capÍtulo 3 estratÉgias de cÁlculo 11 de agosto de 2008

CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULOESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

11 DE AGOSTO DE 2008

REVISÃO

ENGENHARIA DE PROCESSOS

Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial.

Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos.

PROCESSO ???

Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química

Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

O conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico

AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.

É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS

1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto

(a) previsão do desempenho do sistema.(b) avaliação do desempenho do sistema.

(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.

PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.

Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:

SÍNTESE

ANÁLISE

Estabelecer o número

e o tipo dos reatoresDefinir o número e o tipo dos separadores

Definir o número e o tipo de trocadores de

calor

Estabelecer malhas

de controle

Definir o fluxogramado processo

Investigar mercado para o produto

Investigar disponibilidade

das matérias primasDefinir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados

Investigar reagentesplausíveis

SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS

SÍNTESE ANÁLISE

Calcular as dimensõesdos equipamentos

Calcular o consumo de matéria prima

Calcular o consumo de utilidades

Calcular o consumo dos insumos

Calcular a vazão dascorrentes

intermediárias

Avaliar a lucratividadedo processo

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo

RM

Reator demistura

RT

Reator tubular

DS

Coluna de destilaçãosimples

DE

Coluna de destilaçãoextrativa

A

Aquecedor

R

Resfriador

T

Trocador deIntegração

A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.

Um problema com multiplicidade de soluções

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

DS

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

(7)

RM

A,B

P,A

DS

P

A

T

(8)

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

DE

(9)

DSRT RAA,B A,P

P

A

(11)

RM

A,B

P,A

P

A

T DE

(10)

DSRT A,P

P

A

T

A,B

(12)

RT RAA,B A,P

P

A

DE

(13)

RT A,P

P

A

T

A,B

DE

(14)

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

Problema: determinar o melhor par de valoresDificuldade: infinidade de soluções viáveis

Cada par (x1,x2) é uma solução viável

1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização

Fonte da complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis.

Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.

Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

Multiplicidade de Soluções

Exige a busca da

Otimização

A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização.

Solução Ótima

através da

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??A+B P+C

A,B P,C

??

1 PAB Cx

?T D

2 PAB Cx

?T A

P3DE Fx

?DM

PF

4DE x

?M E

L

x

6

x o = 3x*

8

L

xx o = 4x*

L

10

xx o = 6x*

L

x

7

x o = 5x*

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

L

x4

10

?

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem

repetiçõessem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória

(outros métodos)

INTRODUÇÃO GERAL1

INTRODUÇÃO ÀSÍNTESE DE PROCESSOS

8

6

SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO

7

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS

2

ESTRATÉGIASDE CÁLCULO

3

OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃOECONÔMICA

4 5

ANÁLISE

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS

2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos

2.1 Objetivo e Procedimento GeralCIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS

ENG. DE EQUIPAMENTOS

2.1 OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL

“Bola de Cristal”

Objetivo da Análise

Prever e avaliar

o desempenho físico e econômico

ou ainda inexistente (em fase de projeto)

de um processo já existente (em operação)

Consiste em

(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto.

BaseModelo Matemático

Prever e avaliar o desempenho FÍSICO

(b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

(???)

Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação.

BaseCritério Econômico

Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO (???)

Dimensionamento

(c) seleção de métodos para a estimativa das propriedades e dos parâmetros físicos e econômicos.

(b) modelagem matemática

(a) reconhecimento do processo

A Análise se inicia com as seguintes etapas preparatórias:

Seguem-se as etapas executivas ligadas aos objetivos da análise:

Simulação

ESTRATÉGIASDE CÁLCULO

3AVALIAÇÃOECONÔMICA

4

INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS

2

OTIMIZAÇÃO

5

Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais

MODELOFÍSICO

MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema

Otimizar ProcessoCalcular Lucro

DimensionarExtrator

DimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Exemplo: Modelo do Resfriador do Processo Ilustrativo (Capítulo 2)

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processosf1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . .fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0

24. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 025. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 026. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 027. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 028. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 029. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

Modelo do Processo

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. f13 - k (f23/f32) f12 = 005. f13 - k (f23/f32) f12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


ENG. DE PROCESSOS

Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos

Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação eotimização.

Competem ao Engenheiro Químico

(a) a Formulação (Modelagem Matemática):

(b) a Resolução :

para representar o processo matematicamente.

É pré-requisito para esta Disciplina.

Formulação e Resolução !!!

Formulação e Resolução dos Modelos

A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma

Estratégia de CálculoTema deste Capítulo

Fontes de complexidade:

Em geral, os modelos de processos são muito complexos.

(c) presença de reciclos nos processos(b) não-linearidades em muitas equações(a) grande número de equações e de variáveis

Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???

MODELOFÍSICO

MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro

Objetivo de uma Estratégia de Cálculo

minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).

FINALIDADE DO CAPÍTULO 3

Familiarização com modelos matemáticos de processos:

- sua estrutura

- os métodos de resolução

- aplicações na análise de processos complexos.

Base dos “softwares” comerciais

3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

3.1 Equações Não-Lineares

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES

A resolução dos modelos passa pela resolução de equações do tipo

f (x1*, x2*,…, xi,…, xn

*) = 0

em que a incógnita xi é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis xj*.

Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas

Métodos de resolução de equações serão invocados adiante na resolução de sistemas de equações.

3.1 Equações Não-Lineares

3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.1.1 Representação

A equação

f (x1*, ..., xi - 1

*, xi, xi + 1*,…, xM

*) = 0

pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente:

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação

f j

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x i

A dificuldade da resolução de

f (x1*, ..., xi - 1

*, xi, xi + 1*,…, xM

*) = 0

depende da sua forma funcional.

Se a incógnita fôr x2: x1* x2 + ln x1

* = 0

Se a incógnita fôr x1: x1 x2* + ln x1 = 0

A resolução pode ser analítica simples: x2 = - (ln x1*)/x1

*

A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos).

Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação

3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.1.2 Resolução

Métodos de Aproximações Sucessivas

Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares.

Métodos deRedução de Intervalos

Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior)

Partem de um valor inicial.

3.1.2 Resolução

Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi .

Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.

xsxi

(a) Métodos de Redução de Intervalos3.1.2 Resolução

xi xsxi xs

Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: xs - xi .

Um método típico de Redução de Intervalos

Método da Bisseção ou Busca Binária

A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

f(x)

x

ALGORITMO

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

xs

fs

xi

fi

x

f

Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi

Calcular fs em xs

REPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em x

Se Sinal (f) = Sinal (fs): atualizar : xs = x : fs = fSe Sinal (f) = Sinal (fi): atualizar : xi = x : fi = f

ATÉ xs - xi

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0

Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 1

0,00005 -11,51

0,5 0,307

0,5 0,307

0,375 -0,231

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5

0,25

0,125

0,0625

f = x1 x2* + ln x1

Fixando : x2* = 2,

Intervalo: xi = 0, xs = 1Tolerância: = 0,1

Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%.Com 9, o intervalo é reduzido a menos de 1%

3.1.2 Resolução

Atribui-se um valor inicial para a incógnita.

(b) Métodos de Aproximações Sucessivas

xi xs

x1 x2 x3

Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

x4

Um método típico de Aproximações SucessivasMétodo da Substituição Direta

Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.

A incógnita é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0 xi = F(xi)

F(x)

x

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .

ALGORITMOEstabelecer xinicial, (tolerância)F = xinicial

REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F

Condição para Convergência : |F´(x)| < 1

Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)

x1

x2

x3

F(x)

x

(a)

F'(x)>0 |F'(x)<1

convergência monotonica

F(x)

x1

x2

x3

x

(b)

F'(x)>0 |F'(x)|>1

divergência monotonica

F(x)

x1

x2

x3

x

(d)

F'(x) <0 |F'(x)| >1

divergência oscilante

F’(x) > 0: Comportamento Monotônico

F’(x) < 0: Comportamento Oscilatório

(c)

F'(x)<0 |F'(x)| <1

convergência oscilante

x1

x3

x2

F(x)

x

Modos de Convergência

(c)

F'(x) < 0 |F'(x)| < 1

convergência oscilante

F(x)

xx1x2 x3

F(x)

x

(a)

F'(x) > 0 |F'(x) < 1

convergência monotonica

x1x2x3

xsolução = F

Convergir = |(F - x)/x| <

ALGORITMO

Estabelecer xinicial, (tolerância)

F = xinicial

REPETIRx = F

Calcular a Função F em x

ATÉ Convergir


x1 = e - x1

x2

* F(x1) = e - x1

x2

*

x1 = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = - (1/ x2

*) ln x1

Duas formas de explicitar a incógnita:


x1 = F(x1)(x2

* = 2 : x1 inicial = 0,5)

F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x

1 x

2*

Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17

Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85

Solução: x = 0,4263

F(x)

x1 x2x3x

x1x3x2

F(x)

x

x F 0,5 0,346 0,3080,346 0,529 0,5290,529 0,317 0,4000,317 0,573 0,8060,573 0,278 0,515

x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,3020,479 0,383 0,1990,383 0,464 0,2100,464 0,395 0,149

Em resumo:

Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos:

- redução de intervalos (ex.: bisseção)

- aproximações sucessivas (ex.: substituição direta)

Esses métodos serão evocados a seguir em

Sistemas de Equações.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas

3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares3.2.1 Estrutura e representação

A equação

f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0

representada como um “processador de informação”

3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação

f j

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x i

Estrutura dos Sistemas de Equações

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x1

x2

x30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

As equações de um modelo ser interligadas pelas variáveis comuns (conexões) formando um sistema.

Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.

Estruturas Básicas

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x1

x2

x30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).

Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

Características Especiais na Engenharia de Processos

(a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.

(b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas.

(c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo

1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0

Estrutura

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 1 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0 07 0 0 0 0 0 0 1 1 08 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Matriz Incidência (Numérica)

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 * *2 * *3 * * *4 * *5 * *6 * *7 * *8 * *

Matriz Incidência (Gráfica)

Matrizes Esparsas !

1. f1(xo*,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Representação Matricial

x

x1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

Estrutura

1. f1(xo*,x1) = 0

2. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Representação Gráfica (Grafo)

Ciclo !

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação

3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.2.2 Resolução

3.2.2 Resolução

Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos- método seqüencial.

Métodos Simultâneos

Calcular F1

x1(k+1) = F1

Calcular F2

x2(k+1) = F2

TESTE

TESTE

x1 = x1(k+1)

x1k

x2k

x1(k+1)

x2(k+1)

x2 = x2(k+1)

Todas as variáveis são alteradas simultaneamente. Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em

disciplinas de Métodos Numéricos.Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...

Método Seqüencial

Elementos importantes:

(a) partição(b) abertura(c) Algoritmo de Ordenação de Equações

Aproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para minimizar o esforço computacional.

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

Decomposição em sub-sistemas

PARTIÇÃO

1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Uma estratégia para resolver o Sistema

1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8[ ] ] [ ]

Parte CíclicaParte Acíclica Parte Acíclica

xo* x2 x6 x8

Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas

ALGORITMO

ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema

Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema.

O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da

extração da raiz quadrada de um número.

Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações).

Algoritmos podem ser programas em computadores

Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Algorithm

Definition: A computable set of steps to achieve a desired result.

Note: The word comes from the Persian author Abu Ja'far Mohammed ibn Mûsâ al-Khowârizmî who wrote a book with arithmetic rules dating from about 825 A.D.. www.nist.gov/dads/HTML/algorithm.html

Origem dos Algoritmos

An algorithm (pronounced AL-go-rith-um) is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.

AlgorithmFrom Wikipedia, the free encyclopediaFlowcharts are often used to graphically represent algorithms.In mathematics and computing, an algorithm is a procedure (a finite set of well-defined instructions) for accomplishing some task which, given an initial state, will terminate in a defined end-state. Informally, the concept of an algorithm is often illustrated by the example of a recipe, although many algorithms are much more complex; algorithms often have steps that repeat (iterate) or require decisions (such as logic or comparison). Algorithms can be composed to create more complex algorithms.

http://en.wikipedia.org/wiki/Flowchart

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics

http://en.wikipedia.org/wiki/Computing

http://en.wikipedia.org/wiki/Set

http://en.wikipedia.org/wiki/Termination

http://en.wikipedia.org/wiki/Recipe

http://en.wikipedia.org/wiki/Iteration

http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_logic

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality

Um instrumento importante para a resolução de sistemas de equações

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

É um algoritmo de atribuição de tarefas: a cada equação é atribuída a tarefa de calcular uma das variáveis do sistema.

3. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.

1. Organiza as equações segundo a seqüência lógica, minimizando o esforço computacional seqüência de cálculo.

2. Efetua naturalmente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos.

Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)

Propriedades do Algoritmo (antecipando)

4. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.

ELEMENTOS BÁSICOS DO ALGORITMO

Equações de Incógnita Única

Variáveis de Freqüência Unitária

Ciclos

Equações de Incógnita Única

xo*

1 2x

1x

2

Exemplo: equação 1 no sistemaf1 (xo

*, x1) = 0f2 (x1, x2) = 0

Equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!

Pela lógica: as primeiras a serem resolvidas !

Varáveis de Freqüência Unitária

Variáveis que pertencem a uma só equação

Exemplo: x8 na equação 8f7 (x6, x7) = 0

f8 (x7, x8) = 0

7 8x*

6x

7x

8

Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equações e depois de todas que as antecedem.

Ciclos

x

3 4 5 6x

3x

4x

5

6

x2 x6

x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)

Conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.

1 2X

o*

X1

X2

7 8X

6X

7X

83 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6X

3X

4X

5

Equação Final

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5

EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2

7 x7

6 final

8 x8


7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

X6Variável de Abertura

x6

META

Produzir uma sequência de cálculo

Estruturação intuitiva simples do Algoritmo

Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)

Etapa 1Ordenar, na sequência direta as equações de incógnita única (EIU)

1.f1(xo*, x1) = 0

2.f2 (x1, x2) = 03.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0

Não há mais EIU !

1. x1 = f1(xo*)

2. x2 = f2 (x1)2.f2 (x1, x2) = 0xo

*

1 2x

1x

2

Estágio da Formação da Seqüência de Cálculo


1 2 3 4 5 6 7 8X

o*

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X6

x2 = f2(x1) = f2(f1(xo)) = f(xo)

Etapa 2

Ordenar, na seqüência inversa as equações com variáveis de frequência unitária (VFU)

1. x1 = f1(xo*)

2. x2 = f2 (x1)3.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0

Não há mais VFU !

8. x8 = f8 (x7) 7. x7 = f7 (x6)

7 8x

6x

7x

8

As equações remanescentes formam um ciclo !!!

Estágio da Formação da Seqüência de Cálculo


7 x78 x8

1 2 3 4 5 6 7 8X

o*

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X6

x2 = f2(x1) = f2(f1(x0)) = f(x0) x8 = f8(x7) = f8(f7(x6)) = f(x6)

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas

(d) Estabelecer o esquema de convergência

1 2X

o*

X1

X2

7 8X

6X

7X

8

(a) Selecionar uma Equação Final(b) Retornar à Etapa 2 (VFU)(c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação)

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5

Equação Final

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5



7 x7

6 final

8 x8


7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

x6

Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

1 2X

o*

X1

X2


Algoritmo de Ordenação de Equações

Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.

7 8X

6X

7X

8


7 x78 x8


Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5

Equação Final

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5



7 x7

6 final

8 x8


7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

x6


Enquanto houver equações

Enquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

Enquanto houver variáveis de freqüência unitária(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X *

2 * *

3 * * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Seqüência

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)

Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X *

3 * * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

Seqüência

1 - x1

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Equações de Incógnita Única (EIU)

Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Seqüência

Equações de Incógnita Única (EIU)

Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical


1 2X

O*

X1

X2

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

Seqüência

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência




7 x78 x8

1 2X

O*

X1

X2

7 8X

7X

8X6

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

Ciclo!

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

Equação Final: 6

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 final

7 - x7

8 - x8

Seqüência

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X O X

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 - x3

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X O X

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

Variável de Abertura: x6

1 - x1

2 - x2

3 - x3

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

x6

Seqüência

Resolução do Ciclo (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (d) Estabelecer o esquema de convergência

EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x23 x34 x45 x56 final7 x78 x8

1 2 3 4 5 6 7 8X

O*

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X6

X6 x6: variável de abertura

equação final

x6

Esquemas de resolução do subsistema cíclico por aberturax6a

3 4 5 6

x6a

x2 x3 x4 x5 x6

BISS(a) Bisseção

A cada iteração:- arbitra-se x6a segundo o método da bisseção equações 3 e 6.- resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5.- pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6).- avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

Esquemas de resolução do subsistema cíclico por abertura

(b) Substituição Direta

Arbitra-se x6c inicial.A cada iteração:- toma-se x6a = x6c . - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c.- avalia-se a convergência através do erro relativo.

x1

x2

x3

x6c

x6a

x6c

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

SDx6a

Comparação dos esquemas de resolução do subsistema cíclico

(a) Bisseção

Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir)

x6a

3 4 5 6

x6a

x2 x3 x4 x5 x6

BISS

(b) Substituição Direta

Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).

x6c

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

SDx6a


(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

Enquanto houver equações

Enquanto houver variáveis de freqüência unitária(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.

Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.

x*1 2

x1

x2o

7 8x

6x

7x

8

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5 x6

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.


Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.

1 f1(x1, x2)2 f2(x2, x3, x4) = 03 f3(x3, x4) = 04 f4(x4) = 0

Sistema 1

G = 0 : solução única, sem variável de projetoCiclo potencial: pode haver variável de abertura

1 * *2 * * *3 * *4 *

x1 x2 x3 x4

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4Grafo


(c) remover a variável.

4 x4

3 x3

2 x2

1 x1

Seqüência de CálculoEquação Variável

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4

1 * *

2 * * *

3 * *

4 *

X

X

X X

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica

PROCESSOLEE*

4 3 2 1x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

x4 x3 x2 x1

4 x4

3 x3

2 x2

1 x1


Sistema 2

1 f1(x1,x2)2 f2(x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0

G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto.Ciclo potencial: pode haver variável de abertura.

1 * *x1 x2 x3 x4 x5

2 * * *3 * *4 * *

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x5

Grafo


Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

4 x5

3 x3

2 x2

1 x1

Seqüência de Cálculo

Equação VariávelMatriz Incidência

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * *

3 * *

4 * *

X

XX X

X


(c) remover a equação.

x4 variável de

projeto

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.

(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.

O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica

x1 x2 x3 x4 x5 Equação Variável

1 o x 3 x3

2 o x x 2 x2

3 o x 1 x1

4 x o 4 x5

x4 : variável de projeto

PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLEE*

3 2 1x3

4x2 x1 x5

x4

AVALIAÇÃOECONÔMICA

x1 x2 x3 x5

Sistema 3

1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4) = 0

G = 0: solução única, sem variável de projetoCiclos potenciais: podem haver variáveis de abertura

x1 x2 x3 x4

1 * *2 * * * *3 * *4 *

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x1

Grafo



4 x4

3 x3

1 x2

2 final


Matriz Incidência x1 x2 x3 x4

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 *

XX XXX

X

x1: Variável de Abertura

O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica

x1 x2 x3 x4 Equação Variável1 x o 4 x4

2 x x x x 3 x3

3 o x 1 x2

4 o 2 final

x1 : variável de abertura

PROCESSOLEE*

4 3 21x4 x3 x2

x1


x1 x2 x3 x4

Sistema 4

1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0

G = 1: problema de otimização com variável de projetoCiclos potenciais: pode haver variáveis de abertura

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *2 * * * *3 * *4 * *

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x1

x5

Grafo

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 * *

X

X X X

X 4 x5

3 x3

1 x2

2 final


Equação Variável

X

X


(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.


Enquanto houver equações com incógnita única


O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica

E*PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLE

3 21x

4x

3

x4

2x

x1

5x

1x

2x

3x

5 AVALIAÇÃOECONÔMICA

x4: variável de aberturax1 : variável de projeto

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 * *

X

X X X

X 4 x5

3 x3

1 x2

2 final


Equação Variável

X

X

x1

x4

COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS

PROCESSO

OTIMIZAÇÃO* LEE x

13 2 1

x4

x3

x2

x1

x2

x3

x

x

5 5

4


PROCESSO

OTIMIZAÇÃO* LEE x

13 21x

4x

3

x

2x

1

x2x

3x

x

5 5

4


PROCESSO* LEE x

14 3 2 1x

4x

3x

2x

1x

2x

3x

4AVALIAÇÃOECONÔMICA

Sol.únicasem ciclo

Otimizaçãocom ciclo

Sol.únicacom ciclo

Otimizaçãosem ciclo

PROCESSO* LEE x

14 3 21

x4

x3

x2

x1

x 2 x 3 x4


REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DOALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

- Variáveis discretas- Variáveis de cálculo direto e iterativo- Variáveis limitadas- Ciclos múltiplos- Variáveis de abertura e de projeto- Eliminação de ciclos.

Variáveis Discretas

Seus valores são limitados a um conjunto finito.

Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- diâmetros comerciais de tubos.- número de estágios.

Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.Assim:

- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !)

a = 0,5 : x = 1 y = 0,5a = 1 : y = 1 x = 1

x

ya = 1

a = 0,5

G = 2 (duas variáveis de projeto)

Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5]

Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo

Exemplo

43

21

4321

TTTT

ln

)TT(TT

Nesta equação:

- é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s)

As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.

Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

Varáveis Limitadas

Os seus valores variam entre limites bem definidos.

Exemplos:- frações mássicas ou molares- temperaturas em trocadores de calor

Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de

projeto.

Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo

para que essa preferência seja concretizada.

Ciclos Múltiplos

f1(xo,x1,x3) 0

f2(x1,x2) 0

f3(x2,x3) 0

f4(x3,x4) 0

f5(x4,x5,x7) 0

f6(x5,x6) 0

f7(x6,x7) 0

=

=

=

=

=

=

=

1

2

4

56

1. x

2. x

3. final

4. x

5. x

6. x

7. final

x3

x7

Ciclos em Sequência

Primeira entrada de x7: eq. 5


Fechar o ciclo com a final mais próxima

Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

Ciclos Aninhados

00

00

f x x xf x x xf x x xf x xf x x xf x x xf x x

1 o 1 7

2 1 2 6

3 2 3 5

4 3 4

5 3 4 5

6 5 6 7

7 6 7

0

0

0

( , , )( , , )( , , )( , )( , , )( , , )( , )

===

===

=

X4

X7

1. x1

4. x3

6. x5

3. x2 5. final

7. x6

2. final

Ciclos Múltiplos



Fechar o ciclo com a final mais próxima

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas

(a)

1. x 12. x 2

4. x 4

6. x 6

3. x 3

x7x5

5. final

7. x 8

Escolha ConvenienteCiclo com 3 equações

1. x 12. x 2

4. x 4

6. x 6

3. x 3

x7x5

5. final

(b)

7. x 8

Escolha InconvenienteCiclo com 4 equações

Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o

menor número de equações.

Eliminação de Ciclos

31 = 1 - X1131. X

32 = 1 - X12

13 = k X12 / [1 + (k - 1) X12 ]

3 = W1 X11r / X1301. W2 = W1X31/ X32

32. X

23= 03. W15

=

2 =

T3 =

=

02'.X12 = X11(1 - r) / [X31+ X11(1 - r)]

07. W

06. T

05. Vd

08.

04. X

33. X

31 = 1 - X1131. X

32 = 1 - X12

13 = k X12 / [1 + (k - 1) X12 ]

3 = W1 X11r / X1301. W2 = W1X31/ X3202. W1*X11* - W2 X12 - W3 X 13 = 0

32. X

23= 03. W15

=

2 =

T3 =

=

X12

07. W

06. T

05. Vd

08.

04. X

33. X

Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita.Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüênciafica sem ciclo.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos

Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações).

Motivação para estudar os equipamentos isolados:

Montar as rotinas de dimensionamento e de simulaçãoque integram o programa de análise do processo.

Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS

Projeto e Análise dos Equipamentosde Processo

ReatoresTrocadores de calorSeparadores

Torres de destilaçãoTorres de absorçãoExtratoresCristalizadoresFiltrosOutros...

Instrumentos de Controle Automático

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


Tratamento compartimentado!

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

W6

T6

W10 T10

W13 T13 W11

T11

W8

T8

W1

x11

T1

f11

f31

W7 T7

W5 T5

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

W12 T12

W12 T12

W14 T14

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

Vd Ae

AcAr

Alimentação

Vapor

ÁguaÁgua

Benzeno

Benzeno

Produto

Condensado

W15 T15

W10 T10

W13 T13

W12 T12

RESFRIADOR

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15

W8

T8

W5 T5

W12 T12

CONDENSADOR

58

9

Ac

Água

W10 T10

10

Benzeno

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

EVAPORADOR

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

Extrato

Fragmentando o Processo ...

01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 002. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 003. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 004. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: f13 - k (f23/f32) f12 = 005. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 006. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Equação de Dimensionamento: Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13/f11 = 009. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 010. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0

EXTRATOR

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15

T15

34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 035. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 /W1 = 036. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f22 – W2 = 037. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12/W2 = 038. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

W3 x13

T3 f13 f23

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W15 = 37.425 kg/hW15

Vd = 11.855l

Balanço de InformaçãoV = 22N = 16C = 4G = 2 !

Metas de Projeto Máximo = 2V = 22N = 16C = 4M = 2G = 0

DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

f11 f12 f13 Eq. Var.1 X O X W15 f23 35 f112 O X f31 f32 8 f133 X O k 1 f124 X X O X X Td 34 f315 O X T1 T15 3 f326 X X X X X X Vd 36 W27 X X X O X r 37 x128 X O X T2 Td 5 k9 X O T3 4 f2310 X O W1 2 W1534 X O X x11 635 O X X W2 7 Vd36 X X O x12 38 W337 X X O W3 39 x1338 X X O x13 9 T239 X X O 10 T3

DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

35. f11 = x11 W1

08. f13 = r f1101. f12 = f11 - f13 34. f31 = W1 - f11 03. f32 = f3136. W2 = f12 + f32 37. x12 = f12 / W2 e = f11 Cp1 + f31 Cp3 : f = f13 f32 * Cp2l / f12 a = 0.04 : b = f / e - 0.04 T1 + 3 : c = 3 T1 + T15 f / e d = (b2 + 4 a c)06’. Td = (d - b) / 0.08 (Variável de Abertura)05. k = 3 + 0.04 Td (Início do Ciclo)04. f23 = f13 f32 / k / f12 02. W15 = f23 (Final do Ciclo)07. Vd = (f11 / r1 + W15 / r2 + f31 / r3) 38. W3 = f13 + f2339. x13 = f13 / W309. T2 = Td 10. T3 = Td

Dimensionar o Extrator

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855 l fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.425 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

1

15

Alimentação

Extrato

3

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

V*d = 11.855 l

W*15 = 50.000 kg/h

T*15 =25 oC

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

1

15

Alimentação

Extrato

3

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h

W15 = 37.425 kg/hW15

Vd = 11.855 l

r = 0,67 = 0,075 h

W2 = 99.867 kg/hx12 = 0,0007

T2 = 25 oCf12 = 67 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 50.133 kg/hx13 = 0,0026

T3 = 25 oCf13 = 133 kg/hf23 = 50.000 kg/h

SIMULAÇÃO DO EXTRATOR

G = 0 !

f11 f12 f13 Eq. Var.1 X X O W15 f23 2 f232 X O f31 f32 35 f113 X O k 6 Td4 X X X X X Td 5 k5 O X T1 T15 9 T26 X X O X X Vd 10 T37 X X X X O r 34 f318 X O O T2 3 f329 X O T3 7 10 X O W1 f12 1 f1334 X O X x11 435 O X X W2 8 r36 X X O x12 36 W237 X X O W3 37 x1238 X X O x13 38 W339 X X O 39 x13

SIMULAÇÃO DO EXTRATOR

02. f23 = W15

35. f11 = W1 x11 a = f11 Cp1 + f31 Cp3

b = W15 Cp2l

06. Td = (a T1 + b T15) / (a + b) 05. k = 3 + 0.04 Td 09. T2 = Td

10. T3 = Td 32. f31 = W1 - f11

03. f32 = f31 07. = Vd / (f11 / r1 + W15 / r2 + f31 / r3)04. f12 = f11 f32 / (f32 + k * f23) (Variável de Abertura)01. f13 = f11 - f12 (Início e Final do Ciclo)08. r = f13 / f11

36. W2 = f12 + f32

37. x12 = f12 / W2

38. W3 = f13 + f23

39. x13 = f13 / W3

Simular o Extrator

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

RESFRIADOR

W10 T10

W13 T13

W12 T12

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC.

W13 = T*

13 = 25 oC

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = T*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar

Água

W11 = T*

11 = 15 oC

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar = 361 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 36.345 kg/hT*

13 =25 oC

W11 W12 Eq. Var

26 X O W10 W13 27 W13

27 X O Qr T11 T12 29 Qr

28 O X X X T10 T13 28 W11

29 X O X X Ar r 26 W12

30 X O X 30 Ar

31 X X X X O 31 r

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR

27. W13 = W10

29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13)28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11))26. W12 = W11

30. Ar = Qr / (Ur dr ) d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11

31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)

Dimensionar o Resfriador

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR

Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saida do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento.

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar = 361 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 36.345 kg/hT*

13 = 25 oC

W*10 = 20.000 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT12 = 25 oC

10

11

12

13A*

r = 361 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 20.000 kg/hT13 = 17 oC

Resultado do dimensionamento

W11 W12 Eq. Var

26 X O W10 W13 26 W12

27 X O Qr T11 T12 27 W13

28 X X X O T10 T13 28 T12

29 X X X O Ar r 29 T13

30 X X X Qr 31 r31 X X X X O 30

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR

26. W12 = W11

27. W13 = W10 T = T10 - T11

a1 = 1 / (W10 Cp2l): a2 = 1 / (W11 Cp3): e1 = Exp (Ur Ar (a1 - a2))30. Qr = T (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) (Variável de Abertura)28. T12 = T11 + Qr a2 (Início do Ciclo)29. T13 = T10 - Qr a1

d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11

31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) (Fim do Ciclo)

Simular o Resfriador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

CONDENSADOR

W5 T5

W10 T10

W9 T9

5

8

9

10

Ar

Água

W8 T8

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC .

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 T*

5 = 80 oC

W9 T*

8 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 T*

8 = 15 oC

Ac

W10 = 36.345 kg/hT*

5 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 119 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

W8 W9 Eq. Var

20 X O W5 W10 21 W10

21 X O Qc T8 T9 23 Qc

22 O X X X T5 T10 25 c

23 X O X X Ac c 22 W8

24 X O X 20 W9

25 X X X X O 24 Ac

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR

21. W10 = W5

23. Qc = W5 2

d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8

25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))20. W9 = W8

24. Ac = Qc / (Uc * dc)

Dimensionar o Condensador

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. O condensador conta com um sistema de controle que manipula a vazão de água de modo a garantir a saida do benzeno como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC.

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 119 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = 20.000 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 35.718 kg/hT9 = 67,7 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 35.718 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 119 m2

resultado do dimensionamento

W8 W9 Eq. Var

20 X O W5 W10 21 W10

21 X O Qc T8 T9 23 Qc

22 O X X X T5 T10 24 c

23 X O X X Ac c Biss 25 T924 X X O 22 W8

25 X O X X X 20 W9

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR

21. W10 = W5

23. Qc = W5 2

24. dc = Qc / (Uc Ac)25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção)22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8))20. W9 = W8

Simular o Condensador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 012. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 013. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 014. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 017. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 018. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 019. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0

EVAPORADOR

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

Extrato

38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f33 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 040. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 041. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR

Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.

W6

T*6 = 150 oC

W7 T*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 f23

W4 x*

14 = 0,10

T4 f14 f24

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3 Td* = 80 oC

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = 1.201 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081 kg/h

4

67

Ae

Vapor

W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

f13 f14 Eq Var11 X O f23 f24 W5 17 e12 X X O W6 W7 18 T413 X O T6 T7 Qe 19 T514 O X X X Te T3 39 f1315 X X X O X X Ae e 11 f1416 X O X 38 f2317 X X O T4 41 W418 X O T5 40 f2419 X O W3 12 W538 X O X x13 15 Qe39 O X X W4 16 Ae40 X O X x14 14 W641 X O X 13 W7

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR

15. De = T6 - T35. f13 = W3 x13

09. f14 = f13

34. f23 = W3 - f13

37. W4 = f14 / x14

36. f24 = W4 - f14

10. W5 = f23 - f24

13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 l212. W6 = Qe / (l3 + Cp3 (T6 - T7))11. W7 = W6

14. Ae = Qe / (Ue De)

Dimensionar o Evaporador

SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR

Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. O evaporador é dotado de um sistema de controle que manipula a vazão de vapor de modo a garantir que esse vapor saia como líquido saturado a 150 oC.

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = 1.201kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h

4

67

Ae

Vapor

W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Td* = 80 oC

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h

W4 = 16.931 kg/h x14 = 0,095T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 16.771 kg/h

4

67

Ae

Vapor

W5 = 33.069 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

resultado dodimensionamento

f13 f14 Eq Var11 X O f23 f24 W5 17 e12 X O X W6 W7 16 Qe13 X O T6 T7 Qe 14 W614 O X X X Te T3 13 W715 X X O X X X Ae e 18 T416 O X X 19 T517 X X O T4 39 f1318 X O T5 11 f1419 X O W3 38 f2338 X O X x13 15 W539 O X X W4 12 f2440 X X O x14 40 W441 X X O 41 x14

SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR

15. De = T6 - T14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))11.W7 = W6

35. f13 = W3 * x13

09. f14 = f13

34. f23 = W3 - f13

13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l210. f24 = f23 - W536. W4 = f14 + f24

37. x14 = f14 / W4

Simular o Evaporador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos e que pertencem.

É a estratégia mais indicada para dimensionamento.

O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.

3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL

Existem duas estratégias básicas:

- Estratégia Global- Estratégia Modular

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. f13 - k (f23/f32) f12 = 005. f13 - k (f23/f32) f12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0

f11 f12 f13 E V1 * O * W15f23 5 k2 O * f31 f32 9 T23 * O k 10 T34 * * O * * Td 17 De5 O X T1T15 18 T46 * * X X O Vd 19 T57 * * * O X r 25 dc8 * O X T2 35 f119 X O T3 8 f1310 X O f14 1 f1211 * O f24W5 11 f1412 * * O W6W7 34 f3113 * O T6 T7 Qe 3 f3214 O X X * Te 4 f2315 * * * * O X Ae e 2 W1516 * O * 6 T1517 X X O T4 7 Vd18 X O T5 36 W219 X O W8W9 37 x1220 * O W10 38 W321 * O Qc T9 T8 39 x1322 O * X X T10 41 W423 * * O X Ac c 40 f2424 * O * 12 W525 * X X X O W11W12 15 Qe26 * O W13 14 W627 * O Qr T11T12 13 W728 O * X X T13 16 Ae29 * X O * A r r 21 W1030 * O * 23 Qc31 X X X * O W14T14 22 W832 * * O 20 W933 * * O * X W1 24 Ac34 * O X x11 27 W1335 O X X W2 32 W1436 * * O x12 33 T1437 * * O W3 31 dr38 * * O x13 29 Qr39 * * O W4 28 W1140 * O * x14 26 W1241 * O X 30 Ar

Extrator

Evaporador

Correntes Multicomponentes

Condensador

Resfriador

Misturador

Dimensionar Processo

(03) T3 = T2

(13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r(31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12)(34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23

(33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52

(18) W10 = W5

(20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.4.2 Estratégia Modular

3.4.2 Estratégia Modular

Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo.

Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma.

É a estratégia mais indicada para simulação.

Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular

O fluxograma exibe um reciclo.

A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5

O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido noDimensionamento.

Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o deSubstituição Direta.

Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possívelde variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5).

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular

EXTRATOR

RESFRIADOR

MISTURADOR

CONDENSADOR

EVAPORADOR

SS

18. W10

20. Qc

19. c

22'. T9

21. W8

17. W9

24. W13

23. W12

25'. Qr

28. T13

27. T12

26. r

29. W15

30. T15

02. f23

32. f11

31. f31

03. f32

05. T2

07. 06. T3

01' f12

04. f13

08. r

W1

T1

x11

f11

f31

W15

T15

W45

T14W13

T13

W10

T10

f13

f23

T3

W4

T4

x14

f14

f24

09. f14

13. T4

16. e

15. Qe

12. W6

14. W5

10. f24

11. W7

33. W4

34. x14

T5

T2

f12

f32

W5a

W5c

Repetição até convergir :

|W5c – W5a| / W5a

SUB SimularOProcesso'----------------------------------------------------------------------------INPUT "W5= "; W5cW5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))NoDeIteracoes = 0DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizerLOOP UNTIL ConvergirEND SUB

PRINCIPAL

Simular

Simular

Simular

Simular

Simular

Simular

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

DimensionarExtratorExtrator

EvaporadorEvaporador

Condensador Condensador

ResfriadorResfriador

MisturadorMisturador

ProcessoProcesso

Mostrar Lucro doCalcular Lucro doEmpreendimento

Processo

Resolver Problema

Otimizar

Empreendimento

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Simulação de Processos com Estrutura Complexa

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Procedimento:(a) identificação dos ciclos.(b) seleção das correntes de abertura(c ) construção do algoritmo de simulação

(a) Identificação dos Ciclos

O procedimento é o de Traçado de Percursos (labirinto)Trabalha-se com uma Lista Dupla: corrente e equipamento de destino.O resultado é lançado na Matriz Ciclo-Corrente (correntes que participam de cada ciclo).

Corrente: Destino :

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

C: D:

3 4 5 6 711*

22 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

814

11

22

33

541

22

33

541

C: 1 2 3 5D: 1 2 3 4

765

86

1110 4

765

86

1110 4

7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8

13 2

7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7

1295

86

1110 4

C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7

1295

86

1110 4

12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8

13 2

12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8

13 2

(b) Seleção das Correntes de AberturaMatriz Ciclo - Corrente

ALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C

000000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C

000000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C

300000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C

380000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C

300000

A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação

1 2 3 4 5 6 7 81* 2

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

143

Abrir C3

REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)

REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)

ATÉ Convergir C8

Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)

ATÉ Convergir C3

Abrir C8

Corrente 1: única conhecida

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular

3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Fontes de incerteza:

(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes...

A análise de processos é executada em ambiente de muita incerteza.

A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através daAnálise de Sensibilidade

(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).

(b) questionamento do desempenho futuro. Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto ?

(a) questionamento do próprio dimensionamento.Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ?

A Análise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos óbvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em ambiente de incerteza.

Fazem parte da Análise:

- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.

- as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto).

- os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros Controle !!!).

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.

Fundamento da Análise de SensibilidadeExemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

0

TTTTln

)TT()TT(.4

0UAQ.30)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i.

: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.

Fundamento da Análise de Sensibilidade

i *

F

i

*ii

ii

)(F);F(S

Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i*

Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais

)(F)(F

)/()](F/)(F[

)/;F/F(S*i

*i

*ii

i

1

*ii

*ii*

ii*

Vantagens:(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros.(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau.

Nova definição de Sensibilidade:

Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*

1

F/F*

i / i *

)(F)(F

)/()](F/)(F[

)/;F/F(S*i

*i

*ii

i

1

*ii

*ii*

ii*

F

i i *

F*

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada

Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear

)(F)(F

)/()](F/)(F[

)/;F/F(S*i

*i

*ii

i

1

*ii

*ii*

ii*

i

*i

*i

*ii

*i

*i

*i

i

*ii

*i*

ii*

)(F)(F)(F

)(F)(F)(F

)/;F/F(S

01,0/ *ii

)*i

*i

*i*

ii*

F()F(ξ)ξF(1,01100)/ξ;S(F/F

S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza

de 1% em i

|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

)*i

*i

*i*

ii*

F()F(ξ)ξF(1,01100)/ξ;S(F/F

S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686

S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156

S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99

S(W3;U) = 0

QUESTIONAMENTO DO PROJETORe-dimensionamento com U = 101

QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHOSimulação com U = 101

DIMENSIONAMENTO ORIGINAL(BASE)

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

[U = 100]

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/hT3

* = 15 oC

T4* = 30 oC

[U = 101]

A = 262,93 m2

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

T3* = 15 oC

W3 = 44.000 kg/h

T4* = 30 oC

T 2* = 25 oC

[U = 101]

T2 = 24,828 oC

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

T3* = 15 oC

W3* = 44.000 kg/h

T4 = 30,047 oC

A* = 265,6 m2

Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada):

n

1i*i

*ii*

ii*

*

*

)/;F/F(S)(F

)(F)(F

);F(S01,0)/;F/F(S01,0)(F

)(F)01,1(F n

1i

*ii

**

**

Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:

)F(ξ)F(ξ)ξF(1,01100)ξ/ξ;S(F/F

*

****

A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

Questionamento do Projeto

Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto:

i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)W1 1 1 0,93

T1 1,45 0,45 1,21

T3 1,01 0,56 0,88

Cp1 1 1 0,93

Cp3 - 1 0 - 0,78

U 0 - 1 - 0,13

Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

S(F; ) 3,46 2,01 3,04

Questionamento do Projeto

Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros:

i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)S(F; ) 3,46 2,01 3,04

Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho

Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:

i S(T2; i) S(T4; i)W1 0,80 0,32

T1 0,48 0,63

T3 0,48 0,37

W3 - 0,12 - 0,47

A - 0,68 0,17Cp1 0,80 0,32

Cp3 - 0,12 - 0,47

U - 0,68 0,17

Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

S(F; ) 0,96 1,04

Questionamento do Desempenho

Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:

i S(T2; i) S(T4; i)S(F; ) 0,96 1,04

Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

capÍtulo 3 estratÉgias de cÁlculo 11 de agosto de 2008

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