exemple d’intoduction - monir azmani · le taux de marche est le rapport du temps de...
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I- Le Taux de Rendement Synthétique (TRS) ........................................................................................... 1
I.1- Introduction .................................................................................................................................. 1
I.2- TPM : Total Productive Maintenance ............................................................................................ 2
I.3- TRS : Taux de Rendement Synthétique ......................................................................................... 3
I.4- Exercices ........................................................................................................................................ 6
II- Capacités et charges .......................................................................................................................... 11
II.1- Capacités .................................................................................................................................... 11
II.2- Charges ....................................................................................................................................... 14
II.3- Exercices ..................................................................................................................................... 18
III- Le problème du flot maximal ........................................................................................................... 22
III.1-Exemple d’introduction .............................................................................................................. 22
III.2- Définition d’un flot sur un graphe ............................................................................................. 23
III.3- Définition du problème de flot maximal sur un réseau ............................................................ 26
III.4- Résolution du problème de flot maximal : algorithme de Ford-Fulkerson ............................... 28
III.4- Exercices .................................................................................................................................... 32
IV- Problème d’affectation .................................................................................................................... 34
IV.1-Introduction ............................................................................................................................... 34
IV.2- Méthode du COIN NORD-OUEST .............................................................................................. 35
IV.3- UV method ................................................................................................................................ 36
IV.4- Exercices .................................................................................................................................... 40
V- Problèmes d’acheminement ............................................................................................................. 41
V.1- Introduction ............................................................................................................................... 41
V.2- Algorithme de Djikstra ............................................................................................................... 42
V.3- Exercices ..................................................................................................................................... 44
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I- Le Taux de Rendement Synthétique (TRS)
I.1- Introduction
Lorsque sous la pression de la concurrence, du marché ou tout simplement de la hiérarchie, on se
penche sur le rendement des machines, on peut en choisissant mal ses indicateurs se faire des
illusions ou en les choisissant bien, être surpris par les résultats.
L'analyse du rendement machine se base souvent sur la production achevée par rapport à la capacité
nominale. Devant la faiblesse de ce rendement, il n'est pas rare de porter un regard soupçonneux sur
l'opérateur, car la machine n'est-ce pas, ne peut faire preuve de motivation...
Or, on a trop tendance à considérer les caractéristiques d'une machine comme immuables, sauf la
dégradation de ses performances dans le temps. Les caractéristiques des machines sont annoncées
(par des constructeurs toujours optimistes) dans l'hypothèse de l'absence de facteurs perturbateurs,
en négligeant la part d'intervention humaine, etc. Qui se pose des questions au moment de l'achat et
plus tard en exploitation, quant à la fiabilité des machines, de leur rendement, de la compressibilité
des temps technologiques, de savoir si les spécifications du constructeur sont bien réelles ?
Un suivi attentif révèle vite que les caractéristiques théoriques ne correspondent pas à la réalité. Il
est fréquent que dans les projets d'amélioration de rendement machine, l'attention se focalise sur le
travail de l'homme (que le "regard" soit soupçonneux ou non) qui lui est associé. Il est certes
important de lui donner une certaine priorité, mais lorsque sa part de travail est optimisée ou que
l'on a affaire à des machines entièrement automatiques, il devient nécessaire de se pencher sur le
travail des machines elles-mêmes...
Dans la mentalité japonaise, surtout celle de l'après-guerre qui a façonné l'industrie nippone, toute forme de gaspillage est à combattre. La chasse au gaspillage est un gisement de gains qui peut se révéler riche et être exploité facilement. Être une entreprise idéale c'est anéantir les pertes et atteindre :
Zéro accident, zéro défauts, zéro arrêts !
Pas d'incidents, d'accidents = pas d'arrêts, ni "pertes humaines", ni frais financiers... Pas de défauts = temps de fabrication utilisé à 100%, pas de déchets...
Zéro défauts = zéro contrôle !
Dans le but de minimiser les arrêts machines, améliorer les machines du parc existant et maximiser
l'utilisation de ces machines, pour réduire les frais financiers; retarder ou rendre inutiles les
investissements capacitaires, mais aussi introduire de nouveaux équipements en tenant compte de
l'expérience du passé (ne pas refaire les mêmes erreurs !)
Il faut essayer :
❖ d'augmenter la productivité des machines
❖ de différer les investissements capacitaires (nouveaux équipements pour assurer la capacité
de production)
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❖ fiabiliser les machines = trouver et éliminer les micro-pannes
❖ rentabiliser rapidement les investissements (générer la VA plus vite)
❖ d'améliorer les méthodes de travail :
❖ Rationaliser la maintenance, trouver la nécessité de l'homme (capteur à 5 sens !)
❖ valoriser la fonction "conduite de machine "
❖ améliorer les conditions de travail
❖ diminuer les actions du type "pompiers" (interventions soudaines et acrobatiques...)
En assurant la cohérence du développement, en libérant du temps " spécialistes " pour ce
développement et les modifications internes des équipements.
Avant de se jeter à corps perdu dans la maximisation du temps machine, il convient néanmoins de
bien définir les objectifs. Tout comme pour le SMED ou les actions KAIZEN, les améliorations
potentielles dans un environnement industriel sont quasi infinies. Aussi, une bonne analyse préalable
est nécessaire. Il faut par exemple connaître précisément la part de génératrice de Valeur Ajoutée
dans le temps de fonctionnement de la machine, car maximiser ne veut pas nécessairement dire faire
tourner plus ou sans arrêt... Une initiation à la théorie des contraintes est également un bon moyen
de fixer les idées.
Lorsque la part de génération de V.A est connue, il faut exploiter la machine au mieux, afin de
maximiser cette génération de V.A. Il faut fixer très précisément un état de référence et des objectifs
à atteindre (très) ambitieux, de sorte que la recherche du maximum devienne une action continue
(esprit kaizen).
I.2- TPM : Total Productive Maintenance
La TPM est née des besoins d'améliorer le rendement machine. Selon le choix de l'indicateur de productivité, on peut se complaire dans une situation apparemment satisfaisante, mais totalement irréelle. Prenons l'exemple de l'indicateur le plus simple qui soit ; le taux de marche calendaire. Le taux de marche est le rapport du temps de fonctionnement de la machine au temps d'ouverture de l'atelier. Si l'ouverture de l'atelier est de 8 heures quotidienne et que la machine tourne 7 heures (une heure étant nécessaire aux diverses opérations non-productives), le taux de marche est de 7 / 8 x 100 = 87.5% Sauf cela ne veut pas dire grand-chose, la machine ayant très bien pu tourner à vide... Il est évident qu'un indicateur aussi élémentaire est insuffisant à une bonne gestion de la ressource et ne peut guider une action d'amélioration.
En se penchant sur le travail de la machine, on se rend compte qu'elle ne peut travailler durant toute la durée d'ouverture de l'atelier. Il y a nécessairement des opérations qui nécessitent son arrêt ou du moins une phase non productive; changements de séries, rechargements, maintenance, préchauffage... Cela introduit la notion de temps de fonctionnement brut.
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Durant le temps de fonctionnement brut, on pourrait s'attendre à une production égale à ce temps divisé par la cadence nominale. Or, les relevés de production montreront bien vite qu'il n'en est rien ! C'était sans compter avec tous les aléas affectant les performances; pannes, dérives, micro-arrêts...
La cadence réelle est toujours inférieure à la cadence nominale.
Le temps de fonctionnement brut amputé du temps perdu donne le temps de fonctionnement réel, ou temps de fonctionnement net. Hélas les pertes ne s'en tiennent pas là, car pour finir, on se rend compte que le peu de temps passé à produire, a produit aussi bien des pièces bonnes que des mauvaises... Certaines pièces mauvaises peuvent éventuellement être récupérées, mais toujours au prix d'un
surcoût, certaines fois c'est une perte intégrale.
Il est évident que seules les pièces utiles génèrent du profit, mais avec un tel gaspillage, il n'est pas
assuré !
Notons que chaque "perte" trouve sa cause dans un thème qui va intéresser la maintenance, comme
nous le détaillerons plus loin.
I.3- TRS : Taux de Rendement Synthétique
Le schéma ci-dessus montre bien les différentes composantes de pertes qui érodent la productivité de la machine. Si l'on en reste à un niveau de précision insuffisant, comme le suivi du taux de marche calendaire, cet indicateur ne sera pas un reflet fidèle de la situation, loin de là. Pour connaître avec précision la situation et mener des actions d'amélioration, un niveau de détail supérieur est requis. La TPM propose un indicateur qui intègre toutes les composantes du rendement machine, le TRS ou Taux de Rendement Synthétique. Posons : A = temps d'ouverture : temps théorique de fonctionnement.
B = A - total des arrêts machine (pannes, changements d'outils, approvisionnements..)
C = temps net de fonctionnement
C = B - pertes de performances = différence entre cadence théorique et cadence réelle due aux arrêts
mineurs
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Nous pouvons définir trois ratios :
❖ Taux de fonctionnement brut
𝑇𝑏 = 𝐵
𝐴=
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑑′𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒 − 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑑′𝑎𝑟𝑟ê𝑡
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑑′𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑒
❖ Taux de performance
𝑇𝑝 =𝐶
𝐵=
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑛𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑏𝑟𝑢𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
❖ Taux de qualité
𝑇𝑞 =𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑡é𝑒 − 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑟𝑒𝑏𝑢𝑡é𝑒𝑒
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑡é𝑒
Et un " super ratio " : le taux de rendement synthétique T.R.S
𝑇𝑅𝑆 = 𝑇𝑏 ∗ 𝑇𝑝 ∗ 𝑇𝑞
Le TRS est le seul indicateur qui tienne compte de tous les paramètres qui affectent la productivité d'une machine. Dans l'établissement du TRS, si l'un des taux le composant se dégrade, le TRS chute également. Fixer des objectifs (très) ambitieux, c'est chercher à atteindre un TRS le plus élevé (idéal = 100%) et le tenir, ce qui est loin d'être facile ! Avec un tb entre 90 et 98%, tp généralement 95%, TRS à obtenir > 85% (ce qui semble modeste).
Puisque 𝑇𝑅𝑆 = 𝑇𝑏 ∗ 𝑇𝑝 ∗ 𝑇𝑞 => il faut un Tq de 99%, autrement dit, il faut atteindre un niveau d'excellence ! Il est fréquent qu'avant une démarche TPM, le TRS initial soit de l'ordre de 50% seulement. Le remonter à 70% représente déjà un gain très significatif. Le suivi du TRS permet d'avoir une vue synthétique, et l'examen de ses composantes permet de déterminer quel levier activer pour l'améliorer.
Si les indicateurs de la TPM semblent simples, leurs éléments constitutifs peuvent être délicats à recueillir. Une formalisation est nécessaire, passant par des définitions claires des différentes catégories de pertes. Avant définition et quantification des pertes, c'est le plus souvent l'impression subjective et vague des opérateurs et chefs d'atelier - qui tentent de justifier les performances médiocres de leurs machines - qui constituent les seuls éléments disponibles.
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La part des micro-arrêts reste généralement totalement ignorée, jusqu'à ce qu'elle soit suivie, quantifiée et analysée. Cet exemple est pris d'un atelier d'Insertion Automatique de composants électroniques, mais il est aisément transposable à toute autre activité. Des définitions sont proposées : Arrêts machine :
• panne machine > à 5 mn • panne énergie ( air ou électricité ) • changement de série : normal suivant planning ou imprévu • manque d'approvisionnements • manque de pièces de rechange • manque d'effectif
Pertes de performances :
• rechargement de composants < 5 mn • arrêts mineurs (incidents) < 5 mn • décalage de cadence • optimisation des programmes d'insertion
Pertes de non-qualité :
• casse de composants • erreur de valeur ou polarité
Ces catégories définies et acceptées seront alors traduites dans un système de recueil de données, manuel ou automatique. Pour chaque événement affectant la machine, sa durée sera notée dans la catégorie adéquate. Ce travail de récolte peut très rapidement devenir fastidieux, aussi est-il nécessaire de bien le penser avant de construire le système.
Exemple de calcul
Un atelier travaille en équipe de journée pendant 8 heures soit 480 minutes. L'ouverture machine
constatée est de 440 minutes. Les arrêts machine d'un total de 50 minutes sont ventilés comme suit :
❖ Changement de série = 20 minutes
❖ Panne = 20 minutes
❖ Réglages = 10 minutes
Le temps de cycle théorique est de 120 pièces / heure mais la mesure d'un temps de cycle réel donne
une cadence de 100 pièces / heure seulement. Quantité réalisée : 600 pièces/jour
Quantité rejetée : 18 pièces, 12 étant récupérables, 6 irrécupérables.
❖ Taux de fonctionnement brut
𝑇𝑏 = 440 − 50
440∗ 100 = 88.6%
❖ Taux de performance
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On a la cadence réelle de ce jour est de 600 pièces par jour et sachant que nous
avons travaillé que 390min ce qui implique que la cadence réelle est de 1,54 pièce
par minute
Le temps de cycle théorique est de 120 pièces / heure ce qui implique que la cadence
théorique est de 2 pièces par minute. On a alors :
𝑇𝑝 = 1,54
2∗ 100 = 77%
Ou bien
𝑇𝑝 = 600
(390 ∗ 120) ÷ 60∗ 100 = 77%
❖ Taux de qualité
𝑇𝑞 = 600 − 18
600= 97%
❖ TRS
𝑇𝑅𝑆 = 0.886 ∗ 0.77 ∗ 97 = 66.1%
I.4- Exercices
Exercice1 :
On a relevé sur une ligne de production les informations suivantes :
❖ Temps ouvrable par jour : 8h
❖ Arrêts pour pause : 20 min
❖ Arrêts pour préparation : 20 min
❖ Arrêts pour pannes : 20 min
❖ Arrêts pour réglages : 20 min
❖ Production : 400 pièces / jour
❖ Nombre de rebuts : 5
❖ Temps de cycle théorique : 0,5 min / pièce
❖ Temps de cycle réel : 0,8 min / pièce
1. Calculer le TRS de l’installation
2. Interpréter ce TRS
Exercice2 :
Soit un système semi-automatique réalisant une seule opération de fabrication d’un produit. Ce système se situe à l’intérieur d’une ligne de production. L’objectif est d’estimer le TRS et de la comparer à la disponibilité effective au bout de 5 jours de production (soit une semaine de travail).
❖ Temps d’ouverture = 5 x 16 heures ❖ Arrêts programmés = 5 x 2 fois ½ heure ❖ Temps d’arrêts pour panne = 6,25 heures ❖ Temps d’arrêts pour réglages = 5 fois ½ heure ❖ Temps de production = 66,25 heures
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❖ Production hebdomadaire = 1050 pièces ❖ Temps réel moyen par pièce = 3,5 minutes ❖ Temps théorique par pièce = 3 minutes ❖ Taux de rebut = 5%
1. Calculer le TRS de l’installation 2. Calculer sa disponibilité 3. Comparer ces 2 résultats
Exercice3 :
Une cellule flexible est composée par 2 éléments principaux qui sont 2 centres d’usinage horizontaux C31 et C41 alimentés automatiquement en pièces et en outils par un portique à commande numérique. La cellule comporte également une machine à laver destinée au décapage des pièces usinées.
❖ Le centre C31 a une cadence de 15,7 pièces par heure. ❖ Le centre C41 a une cadence de 14,4 pièces par heure.
L’indicateur pour quantifier le rendement global de la cellule est le TRS. Le TRS est calculé quotidiennement et d’une manière plus globale mensuellement. L’objectif fixé est un TRS de 0,75.
Travail demandé :
1. Compléter le tableau ci-dessous
2. Calculer le TRS quotidien et suivre son évolution
3. En déduire le TRS mensuel
4. Conclure sur l’objectif fixé et sur le taux le plus pénalisant
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Dat
e
1/1
2
2/1
2
5/1
2
6/1
2
7/1
2
8/1
2
9/1
2
12
/12
13
/12
14
/12
15
/12
16
/12
19
/12
20
/12
21
/12
22
/12
23
/12
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/12
27
/12
28
/12
29
/12
30
/12
Tem
ps
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8
8
8
8
8
8
8
8
8
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de
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93
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0
0
12
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8
60
89
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5
0
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70
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84
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0
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anti
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pté
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le
Tx d
e
qu
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é
TRS
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Exercice4 :
On donne l’historique de la cellule flexible sur les 4 derniers mois. Les repères S1 à S9 correspondent aux différents sous-systèmes issus de la décomposition de la cellule en sous-ensembles fonctionnels.
Sous-systèmes Défaillance
Temps d’arrêts (h)
Coûts des rechanges S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
Capteur fin de course 1,5
Capteur présence pièce 1,5 53
Moteur d’axe 8 1296
Palette mal bridée 1,5
Connectique 3 38
Carte d’axe 8 206
Vérin pneumatique 1,5 114
Pompe lubrification 6 431
Echange console 8 282
Identification palettes 5,5 381
Coincement protection
télescopique
4,5 267
Palette mal bridée 2
Manque huile 1 27
Injecteurs bouchés 2,5 191
Blocage outil 2
Désindexage plateau 6,5
Connectique 3
Mauvaise MIP
1
Palette mal bridée 1
Perte OM 0,5
Blocage mécanique 5 877
Rupture câble alimentation 4 38
Connectique 2 38
Palette mal bridée 1
Manque huile 1 53
Connectique 4
Coincement câble pneumatique 0,5
Injecteurs bouchés 2
Thermique moteur broche 0,5
Palette mal bridée 2,5
2,5
38
Réglage vis à bille 2,5
Perte OM 1
Blocage outil 3,5
Connectique 0,1
Palette mal bridée 2,5
Palette mal positionnée 2,5
Injecteurs bouchés 3
Mauvaise MIP 2
Coincement protection
télescopique
4 191
Manque huile 1,5 33
Perte programme 4
Mauvais indexage 3
Perte OM 1
Coincement mécanique 8 3926
Capteur porte 1 23
Réglage variateur 4
Blocage mécanique outil 1
Pompe hydraulique 8 1944
10
Travail demandé :
1. Compléter le tableau ci-dessous des coûts de défaillance
2. Effectuer une analyse de Pareto en prenant comme critère le coût de défaillance
3. Interpréter et conclure
❖ Taux horaire de la main d’oeuvre de maintenance = 38€ / heure
❖ Taux horaire d’indisponibilité : 237€ / heure
Sous-système
Coûts de la main d’œuvre de maintenance
Coûts des rechanges
Coûts d’indisponibilité
Coûts de défaillance
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
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Exercice5 :
La production d’une machine sur une journée de 24 heures. Supposons pour simplifier que le temps
de cycle de référence est identique pendant cette journée : TCR = 60 cmin (soit une production
horaire, ou cadence nominale, de 100 pièces / heure).
Pendant ces 24h, la machine n’est ouverte qu’en journée, de 8h00 à 17h00 (dont 1h de pause de 12h
à 13h). Voici le synoptique de production de cette équipe :
Pendant cette journée la production rebutée est de 20 pièces
Calculer, sur la plage des 24 heures : le TRS
II- Capacités et charges
II.1- Capacités
II.1.1- Les ressources
Il s'agit de l'ensemble des moyens nécessaires pour réaliser la transformation des matières premières
et composants en produits finis.
Suivant le type d'entreprise, les ressources comprennent de la main-d’œuvre, des équipements, des
outillages, des informations (comme le fichier d'une société de vente par correspondance), des
bâtiments, etc.
Les décisions concernant les ressources sont importantes.
Elles engagent en général l'entreprise pour des sommes élevées et pour une longue durée comme
des décisions d'investissement et d'embauche.
Leurs conséquences sont décisives à la fois pour la rentabilité de l'entreprise (par exemple, le choix
d'un type d'avion par une compagnie aérienne) et pour sa capacité à répondre à la demande du
marché (une insuffisance de ressources empêche de livrer correctement les clients).
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II.1.2- La capacité d'une ressource
La capacité est une mesure de l'aptitude d'une ressource à traiter un flux.
Une bonne image d'une capacité est fournie par le débit d'une route : 3 000 véhicules à l'heure, pour
une autoroute, par exemple. On retrouve une notion équivalente dans tout système logistique :
❖ 600 clients à l'heure pour un restaurant fast-food,
❖ 120 dossiers par jour pour une agence de prêts immobiliers,
❖ 6 copies corrigées par heure pour un professeur, etc.
Le concept de capacité résulte de la durée de disponibilité de la ressource par période calendaire (la
journée, la semaine, le mois, etc.), et du choix d'une unité de mesure qui permet d'additionner les
débits de produits éventuellement différents, étant entendu que si les produits sont assez
semblables, une seule unité physique convient.
Il faut cependant distinguer la capacité théorique et la capacité réelle. La capacité théorique est celle
que l'on peut faire au maximum sur un poste de charge par période de référence.
Exemple
Une machine à commande numérique dans un atelier a une capacité théorique de 35h/semaine.
La capacité réelle est celle qui est prise en compte lors de l'élaboration du planning dans le cas d'un
ordonnancement centralisé. Elle correspond à ce que l'on peut réellement réaliser sur un poste de
charge compte tenu des aléas possibles, (pannes, rebuts, absence des opérateurs...).
La machine à commande numérique de l'exemple précédent a un taux d'aléa de 10%, et sa capacité
réelle est de 31,5h /semaine.
II.1.3- Flexibilité et polyvalence
La flexibilité d'une ressource permet d'accroître sa capacité, en effet pour une usine sa possibilité
d'effectuer des heures supplémentaires permet d'augmenter sa capacité. Cependant la polyvalence
permet à une ressource d'effectuer un très grand nombre d'opérations différentes.
La polyvalence d'une machine est souvent synonyme de capacité inférieure par rapport à une
machine spécialisée.
II.1.4- Les ressources sans interaction
Lorsque des ressources multiples sont mises en œuvre, elles peuvent être ou non découplées les
unes des autres par des stocks intermédiaires.
Deux ressources séparées par un stock intermédiaire de pièces peuvent être considérées comme
indépendantes, car l'arrêt de la ressource amont n'entraîne pas l'arrêt de la ressource aval.
Si au contraire les ressources sont organisées sans stock intermédiaire comme sur une chaîne
d'assemblage, l'activité d'une ressource conditionne directement celles des autres.
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II.1.5- Les ressources sans interaction
Lorsque des ressources sont en parallèle (sans interaction) les capacités s'additionnent.
Exemple :
Si une usine possède deux fours de traitements thermiques identiques pouvant travailler chacun 120
heures par mois, la capacité globale sera de 240 heures
II.1.6- Les ressources avec interaction
Lorsque des ressources sont utilisées pour réaliser un flux de production, le flux maximum est limité
par la capacité d'un des processus, en général la plus faible, et on dit qu'il s'agit d'un goulot
d'étranglement.
On peut donc séparer les ressources en deux catégories :
❖ ressources goulot et ressources non goulot,
❖ ressources en série.
II.1.6-1 ressources en série.
La capacité d'un réseau de ressources en série est celle de la capacité de la ressource goulot.
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II.1.6-2 ressources en série.
Prenons l'exemple d'un processus d'assemblage, la capacité du réseau sera limitée par celle de la
ressource goulot, car on ne pourra pas assembler plus de pièces que le nombre fourni par la
ressource goulot.
II.2- Charges
La charge mesure la quantité de flux requise pour satisfaire la demande.
C'est donc une mesure de débit demandé. Les concepts de capacité et de charge se correspondent,
comme ceux de l'offre et de la demande. Il est recommandé de les exprimer dans les mêmes unités.
Une compagnie d'aviation possède une capacité de transport de 20 000 passagers par jour. La charge
à transporter le 14 avril a été de 17 000 passagers. Toute sa capacité n'a pas été utilisée.
II.2.1- Charge/capacité
La capacité d'une ressource peut être variable en fonction du temps. Des arrêts de maintenance
préventive, des nettoyages périodiques, des aménagements du temps de travail etc. peuvent
diminuer la capacité d'une ressource. La charge d'un poste de travail est rarement égale à la
capacité. Lorsqu'elle est inférieure on dit que le poste est en sous-charge et en surcharge dans le cas
contraire.
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II.2.2- Taux de charge
Le taux de charge est exprimé en % en fonction de la capacité réelle.
𝑇𝑐 = 𝐶ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡é 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒
Le taux d'utilisation est exprimé en % en fonction de la capacité théorique
𝑇𝑢 = 𝐶ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡é 𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒
On peut définir un taux de disponibilité qui donne une indication sur les temps d'arrêt de la machine.
𝑇𝑑 = 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡é 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒
𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡é 𝑡ℎé𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒
Lorsque le taux de charge est supérieur à 100% le poste de travail est en surcharge et il faut procéder
au lissage des ressources.
Cela peut consister à :
❖ Répartir la charge sur d'autres postes de charge qui peuvent effectuer les mêmes opérations
et qui sont en sous charge,
❖ Utiliser si c'est possible les heures supplémentaires,
❖ Utiliser la marge disponible en décalant dans le temps les opérations à effectuer lorsque le
poste de charge n'est plus en sur-charge,
❖ Utiliser la sous-traitance,
❖ Négocier avec le client les délais.
16
Exemple
Considérons un atelier dont la partie usinage est composée de deux tours à commande numérique
(T1 et T2) et d'un centre d'usinage (CU).
Les horaires de l'entreprise sont de 35 h à raison de 7 h par jour. Le nettoyage journalier représente
15 min pour les tours et 20 min pour le centre d'usinage. Le vendredi celui-ci est plus approfondi et
représente une heure pour chaque machine. Les arrêts divers, pauses, pertes de temps représentent
en tout 1h par jour.
Un opérateur travaille à plein temps sur les deux tours, un deuxième opérateur partage son temps
théorique entre le centre d'usinage (75%) et une activité de magasinier (25%).
Deux commandes viennent d'arriver : 150 produits PA et 180 produits PB dont les gammes sont
définies ci-dessous. (Ch = centième d’heure);
PA
Phase Machine Temps réglage
série (ch) Temps unitaire
(ch)
10 T1 30 10
20 CU 45 12
30 T2 20 6
PB
Phase Machine Temps réglage
série (ch) Temps unitaire
(ch)
10 T1 30 4
20 CU 45 4
30 T2 20 7
Calcul de la charge hebdomadaire pour chaque produit :
phase 10 PA (150 pièces avec un temps unitaire de 10ch) =1500ch=15h + un réglage 30ch=0,3h total
15h+0,3h=15,3h
PA
Phase Machine Temps réglage
série (ch) Temps unitaire
(ch) Temps
total (h)
10 T1 30 10 15,3
20 CU 45 12 18,45
30 T2 20 6 9,2
17
PB
Phase Machine Temps réglage
série (ch) Temps unitaire
(ch) Temps
total (h)
10 T1 30 4 7,5
20 CU 45 4 7,65
30 T2 20 7 12,8
Calcul des capacités et des taux pour chaque centre de charge :
Tour 1 tour 2 CU
Capacité théorique 35,00h 35,00h 35,00h
Nettoyage 2,00h 2,00h 2,33h
Arrets 5,00h 5,00h 5,00h
Magasin 8,75h
Capacité réelle 28,00h 28,00h 18,92h
Charge 22,80h 22,00h 26,10h
Taux de disponibilité 80,00% 80,00% 54,05%
Taux de charge 81,43% 78,57% 137,97%
Taux d'utilisation 65,14% 62,86% 74,57%
On remarque que le taux de charge du centre d'usinage est supérieur à 1 (137,97%) donc il sera en
surcharge.
Calcul des charges, capacités et taux pour tout l'atelier d'usinage
Tour 1 tour 2 CU Total atelier
Capacité théorique 35,00h 35,00h 35,00h 105,00h
Nettoyage 2,00h 2,00h 2,33h 6,33h
Arrets 5,00h 5,00h 5,00h 15,00h
Magasin 8,75h 8,75h
Capacité réelle 28,00h 28,00h 18,92h 74,92h
Charge 22,80h 22,00h 26,10h 70,90h
Taux de disponibilité 80,00% 80,00% 54,05% 71,35%
Taux de charge 81,43% 78,57% 137,97% 94,64%
Taux d'utilisation 65,14% 62,86% 74,57% 67,52%
Le chef d'entreprise, s'il ne consulte que le total, pourrait en conclure que l'atelier est en sous charge
car le taux de charge de celui-ci est de moins de 95% alors que l'atelier est en surcharge sur le centre
d'usinage.
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II.3- Exercices
Exercice1 Bobato
La société Bobato fabrique des objets de loisir en PVC soudé par soudure autogène. La fabrication repose sur les principes suivants :
➢ Lancement d’une série de produits, par exemple 500 bateaux petit modèle pour la plage ; ➢ Sortie de la feuille PVC et des composants du magasin de matières premières (les
composants sont des accessoires, des valves, des planchers, des avirons, etc.) ; ➢ Découpe des feuilles pour 500 bateaux (selon les différents morceaux nécessaires pour
réaliser un article complet) ; ➢ Impression des feuilles ; ➢ Assemblage des feuilles par soudure ; ➢ Gonflage pour contrôle puis emballage.
Le schéma ci-dessous visualise ce processus d’ensemble
La soudure elle-même se fait en 4 à 5 opérations successives sur des machines de puissances variées. L’atelier de soudure est organisé selon le schéma ci-dessous ; les flèches représentent le trajet suivi par le lot fictif de bateaux. Les machines sont polyvalentes, c’est-à-dire que dans la même semaine une machine donnée peut aussi bien réaliser une soudure sur un bateau, une bouée, une piscine ou un canard gonflable (à condition de rester dans sa gamme de puissance et d’être réglée entre deux fabrications différentes).
L’exercice consiste à analyser les problèmes éventuels de planification qui peuvent se présenter dans l’atelier de soudure. Pour ce faire, vous raisonnerez sur l’exemple d’une semaine particulière.
19
On dispose des données suivantes sur le potentiel de production :
❖ Nombre de machines : 19 de petite puissance 10 e moyenne puissance 6 de forte puissance
❖ Il faut un opérateur par machine sauf pour les machines de forte puissance qui doivent être servies par 2 personnes.
❖ Effectif inscrit pour l’atelier de soudure : 38 opérateurs polyvalents. ❖ Horaire de travail : 8 heures par jour, 5 jours par semaine. ❖ Absentéisme moyen : 10 %.
Les séquences opératoires ou gammes de soudure que doit suivre une sélection de 6 articles fabriqués figurent dans le tableau ci-dessous.
Opération Taille 1 Cadence
(pièces/h)
Taille 2 Cadence
(pièces/h)
Puissance de la
machine
BATEAUX Fond Valve Poignée Ceinture Fermeture
60 120
90 10 30
50 120
90 8
25
Moyenne Faible Faible Forte Forte
PISCINES Valve Boudin Fond
120 12 20
120 10 16
Faible Moyenne Forte
BOUEES Valve Intérieur Extérieur
120 90
180
120 80
160
Faible Faible Moyenne
Pour ces articles, le programme de la semaine est le suivant :
Taille 1 Taille 2
Bateaux Piscines Bouées
700 400
15 000
500 300
12000
Les quantités hebdomadaires dans chaque modèle-taille sont habituellement lancées en un seul lot. Le temps de réglage par machine pour chaque lot correspondant à chaque modèle-taille est d’une demi-heure en moyenne. Ces réglages sont effectués par les ouvriers eux-mêmes. Analyser l’équilibre charge/capacité de l’atelier de soudure pour la semaine à venir, par classe de machines et pour l’effectif. Le travail sera fait sur la base d’une comparaison en heures. Commentez ces résultats. En particulier, quelles décisions prendriez-vous si vous deviez avoir un potentiel insuffisant? Dans l’état actuel, sur quelles machines feriez-vous porter votre effort pour en accroître la fiabilité ?
20
Exercice2 Confector
Monsieur Acharki est confectionneur installé dans la région de Tanger. Il fabrique actuellement pour des magasins de grande surface et des centrales d’achat des articles de sportswear. Compte tenu de son niveau de qualité et du respect habituel de ses délais, ses interlocuteurs lui ont proposé de prendre en charge la fabrication de pantalons jean. Ses ateliers actuels ne permettent pas techniquement de fabriquer de tels articles. Toutefois, un petit atelier, à priori adapté en machines et qualifications de son personnel, est sur le point de se libérer localement à la suite du départ en retraite de son propriétaire. Il dispose d’un certain nombre d’informations sur les programmes prévisionnels de fabrication, les processus de fabrication des articles concernés, les effectifs et qualifications du personnel, ainsi que sur le parc des machines disponibles. Les articles qui lui seront confiés sont des variantes de deux articles de base. Ils suivent les processus opératoires décrits ci-dessous. Le parc machines est le suivant :
Code Type de machine Nombre 504 301
301/2 401/2 304 404 401
Surfileuse Piqueuse plate Piqueuse 2 aiguilles Machine à bras déporté Machine à points d’arrêt Boutonnière Pose-boutons
2 24 7 6
12 8 9
Les qualifications et effectifs actuels sont les suivants par familles de machines :
Types de machines Effectifs actuels
504 - 301 - 301/2 401/2
304 - 404 - 401
34 personnes 6 personnes
30 personnes
À l’intérieur de ces classes d’opérations, le personnel est totalement polyvalent. Données de production complémentaires : Les programmes de production prévisionnels pour les deux produits sont les suivants :
Article n° 1 .................20 000/mois Article n° 2 .................10 000/mois
L’horaire de travail effectif (pauses exclues) est de 7,5 heures par jour. Un mois standard comporte 20 jours ouvrables. Par ailleurs, il est exclu d’envisager des heures supplémentaires sur une longue période pour atteindre un équilibre charge/capacité. On observe sur les machines 401/2, 304, 404 et 401 un taux de pannes moyen de 5 % du temps de travail (le taux de pannes étant négligeable sur les autres types de machines). Quant au personnel, le taux d’absentéisme moyen observé pour toutes les qualifications est de 10 %.
21
Gammes opératoires Temps donnés en centièmes de minutes
OPERATIONS Machines Article n°1 Article n°2
Surfilages divers Assemblage sacs de poches Surpiquage poches Finition poches Ourlets piqûres placage Assemblage fond/hausse/dos Assemblage fermeture/ braguette/sous-pont Assemblage côtés/entrejambe Montage ceinture/ourler bas de jambes Points d’arrêts/pose passants ceinture Boutonnières Pose boutons
504 301
301/2 301
301/2 401/2 301
401/2 301 304 404 401
40 80 60
200 150
80 160 150 300 380
30 30
60 90 70
220 50 80
100 150 150 200
30 30
Questions :
1. Convient-il d’acheter des machines nouvelles et, si oui, lesquelles et pourquoi? Sachant que la revente de machines d’occasion est possible à environ 17 000 € l’unité et chaque nouvelle machine coûterait environ 120 000 €.
2. Le perfectionnement d’une ouvrière destiné à la former à une nouvelle opération par les
soins du Centre Technique Textile coûterait environ 5 000 €. Combien monsieur Lureb doit-il prévoir pour cette formation ?
3. Dans la mesure où il est exclu de maintenir des sureffectifs, quel serait le nombre éventuel
de licenciements inévitables ?
Exercice3 Les Solvants Moutsou
La société Les Solvants Moutsou fabrique quatre types de solvants sur les mêmes équipements de
production. Le passage d’un produit à un autre nécessite un jour d’arrêt de production
correspondant au nettoyage des installations. L’usine travaille 250 jours par an.
Le responsable du planning a suggéré de lancer les produits selon la séquence fixe imposée 1-2-3-4
dans les quantités figurant dans le tableau ci-dessous. On y trouvera d’autres données relatives à la
production.
Produits 1 2 3 4
Demande journalière (unités) 40 60 240 20
Production journalière 320 240 720 100
Coût de mise en route (euros) 4 000 8 000 30 000 10 000
Coût de détention en stock par unité et par an 1 0,25 0,50 0,30
Quantité de lancement suggérée (unités) 960 4080 7 200 1 600
22
Questions
1. L’utilisation des quantités de lancement suggérées peut-elle conduire à des ruptures de livraison systématiques ? Lesquelles ?
2. En conservant le même nombre de cycles de production, la séquence imposée et la durée du
cycle total, calculez les quantités de lancement qui permettraient d’éviter les ruptures de stock. Calculez le coût de cette politique.
3. En vous affranchissant des contraintes de cycle et de séquence précédentes, proposez une
politique de lancements dont le coût soit inférieur à celle de la question 2.
III- Le problème du flot maximal
III.1-Exemple d’introduction
Deux châteaux d'eau alimentent 3 villes à travers un réseau de canalisations au sein duquel se
trouvent également des stations de pompage. Les châteaux d'eau ont une capacité limitée qui s'élève
pour chacun d'eux à 100 000 m3. Les villes ont exprimé une demande qui est au minimum de 50 000
pour la ville 1, 40 000 pour la 2 et 80 000 pour la ville 3 en m3. Les canalisations entre les châteaux
d’eau et les villes ont des débits limités. Par exemple, pour la canalisation reliant le château 1 à la
ville 1, le débit maximum est de 30 alors que celui de la canalisation reliant la station de pompage 1 à
la ville 2 est de 50 en milliers de m3. Ces valeurs figurent sur le graphique entre parenthèses le long
des canalisations
Entre parenthèses les capacités maximales des canalisations
Un premier problème est de déterminer s'il est possible de satisfaire à travers ce réseau la demande des 3 villes et comment ? Pour résoudre ce problème, il faut dans un premier temps le modéliser. Pour cela, nous introduisons un nouveau problème standard qui est celui du flot maximal sur un réseau.
23
III.2- Définition d’un flot sur un graphe
Soit 𝐺 = (𝑋, 𝑈) un graphe. A chaque sommet x, on associe deux ensembles d'arcs :
➢ 𝜔−(𝑥) = ensemble des arcs d'extrémité x et d'origine différente de 𝑥
➢ 𝜔+(𝑥) = ensemble des arcs d'origine x et d'extrémité différente de 𝑥
Les arcs de 𝜔+(𝑥) sont les arcs "sortant de 𝑥" et ceux de 𝜔−(𝑥) les arcs "entrant en 𝑥".
➢ 𝜔−(𝑎) = {𝑢4} et 𝜔+(𝑎) = {𝑢1, 𝑢5}
➢ 𝜔−(𝑏) = {𝑢1, 𝑢6} et 𝜔+(𝑏) = {𝑢2}
Soit 𝐺 = (𝑋, 𝑈) un graphe. A chaque arc 𝑢 ∈ 𝑈, on associe un nombre réel, noté 𝜑𝑢, appelé flux sur
l'arc 𝑢.
𝜑 = {𝜑𝑢/𝑢 ∈ 𝑈} est un flot si et seulement si en chaque sommet 𝑥 ∈ 𝑋, la somme des flux sur les
arcs entrant est égale à la somme des flux sur les arcs sortant.
𝜑 = {𝜑𝑢/𝑢 ∈ 𝑈} est un flot ∀𝑥 ∈ 𝑋
∑ 𝜑𝑢 =
𝑢 ∈𝜔−(𝑥)
∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈𝜔+(𝑥)
C'est ce qu'on appelle la loi des nœuds qui exprime la conservation des flux en chaque somme
24
Sur le graphe ci-dessus, les valeurs suivantes : 0 pour l'arc 𝑢1, 1 pour l'arc 𝑢2 etc. constituent un flot.
On peut vérifier qu'en chaque sommet, la somme des flux entrants est égale à la somme des flux
sortants, il y a bien conservation des flux.
Par exemple au sommet "a" :
∑ 𝜑𝑢 = 𝜑𝑢4 = 1
𝑢 ∈𝜔−(𝑎)
∑ 𝜑𝑢 = 𝜑𝑢1 + 𝜑𝑢5 = 1
𝑢 ∈𝜔+(𝑎)
Un flot peut être interprété comme représentant des produits circulant sur les arcs, que ce soit de la
matière, des fluides, de l'information ou quoique ce soit du moment qu'il n'y a pas de stock aux
sommets : tout ce qui arrive est égal à ce qui part.
On introduit ici une propriété des flots qui généralise la conservation des flux en un sommet. Soit
𝑆 un sous-ensemble de sommets.
On note 𝜔−(𝑆) l'ensemble des arcs dont l'extrémité est dans S et l'origine hors de S, et 𝜔+(𝑆)
l'ensemble des arcs dont l'origine est dans 𝑆 et l'extrémité hors de 𝑆 .
➢ 𝜔−(𝑆) = {𝑢 ∈ 𝑈 extrémité de 𝑢 dans 𝑆 et origine de 𝑢 hors de 𝑆}
➢ 𝜔+(𝑆) = {𝑢 ∈ 𝑈 origine de 𝑢 dans 𝑆 et extrémité de 𝑢 hors de 𝑆}
25
Si 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} on a alors 𝜔−(𝑆) = {𝑢3} et 𝜔+(𝑆) = {𝑢2, 𝑢5}
Proposition
Soient 𝜑 un flot sur un graphe et 𝑆 un sous-ensemble quelconque de sommets. La somme des flux
sur les arcs entrants dans ce sous-ensemble de sommets est égale à la somme des flux qui en
sortent.
∀ 𝑆 ∈ 𝑋 on a
∑ 𝜑𝑢 =
𝑢 ∈𝜔−(𝑆)
∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈𝜔+(𝑆)
Ce résultat généralise la définition d'un flot.
On vérifie cette propriété sur l'exemple à partir du flot indiqué.
26
Pour 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑑} : somme des flux entrants = 𝜑𝑢3 = 2, somme des flux sortants: 𝜑𝑢4 + 𝜑𝑢5 =
1 + 1 = 2
III.3- Définition du problème de flot maximal sur un réseau
Un graphe 𝐺 = (𝑋, 𝑈) est un réseau si :
➢ Il est connexe,
➢ Il possède deux sommets particuliers 𝑠 et 𝑝 appelés source et puits
➢ Les arcs sont munis de capacités inférieures 𝑏𝑢 et supérieures 𝑐𝑢 avec 𝑏𝑢 ≤ 𝑐𝑢
➢ L'arc (𝑝, 𝑠) existe. Il est appelé arc de retour et noté 𝑢0.
A la place de source et puits, on dit aussi entrée et sortie du réseau. On dit qu'un flot 𝜑 sur 𝐺 est compatible avec les capacités si :
∀ 𝑢 ∈ 𝑈 𝑏𝑢 ≤ 𝜑𝑢 ≤ 𝑐𝑢
27
Sur chaque arc, le flux est compris entre la capacité inférieure et supérieure. La valeur du flot sur un réseau est égale à la valeur du flux 𝜑0 sur l'arc de retour 𝑢0.
La valeur du flot est égale à ce qui "part" de la source et à ce qui "arrive" au puits. L'arc de retour sert de compteur, il permet de mesurer ce qui circule sur le réseau.
Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur 𝐺, compatible avec les
capacités, et dont le flux 𝜑0 sur l'arc de retour 𝑢0 est le plus grand possible.
Modélisation du problème de distribution d'eau par un problème de flot maximal
Aux châteaux d'eau, aux stations de pompage et aux villes, on associe des sommets et aux
canalisations des arcs.
Les valeurs numériques le long des arcs traduisent une capacité inférieure nulle et une capacité
supérieure égale au débit maximum.
Pour modéliser les capacités des châteaux d'eau, on introduit un sommet supplémentaire s, qui sera la source
du réseau, et deux arcs (𝑠, 𝐶1) et (𝑠, 𝐶2) avec une capacité supérieure égale à 100. La conservation des flux au sommet 𝐶1 permet de traduire qu'il ne peut pas partir de C1 une quantité supérieure à 100. Il en est de même pour 𝐶2. Si on veut mesurer ce qui arrive en chaque ville, on introduit un sommet supplémentaire 𝑝, qui sera le puits, et des arcs de chacune des villes vers 𝑝. Pour imposer que les demandes des villes soient satisfaites, on munit ces arcs d'une capacité inférieure égale à la demande. Ce qui part de chaque ville sera au moins égal à la demande et, d'après la loi de conservation des flux, ce qui arrive en chaque ville sera aussi au moins égal à la demande. A l'arc de retour près, on construit un réseau sur lequel il s'agit de déterminer un flot compatible avec les capacités et de valeur maximale.
28
III.4- Résolution du problème de flot maximal : algorithme de Ford-Fulkerson
On se place dans le cas où les capacités inférieures sont nulles. Définition des coupes Soit 𝑆, un sous-ensemble de sommets, tel que 𝑠 ∈ 𝑆 et 𝑝 ∉ 𝑆 On dit que l'ensemble des arcs 𝜔+ (𝑆)= {𝑢 ∈ 𝑈/origine de 𝑢 dans 𝑆 et extrémité hors de 𝑆} est une coupe séparant 𝑠 et 𝑝.
𝐶(𝑆) = ∑ 𝐶𝑢
𝑢∈𝜔+(𝑆)
Est la capacité de la coupe 𝜔+ (𝑆) Si 𝜔+(𝑆)=∅ alors 𝐶(𝑆) = 0
Exemple
𝑆 = {𝑠, 𝑎} 𝜔+(𝑆) = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑑), (𝑠, 𝑐)} est une coupe qui sépare 𝑠 et 𝑝 de capacité 𝐶(𝑆) = 4 + 2 + 8 = 14 Proposition Quel que soit le flot compatible avec les capacités sur 𝐺 et quelle que soit la coupe séparant 𝑠 et 𝑝, la valeur du flot est inférieure ou égale à la capacité de la coupe.
29
Démonstration Soit 𝑆 un sous-ensemble de sommets avec 𝑠 ∈ 𝑆 et 𝑝 ∉ 𝑆. D'après la loi de conservation des flux, on a :
∑ 𝜑𝑢 =
𝑢 ∈ 𝜔−(𝑆)
∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆)
Or l'arc 𝑢0 est un arc de 𝜔−(𝑆). On peut donc écrire :
∑ 𝜑𝑢 + 𝜑𝑢0 =
𝑢 ∈ 𝜔−(𝑆)/𝑢≠𝑢0
∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆)
Soit
𝜑𝑢0 = ∑ 𝜑𝑢 − ∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈ 𝜔−(𝑆)/𝑢≠𝑢0
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆)
Comme de plus ∀ 𝑢 ∈ 𝑈 on a 0 ≤ 𝜑𝑢 ≤ 𝐶𝑢 on a
∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆)
≤ ∑ 𝐶𝑢
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆)
∑ 𝜑𝑢
𝑢 ∈ 𝜔−(𝑆)/𝑢≠𝑢0
≥ 0
Donc
𝜑𝑢0 ≤ ∑ 𝐶𝑢 = 𝐶(𝑆)
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆)
Exemple Si on prend la coupe 𝜔+(𝑆) = {(𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑑), (𝑠, 𝑐)} dont la capacité est 14, on peut affirmer que la valeur d'un flot quelconque sera inférieure ou égale à 14, ce qui est le cas du flot de valeur 6 sur le graphe ci-dessus. Et ceci est vrai pour n'importe quel flot et n'importe quelle coupe. On peut alors déduire le résultat très important suivant : Proposition Soit 𝜑* un flot compatible avec les capacités et 𝑆∗ ⊂ 𝑋 avec 𝑠 ∈ 𝑆* et 𝑝 ∉ 𝑆 ∗ tels que la valeur du flot soit égale à la capacité de la coupe :
𝜑 𝑢0 = ∑ 𝐶𝑢
𝑢 ∈ 𝜔+(𝑆∗)
Le flot 𝜑 ∗ est maximal et la capacité de la coupe 𝜔+(𝑆 ∗) est minimale. Notons qu'on introduit apparemment un deuxième problème d'optimisation, celui de la coupe de capacité minimale.
30
Principe de l'algorithme de Ford Flukerson : Exemple On va construire progressivement un flot vérifiant les conditions de la proposition précédente. Comme nous nous sommes placés dans le cas où les capacités inférieures sur chaque arc étaient toutes nulles, le flot identiquement nul est compatible avec les capacités.
Considérons le chemin 𝑠 𝑎 𝑏 𝑝. On peut envoyer le long des arcs de ce chemin une quantité maximale de 3, compte tenu de la capacité supérieure de l'arc (𝑠, 𝑎).
On obtient ainsi un flot de valeur 3. Mais on peut faire de même avec le chemin 𝑠, 𝑐, 𝑑, 𝑝 en envoyant une quantité de 3, ce qui conduit à un flot de valeur 6. On peut encore recommencer avec le chemin 𝑠 𝑐 𝑏 𝑝 et une quantité égale à 1. Le flot a maintenant pour valeur 7.
31
Sur chaque chemin de s à p, il existe un arc dont la capacité supérieure est saturée. On dit que le flot est complet. Définition d'une chaîne améliorante (ou augmentante) relativement à un flot Rappelons qu'une chaîne 𝜇 est une suite d'arcs qui ne sont pas nécessairement dans le même sens. On distingue les arcs dans le sens direct 𝑢 ∈ 𝜇+(arc avant) et ceux de sens inverse ou rétrograde (arc arrière) 𝑢 ∈ 𝜇−. Soient un flot sur le réseau et μ une chaîne de la source s au puits p. La chaîne est améliorante si pour les arcs de sens direct le flux est inférieur strictement à la capacité supérieure et si pour les arcs de sens inverse le flux est strictement positif. La chaîne 𝜇 est améliorante si :
∀ 𝑢 ∈ 𝜇+ 𝜑𝑢 < 𝑐𝑢 𝑒𝑡 ∀ 𝑢 ∈ 𝜇− 𝜑𝑢 > 0 Dans le premier cas, le flux peut augmenter alors que dans le deuxième cas il peut diminuer Considérons maintenant la chaîne 𝑠 𝑐 𝑏 𝑎 𝑑 𝑝. Sur les arcs (𝑠, 𝑐) (𝑐, 𝑏) (𝑎, 𝑑) 𝑒𝑡 (𝑑, 𝑝) le flux peut augmenter, alors que sur l'arc (a, b) il peut diminuer puisqu'il est strictement positif. Par exemple, si on envoie une unité de s vers c puis de c vers b, il faudra, pour que la conservation des flux reste vérifiée en b, diminuer le flux sur l'arc (𝑎, 𝑏) d'une unité. On continuera en augmentant de 1 sur l'arc (𝑎, 𝑑), ce qui assure la conservation des flux au sommet. On termine en augmentant de 1 le flux sur l'arc (𝑑, 𝑝). On peut en fait augmenter et diminuer les flux d'une quantité égale à 2 : l'augmentation est limitée par l'arc (𝑎, 𝑑) et la diminution par l'arc (𝑎, 𝑏).
32
On procède donc à la modification suivante du flot pour obtenir un flot de valeur 9.
III.4- Exercices
Exercice 1 :
Appliquer l’algorithme de ford-flurkson pour déterminer le flot maximal qu’on peut passer sur le
réseau de distribution d’eau présenté dans le cours (page 35)?
Exercice 2 :(problèmes de réseau de transport)
On considère le réseau du transport suivant ou les poids des arcs représentent la quantité maximale
à faire passer sur chaque arc.
33
Questions :
1) Appliquer l’algorithme de ford-flurkson pour déterminer le flot maximal qu’on peut passer
sur ce réseau ?
2) Proposer des modifications sur quelques arcs pour augmenter le flot ?
Exercice 3 :(problèmes de réseau de télécommunications)
On considère un réseau de télécommunication. Le poids des arcs représente les capacités horaires
maximales par arc.
1) Quel est le flot maximum possible qu’on peut faire passer sur ce réseau ?
2) Proposer des modifications pour améliorer le débit ?
Exercice 4 : (problème d’adduction d’eau)
Le graphe suivant représente un réseau d'adduction d'eau, dont les sommets représentent les
réservoirs disponibles (R1 et R2), des stations de pompages (P1 à P5) et les villes qu'on doit alimenter
(V1, V2, V3).
Les disponibilités des réservoirs sont de 48 et 35 (1000 m3 / h), les capacités maximum des
canalisations sont indiquées sur le graphe (en 1000 m3 / h) par les valeurs encadrées. On cherche à
déterminer si le réseau actuel permet de satisfaire les besoins futurs des villes estimés à 17, 44 et 17
(en 1000 m3 / h),
34
• Question : En appliquant l’algorithme de Ford flurkson , déterminer si le réseau est
capable de satisfaire les besoins.?
IV- Problème d’affectation
IV.1-Introduction
Un problème de transport peut être défini comme l’action de transporter depuis "m origines" vers "n
destinations" des matériaux, au moindre coût.
La résolution d’un problème de transport consiste à organiser le transport de façon à minimiser son
coût.
➢ Coûts unitaires de affectation 𝐶𝑖𝑗 entre 𝑖 et 𝑗.
➢ flux 𝑥𝑖j entre 𝑖 et 𝑗.
La fonction objective :
min ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
Respect des disponibilités :
∀𝑖 = 1 … 𝑚 ∶ ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖
𝑛
𝑗=1
Satisfaction des demandes
𝑗 = 1 … 𝑛 ∶ ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑏𝑗
𝑚
𝑖=1
Avec les flux non négatifs :
∀𝑖 = 1 … 𝑚 , ∀𝑗 = 1 … 𝑛 ∶ 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0
35
Soit, la société Alpha possédant trois dépôts A1, A2 et A3 dans lesquels existent des quantités
respectives de 250, 350, 450 unités d’une matière première, et quatre usines D1, D2, D3 et D4
demandant respectivement 200, 300, 350 et 150 unités de celles-ci. Les coûts de transport, 𝐶𝑖𝑗,
sont donnés par le tableau ci-dessous.
Depuis le milieu du siècle dernier plusieurs chercheurs se sont intéressés à trouver une méthode
d’initialisation permettant de trouver une solution initiale le plus près possible de la solution
optimale pour le problème de transport, aussi connu sous le nom de problème de Hitchcock. Les
méthodes d’initialisation les plus connues à ce jour pour ce genre de problèmes sont la méthode
du coin Nord-Ouest.
IV.2- Méthode du COIN NORD-OUEST
La méthode du coin nord-ouest est une méthode facile mais elle n’a pas de sens économique.
Puisqu’elle consiste à affecter au coin nord-ouest de chaque grille la quantité maximale possible sans
se préoccuper de l’importance du coût.
On considère à chaque étape, le Nord-Ouest de la grille. On part donc de la route (𝑖1, 𝑗1) ; on sature
soit la ligne 𝑖1 soit la colonne 𝑗1. Puis on recommence sur la sous-grille formée des lignes et des
colonnes non saturées.
Le tableau d’affectation devient :
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Le coût de cette solution est alors :
𝑪𝟏 = (𝟐𝟎𝟎 × 𝟑) + (𝟓𝟎 × 𝟏) + (𝟐𝟓𝟎 × 𝟔) + (𝟏𝟎𝟎 × 𝟓) + (𝟐𝟓𝟎 × 𝟑) + (𝟏𝟓𝟎 × 𝟐) = 𝟑𝟕𝟎𝟎
IV.3- UV method
Quand une solution initiale de base réalisable est trouvée, il faut chercher l’optimalité. Une solution optimale est celle où aucune autre amélioration ou réduction du coût ne peut être trouvée.
En outre, il faut évaluer chaque cellule inoccupée du tableau afin de voir si elle permettra une
réduction du coût total.
Pour cela, il faut Introduire des variables doubles correspondant aux contraintes d'offre et de
demande. Soit 𝑈 (𝑖 = 1,2,3. . 𝑚) et 𝑉 (𝑗 = 1,2,3. . 𝑛) ces variables. Les variables 𝑈 et 𝑉 sont telles
que 𝑈𝑖 + 𝑉𝑗 = 𝐶𝑖𝑗. Ces variables doubles sont obtenues seulement pour les cases remplies.
Ensuite, il faut choisir l’une de ces variables doubles comme «0» et rechercher les autres valeurs
La UV-Method calcule à chaque itération une nouvelle matrice moins coûteuse, en cherchant une
nouvelle case de coût marginal positif 𝑃𝑖𝑗 le plus grand possible. Elle s'arrête quand tous les coûts
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marginaux sont <=0. On peut prouver que la solution est alors optimale. Le coût marginal est calculé
pour chaque cellule inoccupée de la manière suivante
𝑃𝑖𝑗 = 𝑈𝑖 + 𝑉𝑗 − 𝐶𝑖𝑗
Détail d'une itération de la UV-Method:
1. Rappeler des coûts en haut et à droite de chaque case
2. Écrire les flux ≠0 de l'arbre actuel
3. Calculer les potentiels 𝑢𝑖 et 𝑣𝑗
4. Calculer les coûts marginaux dans les cases nuls
5. Si aucun n'est positif, fin
6. Calculer la case [𝑖, 𝑗] de coût réduit positif maximal
7. Identifier le cycle créé par [𝑖, 𝑗] avec des flèches
8. Mise à jour les flots sur le cycle.
Reprenons notre exemple on a:
Itération 1 :
𝑃13 = 0 − 0 − 7 = −7
𝑃14 = 0 − 1 − 4 = −5
𝑃21 = 5 + 3 − 2 = 6
𝑃24 = 5 − 1 − 9 = −5
𝑃31 = 3 + 3 − 8 = −2
𝑃32 = 3 + 1 − 3 = 1
On constate que 𝑃21 > 0 est c’est le coût marginal le plus grand, ce qui implique qu’une amélioration
ou une réduction du coût peut être trouvée en exploitant la case [2,1] de la manière suivante :
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Nouveau Coût :
𝐶2 = (250 × 1) + (200 × 2) + (50 × 6) + (100 × 5) + (250 × 3) + (150 × 2) = 2500
Itération 2
Calculons à nouveau les variables doubles correspondant aux contraintes d'offre et de demande 𝑈 et
𝑉 et calculant à nouveau les coûts marginaux 𝑃𝑖𝑗
𝑃11 = 0 − 3 − 3 = −6
𝑃13 = 0 − 0 − 7 = −7
𝑃14 = 0 − 1 − 4 = −5
𝑃24 = 5 − 1 − 9 = −5
𝑃31 = 3 − 3 − 8 = −8
𝑃32 = 3 + 1 − 3 = 1
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Amélioration
Le Coût devient :
𝐶3 = (250 × 1) + (200 × 2) + (150 × 5) + (50 × 3) + (200 × 3) + (150 × 2) = 2450
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Itération 3
𝑃11 = 0 + 3 − 3 = −1
𝑃13 = 0 − 1 − 7 = −8
𝑃14 = 0 − 0 − 4 = −4
𝑃22 = 4 − 1 − 6 = −3
𝑃24 = 4 − 0 − 9 = −5
𝑃31 = 2 + 2 − 8 = −4
On constate que tous les coûts marginaux sont négatifs, ce qui implique qu’aucune autre
amélioration n’est possible et que le coût obtenue à l’itération 3 est le coût optimal
IV.4- Exercices
Exercice 1 – Affectation & transport –
Un fabricant d’automobiles possède trois chaînes de montage M1, M2, M3 et M4, tandis que son stock d’acier
provient de deux aciéries A1, A2 et A3. Les coûts de transport d’une unité d’acier d’une aciérie vers une usine
de montage sont donnés par le tableau suivant :
Les niveaux M1 M2 M3 M4 Supply
A1 3 1 7 4 250
A2 2 6 5 9 350
A3 8 3 3 2 400
Demand 200 300 350 150 -----------
1) Trouver une solution initiale par CNO
2) Optimiser la solution initiale en appliquant UV-Method.
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Exercice 2 – Affectation & approvisionnement –
Un fabricant d’automobiles possède trois chaînes de montage M1, M2 et M3, tandis que son stock d’acier
provient de deux aciéries A1 et A2. Les coûts de transport d’une unité d’acier d’une aciérie vers une usine de
montage sont donnés par le tableau suivant :
Les besoins de production des chaînes de montage différent, ainsi que les capacités de production des aciéries,
et sont données par les deux tableaux suivants :
Déterminer le plan de d’approvisionnement des unités d’acier produites vers les chaînes de montage afin de
minimiser le coût total de transport.
Exercice 3 – Affectation des tâches–
Les coûts de production d’une unité d’un produit P par l’usine M sont donnés par le tableau suivant :
Les niveaux M1 M2 M3 M4 Demand
P1 3 2 7 4 250
P2 2 9 5 9 400
P3 8 3 7 2 450
Capacité 200 300 350 250 -----------
1) Trouver une solution initiale par CNO
2) Optimiser la solution initiale en appliquant UV-Method.
V- Problèmes d’acheminement
V.1- Introduction
On veut calculer un chemin de coût minimal (ou plus court chemin ou PCC) entre 2 nœuds donnés de
G. Le problème a un sens si G ne contient pas de circuit de coût négatif (appelé circuit absorbant).
Le PCC: C’est le plus court chemin entre deux nœuds dans un réseau de transport.
❖ Exemple :
➢ Nœuds = villes ou carrefours
➢ Arcs = routes ou rues
➢ Coût = distances ou temps.
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En temps de guerre, un espion doit aller d’une ville S à une ville T. les routes forment un graphe 𝐺 =
(𝑋, 𝑈, 𝑃) où 𝑝(𝑖, 𝑗) est la probabilité de passer l’arc (𝑖, 𝑗) sans être pris. L’objectif est de trouver un
chemin qui maximise la probabilité d’arriver en t (chemin de fiabilité maximale).
V.2- Algorithme de Djikstra
V.2.1- Principe
Au début, le nœud de départ S a un label nul, les autres un label +∞. L’ensemble F des nœuds fixés
(de label définitif) est vide. A chaque itération, on cherche le nœud non fixé de label minimal et on le
fixe.
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V.2.2- Algorithme de Dijkstra en style informatique
V.2.3- Exemple
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On obtient les chemins optimaux suivants :
➢ Chemin de 1 a 1: Cout= 0. Sommets: 1
➢ Chemin de 1 a 2: Cout= 1. Sommets: 1 2
➢ Chemin de 1 a 3: Cout= 4. Sommets: 1 2 3
➢ Chemin de 1 a 4: Cout= 4. Sommets: 1 2 3 4
➢ Chemin de 1 a 5: Cout= 5. Sommets: 1 2 3 4 5
➢ Chemin de 1 a 6: Cout= 7. Sommets: 1 2 3 4 6 ou 1 6
➢ Chemin de 1 a 7: Cout= 9. Sommets: 1 2 3 4 5 7
➢ Chemin de 1 a 8: Cout=11. Sommets: 1 2 3 4 5 7 8
V.3- Exercices
Exercice 1 :
Pour relier une mine de montage à un terminal de chargement de minerai accessible par camion, on
doit construire une voie ferrée à crémaillère pour descendre le minerai avec des wagonnets. Les
segments de voie possibles sont donnés par le graphe suivant, avec les coûts de construction en
10000 dollars. La mine est au nœud 1, et le terminal au nœud 8.
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Questions : 1. Appliquer l’algorithme de Dijkstra pour obtenir le PCC ? 2. Quel est le coût de cette solution ?
Exercice 2 :
1. Soit un graphe G = (X, T) donné par le tableau des prédécesseurs suivant :
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Pred(x) 4,5,6 5 5 3 3,4 7 6,10 6,7,9 6,8 6,11 6,7 1,2,8,13,14 2,9,11,12 2,12
Dessiner le graphe correspondant ?
Exercice 3:
Le graphe ci-dessous montre les différentes manières possibles qu’un étudiant peut emprunter pour
arriver à la FSTT, l’étudiant se trouve maintenant sur le point 0, et il veut arriver à l’université,
trouvez le PCC (plus cours chemin) ?
Les données :
Les rues Durée pour traverser la rue (en min)
antériorités
A 2 0 B 7 0
C 2 A ,B,D D 10 0
E 1 D
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F 2 C , G G 1 D
H 8 E
I 2 E,F J 2 E
K 4 I ,J , H L 20 K
Exercice 4:
Une entreprise industrielle a divisé le magasin à 5 zones nommées A, B, C, D et E. Le tableau ci-
dessous montre les différents chemins qui relient entre ces zones:
Les sommets Les successeurs Les poids
A B 10 A E 5
B C 1 B E 2
C D 4 D A 7
D C 6
E B 3 E C 9
E D 2
1. Modéliser le problème sous forme d’un graphe dont les sommets désignent les sites des
produits dans le magasin, les arêtes représentent les routes pouvant être empruntées pour
relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps d’allée (en minutes) entre chaque
site.
2. Trouvez le PCC en utilisant la méthode Djikstra pour arriver au point C à partir du point A?
3. Déterminer le coût de PPC en minute de parcours ?