capÍtulo 3 estratÉgias de cÁlculo 03 de julho de 2014

CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULOESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

03 de julho de 2014

REVISÃO DOS CAPÍTULOS ANTERIORES

1.1. INTRODUÇÃO GERALINTRODUÇÃO GERAL

INTRODUÇÃO GERAL1

INTRODUÇÃO ÀSÍNTESE DE PROCESSOS

8

6

SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO

7

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS

2

ESTRATÉGIASDE CÁLCULO

3

OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃOECONÔMICA

4 5

ANÁLISE

É o campo da Engenharia que congrega os conceitos e os métodos destinados à

concepção, ao projeto e à operação de processos químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

Implícitos na sua prática encontram-se o emprego intensivo de recursos computacionais e o atendimento a requisitos de

natureza econômica, material, energética, de preservação ambiental e de segurança.

em que se encontram integrados equipamentos de reação, separação, integração material e

energética e controle.

O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto

AtéÀ conclusão do Projeto

As ações são numerosas e diversificadas !!!

PROJETO DE PROCESSOS

É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a

operação de uma planta industrial

Investigar mercado para o produto

Investigar disponibilidade de matéria prima

Estabelecer as condições da reação e sub-produtos

Estabelecer o número e o tipo dos reatores

Definir o número e o tipo dos separadores

Definir o número e o tipo de trocadores de calor

Estabelecer malhas de controle

Definir o fluxogramado processo

Calcular as dimensõesdos equipamentos

Calcular o consumo de matéria prima

Calcular o consumo de utilidades

Calcular o consumo de insumos

Calcular a vazão dascorrentes intermediárias

Investigar reagentesplausíveis Avaliar a

lucratividadedo processo

À luz da Engenharia de Processos elas são organizadas da seguinte forma

quanto à sequência no Projeto

SELEÇÃO DAROTA QUÍMICA

Investigar mercado para o produto

Investigar reagentesplausíveis

Investigar a disponibilidade

das matérias primas

Definir as condições das reações e

identificar os sub-produtos gerados

SÍNTESE

Estabelecer o número e o tipo

dos reatores

Definir o número e o tipo dos

separadores

Definir o número e o tipo de

trocadores de calor

Estabelecer malhas de controle

Definir o fluxograma do

processo

ANÁLISE

Calcular o consumo de utilidades

Calcular a vazão das correntes

intermediárias

Calcular as dimensões dos equipamentos

Calcular o consumo dos insumos

Calcular o consumo de matéria prima

Avaliar a lucratividadedo processo

Projeto: primeiro passo

DIFICULDADE:

MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Seleção da Rota Química

Rotas para a produção de fenol

DIFICULDADE NA SÍNTESE


Síntese de um Fluxograma para a Rota Química

Projeto: segundo passo

Equipamentos disponíveis para a geração de um fluxograma

RM

Reator demistura

RT

Reator tubular

DS

Coluna de destilaçãosimples

DE

Coluna de destilaçãoextrativa

A

Aquecedor

R

Resfriador

T

Trocador deIntegração

Este problema é simples

O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas

EXEMPLO

DS

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

(7)

RM

A,B

P,A

DS

P

A

T

(8)

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

DE

(9)

DSRT RAA,B A,P

P

A

(11)

RM

A,B

P,A

P

A

T DE

(10)

DSRT A,P

P

A

T

A,B

(12)

RT RAA,B A,P

P

A

DE

(13)

RT A,P

P

A

T

A,B

DE

(14)

UM RISCO INERENTE À SÍNTESE . . .

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

Muitas soluções para analisar

DIFICULDADE NA ANÁLISE


Análise dos fluxogramas gerados na Síntese

Projeto: terceiro passo

1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Para cada par de valores x1,x2 resultam valores de W1, W2, y1, y2 e Lucro

EXEMPLO

dimensionamento de 2 extratores em série

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

Dificuldade: infinidade de soluções viáveis

A cada par (x1,x2) corresponde uma solução viável

Todo problema com Multiplicidade de Soluções

exige a busca da sua

OTIMIZAÇÃO

Solução Ótima

através de

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

Constata-se, assim, que ...

Primeiro fator de complexidade

multiplicidade de soluções nos três níveis

Nível Tecnológico: determinar a rota química ótima.

Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

Segundo fator de complexidade

Os 3 problemas são interdependentes.

A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois.

Busca Orientada por Árvore de Estados

Uma abordagem...

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Busca Orientada por Árvore de Estados

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??A+B P+C

A,B P,C

??

1 PAB Cx

?T D

2 PAB Cx

?T A

P3DE Fx

?DM

PF

4DE x

?M E

L

x

6

x o = 3x*

8

L

xx o = 4x*

L

10

xx o = 6x*

L

x

7

x o = 5x*

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

L

x4

10

?

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem

repetiçõessem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória

(outros métodos)

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS

INTRODUÇÃO GERAL1

INTRODUÇÃO ÀSÍNTESE DE PROCESSOS

8

6

SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO

7

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA


2


3

OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃOECONÔMICA

4 5

ANÁLISE

“Bola de Cristal”

OBJETIVO DA ANÁLISE

Prever e avaliar

o desempenho físico e econômico

ou ainda inexistente (em fase de projeto)

de um processo já existente (em operação)

Consiste em

(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto.

BaseModelo Matemático

Prever e avaliar o desempenho FÍSICO

(b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação.

BaseCritério Econômico

Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO


3AVALIAÇÃOECONÔMICA

4


2

OTIMIZAÇÃO

5

Resumo da Análise de ProcessosCada Capítulo gera subsídios para os Módulos Computacionais

MODELOFÍSICO

MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema

Otimizar ProcessoCalcular Lucro

DimensionarExtrator

DimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMASNA ANÁLISE DE PROCESSOS

2. Escrever o modelo matemático.

1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos, correntes, variáveis do processo.

7. Avaliar criticamente o resultado.

6. Resolver o problema.

5. Estabelecer uma estratégia de cálculo.

4. Efetuar o Balanço de Informação.

3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto.

fundamental

mais importante

FINAL DA REVISÃO

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos

f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . .fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0

N equaçõesM incógnitas

constituído do conjunto dos modelos dos equipamentos.

Sistema de equações algébricas

Exemplo: Modelo do Processo Ilustrativo

Partindo dos modelos dos equipamentos

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0 11. f13 - f14 = 0

12. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

extrator

evaporador

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

26. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

32. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/ W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/ W4 = 0

condensador

resfriador

misturadorcorrentes multicomponentes

Modelo Completo

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/ W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/ W4 = 0

Consiste em representar o processo matematicamente utilizando os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos

Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução de problemas.

Competem ao Engenheiro Químico

(a) Formulação (Modelagem Matemática):

(b) Resolução :

É um pré-requisito para esta Disciplina

Palavras-chave : Formulação e Resolução !!!

Formulação e Resolução do Modelo CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS

ENG. DE EQUIPAMENTOS

Objeto deste Capítulo

A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma

Estratégia de CálculoTema deste Capítulo

Fontes de complexidade:

Em geral, os modelos de processos são complexos.

(c) presença de reciclos(b) não-linearidade de equações(a) grande número de equações e de variáveis

Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???

COMPLEXIDADE DOS MODELOS

MODELOFÍSICO

MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro

Objetivo de uma Estratégia de Cálculo

Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).

3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

3.1 Equações Não - Lineares

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES

Motivação para o estudo de equações não-lineares

No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos ocorrem sistemas de equações que só podem ser

resolvidos por métodos iterativos de tentativas

empregados na resolução deequações

Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações.

3.1 Equações Não-Lineares

3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.1.1 Representação

Na abordagem aqui adotada, uma vez formulada representando um fenômeno físico, a equação

f (x1*, ..., xi - 1

*, xi, xi + 1*,…, xM

*) = 0

passa ser vista como um “processador de informação” assim representada :

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação

f j

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x iincógnita

variáveis conhecidas

A dificuldade da resolução de

f (x1*, ..., xi - 1

*, xi , xi + 1*,…, xM

*) = 0

depende da sua forma funcional.

incógnita x2: x1* x2 + ln x1

* = 0

incógnita x1: x1 x2* + ln x1 = 0

Solução analítica simples: x2 = - (ln x1

*) / x1*

Solução numérica por tentativas

Exemplo

x1 x2 + ln x1 = 0

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação

3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.1.2 Métodos Numéricos

Métodos de Aproximações Sucessivas

Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares.

Métodos deRedução de Intervalos

Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

Por diferentes raciocínios lógicos, testam valores sucessivos até que a diferença relativa entre 2 valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior)

Partem de um valor inicial.

3.1.2 Métodos Numéricos

Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi .

Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.

xsxi

(a) Métodos de Redução de Intervalos

Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: xs - xi .

xi xsxi xs

f (x)

Um método típico de Redução de Intervalos

Método da Bisseção ou Busca Binária

A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

x

ALGORITMO

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

xs

fs

xi

fi

x

f

f(x)

Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f

Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi

Calcular fs em xs

REPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em x

Senão atualizar : xs = x : fs = f

ATÉ xs - xi

x fBISS

f (x)

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0

Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 1

0,00005 -11,51

0,5 0,307

0,5 0,307

0,375 -0,231

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5

0,25

0,125

0,0625

f = x1 x2* + ln x1

x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1: = 0,1



Calcular fs em xs



ATÉ xs - xi

EFICIÊNCIA DO MÉTODO

Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo

Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo

Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então:

Nt = Nm + 2

Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 1

0,00005 -11,51

0,5 0,307

0,5 0,307

0,375 -0,231

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5

0,25

0,125

0,0625

= 0,5Nm

ln = Nm ln 0,5

Nt = 2 + ln / ln 0,5

10% : = 0,1 N = 5,3 Nt = 6

1% : = 0,01 N = 8,6 Nt = 9

Nt = 2 – 1,4 ln

Atribui-se um valor inicial para a incógnita.

(b) Métodos de Aproximações Sucessivas

xi xs

x1 x2 x3

Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1) / xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

x4 x5

Um método típicoMétodo da Substituição Direta

Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente:

f(xi ) = 0 xi = F(xi)

Exemplo

x1 = e - x1

x2

*

x1 = - (1/ x2*) ln x1

F(x1)

F(x1)

x1 x2* + ln x1 = 0f(x1)

xi = F(xi)

F(x)

x

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .

0,2

0,2

ALGORITMO

Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)

Estabelecer xinicial, (tolerância)

REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F

F = xinicial

Como dar a partida ?

Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.

F(x)

x

Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)

Estabelecer xinicial, (tolerância)F = xinicial

REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F

x1x2x3

Executando o Algoritmo

Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.

Condição para Convergência : |F´(x)| < 1

F(x)

xx1

x2x3

convergência monotônicaderivada positiva

convergência oscilatória derivada negativa

x1

x3

x2

F(x)

x

Na direção da Solução

Condição para Divergência |F´(x)| > 1

F(x)

xx1x3 x2

F(x)

xx1x2x3

divergência monotônicaderivada positiva

divergência oscilatóriaderivada negativa

Afastamento da Solução


x1 = F(x1)(x2

* = 2 : x1 inicial = 0,5)

F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x

1 x

2*

Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17

Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85

Solução: x = 0,4263

F(x)

x1

x2

x3

x

x1

x3

x2

F(x)

x

x F 0,5 0,346 0,3080,346 0,529 0,5290,529 0,317 0,4000,317 0,573 0,8060,573 0,278 0,515

x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,3020,479 0,383 0,1990,383 0,464 0,2100,464 0,395 0,149


oscilando

para maior

oscilando

para menor

F(x)

xx1

x2x3

F(x)

xx1x2x3

Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja,

convergem.

Em resumo

Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos:

- redução de intervalos (ex.: bisseção)

- aproximações sucessivas (ex.: substituição direta)

Esses métodos serão evocados a seguir em

Sistemas de Equações.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos

3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares3.2.1 Estrutura e Representação

A equação

f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0

pode ser representada como um “processador de informação”

3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação

f j

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x i

Um sistema de equações pode ser representado por um

sistema de processadores

Os elementos desse sistema são as equações.

As conexões são as variáveis comuns.

Durante a resolução de um problema, os processadores transmitem informação de uns para os outros.

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x1

x2

x30

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x1

x2

x30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Estruturas Básicas

Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.

1 2 3x x1

x2

x30

Estrutura Acíclica

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).

Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

?

f1(xo, x1) = 0f2(x1, x2) = 0f3(x2, x3) = 0

f1(xo, x1, x3 ) = 0f2(x1, x2) = 0f3(x2, x3) = 0

Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo

1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0

Representações

Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações.

E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 1 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0 07 0 0 0 0 0 0 1 1 08 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Matriz Incidência (Numérica)

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 * *2 * *3 * * *4 * *5 * *6 * *7 * *8 * *

Matriz Incidência (Gráfica)Matrizes Esparsas !

1. f1(xo*,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Representação Matricial

Característica em Processos

o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.

1. f1(xo*,x1) = 0

2. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Representação Gráfica (Grafo)

Ciclo !

Proporciona uma visão mais clara da estrutura do sistema

x6

1 2 3 4 5 6 7 8x1 x2 x3 x4 x5 x6

x7 x8xo

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação

3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos- método seqüencial.

Métodos Simultâneos

Calcular F1

x1(k+1) = F1

Calcular F2

x2(k+1) = F2

TESTE

TESTE

x1 = x1(k+1)

x1k

x2k

x1(k+1)

x2(k+1)

x2 = x2(k+1)

Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos.

Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...

Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.

Método Sequencial

É um método alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida.

Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").

Este método pode ser implementado através do

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

A.O.E.

É um algoritmo de atribuição de tarefas

Algoritmo de Ordenação de Equações (AOE)

1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema.

2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma

Sequencia de Cálculo

que minimiza o esforço computacional.

Outros resultados

4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.

3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos.

5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura(a definir).

Partição ???

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas

PARTIÇÃO"partitioning"

1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Resolvem-se os sub-sistemas sequencialmente

1, 2[ ]

Parte AcíclicaCálculo Direto

xo* x2[ 3, 4 , 5 ,6 ]

Parte CíclicaCálculo Iterativo

x6 [7, 8]x8

Parte AcíclicaCálculo Direto

O Algoritmo simplesmente formaliza

ações intuitivas e óbvias

utilizando os seguintes termos básicos

Equações de Incógnita Única

Variáveis de Frequência Unitária

Ciclos

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Equações de Incógnita Única

São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!

Exemplo: equação 1

Uma vez resolvida para x1

a equação 2 fica com incógnita única

podendo ser resolvida para x2

Não há mais equações de incógnita única

Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação

O Algoritmo pode começar assim:

(c) remover a variável da lista das incógnitas

(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

2. x2

1. x1Não há mais equações de incógnita única

Sequênciade Cálculo

Varáveis de Frequência Unitária

São variáveis que pertencem a uma só equação

Só pode ser calculada pela Eq. 8 depois de x7

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

Exemplo: x8

Então x7 só pode ser calculada pela Eq.7 ficando com frequência unitária

Só pode ser calculada pela Eq. 7 depois de x6

Não há mais variáveis de frequência unitária

Enquanto houver variáveis de frequência unitária(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação

O Algoritmo pode prosseguir assim:

(c) remover a variável da lista das incógnitas

(b) colocar a equação na última posição disponível na Sequencia de Cálculo

1. x1

2. x2

-

-

-

-x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

8. x8

7. x7

Não há mais variáveis de frequência unitária


Ciclos

x

3 4 5 6x

3x

4x

5

6

x2 x6

x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)

São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.

Solução exclusivamente por métodos iterativos

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas

(d) Estabelecer o esquema de convergência

(a) Selecionar uma Equação Final(b) Retornar à Etapa 2 (VFU)(c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação)

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5

Equação Final

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5

X6Variável de Abertura 1. x1

2. x2

8. x8

7. x7

5. x5

4. x4

3. x3

6. final

x6


1 2X

o*

X1

X2

7 8X

6X

7X

83 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6X

3X

4X

5

Equação Final

3 4 5X

3X

4X

53 4 5 6

X3

X4

X5

EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2

7 x7

6 final

8 x8


7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

X6Variável de Abertura

x6

META DO ALGORITMO

Sequencia de Cálculo Resultante

ALGORITMO PRONTO

Algoritmo de Ordenação de Equações

Enquanto houver equações

Enquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo.(c) remover a variável (X na vertical).

Enquanto houver variáveis de frequência unitária(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação (X na horizontal).Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação (X na horizontal).

ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA

Insere-se um Promotor de Convergência

São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares:

(a) Bisseção

(b) Substituição Direta

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

x

ALGORITMO

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

xs

fs

xi

fi

x

f

f(x)



Calcular fs em xs



ATÉ xs - xi

x fBISS

f (x)

Relembrando o Método da Bisseção

A cada iteração:- arbitra-se x6a .- resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5.- pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6).- avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.

x

xi

fi

xs

fs

x

f

f(x)

(a) BISSSEÇÃOx6a

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

BISSf6 (x5, x6)

f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0

(c)

F'(x) < 0 |F'(x)| < 1

convergência oscilatória

F(x)

xx1x2 x3

(a)

F'(x) > 0 |F'(x) < 1

convergência monotonica

x1x2

F(x)

x

x3

ALGORITMO

Estabelecer xinicial, (tolerância)

F = xinicial

xsolução = F

Convergir = |(F - x)/x| <

REPETIRx = F

Calcular a Função F em x

ATÉ Convergir

RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA

x = F ( x)f (x) = 0 explicitando x

A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x.

(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA

Arbitra-se x6c inicial.A cada iteração:- toma-se x6a = x6c . - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c.- avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x6c – x6a) / x6a

x1

x2

x3

x6c

x6a

x6c

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

SDx6a

COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA

(b) Substituição Direta

Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).

f6 (x5, x6)(a) Bisseção

x6a

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

BISS

f3 (x2,x3,x6) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0

Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir)

x6c

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

SDx6a

f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0

Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a Matriz Incidência

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X *

2 * *

3 * * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Seqüência

Equações de Incógnita Única (EIU)

Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X *

3 * * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

Seqüência

1 - x1

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Equações de Incógnita Única (EIU)

Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Seqüência

Equações de Incógnita Única (EIU)Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

Não há mais Equações de Incógnita Única (EIU)

Estado atual da Sequência de Cálculo


1 2X

O*

X1

X2

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

Seqüência

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Variáveis de Frequência Unitária (VFU)Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 - x8

Seqüência

Variáveis de Frequência Unitária (VFU)


X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência

Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)

Estado atual da Sequência de Cálculo


7 x78 x8

1 2X

O*

X1

X2

7 8X

7X

8X6

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência

Ciclo!

Equação Final ?

x

3 4 5 6x

3x

4x

5

6

x2 x6

x

3 4 5 6x

3x

4x

5

6

x2 x6

Em princípio, qualquer uma do ciclo

A figura motiva a 6 !

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

Equação Final: 6

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 final

7 - x7

8 - x8

Seqüência

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência

Variáveis de Frequência Unitária (VFU)Volta-se a buscar...

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência

Aqui há 2 VFU: X5 e X6.

A ordem em que são escolhidas não importa. Uma não afeta a outra.

Ela poderiam ser até resolvidas em paralelo.

Na verdade, elas poderiam ser calculadas em paralelo porque

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X O X

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 - x3

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X O X

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

Variável de Abertura: x6

1 - x1

2 - x2

3 - x3

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

x6

Seqüência

SEQUÊNCIA DE CÁLCULO FINAL

EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x23 x34 x45 x56 final7 x78 x8

1 2 3 4 5 6 7 8X

O*

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X6

X6

variável de abertura

equação final

x6

Mostrar o Programa AOE.xls

Estratégia de Cálculo para

4 situações típicas em Engenharia de Processos.

Antecipando...

PROCESSOOTIMIZAÇÃO

* LEE x13 2 1

x4

x3

x2

x1

x2

x3

x5 5

AVALIAÇÃOECONÔMICA

PROCESSO

OTIMIZAÇÃO* LEE x

13 21x

4x

32x x

2x

3x

x4

5 5AVALIAÇÃOECONÔMICA

PROCESSO* LEE x

14 3 2 1x

4x

3x

2x

1x

2x

3x


Sol.únicasem ciclo

Otimizaçãocom ciclo

Sol.únicacom ciclo

Otimizaçãosem ciclo

PROCESSO* LEE x14 3 21

x4

x3

x2

x 2 x 3 x4


x4

x1

x1

1 f1(x1, x2)2 f2(x2, x3, x4) = 03 f3(x3, x4) = 04 f4(x4) = 0

Sistema 1

G = 0 : solução única, sem variável de projetoCiclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura

1 * *2 * * *3 * *4 *

x1 x2 x3 x4

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4Grafo

Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única

(c) remover a variável.

4 x4

3 x3

2 x2

1 x1

Seqüência de CálculoEquação Variável

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4

1 * *

2 * * *

3 * *

4 *

X

X

X X

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

G = 0 : Solução Única, sem variável de projetoProcesso : sequência direta (sem ciclos)

PROCESSOLEE*

4 3 2 1x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

x4 x3 x2 x1

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4Grafo

Como a eq. 4 é de incógnita única, x4 é a primeira e o seu valor é transmitido para a eq.2 desfazendo o ciclo em potencial

Sistema 2

1 f1(x1,x2)2 f2(x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0

G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto.Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura.

1 * *x1 x2 x3 x4 x5

2 * * *3 * *4 * *

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x5

Grafo


Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

4 x5

3 x3

2 x2

1 x1

Seqüência de Cálculo

Equação VariávelMatriz Incidência

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * *

3 * *

4 * *

X

XX X

X

Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(c) remover a equação.

x4 variável de

projeto

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.

(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.

x4

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x5

Grafo

PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLEE*

3 2 1x3

4

x2 x1

x5

x4


x1 x2 x3 x5

Como x4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu

G = 1 : Otimização, uma variável de projetoProcesso : sequência direta (sem ciclos)

Sistema 3

1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4) = 0

G = 0: solução única, sem variável de projetoCiclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura

x1 x2 x3 x4

1 * *2 * * * *3 * *4 *

Matriz Incidência

1 2 3 4x2 x3 x4

x4

x1

Grafo

Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

4 x4

3 x3

1 x2

2 final

Seqüência de CálculoEquação Variável

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 *

XX XXX

X

x1: Variável de Abertura

x1

x1 : variável de abertura

PROCESSOLEE*

4 3 21x4 x3 x2

x1


x1 x2 x3 x4

1 2 3 4x2 x3 x4

x4

x1

Grafo

Aqui, o ciclo persistiu e teve que ser aberto

G = 0 : Solução Única, sem variável de projetoProcesso : sequência com ciclo e uma variável de abertura

Sistema 4

1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0

G = 1: problema de otimização com uma variável de projetoCiclos potenciais: poderá haver variáveis de abertura

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *2 * * * *3 * *4 * *

Matriz Incidência

1 2 3 4x2 x3 x4

x4

x1

Grafo

x5

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 * *

X

X X X

X 4 x5

3 x3

1 x2

2 final

Seqüência de Cálculo

Equação Variável

X

X

Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.


Enquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.

Sobram x1 e x4

Uma de projeto

Outra de abertura

Eqs 1 e 3 independentes: qualquer uma

x4: variável de aberturax1 : variável de projeto

1 2 3 4x2 x3

x4

x1

Grafo

x5

E*PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLE

2 31x

4x

3

x4

2x

x1

5x

2x

3x

4x

5 AVALIAÇÃOECONÔMICA

G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura

Opção 1:

x4: variável de projetox1 : variável de projeto

1 2 3 4x2 x3

x4

x1

Grafo

x5

E*PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLE

2 31x

4x

3

x1

2x

x4

5x

2x

3x

4x

5 AVALIAÇÃOECONÔMICA

Opção 2:

G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura

RESUMO DOS 4 TIPOS DE PROBLEMAS

PROCESSOOTIMIZAÇÃO

* LEE x13 2 1

x4

x3

x2

x1

x2

x3

x5 5


PROCESSO

OTIMIZAÇÃO* LEE x

13 21x

4x

32x x

2x

3x

x4

5 5AVALIAÇÃOECONÔMICA

PROCESSO* LEE x

14 3 2 1x

4x

3x

2x

1x

2x

3x


Sol.únicasem ciclo

Otimizaçãocom ciclo

Sol.únicacom ciclo

Otimizaçãosem ciclo

PROCESSO* LEE x14 3 21

x4

x3

x2

x 2 x 3 x4


x4

x1

x1

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DOALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

- Variáveis discretas- Variáveis de cálculo direto e iterativo- Variáveis limitadas- Ciclos múltiplos- Variáveis de abertura e de projeto- Eliminação de ciclos.

Variáveis Discretas

Seus valores são limitados a um conjunto finito.

Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- diâmetros comerciais de tubos.- número de estágios.

Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.Assim:

- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

Para x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !)

Para: a = 0,5 : x = 1 y = 0,5Para: a = 1 : y = 1 x = 1

x

ya = 1

a = 0,5

V = 3 : N = 1 : G = 2 (duas variáveis de projeto)

Exemplo: y = a xO parâmetro só pode assumir 2 valores: 1 ou 0,5

Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo

Exemplo

43

21

4321

TTTT

ln

)TT(TT

Nesta equação:

- é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s)

As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.

Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

Varáveis Limitadas

Os seus valores variam entre limites bem definidos.

Exemplos:- frações mássicas ou molares- temperaturas em trocadores de calor

Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de

projeto.

Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo

para que essa preferência seja concretizada.

Ciclos Múltiplos

f1(xo,x1,x3) 0

f2(x1,x2) 0

f3(x2,x3) 0

f4(x3,x4) 0

f5(x4,x5,x7) 0

f6(x5,x6) 0

f7(x6,x7) 0

=

=

=

=

=

=

=

1

2

4

56

1. x

2. x

3. final

4. x

5. x

6. x

7. final

x3

x7

Ciclos em Sequência

Primeira entrada de x7: eq. 5Primeira entrada de x3: eq. 1

Fechar o ciclo com a final mais próxima

Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

Ciclos Aninhados (“nested”)

00

00

f x x xf x x xf x x xf x xf x x xf x x xf x x

1 o 1 7

2 1 2 6

3 2 3 5

4 3 4

5 3 4 5

6 5 6 7

7 6 7

0

0

0

( , , )( , , )( , , )( , )( , , )( , , )( , )

===

===

=

X4

X7

1. x1

4. x3

6. x5

3. x2 5. final

7. x6

2. final

Ciclos Múltiplos

Primeira entrada de x7: eq. 7

Primeira entrada de x4: eq. 4

Fechar o ciclo com a final mais próxima

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas

(a)

1. x 12. x 2

4. x 4

6. x 6

3. x 3

x7x5

5. final

7. x 8

Escolha ConvenienteCiclo com 3 equações

1. x 12. x 2

4. x 4

6. x 6

3. x 3

x7x5

5. final

(b)

7. x 8

Escolha InconvenienteCiclo com 4 equações

Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o

menor número de equações.

Eliminação de Ciclos

31. x31 = 1 – x11* 32. x32 = 1 – x12

04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12]07. W3 = W1* x11* r / x13

01. W2 = W1* x31 / x32

02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0

x12

Equação Final 02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0 W2 da eq.01:02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – W3 x13 = 0 W3 da eq. 07:02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – [W1* x11* r / x13] x13 = 0 x13 da eq. 04 e x32 da eq.32:02’. x12 = x11

* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)]

x31 calculado antes do ciclo

31. x31 = 1 – x11* 02’. x12 = x11

* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)]

32. x32 = 1 – x12

04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12]07. W3 = W1* x11* r / x13

01. W2 = W1* x31 / x32

Sequência com Ciclo Sequência sem Ciclo

Substituição Algébrica

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos

Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações).

Motivação para estudar os equipamentos isolados

Montar as rotinas de dimensionamento e de simulaçãoque integram o programa de análise do processo.

Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


Analogia: estudar os instrumentos isoladamente antes de compor a melodia para a orquestra

ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS

Projeto e Análise dos Equipamentosde Processo

ReatoresTrocadores de calorSeparadores

Torres de destilaçãoTorres de absorçãoExtratoresCristalizadoresFiltrosOutros...

Instrumentos de Controle Automático

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


Tratamento compartimentado!

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Dimensões dos principais Equipamentos.

Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos

Especificaçõesde projeto

Modelo Matemático

previsão

Dimensões dos principais equipamentos

Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos

Modelo Econômico

avaliaçãoLucro

No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação

1.6.4 Análise

Genericamente: análise significa

- decompor um todo em suas partes,

- depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes.

PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

W6

T6

W10 T10

W13 T13 W11

T11

W8

T8

W1

x11

T1

f11

f31

W7 T7

W5 T5

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

W12 T12

W12 T12

W14 T14

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

Vd Ae

AcAr

Alimentação

Vapor

ÁguaÁgua

Benzeno

Benzeno

Produto

Condensado

W15 T15

Para analisar o Processo

W10 T10

W13 T13

W12 T12

RESFRIADOR

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

W8

T8

W5 T5

W12 T12

CONDENSADOR

58

9

Ac

Água

W10 T10

10

Benzeno

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

EVAPORADOR

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

ExtratoW1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15

Fragmentando o Processo

W14 T14

MISTURADOR

14

15

Benzeno

W15 T15

13

W10 T10

W13 T13

W12 T12

RESFRIADOR

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15

W8

T8

W5 T5

W12 T12

CONDENSADOR

58

9

Ac

Água

W10 T10

10

Benzeno

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

EVAPORADOR

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

Extrato

O Processo fragmentado...

W14 T14

MISTURADOR

14

15

Benzeno

W15 T15

13

Segue a análise de cada equipamento através de problemas de dimensionamento e de simulação

01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 002. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 003. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 004. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 005. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 006. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Equação de Dimensionamento: Vd - (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 008. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = 009. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 010. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0

EXTRATOR

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15

34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 035. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 036. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 037. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 038. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.

DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15


W3 x13

T3 f13 f23

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W15 W15

Vd


Por enquanto, o extrator é apenas uma figura (não existe)


W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

1

15

Alimentação

Extrato3

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W15 = 37.370 kg/hW15

Vd = 11.855l

Balanço de InformaçãoV = 22N = 16C = 4G = 2 !

Metas de Projeto Máximo = 2V = 22N = 16C = 4M = 2G = 0


O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE

Quando ocorre um ciclo, o programa busca uma equação final de cima para baixo e toma a primeira que encontra (no caso, a eq 02)

Montagem da rotina Dimensionar Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)

f11 = x11 * W1 '35f13 = r * f11 '08f12 = f11 - f13 '01f31 = W1 - f11 '34f32 = f31 '03W2 = f12 + f32 '36x12 = f12 / W2 '37W = Cp1 * f11 + f31a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l)b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12)c = f13 * Cp2l * (T15 + 75)discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c)x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura)W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo)k = x13 / x12 '04f23 = W3 - f13 '38Td = 25 * (k - 3) '05W15 = f23 '02 (Final do Ciclo)Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07T2 = Td '09T3 = Td '10

Aqui aparece a sequência com a eq. 06 como final e x13 var. de abertura

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Uma vez dimensionado, o Extrator pode ser submetido a um “test-drive” para ver como se comporta (grau de violação das

metas) com diferentes condições de entrada.

Por simulação

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).

SIMULAÇÃO DO EXTRATOR

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

W3 x13

T3 f13 f23

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W15 = 37.370 kg/hW15

Vd = 11.855l

Extrator dimensionado

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

1

15

Alimentação

Extrato

3

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

V*d = 11.855 l

W*15 = 50.000 kg/h

T*15 =25 oC

r = =

SIMULAÇÃO DO EXTRATOR

G = 0 !

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

W3 x13

T3 f13 f23

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W15 = 37.370 kg/hW15

Vd = 11.855l

Extrator dimensionado

Extrator preparado para simulação


Quando ocorre um ciclo, o programa examina as equações de cima para baixo e toma a primeira candidata como eq. Final (no caso, a eq 04)

f23 = W15 '02f11 = W1 * x11 '35f31 = W1 - f11 '34f32 = f31 '03a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3b = W15 * Cp2lTd = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07k = 3 + 0.04 * Td '05T2 = Td '09T3 = Td '10a = k - 1: 'Cells(24, 7) = ab = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = bc = f11 * f32: Cells(26, 7) = cdiscr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discrf12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Aberturaf13 = f11 - f12 '01 Início do CicloW2 = f12 + f32 '36x12 = f12 / W2 '37W3 = f13 + f23 '38x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclor = f13 / f11 '08

Montagem da rotina Simular Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)

Aqui aparece a sequência com a eq. 04 como final e f12 var. de

abertura

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0

RESFRIADOR

W10 T10

W13 T13

W12 T12

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC.

W13 = T*

13 = 25 oC

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = T*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar

Água

W11 = T*

11 = 15 oC

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar = 362 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 36.345 kg/hT*

13 =25 oC

V = 11N = 6C = 3M = 2G = 0 !

26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

RESFRIADOR

W10 T10

W13 T13

W12 T12

10

11

12

13

Ar

Água

W11 T11

27. W13 = W10

29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13)28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11))26. W12 = W11

d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11

31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)30. Ar = Qr / (Ur dr )

Resultando a rotina DimensionarResfriador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR

Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento.

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar = 362 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 36.345 kg/hT*

13 = 25 oC

W*10 = 20.000 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT12 = 24,5 oC

10

11

12

13A*

r = 362 m2

Água

W*11 = 59.969 kg/hT*11 = 15 oC

W13 = 20.000 kg/hT13 = 16,8 oC

Resultado do dimensionamento

V = 11N = 6E = 5G = 0 !

Resultado da simulação


Logo de saída são ordenadas as duas EIU

As 4 demais equações formam um ciclo.Qualquer uma pode ser escolhida como final.

Por experiência, a única que permite e explicitação da variável de abertura é a 30.


Este é o resultado apresentado pelo AOE com a equação 28 como final e r como variável abertura.

Esta é a sequência com a equação 30 como final e Qr como variável de abertura.

Resultou a rotina SimularResfriador

W12 = W11 '26W13 = W10 '27a =T10 – T11: b = 1/(W11*cp3) : c = 1/(W10*cp2l) : d = 1/(Ur * Ar) : e = exp ((c-d)/b)Qr = a*(e-1)/(c*e-b) ‘(30’) Var. Abert.T12 = T11 + Qr * a2 '28 T13 = T10 - Qr * a1 ‘29d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then dr = d1 Else dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

CONDENSADOR

W5 T5

W10 T10

W9 T9

5

8

9

10

Ar

Água

W8 T8

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC .

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 T*

10 = 80 oC

W9 T*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 T*

8 = 15 oC

Ac

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 120 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

V = 11N = 6C = 3M = 2G = 0 !

20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

CONDENSADOR

W5 T5

W10 T10

W9 T9

5

8

9

10

Ar

Água

W8 T8

21. W10 = W5

23. Qc = W5 2

d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8

22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))20. W9 = W8

25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)24. Ac = Qc / (Uc * dc)

Resultando a rotina DimensionarCondensador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC.

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = T*

10 = 80 oC

W9 = T9 =

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 120 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

resultado do dimensionamento

V = 11N = 6C = 5M = 1G = - 1 !!!

Pretendido na simulação

V = 11N = 6C = 5M = 1G = -1 !!!

Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 oC.

Daí: G = -1.

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = T*

10 = 80 oC

W9 = T9 =

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

V = 11N = 6C = 5M = 1G = -1 !!!

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = T*

10 = 80 oC

W9 = T9 =

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo.

Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = 20.000 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 35.718 kg/hT9 = 67,7 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 35.718 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

V = 11N = 5C = 5M = 1G = 0

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 120 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC


W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = 20.000 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 35.727 kg/hT9 = 67,7 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 35.727 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

resultado da simulação

21. W10 = W5

23. Qc = W5 2

24. dc = Qc / (Uc Ac)25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção)22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8))20. W9 = W8

Resulta a rotina SimularCondensador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 012. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 013. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 014. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 017. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 018. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 019. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0

EVAPORADOR

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

Extrato

38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 040. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 041. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR

Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.

W6

T*6 = 150 oC

W7 T*

7 = 150 oC

W*3 = 37.345 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 f23

W4 x*

14 = 0,10

T4 f14 f24

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.225 kg/h

W4 = 1.195 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.076kg/h

4

67

Ae= 124 m2

Vapor

W5 = 36.150 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

V = 20N = 13C = 4M = 3G = 0 !

15. De = T6 - T35. f13 = W3 x13

09. f14 = f13

34. f23 = W3 - f13

37. W4 = f14 / x14

36. f24 = W4 - f14

10. W5 = f23 - f24

13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2

12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7))11. W7 = W6

14. Ae = Qe / (Ue De)

Resulta a rotina DimensionarEvaporador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

SIMULAÇÃO DO EVAPORADORProblema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC).

V = 20N = 13C = 7M = 1G = -1 !!!

pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = 1.201 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = T*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = x14 = T4 =f14 = f24 =

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = T5 =5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

V = 20N = 13C = 7M = 1G = -1 !!!

W5 = T5 =

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = T*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = x14 = T4 =f14 = f24 =

4

67

Ae=124 m2

Vapor

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.

Situação semelhante à da simulação do condensador

V = 20N = 13C = 6M = 1G = 0

W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h

W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h

4

67 Vapor

W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

Ae=124 m2


W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = 1.201 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h

W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h

4

67 Vapor

W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

Ae=124 m2

resultado da simulação

15. De = T6 - T14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))11.W7 = W6

35. f13 = W3 * x13

09. f14 = f13

34. f23 = W3 - f13

13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l210. f24 = f23 - W536. W4 = f14 + f24

37. x14 = f14 / W4

Resulta a rotina SimularEvaporador

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem.

É a estratégia mais indicada para dimensionamento.

O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.

3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL

Existem duas estratégias básicas:

- Estratégia Global- Estratégia Modular

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k - x13 / x12= 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0

11. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

32. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0

f11 f12 f13 E V1 * O * W15f23 5 k2 O * f31 f32 9 T23 * O k 10 T34 * * O * * Td 17 De5 O X T1T15 18 T46 * * X X O Vd 19 T57 * * * O X r 25 dc8 * O X T2 35 f119 X O T3 8 f1310 X O f14 1 f1211 * O f24W5 11 f1412 * * O W6W7 34 f3113 * O T6 T7 Qe 3 f3214 O X X * Te 4 f2315 * * * * O X Ae e 2 W1516 * O * 6 T1517 X X O T4 7 Vd18 X O T5 36 W219 X O W8W9 37 x1220 * O W10 38 W321 * O Qc T9 T8 39 x1322 O * X X T10 41 W423 * * O X Ac c 40 f2424 * O * 12 W525 * X X X O W11W12 15 Qe26 * O W13 14 W627 * O Qr T11T12 13 W728 O * X X T13 16 Ae29 * X O * A r r 21 W1030 * O * 23 Qc31 X X X * O W14T14 22 W832 * * O 20 W933 * * O * X W1 24 Ac34 * O X x11 27 W1335 O X X W2 32 W1436 * * O x12 33 T1437 * * O W3 31 dr38 * * O x13 29 Qr39 * * O W4 28 W1140 * O * x14 26 W1241 * O X 30 Ar

Extrator

Evaporador

Correntes Multicomponentes

Condensador

Resfriador

Misturador

Dimensionar Processo

(03) T3 = T2

(13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r(31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12)(34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23

(33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52

(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.4.2 Estratégia Modular

3.4.2 Estratégia Modular

Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do

processo.

Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a

inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma.

É a estratégia mais indicada para simulação.

Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contem as equações já ordenadas para

dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Simulação do Processo IlustrativoEstratégia Modular

W6 =8.594 kg/hT*

6 = 150 oC

W10 =36.284 kg/hT*

10 = 80 oCW13 = 36.284 kg/hT13 = 25 oC

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oCW8 = 232.603 kg/hT*

8 = 15 oC

W*1 = 150.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 300 kg/hf31 = 149.700 kg/h

W7 = 8.594 kg/hT*

7 = 150 oC

W5 = 36.284 kg/hT*

5 = 80 oC

W3 = 37.477 kg/hx13 = 0,004

T3 = 25 oCf13 = 149 kg/hf23 = 37.328 kg/h

W4 = 1.130 kg/hx14 = 0,12

T4 = 80 oCf14 = 150 kg/hf24 = 1.080 kg/h

W12 = 59.969 kg/hT12 = 29 oC

W12 = 232.603 kg/hT12 = 29 oC

W*14 = 1.080 kg/h

T*14 = 25 oC

W2 = 149.850 kg/hx12 = 0,001

T2 = 25 oCf12 = 150 kg/hf32 = 149.700 kg/h

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

910

11

12

13

14

15

V*d = 11.859 l

= 0,0617 h

r = 0,50

A*e =

124 m2

A*c = 119 m2

A*r = 361 m2

W15 = 37.328 kg/hT13 = 25 oC

O fluxograma exibe um reciclo.

A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5

O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido noDimensionamento.

Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o deSubstituição Direta.

Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possívelde variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5).

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular

EXTRATOR

RESFRIADOR

MISTURADOR

CONDENSADOR

EVAPORADOR

SS

18. W10

20. Qc

19. c

22'. T9

21. W8

17. W9

24. W13

23. W12

25'. Qr

28. T13

27. T12

26. r

29. W15

30. T15

02. f23

32. f11

31. f31

03. f32

05. T2

07. 06. T3

01' f12

04. f13

08. r

W1

T1

x11

f11

f31

W15

T15

W45

T14W13

T13

W10

T10

f13

f23

T3

W4

T4

x14

f14

f24

09. f14

13. T4

16. e

15. Qe

12. W6

14. W5

10. f24

11. W7

33. W4

34. x14

T5

T2

f12

f32

W5a

W5c

Repetição até convergir

|W5c – W5a| / W5a

erro relativo

SUB SimularOProcesso'----------------------------------------------------------------------------INPUT "W5= "; W5cW5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))NoDeIteracoes = 0DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizerLOOP UNTIL ConvergirEND SUB

PRINCIPAL

Simular

Simular

Simular

Simular

Simular

Simular

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

DimensionarExtratorExtrator

EvaporadorEvaporador

Condensador Condensador

ResfriadorResfriador

MisturadorMisturador

ProcessoProcesso

Mostrar Lucro doCalcular Lucro doEmpreendimento

Processo

Resolver Problema

Otimizar

Empreendimento

Resolver Problema


DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Simulação de Processos com Estrutura Complexa

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Problema:Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador.Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação.

A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

Simulação de Processos com Estrutura Complexa

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Procedimento:(a) identificação dos ciclos.(b) seleção das correntes de abertura(c ) construção do algoritmo de simulação

Dificuldade: os diversos reciclos

(a) Identificação dos Ciclos

Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto)

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE).

Corrente: 1 2 3 4 Destino : 1 2 3 1

Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado.

Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

(a) Identificação dos Ciclos

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

ALGORITMO RESUMIDOColocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”)Colocar o seu destino na LEREPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE.ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

MATRIZ CICLO - CORRENTE

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

Os Ciclos encontrados são registrados na

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

C: D:

3 4 5 6 711*

22 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

814

11

22

33

541

22

33

541

C: 1 2 3 5D: 1 2 3 4

765

86

1110 4

765

86

1110 4

7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8

13 2

7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7

1295

86

1110 4

C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7

1295

86

1110 4

12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8

13 2

12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8

13 2

Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”)Colocar o seu destino na LEREPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE.ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

(b) Seleção das Correntes de AberturaMatriz Ciclo - Corrente

ALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C

000000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C

000000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C

300000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C

380000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C

300000

A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação

1 2 3 4 5 6 7 81* 2

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

143

Abrir C3

REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)

REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)

ATÉ Convergir C8

Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)

ATÉ Convergir C3

Abrir C8

Corrente 1: única conhecida

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos .3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular

3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes...

A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza.

A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da

(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).

Fontes de incerteza:

Análise de Sensibilidade

(b) questionamento do desempenho futuro:

(a) questionamento do próprio dimensionamento:

A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento,

Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ?

Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o

dimensionamento?

Fazem parte da Análise:

- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.

- as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto).

- os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.

Fundamento da Análise de SensibilidadeExemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

0

TTTTln

)TT()TT(.4

0UAQ.30)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i.

: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.

Fundamento da Análise de Sensibilidade

i *

F

i

*ii

ii

)(F);F(S

Exemplo:

100

U

i

U)(A

)U;A(S

A Sensibilidade é função do parâmetro

Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i*

Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais

)(F)(F

)/()](F/)(F[

)/;F/F(S *i

*i

i

i*ii

*ii*

ii*

*i

1

Vantagens:(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros.(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau.

Nova definição de Sensibilidade:

6265100

1001,U

)U(A)U/U(

)]U(A/)U(A[)U/U;A/A(SU

*

***

Exemplo

Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*

1

F/F*

i / i *

)(F)(F

)/()](F/)(F[

)/;F/F(S*i

*i

*ii

i

1

*ii

*ii*

ii*

F

i i *

F*

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada

Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear

)(F)(F

)/()](F/)(F[

;FFS *

i

*i

i

i*ii

*ii

*i

i*

*i

1

i

*i

*i

*ii

*i

*i

*i

i

*ii

*i

*i

i* )(F

)(F)(F)(F

)(F)(F,

FFS

01,0/ *ii

)F()F(ξ)ξF(1,01

100ξ

,FFS

*i

*i

*i

*i

i*

S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza

de 1% em i

|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

)F()F(ξ)ξF(1,01

100ξ

,FFS *

i

*i

*i

*i

i*

S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686

S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156

S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99

S(W3;U) = 0

QUESTIONAMENTO DO PROJETORe-dimensionamento com U = 101

QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHOSimulação com U = 101

DIMENSIONAMENTO ORIGINAL(BASE)

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

[U = 100]

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/hT3

* = 15 oC

T4* = 30 oC

[U = 101]

A = 262,93 m2

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

T3* = 15 oC

W3 = 44.000 kg/h

T4* = 30 oC

T 2* = 25 oC

[U = 101]

T2 = 24,828 oC

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

T3* = 15 oC

W3* = 44.000 kg/h

T4 = 30,047 oC

A* = 265,6 m2

Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada):

n

1i*i

*ii*

ii*

*

*

)/;F/F(S)(F

)(F)(F

);F(S01,0)/;F/F(S01,0)(F

)(F)01,1(F n

1i

*ii

**

**

Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:

)F(ξ)F(ξ)ξF(1,01100)ξ/ξ;S(F/F

*

****

A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

Questionamento do Projeto

Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto:

i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)W1 1 1 0,93

T1 1,45 0,45 1,21

T3 1,01 0,56 0,88

Cp1 1 1 0,93

Cp3 - 1 0 - 0,78

U 0 - 1 - 0,13

Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

S(F; ) 3,46 2,01 3,04

Questionamento do Projeto

Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros:

i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)

S(F; ) 3,46 2,01 3,04

Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho

Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:

i S(T2; i) S(T4; i)W1 0,80 0,32

T1 0,48 0,63

T3 0,48 0,37

W3 - 0,12 - 0,47

A - 0,68 0,17Cp1 0,80 0,32

Cp3 - 0,12 - 0,47

U - 0,68 0,17

Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

S(F; ) 0,96 1,04

Questionamento do Desempenho

Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:

i S(T2; i) S(T4; i)S(F; ) 0,96 1,04

Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

f11 f12 f13 W15f23 f31 f32 x13 k x12 Td Vd T2 T3 W2 W31 1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1 1

5 1 1

6 1 1 1 1

7 1 1 1 1

8 1 1

9 1 1

10 1 1

11 1 1

12 1

13 1 1 1

14 1 1 1

15 1 1 1

16 1 1 1

ORDENAR EQUAÇÕESMONTAR MATRIZ

EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

f11 f12 f13 f23 f31 f32 x13 k x12 Td tau r T2 T3 x11 W2 W31 1 1 1

2 1

3 1 1

4 1 1 1

5 1 1

6 1 1 1

7 1 1 1

8 1 1 1

9 1 1

10 1 1

11 1 1

12 1 1

13 1 1 1

14 1 1 1

15 1 1 1

16 1 1 1


EXTRATOR: SIMULAÇÃO

f13 f14 f23 f24 W5 W6 W7 Qe Ae De T4 T5 W411 1 1

12 1 1 1

13 1 1

14 1 1

15 1 1 1 1

16 1 1 1

17 1

18 1

19 1

38 1 1

39 1

40 1 1 1

41 1 1


EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

f13 f14 f23 f24 W5 W6 W7 Qe De T4 T5 W4 x1411 1 1

12 1 1 1

13 1 1

14 1 1

15 1 1 1 1

16 1 1

17 1

18 1

19 1

38 1 1

39 1

40 1 1 1

41 1 1 1


EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

EXEMPLO: convergência pela Bisseção

31. x31 = 1 – x1132. x32 = 1 – x12a04. x13 = k x12a07. W3 = W11 x11 r / x1301. W2 = W1 x31 / x3202. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

x12a

32 04 07 0201x31

x32

x13

W3

W2BISS

x12a

f (x12)

Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura

f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

f (x)

x

xi

xs

fs

x1

f1x2

f2

fi

Esquema de convergência pela Bisseção

32 04 07 0201x31

x32

x13

W3

W2BISS

x12a

f (x12)

f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

Até convergir

EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta

31. x31 = 1 – x1132. x32 = 1 – x12a04. x13 = k x12a07. W3 = W11 x11 r / x1301. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

x12a

32 04 07 0201x31

x32

x13

W3

W2SD

x12a = x12c

x12c

Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura

x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas

ALGORITMO

ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema

Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema.

O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da

extração da raiz quadrada de um número.

Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações).

Algoritmos podem ser programas em computadores

Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Origem dos Algoritmos

An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.

www.nist.gov/dads/html/algorithm.html

capÍtulo 3 estratÉgias de cÁlculo 03 de julho de 2014

Documents