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Biologia EstruturalOndas e Lei de BraggProf. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.wfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. wfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Fenmenos OndulatriosPulso de OndasOndasOnda EletromagnticaRadiao EletromagnticaInterfernciaRepresentao Matemtica de OndasLei de BraggRefernciasResumo wfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Fenmenos OndulatriosFenmenos ondulatrios so comuns na natureza, desde de exemplos buclicos, como uma onda formada num lago, devido a ao da queda de uma pedra, a fenmenos no to bvios, como a propagao de ondas eletromagnticas. A representao grfica, normalmente satisfatria para os propsitos da interao da radiao eletromagntica com cristais, faz uso de funes peridicas, como a funo senoidal, representada ao lado.Pulso de OndasPodemos pensar em ondas como a propagao de energia, caso essa propagao ocorra em um meio material, como o ar, teremos ondas mecnicas, se as ondas propagam-se no vcuo teremos ondas eletromagnticas. As ondas sonoras so ondas mecnicas e podem propagar-se em meios slidos, lquidos e gasosos. Na figura abaixo temos a propagao de um pulso de uma onda em um meio material, uma corda. O pulso de uma onda a propagao da pertubao atravs do meio.Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.htmlwfdaj.sites.uol.com.brOndasCaracterizamos as ondas mecnicas peridicas, ou ondas peridicas, pela oscilao dos tomos e molculas que compem o meio, onde a onda se propaga. A freqncia da onda (f) a freqncia de oscilao do tomos e molculas do meio. O perodo, T = 1 / f, o tempo que leva para um tomo ou molcula particular passar por um ciclo completo do movimento de oscilao. O comprimento de onda () a distncia, entre dois tomos, que oscilam em fase, ao longo da direo de propagao da onda mecnica. Na representao abaixo temos a variao da amplitude em funo da posio x.wfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.xA wfdaj.sites.uol.com.brOndasA amplitude de uma onda caracteriza a grandeza fsica que varia com o tempo de forma peridica, normalmente representada graficamente no eixo y do grfico. A amplitude pode ser o campo eltrico, o deslocamento, a intensidade entre outras grandezas fsicas. O perodo da onda abaixo de 0,00227 s, o que representa uma onda de freqncia f = 1/T = 440,5 Hz, a amplitude da onda 1. Na representao abaixo temos a variao da amplitude em funo do tempo t.t(s)=0,00227sA 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.OndasTemos uma relao simples entra o comprimento de onda, velocidade de propagao da onda (v) e a freqncia da onda (f), que dada por: v = f.Por exemplo: Consideremos uma onda do mar que aproxima-se da praia com velocidade de 1,8 m/s e um comprimento de onda de 2,4 m. Com qual freqncia a onda atinge a praia?Soluo: f = v / = (1,8 m/s) / (2,4 m) = 0,75 s-1 ou 0,75 Hz .O Hertz a unidade de medida de freqncia, e representado por Hz.wfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.OndasVamos considerar outro exemplo. A figura abaixo mostra uma onda. Qual o seu comprimento de onda? Se a frequncia for de 12 Hz, qual a sua velocidade de propagao? Soluo: O comprimento de onda de 3 m. Vemos claramente na figura que num total de 6 m a onda repete-se duas vezes. Com =3 m, temos que a velocidade de propagao (v) dada como segue: v = f = 12 Hz. 3m = 36 m/s .wfdaj.sites.uol.com.br6m 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.So constitudas de campos eltricos (E) e magnticos (B) oscilantes, propagando-se com velocidade constante. Exemplos: raios X, radiao gama, ondas de rdio, ondas luminosas, radiao ultravioleta, radiao infravermelha. Como no temos, necessariamente, a oscilao de tomos e molculas na onda eletromagntica, a mesma pode propagar-se no vcuo, o que no acontece com ondas mecnicas.EBxwfdaj.sites.uol.com.brOnda Eletromagntica 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.EBxf = cComprimento de ondafreqnciaVelocidade da luzwfdaj.sites.uol.com.brOnda Eletromagntica 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Para ondas eletromagnticas deslocando-se no vcuo temos: f = c = 3 .10 m/s8wfdaj.sites.uol.com.brRadiao Eletromagntica 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. 1 km1033 MHz10230 MHz10300 MHz110 cm 10-11 cm10-21 mm10-3100 m10-410 m10-51 m10-67000 4000 1000 10-7100 10-810 = 1 nm10-91,0 10-100,1 10-111,24 MeV10-1210-15RadiaoOutras unidadesComprimento de onda (m)Fonte: Okuno, E., Caldas, I. L., Chow, C. Fsica para cincias biolgicas e biomdicas. Editora Harbra, 1982, pg. 3.Raios gama e raios XUltravioletaLuz visvelInfravermelhaOndas de rdioRadiao EletromagnticaInterfernciaQuando temos duas ou mais ondas, viajando no mesmo meio independentemente, podemos ter situaes onde elas passam uma atravs da outra. Temos a soma das ondas, que pode resultar numa interferncia construtiva, as amplitudes das ondas somam-se, como na figura abaixo.wfdaj.sites.uol.com.brTempo = 0Tempo = 1Tempo = 2 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. wfdaj.sites.uol.com.brInterfernciaAnalisando-se a interferncia construtiva de ondas senoidais, como representado nas figuras ao lado, temos que duas ondas em fase, ondas 1 e 2, onde seus mximos e mnimos coincidem e a onda apresenta o mesmo comprimento de onda, o resultado da soma das duas e uma onda com a amplitude resultante igual soma das amplitudes das ondas 1 e 2. No caso de interferncia destrutiva temos as ondas fora de fase, exatamente meio comprimento de onda, onde o mximo da onda 1 coincide com o mnimo da onda 2, o resultado da soma uma onda de amplitude zero.Interferncia construtiva Interferncia destrutiva 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. wfdaj.sites.uol.com.brRepresentao Matemtica de OndasPodemos representar matematicamente ondas, e consequentemente, fenmenos ondulatrios, por meios de funes peridicas como seno e coseno, ou combinaes dessas funes. A onda ao lado pode ser representada pela seguinte funo: E1 (t) = A . sen ( .t) , onde A indica a amplitude da onda, a freqncia angular ( = 2.f ), onde f a freqncia.E(t)t 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.A wfdaj.sites.uol.com.brRepresentao Matemtica de OndasVamos considerar a soma de duas ondas (E1 e E2), ambas com mesma freqncia, mas com amplitudes 2 u. a. e 3 u. a., respectivamente, como representado ao lado, u.a. unidade de amplitude, para deixarmos de uma forma geral.2 u. a.3 u. a.5 u. a.E1 (t) = 2.sen(.t) E2 (t) = 3.sen(.t)E(t) = E1(t) + E2(t) =E(t) = 2.sen(.t ) + 3.sen(.t) =5. sen(.t) 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.E1 (t) = 2.sen(.t)E2 (t) = 3.sen(.t)E(t) = 5. sen(.t) wfdaj.sites.uol.com.brRepresentao Matemtica de OndasConsideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A, comprimento de onda e deslocada um ngulo de fase , em relao a onda 1. Podemos representar matematicamente a onda 2 por meios da seguinte funo: E2 (t) = A . sen ( .t + ), onde A indica a amplitude da onda, a freqncia angular = 2.f , onde f a freqncia, indica a fase da onda.E(t)t 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.A wfdaj.sites.uol.com.brRepresentao Matemtica de OndasUma onda com comprimento de onda constante () caracterizada por duas quantidades, a amplitude (A) e o ngulo de fase (). Essas duas quantidades caracterizam um vetor de mdulo (A), no plano complexo, que faz um ngulo () com o eixo dos reais. Quantidades complexas (Z) so representadas no plano complexo, onde o eixo x chamado de eixo real, e o eixo y eixo complexo.Z = a + ib = A.cos() + A.sen() = = A. [cos() + sen() ] = A. ei, onde i o nmero complexo i = (-1)1/2 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Eixo RealEixo ImaginrioZ = a + ibab AZ = A.ei. wfdaj.sites.uol.com.brRepresentao Matemtica de OndasE(t)tEixo imaginrioEixoReal 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.E2E1 wfdaj.sites.uol.com.brRepresentao Matemtica de OndasE(t)tEixo imaginrioEixoRealA somatria das duas ondas pode ser representada comosegue:E(t) = E1(t) + E2(t) = E1[1 + ei.] 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1ei.E2E1Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. Considere um conjunto de planos paralelos de um retculo cristalino, como mostrado na figura ao lado, com distncia interplanar (d). Incidindo sobre este conjunto de planos paralelos temos raios X de comprimento de onda . Podemos analisar a difrao de raios X como se fosse resultado da reflexo dos raios X pelos planos. Para que ocorra difrao num dado ngulo necessrio que as ondas difratada sofram interferncia construtiva.dLei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Analisemos a diferena de caminho tico dos feixes 1 e 2, indicados na figura. O feixe 2 percorre a distncia A + B a mais que o feixe 1. Assim, para que as ondas dos feixes 1 e 2 sofram interferncia construtiva, a diferena de caminho tico entre elas deve ser um nmero inteiro de comprimentos de onda. A BA + B = 2.A = 2 d.sen dddd.sen 1212Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.A diferena de caminho tico (2 d.sen ) tem que ser um nmero inteiro de comprimento de onda (n.), onde n inteiro, assim temos: 2 d.sen = n. (Lei de Bragg) A Bdddd.sen 1212 Aplicao da Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Num experimento tpico de difrao de raios X, temos a fonte de radiao o cristal e detector, como mostrado no diagrama esquemtico abaixo. Normalmente os ngulos de difrao so expressos em relao ao feixe incidente, ou seja, 2 .2Fonte de raios XCristalDetector Aplicao da Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Ao coletarmos dados de difrao de raios X de um cristal, usando-se uma geometria como a mostrada no slide anterior teremos picos de difrao para todos os ngulos 2que satisfaam lei de Bragg. Se graficarmos a intensidade da radiao difratada contra o ngulo de espalhamento (2), teremos um grfico com o seguinte aspecto. Aplicao da Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Equipamentos que medem o padro de difrao de raios X so chamados de difratmetros. H uma grande variedade de tipos e formas de difratmetro de raios X, dependendo do tipo de experimento que se deseja realizar. A figura abaixo mostra um difratmetro de p, usado para amostras policristalinas. Aplicao da Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.No caso de colocarmos um filme fotogrfico para registrar a imagem de difrao de raios X, como mostrado no diagrama abaixo, teremos um padro de difrao de raios X bidimensional, quanto mais distante o ponto de difrao de raios X do ponto central da figura (feixe direto) maior o ngulo de espalhamento (2).2CristalFilme fotogrfico ou placa de imagemFeixe de raios XFeixedireto Aplicao da Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.Consideremos um cristal cbico primitivo com parmetro de cela unitria a = 4 . Determine a posio angular, das 4 primeiras linhas de difrao de raios X desse cristal, sabendo-se que o comprimento de onda da radiao incidente 1,54 .a = 4 Pela lei de Bragg temos: 2 d.sen = n. , determinaremos para n=1,2,3 e 4. Isolando-seo ngulo na lei de Bragg temos:sen = n./2.d = arcsen (n./2.d )Sabemos o comprimento de onda () e a distncia interplanar (a = 4 ), variando-seo n de 1 a 4 teremos os ngulos de difrao. Aplicao da Lei de Braggwfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.n ( ) 2. ( )1 11,10 22,202 22,64 45,284 35,28 70,564 50,35 100,70Para n = 1 temos: = arcsen (n./2.d ) = arcsen (1.1,54/2.4) = arcsen (0,1925 ) = 11,10 Para n = 2 temos:= arcsen (n./2.d ) = arcsen (2.1,54/2.4) = arcsen (0,385 ) = 22,64 Para n = 3 temos:= arcsen (n./2.d ) = arcsen (3.1,54/2.4) = arcsen (0,5775 ) = 35,28 Para n = 4 temos:= arcsen (n./2.d ) = arcsen (4.1,54/2.4) = arcsen (0,77 ) = 50,35 Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-Verlag.Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2nd ed.San Diego: Academic Press.Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons. Refernciaswfdaj.sites.uol.com.br 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.

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