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Capítulo 5.1:
Revisão de Série de Potência
Encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear depende de determinar um conjunto fundamental das soluções da equação homogênea. Já conhecemos um procedimento para construir soluções fundamentais quando a equação tiver coeficientes constantes. Para a grande classe das equações com coeficientes variáveis, nós devemos procurarar por soluções além das funções elementares do cálculo. A principal ferramenta que vamos utilizar é a respresentação de uma função dada por uma série de potência . Então, similar ao método dos coeficientes indeterminados, vamos supor que as soluções têm representações em série de potência, e determinam então os coeficientes que satisfazem à equação.
Capítulo 5.1:
Convergência da Série de Potência
Uma série de potência sobre o ponto x0 tem a forma
e é dita convergente em um ponto x se
existe o limite para todo x. Note que a série converge para x = x0. Pode convergir para todo o ponto x, ou pode convergir para alguns valores de x e outros não.
( )∑∞
=
−1
0n
nn xxa
( )∑=∞→
−m
n
nnm
xxa1
0lim
Capítulo 5.1:
Convergência AbsolutaUma série de potência sobre o ponto x0
é dita Absolutamente Converge no ponto x se a série
converge. Se uma série convergir absolutamente, então a série converge também. O inverso, entretanto, não é necessariamente verdadeiro .
( )∑∞
=
−1
0n
nn xxa
( ) ∑∑∞
=
∞
=
−=−1
01
0n
nn
n
nn xxaxxa
Capítulo 5.1:
Teste da RazãoUm dos testes os mais úteis para a convergência absoluta de uma série de potência
é o teste da razão. Se an ≠ 0, e se, para um valor fixo de x,
então a série de potência converge absolutamente para esse x se |x - x0|L < 1 e diverge se |x - x0|L > 1. O teste é inconclusivo se |x - x0|L = 1.
( )∑∞
=
−1
0n
nn xxa
,lim)()(lim 0
10
0
101 Lxx
aaxx
xxaxxa
n
nnn
n
nn
n−=−=
−− +
∞→
++
∞→
Capítulo 5.1:
Raio de ConvergênciaExiste um número não negative ρ, chamado de raio de convergência, tal que Σ an(x - x0)n converge absolutamente para todo x satisfazendo |x - x0| < ρ e diverge para |x - x0| > ρ. Para uma série que converge somente em x0, definimos ρ=0.Para uma série que converge para todo x, dizemos que ρ é infinito.Se ρ > 0, então |x - x0| < ρ é chamado de intervalo de convergência.
A série pode convergir ou divergir quando |x - x0| = ρ.
Capítulo 5.1:
Exemplo 1Encontrar o raio de convergência da série abaixo.
Usando o Teste da Razão, obtemos
Em x = -2 e x = 0, a correspondente séries são, respectivamente,
Ambas as séries diverge, pois o n-esimo termo não aproxima de zero.Portanto o intervalo de convergência é (-2, 0), e assim o raio de convergência é ρ = 1.
02 para 1, 11lim)1()1(lim
1
<<−<+=+=+
+→ ∞
+
→ ∞xxx
xx
nn
n
n
( )∑∞
=
+0
1n
nx
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=+−=+−0000
110,112n
n
n
n
n
n
n
n
Capítulo 5.1:
Exemplo 2Encontrar o raio de convergência da série abaixo.
Usando o Teste da Razão, obtemos
Em x = -2 e x = 4, a correspondente séries são, respectivamente,
Estas séries são série convergente alternada e série geométrica, respectivamente. Conseqüentemente o intervalo de convergência é [-2, 4], e assim o raio de convergência é ρ = 3.
( ) ∑∑∞
=
∞
=
−00 3
1,31
nn
nn
n
( )∑∞
=
−1 3
1n
n
n
nx
( ) 42- para 1, 3
11
lim3
1)1(31
)1(3lim1
1
<<<−
=+
−=
−+−
→ ∞+
+
→ ∞x
xn
nxxn
xnnnn
nn
n
Capítulo 5.1:
Exemplo 3Encontrar o raio de convergência da série abaixo.
Usando o Teste da Razão, obtemos
Portanto o intervalo de convergência é (-∞, ∞), e assim o raio de convergência é infinito.
( ) ( ) ∞<<∞<=+
+=++
+→ ∞
+
→ ∞x
nnnx
xnxn
nn
n
n- para 1, 0
!1!lim2
)2(!1)2(!lim
1
( )∑∞
=
+1 !
2n
n
nx
Capítulo 5.1:
Series de TaylorSuponha que Σ an(x - x0)n converge para f (x) em |x - x0| < ρ. Então os valores de an é dado por
e a série é chamada de series de Taylor para f sobre x = x0. Também, se
então f é continua e possuem todas as derivadas de todas as ordens no intervalo de convergência. Além disso, as derivadas de f podem ser calculadas derivando termo a termo da série.
,!
)( 0)(
nxfa
n
n =
( ) ,!
)()(1
00
)(
∑∞
=
−=n
nn
xxn
xfxf
Capítulo 5.1:
Funções Analíticas Uma função f que tem uma série de Taylor expandida em x = x0
com um raio de convergência ρ > 0, é dita analítica em x0. Todas as funções elementares do cálculo são analíticas. Por exempo, sen x e ex são analítica em todo ponto, enquanto 1/x é analitica exceto em x = 0, e tag x é analítica exceto nos multiplos impares de π /2.Se f e g são analíticas em x0, então também são f ± g, fg, e f /g :
( ) ,!
)()(1
00
)(
∑∞
=
−=n
nn
xxn
xfxf
Capítulo 5.1:
Igualando SériesSe duas séries de potência são iguais, isto é,
para cada x em algum intervalo aberto com centro x0, então an = bn para n = 0, 1, 2, 3,…Em particular, se
então an = 0 para n = 0, 1, 2, 3,…
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−=−1
01
0n
nn
n
nn xxbxxa
( ) 01
0 =−∑∞
=n
nn xxa
Capítulo 5.1:
Deslocando o índice do SomatórioO índice do somatírio de uma série infinita é um parâmetro mudo assim como na variável da integração em uma integral definitiva é uma variável muda. Assim não importa com que letra é usada para o índice da soma:
Assim como nós fazemos mudanças na variável da integração em uma integral definitiva, nós também vamos fazer mudanças convenientes no índice da soma da série de equações diferenciais.
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−=−1
01
0k
kk
n
nn xxaxxa
Capítulo 5.1:
Exemplo 4: Deslocando o índice do Somatório
Podemos verificar que
fazendo m = n -1 na série da esquerda. Então n = 1 corresponde a m = 0, e assim
Substituindo o índice mudo m pelo n, obtemos
como queriamos.
n
nn
n
nn xaxa )1()1(
01
1
1+=+ ∑∑
∞
=+
−∞
=
m
mm
n
nn xaxa )1()1(
01
1
1+=+ ∑∑
∞
=+
−∞
=
n
nn
n
nn xaxa )1()1(
01
1
1+=+ ∑∑
∞
=+
−∞
=
Capítulo 5.1:
Exemplo 5: Reescrevendo o termo genericoPodemos escrever a série
como uma soma cujo o termo genérico envolva xn deixando m = n + 3. Então n = 0 corresponde para m = 3, e n + 1 igual a m – 2. Segue que
Substituindo o índice mudo m pelo n, obtemos
como queriamos.
3
0)1( +
∞
=∑ + n
nn xan
m
mm
n
nn xamxan ∑∑
∞
=−
+∞
=
−=+3
33
0)2()1(
n
nn xan∑
∞
=−−
33)2(
Capítulo 5.2: Soluções em Séries
Na Vizinhança de um Ponto Ordinário
No Capítulo 3, vimos métodos para resolver EDO de 2a ordem com coeficientes constantes. Agora consideramos o caso onde os coeficientes são funções da variável independente, que nós denotaremos por x. É suficiente considerar a equação homogênea
sendo que o método para o caso não homogêneo é similar . Primeiramente consideraremos o caso quando P, Q, R são polinomiais, e também contínuas. Entretanto, veremos, que o método de resolução é também aplicável quando P, Q e R são funções analíticas gerais.
,0)()()( 2
2
=++ yxRdxdyxQ
dxydxP
Capítulo 5.2:
Pontos Ordinários
Assumindo que P, Q, R são polinomios com nenhum fator comuns, e nós queremos resolver a equação abaixo em uma vizinhança de um ponto de interesse:
O ponto x0 é chamado de ponto ordinário se P(x0) ≠ 0. Desde que P é contínua, P(x) ≠ 0 para todo x em algum intervalo em x0. Para x neste intervalo, dividimos a equação diferencial por P
Sendo p e q contínuas, o Teorema 3.2.1 diz que existe uma única solução, dando as condições iniciais y(x0) = y0, y'(x0) = y0'
0)()()( 2
2
=++ yxRdxdyxQ
dxydxP
)()()( ,
)()()( o,0)()(
2
2
xPxRxq
xPxQxpndeyxq
dxdyxp
dxyd ===++
Capítulo 5.2:
Pontos SingularesSuponha que queremos resolver a equação abaixo em alguma vizinhança de um ponto de interesse x0:
O ponto x0 é chamado de ponto singular se P(x0) = 0. Sendo P, Q, R polinomiais com nenhum fator comum, isto siguinifica que Q(x0) ≠ 0 ou R(x0) ≠ 0, ou ambos. Então pelo menos um deles p ou q torna-se ilimitado quando x → x0, e portanto não podemos aplicar o Teorema 3.2.1 para esta situação. As seções 5.4 a 5.8 tratam dos métodos para encontrar soluções na vizinhança de um ponto singular.
)()()( ,
)()()( where,0)()(2
2
xPxRxq
xPxQxpyxq
dxdyxp
dxyd ===++
Capítulo 5.2:Soluções em Séries
na Vizinhança de um Ponto Ordinário
A fim resolver a equação perto de um ponto ordinário x0,
nós suporemos uma representação da série da função desconhecida da solução y:
Contanto que nós estamos dentro do intervalo da convergência, esta representação de y é contínua e tem todas as derivadas de todas as ordens .
0)()()( 2
2
=++ yxRdxdyxQ
dxydxP
∑∞
=
−=0
0 )()(n
nn xxaxy
Capítulo 5.2:
Exemplo 1: Solução em SériesEncontrando uma solução em série para a equação
Onde, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = 1. Assim cada ponto x é um ponto ordinário. tomando x0 = 0. Assumindo que uma solução em series é da forma
Diferenciando termo a termo obtemos
Substituindo estas expressões na equação, temos
∑∞
=
=0
)(n
nn xaxy
( )∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
−=′′=′=2
2
1
1
01)(,)(,)(
n
nn
n
nn
n
nn xannxyxnaxyxaxy
( ) 0102
2 =+− ∑∑∞
=
∞
=
−
n
nn
n
nn xaxann
∞<<∞−=+′′ xyy ,0
Capítulo 5.2:
Exemplo 1: Combinando as séries
A equação é
Deslocando os índices, obtemos
( ) 0102
2 =+− ∑∑∞
=
∞
=
−
n
nn
n
nn xaxann
( )( )
( )( )[ ] 012
ou
012
02
002
=+++
=+++
∑
∑∑
∞
=+
∞
=
∞
=+
n
nnn
n
nn
n
nn
xaann
xaxann
Capítulo 5.2:
Exemplo 1: Relação Recursiva
Assim
Para esta equação ser valida para todo x, o coeficiente de cada potência de x deve ser zero, e assim
Este tipo de equação é chamada de uma relação recursiva.Vamos encontrar individualmente os coeficientes a0, a1, a2, …
( )( )
( )( ) ...,2,1,0,12
ou...,2,1,0,012
2
2
=++
−=
==+++
+
+
nnn
aa
naann
nn
nn
( ) ( )[ ] 0120
2 =+++∑∞
=+
n
nnn xaann
Para encontrar a2, a4, a6, …., procedemos da seguinte forma:
Capítulo 5.2:
Exemplo 1: Coeficientes Pares( ) ( )122 ++
−=+ nnaa n
n
( ) ...,3,2,1,)!2(
1
,12345656
,123434
,12
02
046
024
02
=−=
⋅⋅⋅⋅⋅−=
⋅−=
⋅⋅⋅=
⋅−=
⋅−=
kk
aa
aaa
aaa
aa
k
k
⋮
Para encontrar a3, a5, a7, …., procedemos da seguinte forma:
Capítulo 5.2:
Exemplo: Coeficientes Impares
( ) ...,3,2,1,)!12(
1
,123456767
,1234545
,23
112
157
135
13
=+
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=
⋅−=
⋅⋅⋅⋅=
⋅−=
⋅−=
+ kk
aa
aaa
aaa
aa
k
k
⋮
( ) ( )122 ++−=+ nn
aa nn
Capítulo 5.2:
Exemplo 1: SoluçãoNós temos agora a seguinte informação:
Assim
Note: a0 e a1 são determinados pelas condições iniciais.Também, pelo teste da razão pode-se mostrar que estas duas séries convergem absolutamente sobre (-∞, ∞), e daqui as manipulações que nós executamos na série em cada etapa são válidas.
y ( x )=∑n=0
∞
an xn , onde a2k=(−1 )k
(2k ) !a0 , a 2k+1=
(−1)k
(2k+1) !a1
12
01
2
00 !)12(
)1(!)2(
)1()( +∞
=
∞
=∑∑ +
−+−= n
n
nn
n
n
xn
axn
axy
Capítulo 5.2:
Exemplo 1: Definindo as Funções pelo PVIA solução encontrada é
Por cálculos, nos sabemos que esta solução é equivalente a
Anteriormente, nós vimos que cosx e o sinx são certamente soluções fundamentais da nossa equação diferencial original
12
01
2
00 !)12(
)1(!)2(
)1()( +∞
=
∞
=∑∑ +
−+−= n
n
nn
n
n
xn
axn
axy
xaxaxy sencos)( 10 +=
∞<<∞−=+′′ xyy ,0
Capítulo 5.2:Exemplo 1: Gráfico
Os gráficos abaixo mostram as aproximações das somas parciais de cos x e sen x. Enquanto o número dos termos aumenta, o intervalo aumenta e a aproximação torna-se satisfatória por um longo trecho, e para cada x neste intervalo que a exatidão melhora. Entretanto, a série de potência truncada fornece somente uma aproximação local na vizinhança de x = 0.
12
01
2
00 !)12(
)1(!)2(
)1()( +∞
=
∞
=∑∑ +
−+−= n
n
nn
n
n
xn
axn
axy
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Equação de Airy
Encontre uma solução em série da equação de Airy em x0 = 0:
Onde, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = - x. Assim todo ponto x é um ponto ordinário. Tomando x0 = 0. Assumindo uma solução em series e diferenciando, obtemos
Substituindo estas expressões na equação, obtemos
( )∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
−=′′=′=2
2
1
1
0
1)(,)(,)(n
nn
n
nn
n
nn xannxyxnaxyxaxy
( ) 010
1
2
2 =−− ∑∑∞
=
+∞
=
−
n
nn
n
nn xaxann
∞<<∞−=−′′ xxyy ,0
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Combinando as Séries
A equação é
Deslocando os índices, temos
( ) 010
1
2
2 =−− ∑∑∞
=
+∞
=
−
n
nn
n
nn xaxann
( )( )
( )( )[ ] 01212
ou
012
1122
11
02
=−+++⋅⋅
=−++
∑
∑∑
∞
=−+
∞
=−
∞
=+
n
nnn
n
nn
n
nn
xaanna
xaxann
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Relação de Recursividade
Assim temos a equação
Para que esta equação seja valida para todo x, os coeficientes de cada potência de x deve ser zero; assim a2 = 0 e
( )( )
( )( ) ...,2,1,0,23
ou
,...3,2,1,12
3
12
=++
=
=++
=
+
−+
nnn
aa
nnn
aa
nn
nn
( )( )[ ] 012121
122 =−+++⋅⋅ ∑∞
=−+
n
nnn xaanna
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Coeficientes
Temos a2 = 0 e
Para esta relação de recursividade, note que a2 = a5 = a8 = … = 0.
Logo, vamos encontrar os coeficientes a0, a3, a6, ….Nós fazemos isto encontrando uma fórmula a3n, n = 1, 2, 3, …
Após isso, nós encontramos a1, a4, a7, …, encontrando uma fórmula para a3n+1, n = 1, 2, 3, …
( ) ( ) ...,2,1,0,323 =
++=+ n
nnaa n
n
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Encontrando a3n
Achando a3, a6, a9, ….
A fórmula geral para esta seqüência é
( )( )323 ++=+ nn
aa nn
⋯,98653298
,653265
,32
069
036
03 ⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
=⋅⋅⋅
=⋅
=⋅
= aaaaaaaa
...,2,1,)3)(13)(33)(43(6532
03 =
−−−⋅⋅⋅= n
nnnnaa n ⋯
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Encontrando a3n+1
Achando a4, a7, a10, …
A fórmula geral para esta seqüência é
⋯,1097643109
,764376
,43
1710
147
14 ⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅
=⋅⋅⋅
=⋅
=⋅
= aaaaaaaa
...,2,1,)13)(3)(23)(33(7643
113 =
+−−⋅⋅⋅=+ n
nnnnaa n ⋯
( )( )323 ++=+ nn
aa nn
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Series e Coeficientes Nós temos agora a seguinte informação:
onde a0, a1 são arbitrários, e
n
nn
n
nn xaxaaxaxy ∑∑
∞
=
∞
=
++==3
100
)(
...,2,1,)13)(3)(23)(33(7643
...,2,1,)3)(13)(33)(43(6532
113
03
=+−−⋅⋅⋅
=
=−−−⋅⋅⋅
=
+ nnnnn
aa
nnnnn
aa
n
n
⋯
⋯
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: SoluçãoAssim nossa solução é
onde a0, a1 são arbitrários(determinado pelas condições iniciais).Considere dois casos (1) a0 =1, a1 = 0 ⇔ y(0) = 1, y'(0) = 0 (2) a0 =0, a1 = 1 ⇔ y(0) = 0, y'(0) = 1A solução correspondente y1(x), y2(x) são Linearmente Independentes, desde que W(y1, y2)(0) =1 ≠ 0, onde
+⋅
++
−⋅
+= ∑∑∞
=
+∞
= 1
13
11
3
0 )13)(3(43)3)(13(321)(
n
n
n
n
nnxxa
nnxaxy
⋯⋯
)0()0()0()0()0()0()0()0(
)0)(,( 212121
2121 yyyy
yyyy
yyW ′−′=′′
=
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: Soluções Fundamentais Nossa solução:
Para estes casos (1) a0 =1, a1 = 0 ⇔ y(0) = 1, y'(0) = 0 (2) a0 =0, a1 = 1 ⇔ y(0) = 0, y'(0) = 1,a solução correspondente y1(x), y2(x) são linearmente independentes, e assim são soluções fundamentais para a equação de Airy, com solução geral
y (x) = c1 y1(x) + c1 y2(x)
+⋅
++
−⋅
+= ∑∑∞
=
+∞
= 1
13
11
3
0 )13)(3(43)3)(13(321)(
n
n
n
n
nnxxa
nnxaxy
⋯⋯
Capítulo 5.2:
Exemplo 2: GráficoAssim dado as condições iniciais y(0) = 1, y'(0) = 0 and y(0) = 0, y'(0) = 1as soluções são, respectivamente,
O gráfico de y1 e y2 são dados abaixo. Note a precisão do intervalo de aproximação para cada soma parcial
∑∑∞
=
+∞
= +⋅+=
−⋅+=
1
13
21
3
1 )13)(3(43)(,
)3)(13(321)(
n
n
n
n
nnxxxy
nnxxy
⋯⋯
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Equação de Airy
Encontre uma solução em série da equação de Airy em x0 = 1:
Onde, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = - x. Assim todo ponto x é um ponto ordinário. Tome x0 = 1. Assumindo uma solução em séries e diferenciando, temos
Substituindo isto na EDO e deslocando os índices, obtemos
( )∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
−−=′′−=′−=2
2
1
1
0)1(1)(,)1()(,)1()(
n
nn
n
nn
n
nn xannxyxnaxyxaxy
( )( ) ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=+ −=−++
002 1112
n
nn
n
nn xaxxann
∞<<∞−=−′′ xxyy ,0
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Reescrevendo a Equação da Série
Nossa equação é
O x do lado direito pode ser reescrito como 1 + (x – 1); e Assim
( )( ) ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=+ −=−++
002 1112
n
nn
n
nn xaxxann
( ) ( ) ( ) [ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )∑∑
∑∑
∑∑
∞
=−
∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
∞
=+
−+−=
−+−=
−−+=−++
11
0
0
1
0
002
11
11
1)1(1112
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
xaxa
xaxa
xaxxann
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Relação de Recursividade
Assim nossa equação torna-se
Portanto a relação de recursividade é
Equacionando as potencias de x -1, obtemos
⋮
,1224
34
,66
23
,2
2
104124
103013
0202
aaaaaa
aaaaaa
aaaa
+=⇒+=⋅
+=⇒+=⋅
=⇒=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∞
=−
∞
=
∞
=+ −+−+=−+++
11
10
122 111122
n
nn
n
nn
n
nn xaxaaxanna
( ) ( ) )1(,12 12 ≥+=++ −+ naaann nnn
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Solução
Nós temos agora a seguinte informação:
e
( )∑∞
=
−=0
1)(n
nn xaxy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+−+−+−+
+−+−+−+=
⋯
⋯
121
611
241
61
211)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy⋮
,1224
,66
,2
arbitrárioarbitrário
104
103
02
1
0
aaa
aaa
aa
aa
+=
+=
=
==
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Solução e RecursividadeNossa solução:
A recursão tem três termos ,
e determinar uma fórmula geral para os coeficientes an pode ser difícil ou impossível.Entretanto, nós podemos gerar tantos coeficientes que quisermos, preferivelmente com a ajuda de um sistema de álgebra computacional.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+−+−+−+
+−+−+−+=
⋯
⋯
121
611
241
61
211)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy
⋮
,1224
,66
,2
arbitrárioarbitrário
104
103
02
1
0
aaa
aaa
aa
aa
+=
+=
=
==
( ) ( ) )1(,12 12 ≥+=++ −+ naaann nnn
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Solução e ConvergênciaA solução:
Desde que não temos uma fórmula geral, não podemos usar um teste de convergência (isto é, teste da razão) em nossa série de potência
Isto significa que nossas manipulações da série de potência para chegar na solução pode ser suspeito. Entretanto, os resultados da seção 5.3 confirmarão a convergência da nossa solução .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+−+−+−+
+−+−+−+=
⋯
⋯
121
611
241
61
211)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy
( )∑∞
=
−=0
1)(n
nn xaxy
Capítulo 5.2:
Exemplo 3: Soluções Fundamentais
Nossa solução:
ou
Podemos mostrar que as soluções y3(x), y4(x) são LI, e assim são soluções fundamentais da equação de Airy, com solução geral
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+−+−+−+
+−+−+−+=
⋯
⋯
121
611
241
61
211)(
43
1
432
0
xxxa
xxxaxy
)()()( 4130 xyaxyaxy +=
)()()( 4130 xyaxyaxy +=
Capítulo 5.2:
Um outro MétodoPara muitos problemas, o método que segue é mais simples do que o anterior.Suponhamos que exista uma solução y(x) do PVI abaixo:
que possa ser representada em série de potência em x=x0. Logo, pelo Teorema de Taylor
O que implica que os coeficientes an são identificados por
==
=−= ∑
∞
=
00
000
0
')(')(
)',,('',)()(
yxyyxy
yyxfyxxaxy
n
nn
0
)',,()(,)',,(''
)('),(,!
)(
)(
0)(
01000
)(
xxn
nn
n
n
dxyyxfdxyyyxfye
xyaxyaonden
xya
=
==
===
....)(!
)(........)(
!2)(''
)(!1
)(')()( 0
0)(
20
00
00 +−+−+−+= n
n
xxn
xyxxxyxxxyxyxy
Capítulo 5.2:
Exemplo 4Considere o seguinte PVI.
e as seguintes devivadas vamos encontrar a série de potência em x=1.
Pelo Teorema de Taylor os coeficientes an são identificados por
e assim por diante. Assim, por recursividade, encontramos a solução
−=−=−=
⇒
−=−=
−−=⇒
==
−=+
)5()7(
)4()6(
)5(
)4(
'''
'''2'''
12''
3)1('1)1(
12''
yyyyyy
yyyy
yxy
yy
xyy
,....0!6
)1(!6
)1(,!5
1!5
)1('''!5
)1(,0!4
)1(''!4
)1(
,!31
!3)1('2
!3)1(''',0
!2)1('',3
!1)1(',1
!0)1(
)4()6(
6
)5(
5
)4(
4
3210
====−===−==
−=−========
yyayyayya
yyayayaya
....)1(!
)1(........)1(!2
)1('')1(!1
)1(')1()()(
2 +−+−+−+= nn
xn
yxyxyyxy
...)1(!9
1)1(!7
1)1(!5
1)1(!3
1)1(!131)( 9753 −−+−−−+−−−+= xxxxxxy