Condensadores e Bobinas

Arnaldo Batista

TCE_4 1

Dieléctrico (é não condutor)

Placas ou armaduras (condutoras) Condensadores

TCE_4 2

Analogia Hidráulica

R Área A

+VS

Electrão

Electrões que se repelem

Membrana elástica impermeável

Bomba Hidráulica

d

-impermeável

Dieléctrico

V (Potencial no condensador) I (Corrente no circuito)VS V/R

t

Q=CVQ=CV (Carga no condensador)

t

Q CVQ: Carga no condensador, CoulombC: Capacidade do condensador, Farad=Coulom/Volt

tNo instante inicial (t=0) o circuito No instante final (t=∞) o circuito comporta

TCE_4 3

( )comporta-se como se o condensador “estivesse em curto-circuito”e a corrente vale V/R..

No instante final (t=∞) o circuito comporta-se como se o condensador não existisse (circuito aberto), e a corrente anula-se.

dAC ε

=

C: Capacidade do condensador, Faradε: Permissividade Eléctrica do dieléctrico, Farad/metroA: Área das armaduras, m2

+

d: distância entre as armaduras, m -

Forma diferencial Forma Integral

( )dtdvC

dtCvd

dtdqi === ∫

∞−=

t

dxiC

v 1ttvtv ∀+=− );()(

:que Implica

O potencial aos terminais

0 Se =⇒= iConstvComportamento para potenciais constantesO condensador “abre” o circuito

O potencial aos terminais dum condensador é uma função contínua

∫ ∫+=0

)(1)(1)(t t

dxxiC

dxxiC

tvO condensador abre o circuito ∫ ∫∞− 0

)()()(tCC

∫+=t

tdxxi

Ctvtv

00 )(1)()(Comparar com a lei de Ohm

i=v/R

TCE_4 4

Potencial inicialComparar com a lei de Ohm

v=Ri

Energia e potência num condensador

Wi )()()( Wtitvtp CCC )()()( =Potência Instantânea

)()( tdt

dvCti cC =+

CvCi No condensador:

dtdvtCvtp c

CC )()( =

A energia é o integral da potência ∫=2

)(),( 12

t

CC dxxpttw

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )(

21)( 2 tv

dtdCtp CC

−Cv

g g p ∫1

)(),( 12t

CC dxxpttw

)(21)(),(

22

2

12 dttvdtdCdxxpttw

t

C

t

CC ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫

( )

)(21)(

21),( 1

22

212 tCvtCvttw CCC −=

),()(21)(

21)(

21

)(2

)()(

1212

22

2

1

2

1112

ttwtCvtCvtvCd

dtp

CCC

t

tC

tC

tCC

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎠⎝

∫

∫∫( ) ( ) ( ) ( )

)(1)(1),( :logo

sendo

12

22

12 tqC

tqC

ttw

CtqtvtCvtq

CCC

CCCC

−=

=⇒=

( ) em armazenada energia a é , Se 221 −∞⇒−∞= C ttwt

TCE_4 5( ) armazenada total energia a é , e Se 21 −∞∞+⇒+∞=−∞= Cwtt

Exemplo 1A figura mostra o potencial aos terminais de um condensador de 5μF. Obter a corrente que percorre o condensador

FC μ5=

dtdvCi =

V24 ⎤⎡ V24 ⎤⎡mAs

VFi 2010624][105 3

6 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

×××= −

− mAs

VFi 6010224][105 3

6 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

×−

××= −−

TCE_4 6

Exemplo 1A figura mostra o potencial aos terminais de um condensador de 5μF. Obter a energia armazenada para t=6ms. Obter a carga armazenada para t=3msarmazenada para t 3ms

)(21)(

21),( 1

22

212 tCvtCvttw CCC −=

1

)0(21)6(

21)0,6( 22

CCC CvCvw −=

mJVFwC 44.1][)24(*][10*521)0,6( 226 == −

C d 3Carga armazenada aos 3 ms:

)3()3( CC Cvq =

CVFqC μ60][12*][10*5)3( 6 == −

TCE_4 7

Exemplo 2A figura mostra o gráfico da corrente que percorre um condensador de 4μF. Obter o potencial aos terminais do

d d j t i l i i i l é li(t)i(t)

condensador, cujo potencial inicial é nulo.

0)0( =v

0;)(1)0()(0

>+= ∫ tdxxiC

vtvt

v(t) mst 20 ≤≤][10)( 23 Vttv =

Para t=2ms (lembrar que o potencial aos terminais de um condensador é uma função contínua):

3

TCE_4 8

mstms 42 ≤<][1082)( 3 Vttv −×+−=

Exemplo 2Obter a potência e a energia no caso anterior

i(t)i(t)

tti 3108)( −×=

Potência

( )( ) mstttttp 20,810108)( 3233 ≤≤=×= −

( )( )ttp 1082108)( 36 ×+−×−= −−

Potência

mstmstp 04,0)( ≤≤=

mstmst 42,10641016 96 ≤≤×−×= −−

v(t)2t

Energia

mst 20 :Para ≤≤

∫=2

112 )(),(

tC dxxpttw

Jtdxttwt

C4

0

3 28)0,( == ∫

mstms 42 :Para ≤≤

[ ] ( )

Jtttt

dxtttwt

msmstC

12926

121292612

2

962

4

10128106410810128103210641081032

106410162)0,(

−−−

−−−−−

−−=

×+××=

×+×−×−×+×=

×−×+= ∫

TCE_4 9

Jtt 101281064108 ×+×−×=

i(t)i(t)tti 3108)( −×=

i(t)i(t)

v(t)

TCE_4 10

InduçãoLinhas de Fluxo do Campo

Linhas de Fluxo do Campo Magnético

Magnético

Representação de um circuito com uma bobina

O fluxo magnético variável no tempo induz uma tensão aos terminais da bobina que se opõeterminais da bobina, que se opõe aos efeitos da variação desse fluxo (Lei de Lenz).

TCE_4 11

Bobina numa placa de um telefone móvel

TCE_4 12

Circuito c\ bobina Equivalente Hidráulico

+-

VHélice

Roda de Balanço

R

vL(t)+

Bomba Hidráulica Fluxo de Líquido

-

A roda de balanço representa a energia acumulada no campo

i(t)V/R

No instante final (t=0) o circuito comporta-se como se a bobina não existisse (circuito aberto), e a corrente é nula Corresponde à inércia inicial

energia acumulada no campo magnético à volta da bobina

t No instante finall (t=∞) o circuito comporta-se como se a bobina “estivesse em curto-

e a corrente é nula. Corresponde à inércia inicial da roda de balanço, que parte de uma velocidade inicial nula, necessariamente.

vL (t)V

circuito” , e a corrente vale V/R..Corresponde ao movimento estacionário da roda de balanço, sem atrito.

TCE_4 13

t

Relação tensão-corrente aos terminais de uma bobina

dtdvLφ

=Lei de indução ( matéria de Electromagnetismo):Um fluxo magnético Φ variável no tempo induz uma tensão vL, num circuito fechado dicircuito fechado.

Li=φ dtdi

LvL =Para uma bobina linear o fluxo é proporcional à corrente que percorre a p p q pbobina.

O factor de proporcionalidade L éA unidade da indutância é o Henry (H), cujas dimensão é:O factor de proporcionalidade L é

chamada a Indutância da bobina.

secAmp

VoltHenry =

sec

TCE_4 14

Notação:(usa a notação dos elementos passivos)

TCE_4 15

dtdi

Lv =Forma diferencial da lei de indução

∫∞−

=t

dxxvL

ti )(1)(Forma integral da lei de indução

00

0 ;)(1)()( ttdxxvL

titit

t≥+= ∫

ê d d f l ttiti ∀)()( é íConsequência directa da forma integral: ttiti ∀+=− );()( A corrente é contínua

Potência e Energia Armazenada

)()()( titvtpL = ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== )(

21)()( 2 tLi

dtdti

dttdiLtpL

11

)(21)(),(

22

2

1

22

112 dttLi

dtddxxpttw

t

t

t

tLC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫

TCE_4 16

)(21)(

21),( 1

22

212 tLitLittw −==

Exemplo: Uma bobina de 10 mH é percorrida pela corrente i(t). Obter o potencial aos terminais da bobina e a energia armazenada entre 2 ms e 4 ms.

( ) 0210 ≥≥= tmstti( ) mstmstti 42104010 3 ≤≤×+−= −

diLv

dtLv =

( )

02

100101010 3

≥≥

=×== −

tms

mVtdtd

dtdi

Lv ( )mstms

mVtdtd

dtdi

Lv

42

1001040101010 33

≤≤

−=×+−×== −−

Energia armazenada entre 2 ms e 4 ms:

( ) J

LiLiw

μ210201010210

)102(21)104(

21)2,4(

233

3232

−=×××−=

×−×=

−−

−−

TCE_4 17

O valor negativo indica que a bobina está a fornecer energia ao circuito (previamente armazenada)

Relações duais para condensadores e bobinas

Condensador Bobina

LC →

viivLC

→→→

TCE_4 18

Condensador e Bobina com perdas

)(ti)(ti+

)(ti )(ti

+

)(tv )(tv+

)(tv+

)(tv

−

)(tv )(tv−

)(−

)(tv

Elementos Ideais Condensador e Bobina com resistência de perdas

−did di

)()()( tdtdvC

Rtvti

leak+=

Modelo para um

)()()( tdtdiLtiRtv leak +=

Modelo para uma b bi d

)()( tdtdvCti = )()( t

dtdiLtv =

TCE_4 19

Modelo para um condensador com perdas

bobina com perdas

Associação em Série de Condensadores

CC

21

21

CCCCCs +

=

Combinação em série de doisCombinação em série de dois condensadores

Fμ6 Fμ3 =SCFμ2

TCE_4 20Notar a semelhança com as resistências em paralelo

Exemplo: Dois condensadores com carga inicial nula estão ligados como mostra o circuito. Calcular C1

( )∫∞−

=⇒=x

dxxiqdtdqi

Sendo os dois condensadores percorridos pela mesma corrente as suas cargas vão ser iguais,

FC μ122 =suas ca gas ão se gua s,independentemente do valor das suas capacidades.Q1=Q2

Sabemos que V2=6VQ2=C2V2=12μFx6V=72μCLogo: Q =Q =C V =72μCLogo: Q1 =Q2=C1V1 =72μCMas V1 +V2=24V→ V1 =18VC2= Q1 / V1=4μF

TCE_4 21

Associação em paralelo de condensadores

)()( tdtdvCti kk =

)(tiExemplo:Exemplo:

PC

TCE_4 22FFFFFC p μμμμμ 153264 =+++=

Exemplo: Obter a capacidade equivalente

Fμ6

Fμ2

Fμ3Fμ4

Fμ4→eqC FCeq μ23

=

TCE_4 23Fμ12Fμ3

Associação em série de bobinas

di

)()( tdiLtv =

)()( tdtdiLtv S=

Exemplo)()( t

dtLtv kk =

L H7=eqL H7

TCE_4 24

Associação em paralelo de bobinas

)(ti )(

Exemplo

mH4 mH2∑=N

j titi 00 )()( AAAAti 1263)(

TCE_4 25As bobinas combinam-se como as resistências∑=j

j1

00 )()( AAAAti 1263)( 0 −=+−=