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Comportamento Dinâmico de Sistemas de PrimeiraOrdem

Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 46

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Roteiro

1 Sistemas de Primeira OrdemFunção de Transferência de Sistemas de Primeira OrdemPuramente Capacitivo ou Integrador Puro

2 Resposta Transiente de Sistemas de Primeira OrdemResposta ao DegrauResposta ao ImpulsoResposta Senoidal

3 ExemplosDois Tanques de NívelResposta ao PulsoResposta Senoidal

4 Atividades Complementares



Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Primeira Ordem (ou retardo de primeira ordem ou estágioexponencial simples) é aquele cuja resposta y(t) é descrita por umaequação diferencial de primeira ordem:

a1dydt

+ a0y = bu, y(0) = 0

Se a0 6= 0, entãoa1

a0

dydt

+ y =ba0

u, y(0) = 0

Fazendoa1

a0= τp e

ba0

= Kp

tem-seτp

dydt

+ y = Kp u, y(0) = 0

que é a forma padrão de representar um sistema de primeira ordem,



Sistemas de Primeira Ordemcontinuação

ondeτp – constante de tempo do sistema: indica a rapidez com que aresposta do sistema reage a uma perturbação em uma certaentradaKp – ganho estacionário ou ganho estático ou ganho do processo:é a razão entre os valores finais da resposta e de umadeterminada entrada considerada

Kp =∆y∆u

(degrau em u), ou

Kp = lims→0

[Gp(s)]



Função de Transferência de Sistemas de 1a OrdemAplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo

τpsY (s) + Y (s) = KpU(s)

(τps + 1)Y (s) = KpU(s)

Gp(s) =Y (s)

U(s)=

Kp

τps + 1

t p s + 1K pU ( s ) Y ( s )

D i a g r a m a d e B l o c o s



Puramente Capacitivo ou Integrador Puro

Caso Particular: Se a0 = 0

dydt

=ba1

u = K ′pu

Gp(s) =Y (s)

U(s)=

K ′p

s

diz-se que o sistema é puramente capacitivo ou integrador puro.



Resposta ao DegrauAs respostas transientes de sistemas de 1a ordem são apresentadaspara três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudoexperimental e teórico do controle de processos.

Resposta ao Degrau

A função degrau de amplitude A é expressa por

u(t) = Au∗(t), t ≥ 0

onde u∗(t) é a função degrau unitário

0

u

t

AU ( s ) = A

s

Figura: Perturbação degrauSistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 7 / 46


Resposta ao Degraucontinuação

Combinando a função de transferência de um sistema de 1a ordem e aTransformada de Laplace da função degrau com amplitude A,

Y (s) =Kp

τps + 1As

cuja transformada inversa de Y (s), y(t), será igual a

y(t) = KpA(1− e−t/τp)




A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)/KpA contra o tempo adimensional t/τp:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau

t/τp

y/K

pA




Destacam-se nessa resposta:1 o valor de y(t) alcança 63,2% do seu valor final após decorrido

um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, τp.Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será aresposta do sistema. A resposta é essencialmente completaapós 3 a 5 constantes de tempo

tempo decorrido τp 2τp 3τp 4τp 5τp[y(t)/y(∞)]× 100 63,2 86,5 95 98,2 99,3




2 a inclinação da curva resposta em t = 0 é igual a 1

d [y(t)/KpA]

d [t/τp]

∣∣∣∣t=0

=(

e−t/τp)

t=0= 1

se a velocidade inicial de variação de y(t) fosse mantida, aresposta seria completa após uma constante de tempo

3 o valor final da resposta é igual a KpA

∆y∆u

= Kp ⇒ y(t →∞)→ KpA



Resposta ao Impulso

Resposta ao Impulso

Matematicamente, a função impulso de intensidade A é definida por

u(t) = Aδ(t), t = 0

onde δ(t) é a função impulso unitário

0

u

t

AU ( s ) = A

b

b

0

u

t

Ab ® 0



Resposta ao Impulsocontinuação

A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbadopor um impulso de intensidade A, pode ser expressa por:

Y (s) =Kp

τps + 1A

A transformada inversa de Y (s), y(t), será igual a

y(t) =KpAτp

e−t/τp



Resposta ao Impulsocontinuação

A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)τp/KpA contra o tempo adimensional t/τp:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso

t/τp

yτp/K

pA

Note que a respostacresce imediata-mente para 1, 0 e,após decai exponen-cialmente.



Resposta Senoidal

Resposta Senoidal

Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pelaequação

u(t) = A sen(wt), t ≥ 0

onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2πf ,f=frequência em ciclos por tempo).

A Transformada de Laplace de u(t) é

U(s) =Aw

s2 + w2



Resposta Senoidalcontinuação

Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1a

ordem, encontra-se

Y (s) =Kp

τps + 1Aw

s2 + w2

Calculando a transformada inversa de Y (s), obtém-se

y(t) =KpAwτp

τ2p w2 + 1

e−t/τp +KpA√

τ2p w2 + 1

sen(wt + φ)

φ = arctg(−wτp)




Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistemade 1a ordem a ela

0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal

t

y

uy




Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal:

1 a resposta é também uma onda senoidal com frequência w igualà onda senoidal do sinal de entrada

2 quando t →∞, resta apenas a solução periódica final, algumasvezes chamada de solução estacionária

y(t)|s =KpA√

τ2p w2 + 1

sen(wt + φ)

φ = arctg(−wτp)

(o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelocomportamento transiente da resposta de y(t))




3 a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) eda entrada é a chamada razão de amplitude, AR

AR =

KpAqτ2

p w2+1

A=

Kp√τ2

p w2 + 1

Se AR < 1, diz-se que o sinal é atenuado.O mesmo é válido para a razão de amplitude normalizada, ARN ,obtida quando divide-se AR pelo ganho do processo, Kp

ARN =ARKp

=1√

τ2p w2 + 1

< 1, portanto atenuado

ARN apresenta apenas o efeito da dinâmica do processo, τp,sobre a resposta senoidal




4 a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo |φ|. Oatraso sempre ocorrerá, pois o sinal de φ é sempre negativo(φ < 0, atraso de fase; φ > 0, avanço de fase)



Dois Tanques de Nível

ExemploDois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir

F o

h( A ) F

T a n q u e 1 T a n q u e 2

F o

h( A ) hkF =

Figura: Dois tanques de nível




Exemplo (continuação)

Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada como F = 8√

h. Para oTanque 2, a variação do nível h não afeta a vazão de saída, F . Ambosos tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme comárea A = 0, 3 m2 e encontram-se em estado estacionário, com nívelde líquido igual hs = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada, Fo, éaumentada para 10 m3/min. Para cada tanque, determine:(a) a função de transferência H(s)/Fo(s)

(b) a resposta transiente h(t)(c) os níveis no novo estado estacionário(d) se cada tanque tem altura nominal hn = 2 m, qual dos tanques

transbordará? E quando?




Solução

Tanque 1Modelo Linearizado

dhdt

=Fo

A− k

2A√

hsh, h(0) = 0

Função de TransferênciaA função de transferência entre a variável de saída, H(s) e avariável de entrada, Fo(s) é:

Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

Kp

τps + 1, onde

Kp =2√

hs

k=

(2)(1)

(8)= 0, 25 m/(m3/min)

τp =2A√

hs

k=

(2)(0, 3)(1)

(8)= 0, 075 min



Dois Tanques de Nívelcontinuação

Função de TransferênciaSubstituindo os valores numéricos de Kp e τp tem-se:

Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

0, 250, 075s + 1

Resposta ao DegrauA entrada Fo sofre um perturbação degrau de amplitude∆Fo = 10− (8)(1)︸︷︷︸

Fs=8√

hs

= 2 m3/min. A transformada inversa de

H(s) =Kp

τps + 1∆Fo

s

será igual a

h(t) = Kp∆Fo

(1− e−t/τp

)= (0, 25)(2)

(1− e−t/0,075

)= 0, 50

(1− e−t/0,075

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Resposta ao DegrauEm variável absoluta

h(t) = 1 + 0, 50(

1− e−t/0,075)

Após a perturbação, a altura do tanque irá para

h(t →∞) = 1 + 0, 50 = 1, 50 m < 2 mnão transbordará




Resposta ao Degrau

A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo não-linear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) em Fo:

no EE: Fos − k√

hs = 0

hs =

(Fos

k

)2

hs =

(108

)2

= 1, 56 m < 2 m → não transbordará



Dois Tanques de NívelTanque 2

Modelo Linear(izado)

dhdt

=Fo

A− F

A, h(0) = 0


sH(s) =Fo(s)

A− F (s)

A

Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

1/As

Substituindo o valor numérico de A tem-se

Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

3, 33s




Resposta ao DegrauA entrada Fo sofre um perturbação degrau de amplitude∆Fo = 10− (8)(1)︸︷︷︸

Fs=8√

hs

= 2 m3/min. A transformada inversa de

H(s) =1/A

s∆Fo

s

será igual a

h(t) =∆Fo

At =

(2)

(0, 3)t = 6, 67t

Em variável absolutah(t) = 1 + 6, 67t

Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente como tempo, sem atingir novo valor final.




Resposta ao DegrauO tanque irá transbordar quando h(tb) > hn

2 = 1 + 6, 67tb ⇒ tb =2− 16, 67

= 0, 15 min

transbordará




Resposta ao Degrau

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.351

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2Altura de Líquido no Tanque

t (min)

h (

m)

hlinear

hcapacitivo

hnominal

Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível



Resposta ao Pulso

Exemplo

Um tanque de nível de seção reta uniforme de área A = 0, 3 m2 e vazãode saída calculada como F = 8

√h, encontra-se em estado estacioná-

rio, com nível de líquido igual hs = 1 m. No tempo t = 0, a vazãode entrada é aumentada bruscamente para 9 m3/min, durante 0,1 min,pela adição uniforme de 0,10 m3 de líquido no tanque. Mostre a res-posta do sistema no tempo e compare-a com a resposta impulsional.



Resposta ao Pulso

Exemplo (continuação)

F o

h( A ) hkF =

Figura: Tanque de nível



Resposta ao Pulso

Solução


Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

Kp

τps + 1, onde

Kp =2√

hs

k=

(2)(1)

(8)= 0, 25 m/(m3/min)

τp =2A√

hs

k=

(2)(0, 3)(1)

(8)= 0, 075 min

Substituindo os valores numéricos de Kp e τp tem-se:

Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

0, 250, 075s + 1



Resposta ao Pulsocontinuação

Perturbação Pulso

A entrada Fo sofre um perturba-ção pulso de amplitude ∆Fo = 9 −(8)(1)︸︷︷︸

Fs=8√

hs

= 1 m3/min e duração de

0,1 min.Esta perturbação pode ser repre-sentada como dois degraus iguaise consecutivos, mas de sinaisopostos

8

9

70

0 , 10 , 2

t , m i n

F o , m 3 / m i n

0

1

- 10 0 , 1 0 , 2

t , m i n

F o , m 3 / m i n0 , 1 0 m 3

d e s v i o




Perturbação Pulso

Fo(t) = ∆Fo [u(t)− u(t − to)]

com to = 0, 1 min e cuja Transformada de Laplace é

Fo(s) = ∆Fo

(1s− e−tos

s

)




Solução no TempoResolvendo a equação no domínio da Transformada

H(s) =Kp

τps + 1∆Fo

(1s− e−tos

s

)H(s) = Kp∆Fo

[1

s(τps + 1)− e−tos

s(τps + 1)

]cuja transformada inversa será igual a

h(t) = Kp∆Fo

{(1− e−t/τp

)u(t)−

[1− e−(t−to)/τp

]u(t − to)

}




Solução no TempoOu

h(t) =

{Kp∆Fo

(1− e−t/τp

)t < to

Kp∆Fo{(

1− e−t/τp)−

[1− e−(t−to)/τp

]}t > to

h(t) =

{Kp∆Fo

(1− e−t/τp

)t < to

Kp∆Fo[(

eto/τp − 1)

e−t/τp]

t > to

Substituindo pelos valores numéricos

h(t) =

{(0, 25)(1)

(1− e−t/0,075

)= 0, 25

(1− e−t/0,075

)t < 0, 1 min

(0, 25)(1)[(

e0,1/0,075 − 1)

e−t/0,075]

= 0, 698e−t/0,075 t > 0, 1 min




Solução no TempoComparando com a resposta impulsional de intensidade ∆Fo × to

h(t) =Kp∆Foto

τpe−t/τp =

(0, 25)(1)(0, 1)

(0, 075)e−t/0,075 = 0, 33e−t/0,075

Em variável absoluta

h(t) =

{1 + 0, 25

(1− e−t/0,075) t < 0, 1 min

1 + 0, 698e−t/0,075 t > 0, 1 min

h(t) = 1 + 0, 33e−t/0,075




Solução no Tempo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

Pulso e Impulso em F0

t (min)

h (

m)

resposta ao pulso

resposta ao impulso

Figura: Resposta impulsional e ao pulso



Resposta Senoidal

ExemploA composição de alimentação de um reator varia com uma amplitudemaior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para re-duzir a variação na composição de alimentação, como mostrado nafigura:

CAC*A0CA0

V C*A0

FF F

TanquePulmão Reator

Figura: Reator com tanque pulmão



Resposta Senoidal

Exemplo (continuação)Deseja-se, então, saber qual o volume mínimo requerido do tanquepulmão para que a variação da composição na corrente de entrada doreator seja menor ou igual a ±20 g/m3? Analise e discuta a solução.Considere uma vazão de alimentação F = 1 m3/min e uma concentra-ção de alimentação CA0 variando segundo uma senóide com amplitudede 200 g/m3 e período de 5 min, na vizinhança de um valor médio de200 g/m3.



Resposta Senoidal

Solução

Modelo LineardC∗

A0dt

=FV

(CA0 − C∗A0), C∗

A0(0) = C∗A0s

Função de TransferênciaA função de transferência entre a variável de saída, C∗

A0(s) e avariável de entrada, CA0(s) é obtida a partir do modelo linearescrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio:

dC∗A0

dt+

FV

C∗A0 =

FV

CA0

Gp(s) =C∗

A0(s)

CA0(s)=

Kp

τps + 1, onde

Kp =F/VF/V

= 1 e τp =1

F/V= V/F min




Resposta à SenóideA entrada CA0 comporta-se como uma perturbação senoidalA sen(wt) com amplitude A = 200 g/m3 e frequência angularw = 2πf = 2π/T = 2π/5 = 0, 4π min−1. A transformada inversade

C∗A0(s) =

Kp

τps + 1Aw

s2 + w2

será igual a

C∗A0(t) =

KpAwτp

τ2p w2 + 1

e−t/τp +KpA√

τ2p w2 + 1

sen(wt + φ)

φ = arctg(−wτp)




Solução EstacionáriaApós um transiente inicial, considera-se apenas a chamadasolução estacionária:

C∗A0(t) =

KpA√τ2

p w2 + 1sen(wt + φ)

φ = arctg(−wτp)




Solução EstacionáriaDeseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator sejareduzida de A = ±200 g/m3 para A∗ = ±20 g/m3; isto é, projetar umtanque pulmão com volume V suficiente para atenuar o sinal originalCA0(t) para C∗

A0(t). Desta forma, a amplitude do sinal C∗A0(t) será igual

a:

A∗ =KpA√

τ2p w2 + 1

A∗ =KpA√

(V/F )2w2 + 1

V =Fw

√(KpAA∗

)− 1 =

10, 4π

√[(1)(200)

20

]− 1

V = 2, 4 m3



Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II).

livro do Stephanopoulosb, capítulos 11 e 12.

livro do Seborg et al.c , capítulos 5 e 6.

aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory andPractice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.

cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st

Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.



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