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Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano

Capítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planas Capítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planas 5.1 – Introdução 5.1 – Introdução Este capítulo será dedicado ao estudo das grelhas planas Este capítulo será dedicado ao estudo das grelhas planas Chama-se grelha plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas ortogonais ao plano da estrutura. Para validade dessa definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano ortogonal a estrutura. 5.2 - Estaticidade de grelhas planas Define-se grelha plana como uma estrutura plana submetida a carregamento perpendicular a seu plano. Tendo em vista essa definição, supondo-se que o plano da grelha seja o plano xy, seu equilíbrio será regido pelas três equações da Estática abaixo:

∑∑ == 0VFz Somatório das forças perpendiculares ao plano nulo

0=∑ xM Somatório dos momentos em torno do eixo x nulo

0=∑ yM Somatório dos momentos em torno do eixo y nulo

Uma grelha será então isostática quando houver apenas três incógnitas a determinar. Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são os indicados na figura abaixo:

y

P1

P2

P1

Vd

d c q

c

a b

Ma d

b a

x

z P2q

Ta

Va Va Vb Na grelha engastada, as reações serão o momento torçor, o momento fletor e a reação vertical no engaste. Na grelha com 3 apoios, as incógnitas serão as reações verticais em cada apoio. Grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas engastadas com 1 ou mais apoios são hiperestáticas. Grelhas com 2 ou menos apoios e grelhas com 3 apoios colineares são hipostáticas.

Ultima atualização em 29/6/2007 65

Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano

d

a

Vb

b

c

Ve

Vc

Olhando a figura acima, verifica-se que não é possível equilibrar a estrutura. Aplicada uma força em d, não há como tornar nulo o momento em torno do eixo b-c. 5.3 - Reações de apoio A principal diferença no cálculo de reações de apoio de grelhas e de pórticos é com relação ao somatório dos momentos. Enquanto em pórticos o somatório dos momentos é calculado usando a distância de cada força ao ponto, em grelhas o somatório dos momentos é função das forças e suas distâncias em relação ao eixo considerado. O exercicio 2 dos itens 1.5 e 2.4 apresenta o cálculo das reações de apoio e esforços seccionais de uma grelha engastada. No caso de uma grelha de 3 apoios como a da figura a seguir onde todas as barras possuem comprimento Lx (na direção x) e Ly (na direção y), pode-se calcular as reações de apoio da seguinte forma: 021 =⋅++=++=∑ xdbaz LqPPVVVF

012 =−−+=∑ − yydyyacb LPLVLPLVM

02

32 2 =⋅+−⋅=∑ −

xxa

xxba

LPLVLqLM

x

y

z P2

d q

P1

Vd

Vb

c

b a

Va

5.4- Diagramas de esforços Conhecendo as reações de apoio, passemos à determinação dos esforços solicitantes numa seção genérica S de uma grelha e ao traçado de seus respectivos diagramas. Pode-se afirmar que, numa seção genérica de uma grelha, tendo em vista a natureza das cargas atuantes, podem atuar três tipos de esforços seccionais: esforço cortante Q; momento fletor M e momento torçor T.

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Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos, os esforços seccionais numa grelha são determinados, para cada seção transversal, considerando-se todas as cargas e reações aplicadas na estrutura, localizadas em um dos lados da seção considerada. Além disso, para traçado de diagramas, também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como uma viga biapoiada, desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes.

Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos, os esforços seccionais numa grelha são determinados, para cada seção transversal, considerando-se todas as cargas e reações aplicadas na estrutura, localizadas em um dos lados da seção considerada. Além disso, para traçado de diagramas, também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como uma viga biapoiada, desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes. A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página anterior. A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página anterior.

29/6/2007 67

Q

qLx

Vb

Vd

P1

P2

T

M

-P2Lx/2

-(Vd-P2)Ly

(Vd-P2)Ly

P2Lx/2 P2Lx/2

(Vd-P2)Ly

Vd

VaLy

qL2x/8

Va

Observações importantes: As convenções correspondem ao apresentado no item 2.3. Para o cálculo dos momentos fletores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou do outro da seção multiplicadas pela distância na direção paralela a barra. Para o cálculo dos momentos torçores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou do outro da seção multiplicadas pela distância na direção perpendicular a barra.

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Recordando 4 – Pórticos x Grelhas Abaixo apresenta-se um resumo comparativo entre pórticos planos e grelhas planas:

Pórticos planos

Equações de equilíbrio 0=∑ xF

0=∑ yF

0=∑ zM

Esforços atuantes Normal

Cortante Momento Fletor

Momento Torçor

Cálculo das reações o somatório dos momentos é calculado usando

a distância de cada força ao ponto considerado.

Grelhas planas Equações de equilíbrio

0=∑ zF

0=∑ xM

0=∑ yM Esforços atuantes Normal Cortante Momento Fletor Momento Torçor Cálculo das reações o somatório dos momentos é função das forças e suas distâncias em relação ao eixo considerado.

5.5- Exercícios resolvidos 1) Traçar os diagramas de esforços para a grelha engastada abaixo:

VA = 10kN

Esforço cortante: Barra a-b: 4kN à direita: +4kN Barra d-e: 6kN à esquerda: -6kN Barra e-f: 10kN à esquerda: -10kN Barra g-h: 2kN à direita: +2kN Barra g-d: 2kN à frente: -2kN Barra d-a: 4kN atrás : +4kN

MAy=6kN

MAx=52kN

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Barra i-e: 2kN à frente: -2kN Barra i-e: 2kN à frente: -2kN Barra e-c: 2kN atrás : +2kN Barra e-c: 2kN atrás : +2kN Momento fletor: Momento fletor: Barra a-b: Barra a-b: Em a: 4 x 2 kNm -8kNm (tração superior) Em a: 4 x 2 kNm -8kNm (tração superior) Em b: 4 x 0 kNm 0 Em b: 4 x 0 kNm 0 Barra g-h: Barra g-h: Em g: 2 x 2 kNm -4kNm (tração superior) Em g: 2 x 2 kNm -4kNm (tração superior) Em h: 2 x 0 kNm 0 Em h: 2 x 0 kNm 0 Barra c-e: Barra c-e: Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em c: 2 x 0 kNm 0 Em c: 2 x 0 kNm 0 Barra e-i: Barra e-i: Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em e: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em i: 2 x 0 kNm 0 Em i: 2 x 0 kNm 0 Barra a-d: Barra a-d: Em d: 4 x 3 kNm -12kNm (tração superior) Em d: 4 x 3 kNm -12kNm (tração superior) Em a: 4 x 0 kNm 0 Em a: 4 x 0 kNm 0 Barra d-g: Barra d-g: Em d: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em d: 2 x 3 kNm -6kNm (tração superior) Em g: 2 x 0 kNm 0 Em g: 2 x 0 kNm 0 Barra d-e: Barra d-e: Em d: (4 + 2) x 2 kNm +12kNm (tração inferior) Em d: (4 + 2) x 2 kNm +12kNm (tração inferior) Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) Barra e-f: Barra e-f: Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) Em e: (4 + 2) x 2 kNm -12kNm (tração superior) Em f: (4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior) Em f: (4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior)

52 8 4

12 +8 2 4 12

6 +6 +6 6 6

6 10 12

-4 2

2 4 2

Momento torçor: Barra a-b: 0 Barra c-e: 0 Barra e-i: 0 Barra g-h: 0 Barra a-d: 4 x 2 kNm +8kNm Barra d-g: 2 x 2 kNm -4kNm Barra d-e: 4 x 3 – 2 x 3 +6kNm Barra e-f: 4 x 3 – 2 x 3 +6kNm



5.6- Exercícios propostos 1 – Classificar as grelhas quanto à estaticidade e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as grelhas isostáticas: a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

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n) o) n) o)

5.7- Respostas dos exercícios propostos 1 – a) isostática

Q M T

2

0,5 0,5 2

2

6

2 2

-6

6 b) hiperestática c) hipostática d) hiperestática e) isostática

Q M T 6

2 0,5 12

2

4

6 6 -6

+6 3,75

2,25

2 2 9

15



f) hipostática g) hipostática h) hiperestática i) isostática

Q M T

2

12

12

12

1 2 2 1 6 6

4 4

2

3 +6

1 -6 5

8

j) hiperestática l) isostática

Q M T

26 6

2 0,5 2

-6 8 2 6 6

6 2 2 +6 +6

2 2

m) hipostática n) hipostática o) hiperestática

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Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano

Capítulo 6 – Treliças isostáticas planas 6.1 – Introdução Este capítulo será dedicado ao estudo das treliças isostáticas. Chama-se treliça a estrutura constituída exclusivamente por barras retas birrotuladas e sob carregamento aplicado apenas nas rótulas. As treliças são capazes de vencer grandes vãos com um peso pequeno em relação ao que seria necessário para uma viga vencer a mesma distância. No entanto, as treliças funcionam baseadas em sua disposição de barras e dimensões e tendem a exigir uma altura estrutural maior. Costumam ser muito adotadas em coberturas e passarelas. Em geral as barras de uma treliça são finas e podem suportar pequena carga lateral. Todas as cargas são, portanto, aplicadas às juntas e não às barras. Embora as barras sejam unidas por meio de conexões pivotadas ou soldadas, costuma-se considerar que as barras são unidas através de pinos; logo, as forças que atuam em cada extremidade de uma barra reduzem-se a uma única força sem nenhum momento 6.2 - Treliças planas São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas apenas por forças normais.

Hipóteses de Cálculo: 1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito (rótulas). 2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça. 3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades. 4) As barras são solicitadas somente por esforço normal. Na realidade as ligações entre as barras não são rótulas perfeitas, sendo esta uma simplificação de cálculo. Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um ponto, os esforços secundários são desprezíveis (por exemplo: a flexão que surge nas barras devido à rigidez dos nós).



6.3- Estaticidade de treliças planas Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática, pode-se determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras.

A condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça plana seja isostática é:

2n = b + v

Onde: n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos; b = número de barras da treliça; v = número total de reações dos vínculos externos; b + v indica o número de incógnitas do problema. 2n indica o número de equações do problema. O somatório de forças verticais e horizontais em cada nó deve ser nulo, gerando com isso 2 equações por nó.

No caso de treliças espaciais utiliza-se 3n, pois o número de equações por nó passa a ser 3 para considerar o equilíbrio das forças em 3 direções. Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas. Exemplo:

Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é deformável (hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob carregamentos particulares). O trecho ABED é hiperestático. Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente. 6.4- Método dos nós O método mais prático e usual para a solução de treliças isostáticas é o método dos nós. Consiste em determinar os esforços normais em cada barra da treliça através do somatório das forças transmitidas por cada barra a um nó específico. Desta forma, em cada nó teremos as equações:

74


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0=∑ zF e 0=∑ yF

Os passos a serem seguidos no método dos nós são resumidos abaixo:

1º - Começar por nós com apenas 2 incógnitas (duas barras de esforço normal desconhecido ou 2 reações de apoio); 2º - verificar a inclinação das barras (e vetores de forças correspondentes) que chegam ao nó analisado; 3º - resolver as duas equações de equilíbrio do nó analisado para definir os esforços normais (incógnitas) em cada uma das duas barras; 4º - transmitir os vetores invertidos para as outras extremidades das duas barras. 5º - voltar ao 1º passo até que todas os esforços estejam definidos. 6.5- Simplificação de treliças isostáticas Observe o nó abaixo:

Verifica-se que em um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três barras sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3), a barra não paralela (1) terá esforço nulo. Isso ocorre porque o somatório das forças na direção perpendicular as barras 2 e 3 deve ser nulo e a única força existente nesta direção se encontra na barra 1. As barras que atendem as condições abaixo podem ser eliminadas antes do início da resolução da treliça. a) pertencer a um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três barras sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3), b) ser a única barra não paralela as outras 2. Após a eliminação de cada barra é possível reavaliar a treliça para verificar se outras barras passaram a atender estas condições.

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6.6 – Convenção de sinais O método dos nós avalia o esforço que cada barra transfere para os nós analisados, desta forma, os vetores representados durante a resolução correspondem as reações das barras ao esforço sofrido por elas.Logo, no caso de barras de treliças, observa-se a mesma convenção de sinais adotada para tirantes e escoras. Verifica-se que apesar das setas estarem entrando na barra, o esforço normal é positivo pois as setas representam uma reação do barra às ações por ela sofridas. Ou seja, a barra está puxando os nós pois está sendo tracionada. Desta forma, em barras de treliças:

N(-) N(+)

6.7- Exercícios resolvidos 1) Calcular os esforços e reações de apoio para a treliça isostática abaixo:

Como a treliça possui apenas 3 reações de apoio, podemos resolvê-la de forma mais rápida partindo do cálculo das reações de apoio.

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

↑=

↑−=→=−⋅−⋅==

↑=+=

→==

∑∑

∑

∑

=

=

=

kNV

kNVVMMz

kNVVY

kNHX

A

BBA

n

ii

BA

n

ii

A

n

ii

25,1

25,0045,0212:0

5,1:0

5,0:0

1

1

1

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Nó A:

Barra 1: compressão


Nó B:


Barra 8: nula

Nó C:

Barra 3: tração


Nó F:

Barra 7: tração Barra 6: compressão

Nó E:

Barra 5: Compressão



6.8- Exercícios propostos 1) Calcular os esforços e reações de apoio para as treliças isostáticas abaixo usando qualquer método de resolução: a)

b)

78


c)

d)

e)



f)

g)

h)

80


i)

j)

l)



6.9- Respostas dos exercícios propostos a)

b)

c)

82


d)

e)

f)



g)

h)

i)

84


j)

l)


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