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Circuitos Digitais 13/10/2014

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5. O Mapa de Karnaugh

Circuitos Digitais 510

Objetivos

• Usar um mapa de Karnaugh para simplificar expressões Booleanas

• Usar um mapa de Karnaugh para simplificar funções de tabela-verdade

• Utilizar condições “don’t care” para simplificar funções lógicas


Introdução

• Um mapa de Karnaugh provê um método sistemático para simplificação de expressões Booleanas• Se usado adequadamente, produz a expressão de soma-de-

produtos ou de produto-de-somas mais simples possível, conhecida como expressão mínima

• A efetividade da simplificação algébrica depende da nossa familiaridade com todas as leis, regras e teoremas da álgebra Booleana e da habilidade de cada um em aplicá-las

• O mapa de Karnaugh provê um método tipo “livro de receitas” para simplificação


Introdução

• Um mapa de Karnaugh é similar a uma tabela-verdade porque todos os valores possíveis das variáveis de entrada e a saída resultante para cada valor estão presentes no mapa

• O mapa de Karnaugh é um arranjo de células no qual cada célula representa um valor binário das variáveis de entrada

• As células são arranjadas de forma que a simplificação de uma dada expressão é obtida simplesmente fazendo um agrupamento adequado de células



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Introdução

• Os mapas de Karnaugh podem ser usados para expressões com duas, três, quatro e cinco variáveis

• O número de células num mapa de Karnaugh é igual ao número total de combinações possíveis das variáveis de entrada que é igual ao número de linhas na tabela-verdade• Para o caso de três variáveis, o número de células é

23=8. Para quatro variáveis, o número de células é 24=16


O Mapa de Karnaugh de 3 Variáveis• O mapa de Karnaugh de 3 variáveis é um arranjo de

oito células, conforme mostra a Figura a seguir

• Os valores binários de A e B estão ao longo do lado esquerdo (observe a sequência) e os valores de Cestão na parte superior


O Mapa de Karnaugh de 3 Variáveis


O Mapa de Karnaugh de 4 Variáveis• O mapa de Karnaugh de 4 variáveis é um arranjo de

dezesseis células, conforme mostra a Figura a seguir

• Os valores binários de A e B estão ao longo do lado esquerdo e os valores de C e D estão na parte superior

• O valor de uma dada célula corresponde aos valores binários de A e B à esquerda na mesma linha combinados com os valores binários de C e Dna parte superior na mesma coluna



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O Mapa de Karnaugh de 4 Variáveis


Célula Adjacente

• Células que diferem em apenas uma variável são adjacentes

• Cada célula é adjacente a células que estão imediatamente próximas a ela por qualquer um dos seus quatro lados

• Uma célula não é adjacente às células que tocam diagonalmente qualquer um dos vértices


Célula Adjacente

• As células na linha superior são adjacentes às células correspondentes na linha inferior e as células na coluna mais à esquerda são adjacentes à células correspondentes na coluna mais à direita

• Isso é denominado de adjacência cilíndrica porque podemos pensar no mapa enrolado de cima para baixo formando um cilindro ou da esquerda para a direita formando um cilindro


Célula Adjacente



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Revisão

• 1. Num mapa de Karnaugh de 3 variáveis, qual é o valor binário para cada célula nas seguintes localizações:• (a) canto superior esquerdo (b) canto inferior direito

• (c) canto inferior esquerdo (d) canto superior direito

• 2. Qual é o termo-produto padrão para cada célula na Questão 1 para as variáveis X, Y e Z?

• 3. Repita a Questão 1 para um mapa de 4 variáveis.

• 4. Repita a Questão 2 para um mapa de 4 variáveis usando as variáveis W, X, Y e Z.


Respostas


5. O Mapa de Karnaugh1. Minimização de soma-de-produtos usando o mapa de Karnaugh


Introdução

• o mapa de Karnaugh é usado para simplificação de expressões Booleanas para a forma mínima

• Uma expressão de soma-de-produtos minimizada contém a menor quantidade possível de termos com a menor quantidade possível de variáveis por termo

• Geralmente uma expressão de soma-de-produtos mínima pode ser implementada com menos portas lógicas que uma expressão padrão



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Mapeando uma Expressão Padrão de soma-de-produtos• Para uma expressão na forma de soma-de-produtos

padrão, um 1 é colocado no mapa de Karnaughpara cada termo-produto na expressão

• Quando uma expressão de soma-de-produtos é completamente inserida no mapa, existirá um número de 1s no mapa de Karnaugh igual ao número de termos-produto na expressão de soma-de-produtos padrão

• As células que não possuem um 1 são as células para as quais a expressão é 0


Mapeando uma Expressão Padrão de soma-de-produtos• Passo 1

• Determine o valor binário de cada termo-produto na expressão de soma-de-produtos

• Após adquirir alguma prática, podemos geralmente fazer a avaliação dos termos mentalmente

• Passo 2• À medida que cada termo-produto é avaliado, coloque

um 1 no mapa de Karnaugh na célula que tem o mesmo valor que o termo-produto


Mapeando uma Expressão Padrão de soma-de-produtos


Mapeando uma Expressão Padrão de soma-de-produtos• Exemplo: Coloque no mapa de Karnaugh a seguinte

expressão de soma-de-produtos

• Solução: Avalie a expressão conforme mostrado a seguir• Coloque um 1 no mapa de Karnaugh de 3 variáveis para

cada termo-produto padrão da expressão



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Mapeando uma Expressão Padrão de soma-de-produtos• Exemplo: Coloque a seguinte expressão de soma-

de-produtos num mapa de Karnaugh

• Solução: Avalie a expressão conforme mostrado a seguir• Coloque um 1 no mapa de Karnaugh de 4 variáveis para

cada termo-produto padrão da expressão




Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos• Uma expressão Booleana tem que estar primeiro

na forma padrão antes de usarmos o mapa de Karnaugh

• Se uma expressão não estiver na forma padrão, então ela deve ser convertida para a forma padrão através de expansão numérica



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Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos• Exemplo: Insira no mapa de Karnaugh a seguinte


• Solução:• A expressão de soma-de-produtos não está obviamente na

forma padrão porque cada termo-produto não possui as três variáveis

• No primeiro termo não aparecem duas variáveis e no segundo termo não aparece uma variável

• Já o terceiro termo está na forma padrão• Primeiro faça a expansão numérica dos termos como

mostrado a seguir


Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos

• Preencha o mapa com os valores binários resultantes colocando um 1 na célula apropriada do mapa de Karnaugh de 3 variáveis


Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos


Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos• Exemplo: Insira no mapa de Karnaugh a seguinte


• Solução:• A expressão de soma-de-produtos não está obviamente

na forma padrão porque cada termo-produto não tem as quatro variáveis

• No primeiro e segundo termos não aparecem duas variáveis e os termos restantes já estão na forma padrão



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Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos• Primeiro faça a expansão numéricas dos termos

incluindo todas as combinações das variáveis que não aparecem como mostrado a seguir


Mapeando uma Expressão Não Padrão de Soma-de-Produtos• Preencha o mapa com os valores binários

resultantes colocando um 1 na célula apropriada do mapa de Karnaugh de 4 variáveis• Observe que alguns dos valores na expressão expandida

são redundantes


Simplificação via Mapa de Karnaughde Expressões de soma-de-produtos

• O processo que resulta numa expressão que contém o menor número de termos possível com o menor número de variáveis possível é denominado de minimização

• Após a expressão de soma-de-produtos ser inserida no mapa, uma expressão de soma-de-produtos mínima é obtida agrupando os 1s e determinando a expressão de soma-de-produtos mínima a partir do mapa



• Agrupando os 1s• Podemos fazer grupos de 1s no mapa de Karnaugh de

acordo com as regras apresentadas em seguida, enlaçando aquelas células adjacentes que contêm 1s

• A meta é maximizar o tamanho dos grupos e minimizar o número de grupos



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• Agrupando os 1s• 1. Um grupo tem que conter 1, 2, 4, 8 ou 16 células,

cujos números são potências inteiras de 2. No caso de um mapa de 3 variáveis, 23=8 células é o grupo máximo.

• 2. Cada célula num grupo tem que ser adjacente a uma ou mais células do mesmo grupo, porém todas as células não têm que ser adjacentes uma da outra.

• 3. Sempre inclua o maior número de 1s num grupo de acordo com a regra 1.

• 4. Cada 1 no mapa tem que ser incluído em pelo menos um grupo. Os 1s que já fazem parte de um grupo podem ser incluídos num outro grupo enquanto os grupos sobrepostos incluem 1s não comuns.



• Exemplo: Agrupe os 1s em cada um dos mapas de Karnaugh mostrados na Figura abaixo



• Solução: Os agrupamentos são mostrados na Figura abaixo. Em alguns casos, existem mais de uma forma de agrupar os 1s para formar agrupamentos máximos.





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• Determinação da Expressão de soma-de-produtos Mínima a partir do Mapa• Quando todos os 1s que representam termos-produto

padrão estão adequadamente inseridos no mapa e agrupados, começa o processo de determinação da expressão de soma-de-produtos mínima resultante

• As regras a seguir são aplicadas para determinar os termos-produto mínimos e a expressão de soma-de-produtos mínima



• Determinação da Expressão de soma-de-produtos Mínima a partir do Mapa• 1. Agrupe as células que têm 1s. Cada grupo de células

que contém 1s cria um termo-produto composto de todas as variáveis que ocorrem num formato apenas dentro do grupo. Variáveis que ocorrem tanto de forma complementada quanto não complementada dentro do grupo são eliminadas. Essas são denominadas de variáveis contraditórias.



• Determinação da Expressão de soma-de-produtos Mínima a partir do Mapa• 2. Determine o termo-produto mínimo para cada grupo.

• a. Para um mapa de 3 variáveis:

• (1) Um grupo de 1 célula resulta num termo-produto de 3 variáveis

• (2) Um grupo de 2 células resulta num termo-produto de 2 variáveis


• (4) Um grupo de 8 células resulta num valor 1 para a expressão



• Determinação da Expressão de soma-de-produtos Mínima a partir do Mapa• 2. Determine o termo-produto mínimo para cada grupo.

• b.Para um mapa de 4 variáveis:

• (1) Um grupo de 1 célula resulta num termo-produto de 4 variáveis



• (4) Um grupo de 8 células resulta num termo de 1 variável

• (5) Um grupo de 16 células resulta numa expressão de valor 1



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• Determinação da Expressão de soma-de-produtos Mínima a partir do Mapa• 3. Quando se obtém todos os termos-produto mínimos

a partir do mapa de Karnaugh, eles são somados para formar a expressão de soma-de-produtos mínima.



• Exemplo: Determine os termos-produto para o mapa de Karnaugh visto na Figura abaixo e escreva a expressão de soma-de-produtos mínima



• Solução:• Elimine as variáveis de um grupo que estão na forma

complementada e não complementada

• Na Figura anterior, o termo-produto para o grupo de 8 células é B porque as células dentro desse grupo contêm tanto A quanto �̅, tanto C quanto �̅ e tanto D quanto ��, as quais são eliminadas

• O grupo de 4 células contém, �, ��, � � ��, sobrando �̅ � � as quais formam o termo-produto �̅�

• O grupo de 2 células contém � � �� sobrando as variáveis �, �̅ � �, as quais formam o termo-produto ��̅�



• Solução:• Observe como a sobreposição de grupos é usada para

maximizar o tamanho dos grupos

• A expressão de soma-de-produtos mínimas resultante é a soma desses termos-produto



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• Exemplo: Determine os termos-produto para cada um dos mapas de Karnaugh mostrados na Figura a seguir e escreva a expressão de soma-de-produtos mínima

Circuitos Digitais 554 Circuitos Digitais 555


• Solução: As expressões de soma-de-produtos mínima para cada mapa de Karnaugh da figura são



• Exemplo: Use um mapa de Karnaugh para minimizar a seguinte expressão de soma-de-produtos padrão

• Solução: Os valores binários da expressão são



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• Solução (cont.): Preencha o mapa com a expressão de soma-de-produtos padrão e agrupe as células



• Solução (cont.):• A expressão de soma-de-produtos mínima resultante é

• Tenha em mente que essa expressão mínima é equivalente à expressão padrão original



• Exemplo: Use um mapa de Karnaugh para minimizar a seguinte expressão de soma-de-produtos

• Solução: O primeiro termo ��̅�� tem que ser expandido para A��̅�� ̅��̅��para se obter a expressão de soma-de-produtos padrão, a qual é então inserida no mapa





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• A expressão de soma-de-produtos mínima resultante é• �� + ��

• Tenha em mente que essa expressão mínima é equivalente à expressão padrão original


Preenchendo o Mapa Diretamente a partir da Tabela-Verdade

• Uma tabela-verdade fornece a expressão Booleana de saída para todas as combinações de variáveis de entrada possíveis

• Os 1s na coluna de saída da tabela-verdade são transferidos diretamente para o mapa de Karnaughnas células correspondentes aos valores das combinações das variáveis de entrada associadas


Preenchendo o Mapa Diretamente a partir da Tabela-Verdade


Condições “Don’t Care”

• Algumas vezes surge uma situação na qual uma combinação das variáveis de entrada não é permitida• Por exemplo, lembre-se que no código BCD abordado no

Capítulo 2, existem seis combinações inválidas: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 e 1111

• Como esses estados não permitidos nunca ocorrerão numa aplicação envolvendo código BCD, eles podem ser tratados como termos “don’t care” (não importam) em relação aos seus efeitos na saída

• Ou seja, para esses termos “don’t care” podemos associar um 1 ou um 0 à saída; na realidade não importa já que eles nunca irão ocorrer



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Condições “Don’t Care”

• Os termos “don’t care” podem ser usados para se obter vantagens no uso do mapa de Karnaugh

• Quando se faz o agrupamento de 1s, os Xs podem ser tratados como 1s para tornar os grupos maiores ou como 0s se eles não representam vantagens

• Quanto maior o tamanho de um grupo, mais simplificado será o termo resultante


Revisão

• 1. Desenhe os mapas de Karnaugh para três e quatro variáveis.

• 2. Agrupe os 1s e escreva a expressão de soma-de-produtos simplificada para o mapa de Karnaughdado na Figura do slide 530.

• 3. Escreva a expressão de soma-de-produtos padrão original para cada um dos mapas de Karnaugh vistos na Figura do slide 555.


Respostas

• 1. Mapa de 8 células para 3 variáveis; mapa de 16 células para 4 variáveis.



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5. O Mapa de Karnaugh2. Minimização de produto-de-somas usando o mapa de Karnaugh


Introdução

• Estudamos a minimização de uma expressão de soma-de-produtos usando o mapa de Karnaugh

• Nas expressões de produto-de-somas as abordagens são as mesmas exceto que com expressões de produto-de-somas, os 0s representam os termos-soma padrão que são colocados no mapa de Karnaugh em vez de 1s


Objetivos

• Fazer o mapa de Karnaugh para uma expressão de produto-de-somas

• Combinar os 0s no mapa formando grupos de tamanho máximo

• Determinar o termo-soma mínimo para cada grupo no mapa

• Combinar os termos-soma mínimos para formar a expressão de produto-de-somas mínima

• Usar o mapa de Karnaugh para converter entre produto-de-somas e soma-de-produtos


Inserindo no Mapa uma Expressão de Produto-de-Somas Padrão

• Para uma expressão de produto-de-somas na forma padrão, um 0 é colocado no mapa de Karnaughpara cada termo-soma na expressão

• Quando uma expressão de produto-de-somas é totalmente inserida no mapa, existirá um número de 0s no mapa de Karnaugh igual ao número de termos-soma na expressão de produto-de-somas padrão

• As células que não têm um 0 são as células para as quais a expressão é 1, que são deixados de fora



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• Processo de preenchimento do mapa• Passo 1: Determine o valor binário de cada termo-soma

na expressão de produto-de-somas padrão

• Esse é um valor binário que torna o termo igual a 0

• Passo 2: À medida que cada termo-soma é avaliado, coloque um 0 no mapa de Karnaugh na célula correspondente





• Exemplo: Preencha o mapa de Karnaugh com a seguinte expressão de produto-de-somas padrão

• Solução: Avalie a expressão conforme mostrado a seguir e coloque um 0 no mapa de Karnaugh de 4 variáveis, mostrado na Figura a seguir, para cada termo-soma padrão da expressão





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Simplificação por Mapa de Karnaughde Expressões de Produto-de-Somas

• O processo para minimização de uma expressão de produto-de-somas é basicamente o mesmo que para uma expressão de soma-de-produtos exceto que agrupamos os 0s para produzir termos-soma mínimos em vez de agruparmos os 1s e produzirmos termos-produto mínimos

• As regras para o agrupamento de 0s são as mesmas que para o agrupamento de 1s



• Exemplo: Use um mapa de Karnaugh para minimizar a seguinte expressão de produto-de-somas

• Solução: As combinações de valores binários da expressão são



• Preencha o mapa com a expressão de soma-de-produtos padrão e agrupe as células como mostrado na Figura abaixo

• Resposta: �(�� + �)



• Tenha em mente que a expressão de produto-de-somas mínima é equivalente à expressão de produto-de-somas padrão original

• Os agrupamentos de 1s conforme mostrado pelas áreas cinzas resultam numa expressão de soma-de-produtos que é equivalente à expressão obtida pelo agrupamento de 0s



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• Exemplo: Use um mapa de Karnaugh para minimizar a seguinte expressão de produto-de-somas

• Solução: O primeiro termo tem que ser expandido para �̅ + � + � + � � � + � + � + � para se obter uma expressão de produto-de-somas padrão, a qual é então inserida no mapa; e as células são agrupadas como mostra a Figura a seguir



• O termo-soma para cada grupo é mostrado e a expressão de produto-de-somas mínima resultante é


Conversão entre Produto-de-Somas e Soma-de-Produtos Usando oMapa de Karnaugh• Quando uma expressão de produto-de-somas é

inserida no mapa, ela pode ser facilmente convertida para a forma de soma-de-produtos equivalente diretamente a partir do mapa de Karnaugh

• Essa é uma boa forma de comparar as duas formas mínimas de uma expressão para determinar se uma delas pode ser implementada com menos portas que a outra


Conversão entre Produto-de-Somas e Soma-de-Produtos Usando oMapa de Karnaugh• Exemplo: Usando um mapa de Karnaugh, converta

a seguinte expressão de produto-de-somas padrão numa expressão de produto-de-somas mínima, numa expressão de soma-de-produtos padrão e numa expressão de soma-de-produtos mínima



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Conversão entre Produto-de-Somas e Soma-de-Produtos Usando oMapa de Karnaugh• Solução: Os 0s para a expressão de produto-de-

somas padrão são inseridos no mapa e agrupados para obter a expressão de produto-de-somas mínima• 1s são inseridos nas células que não contêm 0s

• A partir de cada célula que contém um 1, um termo-produto padrão é obtido conforme indicado

• Esses termos-produto formam a expressão de soma-de-produtos padrão

• Os 1s são agrupados e a expressão de soma-de-produtos mínima é obtida


Conversão entre Produto-de-Somas e Soma-de-Produtos Usando oMapa de Karnaugh


Conversão entre Produto-de-Somas e Soma-de-Produtos Usando oMapa de Karnaugh


Revisão

• 1. Qual é a diferença no preenchimento de um mapa de Karnaugh com uma expressão de produto-desomas e uma expressão de soma-de-produtos?

• 2. Qual o termo-soma padrão expresso com as variáveis A, B, C e D para se ter um 0 na célula 1011 do mapa de Karnaugh?

• 3. Qual é o termo-produto padrão expresso com as variáveis A, B, C e D para se ter um 1 na célula 0010 no mapa de Karnaugh?



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Respostas

• 1. Inserindo uma expressão de produto-de-somas num mapa, os 0s são colocados em células cujos valores tornam o termo-soma padrão zero; e na inserção de uma expressão de soma-de-produtos num mapa, os 1s são colocados nas células que possuem os mesmos valores que os termos-produto.


5. O Mapa de Karnaugh3. Mapas de Karnaugh de Cinco Variáveis


Introdução

• As funções Booleanas com cinco variáveis podem ser simplificadas usando um mapa de Karnaugh de 32 células

• Na realidade são usados dois mapas de 4 variáveis (16 células cada) para construir um mapa de 5 variáveis

• Já sabemos como é a adjacência entre células num mapa de 4 variáveis e como formar grupos de células contendo 1s para simplificar expressões de soma-de-produtos

• Tudo o que precisamos saber para cinco variáveis é a adjacência das células entre os dois mapas de 4 variáveis e como agrupar os 1s adjacentes


Introdução

• Tudo o que precisamos saber para cinco variáveis é a adjacência das células entre os dois mapas de 4 variáveis e como agrupar os 1s adjacentes

• Um mapa de Karnaugh para cinco variáveis (ABCDE) pode ser construído usando dois mapas de 4 variáveis com os quais já estamos familiarizados

• Cada mapa contém 16 células com todas as combinações das variáveis A, B, C, D e E

• Um mapa é para A = 0 e o outro é para A = 1



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Introdução


Células Adjacentes

• Já sabemos como determinar células adjacentes num mapa de 4 variáveis

• A melhor forma de visualizar células adjacentes entre os dois mapas de 16 células é imaginar que o mapa para A = 0 é posto sobre o mapa para A = 1

• Cada célula no primeiro mapa é adjacente à célula diretamente abaixo no segundo mapa



Células Adjacentes

• Exemplo: Use um mapa de Karnaugh para minimizar a seguinte expressão de soma-de-produtos padrão de 5 variáveis

• Solução: Insira no mapa a expressão de soma-de-produtos. Combinando os termos temos a seguinte expressão de soma-de-produtos minimizada:

• � = �̅�� + ��̅�� + �� + ��



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Células Adjacentes


Revisão

• 1. Por que um mapa de Karnaugh de 5 variáveis requer 32 células?

• 2. Qual é a expressão representada por um mapa de Karnaugh de 5 variáveis no qual cada célula contém um 1?


Respostas

• 1. Existem 32 combinações de 5 variáveis (25 = 32)

• 2. X = 1 porque a função é 1 para todas as combinações possíveis de 5 variáveis.


5. O Mapa de Karnaugh4. Resumo



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Resumo

• Os mapas de Karnaugh de 3 e 4 variáveis são mostrados na Figura a seguir

• Um mapa de 5 variáveis é formado a partir de dois mapas de 4 variáveis


Resumo


5. O Mapa de Karnaugh5. Exercícios de Fixação


Exercícios de Fixação

• 1. Um mapa de Karnaugh de 3 variáveis tem• (a) oito células (b) três células

• (c) dezesseis células (d) quatro células

• 2. Em um mapa de Karnaugh de 4 variáveis, um termo-produto de 2 variáveis é produzido por• (a) um grupo de 2 células de 1s

• (b) um grupo e 8 células de 1s

• (c) um grupo de 4 células de 1s

• (d) um grupo de 4 células de 0s



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Exercícios de Fixação

• 3. Em um mapa de Karnaugh, o agrupamento de 0s produz• (a) uma expressão de produto-de-somas.

• (b) uma expressão de soma-de-produtos.

• (c) uma condição “don’t care”.

• (d) uma lógica AND-OR.

• 4. Um mapa de Karnaugh de 5 variáveis tem• (a) dezesseis células

• (b) trinta e duas células

• (c) sessenta e quatro células


Gabarito

• 1. (a)

• 2. (c)

• 3. (a)

• 4. (b)


5. O Mapa de Karnaugh6. Exercícios para Entregar na Próxima Aula


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 1. Desenhe um mapa de Karnaugh de 3 variáveis e

rotule cada célula de acordo com o valor binário de cada uma.

• 2. Desenhe um mapa de Karnaugh de 4 variáveis e rotule cada célula de acordo com o valor binário de cada uma.

• 3. Escreva o termo-produto padrão para cada célula num mapa de Karnaugh de 3 variáveis.



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Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 4. Use um mapa de Karnaugh para determinar a

forma de soma-de-produtos para cada expressão a seguir:


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 5. Use um mapa de Karnaugh para simplificar cada

expressão a seguir para a forma de soma-de-produtos mínima:


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 6. Faça a expansão de cada expressão para a forma

de soma-de-produtos mínima:

• 7. Minimize cada expressão dada no Exercício 6 usando um mapa de Karnaugh.


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 8. Use um mapa de Karnaugh para reduzir cada

expressão para a forma de soma-de-produtos mínima:



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Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 9. Reduza a função especificada na tabela-verdade

dada na Figura 4–59 para a forma de soma-de-produtos mínima usando um mapa de Karnaugh.

• 10. Use o método do mapa de Karnaugh para implementar a expressão de soma-de-produtos mínima para a função lógica especificada na tabela-verdade mostrada na Figura 4–60.

• 11. Resolva o Problema 10 para uma situação na qual as últimas seis combinações binárias não são permitidas (não acontecem).


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 12. Use um mapa de Karnaugh para determinar o

produto-de-somas mínimo para cada expressão:


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 13. Use o mapa de Karnaugh para simplificar cada

expressão para a forma de produto-de-somas mínimo.



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Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 14. Para a função especificada na tabela-verdade

da Figura 4–59, determine a expressão de produto-de-somas mínima usando um mapa de Karnaugh.

• 15. Determine a expressão de produto-de-somas mínima para a função na tabela-verdade da Figura 4–60.


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 16. Converta cada uma das seguintes expressões de

produto-de-somas em expressões de soma-de-produtos mínimas usando um mapa de Karnaugh:


Exercícios para Entregar na Próxima Aula• 17. Minimize a seguinte expressão de soma-de-

produtos usando um mapa de Karnaugh:

• 18. Aplique o método do mapa de Karnaugh para minimizar a seguinte expressão de soma-de-produtos:


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