"CONSTRUÇÃO DE UMA ETODOLOGIA PARA ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA - um estudo de caso da primeira série do ensino

médio"

Rosilene Lombardi Mezzon 1

João Candido Bracarense 2

Resumo: Neste artigo edifica-se a proposta da aplicação de uma metodologia que valorize a matemática, defina os rumos da disciplina conforme procedimentos apontados nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná e sirva de estímulo favorável a aprendizagem por meio da construção de materiais didáticos científicos que apóiem professores e alunos. Nesta perspectiva considera-se o conceito de rede tecnológica na qual é feita uma proposta sobre a utilização das tecnologias especialmente com a utilização de computadores e, também, de recursos televisivos no sistema educacional brasileiro. Espera-se que isso permita uma aplicação dos conteúdos de forma dinâmica explorando a interdisciplinaridade com outras áreas. O conhecimento assim é construído de forma natural e significativa, atenuando o fator da aprendência. O professor modifica sua forma de lecionar e motiva seu aluno a uma nova maneira de aprender, com atividades teóricas, práticas, contando com troca de idéias ou de assessoria direta ou indireta ao seu professor para ampliar o processo de aprendizagem, permitindo que o aluno acesse a informação e o material a qualquer momento em casa ou na escola também como sugestão de reforço de conteúdo. Além de facilitar o conhecimento científico e a interatividade entre professor e alunos, desmitificam-se os conceitos de dificuldade da disciplina.

Palavras chave: Material Didático; Tecnologia Educacional; Ensino e Aprendizagem da Matemática.

Abstract: In this article it is established the proposal of the application of a methodology that values the mathematics, define its methods of procedure according to the procedures mentioned in the Curricular Directing of Basic Education in the State of Paraná and that can be used in favor of the apprenticeship through a development of the scientific didactical materials that support teachers and students. In this perspective it is considered the conception of technological network in which is done a proposal about the utilization of the technologies, mainly with the utilization of computer and, also, TV resources in the Brazilian

1 Professora de Matemática do Colégio Humberto de Alencar Castelo Branco rosilombardi@hotmail.com

2 Professor Doutor do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná bracarense@unioeste.br

educational system. It is expected that it allows an application of the content in a dynamic way, exploring the interdisciplinarity with other fields. This way, the knowledge is developed in a natural and significant way, what diminishes the apprenticeship factor. The teacher changes his way of teaching and motivates his students to a new way of learning, with theoretical and practical activities, counting on the exchange of ideas or direct and indirect assessorial to his teacher to broaden the apprenticeship process, allowing that the student access the information and the material at any time, at home or at the school and, also, as a suggestion of content backing. Besides facilitating the scientific knowledge and the interactivity between teacher and students, it demystifies the conceptions of difficulty in that subject.

Key Words: Didactical Material, Educational Technology and Mathematics Apprenticeship.

1. Introdução

O presente artigo traz a tona uma reflexão sobre a forma de ensinar

e aprender matemática e propõe a construção da Metodologia de

Aprender e Ensinar Matemática em um ambiente de Telemática(MAE-

MAT), aplicada às aulas que pode ser utilizada nas várias modalidades de

ensino como, o ensino fundamental, o ensino médio, dentre outras sendo

necessárias para isso, adequações aos conteúdos estruturantes e

específicos.

O alto índice de evasão escolar demonstrado pelo IBGE (2000) relata

a grande diferença entre o número de matrículas realizadas e o número

de concluintes do ensino básico. Ainda de acordo com o IBGE, no final da

década de 1990, apenas duas a cada cinco pessoas entre 15 e 18 anos

tinham completado o ensino fundamental. Fato esse que retrata a falta de

interesse dos jovens com a educação.

Sabe-se que é imprescindível a mudança de postura do professor

para reverter esse quadro, mudança essa que rompa com uma forma

tradicional e se abra a novas estratégias de ensino. Os laboratórios de

informática e as tevês multimídias estão presentes na maioria de nossas

escolas e devem ser utilizados nas aulas apesar das muitas resistências.

Nas Diretrizes Curriculares do Ensino Básico do Estado do Paraná (DCE,

2007), são apontadas tendências metodológicas que promovem uma

educação matemática voltada para a inserção dessas ferramentas.

Todos esses recursos contemplam uma mudança de atitudes que

favorece o ensino e dá significado ao trabalho de cada professor na

educação. Neste contexto, a presente proposta visa elaborar uma

metodologia contemplada com modos diferentes de ver o processo

educacional, aceitando o que vem dando certo e ampliando e modificando

as estruturas que necessitam de uma re-organização e se façam mais

atuantes à época que vivemos inserindo ferramentas tecnológicas e

possibilitando interdisciplinaridade com outras áreas utilizando

mecanismos modernos de reprodução do conhecimento e formas

dinâmicas de investigações científicas.

Uma conduta baseada nesta linha de pensamento tem a finalidade

de favorecer o acesso ao conhecimento que pode acontecer na própria

sala de aula ou através de outro espaço, ainda que virtual, transcendendo

a sala de aula e promovendo maior interação entre os sujeitos no processo

de aprendizagem. Hoje, o Paraná, já dispõe de uma infra-estrutura mínima

que permita planejar uma metodologia arrojada e presente ao

desenvolvimento tecnológico, podendo citar a presença de suportes

técnicos como computadores e recursos televisivos nas salas de aula na

maioria das escolas do Estado.

Diante da facilidade e rapidez com que se obtêm informações o que

se espera de um educador atual, é que ele seja um mediador desse

processo de construção do conhecimento, que ele seja um constante

desafiador, estimulador e que esteja preparado para trabalhar com esse

meio, neste momento, tecnologicamente falando, que possivelmente terá

uma participação maior dos estudantes e, talvez dado o próprio

desenvolvimento da nossa espécie, atinja de forma mais contundente

alunos do que professores de uma maneira geral. Cabe sim, ao professor

indicar caminhos, novos desafios e mostrar aos estudantes de que forma

utilizá-la no universo escolar.

Dessa forma pode-se descobrir um aluno criativo, participativo,

próprio a se desenvolver com o auxilio de colegas e professores num

ambiente mais elaborado. Um aluno que tem muito a ensinar, que é capaz

de desenvolver projetos superiores às nossas expectativas, o que

pressupõe uma mudança postural de educando e educador.

Um novo modelo a seguir. Fazer com que o aluno tenha acesso ao

conhecimento através de outras ferramentas que não apenas livros,

quadro negro e giz, abre uma expectativa de novos rumos para a

educação. Essa é a essência deste trabalho, propor mudança de hábitos

através de aulas preparadas diferencialmente e alunos com aceso

ilimitado a informação, transpondo-se a sala de aula para atingir um nível

de aprendizagem com qualidade. As aulas preparadas com ferramentas

atrativas e peculiares ao jovem, faz com que haja significado na

aprendizagem e motivação para novas experiências que apontem

caminhos de sucesso no setor educacional.

As aulas transformadas em DVD dão suporte complementar as

metodologias aplicadas. O Material Didático Cientifico promove a

qualidade das aulas e completa o processo iniciado podendo também ser

utilizado como complemento ou fixação dos conteúdos já trabalhados.

Vale lembrar com reverencia a citação de Vigotsky “O aprendizado deve

estar dirigido para o futuro e não para o passado”. A citação alerta-nos da

importância de educar para o mundo futuro onde o trabalho se tornará

cada vez mais escasso. O problema talvez consista em que a educação

não acompanha vertiginosa velocidade de transformações, mas pode sim

adaptar-se a ela de forma eficiente buscando na tecnologia aliados e não

barreiras.

À escola cabe não competir, mas harmonizar com agilidade,

tradição e modernidade, valores e motivação, trata-se de sem desvirtuar

sua missão, acompanhar a dinâmica do mundo atual e oferecer recursos

para a formação de um pensamento e análise crítica desse mundo

contemporâneo e em constante transformação.

1.2Objeto de Estudo

Transformações significativas estão ocorrendo em todas as áreas do

conhecimento com um desenvolvimento científico e tecnológico que

aproxima de forma inexorável potências humanas e máquinas. Os

sistemas de comunicação ganham especial impulso com este

desenvolvimento e passamos a viver numa sociedade da comunicação

generalizada, numa sociedade rede que passa a ser fundamental para

ampliar a nossa compreensão do mundo contemporâneo e dos reflexos no

sistema educacional.

Torna-se de fundamental importância articular a matemática com a

prática social. Para isso, a proposta de trabalho se fundamenta em criar

ferramentas que facilitem o processo de ensino-aprendizagem. Para tanto

apresentamos um Material Didático Cientifico que proporcione novas

experiências com o uso de Mídias Tecnológicas e Resolução de Problemas

para encaminhamentos diferenciados na aprendizagem de crianças e

jovens.

Buscando soluções e uma melhor adaptação a esse processo,

contempla-se a utilização de metodologias que favoreçam essa integração

e possibilitem a construção do saber real, produzido historicamente e

interado com o social. O intercâmbio realizado através do uso do

computador no ambiente escolar e fora dele possibilita acesso ao

conhecimento de forma livre, mas monitorada pelo professor, papel esse

que ainda amedronta e afasta muitos profissionais dos laboratórios de

informática conforme constatação nos trabalhos realizados com os Grupos

de Trabalho em Rede (GTR) lançado pela Secretaria do Estado da

Educação do Paraná SEED. Os desafios que a tecnologia impõe afastam

muitas vezes a chance de um trabalho remodelado e adaptado a

atualidade.

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo Geral

Valorizar a matemática através de uma proposta metodológica

facilitadora que defina os rumos da disciplina com conteúdos e

procedimentos apontados nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica

do Estado do Paraná.

1.3.1 Objetivo Específico

Construir um enfoque dos conceitos que atendam as exigências

matemáticas e permitam a aplicação dos conhecimentos de forma prática

permitindo que se utilize a matemática como ferramenta colaborativa no

cotidiano desmistificando os conceitos de dificuldade da disciplina. Assim

promove-se a interatividade entre professor e alunos e facilita-se o acesso

ao conhecimento científico por meio de novas tecnologias e consentindo

que professores e alunos utilizem esses materiais.

1.4 Limitações do Trabalho

A proposta desse Material Didático Científico mostra dois caminhos

independentes, Material Didático, que é o trato de uma análise crítica do

ensino tradicional e Material Científico, que visa incorporar idéias futuras

em processo metodológico de ensinar matemática, entendendo que o

mundo contemporâneo difere significativamente de tempos anteriores.

A maior limitação, por certo, está no fato de o Estado do Paraná

ainda não ter disponibilizado todos os instrumentos para utilização de um

ambiente em rede e de teleconferência. Esta é uma restrição importante

para a Metodologia indicada neste artigo, que é a proposta de um grupo

de sete professores de matemática da rede estadual de ensino e um

professor, aqui identificado, como orientador, da universidade pública do

oeste do estado. A inexistência, ainda, deste canal, impossibilitará que os

estudantes possam utilizar de forma plena a MAE-MAT.

Outro fator retratado pelos professores pertencentes ao Grupo de

Trabalho em Rede (GTR), é a dificuldade em lidar com as tecnologias e o

tempo para elaboração das aulas. Conta-se ainda com outro fator que diz

respeito ao amadurecimento na proposição de cada aula, exigindo-se um

conhecimento específico e contextualizado para que aconteça a

interdisciplinaridade com outras áreas.

2. Desenvolvimento

2.1 Fundamentação Teórica

A importância da educação na atualidade fortalece em cada

educador a ânsia na busca de novas estratégias que venham subsidiar a

melhoria da aprendizagem. Com a utilização de metodologias adequadas

pode-se resgatar o caráter científico da matemática enquanto ciência, e

sua importância para formação do homem.

Nas Diretrizes Curriculares do Ensino Básico do Estado do Paraná,

vê-se o grande valor destas metodologias fundamentadas segundo

autores e pensadores da educação.

Os professores muitas vezes sentem seus alunos tolhidos no

desenvolvimento de suas potencialidades por não verem comumente,

como harmonizar “programa curricular” e tempo para compreensão

significativa de conteúdos.

Porém, nem sempre acontece dessa forma. Quando o professor

utiliza materiais diversos ou jogos, por exemplo, parece tornar o estudante

mais alegre e participativo e o professor mais prazeroso com seu

desempenho. Algo semelhante acontece com a resolução de problemas

não-rotineiros, quando dada oportunidade aos alunos buscarem possíveis

caminhos e soluções.

Segundo POLYA (1978), “A resolução de problemas foi e é a coluna

vertebral da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”. A resolução

de problemas é hoje muito estudada e pesquisada por educadores

matemáticos devido a sua grande importância no ensino da matemática,

principalmente nas séries iniciais.

Em seu livro “Didática da Resolução de Problemas de Matemática”,

DANTE (1998) mostra claramente essa importância em grande parte da

obra, uma delas muito significativa quando demonstra o esquema de

Polya que são a resolução de problemas em quatro etapas: compreender o

problema, elaborar um plano, executar o plano, fazer o retrospecto ou

verificação.

Ainda salienta que essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O

processo é mais complexo e rico e não se limita a seguir instrução passo a

passo como se fosse um algoritmo. No entanto, ajuda e orienta durante o

processo de resolução.

Dante enfatiza ainda alguns objetivos do ensino da matemática que

devem estar presentes em nossa prática pedagógica que são fazer o aluno

pensar produtivamente.

John Dewey, conhecido como “O pensador que levou a prática para

a escola”, defendia a democracia e a liberdade de pensamento como

instrumento para a maturação emocional e intelectual das crianças. Ele é

também o nome mais célebre da corrente filosófica que ficou conhecida

como pragmatismo, embora ele preferisse o nome instrumentalismo - uma

vez que, para essa escola de pensamento, as idéias só têm importância

desde que sirvam de instrumento para a resolução de problemas reais. O

pesquisador educador insistia na necessidade de estreitar a relação entre

teoria e prática, pois acreditava que as hipóteses teóricas só têm sentido

no dia-a-dia. Dewey em sua visão dizia que:

“O professor que desperta entusiasmo em seus alunos

conseguiu algo que nenhuma soma de métodos

sistematizados, por mais corretos que sejam, pode obter”.

Mais do que nunca se precisa de pessoas ativas e participativas, que

saibam tomar decisões rápidas e precisas. Assim é necessário formar

cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam resolver de modo

inteligente qualquer situação. A resolução de problemas é parte elementar

do currículo que desenvolve desde cedo à capacidade de enfrentar

problemas.

Sem dúvida há um grupo que defende o currículo disponibilizando

tempo aos alunos e professores e a própria formação do professor. Nas

últimas três décadas, a modelagem vem ganhando “espaço” em diversos

países, nas discussões, nos posicionamentos e na sua utilização como

estratégia de ensino de matemática. No livro “Modelagem Matemática No

Ensino”, dos autores MARIA SALETT BIEMBENGUT e NELSON HEIN, é

diferenciado modelo e modelagem, como utilizar a essência da

modelagem e como ensinar através dela. Essa essência está na raiz do

processo criativo, e por isso delineia caminhos que melhoram o ensino-

aprendizagem.

Muitas pessoas questionam sobre o papel da matemática na

formação de alunos, qual o professor que nunca ouviu aquela velha

pergunta que os alunos sempre fazem: “para que serve esta matéria que

eu estou aprendendo?”.Talvez uma resposta para esta questão possa ser

a Modelagem Matemática, pois ela tem como objetivo interpretar e

compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano, devido ao

“poder” que a Modelagem proporciona pelas aplicações dos conceitos

matemáticos. Podem-se descrever estes fenômenos, analisá-los e

interpretá-los com o propósito de gerar discussões reflexivas sobre tais

fenômenos que cercam o cotidiano.

Se a Modelagem Matemática procura modelar um determinado

fenômeno da realidade com o objetivo de compreender este fenômeno a

Etnomatemática se faz presente, pois ela trata de um conjunto de saberes

que um determinado grupo cultural possui com um objetivo em comum.

No livro “Etnomatemática” de Ubiratan D’Ambrosio, o autor

apresenta seus pensamentos mais recentes sobre o assunto, uma

tendência da qual é um dos fundadores. Propicia uma análise do papel da

matemática na cultura ocidental e da noção de que matemática é apenas

uma forma de Etno-Matemática.

O primeiro pesquisador que tentou agrupar várias tendências foi

Huntig dizendo que etnomatemática “é a matemática usada por um grupo

cultural definido na solução de problemas e atividades do dia-a-dia”.

D’Ambrosio definiu como “as diferentes formas de matemática que são

próprias de grupos culturais”.

Uma importante vertente da etnomatemática se aproxima da

etnografia e focaliza os saberes e fazeres de várias culturas, como grupos

étnicos, religiosos, comunitários e profissionais, e de práticas variadas,

tais como aquelas ligadas à elaboração de saberes, às artes, ao cotidiano,

ao exercício político, ao lazer e ao lúdico.

Conhecendo a história da matemática sabe-se que as teorias que

hoje aparecem como a modelagem ou a etnomatemática, acabadas e

elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos

enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase

sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas

após todo o processo de descoberta.

Constata-se, porém, que ao longo do tempo essa construção

histórica se perdeu dando espaço a conjuntos e estruturas com modelos

prontos, sem importantes demonstrações de suas origens. Jones sintetiza

essa idéia dizendo:

“Ao despir a Matemática das suas longas tradições para vesti-la com conjuntos e estruturas, muitos assuntos perderam todo o encanto e atração... Talvez não tenhamos despejado o bebe juntamente com a água da banheira ao retirar às matemáticas o conjunto dos assuntos e dos capítulos mais antigos e menos coerentes, mas perdemos com certeza o sabão: sabemos como é fácil encontrar estudantes que pensam que as matemáticas cheiram mal.”

Os conhecimentos em História da Matemática permitem

compreender melhor como se chegou aos conhecimentos atuais, porque é

que se ensina este ou aquele capítulo. Com efeito, sem a perspectiva

crítica que a história apresenta, a matemática ensinada transforma-se

pouco a pouco no seu próprio objeto, e os objetos matemáticos ficam

desnaturados: já não são mais do que objetos de ensino.

Mesmo no que tange as notações, a história da matemática permite

recuperar sentidos aos símbolos e fórmulas. Esse formato é

freqüentemente um apanhado de fácil memorização da noção que guarda

em si mesmo o traço das origens e a história do conceito que visa. Saber

como pouco a pouco foram sendo alterados os conceitos e as notações

matemáticas, serve também para compreender melhor certos erros

cometidos pelos alunos, por não compreenderem os conceitos envolvidos

e poder pôr em prática, situações didáticas mais adequadas para uma

apropriação progressiva desses conceitos.

Já as Mídias Tecnológicas traduzem a ação contemporânea de uma

educação motivadora e que mantém o aluno interativo com o processo de

aquisição do conhecimento. Essa linha de trabalho deve resgatar o

interesse do jovem por conhecimentos que serão úteis na vida, sua forma

de trabalho fará a diferença, pois quando ele “fica” na escola livremente

seu crescimento é imediato e retrata uma dos mais pesados paradigmas

da educação a evasão escolar. Quem gosta do que faz não abandona a

escola, se o jovem passar a ver-la através do uso de tecnologias como

uma fonte de pesquisa e novos desafios, estaremos caminhando para uma

solução para parte do problema da evasão.

È possível utilizarmos da rede de computadores instalados nas

escolas, softwares livres e aplicativos próprios do sistema educacional

para garantir outras formas de apropriação do conhecimento que

extrapola a sala de aula, o quadro negro e o giz. Isso indica um avanço

significativo em nossas aulas, um desprendimento a métodos desgastados

e a novas perspectivas de formação educacional. A que se criar novos

ambientes livres para a pesquisa cientifica sem limitações bibliográficas,

porém sempre tomando o cuidado para que haja conteúdos orientados e

focalizados em cada sentido.

A constatação de que essas novas estratégias por intermédio das

mídias enriquecem a escola e retrata a importância para a formação

pessoal e profissional e abre novas oportunidades ao jovem quando

inserido no mercado de trabalho.

2.2 Materiais e Métodos

2.2.1 Materiais

O desenvolvimento do conteúdo pode se fazer através das

aplicações de diversas etapas, que depende dos materiais disponíveis

como: laboratório de informática, tevês multimídias e outros recursos

televisivos, pendrive, biblioteca, data show além das aulas expositivas

com livros didáticos e paradidáticos, construídos nesta nova perspectiva, o

uso da tecnologia para melhor satisfazer o processo educacional.

São importantes, também, as diversas maneiras de manifestação do

conhecimento da matemática numa perspectiva crítica, que articula o

conhecimento da disciplina com outras áreas, contribuindo na solução de

problemas presentes no meio social, político econômico e histórico no qual

nos inserimos (LDP, 2006), como também, metodologias que atendam

essa nova esperança na construção do conhecimento matemático.

2.2.2 Métodos

Entende-se que a Educação reúna diversas tendências

contemporâneas de pensamento e ação, todas essas voltadas para um

sistemas educacional gerado por insatisfações por reproduzir modelos

previamente construídos e aceitos como únicos, forma adotada pelas

escolas em geral.

Essa tendência insiste em repetir, decorar, reproduzir o que já foi

definido. A educação então deve sair da comodidade e aos poucos trilhar

caminhos próprios da aquisição de valores e procedimentos que ocorram

em condições de complementaridade, para estudantes e professores e,

por problemas sócias atuais.

O Construtivismo revela essa forma de conceber o conhecimento

como “Acervo cultural da Humanidade”, segundo citação de Fernando

Becker. Sua essência e seu desenvolvimento abrem a mente para um

novo modo de ver o universo escolar, a vida, o mundo ao seu redor e

todas as relações sociais advindas de uma formação aberta a descobertas

e inovações. O construtivismo assim é um processo permanente, é estar

sempre em desenvolvimento.

2.3 Proposta Metodológica

O processo constitui uma forma diversificada de abordar conteúdos

estruturantes através de uma proposta montada por um grupo de

professores que trabalharam com o mesmo orientador. O trabalho

envolveu um conteúdo de cada série da Educação Básica para atingir um

alvo maior de profissionais da educação. Cada produção constitui um

folhas e uma aula gravada no formato de apresentação em DVD.

Tomou-se o cuidado de começar com uma releitura das Diretrizes

Curriculares do Ensino Básico do Estado do Paraná, seu encaminhamento

permeou sempre as metodologias apontadas no documento da disciplina

específica. Cada parte da construção aborda uma forma de contemplar o

uso das mídias tecnológicas e a resolução de problemas com maior ênfase

entre todas as metodologias citadas nas DCM, para tanto o Folhas foi uma

ferramenta fundamental em cada trabalho. A forma como cada

participante elaborou seu material torna clara a intenção da equipe em

articular métodos favoráveis a uma visão remodelada da educação.

Permite-se assim que o conhecimento aconteça de forma dinâmica e

interessante, o estudante sente a necessidade em permanecer na escola e

participar de forma efetiva na construção do conhecimento e apropriar-se

dos saberes científicos.

Todas as séries foram contempladas em cada etapa e sua aplicação

sugere a adaptação em qualquer outra série ou conteúdo similar

dependendo apenas de adequações. Isso gera uma fonte de muitos

trabalhos com ferramentas que facilitem a aprendizagem. O uso das

tecnologias oferecidas na escola resgata a participação dos alunos em

muitos aspectos e, com o aumento dessa participação efetiva, permite-se

também apontar uma solução para alguns paradigmas da educação como

a evasão escolar. Quando o aluno vem para a escola sem que haja

pressão por partes de qualquer setor social, percebe-se que resultados

positivos surgem naturalmente e que podemos reverter quadros de

abandono nas salas de aula ou mesmo de diminuição do índice de

reprovação.

Para subsidiar o trabalho do professor em sala propõe-se a utilização

de metodologias que apóiem o professor com recursos que possibilitem

um trabalho participativo e uma aplicação dos conteúdos abordados de

forma agradável, envolvendo o estudante na investigação de novas

técnicas de pesquisa e apropriação de conhecimentos.

Pensando em preparar aulas diferenciadas são implantadas

atividades que funcionarão na forma de exercícios com aplicação de

software free e atividades on-line, os alunos deverão acessar sites ou

utilizar programas indicados pelo professor com o uso do computador em

casa ou nos laboratórios das escolas, que servirão de apoio “virtual”,

produzir relatórios, gráficos e estudos de aprofundamento. Também

deverão realizar pesquisas e trabalhos interativos, em certos momentos.

Esta forma diferenciada de trabalho contempla problemas

motivadores e instigantes que garantam a atenção dos estudantes sem

serem demasiadamente complicados de se resolver. Utiliza-se,

preferencialmente, a realidade local incorporando um senso de

contribuição da turma para resolução do problema proposto. Esse

material permeia as tendências propostas na Diretriz Curricular do Ensino

Básico do Paraná (DCE), que trata de: História da Matemática,

Etnomatemática, Modelagem, Resolução de Problema e Mídias e

Tecnologias com ênfase nos dois últimos.

Esta perspectiva estabelece o conhecimento a partir de múltiplos

interesses e possibilidades buscando a articulação de conteúdos com a

prática social, o que pode delinear a disciplina para fins específicos e

retomar o teor científico conseguindo quebrar a rigidez da aprendizagem

que, conforme citação (SILVEIRA, 2000) constata que “Matemática é

difícil” e “é para poucos”. Esse fato produz medo e ojeriza no estudante,

levando o aluno a sofrer ao estudar e o professor a se penitenciar com

esse sofrimento porque se projeta no educando.

Pensando na importância de integrar essas idéias para que

interajam em benefício da construção do saber real e fundamentado,

contempla-se uma metodologia que resgate os conteúdos produzidos

historicamente com a visão de mundo e a inter-relação entre os mesmos

de forma contemporânea.

Essa integração aconteceu na formação do Grupo de Trabalho em

Rede (GTR), grupos determinados pela Secretaria de Educação do Estado

do Paraná sendo tutorado pelo Professor pertencente ao Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE) e o grupo formado por vários

professores do quadro próprio do Estado como participantes. Todo o

processo aconteceu através de uma plataforma própria em que houve

interação entre professor e seu tutor por um canal chamado Diário de

Bordo e, em grupo, de forma on-line partilhando discussões e idéias

através de outro canal denominado Fórum.

Também, através desse programa divulgaram-se o Plano de

Trabalho feito pelo professor PDE, o Folhas produzido e o material

construído e contando-se com as diversas opiniões e apoio dos colegas do

grupo sobre o projeto proposto. Cada professor participante além de

conhecer a proposta teve como comprometimento aplicar o Folhas e fazer

sua avaliação pessoal.

Percorrido o caminho passou-se a seguinte etapa, hora de voltar às

escolas e apresentar uma proposta de intervenção no estabelecimento.

Essa etapa foi de grande valia para comprovar a aplicabilidade do

processo e a viabilidade do trabalho.

Na proposta de Intervenção na Escola, lançou-se uma forma de

trabalho na área específica de matemática composto por troca de

experiências entre os professores da disciplina sobre a utilização de

softwares disponibilizados nos laboratórios de informática das escolas e

das tendências metodológicas. Um primeiro encontro aconteceu na

semana pedagógica onde foi apresentada a proposta para os demais

colegas da área.

Outra proposta foi a utilização dos softwares free. Durante as aulas,

os professores do PDE, conheceram três softwares: Graphics Explorer,

Régua e Compasso e o GeoGebra. Esses cursos foram ministrados pelo

professor Ku Hai Chiang, orientando da Profª Dra. Patrícia Sândalo Pereira

da Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE) de Foz do

Iguaçu.

Todos essas conhecimentos foram transmitidos aos professores das

escolas alvo das intervenções por meio de um curso de extensão

planejado e executado por um grupo de três professores PDE,

pertencentes ao Núcleo Regional de Educação de Assis Chateaubriand, em

parceria com a (UNIOESTE), campus de Cascavel e sobre a supervisão do

orientador

O “Graphics Explorer” é um editor onde você pode construir gráficos

das diversas funções. Esse software livre permite a construção de diversos

gráficos no mesmo plano cartesiano com cores diferentes o que facilita a

comparação por parte do aluno.

O “Régua e Compasso” é um software para trabalhar geometria que

roda tanto no Windows como no Linux. Com ele podem ser trabalhados os

conceitos de ponto, reta, semi-reta, retas paralelas, retas perpendiculares,

plano, bem como a construção de figuras planas e espaciais podendo

efetuar medidas de segmentos como lados e arestas.

O “GeoGebra” permite trabalhar geometria e álgebra, nele você

pode fazer todas as construções do Régua e Compasso e trabalhar com

construção de gráfico no plano cartesiano.

Vale dizer que antes de levar os alunos para o laboratório de

informática para utilizar qualquer software é necessário elaborar um

roteiro de atividades com objetivos bem definidos, a fim de direcionar o

estudo para que tenha o maior aproveitamento pedagógico.

Compartilhada esta proposta na escola, as mais diversas soluções

surgem e podem ser melhoradas possibilitando, por um lado grande

avanço na prática pedagógica e, por outro, a valorização dos conceitos e

conteúdos complementando seus significados.

Torna-se de fundamental importância articular a proposta, a

matemática e a prática pedagógica. Para isso, temos que lançar mão de

todo recurso disponível como ferramenta de ensino através de aulas

críticas e bem elaboradas.

Nesta linha de pensamento se chega ao uso das Mídias e

Tecnológicas que no contexto pedagógico potencializa o processo de

aprendência3. São notáveis as eficácias no âmbito escolar as

experimentações matemáticas quando utilizadas: software educacional,

televisão como canal de apoio, calculadora ou computador ou, ainda,

aplicativos da Internet.

A Internet, por exemplo, é um ambiente multidirecional onde parece

não existir hierarquia ou gestão centralizada. O que vem expressar a

liberdade no campo da pesquisa, na busca por ampliação de

conhecimentos sem a limitação em um ou outro autor, como acontece

normalmente nas bibliotecas. É possível criar, dessa maneira, um

ambiente livre, sem direcioná-lo a um fim específico – mas atento às

diversidades – o que pode dar uma formatação mais criativa ao processo.

Hoje se constata que a utilização de software free adequou uma nova

forma de propor atividades, seja de introdução, pesquisa, revisão e/ou

reforço de conteúdos. O suporte alcançado através da computação

possibilita a indicação, seja ela direta ou não, de fontes externas e sites

relacionados aos assuntos tratados.

A experiência adquirida por intermédio desse tipo de trabalho onde

se envolve conhecimento e tecnologia é de grande importância para a

formação pessoal e profissional. Uma vez que o mundo profissional passa

por tal exigência, o processo de execução, além de proporcionar uma

maior familiarização com as ferramentas tecnológicas, pode abrir novas

perspectivas e motivação ao estudante.

3 Aprendência palavra referenciada pelo autor Hugo Assmann, significa, em palavras simples, ato de troca, de humildade, flexibilidade, solidariedade, processo, vida, dinamismo, quem ensina também aprende, dinâmica, mutante, trabalha com incertezas, é campo movediço, é reconhecer que precisamos aprender e por isso precisamos ensinar, é recomeço, corporeidade, trabalhar de forma rizomática, entre outras.

2.4 Discussão dos Resultados

A elaboração desta metodologia de ensino com a proposta de

aplicação e apoio de conteúdos inclui a fundamentação de métodos

contemplados pela Diretriz Curricular de Matemática do Estado do Paraná.

Para tanto, o roteiro a seguir apresenta como sugestão uma aula

elaborada no formato folhas em interdisciplinaridade com Biologia e Física.

Esse Material Didático Científico foi produzido para o primeiro ano do

Ensino Médio. Sua construção aborda um conteúdo estruturante específico

Exponencial, mas permeia também outros conteúdos permitindo a todo

instante que o professor retome conceitos e abordagens variadas. Esse

procedimento torna a aula agradável e aberta a pesquisas e

conhecimentos amplos sobre diversos assuntos.

Segue os passos utilizados para essa construção:

Elaboração de um problema provocador e interessante

SE A CABEÇA NÃO PENSA, O CORPO PADECE!

Os modelos de pulverizadores antigos ainda utilizados por parte dos

pequenos agricultores, possuem um sistema de roldanas para movimentar

as barras.

Um agricultor estava trabalhando quando uma das cordas quebrou e

ele precisou improvisar amarrando a corda diretamente a roldana. Porém,

descobriu que desta forma a força para levantar a barra aumentou muito.

O que provocou esse aumento de força?

Realização da interdisciplinaridade do conteúdo abordado com outras disciplinas

A Aplicação Adequada de Agrotóxicos e a Consciência

Ambiental

Em pequenas propriedades agrícolas é comum a utilização de

implementos desse tipo: bombas de barras e bombas costais. O sistema

requer um princípio adequado de EPIs (Equipamentos de Proteção

Individual). Os EPIs a serem utilizados são indicados via receituário

agronômico e nos rótulos dos produtos. São mais comumente utilizados:

máscara protetora, óculos, luvas, chapéu de abas largas, bota e avental

impermeáveis e também macacão com mangas compridas.

É de imprescindível importância lembrar dos cuidados com as

embalagens vazias dos agrotóxicos que não devem ser abandonadas na

lavoura, em carreadores, caminhos, estradas, cercas e, principalmente,

nas margens ou em rios, córregos, açudes ou outras fontes de água, e

ainda nas matas.

Ainda em relação à proteção do meio ambiente devemos observar o

abastecimento e limpeza de equipamentos: toda propriedade deve dispor

de um local próprio para abastecimento e limpeza dos equipamentos de

pulverização para que os resíduos dos agrotóxicos não venham poluir as

fontes e mananciais de água. Considerando a legislação ambiental1 e a

necessária consciência de proteção, não devemos captar água

diretamente de cursos, rios ou minas de água com os equipamentos de

PARA DESCOBRIRMOS JUNTOS: - Quais as conseqüências para a saúde dos trabalhadores quanto ao não uso das EPIs na aplicação dos agrotóxicos?- Há critérios e legislação própria para a destinação final das embalagens de agrotóxicos. Pesquise sobre os diferentes tipos de embalagens e suas destinações corretas.

PARA PENSAR: observando as figuras abaixo, você

pode explicar qual a diferença entre elas e que tipo de

conseqüência isso pode causar?

As embalagens após o uso do produto devem passar pela tríplice lavagem, e a água de lavagem deve ser adicionada ao tanque de pulverização. Após a tríplice lavagem, as embalagens devem ser furadas na sua parte inferior (fundo) para assegurar que não serão reutilizadas.

aplicação de agrotóxicos e sim dispor de abastecedouro apropriado.

O que é melhor: encontrar meio bicho na goiaba ou um bicho

inteiro?

Ultimamente não temos encontrado nem um, nem outro. Mas isso

não é vantagem pois, quando falta bicho pode estar sobrando remédio.

“Remédio não, agrotóxico”. A maioria dos agrotóxicos e outras toxinas em

geral são metabolizadas no fígado. Os agrotóxicos utilizados atualmente

têm uma vida curta na circulação e nos tecidos, mas os seus efeitos vão

se acumulando no organismo. O fígado é o maior glândula do corpo

humano. Ele pesa cerca de 1,5 quilo e uma de suas funções é a

desintoxicação de toxinas químicas externas ao organismo. O site

www.hepato.com do “Grupo Otimismo de Apoio ao Portador de Hepatite”

relata que:

1 Lei dos Agrotóxicos – Nº 7.802 de 10/07/1989. A lei regulamenta desde a pesquisa e fabricação

dos agrotóxicos até sua comercialização, aplicação, controle, fiscalização e também o destino da

embalagem. Exigências impostas:- obrigatoriedade do receituário agronômico para venda de

agrotóxicos ao consumidor. Registro de produtos nos ministérios da agricultura e saúde - Registro

mo instituto Brasileiro de meio ambiente e dos recursos naturais renováveis – IBAMA - O

descumprimento desta lei pode acarretar multas e reclusão.

“Somos aquilo que comemos!” Como nos últimos 30 anos mudamos

nossa alimentação e nosso meio ambiente, é possível que nosso

organismo ainda não tenha evoluído o suficiente para se adaptar a estas

transformações. Tudo isso, aliados a um meio ambiente carregado de

vapores (enxofre, álcool, poluição, etc.), não conseguem ser integralmente

metabolizados pelo fígado desenvolvendo uma doença chamada

A nossa alimentação moderna passou a incorporar rapidamente corantes, espessantes, saborizantes, conservantes e ainda uma quantidade muito grande de agrotóxicos (alem da poluição que respiramos), para os quais nosso organismo ainda não esta adaptado para os metabolizar corretamente e consequentemente formando depósitos de gordura no fígado. A espécie humana evolui e se adapta ao ambiente, mas a mudança foi rápida demais. Juntando a isso as comodidades da vida moderna que torna o homem sedentário, não é de estranhar que a conseqüência seja a epidemia de esteatoses (gordura no fígado) que assola o mundo todo.

esteatose.

Alguns cuidados podem ser adotados para reduzir o uso e a

intoxicação pelos agrotóxicos. Um dos maiores problemas é o pequeno

produtor que não tem orientação para sua aplicação. Por isso, os

agricultores devem procurar orientação técnica adequada antes de utilizar

qualquer produto. Fique de olho nos rótulos dos agrotóxicos. Eles indicam

o perigo que você corre.

Retornando aos equipamentos e as roldanas...

Os equipamentos que funcionam pelo sistema de roldanas para

aplicação de agrotóxicos são as bombas de barras, como mostra a figura

inicial. Esse tipo de bomba de barras é sustentado por uma corda presas

através de roldanas, fixas e móveis.

Roldanas Fixas : roldanas ou polias fixas são dispositivos mecânicos

que alteram a direção da força de tração exercida pela corda. A única

vantagem que ela dá e a comodidade ao executar determinadas tarefas.

Roldanas móveis: as roldanas móveis oferecem uma vantagem

mecânica. Observe na figura abaixo, em que o peso P do corpo a ser

elevado está sustentado por duas forças, a força F1 sustentada pelo

suporte fixo e a força F2, pela pessoa. Como as forças F1 e F2 são

Afinal, como funcionam essas roldanas capazes de sustentar determinados corpos?

PARA DESCOBRIRMOS JUNTOS:A turma se divida em três grupos e cada

grupo pesquise e apresente sobre um dos temas:- Cirrose;- Hepatite;-Esteatose.

eqüidistantes do eixo da roldana onde está localizado o peso P, elas

devem ter o mesmo valor.

Para aplicar o conhecimento:

Mudanças em edifícios são complicadas. A maioria dos móveis de

maior tamanho ou peso são içados por fora. Para elevar um móvel de 120

Kg, correspondente a um peso P de aproximadamente 1.200 N*, até a

janela do 3º andar de um edifício, você pode utilizar um dos esquemas

abaixo. Encontre a força exercida em cada situação representada:

*O newton, cujo símbolo é N, é a unidade de medida de força no Sistema Internacional

de Unidades (SI). Para se entender melhor, um newton equivale, aproximadamente, a

força necessária par sustentar um corpo de massa 100 g na superfície da terra.

Assim, com uma roldana móvel, a

força exercida pela pessoa é igual a

metade do peso do objeto.Se

aumentarmos o número de roldanas

móveis para duas, teremos a metade

da metade do peso. Observe a figura.

Segundo relatos históricos, Arquimedes foi um dos primeiros a

utilizar um sistema com roldanas móveis. Nascido em Siracusa em 287

a.C., acredita-se que tivesse algum parentesco com o rei Hierão, pois

permaneceu ligado a ele por toda sua vida. Certa vez o rei Hierão pediu

que fosse construída uma grande embarcação para presentear o rei

Ptolomeu do Egito. Por ser muito pesada os construtores não

conseguiram lançá-la à água. Arquimedes foi chamado e, provavelmente

utilizando um sistema de roldanas móveis, deslocou a embarcação

sozinho até a água. Nessa ocasião ele disse a frase: “Dêem-me um ponto

de apoio e eu levantarei a Terra”.

Desenvolvimento disciplinar

Interpretação Matemática: Analisando os sistemas abaixo, observe

a força necessária para sustentar um corpo de peso 10N, com a

aplicação das roldanas com uma roldana fixa

a)Com uma roldana fixa e uma móvel;

b) Com uma roldana fixa e duas móveis.

Nº de

Roldanas

Móveis

Força (N) Multiplicação Potenciação

0 10 10.110. 12

0

1 510.

12

. 10. 12 1

2 2,510.

12

. 12 10. 12

2

3

4

X

A função obtida apresenta a variável x no expoente. Funções deste

tipo recebem o nome de “função exponencial”.

Vejamos outro modelo matemático em que a grandeza

cresce exponencialmente:

A figura representa a árvore genealógica de um indivíduo.

Obvservando a sua formação, responda:

a) Quantas pessoas fazem parte da 1ª geração?

b) Quantas pessoas fazem parte da 2ª geração? E da 3ª geração?

c) Quantas pessoa fazem parte da árvore até a 4ª geração?

d) Construa um modelo matemático que relacione o número de

individuos em função da geração desejada.

REGISTRANDO COM UM MODELO MATEMÁTICO:

Qual a lei matemática que possibilita a generalização dessa

idéia?

Chamando a força de f(x), o peso de P e o número de roldanas

de x, escreva o modelo matemático que representa o cálculo da

força utilizada para sutentação de um determinado peso.

e) Construa uma tabela represetando a quantidade de individuos até a

4ª geração.

Definição:

Dado um número real a, chamamos função exponencial de base a a

função f de IR em IR, definida por f(x)= ax com a ¿ IR¿ e a ≠ 1.

O gráfico dessa função terá um desses dois aspectos, conforme a

base a seja maior do que 1 ou esteja compreendida entre 0 e 1.

Portanto:

Esses gráficos ilustram a seguinte propriedade das funções

exponenciais.

Atividades:

1. Uma pessoa chega ao colégio e na 1ª aula conta uma fofoca para dois

colegas, esses, na 2ª aula, contam a fofoca cada um a outros dois colegas

e assim sucessivamente até a 5ª aula.

A função f(x)= ax é

Crescente se a > 1

Decrescente se 0 < a < 1

PARA ENTENDER MELHOR:Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes às duas situações:

1º) a força em função do número de roldanas;

2º) o número de pessoas em função da geração desejada;

OBS: O domínio dos gráficos se restringe aos números Naturais devido à situação real abordada.

Analisando a situação, quantas pessoas receberão a notícia na:

a) 2ª aula;

b) 3ª aula;

c) 5ª aula;

d) Que modelo matemático representa essa função?

e) Em sua opinião, por que as fofocas voam?

2. As correntes que prometem “dinheiro fácil” são relativamente falsas.

Vamos descobrir porquê.

Analise: uma pessoa começa uma corrente enviando carta a outras 5

pessoas colocando seu nome numa lista seguida do nome dessas outras

pessoas. Essas, por sua vez, enviam um cheque nominal ao primeiro nome

da lista e mandam outras 5 cartas a outras 5 pessoas retirando o primeiro

nome e acrescentando o seu ao final da lista.

a) Supondo que cada um leve cerca de um dia para enviar as cartas, o

que acontecerá aos primeiros participantes dessa corrente?

b) Quantas pessoas estarão envolvidas em uma semana? E em um

mês?

c) Qual a tendência após certo tempo?

d) Que modelo matemático exprime esse situação?

e) Qual a sua opinião a respeito desse tipo de corrente?

3. Utilizando o gerador de gráficos Graphics Explorer4 construa, em um

único plano, os gráficos das funções:

a) f(x)= 12 x

b) f(x) = 2x c)f(x)= 13 x

d) f(x) = 3x

Retomada do problema inicial para sua conclusão

1) Aqui se observa que o uso de uma roldana móvel diminue a força

exercida para abrir a tampa.

4 (http://home.hccnet.nl/david.dirkse/math/index.html)

VOLTANDO A PENSAR NAS ROLDANAS

2) Nos aparelhos de musculação as roldanas distribuem igualmente a

força necessária para cada membro ao realizar determinado exercício.

Em vários tipos de aparelhos, as roldanas móveis são utilizadas para

distribuir a força realizada nos movimentos igualmente entre as pernas

ou os braços.

Se você observar verá muitas outras aplicações e situações em que

as grandezas crescem exponencialmente.

Comente com seus colegas:

- Em que outras situações você já observou a utilidade das

roldanas?

- Você já participou ou conheceu algum tipo de corrente?

- Como uma mensagem é repassada por e-mail tão rapidamente a

muitos internautas?

- Que outro exemplo mostra um crescimento exponencial?

Interpretando com um olhar matemático!Pensando no problema do agricultor e o uso da corda e

das roldanas, Justifique:- O que provocou o aumento da força necessária para mover a barra da bomba de veneno após a quebra da

corda?

Foto 3 e foto 4 – Tampa traseira de caminhões

Foto 1 e 2 – aparelhos de musculação

Uma vez elaborado o material, a metodologia empregada pode ser

aplicada em outros conteúdos. O professor tem condições de colocar a

disposição dos alunos, atividades teóricas, práticas ou de assessoria e

iniciar o processo de aprendizagem que através deste canal, podendo ser

lançado também como sugestão de reforço de conteúdo com: aula teórica

realizada presencialmente com a função de organizar, comentar e realizar

atividades propostas ou construídas pelos alunos, aula prática proposta a

partir da necessidade de cada conteúdo, pode ser realizada em laboratório

de informática, oficinas, modelagem entre outras e deve estar

diretamente ligada com as aulas teóricas o que fará os alunos aptos a

argumentar sobre as ações realizadas à luz da teoria através da prática.

Para que a intervenção surta os efeitos esperados, há de se valer de

estratégias que delineiem as práticas previstas. A conversação com os

estudantes é uma das estratégias que deverá servir de parâmetro para o

andamento do trabalho proposto.Essa forma de conduta vai permitir ao

professor a noção real de seu desempenho servindo, também, como auto-

avaliação para alunos e professor.

O acompanhamento contará também com oficinas, laboratórios,

construção de materiais concretos e virtuais, provas, gincanas e outras

formas que possam surgir ao longo do desenvolvimento, fazendo com que

o estudante entenda que a matemática é parte do todo e como tal deve

ser útil ao meio em que está inserida engendrando o caráter científico da

ciência matemática.

A Proposta de Implementação da Intervenção na Escola foi realizada

em parceria com a UNIOSTE (Universidade Estadual do Oeste do Paraná)

no formato de curso de extensão sob a coordenação de nosso orientador.

O título abordado foi “Estudo de softwares livres para aplicação na

resolução de problemas matemáticos”, tendo como público alvo

professores da rede pública com prioridade para os professores da própria

escola entre a disciplina de matemática e áreas afins.

O objetivo da proposta de intervenção foi proporcionar o estudo das

tendências Metodológicas apontadas nas DCEs, com ênfase em Resolução

de Problemas e Mídias Tecnológicas, oportunizando a instrumentalização

dos professores nos softwares livres: Graphics Explorer, Régua e

Compasso e o GeoGebra, bem como aplicar os softwares na Resolução de

Problemas.

O curso foi dividido em etapas, nas quais, primeiramente fez-se uma

releitura das DCEs enfocando as tendências metodológicas Resolução de

Problemas e Mídias Tecnológicas, com exposição dos conteúdos utilizando

multimídia propiciando momentos de discussão e trocas de experiências.

Na segunda etapa trabalhou-se a operacionalização dos softwares

livres Graphics Explorer, Régua e Compasso e o GeoGebra, utilizando o

laboratório de informática de uma das escolas alvo da intervenção

providas com a plataforma Linux. Na terceira etapa, realizaram-se

atividades com aplicação dos softwares livres na Resolução de Problemas

Matemáticos relacionados a conteúdos específicos de diversas séries.

Todos os roteiros de atividades construídos foram disponibilizados

para o GTR que pode aplicar e avaliar as que foram mais adequadas as

séries, turmas e escolas, possíveis. Isso proporcionou um alvo bem maior

de professores e alunos envolvidos em todo o processo, garantindo uma

transcendência da proposta.

2.5Considerações Finais

Diante de tantos desafios, cabe ao professor adaptar-se a um ensino

diferenciado quanto às estratégias e dinâmicas aplicadas ao

conhecimento científico. Dessa maneira é possível promover a construção

do saber e valorizar o conhecimento trazido para a sala de aula,

garantindo ainda que o conhecimento transcenda a escola para a vida em

sociedade.

A proposta metodológicas quando aplicada de forma adequada e

fundamentada torna-se instrumento em defesa da construção do

conhecimento matemático com qualidade. É esta expectativa que nutre o

docente em uma busca constante de novas estratégias através da

pesquisa e estudos orientados para proporcionar a aquisição de um

conhecimento estruturado, construído historicamente, e, portanto,

facilitador no processo ensino-aprendizagem.

Referências Bibliográficas

ASSMANN, Hugo. Encantar a Educação Rumo à Sociedade

Aprendente. Editora Vozes. Rio de Janeiro. 1999.

BALDINO, R. R. Grupo de pesquisa-ação em Educação Matemática.

In: Bolema, ano14, nº 15, 2001,p. 83-103.

BEZERRA, Manoel Jairo. Curso de Matemática. 16ª edição. Companhia

Editora Nacional. São Paulo. 1965.

BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no

Ensino. Editora Contexto. São Paulo, 2005.

CARVALHO, Thales Mello. Matemática para os cursos clássico e

científico. 2ª edição. Companhia Editora Nacional. São Paulo. 1946.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática: Elo entre as tradições e a

modernidade. Editora Autentica. São Paulo, 2005.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de

Matemática. Editora Ática. São Paulo, 1998.

DCE, Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica

do Estado do Paraná. SEED. Curitiba. Paraná. 2006.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática 2º Grau.

Editora FTD SA. São Paulo. 1996.

MARTINS, Arsélio (coord). História da Matemática no Ensino da

Matemática. Cedic/Nathan, 1986.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação – SEED. Diretrizes

Curriculares da Rede Pública da Educação Básica do Estado do

Paraná (DCE): Matemática, Curitiba, 2006.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciências,

1978.

QUINTELLA, Ary. Matemática para o colegial. 20ª edição. Companhia

Editora Nacional. São Paulo. 1965.

REVISTA NOVA ESCOLA. São Paulo, v. 4, ed. Especial, 2003, p. 25.

SILVEIRA, Jean Carlo, Ribas, João Luiz Domingues. Discussões sobre

modelagem matemática e o ensino-aprendizagem. UEL, 2004.

Matemática / vários autores. – Curitiba: SEED-PR 2006. Matemática Ensino

Médio – Livro Didático Público. Educação. Dia a dia melhor!