Universidade Federal do Paraná

Cálculo 1LISTA 2: FUNÇÕES II

Exercício 1. [resolução]Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.

a) f(x) = 1 + x2

b) f(x) = 1−√x

c) f(x) =√x2 − 3x

d) g(t) = 43−t

e) f(t) = 2t2−16

Exercício 2. [resolução]Encontre o domínio e esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.

a) f(x) = −√x

b) f(x) =√x

c) g(x) = x|x|

d) g(x) =√|x|

Exercício 3. [resolução]Dizemos que s é proporcional a t se existe um número real c tal que s = ct. Tendo essa definição em vista,resolva os próximos exercícios.

A variável s é proporcional a t e s = 25 quando t = 75. Determine t quando s = 60.a) A variável s é proporcional a t e s = 25 quando t = 75. Determine t quando s = 60.

b) A energia cinética K de uma massa é proporcional ao quadrado de sua velocidade v. Se K = 12960joules quando v = 18m/s, qual o valor de K quando v = 10m/s?

Exercício 4. [resolução]

a) Esboce os gráficos das funções f(x) = x2 e g(x) = 1 + 4

x para identificar os valores de x para os quais

x

2> 1 +

4

x.

b) Confirme algebricamente sua resposta.

1

Exercício 5. [resolução]Trezentos livros são vendidos a 40 reais cada, resultando em uma receita de 12 mil reais. Para cada aumento de5 reais no preço, são vendidos 25 livros a menos. Represente a receita R em função do número x de aumentode 5 reais.

Exercício 6. [resolução]

Se f(x) = x+ 5 e g(x) = x2 − 3, resolva:

a) f(g(0))

b) g(f(0))

c) f(f(−5))

d) g(g(2))

Exercício 7. [resolução]Determine as regras de f ◦ g e g ◦ f em que:

a) f(x) = x2 e g(x) = 1−√x

b) f(x) = |x|x e g(x) = 4

1+x2

Exercício 8. [resolução]Seja f(x) = x

x−2 . Determine uma função g tal que (f ◦ g)(x) = x.

Exercício 9. [resolução]Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.

a) f(x) = (x− 1)2 − 4

b) f(x) = (x− 2)2 + 2

c) f(x) = −x2

d) f(x) = 1x−1 + 3

Exercício 10. [resolução]A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f com domínio [0, 2] e imagem [0, 1]. Encontre os domíniose as imagens das funções a seguir e esboce seus gráficos.

2

a) g(x) = f(x) + 2

b) g(x) = −f(x)

c) g(x) = 2f(x)

d) g(x) = f(−x)

e) g(x) = f(x− 1)

Exercício 11. [resolução]Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. Dica: lembre-se de usar translação.

a) f(x) = sen(2x)

b) f(x) = cos(x− π)

c) f(x) = − cos(πx)

d) f(x) = sen(x+ π

6

)+ 1

Exercício 12. [resolução]Determine o domínio de definição das seguintes funções.

a)x+ 2

2x− 3

b)sin(x)

cos(x)

c)x+ 1

2x2 + 2x− 12

d)x+ 1√

2x2 + 2x− 12

e)x+ 3

ln(x2 − 2x+ 1)

f)x+ 2

ln(x2 − 2)

3

1 Resoluções dos exercícios:

Resolução do Ex. 1 [voltar]a) f(x) = 1 + x2 tem domínio R e imagem [1,+∞[.

b) f(x) = 1−√x tem domínio R≥0 e imagem ]−∞, 1].

c) f(x) =√x2 − 3x =

√x(x− 3) tem domínio ]−∞, 0] ∪ [3,+∞[ e imagem R≥0.

d) g(t) = 43−t tem domínio R− {3} e imagem R− {0}.

e) f(t) = 2t2−16 tem domínio R− {−4, 4} e imagem R− {0}.

Resolução do Ex. 2 [voltar]

a) f(x) = −√x tem domínio R≥0.

b) f(x) =√x tem domínio R≥0.

c) g(x) = x|x| tem domínio R− {0}.

d) g(x) =√|x| tem domínio R.

Resolução do Ex. 3 [voltar]a) Temos s = c.t, com s = 25 quando t = 75, isso é 25 = c.75, logo c = 1/3. Quando s = 60, temos

60 = t/3, isso é t = 180. A variável s é proporcional a t e s = 25 quando t = 75. Determine t quandos = 60.

b) Temos K = mv2. Caso K = 12960 e v = 18, obtemos 12960 = m.182, logo m = 12960/182 = 40.Se v = 10, temos K = 40.102 = 4000.

4

Resolução do Ex. 4 [voltar]a) Seguem os gráficos das funções f(x) = x

2 e g(x) = 1 + 4x .

Da para ver no gráfico que x2 > 1 + 4

x ⇐⇒ x ∈]− 2, 0[∪[4,+∞[.

b) Algebricamente, temos:

• se x > 0, então: x2 > 1 + 4

x ⇔x2

2 > x + 4 ⇔ x2 − 2x − 4 > 0 ⇐⇒ x > 2 (o último passousando uma tabela de sinais).• se x < 0, então: x

2 > 1 + 4x ⇔

x2

2 < x + 4 ⇔ x2 − 2x − 4 < 0 ⇐⇒ x < 4 (o último passousando uma tabela de sinais).

Resolução do Ex. 5 [voltar] Denotemos porR a receita, a qual é proporcional ao número n de livro vendidosR = p.n, onde p denota o preço de um livro. Ambos um número de livros, e o preço do livro dependem donúmero x de aumentos de r$, obviamente p = 40 + 5x, e n = 300− 25x.. No final obtemos:

R(x) = (40 + 5x)(300− 25x).

Resolução do Ex. 6 [voltar]

a) f(g(0)) = f(02 − 3) = f(−3) = −3 + 5 = 2.

b) g(f(0)) = g(0 + 5) = g(5) = 52 − 3 = 22.

c) f(f(−5)) = f(−5 + 5) = f(0) = 0 + 5 = 5.

d) g(g(2)) = g(22 − 3) = g(1) = 12 − 3 = −2.

Resolução do Ex. 7 [voltar] Determine as regras de f ◦ g e g ◦ f em que:a) Se f(x) = x2 e g(x) = 1−

√x, então:

f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(1−√x) = (1−

√x)2 = 1− 2

√x+ |x|,

g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2) = 1−√x2 = 1− |x|.

5

b) Se f(x) = |x|x e g(x) = 4

1+x2, então:

f ◦ g(x) = f(g(x)) = f

(4

1 + x2

)=

∣∣∣ 41+x2

∣∣∣4

1+x2

= 1,

g ◦ f(x) = g(|x|x

) =4

1 +(|x|x

)2 = 2.

Resolução do Ex. 8 [voltar]Resolvendo, com g(x) 6= 2 necessariamente:

(f ◦ g)(x) = x⇔ f(g(x)) = x

⇔ g(x)

g(x)− 2= x

⇔ g(x) = x(g(x)− 2)

⇔ g(x)(1− x) = −2x

⇔ g(x) =−2x

1− x

Resolução do Ex. 9 [voltar]

a) Segue o gráfico de f(x) = (x− 1)2 − 4: b) Segue o gráfico de f(x) = (x− 2)2 + 2:

6

c) Segue o gráfico de f(x) = −x2: d) Segue o gráfico de f(x) = 1x−1 + 3:

Resolução do Ex. 10 [voltar]

a) A função g(x) = f(x) + 2 tem domínio [0, 2] eimagem [2, 3].

b) A função g(x) = −f(x) tem domínio [0, 2] eimagem [−1, 0].

c) A função g(x) = 2f(x) tem domínio [0, 2] eimagem [0, 2].

d) A função g(x) = f(−x) tem domínio [−2, 0] eimagem [0, 1].

e) A função g(x) = f(x− 1) tem domínio [1, 3] eimagem [0, 1].

7

Resolução do Ex. 11 [voltar]

a) Segue o gráfico de f(x) = sen(2x)

b) Segue o gráfico de f(x) = cos(x− π)

c) Segue o gráfico de f(x) = − cos(πx)

d) Segue o gráfico de f(x) = sen(x+ π

6

)+ 1

Resolução do Ex. 12 [voltar]

a) Para x+22x−3 ser definida, é preciso o denominador 2x− 3 ser diferente de 0, isso é x 6= 3/2. O domínio de

definição éR− {3/2} =]−∞, 3/2[∪ ]3/2,+∞[.

8

Segue o gráfico da função:

b) Para sin(x)cos(x) ser definida, é preciso cos(x) 6= 0⇔ x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z. O domínio de definição é

R− {π2, k ∈ Z} =

⋃k∈Z

]k − π

2, k +

π

2[.

Segue o gráfico da função:

c) Para x+12x2+2x−12 ser definida, é preciso o denominador 2x2 + 2x − 12 ser diferente de 0. Calculando o

Bhaskara, ∆ = b2 − 4ac = 100 > 0, obtemos as duas raízes:

λ1 =−b−

√∆

2a= −3

λ2 =−b−

√∆

2a= 2

logo 2x2 + 2x− 12 = 2(x+ 3)(x− 2) 6= 0⇔ (x 6= −3, x 6= 2). O domínio de definição é

R− {−3, 2} =]−∞,−3[∪ ]− 3, 2[∪ ]2,+∞[.

Segue o gráfico da função:

9

d) Para x+1√2x2+2x−12 ser definida, é preciso serem preenchidas duas condições:

• 2x2 + 2x− 12 tem que ser positivo pela raiz√

2x2 + 2x− 12 ser definida,

• o denominador√

2x2 + 2x− 12 tem quer não nulo, isso é:

√2x2 + 2x− 12 6= 0⇔ 2x2 + 2x− 12︸ ︷︷ ︸

2(x+3)(x−2)

6= 0⇔ x 6= −3 e x 6= 2.

No final, é preciso 2x2 + 2x− 12 ser estritamente positivo pela função ser definida. Usando a fatoração2x2 + 2x− 12 = 2(x+ 3)(x− 2) da questão c) e a seguinte tabela de sinais:

x -∞ -3 2 +∞x+ 3 - 0 + + +x− 2 - - - 0 +

2x2 + 2x− 12 + 0 - 0 +

obtemos x2 + 2x− 12 > 0⇔ x < −3 ou x > 2. O domínio de definição é

R− [−3, 2] =]−∞,−3[∪ ]2,+∞[.

Segue o gráfico da função:

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e) Para x+3ln(x2−2x+1)

ser definida, é preciso serem preenchidas as seguinte condições:

• o polinômio x2 − 2x + 1 tem que ser estritamente positivo pelo logaritmo ln(x2 − 2x + 1) serdefinido (pois o domínio de ln é R>0). Aqui, x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 é sempre positivo, más seanula para x = 1.• o denominador ln(x2 − 2x + 1) tem de ser diferente de 0 pela fração ser bem definida. O único

valor em que ln se anula é 1 (ln(1) = 0) então basta calcular que:

ln(x2 − 2x+ 1) 6= 0⇔ x2 − 2x+ 1 6= 1

⇔ x2 − 2x︸ ︷︷ ︸=x(x−2)

6= 0

⇔ x 6= 0 e x 6= 2

No final, x tem de ser diferente de 1, 0 e 2, logo o domínio de definição é:

R− {0, 1, 2} =]−∞, 0[∪ ]0, 1[∪ ]1, 2[∪ ]2,+∞[.

Segue o gráfico da função:

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Observação: Note que neste gráfico, "parece que a função tem um valor para x = 1". Não é o caso : afunção não esta definida em x = 1 ! O que acontece é que x+3

ln(x2−2x+1)tem um limite, o qual é 0, quando

x→ 1. Assim, daria para "completar"a função por este valor em x = 0, para obter uma função contínua.Diz-se que a função é "prolongável por continuidade"em x = 1. Isto a gente vai ver no capítulo de limitee continuidade.

f) Para x+2ln(x2−2) é preciso serem preenchidas as seguinte condições:

• o polinômio x2 − 2 tem que ser estritamente positivo pelo logaritmo ln(x2 − 2) ser definido. Aqui,x2 − 2 = (x+

√2)(x−

√2) nem sempre o é, mas usando a tabela de sinais:

x -∞ −√

2√

2 +∞x+√

2 - 0 - + +x−√

2 - - - 0 +2x2 − 2 + 0 - 0 +

vemos que x2 − 2 > 0⇔ x ∈ x < −√

2 ou x >√

2.

• o denominador ln(x2− 2) tem de ser diferente de 0 pela fração ser bem definida. O único valor emque ln se anula é 1 (ln(1) = 0) então basta calcular que:

ln(x2 − 2) 6= 0⇔ x2 − 2 6= 1

⇔ x 6= −√

3 e x 6=√

3.

No final, o domínio de definição é:

R− [−√

2,√

2]− {−√

3,√

3} =]−∞,−√

3[∪ ]−√

3,−√

2[∪ ]√

2,√

3[∪ ]√

3,+∞[.

Aqui, é bom ver que −√

2 < −√

3 <√

2 <√

3, e√

2 ' 1, 2 enquando√

3 ' 1, 3. Segue o gráfico dafunção:

Observação: De novo, semelhantemente com o caso precedente e), parece no gráfico que a função temvalores em x = ±

√2, más não é o caso. Só os limites nestes pontos que existem.

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