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ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 1 / 19

Capıtulo 6

Espacos vectoriaiscom produto interno

Definic ao e propriedades




Seja V um espaco vectorial real (complexo). Chama-se produto interno(ou produto escalar) em V a uma aplicacao

〈·, ·〉 : V × V → R (C)(u, v) 7→ 〈u, v〉

que verifica as seguintes propriedades:

(1) ∀ u, v ∈ V, 〈u, v〉 = 〈v, u〉; (〈u, v〉 = 〈v, u〉)

(2) ∀ u, v, w ∈ V, 〈u + v, w〉 = 〈u,w〉 + 〈v, w〉;

(3) ∀ u, v ∈ V, ∀ α ∈ R (C), 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉;

(4) ∀ u ∈ V , 〈u, u〉 ≥ 0 e 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = 0V .



Seja V um espaco vectorial real (complexo). Chama-se produto interno(ou produto escalar) em V a uma aplicacao

〈·, ·〉 : V × V → R (C)(u, v) 7→ 〈u, v〉

que verifica as seguintes propriedades:

(1) ∀ u, v ∈ V, 〈u, v〉 = 〈v, u〉; (〈u, v〉 = 〈v, u〉)

(2) ∀ u, v, w ∈ V, 〈u + v, w〉 = 〈u,w〉 + 〈v, w〉;

(3) ∀ u, v ∈ V, ∀ α ∈ R (C), 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉;

(4) ∀ u ∈ V , 〈u, u〉 ≥ 0 e 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = 0V .

Diz-se entao que V e um espaco Euclidiano real (complexo).


Exemplos

1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,

〈x, y〉 =n

∑

k=1

xkyk

define um produto interno em Rn.


Exemplos

1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,

〈x, y〉 =n

∑

k=1

xkyk


(Rn, 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano real.


Exemplos

1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,

〈x, y〉 =n

∑

k=1

xkyk



2) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Cn,

〈x, y〉 =n

∑

k=1

xkyk

define um produto interno em Cn.


Exemplos

1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,

〈x, y〉 =n

∑

k=1

xkyk



2) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Cn,

〈x, y〉 =n

∑

k=1

xkyk

define um produto interno em Cn.

(Cn, 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano complexo.


3) Seja C[a, b] o conjunto das aplicacoes f : [a, b] → R que saocontınuas. C[a, b] e um espaco vectorial real para a adicao usualde funcoes e multiplicacao de uma funcao por um escalar. Paraf, g ∈ C[a, b],

〈f, g〉 =

∫

b

a

f(x) g(x) dx

define um produto interno em C[a, b].


3) Seja C[a, b] o conjunto das aplicacoes f : [a, b] → R que saocontınuas. C[a, b] e um espaco vectorial real para a adicao usualde funcoes e multiplicacao de uma funcao por um escalar. Paraf, g ∈ C[a, b],

〈f, g〉 =

∫

b

a

f(x) g(x) dx

define um produto interno em C[a, b].

(C[a, b], 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano real.


Proposicao

Seja V um espaco Euclidiano real.

(i) ∀ u ∈ V, 〈0V , u〉 = 0;

(ii) Se 〈u, v〉 = 0 para todo v ∈ V , entao u = 0V ;

(iii) Se 〈u, v〉 = 〈u′, v〉 para todo v ∈ V , entao u = u′.


Definicoes


Definicoes

Seja V um Euclidiano real e sejam u, v ∈ V .


Definicoes


• A norma de u e o escalar nao negativo ‖u‖ =√

〈u, u〉.


Definicoes



〈u, u〉.

• A distancia de u a v e ‖u − v‖.


Definicoes



〈u, u〉.


• Os vectores u e v dizem-se ortogonais se 〈u, v〉 = 0.


Definicoes



〈u, u〉.


• Os vectores u e v dizem-se ortogonais se 〈u, v〉 = 0.

• A projeccao ortogonal de u sobre v 6= 0V e o vector

projvu =〈u, v〉

‖v‖2v.


Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Para u e v vectores de um espaco Euclidiano real, tem-se

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

sendo a igualdade verificada se e so se u e v sao linearmentedependentes.


Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Para u e v vectores de um espaco Euclidiano real, tem-se

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

sendo a igualdade verificada se e so se u e v sao linearmentedependentes.

O angulo entre os vectores de u e v e

arccos

(

〈u, v〉

‖u‖ ‖v‖

)

∈ [0, π].


Proposicao (Propriedades da norma)

Seja V um espaco Euclidiano real.

(i) ‖u‖ ≥ 0, ∀ u ∈ V e ‖u‖ = 0 ⇔ u = 0V

(ii) ‖αu‖ = |α|‖u‖, ∀ u ∈ V , ∀ α ∈ R

(iii) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖, ∀ u, v ∈ V [Desigualdade triangular]

Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt


Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais;



Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, oconjunto diz-se normado;



Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, oconjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-seortonormado.




Teorema

Um conjunto ortogonal de vectores nao nulos e linearmenteindependente.




Teorema

Um conjunto ortogonal de vectores nao nulos e linearmenteindependente.

• O RECIPROCO E FALSO!


Teorema

Se {u1, . . . , un} e uma base ortogonal de um espaco Euclidiano real V ,entao, para qualquer vector u ∈ V ,

u =〈u, u1〉

‖u1‖2u1 + · · · +

〈u, un〉

‖un‖2un.


Teorema

Se {u1, . . . , un} e uma base ortogonal de um espaco Euclidiano real V ,entao, para qualquer vector u ∈ V ,

u =〈u, u1〉

‖u1‖2u1 + · · · +

〈u, un〉

‖un‖2un.

Teorema

Se {u1, . . . , un} e uma base ortonormada de um espaco Euclidiano realV , entao, para qualquer vector u ∈ V ,

u = 〈u, u1〉u1 + · · · + 〈u, un〉un.


Teorema (Ortogonalizacao de Gram-Schmidt)

Seja V um espaco Euclidiano real e v1, . . . , vm ∈ V vectoreslinearmente independentes. Entao, os vectores u1, . . . , um ∈ Vdefinidos por

u1 = v1

uℓ = vℓ −〈vℓ, u1〉

‖u1‖2u1 − · · · −

〈vℓ, uℓ−1〉

‖uℓ−1‖2uℓ−1, para ℓ = 2, . . . ,m,

constituem um base ortogonal de L ({v1, . . . , vm}).

Observacao:Este teorema descreve um algoritmo para obter uma base ortogonal deV a partir de uma base de V .

Projecc ao ortogonal de um vector sobre umsubespaco


Teorema

Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V .Entao, existe um e um so vector p ∈ S tal que v − p e ortogonala todos os vectores de S, ou seja, tal que

〈v − p, u〉 = 0 para todo u ∈ S.

Projecc ao ortogonal de um vector sobre umsubespaco


Teorema

Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V .Entao, existe um e um so vector p ∈ S tal que v − p e ortogonala todos os vectores de S, ou seja, tal que

〈v − p, u〉 = 0 para todo u ∈ S.

O vector p designa-se por projeccao ortogonal de v sobre S erepresenta-se por projSv.


Teorema

Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V . Entao

(i) ‖v − projSv‖ = minu∈S

‖v − u‖;

(ii) Para u ∈ S, ‖v − projSv‖ = ‖v − u‖ ⇔ u = projSv;

(iii) v ∈ S ⇔ v = projSv.


Teorema

Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V . Entao

(i) ‖v − projSv‖ = minu∈S

‖v − u‖;

(ii) Para u ∈ S, ‖v − projSv‖ = ‖v − u‖ ⇔ u = projSv;

(iii) v ∈ S ⇔ v = projSv.

Teorema

Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V .Se {v1, . . . , vm} e uma base ortogonal de S, entao

p =m

∑

k=1

projvkv =

m∑

k=1

〈v, vk〉

‖vk‖2vk.

Metodo dos mınimos quadrados


Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel



Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel (⇔ b /∈ C (A)).




∀x ∈ Rn, Ax 6= b ⇔ ‖Ax − b‖ > 0




∀x ∈ Rn, Ax 6= b ⇔ ‖Ax − b‖ > 0

A ideia de aproximacao dos mınimos quadrados e encontrar a “melhorsolucao” do sistema linear Ax = b quando, de facto, nao existemsolucoes. A “melhor” significa o vector x ∈ R

n que minimiza ‖Ax − b‖,i.e.,

‖Ax − b‖ = minx∈Rn

‖Ax − b‖.




∀x ∈ Rn, Ax 6= b ⇔ ‖Ax − b‖ > 0

A ideia de aproximacao dos mınimos quadrados e encontrar a “melhorsolucao” do sistema linear Ax = b quando, de facto, nao existemsolucoes. A “melhor” significa o vector x ∈ R

n que minimiza ‖Ax − b‖,i.e.,

‖Ax − b‖ = minx∈Rn

‖Ax − b‖.

Diremos que x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimosquadrados.


Teorema

Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm com b /∈ C (A).Entao, x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadradosse e so se

Ax = projC (A)b.


Teorema


Ax = projC (A)b.

Algoritmo

1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminacao de Gauss.


Teorema


Ax = projC (A)b.

Algoritmo


2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior.


Teorema


Ax = projC (A)b.

Algoritmo



3. Calcular projC (A)b.


Teorema


Ax = projC (A)b.

Algoritmo



3. Calcular projC (A)b.

4. Resolver Ax = projC (A)b.


Teorema

Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm. Entao,

(i) x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadrados se e so seAT Ax = AT b.

(ii) Existe uma unica solucao de Ax = b no sentido dos mınimosquadrados se e so se car A = n. Neste caso a solucao ex = (AT A)−1AT b.

Diagonalizac ao de Matrizes Sim etricas




Teorema

Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simetrica, entao osvalores proprios de A sao reais.



Teorema

Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simetrica, entao osvalores proprios de A sao reais.

Teorema

Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simetrica, e diagonali-zavel com uma matriz diagonalizante ortogonal, ou seja, existe umamatriz Q ortogonal tal que QTAQ e diagonal (real).


Teorema

Vectores proprios de uma matriz simetrica real A associados a valoresproprios distintos sao ortogonais dois a dois, isto e, se λ1, λ2 . . . , λr

sao valores proprios de A distintos dois a dois e v1, v2 . . . , vr saovectores proprios de A associados a λ1, λ2 . . . , λr, respectivamente,entao v1, v2 . . . , vr sao ortogonais dois a dois.


Teorema

Vectores proprios de uma matriz simetrica real A associados a valoresproprios distintos sao ortogonais dois a dois, isto e, se λ1, λ2 . . . , λr

sao valores proprios de A distintos dois a dois e v1, v2 . . . , vr saovectores proprios de A associados a λ1, λ2 . . . , λr, respectivamente,entao v1, v2 . . . , vr sao ortogonais dois a dois.

ObservacaoSe a matriz quadrada A real de ordem n e simetrica e λ1, λ2 . . . , λr

sao todos os seus valores proprios considerados sem repeticoes, umprocesso de obter uma base ortonormada de Rn constituıda porvectores proprios de A (isto e, as colunas de uma matriz ortogonaldiagonalizante de A), consiste em construir bases ortonormadas dossubespacos E(λ1), E(λ2), . . . , E(λr) e depois reunir todas essasbases.


E proposta a resolucao dos seguintes exercıcios a discutir na aula ou nohorario de atendimento:

167, 174, 175, 180, 181, 183, 184, 185, 186, 187, 189, 192 e 193 dasFolhas 11 e 12.

Para o estudo deste capıtulo e recomendado o livro

A. P. Santana e J. F. Queiro, ”Introducao a Algebra Linear”,Departamento de Matematica, FCTUC, 2008, p. 100 a p. 123 e p. 146 ap. 149.

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