Carregamento de Amplitude Variável

Prof. Dr. José Benedito Marcomini

NEMAF – Núcleo de Ensaio de Materiais e Análise de Falhas

Deformação-Vida ( x N)

DEFINIÇÕES E CONCEITOS

Descrição do Ciclo de Carregamento

Tensão,

max

min

Tensão média, m

Amplitude de Tensão, a Intervalo de Tensão,

a = (max - min )/2 m = (max + min )/2

= (max - min ) R = min / max

A = a / mRAZÃO DE AMPLITUDE

Repetição ou Variação de Carga

Tempo

Cargas em

solo

Te

ns

ão

Média em terra

Vôo médio

Carregamento

em vôo

Estudo do Espectro de Tensão Aplicada S

tress

Nível de Tensão S1

Nível de Tensão S2

Nível de Tensão S3

Nível de tensão S4

Frequencia dos Níveis de tensão Aplicados

n1 Ciclos de níveis S1

n2 ciclos de

níveis S2

ni ciclos de

níveis Si

n3 ciclos de

níveis S3

Dados S - N para vários níveis de tensão

N1 Números de ciclos para falhar se o componente é submetido

a somente S1 e assim por diante, sendo Ni Números de ciclos para

falhar se o componente é submetido a somente Si N

ível d

e T

en

são

Núm. De ciclos para falhar, N

N1

S1

Ni

Si

O dano acumulado total devido a uma história de

tensão aplicada

Assim, a fração de dano causado por Si em 01 ciclo

D

i =

1

Ni

k

k

3

3

2

2

1

1

i

i

1

i

N

n+.......

N

n

N

n

N

n=

N

nDD

n

A falha irá acontecer se

1N

nD

i

i Regra de Palmgren – Miner

ou regra de Miner

Comentários sobre a regra de MINER

- Modelo linear de dano acumulado.

- Não leva em conta a seqüência de aplicação de cargas ou tensões

Exemplo: A regra de Miner prediz o mesmo dano para sequências de

alta para baixa tensões e de baixa para alta tensões. Na práticas

estas histórias de carregamentos apresentam diferentes danos.

-Prediz que a taxa de dano acumulado é independente do nível de

tensão.

Em altas amplitudes de tensão, a nucleação de trincas ocorrerá em

poucos ciclos e em baixas amplitudes de tensão, quase toda vida é

gasta para nucleação.

Efeitos da regra de Miner sobre a curva S-N

n1

N´1 N1

S1

Ciclos para falhar (escala log)

Am

pl. d

e T

ensão

(escala

log)

Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação

das tensões S1 por n1 ciclos

N´1= (N1 -n1) é o novo valor de vida no nível S1 após ter sido

submetido a n1 ciclos.

N´2 N2

S2

Ciclos para falhar, (escala log)

Am

plit

ude d

e t

ensão

(esca

la lo

g)

Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação

de S1 por n1 ciclos

Se o nível S2 é aplicado, o componente falhará em N´2

ciclos, ao invés de N2.

Implementação da regra de Miner

1. Estabeleça a história de carregamento/tensão para a

estrutura;

2. Espectro de tensão:

Nível de tensão(Tensão alternada e média) versus o número de

ocorrências em uma unidade de operação (tal como dia, hora, ano, vôos,

etc.)

3. Analise a geometria do componente para Kt , etc.;

4. Obtenha os dados S-N para o material correspondente ao Kt e

níveis de tensão.

5. Calcule o dano acumulado por unidade de operação usando a

regra de Miner.

Exemplo da Implementação da regra de Miner

Um componente aeronáutico, sem entalhe e previamente sem

tensões, fabricado de liga de Al é submetido a uma tensão

alternada de 207 MPa e uma tensão média variável como segue:

m = 0 para 10 ciclos/vôo

m = 69 MPa para 6 ciclos/vôo

m = 138 MPa para 3 ciclos/vôo

m = 207 MPa para 0,2 “

m = 276 MPa para 0,1 “

m = 345 MPa for 0,05 “

Os dados S-N para o material sem entalhe é dado no diagrama.

a) Estime a vida em fadiga em número de vôos.

b) Usando um fator de espalhamento de 3 (coef. de

segurança), estime a vida segura em vôos se a média de vôo é de

45 min.

Diagrama S –N para diferentes

tensões médias. Liga de Al sem

entalhe

1 ksi = 6,895 MPa

Solução:

a

MPa

m

MPa

No. of Ocorr. por voô, n

No.de ciclos para falhar, N

[n/N] (106)

207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 207(30) 207(30)

0 69 (10) 138 (20) 207(30) 276(40) 345(50)

10 6 3

0,2 0,1

0,05

955.000 272.000 103.000 46.400 23.700 13.200

10,4712 22,0588 29,1262 4,31034 4,21941 3,78788

(n/N) 73,9738

A partir do espectro de tensões

Da curva S-N

-

Continuação:

Dano por vôo, Df = (n/N) = 73,9738 x 10-6

DanoTotal na vida, D =(Dano por vôo) x (Núm. de vôos)

Falha ocorre quando D =1

D =1 = 73,9738 x 10-6 x (Num. de vôos) =1

Num. de vôos estimados para falhar = 13.515

Num. de vôos seguros = 13.515/(fator de espalhamento)

Num. de vôos seguros = 4.505

Num de horas de vôos seguros = 4.505 (45/60)= 3.378 Hr.

Teoria do Dano Não Linear

Para superar os problemas na regra de Miner

-As teorias não lineares exigem constantes adicionais do material e

de geometria que devem ser obtidas a partir de ensaios.

- A teoria não linear leva em conta o efeito da história. Cálculo pode

ser trabalhoso.

- Elas fornecem uma melhor previsão do que a regra de Miner em

alguns históricos de carregamentos simples, mas não é garantia de

que ela funciona melhor do que a aplicação real da historia de

carregamento real.

Descricão geral das teorias não lineares:

D

n

N

p

O exponente, p, é função do nível de tensão.

Geralmente, 0 < p < 1

para p =1, recorre-se a regra linear do dano de Miner

Alta - BaixaD

ano,

D

0

1

0 1Razão de ciclos, n/N

S1

S2

•

•

•

n1/N1

n2/N2

A

B

Baixa - Alta

DBDB

Dano,

D

0

1

0 1Razão de ciclos, n/N

S1

S2•

• •

n1/N1

n2/N2

A

B

Dano DB no final dos blocos de carregamentos são diferentes.

S2

••

n1 n2

0

A B

S1

t•

•

S2

• •

n2 n1

0 A B

S1

t

(c)

CONTAGEM DE CICLOS PARA HISTÓRICO

DE CARREGAMENTOS IRREGULARES

RAIN FLOW

EXEMPLO

Em um local de interesse em um componente aeronáutico feito de uma liga de Ti-6Al-

4V da Tabela abaixo; o material é repetidamente carregado uniaxialmente com uma

história de carregamento da figura abaixo. Estime o número de repetições

necessárias para causar a falha do componente.

Constantes para a curva S-N para materiais estruturais -CPS ensaiados com tensão média igual a zero e sem entalhe e carregamento axial(Ref: Dowling)

S = 'f (2Nf)b = A(Nf)

b a=C+D logNf Materiais Sy Su

'f A b C D

Aços AISI 1015 (N) Man-Ten (HR) RQC-100 (R Q&T) AISI 4142 (Q&T, 450 HB) AISI 4340 (qualidade aeronáutica)

227 322 683 1584 1103

415 557 758 1757 1172

976 1089 938 1937 1758

886 1006 897 1837 1643

-0.14 -0.115 -0.0648 -0.0762 -0.0977

545 703 780 1529 1247

-69.6 -83.0 -68.9 -148 -137

Liga de Al 2024-T4

303

476

900

839

-0.102

624

-69.9

Liga de Ti Ti-6Al-4V (Solubilizada e envelhecida)

1185

1233

2030

1889

-0.104

1393

-157

(N) Normalizada, (HR) laminado a quente. Sy, Su , 'f, A,C e D estão em MPa. Os dados são para fadiga de alto ciclo 10

3 < N < 10

6

A contagem de ciclos inicia no primeiro ponto no nível A e termina quando ahistória retorna a este ponto, em A’. Considerando os eventos: A1-B1-A2 um ciclo é contado neste nível.

A2-B2-A3

A3-B3-A4

O próximo evento A4-C1-D1 será considerado mas não contado.

C1-D1-C2 outro ciclo de outro nível e assim por diante até 100 ciclos serem formados.

Neste ponto todos os ciclos foram considerados menos os ciclos A4, E e A’. Estesforam o maior ciclo que pode ser formado.

Ciclo j Nj min

MPa

max

MPa

a

MPa

Nfj Nj/Nfj

A-B

C-D

A-E

1

2

3

3

100

1

130

-140

-250

950

560

950

410

350

600

4,21X104

1,14X106

6,75X103

7,12X10-5

8,74X10-5

1,481X10-4

3,068x10-4

As constantes ’f e b para a liga de Ti-4Al-4V e a equação de SWT

b

f

a

f

b

ffa

N

N/1

max

maxmax

2

1

)0.(..........)2(

A estimativa do número de repetições pode ser obtida para :

repetições 3259 3,068x

1

1N

nD

10B 4-f

i

i

B f

Tensão Equivalente e Fator de segurança

Um procedimento alternativo é o calculo de um nível de tensão equivalente,

de amplitude constante que cause a mesma vida que a história de

carregamento de amplitude variável, se aplicada para o mesmo número de

ciclos.

Considere:

NB = ciclos da história de carregamentos;

Nf = ciclos para falhar = Bf x NB;

Para cada ciclo uma ar equivalente pode ser considerada a partir do par

amplitude de tensão e tensão média;

Tratar cada ciclo individualmente, de maneira que Nj = 1 e substitua os valores de

Nfj na primeira equação, obtendo:

f

arjbff

N

b

fjar

j fj

j

f

NN

NN

BB

/1

1

2

1

1

2

b

k

jB

b

arjjaq

b

jB

b

arjaq

b

ffaq

b

jB

b

arj

b

ff

b

j f

arj

B

f

NNN

N

NNNN

N

NN

B

BB

1

/1

1

/1

1

/1

/1

1

2

1212.

Para determinação do fator de segurança, a mesma lógica apresentada

pode ser aplicada, sendo a agora aq e a curva S-N sendo dada por:

bffaq N2

XX

N

NX

b

NS

aqaq

f

N

)ˆ........(ˆ

2

)ˆ........(ˆ

1NNX f

aq

aq

S

Uma história de carregamento é apresentada a seguir, sendo o

carregamento uniaxial aplicado em um CP não entalhado

fabricado de um aço AISI 4340. Estime o número de repetições

necessárias para falhar o CP.

j Nj min max a m Nfj Nj/Nfj

1

2

1

10

0

220

800

800

400

290

400

510

1,36 x 105

1,54 x 106

7,37 x 10-6

6,51 x 10-6

b

mf

a

f

ma

N

/1

minmaxminmax

2

1

2.................

2

’f= 1758 MPa e

b = -0,0977

repetiçõesxN

BNN

B fj fj

j

f

B

..000.72388,1/11 105

1

Considere a história de carregamento anterior e:

a) Estime a vida usando o método da tensão equivalente com

amplitude constante.

b) Se para esta história de tensões é esperada 1000 repetições,

qual o fator de segurança em vida e em tensão?

j Nj min max a m arj Nj x (arj)-1/b

1

2

1

10

0

220

800

800

400

290

400

510

517,8

408,5

6,036 x 1027

5,330 x 1027

MPax

bk

jB

b

arjjaq NN 8,435]11/137,1[ )0977,0(28

1

/1

10

000.7211

300.792

300.7921758

8,435

2

1

2

12

0977,0/1/1

f

f

f

b

f

aq

f

b

ffaq

NB

NN

Substituindo este valor em e calculando Nf:

O fator de segurança pode ser calculado como:

52,1

0,72100011

300.792

72

ˆ0977,0

2

XX

N

NX

b

NS

f

N x

DEFORMAÇÃO-VIDA ( x N)

Deformação - Vida Vs. Tensão Vida

100 103 106 N

Tensão

Metodologia

Def. - Vida Metodologia

Tensão - Vida

Fadiga de

baixo ciclo(FBC)Fadiga de alto ciclo

FAC

Tensão Nominal Vs Tensão Local

n

L

Carregamento

Descarregamento

Descarr. (Local)

Descarr. (Nominal)

Ainda que a tensão nominal esteja dentro do intervalo elástico, a tensão

local nos entalhes pode ser mais alta que o limite de escoamento.

A região do entalhe experimenta deformação permanente no

descarregamento (Zona plástica).

•

Tensão

Nominal n

Tensão

Local

L

Comportamento do Material

d0 l0

A0

Antes do Carreg.

A

l

d

Após Carreg.

Tensão Tensão de Eng. S = P/A0

Tensão Verd. = P/A

d0 l0

A0

Antes do Carreg.

A

l

d

Após Carreg.

Deformação

0

e Eng. de Def.l

ll

l-l

0

0

0

lnd

Verdadeira Def.

0l

l

l

ll

l

Comportamento do Material

Def. de Eng. & Def. Verdadeira

Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.

Te

nsã

o d

e E

ng

. , S

Te

nsã

o V

erd

. ,

Sy

Def. de Eng. , e

Def. Verd. ,

E=S/e

x

x

Falha

Emp. acontece

em Su

Eng. S-e

Verd. -

f

ln 1 e

SA0

AS 1 e

f

Relação Monotônica entre Tensão-Def.

Descarregamento.

elástico

E E

•P

pe

t

Def. total t

Def. Elast. e

Def. Plast. p

t= e+ p

e=/E

Deformação Plástica

1.0

H

n

Lo

g T

en

sã

o V

erd

, (l

og

)

Log Def. Plast, (logp)

H – Coeficiente de resistência

n - Expoente de encruamento

p

n

n

p

nH

Hor

H

logloglog

1

p

Deform. Elástica, Plástica & Total

pet

p

e

Total

HPlástica

EElástica

n1

n

1

H

E

t

Relação tensão – Def.

De Ramberg-Osgood

Comportamento Cíclico dos Materiais

Comportamento Cíclico dos Materiais

Laço de histerese:

Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos

a =/2 = amplitude de def.

a = /2 amplitude de tensão

e - parte elástica

p – parte plástica

2

e

2

p

2;

e

E

pe

E

Comportamento Transiente – Encruamento

+

-

Tempo

1

2

3

4

5

(a) Amplitude de deform. Const.

135

2

4

Tempo

1

2

3

4

5+

-

(b) Resposta da tensão

(aumentando o nível de tensão)

(c) Resposta Tensão-Def.

Comportamento Transiente – Amolecimento

+

-

Tempo

1

2

3

4

5

Tempo

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

(a) Ampl. De def. cíclica

(b) Resposta Tensão

(diminuindo o nível de tensão)

(c) Resposta cíclica tensão-def.

Encruamento Vs. Amolecimento

amolece teciclicamen material

0,1nou

12,1/ Se

endurece teciclicamen material 0,2nou

4,1/ Se

u

y

yu

Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais.

Utilizando as propriedades estáticas do material (limite de resist. e

de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser previsto

se o material irá encruar ou amolecer.

n

1

H

E

tonde, n é dado por

Laço de Histerese do Cobre

Laço de Histerese estabiliz.

em =0.0084

Material exibe endureci-

mento na condição de

recozido.

Laço de histerese

estabilizado em =0.0078

Material exibe amolecimento

Cíclico na condição

parcialmente recozido

Laço de Histerese do Cobre

Laço de histerese estab.

em =0.0099

Material exibe amolecimento

cíclico na cond. de traba-

lhado a frio.

Laço de Histerese do Cobre

- Aplicar uma amplitude de def. de

/2.

- O transiente de tensão é seguido de

um laço de histerese estabilizado

- Estabeleça o laço de histerese

estabilizado para este nível de def.

- Repetir o procedimento com uma

diferente amplitude de def.

- Unir as pontas dos laços de histerese

estabilizados.

- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.

Determinação da Curva Tensão-Deformação Cíclica

Encruamento/amolecimento

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA

n1

H'Plast, Def.

E, Elast. Def.

Total Def.

p

e

pet

np' H

H' – Coef. de Resist. cíclica

n' - Expoente de encruamento cíclico.

n

1

H'E que maneira De

t

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA

1.0

H'

n'

Lo

g T

en

sã

o c

íclic

a, (l

og

)

Log Def. Ciclica, (logp)

p

n

p

ou

lognH'loglog

H'

H'

n1

p

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

Hipótese de Masing:

- Para materiais exibindo comportamento simétrico

em tração e compressão.

-Curva de histerese pode ser ESTIMADA a partir

da curva Tensão - Def. cíclica estabilizada.

- Dobrar os valores de tensão e def. da curva

estabilizada da curva tensão- def. cíclica.

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

Segundo a hipótese de Masing: Dada uma curva tensão – def. cíclica, obter o

ponto B sobre a curva dobrando o valor correspondente ao ponto A na

curva T X Def. cíclica

Curva tensão - def.

cíclica estabilizada

0.002

270A

(a)

540

0.0040

Curva de histerese

estabilizada

B

(b)

=0.004

= 540

0

Laço de histerese

estabilizadaB

(c)

EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE

Seguindo a hipótese de Masing:

n

1

H'E Relembre

t

2

2/2

/2

Eq. da

histeresen

1

n

1

2H' 2

E

2H'2E2 que maneira De

Curvas Deformação-Vida

Conforme já visto, usando a amplitude de tensão verdadeira

(/2), os dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados

linearmente na escala log-log,

2N2

b

ff

ciclo) 2

1 reverso um (falhar para reversos 2N f

ff fadiga, a a verdadeirresist.

fadiga a resist. de expoente b

fadiga a resist. de coef. f Propriedade de fadiga

do material

Curvas Tensão-Deformação

Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (p-N) podem

ser, também, linearizados na coord. log-log. (Coffin-Manson)

f

2N2

c

f

p

plástica def. de amplitude 2

p

fadiga em edutillidad de expoente c

fadiga. em dutilidade de coef. f Propriedade de

Fadiga do material

f

f

ciclo) 2

1 reverso um (falhar para reversos 2N f

Como podemos relacionar a vida a Ampl. De Def. Total /2?

(2.39) 2E

2

22

2 Relembre,

e

pe

Relação

Def-vida

(2.41) 2N2NE

2

(2.40) 2NE2

2.39 & 2.37 De

c

ff

b

ff

b

ffe

elástica plástica

Curvas Tensão-Deformação

As equações apresentadas são lineares no plano log-log

bffe N2

E2

'

2Nf100

Ef ' b

2

e cff

pN2

2'

2Nf100

'f

c

2

p

Def. – Vida Elástica Def. – Vida plástica

Relação Tensão – Vida Total

2

e

2

p 2

e/2

p/2

/2

2Nf

bffe N2

E2

'

cffp

N22

'

cffb

ff N2N2

E

2'

'

Vida de Transição

Plástica

e/2

p/2

/2

2Nf

Dominante

Elástica

Dominante

plástica

TotalElástica

2Nt

22 :2N2N Em

petf

f'

E2N

t

b

f' 2N

t

c

2Nt

f' E

f'

1bc

Def.

Total

Def.

ElásticaDef.

Plástica

600100

106

100

2N

t

Aços

BHN

Duro 2Nt é pequena – mais de 2Nf é elástica

Mole 2Nt é grande – mais de 2Nf é plástica

2Nt

e/2

p/2

/2

Vida de Transição

Resistência e Dutilidade

Normalizado (material dútil)

Temperado (material duro)

Dútil tem melhor vida em alto

Duro tem melhor vida em baixo

2Nf , log

/

2, lo

g

100 108

100

10-4

Propriedades de Fadiga

1. Nem todos os materiais podem ser representados por equações

de quatro parâmetros (i. e., ligas de Al & Ti)

2. Parâmetros obtidos pelo ajuste da curva – portanto, a acuracidade

depende dos números de pontos usados ou disponíveis.

3. Parâmetros aplicáveis à um dado intervado de dados – fora do

intervalo pode dar um grande erro

4. Conveniência estritamente matemática – sem base física.

b, c, f´, f´: Constantes empíricas

Relação: H´ = f´/( f´)n’

n´ = b/cTensão-Def. Cíclica

Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem ser

obtidos por estimativas grosseiras a partir das “propriedades

monotônicas”

f´ f f Su + 50 ksi para aços com BHN < 500

Su+345 [MPa]

b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085

( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)

f´ fRA-1

1ln onde f

c varia entre – 0.5 to – 0.7

Para metais mutio dútil c - 0.6

Para metais muito resist. c - 0.5

Propriedades de Fadiga

Exemplo

A partir dos dados monotônicos e ciclicos de tensão-Def.

Determine as constantes cíclicas de tensão-def & def. –

vida)

Dados monotônicos: Sy=158 ksi E = 28.4103 ksi

Su=168 ksi f = 228 ksi

%RA = 52 f = 0.734

50

68

122

256

350

488

1,364

1,386

3,540

3,590

9,100

35,200

140,000

162.5

162

155

143.5

143.5

136.5

130.5

126.5

121

119

114

106

84.5

0.0393

0.0393

0.02925

0.01975

0.0196

0.01375

0.00980

0.00980

0.00655

0.00630

0.00460

0.00360

0.00295

Reversos para

Falhar, 2Nf

Ampl. De tensão

/2 (ksi)

Ampl. de

Def. Total,

/2

Ampl. Def. Plástica,

p/2*

0.0336

0.0336

0.0238

0.0147

0.0145

0.00894

0.00521

0.00534

0.00229

0.00211

0.00059

0.00000

0.00000

p

2

2

e

2

2

2E

2

f' 2N

f

b

p

2

f' 2N

f

c

f' 222 ksi b - 0.076

f' 0.811 c - 0.732

c

log 2Nf

log

p

/2

b

log 2Nf

log

/2

Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)

n'

p

p

H'

2 plástica, def. ampl. a

e 2

entre, potência de curva uma ajuste (A)

H´ = 216 ksi n´=0,094

y = 0,0939x + 2,6081

2,32

2,34

2,36

2,38

2,4

2,42

2,44

2,46

2,48

2,5

2,52

2,54

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

Série1

Linear (Série1)

n

1

H'2

1

2E2

ksi 227

0,811

222H'

0,1040,732-

0,076-b/cn'

'

'H' Relembre (B)

0,104

n'

f

f

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

1 100 10000 1000000

Def. Elástica

Def. Plástica

Def. Total

Potência (Def.

Plástica)

Potência (Def.

Elástica)

Reversos para falhar, 2Nf

Am

pl. d

e D

ef. , /

2

FIM