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DIMENSIONAMENTO DE ESTACAS

SOB AÇÕES SÍSMICAS

Carlos Manuel Fernando Lagareiro

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores: Prof. Doutor Jaime Alberto dos Santos e Prof. Doutor Mário Manuel

Paisana dos Santos Lopes

Júri

Presidente: Prof. Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Orientador: Prof. Doutor Jaime Alberto dos Santos

Vogais: Prof. Doutor Rui Pedro Carrilho Gomes e Doutor António José Brazão de

Brito

Junho 2015

i

Resumo

Nesta dissertação estuda-se o comportamento de estacas sob ações sísmicas, relativamente ao

efeito de interação cinemática solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do

solo e da estaca.

Considera-se o comportamento não linear dos materiais com base no desenvolvimento de um

método iterativo que utiliza dois programas computacionais diferentes, através dos quais é

possível definir todas as condições do problema.

Investiga-se um caso prático correspondente a uma estaca isolada atravessando uma formação

aluvionar com base num estudo paramétrico relativamente ao dimensionamento da estaca,

através da consideração de diferentes valores do diâmetro da estaca, da percentagem de

armadura longitudinal e de armadura de confinamento.

Verifica-se que o campo de deslocamentos do campo livre e da estaca mantêm o mesmo

andamento em altura, excepto na transição entre camadas. Nessas zonas existe um ajuste face

à variação brusca do campo de deslocamentos do solo devido à presença da estaca.

Constata-se que os esforços a que a estaca fica sujeita em regime não linear são bastante

inferiores aos valores obtidos considerando a mesma com comportamento linear.

Tendo em conta que a verificação de segurança de estacas sujeitas a deslocamentos impostos

deve ser realizada controlando diretamente grandezas cinemáticas, chega-se à conclusão que,

com base no valor da distorção média da estaca, o cenário correspondente a uma estaca

isolada apresenta uma capacidade de deformação muito elevada, podendo à partida acomodar

campos de deslocamentos impostos pelo solo devido à ação sísmica associados a valores de

distorção do solo muito elevados.

Palavras chave: estacas sob ações sísmicas; interação cinemática solo-estaca; análise não

linear; deslocamentos impostos; confinamento; ductilidade.

iii

Abstract

In this thesis, the response of seismic loaded piles relative to the kinematic soil-pile

interaction is studied considering soil and pile nonlinear behavior.

The materials nonlinear behavior is simulated using an iterative method which considers two

different software programs, in which it is possible to define all the problem’s conditions.

A practical case is studied considering an isolated pile crossing a alluvial formation based on

a parametric study relating to the design of the pile, considering different pile diameters,

percentages of longitudinal reinforcements and confinement reinforcements.

It was found that the displacements field of the pile and of the free field are very close along

the height, except between layer transitions. In these areas there is an adjustment relating to

the abrupt change in the displacements field of the free field, due to the presence of the pile.

It was found that the stresses on the pile in a non linear approach are lower than in a linear

one.

Given that the safety verification of piles subjected to imposed displacements must be done

with direct control of the kinematic quantities it was deduced that in the case of a single pile,

based on the pile’s average shear strain, the ductility is high and has the ability to

accommodate ground movements, even for the transition zones in which the soil exhibit high

shear strain under seismic actions.

Key words: seismic loaded piles; kinematic soil-pile interaction; nonlinear analysis; imposed

displacements; confinement; ductility.

v

Índice Geral

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1

2. ANÁLISE DO EFEITO DE INTERAÇÃO CINEMÁTICA SOLO-ESTACA ................. 5

2.1. Introdução .................................................................................................................... 5

2.2. Modelos simplificados ................................................................................................. 5

2.2.1. Resposta sísmica do terreno ................................................................................. 6

2.2.2. Modelo de interação proposto por Soulomiac [1986] .......................................... 9

2.2.3. Modelo de interação proposto por Mineiro [1988] e [2000] .............................. 12

2.2.4. Validade dos modelos simplificados .................................................................. 13

2.2.4.1. Modelo elástico contínuo tridimensional .................................................... 14

2.2.4.2. Modelo discreto .......................................................................................... 20

2.3. Modelos rigorosos ..................................................................................................... 23

2.3.1. Modelo BDWF para estaca isolada .................................................................... 24

2.3.1.1. Descrição do modelo e soluções analíticas correspondentes ...................... 24

2.3.1.2. Módulo de reação das molas ....................................................................... 29

2.3.1.3. Amortecimento histerético do solo e amortecimento por radiação ............ 30

2.3.2. Validação do modelo BDWF recorrendo a uma análise modal 3-D pelo método

dos elementos finitos ......................................................................................................... 32

2.3.2.1. Amortecimento modal considerado ............................................................ 33

2.3.2.2. Resolução do problema da radiação nas fronteiras laterais ....................... 37

2.3.2.3. Resultados da análise modal e comparação com o modelo BDWF ............ 38

2.4. Conclusões ................................................................................................................. 40

3. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS DE BETÃO ARMADO SUJEITOS A

DESLOCAMENTOS IMPOSTOS .......................................................................................... 43

3.1. Introdução .................................................................................................................. 43

3.2. Relações constitutivas dos materiais - Comportamento monotónico ........................ 43

3.2.1. Aço ..................................................................................................................... 44

3.2.2. Betão ................................................................................................................... 47

3.2.2.1. Pressão de confinamento (para secções circulares) .................................... 49

3.2.2.2. Extensão última do betão confinado ........................................................... 53

3.3. Definição do efeito da ação em termos de grandezas cinemáticas vs. grandezas

estáticas ................................................................................................................................. 55

3.4. Fatores que influenciam a capacidade de deformação .............................................. 57

vi

3.4.1. Introdução ........................................................................................................... 57

3.4.2. Capacidade resistente do material ...................................................................... 60

3.4.3. Resistência à tração do betão ............................................................................. 60

3.4.4. Esforço axial ....................................................................................................... 62

3.4.5. Declive do ramo descendente da relação constitutiva do betão confinado ........ 63

3.5. Conclusões ................................................................................................................. 63

4. APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS UTILIZADAS .................................................... 65

4.1. Introdução .................................................................................................................. 65

4.2. CINEMAT ................................................................................................................. 65

4.2.1. Introdução ........................................................................................................... 65

4.2.2. Implementação do modelo BDWF num programa de elementos finitos ........... 66

4.2.2.1. Modelo de propagação unidimensional da ação sísmica ............................ 66

4.2.2.2. Breve descrição do método de resolução numérica utilizado (domínio da

frequência) .................................................................................................................... 69

4.2.3. Método da resposta complexa no domínio do tempo ......................................... 73

4.2.4. Comportamento não linear do solo - Método linear equivalente ....................... 75

4.3. PIER........................................................................................................................... 77

4.3.1. Introdução ........................................................................................................... 77

4.3.2. Definição das secções transversais ..................................................................... 78

4.3.2.1. Introdução ................................................................................................... 78

4.3.2.2. Determinação dos elementos de redução .................................................... 80

4.3.2.3. Cálculo da matriz de rigidez secante .......................................................... 83

4.3.3. Formulação matemática dos elementos finitos .................................................. 86

4.3.3.1. Introdução ................................................................................................... 86

4.3.3.2. Elemento finito de barra de eixo reto e rigidez variável ............................. 87

4.3.3.3. Elemento finito de barra completo .............................................................. 92

4.3.4. Análise linear ...................................................................................................... 93

4.3.5. Análise não linear ............................................................................................... 94

5. CASO DE ESTUDO DE UMA ESTACA ISOLADA ATRAVESSANDO UMA

FORMAÇÃO ALUVIONAR ................................................................................................ 101

5.1. Introdução ................................................................................................................ 101

5.2. Modelo geotécnico .................................................................................................. 101

5.3. Dimensionamento da estaca - Estudo paramétrico .................................................. 104

5.3.1. Introdução ......................................................................................................... 104

vii

5.3.2. Diâmetro da estaca ........................................................................................... 104

5.3.3. Armadura longitudinal ..................................................................................... 105

5.3.4. Armadura transversal ....................................................................................... 107

5.3.5. Definição dos diferentes cenários de estudo .................................................... 109

5.4. Análise das secções transversais consideradas ........................................................ 111

5.4.1. Introdução ......................................................................................................... 111

5.4.2. Propriedades dos materiais ............................................................................... 112

5.4.3. Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções .................................. 113

5.4.4. Relação Momentos-Curvaturas das secções .................................................... 116

5.4.5. Análise e comparação dos resultados obtidos .................................................. 128

5.5. Ações consideradas .................................................................................................. 129

5.5.1. Introdução ......................................................................................................... 129

5.5.2. Ação sísmica .................................................................................................... 130

5.5.3. Tensão normal na cabeça da estaca .................................................................. 131

5.6. Metodologia de análise e apresentação dos resultados ............................................ 131

5.6.1. Discretização do problema ............................................................................... 131

5.6.2. Descrição do processo iterativo desenvolvido ................................................. 132

5.6.3. Resultados obtidos em todos os cenários ......................................................... 135

5.6.4. Análise do caso mais desfavorável ................................................................... 138

5.6.5. Estimativa dos critérios de cedência e rotura ................................................... 141

5.7. Análise conjunta dos principais resultados .............................................................. 144

6. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............................................. 147

6.1. Conclusões finais ..................................................................................................... 147

6.2. Recomendações e desenvolvimentos futuros .......................................................... 150

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 153

ix

Índice de Figuras

Figura 2.1 - Resposta sísmica em corte simples de uma camada elástica .................................. 6

Figura 2.2 - Deformada da estaca ............................................................................................. 10

Figura 2.3 - Diagrama de esforços: (a) deslocamento u=y; (b) tensão p; (c) esforço transverso

V; e (d) momento fletor M ............................................................................................... 12

Figura 2.4 - Modelação da estaca e do solo envolvente por elementos finitos ........................ 14

Figura 2.5 - Cenário de estudo ................................................................................................. 15

Figura 2.6 - Malha de elementos finitos ................................................................................... 15

Figura 2.7 - Resultados obtidos pelo programa de análise dinâmica [Santos, 1999]: (a)

deformada; e (b) diagrama de momentos fletores ............................................................ 16

Figura 2.8 - Relação em função do diâmetro da estaca (d) [Santos, 1999] ................... 18

Figura 2.9 - Relação em função do parâmetro adimensional (L) [Santos, 1999] ....... 19

Figura 2.10 - versus [Santos, 1999] ................................................................ 20

Figura 2.11 - Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do momento fletor à

cabeça da estaca [Santos, 1999] ....................................................................................... 22

Figura 2.12 – Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do deslocamento à

cabeça da estaca [Santos, 1999] ....................................................................................... 22

Figura 2.13 – Modelo BDWF .................................................................................................. 24

Figura 2.14 – Modelo de Flores-Berrones e Whitman [1982] ................................................. 25

Figura 2.15 - Modelo de radiação bidimensional [Gazetas e Dobry, 1984a] ........................... 31

Figura 2.16 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento (ξ=5%) [Santos, 1999]

.......................................................................................................................................... 35


.......................................................................................................................................... 36

x


.......................................................................................................................................... 36

Figura 2.19 – Zona perturbada pela presença da estaca [Santos, 1999] ................................... 38

Figura 2.20 – Valores de Iu em função de [Santos, 1999] ............................................. 39

Figura 2.21 – M0 normalizado em função de [Santos, 1999] ........................................ 40

Figura 3.1 - Relação constitutiva monotónica do aço [Pipa, 1993] ......................................... 45

Figura 3.2 - Relação constitutiva monotónica do betão [Mander et al., 1988] ........................ 47

Figura 3.3 - Núcleo efetivamente confinado para secções circulares [Brito, 2011] ................ 50

Figura 3.4 - Modelo de viga bi-encastrada [Brito, 2011] ......................................................... 55

Figura 3.5 - Diagramas de extensões e tensões da secção transversal [Brito, 2011] ............... 56

Figura 3.6 - Secção transversal circular (adaptado de Brito [2011]) ....................................... 58

Figura 3.7 - Relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011] ........................................ 59

Figura 3.8 - Relação constitutiva trilinear do aço .................................................................... 61

Figura 4.1 – Nomenclatura para o modelo de propagação vertical das ondas de corte

(adaptado de Kramer [1996]) ........................................................................................... 66

Figura 4.2 - Análise não linear para forças aplicadas à estrutura [Brito, 2011] ....................... 95

Figura 4.3 - Viga biencastrada com deslocamento imposto no topo ....................................... 95

Figura 4.4 - Momento de encastramento em função do deslocamento imposto no topo [Brito,

2011]................................................................................................................................. 96

Figura 4.5 - Sequência de aplicação de ações [Brito, 2011] .................................................... 97

Figura 4.6 - Mudança de referencial num elemento finito [Brito, 2011] ................................. 99

Figura 4.7 - Rigidez secante correspondente ao estado de tensão instalado na secção [Brito,

2011].................................................................................................................................84

Figura 4.8 - Esforços generalizados do elemento finito de barra..............................................87

Figura 4.9 - Variáveis do problema: (a) estáticas; e (b) cinemáticas........................................88

xi

Figura 4.10 - Elemento finito de barra......................................................................................91

Figura 4.11 - Elemento finito de barra completo [Brito, 2011]................................................93

Figura 4.12 - Análise não linear para forças aplicadas à estrutura [Brito, 2011]......................95

Figura 4.13 - Viga biencastrada com deslocamento imposto no topo......................................95

Figura 4.14 - Momento de encastramento em função do deslocamento imposto no topo [Brito,

2011].................................................................................................................................96

Figura 4.15 - Sequência de aplicação de ações [Brito, 2011]...................................................97

Figura 4.16 - Mudança de referencial num elemento finito [Brito, 2011]................................99

Figura 5.1 - Modelo geotécnico considerado (adaptado de Santos [1999]) ........................... 102

Figura 5.2 - Curva não linear G/G0-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999]) ............. 103

Figura 5.3 - Curva não linear ξ-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999]) ................... 104

Figura 5.4 - Definição da armadura longitudinal ao longo do fuste da estaca ....................... 105

Figura 5.5 - Definição da armadura transversal ao longo do fuste da estaca ......................... 108

Figura 5.6 - Definição das secções transversais ao longo do fuste da estaca para cada

Análise_ijk ..................................................................................................................... 110

Figura 5.7 - Discretização de uma secção transversal no FLEXÃO ...................................... 111

Figura 5.8 - Relação constitutiva do betão confinado (Secção i da Análise_222) ................. 114

Figura 5.9 - Relação constitutiva do aço (Secção i da Análise_222) ..................................... 115

Figura 5.10 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento

adotado (d=0.50m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 117


adotado (d=0.50m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 118


adotado (d=0.50m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 118

xii

Figura 5.13 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento

adotado (d=0.50m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 119


adotado (d=0.50m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 119


adotado (d=0.50m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 120


adotado (d=0.80m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 120


adotado (d=0.80m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 121


adotado (d=0.80m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 121


adotado (d=0.80m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 122


adotado (d=0.80m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 122


adotado (d=0.80m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 123


adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%) ....................................................................................... 123


adotado (d=1.30 m e ρs=1.9%) ....................................................................................... 124


adotado (d=1.30 m e ρs=3.1%) ....................................................................................... 124

xiii


adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%) ....................................................................................... 125


adotado (d=1.30 m e ρs=1.9%) ....................................................................................... 125


adotado (d=1.30 m e ρs=3.1%) ....................................................................................... 126

Figura 5.28 -Acelerograma correspondente ao Sismo de Kobe (1995) ................................. 130

Figura 5.29 - Discretização do problema (adaptado de Santos [1999]) ................................. 132

Figura 5.30 - Esquematização do processo iterativo desenvolvido ....................................... 134

Figura 5.31 - Campo de deslocamentos (absolutos) do campo livre e da estaca referente à

Análise_313 .................................................................................................................... 139

Figura 5.32 - Momentos fletores da estaca para a Análise_313 ............................................. 140

Figura 5.33 - Perfil de curvaturas referente à Análise_313 .................................................... 141

Figura 5.34 - Campo de deslocamentos relativos da estaca referente à Análise_313 ............ 142

Figura 5.35 - Detalhe da transição entre as camadas A e B - suavização do perfil de

deslocamentos ................................................................................................................ 144

xv

Índice de Quadros

Quadro 2.1 - Comparação dos resultados obtidos .................................................................... 17

Quadro 2.2 - Parâmetros utilizados no estudo paramétrico ..................................................... 17

Quadro 2.3 – Aplicação da formulação analítica ..................................................................... 20

Quadro 3.1 - Parâmetros das relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011]...............59

Quadro 3.2 - Curvaturas na secção da base da coluna [Brito, 2011]........................................62

Quadro 4.1 - Campos de esforços relativos a cada um dos esforços independentes ................ 90

Quadro 4.2 - Campos de esforços relativos aos carregamentos de vão mais relevantes..........91

Quadro 5.1 - Propriedades geotécnicas do terreno [Santos, 1999].........................................103

Quadro 5.2 - Armadura longitudinal adotada para d=0.50m..................................................106



Quadro 5.5 - Armadura transversal adotada para d=0.50m ................................................... 108



Quadro 5.8 - Análise_321 d=1.30m .................................................................................. 110

Quadro 5.9 - Propriedades do Betão C20/25 .......................................................................... 112

Quadro 5.10 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de confinamento ......................... 112

Quadro 5.11 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de flexão ..................................... 112

Quadro 5.12 - Análise_222 / Secção i (d=0.80m) .................................................................. 113

Quadro 5.13 - Parâmetros da relação constitutiva do betão confinado (Secção i da

Análise_222) .................................................................................................................. 113

Quadro 5.14 - Parâmetros da relação constitutiva do aço das armaduras de flexão (Secção i da

Análise_222) .................................................................................................................. 114

Quadro 5.15 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=0.50m ................................ 115

xvi



Quadro 5.18 - Esforço normal para cada diâmetro ................................................................ 117

Quadro 5.19 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=0.50m ......... 127



Quadro 5.22 - Força vertical aplicada na cabeça da estaca para cada diâmetro..................... 131

Quadro 5.23 - Resultados das análises para d=0.50m ............................................................ 135



Quadro 5.26 - Valor mais elevado de

e para cada diâmetro .................... 138

Quadro 5.27 - Resultados referentes à Análise_313 .............................................................. 143

Quadro 5.28 - Estimativa do critério de cedência ( ) .................................................. 143

Quadro 5.29 - Estimativa do critério de rotura ( ) ...................................................... 143

1

1. INTRODUÇÃO

A interação solo-estaca sob ações sísmicas é um problema complexo que tem despertado

bastante interesse no domínio da investigação nas últimas décadas. Na bibliografia

encontram-se muitas referências a danos em estacas provocados pela ação sísmica, devido não

só às forças de inércia provenientes da superestrutura, como também devido às curvaturas

elevadas impostas pelo terreno. Enquanto que o problema associado às forças de inércia está

bem estudado, o problema correspondente ao efeito de interação cinemática solo-estaca não

tem cativado tanto a atenção de investigadores.

Desta forma, pretende-se com esta dissertação contribuir para o desenvolvimento do estudo

do efeito da ação sísmica no dimensionamento de estacas com base na interação cinemática

solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do solo, bem como a não linearidade

do betão armado das estacas.

Em termos gerais, a dissertação aborda dois grandes temas. Um referente ao comportamento

do solo sob a ação sísmica e à análise do efeito de interação cinemática solo-estaca, onde são

avaliados os efeitos induzidos nas estacas. E outro sobre o comportamento de elementos de

betão armado sujeitos a deslocamentos impostos, onde a verificação de segurança é definida

em termos de grandezas cinemáticas (deformações). Cada um destes temas tem um peso

relativo idêntico e com um desenvolvimento correspondente a um capítulo teórico e a um

subcapítulo correspondente à descrição da aplicação computacional utilizada neste estudo. A

consolidação dos diferentes conceitos abordados ao longo do trabalho é feita através da

análise de um caso de estudo de uma estaca isolada atravessando uma formação aluvionar,

que põe em prática o método desenvolvido que permite estudar o problema respeitando todas

as condições referidas ao longo desta investigação. Cada capítulo começa com uma breve

introdução dos objetivos e termina com um resumo das principais conclusões.

Após o capítulo introdutório deste trabalho, discute-se no capítulo 2 o efeito de interação

cinemática solo-estaca devido à ação sísmica. Começa-se por fazer referência a alguns

modelos simplificados e respetivas expressões que permitem estimar os efeitos induzidos nas

estacas, dentro do domínio de validade e das hipóteses admitidas. Numa segunda parte, é

descrito de forma detalhada o modelo rigoroso de interação cinemática solo-estaca tido em

2

conta neste estudo, modelo BDWF ("Beam on Dynamic Winkler Foundation"), demonstrando

as suas pontencialidades.

Uma vez avaliados os efeitos induzidos nas estacas devido à ação sísmica com base na

interação cinemática solo-estaca, nomeadamente através do cálculo do campo de

deslocamentos impostos à estaca, estuda-se no capítulo 3 o comportamento de elementos de

betão armado sujeitos a esse tipo de ações impostas. Apresentam-se as relações constitutivas

dos materiais que são consideradas nas análises não lineares efetuadas neste trabalho, que

permitem avaliar a ductilidade das secções e dos elementos de betão armado. É feita a

comparação entre a definição da ação em termos de grandezas cinemáticas e grandezas

estáticas, identificando-se as principais diferenças entre ambas. Termina-se este capítulo

discutindo os conceitos mais relevantes relacionados com a capacidade de deformação de

secções de betão armado.

O capítulo 4 prende-se com a descrição das ferramentas matemáticas utilizadas neste trabalho

que permitiram analisar o problema considerando o comportamento não linear dos materiais.

Deste modo, divide-se em duas partes. A primeira referente ao programa CINEMAT, que

resulta da combinação do modelo BDWF com um modelo de propagação unidimensional das

ondas de corte sísmicas, onde se considera o comportamento não linear do solo através do

método linear equivalente. E a segunda referente ao programa PIER, que permite avaliar a

capacidade de deformação de estruturas reticuladas de betão armado com base em análises

não lineares. Neste capítulo descrevem-se apenas as duas aplicações computacionais

utilizadas de forma isolada, sendo que o processo iterativo desenvolvido com base nas

mesmas é descrito apenas no capítulo 5 aquando das análises efetuadas em relação ao caso de

estudo prático.

O capítulo 5 apresenta um caso de estudo de uma estaca isolada atravessando uma formação

aluvionar. Em primeiro lugar, descreve-se o modelo geotécnico considerado. De seguida, com

base num estudo paramétrico relativamente ao dimensionamento da estaca, com diferentes

valores do diâmetro da estaca, da percentagem de armadura longitudinal e de armadura de

confinamento, é feita uma análise detalhada das diferentes secções transversais de betão

armado consideradas nesta investigação. Uma vez definidas as ações consideradas nas

análises efetuadas e apresentada a discretização do problema, assim como as condições de

fronteira associadas, é descrito o processo iterativo que permitiu estudar o problema

admitindo todas as hipóteses assumidas ao longo do trabalho, nomeadamente a não

3

linearidade do solo e da estaca. O capítulo termina com a apresentação dos diferentes

resultados obtidos e algumas considerações face aos mesmos.

Por fim, no capítulo 6 sumariam-se as principais conclusões deste trabalho e deixam-se

sugestões para desenvolvimentos futuros.

5

2. ANÁLISE DO EFEITO DE INTERAÇÃO CINEMÁTICA SOLO-ESTACA

2.1. Introdução

Durante a atuação de um sismo, os esforços nas estacas são devidos, por um lado, às forças de

inércia da superestrutura e, por outro, ao movimento do solo envolvente. Ao contrário do que

acontece para o primeiro grupo, o efeito de interação entre o solo e a estaca resultante dos

deslocamentos que o terreno impõe à estaca não é, em geral, tido em conta no

dimensionamento estrutural das estacas.

Deste modo, pretende-se neste capítulo fazer referência aos principais modelos desenvolvidos

que permitem estudar o efeito de interação cinemática solo-estaca. Numa primeira parte, são

apresentados alguns modelos simplificados e as respetivas expressões que permitem estimar

os efeitos induzidos nas estacas, dentro do domínio de validade e das hipóteses admitidas.

Numa segunda parte, faz-se referência aos modelos rigorosos, nomeadamente o modelo

discreto dinâmico BDWF ("Beam on Dynamic Winkler Foundation"), onde são demonstradas

as suas potencialidades.

2.2. Modelos simplificados

São descritos neste trabalho dois modelos simplificados de interação cinemática, um proposto

por Soulomiac [1986] e outro proposto por Mineiro [1988 e 2000].

É possível constatar para ambos os modelos que a análise do efeito de interação cinemática

solo-estaca se baseia em duas fases: em primeiro lugar, é necessário determinar a resposta

sísmica do terreno (campo livre) com base numa análise espetral; posteriormente, calculam-se

os esforços induzidos na estaca com base no modelo em causa.

Assim, apresenta-se a seguir o procedimento correspondente a cada um dos modelos

estudados.

6

2.2.1. Resposta sísmica do terreno

A solução analítica que traduz o comportamento em corte simples, de uma camada de terreno

com a superfície uniformente carregada e sujeita à ação sísmica na sua base rígida (ver Figura

2.1), foi deduzida por Ambraseys [1960].

Em função do espectro de aceleração da perturbação sísmica aplicada na base rígida, a

solução geral do problema descrito, em termos de distorções máximas ao longo da camada

elástica, é definida da seguinte forma:

(2.1)

em que:

H = espessura da camada deformável

= velocidade de propagação das ondas de corte

espessura da camada rígida

Figura 1.1 - Resposta sísmica em corte simples de uma camada elástica

Figura 2.1 - Resposta sísmica em corte simples de uma camada elástica

7

peso volúmico da camada rígida

peso volúmico da camada elástica

n = número de ordem do modo de vibração

valor da aceleração espectral associado ao modo de vibração de ordem n

e = coeficientes adimensionais dados por:

(2.2)

(2.3)

Fazendo a integração das distorções obtém-se o deslocamento horizontal relativo do solo, u, a

uma determinada altura, z, da base:

(2.4)

Mineiro [1988], fazendo referência ao trabalho de Ambraseys [1960], demonstrou que, do

ponto de vista prático, se pode considerar apenas a contribuição do modo fundamental para o

cálculo da distorção e do deslocamento, visto que a contribuição dos restantes modos é

pequena. Desta forma, tendo em conta unicamente o primeiro modo de vibração, expressando

o valor de

da equação (2.1) em função da coordenada z e substituindo na equação (2.4),

é possível obter-se, após algumas manipulações matemáticas, o valor do desclocamento:

(2.5)

onde:

(2.6)

(2.7)

8

Para o caso particular de não haver camada rígida no topo da camada deformável, a equação

(2.1) simplifica-se, tomando a forma:

(2.8)

em que, neste caso:

(2.9)

(2.10)

Sabendo que , a expressão (2.8) pode ainda ser escrita em função

da coordenada z:

(2.11)

Desta forma, o deslocamento relativo do solo, u, pode ser calculado por:

(2.12)

ou

(2.13)

em que corresponde ao valor do deslocamento relativo no topo da camada elástica (valor

máximo), dado por:

(2.14)

9

O período fundamental, T, da camada toma, para este caso particular, o valor de:

(2.15)

onde é a frequência própria do primeiro modo de vibração.

2.2.2. Modelo de interação proposto por Soulomiac [1986]

Soulomiac [1986] mostrou que, quando as estacas são de pequeno a médio diâmetro ou

quando a rigidez da massa de solo em movimento for relativamente elevada, se pode admitir

que a estaca acompanha o movimento do solo, sofrendo então os mesmos deslocamentos do

campo livre.

Relativamente à deformada do terreno, ficou provado na seção anterior que, considerando

apenas o modo fundamental, esta segue uma lei sinusoidal, descrevendo 1/4 de uma

sinusoide. Desta forma, a primeira e segunda derivada da função desocamentos anulam-se,

respectivamente, no topo (ponto máximo) e na base (ponto de inflexão).

Considere-se então o problema referente à Figura 2.2, onde é representada uma estaca

suficientemente flexível e com rotação impedida ao nível da sua cabeça. Segundo Soulomiac

[1986], a consideração da deformada (a) indicada na figura parece pouco realista, uma vez

que se gerariam esforços de flexão muito elevados e incomportáveis na zona de ligação da

base da estaca ao substrato rígido. Com isto, o autor propôs que se considerasse a deformada

(b), admitindo a existência de uma rótula na base, seguindo a estaca a mesma lei sinusoidal

correspondente ao campo livre.

10

Admite-se agora que as tensões horizontais no solo se podem obter a partir dos deslocamentos

através de uma constante de proporcionalidade. Desta forma, a estaca fica sob a ação de um

diagrama de tensões com andamento igualmente sinusoidal e valor máximo, , à superfície:

(2.16)

onde representa a reação do solo.

Assim, tendo em conta as condições de equilíbrio, o esforço transverso, V, e o momento

flector, M, a uma profundidade x, são dados por:

(2.17)

e

(2.18)

Por outro lado, pela equação diferencial que rege o comportamento de uma viga elástica,

temos que:

(2.19)

Figura 2.2 - Deformada da estaca

11

onde representa o campo de deslocamentos da estaca e corresponde à rigidez à

flexão da estaca.

Considerando que a estaca acompanha o movimento do campo livre, isto é, y(x) = u(x), a

equação (2.19) passa a ser definida da seguinte forma:

(2.20)

Com isto, eliminando p(x) nas equações (2.18) e (2.20), obtém-se a expressão que permite

calcular o momento flector em função do deslocamento:

(2.21)

Com base na expressão anterior, é fácil constatar que:

(2.22)

e, tendo em conta que , temos que:

(2.23)

Resumindo, na Figura 2.3 são apresentados os diagramas de esforços referentes ao problema

tratado. Da análise da figura, verifica-se que o diagrama de momentos fletores segue também

o mesmo andamento sinusoidal do campo livre de deslocamentos.

12

2.2.3. Modelo de interação proposto por Mineiro [1988] e [2000]

Um outro modelo de interação cinemática solo-estaca (simplificado) foi desenvolvido por

Mineiro [1988]. O autor considerou que a estaca e o solo têm comportamento elástico, e que o

solo pode ser modelado por molas (modelo discreto do tipo Winkler) ou como um meio

contínuo. Deste modo, a capacidade resistente das estacas ao deslocamento sísmico horizontal

é avaliada em duas fases:

primeiramente, considera-se que as estacas são supostamente articuladas na base e na

cabeça, e calcula-se (simplificadamente) o valor da rotação da cabeça, isto é:

(2.24)

em segundo lugar, aplica-se à cabeça da estaca um momento que anule o valor da

rotação calculado no ponto anterior, tendo em conta a interação com o terreno.

O modelo acabado de descrever considera apenas uma condiçao de compatibilidade à cabeça

da estaca, podendo então conduzir, nalguns casos, a resultados sobreestimados. Visto isto, e

com base numa das modelações sugeridas pelo EC8 (versão de 1985, que foi posteriormente

abandonada) que despreza o tipo de interação em causa, aquele autor propôs que o momento

de encastramento da cabeça da estaca fosse calculado pela seguinte expressão [Mineiro,

2000]:

Figura 2.3 - Diagrama de esforços: (a) deslocamento u=y; (b) tensão p; (c) esforço

transverso V; e (d) momento fletor M

13

(2.25)

É importante, em último lugar, fazer-se referência ao facto de se ter em conta o andamento

real da deformada do terreno quando se tem como objetivo estimar os esforços da estaca

devido ao efeito de interação.

Diferentes modelos de interação, conduzem a resultados diferentes. Santos [1999], através de

um exemplo simples de uma estaca embebida numa camada elástica, comparou os resultados

obtidos pelos três modelos descritos anteriormente, chegando à conclusão que o modelo

proposto por Mineiro [1988] conduziu a valores bastante mais desfavoráveis face aos

restantes. Tendo em conta as equações (2.22) e (2.25), concluiu que, relativamente ao modelo

que considera que a estaca acompanha o deslocamento do solo [Soulomiac, 1986] e ao

modelo que não considera o efeito de interação [Mineiro, 2000], os resultados obtivos são

relativamente próximos, apontando uma relação entre eles de .

2.2.4. Validade dos modelos simplificados

Os modelos de interação (simplificados) que foram descritos anteriormente consideram que a

estaca acompanha os movimentos do campo livre. Desta forma, não é possível avaliar a

influência da presença da estaca no que diz respeito aos movimentos do solo em seu redor.

Convém por isso verificar o domínio de validade das formulações analíticas apresentadas e

quais as alterações a ter em conta quando a premissa inicial deixa de ser válida.

Santos [1999] encontrou a resposta a estas duas questões com base na comparação dos

resultados obtidos através do modelo proposto por Soulomiac [1986] e dos resultados obtidos

através de análises tridimensionais, recorrendo ao método dos elementos finitos considerando

o solo como um meio contínuo, e também de análises considerando o solo com base no

modelo discreto do tipo Winkler.

As análises e conclusões referentes a esse trabalho são descritas a seguir.

14

2.2.4.1. Modelo elástico contínuo tridimensional

Para estudar o efeito de interação cinemática solo-estaca recorrendo ao método dos elementos

finitos (MEF) considerando o solo como um meio contínuo, Santos [1999] modelou a estaca

através de elementos de barra tridimensionais e o solo envolvente através de elementos

sólidos prismáticos. Em cada seção transversal de discretização da estaca, ligou todos os

pontos nodais através de uma placa rígida (ver Figura 2.4). Desta forma, tirou-se partido da

facilidade de obtenção dos deslocamentos e dos esforços ao longo do fuste da estaca

associada aos elementos de barra.

A consideração da existência das placas rígidas – modeladas através de elementos de casca

com elevada rigidez – tem como objetivo garantir que todas as seções permanecam planas

após a deformação, aplicando deste modo a lei de Euler-Bernoulli.

O cenário de estudo que serviu de base ao trabalho referido está indicado na Figura 2.5.

Relativamente à malha de elementos finitos utilizada (ver Figura 2.6), o autor teve como

objetivo reproduzir o comportamento de uma camada de terreno com extensão lateral infinita

sujeita à ação de uma perturbação sísmica na sua base rígida. Nos nós situados nas fronteiras

laterais libertou-se apenas o deslocamento segundo a direção de atuação do sismo e impôs-se

a condição de igualdade de deslocamentos para os nós situados à mesma profundidade.

Figura 2.4 - Modelação da estaca e do solo envolvente por elementos finitos

15

Com o recurso a programas de análise dinâmica, nomeadamente, o ABAQUS e o SAP-90, foi

efetuada uma análise modal, tendo-se imposto na base da camada elástica uma aceleração

espetral unitária atuando na direção longitudinal da malha (direção x).

Numa primeira abordagem, houve o cuidado de estender a malha a uma distância

consideravelmente superior ao diâmetro da estaca, de modo a garantir que a massa de solo

envolvente fosse muito superior à massa da estaca, tentando desta forma simular a hipotése

Figura 2.5 - Cenário de estudo

Figura 2.6 - Malha de elementos finitos

16

assumida por Soulomiac [1986], ou seja, que a estaca acompanha o movimento do solo,

sofrendo os mesmos deslocamenos do campo livre.

Com isto, e considerando apenas o primeiro modo de vibração, o autor comparou os

resultados obtidos pelo programa de cálculo automático (ver Figura 2.7) com os resultados

obtidos pela formulação analítica proposta por Soulomiac [1986].

Concluiu então que, desde que as condições de fronteira admitidas para o topo e a base da

estaca estejam em consonância com o andamento sinusoidal do campo livre, o modelo

simplificado é válido, uma vez que a concordância dos resultados foi excelente, como se pode

verificar no Quadro 2.1.

Figura 2.7 - Resultados obtidos pelo programa de análise dinâmica [Santos,

1999]: (a) deformada; e (b) diagrama de momentos fletores

17

Quadro 2.1 - Comparação dos resultados obtidos

MEF Formulação analítica

(m) 0.0258 0.0246

(kNm) 72.5 74.5

T (s) 0.89 0.87

Numa segunda abordagem, o autor procurou definir o domínio de validade da formulação

analítica anteriormente referida, através de um estudo paramétrico mais alargado. Para tal,

efetuou um conjunto de 27 cálculos que resultaram da combinação de três valores diferentes

do diâmetro da estaca (d), da espessura da camada elástica (H) e do módulo de

deformabilidade do solo ( ), valores esses que são apresentados no Quadro 2.2. Para além

disso, considerou novamente uma aceleração espetral unitária no substrato rígido;

para todas as situações; e as condições de fronteira da estaca (com = ) apresentadas

atrás na Figura 2.5.

Quadro 2.2 - Parâmetros utilizados no estudo paramétrico

0.5 1.0 1.5

5 10 20

5000

10000

20000

Da análise da Figura 2.8, onde são apresentados os valores da relação entre o deslocamento

horizontal na cabeça da estaca e o deslocamento horizontal do solo no campo livre ( )

em função do diâmetro da estaca, verifica-se que nalgumas situações, quando a rigidez da

estaca é relativamente elevada, há uma redução muito significativa do deslocamento, uma vez

que a estaca se opõe ao movimento da massa de solo. Nestas situações, deixa de ser correto

admitir que a estaca acompanha o movimento do campo livre.

18

Visto isto, o autor tornou as soluções adimensionais através da consideração de um

coeficiente de rigidez relativa, dado pela expressão (2.26), e representou os valores da relação

em função do novo parâmetro adimensional (L) para todos os 27 casos analisados

(ver Figura 2.9).

=

(2.26)

Figura 2.8 - Relação em função do diâmetro da estaca (d) [Santos, 1999]

19

Pela análise da figura anterior, constata-se que a estaca exibe comportamento flexível para

valores de L superiores a 3, ou seja, a estaca acompanha os deslocamentos do campo livre

( ), podendo estimar-se os deslocamentos e os esforços na estaca com base na

formulação analítca tendo em conta o modelo simplificado. Por outro lado, para valores de

L inferiores a 3, verifica-se uma redução substancial do deslocamento devido ao efeito de

interação, sendo então necessário alterar a formulação analítica.

Santos (1999) mostrou que, considerando que os deslocamentos em profundidade são

afetados pelo mesmo fator de redução , o momento fletor na cabeça da estaca pode ser

estimado igualmente pela expressão (2.22) bastando considerar para o deslocamento da

cabeça da estaca ( ) tendo em conta o efeito de interação. Desta forma, a redução do

momento fletor é igual à redução do deslocamento.

Pela análise da Figura 2.10, onde são representados os valores de em função da relação

, em que é calculado através do programa de cálculo automático e é

calculado com base na expressão (2.22) considerando , é possível verificar a

excelente correlação entre as duas variáveis.

Figura 2.9 - Relação em função do parâmetro adimensional (L) [Santos, 1999]

20

Assim, apresenta-se no Quadro 2.3 as conclusões referentes a este estudo.

Quadro 2.3 – Aplicação da formulação analítica

L ≥ 3 →

L < 3 →

2.2.4.2. Modelo discreto

Como foi referido anteriormente, Santos (1999) recorreu ainda a análises considerando o solo

com base no modelo discreto do tipo Winkler, em que o solo é simulado por uma série de

molas independentes com comportamento elástico e linear.

Desta forma, o modelo baseia-se essencialmente na rigidez das molas, que é caracterizada por

uma constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada e o deslocamento do solo,

constante essa designada por coeficiente de reação horizontal ( ), com as dimensões de [FL-

3]. Contudo, na maior parte dos casos recorre-se a outra grandeza, definida como sendo o

módulo de reação do solo (K) e que é igual ao produto de pelo diâmetro da estaca, com as

dimensões de [FL-2

].

Figura 2.10 - versus [Santos, 1999]

21

O modelo de cálculo consiste então em assimilar a estaca a uma peça linear (viga) apoiada

num meio elástico discreto constituído por molas infinitamente próximas, mas sem ligações

entre elas.

Assim, admitindo que as forças de inércia e de amortecimento ao longo do fuste da estaca

podem ser desprezadas, as condições de equilíbrio e de compatibilidade conduzem à seguinte

equação:

(2.27)

Deste modo, assumindo que a estaca tem comportamento elástico linear, o autor chegou à

conclusão que o efeito dos delocamentos impostos é equivalente à atuação das forças

exteriores ku:

(2.28)

onde x corresponde à profundidade, y são os deslocamentos horizontais da estaca e u são os

deslocamentos horizontais do solo.

Mais uma vez, a equação diferencial (2.28) foi resolvida numericamente implementando o

método dos elementos finitos (recorrendo a uma formulação em termos de deslocamentos)

num programa de cálculo automático, que permitiu introduzir de forma simples os

deslocamentos do campo livre.

Definindo a priori o campo de deslocamentos do solo a partir da solução analítica exata

existente para o caso particular do meio homogéneo elástico, os 27 casos analisados no ponto

anterior considerando o modelo elástico contínuo foram reanalisados com base no modelo

discreto e adotando para o módulo de reação o mesmo valor do módulo de deformabilidade

do solo ( ). Desta forma, o autor comparou os resultados obtidos pelos dois modelos

(ver Figura 2.11 e Figura 2.12) e constatou que para as estacas rígidas o modelo discreto

fornece valores mais conservativos, enquanto que para as estacas flexíveis a tendência

inverte-se. Contudo, convém frisar que a discrepância de resulados foi, na maioria dos casos

analisados, inferior a 10%, o que permitiu então validar a utilização do modelo discreto, que é

muito mais expedito do que o modelo contínuo.

22

Figura 2.12 – Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do deslocamento

à cabeça da estaca [Santos, 1999]

Figura 2.11 - Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do momento fletor

à cabeça da estaca [Santos, 1999]

23

Por último, face ao que foi descrito, é possível então constatar que as conclusões apresentadas

no Quadro 2.3 podem ser igualmente averiguadas com base no modelo discreto, tal como

tinha sido referido anteriormente.

2.3. Modelos rigorosos

O estudo rigoroso do comportamento de estacas sob ações dinâmicas baseou-se, em primeiro

lugar, em formulações por elementos de fronteira considerando o solo como um material

elástico e isótropo com amortecimento histerético linear. Todos os trabalhos desenvolvidos

tendo em conta esta formulação (por exemplo, Kaynia [1982] e Ke Fan et al. [1991]) baseiam-

se na utilização das funções de Green, que relacionam o campo de deslocamentos do solo com

as tensões atuantes na interface solo-estaca.

A aplicação destas funções para todos os troços elementares ao longo da interface solo-estaca

permite obter a matriz de flexibilidade dinâmica do solo envolvente. Depois, é-se conduzido à

matriz de rigidez dinâmica do solo através da inversão da matriz de flexibilidade dinâmica do

mesmo. Por fim, combinando a matriz de rigidez da estaca com a do solo envolvente, é

possível determinar a matriz de rigidez global do sistema solo-estaca.

Estes trabalhos mais rigorosos permitiram então o desenvolvimento de métodos mais

expeditos. Com base no modelo discreto de Winkler adaptado a ações dinâmicas, Flores-

Berrones e Whitman [1982] foram os primeiros a desenvolver um modelo expedito para o

estudo do problema de interação cinemática solo-estaca quando o sistema é solicitado por

uma ação harmónica na base.

Aqueles autores consideraram o solo como uma camada elástica homogénea assente sobre

substrato rígido e sem amortecimento. Seguidamente e graças ao trabalho de inúmeros

investigadores, nomeadamente Gazetas e seus colaboradores (Makris e Gazetas [1992];

Kavvadas e Gazetas [1993]; Nikolaou e Gazetas [1997]), o modelo foi melhorado: foram

considerados os amortecimentos histerético e por radiação do solo, a possibilidade de estudar

camadas de solo com diferentes caraterísticas, e a extensão para o domínio do tempo através

da técnica da transformada discreta de Fourier. O modelo descrito corresponde ao modelo

BDWF – “Beam on Dynamic Winkler Foudation”.

24

Posteriormente, o modelo foi ainda melhorado por Santos [1999] através da incorporação do

comportamento não linear do solo. No presente trabalho, o estudo do efeito de interação

cinemática solo-estaca teve como base o modelo descrito por este autor, sendo que a descrição

detalhada do mesmo é apresentada de seguida.

2.3.1. Modelo BDWF para estaca isolada

2.3.1.1. Descrição do modelo e soluções analíticas correspondentes

O modelo BDWF - "Beam on Dynamic Winkler Foundation" - como o próprio nome indica, é

baseado no modelo discreto de Winkler adaptado às ações dinâmicas. Assim, no estudo da

interação cinemática solo-estaca, o solo que resiste ao movimento lateral da estaca é

modelado através de um conjunto de molas, k(x), e de amortecedores, c(x), com caraterísticas

dependentes da frequência de excitação (ver Figura 2.13). Relativamente ao movimento do

solo (deslocamentos do campo livre), este é obtido através da teoria de propagação das ondas

de corte.

Figura 2.13 – Modelo BDWF

25

O estudo do problema de interação cinemática solo-estaca com base neste modelo foi

abordado em primeiro lugar por Flores-Berrones e Whitman [1982], embora desprezando o

efeito do amortecimento do solo. Os autores consideraram o caso de uma estaca embebida

numa camada elástica homogénea assente sobre substrato rígido, onde é aplicada uma

excitação harmónica simples na base, como se pode observar na Figura 2.14.

Através da equação de equilíbrio dinâmico, o amortecimento do solo pode facilmente ser

introduzido na resolução do problema, ou seja:

(2.29)

em que:

= rigidez à flexão da estaca

= massa da estaca por unidade de comprimento

c = coeficiente do amortecedor

k = módulo de reação do solo

t = tempo

x = profundidade

Figura 2.14 – Modelo de Flores-Berrones e Whitman [1982]

26

y = deslocamento relativo da estaca em relação ao substrato

= deslocamento absoluto da estaca

= deslocamento absoluto do solo (campo livre)

Deste modo, a resposta da estaca apoiada no referido conjunto de molas e de amortecedores,

quando excitada nestes pontos de apoio pela ação do movimento do campo livre, é obtida

através da resolução da equação (2.29) tendo em conta as condições de fronteira da estaca.

Flores-Berrones e Whitman [1982] deduziram uma solução aproximada, em regime de

vibração permanente e desprezando o efeito do amortecimento da própria estaca, do tipo:

(2.30)

em que:

(2.31)

onde z corresponde à altura contada a partir da base da camada elástica e . Porém,

determinaram o valor das constantes A, B e C não considerando o efeito do amortecimento do

solo, o que limita a utilização prática da solução obtida por esses autores.

Santos [1999], seguindo o mesmo raciocínio, deduziu uma solução aproximada do mesmo

tipo, mas considerando o efeito do amortecimento do solo. Assim, mostrou que o

deslocamento absoluto da estaca pode ser calculado através da seguinte expressão:

(2.32)

em que:

(2.33)

e o valor de a é calculado agora considerando a velocidade complexa das ondas de corte:

(2.34)

27

Uma vez que o deslocamento absoluto da estaca, , é igual à soma do deslocamento relativo,

y, e do deslocamento do substrato, , temos que:

(2.35)

Atendendo a que a primeira derivada destas soluções é nula à superfície, está implicita a

condição de rotação nula à cabeça da estaca quando se tem em consideração essas

aproximações.

Santos [1999] deduziu ainda a solução analítica exata relativa ao problema apresentado na

Figura 2.14. A solução geral do problema, em termos de deslocamentos absolutos da estaca,

que o autor deduziu é definida pela seguinte expressão:

(2.36)

em que:

(2.37)

Os esforços ao longo do fuste da estaca são então obtidos a partir da derivação da função

deslocamentos. Uma vez que:

(2.38)

e

(2.39)

28

temos que o momento fletor (M) e o esforço transverso (V) são dados por:

(2.40)

e

(2.41)

Por último, as constantes , , e são determinadas com base nas condições de

fronteira da estaca. Considerando para o deslocamento do substrato um valor unitário, o autor

chegou a um sistema de (4x4) cujas incógnitas são as constantes que se pretendem

determinar. Consoante as condições do problema, o autor mostrou que:

Estaca com cabeça livre ( ):

(2.42)

Estaca com cabeça impedida de rodar ( ):

(2.43)

29

2.3.1.2. Módulo de reação das molas

Na abordagem do modelo BDWF a rigidez das molas que ligam a estaca ao solo, com base

em estudos comparativos de elementos finitos [Gazetas e Dobry, 1984], pode

aproximadamente ser considerada independente da frequência de excitação e expressa em

função do módulo de deformabilidade do solo, ou seja: .

A avaliação do parâmetro δ é uma das principais contribuições do trabalho de Kavvadas e

Gazetas [1993], tanto para meio homogéneo, como para meios estratificados. Tratando-se de

um modelo discreto que pretende simular a resposta duma estaca embebida num meio

contínuo, é natural que o valor de δ dependa da rigidez relativa solo-estaca. Com isto, aqueles

autores levaram a cabo um conjunto importante de estudos paramétricos, quer para estacas

com cabeça livre, quer para estacas com rotação impedida à cabeça.

Relativamente ao caso de uma estaca com rotação impedida à cabeça, embebida num meio

constituído por dois estratos com caraterísticas diferentes, Kavvadas e Gazetas [1993]

relacionaram o parâmetro δ com as propriedades do solo e da estaca através da seguinte

expressão:

(2.44)

onde ν é o coeficiente de Poisson do solo (igual nas duas camadas); L é o comprimento da

estaca; e são as espessuras das camadas superior e inferior do solo; é o modo de

elasticidade da estaca; e são os módulos de distorção das camadas superior e inferior do

solo, respectivamente; e é o modo de elasticidade da camada superior do solo.

No entanto, aqueles autores concluiram que os deslocamentos da estaca são pouco sensíveis

ao valor de δ. Em contrapartida, os esforços máximos na estaca apresentam alguma

sensibilidade ao valor de δ, embora apenas para frequências de excitação próximas da

frequência fundamental do terreno, facto este confirmado por outros investigadores, como

Nikolaou et al. [2001] e, mais recentemente, Sica et al. [2011].

Com isto, através do ajustamento dos resultados para excitações com frequência igual à

frequência fundamental do terreno para casos de meio homogéneo e casos em que o meio é

30

constituído por dois estratos diferentes, Makris [1994] propôs a adoção dos seguintes valores

de δ:

δ = 2.1 , para estacas com cabeça livre;

δ = 1.2 , para estacas com rotação impedida à cabeça.

Apesar destes valores serem independentes de outros parâmetros do problema, a consideração

dos mesmos não implica um grande prejuízo no rigor dos resultados obtidos pelo modelo em

causa, uma vez que a ação sísmica não se trata de uma solicitação harmónica simples com

frequência igual à frequência própria do terreno. Por esta razão, vários autores tiveram

também em conta esta abordagem, incluindo Mylonakis [1995] e Dezi et al. [2009].

2.3.1.3. Amortecimento histerético do solo e amortecimento por radiação

Outro aspecto importante no modelo BDWF prende-se com a adequada modelação do

amortecimento. Uma vez que a interação solo-estaca envolve dissipação de energia sísmica

por histerese e radiação, o amortecimento é composto por duas componentes:

(2.45)

onde a primeira componente representa a dissipação de energia associada à natureza

histerética do solo ( ) e a segunda corresponde à radiação de energia através da propagação

das ondas sísmicas ( ).

Relativamente ao amortecimento devido ao efeito de radiação, vários modelos baseados na

teoria de propagação das ondas foram apresentados por diferentes autores: Berger et al.

[1977], com base num modelo unidimensional, propuseram que o coeficiente do amortecedor,

, fosse calculado tendo em conta que, numa secção horizontal da estaca com largura efetiva

b, se gerariam apenas ondas de compressão-extensão (com velocidade vp) na direção do

movimento da estaca e ondas de corte (com velocidade vs) na direção ortogonal; em seguida,

considerando um modelo bidimensional em estado plano de deformação, Novak et al. [1978]

obtiveram a solução dinâmica rigorosa para uma excitação horizontal numa barra rígida de

secção circular e comprimento infinito embebida num meio viscoelástico infinito; mais tarde

e tendo em conta uma formulação tridimensional pelo método dos elementos finitos, Roesset

31

[1980] tentou relacionar a reacção do solo com o respectivo deslocamento com o intuito de

calcular o coeficiente do amortecedor.

Neste trabalho o coeficiente em causa é adoptado de Gazetas e Dobry [1984a e 1984b]. Com

base nos estudos anteriores, estes autores propuseram um modelo simplificado que pode ser

considerado como o modelo de Berger et al. [1977] melhorado em estado plano de

deformação, uma vez que consideraram que as ondas de compressão-extensão se propagam

em dois quadrantes na direcção do movimento da estaca e as ondas de corte nos dois restantes

quadrantes ortogonais (ver Figura 2.15). Admitindo apenas deformações no plano horizontal,

assumiram que as ondas de corte se propagam com velocidade vs e as ondas de compressão-

extensão se propagam com uma velocidade aparente vc semelhante à velocidade de Lysmer

(vLa).

Figura 2.15 - Modelo de radiação bidimensional [Gazetas e Dobry, 1984a]

32

Deste modo, somando a contribuição dos quatro quadrantes, o coeficiente do amortecedor

para estacas com secção circular é calculado pela seguinte expressão:

(2.46)

onde:

(2.47)

e

(2.48)

Perto da superfície do solo (x < 2.5d) é necessário ter em conta que o efeito tridimensional se

faz sentir devido à aproximação a uma fronteira livre. Com isto, Kavvadas e Gazedas [1993]

propuseram que, nessas zonas, se adoptasse . Porém, Santos [1999], com base em

estudos de sensibilidade, constatou que os resultados obtidos pelo modelo não eram

praticamente afetados pela correção sugerida. Desta forma, o referido efeito não foi tido em

conta neste trabalho.

Finalmente, admitindo para o solo um amortecimento do tipo histerético, o coeficiente cm é

dado simplesmente por:

(2.49)

2.3.2. Validação do modelo BDWF recorrendo a uma análise modal 3-D pelo método dos

elementos finitos

Para efeitos de validação do modelo descrito anteriormente faz-se referência mais uma vez ao

trabalho de Santos [1999]. O autor optou por comparar os resultados obtidos pelo modelo

com uma análise modal tridimensional admitindo amortecimento viscoso, uma vez que a

consideração deste tipo de amortecimento permite evitar o recurso a variáveis complexas

tornando o processo muito mais expedito.

33

Para estudar este problema com recurso a este tipo de análise, foi necessário analisar duas

questões: qual o tipo amortecimento modal a considerar de forma a conduzir a uma dissipação

de energia equivalente ao amortecimento histerético do solo, e como resolver o problema da

radiação nas fronteiras laterais.

Para responder a estas questões, Santos [1999] baseou-se no cenário de estudo correspondente

a uma estaca isolada embebida num camada homogénea com extensão lateral infinita e

assente sobre substrato rigído, considerando uma excitação harmónica simples na base e um

comportamento viscoelástico linear do solo.

As principais análises e conclusões referentes a este estudo são apresentadas a seguir.

2.3.2.1. Amortecimento modal considerado

Para determinar qual o tipo de amortecimento a ser tido em conta na análise modal, Santos

[1999] comparou os fatores de amplificação dinâmica, D, para diferentes tipos de

amortecimento.

O fator de amplificação dinâmica é definido como sendo a relação entre a amplitude máxima

do deslocamento absoluto no topo e na base da camada elástica, ou seja:

(2.50)

onde z corresponde à altura contada a partir da base rígida e H é a altura total da camada.

Desta forma, foi necessário analisar a resposta de uma camada elástica sob a ação de uma

excitação harmónica simples (de amplitude ) na sua base rígida, para os vários tipos de

amortecimento.

Neste trabalho são apresentadas apenas as principais conclusões referentes a este estudo,

sendo que todo o desenvolvimento pode ser consultado em Santos [1999].

34

Uma vez que o objetivo consiste em saber qual o tipo de amortecimento modal que conduz a

uma dissipação de energia equivalente ao amortecimento histerético do solo, interessa definir

em primeiro lugar o fator de amplificação dinâmica correspondente a esse mesmo

amortecimento. Com base na solução analítica exata e considerando para o coeficiente de

viscosidade do solo o valor de:

(2.51)

Santos [1999] determinou a solução correspondente ao amortecimento histerético, sendo o

fator de amplificação dinâmica, considerando a rigidez complexa para o solo, dado por:

(2.52)

Por outro lado, considerando um amortecimento viscoso, o autor recorreu à solução com

desenvolvimento em série correspondente à sobreposição definindo diferentes coeficientes de

amortecimento (modal) para cada um dos modos de vibração do sistema. Neste caso, temos

que:

(2.53)

onde:

(2.54)

e

(2.55)

em que:

35

= amplitude do deslocamento na base da camada

= frequência própria do modo n

= coeficiente de amortecimento modal

Com base nas equações anteriores, Santos [1999] analisou três tipos de amortecimento modal:

Amortecimento modal constante;

Amortecimento tipo Rayleigh;

Coeficiente de viscosidade constante.

Nas Figuras 2.16 a 2.18 é então possível observar-se a comparação realizada entre os fatores

de amplificação dinâmica obtidos para os diferentes tipos de amortecimento e

correspondentes aos casos com ξ=5, 10 e 20%, respetivamente.

Figura 2.16 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento

(ξ=5%) [Santos, 1999]

36


(ξ=10%) [Santos, 1999]


(ξ=20%) [Santos, 1999]

37

Pela análise das figures anteriores, é fácil concluir que o caso com coeficiente de

amortecimento modal constante é aquele que mais se aproxima do amortecimento histerético

do solo. Assim sendo, na análise modal considera-se que para todos os modos de

vibração. Com isto, o coeficiente de viscosidade decresce proporcionalmente com as

frequências próprias de vibração e não com a frequência da excitação, tal como acontece no

caso do amortecimento histerético, isto é:

(2.56)

2.3.2.2. Resolução do problema da radiação nas fronteiras laterais

No presente caso de estudo o problema da radiação nas fronteiras laterais foi resolvido de

forma aproximada. Santos [1999] optou por extender a malha de elementos finitos na direção

da excitação e procedeu à truncagem nas fronteiras laterais colocando apoios móveis.

Considerando fronteiras laterais suficientemente afastadas da estaca, o erro cometido não é

significativo, uma vez que durante a atuação dos sismos não se geram ondas difratadas de

intensidade importante devido ao efeito de interação solo-estaca, como o autor constatou.

Além disso, foi imposta uma condição de igualdade de deslocamentos horizontais entre

pontos situados à mesma profundidade e simetricamente em relação ao plano de simetria

vertical que passa pelo eixo da estaca. Desta forma, Santos [1999] conseguiu evitar o

aparecimento de modos de vibração espúrios, isto é, modos intermédios com fatores de

participação nulos.

Por último, foi definida uma zona não afetada pela difração das ondas com deslocamentos

iguais aos do campo livre. Pela observação da Figura 2.19 é possível constatar que essa zona é

delimitada por uma distância superior a 10 diâmetros da estaca.

Em relação à propagação das ondas de corte, foi considerado só o efeito da propagação

unidimensional das mesmas. Por isso, libertaram-se apenas os deslocamentos horizontais

segundo a direção da excitação.

38

2.3.2.3. Resultados da análise modal e comparação com o modelo BDWF

O cenário de estudo considerado na análise modal por Santos [1999] consistiu nos seguintes

pontos:

Estaca com rotação nula ao nível da cabeça;

Camda elástica homogénea assente sobre substrato rígido;

Solicitação harmónica simples na base numa só direção;

Consideração apenas do efeito da propagação vertical das ondas de corte;

Contribuição unicamente dos 5 primeiros modos de vibração;

H/d=20, ξ=5%, =0.4, =0.7 e =1000.

Mais uma vez, o autor recorreu a programas de análise dinâmica para obter os resultados

correspondentes à análise modal. A malha de elementos finitos e a forma de modelação da

estaca correspondem às já definidas anteriormente no ponto 2.2.4.1.

Para efeitos de validação do modelo BDWF, Santos [1999] comparou os resultados obtidos

pelo referido modelo não só com os resultados obtidos pela análise modal 3-D, como também

com os resultados obtidos pela formulação rigorosa por elementos de fronteira utilizada por

Ken Fan et al. [1991].

Figura 2.19 – Zona perturbada pela presença da estaca [Santos, 1999]

39

Na Figura 2.20 é apresentada a análise comparativa entre as diferentes formulações referidas

atrás, com base nos valores de (relação entre o deslocamento da estaca e o do solo) em

função da frequência normalizada . Conclui-se então que existe um ajustamento quase

perfeito entre os resultados da análise modal 3-D e os obtidos por Ke Fan et al. [1991].

Relativamente ao modelo BDWF, pela análise da figura pode dizer-se que sobrestima os

valores de , principalmente no domínio das altas frequências. No entanto, considerando

=10000, Santos [1999] verificou que é possível obter um melhor ajustamento entre os

resultados.

A segunda comparação realizada por Santos [1999] corresponde ao momento fletor máximo

na cabeça da estaca (M0). O autor comparou os valores normalizados de M0 obtidos pela

análise modal com os resultantes do modelo BDWF (ver Figura 2.21), verificando um

excelente ajustamento dos resultados.

Figura 2.20 – Valores de Iu em função de [Santos, 1999]

40

Visto isto, pela análise das duas figuras anteriores, é possível concluir que, embora tratando-

se de um modelo discreto, o modelo BDWF permite modelar de maneira correta o problema

de interação cinemática solo-estaca.

2.4. Conclusões

Pretendeu-se neste capítulo incidir sobre o estudo do efeito de interação cinemática solo-

estaca, nomeadamente nos modelos existentes que permitem avaliar os esforços induzidos nas

estacas graças aos deslocamentos impostos pelo terreno envolvente.

Deste modo, foram apresentados em primeiro lugar dois modelos simplificados,

desenvolvidos por Soulomiac [1986] e por Mineiro [1988 e 2000], sendo que a determinação

da resposta sísmica do campo livre com base numa análise espetral está subjacente a cada um

dos modelos. Foi abordado o domínio de validade e as simplificações correspondentes a cada

um, assim como as expressões algébricas utilizadas para determinar de forma expedita os

esforços atuantes nas estacas.

Figura 2.21 – M0 normalizado em função de [Santos, 1999]

41

Em segundo lugar, fez-se referência aos modelos rigoros que permitem calcular com maior

exatidão os esforços/deslocamentos a que as estacas ficam sujeitas, dando particular atenção

ao modelo dinâmico discreto BDWF. Foi feita uma descrição detalhada do modelo e, fazendo

referência a análises comparativas com formulações rigorosas efetuadas por Santos [1999],

demonstrou-se as potencialidades de aplicação do modelo BDWF para o estudo do efeito de

interação cinemática solo-estaca.

43

3. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS DE BETÃO ARMADO SUJEITOS A

DESLOCAMENTOS IMPOSTOS

3.1. Introdução

A consideração da ação sísmica numa análise dinâmica do efeito de interação cinemática

solo-estaca, tendo em conta apenas a propagação vertical das ondas de corte (simplificação

esta que será objeto de estudo no ponto 4.2.2.1 deste trabalho), corresponde essencialmente à

aplicação de deslocamentos horizontais impostos pelo terreno envolvente às estacas. Deste

modo, o dimensionamento de estacas sob ações sísmicas passa por conferir às mesmas

capacidade de acomodar deslocamentos impostos, garantindo simultaneamente a capacidade

de resistência a cargas permanentes.

Deste modo, são discutidas na primeira parte deste capítulo as relações constitutivas dos

materiais que são tidas em conta nas análises não lineares efetuadas neste trabalho, que

permitem avaliar a ductilidade das secções e dos elementos de betão armado.

No ponto 3.3 é abordada a comparação entre a definição da ação em termos de grandezas

cinemáticas e grandezas estáticas, procurando-se identificar as principais diferenças entre

ambas, e procurar perceber o que é indicado considerar-se no estudo do comportamento de

elementos de betão armado sujeitos a deslocamentos impostos.

Por último, no ponto quatro deste capítulo são discutidos os principais conceitos relacionados

com a capacidade de deformação de secções de betão armado, avaliando-se a influência de

diferentes fatores na capacidade de deformação de peças de betão.

3.2. Relações constitutivas dos materiais - Comportamento monotónico

Neste ponto do trabalho são descritas as relações constitutivas dos materiais que foram tidas

em conta nas análises não lineares monotónicas realizadas no presente estudo.

Apesar da ação sísmica corresponder a uma ação cíclica, a consideração de análises

monotónicas permite tirar partido das vantagens que lhes estão inerentes, tornando a

formulação matemática e computacional do problema muito mais eficiente. Contudo, é

44

necessário ter o cuidado de restringir a consideração da análise monotónica a casos em que

outras histórias de carga (ações cíclicas) não conduzam a resultados muito diferentes, isto é, a

casos pouco sensíveis à história de carga.

Brito [2011] chegou à conclusão que a história de carregamento tem especial importância nos

casos em que existe uma elevada influência do esforço transverso, onde a maior degradação

devido à repetição de ciclos de carga tende a aumentar a degradação da resistência e a reduzir

a ductilidade, antecipando a rotura. Deste modo, para o caso de elementos com boa

concepção, onde se evita que os mesmos fiquem sujeitos a elevados esforços de corte, a

análise monotónica é válida.

Ainda assim, mesmo para casos com concepção adequada em que a deformação é

essencialmente por flexão, existe a possibilidade de acumulação de deformações e degradação

de capacidade de carga para ações cíclicas, que pode potenciar a rotura. Para estes casos, o

autor concluiu que limitando os esforços axiais e considerando níveis mínimos de

confinamento das secções transversais, que aumentam a capacidade de deformação das

mesmas e controlam a acumulação de extensões de compressão no betão associada à natureza

cíclica da ação, é possível realizar análises monotónicas sem erros relevantes.

Desta maneira, uma vez que as condições anteriormente referidas são respeitadas neste

estudo, confirma-se a validade das relações constitutivas monotónicas descritas de seguida.

3.2.1. Aço

A relação constitutiva monotónica do aço que foi considerada neste trabalho corresponde

àquela que foi tida em conta por Brito [2011]. Na Figura 3.1 é possível observar-se o

andamento qualitativo da referida relação, a qual foi definida com base no programa

experimental desenvolvido por Pipa [1993] sobre varões de aço de construção.

45

Pela análise da figura anterior, verifica-se que o comportamento do aço foi então modelado

segundo as seguintes relações propostas por Pipa [1993]:

(3.1)

em que:

(3.2)

(3.3)

e os parâmetros presentes nas expressões anteriores têm o seguinte significado:

= extensão de cedência do aço

= tensão de cedência do aço

Figura 3.1 - Relação constitutiva monotónica do aço [Pipa, 1993]

46

= tensão última do aço

= extensão no início do endurecimento

= extensão última do aço

= módulo de elasticidade na origem

= módulo de elasticidade tangente no início do endurecimento

= expoente da relação constitutiva

= rigidez de referência

De acordo com o estudo desenvolvido pelo autor, a relação constitutiva do aço pode ser

caracterizada essencialmente pela tensão de cedência do mesmo ( ). Assim sendo, o valor

dos parâmetros definidores da relação expressa pela Figura 3.1 é dado pelas seguintes

equações [Pipa, 1993]:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

É importante notar que, nas expressões (3.4) a (3.7) anteriores, as tensões e o módulo de

elasticidade tangente no início do endurecimento são expressos em MPa e as extensões em

percentagem.

47

3.2.2. Betão

Quanto ao betão, a relação constitutiva monotónica que foi considerada neste estudo

corresponde mais uma vez àquela que foi tida em conta por Brito [2011]. Neste caso, a

referida relação foi definida com base no trabalho desenvolvido por Mander et al. [1998]

sobre modelos teóricos de tensão-deformação para betão sujeito a uma carga de compressão

uniaxial e confinado por armadura transversal. Na Figura 3.2 é possível observar-se o

andamento qualitativo da relação constitutiva citada:

Aquando da observação da figura anterior, assim como relativamente a todas as expressões e

figuras apresentadas seguidamente, é importante notar que se atribui o sinal positivo às

compressões e às extensões de encurtamento.

Pela análise da Figura 3.2, prescrita também no Anexo E da Parte 2 do Eurocódigo EC8 que

fornece informações sobre as propriedades dos materiais para análises não lineares, verifica-

se que o comportamento do betão foi então modelado segundo a seguinte relação [Mander et

al., 1988]:

Figura 3.2 - Relação constitutiva monotónica do betão [Mander et al., 1988]

48

(3.8)

em que:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

e os diversos parâmetros têm o seguinte significado:

= máxima tensão de compressão do betão confiando

= máxima tensão de compressão do betão não-confiando

= extensão associada à máxima compressão do betão confiando

= extensão associada à máxima compressão do betão não-confiando

= extensão associada ao descasque do betão não-confiando

= módulo de elasticidade na origem (betão não-confinado)

= módulo de elasticidade secante

r = expoente da relação constitutiva

Segundo os autores, as propriedades do betão confinado que permitem definir a relação

expressa pela Figura 3.2, são determinadas a partir das propriedades do betão não-confinado

( e ) e da pressão de confinamento lateral ( ) através das seguintes equações [Mander

et al., 1988]:

49

(3.12)

(3.13)

O valor da pressão de confinamento lateral ( ) será discutido de seguida no ponto 3.2.2.1

deste trabalho.

Por último, Mander et al.[1988] referem que, para extensões inferiores a , o

comportamento do betão não-confinado é semelhante ao do betão confinado tendo em conta a

equação (3.8) definida anteriormente, admitindo a partir desse valor um comportamento linear

até ocorrer o descasque do betão ( ) para tensão nula.

3.2.2.1. Pressão de confinamento (para secções circulares)

Uma vez que este trabalho incide apenas no estudo de estacas com secções transversais

circulares (como se vai constatar no capítulo 5), neste ponto é abordada apenas a

determinação da pressão de confinamento para esse tipo de secções, não se fazendo referência

ao cálculo relativo a secções retangulares.

Mander et al. [1988] adotaram uma abordagem semelhante à usada por Sheikh e Uzumeri

[1980] para determinar a pressão de confinamento lateral numa secção de betão. Segundo os

autores, a máxima pressão de confinamento lateral devido à armadura transversal só se

desenvolve de forma eficiente na zona do núcleo de betão onde se forma o efeito de arco. Na

Figura 3.3 é possível observar-se o efeito de arco que Mander et al. [1988] assumiram que se

desenvolve no caso de elementos de betão com secções circulares confinadas com armadura

transversal.

50

Pela análise da figura anterior, pode concluir-se que entre as secções onde se localizam as

armaduras de confinamento a área de betão ineficientemente confinado é maior e a área de

betão efetivamente confinado ( ) é menor.

Quando se tem em conta a relação tensão-deformação expressa pela equação (3.8) para

determinar a resistência e ductilidade de colunas de betão, assume-se, por conveniência, que a

área de betão confinado ( ) corresponde à área de betão no interior dos estribos nas secções

em que estes estão colocados. Como não são consideradas as armaduras longitudinais, a área

de betão confinado pode ser definida com base na área bruta de betão confinado ( ) através

da seguinte expressão:

(3.14)

em que representa a taxa de armadura longitudinal relativa à área bruta de betão

confinado.

Uma vez que as armaduras de confinamento não são contínuas ao longo do eixo dos

elementos, como se ilustra na Figura 3.3, a eficiência do confinamento não é uniforme ao

Figura 3.3 - Núcleo efetivamente confinado para secções circulares [Brito, 2011]

51

longo do eixo longitudinal. Com isto, sabendo que , a pressão de confinamento

lateral efetiva é dada por [Mander et al., 1988]:

(3.15)

onde = tensão de confinamento que resultaria de uma distribuição uniforme e

contínua da armadura transversal; e = coeficiente de eficiência do confinamento que é

dado pelo quociente da área efetivamente confinada ( ) pela área de betão confinado ( ).

Para secções circulares com armadura de confinamento em cintas circulares, temos que:

(3.16)

e portanto, pela equação (3.14) anterior, vem que:

(3.17)

onde é o diâmetro da armadura de cinta circular medido ao eixo da mesma, ou seja, o

diâmetro da secção confinada.

Tendo em conta o efeito de arco com a forma de uma parábola de segundo grau, com uma

inclinação de 45º na origem (nas secções com armadura de confinamento), como é ilustrado

na Figura 3.3, então a área de betão efetivamente confinada entre duas secções transversais

com cintas circulares é dada por [Mander et al., 1988]:

(3.18)

em que representa o espaçamento longitudinal entre as faces exteriores de duas cintas

consecutivas.

52

Desta maneira, com base nas equações (3.17) e (3.18), temos que o coeficiente de eficiência

do confinamento para secções circulares com armadura de confinamento em cintas circulares

é igual a:

(3.19)

A máxima pressão de confinamento lateral que pode ser mobilizada ( ), dependendo

da máxima força de tração mobilizável nas armaduras de confinamento, pode ser calculada

por equilíbrio circunferencial ( ã ç ) da seguinte forma

[Brito, 2011]:

(3.20)

onde:

= tensão de cedência da armadura de confinamento

= área de armadura de confinamento (cinta)

= afastamento longitudinal da armadura de confinamento

Assim, tendo em conta o parâmetro que representa a razão entre o volume de armadura de

confinamento e o volume bruto de betão confiando:

(3.21)

é possível, com base na equação (3.20) anterior, definir-se que:

(3.22)

53

Por último, tendo em conta a expressão (3.15), temos que a pressão de confinamento lateral

efetiva ( ) para secções circulares com armadura de confinamento em cintas circulares é

dada por:

(3.23)

onde o coeficiente é determinado pela equação (3.19).

3.2.2.2. Extensão última do betão confinado

Fazendo novamente referência ao trabalho de Brito [2011], o autor avaliou duas relações

diferentes para determinar a extensão última (de compressão) do betão confinado: a expressão

empírica proposta por Scott et al. [1982] com base num extenso programa de ensaios e a

relação mais recentemente apresentada na Parte 2 do Eurocódigo EC8.

Segundo Scott et al. [1982], a extensão última do betão confinado é condicionada pela

primeira rotura da armadura de confinamento, uma vez que esta provoca uma redução

acentuada da capacidade do núcleo de betão confinado suportar extensões de compressão

superiores a um determinado valor, devido à redução da eficiência do confinamento. Para

além disso, a partir dessa rotura verifica-se também uma diminuição considerável do

impedimento da encurvadura dos varões da armadura longitudinal.

Deste modo, com base em diversos ensaios experimentais, aqueles autores chegaram à

seguinte expressão para calcular a extensão última (de compressão) do betão confinado:

ε

(3.24)

onde:

= rácio volumétrico da armadura de confinamento

= tensão de cedência da armadura de confinamento (em MPa)

Contudo, pelo programa de ensaios levado a cabo por Scott et al. [1982] verificou-se que a

relação proposta conduziu a constatações diferentes consoante o tipo de carga. Para ensaios

54

com carga concêntrica, os resultados apresentam uma concordância razoável

comparativamente aos valores obtidos pela expressão proposta. Nos ensaios com carga

excêntrica (correspondentes às situações de maior interesse prático), os resultados são muito

superiores relativamente ao limite proposto pela equação (3.24), o que significa que o mesmo

é conservativo. Visto isto, e uma vez que na maioria dos casos de boa concepção a

formulação apresentada no Eurocódigo EC8, correspondendo a uma formulação mais recente,

conduz a valores mais conservativos da extensão última de compressão do betão, Brito [2011]

optou por ter em conta a equação proposta na Parte 2 do EC8.

Assim sendo, a extensão máxima do betão é calculada neste trabalho com base na relação

exposta no Anexo E da parte 2 do EC8:

ε

(3.25)

em que:

ε = extensão última de compressão do betão confinado

= extensão última da armadura de confinamento

= tensão de cedência da armadura de confinamento

= máxima tensão de compressão do betão confiando

= rácio volumétrico da armadura de confinamento

A máxima tensão de compressão do betão confinado ( ) é dada pela equação (3.12) já

descrita no ponto 3.2.2. O rácio volumétrico da armadura de confinamento ( ) é, como se

viu anteriormente, dado pela expressão (3.21) para o caso de secções circulares com armadura

de confinamento em cintas circulares. Relativamente à extensão última da armadura de

confinamento ( ), o Eurocódigo EC2 - Parte 1-1 (Quadro C.1 do Anexo C) indica três

valores distintos consoante a classe de ductilidade (A, B ou C) da armadura de confinamento,

sendo que para os aços mais dúcteis (classe C) admite o valor de 7.5%.

É importante referir em último lugar que a extensão última do betão confinado condiciona

significativamente a capacidade de deformação das secções transversais, sendo um parâmetro

fundamental na avaliação da ductilidade, quer das secções transversais, quer das estruturas

globalmente [Brito, 2011].

55

3.3. Definição do efeito da ação em termos de grandezas cinemáticas vs.

grandezas estáticas

Na prática corrente de dimensionamento estrutural de elementos de betão armado, o efeito da

ação sísmica é definido por grandezas estáticas, como o momento fletor. Ou seja, o

dimensionamento consiste em conferir às peças de betão armado capacidade resistente

suficiente para suportar os esforços atuantes resultantes da imposição dos deslocamentos

devido à ação sísmica. Contudo, no caso de estruturas ou elementos sujeitos a deslocamentos

impostos, o que deve ser feito é comparar explicitamente a capacidade de deformação

disponível com a respetiva exigência [Brito, 2011]. Assim, a ação deve ser definida em

termos de grandezas cinemáticas (deformações).

Brito [2011] recorreu ao exemplo de uma coluna bi-encastrada (ver Figura 3.4), de secção

constante, sendo que um dos encastramentos é deslizante (onde se aplicam os deslocamentos),

para estudar as principais diferenças entre as abordagens considerando o efeito da ação

definido por grandezas estáticas e por grandezas cinemáticas.

Relacionando o deslocamento transversal imposto com a distribuição de curvaturas ao longa

da coluna, estas podem ser consideradas como impostas exteriormente às secções

transversais. Desta forma, trata-se de uma ação sobre a estrutura que não corresponde a forças

aplicadas.

Figura 3.4 - Modelo de viga bi-encastrada [Brito, 2011]

56

Brito [2011], por equilíbrio de forças (considerando esforço axial nulo), estimou a curvatura

de cedência da secção, associada a atingir a extensão de cedência nas armaduras mais

tracionadas. Com isto, e a partir da posição da linha neutra, obteve o diagrama de extensões

da secção transversal, através do qual é possível calcular o diagrama de tensões nos materiais,

como se pode observar na Figura 3.5. O momento fletor, por sua vez, é calculado por

integração direta das tensões instaladas na secção.

Com base neste raciocínio, o autor conseguiu tirar as seguintes ilações referentes ao caso do

efeito da ação ser definido através de grandezas cinemáticas:

na cedência, as extensões na secção transversal dependem principalmente da dimensão

da secção no plano perpendicular à linha neutra, se esta não variar de forma

significativa;

a posição da linha neutra quase não é afetada pela quantidade de armadura de flexão

(assumindo que a distribuição das armaduras na secção não varia) e, por isso, a

curvatura de cedência e o diagrama de extensões são quase independentes do valor do

momento fletor de cedência (para flexão simples);

o momento de cedência da secção transversal é um resultado que depende da

quantidade de armadura de flexão.

Relativamente ao caso do efeito da ação ser definido por grandezas estáticas, as conclusões

são bastante diferentes:

a quantidade de armadura de flexão em causa é calculada com o objetivo de garantir

uma determinada capacidade resistente à flexão;

Figura 3.5 - Diagramas de extensões e tensões da secção transversal [Brito, 2011]

57

o momento fletor, desta maneira, constitui um dado da análise da secção transversal;

as curvaturas e diagramas de extensões dependem do valor do momento fletor

aplicado à secção e da quantidade de armadura de flexão calculada.

O recurso a uma análise elástica linear da coluna, ao associar de forma errada um momento

fletor não nulo a uma curvatura imposta, conduz ao dimensionamento da secção transversal

para um momento fletor aplicado que não existe [Brito, 2011]. Deste modo, é possível

concluir que, para o caso da ação ser definida através de grandezas cinemáticas, a quantidade

de armadura de flexão necess ria para “resistir” ao deslocamento transversal imposto ao

elemento é arbitrária, sendo necessário garantir que a exigência de ductilidade relativa à

curvatura é inferior à ductilidade disponível.

3.4. Fatores que influenciam a capacidade de deformação

3.4.1. Introdução

Nesta secção do trabalho pretende-se analisar alguns dos aspetos que podem influenciar a

ductilidade de secções e peças de betão armado, através da qual é possível avaliar a

capacidade dos mesmos suportarem deslocamentos impostos, como já foi referido

anteriormente. Alguns desses aspetos correspondem à capacidade resistente do material,

resistência à tração do betão, esforço axial, e ao declive do ramo descendente da relação

constitutiva do betão.

Convém em primeiro lugar apresentar alguns conceitos base relativamente ao comportamento

de secções de betão armado em flexão. A capacidade de deformação da secção transversal é

expressa com base na curvatura última (na rotura, ), que é em geral causada quase

exclusivamente por se atingir a máxima extensão de compressão do betão confinado. Esta por

sua vez depende essencialmente da profundidade da linha neutra, isto é, da extensão da zona

comprimida da secção transversal, para uma determinada curvatura. Assim, com base na

Figura 3. apresentada no ponto anterior, temos que a máxima extensão de compressão do

betão ( ) é dada por:

ε (3.26)

58

onde representa a profundidade da linha neutra, a qual é condicionada fundamentalmente

pela força de compressão a absorver pela betão comprimido ( ). Para o caso de flexão

simples, temos que:

(3.27)

ou seja, a força de compressão a absorver pelo betão comprimido pode ser calculada

dividindo o momento fletor instalado na secção ( ) pelo braço interno ( ), retirando a força

absorvida pelas armaduras de compressão (

).

De modo a abordar a questão da influência dos parâmetros referidos atrás, recorre-se então ao

trabalho de Brito [2011] relativamente à análise da coluna bi-encastrada com deslocamentos

impostos apresentada já na Figura 3.4.

O autor considerou como base de estudo dois tipos de secção transversal, uma circular e outra

rectangular. Contudo, neste trabalho faz-se referência apenas à secção transversal de forma

circular, a qual apresenta a armadura de flexão (com um recobrimento de 6 cm) distribuída

entre as fibras extremas, mas com maior concentração próxima destas, como se pode

visualizar na Figura 3.6.

Figura 3.6 - Secção transversal circular (adaptado de

Brito [2011])

59

Em relação aos materiais, Brito [2011] tomou como premissa inicial os valores apresentados

na Figura 3.7 e no Quadro 3.1:

Quadro 3.1 - Parâmetros das relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011]

Aço

[‰] [‰] [MPa]

2.175 200 435

Betão

[‰] [‰] [MPa] [MPa] [MPa]

2.0 15.0 35 25 0

Verifica-se assim que a extensão de rotura do aço foi considerada superior à dos aços de

construções reais ( =200‰), com o objetivo de se evitar a rotura por excesso de

deformação do aço, que na realidade é raro acontecer. Constata-se também que a relação do

betão corresponde à de betão bem confinado, que apresenta maior ductilidade. Por último,

tanto o endurecimento do aço como a resistência à tração do betão foram desprezados

inicialmente.

Tendo em conta que a análise da capacidade de deformação de elementos de betão armado

implica analisar o seu comportamento até aos limites das capacidades de deformação dos

materiais (muito para lá da fase elástica), todos os valores obtidos por Brito [2011], e que são

apresentados de seguida, foram recolhidos com base em ferramentas computacionais que

permitem realizar análises estruturais física e geometricamente não lineares. A descrição da

Figura 3.7 - Relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011]

60

formulação matemática da referida aplicação computacional é apresentada no capítulo

seguinte deste trabalho.

3.4.2. Capacidade resistente do material

De maneira a resistir de forma conveniente a deslocamentos impostos, os elementos

estruturais devem ter a maior esbelteza possível. No entanto, há que considerar limites, uma

vez que há necessidade de garantir também a resistência a esforços devido a forças aplicadas.

Assim, recomenda-se utilizar betões de resistência elevada com o objetivo de se minimizar as

dimensões dos elementos o quanto possível, garantindo a resistência às restantes ações com

excepção da sísmica (deslocamentos impostos).

De acordo com Brito [2011], no caso do betão simples o aumento da resistência permite uma

diminuição da profundidade da linha neutra, o que se traduz num aumento das curvaturas

últimas e de cedência. Contudo, para o betão confinado esta constatação não é diretamente

extrapolável, porque a extensão última pode reduzir-se mais acentuadamente com o aumento

da resistência do betão.

No que trata ao aço, o autor refere que a utilização de materiais de maior resistência permite,

com menores secções transversais, resistir às mesmas forças aplicadas devidas às restantes

ações que não a sísmica, visto que a capacidade resistente dos elementos aumenta. Porém, a

consideração de um aço de maior resistência pode conduzir a maiores forças de tração nas

armaduras, com um aumento da profundidade da linha neutra para equilibrar essa força,

podendo reduzir a capacidade de deformação da secção transversal. Assim, nestes casos, deve

evitar-se o uso de betões de baixa resistência.

3.4.3. Resistência à tração do betão

Para avaliar o efeito da resistência à tração do betão, analisaram-se duas situações distintas

referentes à mesma coluna exemplo apresentada na Figura 3.4 com a secção transversal

circular da Figura 3.6.

61

Em primeiro lugar, e considerando um comprimento L igual a 12 m, Brito [2011] manteve a

premissa inicial de considerar nula a resistência à tração do betão, mas passou a ter em conta

o endurecimento do aço, admitindo uma rigidez de endurecimento de 2% da rigidez elástica

( = ) e um limite máximo da tensão no aço de 1.3 vezes a sua tensão de cedência

( = ). Desta forma, é feita uma melhor aproximação do comportamento real deste

material, permitindo considerar o espalhamento da plasticidade. A nova relação constitutiva

do aço fica então definida pela Figura 3.8.

Além disso, o autor desprezou a deformabilidade por corte face à deformabilidade por flexão,

admitindo que a capacidade resistente ao corte excede sempre o esforço transverso atuante.

Numa segunda análise, Brito [2011] alterou apenas a resistência à tração do betão, admitindo

uma resistência à tração de 10% da resistência à compressão ( ), ou seja,

.

Para ambas as situações, foram considerados três níveis de armadura de tração (Aa): 20, 50 e

125 cm2. Tratando-se de uma secção circular, Aa representa neste caso metade da armadura

total de flexão.

De seguida, o autor identificou o deslocamento de cedência ( ) correspondente ao nível mais

baixo de armadura (Aa = 20 cm2) como sendo o deslocamento a servir de referência às

análises efetuadas. Comparando as curvaturas na secção da base da coluna para as duas

situações descritas, Brito [2011] verificou que a influência da resistência à tração do betão

Figura 3.8 - Relação constitutiva trilinear do aço

62

diminui com o aumento da armadura de flexão, como se pode verificar pela observação do

Quadro 3.2.

Quadro 3.2 - Curvaturas na secção da base da coluna [Brito, 2011]

Betão sem resistência à tração

( )

Betão com resistência à tração

( )

Aa [cm2]

Aa [cm

2]

20 3.12 17.61 48.92

20 3.63 18.22 49.35

50 3.12 16.32 51.07

50 3.17 16.43 51.14

125 3.12 16.12 56.61

125 3.14 16.17 56.67

Por outro lado, o autor concluiu que as curvaturas poderão ser subestimadas no caso de se

desprezar a resistência à tração do betão, como se pode notar no quadro anterior. Contudo, o

referido efeito é pouco importante quantitativamente. Deste modo, o autor chegou à conclusão

que se considera aceitável desprezar a resistência à tração do betão.

3.4.4. Esforço axial

O esforço normal em elementos de betão armado aumenta a zona comprimida das secções

transversais, o que provoca um aumento da extensão máxima de compressão para uma

determinada curvatura, e por isso a rotura da secção ocorre para curvaturas menores.

Com o objetivo de averiguar este efeito negativo, Brito [2011] comparou os resultados

obtidos para o caso do estudo da coluna de betão sem esforço normal e o caso da coluna

sujeita a um nível de esforço axial de 40% da capacidade resistente à compressão simples.

Desta maneira, o autor conseguiu chegar às seguintes conclusões:

o esforço normal aumenta a profundidade da linha neutra na cedência, aumentando por

isso a curvatura de cedência;

todas as secções atingem a rotura por excesso de deformação de compressão do betão

devido ao aumento da profundidade da linha neutra;

a curvatura última das secções varia muito pouco com a quantidade de armadura de

flexão, uma vez que a profundidade da linha neutra para os diferentes casos é muito

semelhante;

63

a quantidade de armadura de flexão afeta principalmente a capacidade resistente da

secção transversal, porém, praticamente não afeta a capacidade de deformação;

as curvaturas últimas são consideravelmente menores em comparação com as secções

com esforço axial nulo.

Desta forma, pelo que foi apresentado, constata-se que o esforço normal de compressão tem

um efeito negativo na ductilidade de elementos de betão.

3.4.5. Declive do ramo descendente da relação constitutiva do betão confinado

Verifica-se que as relações constitutivas do betão confinado muitas vezes têm um ramo

descendente, o que indica uma perda de resistência para deformações de compressão

significativas. Segundo Brito [2011], essa perda de resistência conduz a um aumento da

profundidade da linha neutra para curvaturas elevadas, reduzindo a curvatura última, sendo

que este efeito é mais pronunciado nas secções com pouca armadura ou nas secções sujeitas a

esforços axiais elevados.

Contudo, o autor refere que para níveis de confinamento médios a elevados, a inclinação do

ramo descendente da relação constitutiva do betão confinado pode ser pequena.

3.5. Conclusões

Apresentou-se em primeiro lugar neste capítulo as relações constitutivas monotónicas dos

materiais que, respeitando determinados critérios de boa concepção, servem de base às

análises não lineares efetuadas para se estudar o comportamento de elementos de betão

sujeitos a deslocamentos impostos.

Na segunda parte desta secção, constatou-se que a verificação de segurança deve ser definida

em termos de grandezas cinemáticas (deformações) para o caso de deslocamentos impostos às

peças de betão armado, de modo comparar-se explicitamente a capacidade de deformação

disponível com a respetiva exigência.

64

Em último lugar, analisou-se a influência de diferentes fatores na capacidade de deformação

dos elementos, identificando-se o efeito que cada um tem sobre a ductilidade das secções e

elementos de betão armado.

65

4. APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS UTILIZADAS

4.1. Introdução

O principal objetivo deste trabalho consiste em avaliar o efeito da ação sísmica no

dimensionamento de estacas com base na interação cinemática solo-estaca, considerando o

comportamento não linear do solo e a não linearidade do betão armado da estaca. Foi descrito

no capítulo 2 o método utilizado que permite contemplar o efeito de interação cinemática

solo-estaca, nomeadamente o modelo BDWF. Para ter em conta o comportamento não linear

dos diferentes materiais do problema em estudo, é necessário considerar duas aplicações

computacionais distintas. Através do programa CINEMAT desenvolvido por Santos [1999],

que se baseia no modelo BDWF, é tido em conta o comportamento não linear do solo através

do método linear equivalente. Por outro lado, recorrendo ao programa PIER desenvolvido por

Brito [2011], é considerada a não linearidade da estaca com base nas relações constitutívas

não lineares do betão e do aço. Uma vez que são utilizados dois programas de cálculo para

avaliar o efeito da ação sísmica, é necessário criar um processo iterativo que permita analisar

o problema respeitando todas as hipóteses assumidas. Neste capítulo opta-se por descrever

apenas as duas aplicações computacionais utilizadas de forma isolada, sendo que o processo

iterativo desenvolvido com base nas mesmas é descrito apenas no capítulo 5 deste trabalho

aquando das análises efetuadas em relação a um caso de estudo prático.

4.2. CINEMAT

4.2.1. Introdução

No ponto 2.3.1 deste trabalho foi descrito com detalhe o modelo BDWF para o estudo do

efeito de interação cinemática no caso de uma estaca isolada embebida numa camada

homogénea assente sobre substrato rígido, considerando uma ação harmónica na base e um

comportamento viscoelástico linear do solo.

Para a análise de situações mais complexas, é tido em conta neste trabalho o programa de

cálculo CINEMAT desenvolvido por Santos [1999]. Através deste programa, que resulta da

combinação do modelo BDWF com um modelo de propagação unidimensional das ondas de

66

corte sísmicas , é possível avaliar casos de estudo em que o terreno é constituído por várias

camadas horizontais com diferentes características, considerar o comportamento não linear do

solo, assim como estudar o problema de interação cinemática no domínio do tempo.

De seguida, são descritas as técnicas em que o programa de cálculo utilizado se baseia,

nomeadamente a modelação da resposta do campo livre, o método de resolução numérico

considerado, o método da resposta complexa no domínio do tempo recorrendo à técnica de

transformada de Fourier e o método linear equivalente que permite considerar o

comportamento não linear do solo.

4.2.2. Implementação do modelo BDWF num programa de elementos finitos

4.2.2.1. Modelo de propagação unidimensional da ação sísmica

O programa de cálculo considerado tem em conta um modelo unidimensional da resposta do

campo livre. Segundo o postulado de Schnabel et al. [1972], é possível admitir que o

movimento horizontal do terreno tem como origem principal a propagação vertical das ondas

de corte, desde que a estratificação do solo seja horizontal e com extensão lateral infinita.

Assim, com base na nomenclatura apresentada na Figura 4.1, faz-se referência à análise do

efeito da propagação vertical das ondas de corte num sistema constituído por N camadas de

solo com características diferentes e extensão lateral infinita.

Figura 4.1 – Nomenclatura para o modelo de propagação vertical das ondas de corte

(adaptado de Kramer [1996])

67

Admite-se que em cada camada m o solo é homogéneo e isotrópico com comportamento

viscoelástico, correspondente a um coeficiente de amortecimento histerético , módulo de

distorção e massa volúmica .

Deste modo, a solução geral para uma dada camada m, em termos de deslocamentos absolutos

e com base na notação complexa, é expressa pela seguinte fórmula [Kramer, 1996]:

(4.1)

em que e correspondem à amplitude da onda incidente e refletida, respetivamente, e:

(4.2)

Com isto, temos que a tensão de corte é calculada por:

(4.3)

onde:

(4.4)

Na interface de transição entre duas camadas consecutivas, os deslocamentos e as tensões de

corte devem ser compatíveis, isto é, o deslocamento (tensão de corte) no topo de uma

determinada camada deve ser igual ao deslocamento (tensão de corte) na base da camada

sobrejacente. Assim, as condições de continuidade na fronteira entre a camada m e a camada

m+1, são dadas por:

(4.5)

e

68

(4.6)

Com base nas duas expressões anteriores, e após algumas operações matemáticas, é então

possível definir as equações de recorrência que relacionam as amplitudes das ondas incidente

e refletida entre duas camadas consecutivas:

(4.7a)

(4.7b)

onde:

(4.8)

À superfície, tratando-se de uma fronteira livre, a tensão é nula e, por conseguinte, temos que

A1=B1. Deste modo, aplicando repetidamente as equações de recorrência (4.7) desde a

camada 1 até à camada N, temos que:

(4.9a)

(4.9b)

onde e

correspondem às chamadas funções de transferência.

Com base nas equações (4.9), é fácil concluir que, se o movimento sísmico for conhecido na

camada N, então o valor de A1 pode ser calculado assim como a resposta do terreno nas outras

camadas.

69

Por último, relativamente às condições de radiação na fronteira inferior, considera-se neste

trabalho que as ondas que atingem a fronteira inferior são totalmente refletidas. Ou seja,

considera-se que a fronteira inferior corresponde a substrato rígido.

4.2.2.2. Breve descrição do método de resolução numérica utilizado (domínio da

frequência)

Neste ponto é apresentada uma descrição sumária do método numérico de resolução do

problema dinâmico do efeito de interação cinemática solo-estaca considerado neste estudo.

Faz-se referência ao desenvolvimento proposto por Santos [1999], com base no trabalho

desenvolvido por Reddy [1985] relativamente ao método dos elementos finitos.

Considerando para o solo um amortecimento do tipo histerético, é mais vantajoso abordar o

problema no domínio da frequência. Assim, temos que a equação diferencial de equilíbrio

dinâmico que governa o efeito de interação cinemática solo-estaca, definida em termos de

deslocamentos absolutos e em regime de vibração permanente, é dada por:

(4.10)

Resolvendo o problema com base no método dos elementos finitos formulado em termos de

deslocamentos, começa-se por dividir o domínio Ω, que representa a estaca, num conjunto de

N elementos finitos (subdomínios ) de linha com dois pontos nodais. Estes elementos são

então definidos pelas suas coordenadas locais, isto é, , onde se considera que:

é constante;

e k são constantes;

c é função da frequência ω;

é função da frequência ω e da coordenada x.

Seguidamente, isola-se o elemento finito e define-se a formulação variacional ou fraca da

equação (4.10), o que conduz à seguinte equação integral [Reddy, 1985]:

70

(4.11)

em que v é uma função de teste duas vezes diferenciável em ordem a x no domínio , e

correspondem às forças de corte generalizadas aplicadas nos pontos nodais, e e

correspondem aos momentos de flexão generalizados aplicados nos pontos nodais.

Admitindo como incógnitas os deslocamentos generalizados dos pontos nodais do elemento,

(com k=1,2,…,4), a aplicação do método de Galerkin conduz à seguinte solução

aproximada do campo de deslocamentos no interior de cada elemento [Reddy, 1985]:

(4.12)

onde:

ng = número de graus de liberdade do elemento finito

deslocamentos nodais generalizados

funções de interpolação

Tendo em conta a equação (4.11), as funções de interpolação e as suas derivadas até à ordem

três devem ser contínuas e satisfazer as condições de fronteira essenciais nos pontos nodais de

cada elemento. Desta forma, adotam-se como funções de interpolação os polinómios cúbicos

de Hermite [Reddy, 1985]:

71

(4.13)

onde L corresponde ao comprimento do elemento finito, tendo em conta o referencial local.

Assim, a equação de equilíbrio dinâmico aproximada do elemento, assumindo que a função

de teste é dada por , é obtida introduzindo a expressão (1.12) na equação variacional

(4.11):

(4.14)

em que:

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

72

onde

corresponde à matriz de rigidez elementar,

é a matriz de massa elementar,

a matriz de amortecimento elementar considerando o amortecimento do solo e o

amortecimento por radiação lateral, e

é o vetor das forças nodais generalizadas.

Em relação à equação (4.18), a segunda parcela correspondente às forças generalizadas

aplicadas nos pontos nodais é zero, uma vez que no estudo do efeito de interação cinemática

solo-estaca apenas se considera a ação correspondente aos deslocamentos do campo livre

(primeira parcela da referida equação).

Desta forma, as forças nodais foram obtidas efetuando as respetivas integrações no referencial

local do elemento, , considerando que, com base no que foi descrito no ponto

4.2.2.1, a amplitude dos deslocamentos do campo livre no domínio é obtida por:

(4.19)

O resultados das integrações efetuadas correspondente às forças generalizadas obtidas pode

ser consultado em Santos [1999].

Note-se que, em relação à equação (4.14), se se tiver em conta uma matriz complexa de

rigidez dinâmica que inclua o efeito da massa e do amortecimento, então a equação de

equilíbrio dinâmico aproximada pode ser escrita sob uma forma mais condensada:

(4.20)

em que neste caso:

(4.21)

Uma vez que as equações de equilíbrio dinâmico elementar (4.14) ou (4.20) são gerais e

válidas para todos os elementos finitos do domínio Ω discretizado, conclui-se que, respeitando

as condições de compatibilidade nos pontos nodais de ligação entre elementos, é possível

agrupar os sistemas de equações do conjunto de elementos que formam o domínio Ω, os quais

conjuntamente com as condições de fronteira, formam um sistema de equações lineares

73

reescritas em termos dos deslocamentos globais generalizados d(ω). Assim, as equações

(4.14) e (4.20) transformam-se, respetivamente, em:

(4.22)

e

(4.23)

onde, para este caso:

matriz de rigidez global

matriz de rigidez global

matriz de massa global

matriz de amortecimento global

vetor dos deslocamentos globais generalizados

vetor das forças globais generalizados

Convém frisar em último lugar que, para a resolução do problema de equilíbrio dinâmico

linear através da equação (4.22), não se revelou vantajoso a consideração do método de

sobreposição modal tendo em conta o número reduzido de graus de liberdade do sistema em

causa [Santos, 1999].

4.2.3. Método da resposta complexa no domínio do tempo

Como se viu anteriormente, a consideração do amortecimento histerético conduziu à definição

de uma rigidez complexa para o solo e, por isso, a discretização geométrica das equações de

equilíbrio dinâmico que governam o efeito de interação cinemática solo-estaca conduziu

também a um sistema de equações complexas.

A ação sísmica, numa abordagem determinística do problema, é caraterizada através de

histórias de acelerações impostas na fronteira basal. Com isto, e tendo em conta a linearidade

do sistema em causa, o problema no domínio do tempo é transposto e resolvido no domínio

74

da frequência. Este processo corresponde ao método de resposta complexa no domínio da

frequência, e recorre à técnica de transformada de Fourier.

Estuda-se então o processo físico descrito no tempo por uma variável a(t) em função do

tempo t, ou no domínio da frequência em que o mesmo processo é definido pela amplitude

A(ω) em função da frequência angular ω. Deste modo, as equações correspondentes à

transformada direta e inversa de Fourier são dadas respetivamente por:

(4.24)

e

(4.25)

onde a(t) e A(ω) poderão corresponder a funções complexas.

Uma vez que no modelo BDWF a ação sísmica é considerada como uma ação determinística

sem variabilidade espacial, a resolução do problema obriga à partida à sua transformação para

o domínio da frequência pela transformada direta de Fourier. Assim, a resposta do sistema é

depois calculada para cada uma das harmónicas com amplitude unitária, obtendo-se a função

de resposta complexa no domínio da frequência H(ω), ou função de transferência como é

também usual ser chamada.

Com isto, a função de resposta no domínio do tempo y(t) é determinada sobrepondo as

respostas harmónicas, o que significa, em linguagem matemática, aplicar a transformada

inversa de Fourier, ou seja:

(4.26)

Através da equação (4.26) anterior, é então possível determinar a resposta em termos de

deslocamentos, acelerações ou esforços internos da estaca, consoante a função de

transferência em causa.

75

Nos problemas dinâmicos considerados neste trabalho, a história de acelerações é definida por

uma série temporal com N valores discretos igualmente espaçados no tempo. Deste modo, as

transformadas de Fourier passam a tomar a forma discreta de somatório – “Discrete Fourier

Transform” (DFT) – com um número de termos igual ao número de pontos de discretização

da ação sísmica. Tendo em conta que a avaliação da resposta total do sistema envolve a

consideração das transformadas direta e inversa de Fourier, é-se conduzido a um número total

de operações elevado (N2). Porém, graças ao desenvolvimento do algoritmo da transformada

rápida de Fourier – “Fast Fourier Transform” (FFT) – o número de operações é reduzido para

[Cooley e Tukey, 1965], viabilizando desta maneira a aplicação do método de

resposta complexa no domínio da frequência. Por último, uma vez que a história de

acelerações é definida por valores reais, é possível ainda tirar partido das propriedades de

simetria das transformadas de Fourier, reduzindo o número total de harmónicas para N/2+1.

Refere-se então que o programa de cálculo CINEMAT utilizado incorpora uma subrotina que

aplica o algoritmo FFT para funções reais, tirando desta forma proveito das propriedades de

simetria descritas anteriormente.

4.2.4. Comportamento não linear do solo - Método linear equivalente

Como foi visto anteriormente, o método de resposta complexa descrito pressupõe a

linearidade do sistema. Assim, o comportamento não linear do solo é considerado de forma

aproximada através do método linear equivalente.

Este método é iterativo e consiste em procurar a compatibilização entre a distorção e os

respetivos valores secantes de G e no ponto médio de cada camada de solo, tendo em conta

a discretização geométrica do problema em estudo. A compatibilização em causa é feita com

base em curvas não lineares G/G0-γ e ξ-γ obtidas em laboratório [Santos, 1999].

Contudo, durante a atuação de um sismo, as distorções no terreno variam de maneira

irregular, atingindo na verdade poucas vezes os valores máximos. Visto isto, Seed et al.

[1975], no contexto do problema de liquefação das areias (associada a amplitudes de distorção

elevadas), desenvolveram uma metodologia através da qual a história irregular das tensões de

corte é convertida num número equivalente de ciclos uniformes de ações sinusoidais com

76

amplitude igual 65% do valor máximo do módulo da tensão de corte. Desta forma, definiram

uma tensão de corte média dada por:

(4.27)

em que corresponde à tensão de corte média equivalente para os ciclos sinusoidais e

é o valor máximo do módulo da tensão de corte da história irregular.

No entanto, segundo Makdisi e Seed [1979] apenas se pode considerar a equação (4.27) para

níveis de distorção mais baixos se a resposta do solo for calculada com base num valor

representativo da distorção. Este valor, denominado distorção cíclica equivalente ou efetiva,

corresponde a uma fração do valor máximo da distorção ocorrido durante o sismo e é dado

por [Idriss e Sun, 1992]:

(4.28)

onde M é a magnitude do sismo e é o valor máximo da distorção para a história

irregular.

Com base na relação empírica anterior, temos que o valor de varia entre 0.5 e 0.7 para

sismos com magnitude entre 6 e 8, respetivamente. Porém, Idriss e Sun [1992] referem que a

resposta dinâmica do sistema não é muito sensível ao coeficiente em causa. Com isto, adopta-

se neste trabalho o valor frequentemente referido na literatura de =0.65.

A análise iterativa é feita até se verificar a convergência entre os valores de G e

correspondentes a duas iterações consecutivas. Na maior parte dos casos, consegue-se obter

uma boa convergência, com erros associados da ordem de 1%, após 5 a 8 iterações [Idriss e

Sun, 1992].

Convém referir que, tendo em conta que neste método as propriedades do solo G-γ e ξ-γ se

mantêm invariáveis durante a atuação de um sismo, a utilização das mesmas conduz,

geralmente, a uma resposta mais amortecida ou atenuada, principalmente para os casos em

que a história de distorções tem um valor de pico muito pronunciado. Neste sentido, Santos

[1999] estudou um novo procedimento através do qual a compatibilização é feita não apenas

para os valores máximos que ocorrem durante todo o tempo de análise, mas sim para cada

77

instante de tempo. Porém, confrontando os dois métodos de análise referidos, o autor concluiu

que ambos os métodos conduzem a valores semelhantes em termos de valores máximos, quer

em relação a acelerações, quer em relação a momentos fletores. Por isso, visto que este

trabalho tem como principal objetivo a previsão dos efeitos máximos na estaca, adota-se o

método linear equivalente convencional em que a compatibilização é feita somente em

relação aos valores máximos (o qual corresponde a uma maior eficiência em termos de tempo

de cálculo).

Em último lugar, é necessário ter em atenção que se admitiu neste trabalho que existe uma

aderência perfeita entre o solo e a estaca, ou seja, que a estaca tem a base restringida, pois é a

condição de fronteira que melhor se ajusta à realidade [Santos, 1999]. Com isto, não foram

considerados outros efeitos de não linearidade ao nível local devido a fenómenos de separação

ou perda de contacto entre a estaca e solo envolvente. Deste modo, em termos da formulação

de elementos finitos, foram impostos nos pontos nodais da estaca um campo de forças

exteriores correspondentes aos deslocamentos do campo livre obtidos com base no

comportamento não linear do solo.

A estrutura do programa CINEMAT, desde a leitura dos dados até ao cálculo dos

deslocamentos e dos esforços da estaca, pode ser consultada em Santos [1999].

4.3. PIER

4.3.1. Introdução

Neste ponto do trabalho é apresentada a formulação matemática da aplicação computacional

utilizada para avaliar a capacidade de deformação a que as estruturas podem ser sujeitas, com

base em análises não lineares. O programa informático em causa (PIER) foi desenvolvido por

Brito [2011] e permite, no geral, realizar análises de estruturas reticuladas planas de betão

armado sujeitas a carregamentos monotónicos, carregamentos esses que podem corresponder

a forças aplicadas ou deslocamentos impostos.

A ação sísmica corresponde a uma ação cíclica, porém, neste programa foi considerada uma

análise monotónica, tendo em conta as inúmeras vantagens que lhe estão inerentes, sendo

78

muito mais eficiente tanto ao nível da formulação das ferramentas matemáticas, como da sua

implementação computacional e do volume de cálculo.

O programa de análise física e geometricamente não-linear em estudo recorre a uma

formulação baseada no método dos deslocamentos com matriz de rigidez secante. Os dados

de entrada do programa são as coordenadas dos nós da estrutura discretizada, as barras retas

com as respetivas secções transversais que ligam os nós, e as cargas (forças aplicadas ou

deslocamentos nodais impostos).

Relativamente à definição das secções transversais, esta é tratada através de uma outra

aplicação computacional desenvolvida por Brito [2011], designada por FLEXÃO. As rotinas

de cálculo por outro lado, como a avaliação dos esforços e da matriz de rigidez secante, são

consideradas no programa PIER.

Com base no que foi referido, esta secção do trabalho divide-se em quatro pontos,

correspondentes aos quatro principais níveis de implementação do programa referidos pelo

autor, onde é abordado de forma sucinta a implementação e descrição das secções

transversais, a formulação matemática dos elementos finitos, e as duas análises estruturais

aplicadas, linear e não linear.

O desenvolvimento detalhado da aplicação computacional pode ser consultado em Brito

[2011].

4.3.2. Definição das secções transversais

4.3.2.1. Introdução

As secções transversais são definidas por um ou vários contornos que as delimitam, e estes

correspondem a conjuntos contínuos de arcos (ver Figura 4.2). Tendo em conta uma descrição

paramétrica dos mesmos [Brito, 2011]:

Arco k:

,

79

Admite-se que cada um dos arcos que constituem os contornos são contínuos e diferenciáveis,

isto é, que as funções e pertencem à classe C1.

Relativamente às armaduras, o autor associou as mesmas aos arcos dos contornos, como é

ilustrado na Figura 4.2, especificando o recobrimento e quantificando os respetivos varões.

Por último, é importante ainda apresentar o referencial segundo o qual o autor se baseou:

Figura 4.2 – Secções transversais (adaptado de Brito [2011]):

(a) contornos; e (b) armaduras

Figura 4.3 - Referencial local das secções

transversais [Brito, 2011]

80

4.3.2.2. Determinação dos elementos de redução

Tendo em conta a secção transversal representada na Figura 4.4, sabe-se que, quando esta é

sujeita a um campo de deformações , os elementos de redução estáticos, nomeadamente

o esforço normal, o momento fletor em torno de x e o momento fletor em torno de y, são

dados respetivamente por:

(4.29)

(4.30)

(4.31)

onde ε e σ representam a extensão e a tensão do ponto genérico da secção, por essa ordem.

Brito [2011], admitindo que o campo de deformações é linear e não depende de x, uma vez

que teve como base uma análise plana da secção em que uma das direções principais pertence

ao plano da estrutura, mostrou que:

(4.32)

Com isto, e restringindo as relações constitutivas dos materiais a funções polinomiais do tipo:

Figura 4.4 – Secção de betão armado

[Brito, 2011]

81

(4.33)

o autor concluiu que as expressões (4.29), (4.30) e (4.31) anteriores podem passar a ser

escritas da seguinte forma:

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Com base nestas equações, é fácil perceber que todos os elementos de redução são do tipo:

(4.37)

e, portanto, a dificuldade da determinação destes elementos é resumida na dificuldade da

avaliação do integral

[Brito, 2011].

Aquando do estudo do referido integral, o autor mostrou que é possível avaliar as grandezas

integrais sobre as secções transversais através da soma determinada sobre as regiões

delimitadas pelos arcos dos contornos que definem as secções e o eixo das ordenadas, como é

ilustrado na Figura 4.5.

82

Deste modo, e considerando uma definição paramétrica dos arcos dos contornos (ver Figura

4.6), o autor mostrou que o integral de uma dada função sobre a região delimitada pelo

eixo das ordenadas e a curva do contorno, no intervalo [a;b] do parâmetro s, pode ser

calculado pela seguinte expressão:

(4.38)

Figura 4.5 - Decomposição de uma secção transversal [Brito, 2011]

Figura 4.6 - Definição paramétrica de um arco de contorno

[Brito, 2011]

83

Assim, em relação ao integral expresso na equação (4.37), Brito [2011] concluiu que:

(4.39)

Por fim, integrar o monómio sobre Ω corresponde então a estender o integral sobre o

intervalo para todos os arcos que constituem os contornos da secção transversal e

somar as respetivas contribuições, ou seja:

(4.40)

A resolução explícita deste integral para os casos mais comuns dos contornos das secções

(poligonais e/ou arcos de circunferência) pode ser consultada em Brito [2011].

4.3.2.3. Cálculo da matriz de rigidez secante

Utilizando diretamente a definição de matriz de rigidez, e com base nos vetores das

deformações e das forças correspondentes, a matriz de rigidez secante é dada por:

ε

ε

(4.41)

onde corresponde à curvatura da secção e representa a extensão da secção ao nível do

centróide.

Cada umas das entradas da matriz é obtida considerando a rigidez secante correspondente ao

estado de tensão instalado na secção (ver Figura 4.7). Deste modo, temos que [Brito, 2011]:

com (4.42a)

84

com (4.42b)

com (4.42c)

com (4.42d)

Com base nas expressões (4.42), o autor concluiu que os termos da matriz de rigidez secante

correspondem a uma equação do tipo:

(4.43)

Tendo em conta a expressão (4.32) apresentada anteriormente, e uma vez que o estado de

deformação da secção transversal para o qual se determinada a matriz de rigidez secante é

caracterizado pela extensão do centróide e pela curvatura em torno do eixo horizontal

( ) [Brito, 2011], temos que o campo de extensões é dado por:

(4.44)

Figura 4.7 - Rigidez secante correspondente ao estado de tensão instalado na

secção [Brito, 2011]

85

Os campos de deformações impostos para a determinação das diferentes parcelas da matriz de

rigidez secante, com base na mesma equação, são definidos pela seguinte expressão:

(4.45)

Contudo, estes campos apenas dependem do termo da matriz de rigidez secante ( ) em

causa. Portanto, tendo em conta o que foi apresentasdo nas equações (4.42), a expressão

(4.45) pode ser escrita simplificadamente por:

(4.46)

Desta maneira, Brito [2011] conseguiu resumir de uma forma genérica as diferentes entradas

da matriz de rigidez secante, passando a equação (4.43) a ser escrita da seguinte forma:

(4.47)

Analisando os termos fora da diagonal da matriz, é possível verificar a simetria da mesma,

uma vez que, para o mesmo estado de deformação da secção ( ), esses termos são iguais

tendo em conta que a soma (p+q) é igual a 3 para ambos os casos.

Por último, é importante referir que na definição da matriz de rigidez secante acabada de

descrever o autor se base numa relação constitutiva polinomial sobre todo o domínio da

secção transversal. Quando o mesmo não se verifica, a solução passa por definir o integral em

sub-regiões em que a relação constitutiva é de facto polinomial.

A análise detalhada do desenvolvimento da expressão (4.47) pode ser consultada em Brito

[2011].

86

4.3.3. Formulação matemática dos elementos finitos

4.3.3.1. Introdução

Em relação aos elementos finitos, o autor optou por ter como base um elemento finito

abstrato, atribuindo-lhe um conjunto de funcionalidades que conferem maior versatilidade na

modelação estrutural e reduzem consideravelmente a dimensão da matriz de rigidez do

equilíbrio global. A implementação da formulação matemática dos elementos finitos partiu

então de um único tipo, onde é contemplada a matriz de rigidez ( ), o vetor das forças nodais

( ), o vetor das forças de fixação ( ) e um vetor dos deslocamentos nodais ( ), sendo só

depois concretizada através da formulação específica da barra de eixo reto e rigidez variável.

Em último lugar, o autor definiu o elemento finito ao nível do utilizador da aplicação

computacional, que congrega e controla todas as formulações parciais.

As referidas funcionalidades, nomeadamente a libertação de esforços nas extremidades dos

elementos finitos, a rotação de referencial, inclusão de troços rígidos nas extremidades dos

elementos e a subestruturação, são aplicadas sobre os elementos finitos abstratos e operam

apenas sobre as respetivas matrizes e vetores, de forma totalmente independente de qualquer

formulação específica dos elementos finitos. Neste trabalho não são abordadas essas

funcionalidades, sendo que a descrição das mesmas pode ser consultada em Brito [2011].

O ponto 4.3.3.2 corresponde então à descrição do elemento finito de barra de eixo reto e

rigidez das secções transversais variável. É apresentada apenas a formulação matemática

utilizada para calcular a matriz de rigidez e o vetor das forças de fixação, uma vez que o vetor

das forças nodais não diz respeito ao elemento finito propriamente dito e os deslocamentos

nodais resultam da análise estrutural [Brito, 2011]. Convém ainda referir que o autor teve

como base a hipótese de que as matrizes de rigidez ao nível das secções extremas da barra são

conhecidas, interpolando-se os termos da matriz de rigidez ao longo do eixo do elemento

finito.

Por fim, no ponto 4.3.3.3 é apresentado o elemento finito de barra completo a que o utilizador

tem acesso. Elemento este que utiliza e controla o adequado acoplamento das operações

definidas, permitindo um uso simples do programa de análise estrutural desenvolvido pelo

autor.

87

4.3.3.2. Elemento finito de barra de eixo reto e rigidez variável

Na definição de um elemento finito de barra de eixo reto com rigidez variável, as grandezas

relevantes a determinar correspondem à matriz de rigidez e ao vetor das forças de fixação.

Brito [2011], partindo do pressuposto que as matrizes de rigidez das secções extremas do

elemento, assim como as respetivas relações constitutivas, são conhecidas, começou por

considerar a seguinte relação:

(4.48)

em que:

vetor dos esforços da secção transversal

matriz de rigidez da secção transversal

vetor das deformações da secção transversal

Desta maneira, com base na expressão (4.48) torna-se possível calcular os esforços ( ) de

qualquer secção, para qualquer estado de deformação ( ) correspondente.

Na Figura 4.8 são apresentados os esforços generalizados que foram tidos em conta no

elemento finito em estudo.

Figura 4.8 – Esforços generalizados do elemento finito de

barra

88

Visto que o autor se baseou numa estrutura isostática (viga simplesmente apoiada),

consideram-se dois tipos de esforços, dependentes (Ni, Vi e Vj) e independentes (Nj, Mi e Mj),

uma vez que as reações de apoio podem ser determinadas por equilíbrio para qualquer

carregamento. Na Figura 4.9 é possível observar os esforços independentes correspondentes

às variáveis estáticas, assim como as variáveis cinemáticas do problema em análise.

O valor das três variáveis cinemáticas apresentadas na figura anterior foi calculado por

integração das deformações do eixo do elemento finito de barra, recorrendo ao Princípio dos

Trabalhos Virtuais, através das expressões (4.49), (4.50) e (4.51). A resolução dos integrais

foi feita de forma numérica recorrendo aos pontos de Gauss de ordem 4 [Brito, 2011].

(4.49)

(4.50)

(4.51)

Figura 4.9 - Variáveis do problema: (a) estáticas; e (b)

cinemáticas

89

Note-se que é então necessário conhecer o valor das extensões e curvaturas em cada ponto

(secção) da barra. Como a relação apresentada na expressão (4.48) é invertível, e tendo em

conta que a formulação desenvolvida pelo autor permite conhecer à partida os esforços nas

diversas secções do elemento, recorre-se à relação constitutiva ao nível da secção para

determinar o valor das deformações:

(4.52)

Na determinação da matriz de rigidez do elemento finito de barra, o autor optou por recorrer a

uma abordagem inversa aquela que é mais comum, ou seja, aplicou (de forma isolada)

esforços independentes unitários com o objetivo de calcular os deslocamentos independentes

associados, obtendo desta forma a matriz de flexibilidade que corresponde à inversa da matriz

de rigidez.

Com base nos campos de esforços apresentados no Quadro 4.1 relativos a cada um dos

esforços independentes referidos anteriormente, calculam-se os deslocamentos

(independentes) nas secções extremas da barra através da seguinte expressão:

(4.53)

onde é a matriz de flexibilidade, em que cada coluna corresponde aos deslocamentos das

extremidades da viga devidos à acção isolada do respectivo esforço independente.

90

Quadro 4.1 - Campos de esforços relativos a cada um dos esforços independentes

Esforço independente

Portanto, invertendo a relação (4.53), temos que:

(4.54)

onde . Com isto, tendo em conta a expressão anterior é possível calcular os esforços

independentes que devem ser aplicados à viga de modo a obter deslocamentos unitários num

determinado grau de liberdade e zero nos restantes, esforços esses que correspondem a cada

coluna da matriz .

Por fim, o objetivo final consiste em calcular a matiz de rigidez relativa ao elemento finito de

barra apresentado na Figura 4.10. Brito [2011], depois de determinar as entradas

correspondentes aos deslocamentos em falta ( , e ), concluiu então que a matriz de

rigidez da barra é dada pela expressão (4.55) apresentada a seguir.

91

(4.55)

Relativamente ao cálculo do vetor das forças de fixação, o método é análogo ao acabado de

descrever. Neste caso, a informação necessária corresponde aos campos de esforços

associados aos principais carregamentos de vão, informação essa apresentada no Quadro 4.2.

Quadro 4.2 - Campos de esforços relativos aos carregamentos de vão mais relevantes

Car

regam

ento

de

vão

Com isto, e através das expressões (4.49), (4.50) e (4.51) apresentadas anteriormente, são

calculados os deslocamentos nas extremidades da viga para cada um dos carregamentos.

Posteriormente, com base na relação (4.54) são obtidos os esforços independentes que devem

ser aplicados de modo a obterem-se deslocamentos nodais nulos.

Figura 4.10 - Elemento finito de barra

92

Os esforços ao longo do elemento finito de barra são então determinados por sobreposição de

efeitos, isto é, somando-se os esforços devidos aos carregamentos de vão para a estrutura base

com os relativos aos esforços de fixação determinados atrás.

Por último, é importante referir que os procedimentos aplicados por Brito [2011] que foram

descritos neste ponto do trabalho generalizam o cálculo da matriz de rigidez e do vetor das

forças de fixação de peças lineares para o caso de materiais com comportamento não-linear e

elementos de rigidez variável ao longo do seu eixo, objeto de estudo desta dissertação.

4.3.3.3. Elemento finito de barra completo

De acordo com Brito [2011], entende-se como elemento finito de barra completo um

elemento estrutural. Uma vez que é preciso considerar explicitamente as armaduras de flexão

e de forma indireta as armaduras transversais, o autor permitiu que estes elementos possam

corresponder a uma sucessão de elementos finitos (de barra) com propriedades diferentes.

Além disso, é possível subdividir as zonas de secção constante em regiões menores para que

as propriedades de rigidez ao longo do eixo da barra sejam convenientemente determinadas.

Desta forma, Brito [2011] conseguiu fazer face à necessidade de ter que considerar grandes

variações de deformações (e de rigidez secante) em extensões relativamente pequenas,

aquando da simulação do aproveitamento da plasticidade.

Com o objetivo de clarificar os diferentes níveis de subdivisão implementados pelo autor, é

apresentado na Figura 4.11 um exemplo referente a uma viga de betão armado, onde é

possível observar-se os dois níveis de subdivisão (primária e secundária) referidos

anteriormente.

93

4.3.4. Análise linear

A análise elástica linear serve de base à análise não linear, uma vez que a primeira é aplicada

em cada passo da segunda, contemplando os seguintes passos:

Reordenação dos nós (apenas na primeira iteração);

Determinação das matrizes de rigidez elementares e forças de fixação elementares;

Determinação da matriz de rigidez global e vetor das forças nodais;

Factorização da matriz de rigidez global;

Determinação dos deslocamentos nodais;

Determinação dos esforços internos e das deformações.

A reordenação dos nós prende-se apenas com a escolha de uma ordem dos nós que permita

concentrar os termos não nulos da matriz de rigidez perto da diagonal principal, tornando

muito mais eficiente a utilização dos recursos (tempo e memória) [Brito, 2011]. Desta forma,

o autor utilizou o método desenvolvido por Cuthill e McKee [1969], designado por “Reverse

Cuthill McKee”, para garantir a mínima “distância” entre os nós ligados.

Figura 4.11 - Elemento finito de barra completo [Brito, 2011]

94

A determinação das matrizes de rigidez elementares, bem como das forças de fixação

elementares, é realizada ao nível dos próprios elementos finitos.

Em relação à matriz de rigidez global, esta é determinada contabilizando a contribuição de

todos os elementos finitos para os diversos graus de liberdade, assim como das molas que

incidem nos nós. A factorização foi realizada utilizando o método de Gauss.

Por último, os deslocamentos nodais são determinados por retro-substituição no sistema de

equações factorizado, enquanto que os esforços internos dos elementos finitos, tal como as

deformações, são parte integrante da formulação dos elementos finitos.

4.3.5. Análise não linear

Tendo em conta que na análise não linear implementada se recorre à rigidez secante, é

possível escrever-se, para a totalidade da carga aplicada ( ), uma equação geral do tipo:

(4.56)

em que é a matriz de rigidez secante e corresponde aos deslocamentos nodais na

configuração final.

Contudo, Brito [2011] concluiu que não se deve tentar aplicar a totalidade da carga de uma só

vez. À partida, poder-se-ia pensar em aplicar a totalidade da carga à estrutura, determinando

uma matriz de rigidez secante (que na primeira iteração corresponderia à rigidez tangente),

deixar a mesma deformar e corrigir a matriz de rigidez secante consoante os deslocamentos

obtidos, repetindo o processo até que estes estabilizassem.

No caso de se aplicar um conjunto de forças à estrutura, o processo parece razoável, como se

pode confirmar, à partida, pela análise da Figura 4.12.

95

No entanto, para situações em que sejam impostos deslocamentos à estrutura, o problema

muda drasticamente. Para o exemplo da viga biencastrada apresentada na Figura 4.13, em que

o único carregamento aplicado corresponde a um deslocamento imposto no topo, o autor

mostrou que se é conduzido a deformações muito superiores às admissíveis, visto que nos

elementos finitos a formulação se baseia nos esforços instalados ao longo do eixo da barra.

Figura 4.12 - Análise não linear para forças aplicadas à estrutura [Brito, 2011]

Figura 4.13 - Viga biencastrada com deslocamento

imposto no topo

96

Na verdade, o que sucede é que, numa primeira iteração e considerando a rigidez tangente, se

obtêm esforços relativamente grandes quando comparados com os reias, uma vez que a viga

perde gradualmente rigidez com a deformação. Quando se pretende impor deslocamentos

próximos dos máximos admissíveis, é-se conduzindo, na primeira iteração, a esforços que são

muito superiores aos máximos possíveis, como se pode verificar pela observação da Figura

4.14.

Desta forma, é conveniente aplicar as cargas, forças aplicadas e deslocamentos impostos, aos

poucos, com o intuito de evitar afastamentos significativos da solução em casa iteração, isto é,

pretende-se que a matriz de rigidez secante varie pouco para cada incremento de carga, de

modo a evitar o problema descrito atrás.

Como se viu, a ação sobre a estrutura pode consistir em diversos carregamentos de forças e

deslocamentos aplicados. Mas, como a análise pretendida é não linear, a sequência de

aplicação não é irrelevante [Brito, 2011]. O peso próprio, por exemplo, deve ser aplicado na

sua totalidade antes dos deslocamentos impostos que representam a ação sísmica.

Figura 4.14 - Momento de encastramento em função do deslocamento

imposto no topo [Brito, 2011]

97

Assim sendo, o autor simulou a sequência de aplicação das diversas ações através de fatores

multiplicativos independentes ( ), que representam para cada uma das acções a parcela a

aplicar em cada fase da análise. A progressão da análise é controlada através de um

coeficiente de controlo da aplicação das cargas e deslocamentos ( ), que assume o valor 1

ao terminar a aplicação da totalidade das cargas. Desta forma, a formulação descrita permite

aplicar os diversos carregamentos segundo sequências arbitrárias a definir pelo utilizador. Na

Figura 4.15 pode observar-se a aplicação do referido método para o caso em que se

consideram duas ações, ações permanentes e deslocamentos impostos, sendo que a primeira é

totalmente aplicada antes de se iniciar a aplicação da segunda.

Em cada passo do processo incremental aumenta-se a parcela das cargas e deslocamentos

aplicados em função de uma variação do coeficiente de controlo ( ) suficientemente

pequena para evitar os problemas descritos anteriormente. Com isto, determinar-se para essa

variação da ação a solução do problema de equilíbrio que é conseguido de forma iterativa,

uma vez que a matriz de rigidez secante varia, à partida, para os dois níveis da ação.

Considera-se que o processo iterativo termina quando a diferença entre os deslocamentos de

duas iterações consecutivas é suficientemente pequeno. O procedimento segundo o qual a

análise estrutural é realizada de forma iterativa pode ser consultado em Brito [2011].

Figura 4.15 - Sequência de aplicação de ações [Brito, 2011]

98

Importa referir que, para além das grandezas cinemáticas e estáticas principais, o programa

utilizado calcula também a rigidez de flexão equivalente EIeq. Esta grandeza é definida como

sendo a rigidez de flexão da secção transversal escrita no referencial correspondente ao centro

mecânico (CM). Este representa o ponto em que deve ser aplicado o esforço axial de maneira

que não exista curvatura, e é calculado em função dos módulos de elasticidade secantes dos

materiais em cada um dos pontos da secção, obtendo-se as seguintes expressões para o

cálculo das suas coordenadas:

(4.57)

e

(4.58)

Pela análise das equações anteriores, é fácil perceber que o centro mecânico corresponde ao

centróide substituindo-se as áreas pelos produtos das áreas pelo módulo de elasticidade

respetivos, ou seja, o centro mecânico corresponde ao centróide da secção homogeneizada.

No referencial definido pelos centros mecânicos a matriz de rigidez da secção transversal só

tem termos na diagonal principal, tomando a forma:

(4.59)

Deste modo, temos que EIeq corresponde à rigidez de flexão da secção heterogénea

considerando a rigidez secante dos materiais em cada ponto em função do seu estado de

deformação.

Em última lugar, interessa analisar-se a determinação da matriz de rigidez da secção

transversal no centro mecânico a partir da matriz de rigidez da secção transversal referido a

um ponto arbitrário. Considere-se então a Figura 4.16, onde é representada uma barra cujas

secções transversais têm uma matriz de rigidez genérica ( ).

99

Como se pode constatar, os deslocamentos nodais encontram-se referidos ao ponto P, tomado

como representativo do eixo da barra. Por isso, a determinação da matriz de rigidez no centro

mecânico (CM) da secção transversal é realizada com base numa mudança de referencial:

(4.59)

Podendo concluir-se que:

(4.60)

Assim, a rigidez de flexão equivalente ( ) e a “distância” entre o ponto de referência e o

centro mecânico ( ) são calculadas, respetivamente, por:

(4.61)

e

(4.62)

Figura 4.16 - Mudança de referencial num elemento finito [Brito, 2011]

101

5. CASO DE ESTUDO DE UMA ESTACA ISOLADA ATRAVESSANDO UMA

FORMAÇÃO ALUVIONAR

5.1. Introdução

Pretende-se neste capítulo estudar um cenário de estudo o mais realista possível com o

objetivo de avaliar os diferentes conceitos abordados neste trabalho relativamente ao

dimensionamento de estacas sob ações sísmicas.

Partiu-se de um cenário de estudo já abordado por Santos [1999] referente a uma estaca

isolada atravessando uma formação aluvionar. Assim, na segunda parte deste capítulo é

descrito o modelo geotécnico considerado, fazendo referência às propriedades geotécnicas do

terreno, incluindo as curvas não lineares G-γ e ξ-γ correspondentes.

Na terceira parte é apresentado o estudo paramétrico em causa, resultante do

dimensionamento da estaca com base em três parâmetros: diâmetro da estaca, armadura de

flexão e armadura de confinamento.

No quarto ponto é feita uma análise detalhada das diferentes secções transversais de betão

armado consideradas nesta investigação. São descritas as propriedades dos materiais

utilizados, o cálculo das grandezas associadas à cedência e rotura das secções e são

apresentadas as relações Momento-Curvatura das secções.

No quinto ponto são definidas as ações consideradas nas análises efetuadas. De seguida, é

apresentada a discretização do problema, assim como as condições de fronteira associadas, e é

descrito o processo iterativo que permitiu estudar o problema admitindo todas as hipóteses

assumidas ao longo do trabalho, nomeadamente a não linearidade do solo e da estaca.

Por último, são apresentados os diferentes resultados obtidos e são feitas algumas

considerações face aos mesmos.

5.2. Modelo geotécnico

Pretende-se neste capítulo dar continuidade ao trabalho de Santos [1999] referente ao caso de

estudo para uma estaca isolada atravessando uma baixa aluvionar. Deste modo, o modelo

102

geotécnico considerado nesta investigação (ver Figura 5.1) corresponde ao já apresentado

pelo autor. Com o objetivo de avaliar um cenário de estudo o mais realista possível,

considera-se que a estratificação do terreno, contando de cima para baixo, é a seguinte:

Camada A – constituída por aterros e/ou por uma zona sobreconsolidada devido à

dessecação do solo;

Camada B – corresponde a uma camada aluvionar de natureza argilosa, normalmente

consolidada, apresentando um ligeiro aumento do módulo de distorção em

profundidade;

Camada C – representa uma zona mais alterada do estrato competente;

Camada D – constituída por um maciço de boa qualidade e de elevada rigidez,

considerando-se, desta forma, como um substrato rígido.

No Quadro 5.1 são apresentadas as propriedades geotécnicas correspondentes à estratificação

acabada de descrever. É importante referir que as propriedades apresentadas correspondem a

resultados de ensaios reais realizados sobre solos de natureza semelhante. Estes ensaios foram

relatados com detalhe por Santos [1999].

Figura 5.1 - Modelo geotécnico considerado (adaptado de Santos [1999])

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02

G/G

0

ϒ

Solo A: Areia (Oceanário da Expo'98)

Solo B: Argila (Stª Iria de Azóia)

Quadro 5.1 - Propriedades geotécnicas do terreno [Santos, 1999]

Camada Descrição Comportamento

[kN/m3]

[MPa] Curvas / -γ

e ξ-γ

A Aterros e/ou zona

dessecada Não linear 19 0.3 80

Areia

(Oceanário da

Expo'98)

B

Camada

aluvionar de

natureza argilosa

Não linear 17 0.5

Variável

entre 20 e 30

( ≈108m/s)

Argila (Stª Iria

de Azóia)

C

Zona alterada do

maciço

competente

Linear com

ξ=1% 22 0.3

200

( ≈300m/s) -

D

Maciço de boa

qualidade

(substrato rígido)

Rígido - - - -

Nas Figuras 5.2 e 5.3 estão representadas as curvas não lineares dos solos A e B, que serviram

de base ao método linear equivalente aquando da consideração do comportamento não linear

do solo referente a essas duas camadas.

Figura 5.2 - Curva não linear G/G0-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999])

104

0

6

12

18

24

30

1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02

ξ (%

)

ϒ

Solo A: Areia (Oceanário da Expo'98)

Solo B: Argila (Stª Iria de Azóia)

5.3. Dimensionamento da estaca - Estudo paramétrico

5.3.1. Introdução

Neste ponto do trabalho são apresentados os parâmetros tidos em conta no dimensionamento

da estaca que serviram de base à presente investigação. Assim, são apresentadas as três

principais variáveis no que trata ao dimensionamento das diferentes secções de betão armado

que constituem a estaca: diâmetro da estaca; armadura longitudinal e armadura transversal.

Por último, depois de referidos os diferentes valores que cada variável pode adotar, são

descritos os diversos cenários que constituem o caso de estudo investigado neste capítulo.

5.3.2. Diâmetro da estaca

Com o intuito de se investigar um cenário de estudo abrangente, de modo a obter-se um

conjunto de resultados que permita tirar conclusões significativas, foram consideradas estacas

de pequeno, médio e grande diâmetro (d), adotando-se, assim, diâmetros de 0.50m, 0.80m e

1.30m, respetivamente.

Figura 5.3 - Curva não linear ξ-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999])

105

5.3.3. Armadura longitudinal

Relativamente à armadura longitudinal, é regra geral de dimensionamento de estacas, a partir

de uma certa profundidade, aproximadamente igual a L/2, sendo L o comprimento total da

estaca (neste caso igual a 18m - ver Figura 5.1), dispensar-se a armadura de flexão

considerada. Assim sendo, neste trabalho opta-se, a partir da profundidade igual a 10m, por

reduzir para metade a armadura longitudinal dimensionada. Desta forma, foram consideradas

ao longo do comprimento da estaca duas zonas diferentes de armadura de flexão, uma

correspondente à armadura em estudo (ρ ) e outra correspondente à dispensa de armadura

(ρ ), como se pode verificar na Figura 5.4:

No presente estudo paramétrico, a variável correspondente à armadura longitudinal foi

definida com base na zona correspondente a ρ , ficando deste modo a armadura

correspondente à zona de dispensa, ρ , dependente da armadura de flexão considerada na

investigação.

Figura 5.4 - Definição da armadura longitudinal ao longo do fuste da estaca

106

Estudaram-se então secções fraca, média e fortemente armadas, admitindo-se, em média,

percentagens volumétricas de armadura de flexão ( ) de 0.6%, 1.9% e 3.1%, respetivamente.

De seguida, apresenta-se nos Quadros 5.2 a 5.4, consoante o diâmetro da estaca considerado,

a armadura longitudinal adotada para cada uma das percentagens referidas:

Quadro 5.2 - Armadura longitudinal adotada para d=0.50m

ρs (%)

0.6 1.9 3.1

(0.95) (1.55)

Armadura

de flexão 6φ16

12φ20 12φ25

(6φ20) (6φ25)

As [cm2] 12.06

37.7 58.9

(18.85) (29.45)


ρs (%)

0.6 1.9 3.1

(0.95) (1.55)

Armadura

de flexão 10φ20

20φ25 20φ32

(10φ25) (10φ32)

As [cm2] 31.42

98.2 160.8

(49.09) (80.42)


ρs (%)

0.6 1.9 3.1

(0.95) (1.55)

Armadura

de flexão 18φ25

32φ32 52φ32

(16φ32) (26φ32)

As [cm2] 88.36

257.28 418.08

(128.64) (209.04)

É importante referir que, na análise dos quadros anteriores, são apresentados entre parêntesis

os valores referentes à armadura correspondente à zona de dispensa (ρ ). Além disso,

chama-se à atenção para o facto de não ser considerada a dispensa de armadura relativamente

ao menor nível de armadura de flexão (ρ ), uma vez que o valor em causa já é

107

consideralvemente pequeno. Em relação ao maior nível de armadura de flexão (ρ )

para o caso de uma estaca com grande diâmetro (d=1.30m), importa referir que a armadura

considerada (52φ32) corresponde na realidade a uma solução difícil de concretizar,

pretendendo-se neste trabalho estudar apenas qualitativamente essa solução aquando da

análise de uma estaca de grande diâmetro fortemente armada.

5.3.4. Armadura transversal

Segundo o Eurocódigo 8 – Parte 5 as estacas devem ser dimensionadas considerando zonas

para resistirem no domíno elástico e zonas para resistirem no domínio plástico, chamadas

zonas potenciais de plastificação. Estas são definidas da seguinte forma:

Zona potencial de plastificação até a uma profundidade de 2d contada a partir da base

do maciço de encabeçamento;

Zonas potencial de plastificação a 2d de qualquer interface entre duas camadas com

contraste significativo de rigidez.

Estas zonas devem então ser dimensionadas para serem dúcteis através da colocação de uma

armadura de confinamento adequada. Deste modo, foram consideradas ao longo do fuste da

estaca duas zonas diferentes de armadura transversal, uma correspondente às zonas de

plastificação, com exigência de ductilidade, e outra correspondente às zonas de regime

elástico. Na Figura 5.5 apresentada a seguir, é possível observar-se as zonas potenciais de

plastificação representadas pela cor azul.

108

Na presente investigação, a variável correspondente à armadura transversal foi definida com

base nas zonas com exigência de ductilidade, ficando desta forma a armadura corresponde às

zonas elásticas dependente da armadura dimensionada para as zonas plásticas.

Assim sendo, no que se refere ao confinamento do betão estudaram-se secções pouco,

razoavelmente e muito confinadas, admitindo-se, em média, percentagens volumétricas de

armadura de confinamento ( , ver equação (3.21)) de 0.3%, 0.6% e 1.2%, respetivamente.

Nos Quadros 5.5 a 5.7 é apresentada a armadura transversal adotada para cada um dos níveis

de confinamento referidos, consoante o diâmetro da estaca considerado.

Quadro 5.5 - Armadura transversal adotada para d=0.50m

ρyp (%)

0.3 0.6 1.2

Armadura

transversal

φ10//0.25 φ10//0.125 φ12//0.10

(φ10//0.35) (φ10//0.20) (φ12//0.175)

As/s

[cm2/m]

6.28 12.56 22.62

(4.48) (7.86) (12.92)

Figura 5.5 - Definição da armadura transversal ao longo do fuste da estaca

109


ρyp (%)

0.3 0.6 1.2

Armadura

transversal

φ12//0.20 φ12//0.10 φ16//0.10

(φ12//0.30) (φ12//0.175) (φ16//0.175)

As/s

[cm2/m]

11.31 22.62 40.22

(7.54) (12.92) (22.98)


ρyp (%)

0.3 0.6 1.2

Armadura

transversal

φ12//0.10 φ16//0.10 2φ16//0.10

(φ12//0.175) (φ16//0.175) (φ16//0.10)

As/s

[cm2/m]

22.62 40.22 80.44

(12.92) (22.98) (40.22)

Na análise dos quadros anteriores, são apresentados entre parêntesis os valores

correspondentes à armadura trasnversal das zonas elásticas. Em relação ao maior nível de

confinamento (ρ

) para o caso de uma estaca com grande diâmetro (d=1.30m),

importa referir que a armadura considerada (2φ16//0.10) corresponde na realidade a uma

solução difícil de concretizar, pretendendo-se neste trabalho estudar apenas qualitativamente

essa solução aquando da análise de uma estaca de grande diâmetro muito confinada.

5.3.5. Definição dos diferentes cenários de estudo

Tendo em conta o que foi descrito anteriormente, conclui-se que foi efetuado um conjunto de

27 análises, resultantes da combinação de três valores do diâmetro da estaca (d), com três

níveis de percentagem de armadura longitudinal (ρ ) e três níveis de percentagem de

armadura transversal ( ).

De modo a clarificar a identificação de cada caso de estudo, opta-se por fazer referência à

análise em causa da seguinte forma: "Análise_ijk", em que ; ρ ;

110

ρ

. Por exemplo, a "Análise_321" corresponde ao cenário de estudo referente a

uma estaca de grande diâmetro, mediamente armada e pouco confinada, como se pode

verificar no Quadro 5.8:

Quadro 5.8 - Análise_321 d=1.30m

ρs (%)

ρyp (%)

1.9

0.3

(0.95)

Armadura de

flexão

32φ32 Armadura

transversal

φ12//0.10

(16φ32) (φ12//0.175)

As [cm2]

257.28 As/s [cm

2/m]

22.62

(128.64) (12.92)

Além disso, conclui-se também que, para cada Análise_ijk, são considerados quatro tipos de

secção ao longo do fuste da estaca, resultado da combinação entre as duas zonas diferentes de

armadura de flexão e as duas zonas diferentes de armadura de confinamento. Assim,

dependendo do diâmetro, a definição das secções tranversais ao longo do comprimento da

estaca para cada uma das 27 análises estudadas segue o exposto na Figura 5.6:

Figura 5.6 - Definição das secções transversais ao longo do fuste da estaca

para cada Análise_ijk

111

Pela observação da figura anterior, constata-se que, para cada Análise_ijk, é importante

definir-se ainda um índice que corresponda a uma determinada secção da estaca para o caso

em estudo: . Deste modo, com base na Figura 5.6, percebe-se facilmente que as

secções com índice ímpar ( ) correspondem às zonas ponteciais de plastificação com

armadura de confinamento adequada e as secções com índica par ( ) correspondem às

zonas elásticas sem exigência de ductilidade.

5.4. Análise das secções transversais consideradas

5.4.1. Introdução

Com base no ponto anterior, conclui-se que foi necessário definir no total 90 secções

transversais, resultado das diferentes combinações consideradas entre o diâmetro, armadura

longitudinal e armadura de confinamento. Tal como foi referido no subcapítulo 4.3, as

diferentes secções foram definidas e estudadas com recurso ao programa FLEXÃO [Brito,

2011], onde são tidas em conta as relações constitutivas dos materiais considerando o

comportamento não linear dos mesmos.

Na Figura 5.7 apresenta-se um exemplo de discretização de uma dada secção transversal:

Figura 5.7 - Discretização de uma secção

transversal no FLEXÃO

112

De seguida, são apresentadas as propriedades dos materiais considerados e é descrito de

forma mais detalhada o cálculo dos diversos parâmetros das relações constitutivas do betão

(confinado) e do aço das armaduras de flexão. Além disso, são apresentados os diagramas

momento-curvatura das diferentes secções, bem como o valor das grandezas associadas à

cedência e à rotura das mesmas.

5.4.2. Propriedades dos materiais

Na definição das secções transversais foram considerados os seguintes materiais: betão

C20/25 (com o objetivo de manter o mesmo tipo de betão adotado por Santos [1999] no seu

estudo) e aço A500 para as armaduras de flexão e de confinamento.

Nos Quadros 5.9 a 5.11 são apresentadas as propriedades dos materiais que foram tidas em

conta no programa utilizado, nomeadamente a tensão máxima ( ) e o módulo de elasticidade

( ) do betão (não confinado); a tensão de cedência ( ) e a extensão última ( ) do aço

das armaduras de confinamento; e a tensão de cedênica ( ) e o módulo de elasticidade ( )

do aço das armaduras de flexão.

Quadro 5.9 - Propriedades do Betão C20/25

[MPa] [GPa]

13.3 30

Quadro 5.10 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de confinamento

[MPa] [%]

435 7.5

Quadro 5.11 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de flexão

[MPa] [GPa]

435 200

Os valores de cálculo apresentados ( e ) foram tomados tendo em conta o Eurocódigo EC2 -

Parte 1-1 (Quadro 2.1N), considerando os coeficientes parciais de 1.5 para o betão e de 1.15 para

o aço.

113

Relativamente à extensão última da armadura de confinamento ( ), foi utilizado o valor de

7.5% (segundo o Eurocódigo EC2 - Parte 1-1 (Quadro C.1 do Anexo C)), uma vez que se admitiu

um aço de classe de ductilidade C (muito dúctil).

5.4.3. Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções

No ponto 3.2 deste trabalho foram descritas as relações constitutivas dos materiais que foram

tidas em conta nas análises não lineares monotónicas realizadas. De seguida, apresentam-se de

forma mais detalhada os parâmetros das relações em causa relativamente a uma das secções

estudadas.

Considere-se então o exemplo correspondente à Secção i da Análise_222, cuja armadura é

apresentada no Quadro 5.12:

Quadro 5.12 - Análise_222 / Secção i (d=0.80m)

ρs (%)

ρyp (%)

1.9

0.6

Armadura

de flexão 20φ25

Armadura

transversal φ12//0.10

As [cm2] 98.2

As/s

[cm2/m]

22.62

Os parâmetros necessários para definir a relação constitutiva do betão confinado referente à

secção em causa, com base nas equações (3.8) a (3.25) apresentadas no capítulo 3, são

referidos no Quadro 5.13:

Quadro 5.13 - Parâmetros da relação constitutiva do betão confinado (Secção i da Análise_222)

Ec σco εco σyp Asp Aφ12 ds s

[GPa] [MPa] [‰] [MPa] [cm2] [m] [m]

30 13.3 2 435 1.13 0.70 0.10

σl σcc εcc Esec r εyp,u εcu

[kPa] [MPa] [‰] [GPa] [-] [‰] [‰]

1031.83 19.367 6.562 2.952 1.10912 75 19.229

De notar que e . O valor de 2‰ adotado para a extensão associada à

máxima compressão do betão não confiando ( ) foi tomado com base no Quadro 3.1 do

Eurocódigo EC2 - Parte 1-1.

114

Na Figura 5.8 está então representada a relação constitutiva do betão (confinado) referente à

Secção i da Análise_222.

Figura 5.8 - Relação constitutiva do betão confinado (Secção i da Análise_222)

No Quadro 5.14 são apresentados os parâmetros necessários para definir a relação constitutiva

do aço das armaduras de flexão relativamente à secção em questão, tendo em conta as

equações (3.1) a (3.7) expostas no capítulo 3.

Quadro 5.14 - Parâmetros da relação constitutiva do aço das armaduras de flexão (Secção i da

Análise_222)

Es σsy εsy Esh εsh σt εsu α Ek

[GPa] [MPa] [‰] [MPa] [‰] [MPa] [‰] [-] [MPa]

200 435 2.175 2485.1 25.544 543.8 131.86 2.42831 25139.3

De notar que e que .

Na Figura 5.9 apresenta-se a relação constitutiva do aço das armaduras de flexão relativamente à

Secção i da Análise_222.

0

4

8

12

16

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

σc [MPa]

εc [‰]

115

Figura 5.9 - Relação constitutiva do aço (Secção i da Análise_222)

Tendo em conta a equação (3.6) que permite calcular o valor da extensão última do aço das

armaduras de flexão (εsu), constata-se que esta apenas depende do valor da tensão de cedência

do aço (σsy), verificando-se o mesmo para os restantes parâmetros da relação constitutiva

deste material. Desta forma, o valor de ε ‰ é igual para todas as secções

estudadas, assim como a relação constitutiva apresentada na Figura 5.9.

Relativamente ao betão confinado (equação (3.25)), o valor da extensão última (εcu) depende

do diâmetro considerado, bem como da armadura de confinamento adotada (Asp, ds, s). Nos

Quadros 5.15 a 5.17 é então apresentado o valor de εcu para cada um dos diâmetros, em

função do nível de confinamento considerado:

Quadro 5.15 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=0.50m

d = 0.50m

ρyp = 0.3% ρyp = 0.6% ρyp = 1.2%

εcu

[‰]

Secção i -14.339 -20.648 -28.509

Secção ii -11.721 -16.245 -22.257

Secção iii -14.339 -20.648 -28.509

Secção iv -11.721 -16.245 -22.257

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140

εs [‰]

σs [MPa]

116


d = 0.80m

ρyp = 0.3% ρyp = 0.6% ρyp = 1.2%

εcu

[‰]

Secção i -13.432 -19.229 -26.761

Secção ii -10.859 -14.406 -20.491

Secção iii -13.432 -19.229 -26.761

Secção iv -10.859 -14.406 -20.491


d = 1.30m

ρyp = 0.3% ρyp = 0.6% ρyp = 1.2%

εcu

[‰]

Secção i -13.801 -19.064 -28.037

Secção ii -10.330 -14.225 -19.064

Secção iii -13.801 -19.064 -28.037

Secção iv -10.330 -14.225 -19.064

Pela análise dos quadros anteriores, verifica-se que, para um dado diâmetro e uma

determinada armadura de confinamento, o valor de εcu não varia da Secção i para a Secção iii,

nem da Secção ii para a Secção iv, uma vez que se mantém a armadura de confinamento e se

altera apenas a armadura de flexão (que não tem influência no valor da extensão última do

betão confinado). Como era esperado, o aumento da armadura de confinamento traduz-se num

aumento da extensão última do betão confinado.

5.4.4. Relação Momentos-Curvaturas das secções

Com base no que foi descrito no ponto anterior, e com recurso ao programa FLEXÃO, foram

criados os diagramas momento-curvatura das diferentes secções.

De modo a não tornar o trabalho exaustivo, são apresentados apenas os resultados referentes

às secções i e ii correspondentes às 27 análises efetuadas. Assim, nas Figuras 5.10 a 5.27 são

apresentadas as relações momento-curvatura das secções i e ii consoante o caso de estudo em

causa, isto é, dependente do diâmetro, da armadura longitudinal e da armadura de

confinamento. É importante referir que os diagramas não foram definidos considerando um

esforço normal nulo. Admitiu-se um esforço axial correspondente a uma tensão normal na

117

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-180 -140 -100 -60 -20 20 60 100 140 180

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.50m (N = 981.75kN)

Secção i ρs = 0.6%

cabeça da estaca de =5MPa (mais à frente neste trabalho será justificada esta consideração).

No Quadro 5.18 são apresentados os esforços axiais correspondentes a essa tensão para os três

diâmetros considerados.

Quadro 5.18 - Esforço normal para cada diâmetro

d (m) 0.5 0.8 1.3

A (m2) 0.196 0.503 1.327

σv (MPa) 5

Fv (kN) 981.75 2513.27 6636.61

onde d é o diâmetro da estaca, A é a área da secção e Fv é o esforço normal a que a estaca fica

sujeita.


adotado (d=0.50m e ρs=0.6%)

118





-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-180 -140 -100 -60 -20 20 60 100 140 180

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.50m (N = 981.75kN)


-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-180 -140 -100 -60 -20 20 60 100 140 180

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.50m (N = 981.75kN)


119





-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.50m (N = 981.75kN)

Secção ii ρs = 0.6%

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.50m (N = 981.75kN)


120





-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

d = 0.50m (N = 981.75kN)


-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.80m (N = 2513.27kN)


121





-1800

-1400

-1000

-600

-200

200

600

1000

1400

1800

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.80m (N = 2513.27kN)


-2400

-2000

-1600

-1200

-800

-400

0

400

800

1200

1600

2000

2400

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.80m (N = 2513.27kN)


122





-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

d = 0.80m (N = 2513.27kN)


-1600

-1200

-800

-400

0

400

800

1200

1600

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

d = 0.80m (N = 2513.27kN)


123




adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%)

-2200

-1800

-1400

-1000

-600

-200

200

600

1000

1400

1800

2200

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 0.80m (N = 2513.27kN)


-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 1.30m (N = 6636.61kN)


124





-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 1.30m (N = 6636.61kN)


-11000

-9000

-7000

-5000

-3000

-1000

1000

3000

5000

7000

9000

11000

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

d = 1.30m (N = 6636.61kN)


125





-4500

-3500

-2500

-1500

-500

500

1500

2500

3500

4500

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 1.30m (N = 6636.61kN)


-7500

-6000

-4500

-3000

-1500

0

1500

3000

4500

6000

7500

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 1.30m (N = 6636.61kN)


126



Para qualquer um dos casos apontados nesta investigação, a extensão última do betão (εcu) é

consideravelmente inferior à extensão última do aço (ε ‰). Assim, a rotura da

secção transversal ocorre por se atingir a extensão última de compressão do betão.

Relativamente à cedência da secção, está associada a atingir-se a cedência do aço das

armaduras de flexão, ou seja, para ε ‰. Com isto, apresentam-se nos Quadros 5.19

a 5.21 os valores obtidos através do FLEXÃO da curvatura de cedência ( ), da curvatura

última ( ), do momento de cedência ( ) e do momento último ( ) das diferentes secções

analisadas.

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

χ [‰.m-1]

M [kNm]

ρ_yp = 0.30%

ρ_yp = 0.60%

ρ_yp = 1.20%

d = 1.30m (N = 6636.61kN)


127

Quadro 5.19 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=0.50m

d = 0.50m (N = 981.748kN)

ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

χy [‰/m]

S_i 8.556 8.326 8.119 8.601 8.426 8.263 8.620 8.478 8.338

S_ii 8.591 8.505 8.414 8.626 8.561 8.495 8.640 8.592 8.533

S_iii 8.556 8.326 8.119 8.569 8.361 8.166 8.588 8.402 8.226

S_iv 8.591 8.505 8.414 8.602 8.522 8.439 8.618 8.548 8.472

χu [‰/m]

S_i 62.594 105.026 167.091 61.504 98.811 156.435 60.504 91.067 144.124

S_ii 50.100 72.604 106.447 49.483 70.968 100.076 48.890 69.477 96.020

S_iii 62.594 105.026 167.091 61.508 98.809 157.348 60.499 91.066 144.847

S_iv 50.100 72.604 106.447 49.480 70.969 100.084 48.887 69.478 96.023

My

[kNm]

S_i 165.68 173.46 180.69 245.28 253.24 261.06 307.00 315.14 323.25

S_ii 163.93 167.64 171.22 243.53 247.22 250.91 305.23 309.05 312.70

S_iii 165.68 173.46 180.69 186.14 194.05 201.48 216.99 225.02 232.74

S_iv 163.93 167.64 171.22 184.40 188.11 191.72 215.26 218.99 222.64

Mu

[kNm]

S_i 185.63 217.37 238.84 321.74 358.06 385.32 427.10 468.29 499.48

S_ii 177.51 195.73 207.80 313.37 332.24 346.97 418.56 437.91 453.70

S_iii 185.63 217.37 238.84 217.86 254.19 278.83 266.95 308.13 336.94

S_iv 177.51 195.73 207.80 209.50 228.37 243.09 258.41 277.76 293.54


d = 0.80m (N = 2513.274kN)

ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

χy [‰/m]

S_i 5.275 5.120 5.010 5.324 5.207 5.116 5.348 5.251 5.173

S_ii 5.332 5.249 5.168 5.364 5.305 5.242 5.381 5.332 5.281

S_iii 5.275 5.120 5.010 5.291 5.148 5.045 5.312 5.187 5.091

S_iv 5.332 5.249 5.168 5.342 5.269 5.194 5.357 5.291 5.226

χu [‰/m]

S_i 41.002 69.265 108.645 38.943 62.423 92.329 37.985 59.661 87.981

S_ii 31.259 45.266 70.550 30.368 42.672 64.996 29.764 41.116 62.519

S_iii 41.002 69.265 108.645 39.392 66.613 104.138 38.003 62.526 97.486

S_iv 31.259 45.266 70.550 30.669 43.472 67.809 29.962 41.101 63.626

My

[kNm]

S_i 732.35 761.90 786.56 1141.66 1171.71 1197.91 1508.42 1538.68 1565.47

S_ii 720.35 737.16 754.02 1129.59 1146.37 1163.21 1496.68 1513.02 1530.25

S_iii 732.35 761.90 786.56 838.45 868.25 893.65 1021.58 1051.89 1077.91

S_iv 720.35 737.16 754.02 826.43 843.43 860.34 1009.66 1026.34 1043.61

128

Mu

[kNm]

S_i 883.93 967.25 1038.27 1517.19 1610.27 1715.59 2093.34 2201.59 2316.84

S_ii 838.47 898.84 943.32 1462.24 1533.70 1582.17 2032.17 2117.12 2171.21

S_iii 883.93 967.25 1038.27 1053.04 1144.14 1227.70 1337.55 1447.09 1548.81

S_iv 838.47 898.84 943.32 1000.07 1069.47 1117.68 1280.00 1360.91 1416.52


d = 1.30m (N = 6636.614kN)

ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

χy [‰/m]

S_i 3.195 3.132 3.048 3.235 3.185 3.115 3.258 3.216 3.155

S_ii 3.248 3.207 3.132 3.277 3.245 3.185 3.291 3.265 3.216

S_iii 3.195 3.132 3.048 3.208 3.148 3.067 3.226 3.172 3.099

S_iv 3.248 3.207 3.132 3.257 3.218 3.148 3.269 3.236 3.172

χu [‰/m]

S_i 28.494 42.917 71.083 26.297 38.929 63.448 25.097 36.756 58.758

S_ii 19.555 28.970 42.917 18.491 26.760 38.929 17.899 25.606 36.756

S_iii 28.494 42.917 71.083 28.061 42.222 68.103 26.675 39.626 65.566

S_iv 19.555 28.970 42.917 19.230 28.592 42.222 18.656 27.152 39.626

My

[kNm]

S_i 3374.57 3459.25 3588.53 5274.56 5359.30 5495.51 7100.04 7183.39 7320.40

S_ii 3304.56 3360.36 3459.25 5207.56 5261.26 5359.30 7032.88 7085.23 7183.39

S_iii 3374.57 3459.25 3588.53 3818.88 3903.65 4034.75 4728.14 4812.38 4947.66

S_iv 3304.56 3360.36 3459.25 3749.01 3804.23 3903.65 4659.08 4713.72 4812.38

Mu

[kNm]

S_i 4136.16 4365.93 4787.30 6954.12 7251.11 7865.30 9600.39 9922.36 10672.26

S_ii 3949.41 4093.64 4365.93 6705.20 6899.95 7251.11 9315.59 9540.86 9922.36

S_iii 4136.16 4365.93 4787.30 4815.99 5050.72 5513.34 6149.18 6428.06 7020.38

S_iv 3949.41 4093.64 4365.93 4624.00 4774.24 5050.72 5914.71 6097.84 6428.06

Refira-se que, para ρs = 0.6%, os valores correspondentes à secção i são iguais aos da secção

iii, e os da secção ii iguais aos da secção iv, porque neste caso não existe variação da

armadura de flexão ao longo da estaca, como referido anteriormente no ponto 5.3.3.

5.4.5. Análise e comparação dos resultados obtidos

Pela observação dos resultados apresentados anteriormente, constatou-se que um aumento da

armadura de flexão faz aumentar o momento de cedência e o momento de rotura das secções,

traduzindo-se então numa maior resistência a esforços. Contudo, os valores das curvaturas

129

últimas diminuíram com o aumento da quantidade de armadura longitudinal, tornando as

secções menos deformáveis. Uma vez que na análise da resposta das estacas face à ação

sísmica (deformações impostas) o que se pretende é conferir maior ductilidade, a colocação

de armadura para além do valor necessário para suportar as restantes ações não é útil.

Chegou-se à conclusão que a quantidade de armadura de confinamento tem influência apenas

no valor da curvatura última das secções, não afetando praticamente os outros parâmetros. O

aumento da armadura de confinamento faz aumentar consideravelmente a curvatura última

das secções, resultado do aumento do valor da extensão máxima de compressão do betão

confinado.

Relativamente à curvatura de cedência, os valores obtidos são muito próximos para qualquer

alteração da quantidade de armadura de flexão ou de confinamento. A variação que existe nos

valores de curvaturas de cedência é muito reduzida quando comparada com as variações na

quantidade de armadura de flexão, e deve-se principalmente ao aumento da força de tracção

que tem que ser compensada com o aumento da zona comprimida da secção transversal, o que

na cedência causa um ligeiro aumento das curvaturas. A curvatura de cedência depende

principalmente da extensão de cedência do aço, do nível de esforço axial e da dimensão da

secção transversal no plano de flexão [Brito, 2011].

5.5. Ações consideradas

5.5.1. Introdução

Pretendeu-se neste estudo avaliar o efeito da ação sísmica no dimensionamento de estacas

com base na interação cinemática solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do

solo e a não linearidade do betão armado, utilizando para isso as duas aplicações

computacionais apresentadas no capítulo 4.

Assim, a ação sísmica foi definida diretamente no programa CINEMAT aquando das análises

efetuadas. Por outro lado, foi ainda necessário considerar uma componente referente ao peso

da superestrutura que descarrega na estaca - neste caso, diretamente no programa PIER.

Apresenta-se de seguida a definição das duas ações referidas.

130

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

a (g

)

t (s)

Kobe-JMA (1995)

amáx = 0.20g

5.5.2. Ação sísmica

A ação sísmica foi definida através de uma série temporal de acelerações horizontais impostas

no topo do substrato rígido. Os quatro registos sísmicos apresentados por Santos [1999]

serviram de base à escolha da série temporal de acelerações horizontais a ter em conta neste

trabalho. Escolheu-se então o registo correspondente ao sismo de Kobe (1995), obtido na

estação meteorológica de Kobe a cerca de 17km do epicentro, visto que foi este o sismo que

conduziu aos resultados mais desfavoráveis obtidos pelo autor.

A representação gráfica do respetivo acelerograma, definido por 2048 pontos de discretização,

é apresentada na Figura 5.28.

Desta forma, no decorrer das análises efetuadas, e em relação ao programa CINEMAT, foi

considerada a série temporal de acelerações horizontais no topo do substrato rígido

correspondente ao sismo de Kobe (1995), com um nível de aceleração máxima de =0.20g

(nível máximo considerado por Santos [1999]).

Figura 5.28 -Acelerograma correspondente ao Sismo de Kobe (1995)

131

5.5.3. Tensão normal na cabeça da estaca

Relativamente ao programa PIER, foi considerada, aquando das análises realizadas, uma

tensão normal no topo da estaca de =5MPa, com o intuito de representar as ações verticais

proveniente da superestrutura que descarregam na estaca . Tal como foi referido

anteriormente no ponto 5.4.4, esta tensão vertical corresponde a um determinado esforço axial

a que a estaca fica sujeita consoante o diâmetro em causa. Fazendo referência aos valores já

apresentados no Quadro 5.18, temos então que a força vertical considerada para cada um dos

três casos é igual a:

Quadro 5.22 - Força vertical aplicada na cabeça da estaca para cada diâmetro

d (m) 0.5 0.8 1.3

Fv (kN) 981.75 2513.27 6636.61

5.6. Metodologia de análise e apresentação dos resultados

5.6.1. Discretização do problema

Optou-se, em ambos os programas (CINEMAT e PIER), por discretizar o sistema solo-estaca

em elementos de 0.5m, conforme mostra a Figura 5.29. Desta maneira, a estaca fica composta

por 36 elementos de barra, e o solo por 40 camadas.

132

Relativamente às condições de fronteira da estaca, foi considerado que na base da mesma o

deslocamento é igual ao deslocamento do campo livre (base restringida) e que a rotação na

cabeça da estaca é nula.

É particularmente importante comentar as considerações anteriores no que se refere ao

programa PIER. A condição de fronteira na base da estaca corresponde, no caso deste

programa, a restringir os deslocamentos horizontais e verticais, ficando esse nó fixo. Assim

sendo, enquanto que no programa CINEMAT são tidos em conta deslocamentos absolutos

( ), no progama PIER são considerados deslocamentos relativos (y), isto é, os deslocamentos

horizontais são medidos relativamente ao nó da base da estaca (com deslocamento relativo

nulo): .

5.6.2. Descrição do processo iterativo desenvolvido

Tendo em conta que foram utilizados dois programas de cálculo para avaliar o efeito da ação

sísmica no dimensionamento de estacas com base na interação cinemática solo-estaca,

considerando o comportamento não linear do solo (através do CINEMAT) e a não linearidade

Figura 5.29 - Discretização do problema (adaptado de Santos [1999])

133

do betão armado da estaca (através do PIER), foi necessário criar um método iterativo que

permitisse obter os resultados necessários respeitando todas as hipóteses assumidas ao longo

do estudo.

Para cada uma das 27 análises estudadas, correspondendo a um determinado diâmetro, um

dado nível de armadura longitudinal e dado um nível de armadura de confinamento, o

processo iterativo desenvolvido consiste nos seguintes passos:

Na iteração zero (iteração 0):

1) A análise do problema inicia-se no CINEMAT, onde o solo é modelado como

descrito no ponto 5.2. Em relação à definição da estaca, é considerado como

dado de entrada, consoante o diâmetro em causa, um determinado valor

correspondente à massa em toneladas (ton) por metro (m). Além disso, é

definido para os 36 elementos que constituem a estaca um valor de

correspondente apenas ao betão;

2) Considerando o acelerograma correspondente ao sismo de Kobe (1995), com

um nível de aceleração máxima de =0.20g, corre-se a análise no

CINEMAT.

Depois de efetuar a análise, o programa fornece um ficheiro de resultados com os valores

máximos (no domínio do tempo) do deslocamento do campo livre e da estaca, assim como do

momento fletor na estaca, e o respetivo instante em que ocorrem durante todo o tempo de

análise, para cada nó ao longo do fuste da estaca. Deste modo, o processo iterativo prossegue

com:

3) Após consultar o ficheiro com os valores máximos, é selecionado o instante

correspondente ao valor máximo do momento fletor na estaca. A partir deste

ponto, a análise passa a incidir sempre e apenas sobre o instante mais

desfavorável relativamente a esse esforço, uma vez que se assumiu neste

trabalho ser essa a abordagem mais interessante e condicionante a ter em

conta;

4) São obtidos, através do CINEMAT, os deslocamentos (absolutos) nodais da

estaca ( ) para o instante referido no ponto anterior;

5) De seguida, a análise decorre com recurso ao PIER, onde a estaca é

discretizada segundo as secções transversais definidas pelo programa

FLEXÃO considerando as relações constitutivas não lineares dos materiais.

134

São impostos os deslocamentos relativos (y) obtidos anteriormente, isto é,

depois de definir o campo de deslocamentos horizontais em relação ao nó da

base da estaca (como foi descrito no ponto 5.6.1);

6) Com base no Quadro 5.22, define-se a força vertical a atuar no topo da estaca.

Corre-se a análise no PIER e é obtido o valor da rigidez de flexão equivalente

para cada um dos elementos da estaca.

No decorrer do processo iterativo, os únicos parâmetros que vão sendo alterados são os

deslocamentos nodais impostos e a rigidez de flexão equivalente dos elementos da estaca,

como se ilustra na Figura 5.30. As restantes condições do problema mantêm-se. Portanto,

tem-se que:

Nas restantes iterações (iteração i para ):

7) Analisa-se o problema no CINEMAT, alterando o ficheiro de dados

correspondente à definição da estaca com os valores de rigidez de flexão

equivalente fornecidos pelo PIER, e são obtidos os deslocamentos

(absolutos) nodais da estaca ;

8) De seguida, são impostos os deslocamentos relativos , obtidos através do

CINEMAT, no PIER. Corre-se a análise no segundo programa e são obtidos os

novos valores de rigidez de flexão equivalente para cada elemento da

estaca;

9) Calcula-se o valor do erro relativo cometido

e verifica-se

se ;

10) Se a verificação anterior for válida, conclui-se que a análise convergiu. Caso

contrário, prossegue-se com a análise iterativa até ser verificada essa condição.

Figura 5.30 - Esquematização do processo iterativo desenvolvido

135

Desta forma, depois do método iterativo convergir, ficam reunidas as condições necessárias

para avaliar o problema da interação cinemática solo-estaca devido ao efeito das ações

referidas no ponto 5.5, considerando conjuntamente o comportamento não linear do solo e a

não linearidade da estaca, para cada um dos 27 cenários de estudo definidos anteriormente.

5.6.3. Resultados obtidos em todos os cenários

Apresentam-se de seguida os resultados obtidos em todos os cenários que constituem o estudo

paramétrico descrito no ponto 5.3, aplicando o método iterativo desenvolvido para analisar o

problema em regime não linear. Assim, nos Quadros 5.23 a 5.25 é apresentado o valor

máximo obtido referente à curvatura (

) e ao momento ( ) para cada uma das quatro

secções ao longo do fuste da estaca. Para além disso, são apresentadas as relações entre esses

máximos e as grandezas associadas à cedência e à rotura das secções (

,

,

e ), tendo em conta os valores já apresentados nos Quadros 5.19 a 5.21.

Quadro 5.23 - Resultados das análises para d=0.50m

d = 0.50m (N = 981.75kN)

ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

χmáx [‰/m]

S_i 3.815 3.863 3.666 3.063 3.043 3.019 2.816 2.775 2.760

S_ii 2.390 2.268 2.248 2.344 2.307 2.301 2.187 2.187 2.190

S_iii 5.676 5.634 5.568 5.120 5.095 5.039 4.686 4.641 4.587

S_iv 1.537 1.510 1.538 1.880 1.858 1.867 2.093 2.077 2.091

χmáx/χy

S_i 0.446 0.464 0.452 0.356 0.361 0.365 0.327 0.327 0.331

S_ii 0.278 0.267 0.267 0.272 0.269 0.271 0.253 0.255 0.257

S_iii 0.663 0.677 0.686 0.598 0.609 0.617 0.546 0.552 0.558

S_iv 0.179 0.178 0.183 0.219 0.218 0.221 0.243 0.243 0.247

χmáx/χu

S_i 0.061 0.037 0.022 0.050 0.031 0.019 0.047 0.030 0.019

S_ii 0.048 0.031 0.021 0.047 0.033 0.023 0.045 0.031 0.023

S_iii 0.091 0.054 0.033 0.083 0.052 0.032 0.077 0.051 0.032

S_iv 0.031 0.021 0.014 0.038 0.026 0.019 0.043 0.030 0.022

Mmáx [kNm]

S_i 127.84 133.94 135.94 144.30 147.66 149.42 156.85 158.24 159.20

S_ii 108.03 106.98 106.96 126.54 126.25 125.95 136.22 136.41 135.80

S_iii 145.28 151.70 158.53 152.17 158.27 164.52 162.98 168.31 173.58

S_iv 88.82 87.49 87.09 101.88 101.59 101.19 113.49 113.62 113.58

136

Mmáx/My

S_i 0.772 0.772 0.752 0.588 0.583 0.572 0.511 0.502 0.492

S_ii 0.659 0.638 0.625 0.520 0.511 0.502 0.446 0.441 0.434

S_iii 0.877 0.875 0.877 0.818 0.816 0.817 0.751 0.748 0.746

S_iv 0.542 0.522 0.509 0.553 0.540 0.528 0.527 0.519 0.510

Mmáx/Mu

S_i 0.689 0.616 0.569 0.448 0.412 0.388 0.367 0.338 0.319

S_ii 0.609 0.547 0.515 0.404 0.380 0.363 0.325 0.312 0.299

S_iii 0.783 0.698 0.664 0.698 0.623 0.590 0.611 0.546 0.515

S_iv 0.500 0.447 0.419 0.486 0.445 0.416 0.439 0.409 0.387


d = 0.80m (N = 2513.27kN)

ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

χmáx [‰/m]

S_i 2.928 2.896 2.860 2.138 2.153 2.113 1.923 1.911 1.899

S_ii 0.810 0.797 0.858 1.318 1.315 1.318 1.309 1.313 1.313

S_iii 4.084 4.012 3.974 3.503 3.458 3.413 3.039 3.022 2.985

S_iv 0.486 0.502 0.529 0.640 0.669 0.701 0.945 0.939 0.983

χmáx/χy

S_i 0.555 0.566 0.571 0.402 0.413 0.413 0.360 0.364 0.367

S_ii 0.152 0.152 0.166 0.246 0.248 0.252 0.243 0.246 0.249

S_iii 0.774 0.784 0.793 0.662 0.672 0.676 0.572 0.583 0.586

S_iv 0.091 0.096 0.102 0.120 0.127 0.135 0.176 0.177 0.188

χmáx/χu

S_i 0.071 0.042 0.026 0.055 0.034 0.023 0.051 0.032 0.022

S_ii 0.026 0.018 0.012 0.043 0.031 0.020 0.044 0.032 0.021

S_iii 0.100 0.058 0.037 0.089 0.052 0.033 0.080 0.048 0.031

S_iv 0.016 0.011 0.008 0.021 0.015 0.010 0.032 0.023 0.015

Mmáx [kNm]

S_i 589.93 614.97 636.14 676.29 702.79 709.90 761.12 778.64 785.21

S_ii 331.91 331.68 347.36 518.90 525.54 530.73 597.78 605.08 607.58

S_iii 665.49 693.31 719.53 696.40 722.93 746.75 754.37 781.18 801.94

S_iv 219.57 224.75 231.61 295.11 305.52 313.16 411.38 413.60 425.31

Mmáx/My

S_i 0.806 0.807 0.809 0.592 0.600 0.593 0.505 0.506 0.502

S_ii 0.461 0.450 0.461 0.459 0.458 0.456 0.399 0.400 0.397

S_iii 0.909 0.910 0.915 0.831 0.833 0.836 0.738 0.743 0.744

S_iv 0.305 0.305 0.307 0.357 0.362 0.364 0.407 0.403 0.408

Mmáx/Mu

S_i 0.667 0.636 0.613 0.446 0.436 0.414 0.364 0.354 0.339

S_ii 0.396 0.369 0.368 0.355 0.343 0.335 0.294 0.286 0.280

S_iii 0.753 0.717 0.693 0.661 0.632 0.608 0.564 0.540 0.518

S_iv 0.262 0.250 0.246 0.295 0.286 0.280 0.321 0.304 0.300

137


d = 1.30m (N = 6636.61kN)

ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

ρyp = 0.3%

ρyp = 0.6%

ρyp = 1.2%

χmáx [‰/m]

S_i 2.082 2.028 2.010 1.471 1.482 1.450 1.308 1.301 1.292

S_ii 0.237 0.240 0.249 0.413 0.427 0.440 0.516 0.528 0.532

S_iii 2.693 2.618 2.618 2.419 2.380 2.356 2.108 2.087 2.055

S_iv 0.196 0.203 0.205 0.192 0.198 0.204 0.222 0.231 0.240

χmáx/χy

S_i 0.652 0.647 0.659 0.455 0.465 0.465 0.401 0.405 0.410

S_ii 0.073 0.075 0.079 0.126 0.132 0.138 0.157 0.162 0.165

S_iii 0.843 0.836 0.859 0.754 0.756 0.768 0.653 0.658 0.663

S_iv 0.060 0.063 0.066 0.059 0.061 0.065 0.068 0.071 0.076

χmáx/χu

S_i 0.073 0.047 0.028 0.056 0.038 0.023 0.052 0.035 0.022

S_ii 0.012 0.008 0.006 0.022 0.016 0.011 0.029 0.021 0.014

S_iii 0.094 0.061 0.037 0.086 0.056 0.035 0.079 0.053 0.031

S_iv 0.010 0.007 0.005 0.010 0.007 0.005 0.012 0.009 0.006

Mmáx [kNm]

S_i 2834.83 2894.87 3023.44 3272.08 3370.12 3423.62 3746.28 3809.71 3865.22

S_ii 763.01 772.46 805.61 1518.18 1565.27 1611.81 2036.74 2078.98 2104.81

S_iii 3142.74 3207.81 3366.80 3111.33 3405.84 3548.58 3694.39 3770.83 3891.80

S_iv 633.47 654.73 665.04 652.05 669.00 690.67 825.14 852.28 887.75

Mmáx/My

S_i 0.840 0.837 0.843 0.620 0.629 0.623 0.528 0.530 0.528

S_ii 0.231 0.230 0.233 0.292 0.298 0.301 0.290 0.293 0.293

S_iii 0.931 0.927 0.938 0.815 0.872 0.880 0.781 0.784 0.787

S_iv 0.192 0.195 0.192 0.174 0.176 0.177 0.177 0.181 0.184

Mmáx/Mu

S_i 0.685 0.663 0.632 0.471 0.465 0.435 0.390 0.384 0.362

S_ii 0.193 0.189 0.185 0.226 0.227 0.222 0.219 0.218 0.212

S_iii 0.760 0.735 0.703 0.646 0.674 0.644 0.601 0.587 0.554

S_iv 0.160 0.160 0.152 0.141 0.140 0.137 0.140 0.140 0.138

Observando os quadros anteriores, verifica-se que foram realçados determinados valores

correspondentes a

e , com o objetivo de averiguar quais as análises que

verificam as hipóteses assumidas aquando do dimensionamento da estaca. Constata-se que,

tendo em conta as ações que foram consideradas no caso de estudo, não se chegou a atingir a

cedência em nenhuma das secções que foram pré-dimensionadas para trabalharem em regime

plástico tirando partido do confinamento calculado. Desta forma, são apresentados no Quadro

5.26 os valores atrás realçados, que correspondem ao valor mais elevado de

e

obtido para cada diâmetro. Conlui-se então que o caso que mais se aproxima de

138

atingir a cedência corresponde à Secção iii da Análise_d13, isto é, considerando ρs = 0.6%

(estaca fracamente armada) e ρyp = 1.2% (muito confinada).

Quadro 5.26 - Valor mais elevado de e para cada diâmetro

d=0.50m d=0.80m d=1.30m

( máx/ y)↑ 0.686 0.793 0.859

(Mmáx/My)↑ 0.877 0.915 0.938

Face aos resultados obtidos, e uma vez que se verifica que as conclusões que se podem

apontar são semelhantes para os 27 cenários, existe interesse em avaliar de forma mais

aprofundada apenas o caso de estudo mais desfavorável. Portanto, a Análise_313 (para

d=1.30m) é estudada mais detalhadamente no seguinte ponto deste trabalho.

5.6.4. Análise do caso mais desfavorável

Começa-se por apresentar na Figura 5.31 o campo de deslocamentos (absolutos) do campo

livre e da estaca relativamente à Análise_313. A referência ao termo "Linear" ou "Não linear"

prende-se com a consideração ou não do comportamento não linear da estaca. Enquanto que

os resultados "Após convergência" correspondem aos valores obtidos no CINEMAT no fim

do processo iterativo, considerando a não linearidade do problema, os resultados "Iteração 0"

correspondem aos valores obtidos no CINEMAT na iteração 0, tendo em conta por isso

apenas o comportamento não linear do solo e assumindo a estaca com comportamento linear.

139

0

5

10

15

20

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Pro

f. (

m)

Deslocamentos absolutos (m)

ū - Linear (Iteração 0)

ū - Não linear (Após convergência)

ȳ - Linear (Iteração 0)

ȳ - Não linear (Após convergência)

u ≡ Solo y ≡ Estaca

Na Figura 5.32 é apresentado o momento fletor ao longo do fuste da estaca. Verifica-se que

são apresentados dois perfis referentes à iteração 0. Os valores "Iteração 0 - Linear"

correspondem aos resultados obtidos no CINEMAT na iteração 0, considerando apenas o

comportamento não linear do solo e assumindo a estaca com comportamento linear. Por outro

lado, os valores "Iteração 0 - Não linear" correspondem aos resultados fornecidos pelo PIER

na iteração 0, assumindo também a não linearidade da estaca. Para além disso, são

apresentados os resultados obtidos no PIER no fim do processo iterativo ("Após

convergência"), considerando a não linearidade do problema em estudo.

Figura 5.31 - Campo de deslocamentos (absolutos) do campo

livre e da estaca referente à Análise_313

140

0

5

10

15

20

-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000

Pro

f. (

m)

Momentos (kNm)

Iteração 0 - Linear

Iteração 0 - Não linear

Após convergência - Não linear

Por último, é apresentado na Figura 5.33 o perfil de curvaturas das secções de betão armado

ao longo do comprimento da estaca. Neste caso, são apresentados dois perfis, ambos

calculados pelo PIER: um corresponde aos valores obtidos na iteração 0, enquanto que o

outro corresponde aos valores obtidos apenas no final do processo iterativo. Deste modo, é

possível avaliar o andamento do diagrama de curvaturas no decorrer da análise iterativa até à

convergência.

Figura 5.32 - Momentos fletores da estaca para a Análise_313

141

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

Pro

f. (

m)

Curvaturas (‰/m)

Iteração 0 - Não linear

Após convergência - Não linear

5.6.5. Estimativa dos critérios de cedência e rotura

Visto que não se chegou a atingir a cedência em qualquer secção para nenhum dos cenários

estudados, considera-se interessante avaliar o comportamento da estaca, relativamente ao caso

mais desfavorável apresentado atrás, no que se refere aos critérios de cedência e rotura com

base na definição das ações impostas.

Partindo-se do ponto correspondente ao final do processo iterativo da Análise_313, temos que

o campo de deslocamentos relativos da estaca é o apresentado na Figura 5.34, que

Figura 5.33 - Perfil de curvaturas referente à Análise_313

142

0

5

10

15

20

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 P

rof.

(m

)

Deslocamentos relativos da estaca (m)

y - Não linear (Após convergência)

γmédia

corresponde aos valores " - Não linear (Após convergência)" da Figura 5.31 definidos em

relação ao nó da base.

A avaliação do comportamento da estaca até à cedência (e até à rotura), no PIER, resume-se a

majorar o campo de deslocamentos representado na figura anterior por um fator k, isto é,

admitindo um perfil de deslocamentos impostos igual a y = k x (313

y).

Começa-se por indicar no Quadro 5.27 os valores associados à Análise_313. O valor de máx

apresentado representa a curvatura mais elevada obtida ao longo do fuste da estaca, e

corresponde ao nó situado à profundidade de 15m associado à Secção_iii. O objetivo passa

então por majorar os deslocamentos até se atingir o valor unitário para a relação

, no

caso da cedência, e para a relação

, no caso da rotura. Relativamente à distorção

associada, é calculado o valor da distorção média da estaca relativamente aos nós extremos da

camada B (ver Figura 5.34) pela expressão γ

, sendo que e

Figura 5.34 - Campo de deslocamentos relativos da estaca

referente à Análise_313

143

correspondem ao deslocamento relativo da estaca do nó situado à profundidade de 5 e

15 metros, respetivamente, e HB é a altura da camada B (ou seja, 10m).

Quadro 5.27 - Resultados referentes à Análise_313

313ytopo (m)

313y5m (m)

313y15m (m)

313γmédia (‰) máx(‰/m) máx/ y máx/ u

0.072 0.068 0.003 6.445 2.618 0.859 0.037

Com base nos resultados do Quadro 5.28, verifica-se que foi necessário majorar o campo de

deslocamentos impostos à estaca por um valor igual a 1.175 para se atingir a cedência,

correspondendo a uma distorção média da estaca igual a γ

‰.

Quadro 5.28 - Estimativa do critério de cedência ( )

k ytopo (m) y5m (m) y15m (m) γmédia (‰) máx (‰/m) máx/ y

1.100 0.079 0.074 0.004 7.090 2.880 0.9447

1.150 0.083 0.078 0.004 7.412 3.010 0.9874

1.175 0.085 0.080 0.004 7.573 3.076 1.0091

Em relação ao segundo critério, constata-se pela observação do Quadro 5.29 que para uma

distorção média da estaca igual a γ

‰ a Secção_iii do nó situado à

profundidade de 15m entra em rotura, considerando um valor de k igual a 27.163.

Quadro 5.29 - Estimativa do critério de rotura ( )

k ytopo (m) y5m (m) y15m (m) γmédia (‰) máx (‰/m) máx/ u

20.0000 1.445 1.353 0.064 128.905 52.350 0.7365

27.0000 1.951 1.827 0.087 174.021 70.657 0.9940

27.1600 1.962 1.838 0.087 175.052 71.076 0.9999

27.163 1.962 1.838 0.087 175.069 71.083 1.0000

É importante salientar que, enquanto que no caso da avaliação da cedência o valor estimado

da distorção média da estaca é aceitável, o valor estimado para a rotura não é muito fiável,

uma vez que a não linearidade das secções de betão armado depois de se atingir a cedência

não é considerada no estudo em causa, dada a extrapolação linear associada ao procedimento

descrito. De facto, a rotura está associada a um valor muito elevado da distorção média da

estaca, mas na verdade esse valor será inferior a 175.1% tendo em conta a não linearidade das

secções plastificadas depois da cedência até à rotura.

144

5.7. Análise conjunta dos principais resultados

Pela observação dos Quadros 5.23 a 5.25 constatou-se que, segundo o pré-dimensionamento

da estaca que foi considerado e as acções que foram tidas em conta no caso de estudo, não se

chegou a atingir a cedência em nenhuma das secções que foram pré-dimensionadas para

trabalharem em regime plástico tirando partido do confinamento calculado, ficando-se ainda

muito longe de se atingir a rotura em qualquer uma das secções para os 27 cenários

analisados. Chega-se facilmente a esta conclusão tendo em conta que se verificou que

e

para todas as análises efetuadas, onde

corresponde ao valor

máximo obtido referente à curvatura para cada uma das quatro secções ao longo do fuste da

estaca.

Concluiu-se para os três diâmetros que o caso que mais se aproxima de atingir a cedência

corresponde à Secção iii considerando ρs = 0.6% (estaca fracamente armada) e ρyp = 1.2%

(muito confinada).

Focando o estudo na análise mais desfavorável (Análise_313 - d=1.30m), e com base na

Figura 5.31, verificou-se que o campo de deslocamentos do campo livre e da estaca mantêm o

mesmo andamento em altura, excepto na transição entre camadas. Nessas zonas o perfil de

deslocamentos na interface solo-estaca é muito mais aligeirado, havendo um ajuste face à

variação brusca do campo de deslocamentos do solo devido à presença da estaca (ver Figura

5.35). Caso fosse imposto à estaca o perfil de deslocamentos do campo livre (mais "brusco"),

as curvaturas que a mesma teria que suportar seriam muito superiores.

Figura 5.35 - Detalhe da transição entre as camadas

A e B - suavização do perfil de deslocamentos

145

Pela observação do diagrama de momentos fletores da estaca referente à Análise_313 (Figura

5.32), é possível concluir que os esforços a que a mesma fica sujeita em regime não linear são

bastante inferiores aos valores obtidos considerando a estaca com comportamento linear. Tal

deve-se à redução de rigidez da estaca devido ao comportamento não linear dos materiais.

Contudo, após convergência, constata-se que o andamento do processo iterativo difere

consoante as zonas potenciais de plastificação da estaca. Comparando os resultados "Iteração

0 - Não linear" com os resultados "Após convergência - Não linear", verifica-se que nas zonas

com exigência de ductilidade, nomeadamente nas zonas de transição entre camadas, o

momento fletor aumenta do início para o final do método iterativo, enquanto que nas restantes

zonas diminui. Este facto é percetível também pela análise do perfil em altura de curvaturas

das secções de betão armado (Figura 5.33). Verifica-se então que, com base nas relações

constitutivas dos materiais que estão inerentes às análises não lineares efetuadas, nas zonas

correspondentes à exigência de ductilidade as curvaturas aumentam devido ao acréscimo da

extensão dos materiais, enquanto que nas zonas elásticas o andamento é o inverso.

Por último, estimou-se o critério de cedência e rotura da estaca em relação ao caso mais

desfavorável com base no valor da distorção média da estaca relativamente aos nós extremos

da camada B (ver Figura 5.34). Desta forma, comparando o valor máximo da distorção média

da estaca com as distorções do solo devidas a um dado sismo, pode avaliar-se se à partida se a

estaca tem ou não capacidade de deformação para suportar o campo de deslocamentos

impostos. Constatou-se relativamente à estaca de grande diâmetro, fracamente armada e muito

confinada, que o critério de cedência corresponde a um valor da distorção média da estaca

igual a γ

‰ e que o valor máximo da distorção média que a estaca pode suportar é

aproximadamente igual a γ

‰.

Apesar do valor estimado para a rotura não ser muito fiável, uma vez que a não linearidade

das secções de betão armado depois de se atingir a cedência não foi considerada na estimativa

realizada, é possível concluir que o cenário correspondente a uma estaca isolada apresenta

uma grande capacidade de deformação, podendo à partida acomodar campos de

deslocamentos impostos pelo solo devido a ação sísmica associados a valores de distorção do

solo muito elevados.

147

6. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

6.1. Conclusões finais

Estudou-se o comportamento sísmico de estacas de betão armado inseridas em terreno

estratificado. Pretendeu-se, assim, com esta dissertação contribuir para o desenvolvimento do

estudo do efeito da ação sísmica no dimensionamento de estacas com base na interação

cinemática solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do solo, bem como a não

linearidade do betão armado das estacas.

O trabalho desenvolvido incidiu em duas áreas de investigação. Uma correspondente ao

comportamento do solo sob a ação sísmica e à análise do efeito de interação cinemática solo-

estaca, avaliando os efeitos induzidos nas estacas. E outra correspondente ao comportamento

de elementos de betão armado sujeitos a deslocamentos impostos, definindo a verificação de

segurança em função de grandezas cinemáticas (deformações).

Foram descritos os modelos existentes que permitem avaliar os efeitos induzidos nas estacas

devido ao efeito de interação cinemática solo-estaca. Mostrou-se que, uma vez que os

modelos de interação simplificados consideram que a estaca acompanha os movimentos do

campo livre, a sua utilização fica condicionada pelo valor da rigidez da estaca. Para estacas

que exibem comportamento flexível, é possível estimar os efeitos induzidos nas estacas com

base nas formulações simplificadas. Por outro lado, para estacas que exibem um

comportamento mais rígido, já se verifica que o movimento da estaca pode apresentar

diferenças relevantes relativamente ao do solo no campo livre, em particular nas zonas de

transição entre estratos. Deixa assim de ser correcto considerar os modelos simplificados.

Descrevendo de forma detalhada o modelo dinâmico discreto BDWF e fazendo referência a

análises comparativas com formulações rigorosas efetuadas por Santos [1999], demonstrou-se

as potencialidades de aplicação deste modelo, concluindo-se ser um dos mais indicados para

estudar o efeito de interação cinemática solo-estaca.

Uma vez que, depois de avaliados os efeitos induzidos nas estacas com base na interação

cinemática solo-estaca, a ação em estudo consiste em impor deslocamentos horizontais,

estudou-se no capítulo 3 o comportamento de elementos de betão armado sujeitos a esse tipo

de ações impostas. Constatou-se que a verificação de segurança deve ser definida em termos

de grandezas cinemáticas (deformações) para o caso de deslocamentos impostos às peças de

148

betão armado. Além disso, foram apresentadas as relações constitutivas dos materiais para

carregamento monotónico que, respeitando determinados critérios de boa concepção, serviram

de base às análises não lineares efetuadas para se estudar o comportamento de elementos de

betão armado sujeitos a deslocamentos impostos.

No capítulo 4 foram descritas as ferramentas matemáticas utilizadas neste trabalho que

permitiram analisar o problema considerando o comportamento não linear dos materiais

através do desenvolvimento de um método iterativo. Mostrou-se que através do programa

CINEMAT é possível avaliar casos de estudo em que o terreno é constituído por várias

camadas horizontais com diferentes características, considerar o comportamento não linear do

solo (com base no método linear equivalente) e estudar o problema de interação cinemática no

domínio do tempo (recorrendo à técnica de transformada de Fourier). Relativamente ao PIER,

foram descritos os principais níveis de implementação do programa, que permitem realizar

análises não lineares de estruturas reticuladas planas de betão armado sujeitas a

carregamentos monotónicos (forças aplicadas ou deslocamentos impostos).

Foi analisado no capítulo 5 um caso de estudo de uma estaca isolada atravessando uma

formação aluvionar onde um cenário geotécnico mais realista, contemplando a estratificação

do terreno e o comportamento não linear do solo, foi devidamente considerado. Considerou-se

um estudo paramétrico relativamente ao dimensionamento da estaca, com base em três

valores do diâmetro da estaca (pequeno, médio e grande diâmetro), três níveis de armadura

longitudinal (fraca, média e fortemente armada) e três níveis de armadura de confinamento

(pouco, razoavelmente e muito confinada).

Analisando de forma detalhada as diferentes secções transversais de betão armado

consideradas nesta investigação, constatou-se que um aumento da armadura de flexão faz

aumentar o momento de cedência e o momento de rotura das secções, traduzindo-se então

numa maior resistência a esforços. Contudo, os valores das curvaturas últimas diminuem com

o aumento da quantidade de armadura longitudinal, que também aumenta a rigidez da estaca.

No que se refere à quantidade de armadura de confinamento, chegou-se à conclusão que tem

influência apenas no valor da curvatura última das secções, não afetando praticamente os

outros parâmetros. O aumento da armadura de confinamento faz aumentar consideravelmente

a curvatura última das secções, resultado do aumento do valor da extensão máxima de

compressão do betão confinado. Para a curvatura de cedência, os valores obtidos são muito

próximos para qualquer alteração da quantidade de armadura de flexão ou de confinamento. A

149

variação que existe nos valores de curvaturas de cedência é muito reduzida quando comparada

com as variações na quantidade de armadura de flexão, e deve-se principalmente ao aumento

da força de tracção que tem que ser compensada com o aumento da zona comprimida da

secção transversal, o que na cedência causa um ligeiro aumento das curvaturas. A curvatura

de cedência depende principalmente da extensão de cedência do aço, do nível de esforço axial

e da dimensão da secção transversal no plano de flexão [Brito, 2011].

Uma vez definidas as ações consideradas nas análises efetuadas e apresentada a discretização

da estaca e do solo, assim como as condições de fronteira associadas, foi descrito o processo

iterativo desenvolvido neste trabalho que permitiu estudar o problema em causa admitindo

todas as hipóteses assumidas ao longo do estudo, nomeadamente a não linearidade do solo e

da estaca. Apresentando os resultados gerais obtidos para todos os cenários de estudo,

concluiu-se que, segundo o pré-dimensionamento da estaca que foi considerado e as acções

que foram tidas em conta nesta investigação, não se chegou a atingir a cedência em nenhuma

das secções que foram pré-dimensionadas para trabalharem em regime plástico tirando partido

do confinamento calculado, ficando-se ainda muito longe de se atingir a rotura em qualquer

uma das secções para os 27 cenários analisados.

Focando o estudo na análise mais desfavorável (estaca de maior diâmetro, fracamente armada

e muito confinada), verificou-se que o campo de deslocamentos do campo livre e da estaca

mantêm o mesmo andamento em altura, excepto na transição entre camadas. Nessas zonas o

perfil de deslocamentos na interface solo-estaca é muito mais aligeirado, havendo um ajuste

face à variação brusca do campo de deslocamentos do solo devido à presença da estaca.

Assim, se fosse imposto à estaca o perfil de deslocamentos do campo livre, as curvaturas que

a mesma teria que suportar seriam muito superiores. Relativamente ao diagrama de momentos

fletores da estaca, constatou-se que os esforços a que a mesma fica sujeita em regime não

linear são bastante inferiores aos valores obtidos considerando a estaca com comportamento

linear, tendo em conta a redução de rigidez da estaca devido ao comportamento não linear dos

materiais. Chegou-se à conclusão, após a convergência, que o andamento do processo

iterativo difere consoante as zonas potenciais de plastificação da estaca. Verificou-se que nas

zonas com exigência de ductilidade, nomeadamente nas zonas de transição entre camadas, o

momento fletor aumenta do início para o final do método iterativo, enquanto que nas restantes

zonas diminui. Este facto ficou percetível também pela análise do perfil em altura de

curvaturas das secções de betão armado, observando-se que, com base nas relações

constitutivas dos materiais que estão inerentes às análises não lineares efetuadas, nas zonas

150

correspondentes à exigência de ductilidade as curvaturas aumentaram devido ao acréscimo da

extensão dos materiais, enquanto que nas zonas elásticas o andamento foi o inverso.

Por último, estimou-se o critério de cedência e rotura da estaca em relação ao caso mais

desfavorável com base no valor da distorção média da estaca ao longo da camada de solo

intermédia. Estimou-se relativamente à estaca de grande diâmetro, fracamente armada e muito

confinada, que o critério de cedência corresponde a um valor da distorção média da estaca

igual a γ

‰ e que o valor máximo da distorção média que a estaca pode suportar é

aproximadamente igual a γ

‰. Verificou-se então, apesar do valor estimado para

a rotura não ser muito fiável, que o cenário correspondente a uma estaca isolada apresenta

uma grande capacidade de deformação, podendo à partida acomodar campos de

deslocamentos impostos pelo solo devido a ação sísmica associados a valores de distorção do

solo muito elevados.

6.2. Recomendações e desenvolvimentos futuros

O trabalho desenvolvido nesta dissertação envolveu a investigação articulada de um leque

variado de matérias. Esta abrangência acaba por abrir um rico horizonte de matérias com

necessidade de maior aprofudamento no futuro.

Em primeiro lugar, haverá que dar continuidade ao estudo paramétrico realizado no capítulo 5

deste trabalho, considerando novas variáveis de análise, nomeadamente o esforço normal na

estaca e a intensidade da ação sísmica considerada. Numa primeira abordagem, deverá

manter-se o mesmo nível de aceleração máxima de =0.20g e avaliar-se o efeito do

esforço axial no comportamento não linear das estacas de betão armado, alterando o valor da

tensão normal na cabeça da estaca. Num outro ponto, deverá analisar-se o efeito da

intensidade da ação sísmica, aumentando o valor da aceleração máxima de modo a

considerar-se um sismo mais desfavorável.

Relativamente à estimativa do critério de cedência e rotura da estaca, considera-se importante

avaliar esta questão em função de uma variável mais adequada. Para tal, deverá analisar-se o

comportamento da estaca até à cedência (e até à rotura) através da majoração por um fator k

da ação sísmica imposta (acelerações horizontais impostas no topo do substrato rígido), em

151

vez do campo de deslocamentos impostos diretamente no PIER à estaca, mantendo assim a

não linearidade do sistema.

Em segundo lugar, haverá que prosseguir com o estudo do dimensionamento de estacas sob

ações sísmicas considerando simultaneamente o efeito cinemático e inercial (forças de inércia

no topo da estaca provenientes da superestrutura). Para isso, será necessário considerar a

superestrutura no modelo de cálculo, inicialmente, como um oscilador de um grau de

liberdade através de um elemento de barra com uma massa concentrada no topo. Além disso,

será também importante considerar um cenário geotécnico em que o estrato mais deformável

se prologue até ao topo do terreno, de forma a evitar que o efeito das forças de inércia da

superstrutura se desvaneça no estrato superior com melhores características assumido neste

estudo, levando à sobreposição, na mesma zona da estaca, do efeito inercial e do efeito

cinemático.

Por último, e no seguimento do que foi referido anteriormente, julga-se também importante

reanalisar o problema em estudo com base em acelerogramas artificias derivados dos

espectros de resposta do Eurocódigo 8, comparando depois os resultados obtidos com as

análises efetuadas tendo em conta os acelerogramas reais.

153

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