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Matemática A · 10.º ano

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Caderno de AvaliaçãoO Caderno de Avaliação propõe minitestes e testes que reforçam as opções do professor na escolha de instrumentos de avaliação, específicos de cada unidade.

Todos os testes deste Caderno são acompanhados pelas respetivas resoluções, que facilitam uma melhor identificação do tipo de trabalho que é proposto em cada exercício ou conjunto de exercícios.

5 e-Manual Premium• Versão digital do Manual

e do Caderno Prático enriquecido com exercícios interativos em contexto

• Caderno do Professor em formato editável

• Caderno de Avaliação em formato editável

• Animações desenvolvidas para o projeto para enriquecimento da experiência letiva

• Propostas de resolução de todos os exercícios apresentados no projeto

O acesso à versão definitiva do e-Manual Premium é exclusivo do professor adotante e estará disponível a partir de setembro de 2015.

e-Manual do AlunoO acesso ao e-Manual do Aluno é disponibilizado gratuitamente, na compra do manual em papel, no ano letivo 2015-2016 e poderá ser adquirido autonomamente através da Internet.

8

9

mudanças significativas ao nível da articulação vertical entre Ensino Básico e Ensino Secundário.

Para cada unidade é apresentada uma planificação, que inclui:

• identificação de pré-requisitos e como os operacionalizar;

• os descritores das Metas Curriculares associados aos diferentes tópicos;

• identificação de instrumentos de avaliação em articulação com o Caderno de Autoavaliação e o Caderno de Avaliação.

Para cada unidade, são ainda apresentados recursos didáticos com sugestões de exploração.

RoteiroO Roteiro é um auxiliar multifuncional e, em termos metafóricos, é o companheiro de “viagem” do professor que apresenta:

• Lembretes e curiosidades.

• Resumos da planificação.

• Calendários para registos diversos.

• Desafios do manual resolvidos.

• Pontos de situação com diversas grelhas para registos.

7 Caderno do ProfessorO Caderno do Professor assume particular importância numa fase de transição de programas, com

4 Propostas de ResoluçãoO livro Propostas de Resolução disponibiliza as resoluções de todos os exercícios do Manual, do Caderno Prático e do Caderno de Autoavaliação.

A abordagem dada nas resoluções contribui para uma melhor identificação dos novos conteúdos e/ou alterações na abordagem feita relativamente aos programas anteriores.

6 Caderno de Autoavaliação OFERTA AO ALUNO

O Caderno de Autoavaliação é uma oferta ao aluno na aquisição do Caderno Prático e é composto por 13 testes que seguem o desenvolvimento dado ao Manual e ao Caderno Prático.

Permite de forma metódica identificar dificuldades e recuperar conhecimentos nos momentos adequados.

23

Unidade 5Funções

Aluno N.º Turma Data – –

NEM

A10

AA

© P

orto

Edi

tora

1 Considera os conjuntos A = 51 , 4 , 96 e B = 51 , 2 , 36 . Qual é o número de subconjuntos de A * B que são gráficos de funções bijetivas de A em B ?

1A2 9 1B2 6

1C2 3 1D2 12

2 Considera os conjuntos A = 52 , 3 , 46 e B = 54 , 6 , 86 . Seja f a função de A em B tal que Gf = 512 , 82 , 13 , 42 , 14 , 626 e g a função de B

em A tal que g 1x2 = x2

.

Indica a afirmação verdadeira:

1A2 1g + f2 132 = 1f +g2 182 1B2 1g + f2 122 = 1f +g2 162 1C2 1f +g2 142 = 1g + f2 142 1D2 1f +g2 182 = 1g + f2 142

3 Seja f uma função bijetiva de R em R e sabe-se que f - 1122 = - 1 , sendo f - 1 a função inversa de f .

Qual das seguintes expressões pode corresponder à expressão analítica de f ?

1A2 f 1x2 = x2 - x 1B2 f 1x2 = x - 3

1C2 f 1x2 = 2 1D2 f 1x2 = 3x + 5

4 Dada uma função f sabe-se que Gf = 513 , - 12 , 15 , 22 , 17 , 32 , 19 , - 226 .

Seja g a função definida por g 1x2 = f ax3b .

Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de g ?

1A2 121 , 32 1B2 13 , 12 1C2 19 , 32 1D2 13 , 32

5 Dada uma função f , real de variável real, de contradomínio f- 3 , 1g .

Seja g a função definida por g 1x2 = f 1x + 12 - 2 . O contradomínio da função g é:

1A2 f- 3 , 1g 1B2 f- 1 , 3g

1C2 f- 4 , 0g 1D2 f- 5 , - 1g

Teste de Autoavaliação 11

NEMA10AA_20144323_P001_028_3P_CImg.indd 23 3/17/15 8:39 AM

3 Caderno PráticoO Caderno Prático tem uma estrutura sustentada na organização e desenvolvimento dados ao manual.

É um reforço da componente prática pensada para uma multiplicidade de situações.

No decurso de cada unidade, assinalam-se os momentos, para autoavaliação, com a indicação do respetivo teste, incluído no Caderno de Autoavaliação.

2 ManualO manual está dividido em duas partes, as quais se subdividem em seis unidades:

Como está estruturado o manual

4

Curiosidadespara despertar o interesse e estimular a reflexão.

Páginas de desenvolvimento Páginas de abertura Introdução à unidade de forma apelativa.

DesafiosIncentivo à curiosidade e à perseverança.

1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução

René Descartes11596–16502

O Discurso do Método

116372

René Descartes foi um filósofo notável, podendo ser considerado um revolucionário na forma de pensar e na procura da verdade, questionando e duvidando de tudo, incluindo da sua própria existência. É neste contexto que lhe é atribuída a frase “Penso, logo existo.”

Em 1637, publicou a obra que mais notoriedade lhe deu, conhecida pelo nome de O Discurso do Método – para bem conduzir a Razão e procurar a Verdade nas Ciências.

Como anexo a esta obra, seguiram-se três outras obras como aplicações do método: A Dioptria, Os Meteoros e A Geometria.

A obra A Geometria 1La Geometrie2 é composta por três livros. O primeiro livro é dedicado aos “problemas que podem ser resolvidos recorrendo apenas a “retas e a círculos”; o segundo livro trata da “natureza das curvas” e o terceiro versa sobre a “construção de sólidos”.

Ao longo da obra, Descartes evidencia, na resolução de problemas, uma certa combinação de recursos algébricos e geométricos, quer estes sejam formulados em termos geométricos ou em termos algébricos.

Um problema cuja formulação pode ser entendida como algébrica é, por exemplo:

Determinar dois números cuja soma seja 17 , de modo que a soma dos seus quadrados seja 169 .

A resolução deste problema pode passar pela resolução de um sistema de duas equações.

2 2

Este problema pode ter uma formulação geométrica:

De entre os triângulos retângulos cuja hipotenusa mede 13 , construir o de perímetro 30 .

A resposta a este problema passa por uma construção geométrica.

Estes dois problemas são equivalentes.

Estas conexões entre geometria e álgebra foram fundamentais para o desenvolvimento da Geometria Analítica tal como hoje é conhecida e que vai ser trabalhada ao longo deste tema.

Capa de uma edição de La Geometrie.

125

x

y

13

1000

1500

2000

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500

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a. C.

d. C.

0

Introdução

René Descartes11596–1650)

François Viète11540-16032

Nesta unidade vais ampliar e aprofundar os conhecimentos adquiridos sobre polinómios com base no estudo iniciado no 3.° Ciclo do Ensino Básico. Ao longo dos tempos, a evolução no domínio da Álgebra, em particular a resolução de equações, beneficiou muito do conhecimento de proprieda-des dos polinómios.

O matemático francês François Viète , além dos seus interesses no do-mínio da criptografia e da astronomia, destacou-se também pelos contri-butos dados no desenvolvimento da Álgebra. A este matemático são atribuídos vários resultados no âmbito dos polinó-mios e das equações, entre os que se destaca um teorema conhecido por teorema do fator, que pode ser enunciado da seguinte forma:

Se um polinómio de grau n admite a raiz k , então é divisível por , ou seja, , em que tem grau .

Este teorema é aplicado ao longo desta unidade em diferentes contextos.

O matemático René Descartes também francês, recorreu a este teo-rema e apresentou uma relação entre o número de soluções de uma equação do tipo:

e os sinais 1+ ou -2 dos coeficientes . No máximo, o número de soluções verdadeiras 1reais positivas2 é igual ao número de vezes que há alternância de sinal e o número de soluções falsas 1reais negativas2 é igual ao número de vezes que há permanência de sinal. A seguir apresenta-se um exemplo construído por Descartes, percorrendo a seguinte sequência de equações:

Exemplo:A equação § tem quatro soluções: 2 , 3 , 4 e - 5 1três positivas e uma negativa2 Repara que na equação tem-se: Coeficientes: 1 ; - 4 ; - 19 ; 106 ; - 120 Sequência dos sinais dos coeficientes: + , - , - , + , - .

Há três alternâncias de sinal 1três soluções positivas2 e uma permanência de sinal 1uma solução negativa2.

1000

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500

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a. C.

d. C.

0

Introdução

Na aritmética pode-se considerar quatro operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão. No entanto, na Índia medieval os matemáticos indianos utilizavam outras duas operações, a potenciação e a radiciação.

O matemático hindu Aryabhata I , que nasceu no ano 476 d. C., na sua obra designada por Aryabhatiya faz referência à elevação ao quadrado como sendo o produto de duas quantidades iguais e à elevação ao cubo, assim como à extra-ção de raízes quadradas e de raízes cúbicas. Para alguns historiadores a apresentação de regras para a determinação de raízes quadradas e raízes cúbicas ocorre nesta altura pela primeira vez.

Na época, os matemáticos indianos, em termos de simbologia, para designar a raiz quadrada de um número antecediam esse número de ka 1ka tem origem na palavra karana que significa irracional2. Assim, corresponde, na atualidade, a .

A introdução dos radicais no Ocidente é feita muito mais tarde, tendo tido um forte contributo de Leonardo de Pisa , também denominado por Fibonacci, filho de um comerciante da ci-dade de Pisa conhecido por Bonacci. Leonardo de Pisa, nas suas frequentes viagens pelo Norte de África, adquiriu muitos conhecimentos na área da matemática através dos contactos com a cultura árabe. Regressado a Pisa escreveu, em 1202, Liber Abaci 1o livro do ábaco2, sendo um dos temas cálculos com radicais quadráticos e cúbicos.

A partir do século XVI aparece a utilização do símbolo "2 que é interpretado por vários historiadores como uma evolução da letra r da pa-lavra latina radix ou radicis da qual deriva a palavra radical.

Nesta unidade, vais aumentar os conhecimentos que já tens de raiz qua-drada e raiz cúbica a radicais do tipo , operar com radicais e genera-lizar o conceito de potência a potências de expoente racional.

Leonardo de Pisa1cerca de 1170–12402

Utilização do símbolo √2

1século XVI2

Aryabhata I1476-550 d.C.2

Réplica de um dos primeiros satélites fabricados na Índia cujo nome atribuído foi o do matemático Aryabhata.

Torre de Pisa, Itália

1000

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a. C.

d. C.

0

Introdução

Augustus De Morgan(1807-1871)

George Boole(1815-1864)

Aristóteles1século IV a. C.2

Em situações do quotidiano, em diferentes con-textos, são utilizadas, com frequência, expres-sões do tipo raciocínio lógico e raciocínio mate-mático, com o sentido de validar uma argumentação ou uma demonstra-ção apoiadas em estruturas abs-tratas que se encontram na forma de pensar e de comunicar.

A preocupação com a validação e o rigor dos raciocínios, encarada de uma forma sistemática, remonta ao século IV a. C., com destaque para o filósofo grego Aristóteles e seus discípulos, resultando daí a denominada lógica aristotélica em que são estabelecidas algumas regras que permitem vali-dar alguns tipos de raciocínios, conhecidos por silogismos.

A lógica aristotélica prevaleceu cerca de dois mil anos até ao século XIX em que a chamada lógica matemática teve o seu desenvolvimento a partir do filósofo e matemático inglês George Boole ao tentar traduzir a lógica numa álgebra simples de conjuntos, utilizando variáveis, os símbolos 0 1falso2 e 1 1verdadeiro2 e três operações:

■ and 1significa e2 que nesta unidade vai ser designada por conjunção;

■ or 1significa ou2 que nesta unidade vai ser designada por disjunção;

■ not 1significa não2 que nesta unidade vai ser designada por negação.

A lógica matemática tornou-se a base das lin-guagens de programação e desta forma o nome de George Boole está ligado ao desen-volvimento da era digital.

Vários foram os matemáticos com con-tributos para o desenvolvimento da lógica matemática, nomeada-mente Augustus De Morgan , que é referido nesta unidade a propósito de um conjunto de regras conhecidas por Leis de De Morgan.

165

Geometria analítica

DESAFIO

Observa a figura.

M

BA O

Determina sabendo que: ■ = 4 cm ■ o perímetro do triângulo

isósceles fABMg é 10 cm ; ■ fABCDg é um retângulo; ■ o ponto O é o centro da

circunferência.

4.2. Circunferência e círculo

4.2.1. Circunferência

Um jardineiro pretende fazer um canteiro com a forma de um círculo.

Começou por traçar uma circunferência no terreno.

Para tal, improvisou um “compasso”: uma estaca, fixando-a num ponto, centro da circunferência, e uma corda.

Uma das extremidades da corda ficou presa à estaca e, mantendo a corda esticada, definiu o raio e com um “prego” na extremidade da corda traçou a circunferência, conforme é ilustrado na figura.

Para caracterizar uma circunferência basta conhecer o centro e o raio 1número real positivo2. Considere-se num plano munido de um referencial o.n. Oxy uma circun-ferência de centro O e raio 3 .

y

xO 1

P (x, y)3

Um ponto P 1x , y2 do plano pertence à circunferência se e só se a distân-cia desse ponto ao ponto O , centro da circunferência, for igual a 3 .

§

45 No referencial Oxy da figura estão representadas três circunferências centradas em A 1- 2 , 42 , B 1- 3 , 32 e C 11 , - 22 .

y

O x

B

A

C

Sabe-se que: ■ a circunferência de centro A

passa por B ; ■ a circunferência de centro B é

tangente aos eixos coordena-dos;

■ a circunferência de centro C passa pela origem do referen-cial.

Determina o raio de cada uma das circunferências representadas na figura.

165


NEM

A10

-P1

© P

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Edi

tora

171


4.3.2. Elementos da elipse

Considere-se, no plano da elipse, um referencial o.n. Oxy , nas seguintes condições:

■ o eixo Ox passa por e ; ■ a origem do referencial coincide com o ponto médio de ; ■ o eixo Oy coincide com a mediatriz de .

A

D

B

C

P (x, y)

y

O xF1 (-c, 0) F2 (c, 0)

■ A elipse interseta Ox em A e B e interseta Oy em C e D . ■ Focos: e ■ Distância focal 1distância entre os focos2: ■ Centro da elipse: ponto médio de ■ Eixo maior:

Repara que .

Com efeito,

Daqui resulta que .

Como , tem-se . E

■ Semieixo maior: ■ Eixo menor: , sendo ■ Semieixo menor:

Observa a figura.

C

D ≠ P (x, y)

F1 (-c, 0) F2 (c, 0)

y

O x

b a

c

O triângulo é isósceles, sendo .

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras, tem-se:

Daqui resulta que:

Vértices: , , e

CURIOSIDADE

Foi Apolónio, matemático grego do século III a. C., quem fez o primeiro estudo sistemático das cónicas, baseando-se certamente em reflexões feitas por Arquimedes. No entanto, a aplicação das cónicas só muito mais tarde veio a revelar-se de grande importância.

Johannes Kepler 11571-16302No início do século XVII, Johannes Kepler verificou que os planetas, no seu movimento de translação em torno do Sol, descrevem trajetórias elípticas em que o Sol é um dos focos.

Mercúrio Vénus

Terra Marte

Cometa

Úrano Neptuno

SaturnoJúpiter

Cintura de asteroides

58 Na figura seguinte está representada uma elipse, centrada na origem e de focos Q e R .

y

O x

LP

Sabendo que P é um ponto da elipse, L é um dos pontos de interseção da elipse com o eixo das ordenadas e , determina .

171


NEM

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Edi

tora

170

Unidade 4

CURIOSIDADE

A sombra da esfera

A sombra da esfera é: ■ uma elipse, se a altura da

vela é superior ao diâmetro da esfera;

■ uma parábola, se a altura da vela é igual ao diâmetro da esfera;

■ uma hipérbole, se a altura da vela é menor do que o diâmetro da esfera.

Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias a dois pontos fixos 1 focos 2 é constante e maior que a distância entre os focos.

4.3. Elipse

4.3.1. Elipse como lugar geométrico

A figura sugere o procedimento a ter por um jardineiro para obter um canteiro elíptico.

Para tal, ata as extremidades de uma corda a duas estacas e fixa essas estacas de modo que a distância entre elas seja inferior ao comprimento da corda.

De seguida, com um “prego” mantém a corda esticada e traça uma curva a que se dá o nome de elipse.

Fixada uma unidade de comprimento e um plano, considerem-se:

■ dois pontos fixos e que se chamam focos da elipse 1na constru-ção do canteiro correspondem às duas estacas2;

■ um número a , tal que F1 F 1na construção do canteiro, 2a

corresponde ao comprimento da corda2.

F1 F2

O conjunto dos pontos P do plano tais que é uma elipse.

57 Dados os pontos A e B , identifica o lugar geométrico dos pontos P do plano que verificam a condição:

57.1.

57.2. , sabendo que .

170

Unidade 4

NEM

A10-P1 ©

Porto Editora

Este manual, dividido em duas partes, apresenta-se organizado em 6 unidades:

1 Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

2 Radicais. Potências de expoente racional

3 Polinómios

4 Geometria analítica

5 Funções

6 Estatística: características amostrais

Referência históricaEnquadramento a nível social e cultural.

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Em cada unidade é feito o desenvolvimento dos conteúdos programáticos seguindo as orientações dadas no Programa e Metas Curriculares, privilegiando-se a articulação entre a componente teórica e a componente prática, com exemplos e exercícios resolvidos:

1


Caderno de Autoavaliação3Caderno Prático2Manual1 Caderno do Professor4 Propostas de Resolução 6 Roteiro 7Caderno de Avaliação5 e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)8 e-Manual do Aluno9

1. Planificação

23

Unidade 6 Estatística: características amostrais (18 aulas de 45’)

Tópicos/Subtópicos Descritores(Metas curriculares)

Pré-requisitos(PR) Avaliação N.º de aulas

de 45'

Som

atór

ios

Sinal de somatório. Representações na forma de somatório

1.1.

7.º anoPR 7.1

Sequências

Caderno de Autoavaliação: Teste11

Caderno de Avaliação: Miniteste ?

Teste ? 8

Propriedades dos somatórios1.2.; 1.3.;1.4.

Cara

cter

ístic

as a

mos

trai

s

Propriedades da média de uma amostra

2.1.; 2.2.; 2.3.; 2.4.; 2.5.; 2.5.; 2.6.; 2.7. e 5.1.

7.º anoPR 7.2

Medidas de localização

10

Desvios em relação à média 3.1

Soma dos quadrados dos desvios em relação à média

3.2.; 3.3.; 3.4.; 3.5. e 3.6.

Variância e desvio-padrão

3.7.; 3.8.; 3.9.; 3.10.; 3.11.; 3.12. e 5.1.

8.° ano

PR 8.1

Diagrama de extremos e quartis

Percentil de ordem k , k å N e k ≤ 100

4.1.; 4.2.; 4.3.; 4.4. e 5.2.

9.° ano PR 9.1

Organizar e representar dados em histogramas

NEMA10CP_20144325_P021_034_unidade 6_1P.indd 23 3/17/15 6:37 PM

24

2. Pré-requisitos do 3.º ciclo

7.º ano

Identificar, dado um número natural N , uma sequência de N elementos como uma função de domínio 51 , 2 , 3 , c , N6 e utilizar corretamente a expressão termo de ordem n da sequên-cia e termo geral da sequência.

1 O termo geral de uma sequência é an = n2 - 3n .

1.1. Escreve os quatro primeiros termos da sequência.

1.2. Determina a diferença entre o 7.° e 8.° termos da sequência.

1.3. O último termo da sequência é 108 . Determina o número de termos da sequência.

Resolução 1.1. a1 = 12 - 3 * 1 = - 2

a2 = 22 - 3 * 2 = - 2

a3 = 32 - 3 * 3 = 0

a4 = 42 - 3 * 4 = 4

Os quatro primeiros termos da sequência são: - 2 , - 2 , 0 , 4

1.2. a7 - a8 = 72 - 3 * 7 - 182 - 3 * 82 = 28 - 40 = - 12

a7 - a8 = - 12

1.3. an = n2 - 3n

an = 108 § n2 - 3n = 108

§ n2 - 3n - 108 = 0

n = 3 ¿ "9 + 4322

§ n = 3 ¿ 212

§ n = - 9 › n = 12

Como n å N , conclui-se que n = 12 .

A sequência tem 12 termos.

PR 7.1


31

Unidade 6 Estatística: características amostrais 3. Exploração de animações

O tópico “Percentil de ordem k , k å N e k ≤ 100” (página 163 do manual) é novo no programa.

Definir, determinar e conhecer propriedades do percentil de ordem k .

Um apoio à consecução destes objetivos é dado pelos recursos:

Animações

1

Páginas ??, ?? e ??

2


Dados não agrupados em classes No tópico “Gráficos de funções obtidos por translação” (página 46) sugere-se a seguinte sequência de exploração do recurso.

Exploração da animação Percentis

1.ºIniciar a animação. Aparece uma amostra de dimensão 30 , cujos dados estão representados num diagrama de caule-e-folhas.

2.ºInteração com os alunos. Verificar se os dados da amostra estão ordena-dos. Caso não estejam devem ser ordenados.

Nota: A representação de dados em diagrama de caule-e-folhas facilita a ordenação.

3.ºSelecionar a opção Não agrupar em classes e confirmar a ordenação.


8

Proposta de Resolução

1

1.1. Df = 5x å R : 5 + 2x ≥ 0 ‹ x2 - 3x - 4 0 06 5 + 2x ≥ 0 ‹ x2 - 3x - 4 0 0 § 2x ≥ - 5 ‹ x 0 3 + "9 + 16

2 ‹ x 0 3 -"9 + 16

2

§ x ≥ - 52

‹ x 0 3 + 52

‹ x 0 3 - 52

§ x ≥ - 5 2

‹ x 0 4 ‹ x 0 - 1

Df = c --52

, + ? c \ 5- 1 , 46

1.2. f 122 = 3 -"5 + 2 * 222 - 3 * 2 - 4

= 3 - 3- 6

= 0

1.3. f 1- 22 = 3 -"5 - 41- 222 + 6 - 4

= 26= 1

3 . Então, o ponto é a- 2 , 1

3b .

2

2.1. Atendendo a que é a semirreta C.B que interseta o eixo das ordenadas, determinemos a equação da reta CB . Seja y = mx + b a equação reduzida da reta CB .

m = -1- 24 + 3

= - 37

. Como C pertence à reta, 2 = - 37

* 1- 32 + b § 14 -97

= b § 57= b

Então, CB é definida por y = - 37

x + 57

e interseta o eixo das ordenadas no ponto a0 , 57b .

2.2. Seja y = m'x + b' a equação da reta CA . Então m' = - 1 - 2- 5 + 3

= 32

.

Como C pertence à reta, 2 = 32

* 1- 32 + b' § 132

= b' .

A reta CA é representada por y = 32

x + 132

.

Para determinar os zeros de g , intersetam-se as semirretas com o eixo Ox definido por y = 0 .

■ 32

x + 132

= 0 ‹ x ≤ - 3 § x = - 133

■ - 37

x + 57= 0 ‹ x ≥ - 3 § x = 5

3 . Os zeros são - 13

3 e 5

3 .

2.3. g 1x2 < 0 § x å d- ? , - 133

c ∂ d53

, + ? c

x - ? - 133

53

+ ?

g 1x2 - 0 + 0 -

2.4. A ordenada do ponto C é um máximo da função.

Crescente em g- ? , - 3g ;

Decrescente em f- 3 , + ?f .

x - ? - 3 + ?

g 1x2 £ 2 ¢

Miniteste de Avaliação 2

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7

Unidade 5Funções


1 Seja f uma função real de variável real definida pela seguinte expressão:

f 1x2 = 3 -"5 + 2xx2 - 3x - 4

1.1. Determina o domínio da função.

1.2. Mostra que 2 é um zero da função.

1.3. Determina as coordenadas do ponto do gráfico de f que tem abcissa - 2 .

2 Seja g a função real de variável real representada na figura.

y

xO

C

A B

Sabe-se que:

■ a função tem domínio R ;

■ o gráfico é a reunião das semirretas C.A e C.B ;

■ A 1- 5 , - 12 , B 14 , - 12 e C 1- 3 , 22 .

2.1. Determina as coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das ordenadas.

2.2. Mostra que os zeros de g são - 133

e 53

.

2.3. Completa o seguinte quadro de sinais da função g e indica na forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais o conjunto de valores do domínio para os quais a função é negativa.

x - ? + ?

g 1x2 0 0

2.4. Constrói um quadro de variação e indica os intervalos de monotonia e extremos.


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4

Pág. 9

1.1. As expressões I e V são designações.

1.2. As expressões II, III, IV e VI são proposições. A proposição III é falsa e, por exemplo, a proposição VI é verdadeira. Pág. 10

2.1. A expressão é uma proposição pois é uma afirmação acerca da qual é possível dizer se é verdadeira ou falsa.

2.2. A expressão não é uma proposição pois a resposta é subjetiva (depende dos conhecimentos de quem resolve o problema).

3.1. As proposições p e q não são equivalentes porque não têm o mesmo valor lógico (a proposição p é falsa e a proposição q é verdadeira).

3.2. As proposições q e r são equivalentes porque têm o mesmo valor lógico (verdadeiro).

3.3. a) Se a proposição t p⇔ é verdadeira então t e p têm o mesmo valor lógico. Sendo p falsa, então t também é falsa. b) Se a proposição t r⇔ é verdadeira então t e r têm o mesmo valor lógico. Sendo r verdadeira, então t também é verdadeira. c) Se a proposição t q⇔ é falsa então t e q têm valores lógicos diferentes. Sendo q verdadeira, então t é falsa. Pág. 11

4.1. Como ( )22 4− = , a proposição p é falsa.

Como ( )32 8− = − , a proposição q é verdadeira. O valor lógico da proposição p q⇔ é falso porque p e q têm valores lógicos diferentes.

4.2. Como ( )32 8− = − , a proposição r é falsa.

O valor lógico da proposição p r⇔ é verdadeiro porque p e r têm o mesmo valor lógico.

4.3. Como 21 1

2 4 =

, a proposição s é verdadeira.

O valor lógico da proposição p s⇔ é falso porque p e s têm valores lógicos diferentes.

4.4. Como ( )32 8− = − , a proposição t é falsa.

O valor lógico da proposição p t⇔ é verdadeiro porque p e t têm o mesmo valor lógico.

4.5. A proposição q é verdadeira e a proposição r é falsa. O valor lógico da proposição q r⇔ é falso porque q e r têm valores lógicos diferentes.

4.6. As proposições q e s são verdadeiras. O valor lógico da proposição q s⇔ é verdadeiro porque q e s têm o mesmo valor lógico.

4.7. A proposição q é verdadeira e a proposição t é falsa. O valor lógico da proposição q t⇔ é falso porque q e t têm valores lógicos diferentes.

4.8. A proposição r é falsa e a proposição s é verdadeira. O valor lógico da proposição r s⇔ é falso porque r e s têm valores lógicos diferentes.

4.9. As proposições r e t são falsas. O valor lógico da proposição r t⇔ é verdadeiro porque r e t têm o mesmo valor lógico.

4.10. A proposição s é verdadeira e a proposição t é falsa. O valor lógico da proposição s t⇔ é falso porque s e t têm valores lógicos diferentes. Pág. 12

5.1. :p∼ ”A Susana não tem olhos azuis.”

5.2. ( )2: 4 5 3p + ≠ −∼

5.3. : 4 5p ≥∼

5.4. 3: 14

p ≤∼

6.

Proposição: p Proposição: p∼

153

é número inteiro. 153

não é número inteiro.

≥5 3 <5 3

Todos os gatos são pretos. Algum gato não é preto.

O carro é branco. O carro não é branco.

Pelo menos uma pera está madura. Nenhuma pera está madura.

A equipa da minha cidade perde.

A equipa da minha cidade não perde.

7.1. Se a proposição ( ) ( )p q⇔∼ ∼ é verdadeira então ~ p e ~ q

têm o mesmo valor lógico. Sendo p falsa, então ~ p é verdadeira. Assim sendo, ~ q é verdadeira. Logo, q é falsa. O valor lógico de q é falso.

7.2. Se a proposição ( )q p⇔∼ é falsa então ~ p e p têm valores

lógicos diferentes. Sendo p falsa, então ~ q é verdadeira. Logo, q é falsa. O valor lógico de q é falso.

Unidade 1 Introdução à lógica bivalente e à teoria dos conjuntos

NEMA10PR_20144327_TXT_P001_125_2P.indd 4 20/03/15 08:23

24

Unidade 1

31 Sabe-se que a proposição 1a ± ' b2› c é falsa.

Determina o valor lógico das proposições:

31.1. ' c ± ' a

31.2. 1a ± b2 ± 1b ‹ c2 31.3. 1' c ± b2› 1a ± b2

32 Sabe-se que a proposição ' 1' a ± b2‹ c é verdadeira.

Determina os valores lógicos das proposições a , b e c .

33 Dadas duas proposições p e q , determina o valor lógico da proposição 1' p ± q2› 1' q › 1p ‹ q22 , começando por simplificá-la.

EXERCÍCIOS

1 Considera as proposições:

p : “Sou filho único.”

s : “Tenho 15 anos.”

r : “Não frequento o 10.° ano.”

As proposições p , s e r correspondem às afirmações feitas respetivamente por Pedro, Susana e Rita.

Sabe-se que a proposição 1' r › p2› 1' p ± s2 é falsa.

Determina quem não falou verdade.

Resolução Se 1' r › p2› 1' p ± s2 é F , então ' r › p é F e ' p ± s é F .

Se ' r › p é F , então ' r é F e p é F . Ou seja, r é V e p é F .

Se ' p ± s é F , então ' p é V e s é F . Ou seja, p é F e s é F .

Assim, tem-se p e s proposições falsas e r proposição verdadeira.

Pedro e Susana não falaram verdade.

2 Mostra que o valor lógico da proposição fp ‹ 1p ± q2g ± q não depende dos valores lógicos das proposições p e q .

Resolução A conjunção p ‹ 1p ± q2 ou é verdadeira ou é falsa.

■ Se p ‹ 1p ± q2 é verdadeira, então p é verdadeira e p ± q é verdadeira.

Sendo p verdadeira, a implicação p ± q só pode ser verdadeira se q é verdadeira.

Assim, tem-se que o valor lógico de fp ‹ 1p ± q2g ± q é verdadeiro. twwuwwv F

V V

■ Se p ‹ 1p ± q2 é falsa então o valor lógico de fp ‹ 1p ± q2g ± q é verdadeiro. twwuwwv FProvou-se que fp ‹ 1p ± q2g ± q é uma tautologia.

■ Pode-se chegar à mesma conclusão através de uma tabela de verdade ou aplicando propriedades das operações lógicas112.

Pedro: “Sou filho único.”

Rita: “Não frequento o 10.° ano.”

Susana: “Tenho 15 anos.”

112 Nota: outro processo de resolução pode ser por aplicação das proprie-dades estudadas como, por exemplo:

fp ‹ 1p ± q2g ± q §

' fp ‹ 1p ± q2g › q §

' p › ' 1p ± q2› q §

' p › 1p ‹ ' q2› q §

1' p › q2› 1p ‹ ' q2 §

1' p › q › p2‹ 1' p › q › ' q2 §

V ‹ V § V

24

Unidade 1

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Funções

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17 Na figura está representada, em referencial cartesiano, a função f , real de variável real, de domínio f- 2 , 5g e contradomínio f- 4 , 3g .

Para cada caso, determina o domínio e o contradomínio da função g se:

17.1. g 1x2 = f 1x2 + 2 17.2. g 1x2 = - f 1x2 + 3

17.3. g 1x2 = f 1x - 22 - 1 17.4. g 1x2 = f ax3b - 1

18 Na figura está representada graficamente a função f , real de variável real, que admite:

■ domínio: f2 , 3g ■ contradomínio: f- 3 , 3g ■ zeros: 3 e 5

18.1. Indica os extremos absolutos e relativos da função f .

18.2. Indica o domínio, o contradomínio e os zeros da função g definida por:

a2 g 1x2 = - f 1x2 b2 g 1x2 = f 1x - 12 c2 g 1x2 = f 1- x2 d2 g 1x2 = - f 1x + 22 e2 g 1x2 = 3f 1x2 f2 g 1x2 = f 14x2

g2 g 1x2 = f ax2b h2 g 1x2 = -

12

f 1x2

18.3. Para cada caso, constrói a tabela de variação da função h , sendo h definida por:

a2 h 1x2 = f 12x2 b2 h 1x2 = 13

f 1x2

19 Na figura está representada em referencial cartesiano a função g .

Sabe-se que: ■ domínio de g é f- 3 , 4g ; ■ contradomínio de g é f- 3 , 2g ; ■ os zeros de g são: - 2 , 1 e 3 ■ g 1x2 = f 1x - 42

Resolve a equação h 1x2 = 0 , sendo h 1x2 = f 12x2 .

xO-2

-4

3

f

5

y

xO

-3

1

3f

62 3 4 5

y

xO

-3

-2-3

2g

1 3 4

y*

Caderno de AutoavaliaçãoFaz o Teste de Autoavaliação 11

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Funções

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17.1. 17.2.

17.3. 17.4. x = f -


■ domínio: ■ contradomínio: ■ zeros: e



a2 b2

c2 d2

e2 f2

g2 x = f h2 x f x


a2 b2 x f x


Sabe-se que: ■ domínio de g é f- 3 , 4g ; ■ contradomínio de g é f- 3 , 2g ; ■ os zeros de g são: - 2 , 1 e 3 ■

Resolve a equação , sendo .

xO-2

4

3

f

5

y

xO

-3

1

3f

62 3 4 5

y

xO

-3

-2-3

2g

1 3 4

y*



NOVIDADE

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8

9



















23

Unidade 5Funções


NEM

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1A2 9 1B2 6

1C2 3 1D2 12



.





1A2 f 1x2 = x2 - x 1B2 f 1x2 = x - 3

1C2 f 1x2 = 2 1D2 f 1x2 = 3x + 5




1A2 121 , 32 1B2 13 , 12 1C2 19 , 32 1D2 13 , 32



1A2 f- 3 , 1g 1B2 f- 1 , 3g

1C2 f- 4 , 0g 1D2 f- 5 , - 1g








4




1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução



116372









2 2







125

x

y

13

1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução











1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução









1século XVI2




1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução












165


DESAFIO

Observa a figura.

M

BA O



circunferência.








y

xO 1

P (x, y)3


§


y

O x

B

A

C






165


NEM

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-P1

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171





A

D

B

C

P (x, y)

y

O xF1 (-c, 0) F2 (c, 0)


Repara que .

Com efeito,

Daqui resulta que .

Como , tem-se . E


Observa a figura.

C

D ≠ P (x, y)

F1 (-c, 0) F2 (c, 0)

y

O x

b a

c



Daqui resulta que:

Vértices: , , e

CURIOSIDADE



Mercúrio Vénus

Terra Marte

Cometa

Úrano Neptuno

SaturnoJúpiter



y

O x

LP


171


NEM

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-P1

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170

Unidade 4

CURIOSIDADE

A sombra da esfera






4.3. Elipse









F1 F2



57.1.


170

Unidade 4

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3 Polinómios


5 Funções





1



1. Planificação

23




de 45'

Som

atór

ios


1.1.

7.º anoPR 7.1

Sequências



Teste ? 8


Cara

cter

ístic

as a

mos

trai

s


2.1.; 2.2.; 2.3.; 2.4.; 2.5.; 2.5.; 2.6.; 2.7. e 5.1.

7.º anoPR 7.2


10



3.2.; 3.3.; 3.4.; 3.5. e 3.6.


3.7.; 3.8.; 3.9.; 3.10.; 3.11.; 3.12. e 5.1.

8.° ano

PR 8.1



4.1.; 4.2.; 4.3.; 4.4. e 5.2.

9.° ano PR 9.1



24


7.º ano






Resolução 1.1. a1 = 12 - 3 * 1 = - 2

a2 = 22 - 3 * 2 = - 2

a3 = 32 - 3 * 3 = 0

a4 = 42 - 3 * 4 = 4


1.2. a7 - a8 = 72 - 3 * 7 - 182 - 3 * 82 = 28 - 40 = - 12

a7 - a8 = - 12

1.3. an = n2 - 3n

an = 108 § n2 - 3n = 108

§ n2 - 3n - 108 = 0

n = 3 ¿ "9 + 4322

§ n = 3 ¿ 212

§ n = - 9 › n = 12



PR 7.1


31





Animações

1


2









8


1

1.1. Df = 5x å R : 5 + 2x ≥ 0 ‹ x2 - 3x - 4 0 06 5 + 2x ≥ 0 ‹ x2 - 3x - 4 0 0 § 2x ≥ - 5 ‹ x 0 3 + "9 + 16

2 ‹ x 0 3 -"9 + 16

2

§ x ≥ - 52

‹ x 0 3 + 52

‹ x 0 3 - 52

§ x ≥ - 5 2

‹ x 0 4 ‹ x 0 - 1

Df = c --52

, + ? c \ 5- 1 , 46

1.2. f 122 = 3 -"5 + 2 * 222 - 3 * 2 - 4

= 3 - 3- 6

= 0

1.3. f 1- 22 = 3 -"5 - 41- 222 + 6 - 4

= 26= 1


3b .

2


m = -1- 24 + 3

= - 37


* 1- 32 + b § 14 -97

= b § 57= b


x + 57



= 32

.


* 1- 32 + b' § 132

= b' .


x + 132

.


■ 32

x + 132

= 0 ‹ x ≤ - 3 § x = - 133

■ - 37

x + 57= 0 ‹ x ≥ - 3 § x = 5


3 e 5

3 .

2.3. g 1x2 < 0 § x å d- ? , - 133

c ∂ d53

, + ? c

x - ? - 133

53

+ ?

g 1x2 - 0 + 0 -




x - ? - 3 + ?

g 1x2 £ 2 ¢


NEM

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7

Unidade 5Funções



f 1x2 = 3 -"5 + 2xx2 - 3x - 4





y

xO

C

A B

Sabe-se que:



■ A 1- 5 , - 12 , B 14 , - 12 e C 1- 3 , 22 .



e 53

.


x - ? + ?

g 1x2 0 0



NEM

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4

Pág. 9












4.3. Como 21 1

2 4 =












5.2. ( )2: 4 5 3p + ≠ −∼

5.3. : 4 5p ≥∼

5.4. 3: 14

p ≤∼

6.


153



≥5 3 <5 3












24

Unidade 1



31.1. ' c ± ' a

31.2. 1a ± b2 ± 1b ‹ c2 31.3. 1' c ± b2› 1a ± b2




EXERCÍCIOS


















V V







fp ‹ 1p ± q2g ± q §

' fp ‹ 1p ± q2g › q §

' p › ' 1p ± q2› q §

' p › 1p ‹ ' q2› q §

1' p › q2› 1p ‹ ' q2 §

1' p › q › p2‹ 1' p › q › ' q2 §

V ‹ V § V

24

Unidade 1

NEM

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Funções

77

NEM

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CP

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17.1. g 1x2 = f 1x2 + 2 17.2. g 1x2 = - f 1x2 + 3

17.3. g 1x2 = f 1x - 22 - 1 17.4. g 1x2 = f ax3b - 1






g2 g 1x2 = f ax2b h2 g 1x2 = -

12

f 1x2


a2 h 1x2 = f 12x2 b2 h 1x2 = 13

f 1x2




xO-2

-4

3

f

5

y

xO

-3

1

3f

62 3 4 5

y

xO

-3

-2-3

2g

1 3 4

y*



Funções

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NEM

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CP

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17.1. 17.2.

17.3. 17.4. x = f -





a2 b2

c2 d2

e2 f2

g2 x = f h2 x f x


a2 b2 x f x




xO-2

4

3

f

5

y

xO

-3

1

3f

62 3 4 5

y

xO

-3

-2-3

2g

1 3 4

y*



NOVIDADE












8

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Unidade 5Funções


NEM

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1A2 9 1B2 6

1C2 3 1D2 12



.





1A2 f 1x2 = x2 - x 1B2 f 1x2 = x - 3

1C2 f 1x2 = 2 1D2 f 1x2 = 3x + 5




1A2 121 , 32 1B2 13 , 12 1C2 19 , 32 1D2 13 , 32



1A2 f- 3 , 1g 1B2 f- 1 , 3g

1C2 f- 4 , 0g 1D2 f- 5 , - 1g








4




1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução



116372









2 2







125

x

y

13

1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução











1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução









1século XVI2




1000

1500

2000

500

500

1000

a. C.

d. C.

0

Introdução












165


DESAFIO

Observa a figura.

M

BA O



circunferência.








y

xO 1

P (x, y)3


§


y

O x

B

A

C






165


NEM

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171





A

D

B

C

P (x, y)

y

O xF1 (-c, 0) F2 (c, 0)


Repara que .

Com efeito,

Daqui resulta que .

Como , tem-se . E


Observa a figura.

C

D ≠ P (x, y)

F1 (-c, 0) F2 (c, 0)

y

O x

b a

c



Daqui resulta que:

Vértices: , , e

CURIOSIDADE



Mercúrio Vénus

Terra Marte

Cometa

Úrano Neptuno

SaturnoJúpiter



y

O x

LP


171


NEM

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170

Unidade 4

CURIOSIDADE

A sombra da esfera






4.3. Elipse









F1 F2



57.1.


170

Unidade 4

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Porto Editora




3 Polinómios


5 Funções





1



1. Planificação

23




de 45'

Som

atór

ios


1.1.

7.º anoPR 7.1

Sequências



Teste ? 8


Cara

cter

ístic

as a

mos

trai

s


2.1.; 2.2.; 2.3.; 2.4.; 2.5.; 2.5.; 2.6.; 2.7. e 5.1.

7.º anoPR 7.2


10



3.2.; 3.3.; 3.4.; 3.5. e 3.6.


3.7.; 3.8.; 3.9.; 3.10.; 3.11.; 3.12. e 5.1.

8.° ano

PR 8.1



4.1.; 4.2.; 4.3.; 4.4. e 5.2.

9.° ano PR 9.1



24


7.º ano






Resolução 1.1. a1 = 12 - 3 * 1 = - 2

a2 = 22 - 3 * 2 = - 2

a3 = 32 - 3 * 3 = 0

a4 = 42 - 3 * 4 = 4


1.2. a7 - a8 = 72 - 3 * 7 - 182 - 3 * 82 = 28 - 40 = - 12

a7 - a8 = - 12

1.3. an = n2 - 3n

an = 108 § n2 - 3n = 108

§ n2 - 3n - 108 = 0

n = 3 ¿ "9 + 4322

§ n = 3 ¿ 212

§ n = - 9 › n = 12



PR 7.1


31





Animações

1


2









8


1

1.1. Df = 5x å R : 5 + 2x ≥ 0 ‹ x2 - 3x - 4 0 06 5 + 2x ≥ 0 ‹ x2 - 3x - 4 0 0 § 2x ≥ - 5 ‹ x 0 3 + "9 + 16

2 ‹ x 0 3 -"9 + 16

2

§ x ≥ - 52

‹ x 0 3 + 52

‹ x 0 3 - 52

§ x ≥ - 5 2

‹ x 0 4 ‹ x 0 - 1

Df = c --52

, + ? c \ 5- 1 , 46

1.2. f 122 = 3 -"5 + 2 * 222 - 3 * 2 - 4

= 3 - 3- 6

= 0

1.3. f 1- 22 = 3 -"5 - 41- 222 + 6 - 4

= 26= 1


3b .

2


m = -1- 24 + 3

= - 37


* 1- 32 + b § 14 -97

= b § 57= b


x + 57



= 32

.


* 1- 32 + b' § 132

= b' .


x + 132

.


■ 32

x + 132

= 0 ‹ x ≤ - 3 § x = - 133

■ - 37

x + 57= 0 ‹ x ≥ - 3 § x = 5


3 e 5

3 .

2.3. g 1x2 < 0 § x å d- ? , - 133

c ∂ d53

, + ? c

x - ? - 133

53

+ ?

g 1x2 - 0 + 0 -




x - ? - 3 + ?

g 1x2 £ 2 ¢


NEM

A10C

AV ©

Porto Editora


7

Unidade 5Funções



f 1x2 = 3 -"5 + 2xx2 - 3x - 4





y

xO

C

A B

Sabe-se que:



■ A 1- 5 , - 12 , B 14 , - 12 e C 1- 3 , 22 .



e 53

.


x - ? + ?

g 1x2 0 0



NEM

A10

CAV

© P

orto

Edi

tora


4

Pág. 9












4.3. Como 21 1

2 4 =












5.2. ( )2: 4 5 3p + ≠ −∼

5.3. : 4 5p ≥∼

5.4. 3: 14

p ≤∼

6.


153



≥5 3 <5 3












24

Unidade 1



31.1. ' c ± ' a

31.2. 1a ± b2 ± 1b ‹ c2 31.3. 1' c ± b2› 1a ± b2




EXERCÍCIOS


















V V







fp ‹ 1p ± q2g ± q §

' fp ‹ 1p ± q2g › q §

' p › ' 1p ± q2› q §

' p › 1p ‹ ' q2› q §

1' p › q2› 1p ‹ ' q2 §

1' p › q › p2‹ 1' p › q › ' q2 §

V ‹ V § V

24

Unidade 1

NEM

A10-P1 ©

Porto Editora


Funções

77

NEM

A10

CP

© P

orto

Edi

tora



17.1. g 1x2 = f 1x2 + 2 17.2. g 1x2 = - f 1x2 + 3

17.3. g 1x2 = f 1x - 22 - 1 17.4. g 1x2 = f ax3b - 1






g2 g 1x2 = f ax2b h2 g 1x2 = -

12

f 1x2


a2 h 1x2 = f 12x2 b2 h 1x2 = 13

f 1x2




xO-2

-4

3

f

5

y

xO

-3

1

3f

62 3 4 5

y

xO

-3

-2-3

2g

1 3 4

y*



Funções

77

NEM

A10

CP

© P

orto

Edi

tora



17.1. 17.2.

17.3. 17.4. x = f -





a2 b2

c2 d2

e2 f2

g2 x = f h2 x f x


a2 b2 x f x




xO-2

4

3

f

5

y

xO

-3

1

3f

62 3 4 5

y

xO

-3

-2-3

2g

1 3 4

y*



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2

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2

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