COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA 2014

PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU

AULA 14: Geometria Analtica

QUESTES - GABARITO

1. Escrever a equao da circunferncia cujo centro o ponto (3,5) e raio igual a 7.

Soluo. Forma reduzida: 495y3x 22 .

Forma geral: 015y10x6yx

04934y10x6yx4925y10y9x6x22

2222

.

2. Uma circunferncia tem um dimetro cujos extremos so A(2,3) e B(4,5), encontre sua equao.

Soluo. A medida do raio ser a metade da distncia entre os pontos A e B. O centro ter como coordenadas o ponto mdio entre os pontos A e B.

104y1x104y1x:Equao)iii

4,12

8,

2

2

2

53,

2

42)B,A(M:centro)ii

102

102

2

40

2

436

2

)2(6

2

)53()42(

2

)B,A(dr:raio)i

22222

2222

.

3. Determinar a equao da circunferncia cujo centro o ponto (7,6) e que passa pelo ponto (2,2).

Soluo. O ponto (2,2) pertence circunferncia. Logo, sua distncia ao centro a medida do raio da

circunferncia:

896y7x896y7x:Equao)ii896425)8(5)26()27(r:raio)i

22222

2222

.

4. Determinar a equao da circunferncia cujo centro o ponto P(2,4) e tangente ao eixo Y. Soluo. Se a circunferncia tangente ao eixo Y, ento a distncia horizontal do eixo abscissa do centro ser o raio. Isto , o raio vale 2.

44y2x24y2x:Equao 22222 .

5. Uma circunferncia tem seu centro no ponto (0,2) e tangente a reta 5x 12y + 2 = 0. Encontrar a equao desta circunferncia.

Soluo 1. O raio ser a medida da distncia entre o centro e a reta.

42yx22y0x:Equao)ii

213

26

169

26

14425

224

)12(5

2)2(12)0(5)r,p(d:raio)i

22222

22

.

Soluo 2. O ponto de tangncia satisfaz equao da reta e da circunferncia.

42yx22y0x:Equao)ii

2r4r100r250r251000r251044

0r25104.4160r25104).169.(4)52(0:Tangente

.0r25104y52y1690r25100y100y254y48y144

0r4y4y5

2y12

0r4y4yx

5

2y12x

r2y0x

02y12x5)i

22222

2222

222

22222

22

2

222222

.

6. A equao de uma circunferncia (x 3)2 + (y + 4)2 = 36. Mostrar que o ponto (2, 5) se encontra no interior da circunferncia e o ponto ( 4,1), no exterior.

Soluo. O raio da circunferncia vale 6 e centro (3, 4). Se o ponto for interior, sua distncia ao centro ser menor que o raio. Se for exterior sua distncia ao centro ser maior que o raio.

exterior6357526495)7()41()34(d:)1,4(Q)ii

eriorint6211)1()1()45()32(d:)5,2(P)i

2222

2222

.

7. Determinar a equao da circunferncia cujo raio 5 e cujo centro a interseo das retas cujas equaes so: 3x 2y 24 = 0 e 2x +7y + 9 = 0.

Soluo. Resolvendo o sistema, temos:

25)3y(6x:Equao)3,6(:Centro)ii

.63

18

3

)3(224x,Logo.3

25

75y75y25

27y21x6

48.y4x6

)3(9y7x2

)2(24y2x3)i

22

.

8. Uma corda da circunferncia x2 + y2 = 25 se encontra sobre a reta cuja equao x 7y + 25 = 0.

Encontrar o comprimento da corda. (Use 4,12 ). Soluo. A reta secante circunferncia. Encontrando os pontos de interseo, temos:

7)4,1.(525)corda(oCompriment

50149)43()34()Q,P(d)corda(oCompriment)4,3(Q

)3,4(P:sIntersee)ii

.325)4(7x4y

425)3(7x3y0)4y).(3y(

012y7y0600y350y50025y625y350y49

025y25y7025yx

25y7x

25yx

025y7x)i

22

2222

22

2222

.

9. Determinar a equao da circunferncia cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos dois pontos (1,3) e (4,6).

Soluo. O centro da forma (c,0), pois sobre o eixo X a ordenada nula. As distncias dos pontos informados ao centro correspondem medida do raio.

45y)7x(:Equao)iii

534593696)03(71r:raio)ii

0,7centro,Logo.7c42c6101636c8c2

36cc8169cc21)06()c4()03()c1(

)06()c4()03()c1()06()c4(r

)03()c1(r)i

22

222

222

222

22

2222

22

22

.

10. A equao de uma circunferncia 4x2 + 4y2 16x + 20y + 25 = 0. Determine a equao da circunferncia concntrica e que tangente reta 5x 12y = 1.

Soluo. Circunferncias concntricas possuem o mesmo centro. A distncia do centro reta ser a medida do raio desta circunferncia tangente.

92

5y2x3

2

5y2x:Equao)iii

313

39

169

39

14425

13010

)12(5

12

512)2(5

)r,Centro(d:raio)ii

2

5,2:Centro4

2

5y)2x(0

4

25y5y44x4x

04

25y5x4yx025y20x16y4x4)i

2

22

2

2

22

2

222

2222

.

11. A equao de uma circunferncia x2 + y2 + 2x 2y 39 = 0. Determinar a equao da reta tangente a esta circunferncia no ponto (4,5).

Soluo. A equao da reta tangente perpendicular reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangncia.

040x5y4ou104

x5y

10n40n4n42020n4

)4(55s)5,4(

n4

x5y:s

4

5

m

1mrs:)gente(tanreta

)iii

5

4

)1(4

15m:)ponto,centro(reta)ii

1,1:Centro

41)2y()2x(03911y2y11x2x039y2x2yx)i

r

s

r

222222

.

12. A reta r: 2x + 3y + k = 0 tangente circunferncia de equao x2 + y2 + 6x + 4y = 0. Determinar os valores da constante k.

Soluo. H dois valores possveis. Encontrando os pontos de tangncias, temos:

25k

1k

0)1k).(25k(025k24k025k24k0400k384k16

0k624k52400k240k360k12k).13.(4)20k6(0:Tangente

0k12ky)20k6(y13

0y16k12y36y4kky6y90y42

ky36y

4

kky6y9

0y4x6y2

ky3

0y4x6yx

2

ky3x0ky3x2

)i

222

2222

22

222222

2

2

22

.

13. A equao de uma circunferncia x2 + y2 8x 6y = 0. Determinar a equao da reta que passa pelo ponto P(11,4), e tangente a esta circunferncia (obs.: duas solues).

Soluo. Considere a equao da reta r: y = mx + n. Esta reta passa por P(11,4). Temos:

032y3x44412x4y33

4.114

3

x4y:)gente(tanreta

3

4m

049y4x33316x3y44

3.114

4

x3y:)gente(tanreta

4

3m

)iv

3

4

24

32

24

257m

4

3

24

18

24

257m

24

257

24

6257m

24

576497

)12.(2

)12).(12.(4)7()7(m012m7m12024m14m24

25m251m14m491m.51m71m.51m7

1m.51m71m.5m.111m451m

m.114)3()4.(mraio)r,centro(d)iii

5Raio

)3,4(Centro25)3y()4x(099y6y1616x8x0y6x8yx)ii

0m.114ymx:rm.114mxy:r

m.114nn)11.(m4r4,11

nmxy:r)i

2

1

2

22

222

222

22

2

222222

.

14. Considere a circunferncia de equao x2 + y2 = 5, determinar os valores de k para os quais as retas da famlia x 2y + k = 0:

a) interceptam a circunferncia em 2 pontos distintos; b) so tangentes a circunferncia;

c) no encontram a circunferncia.

Soluo. As condies so satisfeitas com o estudo do sinal do discriminante da equao do 2 grau que representa a interseo da reta com a circunferncia.

erseesint25k525k100k4100k40100k40

gentetan5kou5k25k100k4100k40100k40

erseointsem5kou5k25k100k4100k40100k40

)ii

100k4

100k20k16)5k).(5.(4)k4(05kky4y505ykky4y4

05yky205yx

ky2x

5yx

0ky2x)i

2222

2222

2222

2

222222222

22

2222

.

15. Determine p para que a circunferncia 2x2 + 2y2 8x 16y p = 0 seja tangente ao eixo Y.

Soluo. Para que seja tangente ao eixo Y, a medida do raio deve ser a distncia da abscissa do centro origem. Isto significa que a circunferncia tangente reta x = 0.

4)4y()2x(416y8y4x4x016y8y44x4x

016y8x4yx032y16x8y2x2:Equao

32p8

256p0p82560)p).(2.(4)16(0:Tangncia)ii

0py16y20x

0py16x8y2x2)i

222222

2222

2

222

.

16. Ache a equao da circunferncia que tem centro na reta de equao x 2y + 9 = 0 e que passa pelos pontos (1, 4) e (5,2)?

Soluo. Sejam (a,b) as coordenadas do centro da circunferncia. Como est sobre a reta x 2y + 9 = 0, ento satisfaz essa equao. Isto : a 2b + 9 = 0 => a 2b = 9. Os pontos (1, 4) e (5,2) satisfazem equao da circunferncia (x a)2 + (y b)2 = r2.

12b12a8bb429aa10bb817aa2

bb44aa1025bb816aa21r)b2()a5(

r)b4()a1(

2222

2222

222

222

.

Resolvendo o sistema com as equaes envolvendo as coordenas do centro, vem:

65)3y()3x(:)nciacircunfer(Equao

654916r)34()31(r)b4()a1(r:Raio)ii

312

36

12

)3(812b,Logo.3

14

42a42a14

54b1a6

12b12a8

)6(9b2a

12b12a8

22

2222222

.

17. (ITA) Considere o quadrado ABCD, de diagonal AC definida pelos pontos (1,1) e (3,4). Determine as coordenadas dos demais vrtices do quadrado.

Soluo 1. As distncias de AB e BC possuem as mesmas medidas.

Considerando B(x0, y0), temos:

1.Eq23y6x4

16y8y9x6x1y2y1x2x

4y3x1y1x

4y3x1y1x

00

0

2

00

2

00

2

00

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

22

0

2

0

22

0

2

0

.

O quadrado um polgono regular, logo inscritvel em uma circunferncia de centro no ponto mdio da diagonal e raio medindo a distncia de B (e D) reta que passa por A e C. O raio mede a metade da diagonal.

i) Clculo de rAB:

01x3y2ou2

1

2

x3y:r

2

1

2

31nn

2

)1(31r)1,1(

n2

x3y

2

3

13

14m

.

ii) Clculo d raio: 2

13

2

94

2

)14()13(R

22

.

iii) Calculando a distncia de B a rAB:

3.Eq2

131x3y2

2.Eq2

131x3y2

2

13

13

1x3y2

2

13)r,B(d

13

1x3y2

32

1x3y2)r,B(d

00

0000

00

22

00

.

iv) Relacionando as equaes (1 e 2) e (1 e 3), encontramos os outros vrtices do quadrado.

B:

2

3,

2

7.

2

3

6

9

6

1423

6

2

7.423

y,Logo

2

72

2

3x26

2

39x13

23x4y6

2

393x9y6

23x4y6

)3(2

131x3y2

0

00

00

00

00

00

.

D:

2

7,

2

1.

2

7

6

21

6

223

6

2

1.423

y,Logo

2

12

2

3x26

2

39x13

23x4y6

2

393x9y6

23x4y6

)3(2

131x3y2

0

00

00

00

00

00

.

Soluo 2. O vetor BA foi obtido pela rotao de 90 do vetor BC . Utilizando complexos, temos:

2

3,

2

7Bi

2

3

2

7

11

2i2i55

i1

i1.

i1

i25

i1

i25B4i3i1)i1(B

4i3ABiBCiABiBBiCiBA)BC(iBABC.iBA.

O vetor AD foi obtido pela rotao de 90 do vetor AB . Utilizando complexos, temos:

2

7,

2

1Di

2

5

2

1

2

1i

2

5i1ii

2

1

2

5i1Dii1i

2

3

2

7i1D

iABADAiBiAD)AB(iADAB.iAD.

18. (UERJ) Um disco metlico de centro O e dimetro AB = 4dm, utilizado na fabricao de determinada pea, representado pelo seguinte esquema: Calcule a distncia entre os pontos J e K.

Soluo. O raio da circunferncia centrada da origem vale 2dm. Os pontos J e K so as intersees das retas r e s com a circunferncia. A distncia pedida ser entre as abscissas de K (Kx) e de J (Jx).

Quadrante42

71x

k2

71x

4

722

4

282

4

2442x

4

)3).(2(442x03x2x2041x2xx4)1x(x

1xy1yx

4yx1yx:r0)1(1)1(y)1(x0

110

101

1yx

:s

Quadrante32

71x

J2

71x

4

722

4

282

4

2442x

4

)3).(2(442x03x2x2041x2xx4)1x(x

1xy1yx

4yx1yx:r0)1(1)1(y)1(x0

110

101

1yx

:r

2

x1

22222

22

2

x1

22222

22

.

A distncia : dm712

71

2

71

2

71

2

71kJ xx

.