46

Chap 6. Thick Lenses

용어 정의(glossary)

Principal plane: Paraxial 영역에서 평면을 형성하는 surface. 이것은 광축이 1H (first), 또는

2H (second)에서 만나는 면이다.

Nodal points: 들어오는 광과 나가는 광의 연장선이 광 축과 만나는 점.

Cardinal points: 2 focal, 2 principal, 2 nodal points를 합하여 cardinal points라 한다.

일반적으로 1 2 1 2 / 3H H VV

6.1 Thick Lens Geometry

Thin lens와 마찬가지로 Gaussian form은

1 1 1

p i f (6.1)

Thick lens에서 두께 d 는 무시되지 않으며 p 와 i 는 principal plane으로부터의 거리이다.

1 2 1 2

1 1 1 ( 1)( 1)[( ) ]

n dn

f r r nr r

(6.2)

1

2

( 1)f n dh

nr

(6.3)

2

1

( 1)f n dh

nr

(6.4)

47

닮은 꼴 삼각형에 의해 Newtonian form of lens equation은

2

i ox x f (6.5)

i i

o o

y x fm

y f x (6.6)

0d 이면 식들은 모두 thin lens 식들로 환원된다.

(예) 1 20cmr , 2 40cmr , 30cmp , 1cmd , 1.5n 상은 1V 으로부터 30cm에 있을 때

1 1 1 (1.5 1)(1)(1.5 1)[( ) ] 26.8cm

20 40 (1.5)(20)( 40)f

f

1

(26.8)(1.5 1)(1)0.22cm

(1.5)( 40)h

2

(26.8)(1.5 1)(1)0.44cm

(1.5)(20)h

1 0h 은 1h 이 vertex 1V 의 우측에 있음을 의미하며, 2 0h 은 vertex 2V 의 좌측에 있음을 의

미한다.

30 0.22 30.22cmp

1 1 1238cm

30.22 26.8i

i

6.2 두 개의 Thick Lens로 이루어진 Compound Lens

The magnification: 1 2

1 2

( )( )i i i

mp p p

(6.7)

여기서 p 와 i 는 전체적인 combination에 대한 물체와 상의 거리이다.

48

p일 때 1p p , 1 1i f , 2 1 1( )p i d d f , i f

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1 p fi

p i f p f

(6.8)

이들을 (6.7)에 대입하면

1 2

2

f if

p 또는 1 2 2 1 2

2 2 2 2 2

( )f p f f f

fp p f p f

(6.9)

그러므로 두 개의 thick lens의 복합(combination)에 의한 실질적인 초점거리(effective focal

length)는

1 2 1 2

1 1 1 d

f f f f f (6.10)

전체 system에 대한 principal plane: 11 1

2

fdH H

f , 22 2

1

fdH H

f (6.11)

만일 thin lens들이라면 11H , 12H 그리고 21H 과 22H 는 coalesce, 예로서 그림 5.31의 thin

lens로 돌아가서

1 30cmf , 2 20cmf 라면 그림 6.6 처럼

1 1 1 1030cm

30 20 ( 30)(20)f

. . . 40cmb f l

. . . 15cmf f l

이들은 thin lens 이기 때문에

1 1

(30)(10)15cm

20O H

2 2

(30)(10)10cm

30O H

두수는 positive 이므로 planes 은 1O 과 2O 의 우측에 놓인다.

똑 같은 과정이 여러 개의 lens 에도 적용된다.

321

2 3

( )( )ii

f fp p

(6.12)

6.3 Analytical Ray Tracing

49

그림에서 중앙의 광축(meridional ray) 근방으로 들어오는 광에 대해 점 1P 에서 Snell's law 를

적용하면

1 1sin i i (6.12)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )i i t t i i t tn n n n (6.13)

1 1 1/y r (6.14)

(6.14)를 (6.13)에 대입하면

1 11 1 1 1

1 1

( ) ( )i i t t

y yn n

r r

1 11 1 1 1 1

1

( )t it t i i

n nn n y

r

(6.15)

(6.14)는 첫 번째 표면에서 유지되는 refraction equation 으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

1 1 1 1 1 1t t i in n y A (6.16)

점 2P 에서

2 1 21 1 1 21 1tan t ty y d y d (6.17)

(6.17)을 transfer equation 이라 한다. Paraxial ray 들에 대해

21 2 1d V V

광 추적에 대한 Matrix method

일반 식의 유도

Matrix의 시작 수식:

1 1 1 1 1 1t t i i in n y A (6.18)

1 10t iy y (6.19)

이것은 (6.16)식 1 1 1 1 1 1t t i tn n y A 을 단순히 1y 대신에 1iy 으로 한 것에 불과하다. 그리고 점

1P 의 높이 1iy 은 렌즈 내에서의 높이 1ty 으로 놓았다. 여기서 1A 은 좌측 면의 lens power(초점

거리의 역수)이다.

1 11

1

t in n

R

A

(6.18)과 (6.19)식을 matrix form으로 쓰면

1 1 1 11

1 1

1

0 1

t t i i

t i

n n

y y

A (6.20)

이것을 다시 쓰면

1 11 1 1 1

1 1

/ /

0 1

t ii t t

t i

n n n

y y

A (6.21)

이것은 2 1 column matrices이다.

이것은 렌즈에 들어오기 전과 굴절 후에 점 1P 의 양 side 대한 ray들로서 추측되어질 수 있다.

50

따라서 두 광에 대해 matrix를 다음과 같이 표현한다.

1 1

1

1

t t

t

t

n

y

M , 1 1

1

1

i i

i

i

n

y

M (6.22)

2 2 matrix는 refraction matrix로 정의된다. 즉,

1

1

1

0 1

A (6.23)

(6.20)을 (6.22)와 (6.23)으로 다시 쓰면

1 1 1t i M M (6.24)

이것은 첫 번째 표면에서 굴절(refraction)하는 동안 1 이 ray 1iM 을 1tM 으로 변환

(transform)하는 것을 의미한다. 그림에서 2 2 1 1i i t tn n 이므로 이것을 위와 같이 matrix form으

로 나타내기 위하여 변형하고 또한 2iy 를 표현하면

2 2 1 1 0i i t tn n (6.25)

2 21 1 1i t ty d y (6.26)

여기서 2 1i tn n , 2 1i t . 2iy 는 (6.17)식 2 1 21 1ty y d 에서 2y 를 2iy 로 다시 써 만든 수식

이다. (6.25)와 (6.26)을 하나의 matrix로 표현하면

2 2 1 1

2 21 1 1

1 0

/ 1

i i t t

i t t

n n

y d n y

(6.27)

Transfer matrix: 21

21 1

1 0

/ 1td n

(6.28)

점 1P 에 전달된 ray(즉, 1tM )를 가지고 점 2P 에 입사광으로 transform한다. 즉, 2P 의 입사광의

column matrix는

2 2

2

2

i i

i

i

n

y

M (6.29)

따라서 (6.25)와 (6.26)은 단순히 다음과 같다.

2 21 1i t M M (6.30)

(6.24)와 연계하면

2 21 1 1i i M M (6.31)

2 2 matrix가 된 21 1 은 1P 에 들어온 광을 2P 에 입사하는 광으로 transfer하는 matrix가 된

다. 여기서 행렬식(Determinant) 값은

21 21 1| | (1)(1) (0)( / ) 1td n (6.32)

1 1| | 1 ( )(0) 1 A (6.33)

Matrix 곱(product)의 determinant는 각각의 determinant의 곱과 같으므로 21 1| | 1 .

51

증명:

11

21 1

21 1 21 1 1 21 1

1 0 11

/ 1 / / 10 1t t td n d n d n

AA

A

1

2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

2 1 1 1 2 1 1

1| | [ ( / ) 1] ( / ) ] 1

/ ( / ) 1t t

t t

T R d n d nd n d n

AA A

A

위의 렌즈 그림의 두 번째 interface에 대해 똑 같은 과정을 수행하면

2 2 2t i M M (6.31)

여기에 (6.31)을 대입하면

2 2 21 1 1t i M M (6.32)

System matrix는 다음과 같이 정의 된다.

2 1 1A (6.33)

12 1 2

21 1 21 1 1 21 1

1 0 11 1 1

/ 1 / / 10 1 0 1 0 1t t t

Ad n d n d n

AA A A

A

2 21 1 1 2 1 21 1 2

21 1 1 21 1

1 / /

/ / 1

t t

t t

d n d nA

d n d n

A A A A A

A

이것을 2 2 성분으로 표시하자.

11 12

21 22

a aA

a a

(6.34)

2 21 1 1 2 1 21 1 211 12

21 1 1 21 121 22

1 / /

/ / 1

t t

t t

d n d na a

d n d na a

A A A A A

A (6.35)

A 의 determinant도 역시 | | 1A . A 의 element들은 물리적인 lens parameter, 즉, 두께, 굴절

률(index), 그리고 A 속의 반경에 의해 기술되는 양이다.

그러므로 lens의 고유 특성이며 구조에 의해서만 결정되는 cardinal points는 A 로부터 유추되어

야만 한다. 식 (6.35)의 경우에, Sytem matrix A는 첫 번째 면에 있는 입사(incident) ray를 두

번째 면에서 나오는 ray로 transform 하므로 이것을 21A 으로 쓴다.

Image Formation

다음 그림에서 첫 번째 operator 1o 는 물체로부터의 기준점 oP 에서 1P 까지 transfer한다. 그리

고 나서 다음 operator 21A 은 그 ray를 렌즈를 통해 운반하고 마지막 transfer 12 가 이것을

image 평면 IP 로 가져간다. 그러므로 image point에서 그 ray는 다음과 같이 주어진다.

12 21 1I o oA M M (6.36)

여기서 oM 는 oP 에 있는 ray이다. 성분 형태로 표시하면

52

11 12

12 21 22

1 01 0

/ 1/ 1

o oI I

o o oI I I

nn a a

d n yy d n a a

(6.37)

1 1o o i M M , 21 1 2i iA M M 인 것을 주목하면 12 2t I M M .

여기서 밑 첨자 0,1,2, , I 는 점 0 1 2, , ,P P P 에 해당하고 첨자 i 와 t 는 incident 또는

transmitted를 나타낸다.

Refraction matrix에 의한 operation은 i 에서 t 로 변하지만 찾아가는 위치 점은 변하지 않는다.

이와 달리 transfer matrix에 의한 operation은 분명히 후자를 변하게 한다. A element들의 물

리적인 특성은 (6.37)을 expanding 함으로써 발견되지만 이 일을 하는 것은 너무 깊이 들어가는

일이므로 대신에 (6.35)에서 여러 항을 시험해 보도록 한다. 예를 들면,

12 1 2 2 1 21 1/ ta d n A A A A

간단히 하기 위하여, 렌즈가 공기 속에 있다고 가정한다면, 그때

11

1

1tn

R

A , 1

2

2

1tn

R

A

이것은 5장에서 공부한 Dioptric Power이다. 이것을 위 식에 대입하면

1 2112 1

1 2 1 2 1

( 1)1 1( 1)[ ]t

t

t

n da n

R R R R n

이것은 thick lens의 초점 거리에 대한 (6.2)의 표현이다. 다른 말로 표현하면

12

1a

f (6.38)

만일 매질이 아래 그림처럼 렌즈의 좌우에서 다르다면

53

1 212

i t

o i

n na

f f (6.39)

1 111 1

12

(1 )in aV H

a

(6.40)

2 222 2

12

( 1)tn aV H

a

(6.41)

Matrix method의 적용 예

이 technique이 어떻게 사용될 수 있는지에 대한 예로 아래 그림의 Tessar lens에 적용해 보도록

한다.

이 system matrix는

71 7 76 6 65 5 54 4 43 3 32 2 21 1A

여기서

21

1 0

0.3571

1.6116

, 32

1 0

0.0811

1

, 43

1 0

0.0811

1.6053

,

그리고

1

1.6116 11

1.628

0 1

, 2

1 1.61161

27.57

0 1

, 3

1.6053 11

3.457

0 1

,

이들을 대입하여 matrices를 곱해 나가면 결국

71

0.848 0.198

1.338 0.867A

이것으로부터

5.06f , 1 1 0.77V H , 7 2 0.67V H

54

Thin compound lens의 matrix 적용 예

마지막으로 thin lens들로 이루어진 system을 matrix 표기법을 사용하여 분석한다. 여러 개의

thin lens가 배열되어 있을 때 분석을 하려면 앞에서 배운 matrix 기법을 사용하는 것이 가장 좋

고 대단히 편리한 방법이다.

(6.35)는 단 하나의 lens에 대한 system matrix를 기술한다. 만일 21 0d 이면 이것은 thin lens

와 일치한다. 이것은 21 을 unit matrix로 만드는 것과 동등하고 그 결과

1 2

2 1

1 ( )

0 1A

A A (6.42)

Thin lens의 power A 는 표면의 power들의 합이므로

1 1 1/

0 1 0 1

fA

A (6.43)

더불어 거리 d 에 의해 분리된 두 개의 thin lenses에 대한 system matrix는

2 1 1 2 22 1

1

1 / 1/ / 1/1 1/ 1 0 1 1/

/ 10 1 1 0 1

d f f d f f ff fA A

d d fd

따라서

12

1 2 1 2

1 1 1 da

f f f f f (6.44)

그리고 (6.40)과 (6.41)로부터

1 1

2

fdO H

f , 2 2

1

fdO H

f (6.45)

이들 수식은 이미 우리가 공부한 친숙한 수식들이다. 이러한 matrix 법을 사용하면 thin lens가 3

개, 4개 또는 그 이상 나열된 compound lens라 해도 초점거리, principal points를 쉽게 구할 수

있다.

6.4 Aberrations(수차)

Aberration: Gaussian optics(Paraxial theory)의 조건을 벗어나는 빛의 분산.

Aberration의 종류

Monochromatic aberration: Siedel aberration이라고도 하며 두 구룹으로 분류한다.

(a) Spherical aberration, Coma, Astigmatism

(b) Deformation, Petzval field curvature, Distortion.

Chromatic aberration: 굴절률 ( )n n 로 파장에 의존하는 양이기 때문에 주파수에 따라 초

점이 다름.

6.4.1 Monochromatic Aberrations

(a) Spherical aberration

55

First order (Paraxial)theory에서 벗어나는 aberration으로 다음의 이론 배경을 가지고 있다.

1 2 1 2OPL constanto in l n l n p n i

2 2 1/ 2[ ( ) 2 ( )cos ]ol r p r r p r

2 2 1/ 2[ ( ) 2 ( )cos ]il r i r r i r

( )0

d OPL

d : 1 2( )sin ( )sin

0o i

n r p r n r i r

l l

1 2 2 11

( )o i i o

n n n i n p

l l r l l (6.46)

Paraxial ray라면 근사적으로 ,o il p l i .

Paraxial region(First order approximation)에서 Gaussian form: 1 2 2 1n n n n

p i r

Paraxial theory는 그림에서 가 작을 때 개발된 렌즈 공식이다. 이때 sin 로 Snell’s law

는 i i t tn n 로 쓸 수 있다. 따라서 정확한 값을 대표한다고 말할 수 없다.

sin나 cos를 expansion하면

3 5 7

sin3! 5! 7!

,

2 4 6

cos 12! 4! 6!

Third order theory: 처음 두 항을 사용하는 theory로 보다 정확한 초점에 관한 정보를 얻을 수

있다. (6.46)의 ol 와 il 를 좀더 정확하게 계산하여 넣으면 third order에 대한 표현식을 얻는다.

2 2 21 2 2 1 1 21 1 1 1[ ( ) ( ) ]2 2

n n n n n nh

p i R p p R i R i

(6.47)

이 수식을 보면 first order theory는 2h 에 의하여 벗어나며, 아래 그림에서 보듯 h 가 커지면 초

점은 vertex에 가까워 진다. Spherical aberration은 optical axis 위에만 있는 물체 점을 말한다.

56

(b) Longitudinal spherical aberration(L.SA): Axial intersection이 paraxial focus iF 의 앞

(positive L.SA) 이나 뒤(negative L.SA)에 있는 aberration. Conversing lens의 경우 positive

L.SA, diverging lens의 경우 negative L.SA을 갖는다.

Transverse(lateral) spherical aberration: 만일 screen이 iF 의 앞에 놓이면 ray들이 축을 벗어난

지역의 평면에서 만난다. 이것을 약어로 T. SA라 한다.

이러한 spherical aberration을 없애려면 구면이 아닌 aspherical lens로 design되어야 한다.

(c) Coma (comatic aberration)

축으로부터 가까운 ray 임에도 불구하고 발생하는 primary aberration으로 principal plane이 휘

어진 평면이기 때문에 일어나는 aberration이다.

Coma는 아래 그림처럼 같은 지점에서 발산된 광이 평면의 여러 점에 분산되어 들어오는 것을

말한다. 축 상의 아래에 분산되는 것을 negative coma라하고 축 위에 생기는 것을 positive

coma라 한다.

57

(d) Astigmatism (비점 차수)

Object point가 optical axis로부터 떨어져 있을 때 들어오는 광들은 렌즈를 비 대칭적으로 만나

게 된다. 이때 astigmatism으로 알려진 third primary aberration을 야기한다.

(e) Field Curvature

Stigmatic image 표면이 Petzval field curvature로 나타나는 primary aberration.

(f) Distortion

Distortion은 거리에 따른 확대율(transverse magnification)의 차이에서 발생하는 일차

monochromatic aberration이다.

6.4.2 Chromatic Aberration

Chromatic aberration은 polychromatic light가 굴절률에 의해 초점이 퍼지는 현상으로 굴절률이

파장의 함수이기 때문에 나타나는 현상이다.

(6.16)식 Ray tracing equation(refraction equation)을 보면

1 1 1 1 1 1t t i in n y A

이 식은 굴절률을 포함하므로 광의 tracing이 파장에 따라 변함을 의미한다.

또한 thin lens equation에서

1 2

1 1 1( 1)( )n

f r r

은 굴절률은 포함하기 때문에 ( )n n 에 따라 초점이 변함을 의미한다. 초점거리는 가 증가하

면 초점거리도 증가한다.

(a) Axial chromatic aberration(A.CA): Red와 blue가 optical 축에서 만드는 초점거리의 차.

BF 가 RF 의 우측에 있으면 는 positive A.CA. 반대면 negative A.CA.

58

(b) Llateral chromatic aberration(lateral color): 축 상에 파장에 따른 상이 만들어 지는 차.

(c) Thin acromatic doublets

Convex와 concave를 적절히 조합하면 A.CA를 사라지게 할 수 있다.

※ 참고: 함수의 전개

아래 (1)을 계속적으로 미분하면

2

1 2( ) n

o nf x c c x c x c x (1)

2

1 2 3'( ) 2 3f x c c x c x

2

2 3 4''( ) 2! 3! 4 3f x c c x c x

5

3 4 5'''( ) 3! 4! 5 4 3f x c c x c x

0x 일 때: (0) of c , 1'(0)f c , 2''(0) 2!f c , 3'''(0) 3!f c ,

이 c들을 (1)에 대입하면 ( )

2''(0) (0)( ) (0) '(0)

2! !

nnf f

f x f f x x xn

(2)

(예제) Maclaurin 급수( 0x 근방에서의 함수 전개)

(a) ( ) sinf x x 의 급수 전개

(4)'( ) cos , ''( ) sin , '''( ) cos , sin ,f x x f x x f x x f x x

59

0x 일 때: (4)(0) 0, '(0) 1, ''( ) 0, '''( ) 1, 0,f f f x f x f x

3 5 7

sin3! 5! 7!

x x xx x

(b) ( ) cosf x x 의 급수 전개

(4)'( ) sin , ''( ) cos , '''( ) sin , cos ,f x x f x x f x x f x x

0x 일 때: (4)(0) 1, '(0) 0, ''( ) 1, '''( ) 0, 1,f f f x f x f x

2 4 6

cos 12! 4! 6!

x x x

(c) ( ) xf x e 의 전개

'( ) , ''( ) , '''( ) ,x x xf x e f x e f x e

0x 일 때: (4)(0) 1, '(0) 1, ''( ) 1, '''( ) 1, 1,f f f x f x f x

2 3 4

12! 3! 4!

x x x xe x

(d) ( ) i xf x e

(4)'( ) , ''( ) , '''( ) , ,i x i x i x i xf x ie f x e f x ie f e

0x 일 때: (4)(0) 1, '(0) , ''( ) 1, '''( ) , ( ) 1,f f i f x f x i f x

2 3 4 2 4 3 5

1 (1 ) ( )2! 3! 4! 2! 4! 3! 5!

i x x x x x x x xe ix i i x

cos sinx j x

(e) ( ) ln(1 )f x x 의 전개

(4)

2 3 4

1 1 1 1'( ) , ''( ) , '''( ) 2 , 6 ,

1 (1 ) (1 ) (1 )f x f x f x f

x x x x

0x 일 때: (4)(0) 0, '(0) 1, ''( ) 1, '''( ) 2, 4,f f f x f x f x

2 3 4

ln(1 )2 3 4

x x xx x

연습문제

60