RESOLUÇÕES

COLEÇÃODARLANMOUTINHO

VOL. 04

RESOLUÇÃO

Me taGEOMETRIA

PLANA

01 LETRA ASe AÔD = 150° logo o ângulo BÔD = 30° e mais,

sabendo que BD é igual a m, então:

BÔD =

Calculando a área:

A = � x r2 = 9�.

�2

03 LETRA DComo a área do jardim é de 60 m2, e seu comprimento é de 5 metros temos que sua largura é de 12 visto que sua área é dada pelo produto entre suas dimensões, isto é, 12 x 5 = 60

Logo, seu comprimento não delimitado pelo muro é apenas 12 + 5 = 17 metros.

Sabendo que em um metro possuem das estacas e duas separações pois: 0,35 + 0,15 + 0,35 + 0,15 = 1 m.

Assim, se em um metro possuem duas estafas, basta multiplicar o perímetro por dois:17 x 2 = 34 estacas.

BDraio raio

=> =>�6

�2= raio = 3

02 LETRA DPrimeiramente deve-se calcular a área total da sala e a área de cada cerâmica. Logo:

Asala = 6 x 4 =24 m2

Acerâmica = 0,45 x 0,45 = 0,2025 m2

Assim, uma caixa de cerâmica possui capacidade cobrir uma área de: 0,2025 x 10 = 2,025 m2.

Dessa maneira, dividindo o tamanho da área pela capacidade de cobrir a área temos:

Assim, precisa-se de ao menos doze caixas.

242,025

= 11,85 caixas.

04 LETRA CBasta calcular a área da praça menos a área da fonte, logo:

Apraça = 40 x 60 = 2400 m2.Afonte = � x r2 = 3,14 x 64 = 200,96 m2.

Subtraindo temos: 2400 - 200,96 = 2199,04 m2.

05 LETRA A 06 LETRA E

SPFG : área do triângulo PFG SABCD : área do retângulo ABCD

Comprimento da tela: x

Altura da tela: .x

Como a área total é 18. 000 cm2, podemos escrever que:

Portanto, as dimensões da tela são 150 cm e 120 cm.

SPFGSABCD

xy12

45

45

5 . 180004

4xy=

SPFGSABCD

1 .8

45

=

. x . x = 18000 x2 = x2 = 22500 x = 150 e . x = 120=> => =>

07 LETRA E

MN = BP = PAMP = CN = NABPM = NMC = NMP = PÂM = 90°

Portanto, os triângulos CNM, NAP, PMN E MPB são congruentes pelo caso L. A. L.

Logo, a área do quadrilátero MBAN é o triplo da área do triângulo MNC.

08 LETRA DDe acordo com o enunciado temos a seguinte figura:

No ∆DAE: h2 = 152 - x2 (l)No ∆BCF: h2 = 202 - ( 25 - x)2 (ll)

Fazendo (l) = (ll), temos:15² - x² = 20² - (25 - x)²225 - x² = 400 - 625 + 50x - x²50x = 450x = 9

Logo,h = √225 - 9² h = 12 m

Portanto, a área S do trapézio será dada por:

=>

S = = 270 m².(35 + 10) . 12

2

^ ^ ^

09 LETRA BA área pedida será representa por dois triângulos, representados pelo triângulo da figura abaixo:

Portanto, a área pedida será o dobro da área do triângulo acima.

A = 2. = 0,2275 m².

1 - 0,35 m = 0,65 m

0,70 - 0,35 = 0,35 m

0, 35 . 0,652

10 LETRA BDo enunciado, temos:

S: área da região do triângulo não ocupada pelo círculoSABC : área do triângulo Scírculo : área do círculo

No triângulo AOT temos:

sen 30° = r = 1

cos 30° = a = √3

S = SABC - Scírculo

S = . 2a . 2a . sen 60° - �r²

S = . 4 . (√3)² . - � . 1²

S = (3√3 - �) cm².

{ r2a2

=>

=>

1212

√32

11 LETRA AÁrea da sala com acréscimo de 10%.A = 1,1 . 3 . 5 = 16,5 m²

Área de cada cerâmica.C = (0,4)² = 0,16 m²

O número necessário de cerâmicas será dado por:n = 16,5 - 0,16 ≈ 104

O número de caixas será dado por:N = 104 - 8 = 13 caixas.

12 LETRA BA área A pintada de branco será dada pela diferença entre a área AR do retângulo e a área do círculo AC.

Logo:A = AR - ACA = 8 . 12 - � . 2²A = 8 . 12 - 3 . 2²A = 96 - 12A = 84 cm².

13 LETRA A

S∆ = = 4 Metade de S∆ será 2

Re ta r a = = -2 y = -2x + 4

Ponto D = ( x0,y) y = -2x0 + 4 com x0 < 2

∆ = (-4)2 - 4 . 1 . 2 ∆ = 8

x0 = =

4 . 22

0 - 42 - 0

(4 - 2x0 + 4) . x0

2Strapézio = = 2 -2x0

2 + 8x0 - 4 = 0 x02 - 4x0 + 2 = 0

- (-4) ± √82

4 ± 2√22

x0 = 2 + √2 2 + √2 > 2 (não convém)

x0 = 2 - √2

Assim, para retorná-lo à posição original, este deve ser girado 135° (90° + 45°) no sentido horário.

15 LETRA CComo a área do quadrado menor é 4, seu lado será dois. Assim, a sequência de quadrados com os lados proporcionais à sequência de Fibonacci é: (2, 2, 4, 6, 10, 16) e a sequência das áreas será (4, 4, 16, 36, 100, 256).

Portanto, a razão pedida será dada por:4 + 4 + 16 + 36 + 100 +256

44164

= = 104.

14 LETRA BA figura a seguir ilustra a movimentação do quadro:

16 LETRA DA área total em que está à piscina é dada pela soma das áreas retangulares, ou seja, a soma da área do retângulo com dimensões 5 m por 12 m com a área do retângulo de dimensões 2 m por 4 m. Dessa forma, temos as seguintes áreas:

A1 = 5 x 12 = 60 m2 60 x 100 = 6000 dm2

A2 = 2 x 4 = 8 m2 8 x 100 = 800 dm2

Somando as áreas temos: 6000 + 800 = 6800 dm2

Note que a transformação de metros quadrados para decímetros quadrados se dá pela multiplicação por 100.

18 LETRA EPrimeiramente deve-se obter a área do salão, logo,As = largura x comprimentoAs = 6 x 8 = 48 m2.

Multiplicando pelo preço do metro quadrado:48 x 18 = 864 reais.

19 LETRA ASabendo que o terreno total tem forma de trapézio, devemos calcular a área total e subtrair a área B para obter o que sobrou para o proprietário. Já a área B, nota-se que a mesma possui forma triangular de base 5 metros e altura de 6 metros. Note que a altura de B é igual a altura do trapézio. Logo, calculando a área de B, temos:

AB = = = 15 m2

Multiplicando pelo valor do metro quadrado:15 x 2.000 = 30.000 reais.

Obtendo o que sobrou para o proprietário, temos:

17 LETRA CDesde que o ponto N pode ser interno ou externo ao retângulo ABCD, temos

. 17 . 8 - . 11 . 8 = 24 cm2. 12

12

base x altura2

5 . 62

(B + b) . h2

A = At - AB = - 15(14 + 10,5) . 6

2- 15 = 58,5 m2.

20 LETRA BPara obter o número mínimo de peças utilizadas, basta obter área total da garagem e dividir pela área de cada peça. A área da garagem (AG) será obtida pela soma das áreas A e B que corresponde a dois retângulos assim como apresentado na figura abaixo:

Note que:

Note que as áreas dos retângulos são o produto entre suas respectivas bases e alturas. Desta maneira, para obter quantas peças serão utilizadas basta dividir a área encontrada pela área de cada peça. Sabendo que 50 cm = 0,5 m e a fim de se utilizar uma mesma unidade de medida, a área da peça (AP) é dada por:AP = 0,5 x 0,5 = 0,25 m2.

Dividindo AG por AP temos:AG

AP

6400,25= = 2.560 peças.

{AA = 8 x 56 = 448 m2

AB = 24 x 8 = 192 m2=> AG = 448 + 192 = 640 m2

21 LETRA A Assim, pode-se escrever:

Bmaior = 10 - xbmenor = x h = 6

23 LETRA CConsidere a situação:

Como o perímetro é 74 temos:x + x + (x + 5) + (x + 5) = 74 x = 16

Logo, suas dimensões são: 16 m, 21 m e sua área é:A = 16 x 21 = 336 m2.

22 LETRA BAbrindo-se novamente a folha de papel, tem-se:

202

}Sabendo que a área das cerâmicas é de 0,2 x 0,2 = 0,04 m2

Contando o número de cerâmicas temos: 58 x 0,04 + x 0,04 = 2,72 m2.

Note que separamos a contagem entre as cerâmicas inteiras e as metades.

Multiplicando pelo valor do metro temos:2,72 x 12,5 = 34,00.

S = = = 30.(10 - x + x) . 6

2602

=>

24 LETRA A

Admitindo que S seja á área do triângulo ABX e d a distância entre P e B, podemos determinar S de dois modos diferentes.

Portanto,

25 LETRA ESeja a área do quadrado de lado a: A = a x a = a2

Nota-se que: as hortas das alternativas [B] e [C] possuem metade a área do quadrado:

A horta da alternativa [A] é menor que a metade do quadrado, logo:

A área da horta da alternativa [D] é

Ou seja, a metade da área do quadrado.Desta maneira, a alternativa [E] é a que possui maior área.

S = ou 10 . d

2

10 . d2

S = 5 . 6

2

5 . 62

= d = 3 m.=>

Ah = A2

2

Ah < A2

2

a2 - = = a2

22a2 - a2

2a2

2

26 LETRA CO hexágono regular da figura pode ser decomposto em 6 triângulos congruentes, como mostra a figura abaixo. Como os triângulos são congruentes, eles possuem a mesma área, o que nos permite concluir que a área pedida corresponde a metade da área do hexágono regular.

Ou seja:

A = = 108 . √3 42

6 . 122 . √3

27 LETRA CAs taças devem ficar alinhadas, portanto seus diâmetros também ficarão. O desenho a seguir demonstra a disposição das taças, sendo os círculos menores suas bases (raio de 4 cm) e os círculos maiores pontilhados suas bordas superiores (raio de 5 cm) Em vermelho está delimitada a área mínima da bandeja.

Assim, a área mínima seria:A = 38 . 8 = 304 cm2.

28 LETRA BSejam r e s, respectivamente, a área de cada um dos triângulos congruentes que constituem os triângulos SOL e LUA. É imediato que 9r = 16s.Portanto, se x é o número que multiplicado pela medida da área da superfície em amarelo resulta a medida da área da superfície em azul, então

30 LETRA ASe os triângulos retângulos são isósceles e congruentes, então seus catetos medem 18 m e a base do paralelogramo que constitui o passeio mede 24 - 18 = 6 m. Portanto, a área do passeio é igual a 6 . 18 = 108 m2.

31 LETRA AO resultado é dado por 5 . 10 . 1,3 .3 = 195 m2.

29 LETRA CCalculando:

Socupada = Stotal - Slago

Stotal = . 30 = 1500 m2

Slago = = 450 m2

Socupada = 1500 - 450 = 1050 m2

N° de pessoas = 1050 . 4 = 4200 pessoas

6r . x = 10s x = =>< 5 .3

916

x ==>< 15 .16

40 + 602

30 . 302

32 LETRA BConsiderando x a altura do paredão e y a distância do ponto B ao paredão, temos:

tg27° = x = y . tg27° x = 0,51y (l)

tg17° = x = (y + 70) . tg17° x = 0,30y + 21 (ll)

Fazendo (l) = (ll), temos:0,51y = 0,30y + 21 0,21y = 21 y = 100

Logo, a altura do paredão será:x = 0,51 . 100 = 51 m.

33 LETRA AConsidere a situação

Utilizando da relação de seno temos:

sen(30°) = = x = 85 cm.

=>

=>

=> =>

=>=> =>

=>xy

xy + 70 cateto oposto

hipotenusa12

x1,7

34 LETRA DConsidere a figura.

Seja E o ponto de OP tal que AE || BP. Ademais, sendo AC = BC, podemos concluir que o triângulo ABC é isósceles de base AB. Daí, como AB || OP, temos

ABC = BAC = BPE = AEO = = 30°

Pela Lei dos Senos, vem

^ ^ ^ ^ 180° - 120°2

Adicionalmente, do triângulo AEO, encontramos

Em consequência, sendo AB = EP, podemos afirmar que a resposta é EP + EO = 8√3 + 5√3 = 13√3 cm.

tg AÊO = EO =EOAO

^AC

senABC^AB

senACB=

8sen30°

AB

AB = 8√3 cm.

sen120°==>

=>

5tg30°

=>

=>

=>

=>

=>

EO = 5√3 cm.

35 LETRA CSeja x a medida do terceiro lado. Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos

x2 = 72 + (5√2)2 - 2 . 7 . 5√2 . cos135°

x2 = 49 + 50 - 2 . 35√2 .

x2 = 169x = 13.

( )-√22

=>

=>

=>

=> => =>

=>

( )- 12

52

52

36 LETRA CSabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao seu maior ângulo. Podemos, então aplicar o teorema dos cossenos no triângulo considerado no enunciado:

(x + 1)2 = x2 + (x - 1)2 - 2 . x . (x - 1) . cos120°x2 + 2x + 1 = x2 + x2 - 2x + 1 - 2 . x . (x - 1) . x2 + 2x + 1 = x2 + x2 - 2x + 1 + x2 - x

2x2 - 5x = 0 x = 0 (não convém) ou x =

Portanto, o perímetro P do triângulo será dado por:

P = x + x - 1 + x + 1 = 3x = 3 . = 7,5.

37 LETRA DO compasso forma, com a superfície do papel, um triângulo isóscele de lados 10, 10 e R (raio), e ângulos 120, 30 e 30 graus. Sabendo-se disto, pode-se calcular o raio R:

38 LETRA EDe acordo com as informações do problema temos a rampa de 14 m de comprimento vencendo um desnívelde medida x.

Calculando o desnível x, temos:

sen7° = x = 14 . sen7° x = 14 . 0,12 x = 1,68 m.

Rsen 120°

10sen 30°

12

x14

√32= R . = 10 .

R = 10√3 ≈ 17 cm 15 < R ≤ 21

=> =>

=>

=>

=>

39 LETRA CPela lei dos cossenos:

a2 = 102 + 62 - 2 . 10 . 6 . cos 120°

a2 = 136 - 120 . a2 = 196 a = 14

Perímetro = 10 + 6 + 14 = 30 m

3 voltas = 90 m custo = 5 . 90 = 450 reais.

40 LETRA ASe t é o tempo decorrido até o encontro, então SA = t e PA = 3,5t. Logo, como sen(180° - β) = senβ = cos(90° - β), para β є , pela Lei dos Senos, vem

Em consequência, sabendo que SPA < 90° e cos15° 0,98, temos

( )- 12

�2] [0,

SAsen SPA

PAsen PSA

= tsen SPA

3,5tsen105°

0,983,5

=^ ^ ^

^^

=><

sen SPA sen75°3,5

=^=><

sen SPA cos15°3,5

= .^=><

senSPA ^senSPA = 0,28 SPA 16°.