temps d'arrêt, formules de feynman-kac, équation de fokker ... · temps d’arrêt, formules...
TRANSCRIPT
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac,équation de Fokker-Planck
Olivier FAUGERAS
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Plan
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t
Formules de Feynman-Kac
Equation de Focker-Planck
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Plan
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t
Formules de Feynman-Kac
Equation de Focker-Planck
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Plan
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t
Formules de Feynman-Kac
Equation de Focker-Planck
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Temps d’arrêt
Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité et F(·) une filtration.
DéfinitionUne v.a.r. positive τ est dite un temps d’arrêt par rapport à F(·)si
τ ≤ t ∈ F(t) ∀t ≥ 0
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Temps d’arrêt
ThéorèmeSoient τ1 et τ2 deux temps d’arrêt par rapport à F(·). Alors on a
1. τ < t ∈ F(t) et donc τ = t ∈ F(t) pour tout t ≥ 0.2. τ1 ∧ τ2 et τ1 ∨ τ2 sont des temps d’arrêt.
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Exemple : toucher un ensemble
On considère la solution de l’équationdX = b(X, t) dt + B(X, t) dW
X(0) = X0
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Exemple : toucher un ensembleThéorèmeSoit E un ensemble non vide ouvert ou fermé de Rn. Alors
τ = inft ≥ 0 |X(t) ∈ E
est un temps d’arrêt.
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Intégrales stochastiques et temps d’arrêt
DéfinitionSi G ∈ L2(0,T ) et τ est un temps d’arrêt tel que 0 ≤ τ ≤ Talors ∫ τ
0G dW =
∫ T
0χt≤τG dW
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Intégrales stochastiques et temps d’arrêt
Lemme (Intégrales d’Itô avec temps d’arrêt)Si G ∈ L2(0,T ) et τ est un temps d’arrêt tel que 0 ≤ τ ≤ Talors
1.E[∫ τ
0G dW = 0
]2.
E
[(∫ τ
0G dW
)2]
= E[∫ τ
0G2 dt
]
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Formule d’Itô avec des temps d’arrêt
Soit dX = b(X, t) dt + B(X, t) dW et u une fonction C2.On a la formule d’Itô :
du(X, t) =∂u∂t
dt +n∑
i=1
∂u∂xi
dX i +12
n∑i,j=1
∂2u∂xi∂xj
n∑k=1
BikBjk dt
Sous forme intégrale :
u(X(t), t)− u(X(0),0) =
∫ t
0
(∂u∂t
+ Lu)
ds +
∫ t
0Du · B dW
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Formule d’Itô avec des temps d’arrêt
o‘u L est l’opérateur différentiel
Lu =12
n∑i,j=1
aijuxi xj +n∑
i=1
biuxi , aij =n∑
k=1
BikBjk ,
et
Du · B dW =n∑
k=1
n∑i=1
uxi Bik dW k
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Formule d’Itô avec des temps d’arrêt
L s’appelle le générateur.Pour un ω fixé la formule intégrale est vraie pour 0 ≤ t ≤ Tdonc on peut prendre t = τ , τ un temps d’arrêt tel que0 ≤ τ ≤ T :
u(X(τ), τ)− u(X(0),0) =
∫ τ
0
(∂u∂t
+ Lu)
ds +
∫ τ
0Du · B dW
Prenons l’espérance
E [u(X(τ), τ)− u(X(0),0)] = E[∫ τ
0
(∂u∂t
+ Lu)
ds]
Formule de Dynkin.
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Exemple du Brownien
Dnns le cas o‘u X = W on a
Lu =12
n∑i,j=1
uxi xj =12
∆u
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Espérance du temps d’atteinte d’une frontière
Soit U un ouvert borné de Rn de frontière ∂U régulière. On saitqu’il existe une solution régulière u de
−12∆u = 1 dans Uu = 0 sur ∂U
On définit X(·) = x + W(·) et τx = le premier instant où X(·)touche ∂U.
Théorème
u(x) = E [τx ]
pour tout x ∈ U. Donc en particulier u > 0 dans U.
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Représentation probabiliste des fonctionsharmoniques
Soit U un ouvert borné de Rn de frontière ∂U régulière,g : ∂ U → R une fonction continue. On sait qu’il existe unefonction u ∈ C2(U) ∪ C(U), dite harmonique, telle que
∆u = 0 dans Uu = g sur ∂U
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Représentation probabiliste des fonctionsharmoniques
Théorème
u(x) = E [g(X(τx ))]
pour tout x ∈ U et X(·) = W(·) + xPreuve :On a
E [u(X(τx ))] = E [u(X(0))]+E[∫ τx
0
12
∆u(X)ds]
= E [u(X(0))] = u(x)
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Formule de Feynman-Kac
On étend l’exemple précédent au problème−1
2∆u + cu = f dans Uu = 0 sur ∂U
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Formule de Feynman-Kac
Théorème
u(x) = E[∫ τx
0f (X(t)) e−
R t0 c(X(s)) ds dt
]pour tout x ∈ U et X(·) = W(·) + x.
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Formule de Feynman-Kac
Preuve :On pose Z (t) = −
∫ t0 c(X(s)) ds et Y (t) = eZ (t).
La formule d’Itô donne dY = −c(X)YdtOn applique la formule du produit d’Itô à u(X)e−
R t0 c(X(s)) ds
On écrit la formule intégrale correspondante pour t = τx et onprend l’espérance.
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Interprétation
Des particules browniennes peuvent disparaitre en étantabsorbées par le milieuLa probabilité de disparaitre dans l’intervalle [t , t + h] estc(X(t))h + o(h)La probabilité de survie jusqu’au temps t estapproximativement égale à
(1−c(X(t1))h)(1−c(X(t2))h) · · · (1−c(X(tn))h)→ e−R t
0 c(X(s)) ds
quand h→ 0, avec 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t et h = tk+1 − tk .
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Interprétation
Donc u(x) qui est égal à la moyenne de f (X(·)) sur tous leschemins qui survivent assez longtemps pour rencontrer ∂U estbien égal à
E[∫ τx
0f (X(t)) e−
R t0 c(X(s)) ds dt
]
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Généralisation
Soit U un ouvert borné de Rn, f et c deux fonctions régulièressur U.Si l’opérateur différentiel L est uniformément elliptique, il existeune solution unique, régulière, u, de l’EDP
−Lu + cu = f dans Uu = 0 sur ∂U
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Généralisation
ThéorèmeSoit x ∈ U,
X (t) = x +
∫ t
0b(X (s)) ds +
∫ t
0B(X (s)) dW(s),
et τx = le premier instant où X(·) touche ∂U. On a
u(x) = E[∫ τx
0f (X(t)) e−
R t0 c(X(s)) ds dt
]
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Equation de Fokker-PlanckI On part de
E [u(X(t), t)]− E [u(X(0),0)] = E[∫ t
0(∂u∂t
+ Lu) ds]
I Soit p(t , x) la densité de Xt , on remplace les espérancespar des intégrales sur Rn:
E [u(X(t), t)] =
∫Rn
u(x , t)p(t , x) dx ,
I On dérive par rapport au temps pour obtenir∫Rn
u(x , t)∂p∂t
(t , x) dx =
∫Rn
(Lu(x , t))p(t , x) dx
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
Temps d’arr[Pleaseinsertintopreamble]t Feynman-Kac Focker-Planck
Equation de Fokker-Planck
I Finalement∂p∂t
(t , x) = L∗p(t , x),
où L∗ est l’adjoint de L:
L∗u =12
n∑i,j=1
(aiju)xi xj −n∑
i=1
(biu)xi
Olivier FAUGERAS
Temps d’arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck