comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas ... · iv resumo a presente...

Comportamento e dimensionamento de cantoneiras

reforçadas submetidas a compressão

Gonçalo Rebelo da Silva Andrade e Sousa

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores

Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim

Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Júri

Presidente: Professor Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Vogais: Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Professor Doutor Luís Manuel Calado de Oliveira Martins

Novembro de 2015

iii

Agradecimentos

Gostava de agradecer, em primeiro lugar, aos professores doutores Dinar Camotim e Pedro

Borges Dinis por toda a ajuda, pela paciência e disponibilidade demostrada e por toda o

conhecimento que partilharam comigo.

Agradeço também aos meus pais, por toda a paciência e encorajamento dado ao longo dos

anos.

E, por fim, agradeço a todos os colegas e amigos com quem tive o prazer de partilhar estes

anos no Instituto Superior Técnico.

iv

Resumo

A presente dissertação apresenta um estudo sobre o comportamento e dimensionamento de

cantoneiras reforçadas de abas iguais submetidas a compressão concêntrica.

Começam-se por rever alguns conceitos de estabilidade, fundamentais para a compreensão do

comportamento destes elementos, e o trabalho realizado por alguns investigadores no

domínio da estabilidade, pós-encurvadura e resistência última de cantoneiras e cantoneiras

reforçadas. Faz-se ainda referência ao dimensionamento de colunas pelo Método da

Resistência Directa (MRD) e a curvas alternativas propostas por outros autores.

Apresenta-se uma análise linear de estabilidade, para colunas com diversas condições de apoio

e para diferentes características geométricas da secção transversal, com o objectivo de

recuperar os resultados obtidos por outros autores em estudos semelhantes e estudar os

modos e tensões críticas associadas à instabilidade das colunas estudadas. Avalia-se também,

através de trajectórias de equilíbrio, deslocamentos, distribuições de tensões e deformações

plásticas e deformadas da secção, o comportamento física e geometricamente não-linear de

colunas biencastradas com imperfeições geométricas iniciais correspondentes à configuração

deformada do modo crítico. Ao longo das análises, é discutida a influência do reforço no

comportamento e resistência das cantoneiras.

Finalmente, comparam-se valores obtidos para a resistência última (através do programa

ABAQUS) de colunas biencastradas com as resistências estimadas através do Método da

Resistência Directa.

Palavras-chave: Cantoneiras reforçadas com abas iguais, Análise de Estabilidade, Colunas

Encastradas, Resistência última e dimensionamento, Método da Resistência Directa.

v

Abstract

This master’s thesis presents a study on the behaviour and design of concentrically

compressed equal leg lipped angles.

This work starts off with the revision of some important concepts related to structural stability

and of the research work of several authors on the stability, post-buckling and resisting capacity

of plain and lipped steel angles. References are made to the design of columns by the Direct

Strength Method (DSM) and alternative expressions proposed by other authors.

A linear stability analysis on columns with different boundary conditions and cross-section

properties are presented with the goal of observing some already known results and assessing

critical modes and stresses associated with the buckling of those members. Equilibrium paths,

displacements, stress and plastic strain distributions are also used to evaluate the physical and

geometrically non-linear behaviour of fixed-ended columns with critical mode based

imperfections. Throughout the mentioned analysis, the influence of the lip on the behaviour and

resistance of angles is discussed.

Finally, ultimate stresses (obtained through ABAQUS) of fixed-ended columns are compared to

the estimates provided by the Direct Strength Method.

Keywords: Equal leg lipped angles, Buckling analysis, Fixed-ended columns, Ultimate

behaviour and design, Direct Strength Method.

vi

Índice

1. Introdução ............................................................................................................................. 1

1.1. Enquadramento geral.................................................................................................... 1

1.2. Motivação e objectivos ................................................................................................. 3

1.3. Organização da dissertação .......................................................................................... 3

2. Estado da Arte ........................................................................................................................... 5

2.1. Introdução .......................................................................................................................... 5

2.2. Fenómenos de estabilidade ............................................................................................... 5

2.2.1. Estabilidade de estruturas laminares .......................................................................... 5

2.2.1.1. Carga crítica de placas longas .............................................................................. 5

2.2.1.2. Pós-encurvadura de placas perfeitas ................................................................... 6

2.2.1.3. Dimensionamento de elementos localmente esbeltos – largura efectiva .......... 8

2.2.2. Instabilidade flexo-torsional ........................................................................................ 9

2.2.2.1. Torção uniforme e não-uniforme ......................................................................... 9

2.2.2.2. Carga crítica de flexão-torção ............................................................................ 11

2.3. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras ................................................ 12

2.3.1. Estudo paramétrico de uma cantoneira com abas iguais ................................... 12

2.3.2. Estabilidade de colunas com diferentes condições de apoio ............................. 13

2.3.3. Comportamento de pós-encurvadura de colunas .............................................. 14

2.3.4. Importância dos deslocamentos no canto da secção ......................................... 17

2.3.5. Comportamento elasto-plástico de pós-encurvadura ........................................ 20

2.3.6. Dimensionamento através do Método da Resistência Directa ........................... 21

2.4. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas ............................. 25

2.4.1. Estudos numéricos .............................................................................................. 25

2.4.2. Estudos experimentais ........................................................................................ 26

2.4.3. Influência das condições de apoio ...................................................................... 28

2.4.4. Dimensionamento pelo Método da Resistência Directa .................................... 31

2.4.5. Conclusões ........................................................................................................... 32

3. Comportamento de estabilidade ............................................................................................ 33

3.1. Introdução ........................................................................................................................ 33

3.2. Análise com base na teoria generalizada de vigas ........................................................... 33

3.2.1. Teoria generalizada das vigas .................................................................................... 33

3.2.2. Secção analisada e notação....................................................................................... 34

3.3. Modos e cargas críticas .................................................................................................... 35

3.3.1. Estudo paramétrico ................................................................................................... 35

vii

3.3.2. Modo distorcional ..................................................................................................... 36

3.3.3. Tensão crítica ............................................................................................................ 39

3.4. Análise linear de estabilidade de colunas biencastradas ................................................. 40

3.5. Análise linear de estabilidade de colunas encastradas-apoiadas .................................... 43

3.6. Influência da espessura na estabilidade de cantoneiras reforçadas ............................... 44

4. Comportamento de pós-encurvadura..................................................................................... 47

4.1. Introdução ........................................................................................................................ 47

4.2. Análise por elementos finitos........................................................................................... 47

4.2.1. Escolha dos perfis a analisar...................................................................................... 47

4.2.2. Modelação por elementos finitos ............................................................................. 49

4.2.3. Análises efectuadas e notação .................................................................................. 50

4.3. Análise de pós-encurvadura elástica ................................................................................ 52

4.3.1. Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo de flexão-torção ............ 52

4.3.2. Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo local ............................... 56

4.3.3. Deslocamentos no canto da secção .......................................................................... 60

4.3.4. Distribuição de tensões na secção ............................................................................ 62

4.4. Análise de pós-encurvadura elasto-plástica..................................................................... 63

4.4.1. Análise de colunas l2L600 e l2L2500 ......................................................................... 63

4.4.2. Análise das colunas l22L600 e l22L1000 ................................................................... 66

5. Resistência última e dimensionamento .................................................................................. 69

5.1. Introdução ........................................................................................................................ 69

5.2. Resistência última de cantoneiras reforçadas ................................................................. 69

5.2.1. Elementos estudados ............................................................................................... 69

5.2.2. Variação fu/fy vs λ ...................................................................................................... 70

5.3. Dimensionamento de cantoneiras reforçadas ................................................................. 71

6. Conclusões ............................................................................................................................... 73

6.1. Introdução ....................................................................................................................... 73

6.2. Comportamento de estabilidade ..................................................................................... 73

6.3. Comportamento de pós-encurvadura......................................................................... 74

6.4. Dimensionamento de cantoneiras reforçadas ................................................................. 74

6.5. Desenvolvimentos futuros .......................................................................................... 75

Referências bibliográficas ........................................................................................................... 76

Anexos ......................................................................................................................................... 77

ANEXO A ...................................................................................................................................... 78

ANEXO B ...................................................................................................................................... 81

ANEXO C ...................................................................................................................................... 82

viii

1. Efeito do aumento do comprimento. ............................................................................. 82

2. Efeito do aumento do “lip”. ............................................................................................ 84

ANEXO D ...................................................................................................................................... 85

ANEXO E ...................................................................................................................................... 86

..................................................................................................................................................... 86

ANEXO F ...................................................................................................................................... 89

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. 1 - Edifício em Light Steel Framing e torre de distribuição (cantoneiras laminadas a

quente) .......................................................................................................................................... 1

Figura 1. 2 - Geometria de cantoneiras reforçadas ...................................................................... 2

Figura 2.1 - Modo de instabilidade de uma placa longa ([15]) ..................................................... 6

Figura 2.2 - Trajectórias fundamental e de pós-encurvadura de uma placa e uma coluna ([15]) 7

Figura 2.3 - Distribuição de tensões em regime pós-crítico de uma placa ([11]) ......................... 7

Figura 2.4 - Trajectória de equilíbrio de uma placa perfeita e com imperfeições geométricas e

reserva elasto-plástica ([11]) ......................................................................................................... 8

Figura 2.5 - Comparação das curvas de Winter, von Karman e de dimensionamento de colunas

([11]) .............................................................................................................................................. 9

Figura 2.6 - Distribuição exacta e aproximada de tensões tangenciais numa secção rectangular

"fina" ([14]) .................................................................................................................................. 10

Figura 2.7 - Resultados obtidos numa análise linear de estabilidade por Dinis et al. (2010) ..... 14

Figura 2.8 - TPE das colunas estudadas e configuração deformada da secção de 1/2 vão das

colunas F3 e F9 ([5]) ...................................................................................................................... 15

Figura 2.9 - TPE, configuração deformada e distribuição de tensões na secção para colunas F3 e

F9 ([5]) ......................................................................................................................................... 16

Figura 2.10 - Resultados das trajectória de equilíbrio e distribuição de tensões na secção de

colunas FR e FP ([5]) .................................................................................................................... 18

Figura 2.11 - Perfil longitudinal de tensões no canto da secção de coluna FP e FR ([5]) ............ 19

Figura 2.12 - Trajectória de equilíbrio P/Pcr vs dM/t e P/Pcr vs dm/t de F3, F6 e F9 ([5]) ................ 19

Figura 2.13 -Perfil longitudinal de dM/t e dm/t para diferentes níveis de carga de F3, F6 e F9 ([5])

..................................................................................................................................................... 19

Figura 2.14 - TPE elasto-plástica das colunas F3 e F4 para diferentes valores de fy/fcr e

mecanismos de colapso A e B ([6]) ............................................................................................. 20

Figura 2.15 - Cargas de colapso para diferentes secções com deslocamentos dm

continuamente impedidos ([6]) .................................................................................................. 22

Figura 2.16 - Estudo paramétrico de uma cantoneira, para uma única semionda e valores do

reforço de 0 a 50% da aba ([7]) ................................................................................................... 25

Figura 2.17- Resultados das cargas de colapso e críticas fazendo variar as condições de apoio

de cantoneiras reforçadas ([7]) ................................................................................................... 30

Figura 3. 1 - Modos de deformação do GBTUL para uma cantoneira reforçada ........................ 34

Figura 3.2 - Curva de estabilidade para uma coluna simplesmente apoiada comprimida e para

uma única semionda na função de aproximação da deformada. ............................................... 36

Figura 3.3 - Participação dos modos de deformação na encurvadura de cantoneiras para

relações reforço/aba de 20% e 40%............................................................................................ 36

Figura 3.4 - Curvas Pcr(L) para dois modos de encurvadura e diferentes valores da relação

reforço/aba. ................................................................................................................................ 37

Figura 3.5 - Modos de deformação do 2º modo de encurvadura , para valores da relação

reforço/aba iguais a 20% e 40%. ................................................................................................. 37

Figura 3.6 - Diferença de configurações deformadas da secção entre o modo crítico (esquerda)

e modo distorcional não-crítico (direita). ................................................................................... 38

x

Figura 3.7 - Curva de estabilidade para uma secção com reforço de 14 mm. ............................ 40

Figura 3.8 - Curvas de estabilidade de colunas biencastradas para diferentes valores do reforço

..................................................................................................................................................... 40

Figura 3.9 - Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com reforços de

2, 6, 12 e 16 milímetros. .............................................................................................................. 41

Figura 3.10 - Participação de modos em coluna biencastrada para uma cantoneira "simples" e

uma cantoneira com um reforço de 1 mm. ................................................................................ 42

Figura 3.11 - Curva de estabilidade para colunas encastradas-apoiadas com diferentes secções.

..................................................................................................................................................... 43

Figura 3.12 - Participação de modos de colunas encastradas-apoiadas para reforços de 2, 6, 12

e 16 milímetros. .......................................................................................................................... 44

Figura 3.13 - Impacto do aumento de t na curva de estabilidade de uma cantoneira com 12

milímetros de reforço. ................................................................................................................ 45

Figura 4. 1 - Perfis escolhidos assinalados na curva de estabilidade de colunas biencastradas. 48

Figura 4. 2 - Interface do programa ABAQUS e tipo de coluna analisada com malha de EF

discretizada. ................................................................................................................................ 49

Figura 4. 3 - Ficheiros de texto usados como input do programa ABAQUS. ............................... 50

Figura 4.4 - Notação de eixos, deslocamentos e nós do elemento estudado. ........................... 51

Figura 4.5 - TPE de uma cantoneira com reforço de 2 milímetros para L variável. .................... 52

Figura 4.6 - TPE de coluna com 2500 milímetros de comprimento, para l variável. .................. 53

Figura 4.7 - TPE de várias cantoneiras reforçadas com modo crítico de flexão-torção. ............. 54

Figura 4. 8 - TPE de cantoneiras "simples" e reforçadas para várias colunas, com modo crítico

de flexão-torção. ......................................................................................................................... 55

Figura 4.9- TPE de colunas com modo crítico local. .................................................................... 56

Figura 4.10 - Perfil longitudinal de deslocamentos do nó central da aba, para diferentes níveis

de carregamento, da coluna l22L1000. ....................................................................................... 59

Figura 4.11 - Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na maior inércia de coluna

l6L3500. ....................................................................................................................................... 60

Figura 4.12 - Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na menor inércia de coluna

l6L3500. ....................................................................................................................................... 60

Figura 4.13 - Distribuição de tensões na secção de colunas l12L3500 e 18L940 para diferentes

níveis de carregamento. .............................................................................................................. 62

Figura 4.14 - Trajectória de equilíbrio geometrica e fisicamente não-linear da coluna l2L600. 63

Figura 4. 15 - Trajectória de equilíbrio geométrica e fisicamente não-linear da coluna l2L2500.

..................................................................................................................................................... 64

Figura 4.16 - TPE elasto-plástica de coluna l2L600, deformadas e deformações plásticas de

determinados pontos. ................................................................................................................. 65



Figura 4.18 - TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22L600 para diferentes

níveis de plasticidade. .................................................................................................................... 67

Figura 4.19 - TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22L1000 para diferentes

níveis de plasticidade. .................................................................................................................... 67



xi


determinados pontos. ................................................................................................................... 68

Figura 5.1 - Relação entre tensão última e tensão de cedência dos perfis ensaiados................ 70

Figura 5. 2 – Resistência fu/fnle para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção e em

modos locais ................................................................................................................................ 71

Figura 5. 3 - Resistência fu/fnfte para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção

(proposta de Dinis e Camotim 2014) .......................................................................................... 72

xii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 - Valores de K para diferentes distribuições de tensões e condições de apoio ([11]) 6

Tabela 2.2 - Rácio entre a carga de encurvadura do modo de flexão na menor inércia e a carga

crítica das colunas F3, F6 e F9 ([5]) ............................................................................................... 20

Tabela 2.3 - Características geométricas e mecâncias dos perfis ensaiados por Young ([8],[9]) 26

Tabela 2. 4 - Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras reforçadas ([9]) ...... 27

Tabela 2. 5 - Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras simples ([8]) ........... 27

Tabela 2.6 - Valor de Pcr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria

clássica de colunas simplesmente apoiadas ([7]) ....................................................................... 28

Tabela 2.7 - Valor de Pcr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria

clássica de colunas biencastradas ([7]) ....................................................................................... 29

Tabela 3.1 - Relação entre cargas de encurvadura do dois primeiros modos de encurvadura da

solução analítica. ......................................................................................................................... 38

Tabela 4.1 - Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias colunas.

..................................................................................................................................................... 54

Tabela 4. 2 - Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias

colunas. ....................................................................................................................................... 55

Tabela 4.3 - Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com modo

crítico local. ................................................................................................................................. 57

Tabela 4.4 - Factor de redução e comprimento efectivo de várias secções. .............................. 58

Tabela 4. 5- Relação entre a constante de empenamento primário e secundário de várias

secções. ....................................................................................................................................... 62

Tabela 4.6 - Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l2L600 e

l2L2500. ....................................................................................................................................... 64

Tabela 4. 7 - Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l22L600 e

l2L1000. ....................................................................................................................................... 67

xiii

ÍNDICE DE SÍMBOLOS

h, b - Comprimento da aba da cantoneira

l – Comprimento do reforço da cantoneira

t - Espessura da cantoneira

σbt, fbt - Tensão crítica torsional

fcre- Tensão crítica de Euler

σcr,l, fcrl – Tensão crítica local

σcr,ft, fcrft - Tensão crítica flexo - torsional

fu – Tensão última obtida através de análises numéricas

fnl – Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso local

fne – Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso global

fnle - Tensão de dimensionamento associada a modos de colapso com interacção local-global

fnfte - Tensão de dimensionamento de cantoneiras com modo de instabilidade flexo torsional

xcc - Distância do centróide ao centro de corte

K - Coeficiente de instabilidade

φ – Ângulo de torção

dM- Deslocamentos no eixo da maior inércia

dm – Deslocamentos no eixo da menor inércia

Px – Carga crítica de flexão na maior inércia

Pφ – Carga crítica de torção

Pcr,ft – Carga crítica de flexão-torção

Δ - Variável adimensional que traduz a % de participação do modo de deformação de flexão

em torno da maior inércia no modo de deformação flexo - torsional

ρ – Factor de redução da área efectiva

β - Variável adimensional que traduz o efeito do centróide efectivo no carregamento último de

cantoneiras concentricamente carregadas; rotação de torção

δ – Deslocamentos no centro da aba

λl – Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade locais

xiv

λft – Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade flexo-torsionais

λc – Esbelteza normalizada associada a modos de instabilidade globais

L – Comprimento da coluna

𝛤 – Constante de empenamento

I0 – Inércia polar da secção

J – Constante de torção de Saint Venant

A – Área da secção

xv

ÍNDICE DE ABREVIATURAS

F- Colunas encastradas

PC - Colunas de apoio cilíndrico com a flexão em torno da menor inércia libertado

PS - Colunas de apoio esférico

MRD – Método da Resistência Directa

TPE – Trajectórias de Pós-encurvadura

FT - Flexo - torsional

f2 – Flexão na maior inércia

f3 – Flexão na menor inércia

1

1. Introdução

1.1. Enquadramento geral

A presente dissertação, realizada no âmbito do Mestrado Integrado em Engenharia Civil,

pretende, por um lado, rever e aplicar ideias desenvolvidas por diversos autores no domínio da

estabilidade de cantoneiras e, por outro lado, fornecer novos resultados e contribuir para o

conhecimento nessa mesma área de estudo.

As cantoneiras são elementos estruturais, usualmente de aço, cuja secção transversal é

constituída por duas paredes confluentes num ponto, sendo por esse motivo designadas de

secções L. Os possíveis processos de fabrico deste tipo de secções dividem-se entre a

laminação a quente e enformação a frio. Relativamente ao segundo processo, este é

usualmente conseguido através de tratamentos mecânicos que envolvem a aplicação de forças

elevadas a chapas de aço galvanizado, tais como prensagem, quinagem ou perfilagem. O

resultado são secções, geralmente de parede fina aberta, constituídas por chapas com

espessuras que podem variar entre 0,3 e 6 milímetros. A maior aplicação de cantoneira dá-se

na execução de estruturas de torres de distribuição (ver Figura 1. 1) e em obras de reabilitação.

Os perfis enformados a frio, devido ao seu baixo peso próprio associado às reduzidas

espessuras da secção e à rapidez de execução que possibilita, estão associados à construção

designada “Light-steel framing” – tratam-se de estruturas de peso reduzido, constituídas por um

“esqueleto” estrutural metálico, vocacionadas principalmente para edifícios de pequeno porte.

Alguns investigadores ([1]) apontam àqueles perfis algumas vantagens relativamente a

elementos laminados a quente, como economia de aço (correspondente a uma redução entre

10% a 18%) e redução do peso da estrutura.

Figura 1. 1 - Edifício em Light Steel Framing e torre de distribuição (cantoneiras laminadas a quente)

2

Devido à configuração da sua secção, as cantoneiras não possuem rigidez de torção associada

ao empenamento primário e são, por isso, susceptíveis a fenómenos de encurvadura que

envolvem deformação por torção ([2]). Por outro lado, o facto de estas secções (i) possuírem

geralmente reduzidas espessuras, (ii) por estas serem constituídas por duas placas “em

consola” e (iii) pela confusão que muitas vezes se gera na distinção entre modos de

deformação locais e de torção da secção conduz a que se confunda a instabilidade de

cantoneiras com problemas de estabilidade de placas. A distinção entre esses fenómenos de

instabilidade é fundamental, uma vez que a um e outro estão associadas resistências muito

distintas de pós-encurvadura.

O recurso a um reforço em cantoneiras (ver Figura 1. 2) surge naturalmente como uma solução

para aumentar a capacidade de carga destes elementos estruturais. O uso de reforços em

construção metálica tem como objectivo aumentar a rigidez transversal de placas e limitar a

esbelteza nesses elementos. No caso das cantoneiras a encurvadura dá-se, de uma forma

geral, por flexão-torção e, nesse caso, a aplicação de um reforço contribui simultaneamente

para estabilidade local das placas que constituem a secção e para o aumento rigidez de torção da

secção, ao introduzir resistência ao empenamento primário da mesma – por este motivo, a sua

aplicação na extremidade das abas é o mais eficiente, por se tratarem dos pontos mais distantes do

centro de corte da secção.

Figura 1. 2 - Geometria de cantoneiras reforçadas

O estudo dos comportamentos de estabilidade, pós-encurvadura, de resistência última e o

dimensionamento de cantoneiras de abas iguais submetidas à compressão tem sido levado a

cabo por diversos autores. Salientam-se os trabalhos de Rasmunssen ([3],[4]), Dinis et al.

([2],[5]) e Dinis e Camotim ([6]) no estudo de cantoneiras, de Shifferaw e Schafer ([7]) no

estudo de cantoneiras reforçadas, assim como vários ensaios experimentais levados a cabo

por Young ([8],[[9])[2]. Contudo, importa referir que a compressão centrada não corresponde à

maioria das situações práticas, uma vez que a ligação (soldada ou aparafusada) a outros

elementos estruturais resulta, geralmente, numa excentricidade da carga transmitida às

cantoneiras. Todavia, a presente dissertação apenas analisa o caso de cantoneiras de abas iguais

reforçadas (simétricas em relação ao eixo de maior inércia), concentricamente comprimidas.

3

1.2. Motivação e objectivos

O comportamento de pós-encurvadura “peculiar” de cantoneiras comprimidas (elemento

estrutural de geometria simples com comportamento complexo) levou a que este elemento

estrutural fosse objecto de vários estudos recentes ([2]-[7]), sendo o seu dimensionamento um

assunto ainda em aberto, nomeadamente no que se refere a elementos de aço enformados a

frio. Efectivamente, este tipo de elementos ainda não se encontra pré-qualificado para

dimensionamento através do recente Método da Resistência Directa (MRD − Direct Strength

Method, na designação anglo-saxónica [10]), o qual está desde 2004 incluída na

regulamentação Norte Americana de Estruturas de Aço Enformadas a Frio.

Por outro lado, as cantoneiras reforçadas carecem ainda de estudos exaustivos sobre o seu

comportamento e dimensionamento. De facto, existem poucos trabalhos de investigação sobre o seu

comportamento e dimensionamento ([7]), havendo contudo alguns estudos experimentais ([8],[9]). De

entre os vários trabalhos deve salientar-se o estudo efectuado por Shifferaw e Schafer [7], o qual

concluiu que as resistências estimadas pelas disposições normativas americana, nomeadamente o

MRD, apresentam diferenças significativas em relação aos valores verificados experimentalmente.

Deste modo, a existência da lacuna mencionada no parágrafo anterior constitui a principal

motivação desta dissertação. Assim, pretende-se (i) contribuir para a compreensão do

comportamento de cantoneiras de aço enformadas a frio, de abas iguais reforçadas, sujeitas a

compressão e (ii) avaliar da adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do Método

da Resistência Directa para prever a resistência última destes elementos estruturais. Para esse

efeito, define-se o seguinte conjunto de objectivos para a presente dissertação:

Estudar a estabilidade deste tipo de elementos estruturais, avaliando nomeadamente a

influência das condições de apoio e da espessura da secção.

Realizar análises geométrica e fisicamente não-lineares que permitam caracterizar o

comportamento e resistência pós-crítica de colunas “imperfeitas”, identificando

designadamente o impacto do reforço, de uma forma geral, no comportamento deste

tipo de cantoneiras.

Determinar um conjunto significativo de cargas de colapso que permitam aferir a

adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do MRD para estimar a

capacidade resistente destes elementos estruturais.

1.3. Organização da dissertação

A presente dissertação encontra-se organizada em seis capítulos. Neste primeiro, faz-se a

introdução das cantoneiras reforçadas enquanto elementos estruturais enformados a frio e

procura-se explicar a motivação e definir objectivos para a dissertação.

4

No segundo capítulo apresenta-se uma revisão de conceitos fundamentais de estabilidade,

assim como da literatura disponível sobre cantoneiras de abas iguais, sem ou com reforços,

que se julga pertinente. Trata-se de um capítulo fundamental para compreender, por um lado,

os fenómenos ligados à instabilidade de cantoneiras e, por outro lado, o tipo de análises que se

efectuou nos subsequentes capítulos.

No terceiro capítulo aborda-se o problema da instabilidade de cantoneiras de abas iguais

reforçadas recorrendo a análises lineares de estabilidade efectuadas através do programa

GBTUL, o qual é baseado na Teoria Generalizada de Vigas (GBT). Analisam-se diferentes

secções e condições de fronteira, identificam-se curvas de estabilidade e identificam-se os

modos de deformação envolvidos na instabilidade de cantoneiras comprimidas concentricamente.

O quarto capítulo foca-se nas análises geométrica e fisicamente não-lineares de cantoneiras

reforçadas com extremidades encastradas, submetidas à compressão. Para o efeito, efectuam-

se análises por elementos finitos de casca realizadas com o programa ABAQUS,

caracterizando-se desse modo o comportamento elástico e elasto-plástico dessas colunas.

No quinto capítulo apresenta-se um estudo paramétrico efectuado com o objectivo de

identificar a resistência última de colunas encastradas. Nesse estudo, adoptou-se o modelo de

elementos finitos de casca considerado no capítulo anterior, sendo os valores obtidos

comparados com as estimativas fornecidas pelas actuais curvas de dimensionamento do

Método da Resistência Directa, permitindo assim retirar algumas conclusões preliminares sobre

esta importante questão.

O sexto e último capítulo expõe as conclusões retiradas das análises efectuadas e apresenta

as possibilidades de desenvolvimentos futuros no estudo de cantoneiras reforçadas.

5

2. Estado da Arte

2.1. Introdução

As cantoneiras são secções constituídas por duas paredes finas, que fazem entre si um ângulo de 45º

e são confluentes num único ponto, o que confere a esses elementos uma reduzida rigidez de torção

e uma maior susceptibilidade a fenómenos de instabilidade flexo-torsionais. As cantoneiras

reforçadas, devido à presença do reforço na extremidade das abas, ao instabilizarem combinam

modos de deformação local com modos globais de flexão-torção, sendo o efeito da variação da

dimensão do reforço no comportamento e resistência dos perfis um dos principais focos da presente

dissertação e da investigação realizada por alguns autores ([7]). Uma vez que o comportamento

mecânico destes elementos envolve diferentes fenómenos, a compreensão dos mesmos torna-se

crucial no seu estudo.

Por este motivo, este capítulo divide-se entre a revisão (i) de alguns conceitos de estabilidade

essenciais para a compreensão do comportamento e dimensionamento de colunas local e

globalmente esbeltas e (ii) o trabalho realizado por diversos investigadores ([2]-[7]) sobre

cantoneiras e cantoneiras reforçadas.

Uma vez que o âmbito da presente dissertação é o comportamento e dimensionamento de

cantoneiras reforçadas, de secção simétrica em relação a um eixo, submetidas a compressão

(uniforme na secção), a revisão da literatura foca-se exclusivamente em colunas

concentricamente carregadas, para secções monossimétricas.

2.2. Fenómenos de estabilidade

2.2.1. Estabilidade de estruturas laminares

A estabilidade de estruturas laminares, nomeadamente de placas, assume uma grande

importância no projecto de estruturas metálicas, sobretudo em perfis enformados a frio, onde

as reduzidas espessuras conduzem a elevadas esbeltezas locais que condicionam o seu

dimensionamento. Por este motivo abordam-se os conceitos fundamentais do comportamento

e dimensionamento deste tipo de elementos.

2.2.1.1. Carga crítica de placas longas

Considere-se a placa simplesmente apoiada, de espessura t, submetida a compressão

uniforme da Figura 2.1. A placa é designada de “alongada” por possuir uma relação entre o

comprimento, a, e bordo solicitado (largura),b, tal que: a>>b. Ao atingir-se um determinado

valor de compressão, esse elemento irá instabilizar com deslocamentos de flexão e a

configuração será a apresentada na Figura 2.1.

6

Figura 2.1 - Modo de instabilidade de uma placa longa ([15])

Quando a placa é longa (a>>b), como indica a Figura 2.1, verifica-se que a sua configuração

deformada apresenta uma única semionda transversal e várias semiondas longitudinais, de tal

forma que a placa se comporta como uma “sucessão” de várias placas quadradas. A tensão

aplicada, σ, a partir da qual aquele elemento instabiliza é designada de tensão crítica (σcr) e

toma a forma apresentada da equação 2.1. ([11]):

𝜎𝑐𝑟 = 𝐾

𝜋2𝐸

12(1 − 𝜈2)(𝑡

𝑏)2

(2.1)

Na equação 2.1, t corresponde à espessura da placa e b à sua largura, enquanto que E e ν são o

módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do material, respectivamente. K é designado de

coeficiente de encurvadura e depende das condições de apoio dos bordos longitudinais e da distribuição

de tensões aplicada – a Tabela 2.1 apresenta valores desse coeficiente para diferentes situações:

Tabela 2.1 - Valores de K para diferentes distribuições de tensões e condições de apoio ([11])

2.2.1.2. Pós-encurvadura de placas perfeitas

A obtenção da trajectória de pós-encurvadura de uma placa perfeita, definida como a relação entre a

carga (que na forma adimensional é expressa através de σ/σcr) e o deslocamento sofrido pela

estrutura (q) após a carga crítica ser atingida, é feita determinando a trajectória de equilíbrio adjacente

([11]) à fundamental no ponto onde é estacionária a energia potencial da placa comprimida e conduz a:

7

𝜎

𝜎𝑐𝑟= 1 +

3

8(1 − 𝜈2) (

𝑞

𝑡)2

(2.2)

Esta trajectória é claramente estável (ver Figura 2.2) e, ao comparar com a correspondente curva para

colunas, é de salientar a notável resistência de pós-encurvadura das placas ([15]). Verifica-se assim

que admitir que σcr é a tensão máxima admissível nestes elementos é excessivamente conservativo,

pelo que o seu dimensionamento deve contemplar tensões superiores à crítica.

Figura 2.2 - Trajectórias fundamental e de pós-encurvadura de uma placa e uma coluna ([15])

Relativamente à distribuição de tensões normais no elemento, na fase pós-crítica, esta assume

a configuração apresentada na Figura 2.3. Pela observação dessa figura é possível comentar:

i. Existe uma transferência de tensões longitudinais (σxx) da região mais flexível da placa

para a zona dos apoios.

ii. Associada à redistribuição de tensões longitudinais surgem tensões transversais (σyy)

de tracção, as quais causam um aumento de rigidez da zonal central da placa.

Figura 2.3 - Distribuição de tensões em regime pós-crítico de uma placa ([11])

8

2.2.1.3. Dimensionamento de elementos localmente esbeltos – largura efectiva

Nas condições expostas anteriormente, o dimensionamento de placas deve ser feito em regime

pós-crítico, o que envolve um problema geometricamente não-linear com trajectórias

(fundamentais e de pós-encurvadura) e tensões mais ou menos próximas das que se

apresentaram – a diferença reside, para situações correntes, na presença de imperfeições

iniciais (ver Figura 2.4).

Figura 2.4 - Trajectória de equilíbrio de uma placa perfeita e com imperfeições geométricas e reserva elasto-plástica ([11])

Uma vez que a determinação da reserva de resistência do elemento associado ao espalhamento da

plasticidade não é directa e envolve algum esforço de cálculo (análise física e geometricamente não-

linear), admite-se que a resistência do elemento é atingido quando ocorrer a cedência da primeira

fibra (σmax=fy). Para efeitos de dimensionamento, Von Karman (citado por Reis e Camotim, 2012)

propôs uma metodologia aproximada para placas perfeitas, baseada nas seguintes hipóteses ([15]):

1. Substituir a secção real por uma “secção efectiva” onde se tem uma distribuição de

tensões uniforme.

2. Admitir que a encurvadura na secção efectiva a encurvadura ocorre ao mesmo tempo

que se atinge a plastificação da secção.

O dimensionamento da placa passa, assim, pela determinação de uma secção efectiva (beff),

baseada na relação entre a esbelteza normalizada do elemento (𝜆𝑝̅̅ ̅) e o factor de redução

(ρ=beff/b) da largura da secção (b).

Importa referir que Winter propôs uma expressão alternativa ([11]), baseada num elevado

número de resultados experimentais em placas com imperfeições iniciais e tensões residuais,

9

que serve de base às expressões propostas pelo Eurocódigo 3. Na Figura 2.5 comparam-se as

expressões de Von Karman, de Winter e a curva de dimensionamento de colunas perfeitas,

sendo que nesta última se despreza a resistência pós-crítica.

Figura 2.5 - Comparação das curvas de Winter, von Karman e de dimensionamento de colunas ([11])

2.2.2. Instabilidade flexo-torsional

2.2.2.1. Torção uniforme e não-uniforme

Todas as secções de parede fina aberta, quando submetidas a um momento torsor (T) , rodam

em torno do eixo colinear com o seu centro de corte (sc) e empenam, i.e., sofrem

deslocamento longitudinais variáveis e deixam de estar contidas num plano ([11]). Podem-se

definir dois tipos de torção:

i. Torção uniforme (ou de Saint-Venant) – situação em que T é constante ao longo da

barra e os deslocamentos de empenamento não são impedidos.

ii. Torção não uniforme – Caso mais geral, onde o momento torsor é variável e/ou o

empenamento é impedido nalguma secção.

No primeiro caso, os elementos estão sujeitos apenas a deformações distorcionais, sendo

nulas quaisquer extensões ou tensões longitudinais. Associadas as essas deformações estão

tensões de corte, cuja resultante é um momento torsor uniforme, Tt. De uma forma genérica, e

à semelhança do que sucede na flexão de peças lineares, é possível estabelecer uma relação

constitutiva entre o momento torsor aplicado numa barra, T, e uma medida de deformação

traduzida pelo ângulo de torção por unidade de comprimento, α ([13]):

𝛼 =

𝜕𝜙(𝑥)

𝜕𝑥=𝑇𝑡

𝐺𝐽<=> 𝑇𝑡 =

𝜕𝜙(𝑥)

𝜕𝑥𝐺𝐽

(2.3)

Em secções de parede fina aberta, verifica-se que as tensões tangenciais se distribuem de

forma aproximadamente linear na espessura da secção (Figura 2.6). As equações (2.4) e (2.5)

10

são expressões de cálculo para a constante de torção de Saint Venant, J, e para a tensão

tangencial máxima instalada na secção, τmax, respectivamente:

𝐽 =

1

3∑𝑏𝑖𝑡𝑖

3

𝑛

𝑖=1

(2.4)

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑡𝑚𝑎𝑥

𝑇𝑡𝐽

(2.5)

Figura 2.6 - Distribuição exacta e aproximada de tensões tangenciais numa secção rectangular "fina" ([14])

No caso da torção não-uniforme, por existir impedimento ao livre deslocamento longitudinal da

parede fina ou por esse deslocamento ser variável, passam a existir tensões normais não-nulas

na secção. Estas são, forçosamente, equilibradas por tensões tangenciais que dão origem a

um momento torsor resistente, Te.

No Anexo A apresenta-se em maior detalhe essa teoria, incluindo a determinação das

expressões genéricas dos campos de deslocamentos axiais devido ao empenamento, (ue(s)),

função de empenamento (W(s)), deformações e tensões axiais (εx e σx, respectivamente),

tensões tangenciais (τe) e expressão do momento torsor resistente devido ao impedimento dos

deslocamentos de empenamento (Te), o qual se apresenta na seguinte equação:

𝑇𝑒(𝑥) = −𝐸𝛤

𝜕3𝜙

𝜕𝑥3

(2.6)

onde Γ é a constante de empenamento da secção e ϕ é o ângulo de torção, que é função da

posição no eixo da peça (x).

A rigidez de empenamento (EΓ), em secções onde o centro de corte está “desviado” em

relação à linha média das suas paredes, é igual ao integral do quadrado de uma função (W(s))

que depende da distância (r(s)) entre a linha média de “cada parede” e o centro de corte da

secção, C – designa-se rigidez de empenamento primário.

O momento torsor total, T, resistido simultaneamente por conta de torção uniforme (eq. (2.3)) e

não-uniforme (eq. (2.6)) é igual a:

11

𝑇 = 𝐺𝐽

𝜕𝜙

𝜕𝑥− 𝐸𝛤

𝜕3𝜙

𝜕𝑥3

(2.7)

Em secções de parede fina aberta onde todas as paredes se intersecta num único ponto, sabe-

se que é nula a rigidez de empenamento primária. Todavia, verifica-se para esse tipo de

secções que se desenvolve uma distribuição de tensões normais não lineares na espessura e

de tensões tangenciais responsáveis por gerar um “momento torsor resistente secundário”, Tse,

e uma “constante de empenamento secundário”, Γs, ([11]) tais que se mantém válida a relação:

𝑇𝑒𝑠 = −𝐸𝛤𝑠

𝜕3𝜙

𝜕𝑥3

(2.8)

Importa referir que a constante de empenamento secundário toma valores bastante reduzidos

face aos de Γ, pelo que, no caso geral de se ter Γ≠0, se despreza Γs.

Para finalizar o presente subcapítulo, apresenta-se a expressão para a constante de

empenamento secundário de uma cantoneira com abas de iguais dimensões ([2]):

𝛤𝑠 =

1

36(2𝑡3𝑏3)

(2.9)

onde t é a espessura e b o comprimento das abas.

2.2.2.2. Carga crítica de flexão-torção

Em virtude de possuírem uma rigidez de torção muito baixa, as secções de parede fina aberta

são particularmente susceptíveis a fenómenos de instabilidade que envolvem deformações por

por torção ([11]). No caso dessas secções que apresentem um único eixo de simetria, a

encurvadura dá-se com modos de deformação acoplados: flexão em torno do eixo de simetria

e torção, designando-se a este tipo de instabilidade de encurvadura por flexão-torção.

A carga crítica para uma coluna nessa situação é dada pela seguinte expressão ([11], [12]):

𝑃𝑐𝑟,𝑓𝑡 =(𝐼0𝐴⁄ )(𝑃𝑥 + 𝑃𝜙) − √(

𝐼0𝐴⁄ )2(𝑃𝑥 + 𝑃𝜙)

2 − 4(𝐼0𝐴⁄ − 𝑥𝑐𝑐

2)𝑃𝑥𝑃𝜙(𝐼0𝐴⁄ )

2(𝐼0𝐴⁄ − 𝑥𝑐𝑐

2)

(2.10)

em que:

𝑃𝑥 =

𝜋2𝐸𝐼𝑥𝐿𝑒2

; 𝑃𝜙 =𝐴

𝐼0(𝐺𝐽 + 𝐸𝛤

𝜋2

𝐿𝑒2)

(2.11;2.12)

e Px e Pφ correspondem, respectivamente às cargas de encurvadura na maior inércia e de

torção, I0 é a inércia polar da secção, enquanto que xcc é a distância entre o centro de corte e

de gravidade da secção e A é sua área. Le representa o comprimento de encurvadura da

coluna para cada modo de encurvadura.

12

2.3. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras

2.3.1. Estudo paramétrico de uma cantoneira com abas iguais

A expressão da carga de encurvadura por torção de coluna (equação (2.12)), quando existe

apenas constante de empenamento secundário, toma a forma:

𝑃𝑐𝑟𝑡 =

𝐴

𝐼0[

𝐸𝐼𝜔12(1 − 𝜈2)

(𝜋

𝐿)2

+ 𝐺𝐽]

=𝐴

∑ (13𝑡𝑖𝑏𝑖

3)𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑖

[𝐸 ∑ (

13𝑡𝑖𝑏𝑖

3)𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑖

12(1 − 𝜈2)(𝜋

𝐿)2 + 𝐺 ∑

1

3𝑡𝑖3𝑏𝑖

𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑖

]

(2.13)

Para secções com as mesmas dimensões de abas e espessura (ti=t e bi=b), se se expressar a

tensão crítica torsional (σcrt) chega-se a [2]:

𝜎𝑐𝑟𝑡 = [(

𝑏

𝐿)2 +

6(1 − 𝜈)

𝜋2]

𝐸𝜋2

12(1 − 𝜈2)(𝑡

𝑏)2

(2.14)

Para colunas curtas, a parcela relativa ao comprimento da coluna é relevante e deve ser retida

na expressão; no entanto, para os casos em que L>>b correspondentes a colunas mais

correntes na construção metálica, pode-se admitir que a tensão crítica de torção se torna

independente de L e tem-se:

𝜎𝑐𝑟𝑡 = 0,425

𝐸𝜋2

12(1 − 𝜈2)(𝑡

𝑏)2

(2.15)

Esta tensão é igual à tensão crítica local de uma placa “em consola” (ver capítulo 2.2.). Este

facto aliado ao já referido de se ter uma expressão independente do comprimento (para L>>b)

leva a expressão da tensão crítica de torção a tender para a emblemática curva σcr,l(L) para

elementos em consola, o que geralmente causa confusão relativamente ao tipo de encurvadura

que realmente ocorre nestes elementos. Está-se perante um caso excepcional onde divergem

as definições de encurvadura local clássica e da Teoria Generalizada de Vigas ([2]). De acordo

com essa teoria a encurvadura local ocorre se:

i. A curva característica σcr(L) apresentar mínimos ou máximos locais, para um

determinado número de semiondas na solução de aproximação.

ii. O modo de encurvadura apresentar várias semiondas na deformada.

13

Este segundo ponto implica flexão transversal das paredes, com curvatura não nulas, facto

esse que não ocorre neste tipo de placa, uma vez que a encurvadura ocorre numa única

semionda, independentemente do comprimento da placa. «Mecanicamente falando, este modo

de encurvadura envolve torção pura em torno do bordo simplesmente apoiado e não apresenta

flexão transversal das paredes, característica essa com profundas implicações no

comportamento de pós-encurvadura da placa e no conceito de largura efectiva» (Dinis PB et al.

2010). Concluem os autores que o problema de encurvadura numa cantoneira não pode ser

reduzido ao de uma placa com três bordos apoiados e um livre, uma vez que este elemento

apresenta um modo de encurvadura global com diferenças significativas do de uma placa.

2.3.2. Estabilidade de colunas com diferentes condições de apoio

Dinis PB et al. [5] aprofundaram a análise do comportamento na encurvadura de cantoneiras,

para colunas com diferentes condições de apoio. Essa análise foi conseguida recorrendo ao

programa GBTUL.

Os elementos estudados pelos autores apresentam uma secção transversal com dimensões

70x70x1,2 milímetros e possuem comprimentos baixos-a-intermédios, contidos no “plateau”

horizontal de tensão crítica:

L1= 53 cm L2= 98 cm L3= 133 cm L4= 182 cm L5 = 252 cm L6= 364 cm

L7= 420 cm L8= 532 cm L9= 700 cm L10= 890 cm

Quanto às condições de apoio, foram analisados 3 casos:

i. F – Coluna biencastrada nas duas direcções.

ii. PC – Rótulas cilíndricas que impedem a flexão segundo o eixo de maior inércia, mas

permitem a rotação segundo a menor inércia.

iii. PS – Rótulas esféricas (permitem a rotação nas duas direcções).

Na Figura 2.7 encontram-se os resultados obtidos na análise linear de estabilidade:

a) Curva Pcr (L) para as três condições de apoio estudadas (F, PC e PS) obtidas através

do ABAQUS, incluindo alguns pontos obtidos pelo GBTUL, e fazendo referência aos

comprimentos mencionados (L1 – L10).

b) Diagramas representativos das participações dos modos de deformação no modo crítico de

instabilidade das colunas, a variar com o comprimento e para cada condição de apoio.

c) Representação esquemática da deformada de meio-vão para uma coluna PC para dois

comprimentos distintos: 100 e 364 centímetros.

d) Representação dos 6 primeiros modos de deformação, à excepção do modo 1 (extensão axial).

14

Figura 2.7 - Resultados obtidos numa análise linear de estabilidade por Dinis et al. (2010)

Verifica-se que, à semelhança do que sucedia na solução analítica obtida pelo GBTUL com

apenas uma semionda na função de aproximação, os quatros modos de deformação

responsáveis pela configuração da coluna na encurvadura são: 2 + 3 + 4 + 6. Para além deste

facto, os autores observam que:

Para os comprimentos escolhidos para a análise, os modos relevantes envolvem

flexão-torção (2+4) e flexão segundo o eixo de menor inércia (3). Ao primeiro modo

corresponde o patamar horizontal na curva Pcr(L) e a participação da flexão segundo a maior

inércia (2), que ocorre por haver simetria nesse plano, aumenta gradualmente com L .

No caso das condições apoio PC e PS, a curva da carga crítica decresce de forma

monótona e corresponde a uma função de aproximação dos modos de deformação (φ)

de uma única semionda, sendo que os resultados obtidos pelos programas ABAQUS e

GBTUL são praticamente coincidentes. O modo 4 está presente na encurvadura de todas

as colunas à excepção das mais compridas, as quais instabilizam segundo o modo 3.

Os comportamentos das colunas rotuladas (PS + PC) apenas se distanciam das

biencastradas (F) para comprimentos superiores a 420 centímetros, sendo

praticamente idênticos para comprimentos inferiores. No entanto, essas colunas

diferem das F no que toca ao “leque” de comprimentos pertencentes ao “plateau” – de

facto, regista-se uma queda de cerca de 25% da carga crítica de flexão segundo a

menor inércia, donde resulta que o comprimento de transição do modo 4 para o modo

3 passe de L=420 cm (colunas PC) para L=890 cm (colunas F).

Comparativamente com as colunas PC, as colunas PS apenas diferem na fase final do

patamar de flexão-torção devido a uma maior participação da flexão na maior inércia.

2.3.3. Comportamento de pós-encurvadura de colunas

Na sequência da análise linear de estabilidade, Dinis et al. ([5]) efectuaram uma estudo do

comportamento de pós-encurvadura dos mesmos perfis, através da análise geometricamente

15

não-linear de colunas exibindo imperfeições com a configuração do modo crítico e com

amplitude igual a 10% da espessura (t). No caso dos elementos com modo crítico flexo-

torsional, tal corresponde a ter uma rotação de torção inicial igual a 0,098 radianos. Apesar de

os autores terem analisado o comportamento de colunas F, PC e PS, apenas se indicam as

conclusões mais relevantes referentes a colunas encastradas.

Foram determinados os seguintes gráficos:

1. Trajectória de pós-encurvadura, P/Pcr vs β, para todas as colunas seleccionadas com

condições de apoio F, onde β é a rotação de corpo rígido da secção a meio-vão da

coluna. Estas incluem representações da deformada a meio-vão dos elementos F3 e

F9, em diferentes pontos da trajectória (Figura 2.8).

2. Configuração deformada (Figura 2.9), em três pontos assinalados na trajectória de pós-

encurvadura, de

a. Meio-vão da coluna F3.

b. Meio-vão e um quarto de vão da coluna F9.

3. Distribuição de tensões longitudinais nas extremidades (A e C) e no canto (B) da

secção de meio-vão das colunas F3 e F9, para três valores diferentes de P/Pcr

representados na respectiva trajectória de pós-encurvadura (Figura 2.9).

Figura 2.8 - TPE das colunas estudadas e configuração deformada da secção de 1/2 vão das colunas F3 e F9 ([5])

Perante os resultados apresentados, os autores retiraram as seguintes conclusões:

A trajectória de equilíbrio P/Pcr (β) é progressivamente mais flexível à medida que L

aumenta; enquanto que as colunas mais curtas (F1 – F7) apresentam uma trajectória

estável, as mais alongadas (F8 – F10) apresentam pontos limite bem definidos:

o Ou abruptos e com inversão da rotação de torção ( F8 – F9).

o Ou suaves e sem inversão da rotação de torção (F10).

16

A coluna F10 corresponde à transição entre os modos críticos de encurvadura de

flexão-torção e de flexão na menor inércia, apresentando uma curva P/Pcr(β) suave e

um ponto limite bem definido relativamente prematuro.

Nas colunas F8 e F9, as configurações deformadas passam abruptamente de uma única

semionda para três semiondas pouco após ser atingida a carga crítica – facto esse que se

verifica pela observação da trajectória de equilíbrio (Figura 2.8) e pela configuração da

deformada a meio-vão e um quarto de vão da coluna F9 (Figura 2.9), notando que no ponto 3

as rotações, para uma e outra secção, se dão em sentidos diferentes.

Os deslocamentos de flexão, seja na maior inércia (dM) e/ou na menor inércia (dm), são

praticamente imperceptíveis (mas não inexistentes) na coluna F3 e na fase ascendente

(pontos 1 e 2 da Figura 2.9) da trajectória de pós-encurvadura da coluna F9. No

entanto, esses deslocamentos, em particular dm, tornam-se da ordem de β na fase

descendente da curva de F9, após a transição na configuração deformada e estão

associados a tensões de tracção nas regiões do canto da secção transversal.

Á medida que a carga aumenta (P/Pcr>0,8) a distribuição de tensões passa a uma

variação linear com transferência de compressões da extremidade para o canto da

secção, com as seguintes diferenças:

o Os elementos mais curtos (F3) apresentam uma distribuição de tensões simétrica –

associado a um estado de flexão composta com flexão na menor inércia.

o As colunas mais longas (F9) apresentam uma distribuição de tensões

assimétricas – associada a flexão desviada.

Figura 2.9 - TPE, configuração deformada e distribuição de tensões na secção para colunas F3 e F9 ([5])

17

2.3.4. Importância dos deslocamentos no canto da secção

As diferenças significativas de comportamento observadas são devidas à ocorrência de flexão em

torno dos eixos de maior e menor inércia nas cantoneiras, em particular nas mais longas. Este efeito

traduz-se na existência de deslocamentos no canto da secção e, simultaneamente, na distribuição

linear das tensões na secção refira-se que até então a opinião geralmente aceite (Rasmussen KJR,

2005 citado por Dinis PB et al, 2012 - [3]) era a de que essas tensões teriam uma distribuição

parabólica com valor máximo no canto da secção (equivalente a admitir que cada aba da cantoneira

se comporta como uma placa longa com três bordos apoiados e um livre). Para confirmar o referido

efeito, os autores efectuaram a análise de colunas iguais com as seguintes condições de apoio (ver

esquema da Figura 2.10): (i) coluna FR (“fully restrained” – cantoneira biencastrada com o canto

continuamente apoiado e impedido de sofrer translações no plano e) e (ii) placa longa (L>>b) (FP)

com os bordos mais distantes encastrados, um bordo longitudinal livre e outro apoiado. Além disso, os

autores obtiveram as trajectórias de equilíbrio P/Pcr relativas aos deslocamentos dM e dm,

normalizados em relação à espessura (t) da secção, das colunas F3, F6 e F9, quer em termos da

secção de meio vão (ver Figura 2.12) quer o perfil longitudinal desses deslocamentos para as três

colunas em análise e para quatro níveis diferentes de carga (P/Pcr) (ver Figura 2.13). A observação

desses resultados permitiu retirar as seguintes conclusões:

Os resultados obtidos para as condições de FR e FP são coincidentes, tanto em

termos de trajectória de pós-encurvadura, como em distribuição de tensões na secção.

Para além disso, as tensões apresentam agora a distribuição parabólica admitida por

Rasmussen [3], afastando-se mais da distribuição uniforme à medida que “se

aproxima” do meio-vão e que aumenta o rácio P/Pcr.

Restringir os deslocamentos do canto, que se demonstrou terem uma participação

significativa na pós-encurvadura das colunas F mais compridas, afecta

significativamente o comportamento de pós-encurvadura das colunas, em particular,

das mais compridas – todas as trajectórias se apresentam agora como estáveis e não

apresentam pontos limite ou inversões de β.

O deslocamento dM cresce gradualmente com a carga aplicada, uma vez que a flexão

segundo o eixo de maior inércia pertence ao modo crítico de instabilidade e, assim, integra a

imperfeição geométrica inicial e consequentemente a trajectória fundamental destas colunas.

Enquanto que dM/t cresce monotonamente com P/Pcr no caso das colunas F3 e F6, F9

cresce até aproximadamente P/Pcr=1,05 e depois experiencia uma reversão de dM, que

coincide com o crescimento abrupto dos deslocamentos de flexão na menor inércia (dm).

É possível explicar a disparidade da ordem de grandeza dos deslocamentos dm nas

três colunas ao observar-se com o rácio entre a carga de instabilidade (não-crítica) do

modo de encurvadura de flexão na menor inércia (Pb,y) e a carga crítica (Pcr) de flexão-

torção para cada caso (ver Tabela 2.2).

18

Ambas as curvas apresentam “quartos de onda” exteriores (i.e. nas extremidades)

responsáveis pelo declive nulo do perfil de deslocamentos – consequência das condições de

apoio (coluna biencastrada) que impõem que as rotações seja nulas nas extremidades.

O aparecimento e a configuração do perfil (três semiondas interiores) de deslocamentos dm

encontra explicação no fenómeno já explicado anteriormente e devido a Stowell (Stowell

EZ, 1951 citado por Dinis PB et alumni, 2012 - [18]) – a variação da rotação de torção na

secção faz surgir uma distribuição não-linear de tensões normais longitudinais, com

concentração destas no canto da secção, que por sua vez introduzem flexão na menor

inércia. Enquanto este comportamento é notável nas colunas de menor comprimento (F3 e

F6), nas colunas mais longas (F9) é menos perceptível, uma vez que a carga de

encurvadura do modo 3 e a carga crítica da coluna se encontram bastante próximas,

estando este caso próximo do de transição entre modos críticos.

Figura 2.10 - Resultados das trajectória de equilíbrio e distribuição de tensões na secção de colunas FR e FP ([5])

19

Figura 2.11 - Perfil longitudinal de tensões no canto da secção de coluna FP e FR ([5])

Figura 2.12 - Trajectória de equilíbrio P/Pcr vs dM/t e P/Pcr vs dm/t de F3, F6 e F9 ([5])

Figura 2.13 -Perfil longitudinal de dM/t e dm/t para diferentes níveis de carga de F3, F6 e F9 ([5])

20

Tabela 2.2 - Rácio entre a carga de encurvadura do modo de flexão na menor inércia e a carga crítica das colunas F3, F6 e F9 ([5])

Coluna Pb,y/Pcr

F3 27.1

F6 5.5

F9 1.6

2.3.5. Comportamento elasto-plástico de pós-encurvadura

Dinis e Camotim [6] realizaram, para os comprimentos L1= 53 cm, L2= 133 cm, L3= 364 cm e

L4= 700 cm, análises elasto-plásticas de pós-encurvadura em colunas encastradas com

imperfeições iniciais dos modos críticos de amplitude igual a 0,1t e quatro rácios entre a tensão

de cedência e a tensão crítica: fy/fcr≈1,3; 2,5; 5,0 e ∞ (elástico sem cedência). Os autores

obtiveram as trajectórias P/Pcr(β) para os rácios fy/fcr já referidos das colunas F3 e F4 (Figura

2.14) e os mecanismos de colapso, A e B, assinalados nas trajectórias para fy/fcr=2,5 – na

mecanismo A as zonas sombreadas representam as deformações plásticas:

Figura 2.14 - TPE elasto-plástica das colunas F3 e F4 para diferentes valores de fy/fcr e mecanismos de colapso A e B ([6])

Da observação desta figura os autores concluíram que a coluna F3, para fy/fcr≈ 1,3 e 2,5, o

colapso dá-se imediatamente após o início da cedência, enquanto para fy/fcr≈5 apresenta uma

ligeira resistência elasto-plástica. A carga de colapso nesta coluna cresce visivelmente com fy.

O diagrama de deformações revela que a cedência ocorre em torno das secções de ¼ e ¾ de

vão – secções onde as tensões longitudinais normais e transversais são mais elevadas.

A resistência limite da coluna F4 é praticamente insensível a fy, uma vez que o colapso é

principalmente devido a efeitos geometricamente não-lineares. De facto, para fy/fcr≈ 2,5 e 5,0,

a coluna mantém um comportamento elástico até ao colapso, uma vez que a ocorrência da

cedência apenas se dá no troço descendente da trajectória de equilíbrio.

21

2.3.6. Dimensionamento através do Método da Resistência Directa

O Método da Resistência Directa (DSM – “Direct Strength Method” na designação anglo-saxónica)

consiste num conjunto de expressões “tipo-Winter” calibradas através de um número substancial de

resultados experimentais ou numéricos, que providenciam estimativas para a tensão última seguras e

precisas, associadas a modos colapsos local (fnl), distorcional, global (fne) e local-global (fnle). Estas são

baseados nas tensões críticas de encurvadura local (fcrl), distorcional (fcrd) e global (fcre) e na tensão de

cedência (fy). Para cantoneiras enformadas a frio, as expressões são:

𝑓𝑛𝑙 = {

𝑓𝑦 𝑠𝑒 𝜆𝑙 ≤ 0.776

𝑓𝑦(𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑦)0.4[1 − 0.15(

𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑦)0.4] 𝑠𝑒 𝜆𝑙 > 0.776

𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑙 = √𝑓𝑦

𝑓𝑐𝑟𝑙

(2.16)

𝑓𝑛𝑒 = {𝑓𝑦(0.658𝜆𝑐

2) 𝑠𝑒 𝜆𝑐 ≤ 1.5

𝑓𝑦 (0.877

𝜆𝑐2) 𝑠𝑒 𝜆𝑐 > 1.5

𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑐 = √𝑓𝑦

𝑓𝑐𝑟𝑒

(2.17)

𝑓𝑛𝑙𝑒 = {

𝑓𝑛𝑒 𝑠𝑒 𝜆𝑙𝑒 ≤ 0.776

𝑓𝑛𝑒(𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑛𝑒)0.4[1 − 0.15(

𝑓𝑐𝑟𝑙

𝑓𝑛𝑒)0.4] 𝑠𝑒 𝜆𝑙𝑒 > 0.776

𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑙 = √𝑓𝑛𝑒

𝑓𝑐𝑟𝑙

(2.18)

Como foi referido, estas expressões ignoram o facto das cantoneiras instabilizarem, de facto,

em modos flexo-torsionais e que as características destes modos varia significativamente ao

longo do patamar horizontal Pcr(L) o que se traduz na necessidade de definir um novo conjunto

de curvas que considerem esse facto.

2.5.9.1 Rasmussen (2006)

Rasmussen (Rasmussen KJR, 2006 citado por Dinis PB e Camotim D, 2014 - [4]) chegou às

seguintes expressões para o dimensionamento de colunas P:

𝑓𝑛𝑙 = 𝜌 × 𝛽 × 𝑓𝑦 (2.19)

𝜌 =

𝐴𝑒𝐴= {

1 𝑠𝑒 𝜆𝑙 ≤ 0.673 𝜆𝑙 − 0.22

𝜆𝑙2 𝑠𝑒 𝜆𝑙 > 0.673

(2.20)

𝛽 = {

1 𝑠𝑒 𝜆𝑙 ≤ 1.22 0.68

(𝜆𝑙 − 1)2 𝑠𝑒 𝜆𝑙 > 1.22

(2.21)

Este autor considerou o efeito da alteração da posição do centróide efectivo (“effective centroid

shift”) através do parâmetro β e os efeitos da encurvadura “local” através dos factor de redução

da área efectiva, ρ. Assim, Rasmussen [4] assume que flexão-torção está incluída no modo

local (torsional) de placa e, portanto, também no conceito de largura efectiva (ver capítulo

2.2.1.3.) e inclui apenas a encurvadura por flexão no modo global (fne).

Como consequência destas considerações, ignora-se o facto de que estes elementos

«instabilizam num modo global de flexão-torção e que as características mecânicas deste

22

modo variam significativamente no “plateau” horizontal de Pcr(L)» com L (Dinis e Camotim,

2014). Isto conduz a que se ignore a dependência das imperfeições geométricas no modo de

flexão na menor inércia do comprimento da coluna e a elevada sensibilidade das colunas P a

este tipo de imperfeições, o que resulta numa elevada dispersão vertical do valores

experimentais de fu/fy, como se verá.

2.5.9.2. Dinis e Camotim (2014) – Colunas F

Como já foi referido, a nova proposta consiste em substituir a tensão crítica “local” por um

conjunto de curvas genuínas de flexão-torção, independentes de outros modos de rotura, que

são conseguidas através das cargas de colapso obtidas para 170 colunas F e 3 secções

transversais (70 x 1,2 mm, 50 x 1,2 mm e 50 x 2,6 mm) e continuamente impedidas de flectir

no plano de menor inércia – o que assegura que o colapso se dá no modo pretendido (ver

Figura 2.15– a cheio apresenta-se a curva MRD local).

Figura 2.15 - Cargas de colapso para diferentes secções com deslocamentos dm continuamente impedidos ([6])

Da observação do gráfico apresentado, verifica-se que não há diferença entre os valores

obtidos para cada secção transversal para cada valor da esbelteza, λft, (i.e. os pontos

encontram-se próximos uns dos outros) e que há uma grande dispersão vertical de valores

fu/fy correspondentes a colunas de diferentes comprimentos, mas de esbelteza semelhante (ou

seja, pertencentes ao “plateau” horizontal). Constata-se ainda que há uma elevada quantidade

de pontos abaixo da curva de MRD local, para os quais a estimativa desta curva sobrestima a

resistência real da coluna, pelo que se conclui que não é possível estimar a resistência destes

elementos através de uma única curva “tipo Winter”.

Estes resultados apontam para a necessidade de agrupar as colunas de acordo com

participação da flexão na maior inércia no modo crítico, o que é conseguido recorrendo ao rácio:

∆=

𝑓𝑏𝑡 − 𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡

𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡× 100

(2.22)

23

onde fbt é a tensão de encurvadura por torção pura, fcr,ft é a tensão crítica de encurvadura por

flexão-torção e fbf é tensão de encurvadura de flexão na maior inércia. Para uma cantoneira

monossimétrica, com as extremidades encastradas e impedidas de empenar, as expressões

das referidas tensões tomam a forma (ver equações (2.94), (2.96), (2.103) e (2.104)):

𝑓𝑏𝑡 = 𝐺

𝑡2

𝑏2+ 𝜋2

𝐸𝑡2

12(𝐿 2⁄ )2

(2.23)

𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡 =

4

5(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓 − √(𝑓𝑏𝑡 + 𝑓𝑏𝑓)2 − 2.5 × 𝑓𝑏𝑡 × 𝑓𝑏𝑓)

(2.24)

𝑓𝑏𝑓 = 𝜋2𝐸

𝑏2

6 × (𝐿 2⁄ )2

(2.25)

As expressões consideradas para a resistência nominal de flexão-torção (fnft) da coluna são:

𝑓𝑛𝑓𝑡 = {𝑓𝑦 𝑠𝑒 𝜆𝑓𝑡 ≤ (0.5 + √0.25 − 𝑏)

12𝑎⁄

𝑓𝑦(𝑓𝑐𝑟,𝑓𝑡

𝑓𝑦)𝑎[1 − 𝑏 (

𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡

𝑓𝑦)𝑎

] 𝑠𝑒 𝜆𝑓𝑡 > (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎⁄

(2.26)

sendo os parâmetros a e b calibrados através de um processo de “tentativa e erro” de ajuste da

curva, recorrendo aos referidos 170 ensaios realizados, tendo-se obtido as seguintes expressões :

𝑎 = { 0.001∆3 − 0.032∆2 + 0.250∆ + 0.400 𝑠𝑒 ∆≤ 5.0

0.001∆ + 0.970 𝑠𝑒 ∆> 5.0

(2.27)

𝑏 = {0.014∆ + 0.150 𝑠𝑒 ∆≤ 7.00.248 𝑠𝑒 ∆> 7.0

(2.28)

As estimativas conferidas por estas expressões são precisas na maioria dos comprimentos,

sendo ligeiramente conservativas para esbeltezas (λft) elevadas em colunas curtas e

esbeltezas médias em colunas intermédias.

Finalmente, a tensão última de colunas F (fnF,fte) pode ser obtida com base nas expressões seguintes:

𝑓𝑛𝐹 , 𝑓𝑡𝑒 = {𝑓𝑛𝑒 𝑠𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 ≤ (0.5 + √0.25 − 𝑏)

12𝑎⁄

𝑓𝑛𝑒 [1 − 𝑏 (𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡

𝑓𝑛𝑒)𝑎

] 𝑠𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 > (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎⁄

(2.29)

com

𝜆𝑓𝑡𝑒 = √𝑓𝑛𝑒

𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡

(2.30)

24

2.5.9.3. Dinis e Camotim (2014) – Colunas P

A proposta da resistência para as colunas P ([6]) consiste em aplicar a ideia proposta por

Rasmussen (2006): incorporar a alteração de posição do centróide efectivo ao multiplicar a

resistência por um parâmetro β, que depende também da esbelteza da coluna:

𝑓𝑛𝑃 , 𝑓𝑡𝑒 = 𝛽 × 𝑓𝑢𝐹 , 𝑓𝑡𝑒 (2.31)

Os autores admitem que a diferença de resistência entre uma coluna F e uma coluna P vem da

alteração da posição do centróide efectivo, traduzido por β, e que este parâmetro corresponde

aproximadamente ao rácio entre as cargas que deverão ser aplicadas numa coluna com apoio

cilíndrico (P) e numa coluna biencastrada (F)de forma a atingir uma determinada tensão máxima, fmax:

𝛽 ≈

𝑃𝑃𝑃𝐹

(2.32)

Importa ainda referir que, ao contrário de Rasmussen, Dinis e Camotim (2014) fazem β

depender da esbelteza de flexão-torção da coluna (λft). Este foi calibrado através de uma

expressão “tipo Winter” e recorre aos parâmetros c e d, que foram obtidos através de um

segundo processo de “tentativa-e-erro” de ajuste de curvas:

𝛽 =

0.68

(𝜆𝑓𝑡 − 𝑐)𝑑≤ 1

(2.33)

𝑐 = {−300.0∆3 + 110.0∆2 − 12.8∆ + 1.0 𝑠𝑒 ∆≤ 2.0

−0.002∆𝑓2 − 0.200∆𝑓 + 0.480 𝑠𝑒 0.2 < ∆< 5.0

−0.001∆𝑓 − 0.565 𝑠𝑒 ∆≥ 5.0

(2.34)

𝑑 = {

380.0∆3 − 140.0∆2 + 15.2∆ + 0.25 𝑠𝑒 ∆≤ 2.0−0.008∆2 + 0.094∆ + 0.712 𝑠𝑒 0.2 < ∆< 5.0

0.001∆ + 0.977 𝑠𝑒 ∆≥ 5.0

(2.35)

2.5.9.4. Dinis e Camotim (2014) – Proposta unificada

Finalmente, a proposta unificada, válida tanto para condições de apoio F como P, toma a forma geral:

𝑓𝑛𝐹 , 𝑓𝑡𝑒 = {𝛽 × 𝑓𝑛𝑒 𝑠𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 ≤ (0.5 + √0.25 − 𝑏)

12𝑎⁄

𝛽 × 𝑓𝑛𝑒 [1 − 𝑏 (𝑓𝑐𝑟, 𝑓𝑡

𝑓𝑛𝑒)𝑎

] 𝑠𝑒 𝜆𝑓𝑡𝑒 > (0.5 + √0.25 − 𝑏)12𝑎⁄

(2.36)

com β:

𝛽 = {

1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 𝐹0.68

(𝜆𝑓𝑡 − 𝑐)𝑑≤ 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑃

(2.37)

tomando os parâmetros a,b,c e d valores de acordo com as expressões (2.27), (2.28), (2.34) e (2.35).

25

2.4. Comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas

2.4.1. Estudos numéricos

Shifferaw e Schafer (2014) efectuaram um pequeno estudo paramétrico de uma cantoneira, através

de uma solução analítica (condições de fronteira simplesmente apoiadas) e para uma solução com

apenas umas semionda, na função de aproximação do campo dos deslocamentos, obtida pelo

programa CUFSM, fazendo variar a dimensão dos reforços (“lips” na designação anglo-saxónica)

como uma percentagem das abas. As propriedades escolhidas foram:

Aba = 73,5 mm

Espessura = 1,498 mm

fy = 580 MPa

“Lips” = 0%/10%/20%/30%/40%/50% da dimensão da aba

Apresenta-se as curvas Pcr(L) para as diferentes percentagens do reforço (Figura 2.16):

Figura 2.16 - Estudo paramétrico de uma cantoneira, para uma única semionda e valores do reforço de 0 a 50% da aba ([7])

Partindo dos resultados desta análise, os autores concluem:

Para percentagens de reforços superiores a 20% são observados modos locais com

vários mínimos locais ( ou pontos de estacionaridade). Também é observado o modo

distorcional, num curto intervalo de comprimentos depois da meia-onda onde o modo

local domina, mas não há nenhum mínimo distorcional.

Para comprimentos intermédios, o modo de flexão-torção domina, enquanto que para

os maiores comprimentos o modo de flexão controla.

26

Para reforços pequenos, a fronteira local e distorcional desaparece. Para grandes

reforços (40% e 50%) os modos locais e distorcionais estão separados, mas o

aumento do comprimento do reforços não trás nenhum benefício para a encurvadura

local – uma característica das cantoneiras reforçadas é o potencial para distintos

mínimos locais, mas apenas a partir de determinados comprimentos dos reforços.

2.4.2. Estudos experimentais

A comparação das resistências obtidas numa investigação experimental com colunas

biencastradas efectuado por Young (2005) e citado por Shifferaw e Schafer (2014) ([8],[9]),

com as cargas críticas revela um facto surpreendente: a capacidade de pós-encurvadura global

destas colunas, traduzida pelo rácio entre a carga última da coluna e a carga crítica, Ptest/Pcr (ver

Tabela 2. 4 e Tabela 2. 5). Os autores ainda fazem notar que a estimativa fornecida pela norma

Americana (PAISI-S100-01) é em vários casos exageradamente conservativa, chegando –se a ter, em

casos extremos, um valor do rácio Ptest/PAISI-S100-01 de 8,96 para cantoneiras simples e de 3,76

para cantoneiras reforçadas (ver Tabela 2. 4).

As tabelas seguintes foram obtidas por Young ([8] e [9]) e representam, respectivamente:

i. As dimensões e características mecânicas das colunas ensaiadas, onde ri é o raio da

concordância do canto da secção e fu e εu são, respectivamente, a tensão e extensão última do

material. A notação utilizada é LxLy, para uma cantoneira reforçada (L-“lipped”) com x

milímetros de espessura e y milímetros de comprimento, e PxLy, para uma cantoneira simples

(P-“plain”) com x milímetros de espessura e y milímetros de comprimento - Tabela 2.3.

ii. Valores obtidos em ensaios com cantoneiras reforçadas, incluindo informação sobre o

modo de deformação observado no estado de encurvadura e colapso da coluna

indicado entre parêntesis (L – modo local; FT – modo de flexão-torção; F – modo de

flexão na menor inércia).

iii. Valores obtidos em ensaios com cantoneiras simples.

Tabela 2.3 - Características geométricas e mecâncias dos perfis ensaiados por Young ([8],[9])

27

Tabela 2. 4 - Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras reforçadas ([9])

Tabela 2. 5 - Resultados de ensaios realizados por Young em cantoneiras simples ([8])

28

2.4.3. Influência das condições de apoio

Os ensaios de Young (2005) demonstram que ao fixar tanto a flexão como a torção na

extremidades, o modo global dominante de encurvadura passa de flexão segundo a menor

inércia, no caso simplesmente apoiado, para encurvadura de flexão-torção (com pequenos

deslocamento dM), no caso biencastrado. Por outro lado, sabe-se que as condições de apoio de

empenamento nas extremidades aumentam significativamente a rigidez de torção, pelo que

essas restrições, aliadas à prevalência da torção na resposta das colunas F, poderão ser uma

importante fonte de resistência elástica de pós-encurvadura ([7]).

Shifferaw e Schaffer (2014) investigaram o impacto da restrição do empenamento estabilidade.

Para tal, obtiveram o valor da carga crítica de uma coluna L1.5L2500 comprimida através de

ensaios em modelos de elementos finitos (softwares ABAQUS, CUFSM e CUTWP), fazendo

variar as condições de apoio e comparando ainda os resultados com os valores que se obtém

pela teoria clássica (ver capítulo 2.4.). A Tabela 2.6 e a Tabela 2.7 apresentam os valores de

Pcr (Pcre, na notação daqueles autores) para as condições de apoio simplesmente apoiado e

biencastrado, respectivamente, e para as situações de deslocamentos de empenamento livres

(“warping free”) e restringidos (“warping fixed”).

Tabela 2.6 - Valor de Pcr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas simplesmente apoiadas ([7])

29

Tabela 2.7 - Valor de Pcr obtido através de programas de cálculo automático e pela teoria clássica de colunas biencastradas ([7])

Relativamente ao primeiro conjunto de resultados apresentados, é possível observar que ([7]):

Mesmo no caso simplesmente apoiado as condições de fronteira de empenamento têm

uma influência significativa na carga crítica elástica, traduzida pelo rácio:

𝑃𝑐𝑟𝑒(𝑒𝑚𝑝𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑑𝑜)

𝑃𝑐𝑟𝑒(𝑒𝑚𝑝𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒)= 1,624

(2.38)

Para a coluna simplesmente apoiada sem restrição de deslocamentos de empenamento o

resultado obtido pelos programas coincide com o calculado pela teoria clássica.

Com empenamento impedido, a solução exacta é mais complicada de obter, devido à

interacção entre flexão e torção e, para esta última, à diferença entre a torção uniforme

e não uniforme. Para efeitos de dimensionamento, os autores aconselham a tomar um

comprimento de encurvadura (Lcr) por torção igual a 50% do comprimento (L) da

coluna- trata-se de um valor não conservativo, mas muito próximo da realidade.

No que toca à coluna biencastrada, os autores verificam que:

Com o empenamento impedido todos os resultados concordam e a adopção de um

comprimento de encurvadura para todos os modos (flexão nas duas direcções e

torção) igual a 0,5L é suficientemente preciso.

Quando se libertam os deslocamentos de empenamento o uso de Lcr (flexão)=0,5L e

Lcr (torção) = L fornece valores significativamente conservativos, mas reflecte a prática

corrente e, portanto, é o valor recomendado.

A restrição do empenamento volta a ter um impacto notável na carga crítica da coluna:

𝑃𝑐𝑟𝑒(𝑒𝑚𝑝𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑑𝑜)

𝑃𝑐𝑟𝑒(𝑒𝑚𝑝𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒)= 1,462

(2.39)

Para averiguar o impacto da restrição do empenamento no regime pós-crítico de uma

cantoneira L1.5 comprimida, Shifferaw e Schafer (2014) recorreram um modelo não-linear de

elementos finitos com imperfeições geométricas com probabilidade de excedência de 50% e

30

amplitudes 0,34t e 0,94t [7]. Nessa análise as condições de fronteira nas extremidades do

modelo foram variadas sistematicamente por forma a determinar a fonte da resistência de pós-

encurvadura desse elemento. Na Figura 2.17 apresenta-se:

i. Os valores dos ensaios de Young ([8],[9]), em comparação com cargas de colapso para a

coluna biencastrada e simplesmente apoiada e carga crítica para a coluna biencastrada e

simplesmente apoiada, obtida pelo modelo, para a situação de empenamento livre.

ii. Os valores dos ensaios de Young ([8],[9]), em comparação com cargas de colapso para a

coluna biencastrada e simplesmente apoiada e carga crítica para a coluna biencastrada e

simplesmente apoiada, obtida pelo modelo, para a situação de empenamento restringido.

Figura 2.17- Resultados das cargas de colapso e críticas fazendo variar as condições de apoio de cantoneiras reforçadas ([7])

Estes resultados permitem retirar as seguintes conclusões [7]:

Apenas o modelo biencastrado com restrição dos deslocamentos de empenamento

concorda com os valores obtidos nos testes. Quando se liberta o empenamento ou se

tem condições de apoio simplesmente apoiadas a resistência é bastante inferior à dos testes.

Os resultados mostram uma impressionante capacidade de pós-encurvadura nos

testes de Young ([8],[9]) e a importância das condições de fronteira sobretudo para os

elementos mais compridos. Nesses testes a resistência é bastante superior ao valor da

carga crítica para flexão-torção, quando L>1000 mm. Este, no entanto, não é um

comportamento tipo, uma vez que em colunas simplesmente apoiadas não é

observada nenhuma capacidade pós-crítica e o modelo de elementos finitos a solução

de encurvadura elástica fornecem exactamente a mesma capacidade.

Modelos de elementos finitos onde há libertação do empenamento, independentemente

das condições de fronteira, não apresentam capacidade resistente de pós-encurvadura

– tal reforça a importância que a restrição de deslocamentos de empenamento tem na

capacidade pós-crítica de cantoneiras reforçadas.

31

2.4.4. Dimensionamento pelo Método da Resistência Directa

O MRD dá indicação de capacidades de resistência pós-crítica nula, moderada e significativa

para modos de encurvadura global (Pne,g ), distorcional (Pne,d) e local (Pne,l),

respectivamente. Shifferaw e Schafer (2014) propõem três possíveis abordagens de

dimensionamento.

2.6.4.1. Opção 1 (Shifferaw e Schafer, 2014)

Nesta proposta ignora-se a resistência pós-crítica e mantém-se inalterada a curva Pne:

𝑃𝑛𝑒 = {𝑃𝑦(0.658𝜆𝑐

2) 𝑠𝑒 𝜆𝑐 ≤ 1.5

𝑃𝑦 (0.877

𝜆𝑐2) 𝑠𝑒 𝜆𝑐 > 1.5

𝑐𝑜𝑚 𝜆𝑐 = √𝑃𝑦

𝑃𝑐𝑟𝑒

(2.40)

onde:

𝑃𝑐𝑟𝑒 = min (𝑃𝑐𝑟𝑒, 𝑥; 𝑃𝑐𝑟𝑒, 𝑓𝑡) (2.41)

2.6.4.2. Opção 2 (Shifferaw e Schafer,2014)

A segunda hipótese baseia-se no uso das curvas locais de resistência pós-crítica do MRD, com

transição de Pne e admitindo a flexão-torção como modo global:

𝑃𝑛𝑒, 𝑙 =

{

0,820𝜆𝑐

2𝑃𝑦 𝑠𝑒 𝜆𝑐 ≤ 1,446

𝑃𝑦(𝑃𝑐𝑟𝑒,𝑓𝑡

𝑃𝑦)0.4[1 − 0.15 (

𝑃𝑐𝑟𝑒, 𝑓𝑡

𝑃𝑦)0.4

] 𝑠𝑒 𝜆𝑐 > 1,446



(2.42)

2.6.4.3. Opção 3 (Shifferaw e Schafer,2014)

A última alternativa consiste em usar as curvas distorcionais de resistência pós-crítica do MRD,

com transição de Pne e admitindo a flexão-torção como modo global:

𝑃𝑛𝑒, 𝑑 =

{

0,735𝜆𝑐

2𝑃𝑦 𝑠𝑒 𝜆𝑐 ≤ 1,264

𝑃𝑦(𝑃𝑐𝑟𝑒,𝑓𝑡

𝑃𝑦)0.6[1 − 0.25 (


𝑃𝑦)0.6

] 𝑠𝑒 𝜆𝑐 > 1,264



(2.43)

32

Finaliza-se com a referência de que aqueles autores sugerem a terceira opção de

dimensionamento para situações em que o empenamento é restringido, pois é a abordagem de

cálculo que “mais concorda” com os resultados dos ensaios [7].

2.4.5. Conclusões

As principais noções a reter do trabalho de investigação realizado por Shifferaw e Schafer

(2014) são:

Segundo o autor, a encurvadura em cantoneiras reforçadas envolve modos distorcionais,

locais e globais de flexão-torção e de flexão na menor inércia. A gama de valores do

comprimento pertencentes ao modo crítico local depende da dimensão do reforço.

Existe um valor limite do reforço a partir do qual o aumento da sua dimensão não traz

nenhum benefício para a resistência aos fenómenos de encurvadura local.

As cantoneiras reforçadas apresentam uma significativa capacidade resistente pós-

crítica que está intimamente ligada às condições de apoio da coluna.

A restrição dos deslocamentos de empenamento tem um profundo impacto na

resistência tanto à encurvadura, como à pós-encurvadura destes elementos. A

libertação desses deslocamentos torna nula a sua capacidade pós-crítica e as cargas

de colapso destas colunas redundam na carga crítica das mesmas.

Colunas simplesmente apoiadas não apresentam comportamento de pós-encurvadura.

33

3. Comportamento de estabilidade

3.1. Introdução

Todas as colunas comprimidas, com configuração inicial perfeitamente rectilínea e colinear

com a carga aplicada, apresentam determinados níveis de carregamento, designados de

cargas de encurvadura, a partir do qual a estrutura abandona a sua configuração inicial

indeformada e passa a apresentar deslocamentos para fora do seu eixo e/ou rotações. Á carga

de encurvadura mais baixa dá-se o nome de carga crítica e a correspondente configuração

deformada é designada de modo de encurvadura. O processo de determinação das cargas e

modos de encurvadura de uma estrutura consiste numa análise linear de estabilidade.

O Método da Resistência Directa, assim como as disposições do Eurocódigo 3 e de outras

normas, baseia as suas expressões de dimensionamento no valor das cargas críticas das

colunas analisadas, uma vez que essas cargas têm impacto directo na resistência desses

elementos. Tal realça a importância da caracterização correcta dos modos de deformação

envolvidos na encurvadura de colunas, para diferentes secções e condições de apoio, e do

conhecimento das correspondentes cargas críticas. Por esse motivo, aprofunda-se no presente

capítulo o estudo da encurvadura de cantoneiras reforçadas.

3.2. Análise com base na teoria generalizada de vigas

3.2.1. Teoria generalizada das vigas

A teoria generalizada das vigas (GBT – “Generalized Beam Theory” na designação anglo-

saxónica) é uma formulação da teoria elástica de peça lineares que tem a particularidade de

incluir modos de deformação da secção e permite resolver problemas de estabilidade elástica e

de vibração de barras sujeitas a uma variedade de possíveis carregamentos[19]). Esta teoria

decompõe o formato do modo de encurvadura do elemento na combinação linear de modos de

deformação, variáveis ao longo da barra, da secção transversal associados a diferentes tipos de

comportamento da secção – extensão axial, flexão, torção, deformação da parede da secção,

deformação distorcional e deformação por corte (excluído dos modos chamados convencionais).

O programa GBTUL foi desenvolvido docentes e investigadores do instituto superior técnico

com base na Teoria Generalizada das Vigas e revela-se uma poderosa ferramenta na

determinação de cargas e modos críticos de secções de parede fina aberta. Esse programa recorre

a deslocamentos nodais de determinados pontos da secção para definir os respectivos modos de

deformação, às quais recorre para resolver um sistema de equações diferenciais de equilíbrio de

onde são determinados os deslocamentos envolvidos na encurvadura (ou vibração) do elemento.

Para determinar configurações deformadas longitudinais numa análise de encurvadura do

GBT, recorrem-se a funções de aproximação modais, ∅j, que descrevem a variação longitudinal

da amplitude do modo de deformação j:

34

∅𝑗 = 𝑑𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝜋

𝐿𝑥) (3.1)

onde dj é o deslocamento nodal a considerar, nw é o número de semiondas da função de

aproximação, x é a coordenada do eixo da peça e L é o comprimento entre apoios. Importa

referir que numa análise linear de estabilidade de uma coluna concentricamente comprimida,

esta aproximação é exacta para elementos simplesmente apoiados – esta constitui a chamada

“solução analítica” do código GBTUL.

Na análise de cantoneiras reforçadas, com dois nós intermédios nas abas, três nós nos cantos

e dois nas extremidades dos reforços, existem 9 modos de deformação cuja configuração se

apresenta na Figura 3. 1.

Figura 3. 1 - Modos de deformação do GBTUL para uma cantoneira reforçada

O modo 2 e 3 representam os modos de flexão na maior e menor inércia, respectivamente, o

modo 4 é de torção, o modo 5 é o único modo distorcional da secção e os modos 6,7,8 e 9

correspondem à deformação local das paredes das secção.

A grande diferença entre o modo torsional e o local é que ao primeiro estão associados

movimentos de corpo rígido da secção (paredes permanecem rectas), enquanto que o segundo

apresenta flexão transversal das paredes. É importante salientar que, de acordo com as

definições do GBT, o modo torsional (4) é considerado global.

3.2.2. Secção analisada e notação

A secção base da cantoneira analisada no presente capítulo (e ao longo da dissertação) é a

mesma que foi estudada por Dinis et al. (2012) e corresponde a uma secção monossimétrica

com uma dimensão das abas (h) igual a 70 milímetros e espessura (t) igual a 1,2 milímetros. A

escolha dessa secção possibilitou a comparação de vários dos resultados com os obtidos por

aqueles autores. Cada secção estudada foi então obtida através da secção base e de uma

determinada dimensão de reforço (l), a qual se fez variar.

2 3 4 5 6

7 8 9

35

Sem abuso de linguagem, refere-se ao longo das várias análise ao reforço como “lip”,

designação anglo-saxónica para o mesmo, à cantoneira sem reforços como cantoneira

“simples” e ao patamar, da curva de estabilidade, correspondente à encurvadura por flexão-

torção como “plateau” ([2]).

A designação atribuída a cada coluna toma a forma lxLy fornece informação em relação ao seu

comprimento e às características da secção: x representa a dimensão do reforço e y o

comprimento da coluna, ambos expressos em milímetros.

3.3. Modos e cargas críticas

Para compreender o comportamento de cantoneiras reforçadas torna-se necessário conhecer

os modos de instabilidade e as correspondentes cargas críticas das colunas a estudar. Por

esse motivo, começa-se por analisar a (i) evolução da carga crítica nas colunas com o seu

comprimento, com uma avaliação dos modos de deformação detectados, seguida de uma (ii)

discussão da interacção desses modos e a (iii) comparação da tensão crítica entre colunas.

3.3.1. Estudo paramétrico

Para dar início à análise linear de estabilidade de cantoneiras comprimidas, e com o objectivo

de compreender as principais consequências que o reforço tem na estabilidade daqueles

elementos, efectuou-se um estudo paramétrico de colunas comprimidas onde se fez variar a

dimensão do “lip”. Esse estudo consiste no cálculo analítico, através do GBTUL, das curvas

Pcr(L) para colunas simplesmente apoiadas e com recurso a uma única semionda na função de

aproximação e tem um carácter essencialmente qualitativo, i.e., permite comparar curvas e

identificar tipos de comportamento.

Na Figura 3.2 encontra-se a referida curva para o valor do “lip” a variar como uma percentagem

da dimensão da aba (de 0% a 60%), enquanto que na Figura 3.3 estão representadas as

participações dos diferentes modos de deformação (com a notação do GBTUL) envolvidos na

encurvadura das colunas correspondentes às relações reforço/aba de 20 e 40 %.

Os resultados apresentados revelam alguns aspectos comportamentais já conhecidos das

cantoneiras reforçadas ([6]):

A partir de dimensões do “lip” de 20% da aba, as curvas passam a apresentar um

máximo local, que corresponde à transição de encurvadura local (6+8) para flexão-

torção (4+2).

O modo local domina a encurvadura para os comprimentos menores e a transição para

os modos globais dá-se para comprimentos maiores, à medida que o “lip” aumenta.

O aumento da participação do modo 2 com o aumento da semionda é

progressivamente maior e mais “brusco”.

A região onde a flexão na menor inércia (3) domina decresce com o aumento do reforço.

36

Figura 3.2 - Curva de estabilidade para uma coluna simplesmente apoiada comprimida e para uma única semionda na função de aproximação da deformada.

Figura 3.3 - Participação dos modos de deformação na encurvadura de cantoneiras para relações reforço/aba de 20% e 40%

Estas análises, apesar de serem em tudo iguais às realizadas por Shifferaw e Schafer (2014),

apresentam importantes diferenças de resultados em relação às obtidas por aqueles autores,

nomeadamente o facto de (i) não ter sido detectado o modo distorcional na encurvadura de

cantoneiras reforçada e (ii) a discrepância de valores da carga crítica obtidos. Em relação ao

segundo ponto, o erro poderá estar na conversão dos valores, realizada pelos autores, de Kip

para kN, uma vez que o artigo de Shifferaw e Schafer (2014) é de origem Norte-Americana.

Relativamente à ausência do modo distorcional, procedeu-se a uma investigação mais

aprofundada da sua presença nos diferentes modos de encurvadura de diferentes secções.

3.3.2. Modo distorcional

Obtiveram-se as curvas Pcr(L) para os dois primeiros modos de instabilidade, para uma única

semionda na deformada de uma coluna simplesmente apoiada comprimida, para os casos

correspondentes a Lip10%, Lip20%, Lip30% e Lip40%, que se apresenta nas Figura 3.4.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

10 100 1000

Pcr

[kN

]

Comprimento da semionda [cm]

Pcr(L) - Reforço variável Lip0

Lip10

Lip20

Lip30

Lip40

Lip50

Lip60

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

10 100 1000[mm]

Participação de modos - Lip20%

6

8

4 3

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000[mm]

Participação de modos - Lip40%

6

8

4 3

2

37

Figura 3.4 - Curvas Pcr(L) para dois modos de encurvadura e diferentes valores da relação reforço/aba.

Apresentam-se ainda, na Figura 3.5, os diagramas de participação dos modos de deformação

associados ao segundo modo de instabilidade, ao longo de L, para Lip20% e Lip40% - importa

distinguir entre “modo de deformação” (conjunto de possíveis configurações da secção

transversal para o número de nós definidos na análise pelo GBTUL) e “modo de encurvadura”

(possíveis formas de instabilidade da coluna, associadas a uma determinada combinação de

modos de deformação e uma carga de encurvadura).

Figura 3.5 - Modos de deformação do 2º modo de encurvadura , para valores da relação reforço/aba iguais a 20% e 40%.

Ao contrário do indicado por Shifferaw e Schafer (2014), o modo distorcional (5) nunca surge

como crítico. No entanto, é observável no 2º modo de instabilidade e tem uma participação

significativa, nesse modo, no intervalo de comprimentos de [10; 180] centímetros, chegando a

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000

Pcr(L) - Lip10%

Modo 1

Modo 2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

10 100 1000

Pcr(L) - Lip20%

Modo 1

Modo 2

0

50

100

150

200

250

300

10 100 1000

Pcr(L) - Lip30%

Modo 1

Modo 2

0

50

100

150

200

250

300

10 100 1000

Pcr(L) - Lip40%

Modo 1

Modo 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000

Lip20%

2

4

3 5 7

9

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000

Lip40%

2

4

3 5 7

9

38

valores de 95% para um lip com dimensões iguais a 40% da aba. Constata-se ainda que,

apesar de se tratarem também de modos de deformação local, os menores comprimentos são

dominados pelo modo 7 e 9, em vez de 6 e 8.

Conclui-se, por observação da Figura 3.5, que o modo distorcional é particularmente relevante

no 2º modo de instabilidade da coluna e, através da Figura 3.4, que as curvas de estabilidade

do 1º e 2º modos se aproximam com o aumento do lip. Na Tabela 3.1 apresenta-se os pontos

onde estas duas curvas “mais se aproximam” (correspondentes aos pontos pretos naFigura

3.4), para cada valor de rácio lip/aba, fazendo-se referência ao rácio entre cargas de

instabilidade do 2º e 1º modos (Pb(2ºmodo)/Pcr).

Lip [% aba] L [cm] Pb(2º modo)/Pcr [%] p5 (2º modo) [%]

10 16 153.50 66.21

20 30 154.20 87.53

30 35 144.90 86.70

40 40 121.70 80.20 Tabela 3.1 - Relação entre cargas de encurvadura do dois primeiros modos de encurvadura da solução analítica.

Por fim, apresentam-se as configurações deformadas da secção de meio-vão, para um modo

de encurvadura crítico, correspondente a deformações locais e de flexão-torção (Figura 3.6 – à

esquerda), e um segundo modo de encurvadura distorcional (Figura 3.6 – à direita).

Por observação das imagens das deformadas dos dois modos compreende-se que erro de

Shifferaw e Shcafer (2014) se deve a uma interpretação da deformada. De facto, a primeira

imagem corresponde à combinação de movimentos de rotação de corpo rígido da secção

(torção), com flexão (no sentido oposto) da parede da secção correspondente ao modo local de

encurvadura e ainda flexão na maior inércia.

Figura 3.6 - Diferença de configurações deformadas da secção entre o modo crítico (esquerda) e modo distorcional não-crítico (direita).

39

3.3.3. Tensão crítica

Conhecidos os modos que intervêm na instabilidade de cantoneiras reforçadas, interessa

recuperar as expressões das tensões críticas local, de flexão-torção e de flexão na maior

inércia, as quais se apresentam nas equações x, y e z, respectivamente:

𝜎𝑐𝑟,𝑙 = 𝐾

𝜋2𝐸

12(1 − 𝜈2)(𝑡

ℎ)2

(3.2)

𝜎𝑐𝑟,𝑓𝑡 =(𝐼0𝐴⁄ ) (𝜎𝑏,𝑓2 + 𝜎𝑏,𝑡) − √(

𝐼0𝐴⁄ )

2

((𝜎𝑏,𝑓2 + 𝜎𝑏,𝑡)2− 4((

𝐼0𝐴⁄ ) − 𝑥𝑐𝑐

2)𝜎𝑏,𝑓2𝜎𝑏,𝑡

2((𝐼0𝐴⁄ ) − 𝑥𝑐𝑐

2)

(3.3)

com:

𝜎𝑏,𝑡 =

1

𝐼0[

𝐸𝛤

12(1 − 𝜈2)(𝜋

𝐿𝑒,𝑡)2 + 𝐺𝐽] 𝜎𝑏,𝑓2 = 𝜋2

𝐸𝑖22

𝐿𝑒,𝑓22

(3.4);(3.5)

𝜎𝑏,𝑓3 = 𝜋2

𝐸𝑖32

𝐿𝑒,𝑓32

(3.6)

onde i2 e i3 são, respectivamente, os raios de giração na maior e menor inércia, xcc é a

distância entre o centro de corte e o centro de gravidade da secção, Γ é a constante de

empenamento da secção, I0 é a inércia polar da secção e K é o coeficiente de encurvadura de

placas que é tomado como 4 ou 0,425, consoante se trate de um elemento interno comprimido

(distribuição uniforme de tensões) ou em consola. Le,t, Le,f2 e Le,f3 são os comprimentos de

encurvadura, respectivamente, de torção, flexão na maior inércia e flexão na menor inércia.

Apresenta-se, como exemplo de aplicação das expressões anteriores, a curva de estabilidade

de uma coluna comprimida simplesmente apoiada l14, com secções extremas impedidas de

rodar por torção e de empenar (Figura 3.7).

Deve-se notar que a existência do reforço deve melhorar o comportamento da secção, aumentando a

carga crítica local das abas e rigidez de torção e flexão da secção, e nunca tornar-se, ele

próprio, no elemento que precipita a instabilidade da secção. Como tal, é possível definir um

limite aproximado da dimensão do “lip” (l), a partir da qual aquele se torna no “elemento crítico”

da instabilidade (admitindo que a encurvadura se dá como elemento em consola):

𝜎𝑐𝑟,𝑙 (𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜, 𝑎𝑏𝑎𝑠) > 𝜎𝑐𝑟,𝑙 (𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑎, 𝑙𝑖𝑝) ≪=≫𝑙ℎ⁄ < 0,326 (3.7)

No caso presente, para uma secção com 70 milímetros de dimensão de aba, esse limite de

dimensão para o reforço é de 22,82 milímetros, razão pela qual se limita a dimensão dos

reforços estudados a 22 milímetros (31,4 % da aba).

40

Figura 3.7 - Curva de estabilidade para uma secção com reforço de 14 mm.

3.4. Análise linear de estabilidade de colunas biencastradas

Apresenta-se na Figura 3.8 a curva de estabilidade de cantoneiras “simples”(l0) e reforçadas,

com lips a variar de 2 a 22 milímetros (2,9% a 31,4% da dimensão da aba), para uma coluna

biencastrada com extremidades impedidas de rodar por torção e empenar. Apresentam-se

também as os diagramas correspondentes às participações modais, ao longo do comprimento,

da secções l2, l6, l12 e l16 (Figura 3.9).

Figura 3.8 - Curvas de estabilidade de colunas biencastradas para diferentes valores do reforço

0

50

100

150

200

250

300

100 1000 10000

σb

L [mm]

Curva de estabilidade l14

σb,f3

σb,ft

σb,l

0

50

100

150

200

250

300

350

10 100 1000

σcr

[M

Pa]

L [cm]

σcr(L) F-F l0 l1 l2

l3 l4 l6

l8 l12 l16

l18 l20 l22

41

Figura 3.9 - Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros.

É notável, em primeiro lugar, que as curvas apresentam o mesmo tipo de configuração das

referidas anteriormente, sendo visíveis pontos de transição entre os três modos de deformação

que dominam a encurvadura das colunas biencastradas: local, flexão-torção e flexão na menor

inércia. Podem-se também fazer as seguintes observações:

1. É perceptível que as curvas de estabilidade convergem, com o aumento da dimensão

do reforço e para valores do comprimento entre pequenos a moderados (Lє[20;140]

cm), para um patamar horizontal igual com um valor de aproximadamente 235 MPa. A

tensão crítica inicial é superior à desse patamar.

2. Todas as curvas aparentam tender para o “plateau” horizontal de flexão-torção; no

entanto, (i) tal sucede em comprimentos diferentes para as diferentes secções, (ii) em

vários casos praticamente não existe “patamar”, i.e., a transição para o modo crítico de

flexão na menor inércia dá-se antes de existir patamar (L є [8500;1000] cm) e (iii) para

valores de tensão crítica menores, à medida que aumenta o reforço.

3. A única diferença relevante no comportamento local entre as secções com maiores

reforços é ponto para o qual passa de comportamento local para global (flexão-torção).

4. Mesmo dominadas pelo o modo local, para comprimentos reduzidos, as cantoneiras de

L2 até L6 apresentam tensões locais bastante diferentes .

5. O ganho de resistência de L1, face a L0, é muito reduzido.

6. O valor para o qual se dá a transição do modo de flexão-torção para o de flexão na

menor inércia dá-se para valores muito elevados do comprimento).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000

Participação de modos - l2

6 8

4

2 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


6

8

4

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


6

8

4

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


6

8

4

2

6

3

42

Relativamente ao valor inicial das curvas de estabilidade verifica-se que para comprimentos

muito reduzidos, a elevada rigidez do lip praticamente encastra a aba; assim, a situação

nesses casos aproxima-se da de uma placa apoiada-encastrada, verificando-se um aumento

da tensão crítica da ordem de k (enc-ap)/ k (ap-ap)=5,41/4=1,3525. Por outro lado, as

diferenças significativas de carga críticas locais nos L2, L3, L4 e L6 devem-se à transição

progressiva do modo de encurvadura local, das abas, de uma consola (“lips” inferiores) para

um elementos internos (para “lips” superiores). Para esses valores, o aumento do reforço

confere estabilidade às abas, como já fora mencionado. O aumento dos “lips” causa ainda um

aumento do empenamento primário, aumentando a rigidez de torção e mantendo a tensão

crítica local constante, o que “atrasa” a entrada no modo crítico de flexão-torção.

A justificação para o facto de se terem “plateaus” gradualmente menores (ou, em alternativa, a

transição entre os modos globais se dar para valores gradualmente menores da tensão crítica)

é dada pelo valor limite da tensão crítica de flexão-torção quando o comprimento da coluna

comprimida é muito elevado:

lim𝐿→∞

𝜎𝑏,𝑓2 = 0 (3.8)

lim𝐿→∞

𝜎𝑐𝑟,𝑓𝑡 = lim𝐿→∞

𝜎𝑏,𝑡 =1

𝐼0[𝐺𝐽]

(3.9)

Como se pode observar nas equações (3.8) e (3.9), a tensão crítica nessas condições

depende, essencialmente, da relação entre J e I0; uma vez que I0 “cresce mais depressa” com

o aumento das dimensões do reforço do que J, esse valor é mais reduzido para secções com

maiores “lips”.

Para compreender a transição de cantoneiras “simples” para reforçadas, apresentam-se na

Figura 3.10 os diagramas com as participações dos modos para as secções l0 e l1.

Figura 3.10 - Participação de modos em coluna biencastrada para uma cantoneira "simples" e uma cantoneira com um reforço de 1 mm.

Tanto L0 como L1 são dominados logo no início pelo modo de encurvadura de flexão-torção,

no entanto L1 já apresenta uma quantidade apreciável (20%) de participação do modo local.

Assim, apesar da presença do “lip” que, não só aumenta a constante de torção de St. Venant e

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


6

4

2

3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


6 8

4

2

3

43

do empenamento secundário como também leva ao “desvio” da posição do centro de corte que

resulta na presença de rigidez de empenamento primário, a presença da participação do modo

6 faz intervir a carga crítica local (elemento em consola), mais reduzida, que baixa a carga

crítica da coluna. No caso do L2, o modo dominante já é local. Trata-se de uma transição dos

modos de encurvadura.

3.5. Análise linear de estabilidade de colunas encastradas-apoiadas

Para avaliar a importância das condições de apoio na estabilidade de cantoneiras reforçadas

comprimidas, obtiveram-se as curvas de estabilidade para as colunas estudadas anteriormente

e para condições de apoio encastradas na maior inércia e simplesmente apoiadas no plano de

menor inércia, correspondentes a uma rótula cilíndrica (denomina-se condições de apoio F-P).

Essas curvas encontram-se na Figura 3.11.

Figura 3.11 - Curva de estabilidade para colunas encastradas-apoiadas com diferentes secções.

0

50

100

150

200

250

300

350

10 100 1000

σcr

L [cm]

σcr(L) F-P l0 l1

l2 l3

l4 l6

l8 l12

l16 l18

l20 l22

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


3

2

4

6

8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


3

2

4 6

8

44

Figura 3.12 - Participação de modos de colunas encastradas-apoiadas para reforços de 2, 6, 12 e 16 milímetros.

Com base na Figura 3.11 e na Figura 3.12 é possível afirmar que os resultados são em tudo

semelhantes aos obtidos anteriormente, com uma única diferença: a passagem do modo de

flexão-torção para o modo de flexão na menor inércia (3) dá-se para valores de comprimentos

consideravelmente inferiores dos da coluna biencastrada nas duas direcções (F-F) e, como

consequência, os lips de maiores dimensões não chegam a ter “plateau”, passando de uma

curva côncava para outra. Por outro lado, todas as secções apresentam transição para o modo 3

dentro dos limites de comprimento definidos ([10;1000] cm) e associada a essa transição estão

valores de participação do modo 2 mais reduzidos do que no caso da coluna biencastrada.

O facto dos valores da carga crítica, tanto na fase local como global por flexão-torção, não

variarem de F-F para F-P demonstra que as condições de apoio (encastramento vs apoio

cilíndrico) praticamente não têm impacto nesses modos de instabilidade local da cantoneira. No

que toca à flexão-torção esse facto é facilmente perceptível, uma vez que apenas tem em

conta as condições de fronteira de torção e flexão na maior inércia da coluna. Relativamente à

encurvadura local, para as placas formadas pelas abas, as condições de fronteira nas

extremidades da coluna pouco ou nenhum impacto têm na sua carga crítica.

Deve-se notar que as conclusões apresentadas sobre o impacto das condições de fronteira

apresentadas dizem apenas respeito às cargas críticas das colunas e nada esclarecem sobre

o comportamento de pós-encurvadura, pois, como foi referido por alguns autores ([5]), a

libertação da rotação no plano de menor inércia nas extremidades tem um impacto importante

no comportamento de pós-encurvadura de cantoneiras comprimidas.

3.6. Influência da espessura na estabilidade de cantoneiras reforçadas

Para completar a análise de estabilidade de cantoneiras reforçadas, analisa-se o efeito que a

variação da espessura (t) tem na carga crítica de uma coluna com secção l12, que se assume

representativa do conjunto analisado. Para esse efeito, apresenta-se a curva de estabilidade

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


3

2

4 6

8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 100 1000


3

2

4 6

8

45

desse elemento, para condições de apoio correspondentes a biencastrada, para valores de t de

1,2, 1,5 e 2 milímetros na Figura 3.13.

Figura 3.13 - Impacto do aumento de t na curva de estabilidade de uma cantoneira com 12 milímetros de reforço.

Da observação da Figura 3.13 verifica-se, por um lado, que o (i) impacto da variação da

espessura é elevado na carga crítica local das cantoneiras reforçadas e praticamente

desprezável na carga crítica de flexão-torção e que (ii) o comprimento da coluna para a qual se

dá a transição entre o modo local e o global reduz-se com o aumento da espessura.

Relativamente à primeira observação, verifica-se por aplicação da expressão da tensão crítica

local que a relação entre essa tensão para duas secções iguais com diferentes espessuras, t1 e

t2, é dada simplesmente pelo quadrado da relação t2/t1 – essa relação encontra-se ilustrada na

equação (3.10).

𝜎𝑐𝑟,𝑙(𝑡2)

𝜎𝑐𝑟,𝑙(𝑡1)= (

𝑡2𝑡1)2

(3.10)

Importa referir que no caso da flexão-torção, esse tipo de relações não é tão fácil de obter.

Quanto ao comprimento de transição entre modos, este reduz-se por se verificar o referido

aumento da carga crítica local, o que leva a que as curvas dos modos 6 e 2+4 se intersectem

para comprimentos menores.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

10 100 1000

σcr

[kN

]

L [cm]

Curva de estabilidade para l12 com t variável

l12;t=1.2mm

l12; t=1.5mm

l12; t=2mm

47

4. Comportamento de pós-encurvadura

4.1. Introdução

No capítulo anterior discutiram-se cargas e modos de encurvadura, os quais dizem respeito ao

problema bifurcacional numa coluna “perfeita”, i.e., a uma situação em que se passa de uma

configuração sem deslocamentos iniciais para fora do eixo da peça linear para outra com os

referidos deslocamentos. No entanto, as estruturas reais apresentam de uma forma geral

imperfeições que, quando o equilíbrio na estrutura é considerado na sua posição deformada,

potenciam o desenvolvimento de deslocamentos antes de se atingir a carga crítica – a isto

corresponde a designação de análise geometricamente não-linear. Por outro lado, o facto do

próprio material apresentar um ponto limite, a partir do qual deixa de ser válida a relação

elástica linear entre tensões e deformações (cedência), contribui para a não-linearidade, neste

caso física, do problema.

No presente capítulo, procura conhecer-se a resposta geométrica e fisicamente não-linear de

colunas biencastradas concentricamente comprimidas, as quais se separam de acordo com o

modo crítico que apresentam: local ou flexo-torsional.

4.2. Análise por elementos finitos

4.2.1. Escolha dos perfis a analisar

A escolha dos perfis baseia-se em três objectivos:

1. Estudar o comportamento de pós-encurvadura para diferentes tipos de encurvadura no

modo crítico (local e flexão-torção, este último para diferentes participações da flexão

na maior inércia).

2. Compreender a importância da interacção de modos de encurvadura “não-críticos”

(como o modo distorcional e a flexão na menor inércia) no colapso da coluna e do

comportamento em “pontos de transição” entre modos (ex: passagem do modo local

para o de flexão-torção).

3. Obter uma boa distribuição de valores de cargas últimas, bem distribuídas em relação

à esbelteza; tal implica a escolha de valores de esbelteza normalizada que cubram o

“range” obtido na análise linear de encurvadura.

Para tal adopta-se a cantoneira com abas de dimensões de 70 mm e 1,2mm de espessura, que

se mantém constante ao longo de toda a análise e faz-se variar as dimensões dos reforços e

comprimentos das colunas por forma a fazer variar a esbelteza. O objectivo do recurso à

esbelteza normalizada está ligado ao facto de se pretender obter resultados passíveis de

serem transpostos para colunas com outras dimensões, o que implica uma relação entre a

resistência dos perfis e a sua esbelteza (esta condição será objecto de estudo mais adiante).

48

Á luz da análise de estabilidade realizada anteriormente, a escolha da dimensão dos “lips”

conduz a que se adoptem valores:

i. Reduzidos, de forma a estudar a “passagem” de cantoneira simples para a reforçada.

ii. Intermédios, onde se pretende captar os diferentes tipos de comportamento ( carga

crítica local ou de flexão-torção)

iii. Moderadamente elevados, com um valor máximo de 22mm, a partir do qual passa a

ser o reforço passa a ser o elemento condicionante na instabilidade da cantoneira.

Os valores escolhidos foram: l= 2, 6, 12, 18 e 22 mm e correspondem a reforços

correspondentes a 2,86%, 8,57%, 17,14%, 25,71% e 31,43% da dimensão das abas.

Os valores dos comprimentos foram escolhidos de forma a ser representativos de situações

correntes e realísticas e ainda de forma a obter diferentes valores de esbelteza normalizada e

comportamentos diferentes no modo crítico. Os valores escolhidos foram: L = 600, 800, 940,

1000, 1300, 1500, 2500 e 3500 mm.

Toda a informação relevante dos perfis analisados encontra-se resumida na tabela do Anexo B.

Dos resultados aí apresentados, realça-se o valor da esbelteza normalizada “base”, que foi

calculada para um aço S235 (fy=235 MPa) de acordo com:

𝜆̅ = √𝑓𝑦

𝜎𝑐𝑟

(4.1)

Figura 4. 1 - Perfis escolhidos assinalados na curva de estabilidade de colunas biencastradas.

0

50

100

150

200

250

300

350

10 100 1000

σcr

[M

Pa]

L [cm]

Perfis escolhidos - curva de estabilidade F-F

L0

L2

L6

L12

L18

L22

49

4.2.2. Modelação por elementos finitos

O programa ABAQUS permite analisar, com relativa facilidade, problemas mecânicos (e não

só) extremamente complexos. Para o efeito, o programa recorre ao método dos elementos finitos

para resolver sistemas numéricos com um elevado número de variáveis, correspondentes aos graus

de liberdade associados à malha e ao carregamento definidos pelo utilizador.

Uma vez que no caso presente se pretende estudar a estabilidade e comportamento

geométrica e fisicamente não-linear de elementos susceptíveis a deformação local das

paredes, consequência da sua elevada esbelteza, a modelação foi realizada com recurso a

elementos de casca de quatro nós, designados elementos S4.

Relativamente às condições de apoio de duplo encastramento, estas foram conseguidas

unindo os nós dos elementos que constituem as secções de extremidade a um nó auxiliar, por

meio de elementos rígidos de três nós (designação: R3D3), que foi posteriormente impedido de

rodar nas três direcções e de se deslocar em todas as direcções excepto o eixo da cantoneira.

A coluna foi então impedida de se deslocar no seu eixo, bloqueando esses deslocamentos num

nó da secção de meio-vão. As condições de apoio foram assim definidas de forma a (i) garantir

a simetria da deformada e (ii) permitir a aplicação do carregamento nas extremidades da coluna.

A aplicação do carregamento de compressão foi feita através de uma “carga de faca” (FL-1

)

aplicada nos elementos de extremidade e com valor igual à espessura da secção, o que

equivale a uma tensão unitária.

Figura 4. 2 - Interface do programa ABAQUS e tipo de coluna analisada com malha de EF discretizada.

Importa referir que a modelação da coluna foi realizada, não recorrendo ao interface gráfico do

programa, mas antes através de ficheiros de texto que serviram como “input” (ficheiros INP)

dos dados do problema. Assim, a implementação da geometria correspondeu à definição das

coordenadas de determinados nós e elementos finitos das secções extremas e geração

automática dos restantes. Quanto ao número de elementos finitos usados, todas as secções

foram modeladas com 18 elementos, o que corresponde a 19 nós por secção, e procurou ter-

se elementos finitos com iguais dimensões nas duas direcções (apenas nas abas), o que

conduziu a um total de 1080, 1440, 1692, 1800, 2700, 4500 e 6300 elementos S4 para colunas

com 600, 800, 940, 1000, 1500, 2500 e 3500 milímetros de comprimento, respectivamente.

50

Figura 4. 3 - Ficheiros de texto usados como input do programa ABAQUS.

No que toca às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares do presente

capítulo, estas foram geradas a partir da configuração deformada dos modos críticos

detectados numa análise linear de estabilidade inicial, a qual gerou um ficheiro (ficheiros FIL)

com essa informação para utilização posterior em análises de pós-encurvadura. As

configurações das imperfeições vêm normalizadas, i.e., têm valor máximo de deslocamentos

igual a 1 e são posteriormente ajustadas à amplitude requisitada pelo utilizador.

4.2.3. Análises efectuadas e notação

Como já foi referido, o programa ABAQUS revela-se uma ferramenta poderosa para a

resolução de vários problemas mecânicos, entre os quais análises lineares e não-lineares de

estabilidade. No contexto do comportamento de cantoneiras reforçadas, as análises realizadas

dividiram-se entre:

(i) Análises lineares de estabilidade, necessárias para a determinação das

imperfeições geométricas do modo crítico das colunas já referidas e para validação

do modelo (comparando as cargas críticas com as obtidas pelo programa GBTUL).

(ii) Análises geométrica e fisicamente não-lineares, através do método de Riks ([16]),

que são o foco do presente capítulo.

Através destas últimas obtiveram-se trajectórias de pós-encurvadura, elásticas e elasto-

plásticas, perfis longitudinais de deslocamentos, distribuições de tensões na secção,

configurações deformadas (2D e 3D) e distribuições de deformações plásticas na secção que

servem de base para o estudo e compreensão do comportamento em regime não-linear de

cantoneiras reforçadas.

51

Para que estes resultados fossem possíveis, foi necessário definir os deslocamentos

envolvidos na deformação das colunas, assim como estabelecer relações com o sistema de

eixos utilizados na análise. Na Figura 4.4 encontra-se representado, à esquerda e à direita,

respectivamente:

Configuração da cantoneira e do sistema de eixos originais do programa (x,z) e

rodados (com as direcções principais de inércia e a passar no canto da secção –x’,z’);

deslocamentos no canto da secção nas direcções de maior e menor inércia (dM e dm,

respectivamente) e no centro da aba (correspondentes à flexão local das paredes – δ).

Efeito de uma translação (uz’’) na maior inércia e rotação de torção (β) na secção,

assim como a posição inicial e final do centro de corte (xcc e xcc’, respectivamente) e da

cantoneira reforçada, onde A, B e C assinalam os cantos da secção.

Figura 4.4 - Notação de eixos, deslocamentos e nós do elemento estudado.

A notação dos eixos e deslocamentos apresentada será a utilizada ao longo da dissertação,

enquanto que a referência a perfis e modos de encurvadura será feita através da notação

definida no capítulo anterior.

A observação da Figura 4.4 permite concluir que a rotação, β, e o deslocamento do canto

segundo a maior inércia, dM, não são independentes, o que é uma consequência do facto de se

ter simetria apenas segundo um eixo. Tal obrigou a que se calculassem as rotações, β, através

de dois pontos da secção (admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos):

𝛽 =

𝑢𝑧𝐵 − 𝑢𝑧

𝐴

𝑥𝐵 − 𝑥𝐴

(4.2)

No que toca às imperfeições geométricas utilizadas nas análises não-lineares, estas foram

tomadas com amplitude igual a 10% da espessura. A escolha desta imperfeição vem do facto

de esta ter sido usada em estudos sobre cantoneiras (ver capítulo “Estado da Arte”), pelo que

se seguiu a mesma metodologia.

52

4.3. Análise de pós-encurvadura elástica

As trajectórias de pós-encurvadura (TPE) P/Pcr e β foram escolhidas com o objectivo de

caracterizar o comportamento é típico de cantoneiras reforçadas. Contudo, foi necessário

distinguir entre (i) colunas com modo crítico local e (ii) colunas com modo crítico de flexão-

torção, uma vez que a um e outro estão associadas diferentes imperfeições geométricas

(recordar que se usam imperfeições apenas do modo crítico na presente análise) e,

consequentemente, comportamentos não-lineares bastante distintos à partida.

4.3.1. Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo de flexão-torção

Apresentam-se em anexo (ANEXO C) as trajectórias de equilíbrio dos elementos com modo

crítico de flexão-torção, incluindo cantoneiras simples (l0), que se dividem em dois conjuntos de

gráficos:

1. TPE a “lip constante”.

2. TPE a “comprimento constante”.

Através dos gráficos obtidos e da comparação de curvas pretende-se detectar as

características dos perfis que influenciam directamente a estabilidade e flexibilidade das suas

trajectórias de equilíbrio pós-crítico. A título de exemplo, apresentam-se os gráficos para uma

cantoneira de comprimento variável com um reforço de 2 milímetros (Figura 4.5) e uma

cantoneira de 2500 milímetros de comprimento, fazendo variar a dimensão do “lip” (Figura 4.6).

Figura 4.5 - TPE de uma cantoneira com reforço de 2 milímetros para L variável.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l2)

l2L600

l2L800

l2L1000

l2L1500

l2L2500

l2L3500

53

Figura 4.6 - TPE de coluna com 2500 milímetros de comprimento, para l variável.

Da observação destes gráficos é possível afirmar:

Todas as trajectórias de equilíbrio são estáveis uma vez que não apresentam, na gama

de valores estudados (0<β<0,6), pontos de “inversão” elástica.

O aumento do comprimento, de uma forma geral, contribui para o aumento da

flexibilidade pós-crítica das colunas. No entanto,

a contribuição dos reforços para a rigidez da trajectória de pós-encurvadura não é

“óbvia”, no sentido em que um aumento do “lip” não resulta forçosamente num

aumento de resistência pós-crítica elástica.

Uma vez que é conhecido ([5],[6]) que o comportamento de pós-encurvadura de cantoneiras,

cujo modo crítico é de flexão-torção, depende da quantidade de flexão na maior inércia, é

perceptível que esse comportamento esteja directamente ligado ao comprimento da coluna.

Esta relação é tanto mais pronunciada quanto maior o comprimento, uma vez que a tensão de

encurvadura de torção se torna praticamente constante para valores de L elevados, como se

viu (ver equação (3.9)). No caso do reforço, no entanto, a relação com a curva P/Pcr(β) não é

tão evidente, uma vez que o aumento da sua dimensão aumenta tanto a rigidez de torção (EΓ)

quanto a rigidez de flexão na maior inércia (EIx ).

Com base no exposto, procura-se determinar se a configuração das curvas obtidas está

directamente ligado à participação da flexão na maior inércia no modo crítico (p2) das colunas.

Obtiveram-se, para esse efeito, o gráfico da Figura 4.7 onde são comparadas as trajectórias de

equilíbrio de várias cantoneiras reforçadas e a Tabela 4.1 com os perfis, em ordem crescente

de flexibilidade das trajectórias, e correspondentes valores de esbelteza normalizada (𝜆̅), p2 e

relação entre carga de encurvadura por flexão na maior inércia e carga crítica (Pf2/Pcr).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (L2500)

l0

l2

l6

l12

l18

l22

54

Figura 4.7 - TPE de várias cantoneiras reforçadas com modo crítico de flexão-torção.

Tabela 4.1 - Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias colunas.

Perfil �̅� [1/ε] p2 [%] Pf2/Pcr

l2L2500 3.2294 4.89% 50.6373

l12L2500 2.6886 7.36% 40.7136

l6L3500 3.3306 8.79% 29.6965

l12L3500 3.0856 10.71% 27.3589

l18L2500 2.0884 12.81% 25.4304

l18L3500 2.6173 15.70% 20.3790

Os resultados apresentados na Tabela 4.1 parecem concordar com a hipótese de que o

aumento de p2 resulta num aumento de flexibilidade das curvas. Por outro lado, o rácio Pf2/Pcr

correlaciona-se muito bem com (i) a participação da flexão na maior inércia (inversamente

proporcional) e com (ii) posição relativa das curvas.

No entanto, a consideração de um perfil não reforçado (l0) nas curvas vem contrariar esta

nocção: apesar de valores mais reduzidos de p2, as curvas l0 apresentam trajectórias mais

flexíveis do que várias das cantoneiras reforçadas estudadas – Figura 4.7 - TPE de várias

cantoneiras reforçadas com modo crítico de flexão-torção. e Tabela 4.3. Tal facto parece

sugerir uma diferença significativa de comportamentos entre os dois tipos de secções e levaria

a que estas fossem estudadas separadamente; todavia, é possível explicar essa diferença com

base na significativa diferença que existe entre a rigidez de torção associada ao empenamento

primário (cantoneira reforçada) e secundário (cantoneira “simples”) da secção (ver capítulo

2.3.2). O resultado é que, mesmo para valores relativamente elevados de p2 quando comparados

com cantoneiras simples ([2],[5]), a maior rigidez de torção destes elementos faz com que apresentem

trajectórias estáveis e menos flexíveis do que seria expectável.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (cant. reforçadas)

l2L2500

l12L2500

l6L3500

l12L3500

l18L2500

l18L3500

55

Figura 4. 8 - TPE de cantoneiras "simples" e reforçadas para várias colunas, com modo crítico de flexão-torção.

Tabela 4. 2 - Participação do modo de flexão na maior inércia no modo crítico de várias colunas.

Perfil �̅� [1/ε] p2 [%] Pf2/Pcr

l2L2500 3.2294 4.89% 50.6373

l0L2500 3.1480 0.78% 45.6859

l12L2500 2.6886 7.36% 40.7136

l6L3500 3.3306 8.79% 29.6965

l0L3500 3.1664 1.54% 23.5827

l18L3500 2.6173 15.70% 20.3790

Relativamente à relação Pf2/Pcr, esta parece reflectir a estabilidade das trajectórias de equilíbrio

ao medir a “proximidade” entre modos de encurvadura e ser uma medida indirecta da relação

entre a rigidez de torção e flexão dos perfis, o que poderá permitir uma comparação entre

cantoneiras “simples” e reforçadas. Todavia, seria necessária uma investigação rigorosa e mais

aprofundada para averiguar essa relação, o que está fora do âmbito da presente dissertação. Como

tal, recomenda-se a análise separada de cantoneiras reforçadas e não-reforçadas.

Salienta-se ainda, e à semelhança do descoberto por Dinis e Camotim (2014), que pequenas

variações da esbelteza normalizada (𝜆̅) estão associadas a diferenças importantes no

comportamento mecânico das colunas, pelo que este parâmetro, por si só, não deverá ser

considerado como indicativo do tipo de comportamento do elemento em questão.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (cant. simples e reforçadas) l2L2500

l0L2500

l12L2500

l6L3500

l0L3500

l18L3500

56

4.3.2. Pós-encurvadura de colunas que instabilizam num modo local

De forma semelhante ao efectuado para as colunas com modo crítico de flexão-torção,

determinaram-se as curvas P/Pcr(β) para os perfis em onde a instabilidade é local, que se

encontram na Figura 4.9.

Figura 4.9- TPE de colunas com modo crítico local.

As curvas correspondentes a l22L800, l22L1000, l18L800 e l18L940 apresentam diferenças em

relação às determinadas anteriormente:

Em primeiro lugar, apresentam uma trajectória praticamente vertical até um

determinado “ponto limite”; tal sucede porque estas colunas não possuem imperfeição

geométrica inicial no modo de flexão-torção, uma vez que a encurvadura é controlada

pelo modo local.

Em segundo lugar, a TPE após o “ponto limite” é extremamente flexível, sobretudo

quando comparado com as curvas P/Pcr(β) onde a encurvadura é dominada pelo modo

global (subcapítulo anterior).

Finalmente, os pontos onde se dá a transição entre os comportamentos referidos nos

pontos anteriores dá-se, em cada curva, para diferentes valores de P/Pcr.

Para ajudar a compreender as diferenças de comportamentos entre os perfis analisados,

apresenta-se a Tabela 4.3 com a esbelteza normalizada (𝜆̅), participação de vários modos (pi –

participação do modo i), valor da carga crítica e rácios entre a carga de encurvadura de flexão-

torção e a crítica (Pft/Pcr) e a carga de encurvadura por flexão na maior inércia e a crítica

(Pf2/Pcr) dos perfis analisados.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (Modos locais)

l22L600

l18L600

l12L600

l22L800

l18L800

l22L1000

l18L940

57

Tabela 4.3 - Participação de modos de deformação na encurvadura de colunas com modo crítico local.

Coluna �̅� [1/ε] p(4+2) [%] p2 [%] p(6+8) [%] Pcr [kN] Pft/Pcr Pf2/Pcr

l12L600 0.9843 2.76% 0.11% 97.24% 47.73 1.201 94.744

l18L600 0.9834 0.17% 0.02% 99.83% 51.32 2.908 97.892

l18L800 0.9865 0.48% 0.05% 99.52% 51.00 1.671 55.412

l18L940 0.9865 0.18% 0.02% 99.82% 51.00 1.227 35.464

l22L600 0.9962 0.07% 0.01% 99.93% 52.28 4.541 101.394

l22L800 0.9977 0.07% 0.01% 99.93% 52.12 2.585 57.204

l22L1000 0.9977 0.21% 0.03% 99.79% 52.13 1.673 36.606

Pela observação dos valores de Pft/Pcr, facilmente se conclui que o comportamento exibido se

deve à interacção entre os modos local e de flexão-torção, uma vez que a passagem da trajectória

fundamental para a pós-crítica se dá para valores de P/Pcr relativamente próximos de Pft/Pcr e que

corresponde à passagem de uma configuração sem rotações de torção (β) para outras com valores

de β apreciáveis. No caso das curvas correspondentes a l18L600 e l22L600, esta interacção ocorre

para níveis de carregamento mais elevados do que os casos analisados anteriormente, consequência

da maior distância entre o modo crítico e o flexo-torsional.

Apesar destas observações, permanecem alguns aspectos do comportamento por explicar,

nomeadamente:

1. O facto de o “ponto limite” surgir, de uma forma geral, para valores P/Pcr inferiores a Pft/Pcr.

2. A elevada flexibilidade das trajectórias de pós-encurvadura das colunas l18L800,

l18L940, l22L800 e l22L1000 e a trajectória mais “rígida” apresentada por l12L600.

3. O facto de a transição na curva l22L1000 ocorrer para um valor de P/Pcr inferior ao de

l18L800, isto apesar de se ter Pft/Pcr (l22L1000)≈Pft/Pcr(l18L800).

A resposta ao primeiro ponto está ligada ao facto de haver uma perda de rigidez da secção associada à

redistribuição de tensões pós-crítica nas paredes, as quais instabilizam localmente – por outras palavra,

a secção (localmente esbelta) passa a “efectiva”, reduzindo a sua área e rigidez. Por este motivo, a

carga de instabilidade de flexão-torção é reduzida “por culpa” da diminuição da rigidez de torção. No

entanto, essa redução de rigidez de torção é mais acentuada no caso das secções l18 e l22 do que em

l12, sendo que nesta última a interacção se verifica, de facto, para P/Pcr≈Pft/Pcr=1,201. A provar esta

afirmação, apresentam-se na Tabela 4.4 os valores da esbelteza normalizada da placa (𝜆𝑝̅̅ ̅),

que pode dizer respeito a um elemento interno ou “em consola”, (ii) o factor de redução (ρ) e a

largura efectiva (beff) para as secções l12, l18 e l22, usando a abordagem do Eurocódigo 3. As

expressões usadas para calcular 𝜆𝑝̅̅ ̅ e ρ para um aço S235 foram, respectivamente:

𝜆𝑝̅̅ ̅ = √𝑓𝑦

𝜎𝑐𝑟=1

𝜋√12(1 − 𝜈2)𝑓𝑦

𝐾 × 𝐸

𝑏

𝑡= {

0,017594 𝑏 𝑡⁄ (𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)

0,053911 𝑏 𝑡⁄ (𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 "𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑎")

(4.3)

58

𝜌 =𝑏𝑒𝑓𝑓

𝑏=

{

𝜆𝑝̅̅ ̅ − 0,22

𝜆𝑝̅̅ ̅2 ≤ 1 (𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)

𝜆𝑝̅̅ ̅ − 0,188

𝜆𝑝̅̅ ̅2 ≤ 1(𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 "𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑎")

(4.4)

Tabela 4.4 - Factor de redução e comprimento efectivo de várias secções.

l12 l18 l22

Reforços

𝜆𝑝̅̅ ̅ 0,5398 0,8087 0,9884

Factor de redução, ρ 1,0000 0,9491 0,8193

beff [mm] 12,00 17,08 18,02

Como se pode observar na Tabela 4.4, enquanto que as secções l18 e l22 sofrem reduções na

dimensão do reforço, esse elemento mantém-se inalterado na secção l12. Uma vez que este

elemento desempenha um papel fundamental no empenamento da secção

(Γ(reforço)≈88,2%Γ(total), estimado para uma secção l12) é perceptível que a sua redução terá

impacto na rigidez de torção da coluna.

Relativamente ao segundo e terceiro pontos, a diferente configuração das trajectórias e a

posição relativa de curvas pode ser compreendida observando o rácio Pf2/Pcr. De facto, a

estabilidade do modo global de flexão-torção, com o qual se dá a interacção, é “enfraquecido”

pela proximidade entre o modo crítico e o de flexão na maior inércia, a qual é tanto maior

quanto menor for o valor de Pf2/Pcr. Á semelhança das colunas com modo crítico “global”, esse

rácio é uma medida indirecta da “importância” da flexão na maior inércia da coluna, a qual está

associada à flexibilidade da mesma.

Para finalizar, apresenta-se na Figura 4.10 o perfil longitudinal de deslocamentos (δ) medidos

na zona central (zona mais flexível) da parede que constitui a aba, com respeito às grandezas

adimensionais y/L e δ/t da coluna l22L1000. Apresenta-se ainda, nessa figura, a trajectória de

equilíbrio dessa coluna. Em anexo (ANEXO D) apresentam-se curvas semelhantes para as

colunas l18L800, l18L940 e novamente para l22L1000.

Nos gráficos apresentados é possível observar:

Deformada simétrica, com um número ímpar (13) de semiondas.

A amplitude das deformadas aumenta com o aumento de P/Pcr e apresentam

deslocamentos mesmo para valores abaixo da unidade.

59

Figura 4.10 - Perfil longitudinal de deslocamentos do nó central da aba, para diferentes níveis de carregamento, da coluna l22L1000.

Para P/Pcr= 0,864 e 1,014, as deformadas estão centradas em δ/t =0; para P/Pcr=1,202

a deformada deixa de estar centrada em δ/t=0 e a própria “média” da curva aparenta

ter uma configuração sinusoidal, i.e., a posição média do nó central da parede da aba

deixa de estar alinhada com a sua posição inicial a meio da coluna.

O comportamento descrito no ponto anterior dá-se para um valor de P/Pcr onde a

trajectória de equilíbrio da coluna apresenta valores de β visíveis.

Em primeiro lugar, os resultados da Figura 4.10 confirmam a existência de interacção entre os

modos local e global flexo-torsional, uma vez que a configuração do perfil de deslocamento

δ/t(y/L) é consistente com a que surge numa placa comprimida em regime pós-crítico e que o

“desvio” da sua deformada surge devido à rotação de corpo rígido da secção (β) – notar que os

deslocamentos δ foram obtidos a partir de deslocamentos “absolutos” do nó central da aba. Por

outro lado, a existência de deslocamentos, δ, para os valores mais reduzidos de P/Pcr deve-se

à inclusão da imperfeição geométrica do modo crítico na análise.

Relativamente ao facto do número de semiondas ser ímpar, este é condição necessário para que a

deformada seja simétrica e, no caso em que número de semiondas é par, esta passa a antissimétrica.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

δ/t

y/L

δ/t vs y/L (l22L1000)

P/Pcr=0,864

P/Pcr=1,014

P/Pcr=1,202

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β

l22L1000

60

Refira-se que no caso presente se pretende apenas uma análise qualitativa do comportamento em

regime pós-crítico de cantoneiras reforçadas e que uma deformada antissimétrica dificultava a análise,

sobretudo a interacção entre modos de encurvadura. Por este motivo, substituiu-se a coluna l18L1000

por uma l18L940 nos resultados apresentados no Anexo D, sendo que à primeira correspondia um

número de semiondas par e à segunda um número ímpar.

4.3.3. Deslocamentos no canto da secção

Para a avaliação dos deslocamentos no canto da secção, na maior (dM) e menor (dm) inércia,

foram determinados os perfis longitudinais desses deslocamentos para diferentes níveis de

carregamento de colunas com 3500 milímetros de comprimento e “lips” entre 2 e 18 milímetros.

Estes encontram-se em anexo (ANEXO E), juntamente com os perfis longitudinais das

rotações (β) para diferentes valores de P/Pcr. Como exemplo apresentam-se os referidos perfis

para a coluna l6L3500 –Figura 4.11 e Figura 4.12.

Figura 4.11 - Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na maior inércia de coluna l6L3500.

Figura 4.12 - Perfil longitudinal de deslocamentos de flexão na menor inércia de coluna l6L3500.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dM

/t

y/L

dM/t vs y/L (l6L3500)

P/Pcr=0,863

P/Pcr=0,939

P/Pcr=1

P/Pcr=1,209

P/Pcr=1,095

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dm

/t

y/L

dm/t vs y/L (l6L3500)

P/Pcr=0,863

P/Pcr=0,939

P/Pcr=1

P/Pcr=1,209

P/Pcr=1,095

61

Relativamente aos deslocamentos associados à flexão na maior inércia, verifica-se que:

(i) a configuração deformada da coluna apresenta uma semionda interior e dois

quartos-de-onda exteriores que asseguram a condição de tangente nula dos

deslocamentos nas extremidades (rotações nulas – coluna biencastrada).

(ii) Os valores de dM/t crescem com o aumento de P/Pcr.

(iii) As curvas apresentam valores reduzidos, mas não nulos, dos deslocamentos

para valores da carga abaixo da carga crítica – tal deve-se à presença de

imperfeições geométricas iniciais com componente de flexão nesse plano.

No caso das colunas com maiores dimensões de reforços, os valores de dM crescem

rapidamente e atingem valores elevados, em particular para P/Pcr>1, sendo este efeito

particularmente notável para l18L3500 (ANEXO E). No entanto, deve-se notar que estes

deslocamentos dizem respeito ao canto da secção e não ao centro de corte, pelo que estes

são ampliados pelo deslocamento (exclusivamente na maior inércia) resultante da rotação de

torção – por outras palavras, os valores de dM discutidos não são apenas deslocamentos de

flexão, mas incluem também uma parcela igual a 𝑥𝑐𝑐 × 𝛽 (ver Figura 4.4). Uma vez que as

rotações β e a distância entre o centro de corte e o canto da secção, xcc, tomam valores

superiores para l18L3500, esse efeito é maior para essa coluna, o que, aliado ao facto de se

ter uma trajectória de pós-encurvadura mais flexível nessa coluna do que nas restantes (ver

Anexo C), conduz a maiores valores de dM.

No que toca às curvas de deslocamentos na menor inércia ao longo da coluna, pode-se

observar que:

(i) Apresentam uma configuração simétrica, com três semiondas internas e dois

quarto-de-ondas exteriores, novamente responsáveis pelo declive nulo nas

extremidades.

(ii) Os valores máximos dos deslocamentos surgem a ¼ e ¾ de vão.

(iii) Os deslocamentos são nulos até P/Pcr≈1 e após esse valor crescem rapidamente.

(iv) A amplitude de valores de dm/t é inferior à de dM/t.

Para as colunas em anexo pode-se ainda acrescentar que (v) a amplitude de valores de dm/t é

crescente de l2L3500 para l18L3500 e que (vi) as três semiondas interiores aparentam tender

para um única semionda à medida que o “lip” aumenta.

A explicação para a configuração da curva dm/t(y/L) é a mesma que foi dada por Dinis et al.

(2012) para justificar o comportamento análogo em cantoneiras simples: a torção não-uniforme

da secção resulta em tensões normais, que, ao concentrarem-se no canto da secção,

introduzem flexão na menor inércia ([5]). Relativamente à diferença de configuração desses

deslocamentos entre diferentes secções, verifica-se que, à medida que aumenta o reforço, o

empenamento primário (Γ) se torna “dominante” em relação ao empenamento secundário (Γs)

da secção, como se demonstra na Tabela 4. 5. Assim, o perfil de longitudinal de dm/t passa

62

gradualmente de uma configuração com três semiondas, associada a uma distribuição de

tensões correspondentes ao empenamento secundário da secção (como foi referido por Dinis

et al., 2012), para outra com apenas uma semionda.

Tabela 4. 5- Relação entre a constante de empenamento primário e secundário de várias secções.

Secção Γ/Γs

l2 0.90

l6 22.49

l12 165.03

l18 522.91

4.3.4. Distribuição de tensões na secção

Para concluir a análise do comportamento elástico de cantoneiras reforçadas, obteve-se a

distribuição de tensões na secção para várias pontos da trajectória de pós-encurvadura de uma

coluna (i) com modo crítico de flexão-torção (l12L3500) e outra (ii) com modo crítico local

(l18L940), que se encontra na Figura 4.13.

Figura 4.13 - Distribuição de tensões na secção de colunas l12L3500 e 18L940 para diferentes níveis de carregamento.

A σ/σcr(s) na coluna l12L3500 apresenta alguns aspectos típicos do comportamento de

cantoneiras ([5]), como uma distribuição tensões que começa uniforme, para níveis baixos de

carga (P/Pcr<1), e vai apresentando uma distribuição progressivamente linear entre cantos da

secção, associada a flexão na maior inércia para níveis moderados de carga (1<P/Pcr<1,060) e

a flexão desviada para níveis elevados de carga (P/Pcr≈1,198). Apresenta, no entanto, uma

novidade relativamente às cantoneiras “simples”: uma distribuição de tensões “irregular” no

reforço, causada pelo empenamento primário da secção (que tem um impacto significativo

naqueles elementos) – importa referir que o a curva apresentada foi traçada com elemento

rectos entre pontos, o que justifica o aspecto da distribuição de tensões entre o canto C e a

extremidade da secção.

63

A σ/σcr(s) na coluna l18L940 apresenta o andamento típico de elementos de placa interna

comprimida em regime pós-crítico, para as abas entre os pontos B, A e C, com concentração

máxima de tensões nos cantos da secção.

4.4. Análise de pós-encurvadura elasto-plástica

A análise do comportamento geométrica e fisicamente não-linear de cantoneiras reforçadas,

apresentado no presente capítulo, foi realizado para elementos com modo crítico (i)flexo-torsional e (ii)

local e aplicado a duas colunas em cada um dos casos. Em ambos os casos a escolha dos perfis teve

como objectivo, por um lado, a inclusão de “casos extremos” das trajectórias de equilíbrio e, por outro,

o recurso a uma única secção. As colunas, assim escolhidas, foram:

1. l2L600 e l2L2500, para o modo de encurvadura de flexão-torção.

2. l22L600 e l22L1000, para o modo de encurvadura local.

Pretende-se com essa análise avaliar o nível de carga para o qual ocorre a cedência das primeiras

fibras da secção e verificar em que casos é que há reserva de resistência elasto-plástica, assim como

determinar o impacto da tensão de cedência na carga última e o tipo de colapso da coluna.

4.4.1. Análise de colunas l2L600 e l2L2500

Na Figura 4.14 e Figura 4. 15 são visíveis as trajectórias de pós-encurvadura elasto-plástica

das colunas l2L600 e l2L2500, respectivamente, para diferentes valores da tensão de

cedência definidos como a relação entre esse valor e o da tensão crítica da coluna (fy/fcr).

Figura 4.14 - Trajectória de equilíbrio geometrica e fisicamente não-linear da coluna l2L600.

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

P/P

cr

β [rad]

TPE elastoplástica - l2L600

fy/fcr=infinito

fy/fcr=1

fy/fcr=1,5

fy/fcr=2

fy/fcr=1

fy/fcr=1,5

fy/fcr=2

Elástico (fy/fcr=∞)

64

Figura 4. 15 - Trajectória de equilíbrio geométrica e fisicamente não-linear da coluna l2L2500.

Para analisar em maior detalhe o efeito da variação da tensão de cedência (fy) no colapso das

colunas estudadas, apresenta-se na Tabela 4.6 os valores usados de fy no estudo desses

elementos, assim como as relações entre a carga última e a carga crítica (Pult/Pcr) e entre a

carga de resistência de “pico” e a carga crítica (Ppico/Pcr), esta última resultante da reserva

elasto-plástica de resistência.

Tabela 4.6 - Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l2L600 e l2L2500.

Coluna fy/fcr=1 fy/fcr=1,5 fy/fcr=2

fy

[Mpa] (Pult/Pcr) (Ppico/Pcr) fy [Mpa] (Pult/Pcr) (Ppico/Pcr)

fy

[Mpa] (Pult/Pcr) (Ppico/Pcr)

l2L600 27,4 0,8539 0,8940 41,1 1,0400 1,0692 54,8 1,1385 1,2699

l2L2500 22,5 0,9542 - 33,8 1,0563 - 45,1 1,1454 -

Os dados apresentados revelam:

Um ganho relevante de resistência da coluna l2L600 com o aumento da tensão de

cedência, correspondente a um aumento de 21,8% e 33,3% da carga última para

valores 50% (41,1 MPa) e 100% (54,8 MPa) superiores de fy, respectivamente.

Valores mais reduzidos, mas não desprezáveis, de aumento de resistência para a

coluna l2L2500: Aumento de 10,7% e 20,0% da carga última correspondentes a

subidas do valor de fy de 50% e 100%, respectivamente.

Existência de alguma reserva de resistência elasto-plástica na coluna l2L600,

correspondentes a aumentos da resistência de 2,8% a 11,5% do valor da carga última.

Inexistência de reserva de resistência elasto-plástica na coluna l2L2500.

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

P/P

cr

β [rad]

TPE elastoplastico - l2L2500

Elástico (fy/fcr=∞)

fy/fcr=2

fy/fcr=1,5 fy/fcr=1

65

O comportamento apresentado por estas colunas é uma consequência directa do tipo de

curvas elásticas P/Pcr(β) que estas apresentam – os efeitos geometricamente não-lineares de

colunas comprimidas, responsáveis pela concentração de tensões nos cantos da secção e

“início” da plasticidade, são tanto maiores quanto mais flexível for a sua trajectória de pós-

encurvadura. Por outro lado, a reserva de resistência elasto-plástica está associada ao

espalhamento da plasticidade na secção e apenas será possível se existir rigidez “disponível”

para que possa existir um aumento de carga associado ao aumento de rotação β, facto que

não se verifica nas colunas mais flexíveis. Nesses elementos, a plasticidade introduz uma

degradação de rigidez que precipita o seu colapso.

Para completar a análise das cantoneiras reforçadas l2L600 e l2L2500, foram obtidas configurações

deformadas e figuras com representação das deformações plásticas (a sombreado) correspondentes

aos pontos A,B e C assinalados nas trajectórias de equilíbrio (Figura 4.16 e Figura 4.17), com o intuito

de fornecer informação relativamente ao mecanismo de rotura dessas colunas.

Na Figura 4.16 estão representados (em cima) as configurações deformadas da coluna l2L600

nos pontos A e B, com representação das deformações plásticas a sombreado para os

correspondentes níveis de carga, que pretendem representar o espalhamento da plasticidade

nessa coluna. Apresenta-se ainda a secção transversal deformada de meio-vão, no ponto B.

Figura 4.16 - TPE elasto-plástica de coluna l2L600, deformadas e deformações plásticas de determinados pontos.

Na Figura 4.17, representa a deformada da coluna, com as correspondentes deformações plásticas,

assim como a deformada da secção transversal a meio-vão para a coluna l2L2500, no ponto C. Da

observação destas figuras podem retirar-se as seguintes conclusões:

Ambas as colunas apresentam concentração de deformações plásticas no canto onde

se intersectam as abas das secções de ¼ e ¾ vão, aproximadamente, e rotações

máximas na secção de meio-vão.

O mecanismo de colapso das colunas envolve a plastificação de parte das secções de ¼ e ¾

vão. Este comportamento já havia sido observado por Dinis e Camotim (2014) em cantoneiras

“simples”, tendo aqueles autores esclarecido que tal sucede pelo facto das tensões normais e

de corte, devidas à variação da rotação de torção, serem maiores nessas secções ([6]).

B B

A

66

Finalmente, chama-se à atenção para o facto de os valores utilizados da tensão de cedência

serem bastante reduzidos – entre os 22,5 e os 54,8 MPa, valores muito abaixo dos que se

tem para aços correntes. Tal deve-se a estes terem sido calculados como múltiplos da tensão

crítica para estas colunas, que é da ordem de grandeza de 25 MPa. Refira-se que, para

l2L2500, se se admitir a relação fy/fcr de 10, o que corresponde a uma tensão de cedência

“mais realista” para um aço (225 MPa) e próxima da tensão crítica local de alguns dos perfis

analisados (≈240 MPa), o colapso passa a ser elástico e a relação Pult/Pcr toma valores da

ordem de grandeza de 2,75.


4.4.2. Análise das colunas l22L600 e l22L1000

Os casos a analisar consistem nas colunas:

L22L600, onde não se verifica interacção entre modos de encurvadura para o domínio

de valores que se pretende analisar (Pft/Pcr=4,541). Analisa-se, portanto, a curva

P/Pcr(δ/t) onde δ é o deslocamento do nó do centro da aba da cantoneira para uma

secção que dista 0,55L da extremidade – a escolha dessa secção deve-se ao facto de

não se ter uma deformada simétrica, o que obrigou a “descobrir”, em termos

longitudinais, a secção onde se tem o valor máximo de δ.

L22L1000, onde a interacção entre os modos local e de flexão-torção tem um papel

importante no comportamento pós-crítico da coluna. Apresenta-se uma curva P/Pcr(δ/t)

que deverá ser comparada com a curva P/Pcr(β) elástica para aquela coluna.

As curvas referidas acima foram determinadas para valores de fy/fcr de 1, 1,5, 2 e “infinito”

(curva elástica) e encontram-se nas Figura 4.18 e Figura 4.19.

Verificou-se pela análise das curvas P/Pcr(β) de ambas as colunas (no caso da coluna

l22L600 esta curva não é apresentada), que o colapso se dá antes da interacção entre

modos de encurvadura.

C

C

67

O ganho de resistência com um aumento de 50% e 100% de fy é, respectivamente, de

22,9% e 39,6% para l22L600 e de 22,7% e 35,5% para l22L1000.

A reserva de resistência elasto-plástica toma valores entre 5,2% e 10,8% para a coluna

l22L600. No caso da coluna l22L1000 esses valores são desprezáveis (≈1%), quando existem.

O colapso da coluna l22L1000 envolve rotações de torção, cujo valor cresce com o

aumento da carga última (Pult).

Figura 4.18 - TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22L600 para diferentes níveis de plasticidade.

Figura 4.19 - TPE, com respeito aos deslocamentos "locais" da aba, da coluna l22L1000 para diferentes níveis de plasticidade.

Tabela 4. 7 - Relação entre cargas para diferentes níveis de plasticidade, nas colunas l22L600 e l2L1000.

Coluna fy/fcr=1 fy/fcr=1,5 fy/fcr=2

fy [Mpa] (Pult/Pcr) (Ppico/Pcr)

fy

[Mpa] (Pult/Pcr) (Ppico/Pcr) fy [Mpa] (Pult/Pcr) (Ppico/Pcr)

l22L600 240,9 0,7971 0,8387 361,3 0,9798 1,0463 481,7 1,1127 1,2331

l22L1000 239,7 0,8469 - 359,5 1,0388 1,0472 479,4 1,1473 1,1640

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 1 2 3 4

P/P

cr

δ/t

TPE elastoplástico (l22L600)

fy/fcr=2

fy/fcr=1,5

fy/fcr=1

Elástica (fy/fcr=∞)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-5 -3 -1 1 3 5

P/P

cr

δ/t

TPE elastoplástico (l22L1000)

Elástica fy/fcr=∞

fy/fcr=2

fy/fcr=1,5 fy/fcr=1

68

Para o ponto D, assinalado na trajectória de equilíbrio da Figura 4.20, obteve-se a deformada e

deformações plásticas da coluna, visível na mesma figura. Por sua vez, na Figura 4.21

apresentam-se figuras semelhantes para a coluna L22L1000, a qual inclui também a

representação da deformada da secção transversal de meio-vão dessa coluna para três

pontos: E, F e G. A observação destas figuras permite retirar as seguintes conclusões:

Nas deformadas da Figura 4.20 (sobretudo no reforço) estão as semiondas típicas da

encurvadura local, que confirmam que o colapso é causado pela instabilidade local das

placas que compõem a secção.

As deformações plásticas concentram-se nos três cantos da cantoneira e são visíveis em

várias secções da coluna, o que é consistente com a encurvadura de uma placa longa ([11])

as deformações são máximas nas secções adjacentes ao meio-vão da coluna.

A deformada e distribuição de deformações plásticas na coluna l22L1000 (Figura 4.21) não

apresentam novidades relativamente ao observado para a coluna l22L600. O conjunto de

secções transversais apresentadas demonstra que a (i) interacção entre os modos local e de

flexão-torção ocorre no ponto onde se atinge Pult, (ii) que associada a essa interacção está a

reversão de δ como consequência das rotações torção (β) e (iii) que o colapso de l22L1000

envolve ambos os modos.



D

E

E

F G

69

5. Resistência última e dimensionamento

5.1. Introdução

Os capítulos anteriores focaram-se essencialmente no comportamento mecânico de

cantoneiras reforçadas comprimidas, abordando nomeadamente o impacto da geometria da

secção, do comprimento e das condições de fronteira nos comportamentos de estabilidade e

de pós-encurvadura dos perfis. Neste último capítulo aborda-se a questão do seu

dimensionamento através do Método da Resistência Directa (MRD), sendo para o efeito

necessário (i) identificar um conjunto significativo de cargas últimas de colunas biencastradas e

(ii) avaliar se as propostas existentes de dimensionamento permitem estimar a resistência

última dos perfis – são estes os assuntos tratados no presente capítulo.

5.2. Resistência última de cantoneiras reforçadas

5.2.1. Elementos estudados

A determinação das tensões associadas ao colapso de colunas biencastradas comprimidas foi

feita recorrendo aos perfis estudados no capítulo anterior, sendo os resultados obtidos

expressos de forma adimensional, i.e., em termos da esbelteza normalizada (𝜆̅ = √𝑓𝑦 𝜎𝑐𝑟⁄ ) e da

relação entre a tensão última e a tensão de cedência (fu/fy).

Com o objectivo de controlar as esbeltezas normalizadas (𝜆̅) das colunas, decidiu-se dividi-las

entre colunas que instabilizam com modo crítico (i) local e (ii) global. Esta divisão deve-se

fundamentalmente à natureza diferente destes modos (associados a curvas de dimensionamento

do MRD diferentes ver capítulo 2), mas também à diferença substancial de tensões críticas

que se obtém num e noutro caso, sendo que no primeiro os valores dessas tensões estão entre os

20 e 130 MPa e no segundo rondam os 240 MPa,.

Por sua vez, os valores de tensões de cedência foram escolhidos por forma a cobrir uma gama

variada de esbeltezas (entre 0,8 e 4,0), havendo por isso alguns valores de fy não realistas. Os

valores assim escolhidos para a tensão de cedência foram: 75, 150, 300, 450, 600, 750, 900 e

1200 MPa.

Consideram-se que os perfis continham imperfeições iniciais que combinavam as

configurações correspondentes (i) ao modo crítico (local ou flexo-torsional) e (ii) à flexão na

menor inércia da coluna, com amplitudes iguais a 10% da espessura e L/750, respectivamente.

A inclusão de duas componentes pretende representar a situação real (e desfavorável) de

existirem vários desvios na geometria dos perfis, provenientes de erros no processo de fabrico

ou resultantes do processo de transporte ou colocação em obra, enquanto as amplitudes

escolhidas foram idênticas às usadas em estudos semelhantes realizados anteriormente (e.g.,

Dinis e Camotim 2014).

70

Os valores das esbeltezas e das tensões últimas obtidos com através do programa do

ABAQUS podem ser consultados no ANEXO F.

5.2.2. Variação fu/fy vs λ

Apresentam-se, nos gráficos da Figura 5.1, os valores de fu/fy obtidos para as colunas que

instabilizam em modos flexo-torsionais (à esquerda) e locais (à direita).

Figura 5.1 - Relação entre tensão última e tensão de cedência dos perfis ensaiados

A observação da dispersão de valores fu/fy no caso das colunas com modo crítico por flexão-

torção permite verificar que, de uma forma geral, estes decrescem com o aumento de λft e

apresentam valores do rácio entre a tensão última e a tensão de cedência que variam entre

0,142 e 0,890. Por outro lado, o aspecto deste gráfico é semelhante ao gráfico análogo obtido

por Dinis e Camotim (2014), uma vez que apresenta dispersão vertical de valores importante;

em determinados casos, a valores praticamente iguais da esbelteza normalizada

correspondem diferenças de fu/fy da ordem de grandeza de 0,15. No caso presente, não existe,

na curva de estabilidade das colunas analisadas, um “plateau” como existia no caso das

cantoneiras “simples”, pelo que não é possível afirmar que a dispersão vertical verificada está

directamente ligada ao aumento do comprimento da coluna. No entanto, sabe-se que a

participação da flexão na maior inércia desempenha um importante papel na definição do tipo

de trajectória pós-crítica elástica, que por sua vez tem impacto na resistência da coluna.

Constata-se também um facto já referido anteriormente: a esbelteza normalizada, por si só,

não permite determinar a resistência de colunas com modo crítico flexo-torsional, sendo

necessário recorrer a parâmetros adicionais para descrever correctamente a evolução da

tensão última desses elementos.

No caso de colunas com modo crítico local, já não se pode falar em dispersão vertical, mas

antes os valores de fu/fy concentram-se em níveis diferentes, consoante se tratem de (i) colunas

com modo crítico local “puro” ou (ii) colunas que se encontram próximas da zona de transição

entre modos, na curva de estabilidade.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

fu/f

y

λft

fu/fy vs λft

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.8 0.97 1.14 1.31 1.48 1.65 1.82 1.99 2.16 2.33 2.5fu

/fy

λl

fu/fy vs λl

71

5.3. Dimensionamento de cantoneiras reforçadas

Shifferaw e Schafer [7] analisaram o desempenho das curvas disponíveis no MRD na avaliação

da resistência de cantoneiras reforçadas e concluíram, com base na correlação entre os

valores obtidos através de ensaios numéricos e as expressões utilizadas, que as expressões

mais adequadas para o seu dimensionamento eram as associadas ao modo de deformação

distorcional. Todavia, como foi visto em capítulos anteriores, esse modo de deformação não

pertence (i) nem ao modo crítico de encurvadura da coluna, (ii) nem ao modo de colapso

dessas colunas. Uma vez que se pretende uma metodologia de dimensionamento racional, i.e.,

baseada nos fenómenos relevantes no comportamento de cantoneiras, excluem-se da

presente análise as curvas de resistência distorcional.

Assim, começou-se por comparar as tensões últimas (fu) obtidas com as curvas de resistência

do MRD para colunas que colapsam em modos com interacção local-global ([6]) expressões

de fnle indicadas no capítulo 2. Na Figura 5. 2 apresenta-se a variação de fu/fnle com (𝜆̅) para

colunas que instabilizam em modos flexo-torsionais (à esquerda) e em modos locais (à direita).

A observação destes gráficos permite concluir o seguinte:

Figura 5. 2 – Resistência fu/fnle para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção e em modos locais

No caso de colunas com modo crítico local, as estimativas do MRD fornecem bons

resultados, uma vez que a relação entre a resistência última das colunas e a estimada

(fu/fnle) se encontra entre 1,0 e 1,4. Este bom resultado era expectável uma vez que

essas curvas foram estabelecidas precisamente para a colunas com colapsos com

interacção local-global.

A estimativa do MRD para colunas com modo crítico de flexão-torção apresenta uma

grande dispersão de resultados: por um lado, afigura-se como uma estimativa

razoavelmente precisa da resistência para colunas pouco esbeltas mas, por outro lado,

conduz a estimativas exageradamente conservativas para esbeltezas mais elevadas.

0

1

2

3

4

5

6

0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

fu/f

nle

λft

fu/fnle vs λft - fcre=σb,ft

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.8 1.14 1.48 1.82 2.16 2.5

fu/f

nle

λl

fu/fnle vs λl - fcre=σb,ft

72

Com a perspectiva de determinar se será possível melhorar a estimativa de resistência última

para colunas com modo crítico de flexão-torção, compararam-se as resistências últimas obtidas

com as curvas propostas por Dinis e Camotim (2014) ver Eq.s 2.26-2.28. Na Figura 5. 3 apresenta-

se a variação de fu/fnfte com (𝜆̅) para colunas que instabilizam em modos flexo-torsionais.

Figura 5. 3 - Resistência fu/fnfte para colunas que instabilizam em modos de flexão-torção (proposta de Dinis e Camotim 2014)

Verifica-se que as estimativas fornecidas pelas expressões propostas por aqueles autores são

mais precisas do que as dadas pelas expressões do MRD, apesar de continuarem a ser de uma

forma geral, conservativas. De facto, os perfis apresentam resistências superiores aos

estimados por estas curvas de resistências, sendo que, em alguns casos, a resistência real das

colunas é três vezes superior à resistência calculada. O motivo para as curvas propostas por Dinis e

Camotim (2014) serem muito conservativas prende-se com o facto destas terem sido calibradas para

cantoneiras “simples” que possuem, como se viu, menores resistências elásticas pós-críticas.

Conclui-se, assim, que o Método da Resistência Directa fornece estimativas seguras para a

resistência das colunas biencastradas concentricamente comprimidas, conduzindo no entanto

a resultados muito conservativos no caso de colunas com modo crítico de flexão-torção. As

tensões residuais nos perfis foram desprezadas e poderiam levar a uma redução da resistência

útlima, uma vez que existem estudos que indicam que para perfis enformados a frio essa

redução poderá ser desprezada (<2 a 3% da resistência última) – face aos resultados

apresentados compreende-se que o facto de se ter desprezado essas tensões não tem

impacto na escolha das curvas de dimensionamento a adoptar.

Finalmente, caso se pretenda um dimensionamento mais económico para “colunas

intermédias” (i.e. colunas com modo crítico de flexão-torção) deverá aprofundar-se o estudo

das curvas de dimensionamento e procurar adequar essas curvas à resistência pós-crítica

existentes em colunas que instabilizam por flexão-torção.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

fu/f

nft

e

λft

fu/fnfte vs λft - Proposta de Dinis e Camotim (2014)

73

6. Conclusões

6.1. Introdução

A presente dissertação focou-se no comportamento e dimensionamento de cantoneiras de

abas iguais reforçadas concentricamente comprimidas, tendo-se efectuado (i) análises de

estabilidade para colunas com diferentes geometrias da secção transversal e de condições de

apoio, e (ii) análises geométrica e fisicamente não-lineares de colunas encastradas, as quais

permitiram obter um conjunto alargado de valores de tensão última com o qual foi possível

aferir a adequabilidade das actuais curvas de dimensionamento do Método da Resistência

Directa (MRD) para estimar a capacidade resistente destes elementos estruturais.

No presente capítulo apresenta-se um resumo das principais observações e conclusões

retiradas, encontrando-se estas divididas nos seguintes temas:

Comportamento de estabilidade.

Comportamento de pós-encurvadura.

Dimensionamento de cantoneiras reforçadas.

No final do capítulo apresentam-se possíveis desenvolvimentos futuros no estudo de cantoneiras

reforçadas, incluindo analises complementares ao trabalho realizado na presente dissertação que

poderão ter interesse no sentido de validar algumas das observações efectuadas.

6.2. Comportamento de estabilidade

Contrariamente ao indicado por Shifferaw e Schafer (2014), a distorção da secção não

participa no modo crítico de encurvadura de cantoneiras reforçadas concentricamente

comprimidas. Na realidade, a encurvadura destes elementos pode envolver e combinar

modos de deformação locais, de flexão-torção ou de flexão na menor inércia.

Existe, para baixos valores dos reforços (que nos casos biencastrados e encastrados-

apoiados estudados correspondeu a l/h<10%), uma transição de comportamentos ao

nível das respectivas curvas de estabilidade, que corresponde à passagem de

cantoneiras “simples” a reforçadas e a um aumento significativo da carga crítica local

dos elementos.

Para valores intermédios dos reforços (10%<l/h<32%), as cantoneiras reforçadas:

o Possuem um patamar horizontal da tensão crítica local, com transição para os

modos globais que varia entre secções.

o Praticamente não chegam a possuir um “patamar” de flexão-torção antes de se

dar a transição para a encurvadura de flexão na menor inércia.

74

o Tendem, no modo crítico de flexão-torção, gradualmente para valores menores

da tensão crítica com o aumento de L.

A existência do reforço tem um impacto importante na rigidez de torção não-uniforme

das colunas, que passam a apresentar resistência ao empenamento primário e passam

a apresentar maiores valores da carga crítica de flexão-torção.

A libertação do encastramento correspondente à rotação segundo o eixo de menor inércia

apenas afecta o comprimento para o qual tem início a encurvadura por flexão na menor inércia.

O aumento da espessura tem impacto principalmente na tensão crítica local da coluna.

6.3. Comportamento de pós-encurvadura

Todas as trajectórias de equilíbrio dos perfis são, dentro de determinados limites de

deslocamentos, estáveis e apresentam uma configuração progressivamente mais

flexível à medida que aumenta o seu comprimento.

No caso de cantoneiras reforçadas que instabilizam num modo de flexão-torção, a

participação do modo de flexão na maior inércia da secção aparenta ser um bom

indicador da resistência elástica pós-crítica deste tipo de colunas, sendo que um

aumento dessa participação resulta, de uma forma geral, numa maior flexibilidade da

trajectória de pós-encurvadura desses elementos. Nestes casos, o colapso elasto-

plástico da coluna dá-se atráves de uma mecanismo que envolve a concentração de

deformações plásticas nas secções de 1/4 e 3/4 de vão e rotações de torção

relativamente elevadas na secção de meio-vão.

No caso de cantoneiras reforçadas que instabilizam num modo local, a interacção entre

modos de encurvadura desempenha um papel importante no comportamento de pós-

encurvadura das colunas, sobretudo a interacção com o modo de flexão-torção. Por

outro lado, a estabilidade do modo global de flexão-torção é afectada pela proximidade

entre o modo crítico e o de flexão na maior inércia e associados a reforços maiores

poderão estar maiores perdas de rigidez de empenamento primário. No caso destas

colunas, o colapso elasto-plástico dá-se com concentração de deformações plásticas

nos cantos da secção em vários pontos longitudinais e envolve flexão das abas e

rotações de torção.

Apenas se verifica alguma reserva de resistência elasto-plástica de pós-encurvadura

nas colunas mais curtas e verifica-se que o ganho de resistência com o aumento da

plasticidade é tanto maior, quanto menor for a flexibilidade da trajectória de pós-

encurvadura da coluna.

6.4. Dimensionamento de cantoneiras reforçadas

O valor das resistências obtidas para os perfis testados, fu/fy, apresentam uma

importante dispersão vertical de valores; no caso de colunas com modo crítico local,

75

esse valores são diferentes consoante as coluna estejam mais ou menos perto da zona

de transição entre modos.

A abordagem de dimensionamento mais racional envolve um modo global de flexão-

torção e conduz a estimativas : seguras e razoavelmente precisas para colunas com

modo crítico local; seguras e conservativas no caso de colunas com modo crítico de

flexão-torção.

A proposta de Dinis e Camotim (2014) para a estimativa da resistência de cantoneiras

reforçadas revela-se conservadora no caso de colunas com modo crítico de flexão-

torção, uma vez que foi calibrada para cantoneiras “simples” que revelam resistências

elásticas pós-críticas inferiores às cantoneiras reforçadas.

6.5. Desenvolvimentos futuros

Para finalizar, apresentam-se algumas análises que não foram incluídas no trabalho

desenvolvido e que poderão constituir um futuro trabalho de investigação nessa área:

1. Análise de pós-encurvadura e dimensionamento de coluna com extremidades encastradas

na maior inércia e simplesmente apoiadas na menor inércia (colunas rotuladas), com o

objectivo de determinar o efeito do “desvio do centróide efectivo” ([5]) no comportamento e

resistência de cantoneiras reforçadas.

2. Análise do efeito da variação da espessura no comportamento pós-crítico.

3. Ajuste de curvas de dimensionamento, através da regressão polinomial de determinados

parâmetros ou de procedimentos de tentativa-e-erro.

4. Validar, caso exista, uma relação entre o rácio Pf2/Pcr e a configuração das trajectórias de pós-

encurvadura (com respeito a β) de colunas com modo crítico por flexão-torção; sugere-se que se

verifique se as TPE de cantoneiras “simples” e reforçadas (tratadas indistintamente) coincidem

quando as colunas apresentam o mesmo o mesmo valor de Pf2/Pcr. Esta relação poderá ter um

papel importante na distinção de comportamentos pós-crítico e ser um indicador adequado da

resistência desses elementos, apto a ser usado nas respectivas curvas de dimensionamento.

Relativamente a outras áreas de estudo no que toca à estabilidade de cantoneiras reforçadas, as

mais importantes a desenvolver no futuro são (i) a do comportamento e dimensionamento de colunas

excentricamente comprimidas e (ii) de cantoneiras reforçadas sem simetria na secção.

76

Referências bibliográficas

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in Transmission Tower”. 2009.

[2] Dinis PB, Camotim D, Silvestre N. On the local and global buckling of angle, T-section

and cruciform thin-walled members. Thin-Walled Structures 2010; 48: 786-797.

[3] Rasmussen KJR. Design of angle columns with locally unstable legs. Journal of

Structural Engineering (ASCE) 2005; 131(10):1553-60.

[4] Rasmussen KJR. Design of slender angle section beam-columns by the direct strength

method. Journal of Structural Engineering (ASCE) 2006; 132(2):204-11.

[5] Dinis PB, Camotim D, Silvestre N. On the mechanics of thin-walled angle column

instability. Thin-Walled Structures 2012; 52: 80-89.

[6] Dinis PB, Camotim D. A novel DSM-based approach for the rational design of fixed-

ended and pin-ended short-to-intermediate thin-walled angle columns. Thin-Walled

Structures 2015; 87: 158-182.

[7] Shifferaw Y, Schafer BW. Cold-formed steel lipped and plain angle columns with fixed

ends. Thin-Walled Structures 2014: 142-152.

[8] Young B. Tests and design of fixed-ended cold-formed steel plain angle columns. ASCE

J Struct Eng 2004;130(12):1931-40.

[9] Young B. Experimental investigation of cold-formed steel lipped angle concentrically

loaded compression members. ASCE J Struct Eng 2005;131(9):1390-6.

[10] Direct Strength Method Design Guide (AISI), 2006.

[11] Reis A, Camotim D. Estabilidade e Dimensionamento de Estruturas (1ª ed.).2012.

[12] Timoshenko SP, Gere JM. Theory of Elastic Stability (2ª ed.). 1961.

[13] Pires EB. Capítulo 3 – Torção. Apontamentos da disciplina “Resistência dos Materiais”.

1991.

[14] Silvestre N. Torção de peças lineares com secção compacta. Apontamentos da

disciplina “Resistência dos Materiais”. 2009.

[15] Camotim D, Basaglia C, Silvestre N. Apontamentos de Estruturas Metálicas.

Apontamentos da disciplina “Estruturas Metálicas e Mistas”. 2010.

[16] Simulia Inc. Abaqus Theory Manual (vrs. 6.11).

[17] Bebiano R, Silvestre N, Camotim D. GBTUL 2.0β – buckling and vibration

analysis of thin-walled members. Technical University of Lisbon; 2008

(http://www.civil.ist.utl.pt/gbt) (DECivil/ IST).

[18] Stowell EZ. Compressive strength of flanges, National Advisory Committee for

Aeronautics (NACA) Report No. 1029; 1951.

[19] Bebiano R, Silvestre N, Camotim N. GBT Theoretical Background. 2010.

http://www.civil.ist.utl.pt/gbt

77

Anexos

ANEXO A – Teoria da torção não-uniforme.

ANEXO B – Perfis analisados no estudo de pós-encurvadura de cantoneiras reforçadas.

ANEXO C – Trajectórias de Pós-encurvadura (TPE) para reforços (l) variáveis e comprimentos

(L) variáveis.

ANEXO D – Curvas δ/t vs y/L de colunas que instabilizam no modo local.

ANEXO E – Perfis longitudinais de deslocamentos: dM/t vs y/L e dm/t vs y/L.

ANEXO F – Resultados dos ensaios de cargas últimas.

78

ANEXO A

Considere-se um troço infinitesimal de uma secção de parede fina aberta, definido por um

rectângulo PAQAQBPB, entre duas secções, A e B (Figura A.1). Admita-se que esse elemento

está sujeito a um campo de rotações (φ) variável ao longo do eixo da barra (x), que pode ser

decomposto numa parcela uniforme entre as duas secções (φA) e uma parcela variável (dφ)

conforme ilustra a equação (A.1):

𝜙𝐵 = 𝜙𝐴 + 𝑑𝜙 = 𝜙𝐴 + (𝜕𝜙

𝜕𝑥⁄ )𝑑𝑥 (A.1)

Admita-se ainda que «os pontos PA e QA estão suficientemente próximos para ser aceitável

“confundir” ds com a sua projecção na direcção da tangente à linha média que passa por PA, a

qual se designa por tp» (Reis e Camotim, 2012).

Figura A.1 - Configuração, em vários planos, de um rectângulo infinitesimal PAQAQBPB, sujeite a uma rotação de torção variável ([2])

Como resultado da aplicação do campo de rotações ao rectângulo infinitesimal, este passa da

posição inicial correspondente a PAQAQBPB, para a posição final P’AQ’AQ’BP’B, através de dois

movimentos de corpo rígido (notar que todos os movimentos são de corpo rígido, como

consequência de se ter admitido nulas as distorções das fibras da linha média da secção):

1. Translação de PAQAQBPB na direcção de tp.

2. Rotação diferencial, segundo o eixo da barra, entre as secções A e B, após a qual os

pontos P’A e P’B deixam de estar sobre o mesmo eixo longitudinal.

Na Figura A.1 apresenta-se:

1. A secção de parede fina aberta e os eixos correspondentes às direcções normal e

tangente à linha média no ponto PA, np e tp, respectivamente.

2. Projecção, no plano x-y, da posição inicial e final do rectângulo PAQAQBPB.

79

3. Projecção, no plano y-z, da linha média das secções A e B.

Como consequência do segundo movimento sofrido por PAQAQBPB (rotação diferencial), surge

o deslocamento longitudinal relativo no troço infinitesimal expresso em (A.2):

𝑑𝑢𝑒 = 𝑢𝑒𝑄𝐴 − 𝑢𝑒

𝑃𝐴 = −(𝜕𝜙

𝜕𝑥⁄ ) × 𝑟 × 𝑑𝑠 (A.2)

Integrando, obtém-se o campo de deslocamentos, ue(s):

𝑢𝑒(𝑠) = 𝑢𝑒

0 − (𝜕𝜙

𝜕𝑥⁄ )∫ 𝑟(𝑠)𝑑𝑠

𝑠

0

= 𝑢𝑒0 − (

𝜕𝜙𝜕𝑥⁄ )𝑤𝐶(𝑠)

(A.3)

u0e(s) é o deslocamento no ponto s=0 e wC(s) é a coordenada sectorial da secção em relação

ao centro de corte C.

Para que se possa obter um campo de extensões (deformações) adequado, será necessário

transformar o campo de deslocamentos, ue(s), em deslocamentos relativos (ure(s)), subtraindo o

primeiro do seu valor médio na secção, ūe :

𝑢𝑒𝑟(𝑠) = 𝑢𝑒(𝑠) − ū𝑒(𝑠) = (

𝜕𝜙𝜕𝑥⁄ ) [ŵ𝐶 − 𝑤𝐶(𝑠)] = (

𝜕𝜙𝜕𝑥⁄ )𝑊(𝑠) (A.4)

Onde:

ū𝑒(𝑠) =

1

𝐴∫ 𝑢𝑒(𝑠)𝑡(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑢𝑒

0 − (𝜕𝜙

𝜕𝑥⁄ )ŵ𝐶

𝑆𝑇

0

(A.5)

ŵ𝐶 =

1

𝐴∫ 𝑤𝐶(𝑠)𝑡(𝑠)𝑑𝑠𝑠𝑇

0

(A.6)

A representa a área da secção, sT o comprimento total da sua linha média e W(s) a função de

empenamento da secção.

Pode-se, então, descrever os campos de deformações (εx(s,x)) e tensões axiais (σx(s,x))

através de considerações cinemáticas (eq. (A.7)) e constitutivas (eq. (A.8)):

𝜀𝑥(𝑠, 𝑥) =

𝜕𝑢𝑒𝑟(𝑠, 𝑥)

𝜕𝑥=𝜕2𝜙

𝜕𝑥2𝑊(𝑠)

(A.7)

𝜎𝑥(𝑠, 𝑥) = 𝐸𝜀𝑥(𝑠, 𝑥) = 𝐸

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2𝑊(𝑠)

(A.8)

80

A determinação das tensões tangenciais, τe, vem da aplicação da equação (2.46) ao caso

geral em que a espessura é função de s (t(s)), o que resulta na condição de equilíbrio (A.9):

𝜕(𝜏𝑒 × 𝑡(𝑠))

𝜕𝑠= −𝑡(𝑠) ×

𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

(A.9)

Integrando em s, obtém-se a expressão:

𝜏𝑒(𝑠, 𝑥) = −1

𝑡(𝑠)∫𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

𝑡(𝑠)𝑑𝑠𝑠

0

= −𝐸𝜕3𝜙𝜕𝑥3

𝑡(𝑠)∫ 𝑊(𝑠)𝑡(𝑠)𝑑𝑠𝑠

0

(A.10)

Finalmente, chega-se à expressão de Te ([2],[5]):

𝑇𝑒(𝑥) = −∫ 𝑡𝜏𝑒(𝑠)𝑡(𝑠)𝑑𝑠 = −𝐸

𝜕3𝜙

𝜕𝑥3∫ [𝑊(𝑠)]2𝑡(𝑠)𝑑𝑠 𝑠𝑇

0

≡ −𝐸𝛤𝜕3𝜙

𝜕𝑥3

𝑠𝑇

0

(A.11)

Onde Γ é a constante de empenamento e pode ser calculada através de:

𝛤 = ∫ [𝑊(𝑠)]2𝑡(𝑠)𝑑𝑠

𝑠𝑇

0

(A.12)

81

ANEXO B

Coluna �̅�

[1/ε]

Participação de modos na encurvadura σcr [MPa]

Pft/Pcr Pf2/Pcr Pf3/Pcr Pl/Pcr p4+2 [%] p2 [%] p6+8 [%]

l2L600 2.9284 97.97% 0.35% 2.03% 27.40 1.0028 722.8593 181.5733 13.8138

l2L800 3.0532 98.82% 0.57% 1.18% 25.21 1.0016 442.0104 111.0274 14.9692

l2L1000 3.1171 99.23% 0.86% 0.77% 24.19 1.0010 294.8463 74.0617 15.5922

l2L1500 3.1859 99.64% 1.84% 0.36% 23.15 1.0003 136.8953 34.3864 16.3448

l2L2500 3.2294 99.87% 4.89% 0.13% 22.53 1.0003 50.6373 12.7196 17.4078

l2L3500 3.2514 99.94% 9.20% 0.06% 22.23 1.0000 26.1876 6.5781 18.3582

l6L600 1.8475 89.17% 0.80% 10.83% 68.85 1.0147 310.9449 80.5255 3.6311

l6L800 2.2178 95.49% 1.05% 4.51% 47.78 1.0053 252.0441 65.2720 5.2081

l6L1000 2.4926 97.67% 1.32% 2.33% 37.82 1.0025 203.7473 52.7645 6.5687

l6L1500 2.9026 99.25% 2.21% 0.75% 27.89 1.0006 122.7972 31.8009 8.9266

l6L2500 3.2164 99.79% 4.93% 0.21% 22.72 1.0002 54.2835 14.0580 11.2425

l6L3500 3.3306 99.90% 8.79% 0.10% 21.18 1.0002 29.6965 7.6904 12.5806

l12L600 0.9843 2.76% 0.11% 97.24% 242.53 1.2010 94.7443 26.6088 1.0102

l12L800 1.1884 80.47% 3.30% 19.53% 166.39 1.0288 77.6840 21.8174 1.4660

l12L1000 1.4342 90.68% 3.90% 9.32% 114.25 1.0118 72.4055 20.3351 2.1319

l12L1500 1.9703 97.65% 4.93% 2.35% 60.54 1.0026 60.7346 17.0572 4.0322

l12L2500 2.6886 99.55% 7.36% 0.45% 32.51 1.0003 40.7136 11.4343 7.6923

l12L3500 3.0856 99.83% 10.71% 0.17% 24.68 1.0003 27.3589 7.6835 10.5712

l18L600 0.9834 0.17% 0.02% 99.83% 243.02 2.9076 97.8919 30.5835 0.9981

l18L800 0.9865 0.48% 0.05% 99.52% 241.49 1.6714 55.4118 17.3118 1.0000

l18L940 0.9865 0.18% 0.02% 99.82% 241.49 1.2267 35.4635 12.5391 0.9986

l18L1500 1.3753 94.86% 10.38% 5.14% 124.24 1.0051 30.6356 9.5712 1.9446

l18L2500 2.0884 99.16% 12.81% 0.84% 53.88 1.0007 25.4304 7.9448 4.5771

l18L3500 2.6173 99.71% 15.70% 0.29% 34.31 1.0001 20.3790 6.3669 7.5067

l22L600 0.9962 0.07% 0.01% 99.93% 236.77 4.5409 101.3935 34.3077 1.0021

l22L800 0.9977 0.07% 0.01% 99.93% 236.07 2.5851 57.2042 19.3557 1.0008

l22L1000 0.9977 0.21% 0.03% 99.79% 236.10 1.6733 36.6059 12.3860 0.9990

l22L1300 0.9984 82.29% 13.32% 17.71% 235.74 1.0132 21.6933 7.3402 1.0008

l22L1500 1.1387 91.69% 15.07% 8.31% 181.23 1.0071 21.1949 7.1715 1.3033

l22L2500 1.7871 98.73% 17.92% 1.27% 73.58 1.0011 18.7934 6.3590 3.2565

l22L3500 2.3216 99.62% 20.54% 0.38% 43.60 1.0004 16.1810 5.4750 5.7485

82

ANEXO C

1. Efeito do aumento do comprimento.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l0)

l0L600

l0L800

l0L1000

l0L1500

l0L2500

l0L3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l2)

l2L600

l2L800

l2L1000

l2L1500

l2L2500

l2L3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l6)

l6L600

l6L800

l6L1000

l6L1500

l6L2500

l6L3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l12)

l12L800

l12L1000

l12L1500

l12L2500

l12L3500

83

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l18)

l18L1500

l18L2500

l18L3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (l22)

l22L1300

l22L1500

l22L2500

l22L3500

84

2. Efeito do aumento do “lip”.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (L1500)

l0

l2

l6

l12

l18

l22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (L2500)

l0

l2

l6

l12

l18

l22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β (L3500)

l0

l2

l6

l12

l18

l22

85

ANEXO D

-3

-2

-1

0

1

0 0.5 1 1.5

δ/t

y/L

δ/t vs x3/L (l18L940)

P/Pcr=0,860

P/Pcr=1,008

P/Pcr=1,070

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

δ/t

y/L

δ/t vs x3/L (l22L1000)

P/Pcr=0,864

P/Pcr=1,014

P/Pcr=1,202

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

δ/t

y/L

δ/t vs x3/L (l18L800)

P/Pcr=0,863

P/Pcr=1,030

P/Pcr=1,235

00.2

0.40.60.8

11.21.4

1.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

P/P

cr

β [rad]

P/Pcr vs β

l18L800

l18L940

l22L1000

86

ANEXO E

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dM

/t

y/L


P/Pcr=0,868

P/Pcr=0,945

P/Pcr=1,003

P/Pcr=1,198

P/Pcr=1,103-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dm

/t

y/L


P/Pcr=0,868

P/Pcr=0,945

P/Pcr=1,003

P/Pcr=1,198

P/Pcr=1,103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dM

/t

y/L


P/Pcr=0,863

P/Pcr=0,939

P/Pcr=1

P/Pcr=1,209

P/Pcr=1,095 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dm

/t

y/L


P/Pcr=0,863

P/Pcr=0,939

P/Pcr=1

P/Pcr=1,209

P/Pcr=1,095

87

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

dM

/t

y/L


P/Pcr=1

P/Pcr=0.845

P/Pcr=0.954

P/Pcr=1.20

P/Pcr=1,097 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

dm

/t

y/L


P/Pcr=0.845

P/Pcr=0.945

P/Pcr=1

P/Pcr=1.20

P/Pcr=1,097

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

β [

rad

]

y/L

β vs y/L (l12L3500)

P/Pcr=0,845

P/Pcr=0,954

P/Pcr=1,000

P/Pcr=1,060

P/Pcr=1,198

88

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dM

/t

y/L


P/Pcr=0,885

P/Pcr=0,925

P/Pcr=1,001

P/Pcr=1,212

P/Pcr=1,098 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dm

/t

y/L


P/Pcr=0,885

P/Pcr=0,925

P/Pcr=1,001

P/Pcr=1,212

P/Pcr=1,098

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

β [

rad

]

y/L

β vs y/L (l18L3500)

P/Pcr=0,885

P/Pcr=0,925

P/Pcr=1,001

P/Pcr=1,098

P/Pcr=1,212

89

ANEXO F

Modo crítico flexo-torsional

Coluna σb,ft MPa σb,f2 MPa σb,f3 MPa σb,t MPa σb,l MPa

fy= 75 MPa fy= 150 MPa fy= 300 MPa

fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy

l2L1000 24.19 7131.29 1791.29 24.24 377.12 2.2092 1.9640 0.5560 3.7986 3.3770 0.4780 5.6158 4.9924 0.3533

l2L2500 22.53 1141.01 286.61 22.71 392.25 1.5551 1.3861 0.3653 2.5313 2.2562 0.2973 3.4887 3.1096 0.2049

l2L3500 22.23 582.15 146.23 22.57 408.10 1.3294 1.1849 0.3080 1.9509 1.7388 0.2260 2.4574 2.1902 0.1423

l6L1000 37.82 7706.63 1995.79 37.99 248.46 1.5914 1.4249 0.6227 2.7566 2.4537 0.5440 4.5268 4.0294 0.4467

l6L3500 21.18 629.11 162.92 21.48 266.52 1.8892 1.6843 0.4173 2.5712 2.2923 0.2840 3.1084 2.7713 0.1717

l12L1000 114.25 8272.30 2323.27 116.32 243.57 1.1686 1.1686 0.8907 1.2081 1.1705 0.6800 1.5290 1.3612 0.4600

l12L3500 24.68 675.29 189.65 25.10 260.93 2.0997 1.8704 0.5400 3.4218 3.0481 0.4400 4.2565 3.7916 0.2737

l18L3500 34.31 699.11 218.42 35.18 257.52 1.5735 1.3948 0.5587 2.5408 2.2499 0.4513 3.9407 3.4895 0.3500

l22L2500 73.58 1382.82 467.89 75.84 239.61 1.1680 1.2149 0.7933 1.4133 1.2523 0.5340 --- --- ---

l22L3500 43.60 705.52 238.72 45.13 250.64 1.3416 1.2103 0.5893 2.0636 1.8063 0.4607 3.1357 2.7448 0.3500

Modo crítico local

Coluna σb,ft MPa σb,f2 MPa σb,f3 MPa σb,t MPa σb,l MPa

fy= 75 MPa fy= 150 MPa fy= 300 MPa

fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy

l12L600 291.27 22978.61 6453.52 292.91 242.53 --- --- --- --- --- --- 1.1539 1.2590 0.7467

l18L600 706.60 23789.22 7432.25 717.24 243.02 --- --- --- --- --- --- 0.9158 1.0891 0.7667

l18L800 403.63 13381.44 4180.64 409.81 241.49 --- --- --- --- --- --- 0.9229 1.1937 0.7667

l18L940 296.24 8564.12 3028.08 267.51 241.49 --- --- --- --- --- --- 13.3592 1.2714 0.7567

l22L600 1075.17 24007.23 8123.13 1101.75 236.77 --- --- --- --- --- --- 0.8541 1.0456 0.7600

l22L800 610.26 13504.06 4569.26 625.48 236.07 --- --- --- --- --- --- 0.9213 1.0961 0.7500

l22L1000 395.06 8642.60 2924.33 405.04 236.10 --- --- --- --- --- --- 0.8961 1.1765 0.7467

90

Modo crítico flexo-torsional

Coluna

fy= 450 MPa fy= 600 MPa fy= 750 MPa fy= 900 MPa fy= 1200 MPa

fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy

l2L1000 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l2L2500 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l2L3500 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l6L1000 5.4727 4.8713 0.3600 6.1483 5.4727 0.3033 --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l6L3500 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l12L1000 1.8946 1.6867 0.3800 2.2049 1.9629 0.3317 1.6989 1.5124 0.2044 2.7588 2.4561 0.2767 3.1688 2.8210 0.2383

l12L3500 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l18L3500 4.5037 3.9881 0.2667 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l22L2500 2.5669 2.2601 0.3244 2.8834 2.5387 0.2733 3.1120 2.7399 0.2360 3.2878 2.8947 0.2078 --- --- ---

l22L3500 3.7032 3.2414 0.2756 4.0615 3.5551 0.2267 --- --- --- --- --- --- --- --- ---

Modo crítico local

Coluna

fy= 450 MPa fy= 600 MPa fy= 750 MPa fy= 900 MPa fy= 1200 MPa

fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy fu/fnfteF fu/fnle fu/fy

l12L600 1.1789 1.2658 0.5689 1.1438 1.2202 0.4317 1.1472 1.2228 0.3480 1.1735 1.2509 0.2967 1.2527 1.3353 0.2375

l18L600 0.8413 1.1127 0.6444 0.7503 1.1548 0.5717 0.7905 1.1935 0.5160 0.8254 1.2276 0.4700 0.8003 1.1674 0.3600

l18L800 0.9876 1.2292 0.6222 1.0131 1.2306 0.5100 1.0044 1.2038 0.4173 0.9985 1.1903 0.3500 1.0016 1.1939 0.2633

l18L940 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

l22L600 0.7572 1.0425 0.6356 0.7158 1.0667 0.5667 0.6927 1.0938 0.5173 0.6072 1.1111 0.4744 0.6024 1.0700 0.3825

l22L800 0.7252 1.1036 0.6156 0.7617 1.1254 0.5317 0.7674 1.1055 0.4520 0.7580 1.0714 0.3844 0.7404 1.0247 0.2908

l22L1000 0.9777 1.2247 0.6111 0.9772 1.1857 0.4833 0.9596 1.1443 0.3893 0.9515 1.1276 0.3244 0.9515 1.1276 0.2433

comportamento e dimensionamento de cantoneiras reforçadas ... · iv resumo a presente...

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