhos quando seu ganho
principal superior baixo.
Observando-se o diagrama de blocos da Figura 2.1, percebe-se que a sada do
sistema depende dos sinais de referncia , de distrbios e de rudos . A
relao entre estes sinais dada pela seguinte equao matricial complexa
)()()()()()()()()()( 11 sDsKsGIsNsRsKsGsKsGIsY (2.12)
Os sinais de referncia e os distrbios externos costumam operar com
frequncias baixas, ao contrrio dos rudos presentes nos processos, que normalmente
possuem frequncias bastante elevadas.
Observa-se na Equao (2.12) que, quando os ganhos da matriz de transferncia
elevado em baixas frequncias, a sada do sistema segue o seu sinal de
referncia e os distrbios so rejeitados. Ou seja, para baixas freqncias desejvel que
1)()( sKsG . (2.13)
De outro lado, os ganhos de devem ser baixos em altas frequncias para,
dessa forma, atenuar os efeitos provenientes dos rudos do sistema. Assim, para altas
frequncias pode-se estabelecer a condio
1)()( sKsG . (2.14)
-
13
Atravs da utilizao do Critrio de Nyquist para sistemas multivariveis, foi deduzida
[27] a seguinte condio de robustez da estabilidade de sistemas reais em malha fechada:
)(
1)()()()(
1
Ml
jKjGjKjGI
(2.15)
Nota-se que, quando atinge altos valores, normalmente em altas frequncias,
a matriz de transferncia deve ter ganhos baixos, corroborando a condio
exposta na Equao (2.14).
Apesar da desigualdade mostrada em (2.15) garantir a estabilidade do sistema diante
de incertezas no-estruturadas, no fica estabelecida ainda uma margem sobre a qual
possvel um grau de variao de determinados elementos do sistema sem resultar na sua
desestabilizao. Os critrios de margem de ganho e margem de fase so uma definio
mais adequada neste sentido, indicando a capacidade de robustez de sistemas MIMO.
demonstrado em [28] que as margens de ganho e de fase para sistemas
multivariveis so dadas respectivamente por
001
1
1
1
MG
(2.16)
22
22 0101
senMFsen
, (2.17)
onde o parmetro calculado por
)()(min0
jKjGI . (2.18)
A estabilidade do sistema garantida at estes limites definidos de margem, porm,
se este limite for ultrapassado, o sistema no necessariamente se torna instvel [21].
2.2 Procedimentos Duais para a Realizao do Mtodo LQG/LTR
Existem duas formas de se proceder em relao ao projeto de um controlador
robusto LQG/LTR dependendo da localizao das incertezas do modelo em relao planta,
como j foi mencionado anteriormente nesta dissertao. Esses procedimentos so duais e
devem, a princpio, resultar em desempenhos parecidos do sistema final em malha fechada.
-
14
Figura 2.3: Diagrama de blocos do sistema para a anlise da abertura da malha fechada do sistema controlado.
A primeira forma de se proceder est associada matriz de transferncia
cujas incertezas localizam-se na sada da planta. Sua malha aberta no ponto do diagrama
de blocos da Figura 2.3, ou seja, no mesmo local em que esto localizadas as incertezas em
relao a .
No segundo caso, com as incertezas do modelo situadas na entrada da planta, a
malha aberta no ponto indicado em . Desta forma, este procedimento est ligado matriz
de transferncia .
Nesta dissertao somente o segundo caso ser discutido, pois, devido ao mtodo
escolhido para a reduo da ordem do modelo do sistema estudado, ser mais conveniente
a representao das incertezas na entrada da planta. Dessa forma, primeiramente ser
projetado um Regulador LQR para em seguida ser feito o projeto de um filtro de Kalman.
2.3 O Regulador Linear timo Quadrtico (LQR)
Considere um certo sistema de ordem representada em espao de estados pelas
equaes
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
(2.19)
onde o vetor de estados do sistema, e so respectivamente os
seus vetores de controle e de sada. As matrizes , e tem dimenses compatveis e os
pares e so controlvel e observvel, nesta ordem.
-
-
15
Considere tambm o problema de controle timo que consiste na minimizao do
ndice de desempenho que definido por
0
dtuRuxQxJc
T
c
T, (2.20)
onde as matrizes e
so dadas por
CCQ Tc , 0
T
ccQQ , (2.21)
mxmcIR , 0 . (2.22)
A soluo que minimiza o ndice de desempenho da Equao (2.20) dada por
)()(* txKtuc
, (2.23)
onde a matriz de ganhos do regulador LQR. Esta matriz calculada por
PBK Tc
1 , (2.24)
onde a matriz simtrica a nica soluo positiva definida da seguinte Equao
Algbrica de Riccati (EAR)
01 c
T
c
T QPBRBPPAPA . (2.25)
Ento, atravs das Equaes (2.19) a (2.24), observa-se que possvel a obteno do
sinal timo de controle a partir das matrizes , e que representam o sistema a ser
controlado.
2.4 O Filtro de Kalman
Admita-se um sistema como o da Equao (2.19) com o acrscimo de alguns termos
como mostrado abaixo
)()()(
)()()()(
ttCxty
ttButAxtx
(2.26)
sendo que a matriz de entrada dos rudos existentes no processo, o
vetor que contm estes rudos e o vetor dos rudos de medio do sinal de
-
16
sada. Ambos os vetores mencionados supostamente so rudos brancos, gaussianos e
independentes entre si, tal que
0)( tE (2.27)
)()()( tQtEO
T (2.28)
0)( tE (2.29)
)()()( tRtEf
T (2.30)
onde o valor esperado dos processos estocsticos, a matriz de
intensidade do rudo no estado e a matriz de intensidade do rudo na medida.
Estas matrizes so respectivamente positiva semi-definida e positiva definida, e dadas por
mxmOIQ
, (2.31)
pxpfIR , 0 . (2.32)
A Figura 2.4 apresenta a estrutura do Filtro de Kalman. A partir dela, pode-se verificar
que se pode represent-lo atravs das equaes
)()(
)()()()()(
txCty
txCtyKtButxAtxF
(2.33)
onde a matriz de ganhos do filtro de Kalman, que dada por
1f
T
FRCK . (2.34)
Figura 2.4: Diagrama de blocos do Filtro de Kalman.
-
17
A matriz simtrica a nica soluo positiva definida da seguinte Equao
Algbrica de Riccati
01 ff
TT QCRCAA (2.35)
onde
T
OfQQ . (2.36)
Comparando-se as Equaes (2.34) e (2.35) com as Equaes (2.24) e (2.25), percebe-
se que o Filtro de Kalman e o Regulador LQR so duais entre si, sendo possvel se obter
relaes anlogas mediante uma simples correspondncia de parmetros, conforme
mostrada na Tabela 2.1.
LQR Filtro
Tabela 2.1: Parmetros duais do Regulador LQR e do Filtro de Kalman.
Diante da analogia estabelecida na Tabela acima, ento se pode assegurar que o
Filtro de Kalman possui as mesmas propriedades de estabilidade e robustez que o Regulador
LQR possui.
A estimativa gerada pelo Filtro tima no sentido de que ela minimiza a varincia do
erro de estimao, ou seja,
n
i
iitxtxE
1
2)()(min . (2.37)
-
18
2.5 O Mtodo LQG/LTR
Pode-se definir o controlador linear quadrtico Gaussiano (LQG), de maneira bsica,
como uma combinao de um regulador linear timo quadrtico (LQR) e um Filtro de
Kalman, sendo que este ltimo atua como um estimador dos estados necessrios para o
pleno funcionamento do primeiro, ou seja, a soluo da Equao (2.23) possvel com a
utilizao dos dados estimados na Equao (2.33).
A partir das Equaes citadas acima, pode-se obter a expresso que relaciona a sada
U(s) e a entrada Y(s) do controlador LQG no domnio da freqncia, que dada por
)()( 1 sYKCKBKAsIKsUffCC
. (2.38)
Como j observado nesta dissertao, a existncia de dualidade entre os projetos de
um regulador LQR e um Filtro de Kalman proporciona ao projetista duas maneiras distintas
de projeto. Uma vez que este trabalho trata de um sistema o qual, por suas caractersticas
intrnsecas, melhor analisado posicionando-se as suas incertezas multiplicativas na entrada
da planta, ento primeiro ser feito o projeto do regulador LQR. Somente depois de
concludo este primeiro passo, ser projetado o Filtro de Kalman com algumas
especificidades para que a funo de transferncia de malha aberta do sistema controlado
recupere aproximadamente as caractersticas de resposta em frequncia desejadas,
conhecido como Target Feedback Loop [13].
2.5.1. Projeto do Regulador Linear Quadrtico (LQR)
A matriz de transferncia do regulador LQR dada por
BKsGCLQR)( (2.39)
sendo que 1)( AsI . Os ganhos deste regulador, definidos de acordo com a Equao
(2.10), satisfazem a seguinte relao que derivada a partir da chamada Identidade de
Kalman [29] e da aplicao de propriedades de dualidade:
BHsGIiLQRi
21
1)(
. (2.40)
-
19
Dado que a regio de frequncias onde se exige bom desempenho do sistema
aquela em que 1)( sGLQRi
, pode-se ento aproximar esta equao da seguinte forma
BHsGiLQRi
1
)( (2.41)
Os parmetros de projeto e devem ser ajustados de modo que as curvas de
resposta em frequncia dos ganhos principais de tenham as caractersticas
desejadas para um sistema controlado em malha aberta, isto , altos ganhos nas baixas
freqncias e baixos ganhos nas altas freqncias, alm de equalizao de ganhos e uma
freqncia de crossover apropriada.
A determinao desses parmetros feita com auxlio das Equaes (2.21)-(2.22), e
(2.24)- (2.25). Aplicando-as corretamente, encontram-se valores adequados para e . O
parmetro basicamente utilizado para o ajuste da frequncia de crossover.
2.5.2. Projeto do Filtro de Kalman
Para completar o projeto do controlador LQG/LTR necessrio o projeto de um Filtro
de Kalman com o intuito de atuar como um estimador de estados para o regulador LQR
projetado anteriormente.
O projeto do Filtro de Kalman deve ter o cuidado de fazer com que as curvas de
resposta em frequncia do sistema controlado tenham caractersticas semelhantes s
respectivas curvas de . Essa ao chamada de Loop Transfer Recovery (LTR).
Esses objetivos de ao do Filtro de Kalman so alcanados atravs do uso das
Equaes (2.31), (2.33) e (2.34), alm da seguinte expresso:
TT
fBBqBBQ 2 (2.42)
onde denominado parmetro de recuperao do sistema.
A Equao (2.42) constitui a principal diferena entre o projeto do Filtro de Kalman
para um controlador LQG/LTR e um projeto convencional, no qual utilizada a Equao
(2.36). A incluso da parcela com permite que as caractersticas desejadas para
-
20
Figura 2.5: Diagrama de blocos do controlador K(s).
sejam recuperadas aps a adio do Filtro de Kalman, sendo que quanto maior o valor do
parmetro de recuperao ( ), melhor ser o rastreamento obtido no projeto.
O controlador LQG/LTR possui ento a matriz de transferncia dada abaixo e o seu
diagrama de blocos mostrado na Figura 2.5.
ffCCKCKBKAsIKsK 1)()( . (2.43)
2.5.3. Adio de Integradores
Uma dificuldade comumente encontrada durante o projeto de um controlador
LQG/LTR a grande diferena existente entre os ganhos principais )( jG e )( jG .
Esta caracterstica indica a presena de acoplamento entre os diversos canais do sistema,
logo desejvel que os ganhos principais, superior e inferior, do sistema a ser controlado
sejam os mais prximos possveis entre si. Deve-se, portanto, adicionar integradores ao
sistema, de modo a solucionar o problema mencionado.
Convm mencionar que a adio de integradores faz com que os ganhos do sistema
sejam grandes em frequncias muito baixas. Desse modo, este processo de adio de
integradores torna-se inerente ao projeto de controladores LQG/LTR.
Os integradores devem ser posicionados de maneira oposta s incertezas do sistema,
em relao planta . Como j foi explicado, este trabalho representa as incertezas do
sistema na sua entrada, logo os integradores devem ser posicionados na sada do modelo,
conforme indicado na Figura 2.6.
-1
-
21
Figura 2.6: Modelo do sistema com incertezas na sua entrada e
integradores na sada.
Aps a adio dos integradores, a representao em espao de estados do sistema
aumentado assume a seguinte forma
i
mpxn
mxmimxm
nxm
i
x
xIy
uB
x
x
C
A
x
x
0
00
0
. (2.44)
e sua matriz de transferncia correspondente dada por
BAsICsGsGs
Im 1)()()( . (2.45)
2.5.4. Equalizao de Ganhos em Todas as Frequncias
Em termos gerais, exigido que um controlador tenha ganho inferior alto em baixa
frequncia e ganho superior baixo em alta frequncia, bem como uma frequncia de
crossover compatvel com o sistema. Tais exigncias se aplicam em sistemas SISO e MIMO,
porm os ganhos superiores e inferiores de um sistema SISO so os mesmos. Contudo, em
sistemas MIMO, os ganhos superiores e inferiores devem ser prximos para evitar o
acoplamento.
Durante o projeto do Regulador LQR, pode-se adaptar as caractersticas da curva de
resposta em frequncia de de acordo com o desejado atravs da escolha de valores
adequados de e , de acordo com o que j foi descrito anteriormente neste texto.
-
22
No caso de sistemas MIMO, porm, a equalizao de ganhos em todas as frequncias
necessria para desacoplar o sistema. Assim, a matriz de transferncia de malha aberta
procurada para o sistema controlado uma matriz diagonal com todos os
elementos iguais.
Este novo objetivo incorporado ao projeto de , atravs de uma escolha
adequada de valores para o parmetro de projeto . Na literatura existem vrias dedues
para a determinao deste parmetro com o intuito de equalizar os ganhos principais do
sistema nas baixas freqncias e/ou nas altas freqncias, porm sem equalizar referidos
ganhos na faixa de freqncias intermedirias. Nesta dissertao ser abordado somente o
mtodo que usado para equalizar os ganhos do sistema em todas as frequncias [6]. A
partir deste momento passar a ser chamado de , ou seja,
BAsIHsTROL
11)(
. (2.46)
A partir da Equao (2.44), que inclui os integradores adicionados ao sistema
estudado, pode-se reescrever a Equao (2.46) como
pxmm
nxmn
ROL
B
sIC
AsIHHsT
0
01)(
1
21
, (2.47)
que ao ser desenvolvida resulta em.
pxmmn
nxmn
ROL
B
s
I
s
AsIC
AsI
HHsT0
01
)( 1
1
21
(2.48)
e finalmente em
B
s
AsICHBAsIHsT n
nROL
1
2
1
1
1)(
. (2.49)
O objetivo determinar o parmetro de modo que os ganhos de em todas
as frequncias estejam equalizadas. O modo mais fcil fazer com que seja uma
matriz diagonal com elementos iguais. Uma matriz que cumpre tal funo dada por
111221 BCACAHHH . (2.50)
-
23
Substituindo-se a Equao (2.50) na Equao (2.49) obtm-se o seguinte resultado
para a matriz de transferncia
s
IsT
ROL
1)( . (2.51)
Ou seja, torna-se uma matriz diagonal com todos os termos iguais, o que significa
que todos os seus ganhos so iguais a
11. (2.52)
As Equaes (2.51)-(2.52) demonstram que todos os valores singulares so idnticos
em todas as frequncias, com os ganhos do sistema apresentando declividade de
. Dessa forma so garantidos ganhos altos em baixa frequncia e ganhos baixos
para frequncias elevadas. Estas frmulas tambm indicam que o valor de pode ser
variado de forma a transladar a curva de resposta em frequncia para cima ou para baixo,
fazendo o ajuste de maneira bastante simples da frequncia de crossover conforme a
convenincia e praticidade.
Com a equalizao dos ganhos do sistema garantida em todas as frequncias, o
projeto deve prosseguir de acordo com o mostrado nas Sees 2.3 e 2.4 deste captulo,
tomando a ateno de usar o sistema aps a incluso dos integradores, mostrado nas
Equaes (2.44)-(2.45).
Ao final do projeto, o controlador LQG/LTR representado em espao de estado
pelas equaes
xKu
yKxCKKBAx
C
ffC
(2.53)
e sua matriz de transferncia dada por
ffCC
KCKKBAsIKsK1
)(
. (2.54)
-
24
A representao em espao de estados do sistema controlado dada pela
seguinte expresso:
x
xCy
RfI
uBx
x
A
CKCKKBA
x
x
m
ffC
00
00
0
. (2.55)
2.6 Concluses
Neste captulo procurou-se apresentar de maneira resumida os principais
procedimentos necessrios para a realizao de um projeto de controlador LQG/LTR para
sistemas do tipo MIMO.
Os principais pontos abordados foram os projetos do Regulador LQR e do Filtro de
Kalman, porm tambm foram abordados aspectos importantes como, por exemplo, a
necessidade de desenvolver uma malha cuja resposta em frequncia deve ter assegurados
vrios requisitos desejados no projeto, bem como a necessidade de fazer com que o sistema
controlado use essa resposta como referncia.
Foram tambm discutidas as tcnicas utilizadas para incluir os integradores ao
sistema analisado e para a equalizao dos ganhos da planta. Tais procedimentos tem suma
importncia no que diz respeito ao bom funcionamento do controlador nas mais variadas
faixas de frequncia, assim como no desacoplamento dos diversos canais do sistema.
Quanto ao projeto do Regulador LQR, foi observado que os parmetros e podem
ser alterados livremente, de acordo com as necessidades. Contudo, ao passo que pode ser
variado do modo que convir, o parmetro deve obedecer certas equaes para a
obteno da equalizao dos ganhos do sistema em todas as frequncias.
Durante o projeto do Filtro de Kalman, o parmetro de recuperao pode ser
escolhido, sendo que quanto maior for o seu valor, melhor ser a recuperao da curva de
referncia pelo sistema controlado, porm h limites para esse aumento que sero
comentados nos prximos Captulos.
-
25
Captulo 3: Compensadores Dinmicos
Os compensadores dinmicos formam uma classe de controladores lineares que so
projetados no espao de estados e que utilizam como sinais de entrada as sadas do sistema
a ser controlado, ou seja, funcionam na base da realimentao de sadas, e dessa forma a
sua implementao no requer a incluso de estimadores e/ou observadores de estados,
como ocorre no caso das tradicionais tcnicas de posicionamento de plos por realimen-
tao de estados. A desvantagem do uso desses compensadores que eles aumentam a
ordem do sistema.
Quando o sistema a ser controlado controlvel e observvel, os compensadores
dinmicos so capazes de posicionar arbitrariamente os plos do referido sistema. Assim
sendo, eles podem ser usados para estabilizar sistemas instveis e/ou melhorar o desem-
penho dinmico de sistemas que possuam plos de malha aberta estveis, porm com baixo
fator de amortecimento.
No contexto do projeto de controladores robustos do tipo LQG/LTR, sabido que
esses controladores garantem a estabilidade do sistema controlado em malha fechada,
mesmo que em malha aberta referido sistema seja instvel.
Ocorre que quando esses controladores so aplicados em sistemas que possuem
plos instveis prximos do eixo imaginrio do plano-s, o comportamento transitrio do
sistema controlado apresenta oscilaes mal amortecidas.
Isso acontece porque os zeros de transmisso dos controladores do tipo LQG/LTR s
cancelam perfeitamente os plos estveis do sistema controlado. Quando o sistema possui
plos instveis, os zeros de transmisso do controlador LQG/LTR correspondentes a esses
plos so posicionados simetricamente em relao ao eixo imaginrio. Ao fechar-se a malha
do sistema os plos instveis so atrados pelos seus zeros de transmisso respectivos, no
semi-plano esquerdo (estvel). Ocorre que ao serem atrados, os plos instveis apenas se
aproximam dos referidos zeros de transmisso, mas o cancelamento perfeito dos polos no
acontece. Por isso tudo, os plos instveis do sistema so estabilizados, mas ficam situados
em posies pouco amortecidas.
-
26
Para superar a dificuldade apresentada, uma sada estabilizar previamente o
sistema instvel a ser controlado, antes de se projetar o controlador LQG definitivo. Para a
realizao dessa estabilizao prvia uma boa opo o uso de um compensador dinmico,
j que este tipo de controlador capaz de reposicionar arbitrariamente os plos do sistema.
Os compensadores dinmicos podem ser usados para estabilizar e/ou controlar sem
maiores dificuldades sistemas SISO e MIMO, indistintamente.
3.1 Determinao da Ordem do Compensador Dinmico
Considere o sistema linear MIMO representado por
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
(3.1)
onde o vetor de estados do sistema, o vetor de sada e o vetor
de entrada, e cuja matriz de transferncia dada por
BAsICsG 1)( . (3.2)
A ordem mnima de um compensador dinmico capaz de reposicionar arbitraria-
mente os plos desse sistema linear dada pela seguinte relao [29]
1,min occdnnn , (3.3)
onde e so respectivamente os ndices de controlabilidade e de observabilidade do
sistema.
O ndice de controlabilidade o menor nmero inteiro que satisfaz a relao
nBAABBrank cn 1 (3.4)
enquanto que o ndice de observabilidade o menor nmero inteiro que satisfaz
n
CA
CA
C
rank
on
1
. (3.5)
-
27
Com a incluso do compensador dinmico, a ordem do sistema controlado torna-se
igual a
cdCDGnnn
. (3.6)
3.2 Alocao de Plos
O problema referente alocao de plos pode ser tratado de maneiras diferentes
dependendo do objetivo de cada projeto. Nesta dissertao, a meta principal estabilizar o
sistema antes de se comear a projetar um controlador LQG/LTR. Sendo assim, os nicos
modos que devem sofrer alocaes so aqueles cujos posicionamentos causam instabilidade
ao sistema, ou seja, os plos posicionados direita do eixo imaginrio do plano- . Desta
maneira, considerando-se um sistema de ordem com plos , , a determinao
do novo posicionamento de plos desejados para o sistema definida por
inovoi
, (3.7)
caso seja um plo estvel, e
iinovoi Re2 , (3.8)
caso seja um plo instvel.
A Equao (3.8) mostra que a alocao feita mudando-se somente a parte real de
cada modo instvel, tornando-o negativo, porm mesma distncia do eixo imaginrio. Este
esforo o suficiente para tornar o sistema estvel, e dessa maneira melhorar o
desempenho do controlador LQG/LTR a ser projetado em uma etapa posterior.
Vale ressaltar, porm, que a ordem do sistema aumenta de acordo com a ordem do
compensador dinmico projetado, ou seja, o sistema compensado possui um nmero de
novos plos. Estes plos devem ser escolhidos arbitrariamente durante o projeto de modo
que sejam modos estveis e rpidos, ou seja, bem distantes do eixo imaginrio.
O polinmio caracterstico do modelo descrito pelas Equaes (3.1)-(3.2) em malha
aberta dado por
01
1
1)( asasasAsIsa n
n
n
. (3.9)
-
28
Pode-se afirmar que a principal funo de um compensador dinmico atuar de
modo a alterar o polinmio caracterstico do sistema, adaptando-o com o intuito de obter os
novos plos desejados, ou seja, ser criado um novo polinmio caracterstico que possua as
razes estipuladas nas Equaes (3.7)-(3.8), alm dos plos arbitrados para o compensador.
Esse polinmio caracterstico desejado obtido atravs da seguinte equao
)()()()(21 cdnn
ssssp
. (3.10)
3.3 Descrio Matemtica dos Compensadores Dinmicos
A representao em espao de estados de um compensador dinmico definida
pelas equaes
)()()(
)()()(
tyJtzHtv
tyGtzFtz
(3.11)
e sua matriz de transferncia dada por
JGFsIHsGcd
1)()( . (3.12)
Fica ntido pela Equao (3.11) que o sinal de sada do sistema atua como sinal de
entrada do pr-estabilizador. A Figura 3.1 apresenta a configurao de um compensador
dinmico conectado a um sistema MIMO.
Figura 3.1 - Diagrama de blocos de um sistema com um pr-compensador dinmico.
B
Compensador Dinmico
-
29
A determinao das matrizes , , e com as quais o sistema com compensador
dinmico possui um polinmio caracterstico como o da Equao (3.10) feita atravs de
uma srie de equaes matriciais que so descritas em [29], e cuja formulao computa-
cional pode ser encontrada em [30].
Aps a incluso do compensador dinmico no sistema , a representao em
espao de estados do sistema pr-estabilizado assume a seguinte forma:
z
xCy
uB
z
x
FGC
BHBJCA
z
x
cd
cd
pxn
xmn
0
0
. (3.13)
3.4 Concluses
Este captulo apresentou resumidamente uma parte da teoria em que se baseiam os
projetos de compensadores dinmicos, dispositivos muito usados quando o sistema precisa
ser estabilizado por qualquer razo.
Nesta dissertao abordado o fato do controlador LQG/LTR ter dificuldade para
garantir o bom desempenho em sistema que possuam modos instveis muito prximos do
eixo imaginrio, logo a pr-estabilizao destes plos se faz necessria.
Foi mostrado como determinada a ordem do compensador e tambm o polinmio
caracterstico que o sistema compensado deve ter. importante destacar o fato do
compensador dinmico ter como sinal de entrada a prpria sada do sistema, o que torna a
sua implementao mais fcil.
Destaca-se tambm que a ordem de um compensador dinmico costuma ser
significativamente menor que a de controladores que usam realimentao de estados
estimados, que tambm poderiam realizar a alocao de plos. Como o objetivo principal
deste trabalho centrado na reduo de ordem do sistema controlado, a escolha de se
utilizar um compensador para a pr-estabilizao do sistema a ser controlado natural.
-
30
Captulo 4: Aplicao do Projeto de Controlador Robusto LQG/LTR para um
Sistema Multivarivel com Reduo de Ordem de Modelo com
Variveis Desacopladas
O projeto de controladores pelo mtodo LQG/LTR constitui uma das tcnicas mais
consagradas na literatura de controle robusto porque ela possui excelentes caractersticas,
tais como, por exemplo, o fato de ser aplicvel a sistemas dos tipos SISO e MIMO, de
garantir a estabilidade do sistema controlado em malha fechada, e de proporcionar ao
sistema controlado grandes margens de ganho e de fase. Na realidade, as nicas limitaes
de ordem geral impostas por esta metodologia so as de que o sistema a ser controlado seja
linear e de fase mnima.
No obstante essas boas caractersticas, medida que se trabalha com este tipo de
controlador, aplicado em diferentes tipos de sistemas, vez por outra surgem algumas
dificuldades. Uma delas, que foi explicitada no captulo anterior, diz respeito s oscilaes
transitrias que plos originalmente instveis do sistema controlado em malha aberta
podem causar nos sinais de sada do sistema, mesmo aps eles serem estabilizados em
malha fechada com a presena do controlador LQG/LTR. Essas oscilaes podem ser
eliminadas mediante a estabilizao prvia do sistema instvel a ser controlado, que pode
ser feita atravs de tcnicas de posicionamento de plos mediante o uso de compensadores
dinmicos.
Esta dissertao, contudo, visa estabelecer uma soluo para outro obstculo que
pode atrapalhar e at mesmo inviabilizar o projeto do tipo LQG/LTR: a ordem que este
controlador pode alcanar. Por ser basicamente uma combinao das tcnicas de um
regulador LQR e um Filtro de Kalman, este controlador costuma ter, a priori, ordem igual
do sistema a ser controlado, ou seja, para controlar um sistema de 10 ordem, o regulador
LQG/LTR tambm ser de 10 ordem. Se considerarmos, porm, que em projetos de
controladores robustos normalmente so introduzidos integradores ao sistema, e outros
dispositivos para auxiliar no controle, como eventualmente um compensador dinmico, pr-
estabilizador, ento a ordem do controlador e, consequentemente, do sistema controlado
final torna-se bastante elevada.
-
31
Diante de tal problema, bastante imediato tentar obter um modelo de ordem
reduzida do modelo do sistema para o projeto do controlador, porm necessrio ter
cuidado com a forma escolhida de reduo de modelo. Em [14] so mostrados vrios tipos
diferentes de tcnicas que podem ser utilizadas com tal fim. Se for escolhida uma tcnica
qualquer, ela pode mostrar-se bastante complexa dependendo do sistema ao qual ela
aplicada, podendo ser mesmo ineficaz.
A reduo do modelo feita principalmente com o objetivo de simplificar projetos e
as exigncias quanto s caractersticas que o sistema de ordem reduzida deve ter pode
variar de um projeto para outro, mas em geral deseja-se que os ganhos do sistema reduzido
sejam aproximadamente iguais ao modelo original, principalmente em baixas frequncias,
onde esses ganhos devem ser grandes para manter a robustez do sistema.
Este captulo descreve o projeto de um controlador robusto do tipo LQG/LTR para um
sistema MIMO, fazendo uso de uma tcnica de reduo da ordem de modelos de sistema. A
eficcia desse mtodo de reduo ser analisada atravs da observao do desempenho do
sistema controlado mediante excitao e tambm fazendo comparaes com o mesmo
projeto feito na forma padro, com o sistema original sendo utilizado.
4.1 Descrio do Sistema a Ser Controlado
Basicamente as tcnicas de reduo de ordem de modelos procuram desprezar o
efeito que as variveis de estados associadas a modos no-dominantes causam no resto do
sistema. Esta dissertao prope uma tcnica com a mesma proposta, mas que
implementada de forma bastante simples, sendo aplicvel somente a uma classe especfica
de sistemas MIMO.
A classe de sistema qual a tcnica mencionada pode ser aplicada tem que possuir as
seguintes caractersticas:
O sistema deve possuir variveis de estado que no influenciem diretamente nas
sadas do sistema;
Estas variveis no devem sofrer influncia de nenhuma das outras variveis do
sistema ou entre si, sendo que a derivada de qualquer uma delas depende
somente da prpria varivel associada;
-
32
As variveis de estado com as caractersticas citadas anteriormente devem ser
associadas a plos estveis no-dominantes do sistema, caso esses plos sejam
instveis ou dominantes, a reduo atravs do mtodo que ser apresentado
provavelmente se mostrar ineficaz.
Se o modelo analisado possuir todas as caractersticas acima, ento as variveis
mencionadas, as quais podem ser ditas como desacopladas do restante do sistema, podero
ser desprezados para efeito de projeto. Ou seja, o nmero de variveis desacopladas
determinar a extenso da reduo do modelo utilizando o mtodo proposto neste texto.
O sistema de teste utilizado nesse projeto pode ser encontrado em [22] e descreve o
comportamento de um avio do tipo Canard quanto ao seu ngulo de ataque, definido como
o ngulo entre o eixo do avio e a direo de seu movimento. Este sistema representado
atravs da equao
)()(
)()()(
txCty
tuBtxAtx
ppp
ppppp
(4.1)
e sua matriz de transferncia dada por
pppp
BAsICsG1
)(
(4.2)
sendo a tripla de matrizes que representa este sistema mostradas a seguir:
0000.3000000
00000.300000
0000000.100
3960.226040.310009.06316.27200.110123.0
0050.01708.00007.09831.08997.10001.0
7626.02509.30900.328970.186170.360226.0
pA , (4.3a)
300
030
00
00
00
00
pB
e, (4.3b)
001000
000001pC . (4.3c)
-
33
Observa-se que o sistema considerado de 6 ordem e possui duas entradas e duas
sadas. Os ganhos principais deste sistema so mostrados na Figura 4.1. Numa rpida anlise
observando-se a configurao da Equao (4.1) e as matrizes da Equao (4.3), pode-se
afirmar que o vetor de estados do sistema possui duas variveis ( e ) que no sofrem
interferncias das outras variveis do sistema, e que elas no influenciam diretamente as
sadas do sistema. Seus efeitos so apenas indiretos, atravs das outras variveis do sistema.
O sistema possui apenas um zero de transmisso, em , e portanto ele
de fase mnima. J os plos deste sistema so os seguintes
30
2484.06899.0
6757.5
2580.0
6,5
4,3
2
1
j . (4.4)
Figura 4.1: Ganhos principais do sistema .
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Frequencia angular (rad/s)
dB
Ganhos Principais de Gp(s)
-
34
Observa-se ento que, de fato, as variveis desacopladas, e , esto associadas a
plos estveis no-dominantes posicionadas em . Por tudo isso, o sistema atende as
caractersticas requeridas para que a reduo do seu modelo seja feita de uma forma direta.
Vale destacar ainda a presena de dois modos instveis, e , muito prximos do
eixo imaginrio, o que compele ao projeto de um pr-compensador estabilizador, pelos
motivos discutidos no captulo anterior.
Um outro sistema, com caractersticas bastante parecidas com o analisado neste
projeto, pode ser encontrado em [23] onde o modelo descreve o comportamento de avies
do tipo F-15.
4.2 Obteno do Modelo Reduzido
O sistema descrito nas Equaes (4.1) (4.3) satisfaz as caractersticas procuradas
para a aplicao do mtodo de reduo de ordem de sistema apresentado a seguir.
Primeiramente, as matrizes que representam o modelo sero particionadas de modo
a isolar as variveis desacopladas deste sistema, como mostrado abaixo:
d
d
xp
p
x
d
d
xd
d
x
x
Cy
u
Ix
x
I
AA
x
x
221
2
24
242
1211
0
30
0
300
. (4.5)
Desse modo, a tripla de matrizes da Equao (4.3) dever ser dividida conforme
indicado a seguir:
0000.3000000
00000.300000
0000000.100
3960.226040.310009.06316.27200.110123.0
0050.01708.00007.09831.08997.10001.0
7626.02509.30900.328970.186170.360226.0
pA , (4.6a)
-
35
300
030
00
00
00
00
pB
e, (4.6b)
001000
000001pC . (4.6c)
Na Equao (4.5), as variveis denominadas por e sua respectiva derivada esto
associadas s variveis desacopladas do restante do sistema, assim sendo, a sada no
depende de . Pode-se tambm fazer a seguinte relao.
pdduIxIx 22 3030 . (4.7)
Como est associada a modos no-dominantes e que, consequentemente, atuam
de modo rpido, esta derivada pode ser considerada nula
0dx ,
(4.8)
ou seja,
pdux ,
(4.9)
e ento o diagrama de blocos que representa o sistema pode ser redesenhado de acordo
com a Figura 4.2. As variveis associadas aos modos mais rpidos esto destacadas neste
diagrama, de modo a revelar que, ao ser feita a aproximao indicada na Equao (4.9),
estas variveis podero ser desprezadas.
Destaca-se que o bloco que representa as variveis a serem desprezadas no modelo
de ordem reduzida fica na entrada do restante do sistema. Esta particularidade determi-
nante no posicionamento das incertezas multiplicativas do modelo de ordem reduzida a ser
obtido.
Figura 4.2: Diagrama de blocos de com o destaque das variveis
do restante do sistema.
-
36
Percebe-se pelas matrizes da Equao (4.6) que, a partir do momento que o bloco
referente as variveis desacopladas for desprezado, o modelo reduzido ser de 4
ordem com a seguinte representao
pp
ppp
xy
uxx
1000
0001
00
3960.226040.31
0050.01708.0
7626.02509.3
00000.100
0009.06316.27200.110123.0
0007.09831.08997.10001.0
0900.328970.186170.362226.0
(4.10)
cuja matriz de transferncia associada dada por
pppp BAsICsG1)()( , (4.11)
onde a tripla de matrizes , e so iguais a , e , respectivamente.
Figura 4.3: Comparao dos ganhos do sistema original aos do sistema reduzido.
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Frequencia angular (rad/s)
dB
Ganhos Principais: Gp(s) X G
r(s)
Ganhos Principais de Gp(s)
Ganhos Principais de Gr(s)
-
37
A Figura 4.3 apresenta a comparao dos ganhos do sistema original com os ganhos
principais do sistema reduzido. Observa-se que a aproximao bastante precisa em baixas
frequncias, faixa de maior interesse na maioria de projetos de controle. A preciso comea
a ser perdida a partir da freqncia de .
4.3 Pr-Estabilizao do Sistema Reduzido
Aps a reduo do modelo do sistema, os dois plos localizados em so
desconsiderados, sobrando ento quatro modos. Contudo, j foi percebida a presena de
dois modos instveis em , muito prximos do eixo imaginrio do
plano- , o que compele o projeto de um compensador dinmico para estabilizar o sistema
com a realocao destes modos instveis. A Figura 4.4 explicita graficamente a situao dos
modos do sistema reduzido.
Figura 4.4: Plos de .
No Captulo 3 desta dissertao foi feito um resumo de como proceder para o projeto
de um compensador dinmico. Com o auxlio do software MATLAB, foi feito o clculo dos
ndices de controlabilidade e observabilidade do sistema reduzido, tendo-se obtido
. Desse modo, de acordo com a Equao (3.3), a ordem do compensador
0
0
Plos do Sistema Reduzido
Re
Im
-
38
dinmico para pr-estabilizar a planta . Destaque-se que, caso o compensador
fosse projetado com o modelo original do sistema , ele seria de 2 ordem.
Como o compensador de 1 ordem, logo ele contribui com um novo plo para o
sistema. Este novo modo arbitrrio, e neste trabalho foi posicionado em , de
maneira que ele no seja dominante. Considerando-se que e devem ser mantidos em
suas posies originais, e que os modos instveis devem ser substitudos por
, ento o polinmio caracterstico do sistema compensado igual a
2981.64717.427219.866962.683134.15)( 2345 ssssssp . (4.12)
O compensador dinmico que estabiliza o sistema com este polinmio caracterstico
desejado representado pelas seguintes equaes
yzv
yzz
01253.290
06304.204
3076.1
9293.010
011610.47
4
. (4.13)
De acordo com a Equao (3.13), o sistema reduzido compensado representado por
z
xCy
uB
z
x
FCG
HBCJBA
z
x
p
xc
c
x
pp
12
21
0
0
, (4.14)
podendo ser reescrito como
ccc
ccccc
xCy
uBxAx
(4.15)
cuja matriz de transferncia correspondente dada por
ccccBAsICsG 1)()( . (4.16)
A Figura 4.5 mostra o posicionamento dos novos modos do sistema, indicando onde
houve mudanas em comparao com a Figura 4.4. Destaca-se principalmente o fato do
objetivo principal ter sido alcanado: alocar os modos instveis para uma posio simtrica
na regio estvel do plano- .
-
39
Figura 4.5: Alocao de modos instveis e a criao de um novo em .
Incluindo-se o compensador de 1 ordem projetado no sistema original, de 6 ordem,
obtm-se a seguinte realizao
d
c
xcc
c
x
d
c
x
cc
d
c
x
xCy
uIx
x
I
BA
x
x
22
2
25
252
0
30
0
300
, (4.17)
que pode ser compactada na seguinte forma
ccc
ccccc
xCy
uBxAx
(4.18)
cuja matriz de transferncia associada dada por
ccccBAsICsG 1)()( . (4.19)
0
0
Re
Im
Plos do Sistema Reduzido com Compensador
-
40
A Figura 4.6 apresenta os ganhos principais dos sistemas original e reduzido aps a
introduo do pr-compensador dinmico estabilizador de 1 ordem que foi projetado.
Como j observado na comparao sem a pr-estabilizao, a aproximao por um modelo
reduzido no causa diferenas nas baixas frequncias, sendo que apenas por volta de
essa impreciso passa a ser significativa na simulao realizada.
4.4 Projeto do Controlador LQG/LTR de Ordem Reduzida
A partir do momento em que o modelo do sistema a ser controlado est reduzido e
estabilizado, o projeto de controlador robusto LQG/LTR pode ser iniciado. Existem dois
mtodos diferentes para a realizao deste projeto, e a escolha de qual deles deve-se utilizar
depende somente da localizao das incertezas multiplicativas do modelo do sistema.
Em geral a localizao dessas incertezas pode ser feita de modo arbitrrio, seguindo-
se critrios de convenincia. Porm, no caso deste projeto, no qual as incertezas so
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Frequencia angular (rad/s)
dB
Ganhos Principais: Gc(s) X G
cr(s)
Ganhos Principais de Gc(s)
Ganhos Principais de Gcr
(s)
Figura 4.6: Comparao dos ganhos aps a implementao do compensador dinmico de 1 ordem ao sistema original e ao sistema reduzido.
-
41
decorrentes da desconsiderao de algumas variveis do sistema, deve-se levar em conta
que os elementos desprezados durante a obteno do modelo de ordem reduzida
encontram-se na entrada da planta, conforme mostrado na Figura 4.2. Por este motivo, as
incertezas do sistema devem ser necessariamente representadas na entrada de , e elas
so descritas pela expresso que representa a dinmica ignorada durante a reduo do
modelo
230
)( Is
ssL
. (4.20)
O ganho da funo mostrado na Figura 4.7. Percebe-se que essas incertezas
so mais significativas nas regies de baixas frequncias, e sendo assim elas podero
influenciar fortemente no seu desempenho.
Uma vez determinada a localizao das incertezas do modelo do sistema na entrada
da planta, deve-se utilizar a verso do mtodo LQG/LTR que comea com o projeto de um
regulador LQR, e em seguida feito o projeto de um Filtro de Kalman.
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequencia angular (rad/s)
dB
Ganhos da Incerteza do Sistema
Figura 4.7: Ganhos das Incertezas do Modelo.
-
42
4.4.1. Adio de Integradores na Sada da Planta
O projeto de um controlador robusto do tipo LQG/LTR tem como primeiro passo, em
geral, a adio de integradores ao sistema. Esta prtica apresenta como principais vantagens
a garantia de altos ganhos em baixas frequncias e baixos ganhos em altas frequncias,
auxiliando no desempenho e na robustez do sistema controlado. Alm disso, a adio de
integradores possibilita a equalizao dos ganhos do sistema, diminuindo assim o
acoplamento existente entre os seus diversos canais de entrada-sada.
Devido opo de posicionamento das incertezas multiplicativas do modelo de
ordem reduzida do sistema na entrada da planta, os integradores devem ser includos na sua
sada. O diagrama de blocos da Figura 4.8 mostra o esquema desta tal configurao.
O sinal de entrada dos integradores, conforme mostrado na Figura 4.8, o sinal de
sada da planta , gerando o sinal , que basicamente a integral do sinal de sada do
sistema.
)()( 2 sYs
IsY
ii
. (4.21)
Considerando descrito na Equao (4.18) e a relao acima, o sistema com
integradores representado pela seguinte realizao em espao de estados
Figura 4.8: Diagrama de blocos aps a adio de integradores na sada do sistema e as incertezas multiplicativas na entrada.
-
43
i
c
xi
i
x
c
i
c
xc
xc
i
c
y
xIy
uB
y
x
C
A
y
x
252
2222
25
0
00
0
(4.22)
cujas matrizes so denotadas por , e . A sua matriz de transferncia correspondente
obtida atravs da relao
iiiiBAsICsG 1)()( . (4.23)
Os ganhos principais do sistema, aps a adio dos integradores nas suas sadas, so
apresentados na Figura 4.9.
O grfico acima revela que a introduo de dois integradores s sadas da planta
realmente acarretou um significante aumento dos ganhos principais do sistema nas baixas
frequncias e uma considervel diminuio nas altas frequncias. Nota-se tambm uma
menor distncia entre os ganhos principais, superior e inferior, do sistema, mesmo que de
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Frequencia angular (rad/s)
dB
Diagrama de Bode do Sistema com adiao de dois integradores: Gcr
(s)*I2/s
Figura 4.9: Ganhos principais de .
-
44
um modo ainda no satisfatrio para o desacoplamento total do sistema, que justamente
a prxima etapa da realizao do projeto.
4.4.2. Proje