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UnB 2008/1 – 2º dia

CIÊNCIAS DA NATUREZA E MATEMÁTICA

Oserhumanoestáacostumadoaobservaroqueocercaapartirdas informações obtidas pelos seus órgãos sensoriais. Quando sedesejaestudarobjetosou fenômenos cujaordemdegrandezaossentidos não conseguem captar, é necessário utilizar ferramentasquepermitamanalisá-los. É possível, com o uso de equipamentos, observar fenômenoscujaordemdegrandezavariade1021metrosaté10–13metros,con-forme exemplificam as figuras ao lado.

Considerando o texto acima e as figuras apresentadas, julgue os itensseguintes.

Partedabiosferaepartedosbiomasterrestresencontram-sena região da Terra mostrada na figura III.

2 Parte da região ilustrada na figura IV corresponde ao talassociclo.

3 As figuras VI, VII, IX e X, em conjunto, apresentam uma cadeia alimentar. Nessas figuras se observam, respectivamente, pro-dutor,consumidorprimário,consumidorsecundárioeconsumi-dorterciáriodareferidacadeia.

4 As monocotiledôneas, vegetais predominantes na figura VI, são angiospermascomraizfasciculada.

5 Na vegetação existente na região ilustrada na figura V, predo-minamplantasavasculares,que são característicasdobiomacerrado.

6 As figuras VII e VIII ilustram situações relacionadas à poliniza-ção indireta por entomofilia.

7 Na estrutura do DNA mostrada na figura XI, podem ser distin-guidasasestruturasdehistonasenucleossomos.

8 Otamanhodasmitocôndriasestácompreendidoentreasordensde grandeza mencionadas nas legendas das figuras VIII e X.

9 Oorganismohumano,emfaseembrionáriademórula,possuicavidadeinternacujodiâmetrotemordemdegrandezaqueseaproxima mais do valor mencionado na legenda da figura XI que daquele mencionado na legenda da figura VIII.

10 Considere que o átomo representado na figura XII seja do hi-drogênio,queafreqüênciadaradiação—v—emitidanatran-siçãodeumelétronentreumaórbitamaisexterna,denúmeroquântico principal next, e uma outra mais interna, de númeroquânticoprincipalnint,sejadadapelaequação

v Rn next

= −

1 12 2int

,

emqueR=3,29 × 1015 Hz.Nessasituação,atransiçãodeumelétrondaórbitamaisinternadesseátomoparaaórbitaime-diatamenteseguinteresultarianaemissãoderadiaçãoemfre-qüênciasuperiora2,00 × 1015 Hz.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (0),(04),(06),(08)e(0)

Itens Errados:(02),(03),(05),(07)e(09)

Justificativas:

(02)Talassociclocorrespondeaobiociclomarinho.

(03) VI corresponde ao produtor, VII corresponde ao consumidor primário, IX corresponde a um decompositor e X correspon-deaumparasitaintracelular.

(05)Plantascaracterísticasdocerradosãovasculares.

(07)NucleossomocorrespondeaumgrupodehistonasenvoltasporumapartedeumamoléculadeDNAquenãoéobser-vado na figura.

(09)Amórulaéformadaporumconjuntodecélulasenãopossuicavidadeinterna.

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1º vestibular/2008

No final do século XIX e início do século XX, foram propostos di-versosmodelosparaoátomo,entreeles,osmodelosdeThomsonedeRutherford.Posteriormente,omodelodeRutherfordfoiaperfeiço-adoporNielsBohr,oqualassumiuqueoselétronssecomportavam,emseumovimentoao redordonúcleo, comoondas comcompri-

mentodeonda λnn

hmv

= , emquemevn são, respectivamente,a

massaeavelocidadedoelétronqueseencontranaórbitaindicadapelonúmeronaturaln,ehéumaconstantefísica.Essasondas,nomodelo de Bohr, obedecem à relação nλn =2πrn,emquernéoraiodaórbitadeíndicen.

Apartirdasinformaçõesapresentadasnotexto,julgueositensase-

guir,sabendoqueaconstanteelétrica K = 1

0πε, emqueg0éacons-

tantedielétricadovácuo,erepresentandoporeacargadopróton.

11 No modelo de Thomson, as partículas de carga negativa ficavam misturadas às partículas de carga positiva, formando uma mas-sacompacta.

2 NomodelodeRutherford,amaiorpartedamassadoátomoseconcentravanaeletrosfera,ondeoselétronsgiravamemórbi-tasaoredordonúcleo,emummodelosimilaraoplanetário.

3 NomodelodeBohr,arelaçãonλn =2πrn,referidanotexto,estáassociadaaofatodequeosnóseosventresdeumaondaes-tacionárianãomudamdeposiçãoaolongodotempo.

4 Sabendo-se que no átomo de hidrogênio nomodelo de Bohra forçaelétricaentrenúcleoeelétronécentrípeta,é correto

afirmar que, nesse modelo, rn=n2r1,emque r hme10

2

22= ε

π.

5 NomodelodeBohrparadeterminadoátomo,quantomaiorfororaiodaórbitadeíndicen,menorseráavelocidadedoelétronqueseencontranessaórbita.

6 NoátomodehidrogênionomodelodeBohr,aenergiacinéticadoelétronédadapor

7 Aenergiatotaldoelétronnoátomodehidrogênionomodelode

Bohrédadapor−men h

4

202 24 ε

.

8 Afreqüênciadaluzcapazdepromoverafotofosforilaçãoacíclicacorresponde à da cor verde.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (),(3),(5)

Itens Errados:(2),(4),(6),(7)e(8)

Justificativas:

(2)Amassaseconcentranonúcleo,emsuamaioria.

(4)Sendoaforçaelétricaacomponentecentrípetatemos:

F F

c mvv

E c

n

n

p=

= ∴2

0

2

4πε

er

mr

hmn n n

2

02

2

4 ⋅ ⋅= ⋅

∴

πε λ

er

n hm rn n

2

0

2 2

2 24 4πε π⋅= ⋅

⋅∴

r n hmen = ⋅2

02

2

επ

,

r n rn = ⋅22

(5)De λnn

hmv

= e n rn nλ π= 2

Temos hmv

rnn

n= 2π , ou v n hmrn

n

= ⋅2π

, assim, quantomaior rn,

menorvn

(6)Aenergiacinéticavale:

E mv rr rc

nn

n n

= = =2 2

2

2

2 2 2ke ke

(7)Aenergiatotalésomadecinéticacompotencial:

E E E vr r

en

meh

m c pn

n n

= + = − = − =

= − ( ) ⋅ ⋅

=

2 2 2

2

02

2

02

2 2

4 2

ke ke

πεπε

−−⋅

men h

4

202 28 ε

(18) A freqüência de luz absorvida pela a planta corresponde à decorvermelhadeazul.

Durantemuito tempopensou-se emMarte comoumprovávellugarparaabrigarvida.Adescobertademetanoemsuaatmosferatornou-seaprimeiraevidênciadequeissoseriapossível.Essades-coberta sugere que, nesse planeta, esteja ocorrendouma intensaatividadesubterrâneabiológicaougeoquímica.Semessasativida-des,oníveldemetanoemMarte,provavelmente,seriazero,umavezqueessegásérapidamenteeliminado,porexemplo,pelasrea-çõesapresentadasaseguir.

I 2CH4 → C2H6 + H2

II H2O + CH4 → H2CO + 2H2

IIIH2O2 + 2CH4 → 2H2CO + 3H2

Osprocessosastronômicosegeológicosconhecidos,comoaspoeirasdemeteoritoseosimpactosdecometasevulcões,quesãofontesconvencionaisdemetano,nãoconseguiriamreporogásconsumidopelasreaçõesapresentadas.Umafontepossíveldessegáséahidro-geoquímica,comoasemanaçõeshidrotérmicas.Nascondiçõesquedeterminam essas emanações, os silicatos ultramáficos (rochas ricas em ferro emagnésio) podem reagir paraproduzir hidrogênio, emumprocessoconhecidocomoserpentinização,cujasreaçõessãoasapresentadas em IV, V e VI, sendo que a reação VI se processa com o consumo de produtos gerados em IV e V.

IV 6Fe2SiO4 + 7H2O → H2(aq) + 3Fe3Si2O5(OH)4 + Fe3O4

V 2Mg2SiO4 + 3H2O → Mg3Si2O5(OH)4 + Mg(OH)2

VI 2Fe3Si2O5(OH)4 + 6Mg(OH)2 → 2H2(aq) + 2Mg3Si2O5(OH)4 + 2Fe3O4 + 4H2O

As reações do hidrogênio produzido na reação VI com grãos de car-bono,dióxidodecarbonooumineraiscarbonatadosproduzemmeta-no,deacordocomasseguintesreações.

VII CO2(aq) + 22

+

mn

H2(aq) → 1n

CnHm + 2H2O

VIII CO2(aq) + 4H2(aq) → CH4 + 2H2O

IX C + 2H2(aq) → CH4

Essas reações, quando realizadas em laboratório, à pressão de 400 Pa,temperaturade390 ºCecomóxidosdecromoeferrocomocatalisadores,produzemgrandequantidadedemetano.

Umaoutra fontedemetanoaserconsideradaéamicrobiana.NaTerra, microrganismos conhecidos como metanógenos produzemmetanoemreaçõesqueenvolvemoconsumodehidrogênio,dióxidodecarbonooumonóxidodecarbono.Asreaçõesaseguir ilustramesseprocesso.

X 4CO + 2H2O → CH4 + 3CO2

XI 4H2 + CO2 → CH4 + 2H2O

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Ometanoproduzidopodeserliberadoparaaatmosfera,talvezpor perda gradual do gás através de rachaduras e fissuras ou por emissõesesporádicasdevulcões.

Scientific American Brasil, n.o 6, jun./2007 (com adaptações).

Combasenasinformaçõesdotexto,julgueositensde9a33.

9 OcompostoH2CO produzido na reação II tem grupo funcional ácidoque,emmeioaquoso,diminuiopHdaáguaeproduzoíonHCO–.

20 AgeometriadamoléculaH2COétrigonalplana.

2 OH2O2 é classificado como um peróxido, pois o módulo do nú-merodeoxidaçãodooxigênionessecompostoémaiorque 2.

22 A comprovaçãodaexistênciade fontemicrobianademetanoem Marte seria suficiente para provar os princípios da teoria da abiogênese.

23 Na reação II, observa-se variação do número oxidação de ele-mentosquandosãocomparadososreagenteseosprodutos.

24 OmetanoproduzidonaTerracontribuiparaoefeitoestufanaatmosferaterrestre.

25 Na Terra, a produção de metano por microrganismos ocorrepredominantementepeloprocessodaquimiossíntese.

26 Umadasreaçõesmencionadasnotextoéfotoquímica.Emdiver-sosvegetais,ocorremreaçõesfotoquímicas,queseprocessamnostilacóidesetêmcomoconseqüênciaaformaçãodeATP.

27 Infere-se das informações do texto que os compostos Fe2SiO4eMg2SiO4sãoóxidosbásicos.

28 Aseguinteequaçãoquímicarepresentacorretamenteareaçãoglobaldoprocessodeserpentinizaçãomencionadonotexto:

6Fe2SiO4 + 12Mg2SiO4 + 21H2O →3H2(aq) + 3Fe3Si2O5(OH)4 + Fe3O4 + 8Mg3Si2O5(OH)4

29 Considere que a reação VII se processe totalmente em fase gasosaemvezdeem faseaquosa, seguindoamesmaeste-quiometriadaequaçãoapresentada,equeassubstânciasqueparticipamdessareaçãosecomportemsegundoaleidosgasesideais.Considere,ainda,queessareaçãoocorraemumreci-piente rígido e fechado, à temperatura constante e com quanti-dadesestequiométricasdosreagentesnointeriordorecipiente,sobumapressãototaligualap1. Nesse caso, é correto afirmar que,apósoconsumototaldosreagentesnareação,apressão

total final no interior do recipiente será igual a 4 26 1

nn m

p++

.

30 Astaxasdedesenvolvimentodasreaçõesrepresentadaspelasequações VII, VIII e IX aumentam com a temperatura, mas asentalpiasdessasreaçõesemdiferentestemperaturas,como,porexemplo,a25 ºCea390 ºC,sãoidênticas,porqueasental-piasdassubstânciasindependemdatemperatura.

3 Adiferençadeeletronegatividadeentreooxigênioeocarbonofazamoléculadedióxidodecarbonoapresentarummomentodedipolomaiorqueodamoléculadehidrogênio,oquetornaodióxidodecarbonomaissolúvelemáguaqueohidrogênio.

32 Atabelaaseguirapresentaasentalpiasdeligaçõesquepodemserformadasentreátomosdecarbono,oxigênioehidrogênio.

ligaçõesentalpiadeligação

(kJ · mol–1 a 25 ºC e 1 atm)

C–C 347

H–H 436

C–H 414

O–H 464

O=O 496

C=O 743

SOLUÇÃO

Itens Certos: (20), (2), (23), (24),(26)e(29)

Itens Errados:(9),(22),(25),(27)e(28),(30),(3)e(32)

Justificativas:

(9)Trata-sedeumaldeído.

(22)Aorigemmicrobianadometanonãocomprovariaateoriadaabiogênesequedizqueoservivosurgedamatériabrutaouinanimada.

(25) Quimiossíntese é um processo autotrófico para a produção deglicoseenãometano.

(27)Óxidossãocompostosbináriosemqueooxigênioéomaiseletronegativo.

(28)Observequeonúmerodeátomosdesilicionãoestádevi-damentebalanceado.

(30) As entalpias dependem das condições em que o experi-mentoérealizado.

(3)AmoléculadeCO2temmomentodipolarigualazero.

(32)ComooDHénegativo(DH=–1286 kg · mol–1).

A representação gráfica é:

Considerandoessasinformações,conclui-sequeoDHdareaçãodenúmero X apresentada no texto, a 25 ºCe1 atm,podesercorreta-mente representado pelo gráfico abaixo.

H (kJ mol)produto

reagentes H = 1.286 kJ mol

33 Segundo a reação química indicada por XI no texto, microrga-nismosmetanógenosproduzem1 gdemetanoconsumindo4 gdehidrogênio.

SOLUÇÃO

Item Errado: (33)

Justificativas:

(33)8 gH2_______________16 gCH4

1 gH2_______________ x∴x=2 gCH4

Alguns filósofos gregos, como Anaximandro de Mileto e Empé-docles,preocuparam-secomproblemasquehojesãoobjetodees-tudodaevolução.Anaximandroacreditavaque,daáguaedaterraaquecidas,surgirampeixesouseresmuitosemelhantesaeles;nes-tes, formou-se o homem, sob a forma de embrião que ficava retido dentro desses seres até a puberdade; quando, por fim, esses seres se romperam, deles saíramhomens emulheres, com tal nível dedesenvolvimentoqueeramcapazesdesealimentar.

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1º vestibular/2008

EmpédoclesacreditavaquehavianaTerraórgãos,comobraçose pernas, que erravam pela superfície e que, às vezes, se combina-vamaleatoriamente para formar organismos bemadaptados, quesobreviviamedavamorigemaoquechamamoshojedeespécie.Emoutrasocasiões, essas combinações formavamorganismos incom-pletose(ou)inadaptados,queeramincapazesdesobreviver.

Acercadessetema,julgueositensaseguir.

34 Aidéiadequenovasespéciespodemsurgiremcurtoperíodode tempo, a partir de grandes modificações em organismos que já existem, sem a influência de fatores ambientais, aproxima as idéias defendidas por filósofos gregos como Anaximandro e Empédoclesdoconceitomodernodeespeciação.

35 TantoamodernateoriadaevoluçãoquantoEmpédoclesreco-nhecem que fenômenos aleatórios provocam modificações nos seres vivos e que os resultados dessas modificações podem tor-narosseresvivosbemadaptadosouinviáveis.

36 Emboracomumavisãomuitomaiselaboradaarespeitodaevo-lução dos vertebrados, a moderna teoria da evolução, assimcomoAnaximandro,admitequeohomemtenhaseoriginadoapartirdeseressemelhantesapeixes.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (35)e(36)

Itens Errados:(34)

Justificativas:

(34) O processo de especiação geralmente ocorre em longosperíodos de tempo e com a influência de fatores ambientais.

Texto para os itens de 37 a 57

Ésemprevantajosoparaosseresvivosproduziremoscompostosvitaisdosquaisnecessitam?Umasériedeexperimentosdemonstrouque não, se esses compostos puderem ser facilmente obtidos noambiente.

Nessesexperimentos,foramcomparadasduaslinhagensdabac-tériaBacillus subtillis, que diferiam quanto à capacidade de fabricar oaminoácidotriptofano.Alinhagemselvagemeracapazdefazê-lo,ealinhagemmutante,não.Sepopulaçõesdasduaslinhagens,comomesmonúmeroinicialdeindivíduos,fossemcolocadasemmeiodeculturaquenãocontivessetriptofano,apenasalinhagemselvagemsobreviveria.

Entretanto,sefossemcolocadasemmeioricoemtriptofano,apopulaçãodalinhagemmutantesobreviveriaenquantoapopulaçãodalinhagemselvagemdiminuiria.Essesresultadoslevaramospes-quisadoresa concluir quea capacidadede sintetizar triptofano setornaradesvantajosanacompetiçãoentreasduaslinhagens,quan-doomeioeraricoemtriptofano.

LinusPauling.Comovivermaisemelhor.SãoPaulo:BestSeller,988(comadaptações).

Acercadostemastratadosnotexto,julgueositensqueseseguem.

37 Otriptofanoéumadasbasesnitrogenadaspresentesnomate-rialgenéticodemicrorganismos.

38 Osexperimentosdescritosnotextodemonstramcomofuncionaomecanismoevolutivodaseleçãonatural:afreqüênciadeca-racterísticasquenãotêmvaloradaptativo,comoacapacidadedesintetizartriptofanoemmeionoqualesseaminoácidoestádisponível,tendeadiminuiraolongodasgerações.

39 A competição descrita no texto é do tipo interespecífica e repre-sentainteraçãonegativaparaasduaslinhagensenvolvidas,aselvagemeamutante,noambientericoemtriptofano.

40 As bactérias selvagens mencionadas no texto são classificadas comoautótrofos,porseremcapazesdesintetizarotriptofano.

41 As informações apresentadas no texto são suficientes para se concluir que o comportamento observado nas populações debactériasselvagensemutanteséconseqüênciadasegregaçãodealelos.

42A fabricaçãodo triptofanodependede energia fornecida pelasmitocôndrias,queestãopresentesnocitoplasmadasbactériasdalinhagemselvagem.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (38)

Itens Errados:(37),(39).(40),(4)e(42)

Justificativas:

(37)Otriptofanoéumaminoácidoimportanteparaaformaçãodasproteínas.

(39)Acompetiçãoénegativaparaalinhagemselvagemeposi-tivaparaalinhagemmutante.

(40)Ofatodeproduzirdetriptofanonãopermiteacaracteriza-çãocomoautótrofa.Bactériasautótrofasfazemfotossínteseouquimiossíntese.

(4) O comportamento citado não tem nenhuma relação comsegregaçãodealelos.

(42)Bactériassãoprocariontesenãopossuemmitocôndrias.


A figura a seguir ilustra a estrutura molecular do triptofano.

H N2

HOOC

NH

estrutura do triptofano

A tabela seguinte apresenta a composição e as características deumasoluçãoaquosadetriptofanoutilizadaparaaculturadebacté-riasnoexperimentodescritodotextoanterior.

composiçãopara100,0 mLdesolução

triptofano 0,5 g

NaCR 0,5 g

KH2PO4 0,25 g

pH=7,4a25 ºC

Combasenessasinformações,julgueositensde43a5.

43 O triptofano é classificado como ácido carboxílico, uma vez que sua moléculacontémgruposfuncionaisqueliberamíonsH+emágua.

44 A cadeia carbônica do triptofano é classificada como mista, he-terogênea,insaturadaearomática.

45 Areaçãodohidróxidodesódiocomotriptofanoformaáguaeoduplosalcujaestruturamolecularestárepresentadaaseguir.

Na O+ –

O

N

H

Na N+ –

H

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UnB 2008/1 – 2º dia

46 Se foremconsideradasapenasas interaçõesdo tipodipolodi-polo, é correto afirmar que o triptofano é solúvel em água e tambémemtetracloretodecarbono.

47 O triptofano é isômero de posição da molécula representadapelaestruturaaseguir.

NH

H N2

O

OH

48 Aligaçãocovalentequeuneduasmoléculasdetriptofano,indi-cada pela seta na figura a seguir, é uma ligação peptídica.

HOOCO

H N2

NH

NH

HN

49 ApresençadeNaCRnasoluçãoaquosadetriptofanodescritanatabelaaumentaacondutividadeelétricadessasolução.

50 AconcentraçãodoKH2PO4nasoluçãoaquosadetriptofanodes-critanatabelaémaiorque0,02 mol·L–1.

5 Atemperaturadeebuliçãodasoluçãoaquosadetriptofanodes-critanatabelaémaiorqueadaágua.

52 Considerandoosdadosdatabelaabaixo,calculeopHdasolu-çãodetriptofanoa60 ºCquemantémamesmarazãoentreaconcentraçãodeH+eaconcentraçãoOH–encontradanasoluçãoaquosapreparadaa25 ºC,empH=7,4,apresentadanotexto.Multipliqueo valor encontradopor 100 e desconsidere, para amarcaçãonafolhaderespostas,apartefracionáriadoresultadofinal obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados.

temperatura(ºC) Kw

25 1×10–14

60 1×10–13

SOLUÇÃO

Itens Certos: (44),(46),(48),(49)e(5)

Itens Errados:(43),(45),(47),(50)e(52)

Justificativas:

(43)Trata-sedeumaminoácido.

(45)Osal formadonãoéduplo,poisoNaOHsóreagecomoácidocarboxílico.

(47)Sãoisômeosdefunção

(50)Correto,poishásolutonão-volátildissolvido.Logoháefeitoebulioscópico.

(52)pH = 6,9,quandomultiplicadopor100 = 690

Resolução

1ºCálculodarazãoH+eOH–a25ºCeempH=7,4

Se pH – 7,4→[H+]=10–7,4.Logo[OH–]=10–6,6

Assim[ ]

[ ][ ]

[ ]

,

,,H

OHH

OH

+ −

−

+−= ⇒ =- -

1010

107 4

6 60 8

Utilizandoessedadoa60ºC

Kw H OH HH

H= ⋅ → = → =+ − − +

+

−+ −10

101013

0 8

2 13 8,

,

H + − = 10 13 8,

CalculandoopH

pH H pH pH= − → = − → = − ( )+ − −log log log, ,10 1013 8 13 812

pH pH

pH

= − → = − ⋅ −( )=

−12

10 12

13 8 10

6 9

13 8log , log

,

,

Multiplicandopor100,temos690.

Nosexperimentosdescritosanteriormente,considerequeosnú-merosdeindivíduosnaspopulaçõesdasbactériasselvagensemu-tantes,emmilhares,sejam,emfunçãodotempo t≥ 0,emhoras,dadosporP1(t)eP2(t),respectivamente,emquet=0representaoiníciodosexperimentos.Asexpressõesaseguirsãoválidasparaoexperimentoemmeioquenãocontémtriptofano.

P t k para t

P t para tpar

t

tt

1 9

2

5 82

1 3 1 30

3 0 20

( ) =+ −( )×

≥

= ≤ <

−

−−

, .

( ) , ,, aa t ≥

2.

Quandooexperimentoérealizadoemmeioricoemtriptofano,sãoválidasasseguintesexpressões,parat≥ 0.

P t para t

P t k para t

t

t

14

2 9 2

3 0

1 3 1 30

( ) , ,

( )( )

, .

( )= ≥

=+ − ×

≥

−

−

Combasenessas informaçõesesabendoque,nasexpressõesapresentadas,kéumaconstanterealaserdeterminada,julgueositenssubseqüentes

53Emmeioquenãocontémtriptofano, P k1 90

1 3( ) =

+.

54 Comoaspopulaçõesdebactériasselvagensemutantestêmomesmonúmerodeindivíduosemt=0,independentementedoexperimento,écorretoconcluirquek=38.

55 Éde1horaotemponecessárioparaqueapopulaçãoP2(t),emmeioquenãocontémtriptofano,cheguea27milindivíduos.

56 Para t>0, a populaçãoP2(t), emmeio rico em triptofano, ésempremenorqueapopulaçãoP1(t),emmeiosemtriptofano.

57 Tomando-se0,625comovaloraproximadoparalog32,esu-pondo-seque,emmeioricoemtriptofano,apopulaçãodebactériasselvagensnoinstantet=t0éiguala6milindiví-duos,entãot0=2,375horas.

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1º vestibular/2008

SOLUÇÃO

Itens Certos:

Itens Errados:

Justificativas:

(53) P k1 9 0

01 3 1 3

( ) =+ −( ) ⋅

P k1 90

1 3 1( ) =

+ −

P k1 90

3( ) =

(54)P

P2

5 0 80 2

24

0 3

0 3

( ) =

( ) =

⋅ −−

Como P k⋅ =( )039 ,temos:

k k3

3 394 13= ⇒ =

(55) P t

ttt tt

t hor

tt

tt

25 8

2

5 82 3

27

3 27

3 35 8

23

5 8 3 62 2

1

( ) =

=

=−

−=

− = −=

=

−−

−−

aa

(56)População P t kt2 9 21 3 1 3

( ) =+ −( ) ⋅ −

emmeioricoemtriptofano.

População P t kt1 91 3 1 3

( ) =+ −( ) ⋅ −

emmeiosemtriptofano.

3 –2 < 3 –1

3 –2t < 3 –t

(39 – 1) ⋅ 3–2t < (39 – 1) ⋅ 3–t

1+ (39 – 1) ⋅ 3–2t < 1 + (39 – 1) ⋅ 3–t

11 3 1 3

11 3 1 3

1 3 1 3 1 3 1 3

9 2 9

9 2 9

+ +( ) >+ −( ) ⋅

+ −( ) ⋅>

+ −( ) ⋅

− −

− −

t t

t t

k k

P t P t2 1( ) > ( )

(57) P t

P t

t

t

14

1

4

3

6

3 6

( ) =

( ) =

=

−( )

−( )

log logloglog log

,

34

3

3

3 3

3 64 3 24 3 24 1 0 625

−( ) =− = ⋅− = +− = +

t

ttt

− = − +− = −

=

tt

t horas

4 1 6252 375

2 375

,,

,

objeto

córnea

raio luminoso

célula daretínula

rabdoma

imagem

conecristalino

fibra donervo óptico

As figuras acima representam parte do sistema de lentes do olho deum inseto,comseuscomponentesbiológicos,sendoa retínulaoelementoreceptordeluz,cujocentroéocupadoporumcilindrotranslúcido,chamadorabdoma.Aoredordorabdomaestãolocaliza-dascélulasfotorreceptoras.Sabe-sequeosraiosdecurvaturadaslentes dos olhos dos insetos são fixos. Portanto, esses animais não têma capacidadedevariaradistância focaldoolhopormeiodavariaçãoda curvaturade suas lentes, umapropriedade conhecidacomopoderdeacomodação,presentenoolhohumano.

Considerandoessasinformações,julgueositensseguintes.

58 Sabendo-sequeaentradadorabdoma—localondeorabdomaseligaaoconecristalino—seposicionanofocodosistemadelentesdoolhodoinseto,écorretoinferirqueosinsetosnãoen-xergamcomamesmanitidezobjetosposicionadosadiferentesdistânciasdeseusolhos.

59 Sabendo-se que o poder de convergência de uma lente é definido comooinversodadistânciafocal;que,seadistânciafocaléme-didaemmetros,opoderdeconvergênciaémedidoemdioptrias(di);eque,emhumanos,adistânciaentreocristalinoearetinaé igual à distância entre o cristalino e a imagem, é correto afir-marque,paraoolhohumano,seadistânciacristalino-retinaforiguala2 cm,oseupoderdeconvergênciaseráiguala50 di.

60 Considerequeosraiosluminososquechegamaorabdomaso-fram reflexões internas totais nas suas paredes, até chegarem à fibra do nervo óptico, como ilustrado na figura. Nesse caso, para que essas reflexões totais ocorram, a região que envolve o rabdomadevepossuiríndicederefraçãomenorqueoíndicederefraçãodoprópriorabdoma.

6 Diferentementedosmamíferos,quepercebemaluzpormeiodeolhossimples,osinsetosofazempormeiodeolhoscompostos.

62 Ousodelenteconvergentepermitequeamiopianoolhohuma-nosejacorrigida.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (58),(59),(60)

Itens Errados:(6),(62)

Justificativas:

(6)Osolhosdosmamíferosnãosãosimples.

(62)Eamiopiaécorrigidacomlentedivergente;

Grandepartedoconhecimentoacercadaevoluçãohumanaestáembasadoemachadospaleontológicos,sobretudodeesqueletosoudepartedeles.Osossosdoesqueletohumanosãoformadosfunda-mentalmenteporfosfatodecálcioCa3(PO4)2.Porsuavez,oesmaltedosdenteséformadoporoutrosólido,ahidroxiapatitaCa5(PO4)3OH.OpH da boca influencia o seguinte equilíbrio, que favorece os rea-gentesemdetrimentodosprodutos.

Ca5(PO4)3OH(s) + H3O+(aq) 5Ca2+(aq) + 3PO43-(aq) + 2H2O(l)

7

UnB 2008/1 – 2º dia

Entretanto,emalgumasocasiõesoutraspartesdocorpopodemserpreservadas.ExemplodissoéoHomemdoGelo,tambémdeno-minado Ötzi, ilustrado na figura abaixo, o único do período neolítico encontradonaEuropa.Aimpressionantepreservaçãodocorpoteriasidoresultadodeumatempestadedenevequerecobriucompleta-menteocorpoeoprotegeu,seguidaderápidocongelamento-resse-camento.Ocorposófoiexpostoapósumperíodoexcepcionalmentequentenaregião,masaessaaltura,ocorpojáseencontravana-turalmente mumificado. Alguns sinais de decomposição que o corpo apresenta ocorreram antes da mumificação.

Considerandoessasinformações,julgueositensseguintes.

63 Aresistênciadosossosdocorpohumanoeofatodeelesseremsólidosnascondiçõesambientessãoprópriosdecompostosfor-madospelotipodeligaçãoquímicaexistenteentreofosfatoeocálcio.

64 Aestabilidadedoânionfosfato,presentenareaçãomencionadano texto, é justificada pela teoria do octeto.

65 Quandoa reaçãodahidroxiapatitadescritano textoestáemequilíbrio,avelocidadedareaçãodiretaeadareaçãoinversasãoiguais.

66 Écorretoinferir,apartirdasinformaçõesdotexto,queopHdabocaélevementealcalino.

67 Aconstantedeequilíbriodareaçãoapresentadanotextoé

KCa PO H O

Ca PO OH H Oc = [ ]

( )

+ −

+

2 5

43 3

22

5 4 3 3

.

68 AbaixatemperaturadaregiãoondefoiencontradoocorpodoHomemdoGelodevetercontribuídoparaasuaconservação,pelo fato de que essa condição reduz a energia cinética dasmoléculasedosíonse,conseqüentemente,diminuiovalordasconstantesdevelocidadedasreaçõesdedegradação.

69 Achuvaácidapodecontribuirparaadegradaçãodeachadosarqueológicos, uma vez que é nociva ao esmalte dos denteshumanos.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (63).(65),(66),(68)e(69)

Itens Errados:(64)e(67)

Justificativas:

(64)Otextodizqueofosfatoébastanteestávelquandonafor-madefosfatodecálcio.Logotrata-sedeumaestabilidadedecorrentedasuabaixasolubilidade(salinsolúvel).

(67)OKcé: KcCa PO

H O=

⋅

+ −

+

2 5

43 3

3


H. sapiens primitivo1.150 cm3

A. boisei500 cm3

H. erectus900 cm3

H. sapiens atual1.350 cm3H. habilis

600 cm3

A. africanus415 cm3

Australopithecus afarensis385 cm3

porcentagem de energia gasta pelo cérebro emrelação à que é gasta pelo organismo em repouso

5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

4,03,53,02,52,01,51,00,5

0

tem

po(m

ilhõe

sdea

nos)

p

t

O cérebro humano ficou maior ao longo do tempo e passou a exigir cada vez mais energia. A figura acima apresenta, para um período de 4 milhões de anos de evolução dos hominídeos até osurgimentodoHomo sapiensatual,arelaçãoentreotempo t,emmilhõesdeanos,eaporcentagempdeenergiagastapeloscérebrosmostrados em relação à energia gasta pelos respectivos organismos em repouso. A figura mostra, ainda, a evolução do volume V doscérebros,emcm3,nesseperíodo.

Combasenessasinformações,julgueositenssubseqüentes.

70 Ocrâniohumanoéumaestruturaformadaapartirdamesoderme.

7 Emrelaçãoaosseusorganismosemrepouso,aporcentagemdeenergiagastapelocérebrodoA.boisei era superior à do A.africanus.

72 Amedianadaseqüêncianuméricacrescenteformadapelosvolu-mes dos cérebros apresentados na figura é superior a 560 cm3.

73 Amédiadaseqüêncianuméricacrescenteformadapelosvolu-mes dos cérebros apresentados na figura é inferior a 710 cm3.

74 UmvolumedeáguaigualaovolumedocérebrodoHomo sapiensatual é insuficiente para encher um tubo na forma de um cilindro circularretoderaiodabaseiguala10 cmealturaiguala5 cm.

75 Emumsistemade coordenadas cartesianas tOV, emque t éotempo—emmilhõesdeanos—eVéovolumedocérebro—emcm3—,considerearetaquepassapelopontodecoorde-nadas(0,5, 385),correspondenteaoAustralopithecusafarensis,e (1,5, 415), correspondenteaoA.africanus.Seovolumedocrâniohumanotivesseaumentadodeacordocomessareta,en-tãoovolumedocrâniodoH.sapiensatualdeveriasersuperiora1.350 cm3.

76 Emtermosdaporcentagemp,ovolumeVdoscérebrosapre-sentados define uma função crescente V(p).

SOLUÇÃO

Itens Certos: (70),(72)e(74)

Itens Errados:(7),(73),(75)e(76)

Justificativas:

(71) Graficamente vemos que a porcentagem de energia gasta pelocérebrodoA.boiseiémenorqueadoA.africanus.

(72) Organizando os dados em ordem crescente temos: 385,45,500,600,900,50,350,oquenosdáumamedianaiguala600.

8

1º vestibular/2008

(73) Me = + + + + + +385 415 500 600 900 1150 13507

Me = 757 14,

(74) VVV

= ⋅ ⋅=≅

ππ

10 55001570

2

3cmcm3

Logoovolumedocérebrodohomosapiensatualé inferioraovolumecilindrico.

(75)y = mx + n

0 5 3851 5 415

,,

m nm n

+ =+ =

m = 30 n = 370 y = 30 ⋅ x + 370 y = 30 ⋅ 4 + 370 y = 120 + 370 y = 490(76)Nãoécrescente,poissendoP1aporcentagemdoA. afri-

canuseP2aporcentagemdoA.boisei,temosP2 < P1eV(P2) > V(P1).

ConsidereafunçãoV = f(t) = at2 + bt + c,emquea,becsãocons-tantesreais,téotempo—emmilhõesdeanos—eVéovolumedocrânio—emcm3.Suponhaque,nosistemadecoordenadascarte-sianastOV, o gráfico de f(t)contenhaospontosdaforma(t,V)cor-respondentesaoH. erectus,aoH. sapiensprimitivoeaoH. sapiensatual, de acordo com os dados da figura do texto. Com base nessas informações,julgueositensseguintes.

77 Os coeficientes da função f(t)podemserobtidoscomosoluçãodoseguintesistemalinear:

78 O coeficiente a da função f(t)éiguala–100.

79 Seaevoluçãodovolumedocrâniohumanoseguisseatendênciaestabelecidapelafunçãof(t),então,daquia1milhãodeanos,ouseja,parat=5,essevolumeseriasuperiora1.550 cm3.

SOLUÇÃO

Itens Certos:

Itens Errados:

Justificativas:

(77)AscoordenadasreltivasaH.erectus,H.sapiensprimitivoeH.sapiensatualsão,respectivamente,(3.0;900),(3,5; 1150)e(4,0; 1350),oquenosdáasequações:

9 3 90012 25 3 5 115016 4 1350

a b ca b c

a b c

+ + =+ + =

+ + =

, ,

9 3 112 25 3 5 1

16 4 1

90011501350

, ,

=

abc

(78)Resolvendoosistema,temosa=–100,b=1150ec=–650.

(79)V = –100 t2 + 1150 t – 1650 V = –100⋅ 52 + 1150⋅5 – 1650 V = –2500 + 5750 – 1650 V = 1600


cistole diástoleI II III IVV VI VII

pressão(mm Hg)

VEvnl

(ml)

sons

tempo (s)

S1

ECG4080

120

PAE PVE

PA

VFDVE

S4 S2 S3

VFSVE

LegendaPAE=pressãonoátrioesquerdoPVE=pressãonoventrículoesquerdoPA=pressãonaaortaascendenteVE=ventrículoesquerdoVFDVE = volume ao final da diástole no ventrículo esquerdoVFSVE = volume ao final da sístole no ventrículo esquerdoECG=eletrocardiograma

Na figura acima são apresentadas algumas características perti-nentes ao coração humano, que bombeia o sangue que flui nas veias e nas artérias do corpo. Veias e artérias têm dimensões diversas, e apresentam,emgeral,diâmetromaiorpróximoaocoraçãoemuitomenor nos capilares. Considerando que o sangue seja um fluido in-compressíveldedensidadeDconstante,dadoemkg · m–3,equeasveiaseasartériassejamperfeitamentecilíndricas,pode-seaplicaraexpressãoparaoteoremadeBernoulliapresentadaaseguir,paraseestudar o fluxo sanguíneo.

ρ ρ ρ ρv gh P v gh P12

1 122

2 22 2+ + = + +

Nessaequação,géaaceleraçãodagravidade,e,parai=1e2,vi,hiePisãoavelocidade,aalturacomrelaçãoaosoloeapressão,res-pectivamente,nopontoQi do fluxo sanguíneo. Considerando essas informações,julgueospróximositens.

80 Devido à conservação de massa, a velocidade com que o sangue passa por uma artéria ou veia aumenta à medida que o raio dessaartériaouveiadiminui.Avelocidadedosanguetambémpode ser alterada na presença de estímulos químicos, comoacontece com as arteríolas da pele expostas à adrenalina.

8 EmqualquerpontoQi ao longo do fluxo sanguíneo, a razão en-

treaenergiacinéticaeovolumedesangueédadapor ρv12

2.

82 OteoremadeBernoullidecorrediretamentedaconservaçãodequantidade de movimento para fluidos.

83 Seavelocidadedosangueforamesmatantonacabeçaquantonos pés, então, de acordo como teoremadeBernoulli, paraumapessoaempé,apressãonasveiasdacabeçaémaiorqueaquelaregistradanospés.

84 Assumindo-sequeh1=h2equev1A1 = v2A2,emqueA1eA2sãoasáreascircularesdasseçõesperpendicularesdoscilindrosquerepresentamasartériasouveiasev1ev2sãoasvelocidadesnospontosQ1eQ2emqueA1eA2sãocalculadas,oteoremadeBernoulliimplicaque

P P v AA1 2

12

12

222

1− = −

ρ

85 Sabendo-se que, no processo de arteriosclerose, umaartériaéestreitadainternamente,entãoapressãointerna(dedentroparafora)nopontodeestreitamentodiminui,oquepodecon-tribuirparafazeraartériasefecharaindamais.

9

UnB 2008/1 – 2º dia

86 Infere-se das informações apresentadas que, no processo evolu-tivoemqueohomemadquiriuumaposiçãomaisereta,deveterocorridoaumentodacapacidadedebombeamentodocoração.

87 No período demarcado pela faixa vertical indicada por II na fi-gura, as diferenças de pressão permitem deduzir que, nesseperíodo,todasasválvulasdocoraçãohumanoestãoabertaseassuasquatrocâmarassecomunicam.

88 A figura apresentada mostra que, após o estímulo elétrico de maioramplituderegistradopeloECG,ocorreaumentodapres-sãoventricular.

89 AvariaçãodevolumeobservadaentreVFDVEeVFSVEécausadapelaexpansãodospulmõesduranteomovimentodeexpiração.

90 Considerando que pelo coração passam correntes elétricas,comoindicadopeloregistrodoECGapresentado,então,casoumpulsoelétricodeduração0,02 sprovoquenocoraçãoumacorrente elétrica contínua de 1 mA, conclui-se que a energiatotaldissipadapelocoração,nesseintervalodetempo,éiguala10–4 J,modelando-seocoraçãoporumaresistênciaôhmicadevaloriguala2 Ω.

9 Acirculaçãolinfáticaemvertebradoséindependentedasanguí-nea,demodoquelinfaesanguenãoentramemcontato.

92 No caso de peixes, o sangue recém-oxigenado nos capilaresbranquiaiscomunica-sediretamentecomosanguearterial,queédistribuídoaostecidossemetapadebombeamentointerme-diária,diferentementedoqueocorrenocoraçãohumano.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (86),(92),(8),(84),(85)

Itens Errados:(9),(82),(83),(90)

Justificativas:

(9)Acirculaçãolinfáticanãoéindependentedasangüíneaealinfamistura-secomosangue.

(8)Aarazãoentreaenergiacinéticaeovolumeédadapor:

r Ev

mv

nmv

v vc

i

i i= = = ⋅ =

2

2 22

2 2ρ

(82)OteoremadeBernoullidecorredaconservaçãodeenergiamecânica, devido à ação exclusiva de forças conectivas;

(83)Nocasoexpostotemos:

ρ ρ ρ ρv gh P vp gh Pc c p p02 2

2 2+ + = + +

EComovc = cp;resulta:

ρghc+Pc =ρghp+Pc

Esendo, hc > hp, concluímosque Pc< Pp

(84)Sendoh1=h2,peloteoremadeBernoulliobtemos:

ρ ρv P v P12

112

22 2+ = + ,

P P v v1 2 22

12

2− = −( )ρ , onde, v v A

A2 11

2

= ⋅ .

(90)Aenergiadissipadapodesercalculadadeforma:

E P t R i t s A s J= ⋅ = ⋅ ⋅ = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ⋅( ) = ⋅− − − −∆ ∆2 1 2 2 82 10 2 10 4 10

Suponhaqueapressãonoventrículoesquerdo(PVE)deumapessoaduranteumperíodoemqueocorreasístolesejadada,emmmHg,porP(T)=–25 T2 + 300 T – 779,para4 ≤ T ≤ 8,sendoT=20tet,o

tempo,emsegundos,utilizadonaobtençãodoECG.Combasenes-semodelo,julgueositensaseguir.

93 Nessemodelo,otempot satisfaz à condição 0,2≤t≤0,4.

94 Duranteasístole,aPVEdessapessoaésuperiora20 mmHg.

95 Duranteasístole,aPVEmáximadessapessoaé iguala121 mmHg.

96 Se3,8e8,2sãoasraízesdeP(T)eopolinômioR(T)éorestodadivisãodeumpolinômioQ(T)porP(T),sendoQ(3,8)=29eQ(8, 2)=51,entãoR(0)<8.

SOLUÇÃO

Itens Certos:

Itens Errados:

Justificativas:

(93) 4≤ 20 t ≤ 8

0,2 ≤ t ≤ 0,4

(94)P(4) = –25⋅ 42 + 300⋅ 4 – 779

P(4) = –400 + 1200 – 779

P(4) = 21

P(8) = –25 ⋅ 82 + 300 ⋅ 8 – 779

P(8) = –1600 + 2400 – 779

P(8) = 21

21

4 8

y

x

(95) Pa

P

P

máx

máx

máx

= − ∆

=− − −( ) ⋅ −( )( )

−( )

=− −

4300 4 25 779

4 25

90000 77900

2

(( )−( )

= =

10012100100

121P máx

(96)Q(T)=P(T)⋅f(T)+R(T),ondef(T)éoquocientedadivisãoeR(T)=mT +n,ondem,n∈ .

Q(3,8)=P(3,8)⋅f(3,8)+R(3,8)⇒ 29=R(3,8)⇒ 3,8m + n=29

Q(8,2)=P(8,2)⋅f(8,2)+R(8,2)⇒ 51=R(8,2)⇒ 8,2m + n=51

∴

+ =+ =

⇒ = ⇒ =

8 5 513 8 23

4 4 22 5,,

,m nm n

m m ne =10

R T T R( ) = ⋅ + ( ) =5 10 0 10e


Considereumabateriadechumbocomddpde12 V.Asduassemi-reaçõesnão-balanceadasdessabateriasãoapresentadasaseguir.

I Pb(s) + SO42–(aq) PbSO4(s) + e–

II PbO2(s) + H+(aq) + SO42–(aq) + e– PbSO4(s) + H2O(l)

Comrelaçãoaessasreações,julgueospróximositens.

0

1º vestibular/2008

97 A reação I ocorre no ânodo da bateria.

98 Nabateriareferida,paracadamoldePb(s) consumido,2 molsdeelétronssãotransferidosdopólonegativoparaopólopositivo.

99 Considere que a bateria referida no texto seja composta porumaassociaçãoemsériedeseispilhas,emquea reaçãodecadaumadelasédadapelaexpressão

Pb(s) + SO24– (aq) + PbO2(s) + 4H+(aq) + SO2

4–(aq)

2PbSO4(s) + 2H2O(l)

Sabendo que o potencial de redução da reação I, quando balancea-da,é–0,35 V, calcule, em volts, o potencial de redução da reação II balanceada.Multipliqueovalorobtidopor100,edesconsidere,paraamarcaçãonafolhaderespostas,apartefracionáriadoresultadofinal obtido, após realizar todos os cálculos solicitados.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (97),(98)

Itens Errados:(99)

Justificativas:

(99)Otextodizqueoddpdabateriaéde12V.Comosãoseispilhasemsérie,temosquecadaumadelasgeraumavolta-gemde2V.

* Como a reação I é de oxidação, temos: E Voxiolo = +0 35,

*Addpdeumapilhapodesercalculadapor: ∆E E EOxio

redo= + .

∆E E E

V E E Voxido

red

red red

II

II II

= +

= + + → = +( )

( ) ( ), ,

0

0 02 0 35 1 65

Multiplicandopor00,temos65

20 cm

B

A C

E

D

Na figura acima, os triângulos ABC eABD são retângulos emA,ABmede20 cm,osegmentoBEéparaleloaosegmentoADeos

ângulos CBE e DBE sãoiguaisaπ6

eπ

12, respectivamente.Com

basenessas informaçõesecomoauxíliodatabeladevaloresdasfunções seno e cosseno apresentada ao final do caderno de prova, julgueositensqueseseguem.

00Apartirdas relaçõese712 2 12

π π π− = e712 3 4

π π π= + , conclui-se

que cos , .π12

0 92

<

0SeaéocomprimentodosegmentoBDebéocomprimentodo

segmentoBC,entãob=2a sen π12

.

02AáreadotriânguloBCD,emcm2,éiguala

200 512 3

×

−

tg tgπ π .

sacrocoluna vertebral

vértebraslombares

Fm

W1

RW2

barrarígida

φ

γ

θ

L2

sacro

eixohorizontal

13

23L

L

Ovolumecerebraldoshumanosaumentouemtornode300%em relação ao de seus antepassados pré-históricos e sua colunavertebral adaptou-se a essa modificação. A coluna vertebral do ser humanotípico, ilustradaacima,podesermodeladaporumabarrarígidadecomprimentoLconformemostrado.Nessemodelo,W1éopesodotronco,W2 corresponde à soma dos pesos dos braços e da cabeça,Fm éaforçaexercidapelosmúsculoseretoresdaespinha,Réareaçãodosacrosobreaespinhae2éoânguloentreabarrarígida (coluna vertebral) e o eixo horizontal mostrado. Nessa figura, tambémsãoindicadososângulosn—entreadireçãodovetorReoeixohorizontal—eγ—entreadireçãodovetorFm eabarrarígida.

Considerandoessasinformações,julgueositenssubseqüentes.

03Paraqueacolunavertebralmantenhaumânguloqcomahori-zontal,comoreferido,osmúsculoseretoresdevemrealizarumaforçacujomódulo|Fm|édadopelaexpressãoaseguir:

FW

Wm

= ×

+32 2

12 cos cossec .θ γ

04Omódulodaforçadereaçãodosacrosobreaespinhapodesercorretamenteexpressopor

R F W Wm

= + ( )( ) −( )

sen +γ θ ϕ θ1 2 cos cossec .

105 Considerando o modelo da figura, conclui-se que um aumento percentualdep%nopesodocérebrohumano,devidoaoau-mentodeseuvolume,implicaaumentodaforçadosmúsculoseretoresdascostastambémemp%,seforemmantidosinalte-rados os ângulos e os outros pesos mostrados na figura.

106 Considerando o modelo da figura, conclui-se que para se manter o módulo de constante à medida que o peso do cérebro huma-no aumenta, devido ao aumento de seu volume, é suficiente aumentaradequadamenteoângulo2, se forem mantidas fixas todasasoutrasvariáveisfísicasebiológicas.

Aindaconsiderandootextoanterior,jugueospróximositens.

07Nacontraçãodosmúsculoseretoresdaespinha,osarcômerotornase mais curto devido ao encurtamento das miofibrilas, que seencontramemseuinterior.

08Sabendo-seque,duranteaevolução,ossereshumanospassa-ramasesustentarnaposiçãoeretaequeosmúsculoseretoresdaespinharealizamforçamenorparamanterocorpoeretoqueparamantê-locurvado,écorretoinferirqueomenorgastodeenergiapodetercontribuídoparaaboaadaptaçãodosindivídu-oseretosaoambiente,queforamfavoravelmenteselecionadosemrelaçãoahominídeosquesemantinhamemposiçãomaiscurvada.

109 O ser humano, cuja coluna vertebral está ilustrada na figura, pos-suisistemanervosodorsal,queécaracterísticodoscordados.

110 Suponha que o eixo horizontal, indicado no modelo da figura, permaneça fixo e que o ponto A, também indicado na figura, se movimente devido à rotação da barra em torno do ponto de contatocomosacro,detalmodoque2varienointervalo

UnB 2008/1 – 2º dia

−

π π2 2

, .

0

y

2

2

L

L2

θ

Nessa situação, o gráfico da função y(q),quemedeadistânciadopontoAaoeixohorizontal,nosistemacartesianoqOy,temoaspectomostrado na figura ao lado.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (03),(06),(08),(09)

Itens Errados:(04),(07),(0)

Justificativas:

(00) cos cos

cos cos cos sen

π π π

π π π π12 4 6

12 4 6 4

= −

= ⋅ + ⋅ssen

cos

cos

cos

cos

π

π

π

π

π

6

122

23

22

212

126 2

4

126 2

4

120 94

= ⋅ + ⋅

= +

= +

≈ ,

(0) sen

sen

sen sen

π

π

π π

1220

620 20

2

12 22

12

=

= ⇒ =

∴ = ⇒ = ⋅

a

bb

ba

b a

(02) tg AC AC tg

tg AD AD tg

π π

π π3 20

203

512 20

20 512

= ⇒ = ⋅

= ⇒ = ⋅

Área=AD AC⋅ − ⋅20

220

2

Área= 20 512

10 203

10⋅ ⋅ − ⋅ ⋅tg tgπ π

Área= 200 512 3

⋅ −

tg tgπ π

(03)Fazendoasomadosmovimentos(torques)dasforçasemrelaçãoaopontodecontatoentresacroeespinha(Pólo),temos:

F L senW

W Lm

⋅ ⋅ = +

⋅ ⋅ ∴23 2

12γ θcos

FW

WW

Wm

= +

⋅ = +

⋅1

21

22 2

cos coθγsen

ss cossecθ γ⋅

(04)Paraocálculode|R|façamosque

F y∑ = 0 (forçasverticais):

|R| ⋅ sen ρ – |W1| – |W

2| – |F| ⋅ sen (q – γ) = 0

|R| = [ |F| ⋅ sen (q – γ) + (|W1| + |W

2|)] ⋅ cossec ρ.

(06)Naequaçãoencontradaacima,

FW

Wm

= +

⋅1

22

cos θγsen

Notamosquepara|Fn| constante, à medida que|W1|aumenta,cosq

devediminuir,ouseja,oânguloqdeveaumentar.

(0)AdistânciadopontoAaoeixohorizontalvaley(q) = L – sen q,assim, o gráfico é de uma função senoidal:

(07)O sarcômero sofreumencurtamentodevidoaodesliza-mento das proteínas das miofibrilas.


Considerequedeterminadotrechosinuosodeumaavenidapossaser descrito pela região compreendida entre os gráficos das funções

f(x)=cos kxeg(x)=5 + cos kx,emque k = 12

rad · m–1e0≤x≤16,

nosistemadecoordenadascartesianasxOy,quetemometrocomounidadedemedidanoseixosOxeOy.

Combasenessasinformações,julgueositensseguintes.

Omenorvalordeg(x)ocorrequandox=2π.

2Afunçãof(x)édecrescentenointervalo0≤x≤2π.

113 A figura a seguir pode representar corretamente o gráfico, no sistemacartesianoxOy,dafunçãop(x)=–2×[f(x)–1]×[g(x)–4],para0≤x≤2π.

02 3

2 2

0,5

1

1,5

2

x

y

4Suponhaqueo trechoda avenida referidono textodeva serrevestidocomumacamadauniformedeasfaltode10 cmdees-pessura.Nessascondições,calcule,emm³,ovolumedeasfaltoaserempregadonesserevestimento.Multipliqueovalorobtidopor100edesconsidere,paraamarcaçãonafolhaderespostas,a parte fracionária do resultado final obtido, após realizar todos oscálculossolicitados.

2

1º vestibular/2008

SOLUÇÃO

Itens Certos:

Itens Errados:

Justificativas:

Para julgar os próximos itens devemos analizar os gráficos abaixo.

y

x

g x( )

f x( )

2 4 5 6

(111) Graficamente

(112) Graficamente

(3)P(x) = –2 ⋅ [f(x) – 1] ⋅ [g(x) – 4]

P x x x( ) = −

−

⋅

+

22

12

1cos cos

P x x( ) = − ⋅

−

22

12cos

P x x( ) = − ⋅ + +2 12

2cos

P x x

P x x( ) = − − +

( ) = −

cos

cos

1 2

1

cos cos

cos cos

x x

x x

=

−

= +

22

1

21

2

2

2

y2

1

2

23 2 x

(4)V = 16 ⋅ 5 ⋅ 0,1 V = 8m3

800

Há, na natureza, certos materiais que apresentam desintegraçãoradioativa. Por meio desse processo de transição, os núcleos dosátomosinstáveisemitem,espontaneamente,determinadapartículapara adquirir uma configuração mais estável. Uma maneira de re-presentarmatematicamenteoprocessodedecaimentodosnúcleosdosátomosdeummaterial radioativoépormeiodaexpressão

N(t)=N0e–λt,emqueN0éonúmerodeátomosinstáveisinicialmentepresentes,noinstantet=0,N(t)éonúmerodeátomosinstáveisqueaindanãosedesintegraramatéoinstantet,medidoemanos,eλéumaconstante,quedependedomaterial.

Combasenessasinformações,julgueospróximositens.

5Se,para t=20anos,N1éonúmerodeátomos instáveisdomaterialreferidoacimaqueaindanãosedesintegraram,então,

em t n= +l 2 20λ

, restarãoN1

2átomos instáveis desse material

queaindanãosedesintegraram.

6SeTéoinstanteemque N T N( ) ,= 0

3,então N t N

tT( ) =

−

03 .

7Considere-seque N T Nm( ) ,= 0

2,emqueTmédenominadomeia-

vidadomaterial.Set0étalquet0=10Tm,então,noinstantet0,maisde99%domaterialjáterásedesintegrado.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (115), (116), (117)

Itens Errados:

Justificativas:

(5)Parat=20temos:

N N e

para t

1 0207

2 20

= ⋅

∈ = +

−

lnλ

teremos:

N N e n

N e n

2 0

02 20

2 20= ⋅ +

= ⋅

−

− −( )

λ

λ

λl

l

N N e e

N e

n2 0

2 20

0201

2

= ⋅( )= ⋅ ⋅ ∴

− −

−

l λ

λ

N N e N2 0

20 112 2

= ⋅ ⋅ =− λ

(6)

Se N T N N e

ee e

T

T

n T

( ) = = ⋅ ∴

= ∴=

−

− −

− −

00

1

3

33

λ

λ

λl

λ = lnT

3

Por fim:

N T N e N e

N t N

TnT

tT

t

( ) = ⋅ = ⋅

( ) = ⋅

−

−

0 0

3

0 3

λl

(7) N T N e N NmTm( ) = ⋅ = = ⋅−

00

0212

λ

N t N e N NTm0 0

100

1001

2 10240 00097( ) = ⋅ = ⋅

= =−λ ,

(0,097%restadesintegrar)

No início do século XX, um estudo envolvendo duas variedades de trigo contribuiu para a compreensão da herança quantitativa.Nesseestudo,plantaspurasqueproduziamsementesvermelhasfo-ramcruzadascomplantaspurasqueproduziamsementesbrancas,etodasasplantasdageraçãoF1produziamsementesquepossuiamcoloraçãointermediáriaentreostiposparentais.

3

UnB 2008/1 – 2º dia

Depois do autocruzamento dos indivíduos dessa geração, verifi-cou-se,entreassementesproduzidaspelageraçãoF2,umagrada-çãocontínuadecoresdovermelhoaobranco,sendoquecercade1/16 das sementeseramvermelhase1/16 erambrancas comoostiposparentais,eaproximadamente14/16tinhamcoresintermedi-árias que poderiam ser classificadas em três categorias: rosa-claro, rosa-médioerosa-escuro.

Esses resultadossugeriramqueacordassementesnessasvarie-dadesdetrigoeradeterminadapordoisparesdealelos,localizadosemdoislocidiferentesmasagindosobreamesmacaracterística,eproduzindoefeitoscumulativos.

E.J.GardnereD.P.Snustad.Genética.RiodeJaneiro:Guanabara,986,p.390(comadaptações).

ConsiderequeogenótipodostiposparentaismencionadosnotextosejamAABBeaabb,respectivamenteparaasplantasqueproduziamsementesvermelhasebrancas,ejulgueositensaseguir.

8DocruzamentoentreindivíduosAaBbdageraçãoF1,espera-se1/16dedescendentesqueproduzemsementesbrancas,4/16 dedescendentes queproduzem sementes da categoria rosa-cla-ro,6/16dedescendentesqueproduzemsementesdacategoriarosa-médio,4/16dedescendentesqueproduzemsementesdacategoria rosa-escuro e 1/16 de descendentes que produzemsementesvermelhas.

9AprobabilidadedesurgirumdescendentecomogenótipoAaBbdo cruzamentoentreumaplantaqueproduz sementesverme-lhas(AABB)comumaplantaqueproduzsementesdacategoriarosamédio(AaBb)émaiorqueaprobabilidadedesurgirumdes-cendentecomomesmogenótipoAaBbdocruzamentoentreduasplantasqueproduzemsementesdacategoriarosa-médio(AaBb).

120 Considere-se que, tendo sido exposta à radiação, uma plan-tacomgenótipoAabb tenhase tornadoAab-.Seessaplantafor cruzada com plantas que produzem sementes vermelhas(AABB),todasasdescendentesproduzirãosementesdacate-goriarosa-escuro.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (8)

Itens Errados:(9)

Justificativas:

(9)1º :Cruzamento AABB AaBb

Gametas AB

ABAbaBab

×

Descendentes

AABBAABbAaBBAaBb

−−−−

25252525

%%%%

2º :Cruzamento AaBb AaBb

Gametas

AB ABAb AbaB aBab ab

×

AB Ab aB ab

AB AaBb

Ab AaBb

aB AaBb

ab AaBb

AaBb = = =4

1614

25%

NosdoiscruzamentosaprobabilidadedeumdescendenteAaBbé25%.

(20)Cruzamento:AABB x Aab

Gametas:AB Ab

ab

Descendentes:AABb 50%rosaescuro

AaBb 50%rosamédio


Considereumconjuntodepontosemumsistemadecoordena-dascartesianasxOy, identificado com o plano complexo, sendo cada pontoP(x,y)correspondenteaonúmerocomplexoz=x + iy,emque

i = −1. Considereaindaqueessespontosestejamdistribuídosnosdoissubconjuntosdescritosaseguir.

Subconjunto I:Quarentapontos,vintedosquaisencontramseso-breumamesmaretaeosdemaisemumsemicírculo,comomostraafigura abaixo. Dessa forma, quaisquer três pontos que se encontram nosemicírculonuncaestãoemlinhareta.

Subconjunto II:Npontos,cadaumdelesrepresentandoumdosvérticesdeumpolígonoregular,cujasomadosângulosinternoséigual a q. Esse polígono encontra-se inscrito na circunferência decentronaorigemeraio1.

Combasenessasinformações,julgueositensaseguir.

121 Escolhendo-se ao acaso três pontos do subconjunto I, a proba-bilidadedeserpossível formarumtriângulo tendoessestrêspontoscomovérticeséinferiora0,75.

22SeospontosP,Q,R,SeT do subconjunto I, como ilustra a figura a seguir, são tais que, no triângulo PRQ,ocomprimentodoladoPRéigualaocomprimentodoladoRQeosegmentoRTéparaleloaoladoPQ,entãoaretaquecontémosegmentoRT

éabissetrizdoângulo QRS .

P

Q

T

S S

23Seq= 1.080º,entãoN=6.

124 Se o polígono que origina o subconjunto II tiver 10ladoseseumdosvérticesdessepolígonoestiversobreoeixoOxpositivo,

então z i= +cos 75

75

π πsen também será um dos vértices desse

polígono.

25Sez1=3–4iez2=2+3isãopontosdoplanocomplexo,entãoz=z1z2encontra-senoprimeiroquadrantedesseplano.

26Seéonúmerocomplexoconjugadodez,entãoasúnicassolu-çõesdaequaçãosãoz=0ez=1.

Aindacombasenasinformaçõesdotexto,façaoquesepedenosdoisitensaseguir,quesãodotipoB.

4

1º vestibular/2008

27Calculeonúmeroderetasdistintasquepodemserformadaspas-sando por pelo menos dois pontos quaisquer do subconjunto I.

128 Considere que o polígono que origina o subconjunto II tenha 25 ladosequesejaconstruídoumprismaregular tendoessepolígonocomobase.Nessasituação,calculeonúmerodedia-gonaisdesseprisma.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (22),(24),(25)

Itens Errados:(2),(23)e(26)

Justificativas:

(2) P C CC

= −403

203

403

P = ⋅−

⋅

⋅

4037

20!3! !

!3! 17!

40!37! 3!

20 13 10 6

20 13

P = −9880 11409880

P = 87409880

P ≈ 0 8846,

(22)Comootriângulo PQRéisósceles,temosRPQ = PQR.

Como PQ RT// , temos que RPQ = SRT (Ângulos corre-spondentes)ePQR = QRT (Ângulosalternosinternos).

(23)Si =(n – 2)⋅180º (n – 2) ⋅ 180º = 1080º (n – 2) = 6 n = 8

(24)

Comotrata-sedeumpoligonoregularadiferençaentreosargu-

mentosdedoispontosconsecutivosseráiguala210 5

π π= .

Como argumento de um deles é o os dos outros serãoπ π π π π π π π π5

25

35

45

65

75

85

95

, , , , , , , , etodostemmódulos1.

Portanto z i= + ⋅cos sen75

75

π πseraumdestespontos.

(25)z = 18 + i

(26)z = x + yi

z2= (x2 – y2) + 2xyi

x y xxy y

x x yx y

2 2 2 2

20

2 1 0− =

= −

⇒

− − =+( ) ⋅ =

Como 2 1 0

12

0x y

x

ouy

+( ) ⋅ = ⇒

= −

=

Se: x

y

y

y

= −

+ − =

=

= ±

12

14

12

0

34

32

2

2

z i

ou

z i

= − +

= − −

12

32

12

32

Se:y = 0:

x xx

x

2 00

1

− ==

=ou

z

z

=

=

0

1ou

(27) C C402

202 1

402 38

202 18

1

− +

⋅− +!

! !!

! !

20 10

780 – 190 + 1 591

(28) Cdiagonais das faces laterais

diagonais d

502 25 2

2 25 3 252

− ⋅ −⋅ −( ) ⋅

aas bases

arestas

− 75

502 48

50 22 25 75!! !⋅

− − ⋅ −

25

1225 – 600 – 75 625 – 75

550

Nos dois temas a seguir, que são do tipo B, faça o que se pede,desconsiderando,paraasmarcaçõesnafolhaderespostas,apartefracionária do resultado final obtido, após realizar todos os cálculos solicitados.

29Considereafiguraabaixo,naqualdoisobjetosdemassasm=10 kg estão presos a fios de comprimento L=1 m.Conside-reaindaqueessesobjetospossuemcargasQ1=0,6µCeQ2=2,0µCeestãoemumlocalemqueaintensidadedaacelera-çãodagravidadeéiguala10 m/s2eaconstanteeletrostáticadomeioéiguala9 × 109 N·m2·C–2.Combasenessasinformações,calculeooânguloq, representado na figura, para a situação deequilíbrio,sabendoqueq,nessasituação,émuitome-norqueradianoe,por isso,assumindoque,senq = 2 e cosq = 1.Multipliqueovalorobtidopor10.000.

5

UnB 2008/1 – 2º dia

L L

m m

30ConsiderequeumcorpoemoscilaçãolivrecomperíodoT1es-teja preso a um teto por um fio submetido a uma temperatura de0 ºC.Considereaindaque,quandosubmetidoaumatem-peraturae1.000 ºC, esse corpo, preso ao teto pelo mesmo fio, oscilalivrementecomperíodoT2.Nessasituação,sabendoqueo coeficiente de dilatação linear do fio é igual a 2,1 × 10–4 ºC–1,

calcule10 2

1

× TT

.

SOLUÇÃO

(129) 300

(130)

Justificativas:

(129) Da figura obtemos:

tg FP

eθ θ θ= ≅ ≅sen (qpequeno)

Assim: θ =

⋅kQ Qdmg

1 22

, eainda

senL

d Lsen hd

θ θ θ= ∴ = =2 2 2

Por fim: θθ

= ⋅ = ⋅KQ Qd mg

KQ Qh mg

22

22 24

,

θ

θ

3 1 22

9 6 6

3

49 10 0 6 10 2 0 10

4 1 10 10

27

= =⋅( ) ⋅( ) ⋅( )

⋅ ( ) ⋅ ⋅

= ⋅

− −KQ QL mg

, ,

1103 10 0 03 10000 300

6

2

−

−

∴= ⋅ = =θ θ, ,

(30) Lembrando que o período do pêndulo simples deve sercalculadodeforma

Tg

= 2π l , temos:

Tg g1

0 021

2 1=+ ∆( )

⋅ + ∆( )πα θ

π α θl

l

ou:

T T2 1 1 21= ⋅ ∴,

TT

2

1

1 1= , e: 10 112

1

⋅ =TT

Nointeriordasestrelas,porcausadasaltastemperaturas,sãoformadosnaturalmenteelementosquímicos.Asreaçõesaseguir,emque2D1representaumelementoquímicocomseunúmeroatômicoesuamassaatômica,ilustramprocessosdeformaçãodeátomosnointeriordasestrelas.

I 2D1 + 2D1 → 4He2 + energia

II 4He2 + 4He2 → 8Be4 + energia

Defato,oprocessomaiscomumdeformaçãodeátomoséoqueincorporaumátomodehélio,alémdeelementospreviamenteexis-

tentes.Porisso,osátomosqueapresentammassaatômicamúltiplade4 são os mais abundantes no cosmos, como mostrado no gráfico abaixo.

abundância cósmica dos elementos

H

C O

NaAl

SAr Ca

Fe

Ni

KTi

NeSi

N

He

0 5 10 15 20 25 30 35

Mg

número atômico

abun

dânc

ia(p

or10

átom

osde

Si)

6

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

1x10

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

Considerandoasinformaçõesapresentadas,julgueositensseguintes.

131 O fato de as reações I e II apresentadas ocorrerem no inte-riordasestrelas,comoreferidonotexto,écompatívelcomaconstataçãodequeénecessáriamuitaenergiaparasuperararepulsãoelétricaexistenteentreátomosreagentes.

132 A reação I corresponde a decaimento radioativo com emissão departículaalfa.

33Oelementoquímico2D1, indicado na reação I, é normalmente denominadodeutério,hidrogêniodemassaatômicaiguala2.

134 A configuração eletrônica do átomo formado na reação II é 1s22s2

2p4.Oelementoquímicoassociadoaesseátomoécomumnasmacromoléculasqueformampolímerosemseresvivos.

135 Considerando-se o gráfico apresentado, é correto afirmar que quantomaioraabundânciacósmicadeumelementoquímico,maiorasuaprimeiraenergiadeionização.

Joseph Silk. In: O big bang, a origem do universo. Brasília: UnB, 1998 (com adaptações).

SOLUÇÃO

Itens Certos: (3)e(33)


Justificativas:

(32)Éumafusãonuclearsememissãodepartículas.

(134) A configuração eletrônica é: 1s2 2s2.Eoelementoéoberílioquenãoocorrenasmacromoléculasdepolímeros.

(35) As maiores energias de ionização estão presentes nosgases nobres. No gráfico o elemento de maior abundância cósmicaéohidrogênioquenãoéumgásnobre.

AobservaçãodeestrelaseplanetasérealizadadesdeaAntigui-dade,períodoemqueosgregosformularamteoriassobreaorgani-zaçãoeofuncionamentodouniverso.Paraacorretaobservação,éfundamentalsaberseoreferencialnoqualseencontraoobservadoréounãoacelerado,poisváriosfenômenospodemdecorrerdofatodeoobservadorseencontraremumreferencialacelerado.

Nessecontexto,considereolançamentodeumprojétilobliqua-mente em relação à superfície da Terra, considerada plana, visto de doisreferenciaisdistintos:umreferencialS0, definido pelo sistema decoordenadasxOy,emqueoeixoOy é perpendicular à superfície

6

1º vestibular/2008

daTerraeoeixoOx encontra-se no plano que define a superfície daTerra;eumreferencialS1 definido pelo sistema de coordenadas x’Oy’,obtidopelarotaçãodeS0deumânguloq,nosentidoanti-ho-rário, como mostra a figura abaixo.

x

y x’y’

superfície da Terra

trajetória do

lançamento

do corpo

0

Apartirdessasinformações,julgueositensaseguir.

36Sabendo-sequeaorealizaremobservaçõesdomovimentodosplanetasosgregosdaAntiguidadeestavamemumreferencialacelerado,écorretoinferirque,nessasobservações,erapossí-velque,emdeterminadosmomentos,algunsdosplanetasre-trocedessem,emvezdesemoveremsempreemummesmosentido.

37Oheliocentrismo,queteveGalileucomoumdeseusdefensores,começouaprosperar, como teoriadaorganizaçãodoscorposcelestes,apartirdostrabalhosdeNicolauCopérnico,noinícioda Revolução Industrial.

38 Para 02

< <θ πe desprezando-se a resistência do ar, o lança-

mentocitadonotextoapresenta,segundooreferencialS0,ummovimentonadireçãoOycomaceleraçãoconstanteenão-nulaeummovimentouniformenadireçãoOx.NoreferencialS1,omovimentoapresentaaceleraçãoconstanteediferentedezerotantonadireçãoOx’comonadireçãoOy’.

39Nasituaçãoacima,oreferencialS0éinercial,enquantoorefe-rencialS1éacelerado.

40Considere-seque,nolançamentodescrito,oprojétilsejalança-

docomvelocidadev0eânguloπ2

, emrelaçãoaoeixoOx.Nessa

situação,noreferencialS0,oprojétilsemoverásemprenosen-tidopositivodoeixoOx;noentanto,noreferencialS1,épossívelqueoobservadorvejaoprojétilmovendo-senosentidocontrá-rioaosentidopositivodoeixoOx’,emdeterminadointervalodetempo,mesmodesprezando-searesistênciadoar.

141 Devido às descobertas de Copérnico, a visão atual da física com relaçãoaouniversoéheliocêntrica.

SOLUÇÃO

Itens Certos: (36),(38)

Itens Errados:(37),(39),(40)e(4)

Justificativas:

(137) Os trabalhos de Copérnico são anteriores à revolução in-dustrial;

(39)Ambossãoinerciais;

(40)Nessasituaçãotemosumlançamentovertical,ouseja,oprojétilnãosemoveemOx.

(4)Avisãoatualnãocolocaosolnocentrodouniverso(he-liocentrismo);

Aformageométricadealgumasgaláxias,como,porexemplo,ada Via Láctea, pode ser modelada, em escala, pela seguinte constru-ção:nosistemadecoordenadascartesianasxOy,aespiraléformadaporsemicírculoscujoscentrosestãonoeixo Ox.Oprimeirosemicír-culo,D0,construídonosemiplanoy≤0,temocentronaorigemeraior0=1 m, como ilustra a figura I acima. O segundo semicírculo, D1,construídonosemiplanoy ≥ 0,comraior1>r0,étalqueasex-tremidadesesquerdasdossemicírculosD0eD1 coincidem (figura II). OsemicírculoD2éconstruídonosemiplanoy ≥ 0,comraio

r2> r1 e coma extremidadedireita desse semicírculo coincidindocomadosemicírculoD1 (figura III). A construção da seqüência D3, ...,Dn de semicírculosprosseguedessa forma.Duasmaneirasdistintasdeseremescolhidososraiosdossemi-círculosD1,D2,...,Dn são definidas pelas condições a seguir.

Condição I:oraiodecadasemicírculoéigualaoraiodosemicírculoanterioracrescidode1 m;

Condição II:oraiodecadasemicírculoéigualaodobrodoraiodosemicírculoanterior.

Combasenessasinformações,econsiderandoqueaunidadedeme-didadoseixoscartesianoséometro,julgueositensqueseseguem.

42 A equação da reta que passa pelos pontos de interseção dosemicírculoD0comapartepositivadoeixoOxecomapartenegativadoeixoOyéx+y=1.

43Oponto(7, 0) pertence à espiral construída de acordo com a condição I.

44SeD0,D1,D2,...,Dnforemossemicírculosconstruídossegundoa condição I, então a distância dos centros desses semicírculos com relação à origem do sistema xOy seráuma funçãocres-centeden.

45SeossemicírculosforemconstruídosdeacordocomacondiçãoI, então o comprimento da espiral, do ponto inicial de D0atéoponto final do semicírculo D10,seráiguala66πm.

46 Se uma partícula percorrer a trajetória da espiral construídasegundo a condição I, no sentido horário, com velocidade linear constante,então,napassagemdoprimeirosemicírculoparaosegundo,aintensidadedaaceleraçãoradialdapartículadimi-nuirápelametade.

47Ospontos(4, 0),(6, 0),(8, 0)e(10, 0) não pertencem à espiral construída de acordo com a condição II.

148 Se os semicírculos forem construídos a partir da condição II, en-tãoocomprimentodaespiral,dopontoinicialdeD0atéopontofinal do semicírculo D9,seráiguala1.022 π m.

49 Considere que uma partícula percorra a trajetória da espiralconstruída a partir da condição II, no sentido horário, e que a intensidadedaforçacentrífugaqueatuasobreelasemantenhaconstante em toda a trajetória. Nessa situação, a velocidadeangularwndapartículavariasegundoaexpressãown=2nk,emquekéumaconstanteen≥0éumnúmerointeiroqueindicaosemicírculoDnnoqualapartículaseencontra.

50Umapartículaquesemovecomvelocidadeangularconstantew sobre a espiral construída segundo a condição II terá, em cada instantet,aposiçãodesuaprojeçãosobreoeixoOxdescritapelaexpressãox(t)=rncos(wt–π),emquetéotempotranscor-ridodesdeoinstanteemqueapartículaseencontravanopontoinicialdeD0ernéoraiodosemicírculoDnnoqualapartículaseencontranoinstantet.

7

UnB 2008/1 – 2º dia

SOLUÇÃO

Itens Certos: (46) e(47)


Justificativas:

(42)Aequaçãodaretaquepassapelospontos(0, –1)e(1, 0)éx – y=1

(43) C0(0, 0) er0=1

C1(1, 0) er1=2

C2(0, 0) er2=3

C3(1, 0) er3=4

C4(0, 0) er4=5

C5(1, 0) er5=6

Nessecasoospontos(–5, 0)e(7, 0) pertencem à circunferência.

(44)Deacordocomoqueobservamosnoitemanteriorquetaldistânciasealternaentre0e1.

(45) π π π π ππ π

π+ + + + + =+( ) =2 3 10 11

112

66...

(46)Aaceleraçãoradiaissão:

a vr1

2

1

= e a vr

vr

a a

2

2

2

2

2

21

2

2

= =

∴ =

(47) C0(0, 0) er0=1

C1(1, 0) er1=2

C2(–1, 0) er2=4

C3(3, 0) er3=8

C4(–5, 0) er4=16

C5(11, 0) er5=32

Comistoospontos:

(–1, 0), (1, 0), (3, 0), (–5, 0), (11, 0) (–21, 0), (43, 0), ...

(48) π π π π ππ

π π

+ + + + + =−

−=

= −[ ] =

2 4 8 5122 12 1

1024 1 1023

10

...

(49)Aforçacentrífugasentidapelapartículavale:

F mw r

F mwcf n n

cf nn

= ⋅ ∴

= ⋅( ) ∴−

2

2 11 2

ωnef

n

Fm

212

=⋅ − , ,ou

ω ωncf

n n n n

Fm

k k2 22 2 2

=⋅

= ⇒ =

(50)ApartirdeD1ocentrodacurvanãoémaisaorigemesimXn,assim,deveríamoster:

x t x r t ntn n( ) cos= + ⋅ −( )ω

ciÊncias da natureza e matemÁtica -...

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