,tw #nxsxmffimwmürmulmrms

sen x = ÕM"

tJ

INTRODUCAO

Atéo momento, operamoscom os númêros sên x, cos x etg x no tr iàngulo retàngulq on-de x rêprêsenta a mêdida de um ângulo agudo

Ìúas o que ocorrerá se x Íor a medida de um ângulo maioÍ que 90o?lÌira respondeíaesta peígunta, precisamos nos libertardotriângulo íetângulo e amp ar

as noções dê sen x, cos x ê tg x para os casos em quê x rêpresentâ ã medida ãe um ângulomaior que 90o, isto e, um ângulo obtuso

Este é o estudo quê desenvolveíêmos neste capítulo.

, ,Considêremos o ciclo tr igonométrico.no qualmarcamos o ponto Ìú. queé imagem, no ci_clo. do nümero real x. conÍorme indica a tiguía.

(

o M'

Consj*)remos também o arco ÀM ao qual corresponde o ângulo centralx.SejâOM o raio dociclo, e M"ê M'as projeçõêsdo ponto lvl nos êixos y e x,rêspectivamente.DeÍinimos como seno (do arco ÂN,l ou do ângulo x) aordenadâ do ponto M, ê indicamosi

ESTUDO DA FUNCAO SENO

30

onde OM" é a ordenada do oonto M.

Ì

Observe que esta deÍinição coincide com a que conhecíamos paíaotriângulo relângulo,isto é, no triânguìo íetânguloOM'M temos:

senx=g o[ ,4 ' . .senx=oM'oMl

Obsêrvação impodânte:

Esta nova dêfiniçâo tem a vantagem de ser aplicâda de uma forma mais completa, por_que agora podêmos falar em seno de ângulos maiorês que90'ou 360o e até dê ângulos commedidas negativas.

b) ValoÌes importantes de sen x

Ìúarcândo os pontos M, ìmâgens dos númêros reais q +

Vamos rcsolvêr alguns exemPlos.

l9 exemplo: Calcular sen 450'.

Resolução: Vamos calcular a 1? determinação positiva:

45oo 3600 +450ô=9oo+ 1 360090 1

Entáo: sên 450o = sen 90o = 1

Resposta: 1

29 éxemplo: Calcular sen Ë .

Besolução: Vamos calcular a 19 detêrminação positiva:

.T

- Y1 ô,- lÂm^e.

19r

==+ =+l9L = 11 *sì. ' \o I

senË = sen á

1^1

-L !a\ . r --3---.Ã

sen 60o = r+

Í

4500

Aesposta: $

2r

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

I Determine o valor de:a) sen 900"b) sen I 620'c) sen (-900")

2 Câlcule o valor de:

b) sen l l r

3 Sabendo que x = + Íad, caÌcule:

"=* 'ã - 3sen2x + $4

4 Represente, no ciclq um ângulo x tal qÌre:

" l*"= - tur*""=f t. , , ."*=|- '"-. [+.1

c) Gráílco

Vamosestudar avariação da função sên x, com xvariândo no intervalolo, a[, isto é, o pon-to Ìú parÌe do ponto A e se movimenta sobre o ciclo no sentido anti-horáíio

o=:a- -* =2"+1

í/r': ï\

: -_,

rl \ + ;-7r'ri i-\l r l - Ì - i t

--''lo- --+ r \ l _ t i .L------- --

-\: l /*"óid"

tu3iz1

d) sen 765'e)sen( 2130")

d)sen+

r

O gráÍico da função seno é châmado de senóldg.O gráÍico continua à diÍéita de 2Í e à esqueÍdâ de 0 (zêro).Analisando o gráÍico, podemos construir o quadro:

Observando o gráficq concluímos que:

. o domínio da função sen x é o conjunto dos númeíos rêais, isto é, D = lR.

. a imagem da Íunção sen x é o intervato [ 1, +1], istoé, -í < sonx < 1,

. a partir de 2Í a íunção seno repetê sêus valores, po anto é uma função perlódlca. Ob-serve que, a partir de um dêterminado valor de x Ç ), cada vez que somâmos2Í, afunção se-no assumê sêmpre o mesmo vâlor (+1); portantq o período da função seno é p = 2Í.

3r2 - ' "

Estaconclusão podê serobtida a partirdo ciclotrigonométrico onde marcamos o arco x.

\ "M"

o

sen x

sen {x + 2Í)

sen (x + 4r)

oM"

õti,,

T

sen (x + 2kÍ) = OM" fficom t Jz

_ Quando somamos 2kr âo ârco x, estamos obtendo sempre o mesmo valor para o seno(OM'); portanto, â função seno é periódica de pêríodo 2Í, isto é:

senx = sen(x + 2kÍ) k€Z

. AÍunçáoy : sen xé ímpar.

Vejamos alguns exemplos.

'19 exêmplo: Construií o gráfico da funçáo y = 2 sen x, dandoo domíniq a imagem e o período.

Resolução: Tabelando a Íunçãq temos:

:ia:::l:li;i:

t

Observando o gráficq temos: D = IR tm = l -2,21 p=2Ì

33

29 exêmplo: C,onstruirográficodafunçãoy = 2 + senx,dandoodomÍniqaimagemêopêríodo

Resolução: Tabelando a função, temos:

l

IÌ3L2z

39 exemplo: Construir o gráfico da Íunção y = sen 2x, dândo o domíniq a imagem e o período

Resolução: Ìabelando a funçãq têmos:

Observando o gráfico, temos: D = lR

Observando o gráfico, temos: D = ÌR

49 oxemplo: Construir o gráfico da função yo penooo.

Resolução: Tabelando a Íunçãq temos:

2rN

rm = I1, 3l

lm=11, 11 p=Í

= sen (x + I ) , dandoo dominio, a imaoem e

t - \

34

Obsêrvando o gíáficq temos: D = ìR rm = [0, 1]

Observação:

Dos exêmplos dados, vedficamos que o peííodo de uma funçáo y = a . sen kx ép =

+, ou seja, influencia no período apenâs o coêÍicientê de x.

.paíay = 2senx,temosk ='1oai: o = ! = z"

.parây = sen2x,temosk = 2dai:o=! ="

5'l êxeÍnplo: Determinar o domínio da funçáo y =

o<x-+ <2' .Resolução: Pâra que exista a raiz, dêvêmos terj

sen(x-+)>0

,J

Fazendo'se z = x - f,,vem:No ciclo:

senz>0

O arco z deve Íicaí compreendido entre 0 < z < tr.

Substituindo:

. ( tD

0<x-+ <Í

0)

De(l)x -+ <r

x-<n+t

,<+Na íeta real:

De ( l l )x - + >o

x>f

(t)

(D

(t)n(D

D = lx < R J+

sên (x - + ), no universo

*-*+l

T

i ., : .

: .69 èxomplo: Determinar k paía que exista o aÍco que satistgz a iguatdade sen x = 2k _ 5.

Resoluçâoi Devemos ter: - 1 < sôn x < t substituindo. temos:

Fespostaj S = Ík(Rl2 < k < 3ì

79 €xêmplo: S6ja a íunção real de variável real deÍinida por f(4 = 3 + 2 sen x.a) Qual a imagêm de f?

b) A Íunção f é par ou ímpaf Justlficar.

Besolução: a) Sabemos que a imagêrn da função seno é o intervalo I_ 1, .11, togo:

1 < sênx < 1 + - 2 < 2senx < 2

3_2<3+2senx<3+2

1<Í(x)<s

Fonantq lm{l) = [1,5]

b) Í(x) = 3 + 2senx

f(x) = 3 + 2sen(-x) = 3 - 2senx

..f(x) # (-x)

n6m par,nem ímpar

_1 < 2!__ isa'1

De(1)2k - 5< 1 Del?2k-S> -12k<5+1 2k> -1 +s2k < 6 2k>4 --- t ,.;.

Í

k<3 k>2

Na reta real:

(1)

t41n(2)

2<k<3

3ô

l-

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Construa o gráfico das seguintes furções, noìntervalo [0, 2Í[, dando o dominiq a imageme o periodo:

a)v:3senx c)v:

b)y=2-senx d)y:

2 Construa o gráfico da função i I0, 2Íl - IRdefinida por y = 2 + seÍx + lsenx l.

3 Con(Lruao sráÍico das funçóes a següir. no in-tervaìo [0,2Í[, e dê o domíniq a sua imagem eo período:

arv=lql

b)y=senlx+=! l

4 Detemin€ o pedodo das funções:

5 Deúermine o dominio dâs funções:

,

-L3se"í--+ì

) ."" L---- 4

a)v = <27

< 211

ó {PUC SP) Derermine }.. de modo qüe se{veri- ) ! l -llque sen d = i:-ì: ,

7 Determine os valorcs de b que tornam possív€isas igualdades:

a)sen" =

- f ,

senao.e

b) sen o = 7b 20, sendo o <

180ï.

a)y:sen8x c)Y

b) y : 5sen 10x d) y

= senf

= *"r(* -'+)

8 Calcule k pâmque exisra o ârco que (aÌisfa.z aiguâldade sen x - k, k + l.

9 Dada a função f(x) = 7 sen(3x), rcsponda:a) Qual a imagem de flb) A função fé par ou impar? Justifique

ESTUDO DA FUNCÃO CO-SENO

a) Delinição

C,onsideremos o ciclo trigonométíico no quâl mârca-mos o ponÌo lú, que é imagem, no cìclq do númêro rêax,conf ormê indica a f igura. Consideremos também o ârco AMao qual corresponde o ângulo central x.

(

o

Selâ õfii o raio do ciclo e M" o l\4'as projeções do ponto M nos eixos y e x, respectivamênte.Dêfinimos como co-seno (do arco AM ou do ânguto x) â abscissa do ponlo Àr, ê indrca.

mos:

onde Ol\4'é a abscissa do ponto M.

. Obsêrvê que estadeÍinição coincide com a que conhecíamos paía o triângulo retângulo,isto é, no triângulo retângulo OM'M temos.

ôr\i'cosx = l l = - : : : lL = Ol\4 ' . .cosx = OMoM1

37

t

a -::

Observação importantê:

Esta novadefiniçãotêm avantagem deseraplicâdadê umaforma mais completa porqueagora podemos Íâlarem co-seno de ângulos maiores que90o ê 360o e até dê ângilos com me"didas nêoativas.

b) Valores importantes de cos x

lúarcando os pontos l\4, imagens dos números rêâis 0, e 2Í, têmos:

f

Vêjamos âlguns êxemplos.

1? exêmplo: Calcular cos 1 8300

Resolução: 1 830. | 360"

o3o" t 518300 = 30o f 5 3600

Entãor

cos 1 8300 = cos 30o

2? exemplo: Calculaí o valor de cos l3?r.

13- 1:\ '1t 1HesotuQão: ; ; =; = ' ; +, =6+

ror=[ +o]2"= "+0.2"

cos 13?r =cosÍ= 1.

1z

38

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

&etermine o valor de:

a) cos 450o

b) cos ( 900")

c) cos I 620"

@FEIsP) calcute o valor d€

) = lsen ; I ícos 3i Í)

€/F_uresr SP) Qualdos núÌnem, é o naior? J u\-

a) sen 830'ou ser 1 195.b) cos (- 535') ou cos 190" I

/ìgòendo x =

-.

caicute:

cosr\ + co! Ì - + msl; .

d) cos 6Í

e) cos 11Í

. , . ""2

@alcule A, sabendo que

".,+c) GíáÍico

. - Vamos estudaravaíiâçàoda funçáo cos x. com x variando no intêrvâlo [0.

-1. istoé. o pon-

to l\4 parte do ponto A ê se movimenta sobre o ciclo no sentido anti-horário '

O Oráfico da função co-sêno é chamado co-senóide.O gráfico continua à direita de 2Í e à êsquerda de 0 (zero).

Analisândo o gráÍicq podemos construir o quadío:

Observando o gráficq concluímos que:

. o domÍnlo da funçáo cos x é o conjunto dos númêros rêâis, isto é, D = lR.

. a imagem da função cos x é o intervalo [- 1, +1], isto é 1 < cos x < í.

. o pêríodo da função coseno é igual a 2Í, isto é: cosx = cos (x + 2kÍ) k<z

39

f

.AÍunçãoy = cosxépar.

co$ x = cos( xl

. 't ,:..--Vêiamos alguns exemplos.

19 exemplo: C,onstruiro gráficodaÍunçãoy = 3 cos x, dandoo domínio, a imagem eo período

Besolução: Tabelando a funçãq lêmos:

Í

D=R

29 exemplo: ConstÍuií o OráÍico dâ Íunção ,

rm = [-3,3l P=2'(

- cos ã, dando o domíniq a imagem e opêríodo

Besolução:

D=R rm = [-1, 1 l

Observaçáo:

O período da funçáoy = a . cos kx é dado por p = ?.

40

F

c) Y:5 + cosx

ayy = cos (x f)

4 Sabeído que o coniunto imagem e o periododa tunçâo ) - p - q cos(rx)!ãiem. rcspe{ti-

\ãmente, I 1,5Ìe+ Íad, calcule p, q € r.

r ì- 1 l

5 DeteÍmine o domínio das funções:

"rv:{* [" ; ) ,0<*1;Dry -

<2r

<2r

ESTUDO DA FUNÇAO ÏANGENTE

_999 2!1

9ên x .

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

I Esboc€, em um periodo, o grafico das segrrin-tes funções:a)Y = -cos x

b)v=3cosf

2 DeteÍmine o p€Íiodo das funções:

a) y = cos ex ^,., _ . -^" í1blY = cos-

3 DeteÍmine k, de modo que se tenìa:

â)cosx=5k l0b)cosx=k,+2k+l. k+l

C,Cosx=- i - .

a) DsÍinição

SejaociclotrigonométÍicô dafiguraeTa intêísecção da reta ôfrlcom oêixodastangentes'

tg

T

o

Definimos comotangente (do arco

ÃT , e indicamos tg x = ÃT.

Áü ou do ângulox) a medida algébrica do segmento

Observe que esta definição coincide com a quê conhecíamos pâía o triângulo retángulqisto ê nos tíiângulos íeiângulos Ol\4'lú ê OAI temos:

^ oM't\4 - a oAT

õM' TNíOA AT

ó Dada a fu nçâo real de !€riável real definida porf(x) = 4 - 3 cos 2x, Íesponda:

a) Qua.l a imagem de flb) A função f é par ou impâr? Justifique

ondecosxrO; istoé xt ï +kr

r

41

b) Valores importantes dg t9 x

Vêjamos alguns exêmplos:

19 exemplo: Deteíminar o vâlor dê tg 1 g45o

r

1845" L

J6o: 1845o =45ó r5 3600ols ls

Então:

t9 1845" = t945" = 1

29 exemplo: Detêrminaí o valor de tg 25 {Fazenoo:

25+=24++.f=e"+1Então:ts25+ = ts+ =rg

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Determine o \.âlor de:a) tg 900. b) ts( - 540) c) ts 1 500ôd)ts(-1035ï e) ts Í 0,r+

2 Determine o valoÍ da expressão:

, - - . (- l ) - , 'e, , - . -(- + )42

3 Ache o valor numérico da expressãosen (30o + x, + cos{lx)

-, . x _ 60.

tc (r t5")para x = 600.

4 Determine m, fara que f se.ia raiz da equa

ção: tg2x m cosrx + sen2x = 0

F-

c) GÉfico

Vamos esÌudar a variação da Íunção lg x,com xvâ ando no ìntêrvalo [0,2Í], istoe, o pon-to M parte do ponto A e se movimenta sobre o ciclo no senlido ânti_horáíio

' r 5d4 | t 7r l4 i--i-,'7

tgx

Ii iTI

nOentólde

O gráfico da funçâo tangenie é chamado tangentóide.O gráfico da função tangente continua à direita de 2Í e à esquerda de 0 (zêro).

Analisando o gráfico, podemos construií o quadro:

Observândo o gráfìcq concluÍmos que:

. o domínio da funçáo y = tgxéD = [x€lR x t+ + kÍcoÍnk<z\.

. a imagem da Íunção y = t9 x é o intervalo I -@, +@ [, isto é, -ó < tg x < +-

.. o período da função y = tgxéP = Í

Esta conclusão pode sea obtida, também, a panir do ciclo trigonométíico onde marca_mos o arco x.

tg (x + 2,r) =

tg(x + kÍ) = AT comkc

ATÃiÃÍ

z

tg (x + k?r) = tgx

;

tg

í .^+ , i

t,r'v o

k<z

4Í)

rI

.AÍunçãoy = t9xéímpaí

lq

T1

tgx = tg (-x)

Í

Vejamos alguns êxemplos.

19 êx€mplo: Determinar o domÍnio da Íunção y = tg (x - 30o).

Reèoluçãot A condiçâo dê existência é:

x-30or90o+k.1800Dâí:x l30o +90or k. 1800x r 1200 + k. 180ó

Resposta. D=[x<R xI120o.r k.1800]

29 exemplo: Qual é o peíÍodo da função y = tg (2x ï),Rêsolução: Sabêhos que a função tangente é periódica de período p = tr. Devêmos verificar

o que ocorre com o alco.(z* f ì quando varia de 0 a r.\ z l

^-t =o-^=+ - ,<=+2x- i=r-2x=r*ï=+,,=t i

3--t -p=ï- ï=i=tPesposta: p = +

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Determine o domínio das seguintes funções:a)y: ts(x+600)

b)y=E(x-+)

2 DeÌermine o peÍlodo da.5 seguintes funçóes:a)y = te(3' - -"

)tlv = tc(sx + f )

3 Calcule o pa rãmí ro real nì. de modo que exis-ta o arco x, ta.l que

t8x = -=;.3 ex€1270',360o[.

4 fuhe m € R. que toma possivel a condiçàu

tsx = l0 - m,. com x ( [+,+[ .la z I

ESTUDO DA FUNCAO CO-TANGENTE

a) Deíinlção

Considere b ciclotrigonométrico da íigura e seia C a intersecçáo da reta ôú com o eixo dasco"tangenles,

(

c

!

-Detinimos comoco.tangente 1do arco Áü ou do ângulo x) a medidaalgébrica do segmên-to BC, e indicamos cotg x = BC.

Observê os triângulos rêtângulos Of,'M e OBC:

ÀoM'M - ÁOBC

:g- = I por construÇão OM = lV'M, entáoBC OB

OM-' - õM" cos x sen xBCOBBCl

= cotg x onde sen x I 0, isto é, x . kÍ.

Podêmos êscrêver também

cotox= " j t -

'l

tgxcoÌg xf

cos x

b) GÍáíico

Vamos êsÌudâravariaçâo da função coìangente, com xê o ponto N/| pârte do ponto A e se movimenla sobre o ciclo

variando no intêrvalo [0, 2Í], istono sêntido anti-horário.

colg, lY

r

coìangenìóide

45

7-

O gráfico da função co-tangentê é chamado co.tanogntóideO gráÍico da função co-tangentê continua à direita dÌe 2Í ê à esquêrda de O {zero).

Analisando o gráÍicq podemos construir o euadro:

Observando o gráficq concluimos que:

. o domÍnio da funçâo y = cotg xé D = Íx (tR lx r kÍcom k ( ZÌ.. a imagêm da função y = cotg x é o intervalo I - ó, + @ [, isto é, _ r < cotg x < + ó

. O pêríodo da função y = cotgxéigualaÍ.

r

cotg xcotg (x + 2)

cotg (x + 2Í)

cotg E + kÍ) comk<z

EE

.

lsto e, ,k<z

. A função y = cotgx é ímpar, isto é:

cotg x = -cotg( x)

l: rtriÈ{dÉüt::

46

Vejamos alguns exemplos.

í9 êxemplo: Calcular o valor de cotg 1 6200.

Resolução:

180"

No ciclo:

1620o=180o+4 3600

cotg 1 620o = cotg 1800

Âesposfa, Não existê.

= g-fu" {nao existe)

29 €xomplo: Quaì é o domínio da funçâo y = cotO f

+ f )r

Feso/ução.'A condiçáo de existência é: x + f, + *"

Daí:

x+i *k"

x* - f , + kt ,

- ìx(Rlxr t + kÍ jResposta: D =

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

I Determine o valor de:

a) cotg 9m'

b) cotg I 440ô

c) cotg (-1410.)d) cotg 12Íe) cotg 7Í

fl cotc ï

2 Calcule o domírio das funções:a)y=cots(x+30')

uyy=corglx-{ l\ . /

. .yy=cotg{:x+}}\ * /

3 Determine o pe odo dâs seguintes funções:

a)y=cors{2x +l\ ' /

utv:coq{ lx+{ l\ . /

4 Calculeos ldtre( de m, de modoque a expreç-,+Ám

çAo - l: represenle acolangentede um

ângüÌo do terceiro quadrante

5 Derermine m < R râl que la o = t , ' .

cotg d = 8.

ó Ache m ( R, de modo que r6corg x m - .ex€Ì30' .60oÍ.-a

\!7 -)

ESTUDO DAS FUNÇOES: SEçANTE E CO-SECANTE

--- '

Consideíe o ciclo tíigonométrico da íigura. '|

I

iÍ \

- i

il

I

l

ì

I

t

i,

I

1

D

\

(

\\o M'^J\ s

I

Trâçândo uma retatangente àcircunferência pelo ponto M, intêrceptamos o eixooas aos-cìssas no ponto S e o eixo dâs ordenadas no ponto D

Da Íigura. deÍinimos sec x : OS e cosec x = OD-

Utilizando a semeìhança dê tíiângulos, podemos obter:

comcosx+0

De acordo com êstas Íórmulas,

comsênxl0

podemos estabelêcer o quadro:

- Vejamos alguns exemplos.

'19 exemplo: Qual é o domínio da função y =

Resoluçào: A condição dê existência é: x -

uat:

x-* +* +k"

D=[x(Rlx/ Í+kir ]

sec [x - ]l?

$ +$ +x".

Re€posta:

48

29 exempfo: Calcular m, de modo que sec d = n- 2ed|-)+'2Íl

Resolução: Dêvêmos ter sec o > 1, logo:

m 2>1+m>3

Besposfai S=[m(Rìm>3]

39 exemplol Calcular o valor de cosec ( 1 035')'

Resolução:1035" I 360'

315' l -2 10350 =315Ó +2 360'

1035o = -3150 +2 (-360")

Como 315o = 45o 3600, temos:

cosec ( 1035') = cosêc4so =s#t-

Resposta: \8

12.,t2 .,t2-T

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

li l,balcule o valor de:

a) sec 540'

b) sec 900"

c)sec( 1410")

!2ìCalcule o valor de:

a) cosec 810'

b) cosec 1 800'

c) cosec I 470'

3 DeteÌmine o domínio das funções:

")"=*"(-r+)b)y=5.. . ( , , ,+)

c)y=sec(+ +)arv=""( i - rm")

d) sec 11Í,9r€, sec 4

^ 25Í

d) cosec 13Í

e) cosec i!

-n cosec

-1

4 Det€rmine o dominio das seguintes funções:

")y=**"(" .+)b)y=-".(3.-+)c) y = cosec (x 60')

5 CalcuÌe m, de modo que:2m l - ì '

m lz

b)coseco=rÌr+4m+1ed€

+l.,, +]

49

?'

20 senao x = 3, catcute

qvsen Jx + sen t - sen

-12l Calcuìe sen I 860..

22 Determine y, sabendo que:

v=*"í{ I -* . . . l " ì .oín'

i - l

n<lN*

23 Cakule o número designado pelas expressões:a) sen 3ó0' + sen 5zl0o - 4 sen I 7l0o

b) sen .- ; sen ( 37 n)

24 Esboce, em um perlodq o sìáf,rco das funcòes:l l

, a ly = lzsenf l b)y: - sen2x| ' l

25 (Fuvest-SP) Foram feitos os gnificos das fun-

ções f(x) = sen 4x e s(x) = fr; , nu* *

no inleÍ\,alo 10,2n[. DeleÍmine o número depontos comuns aos dois gráficos.

2ó Det€rmine o peÍlodo de cada função â seguiÍ:

a)y=*"í+ +' . ì\_ |

b)tx) = 4 +: ' .nín" + Jì\ r , l

27 (PUCC) Dada a funçâo rdgonométÍica

y= - l r * .níx - f ) . calcute o periodo\ - /e a sua imagem.

28 DeleÍmine o valor de k, paÍa que exista o arco- lL- tque satrsmz a rguarcade s*

- =

ï:É

29 Calcule os valores de b que rornam possível4h-1a rguamaoe sen a = j- . sendo o 6

190., 18001.

30 calcule:â) cos 765'b) cos (- 2 l30o)

c) cosË

50

3l (Mack,SP) Determine o domínio dey = úen 3x para 0 < x < r.

32 Calcule o valoÍ da expressão

cos810ô + 4cos3 780. - ] cos t 3:0.

33 (Fatec-SP) Seiam x. v e R. Se x + f= 4-2

(\ y_ 6

. calcule o vator oe t . sendo

, senx + senvcosx - cosy

34 Derermine as coordenada\ dos ponros A. B,CeD

225"

35 Construa o gáfico das funçõesi

r

"1" =

ï . b)y:2+3cosf

3ó QuaÌ é o periodo das funções:

a) y : cos l r ' c l y - 4cos l5x + -r I '

\ r /

DJy = cosi? dìy = cos lzx - + l?"\

37 Calcuje m, sabendo queo periodo da tunçáoy = cos4ÌI ì)(é+.

38 Derermine o wlorde 1,. para que exjsla o a,-co x que satisfâz a igualdade:

arcosx=+4k+l

b)cosx:2k'z+ 4k + 2

39 DeÌermine os !ãiores do paÍàmer m real m, demodo q ue a igualdâde segujnre seja possive,.

cosx = m" - i ex€ l -+-, 2r l .tz I

40 calcule o dominio dâ função: 48 CalüIe o valor da expressão:4 corg 6300 - 2 cotg 3 645' + cotg 810'

49 Calcule o período das funçôes:

a,y=cotcÍ+ + 70"1I

/ - \b)y=cotc(7r-TJ

50 Ache k, de modo que cotg c{ - Ë ?k + l0e d ( 1270o, 360'[. J

5l Calcule o valor da expÌtssão sec I J00"

sec 7 + cosecrË cos€c 990".

52 S€x = 180', calcuÌe o valor de y na expressão:

' "" 2

53 Ache o domínio das funções:

a)f ix)=secÍsx++l\ " /

b)y = cosec (2x + 180')

54 DeteÍmine os valores de m para que se tenha

m-l

55 Corìstrua o gúfico das funções:

a)y = secÍconx( [0,2í ] .b) f(x) = cosec x com x < I0, 2Í1.

<2r

4l calcule o \alor de:

a) 19 360 üÍs+b) ts (-90') €) ts I 470',

c) tg 1080" D tc+

42 sendo x = f rad, calcule A.

A = sen 3x + cos 4x - tg 2x.

43 Determine o domínio das funções:

a) y = lc (5x 45o)

urv=rgl : r+* l\ " , |

44 Ache a, de modo queÌ | 1. I

Igd = a ' - ; a ; €a< l Í . ; l

45 (Cescea-SP) Deterrnine qdominjo e a imag€m

da runçào: (,,) = :te h * ì\ . , |

4ó DeteÍmine o período das funçõ€s:

a)y = ts4x t )v = teï

47 Calcule o dominio das funções:

â)y=cotc(x-60')/ - \b)f( \ ) = 5coÌcl2)\ + Ë I .\ l

i

51