de regras de feynman a amplitudes físicas consistentes nos cálculos perturbativos em tqcs - pedro...

8/17/2019 De Regras de Feynman a Amplitudes Físicas Consistentes nos Cálculos Perturbativos em TQCs - Pedro G. de Oliv…

1/82

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE FÍSICA

DE REGRAS DE FEYNMAN A AMPLITUDES

FÍSICAS CONSISTENTES NOS CÁLCULOSPERTURBATIVOS EM TEORIAS QUÂNTICAS

DE CAMPOS

TRABALHO FINAL DE GRADUAÇ ÃO II

Pedro Gonçalves de Oliveira

Santa Maria, RS, Brasil2015


2/82

DE REGRAS DE FEYNMAN A AMPLITUDESFÍSICAS CONSISTENTES NOS CÁLCULOS

PERTURBATIVOS EM TEORIAS QUÂNTICASDE CAMPOS

por

Pedro Gonçalves de Oliveira

Trabalho Final de Graduação IIapresentado ao Curso de F́ısica Bacharelado

da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS)como requisito para a obtenção do grau de

Bacharel em F́ısica.

Orientador: Prof. Dr. Orimar A. Battistel

Santa Maria, RS, Brasil

2015


3/82

Universidade Federal de Santa MariaCentro de Ciências Naturais e Exatas

Curso de F́ısica

A Comissão Examinadora, abaixo assinada,aprova o Trabalho Final de Graduação II

DE REGRAS DE FEYNMAN A AMPLITUDES FÍSICASCONSISTENTES NOS CÁLCULOS PERTURBATIVOS EM

TEORIAS QUÂNTICAS DE CAMPOS

elaborado porPedro Gonçalves de Oliveira

como requisito para obtenção do grau deBacharel em F́ısica

COMISSÃO EXAMINADORA

Orimar A. Battistel(Presidente/Orientador)

César de Oliveira Lobo (UFSM)

Alcides Gilberto da Rosa Ardornes (UFSM)

Santa Maria, 18 de Dezembro de 2015.


4/82

RESUMO

Trabalho Final de Graduação IICurso de F́ısica

Universidade Federal de Santa Maria

DE REGRAS DE FEYNMAN A AMPLITUDES FÍSICASCONSISTENTES NOS CÁLCULOS PERTURBATIVOS

EM TEORIAS QUÂNTICAS DE CAMPOSAutor: Pedro Gonçalves de Oliveira

Orientador: Orimar A. BattistelData e Local da Defesa: Santa Maria, 18 de Dezembro de 2015.

Com a utilização de um método alternativo aos tradicionais de regularização, todasas amplitudes perturbativas de um modelo bastante geral, cuja contagem de potênciasindica a possibilidade de divergências, são explicitamente calculadas e suas proprieda-des de simetria verificadas. O método alternativo citado, ao qual nos referiremos comoCálculo Perturbativo Preditivo (CPP), como é mostrado detalhadamente na presente in-vestigação, permite o cálculo das amplitudes perturbativas sem a necessidade de explicitarum método especı́fico de regularização. Nos passos intermedíarios são assumidas apenasduas propriedades muito gerais: a validade da linearidade e da integração simétrica emintegrais de Feynman. As partes divergentes são organizadas em um conjunto conveni-

ente de objetos matemáticos, enquanto que as partes finitas são escritas em termos de umconjunto de funções dos momentos externos às amplitudes, definidas em representaçõesintegrais nos parâmetros de Feynman. A conexão com outros métodos é sempre posśıvelatravés da interpretação espećıfica dos objetos divergentes presentes nas formas finais ob-tidas. A renormalização, quando for o caso, pode ser efetuada sem o cálculo expĺıcito dosobjetos divergentes.

O modelo utilizado na presente investigação é representado por uma lagrangi-ana contendo diferentes espécies de férmions massivos, de spin 1

2, acoplados com campos

bosônicos de spin 0 e 1, estes com paridade par e ı́mpar (escalares, pseudo-escalares,vetoriais e axiais). Deste modo, as identidades de Ward relacionam precisamente as di-

vergências das correntes axiais com as pseudo-escalares, bem como as correntes vetoriaiscom aquelas escalares, gerando um conjunto bastante amplo de v́ınculos. Tais v́ınculos, juntamente com as relações entre funções de Green e os teoremas de baixa energia, repre-sentam as propriedades exigidas pela consistência. Além disso, é claro, deve-se exigir queas amplitudes serem livres de ambiguidades. Esta última exigência desempenha um papelsecundário na presente investigação, tendo em vista que a dimensão espaço-temporal domodelo é adotada como D = 1 + 1.

Após verificar-se a impossibilidade de obter-se a consistência desejada, tratando asamplitudes do cálculo perturbativo como quantidades a serem regularizadas, são testadasas expressões correspondentes às mesmas amplitudes, porém obtidas no contexto de uma

nova interpretação. Na mencionada interpretação, as amplitudes f́ısicas são definidas apartir daquelas produzidas pelas regras de Feynman através de uma regra universal, semque necessitem ser regularizadas. A ampla consistência verificada nos testes realizadosno presente estudo permite concluir que a interpretação proposta pode resolver alguns


5/82

conhecidos problemas encontrados em cálculos perturbativos de Teorias Quânticas deCampos (TQC), associados ao poder de predição de tais teorias em soluções perturbativas(ambiguidades), bem como proporcionar interpretações alternativas para o fenômeno dasinevitáveis violações em relações de simetria ou anomalias.


6/82

ABSTRACT

Undergraduate Final Work IIBachelor Degree in Physics

Federal University of Santa Maria

FROM FEYNMAN RULES TO CONSISTENT PHYSICAL AMPLITUDESIN PERTURBATIVE QUANTUM FIELD THEORIES

Author: Pedro Gonçalves de OliveiraAdvisor: Orimar A. Battistel

Place and Date of Presentation: Santa Maria, December 18th 2015.

Using an alternative method to the traditional regularizations, all the amplitudes- of a very general model - which the power-counting indicates possibility of divergenceare explicitly calculated, and their symmetry properties verified. The method mentionedabove, which we call Perturbative Predictive Calculus (PPC) - as shown in details on thepresent investigation - permits the calculation of the amplitudes without making explicitany specific regularization method. On the intermediate step, only two very generalproperties are assumed: the linearity and symmetrical integration of Feynman integrals.The divergent terms are organized in a convenient set of mathematical objects, while thefinite part is written in terms of a set of functions of the external momenta, defined onintegral representation on the Feynman parameters. The connexion with other methods

is always possible through the specific interpretation of divergent objects present in thefinal expressions. Renormalization, when needed, can be done without explicit calculationof the divergent objects.

The model used on the present investigation is represented by a lagrangian contai-ning different kinds of massive fermions of 1

2 spin, coupled with bosonic fields with spins

0 and 1, with even and odd parity (scalar, pseudoscalar, vectorial and axial). This way,the Ward identities relate the axial-current divergences with the pseudo-scalar ones, aswell as the vector-currents with scalar-currents. This generates a wide set of constraints.These constraints, together with the relations between Green functions and low-energytheorems, represent the required properties for consistency. Also, the amplitudes are re-

quired to be free of ambiguities. This last requirement plays a secondary role in thisinvestigation, as the adopted space-time dimension is D=1+1.

After verifying the impossibility of obtaining the required consistency when inter-preting the amplitudes as quantities to be regularized, we test expressions for the sameamplitudes - obtained, however, in the context of a new interpretation. Under the lightof that, physical amplitudes are defined from the forms generated from the Feynman di-agrams, and with an universal rule - without any need for being regularized. The wideconsistency verified on the performed calculations allows us to conclude that the proposedinterpretation should solve some widely know problems in perturbative QFT, associatedwith the prediction power of such theories (ambiguities), as well as proposing an alterna-

tive interpretation to the anomalies phenomena.


7/82

SUMÁRIO

1 INTRODUÇ ÃO 91.1 A busca por uma teoria unificada e o surgimento da Teoria Quântica de

Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Sobre a interpretação dos resultados matemáticos . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Descrição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 CONSTRUÇ ÃO E CÁLCULO DAS AMPLITUDES 192.1 Funções de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Função de um ponto escalar (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Função de um ponto pseudo-escalar (P) . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Função de um ponto vetorial (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4 Função de um ponto axial (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Funções de dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Função de dois pontos escalar-escalar(SS) . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Função de dois pontos escalar-pseudo-escalar(SP) . . . . . . . . . . 262.2.3 Função de dois pontos escalar-vetorial (SV) . . . . . . . . . . . . . 272.2.4 Função de dois pontos escalar-axial (SA) . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.5 Função de dois pontos pseudo-escalar-pseudo-escalar (PP) . . . . . 282.2.6 Função de dois pontos pseudo-escalar-vetorial (PV) . . . . . . . . . 282.2.7 Função de dois pontos pseudo-escalar-axial (PA) . . . . . . . . . . . 282.2.8 Função de dois pontos vetorial-vetorial (VV) . . . . . . . . . . . . . 292.2.9 Função de dois pontos axial-axial (AA) . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.10 Função de dois pontos axial-vetorial (AV) . . . . . . . . . . . . . . 31

3 RELAÇ ÕES DE SIMETRIA 323.1 Relações entre funções de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Contrações com o ́ındice vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Contrações com o ́ındice axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Contrações com o ́ındice vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Contrações com o ́ındice axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.3 Sobre as relações de consistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Limites de baixa energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Amplitude VV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Amplitude AA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.3 Amplitude AV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 UMA PROPOSTA DE AMPLITUDES CONSISTENTES 624.1 Verificação das identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Verificação dos teoremas de baixa energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 CONCLUSÃO 69

Apêndice A - Matrizes de Dirac 72

Apêndice B - Parametrização de Feynman 74


8/82

Apêndice C - Integração Dimensional 77

Apêndice D - Solução das integrais de Feynman 79


9/82

9

1 INTRODUÇ ÃO

1.1 A busca por uma teoria unificada e o surgimento da Teoria Quântica deCampos

A razão humana tem a capacidade de identificar aspectos comuns entre eventos

aparentemente isolados. Em ciências naturais, isto permite a classificação e organização

de uma enorme gama de fenômenos disponı́veis no ambiente natural ou produzidos em la-

boratório sob condições planejadamente construı́das. A crença de que todos estes eventos

podem ser estudados com modelos que seguem a determinação de leis, prinćıpios ou re-

gras bem determinadas faz com que as informações obtidas em cada investigação realizadasejam organizadas de modo a revelarem tais leis, prinćıpios ou regras.

Neste contexto, podemos dizer que o objetivo da F́ısica, como ciência pura, é expor

os prinćıpios racionais que fundamentam os fenômenos captados, em última instância,

pelos nossos sentidos ( fenˆ omenos f́ısicos ), a fim de construir um elo entre a realidade

racional e a realidade emṕırica; entre o pensamento humano e a fenomenologia.

Com o surgimento da ciência moderna, estudiosos das ciências f́ısicas passaram

a se focar na identificação de relações quantitavas entre grandezas f́ısicas nos fenômenos

observados. A matemática passou, assim, a ser linguagem mais adequada para representar

tais relações. A partir da formulação de leis na forma de equações, passou-se a representar

quantitativamente algumas relações de causa e efeito entre grandezas f́ısicas.

Com o passar do tempo, a busca pela descrição dos fenômenos f́ısicos passou a

ser a procura por uma teoria única que possa ser constrúıda sobre um pequeno conjunto

de axiomas, e que tenha a capacidade de explicar todos os eventos pasśıveis de serem

observados experimentalmente. Pode-se dizer que esta tendência já estava evidente no

pensamento de Isaac Newton, que estabeleceu que as mesmas leis regem a dinâmica dos

corpos celestes e terrestres. O movimento dos astros já vinha sendo estudado há séculos,

culminando com as Leis de Kepler. O movimento dos corpos “abaixo da esfera celeste”

tinha sido descrito satisfatoriamente por Galileu Galilei. Entretanto, estes fenômenos

sempre foram descritos separadamente. Newton unificou estas distintas áreas de conhe-

cimento, e inaugurou a busca moderna e contemporânea por uma teoria unificadora, que

inclua um grande número de fenômenos f́ısicos; e se posśıvel, todos.

O uso de ferramentas matemáticas mais robustas, desenvolvidas por Joseph-Louis

Lagrange e William Rowan Hamilton, permitiu o aperfeiçoamento dos estudos de Newton.

Desta maneira, já no ińıcio do século XIX foi posśıvel obter-se uma descrição detalhada e

precisa da dinâmica dos corpos em geral através de um formalismo bem fundamentado ma-tematicamente, o que se chama hoje de Mecˆ anica Cl´ assica . De maneira independente, mas

seguindo os mesmos fundamentos filosóficos, uma grande śıntese dos fenômenos elétricos


10/82

10

e magnéticos foi obtida por James Clerk Maxwell na segunda metade do século XIX,

ao formular uma teoria para os fenômenos eletromagnéticos baseada em um conjunto de

quatro leis. Estas tinham a capacidade de descrever consistentemente todos os fenômenos

elétricos e magnéticos observados até então, e de prever uma ampla classe de fenômenosainda não observados.

Quando os dois conjuntos de leis acima citados, de Maxwell e de Newton, haviam

se consolidado amplamente pela comparação entre predição teórica e observação experi-

mental, passaram a fazer parte das preocupações dos pensadores da f́ısica questões mais

profundas do ponto de vista filosófico, como a invariância das leis f́ısicas frente à mudança

de observadores ou sistemas de refer̂encia. Por ser arbitrária e objeto de escolha, a mu-

dança de sistemas de referência não deveriam influenciar na fenomenologia das leis fı́sicas,

se estas realmente são leis universais.Neste aspecto, a teoria eletromagnética aparentemente não podia ser conciliada

com a Mecância Clássica, pois as transformações que mantinham um dos conjuntos de

leis invariantes não o fazia com o outro. A fim de resolver esta controvérsia, Albert

Einstein propôs a Teoria da Relatividade Restrita em 1905, adotando as transformações

de Lorentz como universais. Isto exigiu a modificação das Leis de Newton, a fim de que

exibissem a exigida invariância frente à mudança de sistema de referência inerciais (com

velocidade relativa uniforme), e manteve as leis do eletromagnetismo de Maxwell intactas.

Assim, passou-se a exigir que as leis fı́sicas exibam covariˆ ancia de Lorentz , o que garante

a mesma forma matemática em qualquer referencial inercial.

Também no ińıcio do século XX, uma outra classe de fenômenos passou a exigir

uma adequada descrição teórica. A F́ısica, naquele momento, era incapaz de descrever

teoricamente alguns resultados experimentais obtidos em laboratórios, relativos às in-

terações entre partı́culas microscópicas. Fenômenos como a radiação do corpo negro, o

experimento da fenda dupla para o elétron, assim como as propriedades dos átomos, exi-

giam claramente uma nova teoria para uma adequada descrição. A solução veio através

dos trabalhos de Erwin Schrödinger e Werner Heisenberg, que propuseram, independen-

temente, formulações para a Mecânica Quântica. Esta estabelece que as informações a

respeito da dinâmica de partı́culas microscópicas estão contidas em uma função de onda

ψ (r, t) [1], determinada pela solução da equação:

Ĥψ (r, t) = i ∂

∂tψ (r, t) , (1.1)

condicionada a ser de quadrado integrável. Na equação, Ĥ é o operador Hamiltoni-

ano, função das coordenadas e dos momentos associados, representando a energia totaldo sistema, de modo análogo à Mecânica Clássica, porém obedecendo à prescrição de

Schrödinger onde coordenadas e momentos são associados por ˆ p = −i −→∇:


11/82

11

Ĥ = ˆ p2

2m + V (x) = −

2

2m∇2 + V (x) . (1.2)

A teoria proposta mostrou-se bem sucedida na descrição dos fenômenos da escalaatômica, mas sua formulação, intrinsecamente não relativ́ıstica, não lhe conferia a co-

variância de Lorentz. Seria adequado então construir versões relativ́ısticas da teoria de

Schrödinger.

À primeira vista bastaria substituir a expressão utilizada para a energia total na

prescrição de Schrödinger, vinda da Mecânica Clássica, pela correspondente extráıda da

Mecânica Relativ́ıstica:

Ĥ 2

= c2

ˆ p2

+ m2

c2

, (1.3)

e aplicar a prescrição de Schrödinger para a relação entre as coordenadas e os momentos.

Foi precisamente o que fizeram Klein e Gordon ao proporem a equação

2 +mc

2ψ = 0, (1.4)

para desempenhar o papel de ser a versão relativ́ıstica da equação de Schrödinger. Esta,

entretanto, não foi bem sucedida na tarefa, não permitindo a interpretação probabiĺısticaanáloga àquela da equação de Schrödinger para a função de onda [2], fato associado

principalmente à presença de derivadas temporais de segunda ordem.

Na tentativa de contornar as dificuldades Dirac propôs uma equação de primeira

ordem (no espaço e no tempo):

(i γ µ∂ µ − mc) ψ = 0. (1.5)

Nesta equação, γ µ representa um conjunto de matrizes 4 × 4 satisfazendo uma

álgebra não-comutativa [3]. Com isso a quantidade ψ passa a ser um spinor com quatro

componentes ao invés de uma função escalar.

A equação de Dirac mostrou-se bem sucedida em sua tarefa de descrever propri-

edades relativ́ısticas dos elétrons e de partı́culas de spin 12

em geral. Por sinal, um dos

grandes sucessos desta equação foi fazer surgir naturalmente o spin do elétron, que na te-

oria não-relativ́ıstica aparece apenas por imposição na construção dos estados quânticos,

após a solução da equação de Schrödinger.

Com o tempo, novas investigações esclareceram que uma equação de onda rela-

tiv́ıstica diferente deve ser escrita para cada valor de spin carregado pela part́ıcula. As

quantidades ψ que aparecem nas equações como sendo funções de onda relativ́ısticas de-

vem ser interpretadas como campos sobre os quais deve ser imposta uma nova forma de


12/82

12

quantização (segunda quantização) [4] [5]. Ainda assim elas não descrevem a dinâmica

relativ́ıstica de part́ıculas interagentes mas apenas de part́ıculas livres. Seria necessário

desenvolver uma teoria quântica e relativı́stica para campos interagentes. Este é precisa-

mente o ponto onde surge a Teoria Quântica de Campos (TQC).A Teoria Quântica de Campos utiliza a mesma linguagem variacional da Teoria

de Campos Clássicos para tratar interações entre part́ıculas fundamentais. A diferença é

que nela os campos são associados às part́ıculas interagentes, e devem ser quantizados.

Como resultado disto é posśıvel interpretar as interações entre partı́culas como sendo me-

diadas por outras part́ıculas. Esta inovadora formulação, quando aplicada às interações

eletromagnéticas, gera uma teoria denominada Eletrodinâmica Quântica (EDQ), comu-

mente citada como a mais bem sucedida teoria da f́ısica, quando se trata da concordância

na comparação entre predição teórica e resultado experimental. Este sucesso motivou odesenvolvimento de teoria quânticas de campos para as demais interações fundamentais,

principalmente para as forças fraca e forte (Cromodinâmica Quântica). Posteriormente,

permitiu a criação de teorias unificadas, como a teoria eletrofraca e o Modelo Padr ão

da f́ısica de partı́culas. Nesta última, as três forças fundamentais (força eletromagnética,

força nuclear fraca e força nuclear forte) são tratadas de um ponto de vista unificado.

Mas o sucesso da Teoria Quântica de Campos não se deu de imediato. Foi ne-

cessário contornar certos problemas intŕınsecos em sua estrutura matemática. A impos-

sibilidade de se obter soluções exatas, com raras exceções, exige a adoção de métodos

perturbativos para o desenvolvimento das soluções.

Neste contexto aparecem divergências em quantidades correspondentes a processos

f́ısicos. A presença de infinitos, obviamente, não permite a construção da correspondência

entre teoria e observáveis f́ısicos. Deste modo, a fim de estabelecer o poder de predição

das teorias quânticas de campos em soluções perturbativas é necessária uma adequada

interpretação das soluções cujo resultado produza quantidades finitas, não amb́ıguas e

consistentes com as simetrias implementadas na construção da teoria. A necessidade de

tratar estas divergências de maneira consistente é o ponto de partida para o presente

trabalho.

1.2 Sobre a interpretação dos resultados matemáticos

É necessária uma devida interpretação das quantidades divergentes, em teorias

quântica de campos, para que se obtenha a devida fenomenologia. Mas a necessidade da

interpretação das soluções de equações geradas por leis f́ısicas não é um atributo exclusivo

de teorias quânticas de campos. ´E, na verdade, uma caracteŕıstica intŕınseca do uso de

ferramentas matemáticas pela F́ısica.

A matemática é uma linguagem que, como dito anteriormente, é enormemente ade-


13/82

13

quada para descrever as relações quantitativas entre os fenômenos f́ısicos. As chamadas

“leis f́ısicas” são relações matemáticas que devem gerar um conjunto unı́voco de resulta-

dos, a serem comparados com medidas experimentais, e é esta concordância que dita o

sucesso de uma teoria f́ısica. Mas existe um detalhe importante sobre esta relação entrea Matemática e a F́ısica, que muitas vezes não é explicitado: os resultados matemáticos

gerados por uma teoria fı́sica devem ser devidamente interpretados, para que se saiba exa-

tamente como relacioná-los com a fenomenologia. A Matemática sozinha gera apenas um

conjunto de resultados simbólicos, sem nenhum compromisso a priori com os fenômenos

f́ısicos. É papel do f́ısico interpretar estes resultados, com uma regra objetiva e convencio-

nada, de maneira que seja usada por toda a comunidade de estudiosos sem ambiguidades,

e se aplique a todos os problemas pertinentes à teoria em questão. Um exemplo bastante

óbvio disto é a representação do movimento unidimensional de uma part́ıcula por umafunção x (t). A varíavel t é interpretada como o tempo decorrido a partir de um certo

momento, e x com a distância até um ponto especı́fico.

A interpretação dos resultados é menos óbvia em alguns contextos, e às vezes

exige a imposição de uma regra que modifique os resultados obtidos pelo simples cálculo

matemático. Ao resolvermos uma equação diferencial que descreve um sistema f́ısico,

por exemplo, somos obrigados a impor condições de contorno ao resultado se quisermos

compará-los com um experimento mental ou com um processo real. Um exemplo espećıfico

disto é a exigência de que, na Mecânica Quântica, a função de onda que descreve uma

partı́cula seja de quadrado integrável. Esta é uma condição que deve ser imposta aos

resultados matemáticos, e é ditada pela interpretação da função de onda como geradora

de uma probabilidade finita de encontrar a part́ıcula em algum lugar do espaço.

Portanto, em algumas teorias f́ısicas, o simples desenvolvimento matemático dos

princı́pios f́ısicos não gera resultados interpretáveis e plausı́veis se não impormos certas

condições a posteriori . Este é precisamente o caso das divergências da Teoria Quântica de

Campos. Para lidar com este problema, é recorrente na história uma classe de métodos

conhecidos como regularizaç˜ oes , que tem por ideia básica fazer certa modificação nas

amplitudes a modo de torná-las finitas.

No estudo da f́ısica, é importante usar métodos matemáticos que produzam resul-

tados unı́vocos e universais, ou seja: resultados independentes de escolhas arbitrárias de

quem os aplica, e aplicáveis a todos os casos particulares da teoria. A consistência do

método é crucial para que a teoria tenha poder de predição. Heisenberg discorre sobre

isto, ao falar sobre como as teorias f́ısicas são sistemas fechados de axiomas e definições:

“O traço mais importante [de tais sistemas] talvez seja a possibilidade de

para eles se encontrar uma representação matemática consistente. Esta re-presentação terá, certamente, que garantir que o sistema esteja livre de con-tradições. Ele, então, estará apto, dentro de um conjunto de seu campo deaplicação, a enfrentar o crivo experimental [6].”


14/82

14

Ficou demonstrado em um estudo anterior [7] que os métodos usuais de regula-

rização não fornecem amplitudes consistentes, por produzirem resultados dependentes de

escolhas arbitrárias feitas em passos intermediários do cálculo. No presente trabalho,

será usada uma estratégia alternativa às regularizações para lidar com as divergências,conhecida como Cálculo Perturbativo Preditivo (CPP). Neste procedimento o uso de re-

gularizações em passos intermediário é evitado [8]. Assume-se apenas uma propriedade

muito geral nas operações realizadas que é a validade da linearidade da operação de in-

tegração em integrais de Feynman, t́ıpicas do cálculo perturbativo. Com isso, as partes

finitas e divergentes são separadas. As partes divergentes são alocadas em objetos con-

venientemente definidos, enquanto as finitas são integradas nos momentos dos loops e

escritas em termos de funções espećıficas, em representações integrais, de acordo com o

número de propagadores internos [9]. No contexto deste procedimento é sempre posśıvelmapear os resultados finais obtidos naqueles correspondentes a tradicionais métodos de

regularização. Basta, para tal, interpretar os objetos básicos divergentes de acordo com a

prescrição espećıfica. Isto permite conclusões claras e gerais a respeito da consistência nos

cálculos perturbativos, e traz à luz o fato de que não há método posśıvel de regularização

capaz de produzir resultados com a consistência exigida.

1.3 Descri̧cão do Problema

Em Teoria Quântica de Campos, a dinâmica dos campos e a descrição dos pro-

cessos pertinentes podem ser vistos como consequência das simetrias implementadas na

construção de uma quantidade L denominada densidade lagrangiana (ou apenas lagran-

giana , por simplicidade), de modo análogo ao caso clássico. A densidade lagrangiana é

um funcional dos campos e suas primeiras derivadas espaço-temporais.

A fim de obtermos as equações de movimento, primeiro definimos, a partir da

lagrangiana, a ação S :

S =

L (φi, ∂ µφi) d

nx. (1.6)

A dimensão n aqui é arbitrária. No problema proposto, a teoria é formulada em

dimensão D = 1 + 1 (uma espacial e outra temporal).

A ação S deve ser minimizada de acordo com o prinćıpio de Hamilton:

δS = 0. (1.7)

A condição é obtida desde que o funcional satisfaça, para cada campo, a condição


15/82

15

∂ L

∂φi− ∂ µ

∂ L

∂ (∂ µφi)

= 0, (1.8)

que é a equaç˜ ao de Euler-Lagrange . Assim, é gerado um um conjunto de equações dife-

renciais acopladas, uma para cada campo participante da teoria. É conveniente escrever

o funcional L decomposto em duas partes:

L = LF + LI , (1.9)

onde LF é a parte livre e LI é a de interação.

A parte livre está associada à equação de onda relativ́ıstica para os campos. Está,

portanto, relacionada à dinâmica destes campos na ausência de interações. Já a parte deinteração é formada pelo acoplamento dos campos, que é feito de acordo com as simetrias

implementadas. No caso espećıfico do modelo que será considerado na investigação perti-

nente ao presente pro jeto, consideraremos uma teoria contendo férmions massivos de spin12

interagindo com campos bosônicos de spin 0 e 1 (com paridades pares e ı́mpares). Os

processos que consideraremos envolvem apenas linhas fermiônicas internas nas amplitu-

des. A lagrangiana livre, então, é dada por:

LF = Ψ̄ (iγ µ∂ µ − m) Ψ, (1.10)

pois deve fornecer a equação de Dirac para os campos envolvidos quando a equa ção de

Euler-Lagrange é aplicada a cada um deles.

Quanto à lagrangiana de interação, inclúımos bósons de spin 0 com paridade par

e ı́mpar (nominalmente, campos bosônicos escalares e pseudo-escalares), e bósons de spin

1 com paridade par e ı́mpar (campos vetoriais e axiais), gerando o funcional

LI = iGS

Ψ̄AabcΨ

φ + iGP

Ψ̄γ 3BabcΨ

π+

− eV

Ψ̄γ µC abcΨ

Aµ − eA

Ψ̄γ µγ 3DabcΨ

W Aµ . (1.11)

Aqui, φ representa um campo escalar, π um campo pseudo-escalar, Aµ um campo

vetorial, e W Aµ um campo axial. Assim como na parte livre da lagrangiana, Ψ é um campo

fermiônico de spin 12

. As constantes GS , GP , eV e eA são denominadas constantes de

acoplamento, e seus valores não são fixados pela teoria mas por resultados experimentais.

As quantidade Aabc, Babc, C abc e Dabc são os operadores que conectam as diferentes espécies

de férmions e bósons.

Um aspecto importante da abordagem acima descrita refere-se ao conteúdo de si-

metria da teoria. De acordo com o Teorema de Noether, cada transformação que mantém


16/82

16

a lagrangiana invariante corresponde à exist̂encia de uma simetria, e gera, como con-

sequência, uma quantidade conservada [10]. Esta, por sua vez, está relacionada a um

observável fı́sico. As quantidades conservadas estão associadas à existência de correntes

conservadas, traduzidas matematicamente em uma equação da continuidade

∂ µ jµ = 0, (1.12)

de modo similar ao caso de teorias de campos clássicos.

O desafio passa a ser a obtenção de soluções perturbativas que possam ser inter-

pretadas adequadamente. É necessário que o resultado desta interpretação possa levar a

quantidades livres de divergência e ambiguidades. Estas quantidades deve possuir pro-

priedades de simetria consistentes com as invariâncias implementadas na construção dalagrangiana. Trata-se de fato de um desafio, pois a interpretação usual para as amplitudes

(como quantidades a serem regularizadas, para produzirem as quantidades f́ısicas após a

renormalização) não consegue fornecer resultados consistentes para todas as amplitudes

de todas as teorias e modelos. Mesmo para as teorias renormalizáveis, por contagem

de potências, é necessário admitir-se que para algumas amplitudes (ditas anômalas) não

é posśıvel produzir quantidades consistentes [9], se usarmos este tipo de interpretação.

Tendo alguma simetria ou identidade de Ward violada de modo inevitável, a renorma-

lização deixa de ser posśıvel. Assim, a única maneira de construir teorias renormalizáveis

quando existem anomalias presentes é construir um esquema de cancelamentos de ano-

malias, como é feito na construção do Modelo Padrão. Isto faz com que teorias deste

tipo tenham um conjunto bem determinado de campos participantes (seis quarks e seis

léptons, no Modelo Padrão).

No contexto do presente projeto serão calculadas explicitamente todas as ampli-

tudes perturbativas que tenham uma contagem de potências indicando a possibilidade de

divergência. Faremos isto utilizando as regras de Feynman e o procedimento que descreve-

remos a seguir. Mostraremos que não é posśıvel construir amplitudes f́ısicas consistentes

no contexto de regularizações; posteriormente investigaremos a possibilidade de amplitu-

des consistentes serem obtidas através de nova interpretação recentemente proposta.

1.4 Metodologia

As amplitudes divergentes que consideraremos em nossa investigação, para o mo-

delo estabelecido pela lagrangiana (1.11) (em dimensão D=1+1), estão relacionadas aos

diagramas de Feynman de um e dois pontos representadas na Figura 1.Para resolver estas quantidades, primeiramente aplicam-se as regras de Feynman,

que no presente caso são as seguintes:


17/82

17

Figura 1: Amplitudes divergentes (nı́vel 1-loop) em dimensão 1+1

i) A cada linha fermiônica interna, que diz respeito a um férmion de momento

k + ki e massa mi, é associado um propagador :

S F (k + ki, mi) = 1

k+ ki − mi(1.13)

ii) A cada vértice, é relacionado um operador ΓN que depende do tipo espećıfico de

campo bosônico externo ao diagrama acoplado ao vértice. Os operadores são os mesmos

que aparecem na lagrangiana da teoria:

ΓN = {1, γ 3, γ α, γ αγ 3} . (1.14)

iii) Deve-se percorrer o loop do diagrama, multiplicando os propagadores e termos

de vértice correspondentes aos elementos, e tomar o traço da expressão obtida. No caso

das amplitudes a serem consideradas na investigação, de um e dois pontos, o resultado

desta operação é:

tN = T r [ΓN S F (k + ki, mi)] (1.15)

tN M = T r [ΓN S F (k + ki, mi) ΓM S F (k + k j, m j )] . (1.16)

iv) Finalmente, as expressões são integradas no momento k, na dimensão escolhida

(1+1):

T N = d2k

(2π)

2 tN (1.17)T N M =

d2k

(2π)2

tN M

. (1.18)


18/82

18

O integrando pode ser manipulado com o aux́ılio da álgebra das matrizes γ de

Dirac, de modo que pode ser escrito na forma de uma combinação de integrais de Feynman.

É importante notar o caráter arbitrário dos momentos internos ki na expressão

para os propagadores. Estes momentos estão relacionados ao momento externo, devido àconservação de energia nos vértices externos, por

q = ki − k j. (1.19)

Assim, as amplitudes devem depender apenas do momento externo q. A dependência

na forma

Q = ki + k j (1.20)

seria arbitrária, gerando assim uma quantidade amb́ıgua. Isto ocorre em amplitudes com

grau de divergência acima do logaŕıtmico. Assim, no caso a ser considerado, não serão

encontrados tais quantidades.

Quando as integrais presentes nas expressões para as amplitudes indicam divergência,

o procedimento usual é a introdução de algum tipo de modificação que torne estas quanti-

dades finitas. Estas modificações caracacterizam os métodos tradicionais de regularização.

Após as operações terem sido efetuadas, utiliza-se algum tipo de limite de conex˜ ao para,em prinćıpio, remover o efeito das modificações e retornar às determinações das regras de

Feynman. A fim de que as operações efetuadas na presença da regularização não alterem

o conteúdo das amplitudes, seria necessário que a operação de integração e a tomada do

limite comutassem; o que seguramente não é verdade para as integrais divergentes. Assim,

as amplitudes regularizadas podem depender da regularização especı́fica e até mesmo da

sequência especı́fica de passos intermediários.

No procedimento que utilizaremos (CPP), entretanto, estes problemas podem ser

evitados. Nesta abordagem, com o uso de identidades convenientes, reescreve-se os pro-

pagadores de modo que os termos divergentes possam ser separados daqueles finitos; e

de tal forma que nos termos divergentes nenhuma quantidade f́ısica esteja presente. Uma

identidade conveniente para estes propósitos é [12].

1

(k + ki)2 − m2i

=N

j=0

(−1) j (2ki · k + k

2i + λ

2 − m2i ) j

(k2 − λ2) j+1 +

+(−1)N +1 (2ki · k + k

2i + λ

2 − m2i )N +1

(k2 − λ2)N +1

(k + ki)2 − m2i . (1.21)

Aqui, N é o grau de divergência da integral considerada. Os termos divergentes são


19/82

19

naturalmente livres de momentos arbitrários internos. Assumindo apenas a validade da

linearidade na operação de integração, as amplitudes então são escritas como uma soma

de integrais, de maneira que as integrais divergentes não contêm quantidades f́ısicas.

No presente trabalho, a dimensão escolhida é D=1+1, de modo que as integrais divergemlogaritmicamente. Logo, tomando N = 0 na equação anterior e integrando nos momentos,

temos:

d2k

(2π)21

(k + ki)2 − m2i

=

d2k

(2π)21

(k2 − λ2)+

−

d2k

(2π)22ki · k + k

2i + λ

2 − m2i(k2 − λ2) (k + ki)

2 − m2i . (1.22)

No lado direito da equação, a divergência é restrita à primeira integral. Esta

depende apenas de um termo arbitrário λ2, que tem unidade de massa e desempenha um

papel de escala comum para os termos da soma.

Após explicitar as amplitudes na linguagem do procedimento, mostraremos a im-

possibilidade de satisfazer as relações de simetria às quais estão sujeitas as amplitudes,

materializadas em identidades de Ward e limites de baixa energia, quaisquer que sejam

as interpretações para as quantidades indefinidas (divergentes).

Em seguida, testaremos um novo conjunto de amplitudes, obtidos a partir das Re-gras de Feynman, que são automaticamente livres de infinitos e ambiguidades, para as

quais verificaremos as relações de simetria e limites de baixa energia. Estas amplitudes

foram produzidas através de uma prescrição nova recentemente desenvolvida. Será par-

ticularmente interessante verificar as consequências desta prescrição para as amplitudes

axial-vetor (AV) e pseudo-escalar-vetor (PV) no que diz respeito à anomalia axial, ou

seja, na situação onde através da interpretação tradicional é admitida a existência de

uma inevitável violação em uma identidade de Ward relacionando tais amplitudes.

2 CONSTRUÇ ÃO E CÁLCULO DAS AMPLITUDES

Após a exposição da metodologia de construção das expressões a serem calcula-

das, vamos aplicar o procedimento em um diagrama genérico de um ponto com um loop

fermiônico interno de momento k + ki e massa mi.

Para amplitudes de um ponto, conforme já visto anteriormente, após aplicarmos

as três primeiras regras de Feynman obtemos:

tN = T r

ΓN

1

k+ ki − mi

. (2.1)


20/82

20

Observamos que o objeto matricial

1

k+ ki − mi

pode ser escrito como

k+ ki + mi(k+ ki − mi) (k+ ki + mi)

,

e então , através da álgebra das matrizes de Dirac, pode-se extrair o caráter matricial do

denominador:

1k+ ki − mi

= k+ ki + mi(k + ki)

2 − m2i= k+ ki + mi

Di.

Aqui introduzimos a definição

Di ≡ (k + ki)2 − m2i (2.2)

A expressão inicial se torna:

tN = T r

ΓN

k+ k1 + mi

(k + ki)2 − m2i

tN = (k + ki)

α

DiT r (ΓN γ α) +

+ m1

DiT r (ΓN ) . (2.3)

Os traços envolvendo matrizes de Dirac são facilmente obtidos, como se pode ver

em detalhes no apêndice A.Ao aplicar-se a última regra de Feynman (integração nos momentos), obtemos

combinações lineares das seguintes integrais de Feynman:

[I 1, I 1µ] (ki,mi) ≡

d2k

(2π)2[1, kµ]

Di. (2.4)

A construção de amplitudes de dois pontos é feita exatamente da mesma maneira.

Aplicando o mesmo processo a uma função genérica de dois pontos, com propagadores

fermiônicos internos Di e D j , temos:


21/82

21

tN M = T r ΓN k+ ki + mi

DiΓM

k+ k j + m jD j

tN M = 1Dij

(k + ki)

α (k + k j)β

T r (ΓN γ αΓM γ β) +

+ mi (k + k j )β

T r (ΓN ΓM γ β)

+ m j (k + ki)α

T r (ΓN γ αΓM ) +

+mim jT r (ΓN ΓM )] , (2.5)

onde usamos a notação Dij = DiD j.

Ao tomarmos a integração no momento não restrito, obteremos combinações line-

ares das integrais I 1 e I 1µ, definidas acima, e também das seguintes:

[I 2, I 2µ, I 2µν ] (ki,k j,mi, m j) ≡

d2k

(2π)2[1, kµ, kµkν ]

Dij. (2.6)

O argumento destas integrais será omitido a partir deste ponto, em nome da sim-

plicidade.

É fácil ver, por contagem de potências, que alguns destes objetos são quantidades

divergentes. A saber: I 2µν e I 1 divergem logaritmicamente, enquanto I 1µ diverge line-

armente. Neste trabalho, o procedimento utilizado para lidar com estas divergências já

foi descrito anteriormente, e é conhecido na literatura como Cálculo Perturbativo Predi-

tivo (CPP). Através da introdução de um parâmetro arbitrário com dimensão de massa

(λ2), o CPP pressupõe apenas a propriedade geral da linearidade da integração, e tem

a capacidade de separar as divergências em objetos que não dependem das quantidades

f́ısicas (momentos externos). Como exemplo, vamos aplicar o procedimento na integral

I 1 (k1, m1), que diverge logaritmicamente:

I 1 (k1, m1) =

d2

k(2π)2

1(k + k1)

2 − m21. (2.7)

O CPP prescreve que reescrevamos o integrando de acordo com a identidade:

1

(k + ki)2 − m2i

=N

j=0

(−1) j (2ki · k + k

2i + λ

2 − m2i ) j

(k2 − λ2) j+1 +

+(−1)N +1 (2ki · k + k

2i + λ

2 − m2i )N +1

(k2 − λ2)N +1

(k + ki)2 − m2i . (2.8)

onde N é o grau de divergência. Escolhendo N = 0 no presente caso, temos:


22/82

22

I 1 (k1, m1) = d2k

(2π)21

k2 − λ2+

−

d2k

(2π)22k1 · k + k

21 + λ

2 − m21(k2 − λ2)

(k + ki)

2 − m2i

. (2.9)

Como já citado, na equação acima parte divergente (primeira integral) é totalmente

arbitrária e não carrega nenhuma quantidade fı́sica. Definimos este objeto como:

I log

λ2

≡

d2k

(2π)21

(k2 − λ2). (2.10)

Em outras integrais, com grau de divergência linear, obtemos ainda um outro

objeto:

∆µν

λ2

≡

d2k

(2π)22kµkν

(k2 − λ2)2 − gµν I log

λ2

. (2.11)

Na dimensão D = 1 + 1 estes são os únicos termos divergentes que precisam

ser definidos. Em dimensões mais elevadas, existem ob jetos com graus de divergências

superiores.O primeiro objeto, I log, tem uma interessante propriedade a qual chamamos pro-

priedade de escala :

I log

λ21

= I log

λ22

− i

4π ln

λ21λ22

. (2.12)

Esta propriedade tem um papel fundamental na comparação entre diferentes Funções

de Green a fim de verificar as relações de simetria da amplitude (o que será feito poste-

riormente neste trabalho). Sempre é útil ressaltar o caráter arbitrário e não-f́ısico destesobjetos divergentes, o que torna o CPP deveras útil no sentido de aglomerar todas as

quantidades f́ısicas em objetos finitos.

Após a separação da amplitude inicial em uma parte divergente e arbitrária e uma

parte finita, temos que resolver as integrais finitas de acordo com procedimentos usuais de

Teoria Quântica de Campos: parametrização de Feynman e integração dimensional nos

momentos (descritos nos apêndices B e C, respectivamente)

Já tendo descrito a maneira que constrúımos e lidamos com as amplitudes prove-

nientes das regras de Feynman, o próximo passo é aplicar o procedimento descrito para ocálculo dos diagramas de interesse.


23/82

23

2.1 Funções de um ponto

Escolhendo o operador de vértice de acordo com os bósons da teoria construı́da

(escalar, pseudo-escalar, vetorial e axial), calculamos cada uma das quatro funções de um

ponto explicitamente.

2.1.1 Função de um ponto escalar (S)

A função de um ponto escalar, denominada T S , é obtida fazendo ΓN = 1 na

expressão (2.1). Aqui, o 1 tem caráter tensorial e é a matriz identidade bidimensional. O

loop fermiônico interno tem momento k +k1 e massa m1, nesta função e em todas as outrasfunções de um ponto consideradas. Após a extração do traço e algumas manipulações

algébricas, obtemos:

T S (k1,m1) = 2m1I 1 (k1,m1) . (2.13)

A integral diverge logaritimicamente, de modo que o tratamento dado a ela já foi

discutido na seção anterior. Deste modo, separamos a parte divergente, e a parte finita

pode ser resolvida com procedimentos usuais. O cálculo de I 1, assim como dos outrosobjetos semelhantes (que aqui chamamos de Integrais de Feynman ) está explicitado no

apêndice D.

Após todo o procedimento, o resultado final é:

T S (k1, m1) = 2m1

I log

λ2

− i

4π ln

m21λ2

. (2.14)

Utilizando a propriedade de escala (2.12), também podemos escrever:

T S (k1, m1) = 2m1I log

m21

. (2.15)

2.1.2 Função de um ponto pseudo-escalar (P)

Usando a matriz γ 3 como operador de vértice, obtemos a função pseudo-escalar.

Substituindo na expressão (2.3), temos:

tP = (k + k1)α

D1T r (γ 3γ α) + m

1

D1T r (γ 3) . (2.16)


24/82

24

A expressão é identicamente nula devido às propriedades dos traços das matrizes

de Dirac:

T P (k1,m1) =

d2k

(2π)2

tP

= 0. (2.17)

2.1.3 Função de um ponto vetorial (V)

Usando um vértice vetorial, γ µ, obtemos a função de um ponto vetorial:

T

V

µ (k1,m1) = 2 [I 1µ (k1,m1) + k1µI 1 (k1,m1)] . (2.18)

Após usar os procedimentos já descritos, chegamos ao resultado:

T V µ (k1,m1) = −2kα1 ∆µα

λ2

. (2.19)

Como no caso de T S , esta função é proporcional a um dos objetos divergentes

definidos. Mais ainda do que naquele caso, a arbitrariedade desta função é patente,

representada pelo momento interno k

α

1 . Como dito anteriormente, os rótulos internos dosmomentos fermiônicos não têm significado f́ısico, mas apenas sua diferença q = k1−k2 (no

caso de dois propagadores internos). Aqui nos deparamos com um dos usuais problemas

da TQC, especialmente em dimensões mais altas: as ambiguidades.

2.1.4 Função de um ponto axial (A)

Com ΓN = γ µγ 3, temos:

T Aµ (k1,m1) = −2εµα [I α1 (k1,m1) + k

α1 I 1 (k1,m1)] . (2.20)

Após resolvidas as integrais:

T Aµ (k1,m1) = 2εµαk1β∆αβ

λ2

. (2.21)

Logo nota-se que esta amplitude está relacionada com a T V µ da seguinte maneira:

T Aµ = −εµα

T V α

. (2.22)


25/82

25

2.2 Funções de dois pontos

Podemos agora analisar as funções de dois pontos, utilizando o mesmo procedi-

mento. Os propagadores fermiônicos internos têm momento k + k1 e k + k2, e massas m1

e m2. Convencionamos o momento externo como q = k1 − k2.

2.2.1 Função de dois pontos escalar-escalar(SS)

Substituindo ambos ΓN e ΓM por 1 na expressão (2.5) , temos:

tSS = T r

k+ k1 + m1

D1

k+ k2 + m2D2

= −

q 2 − (m1 + m2)2 1

D12+

1

D1+

1

D2, (2.23)

que gera a função de dois pontos escalar-escalar T SS :

T SS = − q 2 − (m1 + m2)

2

I 2 + I 1 (k1, m1) + I 1 (k2, m2) . (2.24)Após resolvermos as integrais, o resultado é:

T SS = − i

(4π)

q 2 − (m1 + m2)

2

χ0

m21, m22, q

2; m21

+

+ I log

m21

+ I log

m22

. (2.25)

Novamente, vê-se que a parte divergente está separada nos objetos anteriormentedefinidos. Aqui introduzimos a definição de uma classe de funções finitas definidas em

representações integrais:

χk

m21; q 2, m22

≡

10

z kdz

Q (z ; m21, m22, q

2; m21), (2.26)

sendo Q uma função polinomial em z definida como:

Q

z ; m2

1, m

2

2, q

2

; m2

1

≡ q 2

z (1 − z ) +

m

2

1 − m2

2

z − m2

1. (2.27)

O argumento das funções χk e Q serão omitidos para não sobrecarregar a notação.


26/82

26

A organização da parte finita das amplitudes em funções χk é extremamente útil

por padronizar todos os resultados, permitindo assim a clara comparação entre diferentes

amplitudes. As funções χk, assim, não necessitam ser resolvidas para cada problema

individual, ainda que isso possa ser feito facilmente.A padronização dos resultados com a ajuda destas funções fica ainda mais evidente

quando se considera que há relações entre as mesmas, podendo todas, em última instância,

serem reduzidas à função mais básica χ0. No presente trabalho, apenas as funções χ0, χ1

e χ2 são necessárias para representar o resultado das amplitudes estudadas, e estas se

relacionam segundo as identidades:

q 2 [χ2

− χ1] = m2

1− m2

2χ

1− m2

1χ0

− 1 (2.28)

q 2 [2χ1 − χ0] =

m21 − m22

χ0 + ln

m21m22

(2.29)

2.2.2 Função de dois pontos escalar-pseudo-escalar(SP)

A função T SP é:

T SP = −2εαβ

kα1 k

β2 [I 2] + k

α1

I β2

+ kβ2 [I

α2 ]

(2.30)

Em amplitudes com dois tipos de vértice, é importante construir uma nova ampli-

tude com os vértices permutados, a fim de estudar o comportamento da amplitude frente

a essa permutação. A relação entre as duas amplitudes pode ser observada logo após a

extração dos traços. Neste caso espećıfico:

tSP = T rk+ k

1 + m

1D1

γ 3k+ k

2 + m

2D2

(2.31)

tP S = T r

γ 3

k+ k1 + m1D1

k+ k2 + m2D2

. (2.32)

Observa-se a seguinte relação:

T P S = −T SP . (2.33)

A troca de sinal vem da propriedade anticomutativa da matriz γ 3:

{γ 3, γ µ} = 0. (2.34)


27/82

27

Ao resolver T SP , observou-se que, devido à antissimetria do tensor εαβ, o resultado

é nulo:

T P S = T SP = 0. (2.35)

2.2.3 Função de dois pontos escalar-vetorial (SV)

A Função de Green para a amplitude T SV µ é:

T SV µ = 2 [(m1 + m2) I 2µ + (m1k2µ + m2k1µ) I 2] . (2.36)

Na etapa da extração dos traços, pode-se notar que a permutação de operadores

de vértice não muda o resultado:

T SV µ = T V S

µ . (2.37)

O resultado final da amplitude calculada é:

T SV µ = 2 i

(4π)

q µ [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (2.38)

2.2.4 Função de dois pontos escalar-axial (SA)

Analogamente, temos a função T SAµ :

T SAµ = −2εµα [(m1 + m2) I α2 + (m1k

α2 + m2k

α1 ) I 2] . (2.39)

Logo nota-se que ela está relacionada com T SV µ , já calculada, por:

T SAµ = −εµα

T SV α

; (2.40)

e mantém a mesma propriedade com relação à troca de vértices:

T SAµ = T AS

µ . (2.41)

O resultado explı́cito é:

T SAµ = −2 i

(4π)εµαq

α [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (2.42)


28/82

28

2.2.5 Função de dois pontos pseudo-escalar-pseudo-escalar (PP)

A amplitude T P P é:

T P P =

q 2 − (m1 − m2)2

I 2 − I 1 (k1, m1) − I 1 (k2, m2) , (2.43)

que após resolvida, gera a expressão:

T P P = i

(4π)

q 2 − (m1 − m2)

2

χ0 − I log

m21

− I log

m22

(2.44)

2.2.6 Função de dois pontos pseudo-escalar-vetorial (PV)

A amplitude T P V µ é:

T P V µ = −2εµα {(m2 − m1) I α2 + (m2k

α1 − m1k

α2 ) I 2} , (2.45)

com resultado

T P V µ = 2 i

(4π)εµαq

α [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (2.46)

Ela se relaciona com T V P µ por uma troca de sinal:

T P V µ = −T V P

µ . (2.47)

2.2.7 Função de dois pontos pseudo-escalar-axial (PA)

No caso de PA temos:

T P Aµ = 2 [(m2 − m1) I 2µ + (m2k1µ − m1k2µ) I 2] (2.48)

T P Aµ = −2 i

(4π)q µ [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (2.49)

Notamos que há uma relação desta amplitude com a pseudo-escalar-vetorial:


29/82

29

T P V µ = −εµα

T P Aα

. (2.50)

Ela também mantém a propriedade:

T AP µ = −T P A

µ . (2.51)

2.2.8 Função de dois pontos vetorial-vetorial (VV)

A construção da amplitude T V V µν é interessante pelo fato de que, antes mesmo da

integração, surgirem subestruturas internas. Após a aplicação das regras de Feynman, ecom uma adequada manipulação algébrica, chegamos a:

tV V µν = t(+)µν + gµν t

P P . (2.52)

Aqui, introduzimos a definição:

t(±)µν ≡ 2(k + k1)µ (k + k2)ν ± (k + k1)ν (k + k2)µ

D12. (2.53)

Deste modo, ao integrarmos, identificamos a amplitude T P P (já calculada) e o

tensor T (+)µν =

d2k

(2π)2t(+)µν . Este último também aparece na função T AAµν , como veremos a

seguir, e, após alguma manipulação, tem a seguinte forma:

T (+)µν = 4 [I 2µν ] + 2Qν [I 2µ] + 2Qµ [I 2ν ] + 2 (k1µk2ν + k1ν k2µ) [I 2] . (2.54)

Aqui, a quantidade Q = k1 + k2 é amb́ıgua, como j́a foi ressaltado anteriormente.

Após resolvidas as integrais, o objeto T

(+)

µν tem valor:

T (+)µν =

d2k

(2π)24kµkν

(k2 − λ2)2 − 2gµν

i

(4π) ln

m22λ2

+

+ 4 i

(4π)

q µq ν − gµν q

2

[χ2 − χ1] +

− 2gµν i

(4π)

q 2 −

m21 − m

22

[χ1] . (2.55)

Substituindo este resultado e o já calculado T P P na expressão para T V V µν , temos:


30/82

30

T V V µν = 2∆µν λ2

+ i

(4π)gµν ln

m21m22+

+ 4 i

(4π)


2

[χ2 − χ1] +

− 2 i

(4π)gµν

q 2 −

m21 − m

22

[χ1] +

+ i

(4π)gµν

q 2 − (m1 − m2)

2 [χ0] , (2.56)

que pode ser manipulado com a relação (2.29) para escrever χ1 em termos de χ0. Após

algumas operações algébricas, chegamos um resultado compacto:

T V V µν = 2∆µν

λ2

+

+ 4 i

(4π)


2

[χ2 − χ1]

+ 2 i

(4π)gµν (m1 − m2) [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (2.57)

2.2.9 Função de dois pontos axial-axial (AA)

Ao construir a amplitude T AAµν também identificamos subestruturas:

T AAµν = T (+)

µν − gµν T SS . (2.58)

Após a solução, temos:

T AAµν = 2∆µν

λ2

+ i

(4π)gµν ln

m21m22

+

+ 4 i

(4π)


2

[χ2 − χ1] +

− 2 i

(4π)gµν

q 2 −

m21 − m

22

[χ1] +

+ i

(4π)gµν

q 2 − (m1 + m2)

2

[χ0] , (2.59)

que, analogamente ao caso anterior, pode ser reduzida a:


31/82

31

T AAµν = 2∆µν λ2

+ 4 i

(4π)

q µq ν − gµν q 2

[χ2 − χ1] +

+ 2 i

(4π)gµν (m1 + m2) [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (2.60)

2.2.10 Função de dois pontos axial-vetorial (AV)

A amplitude axial-vetorial é composta pelas subestuturas:

tAV µν = 1

D12

−εµαt

(+)αν + εναt

(−)αµ − gµν t

SP − εµν tP P

. (2.61)

Todos os objetos já foram calculados explicitamente, com exceção do tensor:

T (−)µν = 2

q µ [I 2ν ] − q ν [I 2µ] +

(q µQν − q ν Qµ)

2 [I 2]

. (2.62)

Após calculado, o tensor revela-se identicamente nulo. Como o valor de T SP

também é nulo, a amplitude se reduz a:

T AV µν = −εµα

T (+)α

ν − εµν T

P P

= −εµα

T (+)

αν

+ gαν T P P

. (2.63)

Comparando com T V V µν , podemos ver que

T AV µν = −εµα

T V V α

ν . (2.64)

Desta maneira, a amplitude AV é:

T AV µν = −2εµα∆αν

λ2

+

− 4 i

(4π)εµα

q αq ν − g

αν q

2

[χ2 − χ1] +

− 2 i(4π)

εµν (m1 − m2) [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (2.65)


32/82

32

Isto encerra o cálculo expĺıcito das amplitudes. Como podemos ver, aplicação do

CPP permitiu uma representação padronizada das divergências através dos objetos I log e

∆µν . Nossa abordagem também permitiu que escrevêssemos a parte finita das amplitudes

em termos das funções χk, nos deixando com resultados claros e elegantes. Nossos cálculosnão passaram por nenhum tipo de regularização para tratar as divergências, de modo que

as arbitrariedades estão preservadas nas formas expĺıcitas.

Nosso próximo passo é verificar a consist̂encia das amplitudes calculadas com

relação a certas simetrias da teoria constrúıda: as identidades de Ward e os limites de

baixa energia.

3 RELAÇ ÕES DE SIMETRIA

No estudo de campos clássicos sabe-se que o teorema de Noether prova que certas

transformações que não alteram a lagrangiana, chamadas simetrias, geram uma corrente

conservada através de uma equação de continuidade. O exemplo mais comum disto é

a conservação do quadrimomento, proveniente da invariância da Lagrangiana frente a

translações espaço-temporais.

Além destas transformações “externas”, relativas às propriedades do espaço-tempo,

em algumas teorias a lagrangiana se mantém invariante frente uma transformação de fase

do campo, chamada de transformaç˜ ao de gauge:

φ → φ

= eiλφ. (3.1)

Se o parâmetro λ for constante, temos uma simetria de gauge global. Se for uma

função da posição, λ (x) , é simetria de gaug e local.

Como exemplo de simetria de gauge global, podemos citar a lagrangiana do campo

de Schrödinger (que gera a equação de Schrödinger). Sua invariância de gauge dita a

conservação da densidade de probabilidade.

Em TQC há um equivalente quântico do teorema de Noether, que gera as cha-

madas Identidades de Ward . Estas identidades refletem as simetrias implementadas na

construção da teoria. Este é um importante teste de consistência da teoria, pois se as

amplitudes não puderem obedecer às simetrias implementadas, a teoria não é renorma-

lizável. Outro importante teste de consistência é o comportamento das funções no limite

de baixa energia (q 2 = 0).

Antes porém, de considerar as relações de simetria da teoria, podemos deduzir uma

propriedade mais geral das amplitudes, que nós chamamos de Relaç˜ oes entre Funç˜ oes de Green.


33/82

33

3.1 Relações entre funções de Green

Um conjunto de manipulações algébricas feitas nas amplitudes recém constrúıdas

nos revela que as diferentes amplitudes estão relacionadas por identidades. Consideremos

o seguinte objeto:

q µ

1

k+ k1 − m1γ µ

1

k+ k2 − m2

, (3.2)

que é a contração do momento externo q = k1 − k2 com a estrutura para o diagrama SV,

antes da extração dos traços. Ao reescrevermos o tensor q da seguinte maneira:

q =k1− k2 = (k1+ k − m1) − (k2+ k − m2) + (m1 − m2) ,

e após algumas manipulações algébricas, chegamos ao resultado:

q µ

1

k+ k1 − m1γ µ

1

k+ k2 − m2

=

1

k+ k2 − m2−

1

k+ k1 − m1

+ (m1 − m2) 1

k+ k1 − m1

1

k+ k2 − m2. (3.3)

Ao extrairmos o traço e integrarmos nos momentos, pode-se ver facilmente que

surge a seguinte relação:

q µtSV µ = tS (k2, m2) − t

S (k1, m1) + (m1 − m2) tSS .

A integração no momento gera então, uma relação entre três diferentes funções de

Green:

q µT SV µ = T S (k2, m2) − T

S (k1, m1) + (m1 − m2) T SS . (3.4)

Esta identidade não pressupõe nada a não ser simples propriedades das ferramentas

matemáticas utilizadas, como linearidade da integração, linearidade da operação do traço

e a álgebra das matrizes de Dirac. As amplitudes calculadas devem obedever tal relação

a fim de comprovar que nenhuma operação iĺıcita foi realizada durante os cálculos.

De maneira análoga, pode-se construir relações para as outras amplitudes. Ao

contrair com o ı́ndice vetorial, verificamos as seguintes relações:


34/82

34

q µT SV µ = −T S (k1, m1) + T

S (k2, m2) + (m1 − m2) T SS (3.5)

q µT V S µ = −T S (k1, m1) + T S (k2, m2) + (m1 − m2) T SS (3.6)

q µT P V µ = −T P (k1, m1) + T

P (k2, m2) + (m1 − m2) T P S (3.7)

q µT V P µ = −T P (k1, m1) + T

P (k2, m2) + (m1 − m2) T SP (3.8)

q µT V V µν = −T V

ν (k1, m1) + T V

ν (k2, m2) + (m1 − m2) T SV

ν (3.9)

q ν T V V µν = −T V

µ (k1, m1) + T V

µ (k2, m2) + (m1 − m2) T V S

µ (3.10)

q ν T AV µν = −T A

µ (k1, m1) + T A

µ (k2, m2) + (m1 − m2) T AS

µ . (3.11)

E ao contrair com o ı́ndice axial, chegamos a:

q µT SAµ = T P (k1, m1) + T

P (k2, m2) + (m1 + m2) T SP (3.12)

q µT AS µ = −T P (k1, m1) − T

P (k2, m2) − (m1 + m2) T P S (3.13)

q µT P Aµ = T S (k1, m1) + T

S (k2, m2) + (m1 + m2) T P P (3.14)

q µT AP µ = −T S (k1, m1) − T

S (k2, m2) − (m1 + m2) T P P (3.15)

q µT AAµν = −T V

ν (k1, m1) + T V

ν (k2, m2) − (m1 + m2) T P A

ν (3.16)

q ν T AAµν = −T V

µ (k1, m1) + T V

µ (k2, m2) + (m1 + m2) T AP

µ (3.17)

q µT AV µν = −T A

ν (k1, m1) + T A

ν (k2, m2) − (m1 + m2) T P V

ν (3.18)

3.1.1 Contrações com o ı́ndice vetorial

Podemos verificar explicitamente, começando com T SV µ , que foi calculada no caṕıtulo

anterior. Contraindo com o momento externo, temos:

T SV µ = 2 i

(4π)q µ [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] , (3.19)

que através da identidade (2.29) entre as funções χ, pode ser reduzido a:

q µT SV µ = i

(4π) (m1 + m2) ln

m21m22

+

−

i

(4π) (m1 − m2)

q

2

− (m1 + m2)

2χ0. (3.20)

Este valor deve obedecer à primeira relação entre funções de Green:


35/82

35

q µT SV µ = −T S (k1, m1) + T

S (k2, m2) + (m1 − m2) T SS . (3.21)

Tomemos então es expressões para as amplitudes S e SS:

T S (k1, m1) = 2m1I log

m21

T SS = − i

(4π)

q 2 − (m1 + m2)

2

χ0

+ I log

m21

+ I log

m22

(3.22)

T SS = − i

(4π)

q 2 − (m1 + m2)

2χ0

m21, m22, q

2; m21

+ I log

m21

+ I log

m22

. (3.23)

Inserindo o resultado das amplitudes em (3.21), e após algumas manipulações

algébricas, temos:

− T S (k1, m1) + T S (k2, m2) + (m1 − m2) T

SS = (m1 + m2)

I log

m22

− I log

m21

+

− i

(4π) (m1 − m2)

q 2 − (m1 + m2)

2χ0. (3.24)

É interessante notar que, enquanto q µT SV µ tem um valor finito, o mesmo parece

não acontecer para o lado direito da identidade (3.21), que carrega objetos divergentes.

Porém, se observarmos a propriedade de escala do objeto I log :

I log

m22

− I log

m21

= i

4π ln

m21m22

, (3.25)

chegamos ao resultado final finito:

− T S (k1, m1) + T S (k2, m2) + (m1 − m2) T

SS = (m1 + m2) i

4π ln

m21m22

− i

(4π)

(m1 − m2) q 2 − (m1 + m2)2χ0. (3.26)

que é idêntico ao resultado (3.20), verificando então a validade da identidade estabelecida


36/82

36

no ińıcio do capı́tulo. A manutenção da identidade mostra que as nenhum passo iĺıcito foi

realizado nos nosso cálculos, e que a linearidade da operação de integração foi mantida.

A segunda relação da lista, a respeito da contração do momento externo com T V S µ ,

também é satisfeita. Basta notar que (3.6) pode ser reduzida a (3.5) se lembrarmos queT V S µ = T

SV µ . Desta maneira, a verificação da primeira basta para assegurar a validade da

segunda.

A próxima relação entre funções de Green a ser verificada é a da contração com a

amplitude PV:

q µT P V µ = −T P (k1, m1) + T

P (k2, m2) + (m1 − m2) T P S . (3.27)

Observando o valor da amplitude

T P V µ = 2 i

(4π)εµαq

α [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] , (3.28)

notamos que a contração leva a um resultado nulo pelo propriedade de antissimetria do

tensor εµα. O valor das amplitudes T P e T P S também são identicamente nulos segundo

nossos cálculos. A relação é, então satisfeita.

A propriedade análoga para o tensor de vértices trocados

q µT V P µ = −T P (k1, m1) + T

P (k2, m2) + (m1 − m2) T SP (3.29)

também é satisfeita, se notarmos que T P V µ = −T V P

µ = 0 e T SP = −T P S = 0.

Para a amplitude VV, conhecida como tensor de polarização do vácuo, estabele-

cemos:

q µT V V µν = −T V

ν (k1, m1) + T V

ν (k2, m2) + (m1 − m2) T SV

ν . (3.30)

O valor da amplitude VV é:

T V V µν = 2∆µν

λ2

+ 4 i

(4π)


2

[χ2 − χ1]

+ 2 i

(4π)gµν (m1 − m2) [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (3.31)

Ao contrair com o momento externo q µ

, o termo proporcional a [χ2 − χ1] é anulado,e ficamos com o resultado


37/82

37

q µT V V µν = 2q µ∆µν λ

2

++ 2 i

(4π)q ν (m1 − m2) [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (3.32)

Quanto ao lado direito da identidade, os valores das amplitudes são:

T V ν (ki, mi) = −2kαi ∆αν

λ2

(3.33)

T SV ν = 2 i

(4π)q ν [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (3.34)

Podemos notar que

−T V ν (k1, m1) + T V

ν (k2, m2) = −2 (−k1 + k2)α ∆αν

λ2

= 2q α∆αν

λ2

. (3.35)

Comparando (3.35), (3.34) e (3.32) com (3.30), vemos que a relação estabelecida

antes da integração ainda é válida após o cálculo expĺıcito das amplitudes. Para vértices

permutados, a relação também é verificada pelo fato de que a permutação não altera o

valor de nenhuma amplitude envolvida:

T V V µν = T V V

νµ (3.36)

T SV ν = T V S

ν . (3.37)

A última contração com ı́ndice vetorial a se fazer é com a amplitude T AV µν , que gera

a relação

q ν T AV µν = −T A

µ (k1, m1) + T A

µ (k2, m2) + (m1 − m2) T AS

µ . (3.38)

Na verdade, não é necessário fazer a verificação expĺıcita se notarmos que as am-

plitudes envolvidas têm as seguintes propriedades:


38/82

38

T AV µν = εαµ T V V

α

ν (3.39)

T AS µ = εαµ

T SV α

(3.40)

T Aµ = εαµ

T V α

. (3.41)

Deste modo, a equação se reduz a:

q ν T V V αν = −T V

α (k1, m1) + T V

α (k2, m2) + (m1 − m2) T SV

α , (3.42)

que é uma identidade que já foi verificada.

3.1.2 Contrações com o ı́ndice axial

Agora nos concentramos na contração do momento externo com o ı́ndice axial das

diversas amplitudes estudadas. Começando com a identidade (3.12):

q µT SAµ = T P (k1, m1) + T

P (k2, m2) + (m1 + m2) T SP . (3.43)

Usando o resultado encontrado para SA temos:

T SAµ = −2 i

(4π)εµαq

α [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (3.44)

Como no caso da amplitude PV, a contração com o momento q µ gerará um resul-

tado nulo pela anti-simetria do tensor εµα. Isto, e o fato de que T SP = T P = 0, nos diz

que a identidade é verificada. A propriedade T SAµ = T AS

µ nos garante que a identidade

para a amplitude com vértices permutados também é válida.

Passemos então à relação

q µT P Aµ = T S (k1, m1) + T

S (k2, m2) + (m1 + m2) T P P . (3.45)

Sabemos que:

T P Aµ = −2 i

(4π)q µ [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (3.46)

Contraindo com o momento, e reduzindo χ1 em termos de χ0, chegamos ao resul-

tado:


39/82

39

q µT P Aµ = − i

(4π) (m1 − m2) ln

m21m22+

+ i

(4π) (m1 + m2)

q 2 − (m1 − m2)

2

χ0. (3.47)

Como no caso da amplitude SV, chegamos a um resultado finito para o lado es-

querdo da equação, enquanto do lado direito parece haver quantidades divergentes:

T P P = i

(4π)

q 2 − (m1 − m2)

2

χ0 − I log

m21

− I log

m22

(3.48)

T S (ki, mi) = 2mi

I log

m2i

. (3.49)

Através da propriedade de escala de I log chegamos a :

T S (k1, m1) + T S (k2, m2) + (m1 + m2) T

P P = i

(4π) (m1 + m2)

q 2 − (m1 − m2)

2

χ0

− i

4π (m1 − m2) ln

m21m22 , (3.50)

que coincide com o valor de q µT AP µ , como queŕıamos demonstrar. A contração com T P A

µ

também é satisfeita, ao notarmos que T P Aµ = −T AP

µ .

Para a amplitude AA, temos:

q µT AAµν = −T V

ν (k1, m1) + T V

ν (k2, m2) − (m1 + m2) T P A

ν . (3.51)

Contraindo a expressão de AA com o momento externo, ficamos com:

q µT AAµν = 2q µ∆µν

λ2

+ 2 i

(4π)q ν (m1 + m2) [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (3.52)

Comparamos então com:

T V ν (ki, mi) = −2kαi ∆αν λ2 (3.53)


40/82

40

T P Aν = −2 i

(4π)q ν [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (3.54)

Vemos que a propriedade é satisfeita. A contração com o segundo ı́ndice axial

q ν T AAµν = −T V

µ (k1, m1) + T V

µ (k2, m2) + (m1 + m2) T AP

µ (3.55)

também é satisfeita se notarmos que T AP µ = −T P A

µ . A última relação entre funções de

Green a ser verificada é a contração de T AV µν pelo com o ı́ndice axial:

q µT AV µν = −T A

ν (k1, m1) + T A

ν (k2, m2) − (m1 + m2) T P V

ν . (3.56)

O valor de AV é:

T AV µν = −2εµα∆αν

λ2

− 4 i

(4π)εµα

q αq ν − g

αν q

2

[χ2 − χ1] +

− 2 i

(4π)εµν (m1 − m2) [(m1 + m2) χ1 − m1χ0] . (3.57)

A contração e algumas operações algébricas (que incluem a conhecida relação entre

funções χk) levam a:

q µT AV µν = −2εµαq µ∆αν

λ2

− q µεµν i

(π)+

+ 2 (m1 + m2) i

(4π)q µεµν [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (3.58)

Neste momento, é conveniente reescrever o termo εµα∆αν (λ

2) por motivos que fi-

carão claros a seguir. Para fazer isto, usamos uma identidade geral entre tensores, que

advém apenas da anti-simetria do tensor εµν :

εµν T λ + ενλ T µ + ελµT ν = 0. (3.59)

Aplicando ao caso de εµα∆αν temos:

εµα∆αν = ενα∆

αµ + εµν ∆

αα. (3.60)


41/82

41

Isto modifica o resultado encontrado para q µT AV µν :

q µ

T AV

µν = −2q µ

ενα∆αµ

λ2

+ εµν ∆αα

λ2

− q µ

εµν i

(π)+

− (m1 + m2)

−

i

(4π)2q µεµν [(m1 − m2) χ1 − m1χ0]

. (3.61)

Notem aqui que o objeto ∆αα (λ2) é o traço do objeto ∆µν (λ

2)

Voltando à identidade, do lado direito temos:

−T A

ν (k1, m1) + T A

ν (k2, m2) = −2εναkµ1 ∆

αµ

λ2

+ 2ενα kµ2 ∆

αµ

λ2

= −2εναq µ∆αµ

λ2

, (3.62)

e

− (m1 + m2) T P V

ν = 2 i

(4π) (m1 + m2) q

µεµν [(m1 − m2) χ1 − m1χ0] . (3.63)

Com estes resultados em vista, podemos facilmente notar que a relação entre

funções de Green só pode ser satisfeita se:

−2q µεµν ∆αα − q

µεµν i

(π) = 0, (3.64)

ou seja:

∆

α

α = −

i

2π . (3.65)

Em outras palavras, tal relação ser verdadeira nos garante que a relação entre

as funções de Green foi satisfeita explicitamente; o que por sua vez nos garante que a

linearidade da operação de integração não foi violada no cálculo das amplitudes (única

propriedade que supusemos para construir as relações).

Para verificar (3.65), vamo calcular explicitamente o valor de ∆αα. Segundo as

definições dos objetos divergentes, e notando que gαα = gαβgαβ = 2 (na dimensão D=1+1),

temos:


42/82

42

∆αα = d2k

(2π)22kαkα

(k2 − λ2)2 − gαα

d2k

(2π)21

(k2 − λ2)

= 2

d2k

(2π)2k2 − (k2 − λ2)

(k2 − λ2)2

= 2

d2k

(2π)2λ2

(k2 − λ2)2

, (3.66)

que é uma integral finita. Usando o resultado (C-5) do apêndice C, chegamos a

∆α

α

λ2

= 2λ2 i

4π

1

(−λ2)

de regras de feynman a amplitudes físicas consistentes nos cálculos perturbativos em tqcs - pedro...

Documents