Conceitos Básicos

Alysson e Franklina2ºs/2011

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Conceitos Básicos

2

Otimalidade

Limitantes

Relaxação

OtimalidadeDado um Problema Inteiro

Uma solução com valor z* é ótima se

n

T

Zx

Xxas

xcz

.

max

3

Sxparaxcxcz TT **

S

Z1

f.o.

Z*

Z2

Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior

zLI z*

e um limitante superior zLS z*

tal que zLI = z* = zLS.

4

Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior

zLI z*

e um limitante superior zLS z*

tal que zLI = z* = zLS.

5

Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior

zLI z*

e um limitante superior zLS z*

tal que zLI = z* = zLS.

6

ZLI2

f.o.

ZLS = ZLI = Z*

ZLS1

ZLS2

ZLSn

ZLI1

ZLIk

:

:

Na prática um algoritmo simples para o problema anterior é terminado quando existe uma seqüência decrescente de limitantes superiores e uma seqüência crescente de limitantes inferiores, tal que,

zLS – zLI

7

Limitante InferiorQualquer solução x´ X (solução factível) fornece um

limitante inferior para o problema1:

zLI = z(x´) z*

Em geral, usam-se métodos heurísticos para obter um limitante inferior.

Obs. Existem problemas em que é simples encontrar uma solução factível (mochila), no entanto, para alguns essa tarefa pode ser árdua (dimensionamento de lotes).

1 – Lembre-se que estamos maximizando z.

8

Limitante SuperiorLimitante superior: é a melhor expectativa para

o problema original.

O enfoque de “relaxação” é o mais importante para determinar limitantes superiores.

Um problema “relaxado” é um problema mais simples que o problema original de programação inteira, com valor ótimo maior ou igual a z*.

9

Duas possibilidades para o problema relaxado:

a) Aumentar o conjunto de soluções factíveis (ex. relaxação linear);

b) Substituir a função objetivo por uma função com valor maior ou igual para todas as soluções factíveis.

10

Definição 2.1. Um problema

(PR) zR = max{f(x) | x T Rn}

é uma relaxação de

(PI) z = max{c(x) | x X Zn}se:(i) X T, e(ii) f(x) c(x) para todo x X.

11

(i) X T

Comentário: o problema relaxado deve conter todas as soluções do problema original, pois se uma solução for excluída, a solução ótima do problema original pode ter sido perdida, logo o problema relaxado não será uma estimativa para o problema original.

12

(ii) f(x) c(x) para todo x X.Contra exemplo:

Comentário: o máximo de f(x) não é um limite superior para o valor de c(x).

13

Proposição 2.1. Se PR é uma relaxação de PI então zR z.

Demonstração. Se x* é uma solução ótima de PI, então x* X T e z = c(x*) f(x*). Como x* T, f(x*) é um limitante inferior de zR, e portanto,

z f(x*) zR.

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Relaxação Linear - PLDefinição 2.2. Dado o problema inteiro

Em que

Sua relaxação por programação linear é dada por:

Prove que ZPL é um relaxação de Z.

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}|max{ nT ZPxxcz

}|{ bAxRxP n

}|max{ Pxxcz TPL

Exemplo relaxação linear

Considere o problema inteiro:

Zxx

xx

x

xxas

xxz

21

21

2

21

21

,

322

3

1427.

4max

16

Relaxação Linear do Exemplo:

Zxx

xx

x

xxas

xxz

21

21

2

21

21

,

322

3

1427.

4max

Problema linearmente Relaxado

0,

322

3

1427.

4max

21

21

2

21

21

xx

xx

x

xxas

xxzPL

17

Resolução da Relaxação Linear

0,

322

3

1427.

4max

21

21

2

21

21

xx

xx

x

xxas

xxzPL

18

Resolução da Relaxação Linear

0,

322

3

1427.

4max

21

21

2

21

21

xx

xx

x

xxas

xxzPL

Sol. Ótima:

43,8

3

86,2

2

1

PLz

x

x

19

Limitante para o prob. original

Para o problema original sabemos que o valor da f.o. será inteiro, logo o limitante superior é dado por

z 8

Zxx

xx

x

xxas

xxz

21

21

2

21

21

,

322

3

1427.

14max

43,8

3

86,2

2

1

PLz

x

x

+

=

20

Exemplo relaxação Linear

(2,1) é uma solução factível, logo é um limitante inferior para o problema,

z 7.

A solução ótima do PL é x = (20/7, 3) com valor 59/7. Como a solução ótima é inteira, temos que

z 8.

21

8

7

f.o.

z

Proposição 2.2. (Formulações Melhores) Considere P1, P2 duas formulações para o problema inteiro

Sendo P1 uma formulação melhor que P2, isto é, P1 P2. Se

para i = 1, 2 são os valores ótimos das relaxações lineares, então

para todo c.

22

}|max{ nT ZXxxcz

}|max{ iTi

PL Pxxcz

21PLPL zz

Proposição 2.3. (Prova de otimalidade) (i)Se o problema relaxado (PR) é infactível, o

problema original (PI) é infactível.

(ii)Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI.

Demonstração

(i) Como PR é infactível, T = e, portanto, X = .

(ii) Como x* X, z c(x*) = f(x*) = zR. Como z zR, então c(x*) = z = zR.

23

(ii) Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI.

Nota: para f(x*) ≠ c(x*)

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Relaxação LagrangianaDado um problema de programação inteira (PI)

z = Max {cx | Ax b, x X Zn }.

Se este problema for difícil de resolver, podemos relaxar as restrições Ax b para obter um problema relaxado mais fácil de resolver, ou seja:

zR = Max {cx | x X Zn }.

O conjunto de soluções factíveis de zR contém todas as soluções factíveis de z.

25

Proposição 2.4. Dadoz(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}.

Então z(u) z para todo u 0.

26

Para a relaxação lagrangiana, a função objetivo do problema relaxado é dada conforme definido na Proposição 2.4.

Proposição 2.4. Dadoz(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}.

Então z(u) z para todo u 0.

Prova. Seja x* solução ótima do PI. Como x* é factível em PI, x* X. Logo,

Ax* b

e, portanto, b – Ax* 0. Como u 0 temos

z = cx* cx* + u(b – Ax*) = z(u).

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Exemplo relaxação lagrangiana

Considere o problema inteiro:

Zxx

xx

x

xxas

xxz

21

21

2

21

21

,

322

3

1427.

4max

28

Exemplos de relaxação lagrangiana

Relaxação lagrangiana 1:

Relxação lagrangiana 2:0

,

322

3.

)2714(4max)(

1

21

21

2

211211

u

Zxx

xx

xas

xxuxxuz

29

0,,

,.

)223()3()2714(4max),,(

321

21

2132221121321

uuu

Zxxas

xxuxuxxuxxuuuz

Exercício: pesquise uma relaxação lagrangiana para o problema de dimensionamento de lotes definido abaixo:

30

.,,1,,1}1,0{

;,,1,,10,

;,,1,,1

;,,1

;,,1,,1

.

min

1

1,

1 11 11 1

TtNiy

TtNiIx

TtNiMyxb

TtCyfxb

TtNiIdIx

as

Ihysxc

it

itit

ititi

N

iitiiti

itittiit

T

t

N

iitit

T

t

N

iitit

T

t

N

iitit

Relaxação SurrogateDado o problema inteiro:

z = Max {cx | Ax b, x X Zn }

Sua relaxação surrogate é dada por:

z = Max {cx | T Ax Tb, x X Zn }

Com T ≥ 0.

31

Relaxação SurrogateExemplo*

32* retirado de http://upwen.ie.nthu.edu.tw/IP/Integer Programming(4).pdf

Zxx

xx

xxas

xxz

21

21

21

21

,

12

12.

4max

Relaxação surrogate com = (1 1)T

Zxx

xxas

xxz

21

21

21

,

2.

4max

Relaxação Combinatorial

Esta relaxação está associada a um problema de otimização combinatória.

Problema do Caixeiro Viajante.

É dado um grafo orientado D = (V,A) com peso cij para cada arco (i,j) A. As soluções do PCV são tours ou ciclos Hamiltonianos, que são designações (assignments) ou permutações sem subtours.

33

ciclos Hamiltonianos – uma rota através dos vértices do grafo que inicie e termine em um mesmo nó sem nunca repetir uma visita.

1 2

3

4

1 2

3

4

1 2

3

4 Grafo original

Ciclos Halmiltonianos 34

Problema de designação:

1

2

3

4

A

B

C

D

Grafo original Ciclo Halmiltoniano

1

2

3

4

A

B

C

D

35

TjiijAT

ASS

TjiijAT

PCV

Tcz

Tcz

),(

),(

designação uma é |min

tourum é |min

36

Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS)

É dado um grafo G = (V,A) com peso ci para cada aresta i A.

Note que: a) todo tour consiste de duas arestas adjacentes ao

nó 1, e um caminho através dos nós {2,3,...n};b) Um caminho é um caso especial de uma árvore.

Definição 2.3. Uma 1-árvore é um subgrafo que consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e das arestas de uma árvore nos nós {2,...n}.

37

Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS)

Cada tour é uma 1-árvore, e, portanto,

TeeAT

árvore

TeeAT

árvore1

TeeAT

PCVS

Tcz

Tcz

Tcz

árvore uma é |min

árvore-1 uma é |min

tourum é |min

38

Problema da Mochila

Uma relaxação do conjunto

n

1jjj

n bxaZxX |

É o conjunto

n

1jjj

n bxaZxX |

Onde a é o maior inteiro menor ou igual a a.

39

Dualidade para problemas inteiros

Definição 2.4. Os dois problemas

(PI) z = Max {cx | x X}

(D) w = Min {w(u) | u U}

Formam um par dual (fraco) se c(x) ≤ w(u) para todo x X e todo u U. Quando z = w, eles forma um par dual forte.

40

Dualidade para problemas inteiros

Vantagem da dualidade: a cada iteração do problema dual obtemos um limitante superior para o problema original.

Nota: na relaxação só temos um limitante superior quando obtemos o valor ótimo da relaxação.

Proposição 2.5. O problema inteiro z = Max {cx | Ax b, x X Zn

+ } e o problema linear w =

Min {ub| uA ≥ c, u Rm+ } formam um par dual

fraco.

41

Dualidade para problemas inteiros

Proposição 2.6. Suponha que PI e D foram um par dual fraco.

i. Se D é ilimitado então P é infactível.

ii.Se x*X e u*U satisfazem c(x*) = w(u*) então x* é solução ótima de PI e u* é solução ótima de D.

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Limitantes inferiores: solução factível*

Heurísticas gulosas (Greedy – “gananciosa”)

Idéia geral: construir uma solução a partir de um conjunto vazio, escolhendo a cada passo a melhor decisão naquele momento.

Exemplo. Problema da Mochila

43* Problemas de maximização

Busca local

Passo 1. Seleção de uma solução inicial (S).Passo 2. Avalie se existe na vizinhança VV uma

solução S’ melhor que S.Passo 3. Se existe S’ então atualize S e volte ao

Passo 2.Passo 4. Fim.

Exemplo. Problema da mochila.

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Incluir: slides

PI1modelagem1.pdf

121 a 125

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Lista de Exercícios:

Exercícios 1, 3, 4, 5, 6 e 7 do Cap. 2 do livro do Integer Programming, Wolsey, L.A.

Data de entrega: 29/09

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