Capítulo 40

Mais ondas de matéria

40.1 A estrutura dos átomos

Inicio séc. XX estrutura átomo?

1926 física quântica

Partículas = ondas de matéria Eq. de Schroedinger

40.2 Ondas em cordas e ondas de matéria

Confinamento quantização

Estados discretosEnergias discretas

“O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas. A onda pode ter apenas uma destas energias.”

40.3 Energia de um elétron confinado

Ondas em cordas:

Armadilhas unidimensionais

V V V=0

L

x = 0 x = L

x

x

U(x)

0 L

Cálculo das energias quantizadas

L=0.39 nm

Poço de potencial infinito

Estado fundamental

1o. Estado excitado

2o. Estado excitado

3o. Estado excitado

De Broglie(onda de matéria)

Mudanças de energia

Emissão ou absorção de fótons:

E

E1

E2

E3

E4

absorção

emissão

Verificação

Coloque em ordem os seguintes pares de estados quânticos de um elétron confinado a um poço unidimensional infinito de acordo com as diferenças de energia entre os estados, começando pela maior: (a) n = 3 e n = 1; (b) n = 5 e n = 4; (c) n = 4 e n = 3.

(a)

(b)

(c)

Portanto (b) > (a) > (c)

Exercícios e Problemas

11P. Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de 250 pm de largura e se encontra no estado fundamental. Quais são os quatro maiores comprimentos de onda que podem ser absorvidos pelo elétron de uma só vez?

E

E1

E2

E3

E4

E5

40.4 Funções de onda de um elétron aprisionado

para

Resolvendo eq. de Schroedinger:

Probabilidade de detecção

Probabilidade p(x) de detecção no intervalo dx com centro em x

Densidade de probabilidade 2

n(x) no ponto x

(Intervalo dx )=

Probabilidade de detecção entre x1 e x2 =

0 50 100

x (pm)

n = 1

0 50 100

x (pm)

n = 2

0 50 100

x (pm)

n = 3

0 50 100

x (pm)

n = 15

Princípio da correspondência

“Para grandes valores dos números quânticos, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.”

0 50 100

x (pm)

n = 15

0 50 100

x (pm)

VerificaçãoA figura abaixo mostra três poços infinitos de potencial de largura L, 2L e 3L; cada poço contém um elétron no estado n=10. Coloque os poços na ordem (a) do número máximo de máximos da densidade de probabilidade do elétron, começando pelo maior; (b) na ordem das energias do elétron, começando pela maior.

L 2L 3L

Normalização

Partícula em algum lugar do espaço, logo:

Ex.:

Energia de ponto zero

Menor valor para n é 1, portanto menor energia é:

“Em sistemas confinados não existem estados de energia zero.”

Verificação

As partículas a seguir estão confinadas em poços de potencial infinitos de mesma largura: (a) um elétron, (b) um próton, (c) um deuteron e (d) uma partícula alfa. Coloque as partículas na ordem das energias de ponto zero, começando pela maior.

40.5 Um elétron em um poço finito

x

U0

0 L

Poço infinito = idealizaçãoPoço finito = mais realista

U

U(x)

Equação de Schrödinger:

E (eV)

E1=24 eV

E2=109 eV

E3=280 eV

0

450 Alto do poço

Não-quantizada

U0 = 450 eVL = 100 pm0 100x (pm)

n=1

n=2

n=3

L

Exercícios e Problemas

19E. Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Fig. 40.7 absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde x > L?

x

U0

0 L

U

U(x)U0 = 450 eVL = 100 pm

E (eV)

E1=24 eV

E2=109 eV

E3=280 eV

0

450 Alto do poço

Não-quantizada

U0 = 450 eVL = 100 pm

40.6 Outras armadilhas para elétrons

Nanocristalitos

CdSe

Pontos quânticos

Auto-organizados

Pontos quânticos

Pontos quânticosEstruturados

Currais quânticosÁtomos de Fe sobre cobre

40.7 Armadilhas eletrônicas bidimensionais e tridimensionais

2-D

periodic intwo directions

3-D

periodic inthree directions

1-D

periodic inone direction

Curral retangular (2D)

x

y

z

Ly

Lx

curral

Verificação

Na notação da equação abaixo, a energia do estado fundamental do elétron em uma caixa retangular é E0,0 ; E1,0 ; E0,1 ou E1,1?

nx, ny = 1, 2, 3, …

Caixa retangular (3D)

x

y

z

Ly

Lx

Lz

Exercícios e Problemas

26P. Um curral retangular de larguras Lx=L e Ly=2L contém um elétron. Determine, em múltiplos de h2/8mL2, onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron, (b) a energia do primeiro estado excitado, (c) a energia dos primeiros estados degenerados e (d) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estado excitado.

(a)

(b)

(c)

(d)

40.8 O átomo de hidrogênio

e-

p+

Energias dos estados do átomo de hidrogênio

Distância radial (Å)

Ene

rgia

(eV

)

A teoria de Bohr do átomo de hidrogênio

Números quânticos do átomo de hidrogênio

Módulo do momento angular orbital

Orientação no espaço do momento angular orbital

Verificação

(a) Um grupo de estados quânticos do átomo de hidrogênio tem n = 5. Quantos valores de l são possíveis para os estados do grupo? (b) Um subgrupo de estados do átomo de hidrogênio dentro do grupo n = 5 tem l = 3. Quantos valores de ml são possíveis para os estados deste subgrupo?

A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio

Estado fundamental:

a é o raio de Bohr:

Densidade de probabilidade radial, estado fundamental

Estados do átomo de hidrogênio com n = 2

Estados do átomo de hidrogênio com n = 2

Estados do átomo de hidrogênio com n = 3

Estados do átomo de hidrogênio com n = 3

Estados do átomo de hidrogênio com n = 3

Exercícios e Problemas

43P. Um fóton com um comprimento de onda de 486,1 nm é emitido por um átomo de hidrogênio. (a) Que transição do átomo é responsável por esta emissão? (b) A que série pertence esta transição?

Série de Lyman

Série de Balmer

Perguntas

1. Quando multiplicamos por 2 a largura de um poço de potencial infinito unidimensional, (a) a energia do estado fundamental do elétron confinado é multiplicada por que número? (b) As energias dos outros estados são multiplicadas por este número ou por algum outro, que depende do número quântico?

Perguntas

2. Três elétrons são aprisionados em três diferentes poços de potencial infinitos unidimensionais de largura (a) 50 pm, (b) 200 pm e (c) 100 pm. Coloque os elétrons na ordem das energias dos estados fundamentais, começando pela maior?

Perguntas

3. Se o leitor quisesse usar a armadilha idealizada da figura abaixo para capturar um pósitron, teria que mudar (a) a geometria da armadilha, (b) o potencial elétrico do cilindro do meio ou (c) os potenciais elétricos dos cilindros das extremidades? (O pósitron é uma partícula de carga positiva com a mesma massa que o elétron).

V V V=0

L

x = 0 x = L

Perguntas

4. Um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional se encontra no estado n = 17. Quantos pontos de (a) probabilidade zero e (b) probabilidade máxima; possui a onda de matéria associada ao elétron?

0 50 100

x (pm)

n = 1

0 50 100

x (pm)

n = 2

0 50 100

x (pm)

n = 3

0 50 100

x (pm)

n = 15