1

Pesquisando Desde o Primeiro Dia

Relatório Parcial

Introdução às Ondas Gravitacionais

Aluna: Amanda Schwartzmann

11001116

schwartzmann.a@aluno.ufabc.edu.br

Nome da orientadora: Cecilia Bertoni Martha Hadler Chirenti

cecilia.chirenti@ufabc.edu.br

Santo André, São Paulo

2017

2

Resumo

Este relatório apresenta o que foi realizado até o momento no projeto. Foi feita

uma revisão de física básica e visualização do centro de massa de um sistema de

partículas. A partir de agora, deverá ser feita a determinação numérica do centro

de massa de um corpo extenso e também serão estudados os conceitos de

expansão multipolar e momento de quadrupólo.

Abstract

This report presents what has been made until the moment in the project: a

review of basic physics, as well as the visualization of the center of mass of a

system of particles. In the next steps, the center of mass of an extensive body

must be numerically determined and the concepts of multipolar expansion and

quadrupole moment must be studied.

3

Sumário

1. Introdução ...................................................................................................................................... 4

1.1 Gravitação Newtoniana ........................................................................................................... 4

1.2 Relatividade Especial e Geral ................................................................................................... 4

1.3 Ondas gravitacionais ................................................................................................................ 5

1.4 Detectores de ondas gravitacionais ......................................................................................... 6

2. Objetivos ........................................................................................................................................ 6

3. Metodologia ................................................................................................................................... 7

3.1 Material .................................................................................................................................... 7

3.2 Métodos ................................................................................................................................... 7

4. Resultados e discussão ................................................................................................................... 7

4.1 Lebre e tartaruga...................................................................................................................... 8

4.2 Movimento balístico ................................................................................................................ 9

4.3 Centro de massa de um sistema de partículas ...................................................................... 10

4.3.1 Equação do centro de massa de um sistema de partículas ............................................ 10

4.4.2 Visualização em duas dimensões .................................................................................... 11

4.4.3 Visualização em três dimensões ..................................................................................... 13

4.4 Centro de massa de um corpo extenso ................................................................................. 15

5. Cronograma.................................................................................................................................. 15

6. Conclusões ................................................................................................................................... 16

Referências ....................................................................................................................................... 17

Apêndice A – Código da simulação 2D ............................................................................................. 18

Apêndice B – Código da simulação 3D ............................................................................................. 20

4

1. Introdução

1.1 Gravitação Newtoniana

Ao estudar gravitação, estamos considerando uma das quatro interações

fundamentais: a força gravitacional, que tem o maior alcance e menor intensidade

entre elas. Devido a essas duas características, a força gravitacional sempre foi

compreendida em escala astronômica e seu entendimento está ligado à história

da astronomia [1].

Isaac Newton (1642-1727) foi o principal nome responsável pelo

entendimento da gravitação como a vemos hoje; apesar de mais tarde ter havido

correções relativísticas aos conceitos, com Albert Einstein, seus estudos são de

grande utilidade e usados até os dias atuais [1].

A lei da gravitação para órbitas circulares afirma que um corpo que orbita

outro devido à força gravitacional exerce uma força sobre ele que pode ser

descrita pela equação

onde G é a constante gravitacional, m e M as massas dos dois corpos, R o raio

da distância entre eles e , o versor representante da dimensão na qual o

estudo é feito [1].

Assim, Newton, por meio de suas ideias sobre a gravitação, além de suas

contribuições em outras áreas, como o cálculo, contribuiu enormemente com a

ciência, sendo considerado por Hume o maior gênio que a civilização já

conheceu. De fato, a era pós-newtoniana foi marcada por sucessos na aplicação

de seus princípios de dinâmica e gravitação [1].

1.2 Relatividade Especial e Geral

Durante mais de 200 anos, as equações de Newton foram usadas para

descrever o movimento. Em 1905, Albert Einstein (1897-1955) descobriu um erro

em tais equações: basicamente, a massa dos corpos não é sempre constante, e

, (1)

5

sim pode ser alterada de acordo com a velocidade deles; assim, a Teoria da

Relatividade corrige as leis de Newton introduzindo o seguinte fator de correção à

massa:

√

onde m0 representa a massa do mesmo corpo quando não está em movimento e

c é a velocidade da luz, que de acordo com a Relatividade se mantém constante

independentemente do observador [2].

Esse princípio enuncia a Teoria da Relatividade Especial, que introduz o

tempo como uma quarta dimensão, juntamente com as três do espaço. Deste

modo, utiliza-se o conceito de espaço-tempo, onde um ponto tem coordenadas

(x, y, z, t) e é chamado de evento. A Relatividade Geral, publicada em 1915,

considera também movimentos acelerados [2].

Um problema nas leis de Newton que foi solucionado com a Relatividade

Geral era o da velocidade com que o efeito gravitacional se propaga. Newton

havia determinado a intensidade e direção da força da gravidade, mas a rapidez

da propagação era dada como infinita, ou seja, a gravidade era transmitida

instantaneamente. Como será mostrado, Einstein demonstrou que, na verdade,

tal efeito se propagava na velocidade da luz [4].

1.3 Ondas gravitacionais

A física das ondas gravitacionais está numa época extremamente

propícia. Em 2016, foi realizada a primeira detecção direta de tais ondas no

LIGO, um marco definitivo para o desenvolvimento da astronomia de ondas

gravitacionais, um rico assunto que junta diferentes áreas como a relatividade

geral, teoria de campos, astrofísica e cosmologia [3].

Previstas em 1916 por Albert Einstein como uma consequência

matemática da Teoria da Relatividade Geral, as ondas gravitacionais, de forma

resumida, são variações no espaço-tempo causadas por campos gravitacionais

variáveis, causados por massa ou energia. Sua propagação ocorre com a

velocidade da luz e sua detecção indireta rendeu o Nobel de Física de 1993 [4].

, (2)

6

Assim como as equações de Maxwell permitem a existência de ondas

propagadas no campo eletromagnético, a Relatividade Geral prevê que

flutuações na métrica do espaço-tempo podem ser propagadas como ondas

gravitacionais [5]. Elas são caracterizadas por apenas quatro grandezas:

comprimento de onda, amplitude, polarização e direção de propagação [4].

1.4 Detectores de ondas gravitacionais

Em 2016, houve pela primeira vez a detecção direta das ondas

gravitacionais, marcando-as como a última predição da Relatividade Geral a

ser confirmada [5].

Detectores de ondas gravitacionais geralmente usam o método de

interferometria a laser, que funciona do seguinte modo: a luz em forma de laser

é dividida e direcionada por dois “braços”. Em seguida, duas massas-teste

iguais refletem a luz no final dos braços e a luz refletida é recombinada. As

franjas de interferência geradas pelas duas luzes são analisadas em procura

de evidências indicando mudanças nas distâncias das massas-teste, o que

confirmaria a variação no espaço-tempo. Os braços têm muitos quilômetros de

extensão, pois a variação nas distâncias gerada pelas ondas gravitacionais é

extremamente pequena (da ordem de 10-21 vezes o tamanho original do objeto

medido), sendo necessária tal extensão para que elas sejam detectadas [5].

Também há o método de massas ressonantes, onde, por exemplo, uma

barra cilíndrica de alumínio extremamente isolada do meio externo é

equilibrada no meio de um cabo. Cristais piezoelétricos, que produzem

voltagem elétrica quando deformados, são colocados na superfície da barra.

Assim, quando a onda chega na barra, há oscilação longitudinal causando

mudança na extensão dos cristais, que emitem sinais elétricos [4].

2. Objetivos

Os objetivos deste trabalho estão relacionados principalmente com a

determinação do momento de quadrupólo de uma configuração de massa.

Espera-se que a aluna candidata seja capaz de cumprir os seguintes objetivos:

7

Determinar numericamente o centro de massa e o momento de quadrupólo

de uma configuração de massa

Utilizar um programa gráfico para a visualização dos resultados no

computador

Entender a fórmula de quadrupólo usada para calcular a emissão de ondas

gravitacionais de um sistema binário

Pesquisar sobre os detectores de ondas gravitacionais existentes e em

planejamento

Implementar a instalação do programa Einstein@Home

3. Metodologia

3.1 Material

O material necessário para a execução deste projeto inclui recursos

computacionais modestos, incluindo um compilador, um editor de Latex e um

programa gráfico para a visualização das simulações. O material bibliográfico

básico necessário está disponível na biblioteca da UFABC.

3.2 Métodos

Até o momento, foi utilizada a bibliografia para o estudo de física básica e

conceitos como o momento de quadrupólo e ondas gravitacionais. Os principais

livros são: Curso de Física Básica vol. 1 – Mecânica, de H. Moysés Nussenzveig

[1], Lições de Física vol. 1, de Richard Feynman [2], utilizado para a introdução

teórica aos conceitos físicos, e Ondas Gravitacionais vol. 1, de Michele Maggiore

[3]. Alguns exercícios da bibliografia foram resolvidos e estão exemplificados

neste relatório (item 4). Também foi utilizado o software MATLAB para a

visualização do centro de massa de um sistema de partículas.

4. Resultados e discussão

Dois exercícios do livro Curso de Física Básica vol. 1 – Mecânica estão

resolvidos e comentados nos itens 4.1 e 4.2. As resoluções são fundamentais

8

para a compreensão de conceitos e problemas envolvendo mecânica. No item

4.3, há a apresentação das simulações de centro de massa de um sistema de

partículas, cujos códigos utilizados encontram-se nos apêndices A e B.

4.1 Lebre e tartaruga

Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 km/h

e a da tartaruga é de 1,5m/min. A distância a percorrer é de 600m, e a lebre

corre durante 0,5min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima

da soneca para que a lebre não perca a corrida?

Primeiramente identificamos os dados do problema e o que pede-se:

∆x = 600 m;

vlebre = 30 km/h = 8,33333... m/s;

vtartaruga = 1,5 m/min = 0,025 m/s;

∆t = 0,5 min = 30 s;

tsoneca = ?

Para a resolução, utilizamos apenas a equação da distância em função do

tempo, uma vez que o movimento é uniforme:

.

Assim, o tempo que cada um gasta para percorrer ∆x é dado por:

Assim, tlebre = 72 s e ttartaruga = 2,4 * 104 s.

Para que a lebre ganhe, o tempo que leva para percorrer ∆x mais o tempo

da soneca deve ser igual ao tempo que a tartaruga leva para percorrer ∆x. Assim,

(3)

e (4)

(5) .

9

E encontramos tsoneca = 2,3928 * 104 s, que corresponde a 6,647 h = 6h 38 min 49

s.

4.2 Movimento balístico

Um projétil é disparado num ângulo de 35° com a horizontal. Ele atinge o solo a

4 km do ponto do disparo. Calcular (a) o módulo da velocidade inicial, (b) o

tempo de trânsito do projétil, (c) a altura máxima, (d) o módulo da velocidade

no ponto de altura máxima.

Identificando os dados do problema:

∆x = 4 km = 4000 m;

θ = 35°.

(a) Módulo da velocidade inicial

Podemos utilizar as seguintes equações:

Substituindo:

obtém-se o valor de v0 = 204 m/s.

(b) Tempo de trânsito

Da equação (7) obtém-se 23,7 s.

(c) Altura máxima

Como a altura máxima ocorre em ∆t/2, utilizamos a seguinte equação:

(6)

(7)

(8)

e

.

, (9)

10

de onde obtém-se 670 m.

(d) Módulo da velocidade na altura máxima

Na altura máxima, o componente vy é anulado. Assim, sobra apenas vx:

vx = v cos 35° = 167 m/s.

4.3 Centro de massa de um sistema de partículas

Primeiramente será apresentada a equação para o cálculo do centro de

massa de um sistema de N partículas; também serão visualizadas diferentes

configurações em duas e três dimensões para o centro de massa. Também será

apresentada a equação para o centro de massa de um corpo extenso e o

conceito e equação do momento de quadrupolo.

4.3.1 Equação do centro de massa de um sistema de partículas

Para um sistema de N partículas dispostas em posições ao longo dos

eixos cartesianos, é necessário calcular a posição do centro de massa para cada

eixo. Para isso, podemos tratar o sistema como se fosse uma só partícula, de

momento igual ao momento total do sistema e sobre a qual atua a resultante das

forças externas. Essa posição é exatamente o centro de massa do sistema.

Nesse sistema há N partículas, de massas m1, m2, ..., mN, cujos vetores

de posição são r1, r2, ..., rN. A equação que dá o vetor de posição do centro de

massa desse sistema é:

∑

sendo M a massa total do sistema.

Como exemplo tomamos o eixo x, onde a posição x do centro de massa,

xCM, é calculada do seguinte modo:

∑

, (10)

, (11)

. (12)

11

Assim procedemos para cada eixo, encontrando por fim as coordenadas

completas do centro de massa [1].

4.4.2 Visualização em duas dimensões

Para a visualização do centro de massa de um sistema de partículas em

duas dimensões, foi utilizado o software MATLAB.

Primeiramente, foi criada uma situação com 20 partículas, todas com a

mesma massa de 1kg cada, dispostas uniformemente em posições espaçadas ao

longo das funções f(x) = x e f(x) = 1-x, como mostrado na figura 1. A posição de

coordenadas (0.5,0.5) não foi preenchida com corpos, para otimizar a

visualização do centro de massa, que se encontra exatamente nessa posição,

como esperado devido à distribuição uniforme dos corpos de mesma massa.

Figura 1: Gráfico do centro de massa em duas dimensões (caso 1)

A segunda simulação foi feita com 21 partículas, sendo 20 nas mesmas

posições da primeira simulação e a adição de uma na posição (0.5,0.5). A

diferença foi expressa nas massas de cada corpo, que são crescentes ao longo

do eixo x, com as massas em x = 0 tendo 1kg, em x = 0,1 tendo 2kg e assim por

diante, até chegar a 11kg em x = 1, como mostrado na figura 2. Podemos

observar um deslocamento do centro de massa para a direita, permanecendo em

(0.675,0.5), assim como esperado, pois os corpos à direita têm maiores massas;

12

a posição y do centro de massa não se alterou devido à uniformidade das

massas ao longo do eixo y, isto é, para cada massa acima de y=0,5 havia uma

abaixo dessa posição, compensando-a.

Figura 2: Gráfico do centro de massa em duas dimensões (caso 2)

A terceira simulação foi feita utilizando-se 21 pontos ao longo da função

f(x) = x2. Cada ponto foi colocado ao longo da reta x com 0.05 de distância do

próximo, começando em x = 0 e terminando em x = 1 (figura 3). As massas dos

pontos aumentam ao longo do eixo x, cada ponto tendo 1kg a mais que o

anterior; desse modo, a massa do ponto de coordenadas (0,0) é 1kg e a do corpo

de coordenadas (1,1), 21kg. Pôde-se observar o centro de massa na posição

(0.667, 0.508).

13

Figura 3: Gráfico do centro de massa em duas dimensões (caso 3)

4.4.3 Visualização em três dimensões

A primeira visualização foi feita utilizando-se as oito combinações

diferentes que pode-se fazer com as posições 0 e 1: (0,0,0); (1,1,1); (1,0,0);

(0,1,0); (0,0,1); (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1). Todas as massas foram iguais a 1kg.

Assim, o centro de massa manteve-se no centro, em (0.5,0.5,0.5), como

esperado (figura 4).

Figura 4: Gráfico do centro de massa em três dimensões (caso 1)

14

Na segunda simulação, mostrada na figura 5, foram utilizadas as mesmas

posições porém com massas variando de 1 a 8, distribuídas aleatoriamente.

Pôde-se observar uma posição do centro de massa ainda próxima do centro.

Figura 5: Gráfico do centro de massa em três dimensões (caso 2)

Na última simulação (figura 6), utilizou-se 11 valores, todos com x = y = z,

variando de 0 a 1 e com intervalos de 0,1. As massas foram aumentadas em 1kg

a cada valor e o centro de massa manteve-se coerente a esse fato, sobre a reta x

= y = z.

Figura 6: Gráfico do centro de massa em três dimensões (caso 3)

15

4.4 Centro de massa de um corpo extenso

Para a determinação do centro de massa de um corpo extenso, podemos

pensar no corpo como um sistema de partículas. Decompondo este corpo em um

número de partes, é possível pensar no caso em que o volume ∆Vi de cada parte

i é suficientemente pequeno e, assim, há um número muito grande de partes.

Assim, cada parte pode ser representada por uma partícula de vetor posição ri,

sendo o vetor posição do centro de massa dado por

∑

∑

Quando o número de divisões tende a infinito e ∆mi tende a zero, temos

∫

∫

Sendo assim possível calcular o centro de massa em cada dimensão [1].

5. Cronograma

Este projeto possui a duração de 10 meses, de 01/10/2016 a 31/07/2017.

O projeto deverá ser desenvolvido de acordo com o seguinte cronograma:

01/10/2016 a 30/11/2016 Revisão de física básica. Determinação do centro

de massa de um sistema de partículas. Determinação numérica do centro de

massa de um corpo extenso. Visualização.

01/12/2016 a 31/01/2017 Conceito básico de expansão multipolar.

Determinação do momento de quadrupólo de diferentes configurações.

01/02/2017 a 31/03/2017 Revisão da literatura: sistemas binários e fórmula

do quadrupólo para emissão de ondas gravitacionais. Elaboração do relatório

parcial.

01/04/2017 a 31/05/2017 Utilização da fórmula do quadrupólo para prever

as características das ondas gravitacionais de um sistema binário. Visualização.

01/06/2017 a 31/07/2017 Revisão da literatura: detectores e detecções já

realizadas. Instalação do Einstein@Home. Elaboração do relatório Final.

.

, (14)

(13)

16

O projeto está ainda na primeira parte, tendo sido completada a revisão de

física básica e determinação e visualização do centro de massa de um sistema

de partículas. Nos próximos meses, o projeto deverá ser feito com maior foco e

acelerado para que o cronograma possa ser colocado em dia novamente.

6. Conclusões

Durante o desenvolvimento do projeto, pôde-se estudar diversos

conceitos de mecânica, física clássica e alguns aspectos qualitativos da

relatividade. Além disso, foram absorvidos conhecimentos de cálculo e

matemática em geral.

Também foi usada programação para desenvolver o código das

simulações, que a partir de agora deverão ser extendidas para mais casos e

situações.

17

Referências

[1] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de física básica: vol.1, mecânica. 5. ed.

São Paulo, SP: Blucher, c2013. v. 1 . 394 p., il.

[2] FEYNMAN, Richard Phillips; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew.

Feynman: lições de Física. Tradução de Adriana Válio Roque da Silva et al.

Porto Alegre, RS: Bookman, 2008. 1 v., il.

[3] MAGGIORE, Michele. Gravitational waves, vol. 1: theory and experiments.

Oxford, GBR: Oxford University Press, c2008. xvii, 554.

[4] AGUIAR, Odylio D. História da Astronomia no Brasil. Recife, PE: Cepe

Editora e Secretaria de Ciência e Tecnologia de Pernambuco, 2014.

[5] GUIDRY, Michael W. Online journey through Astronomy. Brooks Cole, 2004.

18

Apêndice A – Código da simulação 2D

1 fprintf('Cálculo do centro de massa para sistema de

partículas\n\n');

2 num=input('Insira quantas massas temos no sistema: ');

3 mas=1:1:num;

4 posi=zeros(num,2);

5 %input dos dados

6 i=1;

7 while i<=num

8 mas(i)=input('Insira a massa em kg: ');

9 posi(i,1)=input('Insira a posição x da massa: ');

10 posi(i,2)=input('Insira a posição y da massa: ');

11 i=i+1;

12 end

13 % calculando massa total do sistema

14 mastotal=0;

15 i=1;

16 while i<=num

17 mastotal=mastotal+mas(i);

18 i=i+1;

19 end

20 % x do centro de massa

21 x=0;

22 i=1;

23 while i<=num

24 x=x+posi(i,1)*mas(i);

25 i=i+1;

26 end

27 x=x/mastotal;

28 % y do centro de massa

29 y=0;

30 i=1;

31 while i<=num

32 y=y+posi(i,2)*mas(i);

33 i=i+1;

19

34 end

35 y=y/mastotal;

36 %plotagem para visualização

37 plot(x,y,'o','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor',[.5 .5

.5],'MarkerSize',8) %centro de massa

38 grid on

39 txt1 = sprintf('(%.3f,%.3f)',x,y);

40 text(x,y,txt1);

41 hold on

42 title('Centro de massa do sistema 2D');

43 ylabel('y');

44 xlabel('x');

45 i=1;

46 while i<=num

47

plot(posi(i,1),posi(i,2),'o','MarkerEdgeColor','k','MarkerF

aceColor',[1 1 1],'MarkerSize',6) %massas

48 txt1 = sprintf('%d kg',mas(i));

49 text(posi(i,1),posi(i,2),txt1);

50 i=i+1;

51 end

52 %fim

20

Apêndice B – Código da simulação 3D

1 fprintf('Cálculo do centro de massa para sistema de

partículas\n\n');

2 num=input('Insira quantas massas temos no sistema: ');

3 mas=1:1:num;

4 posi=zeros(num,3);

5 %input dos dados

6 i=1;

7 while i<=num

8 mas(i)=input('Insira a massa em kg: ');

9 posi(i,1)=input('Insira a posição x da massa: ');

10 posi(i,2)=input('Insira a posição y da massa: ');

11 posi(i,3)=input('Insira a posição z da massa: ');

12 i=i+1;

13 end

14 % calculando massa total do sistema

15 mastotal=0;

16 i=1;

17 while i<=num

18 mastotal=mastotal+mas(i);

19 i=i+1;

20 end

21 % x do centro de massa

22 x=0;

23 i=1;

24 while i<=num

25 x=x+posi(i,1)*mas(i);

26 i=i+1;

27 end

28 x=x/mastotal;

29 % y do centro de massa

30 y=0;

31 i=1;

32 while i<=num

33 y=y+posi(i,2)*mas(i);

21

34 i=i+1;

35 end

36 y=y/mastotal;

37 % z do centro de massa

38 z=0;

39 i=1;

40 while i<=num

41 z=z+posi(i,3)*mas(i);

42 i=i+1;

43 end

44 z=z/mastotal;

45 %plotagem para visualização

46 plot3(x,y,z,'o','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor',[.5

.5 .5],'MarkerSize',8) %centro de massa

47 grid on

48 txt1 = sprintf('(%.3f,%.3f,%.3f)',x,y,z);

49 text(x,y,z,txt1);

50 hold on

51 title('Centro de massa do sistema 3D');

52 ylabel('y');

53 xlabel('x');

54 zlabel('z');

55 i=1;

56 while i<=num

57

plot3(posi(i,1),posi(i,2),posi(i,3),'o','MarkerEdgeColor','

k','MarkerFaceColor',[1 1 1],'MarkerSize',6) %massas

58 txt1 = sprintf('%d kg',mas(i));

59 text(posi(i,1),posi(i,2),posi(i,3),txt1);

60 i=i+1;

61 end

62 %fim