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LEONARDO CASETTA
CONTRIBUIÇÕES À MECÂNICA DOS SISTEMAS DE
MASSA VARIÁVEL
São Paulo
2008
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LEONARDO CASETTA
CONTRIBUIÇÕES À MECÂNICA DOS SISTEMAS DE
MASSA VARIÁVEL
Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Engenharia
São Paulo
2008
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LEONARDO CASETTA
CONTRIBUIÇÕES À MECÂNICA DOS SISTEMAS DE
MASSA VARIÁVEL
Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Área de concentração: Engenharia Mecânica Orientador: Prof. Dr. Celso Pupo Pesce
São Paulo
2008
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DEDICATÓRIA
À Ana, minha esposa, e à Clara, minha filha, que sempre me
trouxeram muita felicidade e paz.
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AGRADECIMENTOS
À FAPESP, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, pelo suporte
financeiro, através da bolsa de doutoramento, processo número 04/04611-5.
Menção especial de agradecimento ao assessor ad-hoc da FAPESP, pelo incentivo e
compreensão ao longo do desenvolvimento da pesquisa.
Aos Professores Benaroya, H., Mikhailov, G. K. e Šíma, V., por terem gentilmente
disponibilizado algumas de suas referências; e Irschik, H., Korobkin, A. A. e Miloh, T., por
terem incentivado a pesquisa sobre o tema aqui abordado.
À banca examinadora, pelo tempo despendido com a leitura dessa tese, de onde então
culminaram valiosas críticas e sugestões não apenas para esse trabalho, mas também para
futuros.
Em especial, ao meu orientador, o Prof. Dr. Celso Pupo Pesce. Durante esses quase cinco
anos de pesquisa, o Prof. Dr. Celso Pupo Pesce foi quem, acreditando na possibilidade de que
eu pudesse realizar um bom trabalho, envolveu-se em cada uma de nossas discussões. E foi
dessa forma que essa tese foi sendo construída, ou seja, através dessa nossa relação de
confiança, respeito e carinho.
Aos meus amigos (em ordem alfabética), Ana Dienn Coelho Rocha, Edileuza Salvani da
Silva, Edna Moratto Rodrigues de Lima, Helton Henrique dos Santos Bezerra, Janice
Rechulski, Marcos Alves Rabelo, Maria Regina Castro, Marilda Nagamini, Patricia Aguiar
Fidelis, Telma Ramos Trigo e Wilson Camargo da Silva, que me ajudaram na superação de
mais esse obstáculo. Em especial, agradeço ao meu amigo Luis Fernando Sper Cavalli, que
sempre será para mim um exemplo de uma pessoa tenaz, corajosa, lutadora e ao mesmo
tempo serena.
Por fim, deixo meus mais sinceros agradecimentos à minha família, em especial aos meus
pais e irmãos, cujo apoio foi indispensável para a conclusão desse trabalho.
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PREFÁCIO
Antes do leitor iniciar a apreciação dessa tese, o autor gostaria de comentar como se deu
seu desenvolvimento.
O primeiro contato que o autor dessa tese teve com o tema ‘teoria de sistemas de massa
variável’ ocorreu durante seu programa de mestrado, realizado aqui nessa mesma Escola. À
época, o autor estudava o chamado ‘problema de impacto hidrodinâmico’, problema que é de
grande relevância para o processo de avaliação da segurança de estruturas marítimas, e que é
usualmente modelado a partir de um volume de controle; portanto, como um sistema de massa
variável. Sob o ponto de vista teórico, esse problema apresenta um aspecto bastante
interessante. Quando o campo de pressão é integrado sob a superfície molhada do corpo, o
resultado obtido, i.e. a força de impacto, não corresponde àquela expressão que advém da
aplicação da equação de Lagrange clássica.
Ocorre que em um dos primeiros trabalhos sobre a aplicação da equação de Lagrange a
problemas de hidrodinâmica, que é aquele devido à Lamb (1932, art. 136), mostra-se que,
quando um corpo está em contato com um líquido, as forças hidrodinâmicas sob as quais o
mesmo fica submetido podem ser obtidas a partir da formulação Lagrangeana. No entanto,
para o problema de impacto hidrodinâmico, essa técnica ‘falhava’1 e um ‘aparente’ paradoxo
assim se estabelecia.
Foi então que em 2003, o orientador desse trabalho, então orientador do programa de
mestrado do autor, mostrou que, em verdade, não existe paradoxo se a chamada ‘equação de
Lagrange estendida’ (por ele demonstrada em PESCE, 2003) fosse aplicada ao problema.
Dentro da dinâmica de partículas, a equação de Lagrange estendida é aquela que deve ser
utilizada no caso em que a massa das partículas depende explicitamente das coordenadas e
velocidades generalizadas do sistema. Essa elegante solução para o aparente paradoxo foi o
quê, de início, motivou o autor dessa tese a prosseguir com a pesquisa sobre a teoria de
sistemas de massa variável; ou seja, a buscar respostas para perguntas como: por que razão a
______________ 1 Na verdade, como será discutido no Capítulo 5, essa técnica é válida para esse problema, desde que o mesmo
seja reinterpretado de modo consistente com a teoria de Lamb (1932, art. 136).
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equação de Lagrange estendida é adequada para o problema de impacto hidrodinâmico, e, a
equação de Lagrange demonstrada por Lamb (1932, art. 136), então considerada como um
resultado clássico, não?
O autor dessa tese então começou a levantar uma série de referências bibliográficas sobre
a teoria de sistemas de massa variável, procurando nelas a interpretação física adequada para
cada um dos termos envolvidos nas diferentes formas da equação de Lagrange. Mas ocorreu
que, em meio a essa pesquisa, uma nova questão surgiu: a aplicação da segunda lei de Newton
a sistemas de massa variável. As novas referências também apontavam para o fato de que
existiam muitos equívocos de interpretação na aplicação da segunda lei de Newton aos
sistemas de massa variável, se os termos nela envolvidos não fossem interpretados
adequadamente.
Nesse ínterim, o autor tomou conhecimento do importantíssimo trabalho de revisão de
Irschik e Holl (2004), que trata da teoria de sistemas de massa variável de um modo geral.
Além disso, em contato por correio eletrônico, o Prof. Dr. Mikhailov, atenciosamente, enviou
um de seus artigos sobre a história da mecânica de sistemas de massa variável, onde nele é
mostrada a evolução da concepção da segunda lei de Newton para esses sistemas. Assim, das
referências já anteriormente levantadas, do trabalho de Irschik e Holl (2004) e aquele de
Mikhailov (1975), o autor pôde construir uma espinha dorsal para a interpretação dos
principais fundamentos envolvidos na mecânica de sistemas de massa variável.
No entanto, questões sobre a maneira adequada de se empregar a equação de Lagrange a
sistemas de massa variável ainda não havia sido respondidas, e novas pesquisas, portanto,
ainda eram necessárias. O autor então tomou conhecimento de um outro trabalho de Irschik e
Holl (2002), onde a equação de Lagrange para um volume de controle é demonstrada. A partir
desse trabalho, elementos preciosos sobre essas questões foram extraídos. Mas, foi revisitando
o trabalho de Mikhailov (1975) que o aspecto mais curioso e interessante dessa tese surgiu.
Um dos primeiros problemas a serem interpretados como um problema envolvendo um
sistema de massa variável é o chamado ‘problema da corrente em queda’. O curioso é que,
assim como o problema de impacto hidrodinâmico, o problema da corrente em queda também
envolvia aparentes paradoxos no sentido da aplicação da equação de Lagrange.
Uma nova série de referências bibliográficas sobre esse primeiro problema foi então
levantada, e entre elas estava a de Cayley (1857), que é um dos primeiros trabalhos sobre a
aplicação da equação de Lagrange a sistemas de massa variável. E foi justamente a partir
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dessa referência que os aparentes paradoxos envolvendo o problema da corrente em queda e o
problema de impacto hidrodinâmico puderam, pelo menos sob o ponto de vista do autor dessa
tese, ser interpretados e resolvidos de uma mesma e única maneira.
O leitor dessa tese assim a encontrará dividida em duas partes. A primeira, que
corresponde à parte teórica, encerra questões de interpretação do processo de variação de
massa e dos termos envolvidos, seja na segunda lei de Newton, seja na equação de Lagrange.
Na segunda parte, o problema da corrente em queda e o de impacto hidrodinâmico são
abordados como exemplos de aplicação daquilo que foi exposto na primeira parte. Vale aqui
também adiantar que, em razão dos diferentes assuntos abordados, i.e. o problema da corrente
em queda, o problema de impacto hidrodinâmico, a história da mecânica de sistemas de massa
variável, etc., a revisão bibliográfica dessa tese encontra-se apresentada ao longo dos
Capítulos, conforme o tópico em pauta.
Cumpre mencionar, por fim, recentíssima e relevante aplicação da teoria da dinâmica de
sistemas de massa variável: o estudo do movimento de colapso das duas torres gêmeas do
World Trade Center, tragicamente ocorrido em 11 de setembro de 2001. O artigo de Bažant e
Verdure (2007), por exemplo, aborda o problema sob a ótica da mecânica de sistemas de
massa variável. No entanto, apresentam dúbias equações sem um efetivo aprofundamento das
questões teóricas aqui abordadas, acomodando-se ao aparente paradoxo, mais uma vez
manifesto.
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RESUMO
Desde 1814, quando então se deram seus primeiros estudos, a mecânica de sistemas de massa
variável tem se constituído como um ramo particular dentro da mecânica clássica. Suas
aplicações encontram-se espalhadas por diversas áreas do conhecimento e vão desde a
engenharia até a medicina, por exemplo. No entanto, apesar dessas aplicações de sucesso,
ainda hoje são encontradas na literatura discussões acerca dos fundamentos da mecânica de
sistemas de massa variável. Nesse cenário, figuram os chamados ‘aparentes paradoxos’ que
envolvem diferentes equações de movimento para um mesmo sistema de massa variável. É o
que pode ser encontrado, por exemplo, com relação ao ‘problema de Wagner’, no âmbito do
estudo do impacto de corpos sólidos contra superfícies de líquidos, e ao ‘problema da corrente
em queda’. Nessa tese, questões como essas serão abordadas. Mas o cerne do escopo do
presente trabalho é a apresentação de uma discussão de caráter mais geral e interpretativa
sobre a teoria e aplicação da mecânica de sistemas de massa variável, mantendo-se como foco
principal a contribuição para um melhor entendimento desse importante ramo da mecânica.
Para tal, resultados teóricos originais serão apresentados, e discussões e aplicações sobre os
mesmos serão feitas. Inicialmente, uma discussão sobre os primeiros trabalhos que
fundamentam a dinâmica de uma partícula de massa variável é feita. Nesse contexto,
interpretações originais do autor dessa tese são apontadas. Em seguida, a aplicação da
equação de Lagrange a sistemas de massa variável é abordada. Nesse cenário, esse autor
apresenta a chamada ‘equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia
com as coordenadas e velocidades generalizadas’. Esse também é um dos resultados originais
dessa tese. Por fim, é apresentada a extensão do princípio variacional para um líquido para um
volume de controle, que também é um resultado original desse trabalho. Dois problemas
clássicos dentro da teoria de sistemas de massa variável são então tratados, i.e. o problema da
corrente em queda e o problema de Wagner. Trata-se de dois problemas ‘aparentemente
paradoxais’. A resolução desses ‘aparentes paradoxos’ é abordada, o que também se constitui
em um dos resultados originais dessa tese. Uma breve discussão sobre o problema do colapso
das torres gêmeas do World Trade Center à luz da mecânica de sistemas de massa variável é
também feita.
Palavras-chave: Mecânica teórica. Sistemas de massa variável. Abordagem Lagrangeana.
Problema de Wagner. Problema de corrente em queda. Colapso das torres gêmeas do World
Trade Center. ‘Aparentes paradoxos’.
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ABSTRACT
Since 1814, when the first researches on the topic were carried out, variable mass system
mechanics has become a particular branch within classical mechanics. Applied problems
involving variable mass systems are sparsely distributed over a wide range of different areas
of knowledge, and go from engineering to medicine, for example. However, despite these
successful applications, even today one can find in the specialized literature discussions on
the fundamentals of the variable mass system mechanics. In this scenario, ‘apparent
paradoxes’, which are based on different equations of motion for a same variable mass
system, figure out. In this sense, the Wagner’s problem, in the context of the study of the
impact of solid bodies into liquid surfaces, and the falling chain problem can be cited as
didactic examples. In this thesis, topics like this one will be treated. However, the main scope
of this work is to present a more general and interpretative discussion on both the theory and
application of the mechanics of variable mass systems, but keeping the focus on contributions
that enable a better understanding of such an important branch of mechanics. For that, original
theoretical results will be presented, as also discussions and applications of them. In the
beginning, a discussion on the first fundamental works about the dynamics of a variable mass
particle is done. In such a context, original interpretations of this author are pointed out. Then,
the application of Lagrange equations on variable mass systems is discussed. In this scenario,
this author shows the so-called ‘Lagrange equation for a control volume where mass varies
with generalized coordinates and velocities’. This is also an original result of this thesis. By
the end, an extension of a variational principle to a control volume is shown, also an original
result of this work. Two classical problems within the theory of variable mass systems are
then treated, i.e. the falling chain problem and the Wagner’s problems. Both are ‘apparently
paradoxical’ problems. The resolution of such ‘apparent paradoxes’ is addressed, what is also
an original result. Within the present context of the mechanics of variable mass systems, a
brief discussion on the problem of the collapse of the World Trade Center twin towers is also
done.
Keywords: Theoretical mechanics. Variable mass systems. Lagrangean approach. Wagner’s
problem. Falling chain problem. Collapse of the World Trade Center twin towers. ‘Apparent
paradoxes’.
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LISTA DE FIGURAS
Descrição Pág.
Figura 2.1 - Agregação entre uma partícula de massa m e uma outra partícula de massa µd infinitesimal..... 10 Figura 2.2 - Agregação entre uma partícula de massa m e uma outra partícula de massa µd infinitesimal.
Caso em que, após o choque, a identidade da partícula µd é perdida. ............................................................... 13 Figura 2.3 - Interpretação de Tait e Steele (1856) para a dinâmica de uma partícula de massa variável........... 15 Figura 2.4 - Representação de fontes de ψ dentro do volume material V
~, e passagem de ψ através de V
~∂ . 18
Figura 2.5 - ‘Desaparecimento’ da partícula µd , que se encontra no exterior de V~
(no instante de tempo t ), e
‘surgimento’ dessa partícula no interior de V~
(no instante de tempo tt d+ ), quando então é imediatamente agregada pela partícula de massa m . A partícula ‘gerada’ não é interpretada como parte da partícula que a gera. ...................................................................................................................................................................... 22 Figura 2.6 - O mesmo que a Fig. 2.5. Porém, a partícula ‘gerada’ é interpretada como parte da partícula que a gera. ...................................................................................................................................................................... 22 Figura 2.7 - Partícula µd , que se encontra no exterior de V no instante de tempo t , cruza a fronteira V∂ , e
atinge o interior de V no instante de tempo tt d+ , quando então é imediatamente agregada à partícula de massa m . Ao ser capturada, a partícula µd não é interpretada como parte da outra partícula. ....................... 27 Figura 2.8 - O mesmo que a Fig. 2.7. No entanto, ao ser capturada, a partícula µd é interpretada como parte
da outra partícula.................................................................................................................................................. 27 Figura 3.1 – Ilustração de um sistema de massa variável com a posição. Uma caneta movendo-se ao longo de uma folha de papel. ............................................................................................................................................... 42 Figura 3.2 - Sistema de massa variável explicitamente com a posição. Um bloco movendo-se ao longo de uma superfície áspera. .................................................................................................................................................. 55 Figura 3.3 - Um reservatório de líquido que é aberto e que se encontra preso na extremidade de uma haste que gira. Sistema de massa variável explicitamente com a velocidade. ...................................................................... 61 Figura 3.4 - Movimento de um corpo não-deformável e totalmente submerso em meio líquido com uma superfície livre. Meio líquido na cor cinza, corpo na cor branca. ........................................................................ 76 Figura 4.1 - Problema de Buquoy bidimensional.................................................................................................. 85 Figura 4.2 - Problema de Buquoy unidimensional................................................................................................ 86 Figura 4.3 - Fluxo de quantidade de movimento vertical para a porção enrolada da corrente (problema de Buquoy para o caso em que 0<y& ). .................................................................................................................... 89 Figura 4.4 - Problema de Buquoy com 0=F e y*(0) = 6. Solução de Šima e Podolský (2005) (Eq. (4.6a) e aquela esperada a partir dos conceitos apresentados no Capítulo 2 (Eq. (4.7a)). ............................................... 90 Figura 4.5 - Problema de Cayley tridimensional. ................................................................................................. 91 Figura 4.6 - Problema de Cayley unidimensional................................................................................................. 91 Figura 4.7 - Problema de Cayley. Solução de Souza e Rodrigues (2004), Eq. (4.15a) e a de Cayley (1857), Eq. (4.11a). .................................................................................................................................................................. 94 Figura 4.8 - Instante de tempo imediatamente anterior ao abandono de um das extremidades fixas da corrente................................................................................................................................................................................ 95 Figura 4.9 - Instante de tempo imediatamente após o abandono de um das extremidades fixas da corrente....... 96 Figura 4.10 - Idealização usual do problema da corrente em U. ......................................................................... 97 Figura 4.11 - Esquematização dos três volumes de controle que compõe a corrente em U. ................................ 98 Figura 4.12 - Analogia entre o problema da corrente em U e o de um bloco (retângulo com listras) sendo
abaixado por meio de uma polia móvel. Note que jv yA &= , )(2
1 jiv += yB & e 0=Cv ............................... 100 Figura 4.13 - Problema da corrente em ‘U’. Solução dada pela Eq. (4.26a) e aquela onde se considera que a perna livre cai com aceleração constante e igual à da gravidade. ..................................................................... 101 Figura 4.14 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa antes de sua captura, nas possíveis maneiras de isso ocorrer. .................................................................................................................................... 115
12
Figura 4.15 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa após sua ejeção, nas possíveis maneiras de isso ocorrer. .................................................................................................................................... 115 Figura 4.16 - Superfície singular que ocorre dentro da corrente no problema de Buquoy. Definição dos volumes
V e V(
. ............................................................................................................................................................... 116 Figura 4.17 - Bola de neve que ao se movimentar captura um floco de neve. Definições dos volumes V e V
(.117
Figura 4.18 – Esquematização do movimento de colapso da torre do World Trade Center. ............................. 121 Figura 4.19 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 1 do World Trade Center. 2,0=K , 044,0−=Φ ; 1364,0)0(* =y . Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).
............................................................................................................................................................................. 126 Figura 4.20 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 2 do World Trade
Center. 2,0=K , 044,0−=Φ ; 2545,0)0(* =y . Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).
............................................................................................................................................................................. 126 Figura 5.1 - O primeiro ponto de contato entre o corpo e o líquido, i.e. em 0=t . Sistema de coordenadas Oxyz . .................................................................................................................................................................. 130 Figura 5.2 - Regiões características do escoamento para pequenos valores de ε . ........................................... 131 Figura 5.3 - O seio do líquido e a descrição da elevação da superfície livre pela função η ............................. 131
Figura 5.4 - Mapeamento do domínio líquido bV do problema de Wagner não-linear no domínio líquido 0
bV do
problema de Wagner linear. Note que 0FS não inclui os jatos e que a área do disco 0
BS rapidamente se expande.
............................................................................................................................................................................. 134 Figura 5.5 - Fluxo de líquido através da região da raiz do jato. ........................................................................ 138 Figura 5.6 – Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para o
caso 152 =RF e σ = 0,2 ( 35,0)/( ≅ρρ es ). .......................................................................................................... 142 Figura 5.7 - Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para o
caso 152 =RF e σ = 4,5 ( 89,7)/( ≅ρρes ). .......................................................................................................... 143 Figura A.1 – Relação entre as posições de uma mesma partícula, sendo essas tomadas com relação a diferentes referenciais inerciais.............................................................................................................................................164 Figura B.1 - Movimento e deformação de um volume material...........................................................................171 Figura B.2 - Movimento e deformação de um volume material com relação ao volume espacial que instantaneamente coincide com o mesmo.............................................................................................................172 Figura B.3 - Movimento e deformação de um volume de controle móvel e deformável.......................................174 Figura B.4 - Movimento e deformação do volume material que é composto pelas partículas fictícias...............176
Figura B.5 - Movimento e deformação de V~ , volume material formado pelas partículas reais, com relação a
V , volume material composto pelas partículas fictícias, que também se movimenta e deforma. A priori, esses volumes movem-se de modo diferente; mas são instantaneamente coincidentes.................................................177 Figura D.1 – Processo de ‘ejeção-captura’ de um elemento de massa entre dois subsistemas de massa variável. Caso em que existe um estágio intermediário entre a ejeção e a captura..................................................................................................................................................................185
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LISTA DE SÍMBOLOS
ALFABETO ROMANO
(Obs.: caracteres em negrito correspondem a vetores)
A : área através da qual ocorre fluxo de massa (Eq. (3.37))
a : raio do disco 0BS (Seção 5.3.1)
B : corpo (Apêndice B)
c : constante de amortecimento (Eq. (3.14)); temperatura constante do sistema (a menos do
sinal) (Eq. (3.135))
tDD /(.) : derivada temporal de (.) no sentido descrito nas páginas 19 e 20
(.)d : elemento diferencial de (.)
E : energia total do sistema (Eq. (2.48))
F : força no sentido geral
RF : parâmetro adimensional de velocidade de impacto (Eq. (5.33))
f : força por unidade de massa (Eq. (3.79))
g : aceleração da gravidade
H : altura inicial da torre (Fig. 4.18)
h : altura do bloco (Seção 3.2.1.1); altura da parte móvel não compactada (Fig. 4.18)
[.]i : fluxo de [.] (Fig. 2.4)
J : Jacobiano da transformação (Apêndice B)
K : fator de compactação de massa definido como cnc σσ / (Seção 4.6)
L : comprimento da meia-cuia (Seção 3.2.2.1); comprimento molhado característico do corpo
(Eq. (5.1)); Lagrangeana (Eq. (3.114))
l : largura do bloco (Seção 3.2.1.1); raio da meia-cuia (Seção 3.2.2.1); comprimento total da
corrente (Capítulo 4)
M : massa adicional (Eq. (5.16))
m : massa no sentido geral
N : força normal (Eq. (4.8))
n : versor normal
O : ponto fixo ao redor do qual gira a haste que segura a meia-cuia (Seção 3.2.2.1)
14
p : quantidade de movimento no sentido geral; pressão líquida (Eq. (5.8))
Q : força generalizada (Eq. (3.1))
q : coordenada generalizada (Eq. (3.1))
R : distância da meia-cuia até o ponto O (Fig. 3.3); raio da esfera (Eq. (5.32))
r : posição do bloco com relação ao sistema de coordenadas xy (Fig. 3.2); distância de um
ponto da superfície livre do líquido com relação ao sistema de coordenadas '' yx (Fig. 3.3)
S : superfície no sentido geral ; entropia (Eq. (3.115))
[.]s : fonte de [.] (Fig. 2.4)
T : energia cinética no sentido geral
t : tempo
U : velocidade vertical do corpo de impacto (Fig. 5.1)
U : energia interna do sistema (Eq. (2.48)); energia potencial gravitacional (Seção 4.6)
u : velocidade do elemento de massa gerado em V~
(Eq. (2.22))
V : volume no sentido geral
V : configuração de referência de B (Apêndice B)
v : velocidade no sentido geral
V∂ : assim como S , superfície no sentido geral (comumente atribui-se a V∂ o sentido de
superfície associada ao volume V )
1)d( v : incremento na velocidade de uma partícula que corre devido à ação de uma força
externa F (Eq. (2.12))
2)d( v : incremento na velocidade de uma partícula que ocorre devido ao seu impacto com um
elemento de massa (Eq. (2.15))
W : trabalho (Eq. (3.132))
WTC: World Trade Center
w : velocidade de um elemento de massa imediatamente anterior à sua captura ( 1w , Eq.
(2.6)), ou imediatamente após sua ejeção ( 2w , Eq. (2.6)) (Eq. (2.18)); ou conforme a
definição da Eq. (A.4) ou da (A.15), quando assim apropriadas
),,(),,( 321 ZYXXXX ≡=X : coordenadas Lagrangeanas (Apêndice B)
),,(),,( 321 zyxxxx ≡=x : coordenadas Eulerianas (Cartesianas no sentido geral) (Apêndice
B)
15
ALFABETO GREGO
α& : módulo da velocidade angular da haste que segura a meia-cuia (Seção 3.2.2.1)
β : multiplicador de Lagrange (Eq. (3.122))
Γ : torque aplicado com relação ao ponto O (Fig. 3.3)
γ : ângulo formado entre a superfície livre do líquido e a horizontal (Fig. 3.3)
δ : variação virtual (Eq. (3.114))
ε : espessura do material expelido (Figs. 3.2 e 3.3); parâmetro do problema de Wagner (Eq.
(5.1))
ζ : profundidade de penetração do corpo (Eq. (5.1))
η : função que descreve a elevação da superfície livre (Fig. 5.3)
Θ : temperatura do meio líquido (Eq. (3.127))
θ : taxa de geração de massa (Eq. (2.20))
ι : momento de inércia com relação ao ponto O (Eq. (3.107))
λ : densidade [kg/m2] (Eq. (3.88))
µ : função que descreve a variação da massa com o tempo (Eq. (3.26))
...14159,3=π
ρ : densidade [kg/m3] (Eq. (2.19))
σ : densidade [kg/m] (Eq. (3.62)); parâmetro adimensional (Eq. (5.33))
τ : tensão na corrente (Eq. (4.29))
υ : volume de controle fixo (Apêndice B)
)(tυ : volume de controle móvel (Apêndice B)
Φ : força reativa que ocorre devido à ejeção ou agregação de massa (ver, por exemplo, Eq.
(4.17))
Φ : força resistiva (adimensional) ao colapso de um andar no problema das torres do WTC.
φ : potencial de velocidade (Eq. (3.125))
χ : função que mapeia a coordenada Lagrangeana X de uma partícula em sua coordenada
atual x (Apêndice B)
xxxx : função que descreve a posição e forma de υ∂ (Capítulo 6)
Ψ : integral de ρψ em um determinado volume (Apêndice B)
ψ : grandeza física qualquer por unidade de massa (Eq. (2.19))
16
SUBSCRITOS
at : atrito (Seção 3.2.1.1)
B : superfície molhada do corpo de impacto (Eq. (5.3))
b : seio do líquido (Fig. 5.3)
c : com relação à região compactada da torre (Seção 4.6)
cm : centro de massa (Apêndices A.1 e A.2)
en : porção enrolada da corrente (Seções 4.1 e 4.2)
es : porção esticada da corrente (Seções 4.1 e 4.2); com relação à esfera (Eqs. (5.33) e (5.34))
F : superfície livre (Figs. 5.3 e 6.1)
H : superfície de ‘fundo’ (Fig. 6.1)
i : com relação à i-ésima partícula de um sistema discreto de partículas (Capítulo 3)
j : jato de líquido (Eq. (5.19)); uma das três coordenadas Lagrangeanas jX de uma partícula
(Capítulo 6)
k : com relação à k-ésima coordenada generalizada kq e a força generalizada kQ associada
(ver Eqs. (3.1) e (3.4))
l : porção livre da corrente (Seção 4.3)
mov : com relação à região móvel da torre (Eq. (4.74))
nc : com relação à região não compactada da torre (Seção 4.6)
0 : inicial (ver, por exemplo, Eq. (3.62))
r : porção em repouso da corrente (Seção 4.3)
ref : velocidade do referencial móvel (Apêndice A.3)
rep : com relação à região em repouso da torre (Eq. (4.75))
root : raiz do jato (Eq. (5.19))
W : superfície lateral (Fig. 6.1)
w : domínio líquido como um todo (Eq. (5.19))
υ : com relação a )(tυ (Apêndice B)
SUPERESCRITOS
0 : com relação ao problema de Wagner linear (Fig. 5.4)
* : conforme definido no Apêndice A; função de Rayleigh alternativa (Eq. (4.44)); designação
de variável adimensional (Capítulos 4 e 5)
17
' : com relação ao referencial móvel
∂;V : com relação ao volume das partículas fictícias (Apêndice B); derivada parcial associada
ao volume das partículas fictícias (Eq. (3.29)) (interpretação de Irschik e Holl (2002))
∂~
;~V : com relação ao volume das partículas reais (Apêndice B); derivada parcial associada
ao volume das partículas reais (Eqs. (3.1) e (3.29)) e derivada parcial associada ao volume
de controle cuja massa depende do tempo (Eq. (3.46)) (interpretação do autor dessa tese)
∂((
;V : com relação ao volume de controle cuja massa varia com as coordenadas e/ou
velocidades generalizadas (Seções 3.2.1, 3.2.2 e 3.2.3); derivada parciais associadas
K (por exemplo): K por unidade de massa (ver, por exemplo, Eq. (3.29))
q& (por exemplo): derivada temporal de )(tqq = (ver, por exemplo, Eq. (3.1))
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
∂ : símbolo para derivada parcial de um modo geral
∆ : operador de Laplace (ver, por exemplo, Eq. (5.2))
τ : variável de integração na Eq. (3.41)
τ : parâmetro (ver, por exemplo, Eq. (3.50))
∇ : operador gradiente (ver, por exemplo, Eq. (5.3))
OUTROS
2V∂ : superfície que define o trecho curvo da corrente (Fig. 4.11)
Av , Bv e Cv : velocidade de diferentes pontos do cabo em contato com a polia (Fig. 4.12)
1v , 2v : conforme definição no Apêndice D
Ay , By , Ty : conforme definição na Figura 4.18
18
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................1
2 FUNDAMENTOS E BREVE HISTÓRICO SOBRE A DINÂMICA DE PARTÍCULAS DE MASSA VARIÁVEL ......................................................................8
2.1 A equação geral de balanço, o teorema do transporte e os sistemas de massa variável.................. 17
2.2 A segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável ...................................................... 28
2.3 Teorema trabalho-energia.................................................................................................................... 31
2.4 Discussão ................................................................................................................................................ 34
3 A ABORDAGEM DA MECÂNICA ANALÍTICA AOS SISTEMAS DE MASSA VARIÁVEL ................................................................................................................36
3.1 Sistema de partículas e a equação de Lagrange ................................................................................. 37
3.2 Volume de controle e a equação de Lagrange..................................................................................... 45 3.2.1 Massa variável de forma explícita com as coordenadas generalizadas .............................................. 50
3.2.1.1 Exemplo ilustrativo de aplicação .............................................................................................. 54 3.2.2 Massa variável de forma explícita com as velocidades generalizadas................................................ 58
3.2.2.1 Exemplo ilustrativo de aplicação .............................................................................................. 60 3.2.3 Massa variável de forma explícita com as coordenadas e velocidades generalizadas ........................ 66
3.3 Discussão ................................................................................................................................................ 67
3.4 O princípio de Hamilton e sistemas contínuos de massa variável..................................................... 68 3.4.1 O princípio variacional de Seliger e Whitham (1968)........................................................................ 69
3.4.1.1 Caso particular: líquido incompressível e invíscido, escoamento irrotacional e homoentrópico 74 3.4.1.2 Exemplo ilustrativo de aplicação .............................................................................................. 76
3.4.2 A expressão do princípio variacional de Seliger e Whitham (1968) em um volume de controle....... 79
4 O PROBLEMA DA CORRENTE EM MOVIMENTO VERTICAL E O PROBLEMA DO COLAPSO DE EDIFÍCIOS............................................................84
4.1 O problema de Buquoy......................................................................................................................... 85
4.2 O problema de Cayley .......................................................................................................................... 90
4.3 O problema da corrente em ‘U’ ........................................................................................................... 95
4.4 O trabalho de Wong e Yasui (2006)................................................................................................... 102
4.5 Uma problemática no processo de transferência de massa entre as porções da corrente............. 114
19
4.6 O problema do colapso das torres gêmeas do World Trade Center ................................................. 119
5 O PROBLEMA DE IMPACTO HIDRODINÂMICO...........................................128
5.1 O problema de Wagner não-linear .................................................................................................... 130
5.2 O problema de Wagner linear............................................................................................................ 133
5.3 A aplicação da equação de Lagrange ................................................................................................ 135 5.3.1 O balanço de energia ........................................................................................................................ 137
5.4 Discussão .............................................................................................................................................. 144
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................145
REFERÊNCIAS........................................................................................................148
APÊNDICES
A.1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME MATERIAL COM FONTES DE MASSA ESCRITA EM TERMOS DE SUAS POSIÇÕES E VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 152)....................................158
A.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME DE CONTROLE ESCRITA EM TERMOS DE SUAS POSIÇÕES E VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 157-8)............................................................................161
A.3 INVARIÂNCIA GALILEANA DA SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA UMA PARTÍCULA DE MASSA VARIÁVEL......................................................................164
B O CONCEITO DE PARTÍCULAS FICTÍCIAS DE TRUSDELL E TOUPIN (1960) E O TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS GENERALIZADO...................169
C.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAGRANGE PARA UM SISTEMA DE PARTÍCULAS DE MASSA DEPENDENTE DO TEMPO A PARTIR DO PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT (ver PESCE, 2003, p. 752)........................................................178
C.2 DERIVAÇÃO DE EXPRESSÕES AUXILIARES PARA O APÊNDICE C.1......182
D DISSIPAÇÃO DE ENERGIA NO PROCESSO ‘EJEÇÃO-RE-CAPTURA’ DE UM ELEMENTO DE MASSA..........................................................................................184
1
1 INTRODUÇÃO
Na mecânica não-relativística, o termo ‘sistema de massa variável’ é utilizado para
designar um sistema cuja massa varia, no caso mais geral, com a agregação e a emissão de
matéria. O ramo da mecânica que estudo esse tipo de sistema é chamado de ‘mecânica de
sistemas de massa variável’, e pode ser considerado relativamente moderno. Enquanto a
mecânica, no sentido geral do termo, tem suas raízes no tratado de Aristóteles (384-322 a.C.),
‘Problemas da Mecânica’2, o reconhecimento da importância da mecânica de sistemas de
massa variável só começou a ocorrer de fato em meados do século 20(3), quando Ivan
Vsevolodovitch Mechtcherskii4 (1859-1935), matemático e mecanicista russo, dedicou as 160
páginas de sua dissertação de mestrado ao assunto.
Uma primeira motivação para a análise desse tipo de sistema é o fato de que muitos são os
problemas aplicados, pertencentes a diversas áreas do conhecimento, que são
convenientemente modelados a partir da consideração de um sistema de massa variável. Na
indústria de cabos, papel ou tecidos, os rolos, que são elementos fundamentais no processo de
fabricação desses produtos, são sistemas de massa variável. No caso da indústria têxtil, por
exemplo, o tecido pode ser visto como o entrelaçamento de diversos fios que, durante o
processo de fabricação, vão sendo desenrolados de seus respectivos rolos para então compor o
tecido. Segundo Cvetićanin (1993), a variação da massa dos rolos, que assim ocorre à medida
que o tecido é confeccionado, provoca a ação de forças reativas nos suportes dos mesmos,
devendo essas forças serem levadas em conta no dimensionamento do maquinário.
A mecânica de sistemas de massa variável também pode ser uma das vertentes de uma
pesquisa em medicina, por exemplo. De acordo com Lubarda e Hoger (2002, p. 4627), “A
análise do crescimento [ganho de massa] ‘modeladamente tensionado’ de tecidos vivos[..] tem
sido um importante tópico de pesquisa em biomecânica[...]” De fato, a biomecânica, que é o
ramo da mecânica que modela certos fenômenos biológicos, apresenta problemas bastante
______________ 2 Nome original, em grego, Mηχανιχά προβληµατα. 3 Vale dizer que, no Brasil, um dos primeiros trabalhos nesse grande tema é a dissertação de mestrado de Hans I.
Weber (1968). 4 Nome original, em russo, Иван Всеволодович Мещерский.
2
interessantes envolvendo sistemas de massa variável. Um que merece destaque por seu
evidente apelo é o do crescimento de um tumor. Aliás, o estudo desse fenômeno vem se
tornando uma disciplina cada vez mais particular dentro da biomecânica, sendo hoje
divulgado em muitas publicações sob o nome de ‘mecânica do crescimento de tumores’.
Ambrosi e Mollica (2002, p. 1297) enfatizam que a descrição do crescimento de um tumor
requer a consideração de um grande número de efeitos biológicos. Uma das grandes
dificuldades nesse processo é a modelagem simultânea de dois efeitos, i.e. a variação da
massa do tumor e as tensões que a acompanham, esse segundo efeito causado, possivelmente,
ou pelo próprio crescimento do tumor ou por cargas externas.
Um outro problema clássico, onde os fundamentos da mecânica de sistemas de massa
variável encontram aplicação, é o conhecido ‘problema do foguete’, cuja mais recente e
importante motivação para análise surgiu com a corrida espacial que ocorreu entre as décadas
de 50 e 60. Uma aeronave do tipo foguete é aquela cujo movimento dá-se em virtude da
evacuação de gases. Considera-se um foguete ‘perfeito’ aquele cuja nuvem de gás, i.e. de
combustível queimado, é evacuada a uma velocidade relativa (com relação ao foguete)
constante (ver, por exemplo, GOWDY, 1995). Então, à medida que os gases são ejetados para
fora e para trás do foguete, o mesmo é propelido para frente. Essa força de propulsão, muitas
vezes também conhecida na literatura especializada como força de empuxo, tem seu módulo
dado pelo produto entre a taxa de variação temporal de massa do foguete, que é a taxa de
consumo do combustível, e a velocidade relativa de evacuação dos gases.
Note assim que o campo de aplicações da mecânica de sistemas de massa variável é, sem
dúvida, muito amplo. Basta ver, por exemplo, que em um recente trabalho de revisão sobre o
assunto, onde apenas na primeira parte são empregadas 96 referências bibliográficas, seus
autores comentam: “Entretanto, nós não podemos afirmar que nossa revisão está completa. A
literatura sobre o tópico tornou-se esparsamente distribuída sobre uma larga faixa de
diferentes áreas”. (IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 146).
Mas apesar dessas inúmeras e relevantes aplicações, é também importante frisar o porquê
de problemas como os acima mencionados devam assim ser tratados, i.e. modelados como
problemas envolvendo um sistema de massa variável. A primeira razão reside no simples fato
de ser o objeto de estudo de massa variável. No caso dos rolos da indústria têxtil, por
exemplo, não se deseja saber o que ocorre com o conjunto formado pelos rolos, fios enrolados
3
e tecido, que é um sistema de massa constante. O foco de atenção são apenas os rolos. Mas é
exatamente essa necessidade de se isolar uma determinada parte do sistema como um todo
que gera as problemáticas envolvidas no tratamento dos sistemas de massa variável.
Uma das dificuldades iniciais na análise da dinâmica de sistemas de massa variável deve-
se ao fato de que os princípios clássicos da mecânica foram originalmente escritos para
sistemas de massa constante, i.e. para o sistema como um todo (ver, por exemplo, McIVER
1973). Eke e Mao (2002), no entanto, apontam duas alternativas para se resolver essa
questão. A primeira alternativa é elaborar formalismos próprios aos sistemas de massa
variável, como: aquele que vem sendo construído por Mušicki (1992, 1993, 1996) apud
Mušicki (2004) e Mušicki (1999, 2000); aquele por eles próprios elaborado (ver EKE; MAO,
2002); e aquele de Shan-Jun; Wei-Guo e Pei-Tian (2005). A segunda alternativa consiste em
interpretar os sistemas de massa variável como sendo de massa constante, e assim torná-los
tratáveis pelos princípios já existentes. Em outras palavras, essa segunda técnica consiste em
propor relações de equivalência entre dois pontos de vista, i.e. aquele que considera o sistema
como um todo e aquele que considera apenas a porção de interesse, que é de massa variável.
O formalismo Lagrangeano também dispõe de um ferramental bastante rico para o
tratamento desses sistemas. Nele, a massa pode ser escrita, quando assim for conveniente,
como uma função de três ‘tipos’ de variáveis, i.e. tempo, coordenadas e velocidades
generalizadas (ver, por exemplo, IRSCHIK5; MUŠICKI, 2000 e PESCE, 2003). Embora seja
sempre verdade que, se a massa de um sistema varia, então, essa pode ser expressa como uma
função do tempo, a possibilidade de expressar a massa do sistema como uma função explícita
das coordenadas generalizadas, em alguns casos, e das velocidades generalizadas, em outros,
mostra-se extremamente conveniente. Pode-se dizer que isso equivale a estabelecer uma
‘equação constitutiva’ para o sistema de massa variável. Vale lembrar, como analogia, que, na
química, a velocidade de uma reação, que pode ser representada pela taxa de consumo de um
dos reagentes envolvidos, é uma função do tempo. No entanto, por diversas razões que não
serão aqui discutidas por fugirem ao escopo desse trabalho, é bastante conveniente escrever a
velocidade da reação como uma função de outras variáveis, i.e. da concentração dos reagentes
(ver, por exemplo, ATKINS, 1994, p. 861-97).
______________ 5 Comunicação particular (2008).
4
Mas, afora as discussões acima levantadas sobre a mecânica de sistemas de massa
variável, seja no sentido de sua teoria, seja no de suas aplicações, ainda existe um ponto
bastante curioso a ser apontado. Embora hoje já se disponha de ferramentas suficientes para se
abordar determinados problemas práticos e razoavelmente complexos, como é o caso, por
exemplo, do crescimento de um tumor, ainda parecem existir questões de ordem bem mais
fundamental a ser reconsideradas. Um caso interessante é o chamado ‘problema da corrente
em queda’. Trata-se do primeiro problema abordado à luz da mecânica de sistemas de massa
variável, em 1814. Sua formulação é bastante simples. Deve-se obter a aceleração de uma
corrente verticalmente esticada que, sob a ação da gravidade, cai amontoando-se sobre uma
superfície horizontal. Nesse caso, o sistema de massa variável em questão é a porção vertical
da corrente em queda. Ocorre que, mesmo após quase dois séculos a contar de sua concepção,
são encontradas referências bibliográficas onde em cada uma delas é apresentada uma
diferente solução para esse problema, estando cada uma delas, inclusive, aparentemente
muito bem argumentada. É o caso, por exemplo, dos trabalhos de Cayley (1857) e Wong e
Yasui (2006). Outro problema onde errôneas interpretações levaram a diferentes soluções é o
da penetração de um corpo na superfície livre da água, o chamado problema de Wagner
(1931). Quando o corpo inicia sua penetração na superfície livre da água, jatos de líquido são
expelidos para fora do chamado ‘seio do líquido’. Logo, o seio do líquido pode ser visto como
um sistema de massa6 variável. No entanto, a maneira adequada de se considerar esse fluxo de
líquido também é um foco atual de discussão, como mostram, por exemplo, os trabalhos de
Casetta e Pesce (2008), Pesce (2006) e Wu (1998).
Claramente, questões como essas apontam para o fato de que, de um modo geral, existe
uma corrente necessidade de se contribuir para adequadas interpretações do entendimento do
processo de variação de massa de um sistema. E esse é o objetivo principal dessa tese. Para
tal, a mesma foi estruturada em duas partes: parte teórica, objeto dos Capítulos 2 e 3; e de
aplicações, reservadas aos Capítulos 4 e 5.
No Capítulo 2, o leitor encontrará um levantamento dos principais fundamentos
envolvidos na análise da dinâmica de um sistema de massa variável. Esse Capítulo aborda
desde o primeiro trabalho sobre o assunto, que data de 1814, até os mais atuais, como é o de
Reynolds (1903) apud Irschik e Holl (2004) e o de Truesdell e Toupin (1960). Ao final do
Capítulo é feita uma breve discussão sobre o processo de agregação de massa, perda de ______________ 6 O seio do líquido não só é de massa variável, mas também pode ser interpretado à luz do conceito de massa
adicional variável, como assim será discutido no Capítulo 5.
5
informação sobre o sistema, e aumento de sua entropia. Segundo o melhor conhecimento do
autor dessa tese, essa é uma vertente sobre os sistemas de massa variável ainda não explorada.
O Capítulo 3 trata da concepção e aplicação da equação de Lagrange a alguns sistemas de
massa variável. O Capítulo então se inicia com o trabalho de Cayley (1857), que é um dos
primeiros sobre o tópico e onde a equação de Lagrange para um sistema de partículas de
massa variável é demonstrada, e passa pelo de Irschik e Holl (2002), onde a equação de
Lagrange para um volume de controle é obtida através do conceito de partículas fictícias de
Truesdell e Toupin (1960). A partir desse trabalho de Irschik e Holl (2002), o autor dessa tese
mostra, heuristicamente, a equação de Lagrange para um volume de controle cuja massa varia
com as coordenadas e velocidades generalizadas do sistema. Esse é um dos resultados
originais dessa tese. Dois exemplos ilustrativos, um para o caso de um volume de controle
cuja massa varia com a posição, e outro para o caso de um volume de controle cuja massa
varia com a velocidade são então resolvidos. Infelizmente, não foi possível encontrar nenhum
problema onde se identificasse um volume de controle cuja massa variasse do modo mais
geral, i.e. com a posição e velocidade. Por fim, encerrando a parte teórica desta tese, um
importante resultado dentro da mecânica dos meios contínuos, i.e. o princípio variacional de
Seliger e Whitham (1968), que foi originalmente formulado para um sistema fechado, é
estendido para o caso de um volume de controle. Esse também pode ser visto como um dos
resultados original dessa tese.
No Capítulo 4, o problema da corrente em queda nas versões de Buquoy, Cayley e como
problema da corrente em ‘U’ são abordados. Para cada um dos casos, e sob a ótica dos
fundamentos apresentados nos Capítulos 2 e 3, as diferentes soluções encontradas na literatura
são discutidas. Atenção especial deve ser dada à Seção 4.4, onde o trabalho de Wong e Yasui
(2006) é minuciosamente discutido. É nessa Seção que, a partir dos fundamentos apresentados
nos Capítulos anteriores, mostram-se que assertivas consideradas pelos autores como
irrefutáveis podem estar incorretas. Essa discussão também é um dos resultados originais
dessa tese. É também no Capítulo 4 que o problema do colapso das torres gêmeas do World
Trade Center é discutido, sendo então mostrada a notável similaridade entre a equação de
movimento da torre em colapso e a de uma corrente em queda livre. O Capítulo 5 trata do
problema de Wagner. Nele é apresentada uma maneira consistente de se abordar o problema
frente à mecânica de sistemas de massa variável. Resultados originais obtidos são apontados
ao longo do Capítulo. O trabalho de Wu (1998), que, analogamente ao de Wong e Yasui
(2006), contrapõe alguns dos resultados apresentados, não será discutido, mas apenas
6
mencionado, haja vista a já publicação de dois artigos sobre o assunto, i.e. Pesce (2003,
2006).
O Capítulo 6 apresenta as conclusões obtidas ao longo dessa tese, assim como sugestões
para possíveis trabalhos futuros baseadas em extensões dos resultados conseguidos.
7
PARTE I:
A TEORIA DOS SISTEMAS DE MASSA
VARIÁVEL
8
2 FUNDAMENTOS E BREVE HISTÓRICO SOBRE A DINÂMICA DE
PARTÍCULAS DE MASSA VARIÁVEL
Em 1687, Sir Isaac Newton (1643-1727), em seu famoso trabalho de título ‘Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica’, que é considerado uma das grandes obras-primas da
ciência, apresentou aquelas que são conhecidas por leis7 de Newton. Anteriormente, René
Descartes (1596-1650), em seu trabalho ‘Principia Philosophiae’ de 1644, já havia mostrado
resultados semelhantes aos de Newton. Entre eles, por exemplo, estavam a lei da inércia, a lei
da conservação da magnitude da quantidade de movimento, e as assim chamadas ‘seis leis de
impacto’, i.e. relações entre o estado do sistema antes e após o choque entre dois corpos (ver
ARONS; BORK, 1964; DUGAS, 1988). No entanto, as leis de Newton não devem ser vistas
apenas como uma mera reconsideração do trabalho de Descartes. A abordagem Newtoniana
representa um novo ponto de vista, onde é o efeito das forças em cada um dos corpos do
sistema que é considerado (ver ARONS; BORK, 1964). Mais do que isso, segundo Knudsen e
Hjorth (2000), foi Newton quem estabeleceu o conceito de força e quantidade de movimento,
assim como uma relação entre esses.
O antigo conceito cartesiano de massa, que então a atrelava à noção de ‘res extensa’8, i.e.
a massa é um atributo inerente aos corpos extensos, foi também reformulado por Newton.
Para ele “[...]a quantidade de matéria é a medida da mesma que emerge de sua densidade e
meio conjuntamente[...]” (DUGAS, 1988, p. 201). Ainda segundo Dugas (1988), Newton foi
também o responsável pela introdução do conceito moderno de massa na mecânica não-
relativística, haja vista que:
[...]o conceito de massa de Newton pode ser considerado de maneira mais abstrata como uma propriedade (escalar) matemática de um ponto do corpo (seu centro de gravidade). Corpos extensos começaram a ser tratados como pontos materiais e esse progresso desempenhou uma função muito importante na descrição das órbitas dos planetas. (FILHO, 1986, p. 202)
______________ 7 Usualmente, falam-se em três leis de Newton. No entanto, em alguns livros-textos, as leis de Newton são
apresentadas como sendo três leis e dois postulados, sendo esses dois últimos o de tempo e espaço absolutos; ou ainda, como simplesmente, cinco leis de Newton (ver, por exemplo, KNUDSEN; HJORTH, 2000).
8 ‘Coisa material’, em latim.
9
Para a análise do movimento dos planetas, Newton precisava observar a história do
movimento de um único ponto, e não a do sistema como um todo. Assim:
Parece ser muito possível que, motivado por essa necessidade, ele [Newton] discerniu na [sua] terceira lei uma maneira de ‘separar’ ou ‘isolar’ um corpo individual do resto do sistema com o qual está interagindo.
Dadas ações iguais e opostas em cada corpo (a Terceira Lei), a consistência com as conhecidas leis de impacto demanda que essas ações contribuam com mudanças iguais e opostas no momento [quantidade de movimento]. Assim, Newton pode naturalmente ter obtido a II Lei: ‘a mudança no momento [quantidade de movimento do corpo] é proporcional à força motora impressa; e é feita na direção da linha reta em que a força é impressa’.
Recentemente, muitos autores têm comentado que ao usar o termo ‘força motora’, Newton, na maioria das vezes, referia-se ao que nós agora chamamos de ‘impulso’. (ARONS; BORK, 1964, p. 315)
Em suma, o trabalho de Newton fornece três importantes elementos para a análise da
dinâmica de uma partícula, i.e. 1) isolando-se a partícula do sistema como um todo, 2) e
reconhecendo-se as forças nelas atuantes, 3) é possível estabelecer uma relação causa-efeito
entre essas forças e a variação da quantidade de movimento dessa partícula.
A equação de movimento de uma partícula de massa constante que, entre os instantes de
tempo tt d+ e t , encontra-se sob a ação de uma força F pode ser dada por9
ptF dd = , (2.1)
onde mvp = é a quantidade de movimento da partícula, sendo m e v , respectivamente, sua
massa e velocidade.
Claramente, nesse caso, a Eq. (2.1) pode ser alternativamente escrita como
vmtF dd = , (2.2)
i.e.
t
vmF
d
d= , (2.3)
______________ 9 Por ora, e por simplicidade, atém-se ao movimento retilíneo; portanto, abstém-se da notação vetorial.
10
que é a forma em que a segunda lei de Newton, para uma partícula de massa constante, é
comumente apresentada.
Pode-se dizer que o nascimento da dinâmica de partículas de massa variável ocorreu em
1812, quando o matemático e inventor tcheco, Jiří František August Buquoy (1781-1851),
percebeu que, quando uma partícula sofre uma contínua variação de massa10, a equação a ser
considerada para a descrição de seu movimento não é mais a Eq. (2.2).
Segundo Trigg (1966a, b), a interpretação mais ‘coerente’ para a Eq. (2.1) é a de que o
incremento (por unidade de tempo) na quantidade de movimento do sistema como um todo é
igual à soma das forças nele atuantes. Considere então que, no instante de tempo t , o sistema
como um todo é formado por uma partícula de massa m , cuja velocidade é v , e por uma outra
partícula de massa infinitesimal µd (11), cuja velocidade é w . Imagine que, no instante de
tempo tt d+ , as duas partículas agregam-se, passando então a se mover com a mesma
velocidade vv d+ (ver Fig. 2.1).
Figura 2.1 - Agregação entre uma partícula de massa m e uma outra partícula de massa µd infinitesimal.
Nesse caso, o incremento pd na quantidade de movimento do sistema como um todo é
dado por
______________ 10 Termo empregado por Buquoy. 11 O símbolo µ é aqui utilizado para tornar clara a referência a uma outra partícula.
x
y t
w v
tt d+
vv d+
µdm
(partículas agregadas)
µd+m
x
y t
w v
tt d+
vv d+
µdm
(partículas agregadas)
µd+m
11
µµµ d)(d)d()d)(d()()d(d vwvmwmvvvmtpttpp −−=+−++=−+= . (2.4)(12)
Logo, considerando-se que F é a força que, entre os instantes de tempo tt d+ e t , atua
no sistema como um todo, obtém-se, das Eqs. (2.1) e (2.4), a equação de movimento
apresentada por Buquoy, i.e.
µd)(dd wvvmtF −+= . (2.5)(13)
Mas com exceção de Simeón Denis Poisson (1781-1840), as investigações de Buquoy
sobre a dinâmica de partículas de massa variável não despertaram a atenção de outros
importantes cientistas da época, entre eles, André-Marie Ampère (1775-1836), Augustin
Louis Cauchy (1789-1857), François Marie Charles Fourier (1772-1837), Pierre-Simon
Laplace (1749-1827), etc.
Poisson, em 1819, argumentou que a variação de massa de uma partícula, no caso mais
geral, deve ser vista como o resultado entre dois processos independentes entre si, i.e. a
adição e a subtração14 de elementos de massa. E é bastante provável15 que, a partir dessa sua
interpretação, Poisson tenha se deparado com a seguinte questão: para que o processo de
adição de massa seja independente do de subtração, e assim possam ocorrer ambos
simultaneamente, é necessário que os mesmos estejam associados a elementos de massa
diferentes, haja vista que, um mesmo elemento de massa não pode, pelo menos não
simultaneamente, ser adicionado à partícula e dela subtraído. Se assim, deve ter sido para
considerar adequadamente essa problemática que Poisson apresentou a equação de
movimento de uma partícula de massa variável na forma
2211 dd)(dd µµ wwmvtF +−= , (2.6)
onde então é feita uma clara distinção entre a partícula a ser agregada e a partícula a ser
subtraída, ou seja, enquanto 1dµ e 1w correspondem, respectivamente, a massa e velocidade
______________ 12 Os termos ‘ vddµ ’ e ‘ vmdd ’ foram desprezados. 13 Essa relação será demonstrada logo adiante. 14 E não apenas devido à adição de elementos de massa, como assim considerado por Buquoy. 15 Mikhailov (1975), por exemplo, não faz nenhuma consideração a respeito dessa questão.
12
da partícula a ser agregada, 2dµ e 2w referem-se, respectivamente, a massa e velocidade da
partícula a ser subtraída.
Mas quando não há subtração de massa, a Eq. (2.6) reduz-se a
µd)(dd wmvtF −= . (2.7)(16)
Vale agora entender o porquê das Eqs. (2.5) e (2.7), que representam o mesmo fenômeno,
serem diferentes na forma. Ou seja, enquanto na Eq. (2.5) aparece o termo µdv , na Eq. (2.7),
esse termo é trocado por mvd . A Fig. 2.1 (correspondente à Eq. (2.5)) mostra que, em ambos
os instantes de tempo tt d+ e t , tanto a massa final, quanto a massa inicial do sistema como
um todo pode ser representada por µd+m . Note então que, tanto no instante de tempo t ,
quando as partículas estão separadas, quanto no instante de tempo tt d+ , quando as
partículas estão agregadas, é possível fazer uma distinção entre as partículas de massa m e
µd .
Imagine agora que, quando a partícula µd é capturada no instante de tempo tt d+ , a
mesma não possa mais ser identificada17, pois, torna-se parte da outra partícula (ver Fig. 2.2).
Ou seja, no instante de tempo tt d+ , a partícula µd passa a representar um elemento de
massa da outra partícula, e assim sua identidade é perdida. Dessa forma, enquanto na
abordagem de Buquoy (ver Fig. 2.1) a massa do sistema como um todo é sempre igual a
µd+m , na de Poisson (ver Fig. 2.2), a massa do sistema como um todo é µd+m no
instante de tempo t , e mm d+ no instante de tempo tt d+ . Logo, na abordagem de Poisson,
a Eq. (2.4) deve ser reinterpretada como
µµ d)d()d()d)(d()()d(d wmvwmvvvmmtpttpp −=+−++=−+= . (2.8)
Portanto, da Eq. (2.8) em (2.1), obtém-se a equação de movimento apresentada por
Poisson, i.e. Eq. (2.7). Mas como a massa do sistema como um todo se conserva, é necessário
______________
16 O subscrito ‘1’ foi omitido de 1dµ apenas para simplificar a notação. 17 Imagine, por exemplo, que ambas as partículas são formadas por um mesmo material líquido, sendo, portanto,
miscíveis entre si.
13
que sua massa antes da transferência, i.e. µd+m , seja igual à sua massa após a transferência,
i.e. mm d+ . Em outras palavras, é necessário que mmm dd +=+ µ , i.e. mdd =µ .
Interpretando-se essa relação como uma restrição, no sentido da mecânica analítica,
associada ao multiplicador de Lagrange ‘ v ’, i.e. 0)dd( =− mv µ , pode-se reescrever a Eq.
(2.8) como
)dd(d)d(d mvwmvp −+−= µµ , (2.9)
i.e
µµµ d)(ddddddd vwvmmvvwvmmvp −−=−+−+= , (2.10)
que é a própria Eq. (2.4) da abordagem de Buquoy!
Figura 2.2 - Agregação entre uma partícula de massa m e uma outra partícula de massa µd infinitesimal.
Caso em que, após o choque, a identidade da partícula µd é perdida.
Isso mostra que a identidade da partícula µd , que então é perdida na abordagem de
Poisson, pode ser recuperada se à equação de movimento for adicionada a equação de
conservação de massa do sistema como um todo.
O próximo avanço na interpretação da dinâmica de partículas de massa variável foi
realizado por Tait e Steele (1856). Tanto na abordagem de Buquoy, como na de Poisson,
ainda que associadas a diferentes pontos de vista, a segunda lei de Newton foi aplicada em sua
x
y t
w v
tt d+
vv d+
µdm
(partículas agregadas)
mm d+
x
y
x
y t
w v
tt d+
vv d+
µdm
(partículas agregadas)
mm d+
14
forma original, i.e. Eq. (2.1). Ocorre então que, tanto o lado direito da Eq. (2.5), quanto o da
Eq. (2.7) (ou (2.6)) referem-se ao incremento na quantidade de movimento do sistema como
um todo, onde tanto a partícula de massa m com a de massa µd estão sendo simultaneamente
consideradas.
Em 1856, Tait e Steele então apresentaram uma primeira aproximação para se isolar
totalmente a partícula do sistema como um todo. Em seu livro, ‘A Treatise on the Dynamics
of a Particle’, Tait e Steele consideraram os “problemas com uma série contínua de impactos
[de elementos de massa] infinitesimalmente pequenos cujo efeito é comparável ao de uma
força finita” (MIKHAILOV, 1975, p. 34). A idéia dos autores era a de considerar que a
variação na velocidade da partícula sujeita aos impactos é o resultado de dois fenômenos
independentes, o que significa “[...]estimar separadamente as mudanças na velocidade [da
partícula de massa m ] produzida pela força finita [ F ] e pelos impactos [de elementos de
massa] no mesmo elemento de tempo [ td ], e somá-las para se obter o efeito real no
movimento naquele período” (MIKHAILOV, 1975, p. 34, grifo nosso).
Partindo da relação
21 )d()d(d vvv += , (2.11)
onde vd , 1)d( v e 2)d( v são, respectivamente, o incremento total na velocidade da partícula, a
parcela desse incremento devido à ação da força externa F , e a parcela referente ao impacto
dessa partícula com um elemento de massa, Tait e Steele (1856) estariam apresentando uma
expressão envolvendo grandezas físicas associadas apenas à partícula de interesse. Mas sendo
os incrementos 1)d( v e 2)d( v independentes entre si, pode-se calcular um supondo-se a
inexistência do outro (ver Fig. 2.3).
Para o cálculo de 1)d( v , assume-se que a partícula está sob a ação da força externa F ,
mas livre dos impactos de elementos de massa. Ou seja, é como se a massa da partícula fosse
constante. Para tal, basta então aplicar a segunda lei de Newton na forma da Eq. (2.2), i.e.
1)d(d vmtF = , (2.12)
ou seja
15
m
tFv
d)d( 1 = . (2.13)
Figura 2.3 - Interpretação de Tait e Steele (1856) para a dinâmica de uma partícula de massa variável.
Para o cálculo de 2)d( v , deve-se imaginar que essa mesma partícula está agora livre da
ação da força externa F , mas sujeita ao impacto de um elemento de massa µd . Quando livre
da ação de forças externas, a soma entre as quantidades de movimento das partículas (a de
massa m e a de massa µd ) antes e após a interação entre essas deve ser a mesma, ou seja
)]d()[d(d 2vvmwmv ++=+ µµ , (2.14)
e então
mvwv
µd)()d( 2 −= . (2.15)
Por fim, das Eqs. (2.13) e (2.15) em (2.11), chega-se a
x
ytt d+t
vw
µdm
tt d+t
v
m m
:0d =µ
:0=F
F F
µd+m
1)d( vv +
2)d( vv +
x
y
x
ytt d+t
vw
µdm
tt d+t
v
m m
:0d =µ
:0=F
F F
µd+m µd+m
1)d( vv +
2)d( vv +
16
mvw
m
tFv
µd)(
dd −+= , (2.16)
de onde então se recupera a Eq. (2.5).
Embora a Eq. (2.5) tenha sido inicialmente demonstrada por Buquoy, sua forma vetorial,
i.e.
ttm
d
d)(
d
d µwv
vF −+= , (2.17)
parece18 ser devida ao matemático e mecanicista russo Ivan Vsevolodovitch Mechtcherskii19
(1859-1935). Em sua dissertação de mestrado, defendida em 1897, em São Petersburgo,
Rússia, Mechtcherskii analisou o movimento de uma partícula de massa variável,
considerando diversas formas para a função-velocidade do elemento de massa a ser a ela
agregado. Entre essas funções, podem ser citadas, por exemplo, vw k= ( .constk = ), 0=w
e const.+= vw (ver MIKHAILOV, 1975, p. 38).
Em 1898, Mechtcherskii, valendo-se da equação de Poisson na forma
tttm
d
d)(
d
d)(
d
d 22
11
µµwvwv
vF −+−+= , (2.18)(20)
analisou o movimento de uma partícula de massa variável, porém, agora, sujeita à adição e
subtração de elementos massa. Para esse caso mais geral, o matemático russo também
considerou diversas formas para as funções 1w , 2w , td/d 1µ e td/d 2µ (ver MIKHAILOV,
1975, p. 39).
Do ponto de vista histórico, vale mencionar que a equação de Mechtcherskii, como assim
Starjinski (1986, p. 499) denomina a Eq. (2.17), foi empregada nos chamados ‘primeiro e
______________ 18 Segundo interpretação do trabalho de Mikhailov (1975). 19 ‘Иван Всеволодович Мещерский’, em russo (nome original). 20 Aparentemente, foi o próprio Poisson quem, pela primeira vez, apresentou essa equação (em forma vetorial)
(ver MIKHAILOV, 1975, p. 34 e 39, Eqs. (3.2), (9.1) e (9.2)).
17
segundo problema de Ciołkowski21’. Nesses problemas, buscava-se, respectivamente, a
expressão para a velocidade de um foguete em lançamento vertical, ora livre, ora sob a ação
do campo gravitacional (ver STARJINSKI, 1986, p. 500-2).
Um próximo avanço para a dinâmica de sistemas de massa variável foi dado por Cayley
(1857), quem, através do princípio de D’Alembert, demonstrou a equação de Lagrange para
um sistema de partículas de massa variável. No entanto, esse é um tópico do Capítulo 3, onde
será tratado com mais propriedade. Mas buscando uma melhor completude para a
fundamentação até então apresentada, será discutido na Seção a seguir o importante papel que
a equação geral de balanço e o teorema do transporte de Reynolds desempenham na
compreensão da mecânica de sistemas de massa variável.
2.1 A equação geral de balanço, o teorema do transporte e os
sistemas de massa variável
Teoricamente, pode-se dizer que, essencialmente, existem duas diferentes maneiras de se
conceber um sistema de massa variável. Na primeira, o sistema é definido por uma superfície
fechada, que não permite o fluxo de massa através da mesma. É o chamado volume material.
Nesse caso, a variação da massa do sistema dá-se quando se imagina que suas partículas
possuem ‘fontes’ ou ‘sumidouros’ de massa. Ou seja, o aumento ou a diminuição da massa do
sistema não é interpretado como sendo devido à variação no número de partículas que o
mesmo encerra, mas sim em razão da variação da massa das partículas já existentes. Essa é
uma abordagem que é geralmente empregada quando não se deseja alterar o número de graus
de liberdade do sistema em análise.
______________ 21 O nome Konstantin Edwardowicz Ciołkowski (1857-1935) é de origem polonesa. No entanto, são encontradas
referências onde esse é apresentado em russo, i.e. Константин Эдуардович Циолковский.
18
Um dos primeiros cientistas a empregar o conceito de fontes de massa foi Mechtcherskii,
ao estudar a estabilidade do sistema planetário. Imagine, por exemplo, que um determinado
planeta está sujeito ao impacto (inelástico) de meteoros. Supondo-se que o planeta não se
desfragmenta com os impactos, o mesmo pode ser modelado por um único e identificável
ponto que possui uma fonte de massa.
Dentro de um volume material, a quantidade física ψ qualquer varia segundo a chamada
equação geral de balanço (ver, por exemplo, IRSCHIK e HOLL, 2004, p. 146, Eq. (2.1)), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅−=
VVV
VψiVψsVψt ~~~
~d][
~d][
~d
d
d~
nρρ , (2.19)
onde V~
é o volume material considerado, ][ψs representa a fonte de geração de ψ em seu
interior, e n⋅][ψi é a passagem de ψ , ou ‘influx’22, através de V~
∂ (ver Fig. 2.4).
Figura 2.4 - Representação de fontes de ψ dentro do volume material V~
, e passagem de ψ através de
V~
∂ .
______________ 22 Daí o símbolo ‘i’ em i[.].
x
y
][ψs][ψsV
~
][ψi][ψs
n
x
y
x
y
][ψs ][ψs][ψs ][ψsV
~
][ψi ][ψi][ψs ][ψs
n
19
O operador td/(.)d~
utilizado na Eq. (2.19) indica que a variação total de ψ é tomada com
respeito às partículas que compõe V~
.
Tomando-se 1=ψ na Eq. (2.19), obtém-se que
∫∫∫ ≡=
VVV
VVsVt ~~~
~d
~d]1[
~d
d
d~
θρρρ , (2.20)
onde θ [1/s] é a freqüência de geração de massa no interior de V~
e mVV
=∫~
~dρ .
A equação de movimento de um volume material com fontes de massa é obtida tomando-
se v=ψ na Eq. (2.19), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅−=
VVV
ViVsVt ~~~
~d][
~d][
~d
d
d~
nvvv ρρ . (2.21)
O termo do lado esquerdo da Eq. (2.21) é a taxa de variação da quantidade de movimento
de V~
com respeito às partículas que o compõe. O primeiro termo do lado direito representa as
fontes de quantidade de movimento no interior de V~
. Segundo Irschik e Holl (2004, p. 151),
as possíveis fontes de quantidade de movimento no interior de um volume material são: 1)
geração de elementos de massa dotados de velocidade absoluta não-nula; 2) atuação de forças
volumétricas23 3) e difusão de massa no caso de mistura multifásica. Nessa tese, problemas
onde esse terceiro efeito aparece não serão tratados. Assim, o primeiro termo do lado
esquerdo da Eq. (2.21) pode ser escrito como
∫∫∫ +=
VVV
VVVs~~~
~d
~d
~d][ fuv ρρθρ , (2.22)
onde u é a velocidade do elemento de massa no instante de tempo imediatamente após sua
______________ 23 Como a gravitacional, por exemplo.
20
‘geração’, e f são as forças volumétricas [N/kg] que atuam nas partículas de V~
. O segundo
termo do lado direito da Eq. (2.22) então representa a resultante F das forças atuantes em V~
,
i.e.
Ff =∫V
V~
~dρ . (2.23)
O segundo termo do lado direito da Eq. (2.21), i.e. ∫∂
∂⋅V
Vi~
~d][ nv , refere-se à passagem de
quantidade de movimento através da superfície fechada V~
∂ . Ainda segundo Irschik e Holl
(2004, p. 151), esse termo é não-nulo se o tensor das tensões de Cauchy assim também não o
for. Nessa tese, esses casos também não serão considerados.
Por fim, nas referidas condições, a equação de movimento de um volume material com
fontes de massa é
∫∫ +=
VV
VVt ~~
~d
~d
d
d~
uFv θρρ . (2.24)
Como mostrado no Apêndice A.1, a Eq. (2.24) pode ser escrita em termos de posições e
velocidades características, i.e.
)(d
d~
d
d
d
d2
d
d~
d
d *2
2*
2
2
cmcmcmcmcm
t
m
ttt
m
tm rr
rrwF
r−−
+−+= , (2.25)
onde cmr , w e *cmr estão definidos, respectivamente, como ∫
−=V
cm Vm~
1 ~drr ρ ,
∫−=
V
Vtm~
1 ~d)d/d
~( uw ρθ e ∫
−=V
cm Vtm~
1* ~d)( d/d
~rr ρθ .
No caso particular em que: 1) θ é constante ao longo de V~
, o que implica θmtm =d/d~
(ver Eq. (2.20)) e também *cmcm rr = , 2) e as partículas de V
~ apresentam a mesma velocidade
v , o que implica tcm d/drv = ; a Eq. (2.25) pode ser simplificada para
21
t
m
tm
d
d~
)(d
dvw
vF −−= , (2.26)
ou ainda
t
mm
t d
d~
)(d
d~
wvF −= . (2.27)
Mas como já discutido anteriormente, embora algebricamente equivalentes, as Eqs. (2.26)
e (2.27) estão associadas a diferentes a pontos de vista. Enquanto, a Eq. (2.26) é obtida sob a
consideração de que o elemento de massa gerado não faz parte da partícula geradora, a Eq.
(2.27) decorre da interpretação de que o elemento de massa gerado é parte da partícula
geradora. Assim, a rigor, as Eqs. (2.26) e (2.27) devem ser respectivamente escritas como
ttm
d
d)(
d
d µvw
vF −−= (2.28)
e
tm
t d
d)(
d
d~
µwvF −= , (2.29)
e então interpretadas, respectivamente, conforme as Figs. 2.5 e 2.6.
Porém, há também os problemas em que o sistema de interesse não é um conjunto
específico de partículas, mas sim uma determinada região do espaço. Quando assim, o
sistema é usualmente definido por uma superfície de controle, que permite fluxo de partículas
através da mesma. É o chamado volume de controle. Na maioria dos problemas práticos que
requer essa abordagem, as partículas envolvidas não apresentam fontes de massa, e assim, a
variação da massa do sistema ocorre pura e exclusivamente devido à variação do número de
partículas no interior do volume de controle. Basta imaginar, por exemplo, um reservatório
inicialmente cheio de areia. Se um furo é feito na porção inferior do reservatório, partículas de
areia começam a abandoná-lo e a massa nele contida a diminuir.
22
Mas existe uma dificuldade que é intrínseca ao tratamento desse tipo sistema. A questão é
que os princípios da mecânica foram desenvolvidos para um conjunto definido de partículas
(ver EKE; MAO, 2002, p. 124), ou seja, para sistemas compostos sempre pelas mesmas
partículas (ver McIVER, 1973, p. 249).
Figura 2.5 - ‘Desaparecimento’ da partícula µd , que se encontra no exterior de V~
(no instante de tempo
t ), e ‘surgimento’ dessa partícula no interior de V~
(no instante de tempo tt d+ ), quando então é imediatamente agregada pela partícula de massa m . A partícula ‘gerada’ não é interpretada como parte da partícula que a gera.
Figura 2.6 - O mesmo que a Fig. 2.5. Porém, a partícula ‘gerada’ é interpretada como parte da partícula que a gera.
x
y
t tt d+
w
µd
vm
V~
V~
µd+m
vv d+
x
y
t tt d+
w
µd
vm
V~
V~
µd+m
vv d+
t tt d+
w
µd
vm
V~
V~
vv d+
x
y
mm d+
t tt d+
w
µd
vm
V~
V~
vv d+
x
y
mm d+
23
Em 1903, o mecanicista e engenheiro irlandês, Osbourne Reynolds (1842-1912), em seu
trabalho de título ‘The Sub-Mechanics of the Universe’, apresentou um axioma que viria a
permitir o tratamento desse tipo de sistema à luz dos princípios clássicos da mecânica. Eis o
axioma de Reynolds:
‘AXIOMA I: Qualquer que seja a mudança na quantidade de uma entidade dentro de uma superfície fechada, essa só pode ocorrer através de uma, ou das duas seguintes maneiras: (1) pode ocorrer pela produção ou destruição da entidade dentro da superfície, ou (2) pela passagem da entidade através da superfície’. No Artigo 14 da memória, Reynolds formulou esse axioma para entidades escalares em três versões matemáticas.
Primeiramente, Reynolds [5] tratou uma superfície de controle movendo-se a uma velocidade diferente da velocidade das partículas localizada na superfície, e em sua equação (13) ele obteve uma formulação que, pelo teorema da divergência, pode ser identificada como sendo equivalente à Eq. (2.3a) [ver Eq. (2.30)] (IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 147, grifo nosso)
Segundo Irschik e Holl (2004, p. 147), o estabelecimento de uma conexão entre o nome de
Reynolds e o conhecido teorema do transporte foi mérito de Truesdell e Toupin (1960), que,
através da introdução do conceito de partículas fictícias, possibilitaram uma prova
matemática formal para as várias versões do então chamado ‘teorema do transporte de
Reynolds’. No Apêndice B, o autor dessa tese apresenta sua própria interpretação para o
conceito de partículas fictícias de Truesdell e Toupin (1960).
Em sua forma generalizada (ver Apêndice B), o teorema do transporte de Reynolds é
dado por
∫∫∫∂
∂⋅−−=
VVV
VVt
Vt
ˆ~ˆ
ˆd)ˆ(~
dd
d~
ˆdd
dnvvρψρψρψ , (2.30)
onde V é o volume de controle que é instantaneamente coincidente com V~
. Por sua vez,
nv ⋅ˆ é a velocidade normal da superfície de controle V∂ que, em geral, é diferente da
velocidade normal nv ⋅ da superfície material V~
∂ .
O operador de diferenciação que é empregado em V~
, i.e. td/(.)d~
, é diferente daquele
utilizado em V , i.e. td/(.)d . A questão é que, embora ambos correspondam à taxa de
variação total de ψ em uma mesma região do espaço (haja vista que VV~ˆ = ), tem-se que
24
ψψψ
∇⋅+∂
∂= v
ttd
d~
, (2.31)
onde ψ∇⋅v refere-se à convecção de ψ com as partículas reais, sendo
kji )/(.)~
()/(.)~
()/(.)~
((.) zyx ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ ; e
ψψψ
∇⋅+∂
∂= ˆˆ
d
dv
tt, (2.32)
onde ψ∇⋅ ˆv está associado à convecção de ψ com as partículas fictícias, sendo
kji )/(.)ˆ()/(.)ˆ()/(.)ˆ((.)ˆ zyx ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ . Mas a partir desse ponto, o conceito formal de
partículas fictícias será por ora ‘abandonado’, devendo nv ⋅ˆ ser interpretado apenas como a
velocidade normal da superfície de controle V∂ .
A equação de movimento em V pode ser obtida tomando-se v=ψ na Eq. (2.30), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅−−=
VVV
VVt
Vt
ˆ~ˆ
ˆd)ˆ(~
dd
d~
ˆdd
dnvvvvv ρρρ . (2.33)
Supondo-se que V~
não apresenta fontes de massa, tem-se, das Eq. (2.24) e (2.33) que(24)
∫∫∂
∂⋅−−=
VV
VVt
ˆˆ
ˆd)ˆ(ˆdd
dnvvvFv ρρ . (2.34)
Como explica Thompson (1988, p. 40), a Eq. (2.34) mostra que o incremento na
quantidade de movimento de um volume de controle (lado esquerdo da Eq. (2.34)) decorre de
dois fatores: 1) atuação da força F(25) nas partículas que instantaneamente encontram-se
dentro de V (primeiro termo do lado direito da Eq. (2.34)), o que representa uma ‘geração’ de
______________ 24 Equivalentemente, Grubin (1963) apresenta uma outra maneira de se obter essa equação a partir do teorema do
transporte de Reynolds. 25 Que pode ser vista como a resultante das forças atuantes no volume material.
25
quantidade de movimento no interior de V , 2) e fluxo de quantidade de movimento através de
V∂ (segundo termo do lado direito), que ocorre quando partículas dotadas de velocidade
absoluta não nula26 atravessam a superfície de V∂ .
De maneira análoga àquela empregada na obtenção da Eq. (2.25) a partir da Eq. (2.24),
tem-se, a partir da Eq. (2.34), que (ver Apêndice A.2)
)(d
d
d
d
d
d2
d
d
d
d *2
2*
2
2
cmcmcmcmcm
t
m
ttt
m
tm rr
rrwF
r−−
+−+= , (2.35)
onde, agora, cmr , w e *cmr estão respectivamente definidos como ∫
−=V
cm Vmˆ
1 ˆdrr ρ ,
∫∂
− ∂⋅−−=
V
Vtm
ˆ
1 ˆd)ˆ()( d/d nvvvw ρ e ∫∂
− ∂⋅−−=
V
cm Vtm
ˆ
1* ˆd)ˆ()( d/d nvvrr ρ .
No caso particular em que 1) as partículas no interior de V apresentam a mesma
velocidade tcm d/drv = , 2) e *
cmrr =cm , a Eq. (2.35) pode ser simplificada para
t
m
tm
d
d)(
d
dvw
vF −−= (2.36)
ou
t
mm
t d
d)(
d
dwvF −= . (2.37)
Mas assim como as Eqs. (2.26) e (2.27) devem preferivelmente ser escritas na forma das
Eqs. (2.28) e (2.29), respectivamente, as Eqs. (2.36) e (2.37) também devem ser interpretadas
______________ 26 Siegel (1972) argumenta que fluxo de massa não-nulo implica obrigatoriamente fluxo de quantidade de
movimento também não-nulo. Mas basta tomar 0=v em V∂ como um contra-exemplo. Nesse caso, o fluxo
de massa ∫∂
∂⋅−
V
Vˆ
ˆd)ˆ( nvvρ , de fato, é diferente de zero. No entanto, o fluxo de quantidade de movimento é
claramente nulo, i.e. 0ˆd)ˆ(ˆ
=∂⋅−∫∂V
Vnvvvρ .
26
respectivamente como
ttm
d
d)(
d
d µvw
vF −−= (2.38)
e
tm
t d
d)(
d
d µwvF −= . (2.39)
Assim:
No presente contexto de um volume não-material [de controle], nós assim chegamos a uma relação [Eq. (2.35)] para o movimento do centro de massa em completa analogia com o resultado de Federhofer [65] para um volume material com fontes de massa em seu interior, Eq. (3.18) [Eq. (2.25)]. (IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 157)
No entanto, apesar dessa analogia, existe uma diferença de interpretação entre as Eqs.
(2.29) e (2.39). A questão é que, no primeiro caso, a partícula µd ‘desaparece’ do lado de
fora de V~
e então ‘surge’ em seu interior, uma vez que µd não pode cruzar a fronteira V~
∂
que é fechada. Já no segundo caso, a partícula µd atravessa a superfície V∂ para chegar ao
interior de V . Nesse segundo caso, V~
é o volume que, entre os instantes de tempo tt d+ e t ,
encerra as duas e mesmas partículas (ver Figs. 2.7 e 2.8).
Faz-se agora notar que as Eqs. (2.28) e (2.38), embora advindas de diferentes abordagens,
são idênticas. Ocorre que, tanto na Fig. 2.5 como na 2.7, figuras essas que estão associadas,
respectivamente, às Eqs. (2.28) e (2.38), o foco de atenção é sempre a mesma e única
partícula, i.e. a de cor escura. Como já discutido anteriormente, se, ao ser capturada, a
partícula µd é considerada como não pertencente à partícula de massa m , a identidade de
ambas as partículas é mantida. Ou seja, tanto a Fig. 2.5 como a 2.7 equivalem a um ponto de
vista em que é a identidade da partícula que importa, e não se a mesma é encerrada por um
volume material ou de controle.
E do mesmo modo em que td/(.)d~
é o operador associado a um volume material, e
td/(.)d o operador associado a um volume de controle, é possível também conceber um
operador relacionado a esse ponto de vista, onde é a identidade da partícula que é preservada.
27
É o chamado, segundo a terminologia de Shao-kai e Feng-xiang (1992, p. 857), operador para
‘derivada de solidificação total’, e que aqui será simbolizado por tDD /(.) .
Figura 2.7 - Partícula µd , que se encontra no exterior de V no instante de tempo t , cruza a fronteira V∂ ,
e atinge o interior de V no instante de tempo tt d+ , quando então é imediatamente agregada à partícula de massa m . Ao ser capturada, a partícula µd não é interpretada como parte da outra partícula.
Figura 2.8 - O mesmo que a Fig. 2.7. No entanto, ao ser capturada, a partícula µd é interpretada como
parte da outra partícula.
w
µd
vm µd+m
vv d+
t tt d+x
y
V
V
V~
V~
w
µd
vm µd+m
vv d+
t tt d+x
y
V
V
V~
V~
w
µd
vm
vv d+
t tt d+x
y
V
V
V~
V~
mm d+
w
µd
vm
vv d+
t tt d+x
y
V
V
V~
V~
mm d+
28
Se a identidade da partícula é mantida durante o choque, sua massa torna-se uma
constante entre os instantes de tempo tt d+ e t , o que implica 0/ =tm DD . Sendo assim, a
Eq. (2.38) (ou (2.28)), pode ser apresentada como
tm
t d
d)()(
µvwvF −−=
D
D. (2.40)
Comparando-se então as Eqs. (2.39) e (2.40), ou, equivalentemente, as Eqs. (2.29) e
(2.40), vê-se que a taxa de variação da quantidade de movimento vp m= da partícula
depende do ponto de vista, ou seja, a expressão para tm d/)(d v (ou tm d/)(d~
v ) é diferente
daquela para tm DD /)( v , onde )d/d(/)( tmtm vv =DD . Ou seja, tm DD /)( v é a derivada
temporal da quantidade de movimento de uma partícula cuja identidade é preservada após o
choque. Na Seção a seguir, essa questão será abordada, sendo apresentada, por fim, qual deve
ser considerada a real extensão da segunda lei de Newton a uma partícula de massa variável.
2.2 A segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável
Na década de 60, verificou-se um debate sobre a maneira adequada de se apresentar a
segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável (ver ARMSTRONG, 1965;
ARMSTRONG, 1966; ARONS; BORK, 1964; BORK; ARONS, 1964; GADSDEN, 1964;
GADSDEN, 1966; LEITMANN, 1957; MERIAM, 1960; POMERANZ, 1964; THORPE,
1962; TIERSTEN, 1969; TRIGG, 1966a; TRIGG, 1966b; VAN DEN AKKER, 1964).
Essencialmente, a questão em pauta era se a segunda lei de Newton para uma partícula de
massa variável deveria ser escrita como
t
mm
t d
d)(
d
dwvF −= (2.41)
29
ou como
)(d
dvF m
t= , (2.42)
onde nenhuma menção adicional era feita sobre o operador de diferenciação utilizado. Por
essa razão, empregou-se nas Eqs. (2.41) e (2.42) o operador td/(.)d , que é livre de qualquer
diacrítico e deve então ser interpretado no sentido usual de derivada temporal.
Como pode ser concluído das discussões já feitas nesse Capítulo, a Eq. (2.42) é o caso
particular da Eq. (2.41) em que 0=w . Além disso, a Eq. (2.42) não pode ser considerada
como uma extensão da segunda lei de Newton, porque não é invariante sob transformações
Galileanas (ver, por exemplo, PLASTINO; MUZZIO, 1992 e Apêndice A.3). A Eq. (2.41)
não só representa o caso mais geral em que a velocidade do elemento de massa a ser
capturado é não nula, como também é invariante sob transformações Galileanas (ver
Apêndice A.3). Mas, mesmo assim, existe ainda uma pergunta a ser respondida.
A questão é que qualquer uma das Eqs. (2.39), (2.29) ou (2.40) podem ser obtidas a partir
da Eq. (2.41). Basta interpretar td/(.)d coerentemente com cada caso. Mas qual dentre essas,
de fato, pode ser considerada como uma real extensão da segunda lei de Newton a uma
partícula de massa variável? Em outras palavras, qual dentre essas equações vale-se dos
conceitos originalmente empregados por Newton?
Inicialmente, deve-se lembrar que a Eq. (2.39) advém da Eq. (2.34), que é o teorema do
transporte de Reynolds para a quantidade de movimento. Note que a Eq. (2.39), quando
escrita como
)(d
d
d
dvwF m
tt=+
µ, (2.43)
pode ser interpretada da seguinte forma: a taxa de variação da quantidade de movimento de
uma partícula de massa variável (no sentido da Fig. 2.8), que é o lado direito da Eq. (2.43), é
igual à força (primeiro termo do lado esquerdo) nela atuante somada ao fluxo de quantidade
de movimento (segundo termo do lado esquerdo) para a mesma. O que deve então ser
distinguido é que esse termo de fluxo, ainda que apresente unidade de força, i.e. [N], não deve
30
ser interpretado como tal. Do Axioma I de Reynolds, tem-se que o termo de fluxo deve
possuir um significado físico diferente do termo de geração. Ou seja, o termo de fluxo de
quantidade de movimento não deve ser fisicamente interpretado como uma força, sendo essa
segunda o termo de geração de quantidade de movimento no interior de V . Isso mostra que a
Eq. (2.43) não é uma relação causal entre forças e taxa de variação de quantidade de
movimento, conceito esse que deve estar imbuído na segunda lei de Newton. Logo, a Eq.
(2.43) não pode ser considerada como a extensão própria da segunda lei de Newton a uma
partícula de massa variável.
Seja agora a Eq. (2.29) sob a forma
)(d
d~
d
dvwF m
tt=+
µ. (2.44)
Equivalentemente à Eq. (2.43), o lado direito da Eq. (2.44) também representa a taxa de
variação da quantidade de movimento de uma partícula de massa variável, porém, no sentido
da Fig. 2.6. O segundo termo do lado esquerdo da Eq. (2.44) não é um termo de fluxo de
quantidade de movimento, mas sim uma fonte dessa grandeza devido à geração de elementos
de massa dotados de velocidade absoluta não nula. No entanto, enquanto F , que também é
uma fonte de quantidade de movimento, é uma força propriamente dita, )d/(d tµw é uma
fonte de quantidade de movimento devido à geração de massa no interior de V~
. Ou seja, a Eq.
(2.44) também não representa uma relação causa-efeito entre forças e taxa de variação de
quantidade de movimento, e, portanto, também não deve ser considerada como a extensão
própria da segunda lei de Newton a uma partícula de massa variável.
Considere agora a Eq. (2.40) na forma
tmm
tt d
d)(
d
d)(
vvvwF ==−+
D
Dµ. (2.45)
Como sob o operador tDD /(.) a partícula é vista como de massa constante entre os
instantes de tempo tt d+ e t , passa então a ser uma conseqüência direta da interpretação da
equação geral de balanço e do Axioma I de Reynolds, que os termos do lado esquerdo da Eq.
(2.45) devem ser forças propriamente ditas. Ou seja, se a massa do sistema é interpretada
31
como sendo instantaneamente constante, a única maneira de alterar sua quantidade de
movimento é através da aplicação de forças. Dessa forma, a Eq. (2.45) é uma relação causa-
efeito entre as forças F e )d/(d)( tµvw − e a taxa de variação da quantidade de movimento
da partícula de massa .constm = entre os instantes de tempo tt d+ e t , i.e.
)d/d(/)( tmtm vv ≡DD . Ou seja, é a Eq. (2.45) que deve ser considerada como a extensão da
segunda lei de Newton a uma partícula de massa variável no sentido estrito do termo.
2.3 Teorema trabalho-energia
Seja agora a relação entre a potência transmitida ao sistema e a taxa de variação de sua
energia cinética associada a cada uma das Eqs. (2.29), (2.39) e (2.40).
Multiplicando-se escalarmente ambos os lados da Eq. (2.40) por v , obtém-se que
t
T
t D
D=⋅
−+ vvwF
d
d)(
µ, (2.46)
onde 221 vmT = é a energia cinética da partícula, e, portanto, )d/d(/ tmtT vv ⋅=DD .
A Eq. (2.46) mostra que, sob esse ponto de vista, a potência associada às forças F e
)d/d)(( tµvw − atuantes na partícula (lado esquerdo da Eq. (2.46)) é igual à taxa de variação
de sua energia cinética (lado direito). Ou seja, sob esse ponto de vista, a partícula é
interpretada como um sistema não-dissipativo, se F assim também não o for.
Por outro lado, Copeland (1982) demonstra que, associada à Eq. (2.39), tem-se a seguinte
relação entre a potência transmitida ao sistema e a taxa de variação de sua energia cinética
32
ttt
T
d
d)(
d
d
d
d 2212
21 µµ
vwwvF −+−=⋅ . (2.47)
Supondo-se, por hipótese, que não há transferência de calor para V~
, a primeira lei da
termodinâmica (ver, por exemplo, TESTER; MODELL, 1997, p. 48) estabelece que
t
U
t
T
t
E
d
d~
d
d~
d
d~
+==⋅ vF , (2.48)
onde E é a energia total em V~
, expressa como a soma entre a energia cinética T e a energia
interna U .
Então, das Eqs. (2.47) e (2.48), e do teorema do transporte de Reynolds (ver Eq. (2.30))
com 221 v=ψ , i.e.
tt
T
t
T
d
d
d
d
d
d~
221 µ
w−= , (2.49)
obtém-se que
tt
U
d
d)(
d
d~
221 µ
vw −= . (2.50)
A Eq. (2.50) mostra que, quando uma partícula de massa m e velocidade v choca-se com
um elemento de massa µd e velocidade w , a energia interna de V~
sofre um incremento dado
por µd)( 221 vw − . Segundo Sherwood (1983, p. 599) (ver também LEFF;
MALLINCKRODT, 1993, p. 125), isso também implica um aumento na temperatura de cada
uma das partículas. Assim, tem-se que, sob o ponto de vista correspondente ao operador
td/(.)d , parte do trabalho transmitido ao sistema não é a ele convertido em energia
mecânica, mas sim em energia interna. Isso mostra que, quando interpretada conforme a Fig.
(2.8), uma partícula de massa variável é, essencialmente, um sistema dissipativo.
33
Mas é interessante verificar que, no caso particular em que vw 21= (ver, por exemplo,
COPELAND, 1982, p. 599), a Eq. (2.47) conduz à seguinte expressão
t
T
d
d=⋅ vF , (2.51)
que é a forma do teorema trabalho-energia para um sistema não-dissipativo. Note que a Eq.
(2.51) mostra que, nesse caso particular, todo o trabalho (por unidade de tempo) transmitido
ao sistema (de massa variável) é convertido em um aumento (por unidade de tempo) apenas
em sua energia cinética. Fisicamente falando, isso significa que, no caso particular em que
vw 21= , a energia mecânica dissipada durante o choque, i.e. µd)( 2
21 vw − , é balanceada
pelo ganho de energia mecânica que ocorre devido à captura do elemento de massa µd , i.e.
( µd221 w− ). Assim, o termo µµ dd)( 2
212
21 wvw −− (27) pode ser chamado de energia líquida
dissipada.
De modo análogo ao da obtenção da Eq. (2.47) a partir da Eq. (2.39), mostra-se, da Eq.
(2.29), que
ttt
T
d
d)(
d
d
d
d~
2212
21 µµ
vwwvF −+−=⋅ . (2.52)
Na maioria dos livros textos, não se encontra a forma da primeira lei da termodinâmica
para um volume material com fontes de massa. Então, comparando-se a Eq. (2.52) com a Eq.
(2.48), recupera-se novamente a Eq. (2.50). Como já discutido para o caso de um volume de
controle, tem-se, de modo também análogo, que um volume material com fontes de massa,
quando interpretado conforme a Fig. 2.6, é um sistema dissipativo salvo se vw 21= .
______________ 27 No Capítulo 3, será mostrado que a energia líquida dissipada no processo de aumento ou diminuição de massa
de um sistema corresponde à função dissipação de Rayleigh para um sistema de massa variável.
34
2.4 Discussão
Nesse Capítulo, foi apresentada uma breve discussão sobre as primeiras abordagens da
dinâmica de partículas de massa variável. Isso foi feito a partir de uma interpretação, que é
própria do autor dessa tese, dos trechos dos trabalhos de Buquoy, Poisson, Tait e Steele e
Mechtcherskii que se encontram no artigo de Mikhailov (1975). A contribuição de Cayley,
que indubitavelmente também deve figurar entre essas outras, será discutida no Capítulo
seguinte.
Uma primeira conclusão desse Capítulo, que essencialmente decorre essencialmente dessa
interpretação dos trabalhos acima citados, é a de que, embora as Eqs. (2.29), (2.39) e (2.40)
sejam algebricamente equivalentes, cada uma delas está associada a um diferente ponto de
vista. Enquanto nas duas primeiras, a identidade das partículas que compõe o sistema como
um todo é perdida após a interação entre elas, na terceira, a identidade dessas partículas é
preservada.
Também foi mostrado por esse autor que é possível transitar entre essas duas
interpretações, se a equação de conservação de massa for vista como uma restrição no sentido
da mecânica analítica. Esse é um resultado já bem explorado no contexto da mecânica do
contínuo por Seliger e Whitham (1968). Dentro dessa questão da identidade das partículas,
emerge o conceito de diferentes operadores de diferenciação para diferentes tipos de sistema
de massa variável. Esse é um procedimento que pode ser encontrado, por exemplo, nos
trabalhos de Irschik e Holl (2002, 2004), Shao-kai e Feng-xiang (1992) e Truesdell e Toupin
(1960).
Mas segundo o melhor conhecimento do autor dessa tese, pouca ênfase e quase nenhuma
discussão é feita sobre a diferença do significado físico dos termos que compõe as Eqs. (2.29)
e (2.40), ou (2.39) e (2.40), principalmente no que se diz respeito à diferença entre a força
)d/(d)( tµvw − e o fluxo (ou geração) )]d/d([ tµw− de quantidade movimento. Por essa
razão, essa questão foi explorada.
Um outro resultado decorre da análise da relação entre a potência transmitida e a taxa de
variação de energia cinética. A questão a ser observada é que, quando a identidade das
35
partículas é mantida, o sistema deve ser interpretado como não-dissipativo. No entanto,
quando a identidade das partículas é perdida, o inverso ocorre, ou seja, o mesmo sistema deve
ser interpretado como dissipativo. Frolov (1984, p. 62) argumenta que, no processo de
agregação de massa, uma outra conseqüência além do aumento da energia interna do sistema,
é o aumento de sua entropia. Esse seu argumento pode ser justificado pela clássica relação da
termodinâmica US d~
d~
Θ ≥ , onde S é a entropia do sistema e Θ sua temperatura absoluta.
O que é interessante de ser comentado é que Gilbert Newton Lewis (1930, p. 573), famoso
físico-químico americano, escreveu que “ganho em entropia sempre significa perda de
informação, e nada mais”. E é curioso constatar que esse conceito verifica-se na dinâmica de
partículas de massa variável. No caso em que a identidade da partícula µd é perdida após o
choque (ver Figs. 2.6 e 2.8), vê-se, a partir da Eq. (2.50), que a energia interna do sistema
aumenta, e, portanto, também assim aumenta sua entropia. Ou seja, de acordo com Lewis,
esse passa a ser um resultado previsto, pois, quando a identidade da partícula µd é perdida,
uma informação sobre o sistema também é perdida, o que implica um aumento em sua
entropia. Por outro lado, quando a identidade da partícula µd é mantida após o choque (ver
Figs. 2.5 e 2.7), o sistema é interpretado como não-dissipativo, ou seja, sem aumento de
energia interna e entropia. Mas curiosamente, esse resultado também pode ser previsto pela
consideração de Lewis, haja vista que, se as identidades das partículas são mantidas, a
quantidade de informações sobre o sistema permanece a mesma, e logo, o sistema não deve
sofrer aumento de entropia.
36
3 A ABORDAGEM DA MECÂNICA ANALÍTICA AOS SISTEMAS DE
MASSA VARIÁVEL
Em 1788, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático e físico francês28, propôs, em
seu trabalho ‘Mécanique Analytique’, um formalismo matemático apropriado para a
mecânica, assim como um método analítico, por ele considerado geral, para a resolução de
problemas. Dugas (1988, p. 332-3) enfatiza que o ‘Mécanique Analytique’ representa a união
dos esforços realizados durante o século 18 para se desenvolver uma mecânica racionalmente
organizada.
Nas próprias palavras de Lagrange, seus objetivos eram:
Reduzir a teoria da mecânica e a arte de resolver os problemas associados para formulas gerais, cujo simples desenvolvimento forneça as equações necessárias para a solução de cada problema.
Unificar e apresentar, a partir de um único ponto de vista, os diferentes princípios que, até então, têm sido encontrados para assistir na solução de problemas da mecânica; apresentando a dependência mútua desses princípios e fazendo um julgamento da validade desses e escopo possível[...].
Diagramas não serão encontrados nesse trabalho. Os métodos que eu explico nele não requerem nem construções geométricas nem argumentos mecânicos, mas somente as operações algébricas inerentes ao processo regular e uniforme. Aqueles que amam Análise verão, com satisfação, a mecânica tornar-se um novo ramo dessa e agradecer-me-ão por assim ter estendido seu campo. (DUGAS, 1988, p. 333)
O objetivo desse Capítulo é contribuir no preenchimento de uma importante lacuna na
abordagem Lagrangeana da dinâmica de sistemas de massa variável, em particular, na dos
sistemas contínuos de massa variável. A questão é que, segundo o conhecimento e
interpretação do autor dessa tese, Irschik e Holl (2002), nessa recente publicação, apresentam
a equação de Lagrange para um volume de controle cuja massa varia apenas com o tempo. A
questão é agora conceber a equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa
varia do modo mais geral, i.e. não só com o tempo, mas também com as coordenadas e
velocidades generalizadas. Esse é um dos resultados originais dessa tese. Vale mencionar que,
com relação a um sistema discreto de partículas, a equação de Lagrange, para o caso em que a ______________ 28 Lagrange nasceu na Itália, e tem seu nome de batismo dado por Giuseppe Lodovico Lagrangia.
37
massa das partículas varia explicitamente com as coordenadas, é demonstrada,
independentemente, por Cvetićanin (1993) e Pesce (2003); esse último autor inclui o caso de
dependência com velocidades generalizadas. Exemplos de aplicação da equação de Lagrange
para um volume de controle onde a massa varia com as coordenadas e velocidades
generalizadas, serão aqui abordados. No final do Capítulo 4, uma discussão sobre a vantagem
de se empregar essa equação em alguns tipos de sistemas de massa variável será feita.
A Seção 3.4 complementa o presente Capítulo, com discussão acerca da aplicação do
Princípio de Hamilton a meios contínuos de massa variável, à luz do princípio variacional
demonstrado em 1968, por Seliger e Whitham, apresentando alguns resultados originais no
que tange à sua aplicação a volumes de controle.
3.1 Sistema de partículas e a equação de Lagrange
Essencialmente, essa Seção encontra-se dividida em duas partes. Na primeira, será
apresentada uma breve apreciação do importante trabalho de Cayley. Na segunda, o conceito
de massa explicitamente dependente de uma determinada variável (no caso, a posição) será
introduzido.
A equação de Lagrange para um sistema de partículas de massa constante, i.e.
kkk q
T
q
T
tQ
∂
∂−
∂
∂=
~~
d
d~
&, (3.1)(29)
onde ∑=i
iimT 2
21 v é a energia cinética do sistema de partículas, im e iv , respectivamente, a
massa e a velocidade da i-ésima partícula desse sistema, e kQ a força generalizada associada
______________
29 Assim como td/(.)d~
, kq&∂∂ /(.)~
e kq∂∂ /(.)~
referem-se a variações com respeito às partículas de V~
.
38
à coordenada generalizada kq ; pode ser demonstrada a partir do conhecido princípio de
D’Alembert, ou seja
0d
d=⋅
−∑
iii
ii t
m xFv
δ , (3.2)
sendo iF a força atuante na i-ésima partícula, ∫= tii dvx , e ixδ o deslocamento virtual da i-
ésima partícula.
Considere que
∑∂
∂=
kk
k
ii q
qδδ
xx , (3.3)
sendo kqδ a variação virtual da coordenada generalizada kq .
Então, da definição para a força generalizada kQ , i.e.
∑∂
∂⋅=
k k
iik q
Qx
F , (3.4)
e do fato de que as variações kqδ são independentes e arbitrários, mostra-se, a partir das Eqs.
(3.4), (3.3) em (3.2), como usualmente é feito, a equação de Lagrange em sua forma clássica,
que é a Eq.(3.1).
No Capítulo 2, viu-se que a real extensão da segunda lei de Newton a um sistema de
massa variável é aquela onde aparece o operador tDD /(.) , i.e. Eq. (2.40). Nessa equação,
todos os termos envolvidos são forças, o que então permite que a ela seja aplicado o princípio
de D’Alembert. Além disso, como já discutido no Capítulo 2, o ponto de vista associado ao
operador tDD /(.) é aquele onde a identidade das partículas envolvidas é mantida, o que
também é uma justificativa para o emprego do princípio de D’Alembert à Eq. (2.40).
39
Sendo assim, da Eq. (2.40) obtém-se que
0d
d)(
d
d=⋅
−−−∑
ii
iiii
ii tt
m xvwFv
δµ
. (3.5)
Em 1857, Cayley então derivou a equação de Lagrange para um sistema de partículas de
massa variável a partir da Eq. (3.5). Para tal, inicialmente, Cayley (1857, p. 507-8) assume
que
∑∑ ⋅
−
∂
∂−
∂
∂=⋅
−
kkk
kkiii
ii qQ
q
T
q
T
ttm δδ
&d
d
d
dxF
v, (3.6)
mas não faz qualquer consideração adicional sobre os operadores de diferenciação dessa
equação. No entanto, é da interpretação do autor dessa tese, que, se )(tmm ii = , então, para
que a Eq. (3.6) seja válida, é necessário interpretá-la como
∑∑ ⋅
−
∂
∂−
∂
∂=⋅
−
kkk
kkiii
ii qQ
q
T
q
T
ttm δδ
~~
d
d&D
DxF
v (3.7)
(ver Apêndice C.1). Mas em vez de apresentar a equação de Lagrange para um sistema de
partículas de massa variável como sendo
∑∂
∂⋅−−
∂
∂−
∂
∂=
i k
iii
i
kkk qtq
T
q
T
tQ
xvw )(
d
d~~
µ
&D
D (3.8)
(ver Eq. (C.17)), ou pelo menos na forma equivalente
∑∂
∂⋅−
∂
∂−
∂
∂=
i k
ii
i
kkk qt
m
q
T
q
T
tQ
xw
d
d~~~
d
d~
& (3.9)
(ver Eq. (C.13)); Cayley (1857) vale-se de uma outra abordagem para o termo
40
∑ ⋅−i
iiii t xvw δµ )d/d)(( . O autor argumenta que, como as partículas iµd ’s não pertencem
ao sistema das partículas i’s, as coordenadas generalizadas kq que descrevem o estado do
sistema formado por essas segundas não podem ser empregadas para expressar a posição
daquelas primeiras. Considerando então por hipótese que )( kii q&vv = , e valendo-se da relação
∑∂
∂=
kk
k
ii q
q&
xv , (3.10)
Cayley (1857, p. 508-9) obtém uma expressão alternativa à Eq. (3.8), i.e.
kkkk qq
T
q
T
tQ
&& ∂
ℜ∂+
∂
∂−
∂
∂=
~~~
D
D, (3.11)
onde
( ) ∑ ∑∑∑ ∑∂
∂⋅
−
∂
∂=
∂
∂⋅−=ℜ
i kk
k
ii
ll
l
ii
i kk
k
iii
i qq
qqt
qqt
&&&x
wxx
wv 2d
d2
d
d21
21 µµ
.(3.12)
Nos Capítulos 4 e 5, quando, respectivamente, os chamados ‘problema da corrente em
queda’ e o ‘problema de Wagner’ forem abordados, a consistência dessa interpretação
proposta para a equação de Cayley (Eq. (3.11)) a partir dos operadores de diferenciação
tDD /(.) , kq&∂∂ /(.)~
e kq∂∂ /(.)~
tornar-se-á mais clara.
Da Eq. (2.50), vê-se ainda que a Eq. (3.12) pode ser escrita como
∑−=ℜi
ii tt
U
d
d
d
d~
2
21 µ
w . (3.13)
Note assim que a função ℜ pode ser entendida como a soma entre 1) a quantidade de
energia mecânica (por unidade de tempo) dissipada no processo de agregação de massa
41
(primeiro termo do lado direito da Eq. (3.13)), e 2) a quantidade de energia mecânica que é
carregada para fora do sistema, ou para dentro desse trazida (segundo termo do lado direito da
Eq. (3.13)). Ou seja, ℜ corresponde à energia mecânica líquida que é dissipada no processo
de variação de massa. Deve também ser observado que 1) e 2) estão relacionados a uma
mudança na velocidade do sistema, o quê, de certa forma, justifica a forma kq&∂∂ℜ / do
termo. Assim, vê-se que ℜ desempenha o papel da função de Rayleigh para um sistema de
massa variável; podendo ainda ser imediatamente generalizada para
qCqw && ⋅⋅+∑−=ℜ T
i
ii tt
U212
21
d
d
d
d~
µ, (3.14)(30)
no caso da presença de forças de dissipação viscosa linear, onde C é a matriz de
amortecimento.
Mas dentro da mecânica analítica, a massa das partículas de um sistema pode, no caso
mais geral, ser uma função não só do tempo, mas também das coordenadas e velocidades
generalizadas, i.e. ),,( kkii qqtmm &= (ver, por exemplo, CVETIĆANIN, 1993; MUŠICKI,
1999, 2000 e PESCE, 2003). A questão é que, se a massa das partículas depende de kq e/ou
kq& , as Eq. (3.8), (3.9), ou (3.11) tornam-se impróprias. Imagine, por exemplo, uma caneta
sendo modelada como uma partícula. Suponha que essa caneta move-se, por hipótese, com
translação pura. Assim, enquanto se move e ‘risca’ a folha de papel, transfere tinta para essa
superfície (ver Fig. 3.1)
Trata-se, portanto, de uma partícula de massa variável. Como imediatamente após
abandonar a caneta, a tinta adere ao papel, então 0=w . Assim, se F é a força resultante que
movimenta a caneta, então, da Eq. (2.29), tem-se que
)(d
d~
mvt
F = , (3.15)
______________ 30 Ver forma alternativa em, por exemplo, Rosof (1971, p. 1269).
42
onde v é a velocidade da caneta.
Mas é bastante conveniente expressar a massa da caneta como uma função da distância
por ela percorrida. Basta conhecer a quantidade de tinta que a caneta abandona por unidade de
comprimento percorrido, i.e. σ [kg/m]. Assim, se 0m é a massa inicial da caneta e x a
distância por ela percorrida, então xmxm σ−= 0)( . Note que se a Eq. (3.9) fosse nesse
problema empregada com QF = , qx = , 0=w , obter-se-ia
vt
mmv
tv
x
mmv
tF
d
d~
)(d
d~~
)(d
d~
212
21 −=
∂
∂−= , (3.16)
que é uma equação diferente da Eq. (3.15).
Figura 3.1 – Ilustração de um sistema de massa variável com a posição. Uma caneta movendo-se ao longo de uma folha de papel.
Pesce (2003) então mostra que se ),,( kkii qqtmm &= , faz-se necessário reconsiderar a
dedução da equação de Lagrange a partir dos princípios de D’Alembert e dos Trabalhos
Virtuais, e assim as Eqs. (C.8) e (C.9) devem ser respectivamente reescritas como
[ ]k
ii
ii
k
iii
kk
ii qt
m
q
mm
qtqtm
∂
∂⋅−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂ xvvv
v
d
d~~~
d
d~
d
d 2212
21
2
21
&&&, (3.17)
[ ] 2212
21
2
21
~~
ik
iii
kk
ii q
mm
qqm vv
v
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂, (3.18)
x
y
x
y
x
y
43
onde agora ∑∑ ∂∂+∂∂+∂∂=k
kkik
kkiii qqmqqmtmtm &&&& )/~
()/~
(/d/d~
.
Logo, das Eqs. (3.17) e (3.18) em (C.5), obtém-se que
[ ] [ ]
k
ii
i
ik
iii
ki
k
iii
kk
iii
qt
m
q
mm
m
tm
qtqtm
∂
∂⋅−
−∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
xv
vvvvxv
d
d~
~~~
d
d~~
d
d~
d
d 2
212
212
212
21
&&, (3.19)
o que implica
kk
ii
i
k ii
k
ii
k
i
kki kk
k
iii
qqt
m
q
m
q
m
tq
T
q
T
tq
qtm
δ
δ
∂
∂⋅+
+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅ ∑ ∑∑ ∑
xv
vvxv
d
d~
~~
d
d~~~
d
d~
d
d 2212
21
&&
.(3.20)
Assim, das Eqs. (3.20) e (C.4) em (C.3), chega-se a
∂
∂⋅
−+
++
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂= ∑
k
iiii
i
ii
ik
ii
k
i
kkk
qt
t
m
q
m
q
m
tq
T
q
T
tQ
xvw
vvv
d
d)(
d
d~~~
d
d~~~
d
d~
2
212
21
µ
&&
, (3.21)
i.e.
∑
∂
∂⋅+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
i k
ii
ii
k
ii
k
i
kkk qt
m
q
m
q
m
tq
T
q
T
tQ
xwvv
d
d~~~
d
d~~~
d
d~
2
212
21
&&. (3.22)
Analogamente à Eq. (3.8), a Eq. (3.22) pode ser escrita sob o operador tDD /(.) . Para tal,
basta reconsiderar a Eq. (3.17) como
44
[ ]
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂ 2212
21
2
21
~~
d
di
k
iii
kk
ii q
m
tm
qtqtm vv
v
&&& D
D
D
D. (3.23)
Pelo mesmo procedimento acima mostrado para a demonstração da Eq. (3.22), chega-se
agora a
∑
∂
∂⋅−+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
i k
iii
ii
k
ii
k
i
kkk qtq
m
q
m
tq
T
q
T
tQ
xvwvv )(
d
d~~~~
2
212
21 µ
&& D
D
D
D. (3.24)
Note assim que, com relação à Eq. (3.9), onde )(tmm ii = , a Eq. (3.22), que é válida para
o caso mais geral em que ),,( kkii qqtmm &= , apresenta dois termos adicionais, i.e.
∑
∂
∂
ii
k
i
q
m
t2
21
~
d
d~
v&
e ∑∂
∂
ii
k
i
q
m 2
21
~v . Note agora que se a Eq. (3.22) for aplicada ao problema da
caneta anteriormente mencionado, obtém-se que
)(d
d~~~
)(d
d~
2212
21 mv
tv
x
mv
x
mmv
tF =
∂
∂+
∂
∂−= , (3.25)
que é o resultado esperado (ver Eq. (3.15)).
Vale agora dizer que, se as funções )(tqq kk = e )(tqq kk && = forem a priori conhecidas,
então a massa das partículas do sistema pode ser escrita como uma função apenas do tempo,
i.e.
))(),(,()( tqtqtmtm kkiii &== µ . (3.26)
Se assim, no problema da caneta, a Eq. (3.9) pode ser aplicada como
)(d
d~
)(d
d~~
)(d
d~
21 mv
tv
txv
tF ≡=
∂
∂−= µ
µµ , (3.27)
45
sendo
vx
m
t ∂
∂=
~
d
d~µ
. (3.28)
3.2 Volume de controle e a equação de Lagrange
Irschik e Holl (2002) foram os primeiros a abordar a questão da associação da equação de
Lagrange a um volume de controle. Em suas próprias palavras, tem-se que:
Segundo nosso melhor conhecimento, o conceito de volume de controle ainda não foi associado às equações de Lagrange na literatura. Desenvolvendo-se a extensão desejada das equações de Lagrange, uso será feito do teorema do transporte de Reynolds para um volume não-material [volume de controle], ver Truesdell e Toupin [2, sec. 81], e das generalizações desse teorema com respeito a derivadas parciais das quantidades transportadas para coordenadas e velocidades generalizadas. Cobrirá a parte principal do presente artigo a derivação dessas generalizações. (IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 232)
Para 221 v== Tψ , os autores (ver IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 242, Eqs. (4.12) e (4.15))
então consideram a seguinte generalização do teorema do transporte de Reynolds para a
derivada parcial com respeito à coordenada generalizada kq
∫∫∫∂
∂⋅−∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
TVTq
VTq
ˆˆ~
ˆd)ˆ(ˆdˆ~
d~
nvv&
ρρρ . (3.29)
É agora importante salientar a seguinte menção feita por Irschik e Holl (2002, p. 238):
“[...]as coordenadas generalizadas [ kq ’s] da Seção 2 [do seu trabalho] podem ser também
usadas para o problema fictício [i.e. para descrever o movimento de V ]31, as dependências
______________
31 Vale lembrar que V é o volume das partículas fictícias. Daí o nome ‘problema fictício’.
46
funcionais, claro, sendo diferentes [ ),,( kk qqtf &=v é diferente de ),,(ˆkk qqtg &=v , por
exemplo][...]”
Uma vez que V é instantaneamente coincidente com V~
(ver Apêndice B), então
∫∫ ==
VV
VTVTTˆ~
ˆd~
d ρρ . (3.30)
Logo, da Eq. (3.29)
∫∂
∂⋅−∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vkkk
Vq
Tq
T
q
T
ˆ
ˆd)ˆ(ˆ~
nvv&
ρ . (3.31)
Para a derivada parcial com respeito à velocidade generalizada, a generalização do
teorema do transporte de Reynolds apresentada por Irschik e Holl (2002, p. 243, Eq. (5.5))
corresponde a
∫∂
∂⋅−∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vkkk
Vq
T
q
T
tq
T
tˆ
ˆd)ˆ(ˆ
d
d~
d
dnvv
&&&ρ , (3.32)
onde não é encontrada, pelo menos não no trabalho original desses autores, nenhuma
distinção entre o operador de diferenciação total que aparece no lado esquerdo da Eq. (3.32) e
aquele que aparece no lado direito dessa equação. A questão é que, se assim for, a equação
kk q
T
q
T&& ∂
∂=
∂
∂ ˆ~, (3.33)
que é apresentada pelos autores (IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 242, Eq. (4.16)), torna então
sempre nulo o segundo termo do lado direito da Eq. (3.32). Mas isso equivale a assumir que o
fluxo de quantidade de movimento ∫∫∂∂
∂⋅−∂
∂⋅=∂⋅−
∂
∂
V kV k
Vq
Vq
T
ˆˆ
ˆd)ˆ(ˆd)ˆ( nvvx
vnvv ρρ&
47
também é sempre nulo. O que é impróprio. Além disso, os próprios autores, ao abordarem o
clássico problema do foguete como exemplo de aplicação, corretamente assumem que
0ˆd)ˆ(ˆ
≠∂⋅−∂
∂∫
∂V k
Vq
Tnvv
&ρ .
Ou seja, uma vez que o trabalho de Irschik e Holl (2002) é de caráter geral, o autor dessa
tese acredita fortemente que a Eq. (3.32) deva ser reinterpretada. Para tal, tome, inicialmente,
o teorema do transporte de Reynolds (na forma da Eq. (2.30)) com kqT &∂∂= /~
ψ , o que então
conduz a
∫∂
∂⋅−∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vkkk
Vq
T
q
T
tq
T
tˆ
ˆd)ˆ(~
d
d~
d
d~
nvv&&&
ρ . (3.34)
Substituindo-se agora as Eqs. (3.31) e (3.34) em (3.1), obtém-se a equação de Lagrange
associada ao volume de controle V , i.e.
∫∫∂∂
∂⋅−∂
∂−∂⋅−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
Vk
Vkkk
k Vq
TVq
T
q
T
q
T
tQ
ˆˆ
ˆd)ˆ(ˆd)ˆ(ˆ~
d
dnvvnvv
&&&ρρ , (3.35)32
que é algo diferente daquela que é originalmente demonstrada por Irschik e Holl (2002, p.
243, Eq. (5.6)) a partir da consideração da Eq. (3.32) (no lugar da Eq. (3.34)), i.e.
∫∫∂∂
∂⋅−∂
∂−∂⋅−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
Vk
Vkkk
k Vq
TVq
T
q
T
q
T
tQ
ˆˆ
ˆd)ˆ(ˆd)ˆ(ˆˆ
d
d~
nvvnvv&&&
ρρ . (3.36)
Entretanto, deixa-se bem claro que a consideração da Eq. (3.34) em vez da Eq. (3.32), e a
da Eq. (3.35) em vez da Eq. (3.36), em nada altera a validade dos resultados apresentados por
Irschik e Holl (2002). Inclusive, a reinterpretação aqui proposta permite que a consistência de
seus resultados fique ainda mais evidente.
______________
32 ∫ ∂∂⋅=V
kk VqQ~
~d)/( xf , onde f é a força atuante em um elemento de massa V
~dρ .
48
Irschik e Holl (2002, p. 245) argumentam que se pode assumir que
0ˆdd
d1ˆˆd)ˆ(
ˆˆ
=∂
∂
∂=∂⋅−
∂
∂
∫∫∂∂ V
kV
k
Vt
m
AqTV
qT
&&nvvρ , (3.37)
onde ∫∂
∂=V
VAˆ
ˆd , haja vista que, comumente, são consideradas as seguintes simplificações
0d
dˆ=
∂
∂
t
m
qk&, (3.38)
0=∂
∂
kq
A
&. (3.39)
Note que a hipótese dada pela Eq. (3.38) é equivalente a
0ˆ
=∂
∂
kq
m, (3.40)
ou seja, a massa contida em V não depende das coordenadas generalizadas33, e, portanto,
pode ser interpretada como uma função apenas do tempo, i.e.
∫
=
t
mtm
0
dd
d)(ˆ τ
τ. (3.41)
Isso mostra que, na porção de V∂ onde ocorre o fluxo de massa, i.e. onde em V∂
nvnv ⋅≠⋅ ˆ , tanto a posição das partículas reais quanto a das fictícias não dependem de kq .
______________ 33 E, supostamente, também não das velocidades generalizadas.
49
Da Eq. (3.37), tem-se que
0)),,(ˆ(,0),,((0ˆd)ˆ(ˆ
=∂
∂=
∂
∂⇒=∂⋅−
∂
∂∫∂
kkk
kkk
Vk
qqtq
qqtq
Vq
T &&
&&&
vvnvvρ , (3.42)
o que implica
)(ˆˆ),(0)),(ˆ(,0)),(( ttqtq
qtq k
kk
k
xxxxxx ==⇒=∂
∂=
∂
∂, (3.43)
kk q
T
q
T
∂
∂=
∂
∂ ˆ~. (3.44)
Assim, verifica-se que, quando a posição das partículas reais e fictícias imediatamente
localizadas em V∂ dependem apenas do tempo, a massa contida em V também depende
apenas do tempo, i.e. Eqs. (3.41) e (3.43). Veja que, de fato, a teorema do transporte de
Reynolds (para a variável tempo) com 1=ψ e 0=θ (ver Eqs. (2.20) e (2.30)) conduz a uma
relação, i.e
∫∫∫∂∂
∂⋅−−=⇒=∂⋅−+
VVV
Vtt
mVV
tˆˆˆ
ˆd)ˆ(d
d
d
d0ˆd)ˆ(ˆd
d
dnxxnvv ρρρ . (3.45)
Note assim que os operadores de diferenciação td/(.)d e td/(.)d estão associados com a
dependência temporal da massa em V . Além disso, a Eq. (3.35) sob a hipótese dada pela Eq.
(3.37) torna-se igual a
∫∂
∂⋅−∂
∂⋅+
∂
∂−
∂
∂=
Vkkk
k Vqq
T
q
T
tQ
ˆ
ˆd)ˆ(~~
d
dnvv
xvρ
&, (3.46)
que é análoga à Eq. (3.9) para um sistema de partículas de massa dependente do tempo.
50
O objetivo agora é apresentar a forma da equação de Lagrange para um volume de
controle onde a massa nele contida varia do modo mais geral, i.e. não só com o tempo, mas
também com as coordenadas e velocidades generalizadas, onde então se faz ),,( kk qqmm &((τ= .
Ou seja, para um volume de controle, qual é a equação análoga à Eq. (3.22)? A idéia é
estender o conceito já apresentado de que um sistema de partículas de massa variável com o
tempo, coordenadas e velocidades generalizadas, i.e. ),,( kkii qqtmm &= , pode ser interpretado
como um sistema de partículas de massa apenas dependente do tempo, i.e.
))(),(,()( tqtqtmtm kkiii &== µ . Para tal, basta conhecer a priori as funções )(tqq kk = e
)(tqq kk && = . Inicialmente, na Seção 3.2.1, o caso em que a massa no volume de controle varia
com a coordenas generalizadas será abordado. Em seguida, na Seção 3.2.2, aquele em que a
massa no volume de controle varia com as velocidades generalizadas. Por último, na Seção
3.2.3, o caso mais geral onde a massa no volume de controle varia tanto com as coordenas
quanto com as velocidades generalizadas.
3.2.1 Massa variável de forma explícita com as coordenadas generalizadas
Seja V(
um volume instantaneamente coincidente com V . Assuma que ),( kqτxx((
= é a
função que descreve a posição e forma de V(
∂ , sendo τ um parâmetro. Logo, um incremento
infinitesimal no valor de kq implica uma variação kk qq d)/( ∂∂x(
na posição e forma de V(
∂ .
Então, seguindo a forma da expressão de Irschik e Holl (2002, p. 242, Eq. (4.13)), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
ψVψq
Vψq ~~~
~d
~)d(
~d
~n
v
&ρρρ , (3.47)
que a partir da relação dada pela Eq. (C.23) também pode ser alternativamente escrita como
51
∫∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
ψVψq
Vψq ~~~
~d
~)d(
~d
~n
xρρρ , (3.48)
concebe-se, em total analogia com as Eqs. (3.48), (B.11) e Fig. B.3 (ver Apêndice B), a
seguinte expressão para a variação em V(
∫∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
ψVψq
Vψq (((
((
(((
d)d(d nx
ρρρ . (3.49)
Considere agora a hipótese dada pela Eq. (3.45), que implica que a função x que descreve
a posição e forma de V∂ depende explicitamente do tempo, i.e. )(ˆˆ txx = (ver Eq. (3.43)).
Mas sendo V e V(
instantaneamente coincidentes, é possível imaginar a seguinte relação
entre as funções x e x(
, i.e.
))(,()(ˆ tqtt k≡= τxx(
. (3.50)
Ou seja, enquanto x é implicitamente dependente das coordenadas generalizadas, x(
é
explicitamente dependente dessas. Sendo assim, pelo mesmo raciocínio que conduz a Eq.
(B.9) a (B.10), onde υ é fixo no tempo, escreve-se, a partir da Eq. (3.49)
∫∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
ψVψq
Vψq
ˆˆ
ˆdˆd~
d nx(
((
(
ρρρ , (3.51)
onde agora a posição e forma de V∂ não varia com kq .
Ou seja, V desempenha para V(
a mesma função que υ (ver Apêndice B) desempenha
para V~
. Nesse segundo caso, uma função xxxx que descreve a posição e forma de υ∂ não
depende do tempo, e, portanto, deve ser uma constante, i.e. const.=xxxx Já a função que
descreve a posição e forma de V~
∂ é dependente do tempo, i.e. )(txx = (considerando a
hipótese dada pela Eq. (3.42)). No entanto, como υ e V~
são instantaneamente coincidentes,
52
então xxxx=)(tx no instante de tempo t considerado. Analogamente àquele primeiro caso,
tem-se que a função )(ˆˆ txx = que descreve a posição e forma de V∂ não depende de kq , e,
portanto, é interpretada como implicitamente dependente de kq , ou explicitamente dependente
do tempo. Por outro lado, a função ),( kqτxx((
= que descreve a posição e forma de V(
∂
depende de kq . Ainda de mesmo modo, ))(,()(ˆ tqtt k≡= τxx(
.
Tome agora 1=ψ na Eq. (3.51), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
Vq
Vq
ˆˆ
ˆdˆd~
d nx(
((
(
ρρρ . (3.52)
Mas como )(ˆˆdˆ
tmVV
=∫ ρ , a Eq. (3.52) fica
∫∫∂
∂⋅∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vq
Vq
ˆ
ˆdd nx(
((
(
ρρ , (3.53)
o que implica
),(d k
V
qmV τ((
(
=∫ ρ , (3.54)
sendo
))(,()(ˆ tqtmtm k≡= τ(
. (3.55)
Ou seja
⇒=
⇒=
),(),(,
)(ˆ)(ˆˆ,ˆ
kk qmqV
tmtV
ττ((((
xx
xx. (3.56)
53
Considere agora 221 v== Tψ na Eq. (3.51), i.e.
∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vkkk
Vqq
T
q
T
ˆ
221 ˆd
~n
xv
((
ρ . (3.57)
Então, da Eq. (3.57) em (3.46), chega-se a
∫∫∂∂
∂⋅−∂
∂⋅+∂⋅
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
Vk
Vkkk
k Vq
Vqq
T
q
T
tQ
ˆˆ
21 ˆd)ˆ(ˆd
~
d
dnvv
xvn
xv 2 ρρ
((
&, (3.58)
que é a equação de Lagrange associada a um volume de controle cuja massa depende
explicitamente de kq .
Mas assim como a Eq. (3.46) é análoga à Eq. (3.9), mostra-se que a Eq. (3.58) é análoga à
Eq. (3.22) com ),( kii qtmmm == , por exemplo. Verifique, por exemplo, que, no caso
particular em que 2212
212
212
21 ),(d)(ˆˆd vvvv k
VV
qmVtmV τ((
()
=⇒= ∫∫ ρρ , i.e. quando todas as
partículas de V(
apresentam a mesma velocidade v , tem-se, da Eq. (3.57),
∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂⋅=
∂
∂⋅+
∂
∂
Vkkk
kk
Vqq
tmq
qmq
m
ˆ
2212
21 ˆd)(ˆ),( n
xv
vv
vvv
((
(
ρτ . (3.59)
Mas como no instante de tempo considerado vale a Eq. (3.55), a Eq. (3.59) fica
221
ˆ
221 ˆd vn
xv
kV
k q
mV
q ∂
∂=∂⋅
∂
∂
∫∂
((
ρ . (3.60)
Assim, das Eqs. (3.60), (3.58) e (A.15), chega-se a
kkkkk qt
m
q
m
q
T
q
T
tQ
∂
∂⋅+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
xwv 2
d
d~
d
d21
((
&, (3.61)
54
como se queria mostrar análoga à Eq. (3.22) com ),( kii qtmmm == .
3.2.1.1 Exemplo ilustrativo de aplicação
Antes de se iniciar com a abordagem desse problema, deixa-se claro que esse é um
exemplo bastante simples e que pode ser alternativamente resolvido pela aplicação da
segunda lei de Newton, como assim mostra a Eq. (3.79). O objetivo é o de se apresentar um
exemplo didático de aplicação da equação de Lagrange para um volume de controle onde a
massa varia explicitamente com a posição.
Seja então um bloco que é constantemente pressionado contra uma superfície áspera (ver
Fig. 3.2). Suponha que a consistência do bloco é tal que o mesmo não possa ser comprimido.
As dimensões iniciais do bloco são l e 0h , sendo essas, respectivamente, sua largura e altura.
Considere que a força if [N/kg] empurra o bloco ao longo da superfície áspera, quando então
o mesmo se torna sujeito à ação da força de atrito )( i−atf [N/kg]. À medida que o bloco
muda de posição, sua massa é continuamente depositada ao longo de seu trajeto, onde
permanece em repouso. Se a densidade linear σ [kg/m] do material abandonado é, por
hipótese, constante, então, a massa do bloco, quando localizado na posição arbitrária r
(coordenada generalizada do sistema), pode ser convenientemente expressa por
σρρ rhrhrm −== ll(
0)()( , (3.62)
sendo ρ [kg/m2] a densidade do bloco que, por hipótese, também é constante, e )(rhh = a
altura do bloco quando na posição arbitrária r .
Como após abandonarem o bloco, as partículas adquirem velocidade absoluta nula, não há
fluxo de quantidade de movimento a partir do bloco, e então, a Eq. (3.58) torna-se
∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅−
VV
at Vrr
T
r
T
tV
rff
ˆ
221
ˆ
ˆd~
d
dˆd)( nx
vv
i
((
&&ρρ . (3.63)
55
Mas nesse problema, existe uma singularidade34 na distribuição de velocidade dentro do
bloco. Ocorre que, a cada instante de tempo, no interior desse volume, há uma camada ε de
partículas que se encontra em contato com a superfície áspera, e, por isso, as partículas dessa
camada apresentam velocidade absoluta nula. Com exceção dessas, todas as outras partículas
em V(
apresentam velocidade dada por
∂
∂+=+= jijiv
r
h
t
r
t
h
t
r
d
d
d
d
d
d. (3.64)
Figura 3.2 - Sistema de massa variável explicitamente com a posição. Um bloco movendo-se ao longo de uma superfície áspera.
A questão é que, felizmente, essa singularidade ocorre no interior de V(
, e não através de
V(
∂ . Assim, a energia cinética do bloco pode então ser calculada como
______________ 34 Um tratamento formal a esse tipo de problemática pode ser encontrado em Irschik e Schlager (2004).
0=w ε
h
r
l
superfície áspera
A
B
D
C
n
x ′
y ′
x
y
0=w
material abandonado
ε
i
j
VV ˆ=(
V(
V
tt d+
tatf f
dm0=w ε
h
r
l
superfície áspera
AA
BB
DD
CC
n
x ′
y ′
x
y
x
y
0=w
material abandonado
ε
i
j
i
j
VV ˆ=(
V(
V
tt d+
tatf fatf f
dmAV∂ AV∂
BV∂ BV∂
CV∂ CV∂
DV∂ DV∂
56
2212
212
21 )(d vvv mmV
V
(l
((
(
≅−=∫ ρερ . (3.65)
Seja agora o cálculo de ∫∂
∂⋅∂∂V
Vrˆ
221 ˆd)/( nxv
(ρ , onde ∫∫∫∫∫
∂∂∂∂∂
+++=
DCBA VVVVV ˆˆˆˆˆ
(ver
Fig. 3.2).
0;;);0(,:
;;);(,:ˆ
≡−==∂
∂≤<+=
−==∂
∂≤<+=−∂
vinix
jix
vinix
jix
ryyr
rhyyrVA
((
((
εε
εε, (3.66)
hhyVr
h
VA
2212
212
21
ˆ
221 )(d)1(ˆd vvvn
xv ρερρρ
ε
−≅−=−=∂⋅∂
∂
∫∫+∂
(
; (3.67)
vjnjix
jix ;;);'0(,)()'(:ˆ =∂
∂+=
∂
∂≤≤++=∂
r
h
rxrhxrVB
(
l(
, (3.68)
l
(l
r
hx
r
hV
rBV
∂
∂=
∂
∂=∂⋅
∂
∂
∫∫∂
221
0
221
ˆ
221 'dˆd vvn
xv ρρρ ; (3.69)
0;;);0(,)(:
;;);(,)(:ˆ
≡==∂
∂≤<++=
==∂
∂≤<++=−∂
vinix
jix
vinix
jix
ryyr
rhyyrVC
(
l(
(
l(
εε
εε
, (3.70)
hhyVr
h
VC
2212
212
21
ˆ
221 )(dˆd vvvn
xv ρερρρ
ε
≅−==∂⋅∂
∂
∫∫+∂
(
; (3.71)
0:ˆ ≡∂ vDV , (3.72)
57
0ˆdˆ
221 =∂⋅
∂
∂
∫∂ DV
Vr
nx
v
(
ρ . (3.73)
Então, das Eqs. (3.73), (3.71), (3.69) e (3.67), obtém-se que
221
ˆ
221 ˆd vn
xv l
(
r
hV
rV
∂
∂=∂⋅
∂
∂
∫∂
ρρ , (3.74)
que da Eq. (3.62) também pode ser escrita como
221
ˆ
221 ˆd vn
xv
r
mV
rV
∂
∂=∂⋅
∂
∂∫∂
((
ρ . (3.75)
Então, como
[ ]r
tmrrtmrr
T
&&
&& ∂
∂⋅=
∂
∂=
∂
∂ vvv )(ˆ),()(ˆ
~~2
21 , (3.76)
rttm
rttm
rt
m
rtm
tr
T
t &&&&& ∂
∂⋅+
∂
∂⋅+
∂
∂⋅=
∂
∂⋅=
∂
∂ vv
vvvv
vv
d
d)(ˆ
d
d)(ˆ
d
d)(ˆ
d
d~
d
d, (3.77)
[ ]r
tmr
m
rrm
r
mrrrm
rr
T
∂
∂⋅+
∂
∂≡
∂
∂⋅+
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂ vvv
vvvv )(ˆ)(),()( 2
212
212
21
((
(
&(
((
(3.78)
(ver Eq. (3.55)), obtém-se, por fim, das Eqs. (3.78), (3.77), (3.75) e das relações dadas pelas
Eqs. (C.22) e (C.23) em (3.63), que
)(d
drm
tFF at &=− , (3.79)
58
sendo ∫=V
VfFˆ
ˆdρ e ∫=V
atat VfFˆ
ˆdρ .
Note que a Eq. (3.79) é aquela que seria obtida da aplicação da segunda lei de Newton sob
a forma dada pela Eq. (2.34).
3.2.2 Massa variável de forma explícita com as velocidades generalizadas
Seja V(
um volume instantaneamente coincidente com V , onde agora a função que
descreve a posição e forma de V(
∂ é dada por ),( kq&((τxx = . Um incremento infinitesimal em
kq& então implica uma variação kk qq &&(
d)/( ∂∂x na posição e forma de V(
∂ .
A consideração de que a posição de uma partícula depende das velocidades generalizadas
não é usual dentro da abordagem clássica da mecânica analítica. Nessa, o caso mais geral
explorado é aquele em que a posição da partícula depende do tempo e das coordenadas
generalizadas (ver, por exemplo, IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 235, Eq. (2.2) e LANCZOS,
1970, p. 32, Eq. (18.3)). No entanto, assim como Irschik e Holl (2002, p. 234) supõe que a
posição de uma dada partícula pode ser propriamente descrita como ))(,()( tqtt kxxx == ,
assume-se aqui que a função que descreve a posição e forma de V(
∂ pode ser dada por
),( kq&((τxx = . Assim, seguindo a forma da Eq. (3.57) e da extensão da Eq. (3.56), i.e.
⇒=
⇒=
⇒=
),(),(,
),(),(,
)(ˆ)(ˆˆ,ˆ
kk
kk
qmqV
qmqV
tmtV
&(
&(((
((((
ττ
ττ
xx
xx
xx
, (3.80)
tem-se uma expressão análoga à Eq. (3.57), ou seja
∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vkkk
Vqq
T
q
T
ˆ
221 ˆd
~n
xv
&
(
&&
(
ρ . (3.81)
59
Derivando-se a Eq. (3.81) sob o operador td/(.)d , obtém-se
∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vkkk
Vqtq
T
tq
T
tˆ
21 ˆd
d
d~
d
d
d
dn
xv 2
&
(
&&
(
ρ . (3.82)
Assim, da Eq. (3.82) em (3.46), mostra-se que
∫∫∂∂
∂⋅−∂
∂⋅+∂⋅
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
Vk
Vkkk
k Vq
Vqtq
T
q
T
tQ
ˆˆ
21 ˆd)ˆ(ˆd
d
d~
d
dnvv
xvn
xv 2 ρρ
&
(
&
(
, (3.83)
que é a equação de Lagrange associada a um volume de controle no qual a massa depende
explicitamente de kq& .
E, assim como a Eq. (3.46) é análoga à Eq. (3.9), e a Eq. (3.58) é análoga à Eq. (3.22) com
),( kii qtmmm == , a Eq. (3.83) é análoga à Eq. (3.22) com ),( kii qtmmm &== . Para
verificar, basta proceder como anteriormente, assumindo que todas as partículas de V(
apresentam a mesma velocidade v , i.e. 2212
21 ),(d)(ˆˆd vv k
VV
qmVTtmVT &((
()
τ=⇒= ∫∫ ρρ .
Nesse caso, a Eq. (3.81) torna-se
∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂⋅=
∂
∂⋅+
∂
∂
Vkkk
kk
Vqq
tmq
qmq
m
ˆ
2212
21 ˆd)(ˆ),( n
xv
vv
vvv
&
(
&&
(
&
(
ρτ , (3.84)
e então, da relação análoga à Eq. (3.55), i.e.
))(,()(ˆ tqtmtm k&(
≡= τ , (3.85)
a Eq. (3.84), após derivação sob o operador td/(.)d , fica
60
∂
∂=∂⋅
∂
∂
∫∂
221
ˆ
221
d
dˆdd
dvn
xv
kV
k q
m
tV
qt &
(
&
(
ρ . (3.86)
Por fim, das Eqs. (3.86), (3.83) e (A.15), mostra-se que
kkkkk qt
m
q
m
tq
T
q
T
tQ
∂
∂⋅+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
xwv
2
d
d
d
d~
d
d21
&
(
&
(
, (3.87)
que é aquilo que se queria verificar.
3.2.2.1 Exemplo ilustrativo de aplicação
Exemplos envolvendo sistemas de massa variável explicitamente com a velocidade são
bastante difíceis de serem encontrados. O que será resolvido a seguir, inclusive, foi o único
que o autor dessa tese conseguiu conceber. No entanto, vale ressaltar que esse exemplo está
fundamentado em hipóteses bastante fortes, e, assim como aquele apresentado na Seção
3.2.1.1, também pode ser resolvido de um modo mais simples (ver Eq. (3.106)). Mas,
novamente, assim como na Seção 3.2.1.1, o objetivo aqui é o de se apresentar um exemplo
didático de aplicação da equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia
explicitamente com a velocidade.
Considere então um reservatório em forma de ‘meia-cuia’. Suponha que, inicialmente,
esse reservatório encontra-se completamente preenchido por um determinado líquido. Na
extremidade de uma haste que gira com velocidade jα& em torno de um eixo jO , o
reservatório encontra-se fixo (ver Fig. 3.3). Para a simplicidade da análise é interessante
considerar que as dimensões do reservatório são pequenas se comparadas ao comprimento da
haste, o que então permite assumir que todas as partículas líquidas apresentam a mesma
distância do eixo.
Considere então que as propriedades físicas do líquido são tais que, quando o reservatório
passa de uma velocidade angular a outra, a superfície livre desloca-se até sua nova posição de
equilíbrio de modo lento o suficiente a manter sua forma plana. Além disso, o líquido
61
V(
V
ε
R
i
j
x
yk r
n
l
tt d+
t
líquidoabandonado do
reservatóriojΓ
jα&
y ′
x ′γ
V(
V
ε
R
i
j
x
yk r
n
l
tt d+
t
líquidoabandonado do
reservatóriojΓ
jα&
y ′
x ′
V(
V
ε
R
i
j
i
j
x
y
x
yk r
n
l
tt d+
t
líquidoabandonado do
reservatóriojΓ
jα&
y ′
x ′γ
abandona o reservatório através de uma região de tamanho 0→ε , analogamente ao
problema da Seção anterior.
Figura 3.3 - Um reservatório de líquido que é aberto e que se encontra preso na extremidade de uma haste que gira. Sistema de massa variável explicitamente com a velocidade.
A aceleração centrípeta ( iR2α&− ) do reservatório, onde R é sua distância até o eixo,
determina a inclinação γ da superfície livre do líquido. Assim, verifica-se que a inclinação da
superfície livre do líquido depende explicitamente da velocidade angular do reservatório, que
é a velocidade generalizada do sistema. Por essa razão, como mostra a Fig. 3.3, a massa
contida no reservatório depende explicitamente da velocidade generalizada do sistema.
Quando a superfície livre do líquido apresenta uma inclinação γ arbitrária, a massa
contida no reservatório é dada por
62
−= γλ
22
21 π
m l(
, (3.88)
onde Lρλ = [kg/m2], sendo ρ [kg/m3] a densidade do líquido, L e l , respectivamente, o
comprimento e o raio da meia-cuia.
A dependência de γ com α& é dada através da conhecida relação
=
g
R2
arctanα
γ&
, (3.89)
sendo g a aceleração devido à gravidade.
Logo, a Eq. (3.88) fica
−=
g
Rm
22
21 arctan
2)(
απλα
&l&
(. (3.90)
Sendo as dimensões do reservatório, por hipótese, muito menores que R , a velocidade de
arrastamento das partículas líquidas pode ser considerada a mesma e igual a
kijv RRarr αα && −=×= . (3.91)
Se a viscosidade do líquido for suficientemente alta, não apenas a movimentação da
superfície livre é lenta, como também a velocidade das partículas com relação ao reservatório
é bem menor que a velocidade de arrastamento dessas. Quando assim, pode-se assumir que a
velocidade de todas as partículas líquidas corresponde àquela dada pela Eq. (3.91), e logo, a
energia cinética em V(
fica
22
2412
212
212
21 )(arctan
2dd R
g
RmVVT
VV
ααπ
λλλ &&
l((((
((
−==== ∫∫ vvv . (3.92)
63
A equação que descreve o movimento do líquido no reservatório pode ser obtida a partir
da reconsideração da Eq. (3.83) , i.e.
∫∫∂∂
∂⋅−⋅×+∂⋅∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
VV
VVt
TT
tˆˆ
21 ˆd)ˆ(ˆd
d
d~
d
dnvvvrn
xv 2 λ
αλ
ααΓ
&
(
&
(
, (3.93)
sendo jΓ Γ= a parcela do torque aplicado com relação ao eixo jO que causa a aceleração
angular do líquido no reservatório, e o quarto termo do lado direito35 nulo devido ao fato de
que o líquido abandona o reservatório na direção radial, i.e. 0=× vr na região onde se dá o
fluxo. Nesse caso, a Eq. (3.93) torna-se
∫∂
∂⋅∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
V
Vt
TT
tˆ
21 ˆd
d
d~
d
dn
xv 2
αλ
ααΓ
&
(
&
(
. (3.94)
Seja, por fim, o cálculo de ∫∂
∂⋅∂∂V
Vtˆ
221 ˆd)/()d/d( nxv αλ &
(. Da Fig. 3.3, vê-se que, com
relação ao sistema de coordenadas '' yx , a função que descreve a posição da superfície V(
∂ é
)(sin)(cos jix −+−= γγ rr(
, (3.95)
i.e.
)(arctansin)(arctancos)(22
jix −
+−
=
g
Rr
g
Rr
ααα
&&&
(. (3.96)
Logo
______________ 35 Ver Grubin (1963).
64
−
+
+
=∂
∂)(arctancosarctansin
1
2 22
22ji
x
g
R
g
R
g
Rg
Rr αα
α
α
α
&&
&
&
&
(
. (3.97)
Então, como
jin γγ cos)(sin +−= , (3.98)
i.e.
jin
+−
=
g
R
g
R 22
arctancos)(arctansinαα &&
, (3.99)
tem-se, da Eq. (3.97), (3.99) e (3.91), que
+
−=
+
−=∂⋅∂
∂
∫∫∂
22
233
21
0
22
33
ˆ
221
1
d
1
ˆd
g
Rg
Rrr
g
Rg
RV
V α
αρ
α
αρ
αρ
&
l&
&
&
&
(l
nx
v . (3.100)
Derivando-se então a Eq. (3.100) sob o operador td/(.)d , chega-se à expressão
procurada, i.e.
+−
+−=∂⋅
∂
∂
∫∂
422
42
422
22
21
ˆ
221 4
3)(ˆdd
d
α
α
α
ααρ
αρ
&
&
&
&&l&
&
(
Rg
R
Rg
gRRV
tV
nx
v . (3.101)
Note agora da Eq. (3.90) e (3.91) que
+−
+−=
∂
∂422
42
422
22
212
21 4
3)(d
d
α
α
α
ααρ
α &
&
&
&&l&
&
(
Rg
R
Rg
gRR
m
tv . (3.102)
65
Ou seja, de modo análogo ao problema apresentado na Seção anterior, onde se verificou
válida a Eq. (3.60), no presente problema, verifica-se válida a Eq. (3.86). Isso ocorre, pois, em
ambos os casos foi admitido que as partículas em V(
possuem todas a mesma velocidade.
Note, de fato, que, como todas as partículas de V(
possuem a mesma velocidade v , o que
implica 2vmT((
21= (em analogia com a Eq. (3.65) do problema anterior), tem-se
[ ]α
αα
αααα &
&(
&
(
&&(
&
(
&
(
∂
∂⋅+
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂ vvvv )()()( 2
212
21 m
mm
T, (3.103)
αα
αα
αααα
αα
&&
(
&&
(
&&
(
&&
(
&
(
&
(
∂
∂⋅+
∂
∂⋅+
+∂
∂⋅+
∂
∂=
∂
∂⋅+
∂
∂=
∂
∂
vv
vv
vvv
vvv
tm
tm
t
mm
tm
m
t
T
t
d
d)(
d
d)(
d
d
d
d)(
d
d
d
d 2212
21
, (3.104)
[ ] [ ]α
αα
αααα ∂
∂⋅=
∂
∂≡
∂
∂=
∂
∂ vvvv )(ˆ)()(ˆ
~)())((
~~2
212
21 tmtmtm
T&&&
(. (3.105)
Por fim, das Eqs. (3.105), (3.104), (3.102), (3.101), (3.85) e das relações (C.22) e (C.23)
na Eq. (3.94), obtém-se que36
)(d
d 2αΓ &mRt
= , (3.106)
i.e.
)(d
dαΓ ι &
t= , (3.107)
onde 2mR=ι é o momento de inércia do líquido com relação ao eixo jO .
______________ 36 O torque total deverá incluir a taxa de variação da quantidade de movimento angular do sistema mecânico completo.
66
3.2.3 Massa variável de forma explícita com as coordenadas e velocidades
generalizadas
Nesse último caso, que é uma combinação daqueles apresentados nas Seções 3.2.1 e 3.2.2,
deve-se considerar que a função que descreve a posição de V(
∂ é dependente tanto das
coordenadas como das velocidades generalizadas, i.e. ),,( kk qq &((τxx = , onde, novamente,
))(),(,()(ˆ tqtqt kk &(
tτ == xx . Uma variação na posição e forma de V(
∂ pode ocorrer com um
incremento em kqd e/ou um incremento em kq&d , i.e. kkkk qqqq &&((
d)/(d)/( ∂∂+∂∂ xx . A Eq.
(3.80) assume aqui sua forma mais completa, i.e.
⇒=
⇒=
⇒=
⇒=
),,(),,(,
),(),(,
),(),(,
)(ˆ)(ˆˆ,ˆ
kkkk
kk
kk
qqmqqV
qmqV
qmqV
tmtV
&(
&(((
&(
&(((
((((
ττ
ττ
ττ
xx
xx
xx
xx
. (3.108)
Nesse caso em que ),,( kk qq &((τxx = em V
(∂ , a Eq. (3.57) é tomada assumindo-se kq& fixo,
e a Eq. (3.82) considerada com kq fixo. A substituição dessas duas equações na Eq. (3.46) por
fim conduz a
∫
∫∫
∂
∂∂
∂⋅−∂
∂⋅+
+∂⋅∂
∂+∂⋅
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
Vk
Vk
Vkkk
k
Vq
Vq
Vqtq
T
q
T
tQ
ˆ
ˆ
221
ˆ
221
ˆd)ˆ(
ˆdˆdd
d
d
d
nvvx
v
nx
vnx
v
ρ
ρρ(
&
((
&
(
, (3.109)
que é a equação de Lagrange associada a um volume de controle onde a massa varia
explicitamente com as coordenadas e velocidades generalizadas. E, certamente, no caso
particular em que 221 vmT((
= , das Eqs. (3.60) e (3.86) (e (A.15)) em (3.109), chega-se a
67
kkkkkk qt
m
q
m
q
m
tq
T
q
T
tQ
∂
∂⋅−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
xwvv
d
d
d
d
d
d 2212
21
(
&
((
&
(
, (3.110)
cuja forma é análoga à equação de Lagrange para um sistema de partículas em que
),,( kkii qqtmmm &== (ver Eq. (3.22)).
Sistemas cuja massa varia tanto com as coordenadas quanto com as velocidades
generalizadas são bem difíceis de serem concebidos. Por essa razão, o autor dessa tese optou
por explorá-los com mais acuidade em trabalhos futuros.
3.3 Discussão
Apresentou-se até então, de modo heurístico e a partir de argumentos físicos gerais como
os apresentados em Reynolds (1903) apud Irschik e Holl (2004, p. 147), Thompson (1988, p.
15-6) e Truesdell e Toupin (1960, p. 347), o teorema do transporte de Reynolds generalizado
a derivadas parciais com respeito às coordenadas e velocidades generalizadas, mas para um
volume de controle onde massa varia explicitamente com essas variáveis. Da disposição desse
resultado, e interpretando-se o resultado de Irschik e Holl (2002) (ver Eq. (3.35)) como a
equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia explicitamente com o
tempo, chegou-se à equação de Lagrange para um volume de controle onde a massa varia
explicitamente com as coordenadas e velocidades generalizadas. Esse é um resultado original
dessa tese que então vem a contribuir para o entendimento da aplicação da equação de
Lagrange a sistemas de massa variável, em particular os contínuos.
Quando possível, a interpretação da massa de um sistema como uma função das
coordenadas e velocidades generalizadas possui uma vantagem na resolução de problemas.
No da caneta, por exemplo (ver Fig. 3.1), se a informação sobre a quantidade de tinta que é
depositada ao longo da folha de papel, que depende das propriedades físicas da tinta e do
modo em que a caneta foi construída, estiver disponível, torna-se possível, mesmo antes de se
68
resolver o problema, apresentar uma expressão para a massa da caneta. Isso implica que a
equação de movimento, i.e.
t
vmv
x
mF
d
d
d
d~
2 += , (3.111)
torna-se uma equação diferencial de primeira ordem em v com os coeficientes xxm d/)(d~
e
)(xmm = conhecidos. Note que se a massa da caneta for alternativamente interpretada como
uma função do tempo, i.e. ))(()( txmtm == µ , a mesma torna-se dependente da própria
solução )(txx = da equação de movimento, ou seja
t
vmv
t
mF
d
d
d
d~
+= . (3.112)
3.4 O princípio de Hamilton e sistemas contínuos de massa
variável
O princípio de ação estacionária está associado a importantes nomes como o de Sir
William Rowan Hamilton (1805 - 1865). A aplicação do princípio de Hamilton estende-se
desde a mecânica clássica até a quântica, podendo ser concebido tanto para sistemas discretos
como para contínuos. A pretensão desse Capítulo está longe de ser a de se abordar o tema em
sua totalidade. Assim como no Capítulo 3 discutiu-se a extensão da equação de Lagrange a
sistemas de massa variável, no presente Capítulo, o mesmo será feito com o princípio de
Hamilton, também originalmente formulado para sistemas onde a identidade das partículas
deve ser mantida.
Na hidrodinâmica, essa problemática de se identificar a partícula aparece mesmo no
tratamento de volumes fechados. Basta, por exemplo, que se valha da descrição Euleriana do
69
escoamento. Como comentam Gabbai e Benaroya (2005, p. 1), “[...] o desenvolvimento de
princípios varicionais Eulerianos não tem sido sem desafios, que emergem principalmente da
necessidade de se ‘forçar’ a correspondência entre os princípios Eulerianos e Lagrangeanos.”
Um dos notáveis trabalhos sobre essa questão é o de Seliger e Whitham (1968). Nele é
demonstrada, para um sistema contínuo e fechado, a forma Euleriana do princípio de
Hamilton. O objetivo principal desta Seção é o de se discutir a generalidade do princípio
variacional de Seliger e Whitham (1968), estendendo-o então a um volume aberto, i.e. a um
volume de controle, e para o caso de escoamentos potenciais. Tal extensão constitui-se em um
resultado original dessa tese.
3.4.1 O princípio variacional de Seliger e Whitham (1968)
Supondo a ausência de forças outras que não aquela devido ao gradiente de pressão, em
coordenadas Lagrangeanas, a equação de variação de quantidade de movimento para um
líquido invíscido e incompressível é dada por (ver, por exemplo, BATCHELOR, 1967)
pt
−∇=∂
∂2
2 xρ , (3.113)
onde ρ e p são, respectivamente, a densidade e a pressão do líquido, lembrando-se também
que ),( tXx χ= (ver Apêndice B), onde χ é a função que mapeia a coordenada
Lagrangeana X da partícula em sua coordenada atual x .
De acordo com Seliger e Whitham (1968), o princípio variacional que recupera a Eq.
(3.113) pode ser dado por
70
( )[ ] 0d~
d/d~
d
2
1
2
1~
221
~
=−∂∂= ∫ ∫∫ ∫t
t V
t
t V
tVUttVL xρδδ , (3.114)
com(37)
( ) ρρΘ d/dd 2pSU += , (3.115)
sendo Θ a temperatura absoluta [K] do líquido, S [J/(Kg.K)] a entropia por unidade de
massa e temperatura; e L a densidade de Lagrange
Em coordenadas Eulerianas, a equação equivalente à Eq. (3.113) é
pt
−∇=
∇⋅+
∂
∂vv
vρ , (3.116)
onde ),( txvv = é o campo de velocidade.
Observando-se a Eq. (3.114), é natural sugerir
( ) 0d~
d
2
1~
221 =−∫ ∫
t
t V
tVUρρδ v (3.117)
como princípio variacional que conduziria à Eq. (3.116).
Ocorre que a variação da Eq. (3.117) com respeito a v conduz apenas ao resultado trivial
0=v . Seliger e Whitham (1968) argumentam que uma solução para essa questão é adicionar,
através do método dos multiplicadores de Lagrange, restrições à Eq. (3.117), como a equação
de conservação de massa
0)( =⋅∇+∂
∂vρ
ρ
t, (3.118)
______________ 37 Válida para processos reversíveis.
71
e a equação de conservação de entropia(38)
( ) ( ) 0=⋅∇+∂
∂SS
tvρρ . (3.119)
Adicionando-se, por meio dos respectivos multiplicadores de Lagrange φ e η , as
restrições dadas pelas Eqs. (3.118) e (3.119) à Eq. (3.117), obtém-se
0d~
d)()()(
2
1~
221 =
⋅∇+
∂
∂+
⋅∇+
∂
∂+−∫ ∫
t
t V
tVtt
U SS vvv ρρηρρ
φρρδ . (3.120)
Mas embora a variação da Eq. (3.120) com respeito a v forneça
ηφ ∇+∇= Sv , (3.121)
o campo de velocidades dado pela Eq. (3.121) ainda é bastante restritivo. De acordo com
Seliger e Whitham (1968, p. 5-6),
Se a entropia é constante, a distribuição de velocidade é o gradiente do potencial ηφ s+ e somente escoamentos irrotacionais estão incluídos. Em alguns casos, como
o escoamento atrás de uma curva de choque, a vorticidade está associada com os gradientes de entropia. Entretanto, em um escoamento incompressível simples, por exemplo, deve ser possível ter escoamentos rotacionais. Essa foi uma grande dificuldade até Lin (1963) apresentar o seguinte ponto. Mesmo que as coordenadas Lagrangeanas α [ X ] não sejam requeridas explicitamente [na abordagem Euleriana], os campos de velocidade considerados devem ser tais que as coordenadas α possam ser encontradas. Na descrição Euleriana, as coordenadas
iniciais ),( trα [ ),(1 txX−
= χ ] não mudam ao longo do caminho da partícula, e
assim, cada coordenada ( jX ,∀ 3,2,1=j ) satisfaz 0/ =∇⋅+∂∂ jj XtX v .
A idéia de Lin (1963) é usar essa equação como uma restrição adicional. É novamente um pouco mais conveniente combinar a equação com a equação de
continuidade e usar 0)(/)( =⋅∇+∂∂ jj XtX vρρ .
Originalmente, Lin (1963) apud Seliger e Whitham (1968) sugeriu a utilização de três
restrições, i.e. uma para cada coordenada Lagrangeana jX da partícula. No entanto, Seliger e
Whitham (1968) mostram que a consideração de apenas uma dessas coordenadas (que será ______________ 38 Válida para processos adiabáticos e reversíveis.
72
aqui, por simplicidade de notação, representada sem o subscrito j , i.e. X ) é suficiente para
tal. Seliger e Whitham (1968) então propõem uma nova modificação para o princípio
variacional dado pela Eq. (3.120), adicionando a ela a equação de conservação (de identidade)
de X (39) através do multiplicador de Lagrange β , ou seja
0d~
d)()(
)()()(
2
1~
221
=
⋅∇+
∂
∂+
+
⋅∇+
∂
∂+
⋅∇+
∂
∂+−∫ ∫
tVXXt
ttU
t
t V
v
vvv
ρρβ
ρρηρρ
φρρδ SS
. (3.122)
Supondo-se que as funções )(ρφ , )( ηρS e )( βρX estejam prescritas nos instantes de
tempo 1t e 2t , tem-se então alternativamente que
0d~
dd
d
d
d
d
d2
1~
221 =
−−−−∫ ∫
t
t V
tVt
Xt
St
Uβ
ρη
ρφ
ρρρδ v . (3.123)
Basta ver, por exemplo, das Eqs. (B.3) e (B.4) que
0dd
d~
d~
dd
d~
d~
dd
)d(2
1
2
1
2
1~~
≡=
= ∫∫ ∫∫ ∫
t
t
t
t V
t
t V
tt
tVt
tVt
Φδρφδ
ρφδ . (3.124)
Por fim, tem-se que variações da Eq. (3.123) com respeito a v , ρ , S e X conduzem,
respectivamente, às seguintes equações
βηφ ∇+∇+∇= XSv (3.125)
∇⋅+
∂
∂+
∇⋅+
∂
∂+
∇⋅+
∂
∂=
∂
∂− β
βη
ηφ
φρ
ρvvvv
tX
ttU S)(2
21 (3.126)
______________ 39 ‘Conservação de X ’ é uma expressão empregada por Seliger e Whitham (1968).
73
Θηη
=
∇⋅+
∂
∂−=
∂
∂v
tS
U (3.127)
0=
∇⋅+
∂
∂β
βv
t. (3.128)
Claro que X satisfaz a mesma equação que S e o termo β∇X adicionado a v
toma a mesma forma que η∇S [ver Eq. (3.125)]. Entretanto, o mesmo [i.e. β∇X ]
permite que vorticidade introduzida inicialmente [i.e. β∇×∇X ] seja separada da
vorticidade produzida por subseqüentes gradientes de entropia [i.e. η∇×∇S ].
(SELIGER; WHITHAM, 1968, p. 6)
Da Eq. (3.126), tem-se que
tX
tS
tU
U
d
d
d
d
d
d2212 β
ρη
ρφ
ρρρρ
ρ −−−−=∂
∂v , (3.129)
o quê permite que a Eq. (3.123) seja reescrita como
0d~
d
2
1~
2 =
∂
∂
∫ ∫t
t V
tVU
ρρδ . (3.130)
Da relação termodinâmica, i.e. Eq. (3.115), é imediato que a Eq. (3.130) possa ser
reescrita como
0d~
d
2
1~
=∫ ∫t
t V
tVpδ , (3.131)
de onde se conclui que, quando o volume considerado for fechado, sob a descrição Euleriana
do escoamento, a densidade de Lagrange pode ser dada apenas pela pressão do liquido!
74
A Eq. (3.131) é um princípio variacional para um líquido livre da interação com um
corpo. Para a inclusão desse efeito, i.e. a interação com o corpo, deve-se adicionalmente
considerar o trabalho W realizado pelo corpo no líquido (ver, por exemplo, MILOH, 1984),
i.e.
0dd~
d
2
1
2
1~
=+ ∫∫ ∫t
t
t
t V
tWtVp δδ . (3.132)
Na Seção abaixo, as hipóteses usuais da hidrodinâmica clássica serão tomadas a fim de se
aplicar, a título de exemplo, a Eq. (3.132) ao caso do movimento de um corpo rígido em meio
líquido.
3.4.1.1 Caso particular: líquido incompressível e invíscido, escoamento irrotacional e homoentrópico
Seja o caso particular em que o líquido é incompressível e inviscido, e o escoamento
irrotacional e homoentrópico, i.e. .constS = para essa última hipótese.
Sob essas considerações, o campo de velocidade pode ser dado por
φ∇=v , (3.133)
que será mostrado como sendo um caso particular da Eq. (3.125).
Então, da Eq. (3.125), tem-se que, para que a Eq. (3.133) seja válida, é necessário que
0=∇+∇ βη XS . (3.134)
Uma possível solução para a Eq. (3.134) é tomar
ct−=η , (3.135)
75
onde .constc = ( 0>c ) representa a temperatura (constante) do líquido (ver Eq. (3.127)); e
.const=β (3.136)
Como o escoamento é irrotacional, sua vorticidade ω , i.e.
βη ∇×∇+∇×∇= XSω , (3.137)
deve ser nula. De fato, note que as Eqs. (3.135) e (3.136) em (3.137) conduzem a 0=ω .
As restrições dadas pelas Eqs. (3.135) e (3.136) simplificam a Eq. (3.123) para
0d~
dd
d2
1~
221 =
+−−∫ ∫
t
t V
tVcSt
U ρφ
ρρρδ v . (3.138)
Como o líquido é incompressível, a Eq. (3.138) pode ser convenientemente escrita como
0d~
dd
d2
1~
221 =
+−−∫ ∫
t
t V
tVcSt
Uφ
ρδ v . (3.139)
Além disso, como o escoamento é homoentrópico e os processos envolvidos reversíveis,
então
0== SU δδ . (3.140)
Logo, a Eq. (3.139) torna-se
0d~
dd
d2
1~
221 =
−∫ ∫
t
t V
tVt
φρδ v , (3.141)
76
i.e.
0d~
d
d~
dd~
dd
d
2
1
2
1
2
1
~21
~21
~
221
=
∇⋅∇+
∂
∂−
=
∇⋅∇−
∂
∂−∇⋅∇=
−
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫t
t V
t
t V
t
t V
tVt
tVt
tVt
φφφ
ρδ
φφφ
φφρδφ
ρδ v
. (3.142)
Claramente, se houver interação do líquido com um corpo, tem-se que (ver Eq. (3.132))
0dd~
d
2
1
2
1~
21 =+
∇⋅∇+
∂
∂− ∫∫ ∫
t
t
t
t V
tWtVt
δφφφ
ρδ . (3.143)
3.4.1.2 Exemplo ilustrativo de aplicação
Considere o movimento de um corpo não-deformável e totalmente submerso em meio
líquido (ver Fig. 3.4). BS é a superfície de contato entre o corpo e o líquido, FS a superfície
livre do líquido, HS a superfície de fundo e WS as superfícies laterais, i.e.
WHFB SSSSV +++∂ =~
Figura 3.4 - Movimento de um corpo não-deformável e totalmente submerso em meio líquido com uma superfície livre. Meio líquido na cor cinza, corpo na cor branca.
n
n
BS
FS
HS
WS
x
y
n
n
BS
FS
HS
WS
x
y
x
y
77
Na presença de superfícies móveis, a variação do primeiro termo da Eq. (3.143) conduz a
(ver MILOH, 1984, p. 231, Eq. (6))
−
∇⋅∇+
∂
∂−∂⋅
+∇⋅∇+
∂
∂−=
=
+∇⋅∇+
∂
∂−
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∂
2
1
2
1
2
1
d~
dd~
d
d~
d
~~21
~21
t
t V
t
t V
t
t V
tVt
tVght
tVght
δφφδφ
ρδφφφ
ρ
φφφ
ρδ
nr
(3.144)(40)
Da expressão para o trabalho virtual, i.e.
∑=k
kk qQW δδ , (3.145)
da relação de Synge e Griffith (1959) apud Miloh (1984, p. 231, Eq. (7)),
∫∑
∫
∂
+∇⋅∇+
∂
∂−
=∂⋅
+∇⋅∇+
∂
∂−
B
B
S k
kk
S
Vqnght
Vght
~d
~d
21
21
δφφφ
ρ
δφφφ
ρ nr
, (3.146)
e assumindo-se que ambas as posições de HS e WS tendem ao infinito, o que então implica
0→φ e 0→∇φ nessas superfícies, a Eq. (3.144) torna-se
______________ 40 A inclusão do termo )( ghρ− é elementar, sendo h a altura da superfície líquida em questão e com relação a
um estado de referência arbitrário e conveniente.
78
0d
~d
~d
~d
2
1
2
1
2
1
~21
21
=
+
+
∇⋅∇+
∂
∂−∂⋅
+∇⋅∇+
∂
∂−
−
∂
+∇⋅∇+
∂
∂−
∫∑
∫ ∫∫
∫ ∑ ∫
tqQ
Vt
Vght
Vqnght
t
t k
kk
t
t VS
t
t k S
kk
F
B
δ
δφφδφ
ρδφφφ
ρ
δφφφ
ρ
nr . (3.147)
Do teorema do transporte de Reynolds, i.e.
∫∫∫∂
∂⋅+−=∂
∂−
VVV
VVt
Vt ~~~
~d
~d
d
d~d nvδφρδφρ
δφρ , (3.148)
e uma vez que 0)()( 21 == tt δφδφ , chega-se a
∫ ∫∫ ∫∂
∂⋅=∂
∂−
2
1
2
1~~
d~
dd~
d
t
t V
t
t V
tVtVt
nvδφρδφ
ρ . (3.149)
Então, do teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky, i.e.
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ +∂⋅∇−=∇⋅∇−
∂
2
1
2
1
2
1
d~
d∆d~
dd~
d~~~
t
t V
t
t V
t
t V
tVtVtV φδφρφδφρδφφρ n , (3.150)
e da Eq. (3.149), a Eq. (3.147) torna-se
79
0d~
d
~d∆
~d)(
~d
21
~~
21
2
1
=
∂⋅
+∇⋅∇+
∂
∂−
−+∂⋅−∇−
−
∂
+∇⋅∇+
∂
∂−
∫
∫∫
∫ ∑ ∫
∂
tVght
VV
qVnght
Q
F
B
S
VV
t
t k
k
S
kk
nr
nv
δφφφ
ρ
φδφρφδφρ
δφφφ
ρ
. (3.151)
Por fim, como kqδ , δφ e nr ⋅δ são arbitrários e independentes entre si, as seguintes
equações são obtidas a partir da Eq. (3.151)
0∆ =φ em V~
(3.152)
sendo 222222 /(.)/(.)/(.)∆(.) zyx ∂∂+∂∂+∂∂=
0)( =⋅∇− nv φ em BS e FS (3.153)
0~
d21 =∂
+∇⋅∇+
∂
∂− ∫
BS
kk Vnght
Q φφφ
ρ em BS , (3.154)
021 =+∇⋅∇+
∂
∂gh
tφφ
φ em FS . (3.155)
3.4.2 A expressão do princípio variacional de Seliger e Whitham (1968) em um
volume de controle
Suponha ainda válidas as hipóteses da Seção 6.1.1. Considere então que V (ver Apêndice
B) é o volume das partículas fictícias instantaneamente coincidente com V~
. Seja agora a
80
equivalência entre o princípio variacional dado pela Eq. (3.142), que é aquele considerado
aplicado a V~
, e aquele que será aqui escrito aplicado a V .
Tome a Eq. (3.142) na forma
0d~
dd
d2
1~
21 =
−∇⋅∇∫ ∫
t
t V
tVt
φφφρδ . (3.156)
Como V e V~
são instantaneamente coincidentes então
∫∫ ∇⋅∇=∇⋅∇
VV
VVˆ
21
~21 ˆd
~d φφρφφρ . (3.157)
No entanto, embora a densidade de energia cinética φφρ ∇⋅∇21 em ambos os volumes
seja a mesma, o operador gradiente que deve ser empregado em V , a rigor, é aquele
associado às partículas fictícias (ver Eqs. (2.31) e (2.32)), e, portanto,
∫∫ ∇⋅∇=∇⋅∇
VV
VVˆ
21
~21 ˆdˆˆ~
d φφρφφρ , (3.158)
i.e.
∫ ∫∫ ∫ ∇⋅∇≡∇⋅∇
2
1
2
1
dˆdˆˆd~
dˆ
21
~21
t
t V
t
t V
tVtV φφρδφφρδ . (3.159)
Valendo-se agora da propriedade de permutação entre os operadores (.)δ e td/d(.) ,
escreve-se
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ =
=
2
1
2
1
2
1
d~
dd
d~
d~
dd
dd
~d
d
d
~~~
t
t V
t
t V
t
t V
tVt
tVt
tVt
δφρδφ
ρφ
ρδ . (3.160)
81
Então, aplicando-se o teorema do transporte de Reynolds (Eq. (2.30)) na Eq. (3.160),
chega-se a
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∂
∂⋅−+=
2
1
2
1
2
1
dˆd)ˆ(dˆdd
dd
~d
d
d~
ˆˆ~
t
t V
t
t V
t
t V
tVtVt
tVt
nvvδφρδφρδφρ . (3.161)
Combinando-se agora as Eqs. (3.161) e (3.159) em (3.156) mostra-se que
0dˆd)ˆ(
dˆdˆˆd~
d
2
1
2
1
2
1
ˆ
ˆ
21
~21
=∂⋅−−
−
∂
∂+∇⋅∇−=
∂
∂+∇⋅∇−
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∂
t
t V
t
t V
t
t V
tV
tVt
tVt
nvvδφρ
φφφρδ
φφφρδ
, (3.162)
i.e.
0dˆd)ˆ(dˆdˆdd
2
1
2
1
2
1ˆˆ
=∂⋅−−= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∂
t
t V
t
t V
t
t V
tVtVptVp nvvδφρδδ . (3.163)
De mesmo modo, quando da interação de um corpo com o líquido, tem-se, das Eqs.
(3.163) e (3.132), que
0ddˆd)ˆ(dˆdˆ
2
1
2
1
2
1ˆˆ
=+∂⋅−− ∫∫ ∫∫ ∫∂
t
t
t
t V
t
t V
tWtVtVp δδφρδ nvv . (3.164)
A Eq. (3.164) corresponde ao princípio variacional de Seliger e Whitham (1968) escrito
para um volume de controle. Essencialmente como visto, a demonstração desse resultado
baseia-se na aplicação do teorema do transporte de Reynolds na restrição
− ∫
V
Vt~
~d)d/(dφρ
que aparece no princípio variacional original (ver Eq. (3.141), por exemplo), i.e. aquele para
82
um sistema fechado. Tecnicamente falando, esse é o procedimento adotado por McIver (1973)
para a obtenção do princípio de Hamilton para sistemas mecânicos de massa variável.
Uma aplicação para a Eq. (3.164) é o problema de Wagner (ver Capítulo 5), quando a
mesma então assume a forma de
0ddd)(dd
2
1
2
1
2
1
=+∂⋅−− ∫∫ ∫∫ ∫t
t
t
t S
brootj
t
t V
b tFtVtVp
rootb
δζδφρδ nvv . (3.165)
Mas como a Eq. (3.164) é equivalente à Eq. (3.132), deve-se lembrar que são as
quantidades físicas de V~
, volume que no caso representa o seio do líquido bV e
adicionalmente os jatos, que se encontram prescritas nos instantes de tempo 1t e 2t . Sendo
assim, as equações que derivam da Eq. (3.165) devem ser equivalentes àquelas que derivam
da Eq. (3.132).
Juntamente com o anterior, o presente Capítulo encerra a primeira parte dessa tese, onde a
fundamentação da dinâmica de sistemas de massa variável é discutida a partir de uma
interpretação que é própria do autor, baseada em trabalhos clássicos; são apresentados, no
decorrer das discussões, resultados teóricos originais. Nos Capítulos seguintes, esses
conceitos serão empregados na rediscussão de dois problemas clássicos da mecânica, para os
quais existem aparentes paradoxos, i.e. o problema da ‘corrente em queda’ (Capítulo 4), e o
problema de ‘impacto hidrodinâmico’ sob a abordagem de Wagner (Capítulos 5).
83
PARTE II:
APLICAÇÕES:
O PROBLEMA DA CORRENTE EM
MOVIMENTO VERTICAL E O PROBLEMA DO
COLAPSO DAS TORRES GÊMEAS DO
WORLD TRADE CENTER
O PROBLEMA DE IMPACTO
HIDRODINÂMICO
84
4 O PROBLEMA DA CORRENTE EM MOVIMENTO VERTICAL E O
PROBLEMA DO COLAPSO DE EDIFÍCIOS
Um dos primeiros problemas práticos que foi abordado à luz da dinâmica de sistemas de
massa variável foi aquele que hoje é conhecido como ‘problema da corrente em queda’ (ver,
por exemplo, EKE; MAO, 2002, p. 124 e ŠIMA; PODOLSKÝ, 2005). Sua primeira versão,
apresentada em 1814, é devida à Buquoy, e refere-se ao movimento de uma corrente,
inicialmente amontoada sobre uma superfície horizontal, que então é puxada para cima a
partir de uma de suas extremidades. Resolver o problema significa obter a equação de
movimento da porção esticada da corrente, que é um sistema de massa variável. Em 1856,
Tait e Steele apresentaram em seu livro ‘A Treatise on the Dynamics of a Particle’ uma
segunda versão para o problema (ver WONG; YOUN; YASUI, 2007, p. 387, Fig. 2). Na
versão de Tait e Steele, existe, acima da porção amontoada, uma polia fixa e ideal, por onde
passa a porção esticada. O sistema de massa variável de interesse é, nesse caso, a porção da
corrente que se estende a partir da polia. Um ano após a publicação do trabalho de Tait e
Steele, Cayley, em seu artigo ‘On a Class of Dynamical Problems’, considerou uma terceira
versão do problema, utilizando-a como exemplo de aplicação da equação de Lagrange para
um sistema de massa variável (ver Capítulo 3). Pode-se dizer que o problema de Cayley é
uma versão modificada do problema de Buquoy.
Embora o problema da corrente em queda tenha sido inicialmente apresentado em meados
do século 19, ainda hoje são encontradas na literatura diferentes soluções para uma mesma
versão desse problema. Nesse Capítulo serão discutidas três versões: 1) a de Buquoy, 2) a de
Cayley, e 3) a da corrente em ‘U’. O objetivo é apresentar para cada uma dessas versões, e à
luz dos fundamentos discutidos nos Capítulos 2 e 3, a maneira adequada de se considerar o
processo de troca de massa entre as porções da corrente, e a de se obter a equação de
movimento para a porção de interesse.
85
4.1 O problema de Buquoy
Considere uma corrente, de densidade linear σ [kg/m], inicialmente em repouso e
enrolada sobre uma superfície horizontal de apoio. Suponha que, a partir do instante de tempo
0=t , a corrente começa a ser puxada para cima, devido à ação de uma força vertical
jF F= que age em uma de suas extremidades. Em um instante de tempo t arbitrário,
observa-se a corrente então dividida em duas porções, i.e. a esticada e aquela ainda enrolada
(ver Fig. 4.1).
Figura 4.1 - Problema de Buquoy bidimensional.
Supondo-se que o comprimento da porção esticada é bem maior que a dimensão
característica da porção enrolada, o problema bidimensional representado na Fig. 4.1 pode ser
simplificado para sua versão unidimensional, como assim mostra a Fig. 4.2.
Como imediatamente antes de ser capturado pela porção esticada, os elementos de massa
da porção enrolada possuem velocidade nula, o fluxo de quantidade de movimento vertical
para a porção esticada também é nulo, i.e. 0=eswy&σ . Dessa forma, a quantidade de
movimento da porção esticada é yy&σ no instante de tempo t , e )d)(d( yyyy && ++ σσ no
instante de tempo tt d+ seguinte. Para a aplicação da segunda lei de Newton a um sistema de
gF
j
y
porção enrolada
porção esticada
ggFF
j
y
jj
y
porção enrolada
porção esticada
86
massa variável, deve-se considerar as forças atuantes no sistema como um todo. Portanto, no
presente problema, deve-se considerar as forças atuantes na corrente como um todo. No
instante de tempo t , as forças que atuam na porção esticada são jF e a força peso )( jygσ− .
Como a porção enrolada está em repouso, ou seja, 0== eses vv & , a soma das forças que nela
atua é nula. Assim, no instante de tempo t , a soma das forças que atua na corrente como um
todo é j))(( gtyF σ− . No instante de tempo tt d+ seguinte, a porção enrolada perde um
elemento de massa, mas ainda permanece em repouso; e a porção esticada passa a sofrer a
ação da força ( jgyyF )d( +− σ ). Ou seja, nesse instante de tempo, novamente, a soma das
forças atuantes na corrente como um todo continua sendo j))(( gtyF σ− .
Figura 4.2 - Problema de Buquoy unidimensional.
Portanto, da Eq. (2.37), tem-se que
)(d
dyy
tygF &σσ =− , (4.1)
de onde então se obtém
+−=
y
yg
y
Fy
2&
&&σ
. (4.2)
Como imediatamente antes de ser capturado, o elo da porção enrolada possui velocidade
nula, o fluxo de energia cinética para a porção esticada também é nulo. No entanto, como já
discutido no Capítulo 2, esse processo de captura do elo implica uma dissipação de energia,
i.e.
y
F
| y |representação daporção enrolada
y
F
| y |representação daporção enrolada
87
3212
21
d
d~
yyyt
U
es
&&& σσ ==
(4.3)
(ver Eq. (2.50)). O teorema trabalho-energia (ver Eq. (2.47)) aplicado à porção esticada então
se torna
321
221
d
)(d)( y
t
yyyygF &
&& σ
σσ +=− . (4.4)
Dividindo-se a Eq. (4.4) por y& , e desenvolvendo-se a derivada que aparece no primeiro
termo de seu lado direito, recupera-se Eq. (4.1), como esperado.
Šima e Podolský (2005) (assim como também SOUZA, 2002), no entanto, argumentam
que a Eq. (4.1) deve ser considerada válida somente nos casos em que 0>y& , ou seja,
naqueles em que a porção esticada move-se para cima. Segundo esses autores, quando a
porção esticada é continuamente depositada sob a superfície horizontal, i.e. quando 0<y& , a
superfície reage contra a porção esticada aplicando-lhe uma força reativa que é igual a j2y&σ .
Segundo esses autores, se a porção esticada for solta a partir de uma determinada altura
0yy = (com 0=F ), a Eq. (4.1) deve ser reinterpretada como
)(d
d2 yyt
ygy && σσσ =− , (4.5)
de onde se obtém
gy −=&& , (4.6)
e que na forma adimensional fica
1* −=y&& , (4.6a)
88
onde gytyy /d/d2**2*
&&&& == , 0* / ygtt = , sendo 0y o comprimento inicial da porção
suspensa.
Por outro lado, da Eq. (4.2) com 0=F , obtém-se que
y
ygy
2&
&& −−= , (4.7)
que na forma adimensional torna-se
*
2** 1
y
yy
&&& −−= , (4.7a)
onde 0* / yyy = e ( )[ ]gyyytyy 00
*** /d/d && == .
Ou seja, comparando-se as Eqs. (4.7) e (4.6), vê-se que, com relação à aceleração da
porção esticada, a abordagem de Šima e Podolský (2005) difere da usual pelo termo
)/( 2 yy&− . Considere agora uma análise, que é própria do autor dessa tese, sobre os
argumentos daqueles autores para o caso em que 0<y& . Seja t o instante de tempo
imediatamente anterior ao contato do último41 elo da porção esticada com a superfície
horizontal. No instante de tempo tt d+ seguinte, esse elo choca-se com a superfície
horizontal, e imediatamente adquire velocidade nula. É quando esse elo passa a fazer parte da
porção enrolada.
Imediatamente antes de ser agregado pela porção enrolada, o último elo da porção
esticada possui velocidade jy& . Nesse instante, as forças que atuam na porção enrolada são: 1)
a força peso ( jgy)( −− lσ ), onde )( y−lσ é a massa da porção enrolada, sendo l o
comprimento total da corrente, 2) e a força normal jN N= devido ao contato da porção
enrolada com a superfície horizontal. Estando a porção enrolada constantemente em repouso
por hipótese, i.e. 0== enen vv & , tem-se, da Eq. (2.41) que
______________ 41 Definido como o elo que se encontra na iminência de se chocar com a superfície horizontal.
89
enwygyN &l σσ =−− )( , (4.8)
onde enwy&σ é o fluxo de quantidade de movimento para a porção enrolada (ver Fig. 4.3).
Figura 4.3 - Fluxo de quantidade de movimento vertical para a porção enrolada da corrente (problema de Buquoy para o caso em que 0<y& ).
Por fim, como então jw yen &= , obtém-se, da Eq. (4.8) que
2)( ygyN &l σσ +−= . (4.9)
Ou seja, o fluxo de quantidade de movimento para a porção enrolada implica em uma
força sobre ela agente dada por ( j2y&σ− ). Dessa forma, para manter o equilíbrio da porção
enrolada, a superfície horizontal deve reagir contra a porção enrolada com uma força jN
( 0>N ) não apenas para compensar a força peso ( jgy)( −− lσ ), mas também a força
( j2y&σ− ). Ou seja, a superfície horizontal reage com uma força jN contra a porção enrolada,
e não contra a porção esticada. Então, uma vez que a corrente não apresenta resistência à
compressão, a superfície horizontal não consegue transmitir aos elos da porção esticada
qualquer força. Dessa forma, tem-se que o argumento de Šima e Podolský (2005), i.e. o de
considerar que uma força j2y&σ atua na porção esticada quando 0<y& , mostra-se
equivocado.
Por fim, mostra-se a diferença entre essa abordagem de Šima e Podolský (2005) e aquela
aparentemente correta, i.e. Eq. (4.7), plotando-se logo a seguir um gráfico *y versus *t .
0≡env esen vw ≡
porção esticada
porção enrolada0≡env esen vw ≡
porção esticada
porção enrolada
90
0
1
2
3
4
5
6
7
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t*
y*
Eq. (4.7a)
Eq. (4.6a)
Figura 4.4 - Problema de Buquoy com 0=F e y*(0) = 6. Solução de Šima e Podolský (2005) (Eq. (4.6a) e aquela esperada a partir dos conceitos apresentados no Capítulo 2 (Eq. (4.7a)).
4.2 O problema de Cayley
No problema de Cayley, a superfície horizontal apresenta uma abertura (ver Figs. 4.5a e
b). A partir do instante de tempo 0=t , a corrente começa a ser puxada para baixo através
dessa abertura, haja vista a ação da força da gravidade que atua em sua porção esticada. Por
hipótese, o comprimento inicial 0)0( yty == dessa porção deve ser não nulo. Como os elos
da porção amontoada encontram-se em repouso, tem-se, pela mesma razão apresentada na
Seção 4.1, que o fluxo de quantidade de movimento vertical para a porção esticada é também
nulo. Comparando-se o problema de Cayley com aquela versão do problema de Buquoy em
que a corrente é abandonada a partir de uma determinada altura, vê-se que a principal
diferença entre esses é a de que, enquanto no primeiro a força peso atua no sentido positivo de
y , no segundo, contrariamente, essa força age no sentido negativo de y .
91
Figura 4.5 - Problema de Cayley tridimensional.
Figura 4.6 - Problema de Cayley unidimensional.
Da Eq. (2.37), tem-se que, no problema de Cayley, a equação de movimento da porção
esticada corresponde a
)(d
dyy
tyg &σσ = , (4.10)
de onde então se obtém
y
ygy
2&
&& −= , (4.11)
i.e.
y
| y |
gyσ
y
| y || y |
gyσ
abertura na superfíciehorizontal de apoio
g
| y |
abertura na superfíciehorizontal de apoio
gg
| y |
92
*
2** 1
y
yy
&&& −= , (4.11a)
sob as mesmas adimensionalizações da Seção anterior.
Nesse caso, da Eq. (4.11), tem-se como valor limite
3lim
gy =&& , (4.12)(42)
i.e.
3
1lim
* =y&& , (4.12a)
ou seja, no problema de Cayley, a porção esticada da corrente cai com uma aceleração
inferior à da gravidade. Isso acontece, pois, a força reativa, que assim surge devido à captura
de elos em repouso, possui mesma direção, mas sentido contrário ao da força peso, i.e.
jvvvwΦ2))(d/d())(d/d( ytt eseneseses &σµµ −=−≡−= .
Souza e Rodrigues (2004), entretanto, abordam o problema de Cayley supondo que essa
força ))(d/d( eseses t vwΦ −= µ é a priori desconhecida. Dessa forma, a Eq. (4.10) é por eles
reinterpretada sob a seguinte forma
yyΦyg es &&σσ =+ . (4.13)
Então, juntamente com a Eq. (4.13), esses autores valem-se do teorema trabalho energia
(ver Eq. (2.47)) na forma
______________ 42 Originalmente, essa solução foi demonstrada pelo próprio Cayley (1857), mas pode também ser encontrada em
trabalhos mais recentes, como, por exemplo, o de Chicón (2003), Jiménez et al. (2005) e Keiffer (2001).
93
( )221
d
d)( yy
tyyg && σσ = . (4.14)
Obviamente, dispondo-se das Eqs. (4.13) e (4.14), obtêm que
y
ygy
2
21&
&& −= , (4.15)
i.e.
*
2*
21* 1
y
yy
&&& −= , (4.15a)
que conduz ao valor limite
2lim
gy =&& , (4.16)
i.e.
2
1lim
* =y&& (4.16a)
e
jΦ2
21 yes &σ−= . (4.17).
Note que é evidente que o valor limite da aceleração da porção esticada que é prevista por
Souza e Rodrigues (2004), i.e. 2/g , é significativamente diferente daquela obtida pelo
próprio Cayley, i.e. 3/g . O mesmo ocorre com o valor da força esΦ , dada por
jΦ2
21 yes &σ−= , i.e. a metade do valor esperado a partir da abordagem de Cayley.
94
A questão é que, como discutido no Capítulo 2, para que o teorema trabalho-energia
aplicado à porção esticada assuma a forma dada pela Eq. (4.14), é necessário que yw &21= .
No entanto, isso não corresponde à situação do problema de Cayley, onde se verifica 0≡w .
Nesse segundo caso, o teorema trabalho-energia deve ser aplicado como (ver Eq. (2.47))
( ) 3212
21
d
dyyy
tyyg &&& σσσ += , (4.18)
onde o segundo termo do lado direito representa a energia mecânica que é dissipada (por
unidade de tempo) no processo de transferência de massa para a porção esticada, i.e.
321
d
d~
yt
U
es
&σ=
. (4.19)
De fato, note que, dividindo-se a Eq. (4.18) por y& , e desenvolvendo-se a derivada do
termo do lado direito dessa equação, obtém-se a Eq. (4.11), que é a equação obtida por
Cayley. E analogamente ao gráfico apresentado na Seção anterior, tem-se, agora
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
t*
y*
Eq. (4.11a)
Eq. (4.15a)
Figura 4.7 - Problema de Cayley. Solução de Souza e Rodrigues (2004), Eq. (4.15a) e a de Cayley (1857), Eq. (4.11a).
95
4.3 O problema da corrente em ‘U’
Imagine uma corrente de comprimento l (ver Fig. 4.8) que se encontra inicialmente
pendurada por suas duas extremidades, formando um ‘U’. No instante de tempo 0=t , uma
das extremidades é solta, enquanto a outra permanece fixa (ver Fig. 4.9). A partir de então, a
‘perna’ livre da corrente começa a cair devido à ação da gravidade, transferindo massa para a
outra ‘perna’ em repouso.
Figura 4.8 - Instante de tempo imediatamente anterior ao abandono de um das extremidades fixas da corrente.
SCHAGERL et al. (1997) argumentam que, basicamente, existem duas maneiras de se
abordar esse problema. Na primeira, considera-se que a energia da corrente como um todo é
conservada, quando então se obtém que a extremidade livre da corrente cai com uma
aceleração superior à da gravidade. Dessa abordagem, valem-se, por exemplo, Kucharski
(1941), Hamel (1949), Kuypers (1990) e Rosenberg (1991) apud SCHAGERL et al. (1997).
Na segunda abordagem, a transferência de massa da perna livre para a perna em repouso é
interpretada como uma série contínua de impactos totalmente elásticos.
Se assim, conclui-se, contrariamente, que a extremidade livre da corrente cai com uma
aceleração igual à da gravidade. Exemplos de trabalhos onde essa segunda abordagem é
empregada são os de Crellin, Janssens e Poelaert (1995) e Steiner e Troger (1995) apud
SCHAGERL et al. (1997). Ocorre que, experimentalmente, verifica-se que a extremidade
ggg
96
livre da corrente cai, de fato, com uma aceleração superior à da gravidade (ver, por exemplo,
SCHAGERL et al., 1997, CALKIN; MARCH, 1989, TOMASZEWSKI; PIERANSKI;
GEMINARD, 2006), o que remete à primeira abordagem.
Figura 4.9 - Instante de tempo imediatamente após o abandono de um das extremidades fixas da corrente.
Como discutido no Capítulo 2, a dinâmica de sistemas de massa variável encontra-se
essencialmente fundamentada no seguinte conceito: o processo contínuo de variação de massa
de um sistema pode ser interpretado como uma sucessão também contínua de impactos
inelásticos entre elementos de massa externos e o sistema em questão. Assim, quando a
segunda lei de Newton na forma da Eqs. (2.5) ou (2.7), ou mesmo o teorema trabalho-energia
na forma da Eqs. (2.46) ou (2.47), que foram deduzidos a partir desse conceito, são aplicados
a um dado sistema, automaticamente se está reconhecendo a validade dessa interpretação.
Essa é uma primeira razão para se questionar a ocorrência de impactos totalmente elásticos no
processo de variação de massa das pernas da corrente, e, portanto, também para se questionar
o resultado teórico por alguns considerado de que a extremidade livre da corrente cai com
uma aceleração igual à da gravidade.
Como nos problemas anteriores, os subsistemas da corrente são definidos separando-se os
elos que instantaneamente apresentam a mesma velocidade. No problema da corrente em ‘U’,
a rigor, três subsistemas devem ser identificados. São eles: 1) a perna livre, cujos elos
possuem velocidade jy& , sendo y a distância entre a extremidade livre e o ponto onde essa se
encontrava presa, 2) a perna em repouso, assim chamada por seus elos apresentarem
velocidade nula, 3) e o trecho curvo entre as pernas, cuja velocidade será discutida mais tarde
97
A Fig. 4.10 mostra a usual idealização do problema da corrente em U para um instante de
tempo t arbitrário, i.e.
Figura 4.10 - Idealização usual do problema da corrente em U.
Tome o caso em que R é bem menor que o comprimento da corrente. Em um instante de
tempo t arbitrário, o comprimento l da perna livre, que inicialmente então era dado por l21 ,
passa a ser dado por l , e o comprimento da perna em repouso, que inicialmente também era
l21 , passa a ser dado por r . Uma vez que l e r devem então satisfazer as equações i)
l=+ rl e ii) rly =+ , os mesmos podem ser respectivamente escritos como )(21 yl −= l
e )(21 yr += l . A massa da perna livre então se torna
)(21 yml −= lσ (4.20)
e a da perna em repouso,
)(21 ymr += lσ . (4.21)
Precisa-se agora analisar o campo de velocidades da porção da corrente instantaneamente
localizada no trecho curvo. Considere então a corrente dividida em três volumes de controle,
como mostra a Fig. 4.11 abaixo.
| y |
y
R
l
r
g
| y |
y
R
l
r
| y |
y
R
l
r
gg
98
Figura 4.11 - Esquematização dos três volumes de controle que compõe a corrente em U.
Como estabelecido, a velocidade do volume de controle
52
42
32
122
ˆˆˆˆˆ VVVVV ∂∪∂∪∂∪∂=∂ , que é não-deformável, é dada por jy&21 . Mas uma vez que a
densidade da corrente é constante, para que haja conservação da massa em 2V∂ , é necessário
que
[ ] [ ] 0)ˆ()ˆ( 22
12
ˆˆ =⋅−+⋅− ∂∂ VV nvvnvv . (4.22)
y
1
2
3
y&21
y&
y&21
y&
y&21
n n
n
12V∂
22V∂
32V∂
42V∂
52V∂
i
j
y
1
2
3
y&21
y&
y&21
y&
y&21
n n
n
12V∂
22V∂
32V∂
42V∂
52V∂
y
1
2
3
y&21
y&
y&21
y&
y&21
n n
n
12V∂
22V∂
32V∂
42V∂
y
1
2
3
y&21
y
1
2
3
y&21
y&
y&21
y&
y&21
n n
n
12V∂
22V∂
32V∂
42V∂
52V∂
i
j
i
j
99
Mas
0)ˆ(
)(
)ˆ(,)(
2
2
21
11
=⋅
=⋅
−=⋅−=⋅
nv
nv
nvnv
x
yy
&
&&
, (4.23)
onde x& é a componente horizontal da velocidade da corrente quando em 22V∂ . Das Eqs.
(4.22) e (4.23) mostra-se então que yx && 21= , i.e. Logo, a velocidade do centro de massa de
um elo localizado em 22V∂ é dada por
)(21 jiv += y& em 2
2V∂ . (4.24)
Note que esse é o caso análogo ao do movimento descendente de uma polia móvel, onde a
porção do cabo que se encontra imediatamente em contato com a polia representaria aqui o
trecho curvo entre as pernas (ver Fig. 4.12).
Sob o ponto de vista associado ao operador td/(.)d , a única força que atua na perna livre
é aquela devido à ação da força da gravidade, i.e. jj gygml )(21 −= lσ . Uma vez que se está
escrevendo o balanço de quantidade de movimento para a direção vertical, tem-se que
yw &21= (ver Eq. (4.24)); e, portanto, da Eq. (2.37), tem-se que
[ ] 241
21
21 )(
d
d)( yyy
tgy &&ll σσσ +−=− , (4.25)
de onde então se obtém a seguinte expressão (correta) para a aceleração da perna livre da
corrente, i.e.
y
ygy
−+=
l
&&&
2
21 , (4.26)
100
que na forma adimensional fica43
*
2*
21*
11
y
yy
−+=
&&& , (4.26a)
Em (4.26) foram aplicados os mesmos parâmetros de adimensionalização anteriores, a menos
do comprimento característico que agora é dado pelo comprimento total da corrente.
Figura 4.12 - Analogia entre o problema da corrente em U e o de um bloco (retângulo com listras) sendo
abaixado por meio de uma polia móvel. Note que jv yA &= , )(2
1 jiv += yB & e 0=Cv .
Haja vista que y>l , a Eq. (4.26) mostra que, de fato, a extremidade livre da corrente
deve cair com uma aceleração superior à da gravidade, como assim verificado
experimentalmente por Schagerl et al. (1997), Calkin e March (1989) e Tomaszewski,
Pieranski e Geminard (2006). Por fim, a Fig. 4.13 mostra a diferença entre a solução dada por
______________ 43 A singularidade prevista em y*=1 decorre da hipótese de ‘elo rígido’; não existirá se o problema for equacionado de forma realista, quando a deformabilidade do corpo não poderá ser desprezada na presença de forças reativas a elevadas desacelerações.
i
j
y&21
y&
A
B
C
i
j
i
j
y&21 y&21
y&
A
B
C
101
gy =&& , e aquela dada pela Eq. (4.26).
A Eq. (4.25), quando colocada na forma da Eq. (2.40), i.e.
241 ygmym ll &&& σ+= , (4.27)
responde ainda à seguinte pergunta:
Uma vez que a perna livre move-se mais rápido que um corpo em queda livre, é necessário que, no ponto mais baixo da corrente, uma força seja criada para puxar a perna livre para baixo. Então, a seguinte questão deve ser respondida: Como é essa força criada? (SCHAGERL et al., 1997, p. 159)
A questão é que, quando a perna livre, que possui velocidade y& , abandona um elo dotado
de velocidade y&21 , a mesma sofre a ação de uma força vertical dada por 2
41 yl &σΦ = (ver Eq.
(4.27)). Por possuir sinal positivo, lΦ puxa a perna livre para baixo, o que então faz com que
essa apresente uma aceleração superior à da gravidade.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
t*
y*
Eq. (4.26a)
Acel. Constante ('g')
Figura 4.13 - Problema da corrente em ‘U’. Solução dada pela Eq. (4.26a) e aquela onde se considera que a perna livre cai com aceleração constante e igual à da gravidade.
102
Analogamente, quando a perna em repouso, que possui velocidade nula, captura o elo
dotado de velocidade vertical y&21 , também sofre a ação de uma força vertical dada por
241)( y
t
mrrrr &σΦ =−=
d
dvw (4.28)
(ver Eq. (4.21)). O sinal positivo de rΦ implica que a tração τ (44) na extremidade fixa da
corrente seja superior à força peso da perna em repouso. Veja que a Eq. (2.40) quando
aplicada à perna em repouso ( 0=rv ) conduz à
241
21 )( ygy &l σστ ++= . (4.29)
4.4 O trabalho de Wong e Yasui (2006)
Dentre os mais recentes trabalhos sobre a dinâmica de uma corrente em queda está o de
Wong e Yasui (2006). Nele, os autores argumentam que:
[...] a transferência de um elo da porção enrolada [no problema de Cayley] para a porção esticada envolve o mesmo processo de conservação de energia que opera na perna livre [do problema da corrente em ‘U’], i.e. uma emissão ‘exoérgica’ de massa é seguida por uma absorção ‘endoérgica’ de massa, que a contrapõe (WONG; YASUI, 2006, p. 491).
Uma vez assim considerado, Wong e Yasui (2006, p. 491) mostram que “[..] o processo
completo de transferência de massa [entre as porções da corrente] conserva a energia
mecânica, quando a massa transferida tem a velocidade dada pela equação de movimento de
Lagrange.” Dessa forma, os autores concluem que:
______________ 44 Positiva quando apontada para cima.
103
[... ] a formulação de Lagrange dá a ambas [a porção esticada da corrente no problema de Cayley e a perna livre no problema da corrente em ‘U’] a mais simples e mais completa descrição do movimento de ambas correntes em queda (WONG; YASUI, 2006, p. 491).
Nas palavras de Tomaszewski, Pieranski e Geminard (2006, p. 776), por exemplo, o
trabalho de Wong e Yasui (2006) traz “Uma revisão crítica e detalhada da história dos
problemas da corrente em queda, em particular de algumas abordagens errôneas [...].” Além
disso,
[...][Wong e Yasui (2006)] localizam a fonte de erro [das outras abordagens] e propõem uma abordagem Lagrangiana infalível para os problemas da corrente em queda, concluindo que ‘o método de Lagrange fornece respostas definitivas com uma facilidade sem igual, clareza e elegância’ (TOMASZEWSKI; PIERANSKI; GEMINARD, 2006, p. 776).
No entanto, segundo a opinião do autor dessa tese, existe no trabalho de Wong e Yasui
(2006) uma questão que ainda merece uma análise criteriosa. Ocorre que os autores
recuperam resultados ‘supostamente’ corretos e esperados apenas quando abordam o
problema da corrente em ‘U’. No tratamento do problema de Cayley, os autores concluem que
a aceleração limite da porção esticada deve ser 2/g , e não 3/g , como até então era
esperado.
Seja então a abordagem de Wong e Yasui (2006) para o problema da corrente em ‘U’.
Tomando y como a coordenada generalizada do problema, os autores aplicam à perna livre a
equação de Lagrange em sua forma clássica, i.e.
y
T
y
T
tF ll
l∂
∂−
∂
∂=
&d
d. (4.30)
Como 241 )( yyTl &l −= σ é a energia cinética da perna livre, então
yyy
Tl &l&
)(21 −=
∂
∂σ (4.31)
yyyy
T
tl &&l&&
)(d
d212
21 −+−=
∂
∂σσ (4.32)
104
241 y
y
Tl &σ−=∂
∂. (4.33)
Logo, sendo gyFl )(21 −= lσ , das Eqs. (4.32) e (4.33) em (4.30), obtém-se a Eq. (4.25),
que fornece a expressão correta para a aceleração da perna livre da corrente, i.e.
241
21
21 ])([
d
d)( yyy
tgy &&ll σσσ +−=− . (4.34)
Considere agora a aplicação da segunda lei de Newton (ver Eq. (2.17), por exemplo) à
perna livre, e tome w como a priori desconhecido, ou seja
wyyyt
gy &&ll σσσ 21
21
21 ])([
d
d)( +−=− . (4.35)
Comparando-se as Eqs. (4.34) e (4.35), vê-se claramente que yw &21= . Wong e Yasui
(2006) assim mostram que a velocidade w pode ser determinada unicamente pela equação de
Lagrange na forma clássica por eles considerada. Segundo os autores, para que o processo de
transferência de massa entre dois sistemas não provoque uma dissipação na energia mecânica
da corrente como um todo, a velocidade w de uma partícula que é emitida por um sistema e
agregada pelo outro deve ser igual
)( 2121 vvw += (4.36)
(ver Apêndice D).
Suponha, por exemplo, que, em um determinado instante de tempo, um sistema com
velocidade 1v abandona uma partícula dotada de velocidade w . No instante de tempo
seguinte, essa partícula é capturada por um outro sistema cuja velocidade é 2v . Então, para
que não haja dissipação da energia mecânica do sistema como um todo, sendo esse definido
pelos dois sistemas e mais a partícula de velocidade w , é necessário que w obedeça à Eq.
(4.36). Assim, de acordo com a interpretação de Wong e Yasui (2006, p. 493-4), “[...] essa
105
velocidade média [Eq. (4.36)] não é acidental, mas é necessária para a conservação de
energia.”; “Em outras palavras, a conservação da energia cinética [do sistema como um todo]
é forçada quando u [ w na simbologia aqui utilizada] tem esse valor médio.”
De fato, note que a Eq. (4.36) se verifica para o problema da corrente em ‘U’. Tomando-
se 02 =v , que é a velocidade da perna em repouso, e yv &=1 , que é a velocidade da perna
livre, conclui-se então que yw &21= , como assim era esperado.
Wong e Yasui (2006) então empregam a equação de Lagrange clássica também no
problema de Cayley, i.e.
y
T
y
T
tF eses
es∂
∂−
∂
∂=
&d
d, (4.37)
sendo ygFes σ= e 221 yyTes &σ= . Assim,
yyy
Tes &&
σ=∂
∂ (4.38)
yyyy
T
tes &&&&
σσ +=∂
∂ 2
d
d (4.39)
221 y
y
Tes &σ=∂
∂. (4.40)
Então, das Eqs. (4.40) e (4.39) em (4.37), obtém-se
221)(
d
dyyy
tyg && σσσ −= , (4.41)
que é uma equação de movimento diferente daquela originalmente obtida por Cayley (ver Eq.
(4.10)), mas que equivale à Eq. (4.14) de Souza e Rodrigues (2004). Então, assim como
Souza e Rodrigues (2004), Wong e Yasui (2006) também concluem que a aceleração limite da
106
porção esticada deve ser dada por 2/lim
gy =&& e não por 3/lim
gy =&& .
Como a velocidade da porção esticada é y& , e a da porção enrolada é nula, da Eq. (4.36),
os autores então também concluem que yw &21= . Note que esse mesmo resultado poderia ser
obtido comparando-se a Eq. (4.41) com a segunda lei de Newton aplicada à porção esticada,
i.e.
wyyyt
yg && σσσ −= )(d
d. (4.42)
Para Wong e Yasui (2006),
[...] a transferência de massa [no problema de Cayley] ocorre na borda da mesa [superfície horizontal], seja essa em forma de quina ou arredondada, mas não é óbvio qual é a velocidade de um elo no momento de transferência. A resposta a partir da equação de movimento de Lagrange é que esta é também a velocidade
média 2/)( 21 vvu += [ 2/)( 21 vvw += na notação aqui utilizada] das duas
partes da corrente (WONG; YASUI, 2006, p. 493).
Comparando-se a Eq. (4.41), obtida a partir da aplicação da equação de Lagrange
clásssica, com a Eq. (4.10), que é a equação de movimento segundo Cayley, Wong e Yasui
(2006) verificam que é o termo ( 221 y&σ− ) do lado direito da Eq. (4.41) não aparece no
tratamento de Cayley. Isso ocorre, pois, segundo Wong, Youn e Yasui (2007), Cayley teria
desconsiderado, de modo totalmente arbitrário, a dependência da energia cinética da porção
esticada com a coordenada generalizada y , quando então 221/ yyTes &σ=∂∂ teria sido por ele
‘forçosamente’ assumido nulo. Ainda nas palavras de Mikhailov (1984) apud Wong, Youn e
Yasui (2007), esse critério de ‘diferenciação seletiva’ de Cayley não é usual e não fora
adotado por nenhum outro autor subseqüente a ele.
Por fim, Tomaszewski, Pieranski e Geminard (2006, p. 776) argumentam que, a partir
dessas considerações, “Wong e Yasui confirmaram o resultado [i.e. 2/gy =&& ],
reconsiderando a história da convicção errônea, que perdurou por um longo tempo, de que a
aceleração [da porção esticada] deveria ser igual a 3/g .”
Seja agora a argumentação de Cayley. Quando o mesmo resolveu o problema que leva seu
nome, assim também o fez através da aplicação da equação de Lagrange. No entanto,
107
diferentemente de Wong e Yasui (2006), que se valem da forma clássica dessa equação (ver
Eq. (4.37)), Cayley a emprega na forma por ele próprio demonstrada (ver Eq. (3.11)), i.e.
yy
T
y
T
tF eses
es&& ∂
∂ℜ+
∂
∂−
∂
∂=D
D. (4.43)
Para tornar mais clara a exposição a seguir, tome a forma alternativa *ℜ da função de
Rayleigh ℜ onde, analogamente ao procedimento discutido no Capítulo 2, adiciona-se à
função de Rayleigh original, que para o problema de Cayley é dada por 221 )d/(d yt &µ (ver Eq.
(3.12)), o termo [ ]2212
21 )d/(d)d/(d ytmyt && +− µ . Ou seja, trata-se da condição
( 0dd =+− mµ ) multiplicada por 2)d/1( yt & ,
2212
212
21*
d
d
d
d
d
dy
t
my
t
my
t&&& =
+−+ℜ=ℜ
µ. (4.44)
Nesse caso, a Eq. (4.43) é então transformada para
yy
T
y
T
tF eses
es&& ∂
∂ℜ+
∂
∂−
∂
∂=
*
D
D. (4.45)
Esse procedimento em nada altera a solução de problemas. A diferença é que, enquanto
ℜ conduz a equações de movimento escritas em termos de tDD /(.) , *ℜ conduz a equações
de movimento escritas em termos de td/(.)d . No entanto, as equações obtidas são as
mesmas! E além disso, a rigor, a equação empregada por Cayley na resolução do problema é a
própria Eq. (4.45) e não a Eq. (4.43).
Então, para obter a equação de movimento da porção esticada da corrente a partir da Eq.
(4.45), Cayley indica com uma barra ‘_’ as variáveis que, segundo ele, devem estar ‘livres’ do
processo de diferenciação. Esse é o chamado ‘critério de diferenciação seletiva de Cayley’.
Para Cayley, a energia cinética da porção esticada deve ser dada por 221 yyTes &σ= , e a função
*ℜ por 221* yy &&σ=ℜ . Dessa forma, para o autor
108
yyy
Tes &&
σ=∂
∂ (4.46)
yyyyty
T
tes &&&&
σσ ==∂
∂)(
D
D
D
D (4.47)(45)
0=∂
∂
y
Tes (4.48)
yyy
&&&
σ=∂
∂ℜ*
. (4.49)
Cayley então argumenta que, após a derivação, a barra ‘_’ pode ser desconsiderada, i.e.
yy = . Assim, das Eqs. (4.49), (4.48) e (4.47) em (4.45), chega-se à Eq. (4.10), de onde então
se obtém o resultado 3/gy =&& . Note agora que, de fato, o critério de diferenciação seletiva
de Cayley considera que 0/ =∂∂ yTes .
No entanto, existem dois argumentos que justificam o critério de diferenciação seletiva de
Cayley. Primeiramente, deve ser observado que, caso Cayley não tivesse empregado o critério
de diferenciação seletiva, o mesmo resultado, i.e. Eq. (4.10), teria sido por ele obtido. Tome as
formas ‘usuais’ para a energia cinética da porção esticada e a função *ℜ , ou seja,
221 yyTes &σ= e 2
21* yy&&σ=ℜ . Se assim for, as seguintes equações serão obtidas
yyy
Tes&
&σ=
∂
∂ (4.50)
yyyyty
T
tes &&&&
σσ ==∂
∂)(
D
D
D
D (4.51)
______________ 45 Vale lembrar que sob o operador de diferenciação tDD /(.) , a massa do sistema é considerada
instantaneamente constante. Sendo assim, yytyy &&& σσ =DD /)( .
109
221 y
y
Tes &σ=∂
∂ (4.52)
2221
*
yyy
&&&
σσ +=∂
∂ℜ. (4.53)
Logo, das Eqs. (4.51), (4.52) e (4.53) em (4.45), recupera-se novamente a Eq. (4.10).
Assim, embora esse não tenha sido um dos resultados explícitos de seu trabalho, Cayley
mostrou que, se a massa de uma partícula varia explicitamente com a posição, no caso yσ , a
função dissipação de Rayleigh associada deve ser dada por 221* yy&&σ=ℜ .
Um segundo argumento que pode justificar o critério de diferenciação seletiva de Cayley
é que: a equação de Lagrange por ele demonstrada corresponde àquela para um sistema de
partículas cuja massa depende do tempo, i.e. )(tmm ii = . Basta ver que na Eq. (3.7), o termo
de dependência da massa com a posição não aparece (compare com a Eq. (3.19)). Logo, a
massa da porção esticada, assim como sua taxa de variação temporal devem ser expressas,
respectivamente, como )()( tytmes σ= e )()( tytmes && σ= , ou seja, como funções temporais.
Então, a energia cinética e a função de Rayleigh tornam-se, respectivamente,
221 )(),( ytyytT && σ= e 2
21* )(),( ytyyt &&& σ=ℜ , justificando assim a forma das Eqs. (4.48) e
(4.49).
Ou seja, o critério de diferenciação seletiva de Cayley, embora possa soar como arbitrário
e infundado, corresponde à interpretação alternativa e válida de que a massa da porção
esticada depende do tempo.
No entanto, ainda existe uma pergunta a ser respondida. Por que a abordagem de Wong e
Yasui (2006), que corresponde à aplicação da equação de Lagrange em sua forma clássica,
seria válida para o problema da corrente em ‘U’, mas não para o problema de Cayley?
Inicialmente, deve-se observar que, enquanto no problema da corrente em ‘U’, a corrente
se encontra dividida em três porções, no problema de Caley, a corrente está dividida em duas.
No problema da corrente em ‘U’, tem-se: 1) a perna livre, cujos elos possuem velocidade jy& ,
110
2) a perna em repouso, cujos elos possuem velocidade nula e 3) o trecho localizado entre
essas pernas, que é chamado por alguns autores de ‘curva’, cujo elo apresenta velocidade
vertical dada por jy&21 . Por outro lado, no problema de Cayley, tem-se: 1) a porção esticada,
cujos elos apresentam velocidade jy& e 2) a porção em repouso, cujos elos possuem
velocidade nula.
No caso do problema da corrente em ‘U’, o processo de transferência de massa entre a
perna livre e a perna em repouso dá-se em duas etapas: 1) no instante de tempo t , a perna
livre ejeta um elo e, 2) no instante de tempo tt d+ subseqüente, o mesmo é capturado pela
perna em repouso. Quando assim, como mostrado no Apêndice D, para que ocorra a
conservação da energia mecânica da corrente como um todo, a velocidade do elo ejetado pela
perna livre deve ser dada pela Eq. (4.36). No entanto, como discutido no Capítulo 2, esse
valor de yw &21= também garante que não ocorra dissipação da energia mecânica da perna
livre. E é por essa segunda razão que a equação de Lagrange clássica torna-se adequada para
descrever o movimento da perna livre. Lembre-se de que, escrevendo-se a massa da perna
livre como uma função de y (a coordenada generalizada do problema), i.e.
)()( 21 yyml −= lσ , a equação de Lagrange que deve ser a priori considerada é aquela em
sua forma ‘estendida’ (ver Eq. (3.22), por exemplo), ou seja
wt
my
y
m
y
T
y
T
tF llll
d
d
d
d 221 −
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= &
&. (4.54)
Para o presente problema )d/(d)/( tmyym ll =∂∂ & , e a Eq. (4.54) pode então ser
simplificada para
( ) yy
mwy
y
T
y
T
tF lll
&&& ∂
∂−+
∂
∂−
∂
∂= 2
1
d
d. (4.55)
Note da Eq. (4.55) que, sendo yw &21= , a aplicação da equação de Lagrange estendida a
esse caso específico leva exatamente a forma da equação de Lagrange clássica, ou seja
111
y
T
y
T
tF ll
∂
∂−
∂
∂=
&d
d. (4.56)
Tomando-se então gyF )(21 −= lσ e 2
41 )(),( yyyyTl &l& −= σ na Eq. (4.56) chega-se a
[ ] 241
21
21 )(
d
d)( yyy
tgy &&ll σσσ +−=− . (4.57)
Seja agora o problema de Cayley, onde a corrente encontra-se dividida em apenas duas
partes. Ou seja, um determinado elo ou está na porção enrolada, ou na porção esticada. Nesse
caso, o processo de transferência de massa então se dá em apenas uma única etapa, i.e. o elo
abandonado pela porção enrolada imediatamente passa a fazer parte da porção esticada.
Assim, no processo de ejeção de massa a partir da porção enrolada, a taxa de dissipação
da energia mecânica da corrente como um todo é
221 )(
d
d
d
d~
enenen
ent
m
t
Uvw −=
. (4.58)
Mas como a velocidade da porção enrolada é nula, i.e. 0=env , e jvw yesen &=≡ é a
velocidade de um elo imediatamente após ter sido ejetado da porção enrolada, então
221
d
d
d
d~
yt
m
t
U en
en
&=
. (4.59)
No processo de captura de massa pela porção esticada, a taxa de dissipação da energia
mecânica da corrente como um todo é
221 )(
d
d
d
d~
eseses
est
m
t
Uvw −=
(4.60)
i.e.
112
221
d
d
d
d~
yt
m
t
U es
es
&=
, (4.61)
haja vista que jv yes &= é a velocidade da porção esticada, e 0=≡ enes vw é a velocidade de
um elemento de massa imediatamente antes der agregado à porção esticada.
Mas como a massa da corrente como um todo é constante, i.e.
0d
d
d
d=+
t
m
t
m esen , (4.62)
obtém-se das Eqs. (4.62), (4.61) e (4.59) que
0d
d~
d
d~
d
d~
=
+
=
esent
U
t
U
t
U. (4.63)
Ou seja, assim como no problema da corrente em ‘U’, no problema de Cayley, a energia
mecânica da corrente como um todo também se conserva. Além disso, a equação de Lagrange
que deve ser aplicada à porção esticada da corrente no problema de Cayley também é aquela
em sua forma estendida, i.e.
wt
my
y
m
y
T
y
T
tF eseseses
d
d
d
d 221 −
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= &
&, (4.64)
pois a massa da porção esticada também depende da coordenada generalizada y .
No entanto, com relação à porção esticada, que é o sistema de massa variável em questão,
tem-se que 0=w . Logo, a Eq. (4.64) torna-se
221
d
dy
y
m
y
T
y
T
tF eseses
&& ∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= (4.65)
i.e.
113
)(d
dyy
tyg &σσ = , (4.66)
que é a própria Eq. (4.10).
Para encerrar, vale dizer que, um ano após a publicação de seu trabalho sobre a aplicação
da equação de Lagrange ao problema de Cayley, Wong, Youn e Yasui (2007) mostram
experimentalmente que a aceleração limite da porção esticada é gy )0010,03204,0(lim
±=&& , ou
seja, um valor bastante próximo daquele analiticamente obtido por Cayley, i.e.
ggy 3333,03/lim
≅=&& . Ou seja, a análise teórica de Wong e Yasui (2006) é por eles mesmos
demonstrada como equivocada!
Dessa Seção, conclui-se então que
i) Tanto no problema da corrente em ‘U’, quanto no de Cayley, a energia mecânica da
corrente como um todo se conserva;
ii) O argumento de Wong e Yasui (2006, p. 493-4) de que “[...] essa velocidade média
[Eq. (4.36)] não é acidental, mas é necessária para a conservação de energia.” é válido
apenas para o problema da corrente em ‘U’. No problema de Cayley, por estar a
corrente dividida em duas partes, a Eq. (4.36) torna-se sem sentido;
iii) Não faz sentido também o seguinte argumento de Wong e Yasui (2006, p. 494):
“Assim, o conhecimento da conservação de energia nos permite concluir que a
hipótese de Cayley de impactos inelásticos está incorreta.” No entanto, vale lembrar
que foi mostrado que em ambos os problemas, a hipótese de conservação da energia
mecânica da corrente como um todo é satisfeita, mesmo utilizando-se de um dos
principais fundamentos da dinâmica de sistemas de massa variável, i.e. o conceito de
impacto inelástico. Esse conceito encontra-se imbuído na extensão da segunda lei de
Newton a um sistema de massa variável.
iv) Não é correto afirmar que é da aplicação da equação de Lagrange clássica que se
obtém o valor de w . Essa é uma informação que deve ser obtida a priori e a partir da
idealização do problema em voga.
114
v) Por último, menciona-se novamente que, quando a massa de um sistema depende
explicitamente das coordenadas generalizadas, como ocorre no problema da corrente
em ‘U’ e no de Cayley, a equação de Lagrange a ser empregada é aquela em sua forma
‘estendida’.
4.5 Uma problemática no processo de transferência de massa
entre as porções da corrente
Dentro da mecânica de sistemas de massa variável, pode-se identificar uma problemática
que ocorre em uma determinada classe de problemas. Trata-se da satisfação das equações de
balanço nos casos em que os subsistemas de massa variável encontram-se separados por uma
superfície singular. Ou seja, se tal superfície é localizada em x , então )ˆ()ˆ( −+ ≠ xx ψψ . O
tratamento formal e completo dessa questão pode ser encontrado, por exemplo, em Irschik e
Schlacher (2005, p. 9-20). Pertencem a essa classe de problemas, por exemplo, o de Buquoy,
o de Cayley, e o da corrente em U. Mas, dentro dessa questão, existe ainda um outro problema
a ser considerado, que é a ‘aparente impossibilidade’ que determinados subsistemas possuem
de capturar elementos de massa de um outro subsistema. Entre esses figuram o problema de
Buquoy para o caso em que ygF σ> , o problema de Cayley, e os problemas do tipo ‘bola de
neve’.
Como discutido no Capítulo 2, w representa a velocidade do elemento de massa µd no
instante de tempo imediatamente anterior à sua captura pela partícula de massa m , no caso
de aumento de massa da partícula; ou a velocidade desse elemento de massa no instante de
tempo imediatamente posterior à sua ejeção a partir da partícula de massa m , no caso de
diminuição de massa da partícula. Por simplicidade da análise, tome apenas os casos
unidimensionais. Considere então uma partícula dotada de velocidade 0>v . Para que ocorra
aumento de sua massa, o elemento µd a ser capturado, se localizado à frente da partícula,
deve possuir velocidade vw < ; e, se localizado atrás, velocidade vw > (ver Fig. 4.14).
115
Contrariamente, a diminuição de massa da partícula ocorre se µd for dela ejetado para frente
e com velocidade vw > , ou, para trás, com velocidade vw < (ver Fig. 4.15).
Figura 4.14 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa antes de sua captura, nas possíveis maneiras de isso ocorrer.
Figura 4.15 - Velocidade da partícula e velocidade do elemento de massa após sua ejeção, nas possíveis maneiras de isso ocorrer.
x
y
v
m
m
vw
µd
w
µd
x
y
x
y
v
m
m
vw
µd
w
µd
x
y
v
m
w
µd
m
vw
µd
x
y
x
y
v
m
w
µd
m
vw
µdm
vw
µd
116
Seja então o problema de Buquoy para o caso em que a corrente é puxada para cima. A
análise a ser feita a seguir é análoga para o problema de Cayley. Na idealização do problema
de Buquoy, a porção enrolada da corrente apresenta velocidade nula, i.e. 0≡= esen wv ,
enquanto a porção esticada, 0>esv (quando se movimentando para cima). A questão é que o
elemento de massa µd e velocidade 0=esw , quando na iminência de ser capturado, localiza-
se atrás da porção esticada (ver Fig. 4.16). Logo, essa é uma situação que não corresponde a
nenhuma daquelas representadas na Fig. 4.14.
Figura 4.16 - Superfície singular que ocorre dentro da corrente no problema de Buquoy. Definição dos
volumes V e V(
.
Assim, é natural que se faça a seguinte pergunta: como um elemento de massa pertencente
à porção enrolada cruzará a superfície SV∂ ?
Em problemas do tipo ‘bola de neve’, uma problemática semelhante também ocorre.
Considere, por simplicidade46, que uma bola de neve rola sem escorregar, sofrendo,
concomitantemente, um contínuo aumento em sua massa (ver Fig. 4.17). Pode-se imaginar
que esse é um processo que ocorre devido ao fato de que, ao se mover, flocos de neve
continuamente grudam em sua superfície47. A questão é que essa captura dá-se no ponto de
contato da bola com o solo, i.e. onde tanto a bola de neve quanto o floco de neve apresentam
velocidade nula. Para um volume de controle, a equação de conservação de massa é dada por
______________ 46 Um tratamento formal desse tipo de problema pode ser encontrado em Ong e O’Reilly (2004) 47 Um problema totalmente análogo é o do carretel que rola, sem escorregar, capturando elementos de linha.
V V(
representação daporção enrolada
superfície
singular SV∂
V V(
representação daporção enrolada
V V(
representação daporção enrolada
superfície
singular SV∂
superfície
singular SV∂
117
∫∂
∂⋅−−=
V
Vt
m
ˆ
ˆd)ˆ(d
dnvvρ . (4.67)
Logo, nesse caso, como 0ˆ == vv em V∂ , então
0d
d=
t
m, (4.68)
o que é falso, haja vista o aumento de massa da bola de neve.
Figura 4.17 - Bola de neve que ao se movimentar captura um floco de neve. Definições dos volumes V e
V(
.
Então, embora seja o problema da bola de neve um caso onde não há nenhuma superfície
singular como aquela apresentada na Fig. 4.12, ainda assim, a questão da ‘aparente
impossibilidade’ de captura de um elemento de massa por um sistema de massa variável
parece ocorrer.
velocidadenula
V V(
floco de neve
bola de neve
velocidadenula
V V(
V V(
floco de neve
bola de neve
118
A fim de se abordar essa problemática, considere a Eq. (3.52), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vk
Vq
Vq
Vq
ˆˆ
ˆdˆd~
d nx(
((
(
ρρρ . (4.69)
Mas como )(ˆˆdˆ
tmVV
=∫ ρ , então a mesma pode ser simplificada para
∫∫∂
∂⋅∂
∂=
∂
∂
Vk
Vk
Vq
Vq
ˆ
ˆdd nx(
((
(
ρρ (4.70)
ou seja
∫∂
∂⋅∂
∂=
∂
∂
Vkk
Vqq
m
ˆ
ˆdnx((
ρ . (4.71)
Em uma expressão análoga à Eq. (3.28), tem-se
kk
m
t
m&
(
∂
∂=
d
d, (4.72)
que a partir da Eq. (4.71) pode ser escrita como
∫∂
∂⋅∂
∂=
Vk
k Vq
qt
m
ˆ
ˆdd
dn
x(
& ρ . (4.73)
A Eq. (4.73) mostra que uma maneira alternativa de se calcular a taxa de variação de
massa de um sistema é através do modo com que o sistema se deforma à medida que suas
coordenadas generalizadas mudam.
119
Assim, no caso do problema de Buquoy, em vez de se calcular a transferência de massa
através da superfície singular SV∂ , procede-se alternativamente calculando-se a taxa de
deformação da porção esticada da corrente (i.e. V(
∂ ) com relação a V∂ (fixo) (ver Fig. 4.13).
O mesmo ocorrendo para o problema da bola de neve, i.e. em vez de se interpretar a
transferência de massa como flocos de neve grudando na superfície da bola de neve, calcula-
se sua taxa de deformação (i.e. V(
∂ ) com relação a V∂ (fixo) (ver Fig. 4.14).
Como visto, o método alternativo acima discutido apresenta pelo menos duas vantagens.
A primeira é a de que, calculando-se a deformação de V(
∂ está se ‘ignorando’ a superfície
singular SV∂ , como já comentado no problema do bloco que se move sob uma superfície
áspera (ver Capítulo 3). A segunda é a de que o cálculo da variação de massa quando feito
através da deformação de V(
∂ envolve, quase sempre, uma área maior, e, portanto, do ponto
de vista computacional, pode gerar menos erros do que aquele feito através do trecho de V∂
por onde se dá a captura dos elementos de massa, que, em geral, envolve uma área bem
menor.
4.6 O problema do colapso das torres gêmeas do World Trade
Center
Neste Capítulo, o chamado ‘problema da corrente em movimento vertical’ foi abordado na
forma do problema de Buquoy, na do de Cayley e na forma do problema da corrente em U.
Para completá-lo, cumpre ainda mencionar um problema prático, de grande interesse e
atualidade, que pode ser visto como uma ‘quarta versão’ do problema da corrente em
movimento vertical: o problema do colapso vertical de edifícios, cujo mais contundente
exemplo é o das torres gêmeas do World Trade Center. Certamente esse é um problema
bastante complexo e sua análise envolve diversas áreas do conhecimento, como a engenharia
de estruturas, a ciência dos materiais, dentre outras. Mas o objetivo dessa Seção está longe de
pretender tratar o problema em sua completude e deixa de lado discussões acerca da
120
modelagem da carga resistiva ao colapso, por exemplo. No entanto, a análise a seguir, restrita
ao estudo do movimento, mostrará que o problema em questão guarda grande similaridade
com os problemas de corrente em movimento vertical.
Importante enfatizar que o equacionamento do movimento que modela o colapso da torre
do World Trade Center tem sido alvo de intensa discussão (ver, por exemplo, BAŽANT;
VERDURE, 2007 e SEFFEN, 2008). Como nos problemas anteriores, um dos principais
pontos levantados por esses autores refere-se à correta forma da equação de movimento e à
sua adequada interpretação, quando deduzida sob a ótica da mecânica de sistemas de massa
variável. Tal discussão reforça a atualidade e relevância do presente estudo.
O estudo a seguir refere-se à fase de movimento que antecede o empilhamento provocado
pelo acúmulo de material colapsado sobre o solo. Esta primeira fase é denominada pelos
autores Bažant e Verdure (2007) como ‘crush-down’. A segunda fase, i.e. a do empilhamento
de material colapsado, é denominada ‘crush-up’.
Considere então a seguinte idealização simplificada do problema do colapso de uma das
torres gêmeas do WTC. Os modelos em voga admitem que colapsos desta natureza ocorrem
devido à propagação de uma ‘frente de avalanche’ que se dá ao longo da torre e em direção à
sua base, a partir de um determinado pavimento, cuja resistência estrutural fora
suficientemente deteriorada. Em um instante de tempo arbitrário, a torre pode ser dividida em
duas regiões principais, i.e. a móvel e a em repouso (ver Fig. 4.18). A região móvel é aquela
que se localiza acima da frente de avalanche e a em repouso aquela que se encontra abaixo da
mesma. À medida que a frente de avalanche se propaga, massa da região em repouso é
transferida para a região móvel, com ela passando a se mover, compactada logo atrás da frente
de avalanche. A região móvel pode assim ser divida em duas regiões: a compactada, de
densidade cσ (constante)48 e volume variável, e a não compactada, de densidade ncσ
(também, por simplicidade, suposta constante) e de volume constante. Já a região em repouso,
não compactada, corresponde a uma região de densidade ncσ (constante), mas de volume
variável. Pode-se visualizar o modelo como se a parte móvel ‘engolisse’ a parte em repouso,
através de uma superfície móvel: a frente da avalanche. Considere agora que o sistema de
interesse é a região móvel, e que, através da aplicação da equação de Lagrange, pretende-se
obter a equação que rege seu movimento.
______________ 48 Não é parte do escopo do presente trabalho discutir com profundidade a validade dessa hipótese
simplificadora, a qual é adotada por Bažant e Verdure (2007), quanto por Seffen (2008).
121
A massa movm da região móvel pode ser convenientemente expressa por
)()(dd ABcTAnc
y
y
c
y
y
ncmov yyyyyym
B
A
A
T
−+−=+= ∫∫−−
σσσσ . (4.74)
Da Fig. 4.18, vê-se que, se H é a altura inicial da torre, então, a massa repm da região em
repouso pode ser dada por
Figura 4.18 – Esquematização do movimento de colapso da torre do World Trade Center.
)(d Bnc
H
y
ncrep yHym
B
−== ∫ σσ . (4.75)
Aplicando-se o princípio da conservação de massa na torre como um todo, tem-se, para
um instante de tempo arbitrário, a seguinte relação
)()( ABcBTAncnc yyyyHyH −+−−+= σσσ (4.76)
i.e.
HyA
yB
yT
h
j
gREGIÃO MÓVEL
REGIÃO EM REPOUSO
FRENTE DE AVALANCHE
HyA
yB
yT
h
jj
ggREGIÃO MÓVEL
REGIÃO EM REPOUSO
FRENTE DE AVALANCHE
122
0)()( =−+−− ABcBTAnc yyyyy σσ , (4.77)
onde .consthyy TA ==− é a altura da parte móvel não compactada.
Mas, como cσ e ncσ são supostamente constantes, então, tomando-se a derivada temporal
de ambos os lados da Eq. (4.77), obtém-se o vínculo cinemático
BA yKy && )1( −= , (4.78)
onde K é o chamado ‘fator de compactação’ e é dado por 1/ <= cncK σσ . Vale lembrar que,
para a obtenção da relação dada pela Eq. (4.78), foi admitido que AT yy && = . Essa consideração
decorre da hipótese de que a região não compactada apresenta volume constante, ou seja, que
a parcela móvel não-compactada desloca-se como um corpo rígido.
Durante o processo de transferência de massa da região em repouso para a região móvel,
as partículas da região em repouso, que apresentam velocidade absoluta nula, são capturadas
pela região compactada, quando então imediatamente adquirem velocidade Ay& . Dessa forma,
como a região não compactada movimenta-se como um corpo rígido com velocidade Ay& , a
energia cinética movT da região móvel pode então ser expressa a partir da Eq. (4.74), i.e.
[ ]
[ ] 2121
2
212
21
)(
)()(
AABKTAnc
AABcTAncAmovmov
yyyyy
yyyyyymT
&
&&
−+−=
=−+−==
σ
σσ. (4.79)
Da Eq. (4.77) que expressa a conservação de massa do edifício como um todo, a Eq.
(4.79) pode ser escrita como
221
ABncmov yyT &σ= , (4.80)
que, a partir da Eq. (4.78), torna-se
123
2221 )1( BBncmov yyKT &−= σ . (4.81)
A energia potencial gravitacional movU é, por sua vez, dada por
[ ]))(1( 22221 hyKHgU Bncmov −−+−= σ . (4.82)
Tome agora By como sendo a coordenada generalizada do problema. Como movm depende
explicitamente de By , a equação de Lagrange a ser adotada é a Eq. (3.22), na forma
wt
m
y
m
y
U
y
T
y
T
tF mov
N
mov
B
mov
B
mov
B
mov
d
d
d
d 221 −
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂= v
&. (4.83)
Em (4.83), 0<F , representa a força generalizada associada à resistência ao colapso(49) de
cada pavimento do edifício e que é aplicada à sua parte móvel, no sentido oposto à da
aceleração da gravidade.
Note que, no instante de tempo imediatamente anterior à captura de um elemento de
massa da região em repouso pela região móvel, a velocidade absoluta desse elemento é nula.
Logo, 0=w . Por outro lado, a hipótese de descontinuidade de velocidade na fronteira By faz
com que jv Ay&= .
Da Eq. (4.81), tem-se que
)(d
d)1(
d
d)1( 22
BBncB
movBBnc
B
mov yyt
Ky
T
tyyK
y
T&
&&
&−=
∂
∂⇒−=
∂
∂σσ . (4.84)
Por outro lado, da Eq. (4.79), mostra-se de imediato que
221
AB
mov
B
mov yy
m
y
T&
∂
∂=
∂
∂. (4.85)
______________ 49 O modelo da força de resistência ao colapso foge ao escopo do presente texto (ver, por exemplo, BAŽANT;
VERDURE, 2007 e SEFFEN, 2008).
124
Da Eq. (4.82), chega-se a
BncB
mov yKgy
U)1( −−=
∂
∂σ . (4.86)
Então, substituindo-se as Eqs. (4.84), (4.85), (4.86) em (4.83), chega-se a
FyKgyyt
K BncBBnc +−=− )1()(d
d)1( 2 σσ & , (4.87)
que, se dividida por Bnc yK 2)1( −σ , assume a seguinte forma
BncB
BB
yK
F
K
g
y
yy
σ2
2
)1(1 −+
−+−=
&&& . (4.88)
Caso fosse aplicada a formulação usual da equação de Lagrange ao presente problema
(ver Eq. (3.1)), sem tomar em conta a variação de massa da parte móvel, que ocorre de forma
explícita com a posição, a equação de movimento obtida seria dada na errônea forma
BncB
BB
yK
F
K
g
y
yy
σ2
2
21
)1(1 −+
−+−=
&&& . (4.89)
Vê-se que a Eq. (4.88) é similar à Eq. (4.7), que descreve o movimento da corrente em
queda sobre um plano horizontal (problema de Buquoy com a corrente em queda livre). A Eq.
(4.7) é prontamente recuperável da Eq. (4.88), bastando que se faça 0=F e 0=K e que
seja invertida a orientação da coordenada generalizada By , que no análogo problema de
Buquoy foi definida contrária à aceleração da gravidade.
As formas adimensionais das Eqs. (4.88) e (4.89) podem então ser escritas:
*2*
2**
)1(1
1
yKKy
yy
−
Φ+
−+−=
&&& , (4.88a)
125
e
*2*
2*
2
1*
)1(1
1
yKKy
yy
−
Φ+
−+−=
&&& . (4.89a)
Nestas versões, o tempo adimensional é definido como Hgtt =* e
0)( <==Φ PFgHF ncσ é a correspondente forma adimensional da força resistiva ao
colapso, que segue naturalmente normalizada pelo peso do edifício, gHP ncσ= .
Segundo Seffen (2008), o fator de compactação no caso do WTC tem magnitude próxima
de 20.0≅K . Tanto Bažant e Verdure (2007) quanto Seffen (2008) apresentam análises
paramétricas, variando a magnitude da força média resistiva de colapso, entre o valor nulo
(queda-livre) e aquele que impediria a propagação do colapso. Para os seguintes valores:
m407=H , t/m10770 3×=ncσ e GN073,3=P , o modelo de Bažant e Verdure (2007) indica
que o valor médio da força de resistência ao colapso variaria no intervalo 21,00 −≥Φ> .
Esses autores indicam ainda, como boa estimativa, o valor 044,0−≅Φ , correspondente a
cerca de 4,4% do peso total do edifício.
As figuras abaixo ilustram a variação do avanço da frente de colapso (‘crush-down’),
comparando as soluções das Eqs. (4.88a) e (4.89a). Ambas as torres tinham 110 andares. Por
referência, o avanço correspondente à ‘queda-livre’ ( 0≡Φ ; 0=K ) é também apresentado. A
Figura 4.19 refere-se à torre 1 (denominação de SEFFEN, 2008), admitindo que o colapso
teria sido iniciado no 95o andar , i.e. 1364,0110/)15110()0(* =−=y . Já, a Figura 4.20 refere-
se à torre 2, para a qual o colapso teria sido iniciado no 82o andar, i.e.
2545,0110/)28110()0(* =−=y .
126
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
t*
y*
Eq. (4.88a)
Eq. (4.89a)
queda-livre
Figura 4.19 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 1 do World Trade Center. 2,0=K , 044,0−=Φ ; 1364,0)0(* =y . Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
t*
y*
Eq. (4.88a)
Eq. (4.89a)
queda-livre
Figura 4.20 – Simulação do avanço da frente de colapso (avalanche) da torre 2 do World Trade Center. 2,0=K ,
044,0−=Φ ; 2545,0)0(* =y . Comparação entre soluções das Eqs. (4.88a) (correta) e (4.89a).
127
A frente de colapso atinge o solo quando 1* =y . A Eq. (4.88a) prevê esta ocorrência em
72,1* ≅t no caso da torre 1 e 44,1* ≅t , no caso da torre 2; ou seja, respectivamente,
s1,11≅t e s3,9≅t . Já, a Eq. (4.89a) prevê, correspondentemente, s8,9≅t e s4,8≅t . Uma
simples análise considerando os eventos como se fossem de ‘queda-livre’, avaliaria os tempos
de ‘crush-down’ como s5,8≅t e s9,7≅t , respectivamente, valores substancialmente menores
aos previstos pela Eq. (4.88a). Tanto Bažant e Verdure (2007) quanto Seffen (2008)
mencionam tempos de colapso da ordem de 11 segundos.
Como apontam esses autores, as incertezas de modelagem, que envolvem não apenas a
carga resistiva ao colapso, como o fator de compactação, permitem prever uma faixa de
variação para o tempo de colapso. O importante aqui é apontar as diferenças decorrentes da
adoção das duas distintas equações de movimento (4.88a) – correta e (4.89a) – errônea.
128
5 O PROBLEMA DE IMPACTO HIDRODINÂMICO
Nesse Capítulo será abordado aquele que é conhecido na literatura especializada como
‘problema de impacto hidrodinâmico’. Não se trata de um caso de sistema de massa variável
propriamente dito, i.e. sob os termos anteriormente apresentados, mas sim de ‘massa
adicional’ variável. Esse é um conceito que será propriamente discutido ao longo do Capítulo.
Mais do que isso, será mostrado que é justamente a interpretação adequada desse conceito de
massa adicional que permite que o problema seja tratado à luz da mecânica de sistemas de
massa variável. Vale lembrar agora que o problema de impacto hidrodinâmico, que
essencialmente trata do impacto de corpos contra a superfície livre da água, é um assunto
bastante complexo. E a pretensão desse Capítulo está longe de ser a de se tratar o problema
em sua completude. O objetivo aqui é discutir os pontos considerados fundamentais para que
o problema possa então ser abordado à luz da mecânica de sistemas de massa variável. A
motivação para essa investigação será apresentada ao longo do texto. Para tal, o Capítulo foi
estruturado da seguinte maneira: de início, apresenta-se o problema seguido de uma breve
revisão bibliográfica. É nessa parte que se pretende apenas elucidar algumas das dificuldades
envolvidas em seu tratamento. A partir daí, o problema será formulado na forma do chamado
‘problema de Wagner’. É dessa formulação que surge o conceito de massa adicional associada
ao corpo de impacto. Os resultados e interpretações originais iniciam-se a partir desse ponto.
O fenômeno do impacto de corpos contra a superfície livre da água é um problema
clássico dentro da hidrodinâmica. Seus primeiros estudos iniciaram-se com os pioneiros
trabalhos de Von Kármán (1929) e Wagner (1931), e foram estimulados pelo interesse no
‘pouso’ de hidroaviões que estavam sendo projetados pela primeira vez na década de 30. A
segunda guerra mundial também trouxe novos incentivos para pesquisas sobre o assunto, haja
vista o interesse pelos problemas de entrada e saída de projéteis da água. Nos dias de hoje, o
problema de impacto hidrodinâmico é parte fundamental do desenvolvimento de projetos de
navios, embarcações, plataformas de petróleo, etc., quando então recebe o nome mais geral de
problema de ‘slamming’ (ver, por exemplo, FALTINSEN; LANDRINI; GRECO, 2004).
Essencialmente, dentro da engenharia, o que motiva o estudo desse fenômeno é a avaliação
129
das cargas hidrodinâmicas que surgem durante a penetração dessas estruturas na superfície da
água, ou mesmo durante o choque de ondas contra as mesmas. A questão é que essas cargas
são bastante localizadas e de magnitude suficiente para provocar sérios danos estruturais.
O fenômeno de impacto hidrodinâmico está caracterizado por uma forte não
estacionariedade e por mudanças abruptas nas grandezas físicas envolvidas. Uma das
conseqüências visíveis desse seu aspecto é a emissão de um spray de líquido que ocorre nas
proximidades da região de contato sólido-líquido, durante o chamado estágio inicial de
penetração. Por essa razão, i.e. sua forte não-estacionariedade, experimentos sobre o
fenômeno são difíceis de serem conduzidos com boa acurácia (ver, por exemplo, DEAR;
FIELD, 1988; LIN; SHIEH, 1997; MAY, 1951 e MOGHISI; SQUIRE, 1981). No campo
teórico, a modelagem do problema também não é uma tarefa fácil. O estabelecimento preciso
do problema é muito complicado e pode incluir uma variedade de diferentes fenômenos
outros, como, por exemplo, a compressiblidade da água (ver, por exemplo, CAMPANA et al.,
1998 e KOROBKIN, 1992, 1994 e 1996), o chamado efeito ‘colchão-de-ar’ que ocorre
imediatamente antes do contato do corpo com a superfície líquida (ver, por exemplo,
KOEHLER; KETTLEBOROUGH, 1977 e VERHAGEN, 1967), as deformações mecânicas
do corpo (ver, por exemplo, HUA; WU; WANG, 2000; IAFRATI et al., 1998 e KIM et al.,
1996), e a entrada oblíqua do mesmo (ver, por exemplo, FRAENKEL; KEADY, 2004;
HOWISON; OCKENDON; OLIVER, 2004; JUDGE; TROESCH; PERLIN, 2004; MILOH,
1999 e TRILLING, 1950). Uma excelente e compreensiva revisão sobre o problema de um
modo geral pode ser encontrada em Korobkin e Pukhnachov (1988).
No entanto, a análise do problema pode ser bastante simplificada se as hipóteses de
líquido incompressível e invíscido, escoamento irrotacional e corpo rombudo, estritamente
convexo, rígido e que se move verticalmente forem adotadas. Além disso, quando se está
preocupado em se avaliar as cargas hidrodinâmicas máximas, pode-se ainda restringir a
análise do problema ao seu chamado ‘estágio inicial’, pois é durante esse estágio que elas
ocorrem. Ou seja, é nesse estágio que o corpo sofre uma grande desaceleração, podendo
inclusive os efeitos gravitacionais ser aí desprezados. O estágio inicial é aquele onde a
profundidade de penetração do corpo é bem menor que sua dimensão característica. Sob tais
hipóteses, o problema de impacto hidrodinâmico passa a receber o nome de problema de
Wagner não linear, e sua modelagem então conduz a um problema de contorno com
superfícies móveis, haja vista o movimento da superfície livre e o da superfície de contato
sólido-líquido.
130
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
),0,0( U−=U
nnn
corpo de impactocorpo de impacto
líquidolíquido
5.1 O problema de Wagner não-linear
Para a simplicidade da análise, considere que o líquido está inicialmente em repouso e
ocupa a metade inferior do plano 0<z . No instante de tempo 0=t inicial, o corpo toca a
superfície livre em um único ponto, que será tomado como a origem do sistema de
coordenadas (ver Fig. 5.1).
Figura 5.1 - O primeiro ponto de contato entre o corpo e o líquido, i.e. em 0=t . Sistema de coordenadas Oxyz .
A análise assintótica para pequenos valores do parâmentro adimensional 0>ε (veja, por
exemplo, OLVER, 2003), que é dado pela razão entre a penetração ζ do corpo e seu
comprimento molhado característico L , i.e.
L
ζε = , (5.1)
mostra que o domínio líquido pode ser dividido em quatro regiões principais (ver Fig. 5.2).
São elas: a região externa de ordem )/1( ε , a região de ordem 1, a raiz do jato de ordem )(ε e
a região do jato de ordem )()/1( εε × . A região do jato corresponde ao jato em si. A raiz do
jato é a área transversal através da qual o líquido é expelido da parte principal do domínio. A
região de ordem 1 é a pequena vizinhança da linha de contato onde a elevação da superfície
131
Jet root
Jet region
Outer region
)1(O
L
Penetration depth
região externaregião externa
região do jatoregião do jato
profundidade de penetraçãoprofundidade de penetração
raiz do jatoraiz do jato
região deordem 1região deordem 1
x
y
z
0
x
y
z
0
),,( tyxz η=
V BS
FS
bVbV
livre não é desprezível, pelo menos não no chamado problema de primeira ordem. E a região
externa está relacionada com o comprimento molhado característico do corpo.
Figura 5.2 - Regiões características do escoamento para pequenos valores de ε .
No problema de primeira ordem, os jatos são ‘cortados’ do domínio líquido, e somente o
chamado ‘seio do líquido’, i.e. bV , que é dado pelo domínio líquido como um todo a menos
dos jatos, é considerado. Além disso, assume-se que a fronteira da superfície BS de contato
sólido-líquido ocorre precisamente na superfície do corpo (ver Fig. 5.3), o que permite a
descrição da elevação da superfície livre FS por uma função do tipo ),,( tyxz η= .
Figura 5.3 - O seio do líquido e a descrição da elevação da superfície livre pela função η .
132
A formulação do problema de primeira ordem decorre da aplicação da condição da
irrotacionalidade do escoamento, i) incompressibilidade do líquido, ii) impermeabilidade do
corpo, iii) condição cinemática iv) e condição dinâmica da superfície livre, v) evanescência
tanto para o potencial de velocidade como para a elevação da superfície livre, juntamente com
as condições iniciais. São as equações que se seguem
0∆ =φ em bV (5.2)
0)( =⋅−∇ nUφ em BS (5.3)
0=∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
zyyxxt
φηφηφη em FS (5.4)
021 =∇⋅∇+
∂
∂φφ
φ
t em FS (5.5)
,φ 0→η quando ∞→+ 22 yx (5.6)
0)0,,( ==tyxφ , 0)0,,( ==tyxη . (5.7)
A força hidrodinâmica de impacto pode ser calculada integrando-se o campo de pressão
sob BS , i.e.
∫∫ ∂
∇⋅∇+
∂
∂−=∂=
BB S
b
S
b Vt
Vp dd 21 nnF φφ
φρ . (5.8)
Esse é o problema de Wagner não-linear, i.e. aquele dado pelas Eqs. (5.2) – (5.8).
133
5.2 O problema de Wagner linear
Entretanto, mesmo sob essas hipóteses simplificadoras, o problema de Wagner não-linear
ainda é bastante complexo para análises téoricas. Uma abordagem possível para essa
problemática é empregar o conceito de ‘impulso de pressão’ (ver, por exemplo, COOKER;
PEREGRINE, 1995 e PENG; PEREGRINE, 2000), onde a escala de tempo é considerada
suficientemente pequena para que tanto a superfície livre como a porção molhada do corpo
sejam interpretadas como colapsadas no plano horizontal (ver Fig. 5.4). Dessa forma, o
problema sofre uma grande simplificação, haja vista também que os termos convectivos
podem ser desprezados na equação de Bernoulli (ver OLIVER, 2003 e PESCE, 2006). Sendo
assim, tem-se
0∆ =φ em 0bV (5.9)
Uz
−=∂
∂φ em 0
BS (5.10)
zt ∂
∂=
∂
∂ φη em 0
FS (5.11)
0==∂
∂φ
φ
t em 0
FS (5.12)
,φ 0→η quando ∞→+ 22 yx (5.13)
0)0,,( ==tyxφ , 0)0,,( ==tyxη . (5.14)
134
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
x
y
z
0
FS
0FS
BS
0BS
V
0V
bVbV
0bV 0bV
Figura 5.4 - Mapeamento do domínio líquido bV do problema de Wagner não-linear no domínio líquido 0
bV do problema de Wagner linear. Note que 0FS não inclui os jatos e que a área do disco 0
BS rapidamente
se expande.
Mas ainda que o problema tenha se tornado linear em suas condições de contorno, é
importante mencionar que a condição de contorno na região de contato sólido-líquido muda
da condição de Dirichlet )0( =φ para a condição de Neumann )/( Uz −=∂∂φ , o que
implica, tanto para o campo de pressão como para o de velocidade, uma singularidade
localizada no ponto de contato sólido-líquido. Essas singularidades são integráveis, o que
permite que a elevação da superfície livre seja então calculada a partir da Eq. (5.11), e a força
hidrodinâmica de impacto através da expressão
∫ ∂∂
∂−=
0
00 d
BS
bVt
Fφ
ρ . (5.15)
135
No entanto, mesmo sob essas novas considerações, soluções analíticas para o problema de
Wagner linear, que agora é dado pelas Eqs. (5.9) – (5.15), são ainda restritas a geometrias
bastante específicas. Entre elas, por exemplo, estão as soluções de Bisplinghoff e Doherty
(1952) (cunha), Chuang (1969) (cone), Cointe e Armand (1987) (cilindro), Faltinsen e Zhao
(1997) (cone e esfera) e Miloh (1991) (esfera); Scolan e Korobkin (2000), Scolan e Korobkin
(2001) e Korobkin e Scolan (2002), sendo essas três últimas para o caso de linhas de contato
elípticas.
Um procedimento que é usual50, e de certa forma também intuitivo, é o de se expressar a
força hidrodinâmica de impacto através da massa adicional bM associada ao movimento
impulsivo do disco 0BS , quando então a Eq. (5.15) passa a ser escrita corretamente como
t
UMF b
d
)d(= . (5.16)
Mas haja vista a semelhança dessa equação com aquelas que ocorrem dentro da dinâmica
de partículas de massa variável, é natural que se faça a seguinte pergunta: uma vez dispondo-
se da massa adicional, que no caso do problema de impacto hidrodinâmico é variável devido à
expansão do disco durante a penetração do corpo, qual é a correta aplicação da equação de
Lagrange ao problema?
5.3 A aplicação da equação de Lagrange
Um dos primeiros trabalhos sobre a aplicação da equação de Lagrange a problemas de
hidrodinâmica é aquele devido a Lamb (1932, art. 136 ). Nele, o autor demonstra que, uma
vez dispondo-se da energia cinética T do líquido, é possível calcular as forças que agem no
______________ 50 Embora usual e também correto, esse é um procedimento que é comumente adotado sem maiores justificativas
(ver, por exemplo, FALTINSEN, 1990, p. 286).
136
corpo em contato com o mesmo através da seguinte expressão:
ζζ ∂
∂−
∂
∂=
TT
tF
&d
d, (5.17)
sendo ζ a coordenada generalizada do corpo.
No problema de Wagner, a energia cinética do sub-sistema em questão é aquela do seio
líquido e é dada, portanto, por 221 UMT bb = . Logo, da aplicação da Eq. (5.17), chega-se a
Ut
M
t
UMF bb
d
d
d
)d(21−= . (5.18)
A questão é que essa não é a expressão esperada para a força de impacto (ver Eq. (5.16)),
sendo curioso também notar que esse mesmo resultado, i.e. Eq. (5.18), também pode ser
obtido quando a taxa de variação da energia cinética do seio do líquido é assumida como
sendo igual à potência transmitida pelo corpo de impacto tão somente ao seio do líquido, i.e.
tTFU b d/d= . Isso mostra que, durante a penetração do corpo, haja vista as hipóteses de
incompressibilidade do líquido e rigidez do corpo, energia cinética é, de alguma forma,
drenada para fora do seio do líquido (ver, por exemplo, KOROBKIN; PEREGRINE, 2000).
De fato, a análise assintótica do escoamento (ver, por exemplo, OLIVER, 2003) na vizinhança
da linha de contato sólido-líquido mostra que finas camadas de líquido são expelidas a partir
de seu seio, através da raiz do jato e em alta velocidade. E são esses jatos que, embora possam
ser desprezados na integração do campo de pressão sob a superfície de contato, como assim
feito na Seção 5.1 e 5.2, transportam para fora do seio do líquido uma quantidade significativa
de energia cinética. Mais do que isso, uma vez que a escala de tempo do problema é muito
pequena, o que impede a radiação de ondas a partir do corpo como forma de dissipação de
energia, que é o que ocorre em problemas de oscilação de corpos flutuantes em superfície
livre, os jatos são uma maneira de se aliviar o campo impulsivo de pressão causado pelo corpo
(ver PESCE, 2006)
De fato, como será mostrado na Seção seguinte, são as considerações adequadas sobre a
dissipação de energia através dos jatos que permitem a aplicação correta da equação de
Lagrange ao problema.
137
5.3.1 O balanço de energia
Considere que o seio do líquido é um volume de controle, cuja superfície permite o fluxo
de líquido apenas através da raiz do jato. Sendo assim, se jv é a velocidade do jato, e rootv a
velocidade da raiz do jato (ver Fig. 5.5), então, do teorema do transporte de Reynolds, chega-
se a
b
S
rootjjbw Vt
T
t
T
root
∂⋅−+= ∫ d)(d
d
d
d 221 nvvvρ , (5.19)
onde wT representa a energia cinética do domínio líquido como um todo, e rootS a superfície
transversal da raiz do jato.
Certamente, todo o trabalho realizado sobre o domínio líquido como um todo tem que ser a
ele convertido em energia cinética. Dessa forma, tem-se que
t
TFU w
d
d= . (5.20)
Então, da Eqs. (5.20) e (5.16) em (5.19), chega-se a
b
S
rootjjb VU
t
M
root
∂⋅−= ∫ d)(d
d 2212
21 nvvvρ , (5.21)
que é uma expressão para o fluxo de energia através da raiz do jato em termos da variação da
massa adicional associada ao seio do líquido.
Esse é um resultado que já havia sido demonstrado para casos particulares por Molin,
Cointe e Fontaine (1996) (bidimensional), Scolan e Korobkin (2003) (tridimensional com
linha de contato elíptica) e Cointe et al. (2004) (tridimensional com corpo assimétrico). Aqui,
no entanto, nenhuma restrição foi feita, e, portanto, a expressão dada pela Eq. (5.21) pode ser
considerada de caráter geral. Além disso, a mesma confirma a previsão de Scolan e Korobkin
138
(Control surface defining the bulk of the liquid)
(Liquid particle leaving the bulk
of the liquid)
FSFS
jatojatocorpocorpo
raiz do jato, )( rootSraiz do jato, )( rootSraiz do jato, )( rootS
‘zoom’‘zoom’
partículacruzando rootS
partículacruzando rootS
(2001) de que, no caso tridimensional geral, se a velocidade de penetração do corpo for
forçada a ser constante, i.e. .0 constU ==ζ& , sua energia passa a ser igualmente distribuída
entre o seio do líquido e os jatos. Para verificar, basta tomar 221 UMT bb = e novamente as
Eq. (5.20) e (5.21) na Eq. (5.19), ou seja
202
1202
1
d
d
d
dU
t
MU
t
MFU bb += . (5.22)
Figura 5.5 - Fluxo de líquido através da região da raiz do jato.
Essa demonstração e discussão da generalidade da Eq. (5.21) é um resultado original
dessa tese que já se encontra publicado em Casetta e Pesce (2005).
Mas a consideração de que existe um fluxo de energia a partir do seio do líquido fornece
139
um elemento crucial para a aplicação adequada da equação de Lagrange ao problema de
impacto hidrodinâmico. Como mostrado no Capítulo 3, a função de Rayleigh para um sistema
de massa variável pode ser dada pela soma entre o fluxo de energia cinética a partir do
sistema considerado e a taxa de variação de sua energia interna. No caso, como o líquido é
supostamente ideal, a função de Rayleigh torna-se precisamente o fluxo de energia cinética a
partir do seio do líquido, i.e. (ver Eq. (5.21))
2212
21*
d
d
d
dζ&
t
MU
t
M bb ≡=ℜ . (5.23)
A aplicação da equação de Lagrage então decorre da consideração da Eq. (4.45), i.e.
ζζζ && ∂
∂ℜ+
∂
∂−
∂
∂= bb TT
tF
D
D, (5.24)
de onde se obtém a Eq. (5.16)
Assim, tem-se que, quando apenas o seio do líquido é considerado, existe uma perda de
energia cinética através dos jatos que tem que ser levada em conta quando se pretende abordar
coerentemente o problema através da mecânica analítica de sistemas de massa variável.
Mas ainda existe uma pergunta a ser respondida. Por que a equação demonstrada por
Lamb (1932) não é válida para o caso? Inicialmente, deve-se lembrar que considerar apenas o
seio do líquido fere uma das hipóteses adotada por Lamb (1932), i.e. a de que todo o domínio
líquido deve ser levado em conta. Existe então uma maneira conveniente de se abordar o
problema de impacto hidrodinâmico através da Eq. (5.17). Convenientemente, pode-se então
definir a massa adicional como aquela associada ao domínio líquido como um todo, onde.
221 UMT ww = . Vale lembrar que a massa adicional, assim definida, dá a medida de energia
cinética do líquido como um todo, i.e. seio mais jatos. Nesse caso, wM também varia com a
profundidade de penetração do corpo. Entretanto, o jato é agora parte integrante do domínio
líquido, e, portanto, a função de Rayleigh para esse caso é nula. Logo, a Eq. (5.17) pode ser
empregada com 221 UMT ww = , i.e.
140
Ut
M
t
UMF ww
d
d
d
)d(21−= . (5.25)
Essa discussão sobre a aplicação da equação de Lagrange conforme a definição da massa
adicional também é um resultado original dessa tese que já se encontra publicado em Casetta
e Pesce (2006).
No entanto, desconhecedor dessas sutilezas, Wu (1998) considera que as Eqs. (5.25) e
(5.18) são equivalentes. Para justificar a Eq. (5.18), Wu (1998) assume que 0/ =∂∂ tφ é
válida ao longo de toda a superfície livre, inclusive na raiz do jato. A questão é que, em uma
abordagem que se vale de argumentos de energia, isso não pode ser assumido como verdade,
pois, retornando-se à Eq. (5.5), isso implicaria 021 =∇⋅∇ φφ em toda a superfície livre,
inclusive na raiz do jato. E de fato, sabe-se, da discussão anterior, que, na raiz do jato, o
líquido apresenta grande velocidade, e, portanto, 021 ≠∇⋅∇ φφ em rootS .
Note que se tomado 021 =∇⋅∇ φφ na raiz do jato, a Eq. (5.19) fica
t
T
t
T bw
d
d
d
d= , (5.26)
o que equivale à desprezar a energia cinética transferida aos jatos51.
Logo, da Eq. (5.26) em. (5.20) chega-se à Eq. (5.18).
Para ilustrar, em termos práticos, a real diferença entre as Eqs. (5.18) e (5.16), considere o
caso do impacto hidrodinâmico de uma esfera em queda livre. Pode-se mostrar que, no
problema de Wagner, a massa adicional associada ao impacto de uma esfera contra a
superfície livre é determinada por 334 aM b ρ= , sendo ζRa 2
3= o raio do disco 0BS , ρ a
densidade do líquido e R o raio da esfera (ver, por exemplo, CASETTA, 2004).
______________ 51 Este ponto encontra-se discutido em detalhes em Pesce (2006).
141
Haja vista que F é a força que atua no sistema líquido, tem-se, pelo princípio da ação e
reação, que a força atuante na esfera deve ser dada por ( F− ). Logo, se m é a massa da
esfera, então
Ft
Um −=
d
d. (5.27)
Assim, da Eq. (5.16) em (5.27), mostra-se que
t
UM
t
Um b
d
)d(
d
d−= . (5.28)
Do mesmo modo, da Eq. (5.18) em (5.27), chega-se a
Ut
M
t
UM
t
Um bb
d
d
d
)d(
d
d21+−= . (5.29)
As Eqs. (5.28) e (5.29) podem ser adimensionalizadas considerando-se
g
U
g
&&&&& ==
ζζ * (5.30)
00
*
*U
U
t
==
=ζ
ζζ
&
&& , (5.31)
sendo RtUt /0* = , e
R
ζζ =* , (5.32)
quando então respectivamente tornam-se
142
( ) 2/3*31
*2*2*
ζσ
ζζζ
+−=
&&& RF
(5.33)
( ) 2/3*31
*2*2
21*
ζσ
ζζζ
+−=
&&& RF
, (5.34)
sendo RgUFR 2/20
2 = e )/(57,0)/(2762 ρρρρσ π
eses ≅= , onde esρ é a densidade [kg/m3] da
esfera.
Como claramente revelam as Fig. 5.6 e 5.7, considerar a equação incorreta (Eq. (5.34))
implica subestimar a desaceleração máxima a que a esfera fica submetida durante seu estágio
inicial de penetração na água. Do ponto de vista de projeto, isso significa subestimar as cargas
hidrodinâmicas máximas a que uma estrutura fica sujeita, o que pode ser extremamente
perigoso para sua segurança.
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
t*
d2ζζ ζζ*
/dt*
2
Eq. (5.33)Eq. (5.34)
Figura 5.6 – Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para
o caso 152 =RF e σ = 0,2 ( 35,0)/( ≅ρρ es ).
143
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t*
d2 ζζ ζζ
*/d
t*2
Eq. (5.33)Eq. (5.34)
Figura 5.7 - Desaceleração no impacto de uma esfera, segundo Eq. (5.33) (correta) e (5.34) (incorreta) para
o caso 152 =RF e σ = 4,5 ( 89,7)/( ≅ρρes ).
144
5.4 Discussão
Existe uma questão bastante curiosa acerca do problema de Wagner: sua analogia com o
problema de Cayley (ver Capítulo 4). Embora o primeiro seja um problema de hidrodinâmica,
e o segundo um de mecânica propriamente dita, ambos são modelados a partir da
consideração de um sistema dissipativo de massa (massa adicional no primeiro caso) variável
com a posição. Além disso, a função de Rayleigh para ambos assume a mesma forma (ver
Eqs. (4.44) e (5.23)). Mas o curioso mesmo de ser notado é o fato de que, para ambos os
casos, foi encontrado na literatura o mesmo tipo de interpretação errônea no que se diz
respeito à aplicação da equação de Lagrange. Ou seja, em ambos os casos, a dissipação de
energia do sistema de interesse foi mal interpretada e a equação de Lagrange clásssica então
empregada de modo impróprio por Wu (1998), no caso do problema de Wagner, e por Wong
e Yasui (2006), no caso do problema de Cayley.
145
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Uma primeira e importante conclusão que pode ser extraída dessa tese é a de que a
mecânica de sistemas de massa variável depende fortemente da interpretação e resposta de
três perguntas: i) qual é o sistema de massa variável de interesse? ii) como se dá o processo de
agregação-ejeção de massa desse sistema de interesse? iii) qual o significado físico dos
termos envolvidos nas equações de movimento de um sistema de massa variável, equação
geral de balanço, teorema do transporte, etc.?
No Capítulo 2, foi apresentada uma análise de pontos relevantes dos primeiros trabalhos
que fundamentaram a dinâmica de sistemas de massa variável. Isso incluiu desde o trabalho
de Buquoy, de 1814, até o de Reynolds (1903) e Truesdell e Toupin (1960). Mas a principal
conclusão desse Capítulo é o fato de que, dependendo da maneira com que o processo de
agregação-ejeção de massa é interpretado, o sistema pode ser considerado como dissipativo
ou não; como um volume material com fontes de massa, ou um volume de controle, ou
sistema de massa instantaneamente constante. A análise apresentada nesse Capítulo foi feita a
partir do trabalho de Mikhailov (1975), deixando-se então como sugestão a leitura dos
trabalhos originais de Buquoy, Poisson, Tait e Steele, e Mechtcherskii, assim como também o
levantamento de novas referências sobre a história da mecânica de sistemas de massa
variável. Sem dúvida, isso pode vir a contribuir ainda mais para o entendimento dos
fundamentos desse ramo da mecânica.
No Capítulo 3, discutiu-se a concepção e aplicação da equação de Lagrange a sistemas de
massa variável. O trabalho de Cayley, um dos primeiros sobre o tópico, foi reinterpretado, e
uma interpretação física coerente para a chamada função dissipação de Rayleigh para sistemas
de massa variável foi apresentada. Nesse Capítulo, aparece claramente a questão da
interpretação física dos termos envolvidos nas diferentes formas da equação de Lagrange. É
então a principal conclusão desse Capítulo a de que, a partir da interpretação do trabalho de
Irschik e Holl (2002) como sendo a equação de Lagrange para um volume de controle cuja
146
massa varia com o tempo, pode-se demonstrar a equação de Lagrange para um volume de
controle cuja massa varia com as coordenadas e velocidades generalizadas. Sob esse aspecto,
uma sugestão para trabalho futuro, ao menos para fins didáticos, é a busca de exemplos
envolvendo sistemas cuja massa varia com a velocidade, que são bastante difíceis de ser
encontrados, e a de exemplos envolvendo sistemas cuja massa varia do modo mais geral, i.e.
com a posição e com a velocidade. Vale ressaltar que, segundo o melhor conhecimento do
autor dessa tese, acerca desse segundo caso, nenhum exemplo foi ainda encontrado.
Por fim, a parte teórica desta tese encerrou-se com a apresentação da extensão do
princípio variacional de Seliger e Whitham (1968), originalmente formulado para um volume
fechado, para um volume de controle, mas restrito a problemas potenciais. Esse resultado foi
obtido através do conceito de partículas fictícias de Truesdell e Toupin (1960), mas que,
essencialmente, baseia-se na técnica de McIver (1973) para a obtenção do princípio de
Hamilton para sistemas mecânicos de massa variável. Seliger e Whitham (1968),
implicitamente, adotam a hipótese de processo adiabático e reversível. Sendo assim, sugere-se
então a busca de princípios variacionais para volumes de controle cujos processos envolvidos
não sejam adiabáticos.
Na segunda parte dessa tese, buscou-se apresentar casos de aplicação para aquilo que foi
discutido nos Capítulos anteriores. E nesse sentido não podia haver exemplos melhores do
que o chamado ‘problema da corrente em queda’ e o ‘problema de Wagner’, problemas esses,
inclusive, de grande relevância prática. Enquanto o primeiro pode ser considerado como uma
importante peça no entendimento da dinâmica de correntes e cabos, o segundo está envolvido
no processo de avaliação da segurança de estruturas que se chocam com a superfície livre da
água. Mas o quê coloca esses problemas na posição de exemplo didático é o fato de que
ambos exigem um cuidado ‘especial’ no que diz respeito à interpretação do processo de
agregação-ejeção de massa, dissipação de energia, e aplicação da equação de Lagrange para
recuperação da equação de movimento associada. O quê bem pode ilustrar toda a dificuldade
em se interpretar consistentemente tais problemas é o que foi discutido nos Capítulos 4 e 5
sobre a aplicação da equação de Lagrange. Ou seja, se o sistema de massa variável de
interesse não for adequadamente considerado, a aplicação da equação de Lagrange conduz a
resultados significativamente incorretos, como assim foi mostrado para o problema de Cayley
e o de Wagner. Cumpre ressaltar que a tese permitiu resgatar a validade da análise de Cayley
147
(1857) para o problema que leva seu nome. Um outro interessantíssimo aspecto a ser notado é
o resultado ‘falso-positvo’ obtido por Wong e Yasui (2006), ao empregar a equação de
Lagrange clássica no problema da corrente em U. Na verdade, Wong e Yasui (2006) e Wu
(1998) cometem tautologias.
Ambos os problemas foram abordados a partir de uma série de hipóteses de idealização.
Sendo assim, sugere-se, por exemplo, abordar o problema da corrente em queda levando em
conta a dimensão de seus elos, suas possíveis formas, e as propriedades mecânicas dos
mesmos. Com relação ao problema de Wagner, questões acerca da compressibilidade do
líquido e da elasticidade do corpo de impacto também são sugeridas para ser incluídas em
trabalhos futuros.
A conclusão final dessa tese é a de que a mecânica de sistemas de massa variável como
aqui apresentada é, em sua essência, um ramo da mecânica que depende fortemente das
respostas às três perguntas mencionadas no início desse Capítulo. Exemplos didáticos e
práticos onde um sistema de massa variável possa ser identificado serão sempre concebíveis.
Veja, por exemplo, o problema do carretel, o da corrente em queda, o da bola de neve, etc.
Mas é também possível reconhecer um sistema de massa variável em problemas que
envolvem situações de risco. Um exemplo é o problema de Wagner, onde se está preocupado
com a avaliação da segurança de estruturas marítimas que se chocam contra a superfície da
água do mar. Outro que indubitavelmente é um notável exemplo de tais situações é o
problema do colapso vertical de edifícios, em particular o caso das torres gêmeas do World
Trade Center.
148
REFERÊNCIAS
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158
A.1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME MATERIAL
COM FONTES DE MASSA ESCRITA EM TERMOS DE SUAS
POSIÇÕES E VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK;
HOLL, 2004, p. 152)
Seja
∫=
V
cm Vm~
~drr ρ , (A.1)
onde cmr é a posição do centro de massa das partículas de V~
, e r a posição dessas partículas
medidas com relação a um referencial inercial.
Seja também
∫=
V
Vm~
~dρ (A.2)
e
∫=
V
cm Vt
m
~
~d
d
d~
rr* ρθ , (A.3)
onde *cmr é a posição do centro de massa dos elementos µd , que então são gerados a partir das
partículas que compõe o volume material V~
.
Considere adicionalmente que (ver Eq. (2.24))
159
∫=
V
Vt
m
~
~d
d
d~
uw ρθ . (A.4)
Derivando-se a Eq. (A.1) sob o operador td/(.)d~
, obtém-se que
∫=+
V
cmcm V
tt
m
tm
~
~d
d
d~
d
d~
d
drr
rρ . (A.5)
Da equação geral de balanço (ver Eq. (2.19)) para r=ψ , e assumindo-se que, nesse caso,
seus termos são
∫∫∫ +=
VVV
VVVs~~~
~d
~d
~d][ rvr ρθρρ (A.6)
e
0~
d][~
≡∂⋅∫∂V
Vi nr , (A.7)
mostra-se que
∫∫∫ +=
VVV
VVVt ~~~
~d
~d
~d
d
d~
rvr ρθρρ . (A.8)
Então, das Eqs. (A.8) e (A.5), chega-se a
∫∫ +=+
VV
cmcm VV
t
m
tm
~~
~d
~d
d
d~
d
drvr
rρθρ . (A.9)
Mas da Eq. (A.3) em (A.9), tem-se que
160
∫=−+
V
cmcmcm V
t
m
tm
~
* ~d)(
d
d~
d
dvrr
rρ . (A.10)
Por fim, derivando-se a Eq. (A.10) sob o operador td/(.)d~
, e tomando-se as Eqs. (A.4) e
(2.24), obtém-se
)(d
d~
d
d
d
d2
d
d~
d
d *2
2*
2
2
cmcmcmcmcm
t
m
ttt
m
tm rr
rrwF
r−−
+−+= , (A.11)
que é a Eq. (2.25).
161
A.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME DE
CONTROLE ESCRITA EM TERMOS DE SUAS POSIÇÕES E
VELOCIDADES CARACTERÍSTICAS (ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p.
157-8)
Inicialmente, vale relembrar que, para esse caso, V~
é um volume material sem fontes de
massa em seu interior, e V é o volume de controle que é instantaneamente coincidente com
V~
.
Seja então
∫=
V
cm Vmˆ
ˆdrr ρ (A.12)
(análoga à Eq. (A.1)), onde cmr é o centro de massa das partículas de V~
que instantaneamente
se encontram no interior de V , r a posição dessas partículas medidas com relação a um
referencial inercial, e
∫=
V
Vmˆ
ˆdρ . (A.13)
Seja agora
∫∂
∂⋅−=
V
*cm V
t
m
ˆ
ˆd)ˆ(d
dnvvrr ρ (A.14)
(análoga à Eq. (A.3)), sendo *cmr a posição do centro de massa das partículas que
instantaneamente se encontram em V∂ .
162
Considere também que
∫∂
∂⋅−=
V
Vt
m
ˆ
ˆd)ˆ(d
dnvvvw ρ (A.15)
(análoga à Eq. (A.4)).
Derivando-se ambos os lados da Eq. (A.12), agora sob o operador td/(.)d , obtém-se que
∫=+
V
cmcm V
tt
m
tm
ˆ
ˆdd
d
d
d
d
drr
rρ (A.16)
(análoga à Eq. (A.5)).
E em vez de se considerar a equação de balanço, como na Eq. (A.8), toma-se o teorema do
transporte de Reynolds para r=ψ (ver Eq. (2.30)), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅−−=
VVV
VVt
Vt
ˆ~ˆ
ˆd)ˆ(~
dd
d~
ˆdd
dnvvrrr ρρρ . (A.17)
Então, das Eqs. (A.17), (A.16) e (A.14), obtém-se que
∫=−+
V
cmcmcm V
tt
m
tm
~
~d
d
d~
)(d
d
d
drrr
r * ρ . (A.18)
Como V~
é um volume material que não possui fontes de massa, então, da Eq. (A.8) para
0=θ , tem-se que
∫∫ =
VV
VVt ~~
~d
~d
d
d~
vr ρρ . (A.19)
163
Logo, da Eq. (A.19) em (A.18) obtém-se que
∫=−+
V
cmcmcm V
t
m
tm
~
~d)(
d
d
d
dvrr
r * ρ (A.20)
(análoga à Eq. (A.10)).
Mas como V~
é instantaneamente coincidente com V , a Eq. (A.20) pode ser
convenientemente escrita como
∫=−+
V
cmcmcm V
t
m
tm
ˆ
ˆd)(d
d
d
dvrr
r * ρ . (A.21)
Derivando-se, então, ambos os lados da Eq. (A.21) sob o operador td/(.)d , e utilizando-
se as Eqs. (A.15) e (2.34), chega-se, por fim, à seguinte expressão
)(d
d
d
d
d
d2
d
d
d
d *2
2*
2
2
cmcmcmcmcm
t
m
ttt
m
tm rr
rrwF
r−−
+−+= , (A.22)
que é a Eq. (2.35).
164
A.3 INVARIÂNCIA GALILEANA DA SEGUNDA LEI DE NEWTON
PARA UMA PARTÍCULA DE MASSA VARIÁVEL
Considere dois sistemas inerciais de referência. Para a simplicidade da análise, e sem
perda de generalidade, suponha que um desses sistemas é fixo e o outro então dotado de
velocidade de translação constante refv . Assim, se ∫= tdvx é a posição de uma partícula
com relação ao referencial fixo, e ∫= t'' d vx é a posição dessa mesma partícula com relação
ao referencial móvel, então, da Fig. A.1, vê-se que
Figura A.1 – Relação entre as posições de uma mesma partícula, sendo essas tomadas com relação a diferentes referenciais inerciais.
∫+= t ' ref dvx x , (A.23)
o que implica
ref ' v vv += , (A.24)
e também
x
y
x ′
y ′
xx ′
∫ tref dv
x
y
x
y
x ′
y ′
x ′
y ′
xx ′
∫ tref dv
165
t
'
t d
d
d
d vv= . (A.25)
Seja então a segunda lei de Newton para uma partícula de massa constante, i.e.
tm
d
dvF = . (A.26)
Claramente, da Eq. (A.25) em (A.26), tem-se que
t
'm
d
d vF = . (A.27)
Ou seja, para uma particular de massa constante, a segunda lei de Newton é invariante sob
transformações Galileanas.
Considere agora a segunda lei de Newton para uma partícula de massa variável na forma
da Eq. (2.41). Das Eqs. (A.24) e (A.25), e tomando-se w com relação ao referencial móvel,
i.e.
ref ' vw w += , (A.28)
a Eq. (2.41) é então reescrita como
t
m''
t
'm
d
d)(
d
d vw
vF −−= , (A.29)
i.e.
166
t
m''m
t d
d)(
d
dw vF −= . (A.30)
Assim, tem-se que as Eqs. (A.29) e (A.30), expressões da segunda lei de Newton para
uma partícula de massa variável, onde nenhuma consideração é feita sobre os diferentes
operadores de diferenciação ou sobre a distinção entre as partículas envolvidas, são
invariantes sob transformações Galileanas.
Por outro lado, desenvolvendo-se a derivada do lado direito da Eq. (2.42), i.e.
t
m
tm
d
d
d
dv
vF += , (A.31)
mostra-se, a partir das Eqs. (A.24) e (A.25), que
t
m'
t
'm ref d
d)(
d
dv v
vF ++= , (A.32)
ou seja, a Eq. (2.42) depende da escolha do referencial inercial.
Seja agora cada uma das Eqs. (2.29), (2.39) e (2.40), quando então existe uma distinção
entre os operadores de diferenciação, e as partículas do sistema.
Da Eq. (2.29), tem-se
tt
m
tm
d
d
d
d~
d
d µwv
vF −+= . (A.33)
Então, das Eqs. (A.24), (A.25) e (A.28) em (A.33), mostra-se que
t'
t
m'
t
'm refref d
d)(
d
d~
)(d
d µvw v v
vF +−++= . (A.34)
167
Note que o segundo e o terceiro termo do lado direito da Eq. (A.34) dependem da escolha
do referencial inercial, não podendo essa expressão ser reduzida a uma outra onde nenhum
dos termos envolvidos apresentem tal dependência. Por outro lado, se a restrição para se
recuperar a identidade da partícula, i.e.
0d
d~
d
d=
−
t
m
t
µv , (A.35)
que é equivalente a
0d
d~
d
d)( =
−+
t
m
tref
µv' v , (A.36)
for adicionada à Eq. (A.34), tem-se a seguinte expressão
−+++−++=
t
m
t'
t'
t
m'
t
'm refrefref
d
d~
d
d)(
d
d)(
d
d~
)(d
d µµv vvw v v
vF , (A.37)
que agora então pode ser reduzida a uma equação que é invariante sob transformações
Galileanas, i.e.
t''
t
'm
d
d)(
d
d µ vw
vF −−= . (A.38)
Seja agora a Eq. (2.39) sob a forma
tt
m
tm
d
d
d
d
d
d µwv
vF −+= . (A.39)
Das Eqs. (A.24), (A.25) e (A.28) em (A.39), obtém-se uma expressão análoga à Eq.
(A.34), i.e.
168
t'
t
m'
t
'm refref d
d)(
d
d)(
d
d µvw v v
vF +−++= , (A.40)
que também não é invariante sob transformações Galileanas, mas que pode ser reduzida à Eq.
(A.38), se a restrição para a recuperação da identidade da partícula, i.e.
0d
d
d
d)( =
−+
t
m
tref
µv' v , (A.41)
for a ela adicionada.
Finalmente, tome a Eq. (2.40) sob a forma
ttm
d
d)(
d
d µvw
vF −+= . (A.42)
É imediato das Eqs. (A.24), (A.25) e (A.28) em (A.42) que
t''
t
'm
d
d)(
d
d µ vw
vF −+= . (A.43)
Ou seja, a Eq. (2.40) é invariante sob transformações Galileanas.
169
B O CONCEITO DE PARTÍCULAS FICTÍCIAS DE TRUSDELL E
TOUPIN (1960) E O TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS
GENERALIZADO
Imagine um corpo B~
, móvel e deformável, que é composto por um conjunto bem
definido de partículas. Considere que V~
é a configuração de referência de B~
. Em V~
, as
partículas de B~
apresentam coordenadas dadas por ( ) ( )ZYXXXX ,,,, 321 ≡=X . São as
coordenadas Lagrangeanas dessas partículas. Porém, no instante de tempo tt d+ seguinte,
haja vista seu movimento e deformação, B~
assume uma outra configuração, i.e. a
configuração atual V~
. Quando assim, as partículas de B~
apresentam coordenadas Eulerianas
dadas por ),,(),,( 321 zyxxxx ≡=x . Assume-se que, em qualquer instante de tempo t , a
posição x de uma partícula de coordenada Lagrangeana X pode ser obtida a partir de uma
função χ , onde ( )t,Xx χ= . A partir de χ , pode-se estabelecer uma relação entre um
elemento de volume V~
d da configuração de referência do corpo e um elemento V~
d de sua
configuração atual. Essa relação é dada por
V~
d~
d JV = , (B.1)
onde J , o Jacobiano da transformação, é definido como
0]/det[ ≠∂∂= ji XxJ . (B.2)
Seja agora Ψ uma quantidade física extensiva associada às partículas que compõe um
determinado corpo. No caso de B~
, tem-se então que
∫=
V
V~
~dρψΨ , (B.3)
170
onde ),( txψψ = é o valor de Ψ por unidade de massa.
A taxa da variação total de Ψ com relação às partículas que compõe B~
corresponde a
∫=
V
Vtt ~
~d
d
d~
d
d~
ρψΨ
. (B.4)
Da Eq. (B.1), a Eq. (B.4) pode ser reescrita como
∫∫∫
+==
VVVt
J
tJJ
tV
t ~~~
~d
d
d~
)(d
d~
~d
d
d~
~d
d
d~
VV ρψρψρψρψ , (B.5)
haja vista também que
( )∫∫ =
VV
Jt
Jt ~~
~d
d
d~
~d
d
d~
VV ρψρψ . (B.6)
Da definição de td/(.)d~
(ver Eq. (2.31)) e da relação
v⋅∇= Jt
J
d
d~
(B.7)
(ver IRSCHIK; HOLL, 2004, p. 148, Eq. 2.4b), a Eq. (B.5) torna-se
∫∫∫
⋅∇+
∂
∂=
⋅∇+
∂
∂=
VVV
Vt
Jt
Vt ~~~
~d)()(
~d)()(
~d
d
d~
vv ρψρψρψρψρψ V . (B.8)
Então, do teorema da divergência de Gauss-Green-Ostrogradsky, a Eq. (B.8) assume a
seguinte forma
171
∫∫∫∂
∂⋅+∂
∂=
VVV
VVt
Vt ~~~
~d
~d)(
~d
d
d~
nvρψρψρψ . (B.9)
A Eq. (B.9) assim estabelece que a variação total de uma determina grandeza associada à
V~
(lado esquerdo) é o resultado entre dois fatores: 1) a variação dessa grandeza que ocorre
em cada uma das partículas de V~
(primeiro termo do lado direito), 2) e a variação dessa
grandeza que se dá com o movimento e/ou deformação de V~
(segundo termo do lado direito)
(ver Fig. B.1).
Figura B.1 - Movimento e deformação de um volume material.
Segundo Truesdell e Toupin (1960, p. 347, grifo nosso) o teorema do transporte pode ser
concebido a partir da Eq. (B.9), “Escolhendo-se o volume espacial υ [fixo] que, no instante
de tempo t , é a configuração do volume material [i.e. V~
],” ou seja
∫∫∫∂
∂⋅+∂
∂=
υυ
υυ dd~
dd
d~
~
nvρψρψρψt
Vt
V
. (B.10)
x
y
plano cartesiano
V~
V~
t tt d+
J
x
y
plano cartesiano
V~
V~V~
t tt d+
J
172
A Eq. (B.10) passa então a ter um significado físico diferente daquele associada à Eq.
(B.9), i.e.
[...]a taxa da variação total de ψ em um volume material V~
é igual à taxa da
variação total de ψ em um volume υ fixo, que é a configuração instantânea de V~
,
mais o fluxo de vψ para fora da fronteira. (TRUESDELL; TOUPIN, 1960, p. 347)
Ou seja, enquanto ∫ ∂∂V
Vt~
~d/)(ρψ representa a variação de uma grandeza que ocorre em
cada uma das partículas do volume material quando o mesmo assume a configuração V~
,
∫∂∂υ
υd)/( ρψt é a variação dessa grandeza que ocorre em cada uma das partículas do volume
material, porém, quando o mesmo se localiza instantaneamente na porção υ do espaço, i.e.
V~
=υ (ver Fig. B.2). Além disso, enquanto ∫∂
∂⋅V
V~
~dnvρψ representa a variação dessa
grandeza devido ao movimento e deformação de V~
, ∫∂
∂⋅υ
υdnvρψ está associado à variação
dessa grandeza em razão do fluxo de ρψ através de υ∂ .
Figura B.2 - Movimento e deformação de um volume material com relação ao volume espacial que instantaneamente coincide com o mesmo.
Ocorre que, em determinados problemas, o sistema de massa variável é preferencialmente
descrito por um volume de controle móvel e deformável, o que então inviabiliza o emprego da
Eq. (B.10), haja vista que nessa, por hipótese, o volume de controle em questão, i.e. υ , é fixo.
x
y
plano cartesiano
V~
t
υ
v
x
y
plano cartesiano
V~
t
υ
v
173
Mas existem três maneiras de se sobrepor essa problemática, e então considerar um volume de
controle )(tυ móvel e deformável. A primeira decorre da abordagem heurística de Thompson
(1988):
Seja )(tυ um volume móvel (não necessariamente um volume material) com
fronteira )(tυ∂ e versor normal n que é positivo quando apontado para fora[...] Tal
volume móvel e arbitrário é freqüentemente chamado por volume de controle; a fronteira não precisa em geral ser identificada com nenhuma fronteira física[...] (THOMPSON, 1988, p. 15)
Segundo esse autor, a taxa da variação total de uma grandeza com relação a um volume de
controle móvel, i.e. ∫)(
d)d/(dt
tυ
υυ ρψ (52), é o resultado entre dois fatores: 1) a variação de ρψ
dentro de )(tυ , o que corresponde à taxa de variação ∫ ∂∂)(
d/)(t
tυ
υρψ (53), 2) e a variação de
ρψ que ocorre devido ao fato de )(tυ∂ englobar diferentes regiões do espaço físico ao longo
do tempo, o que implica uma taxa de variação ∫∂
∂⋅)(
dtυ
υ υnvρψ , onde nv ⋅υ é a velocidade
normal de )(tυ∂ . Sendo assim (ver Fig. B.3)
∫∫∫∂
∂⋅+∂
∂=
)()()(
dd)(dd
d
ttttt
υ
υ
υυ
υ υυυ nvρψρψρψ . (B.11)
A segunda maneira de se considerar a taxa da variação total de uma entidade física em um
volume de controle móvel decorre da interpretação do Axioma I de Reynolds (ver Capítulo 2),
o que, segundo o próprio Thompson (1988, p. 16, nota de rodapé 1), é equivalente à
abordagem heurística por ele proposta. Note que o primeiro termo do lado direito da Eq.
(B.11) é a primeira das duas maneiras apresentadas por Reynolds, em seu Axioma I, para se
alterar uma entidade física dentro de uma superfície fechada. Já o segundo termo do lado
direito da Eq. (B.11) é equivalente à segunda maneira concebida por Reynolds, em seu
Axioma I, para se alterar uma entidade física dentro de uma superfície fechada, i.e. a
______________
52 O operador de diferenciação td/(.)dυ refere-se àquele que acompanha o volume de controle )(tυ .
53 Note que, diferentemente de υ , onde ∫∫ ∂∂∂∂ =υυ
υυ d)/d/)( ( ρψρψ tt , pois υ é fixo; para )(tυ , tem-se que
∫∫ ∂∂∂∂ ≠)()(
d)/d/)( (tt
ttυυ
υυ ρψρψ , haja vista que )(tυ é móvel.
174
passagem de uma entidade física através da superfície )(tυ∂ . A diferença é que, enquanto na
abordagem de Thompson (1988) é a superfície )(tυ∂ que engloba diferentes regiões do
espaço, interpretando-se o Axioma I de Reynolds, é a entidade física em questão que
atravessa a superfície )(tυ∂ . Ou seja, trata-se apenas de uma questão de ponto de vista.
Figura B.3 - Movimento e deformação de um volume de controle móvel e deformável
No entanto, segundo Irschik e Holl (2004) e Thompson (1988), a derivação do teorema do
transporte para um volume de controle móvel e deformável é dada por Truesdell e Toupin
(1960, p. 347), que, para tal, introduzem o conceito de partículas fictícias. Essencialmente,
essa técnica consiste em imaginar54 que o volume )(tυ , que é o espaço encerrado por )(tυ∂ , é
um volume material composto pelas partículas fictícias. Considere então que B é um outro
corpo que não B~
. Assim, enquanto esse segundo corpo é definido pelo volume material V~
, e
então composto por partículas reais, aquele primeiro é definido pelo volume material V e
composto pelas partículas fictícias. Mas qual é a real necessidade de se imaginar que o
volume de controle )(tυ é um volume material? A questão é que, se assim, a Eq. (B.11) pode
ser demonstrada através de um procedimento matemático já bem estabelecido, não precisando
ser concebida heuristicamente como assim faz Thompson (1988), ou axiomaticamente, como
assim fez Reynolds. Note que Irschik e Holl (2004, p. 148) atribuem a Truesdell e Toupin
(1960) a associação formal entre o teorema do transporte e o axioma de Reynolds.
______________ 54 Daí o nome partículas fictícias.
x
y
plano cartesiano
t tt d+
? J
)(tυ)d( tt +υ
x
y
plano cartesiano
t tt d+
? J
)(tυ)d( tt +υ
175
Como mostram Irschik e Holl (2002), faz-se necessário desenvolver um formalismo
próprio para as partículas fictícias, não devendo ser esse confundido com aquele que é
aplicado às partículas reais.
Uma vez que pertencem a corpos diferentes, partículas reais e partículas fictícias, a priori,
apresentam velocidades diferentes. Ou seja, se v descreve a velocidade de uma partícula real,
então v descreve a velocidade de uma partícula fictícia. Por essa razão, o operador gradiente
∇ associado às partículas reais difere daquele ∇ associado às fictícias (ver Eqs. (2.31) e
(2.32)). Além disso, se X é a posição das partículas reais quando o corpo B~
assume sua
configuração de referência V~
, e x a posição das partículas reais quando B~
assume sua
configuração atual V~
; então X e ( )t,ˆˆˆ Xx χ= correspondem, respectivamente, à posição das
partículas fictícias quando o corpo B assume sua configuração de referência V , e à posição
das partículas fictícias quando o corpo B assume sua configuração atual V .
Assim, a demonstração da Eq. (B.11) decorre da reinterpretação das Eqs: (B.1), i.e.
Vdˆˆd JV = (B.12)
(ver também IRSCHIK; HOLL, 2002, p. 240); (B.2), i.e.
0]ˆ/ˆdet[ˆ ≠∂∂= ji XxJ ; (B.13)
(B.3), i.e.
∫=
V
Vˆ
ˆdˆ ρψΨ , (B.14)
onde agora ),ˆ( txψψ = ; (B.8), i.e.
176
∫∫∫
⋅∇+
∂
∂=
⋅∇+
∂
∂=
VVV
Vt
Jt
Vt
ˆˆˆ
ˆd)ˆ(ˆ)(ˆdˆ)ˆ(ˆ)(ˆdd
dvv ρψρψρψρψρψ V , (B.15)
o que então implica, do teorema da divergência de Gauss-Green-Ostrogradsky, que
∫∫∫∂
∂⋅+∂
∂=
VVV
VVt
Vt
ˆˆˆ
ˆdˆˆd)(ˆdd
dnvρψρψρψ , (B.16)
sendo essa equação análoga à Eq. (B.9) (ver Fig. B.4 abaixo).
Figura B.4 - Movimento e deformação do volume material que é composto pelas partículas fictícias.
O teorema do transporte de Reynolds generalizado, i.e. para um volume de controle que
não obrigatoriamente é fixo, mas sim móvel e deformável, pode ser obtido supondo-se que,
instantaneamente, VV~ˆ = , o que então implica
∫∫ ∂
∂=
∂
∂
VV
Vt
Vt ~ˆ
~d)(ˆd)( ρψρψ (B.17)
e
x
y
plano cartesiano
t tt d+
V
V
J
x
y
plano cartesiano
t tt d+
V
V
J
177
∫∫∫∂∂∂
∂⋅−=∂⋅−∂⋅
VVV
VVVˆˆ~
ˆd)ˆ(ˆdˆ~d nvvnvnv ρψρψρψ . (B.18)
Então, das Eqs. (B.9, (B.16), (B.17) e (B.18), mostra-se o teorema do transporte de
Reynolds generalizado (ver Fig. B.5), i.e.
∫∫∫∂
∂⋅−−=
VVV
VVt
Vt
ˆ~ˆ
ˆd)ˆ(~
dd
d~
ˆdd
dnvvρψρψρψ , (B.19)
que agora pode ser alternativamente escrito, quando assim preferido, como
∫∫∫∂
∂⋅−−=
)(~
)(
d)(~
dd
d~
dd
d
tVt
Vtt
υ
υ
υ
υ υυ nvvρψρψρψ . (B.20)
Figura B.5 - Movimento e deformação de V~ , volume material formado pelas partículas reais, com relação
a V , volume material composto pelas partículas fictícias, que também se movimenta e deforma. A priori, esses volumes movem-se de modo diferente; mas são instantaneamente coincidentes.
x
y
plano cartesiano
t
V~
v
V
v
x
y
plano cartesiano
t
V~
v
V~
v
V
v
V
vvv
178
C.1 DERIVAÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAGRANGE PARA UM
SISTEMA DE PARTÍCULAS DE MASSA DEPENDENTE DO TEMPO A
PARTIR DO PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT (ver PESCE, 2003, p. 752)
Seja um sistema de partículas de massa dependente do tempo, i.e. )(tmm ii = . Do
princípio de D’Alembert, tem-se então que
0d
d)(
d
d=⋅
−−−∑
ii
iiii
ii tt
m xvwFv
δµ
. (C.1)
Para um sistema holônomo, o que implica
∑∂
∂=
kk
k
ii q
qδδ
xx , (C.2)
a Eq. (C.1) torna-se
0d
d)(
d
d=
∂
∂⋅
−−−∑ ∑
i kk
k
iiiii
ii q
qttm δ
µ xvwF
v, (C.3)
onde
∑∑∑∑∑∑ ∑ =∂
∂⋅=
∂
∂⋅=
∂
∂⋅
kkk
k ik
k
ii
i kk
k
ii
i kk
k
ii qQq
qδδδδ
xF
xF
xF . (C.4)
Considere agora o termo ∑ ∑∂
∂⋅
i kk
k
iii q
qtm δ
xv
d
d. Como kqδ ’s são independentes entre si e
arbitrários, tem-se, para cada i , k
iii qt
m∂
∂⋅
xv
d
d.
179
Da Eq. (C.26), escreve-se que
k
ii
k
ii
k
iii q
mqt
mqt
m∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
2
21
2
21
d
d
d
d vvxv
&. (C.5)
Tome por ora apenas o termo
∂
∂
k
ii qt
m&
2
21
d
d v. Pela regra da cadeia, a Eq. (C.5) pode ser
escrita como
k
ii
i
k
ii
k
ii qt
m
qm
tqtm
&&& ∂
∂⋅−
∂
∂=
∂
∂ vv
vv
d
d~
d
d~
d
d 2
21
2
21 , (C.6)
e da Eq. (C.23) como
k
ii
i
k
ii
k
ii qt
m
qm
tqtm
∂
∂⋅−
∂
∂=
∂
∂ xv
vv
d
d~
d
d~
d
d 2
21
2
21
&&. (C.7)
Mas como )(tmm ii = , a Eq. (C.7) pode ser convenientemente escrita como
[ ]k
ii
iii
kk
ii qt
mm
qtqtm
∂
∂⋅−
∂
∂=
∂
∂ xvv
v
d
d~~
d
d~
d
d 2
21
2
21
&&. (C.8))
Isolando-se agora o segundo termo do lado direito da Eq. (C.5), tem-se analogamente
[ ]2
21
2
21
~
iikk
ii m
qqm v
v
∂
∂=
∂
∂. (C.9)
Assim, das Eqs. (C.9) e (C.8) em (C.5), chega-se a
180
[ ] [ ]k
ii
iii
kii
kk
iii qt
mm
qm
qtqtm
∂
∂⋅−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
xvvv
xv
d
d~~~
d
d~
d
d 2
212
21
&, (C.10)
o que implica
kk i k
ii
i
kki kk
k
iii q
qt
m
q
T
q
T
tq
qtm δδ ∑ ∑∑ ∑
∂
∂⋅−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
xv
xv
d
d~~~
d
d~
d
d&
. (C.11)
Por fim, das Eqs. (C.11) e (C.4) em (C.3), chega-se a
∑∂
∂⋅
−+−
∂
∂−
∂
∂=
i k
iiiii
i
kkk qtt
m
q
T
q
T
tQ
xvwv
d
d)(
d
d~~~
d
d~
µ
&. (C.12)
Mas, como discutido no Capítulo 2, sob o ponto de vista correspondente ao operador
td/(.)d~
, ttm ii d/dd/d~
µ= . Logo, a Eq. (C.12) pode ser reescrita como
∑∂
∂⋅−
∂
∂−
∂
∂=
i k
ii
i
kkk qt
m
q
T
q
T
tQ
xw
d
d~~~
d
d~
&. (C.13)
Sob o operador tDD /(.) , a Eq. (C.8) pode ser escrita como
[ ]2
21
2
21
2
21
~
d
dii
kk
ii
k
ii m
qtqm
tqtm v
vv
&&& ∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
D
D
D
D. (C.14)
Assim, das Eqs. (C.9) e (C.14) em (C.5), escreve-se uma expressão alternativa para
k
iii qt
m∂
∂⋅
xv
d
d, i.e.
[ ] [ ]2
212
21
~~
d
dii
kii
kk
iii m
qm
qtqtm vv
xv
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
&D
D, (C.15)
181
de onde implica
kk kki k
kk
iii q
q
T
q
T
tq
qtm δδ ∑∑ ∑
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
~~
d
d&D
Dxv. (C.16)
Assim, das Eqs. (C.16) e (C.4) em (C.3), chega-se a
∑∂
∂⋅−−
∂
∂−
∂
∂=
i k
iii
i
kkk qtq
T
q
T
tQ
xvw )(
d
d~~
µ
&D
D. (C.17)
182
C.2 DERIVAÇÃO DE EXPRESSÕES AUXILIARES PARA O
APÊNDICE C.1
Assuma que ),( kii qtxx = . Assim,
∑∂
∂=
kk
k
ii q
qδδ
xx . (C.18)
Mas, se ),( kii qtxx = , então ),,( kkii qqt &vv = , o que implica
∑∑∂
∂+
∂
∂=
kk
k
i
kk
k
ii q
q&
&δδδ
vvv . (C.19)
Derivando-se a Eq. (C.18) sob o operador td/d(.) ,obtém-se
∑∑∂
∂+
∂
∂=
kk
k
i
kk
k
ii q
qt&δδδ
xxv
d
d, (C.20)
haja vista que tt d/(.)dd/d(.) δδ = .
Tomando-se a diferença entre as Eqs. (C.19) e (C.20), mostra-se então que
0d
d=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂∑∑
kk
k
i
k
i
kk
k
i
k
i qqq
qqqt
&&
δδvxvx
. (C.21)
Por fim, como kqδ ’s são independentes entre si e arbitrários, e, portanto, assim também o
são kq&δ ’s, obtém-se da Eq. (C.21) que
183
k
i
k
i
qtq ∂
∂=
∂
∂ xv
d
d (C.22)
k
i
k
i
qq ∂
∂=
∂
∂ xv
&. (C.23)
E dessas duas últimas, mostra-se também que
k
ii
k
ii
k
ii
k
ii
k
i
qtqtqtqtqt ∂
∂⋅+
∂
∂⋅=
∂
∂⋅=
∂
∂⋅=
∂
∂ xv
xvxv
vv
v
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 2
21
&& (C.24)
k
ii
k
ii
k
i
qtqq ∂
∂⋅=
∂
∂⋅=
∂
∂ xv
vv
v
d
d2
21 . (C.25)
Logo das Eqs. (C.24) e (C.25), chega-se a
k
i
k
i
k
ii
qqtqt ∂
∂−
∂
∂=
∂
∂⋅
2
21
2
21
d
d
d
d vvxv
&. (C.26)
184
D DISSIPAÇÃO DE ENERGIA NO PROCESSO ‘EJEÇÃO-RE-
CAPTURA’ DE UM ELEMENTO DE MASSA
No Capítulo 2, mostrou-se que, quando um elemento de massa é agregado por uma
partícula de massa m , ocorre uma dissipação (ou aumento) de energia mecânica que é dada
por (ver Eq. (2.50))
t
m
t
U
d
d)(
d
d~
221 vw −= . (D.1)
Considere agora um volume material V~
formado por dois subsistemas 1V e 2V que
trocam massa entre si. Como a taxa de variação da energia interna de V~
é igual à soma entre
as taxas de variação da energia interna de cada um dos subsistemas, então
t
m
t
m
t
U
d
d)(
d
d)(
d
d~
22222
112112
1 vwvw −+−= . (D.2)
Mas, da conservação de massa, tem-se que 0d/dd/d 21 =+ tmtm . Logo, a Eq. (D.2)
pode então ser escrita como
[ ]t
m
t
U
d
d)()(
d
d~
12222
12112
1 vwvw −−−= . (D.3)
Assim, para que não haja dissipação de energia mecânica em V~
, é necessário que
0)()( 2222
12112
1 =−−− vwvw . (D.4)
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Um caso particular de interesse é aquele em que, no instante de tempo tt d− , um
elemento de massa é ejetado do subsistema 1, sendo então capturado pelo subsistema 2 no
instante de tempo tt d+ (ver Fig. D.1). Isso implica que o instante de tempo t imediatamente
após a ejeção do elemento de massa do subsistema 1 também corresponde ao instante de
tempo t imediatamente anterior à sua captura pelo subsistema 2, i.e. www =≡ 21 . Logo, da
Eq. (D.4), tem-se que
)( 2121 vvw += . (D.5)
Figura D.1 – Processo de ‘ejeção-captura’ de um elemento de massa entre dois subsistemas de massa variável. Caso em que existe um estágio intermediário entre a ejeção e a captura.
1v 2v
1m2m
tt d−
11 dvv + w2v
t
11 dvv +22 dvv +
tt d+
µd11 dmm +
11 dmm + 22 dmm +
2m
1v 2v
1m2m
tt d−
11 dvv + w2v
t
11 dvv +22 dvv +
tt d+
µd11 dmm +
11 dmm + 22 dmm +
2m